ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ, ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΙΚΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ ΛΑΜΠΡΟΥΣΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΔΙΠΛ. ΑΓΡΟΝΟΜΟΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΑΠΘ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΠΑΝΤΑΖΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΥ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, 04

2 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ, ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΜΕΓΙΣΤΩΝ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΙΚΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ ΛΑΜΠΡΟΥΣΗ ΦΩΤΕΙΝΗ ΔΙΠΛ. ΑΓΡΟΝΟΜΟΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΑΠΘ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΠΑΝΤΑΖΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΥ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΑΗΛ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΡΠΟΥΖΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, 04

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η Γη είναι ένας πλανήτης όπου υπάρχει νερό σε υγρή μορφή, το οποίο αποτελεί ζωτικό στοιχείο απαραίτητο για την επιβίωση του ανθρώπου και τη διατήρηση του φυσικού περιβάλλοντος. Το νερό επηρεάζει όλες τις πτυχές της ανθρώπινης ζωής, από την υγεία και την υγιεινή των τροφίμων, από το περιβάλλον και τα οικοσυστήματα έως και τη βιομηχανία. Στη φύση το νερό εμφανίζεται (επιφανειακά ή υπόγεια) σε διαφορές μορφές όπως σε: Υγρή μορφή ως ωκεανός, θάλασσα, κόλπος, λίμνη, έλος, ποτάμι, χείμαρρος, Στέρεα μορφή ως παγόβουνο, παγετώνας, μόνιμο χιόνι και Αέρια μορφή ως υδρατμός. Η παρουσία και η κυκλοφορία του νερού στην επιφάνεια της γης, καθώς και κάτω από αυτή, περιγράφεται από μια διαδικασία, η οποία ονομάζεται υδρολογικός κύκλος, ή αλλιώς κύκλος του νερού. Το νερό της γης είναι πάντα σε κίνηση και πάντα σε αλλαγή από την υγρή μορφή στην αέρια ή σε πάγο (στερεά) και αντίστροφα. Η υγρή μορφή κατά την οποία εμφανίζεται το νερό στον υδρολογικό κύκλο οφείλεται εν μέρει στις βροχοπτώσεις. Ακριβείς μετρήσεις της βροχόπτωσης σε διάφορες κλίμακες του χώρου και του χρόνου είναι σημαντικές, όχι μόνο για την πρόγνωση του καιρού αλλά και για ένα ευρύ φάσμα φορέων λήψης αποφάσεων, συμπεριλαμβανομένων των υδρολόγων, των γεωπόνων, και των βιομηχάνων (Ebert et al., 007). Το νερό των βροχοπτώσεων δεν ρέει αποκλειστικά μέσα στους ποταμούς αφού κάποιες ποσότητες διαπερνούν το έδαφος. Κατά τη διέλευση του νερού από την επιφάνεια του εδάφους, ο ρυθμός της ποσότητας που εισέρχεται μέσα στο έδαφος πιθανόν να είναι μικρότερος από εκείνον που διατρέχει την επιφάνειά του. Στην περίπτωση, κατά την οποία η επιφάνεια του εδάφους καλύπτεται προσωρινά από νερό, η οποία δε θα καλυπτόταν υπό φυσιολογικές συνθήκες, καλείται πλημμύρα. Η πλημμύρα είναι φυσικό φαινόμενο αφού προέρχεται από ακραίες μετεωρολογικές καταστάσεις και ειδικότερα από ακραίες βροχοπτώσεις. Ο συνδυασμός της πιθανότητας να λάβει χώρα πλημμύρα και των δυνητικών αρνητικών συνεπειών για την ανθρώπινη υγεία, το περιβάλλον, την πολιτιστική κληρονομιά και τις οικονομικές δραστηριότητες που συνδέονται με αυτή ονομάζεται κίνδυνος πλημμύρας. Επομένως ο κίνδυνος πλημμύρας σχετίζεται άμεσα με την πιθανότητα να λάβει χώρα μια ακραία βροχόπτωση. Το αντικείμενο της μεταπτυχιακής διατριβής είναι: Η εύρεση κατανομών ακραίων τιμών που χρησιμοποιούνται στην υδρολογία για υδρολογικές μεταβλητές και ειδικότερα για την περιγραφή βροχοπτώσεων. Η ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών βροχοπτώσεων χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους (κατανομές ακραίων τιμών και χρήση του παράγοντα συχνότητας).

4 Η εκτίμηση των παραμέτρων των κατανομών, με τη βοήθεια τριών μεθόδων εκτίμησης (μέθοδος των ροπών, μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας, μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών) και τη συγκριτική τους αξιολόγηση. Η εκτίμηση των παραμέτρων διαφόρων σχέσεων έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων με διάφορες μεθόδους και η συγκριτική τους ανάλυση. Η εκτίμηση πλημμυρικών απορροών με τη βοήθεια των βροχοπτώσεων, οι οποίες εκτιμώνται για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς και των Συνθετικών Μοναδιαίων Υδρογραφημάτων (Σ.Μ.Υ.). Αρχικά περιγράφονται οι μεθοδολογίες ανάλυσης ακραίων τιμών και αναλύονται οι κατανομές οι οποίες χρησιμοποιούνται στην περίπτωση των μέγιστων βροχοπτώσεων. Στη συνέχεια αναλύονται οι μέθοδοι εκτίμησης των παραμέτρων των κατανομών και δίνονται οι σχέσεις υπολογισμού των παραμέτρων. Οι σχέσεις αυτές εφαρμόζονται για τις τρεις μεθόδους εκτίμησης (μέθοδος των ροπών, μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας, μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών) κάνοντας συγκριτική ανάλυση τόσο των μεθόδων υπολογισμού των παραμέτρων των κατανομών όσο και των ίδιων των κατανομών, που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση συχνότητας. Η συγκριτική ανάλυση γίνεται σε κατανομές με και χωρίς τη χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας. Με βάση τις ακραίες τιμές βροχοπτώσεων που προκύπτουν από τις διάφορες κατανομές, εκτιμώνται οι σχέσεις έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων που έχουν δύο μορφές: Μικτή σχέση και σχέση WMO. Και σε αυτήν την περίπτωση γίνεται συγκριτική ανάλυση των παραμέτρων των διαφόρων μορφών των καμπύλων έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων. Από τις σχέσεις έντασης διάρκειας συχνότητας για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς βροχόπτωσης υπολογίζονται οι ακραίες βροχοπτώσεις, με βάση τις οποίες γίνεται ο υπολογισμός πλημμυρικών απορροών στην έξοδο μιας υδρολογικής λεκάνης. Όλα τα παραπάνω εφαρμόζονται σε δεδομένα ακραίων βροχοπτώσεων του σταθμού της Μεγάλης Παναγιάς Χαλκιδικής, για τον οποίο υπάρχουν βροχογραφικές παρατηρήσεις για την περίοδο των υδρολογικών ετών μέχρι 00-. Οι πλημμυρικές απορροές υπολογίζονται με βάση ακραίες βροχοπτώσεις που προέκυψαν για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς από τις σχέσεις έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων, στην έξοδο της λεκάνης του Πετρένια Γοματίου Χαλκιδικής που βρίσκεται πλησίον της Μ. Παναγιάς. Η εκτίμηση των πλημμυρικών παροχών είναι απαραίτητη στον υδρολογικό σχεδιασμό και την κατασκευή έργων ασφαλείας ενός φράγματος όπως είναι η σήραγγα εκτροπής και ο υπερχειλιστής ασφαλείας ενός φράγματος, η αντιπλημμυρική προστασία πόλεων, οικισμών, γεωργικών εκτάσεων κ.λπ.. Ο υπολογισμός όλων των προαναφερθέντων δίνει τη δυνατότητα της μελέτης για την έγκαιρη πρόληψη πλημμυρικών κινδύνων και καταστροφών.

5 Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διατριβή με τίτλο «Συγκριτική Ανάλυση Μεθόδων Υπολογισμού Παραμέτρων Κατανομών Μέγιστων Βροχοπτώσεων και Εκτίμηση Πλημμυρικών Απορροών» εκπονήθηκε στα πλαίσια των μεταπτυχιακών μου σπουδών, στην ειδίκευση Γεωργικής Μηχανικής και Υδατικών Πόρων, του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τμήματος Γεωπονίας του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου σε όλους όσους συνέβαλαν στην ολοκλήρωση της παρούσας Μεταπτυχιακής Διατριβής. Ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Επίκουρο Καθηγητή του Α.Π.Θ. κ. Π. Γεωργίου επιβλέποντα της Μεταπτυχιακής μου Διατριβής, για την επιλογή του θέματος, την καθοδήγησή του καθώς και για την πολύτιμη βοήθεια και συμπαράστασή του. Τον Καθηγητή του τμήματος Γεωπονίας κ. Δ. Παπαμιχαήλ, μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε στο ξεκίνημα αλλά και σε όλη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών, τη γενικότερη συμπαράσταση και τις πολύτιμες συμβουλές του. Τον Επίκουρο Καθηγητή του Α.Π.Θ. κ. Δ. Καρπούζο μέλος της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής για τις πολύτιμες συμβουλές του. Επίσης, θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στον Ομότιμο Καθηγητή του Εργαστηρίου Γενικής και Γεωργικής Υδραυλικής και Βελτιώσεων του Τμήματος Γεωπονίας του Α.Π.Θ. κ. Δ. Καραμούζη για την παραχώρηση των στοιχείων από το μετεωρολογικό σταθμό του Γοματίου, όπως επίσης και στοιχείων από ερευνητικά προγράμματα στα οποία ήταν επιστημονικά υπεύθυνος και χρησιμοποιήθηκαν για την πραγματοποίηση της παρούσας διατριβής. Επίσης, ευχαριστώ θερμά τον κ. Γ. Χαλυβόπουλο, αναπληρωτή ερευνητή του Ινστιτούτου Δασικών Ερευνών, για την ευγενή παραχώρηση των στοιχείων από το μετεωρολογικό σταθμό της Αρναίας και την κ. Ε. Γαζέα, της εταιρείας Ελληνικός Χρυσός Α. Ε. για την ευγενή παραχώρηση στοιχείων βροχοπτώσεων από το μετεωρολογικό σταθμό των Σκουριών, που ήταν απαραίτητα για την εκπόνηση αυτής της διατριβής. Ακόμα, πολλά ευχαριστώ οφείλω σε όλο το Διδακτικό και Ερευνητικό Προσωπικό της Μεταπτυχιακής Ειδίκευσης Γεωργικής Μηχανικής και Υδατικών Πόρων του Τμήματος Γεωπονίας του Α.Π.Θ., για τα επιστημονικά εφόδια που μου παρείχαν κατά τη διάρκεια της μεταπτυχιακής μου φοίτησης. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου αλλά και όλους όσους με βοήθησαν και με στήριξαν ψυχολογικά όλο αυτό το διάστημα, με οποιοδήποτε τρόπο μπορούσαν, και συμμετείχαν άμεσα ή έμμεσα στην προσπάθειά μου να ολοκληρώσω τις μεταπτυχιακές μου σπουδές. 3

6 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Γεωπονίας, Δασολογίας και Φυσικού Περιβάλλοντος Τμήμα Γεωπονίας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Γεωργικής Μηχανικής και Υδατικών Πόρων Συγκριτική ανάλυση μεθόδων υπολογισμού παραμέτρων κατανομών μεγίστων βροχοπτώσεων και εκτίμηση πλημμυρικών απορροών Μεταπτυχιακή Διατριβή της Λαμπρούση Φωτεινής, Αγρονόμου - Τοπογράφου Μηχανικού Επιβλέπων: Γεωργίου Πανταζής, Επίκουρος Καθηγητής ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρουσία του νερού στη γήινη επιφάνεια οφείλεται εν μέρει στις βροχοπτώσεις. Κατά τη διέλευση του νερού των βροχοπτώσεων από την επιφάνεια του εδάφους, ο ρυθμός της ποσότητας που εισέρχεται μέσα στο έδαφος πιθανόν να είναι μικρότερος από εκείνον που διατρέχει την επιφάνειά του, με αποτέλεσμα η επιφάνεια του εδάφους να καλύπτεται προσωρινά από νερό, η οποία δε θα καλυπτόταν υπό φυσιολογικές συνθήκες, εμφανίζεται, δηλαδή το φαινόμενο της πλημμύρας. Η πλημμύρα είναι ένα απρόβλεπτο φυσικό φαινόμενο και οφείλεται σε διάφορες παραμέτρους, όπως είναι τα ακραία φυσικά φαινόμενα, που εντείνονται από την αλλοίωση των γεωµορφολογικών χαρακτηριστικών των λεκανών απορροής, και οι κλιματικές αλλαγές. Η έντασή της προκαλεί καταστροφές τόσο σε οικονομικό και πολιτιστικό επίπεδο όσο και σε ανθρώπινες απώλειες. Είναι λοιπόν, σκόπιμο και επιθυμητό να μειωθεί ο κίνδυνος των αρνητικών συνεπειών που συνδέονται με τις πλημμύρες, ιδίως στην ανθρώπινη υγεία και ζωή, στο περιβάλλον, στην πολιτιστική κληρονομιά, στην οικονομική δραστηριότητα και στις υποδομές. Για το λόγο αυτό πρέπει να σχεδιάζονται προστατευτικά μέτρα για να παρέχουν προστασία από πληµµύρες κάποιας πιθανότητας. Ο υδρολογικός σχεδιασμός των κατασκευών ασφαλείας, επιτυγχάνεται με την εκτίμηση των πλημμυρικών παροχών των λεκανών απορροής, οι οποίες υπολογίζονται με τις αντίστοιχες βροχοπτώσεις σχεδιασμού. Οι πλημμύρες (πλημμυρικές παροχές) μπορούν να υπολογιστούν άμεσα με ανάλυση συχνότητας των ακραίων τιμών όταν υπάρχουν μετρήσεις. Επειδή όμως είναι δύσκολο γι αυτό και υπολογίζονται οι πλημμυρικές παροχές από τις βροχοπτώσεις. Στην παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή γίνεται εκτίμηση πλημμυρικών απορροών και μεγίστων βροχοπτώσεων για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς. Η εκτίμηση πλημμυρικών απορροών, για διάφορες περιόδους επαναφοράς, πραγματοποιείται με τη βοήθεια μεγίστων βροχοπτώσεων και Συνθετικών Μοναδιαίων Υδρογραφημάτων (Σ.Μ.Υ.), σε λεκάνη για την οποία δεν υπάρχουν μετρήσεις παροχής, ενώ η εκτίμηση μεγίστων βροχοπτώσεων, για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς, γίνεται με τη 4

7 βοήθεια της ανάλυσης συχνότητας ακραίων τιμών και των καμπύλων έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων. Για το λόγο αυτό, πραγματοποιείται συγκριτική ανάλυση τόσο των μεθόδων υπολογισμού των παραμέτρων των κατανομών όσο και των ίδιων των κατανομών, που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση συχνότητας, καθώς και των παραμέτρων των διαφόρων μορφών των καμπύλων έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων. Η συγκριτική ανάλυση γίνεται σε κατανομές με και χωρίς τη χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας. Οι μέθοδοι υπολογισμού των παραμέτρων των κατανομών που εφαρμόζονται είναι η μέθοδος των ροπών, η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας και η μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών. Η επιλογή της μεθόδου εκτίμησης των παραμέτρων γίνεται με τη σύγκριση των αποτελεσμάτων που προκύπτουν κάθε φορά και με βάση όλα όσα αναφέρονται στη θεωρία για την κάθε μέθοδο. Για την περιγραφή των καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων χρησιμοποιούνται δύο μορφές σχέσεων: η μικτή σχέση και η σχέση WMO. Από τη συγκριτική τους αξιολόγηση επιλέγεται η σχέση WMO για τον υπολογισμό των ακραίων βροχοπτώσεων από τις οποίες υπολογίζονται οι πλημμυρικές απορροές. Όλα τα παραπάνω εφαρμόζονται σε δεδομένα ακραίων βροχοπτώσεων του σταθμού της Μεγάλης Παναγιάς Χαλκιδικής, για τον οποίο υπάρχουν βροχογραφικές παρατηρήσεις για την περίοδο των υδρολογικών ετών μέχρι 00-. Οι πλημμυρικές απορροές υπολογίζονται με βάση τις ακραίες βροχοπτώσεις που προέκυψαν για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς από τις σχέσεις έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων και τη χρήση του Συνθετικού Μοναδιαίου Υδρογράφηματος της Sierra Nevada στην έξοδο της λεκάνης του Πετρένια Γοματίου Χαλκιδικής που βρίσκεται πλησίον της Μ. Παναγιάς. Η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου για τον υπολογισμό των πλημμυρικών παροχών εξαρτάται από την αβεβαιότητα που επιθυμούμε να εισάγουμε στο σχεδιασμό των έργων μας και πρέπει να γίνεται με κριτήριο την ασφάλεια, τη διακινδύνευση και το κόστος κατασκευής. 5

8 Aristotle University of Thessaloniki Faculty of Agriculture, Forestry and Natural Environment School of Agriculture Postgraduate Program Agriculture Engineering and Water Resources Comparative analysis of estimation methods of the parameters distribution of maximum rainfalls and flood estimation MSc Thesis: Lamprousi Fotini, Rural and Surveying Engineering Supervisor: Georgiou Pantazis, Assistant Professor ABSTRACT The presence of water on the Earth s surface is partly due to rainfalls. During the passage of the rainfall water from the surface of the ground, the rate of the quantity which enters the ground is probably smaller than that which runs through its surface, with the result that the surface of the ground is temporarily covered by water, which would not be covered under normal conditions, and there appears the phenomenon of flooding. The flood is an unpredictable natural phenomenon and due to various parameters, such as extreme natural phenomena, which are intensified by the alteration of the geomorphological characteristics of the river basin, and climate change. The intensity of flood causes damage both on economic and cultural level as well as on loss of human lives. It is therefore, appropriate and desirable to reduce the risk of adverse effects related with floods, in particular on human health and life, the environment, cultural heritage, economic activity and infrastructure. For this reason, protective measures should be planned to provide protection from any likelihood of flooding. The hydrological planning of safety constructions is achieved by estimating flood discharges of the river basins, which are calculated using the corresponding rainfall planning. Floods (flood discharges) can be directly calculated by frequency analysis of extreme rates when there are measurements. However, since this is difficult, flood discharges are calculated using rainfalls. In this post-graduate dissertation are estimated flood discharges and maximum rainfall for different durations and return periods. The flood discharges, for different return periods, are estimated by using the maximum rainfalls and Synthetic Unit hydrograph (S.U.H.), in the basin where there are no discharge measurements, while the maximum rainfalls, for different durations and return periods, are estimated by using the frequency analysis of extreme rates and the intensity - duration - frequency curves of the rainfalls. For this reason, a comparative analysis of estimation methods of the parameters of the distributions as well as the actual distributions is conducted, which are used in frequency analysis, as well as the parameters of the different forms of the intensity - duration - frequency curves 6

9 of the rainfalls. The comparative analysis is done in distributions with and without the use of the frequency factor. Estimation methods of the distributions parameters that are applied are the method of moments, the method of maximum likelihood and the method of probability weighted moments. The main selection of the parameter estimation method is determined by studying the theory that follows the application of every method and comparing the results that are being produced between all methods. There have been used two equation forms in order to describe the Intensity - Duration - Frequency curves of the rainfall precipitation, which are the equation mixed model and the WMO equation. The comparison assessment report led to the selection of the WMO equation, for the calculation of extreme rainfall which is precondition for the estimation of the flood runoffs. The above mentioned process is being applied to extreme rainfall data derived from the weather station of the region Megali Panagia in the Prefecture of Chalkidiki. The rainfall data acquired are referring to a time period between the hydrological years to The flood runoff ratios are being estimated by the extreme rainfall volumes of different duration and return periods derived from the Intensity - Duration - Frequency curves of the rainfall precipitation and the Sierra Nevada s Synthetic Unit Hydrograph at the Petrenia s of Gomati watershed exit located near to Megali Panagia in Chalkidiki. The selection of the most appropriate computational method of flood discharge runoff is depending on the uncertainty involved in the design of geotechnical structures, since the design process should rely on safety factor and determine risk potential and construction cost. 7

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ 4 ABSTRACT 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ 0.. Γενικά 0.. Οδηγία για τις πλημμύρες.3. Σκοπός της διατριβής 5.4. Δομή της διατριβής 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ 8.. Εισαγωγή 8.. Πιθανότητες, μεταβλητές και κατανομές πιθανοτήτων 9.3. Στατιστικά χαρακτηριστικά μεταβλητής και κατανομών.4. Εκτίμηση παραμέτρων των κατανομών Μέθοδος των ροπών (method of moments) Μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood method) Μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών (probability weighted moments method) Έλεγχος καταλληλότητας των κατανομών Έλεγχος χ Ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών Γενικά Χρονικές σειρές και περίοδοι επαναφοράς Διαδικασίες ανάλυσης συχνότητας Κατανομές πιθανοτήτων στην ανάλυση συχνότητας Κανονική κατανομή Λογαριθμική Κανονική κατανομή δύο παραμέτρων Λογαριθμική Κανονική κατανομή τριών παραμέτρων Γενικευμένη Κατανομή Ακραίων Τιμών Κατανομή Gumbel Κατανομή Frechet Κατανομή Weibull Εκθετική κατανομή Εκθετική κατανομή δύο παραμέτρων Κατανομή Γάμμα δύο παραμέτρων με K T Κατανομή Pearson τύπου III Λογαριθμική Pearson τύπου III κατανομή Κατανομή Pareto δύο παραμέτρων Γενικευμένη Pareto κατανομή 9 8 σελ.

11 .7.5. Wakeby κατανομή Λογιστική κατανομή Γενικευμένη Λογιστική κατανομή Συγκεντρωτικός Πίνακας σχέσεων διαφόρων κατανομών 05 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΝΤΑΣΗΣ - ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ - ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΙΚΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ Γενικά Βροχομετρικά δεδομένα 3.3. Εκτίμηση ακραίων βροχοπτώσεων Καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων Αναλυτικές εκφράσεις Εκτίμηση παραμέτρων Εκτίμηση πλημμυρικών απορροών Γενικά Χρονική κατανομή βροχοπτώσεων Εκτίμηση απορροϊκής βροχής Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα Sierra Nevada Προγράμματα διόδευσης πλημμύρων 33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ Δεδομένα βροχόπτωσης Προσαρμογή κατανομών ακραίων βροχοπτώσεων Εκτίμηση του παράγοντα συχνότητας, K T Εκτίμηση ακραίων βροχοπτώσεων Εκτίμηση καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων Εκτίμηση πλημμυρογραφημάτων 79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 93 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 0 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I: Όρια εμπιστοσύνης των κατανομών με βάση τις τρεις μεθόδους εκτίμησης των παραμέτρων 6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ II: Υπολογισμός καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων με τη χρησιμοποίησης των τριών μεθόδων εκτίμησης των παραμέτρων 9 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ III: Σχέσεις έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων των καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχής με τη χρήση των τριών μεθόδων εκτίμησης των παραμέτρων 54 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ IV: Εκτίμηση εντάσεων και υψών βροχοπτώσεων για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς με βάση τις τρεις μεθόδους εκτίμησης των παραμέτρων 59 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V: Πλημμυρογραφήματα 7 9

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. Γενικά Τα τελευταία χρόνια οι πλημμύρες είναι οι πιο συνήθεις φυσικές καταστροφές στην Ευρώπη. Σε πολλές περιοχές της γης πολλοί άνθρωποι ζουν σε περιοχές ευάλωτες σε πλημμύρες. Στη χώρα µας οι πλημμύρες των τελευταίων 40 ετών έχουν προκαλέσει πολλά θύµατα σε ανθρώπινες ζωές (Κουγιουμτζίδου, 0). Οι πλημμύρες αποτελούν ένα απρόβλεπτο φυσικό φαινόμενο και οφείλονται σε διάφορες παραμέτρους, όπως είναι τα ακραία φυσικά φαινόμενα, που εντείνονται από την αλλοίωση των γεωµορφολογικών χαρακτηριστικών των λεκανών απορροής, και οι κλιματικές αλλαγές. Η επίδρασή τους αυξάνεται από τη συμβολή της ανθρώπινης δραστηριότητας σε πληµµυρικά πεδία. Η έντασή τους έχει δημιουργήσει ιδιαίτερη ανησυχία στην κοινή γνώµη λόγω των καταστροφών που προκαλούν τόσο σε οικονομικό και πολιτιστικό επίπεδο όσο και σε απώλειες ανθρώπινων ζωών. Οι πλημμύρες ποικίλλουν σηµαντικά ως προς το μέγεθος και τη διάρκειά τους και μπορεί να προκαλέσουν θανάτους, μετακινήσεις πληθυσμών και ζημιές στο περιβάλλον όπως όταν: (α) κατακλύζονται εγκαταστάσεις επεξεργασίας λυµάτων, (β) πλήττονται εργοστάσια στα οποία υπάρχουν μεγάλες ποσότητες τοξικών χηµικών προϊόντων και (γ) καταστρέφονται υγρότοποι και μειώνεται η βιοποικιλότητα. Επίσης μπορεί να θέσουν σοβαρά σε κίνδυνο την οικονομική ανάπτυξη και να υπονομεύσουν τις οικονομικές δραστηριότητες μιας περιοχής. Είναι λοιπόν, σκόπιμο και επιθυμητό να μειωθεί ο κίνδυνος των αρνητικών συνεπειών που συνδέονται με τις πλημμύρες, ιδίως στην ανθρώπινη υγεία και ζωή, στο περιβάλλον, στην πολιτιστική κληρονομιά, στην οικονομική δραστηριότητα και στις υποδομές. Για το λόγο αυτό πρέπει να σχεδιάζονται προστατευτικά μέτρα για να παρέχουν προστασία από πληµµύρες κάποιας πιθανότητας. Ο υδρολογικός σχεδιασμός των κατασκευών ασφαλείας, επιτυγχάνεται με την εκτίμηση των πλημμυρικών παροχών των λεκανών απορροής, οι οποίες υπολογίζονται με τις αντίστοιχες βροχοπτώσεις σχεδιασμού. Οι πλημμύρες (πλημμυρικές παροχές) μπορούν να υπολογιστούν άμεσα με ανάλυση συχνότητας των ακραίων τιμών όταν υπάρχουν μετρήσεις. Επειδή όμως είναι δύσκολο γι αυτό και υπολογίζονται οι πλημμυρικές παροχές από τις βροχοπτώσεις. Όταν δεν υπάρχουν επαρκείς μετρήσεις παροχών για να γίνει η ανάλυση αυτή, το επίπεδο προστασίας που επιλέγεται, εξαρτάται από την επιθυµία της κοινωνίας για ασφάλεια σε συνδυασµό µε το κόστος των αντιπληµµυρικών έργων και των πιθανών ζηµιών. Η Ευρωπαϊκή Ένωση έχει ασχοληθεί συστηματικά με το θέμα των πλημμυρών και έχει εκδώσει Οδηγία προς τα Κράτη Μέλη. Η τελευταία οδηγία που εκδόθηκε από την Ευρωπαϊκή Ένωση ήταν η Οδηγία 007/60/ΕΚ του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου και του Συμβουλίου της 3 ης Οκτωβρίου 007 για την «αξιοποίηση και τη διαχείριση των κινδύνων πλημμύρας» η οποία θα αναλυθεί στη συνέχεια. 0

13 .. Οδηγία για τις πλημμύρες Για την ολοκληρωμένη διαχείριση των υδατικών πόρων, ψηφίστηκε από το Ευρωπαϊκό Κοινοβούλιο η Οδηγία 007/60/ΕΚ. Σύμφωνα με την Οδηγία, οι πλημμύρες είναι φυσικά φαινόμενα τα οποία είναι αδύνατο να προληφθούν και μπορεί να προκαλέσουν θανάτους, μετακινήσεις πληθυσμών και ζημίες στο περιβάλλον, να θέσουν σοβαρά σε κίνδυνο την οικονομική ανάπτυξη και να υπονομεύσουν τις οικονομικές δραστηριότητες της Κοινότητας. Η Οδηγία αυτή συμπληρώνει την Οδηγία πλαίσιο για τα νερά 000/60/ΕΚ, όσον αφορά στη διαχείριση του πλημμυρικού κινδύνου. Ο βασικός στόχος της Οδηγίας 007/60/ΕΚ, που ενσωματώθηκε στο Εθνικό Δίκαιο με την Υπουργική Απόφαση Η.Π. 38/54/Ε03 (ΦΕΚ Β 08/-07-00), είναι η πρόληψη, ο περιορισμός και η αντιμετώπιση των πλημμύρων και των επιπτώσεών τους στα Κράτη Μέλη της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Με την Οδηγία θεσμοθετείται ένα κοινό ευρωπαϊκό πλαίσιο για τον περιορισμό και τη διαχείριση των κινδύνων πλημμύρας, διαδικασία που βρίσκεται σε άμεση συσχέτιση με την Οδηγία Πλαίσιο για τα Νερά (000/60/ΕΚ). Η Οδηγία 000/60/ΕΚ του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου και του Συμβουλίου, της 3ης Οκτωβρίου 000, για τη θέσπιση πλαισίου κοινοτικής δράσης στον τομέα της πολιτικής των υδάτων, επιβάλλει την ανάπτυξη σχεδίων διαχείρισης λεκάνης απορροής ποταμού για κάθε περιοχή λεκάνης απορροής ποταμού, με στόχο την επίτευξη καλής οικολογικής και χημικής κατάστασης, και συμβάλλει στο μετριασμό των επιπτώσεων των συμβάντων πλημμύρας. Με την Οδηγία αυτή επιδιώκεται η θέσπιση πλαισίου για την προστασία των εσωτερικών επιφανειακών, των μεταβατικών, των παράκτιων και των υπόγειων υδάτων, ώστε να αποτρέπει την περαιτέρω επιδείνωση, να προστατεύει και να βελτιώνει την κατάσταση των υδάτινων και των χερσαίων οικοσυστημάτων και των υγροτόπων, που εξαρτώνται άμεσα από αυτά, και να προωθεί τη βιώσιμη χρήση του νερού ως βάση μακροπρόθεσμης προστασίας των διαθέσιμων υδάτινων πόρων. Η νέα Οδηγία (007/60 της Ε.Ε.) για την αξιολόγηση και τη διαχείριση των κινδύνων πλημμύρας που τέθηκε σε ισχύ στις 6//007, αποσκοπεί στη μείωση των κινδύνων και των δυσμενών επιπτώσεων από πλημμύρες στην Ευρωπαϊκή Ένωση. Σύμφωνα με την Οδηγία, η διαχείριση των σχετικών κινδύνων προϋποθέτει διασυνοριακές διαπραγματεύσεις μεταξύ όλων των μελών, ενώ προβλέπονται σημαντικές δεσμεύσεις για αύξηση της διαφάνειας και εμπλοκή πολιτών. Τα Κράτη Μέλη έχουν τώρα την υποχρέωση να προσδιορίσουν τις λεκάνες απορροής ποταμών και τις αντίστοιχες παράκτιες ζώνες που κινδυνεύουν από πλημμύρες, καθώς και να εκπονήσουν χάρτες πλημμυρικού κινδύνου και σχέδια διαχείρισης των εν λόγω ζωνών. Μια περιοχή οφείλει να προστατευτεί από τις πλημμύρες κάνοντας υδρολογική διερεύνηση και υδρολογικό σχεδιασμό κατασκευών ασφαλείας που θα την προστατεύουν από τον κίνδυνο της πλημμύρας. Για τον υδρολογικό σχεδιασμό απαιτείται η εκτίμηση πλημμυρικών παροχών για διάφορες περιόδους επαναφοράς. Αυτό μπορεί να γίνει με τη

14 βοήθεια της ανάλυσης συχνότητας ακραίων τιμών όταν υπάρχουν μετρήσεις παροχής για αρκετά έτη. Στην περίπτωση έλλειψης μετρήσεων παροχής οι πλημμυρικές παροχές υπολογίζονται από αντίστοιχες ακραίες βροχοπτώσεις που προκύπτουν από καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας και τη χρήση υδρολογικών μοντέλων (όπως Συνθετικά Μοναδιαία Υδρογραφήματα). Η Οδηγία 007/60/ΕΚ, αποσκοπεί στη μείωση των αρνητικών συνεπειών για την ανθρώπινη υγεία, το περιβάλλον, την πολιτιστική κληρονομιά και τις οικονομικές δραστηριότητες που συνδέονται με τις πλημμύρες στην Κοινότητα. Η Ευρωπαϊκή Οδηγία για τις Πλημμύρες (European Flood Directive, EFD) καθορίζει την απαίτηση για τα κράτη μέλη να αναπτύξουν τρία στάδια (EXCIMAP, 007): Το πρώτο στάδιο θα είναι μια προκαταρκτική αξιολόγηση των κινδύνων πλημμύρας: ο στόχος αυτού του βήματος είναι να αξιολογηθεί το επίπεδο των κινδύνων πλημμύρας σε κάθε λεκάνη απορροής ποταμού ή μονάδα διαχείρισης, και να επιλεγούν εκείνες οι περιοχές στις οποίες θα γίνει χαρτογράφηση των πλημμυρών και των σχεδίων διαχείρισης των κινδύνων πλημμύρας. Ολοκλήρωση μέχρι το 0. Το δεύτερο στάδιο θα περιλαμβάνει τη χαρτογράφηση των πλημμυρών που περιλαμβάνει χάρτες επικινδυνότητας πλημμύρας και χάρτες κινδύνων πλημμύρας: οι χάρτες επικινδυνότητας πλημμύρας θα πρέπει να καλύπτουν τις γεωγραφικές περιοχές, οι οποίες θα μπορούσαν να πλημμυρίσουν σύμφωνα με τα διάφορα σενάρια. Οι χάρτες κινδύνου πλημμύρας θα πρέπει να δείχνουν τις δυνητικές αρνητικές συνέπειες που συνδέονται με τις πλημμύρες με βάση τα σενάρια αυτά. Ολοκλήρωση μέχρι το 03. Στο τρίτο στάδιο θα εκπονηθούν τα σχέδια διαχείρισης των κινδύνων πλημμύρας: με βάση τους προηγούμενους χάρτες, τα σχέδια διαχείρισης των κινδύνων θα πρέπει να αναφέρουν τους στόχους της διαχείρισης των κινδύνων πλημμύρας στις εν λόγω περιοχές, καθώς και τα μέτρα που αποσκοπούν στην επίτευξη αυτών των στόχων. Ολοκλήρωση μέχρι το 05. Σύμφωνα με την Οδηγία 007/60/ΕΚ, οι χάρτες επικινδυνότητας πλημμύρας καλύπτουν τις γεωγραφικές περιοχές που θα μπορούσαν να πλημμυρίσουν σύμφωνα με τα ακόλουθα σενάρια: α) πλημμύρες χαμηλής πιθανότητας ή σενάρια ακραίων φαινομένων, β) πλημμύρες μέσης πιθανότητας (με πιθανή περίοδο επαναφοράς 00 χρόνια), γ) πλημμύρες με υψηλή πιθανότητα, ανάλογα με την περίπτωση. Σύμφωνα με την Υπουργική Απόφαση που ενσωμάτωσε την Οδηγία στο ελληνικό δίκαιο, για την πρώτη περίπτωση των πλημμυρών χαμηλής πιθανότητας αναφέρεται ως ενδεικτική περίοδος επαναφοράς τα 000 έτη, ενώ στην τρίτη περίπτωση των πλημμυρών με υψηλή πιθανότητα υπέρβασης αναφέρεται ως ενδεικτική περίοδος επαναφοράς τα 50 έτη.

15 Για κάθε σενάριο πλημμύρας, παρατίθενται τα ακόλουθα στοιχεία: α) η έκταση της πλημμύρας, β) το βάθος νερού ή η στάθμη νερού ανάλογα με την περίπτωση, γ) η ταχύτητα ροής ή η σχετική ροή των υδάτων. Οι χάρτες κινδύνου πλημμύρας περιγράφουν τις δυνητικές αρνητικές συνέπειες που συνδέονται με τις πλημμύρες και εκφράζονται ως εξής:. ενδεικτικός αριθμός κατοίκων που ενδέχεται να πληγούν,. τύπος οικονομικής δραστηριότητας στην περιοχή που ενδέχεται να πληγεί, 3. εγκαταστάσεις κατά τα αναφερόμενα στο παράρτημα Ι της Οδηγίας 96/6/ ΕΚ του Συμβουλίου, της 4ης Σεπτεμβρίου 996, σχετικά με την ολοκληρωμένη πρόληψη και έλεγχο της ρύπανσης, οι οποίες ενδέχεται να προκαλέσουν τυχαία ρύπανση σε περίπτωση πλημμύρας και προστατευόμενες περιοχές που ενδέχεται να πληγούν, 4. άλλες πληροφορίες που το κράτος μέλος θεωρεί χρήσιμες, όπως η επισήμανση των περιοχών όπου υπάρχει το ενδεχόμενο πλημμυρών με αυξημένο ποσοστό μεταφερόμενων ιζημάτων και πλημμυρών που παρασύρουν υπολείμματα και πληροφορίες για πιθανές άλλες σημαντικές πηγές ρύπανσης. Στον Πίνακα. που ακολουθεί δίνεται το χρονοδιάγραμμα εφαρμογής της Οδηγίας 007/60/ΕΚ (Κουγιουμτζίδου, 0). Ο συντονισµός των δύο οδηγιών αποτελεί την ολοκληρωμένη διαχείριση της λεκάνης απορροής ποταµών. Έτσι, στους χάρτες κινδύνου πλημμύρας θα περιγράφονται όχι µόνο οι δυνητικές αρνητικές συνέπειες που συνδέονται µε τις πλημμύρες, αλλά θα αναφέρονται και οι προστατευόμενες περιοχές (NATURA 000) που αναφέρονται στην οδηγία πλαίσιο και ενδέχεται να πληγούν. Τέλος τα στάδια, που ορίζει η Οδηγία 007/60, θα πρέπει να επαναλαμβάνονται κάθε 6 έτη συγχρονισμένα µε τα βήµατα της Οδηγίας 000/60 µε αρχή το 009 (Τσακίρης, 009). 3

16 Πίνακας.. : Χρονοδιάγραμμα εφαρμογής της Οδηγίας 007/60/ΕΚ. α/α Διαδικασία Ηµεροµηνία Έναρξη ισχύος της Οδηγίας (άρθρο 8) Συμμόρφωση των Κρατών Μελών µε την Οδηγία (άρθρο 7) Θέσπιση τεχνικών υποδειγμάτων (άρθρο ) για: Την προκαταρκτική αξιολόγηση των κινδύνων πληµµύρας (άρθρο 4 παρ.4) Τους χάρτες επικινδυνότητας πλημμύρας και τους χάρτες κινδύνων πληµµύρας (άρθρο 6 παρ. 8) Τα σχέδια των κινδύνων πληµµύρας (άρθρο 7 παρ. 5) ιοικητικές ρυθµίσεις (άρθρο 3) Προκαταρκτική αξιολόγηση των κινδύνων πληµµύρας (άρθρα 4 και 5) Χάρτες επικινδυνότητας πληµµύρας και χάρτες κινδύνων πληµµύρας --03 (άρθρο 6) 7 Σχέδια διαχείρισης των κινδύνων πληµµύρας (άρθρα 7 και 8) Ενηµέρωση του κοινού και διαβούλευση (άρθρο 9) και Οδηγία WFD (άρθρο 4): Χρονοδιάγραµµα και πρόγραµµα εργασιών (άρθρο 4παρ. α) Ενδιάµεση επισκόπηση των σηµαντικών ζητηµάτων διαχείρισης των υδάτων (άρθρο 4 παρ. β) Αντίγραφο του προσχεδίου διαχείρισης λεκάνης απορροής (άρθρο 4 παρ.γ) Χρήση των υφιστάµενων εργαλείων (άρθρο 3) Καταληκτικές ηµεροµηνίες της Οδηγίας 000/60/ΕΚ: Σχέδια διαχείρισης λεκάνης απορροής ποταµού (RBMP): ηµοσίευση Αναθεώρηση και ενηµέρωση Αναθεώρηση της ανάλυσης του άρθρου 5 Επανεξέταση και επικαιροποίηση (εφόσον χρειάζεται) προκαταρκτικής αξιολόγησης κινδύνου πληµµύρας πιθανή επίδραση κλιµατικών αλλαγών στη συχνότητα πληµµύρων (άρθρο 4, παρ. και 4) Επανεξέταση και επικαιροποίηση (εφόσον χρειάζεται) χαρτών επικινδυνότητας πληµµύρας και χαρτών κινδύνων πληµµύρας πιθανή επίδραση κλιµατικών αλλαγών στη συχνότητα πληµµύρων (άρθρο 4, παρ. και 4) 3 Επανεξέταση και επικαιροποίηση (εφόσον χρειάζεται) των χαρτών κινδύνων πληµµύρας και των σχεδίων διαχείρισης των κινδύνων πληµµύρας συµπεριλαµβανοµένων των στοιχείων του µέρους Β του Παραρτήµατος πιθανή επίδραση κλιµατικών αλλαγών στη συχνότητα πληµµύρων (άρθρο 4, παρ. 3 και 4) και στη συνέχεια ανά εξαετία --09 και στη συνέχεια ανά εξαετία --09 και στη συνέχεια ανά εξαετία 4

17 .3. Σκοπός της διατριβής Σκοπός της παρούσας μεταπτυχιακής διατριβής είναι η εκτίμηση πλημμυρικών απορροών και η εκτίμηση μεγίστων βροχοπτώσεων για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς. Η εκτίμηση πλημμυρικών απορροών, για διάφορες περιόδους επαναφοράς, πραγματοποιείται με τη βοήθεια μεγίστων βροχοπτώσεων και Συνθετικών Μοναδιαίων Υδρογραφημάτων (Σ.Μ.Υ.), σε λεκάνη για την οποία δεν υπάρχουν μετρήσεις παροχής, ενώ η εκτίμηση μεγίστων βροχοπτώσεων, για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς, γίνεται με τη βοήθεια της ανάλυσης συχνότητας ακραίων τιμών και των καμπύλων έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων. Για το λόγο αυτό, γίνεται συγκριτική ανάλυση τόσο των μεθόδων υπολογισμού των παραμέτρων των κατανομών όσο και των ίδιων των κατανομών, που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση συχνότητας, καθώς και των παραμέτρων των διαφόρων μορφών των καμπύλων έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων. Η συγκριτική ανάλυση γίνεται σε κατανομές με και χωρίς τη χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας. Οι μέθοδοι υπολογισμού των παραμέτρων των κατανομών που εφαρμόζονται στην παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή είναι η μέθοδος των ροπών, η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας και η μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών. Για την περιγραφή των καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων χρησιμοποιούνται δύο μορφές σχέσεων: η μικτή σχέση και η σχέση WMO. Όλα τα παραπάνω εφαρμόζονται σε δεδομένα ακραίων βροχοπτώσεων του σταθμού της Μεγάλης Παναγιάς Χαλκιδικής, για τον οποίο υπάρχουν βροχογραφικές παρατηρήσεις για την περίοδο των υδρολογικών ετών μέχρι 00-. Οι πλημμυρικές απορροές υπολογίζονται με βάση τις ακραίες βροχοπτώσεις που προέκυψαν για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς από τις σχέσεις έντασης διάρκειας συχνότητας, στην έξοδο της λεκάνης του Πετρένια Γοματίου Χαλκιδικής που βρίσκεται πλησίον της Μ. Παναγιάς. Ακόμα, γίνεται υδρολογική διερεύνηση χρησιμοποιώντας το Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα της Sierra Nevada και τις μέγιστες βροχοπτώσεις διαφόρων διαρκειών και περιόδων επαναφοράς. Παρατηρώντας τα αποτελέσματα που προκύπτουν κάθε φορά από τις μεθόδους, και με βάση όλα όσα αναφέρονται στη θεωρία για την κάθε μέθοδο, γίνεται η επιλογή μιας εκ των τριών μεθόδων χαρακτηρίζοντας την ως καταλληλότερη, συγκριτικά με τις άλλες δύο. Επίσης ο υπολογισμός των πλημμυρικών αιχμών πραγματοποιείται με τη χρήση της μιας μορφής των σχέσεων έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων. Ο υπολογισμός όλων των προαναφερθέντων δίνει τη δυνατότητα της μελέτης για την έγκαιρη πρόληψη πλημμυρικών κινδύνων και καταστροφών..4. Δομή της διατριβής Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή αποτελείται από πέντε Κεφάλαια και πέντε Παραρτήματα. 5

18 Στο Κεφάλαιο (παρόν Κεφάλαιο) αναφέρονται κάποια εισαγωγικά στοιχεία που αφορούν τα πλημμυρικά φαινόμενα, τους κινδύνους πλημμύρας, την οδηγία για τις πλημμύρες καθώς και την ανάγκη δημιουργίας χαρτών επικινδυνότητας πλημμύρων. Επίσης γίνεται αναφορά και στον σκοπό και το αντικείμενο της μεταπτυχιακής διατριβής. Στο Κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην ανάλυση συχνότητας, στις πιθανότητες, στις μεταβλητές και στις κατανομές πιθανοτήτων. Αναφέρονται στατιστικά χαρακτηριστικά μεταβλητών και κατανομών, ενώ γίνεται εκτίμηση των παραμέτρων των κατανομών με τις τρεις μεθόδους εκτίμησης των παραμέτρων (μέθοδος των ροπών, μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας και μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών). Ακολουθεί ο έλεγχος των κατανομών, η ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών και οι κατανομές πιθανοτήτων στην ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών, όπου οι συναρτήσεις των κατανομών πιθανότητας ομαδοποιούνται σε οικογένειες κατανομών. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται διερεύνηση των καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων. Για να πραγματοποιηθεί αυτό απαιτούνται τιμές ακραίων βροχοπτώσεων για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς οι οποίες μετρούνται με διάφορα όργανα. Επίσης, γίνεται εκτίμηση πλημμυρικών παροχών με τη βοήθεια ακραίων βροχοπτώσεων που παίρνονται από τις καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων και τη χρήση του Συνθετικού Μοναδιαίου Υδρογραφήματος της Sierra Nevada. Ακόμα, αναφέρονται προγραμμάτων διόδευσης πλημμύρων για την προσομοίωση της πλημμύρας. Στο Κεφάλαιο 4 πραγματοποιείται η εφαρμογή η οποία βασίζεται σε δεδομένα βροχόπτωσης του μετεωρολογικού σταθμού της Μεγάλης Παναγιάς. Με τη βοήθεια των δεδομένων βροχόπτωσης, υπολογίζονται τα μέγιστα ετήσια ύψη βροχής, οι μέγιστες ετήσιες εντάσεις βροχής καθώς και οι στατιστικές παράμετροι των μεγίστων ετήσιων υψών και των εντάσεων βροχής, του σταθμού Μ. Παναγιάς, διάρκειας ώρας,, 4 και 6 ωρών των υδρολογικών ετών μέχρι Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό, γίνεται συγκριτική ανάλυση και εκτίμηση των παραμέτρων των κατανομών, του παράγοντα συχνότητας, των ακραίων βροχοπτώσεων και των καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων για όλες τις κατανομές με τη χρήση και των τριών μεθόδων εκτίμησης. Ακόμα, γίνεται εκτίμηση των πλημμυρογραφημάτων για τις κατανομές Κανονική, Gumbel, Pearson τύπου III και Λογιστική για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς με τη χρήση των τριών μεθόδων εκτίμησης. Στο Κεφάλαιο 5 γίνεται μια ανακεφαλαίωση και παρουσιάζονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή και οι προτάσεις επέκτασης της έρευνας. Παράρτημα I: Δίνονται οι πίνακες των ορίων εμπιστοσύνης των μεγίστων εντάσεων βροχόπτωσης του σταθμού της Μ. Παναγιάς, διαφόρων διαρκειών και περιόδων επαναφοράς και τη χρήση των τριών μεθόδων εκτίμησης των παραμέτρων, για την εκτίμηση του παράγοντα συχνότητας K T. 6

19 Παράρτημα II: Υπολογίζονται οι καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων με τη μικτή σχέση με εκτίμηση των παραμέτρων με γραμμική συσχέτιση και δίνονται οι πίνακες με τις τιμές των m, A T, και των εντάσεων βροχόπτωσης, για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς, καθώς και τα σχήματα των καμπυλών διάρκειας έντασης βροχής και περιόδου επαναφοράς έντασης βροχής για διάφορες περιόδους επαναφοράς και διάρκειες βροχής αντίστοιχα των κατανομών Κανονική, Gumbel, Pearson τύπου III και Λογιστική με τη χρήση των τριών μεθόδων εκτίμησης των παραμέτρων. Παράρτημα III: Δίνονται οι πίνακες με τις σχέσεις έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων των καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων για όλες τις κατανομές με τη χρήση των τριών μεθόδων εκτίμησης των παραμέτρων Παράρτημα IV: Δίνονται οι πίνακες με τις τιμές των εντάσεων βροχής και των υψών βροχής που εκτιμήθηκαν με τις σχέσεις των καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς για όλες τις κατανομές με τη χρήση των τριών μεθόδων εκτίμησης. Παράρτημα V: Παρουσιάζονται τα υδρογραφήματα πλημμύρας της λεκάνης του Πετρένια που εκτιμήθηκαν με τη σχέση WMO έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων και το Σ.Μ.Υ. της Sierra Nevada για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς για τις κατανομές Κανονική, Gumbel, Pearson τύπου III και Λογιστική με τη χρήση των τριών μεθόδων εκτίμησης. 7

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ.. Εισαγωγή Υδρολογία είναι η επιστήμη που ασχολείται με τη φυσική εμφάνιση, την κατανομή και την κυκλοφορία του νερού εντός και πάνω από την επιφάνεια της γης. Πιο συγκεκριμένα, ο τομέας της υδρολογίας ευθύνεται για τα φαινόμενα του υδρολογικού κύκλου (U.S. Committee, 99, Κουτσογιάννης και Ξανθόπουλος, 999, Παπαμιχαήλ, 004). Τα υδρολογικά φαινόμενα είναι σύνθετα και τυχαία και για το λόγο αυτό μπορούν να ερμηνευτούν μόνο με τη βοήθεια των πιθανοτήτων. Η εμφάνιση πολλών ακραίων γεγονότων στην υδρολογία δε μπορεί να προβλεφθεί. Ένα από τα σημαντικά προβλήματα της υδρολογίας είναι ο καθορισμός της μελλοντικής εμφάνισης ενός συμβάντος με τη βοήθεια της θεωρίας των πιθανοτήτων. Σε αυτές τις περιπτώσεις μια πιθανολογική προσέγγιση είναι απαραίτητη ώστε να ενσωματωθούν οι συνέπειες τέτοιων φαινομένων σε αποφάσεις (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0α,β). Η διαδικασία της εκτίμησης της συχνότητας των πλημμυρών, των βροχοπτώσεων, της ξηρασίας, κ.α., είναι γνωστή σαν ανάλυση συχνότητας (Παπαμιχαήλ, 99, 004). Η ανάγκη για την πρόβλεψη της εντάσεως μελλοντικών υδρολογικών φαινομένων για τον σκοπό του ορθού σχεδιασμού ενός υπό μελέτη Υδραυλικού έργου επιβάλλει την συλλογή ιστορικών υδρολογικών δεδομένων μέσω μετρήσεων των υδρολογικών φαινομένων όπως αυτά συμβαίνουν στη φύση και την επεξεργασία των δεδομένων αυτών με τις μεθόδους της Στατιστικής και της Θεωρίας των πιθανοτήτων (Σακκάς, 004). Ο σωστός σχεδιασμός έργων υδραυλικής φύσης απαιτεί πληροφορίες που σχετίζονται με υδρολογικά φαινόμενα, τα οποία δε διέπονται από γνωστούς φυσικούς και χημικούς νόμους αλλά από τους νόμους των πιθανοτήτων. Το γεγονός αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την αναγκαιότητα χρησιμοποίησης της Στατιστικής και Πιθανολογικής ανάλυσης των υδρολογικών δεδομένων. Οι αναλύσεις αυτές στηρίζονται στην υπόθεση της χρονικής ανεξαρτησίας των πραγματοποιήσεων της υδρολογικής μεταβλητής και αγνοώντας τη χρονική τους ακολουθία κατατάσσονται κατά τάξη μεγέθους. Η κατάταξη αυτή δίνει και τη βασικότερη ιστορική πληροφορία από το δείγμα των πραγματοποιήσεων της μεταβλητής, που είναι η σχετική συχνότητα ή πιθανότητα υπέρβασης ή μη μιας συγκεκριμένης τιμής της μεταβλητής. Η κατανομή των τιμών της μεταβλητής στο πεδίο της συχνότητας ή κατανομή πιθανότητας ρυθμίζεται με βάση τα στατιστικά χαρακτηριστικά του δείγματος και αποτελεί την ταυτότητα της μεταβλητής αλλά και της διαδικασίας που κάθε υδρολογική μεταβλητή ορίζει (Παπαμιχαήλ, 004). Η Στατιστική υδρολογία είναι εκείνη η οποία ασχολείται με τη συλλογή, την κατάταξη, την ερμηνεία και την εκτίμηση των στατιστικών παραμέτρων του πληθυσμού με τη 8

21 βοήθεια των δεδομένων του δείγματος. Οι αντικειμενικοί σκοποί της στατιστικής στην υδρολογία μπορούν να συνοψισθούν ως εξής: Ερμηνεία των παρατηρήσεων. Ερμηνεία για την επιλογή της κατάλληλης κατανομής πιθανότητας. Εξαγωγή όσο το δυνατόν περισσότερων πληροφοριών από τα υδρολογικά δεδομένα. Παρουσίαση των υδρολογικών πληροφοριών σε αναπτυγμένες μορφές όπως γραφικές παραστάσεις, διαγράμματα, πίνακες και μαθηματικές εξισώσεις, που χρησιμοποιούνται για το σχεδιασμό εκμετάλλευσης υδατικών πόρων. Η στατιστική, λοιπόν, είναι εφαρμοσμένος κλάδος της πιθανοθεωρίας ο οποίος ασχολείται με πραγματικά προβλήματα, επιδιώκοντας την εξαγωγή συμπερασμάτων βασισμένο σε παρατηρήσεις (Κουτσογιάννης, 997). Επομένως, ο βασικός σκοπός της εφαρμοσμένης στατιστικής στην υδρολογία είναι να αντλεί πληροφορίες από τα υδρολογικά φαινόμενα του παρελθόντος και να βγάζει συμπεράσματα σχετικά με το τι θα συμβεί στο μέλλον (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0α)... Πιθανότητες, μεταβλητές και κατανομές πιθανοτήτων Η θεωρεία πιθανοτήτων αποτελεί ιδιαίτερο κλάδο των μαθηματικών αλλά και τη βάση για άλλους κλάδους επιστημών όπως η θεωρία των παιγνίων, οι μεταφορές, κ.λπ. (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0α). H σύγχρονη προσέγγιση της θεωρίας των πιθανοτήτων (ή πιθανοθεωρίας) βασίζεται στη θεωρία συνόλων (Papoulis, 965, 990, Benjamin and Cornell, 970, Taylor and Karlin, 984, Cooper, 989) και δομείται από τρία αξιώματα και τις ακόλουθες τρεις θεμελιώδεις έννοιες (Κουτσογιάννης, 997): Το δειγματικό χώρο, Ω (είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία αντιστοιχούν στις δυνατές εκβάσεις ενός πειράματος). Την οικογένεια γεγονότων (είναι μία συλλογή υποσύνολων, γεγονότων, Α του Ω, με το γεγονός Α να πραγματοποιείται όταν η έκβαση ω του πειράματος είναι στοιχείο του Α). Το μέτρο πιθανότητας που αποτελεί μια συνάρτηση P επί της συλλογής των υποσυνόλων Α του Ω. Μέσω αυτής σε κάθε γεγονός Α αντιστοιχίζουμε έναν αριθμό P(Α) που λέγεται πιθανότητα του γεγονότος Α. Τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων αποτελούν συνθήκες τις οποίες οφείλει να ικανοποιεί η συνάρτηση P, και είναι τα ακόλουθα: I. P(A) 0 II. P(Ω) = ΙΙΙα. P(A B) P(A) P(B), με την προϋπόθεση ότι AB 9

22 IIIβ. P Ai P(A i), με την προϋπόθεση ότι AiBj, i j i= i= Το αξίωμα IIIβ αποτελεί επέκταση του αξιώματος IIIα για άπειρο αριθμό γεγονότων, αλλά δεν είναι συνέπεια του IIIα, για αυτό και εισάγεται ως ανεξάρτητο αξίωμα (Κουτσογιάννης, 997). Κάθε δειγματικός χώρος που έχει πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων λέγεται διακριτός, ενώ για μη αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων ο δειγματικός χώρος είναι συνεχής. Στοιχείο δειγματικού χώρου ή απλό στοιχειώδες γεγονός ονομάζεται κάθε αποτέλεσμα ενός στατιστικού πειράματος. Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου καλείται γεγονός ή σύνθετο γεγονός και αποτελείται από απλά γεγονότα. Το σύνολο των στοιχείων με κοινές ιδιότητες από το οποίο η στατιστική συλλέγει τα στοιχεία της ονομάζεται πληθυσμός. Η ιδιότητα ως προς την οποία εξετάζεται ένα δείγμα για την εξαγωγή συμπερασμάτων καλείται μεταβλητή. Οι μεταβλητές διακρίνονται σε ποιοτικές (όπως το φύλο και η οικογενειακή κατάσταση) και ποσοτικές. Όσον αφορά τις ποσοτικές μεταβλητές και εκείνες με τη σειρά τους διακρίνονται σε συνεχείς (συμπεριλαμβάνονται όλες οι τιμές του πεδίου των τιμών των συμβάντων καθώς και οι τιμές που διαφέρουν μόνο κατά μια απειροελάχιστη ποσότητα, όπως είναι η μέση ημερήσια παροχή ενός ποταμού) και διακριτές (οι τιμές των οποίων αναφέρονται σε ίσα χρονικά διαστήματα, όπως είναι ο αριθμός των βροχερών ημερών ενός μήνα). Μια μεταβλητή ποσότητα η οποία εκφράζει το αποτέλεσμα κάποιου τυχαίου πειράματος ονομάζεται τυχαία ή στοχαστική μεταβλητή, Χ. Μια τυχαία μεταβλητή Χ είναι µία συνάρτηση µε πεδίο ορισμού έναν δειγματικό χώρο Ω και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών ( δηλαδή η X : Ω R). Η πιθανότητα με την οποία η τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει την τιμή x R λέγεται συνάρτηση πιθανότητας ή κατανομή πιθανότητας. Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας, η οποία αποκαλείται αθροιστική συνάρτηση κατανομής (cumulative distribution function, c.d.f.), είναι η πιθανότητα μια μεταβλητή να είναι μικρότερη ή ίση της δεδομένης τιμής x, F x(x) P(X x) (πιθανότητα μη υπέρβασης) ή να είναι μεγαλύτερη της δεδομένης τιμής x, F x(x) P(X x) F x(x) (πιθανότητα υπέρβασης). Η παράγωγος της συνάρτησης κατανομής ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function, p.d.f) ή συνάρτηση πιθανότητας και δίνεται από την εξής σχέση: f (x) X df (x) dx X. 0

23 Για συνεχείς μεταβλητές ισχύει f x (x) > 0, εφόσον οι αρνητικές πιθανότητες δεν έχουν έννοια. Οι διακριτές κατανομές δεν έχουν συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.3. Στατιστικά χαρακτηριστικά μεταβλητής και κατανομών Τα στατιστικά χαρακτηριστικά της μεταβλητής δίνονται από μερικούς αριθμούς, καθένας από τους οποίους αναφέρεται σε μια ειδική ιδιότητα. Οι αριθμοί αυτοί εκτιμώνται από το δείγμα των παρατηρήσεων της μεταβλητής που έχει μετρηθεί. Οι βασικοί τύποι αυτών των στατιστικών παραμέτρων είναι οι ροπές και οι παράμετροι που συνδέονται με τα γεωμετρικά και άλλα χαρακτηριστικά της κατανομής πιθανοτήτων της μεταβλητής, που μπορεί να συνδέονται ή να μη συνδέονται άμεσα με τις ροπές. Οι κατηγορίες αριθμών που υπάγονται στα στατιστικά χαρακτηριστικά μεταβλητής είναι οι ακόλουθες (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0α): Οι αριθμοί οι οποίοι δείχνουν την κεντρική ροπή ή τις τιμές γύρω από τις οποίες όλες οι άλλες συγκεντρώνονται (μέσος όρος). Οι αριθμοί που μετρούν τη διασπορά του δείγματος γύρω από μία κεντρική τιμή. Οι αριθμοί που μετρούν την ασυμμετρία μιας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής (συντελεστής ασυμμετρίας). Οι αριθμοί οι οποίοι δείχνουν την επιπεδότητα (ή αιχμηρότητα) μιας κατανομής συχνοτήτων σε σύγκριση με την κανονική κατανομή. Το πλήθος των ροπών μπορεί θεωρητικά να είναι άπειρο. Πρακτικά όμως μόνο οι πρώτες τέσσερις ροπές χρησιμοποιούνται γιατί η ακρίβεια της εκτίμησης ροπών μεγαλύτερης τάξης (r) από τις τιμές του δείγματος της μεταβλητής μειώνονται ταχύτατα όσο η τιμή του δείκτη (r) μεγαλώνει. Έτσι, αν x o είναι μια καθορισμένη τιμή μιας συγκεκριμένης μεταβλητής για την r-τάξη ροπή του πληθυσμού της μεταβλητής J r γύρω από τη x o θα ισχύει: k r. J P x x x r i i o i όπου k είναι ο αριθμός των συγκεκριμένων γεγονότων x i και P(x i ) είναι η αθροιστική συνάρτηση πιθανοτήτων του x. Η εκτίμηση του θεωρητικού μεγέθους J r, γίνεται με βάση τις τιμές του δείγματος της μεταβλητής: N S x x r.3 r i o N i για τιμές δείγματος x i, i=,,,ν

24 Στις συνεχείς μεταβλητές με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, f(x) και αθροιστική συνάρτηση πιθανοτήτων, F(x), η θεωρητική ροπή του πληθυσμού της μεταβλητής δίνεται ως εξής: + + r r.4 J f x x x dx x x df x r o o όπου πρακτικά η ροπή εκτιμάται από το δείγμα σύμφωνα με τη σχέση (.3) με x i να είναι οι μετρημένες πραγματοποιήσεις της συνεχούς μεταβλητής x. Για x ο =0 προκύπτουν οι ροπές γύρω από την αρχή οι οποίες ορίζονται ως u, u, u 3 και u 4 για τις τέσσερις πρώτες ροπές. Αντίστοιχα, θέτοντας x ο ίσο με την αναμενόμενη μέση τιμή E(x), προκύπτουν οι κεντρικές ροπές του πληθυσμού μ, μ, μ 3 και μ 4. Έστω οι τιμές x, x,, x n ενός δείγματος, που εμφανίζονται με συχνότητες f, f, f n αντίστοιχα, και x o είναι η τετμημένη ενός οποιοδήποτε σημείου του άξονα x. Διευκρινίζεται ότι οι τιμές x, x,, x n μπορεί να είναι τα μέσα των κλάσεων, οι οποίες έχουν συχνότητες τις f, f, f n. Η μέση τιμή των αποκλίσεων των τιμών x, x,, x n από τη x o ονομάζεται ροπή πρώτης τάξης ως προς την τιμή x o. Η ροπή πρώτης τάξης δίνεται από τη σχέση: n f x x μ f x x i o n i i i o f xi N i.5 όπου n N f.6 i i Ακόμα η μέση τιμή των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών x, x,, x n από την τιμή x o ονομάζεται ροπή δεύτερης τάξης και δίνεται από τη σχέση: μ f x x n N i i i o.7 Δηλαδή η τιμή της r-στης δύναμης των αποκλίσεων των τιμών x, x,, x n, που εμφανίζονται με συχνότητες f, f, f n αντίστοιχα, από την τιμή x o ονομάζεται και ροπή r- στης τάξης ως προς την τιμή x o η οποία δίνεται από τη σχέση: μ f x x n r N i i i o r.8

25 Για xo x (το x o να είναι η μέση τιμή των x, x,, x n ) οι σχέσεις (.6), (.7) και (.8) δίνουν τις κεντρικές ροπές ης, ης και r τάξης ως προς τη μέση τιμή. Οι ροπές αυτές καλούνται κεντρικές. Για τη ροπή r τάξης ισχύει η παρακάτω σχέση (Ψωινός, 99): μ f x x n r r i i.9 N i Στην Υδρολογία χρησιμοποιούνται τέσσερις ροπές (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0α): Η πρώτη ροπή, γύρω από την αρχή, αντιπροσωπεύει την αναμενόμενη τιμή του πληθυσμού ή τη μέση τιμή του δείγματος. Η δεύτερη κεντρική ροπή είναι η μεταβλητότητα. Η τρίτη κεντρική ροπή χρησιμοποιείται για τον ορισμό του συντελεστή ασυμμετρίας. Η τέταρτη κεντρική ροπή χρησιμοποιείται για τον ορισμό του συντελεστή κύρτωσης. Τα βασικά χαρακτηριστικά των στατιστικών κατανομών είναι (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0α): η κεντρική τάση, η διασπορά του δείγματος, η ασυμμετρία και η επιπεδότητα Κεντρική τάση Αριθμητικός Μέσος Όρος Η κεντρική τάση περιγράφεται από τις κεντρικά ευρισκόμενες τιμές του πληθυσμού ή του παρατηρούμενου δείγματος, γύρω από τις οποίες συγκεντρώνονται άλλες τιμές. Ο αριθμητικός μέσος όρος (πρώτη ροπή γύρω από την αρχή) είναι το πιο αξιόπιστο μέτρο της κεντρικής τάσης και προσδιορίζεται ως εξής (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): N P(x ) x.0 E x Ex i= x f(x) dx i i. για πληθυσμούς διακριτών και συνεχών μεταβλητών, αντίστοιχα. Το E(x) είναι η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής x για πληθυσμούς συνεχών μεταβλητών. Η εκτίμηση της τυχαίας μεταβλητής x δίνεται από την παρακάτω σχέση: 3

26 N x xi. N i= x k x f x.3 i= i i για δεδομένα που δεν έχουν χωριστεί σε ομάδες και για δεδομένα που έχουν χωριστεί σε ομάδες, αντίστοιχα. Σταθμισμένος Μέσος Όρος Κατά τον υπολογισμό του μέσου όρου, θεωρείται σαν δεδομένο ότι όλοι οι όροι έχουν ίδια σημασία. Το γεγονός αυτό δεν ισχύει στην πράξη, εφόσον η βαρύτητα που αποδίδεται σε κάθε όρο μπορεί να είναι διαφορετική. Ο μέσος που υπολογίζεται σταθμίζοντας τη βαρύτητα κάθε όρου ονομάζεται σταθμισμένος μέσος όρος (weighted mean). Αν υποθέσουμε ότι οι αριθμοί x, x,, x k έχουν αντίστοιχα βαρύτητα w, w,, w k τότε ο σταθμισμένος μέσος όρος είναι: w x w x... w x x w w... w k k k.4 ή x k i= k i= wx i w i i.5 Διάμεσος Η διάμεσος είναι εκείνη που χωρίζει την κατανομή σε δύο ίσα μέρη εφόσον ορίζεται σαν η μεσαία τιμή ή ο αριθμητικός μέσος των δύο μεσαίων τιμών των παρατηρούμενων δεδομένων. Προκειμένου να βρεθεί η διάμεσος τοποθετούνται τα δεδομένα κατά αύξουσα ή φθίνουσα τάξη μεγέθους και ως διάμεσος επιλέγεται η μεσαία τιμή. Επομένως, διάμεσος είναι η τιμή της μεταβλητής πάνω και κάτω από την οποία όλες οι τιμές της έχουν την ίδια πιθανότητα p=0.5 να εμφανιστούν. Αν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα σε κλάσεις, τότε η διάμεσος υπολογίζεται από την εξής σχέση: N f Διάμεσος L C f διαμέσου όπου L είναι το κατώτερο όριο της κλάσης που περιέχει τη διάμεσο,.6 4

27 N είναι ο αριθμός των δεδομένων (αθροιστική συχνότητα), (Σf) είναι ο αριθμός των συχνοτήτων όλων των κλάσεων κάτω της κλάσης που περιέχει τη διάμεσο, f διαμέσου είναι η συχνότητα της διαμέσου κλάσης και C είναι το μέγεθος του διαστήματος της διαμέσου κλάσης. Στην Υδρολογία προτιμάται η χρήση του αριθμητικού μέσου και η διάμεσος. Για πολύ μικρά δείγματα ενδείκνυται η χρήση της διαμέσου στη θέση του αριθμητικού μέσου για το λόγο ότι ο αριθμητικός μέσος επηρεάζεται άμεσα από την ύπαρξη ακραίων τιμών στο δείγμα. Διασπορά του δείγματος Οι αριθμοί που περιγράφουν τη διασπορά του δείγματος είναι εκείνοι που μετράνε το πώς το δείγμα είναι διασπαρμένο γύρω από μια κεντρική τιμή. Μικρή διασπορά σημαίνει ότι η κατανομή είναι συγκεντρωμένη. Υπάρχουν τρεις ομάδες τέτοιων αριθμών:. Τα στατιστικά νούμερα που βγαίνουν από τη διάταξη των τιμών και το μέγεθός τους.. Οι απόλυτες διαφορές μεταξύ των τιμών του δείγματος. 3. Οι παράμετροι που συνδέονται με τις στατιστικές ροπές του δείγματος. Η τελευταία ομάδα είναι εκείνη στην οποία ανήκουν οι τρεις παράμετροι, που χρησιμοποιούνται περισσότερο για τη διασπορά ή τη σκέδαση του δείγματος, οι οποίες είναι η μεταβλητότητα (variance), η τυπική απόκλιση (standard deviation) και ο συντελεστής μεταβλητότητας (coefficient of variation) (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0α). Μεταβλητότητα Η διασπορά μπορεί να εκφρασθεί με τη μέση απόκλιση γύρω από τη μέση τιμή. Εκείνη, όμως, η παράμετρος που έχει στατιστική σημασία είναι η δεύτερη κεντρική ροπή γύρω από το μέσο. Η παράμετρος αυτή ονομάζεται μεταβλητότητα. s. Η εκτίμηση της μεταβλητότητας για παρατηρούμενο δείγμα δίνεται από τη σχέση: N i N s x x.7 i= Για δείγμα μεγέθους N<30 η καλύτερη εκτίμηση της μεταβλητότητας δίνεται N πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (.7) με τον παράγοντα N. Τυπική Απόκλιση 5

28 Η τυπική απόκλιση, η οποία είναι η περισσότερο χρησιμοποιούμενη παράμετρος στην Υδρολογία, ορίζεται ως η θετική ρίζα της μεταβλητότητας και έχει τις ίδιες διαστάσεις με τη μεταβλητή x. Η σχέση της τυπικής απόκλισης είναι η εξής: i= i N s x x N.8 Ομοίως για δείγμα μεγέθους N < 30 η σχέση (.8) πολλαπλασιάζεται με τον παράγοντα N N. Συντελεστής Μεταβλητότητας Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι μια αδιάστατη παράμετρος διασποράς και ισούται με το λόγο της τυπικής απόκλισης προς τον αριθμητικό μέσο όρο, σύμφωνα με τη σχέση: C v s.9 x Ασυμμετρία Η τρίτη κεντρική ροπή χρησιμοποιείται για την περιγραφή της ασυμμετρίας της κατανομής. Για συμμετρικές κατανομές η τιμή της τρίτης κεντρικής ροπής είναι μηδενική. Σε περίπτωση που η τιμή της τρίτης κεντρικής ροπής είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη του μηδενός, τότε πρόκειται για αρνητικά ή θετικά ασύμμετρη κατανομή (Κουτσογιάννης, 997). Συντελεστής Ασυμμετρίας Ο συντελεστής ασυμμετρίας (συνδέεται με την τρίτη κεντρική ροπή) εφαρμόζεται σε ασύμμετρες κατανομές και ορίζεται από το λόγο της τρίτης κεντρικής ροπής μ 3, προς την τρίτη δύναμη της τυπικής απόκλισης σύμφωνα με τη σχέση: C μ s.0 3 s 3 ή Cs x x N s N 3 3 i. i= 6

29 Για μικρά δείγματα μεγέθους N < 30 γίνεται διόρθωση πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (.0) ή (.) με τον όρο N N N. Επιπεδότητα των κατανομών Συντελεστής Κύρτωσης Ο συντελεστής κύρτωσης μετρά τη μορφή της αιχμής της κατανομής και ορίζεται από το λόγο της τέταρτης κεντρικής ροπής μ 4, προς την δεύτερη δύναμη της δεύτερης κεντρικής ροπής, μ (μεταβλητότητα s ) σύμφωνα με τη σχέση: C μ μ. 4 4 k 4 μ s ή Ck x x N s N 4 4 i.3 i= Για μικρά δείγματα μεγέθους N < 30 γίνεται διόρθωση πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (.) ή (.3) με τον όρο N N N 3 N 3. Τυπικό σφάλμα Ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία στη στατιστική ανάλυση είναι το κεντρικό οριακό θεώρημα σύμφωνα με το οποίο η μέση τιμή N ανεξάρτητων κανονικών μεταβλητών, με τον ίδιο μέσο όρο μ και μεταβλητότητα σ, ακολουθεί επίσης Κανονική κατανομή, με μέσο όρο μ και μεταβλητότητα σ. Επομένως αν η τυχαία μεταβλητή x κατανέμεται N κανονικά, ο μέσος όρος ενός τυχαίου δείγματος, x, κατανέμεται επίσης κανονικά και έχει μέσο όρο, το μέσο όρο της x και μεταβλητότητα τη μεταβλητότητα της x διαιρεμένη με το s μέγεθος Ν του δείγματος. Το στατιστικό ορίζεται ως τυπικό σφάλμα. N.4. Εκτίμηση παραμέτρων κατανομών Η προσαρμογή των δεδομένων μιας μεταβλητής σε μια από τις θεωρητικές κατανομές πιθανοτήτων γίνεται με την εκτίμηση των παραμέτρων που περιγράφουν τη συνάρτηση της θεωρητικής κατανομής. Μέχρι τώρα έχουν γίνει πολλές προσπάθειες για την εξεύρεση της κατάλληλης μεθόδου που θα επιτύχει μια αξιόπιστη εκτίμηση των παραμέτρων των 7

30 κατανομών (Goda et al., 990, Burtcharth and Liu, 994, Yamaguchi, 996). Η εκτίμηση, λοιπόν, των παραμέτρων των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας των θεωρητικών κατανομών γίνεται με διάφορες μεθόδους, κάποιες από τις οποίες είναι οι ακόλουθες (Kite, 988, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): Μέθοδος των Ροπών (Method Of Moments - MOM), Μέθοδος της Μέγιστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Method - MLM), Μέθοδος των Πιθανοτικά Σταθμισμένων Ροπών (Probability Weighted Moments method - PWM), Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Squares method - LS), Μέθοδος της Μέγιστης Εντροπίας (Maximum Entropy - ENT), Μέθοδος των Μικτών Ροπών (Mixed Moments - MIX), Γενικευμένη Μέθοδος των Ροπών (Generalized Method of Moments - GMM), Ελλιπής Μέθοδος Μέσου (Incomplete Means Method - ICM), Μέθοδος των έξι διαιρέσεων (method of sextiles), Μέθοδος επιλογής ειδικών σημείων (method of matching selected points). Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι η μέθοδος των ροπών, η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας και η μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, οι οποίες και χρησιμοποιούνται σε αυτή τη διατριβή. Στη συνέχεια γίνεται αναλυτική περιγραφή των μεθόδων αυτών..4.. Μέθοδος των ροπών (method of moments) Η μέθοδος των ροπών, η οποία προτάθηκε από τους Greenwood, et al. (979) είναι μια σχετικά εύκολη μέθοδος εκτίμησης των παραμέτρων, όπου αναφέρει ότι οι παράμετροι μιας κατανομής μπορούν να εκτιμηθούν χρησιμοποιώντας τις ροπές της κατανομής. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στο γεγονός ότι αν όλες οι ροπές της κατανομής είναι γνωστές, τότε όλα τα χαρακτηριστικά της κατανομής είναι γνωστά (Τσακίρης, 995). Το σκεπτικό αυτής της μεθόδου είναι ότι οι θεωρητικές ροπές εξισώνονται με τις δειγματικές ροπές. Έτσι, με αυτόν τον τρόπο συνδέονται οι εκτιμώμενες παράμετροι με στατιστικές συναρτήσεις και από τη λύση των εξισώσεων που προκύπτουν, υπολογίζονται οι εκτιμητές. Για παράδειγμα για μια κατανομή δύο παραμέτρων, θα πρέπει να χρησιμοποιούνται ο μέσος όρος (μ ) και η διασπορά (μ ) (Meylan, et al., 0). Η εφαρμογή της μεθόδου των ροπών είναι σε πολλές περιπτώσεις εύκολη και βρέθηκε, σύμφωνα με τους Hosking et al. (985), να είναι συγκρίσιμη με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας ως προς τις στατιστικές ιδιότητες για μεγέθη δειγμάτων που συνήθως συναντώνται στην υδρολογία. Η μέθοδος των ροπών είναι η πλέον διαδεδομένη στην υδρολογία αν και θεωρήθηκε στατιστικώς ανεπαρκής σε σύγκριση με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας εφόσον η τελευταία, για κατανομές με μεγάλο αριθμό παραμέτρων (τριών ή περισσοτέρων), δίνει καλύτερες εκτιμήσεις έναντι της μεθόδου των ροπών. Η δυσκολία της εκτίμησης στην περίπτωση μικρών δειγμάτων οφείλεται στο γεγονός ότι οι ροπές υψηλότερης τάξης είναι προκατειλημμένες (Meylan, et al., 0). Έστω ότι N παρατηρήσεις ενός τυχαίου δείγματος X, X,, X N, προέρχονται από μία 8

31 κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x;θ), όπου θ={θ, θ,..., θ k } οι παράμετροι της κατανομής. Σύμφωνα με τον ορισμό της ροπής r ως προς μηδέν, για τις k παραμέτρους θ, θ,..., θ k, που πρόκειται να εκτιμηθούν, ισχύει: r r r.4 μ E X x f x Στη μέθοδο των ροπών, οι k ροπές του πληθυσμού, μ r, εξισώνονται με τις αντίστοιχες ροπές του δείγματος, m r, για το οποίο ισχύει: m r N X.5 N i r i Εξισώνοντας τις ροπές του πληθυσμού (μ r =E(X r )) με τις δειγματικές ροπές (m r ) και λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων μ r m, για r =,, 3,, k.6 r προκύπτουν οι εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων θ, θ,..., θ k. Ακολουθεί ένα παράδειγμα προκειμένου να γίνει περισσότερο κατανοητή στον αναγνώστη η εφαρμογή της μεθόδου των ροπών. Έστω το τυχαίο δείγμα X=(X, X,,X N ), το οποίο προέρχεται από κανονικό πληθυσμό N(μ, σ ). Ζητείται να βρεθούν οι εκτιμήτριες για τα μ και σ, με βάση τη μέθοδο των ροπών. Γνωρίζουμε ότι: E X μ.7 EX μ σ.8 Ακόμη γνωρίζουμε ότι για ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους N, οι πρώτες δύο δειγματικές ροπές δίνονται από τις σχέσεις: m και m N X.9 i N i N Xi N i.30 9

32 Θέτοντας, μ και m ΕX.3 Ε X.3 προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: N μ X.33 N i i μ σ X N i N i.34 Λύνοντας ως προς μ και σ προκύπτει: μ X.35 σ X X N i N.36 i.4.. Μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood method) Η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας δίνει την εκτίμηση που έχει τη μέγιστη πιθανότητα, δηλαδή δίνει την τιμή της παραμέτρου η οποία, μεταξύ όλων των δυνατών τιμών της παραμέτρου, είναι η πιο πιθανή με βάση το δείγμα. Η μέθοδος αυτή θεωρείται η πιο αποτελεσματική αφού παρέχει τη μικρότερη διακύμανση δειγματοληψίας από τις εκτιμώμενες παραμέτρους σε σύγκριση με άλλες μεθόδους, ενώ προτιμάται από τη μέθοδο των ροπών για κατανομές με μεγάλο αριθμό παραμέτρων εξαιτίας του γεγονότος ότι οι ροπές μεγαλύτερης τάξης είναι πιο πιθανό να παρουσιάζουν υψηλότερα σφάλματα σε σχετικά μικρά δείγματα. Ωστόσο, σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, μπορεί να οδηγήσει σε εκτιμήσεις κατώτερης ποιότητας. Η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας θεωρεί ότι οι καλύτερες εκτιμήσεις των παραμέτρων είναι οι τιμές που καθιστούν μέγιστη την πιθανότητα να αποκτηθεί το δείγμα (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0α). Η μέθοδος αυτή θεωρητικά είναι η πιο αποτελεσματική προσέγγιση υπό την έννοια ότι παράγει τη μικρότερη διακύμανση της δειγματοληψίας από τις εκτιμώμενες παραμέτρους και, κατά συνέπεια, τη μικρότερη διακύμανση του ποσοστομορίου (Landwehr et al., 979a). Παρόλο αυτά, η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας έχει το μειονέκτημα να δίνει συχνά εσφαλμένες εκτιμήσεις οι οποίες όμως μπορούν να διορθωθούν. Στην περίπτωση των 30

33 μικρών δειγμάτων, είναι μερικές φορές αδύνατο για να ληφθούν σωστές εκτιμητές, ειδικά αν υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός παραμέτρων που πρέπει να εκτιμηθεί (Meylan et al., 0). Η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας απαιτεί μεγαλύτερη υπολογιστική προσπάθεια μέσω επαναληπτικών διαδικασιών, κάτι το οποίο όμως αντιμετωπίζεται λόγω της εξέλιξη της τεχνολογίας και της υψηλής ταχύτητας των υπολογιστών. Έστω X, X,,X N είναι οι τιμές ενός τυχαίου δείγματος μεγέθους N, το οποίο επιλέχθηκε από πληθυσμό του οποίου η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι η f(x;θ). Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση πιθανότητας του δείγματος, ορίζεται με βάση τη σχέση (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): L(X,X,...,X ;θ) f (X,X,...,X ;θ).37 N N Θεωρώντας ότι οι τιμές X, X,,X N είναι ανεξάρτητες της συνάρτησης L, τότε μπορεί να οριστεί η εξής σχέση: N N f (X i;θ).38 i= L(X,X,...,X ;θ) Η εκτιμήτρια θ της παραμέτρου θ, που καθιστά μέγιστη τη συνάρτηση πιθανότητας, L(X, X,,X N ) ως προς θ, λέγεται εκτιμήτρια μέγιστης πιθανότητας της θ. Αυτό σημαίνει ότι η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας θεωρεί ότι οι καλύτερες εκτιμήσεις των παραμέτρων είναι οι τιμές που καθιστούν μέγιστη την πιθανότητα να αποκτηθεί το συγκεκριμένο δείγμα. Η εκτίμηση της παραμέτρου θ γίνεται με την εξίσωση: L(X,X,...,X N;θ) 0 θ.39 όταν ισχύει: L θ θθ 0.40 Όμως η συνάρτηση ln L(X,X,...,X N;θ) έχει μέγιστο για την τιμή θ, κάτι το οποίο ισχύει και για τη L(X,X,...,X N) f (X,X,...,X N;θ). Για το λόγο αυτό, προς διευκόλυνση, έχει επικρατήσει η χρήση της συνάρτησης ln L(X,X,...,X N;θ). 3

34 Επομένως, σύμφωνα με τα παραπάνω ισχύει: N ln f (X ;θ).4 ln L(X,X,...,X ;θ) N i i= Άρα, προκύπτει η εξής σχέση: N N ln f(x i;θ) 0.4 ln L(X,X,...,X ;θ) θ i θ Η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την εκτίμηση περισσότερων της μιας αγνώστων παραμέτρων της ίδιας κατανομής. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι ακριβώς η ίδια με εκείνη που περιγράφηκε προηγουμένως. Έστω ότι X, X,,X N είναι οι τιμές ενός δείγματος που προέρχονται από πληθυσμό του οποίου η συνάρτηση πιθανότητας είναι η f(x;θ), όπου θ={θ, θ,..., θ k }με k άγνωστες παραμέτρους της κατανομής (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0). Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση πιθανότητας του δείγματος είναι η εξής: N N f (X i;θ).43 i= L(X,X,...,X ;θ) Οι εκτιμήσεις θ, θ,..., θ k των παραμέτρων θ, θ,,θ k είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεων που ακολουθεί: L(X,X,...,X N;θ) 0 θ.44 όπου i =,, 3,, k Στη συνέχεια παρατίθεται ένα παράδειγμα για την καλύτερη κατανόηση της εφαρμογής της μεθόδου της μέγιστης πιθανοφάνειας. Ζητείται να εκτιμηθούν η μέση τιμή μ θεωρώντας γνωστή τη διασπορά σ ενός τυχαίου δείγματος Χ, Χ,,Χ N Κανονικής κατανομής με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Κανονικής κατανομής δίνεται από τη σχέση: f(x ;μ, σ ) i Xμ σ.45 e σ π 3

35 Ενώ για τη συνάρτηση πιθανότητας ισχύει: L(X,X,...,X ;μ) πσ N e N Xi μ σ i=.46 N N lnl ln π ln σ Χ μ σ N i.47 i= Παραγωγίζοντας τη σχέση (.47) ως προς μ και θέτοντάς τη ίση με το μηδέν προκύπτει: lnl N i μ 0.48 μ σ Άρα, i= μ N i= Χ i.49 Ομοίως, υποθέτοντας πως η διασπορά σ είναι άγνωστη και η μέση τιμή γνωστή, παραγωγίζοντας τη σχέση (.47) ως προς σ και θέτοντάς τη ίση με μηδέν προκύπτει: lnl N 4 Χi μ 0.50 σ σ σ Επομένως, i= σ N N Χi μ Χi Χ i= i=.5 Επομένως οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας για τη μέση τιμή, μ και τη διασπορά, σ που ακολουθεί Κανονική κατανομή είναι απλά η δειγματική μέση τιμή και η δειγματική διασπορά αντίστοιχα, αλλά για τη διασπορά έχουμε τον ασυμπτωτικά αμερόληπτο εκτιμητή s Μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών (probability weighted moments method) Η μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών αρχικά προτάθηκε από τους Greenwood et al. (979). Στη συνέχεια, έλαβε ιδιαίτερη προσοχή από τους Landwehr et al. (979a, b), Hosking et al. (985), Hosking (986), Hosking and Wallis (987) και άλλους. Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων από μικρά δείγματα με τη χρήση αυτής της μεθόδου είναι 33

36 μερικές φορές πιο ακριβής από εκείνες της μέγιστης πιθανοφάνειας (Landwehr et al., 979c). Ακόμα, σε ορισμένες περιπτώσεις, οι διαδικασίες εκτίμησης της μεθόδου των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών είναι λιγότερο πολύπλοκες και οι υπολογισμοί είναι απλούστεροι. Για μικρά δείγματα, η μέθοδος αυτή μπορεί να οδηγήσει σε καλύτερους εκτιμητές από την προσέγγιση της μέγιστης πιθανοφάνειας. Σύμφωνα με Greenwood et al. (979), η μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών ορίζεται από τη σχέση: p,r,s s p s p r r 0.5 M E X F F x F F F df όπου p, r, s είναι πραγματικοί αριθμοί, F=F(x, θ, θ,, θ k )=P(X x) είναι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής με θ, θ,, θ k παραμέτρους και x(f) είναι η αντίστροφη αθροιστική συνάρτηση κατανομής. Σε πολλές κατανομές, συνήθως χρησιμοποιείται είτε η ροπή s,0,s s s 0.53 α M x F F df x F f x dx για p= και r=0 ή η ροπή r,r,0 r r 0.54 β M x F F df xf f x dx για p= και s=0 Στις παραπάνω σχέσεις f(x)=f(x, θ, θ,, θ k ) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και τα πάνω και κάτω όρια στο x στα ολοκληρώματα είναι τέτοια ώστε F(x) = και F(x) = 0, αντίστοιχα. Γενικά, α s και β r είναι μη γραμμικές συναρτήσεις κατανομής με παραμέτρους θ, θ,, θ k. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με τα σύνολα α s με s = 0,,,, Ν και β r με r = 0,,,,N τα οποία είναι γραμμικά εξαρτημένα, υποθέτοντας ότι ο ορισμός της μεθόδου των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση των παραμέτρων χωρίς να χάνεται η γενικότητα (Hosking, 986). Για την εκτίμηση των παραμέτρων μιας κατανομής, οι εκτιμητές της μεθόδου των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών ενός δείγματος x με x x... x n x n, ορίζεται ακολούθως, χρησιμοποιώντας τη σημείωση του Haktanir (997). Με βάση το Hosking (986), για τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών ισχύει: 34

37 a N s s αs M,0,s Pnex,i xi, για s = 0,,,, Ν-.55 N i= b β M P x N r r r,r,0 N i= nex,i i, για r = 0,,,, N-.56 όπου P nex,i είναι μια εκτίμηση για την πιθανότητα μη υπέρβασης του i-οστού γεγονότος ενώ τα as και b r αναφέρονται στο δείγμα (εκτιμώνται από το δείγμα). Σύμφωνα με τους Landwehr et al. (979), για το P nex,i ισχύει: P j nex,i i j N j, για j = 0,,,, N-.57 Οπότε, για τις σχέσεις (.55) και (.56) ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις αντίστοιχα: a s N N i= N i s x N s i NsN in i... N i s xi, για s = 0,,,,Ν-.58 i= N N N... N s b r N N i= i r x N r i Nr i i... i r xi, για r = 0,,,, N-.59 i= N N N... N r Θέτοντας στη σχέση (.58) s = 0 και στη σχέση (.59) r = 0 προκύπτει: N a b x x 0 0 i N i=.60 Επίσης θέτοντας στη σχέση (.58) s = και στη σχέση (.59) r = προκύπτει: 35

38 a N i N N N i xi xi N i= N N i= N.6 i b x x N N i i i N i= N N i= N.6 Ομοίως, θέτοντας στη σχέση (.58) s = και στη σχέση (.59) r = προκύπτει: a N i N in i N N xi xi N i= N N i= N N.63 i b x x i i N N i i N i= N N i= N N.64 Ο Hosking (986, 990) εισήγαγε τις L ροπές οι οποίες είναι γραμμικές συναρτήσεις της μεθόδου των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών. Οι L ροπές είναι πιο εύκολες από εκείνες της μεθόδου των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών επειδή μπορούν άμεσα να ερμηνευθούν ως μέτρα της κλίμακας και του σχήματος των κατανομών πιθανότητας. Με βάση το Hosking (986, 990), οι L ροπές ορίζονται ως εξής: l.65 r r a p p b * * r+ r,k k r,k k k=0 k=0 * r k r r k pr,k k k όπου r και k είναι πραγματικοί αριθμοί..66 Για r = 0,,, 3 και 4 ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις αντίστοιχα: l a b

39 l a a b b l 6a 6a a 6b 6b b l a a 30a 0a 0b 30b b b Η αναλογία των L ροπών ορίζεται από τη σχέση (Hosking, 990, Rao and Hamed, 000): t l l.7 t r l l r, r 3.7 όπου l είναι το μέτρο θέσης, t είναι το μέτρο κλίμακας, t 3 είναι το μέτρο ασυμμετρίας και t 4 είναι το μέτρο κύρτωσης. Στη συνέχεια παρατίθεται ένα παράδειγμα με σκοπό για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών. Ζητείται να βρεθούν οι εκτιμήτριες των παραμέτρων α και ξ της κατανομής Gumbel με τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών. Η αθροιστική συνάρτηση της κατανομής Gumbel είναι: x ξ F(x) exp exp με x α.73 Αντιστρέφοντας τη σχέση (.73) προκύπτει η σχέση:.74 x(f) α ξ ln lnf Εισάγοντας τη σχέση (.74) στη σχέση (.54) προκύπτει η ακόλουθη σχέση: r r.75 0 β α ξ ln lnf F df Οι Greenwood et al. (979) έδειξαν ότι η λύση του παραπάνω ολοκληρώματος δίνεται από τη σχέση: β r α ln r γ ξ r r.76 όπου γ= είναι η σταθερά του Euler. 37

40 Θέτοντας στη σχέση (.75) για r=0 και r= προκύπτουν αντίστοιχα οι σχέσεις: β0 α ξ γ.77 β α ξln γ.78 Αντικαθιστώντας τα β 0 και β με τις εμπειρικές τους εκτιμήσεις b 0 και b του δείγματος, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα δύο () εξισώσεων με δύο () αγνώστους: b0 α ξ γ b α ξ ln γ όπου α b0 ξ γ b b0 ξ ln.79 b b x 0 N i xi N i= N.80 Θα πρέπει να αναφερθεί το γεγονός ότι στην περίπτωση που η εκτίμηση των παραμέτρων των κατανομών γίνεται με τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, οι τιμές του x i ταξινομούνται κατά αύξουσα σειρά (από τη μικρότερη τιμή στη μεγαλύτερη)..5. Έλεγχος καταλληλότητας των κατανομών Μια σειρά δεδομένων, πολλές φορές, επιθυμείται να προσαρμοστεί με μια από τις γνωστές κατανομές, όπως για παράδειγμα την Κανονική κατανομή. Ο λόγος για τον οποίο γίνεται αυτή η προσαρμογή είναι γιατί οι θεωρητικές κατανομές έχουν γνωστή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, γνωστές παραμέτρους και τιμές ή πιθανότητες που δίνονται έτοιμες σε πίνακες. Άρα, αν σε κάποιο δείγμα δεδομένων προσαρμοστεί μια θεωρητική κατανομή, τότε μπορεί να γίνουν εκτιμήσεις και προβλέψεις που αφορούν τον πληθυσμό με βάση τη θεωρητική αυτή κατανομή (Μάνος, 990). Μία κατανομή λοιπόν, προσαρμόζεται ικανοποιητικά σε μια σειρά δεδομένων με βάση κάποιων κριτηρίων. Πρέπει δηλαδή, να εκλέγεται η προσαρμογή της θεωρητικής κατανομής (Κανονική, Gumbel, κ.α.) στην εμπειρική κατανομή (κατανομή που παίρνεται από τα δεδομένα) με διάφορους στατιστικούς ελέγχους όπως ο Kolmogorov Smirnov (K-S test) και ο έλεγχος χ (Ηaan, 977, Bobee and Ashkar, 99, Μήτσιου κ.άλ., 999, Παπαμιχαήλ, 004, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0). Τη διαδικασία ελέγχου υποθέσεως, αναφορικά με το είδος της κατανομής του πληθυσμού, από τον οποίον προέρχεται ένα δείγμα, τη λέμε 38

41 έλεγχο καλής προσαρμογής (Ψωινός, 99). Τα κριτήρια τα οποία χρησιμοποιούνται για την καλή προσαρμογή είναι τα εξής: Η σύγκριση των πραγματικών και θεωρητικών συχνοτήτων Η γραφική μέθοδος Το κριτήριο των Kolmogorov Smirnov.5.. Έλεγχος χ Στη διατριβή αυτή, για τον έλεγχο καλής προσαρμογής των κατανομών ακραίων τιμών, χρησιμοποιήθηκε ο έλεγχος χ. Ο έλεγχος χ (Pearson, 9) στην πραγματικότητα, στηρίζεται στη σύγκριση της συχνότητας των τιμών ενός δείγματος κατά κλάση με τη συχνότητα που αναμένεται για κάθε κλάση με βάση τη θεωρητική κατανομή που υποτίθεται ότι ακολουθεί ο πληθυσμός (Ψωινός, 99). Ο έλεγχος χ χρησιμοποιείται με σκοπό να αποδειχθεί η καλή προσαρμογή της συνάρτησης μιας θεωρητικής κατανομής στην εμπειρική κατανομή, π.χ. η Κανονική κατανομή προσαρμόζεται στην εμπειρική κατανομή. Όλες οι στατιστικές αναλύσεις των υδρολογικών δεδομένων εξαρτώνται από την επιτυχία της καλής προσαρμογής της συνάρτησης πιθανότητας στην εμπειρική κατανομή του παρατηρούμενου δείγματος. Έστω ότι για ένα συγκεκριμένο δείγμα μιας ομάδας πιθανών συμβάντων E, E,...,E κ, υπάρχουν οι συχνότητες Ο,Ο,...,Ο κ που ονομάζονται παρατηρούμενες συχνότητες και οι συχνότητες e,e,...,e κ, που ονομάζονται θεωρητικές ή προσδοκώμενες ή αναμενόμενες συχνότητες. Στην πράξη, ενδιαφέρει αν οι παρατηρούμενες συχνότητες διαφέρουν σημαντικά από τις αναμενόμενες συχνότητες. Ένα μέτρο της διαφοράς αυτής δίνεται από το στατιστικό κριτήριο χ που εκφράζεται από τη σχέση: χ όπου: k O i e i.8 i= ei k k Oi ei N.8 i= i= Σε περίπτωση που ισχύει χ =0, τότε οι παρατηρούμενες και οι αναμενόμενες συχνότητες ταυτίζονται, ενώ αν χ > 0, τότε οι συχνότητες αυτές διαφέρουν. Η κατανομή δειγματοληψίας του χ προσεγγίζεται πολύ καλά από την χ κατανομή με (κ-) βαθμούς ελευθερίας, υπό τον όρο ότι οι αναμενόμενες συχνότητες μπορούν να υπολογισθούν χωρίς να είναι αναγκαία η εκτίμηση παραμέτρων του πληθυσμού από το δείγμα. Όταν ο όρος αυτός δεν ικανοποιείται, οι βαθμοί ελευθερίας είναι (k-h-), όπου το 39

42 h είναι ο αριθμός των παραμέτρων του πληθυσμού που εκτιμώνται από το δείγμα και είναι απαραίτητες για τον υπολογισμό των αναμενόμενων συχνοτήτων. Πρακτικά οι αναμενόμενες συχνότητες υπολογίζονται με βάση τη μηδενική υπόθεση, H o : η θεωρητική συνάρτηση της κατανομής που επιλέγεται προσαρμόζεται στην εμπειρική κατανομή. Αν η τιμή που προκύπτει από τη σχέση (.8) είναι μεγαλύτερη από μια προεπιλεγμένη κρίσιμη τιμή, για επίπεδο σημαντικότητας (π.χ. α=0.05) αποφασίζεται ότι οι παρατηρούμενες συχνότητες διαφέρουν σημαντικά από τις αναμενόμενες συχνότητες απορρίπτοντας με αυτόν τον τρόπο τη μηδενική υπόθεση, H ο, ενώ σε αντίθετη περίπτωση γίνεται αποδεκτή ή τουλάχιστον δεν απορρίπτεται. Σε περίπτωση που οι μεταβλητές είναι συνεχείς, τα δεδομένα ομαδοποιούνται σε k τάξεις διαστημάτων (κλάσεις) με την προϋπόθεση καμία κλάση να μην περιέχει λιγότερες από πέντε (5) αναμενόμενες συχνότητες. Τα διαστήματα των κλάσεων μπορεί να είναι ίσα ή άνισα. Για κλάσεις με άνισα διαστήματα, το μήκος της κάθε κλάσης επιλέγεται έτσι ώστε όλες να έχουν ίσες πιθανότητες, δηλαδή: p i k.83 ή ίσες αναμενόμενες απόλυτες συχνότητες. Ο υπολογισμός των ορίων των κλάσεων με ίσες πιθανότητες γίνεται με τη βοήθεια των πινάκων της Κανονικής κατανομής, οι οποίοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο στην προσαρμογή της Κανονικής κατανομής όσο και στην προσαρμογή της Λογαριθμικής Κανονικής κατανομής. Αν δεν υπάρχουν τέτοιοι Πίνακες, τότε μια απλή μέθοδος είναι ο υπολογισμό της F(x) για κάποιες αυθαίρετες τιμές του x και ο σχεδιασμός της. Στη συνέχεια γίνεται χωρισμός της F(x) σε k διαστήματα και ορίζονται γραφικά οι τιμές του x i των ορίων των κλάσεων με ίσες πιθανότητες k (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0). Απαραίτητες προϋποθέσεις για την εφαρμογή του ελέγχου χ είναι: Όλοι οι όροι ενός δείγματος πρέπει να είναι ανεξάρτητοι και Οι διαφορές ανάμεσα στις μικρές παρατηρούμενες και αναμενόμενες συχνότητες, στο τέλος της κατανομής, έχουν μεγάλη επίδραση στην τιμή του χ και για το λόγο αυτό είναι απαραίτητο να μελετώνται μαζί δύο ή περισσότερες κλάσεις, σε κάθε άκρο της κατανομής. Τα βήματα τα οποία ακολουθούνται για την πραγματοποίηση του ελέγχου χ είναι τα ακόλουθα :. Υπολογίζονται οι παράμετροι της κατανομής που πρόκειται να προσαρμοστεί (παράδειγμα για την Κανονική κατανομή οι παράμετροι είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση, h=). 40

43 . Χωρίζεται το δείγμα των στοιχείων σε k κλάσεις (κριτήριο συνήθως να έχω τουλάχιστον 5 στοιχεία σε κάθε κλάση ή k h+ ή και k N 5 ). 3. Υπολογίζεται ο βαθμός ελευθερίας της κατανομής k-h-. 4. Υπολογίζονται τα όρια των κλάσεων με τη βοήθεια της σχέσης (.8) και του Πίνακα της αθροιστικής τυπικής Κανονικής κατανομής. t X x s Υπολογίζεται η αναμενόμενη συχνότητα, e i, διαιρώντας το μέγεθος του δείγματος, N N, με τον αριθμό των κλάσεων, k ei k 6. Υπολογίζεται η παρατηρούμενη συχνότητα O i, κάνοντας καταμέτρηση των πραγματικών παρατηρήσεων από το δείγμα που περιλαμβάνεται μέσα σε κάθε κλάση (γι αυτό χρειάζεται τουλάχιστον μία παρατήρηση σε κάθε κλάση). 7. Ύστερα από την εφαρμογή της σχέσης (.8) προκύπτει μια τιμή η οποία, κατόπιν συγκρίνεται με την τιμή που προκύπτει από τους πίνακες χ για το συγκεκριμένο βαθμό ελευθερίας και για συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας, α. 8. Η μηδενική υπόθεση [ότι το δείγμα ακολουθεί τη θεωρητική κατανομή στην οποία προσαρμόστηκε (π.χ. την Κανονική)] γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α, αν χ < χ α. Συνήθη επίπεδα σημαντικότητας είναι τα %, 5% και 0%..6. Ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών.6.. Γενικά Η εμφάνιση πολλών ακραίων γεγονότων στην υδρολογία δε μπορεί να προβλεφθεί. Σε αυτές τις περιπτώσεις μια πιθανολογική προσέγγιση είναι απαραίτητη ώστε να ενσωματωθούν οι συνέπειες τέτοιων φαινομένων σε αποφάσεις. Εάν τα συμβάντα μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα ως προς το χρόνο, δηλαδή, ο χρόνος και το μέγεθος ενός τέτοιου γεγονότος δεν έχει καμία σχέση με προηγούμενα γεγονότα, τότε η ανάλυση συχνότητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να περιγράψει την πιθανότητα εμφάνισης κάποιου γεγονότος ή ενός συνδυασμού γεγονότων. Υδρολογικά φαινόμενα τα οποία περιγράφονται από την ανάλυση συχνότητας είναι οι ραγδαίες βροχοπτώσεις, οι μέγιστες πλημμυρικές παροχές, οι ξηρασίες, κ.λπ. (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0). Η ανάλυση συχνότητας της υδρολογικής πληροφορίας συμβάλει ουσιαστικά στον ορθολογικό σχεδιασμό των έργων που έχουν άμεση ή έμμεση σχέση με το νερό. Παραδείγματα τέτοιων έργων που πρέπει να σχεδιάζονται με βάση τη σχέση μεγέθους - συχνότητας εμφάνισης υδρολογικού φαινομένου είναι μεταξύ των άλλων οι εκχειλιστές ασφαλείας των φραγμάτων, οι αντιπλημμυρικές κατασκευές κ.α. (Τσακίρης, 995). 4

44 Ανάλυση συχνότητας είναι η εκτίμηση του πόσο συχνά θα συμβεί ένα συγκεκριμένο γεγονός (Hosking and Wallis, 997) και μπορεί να διεξαχθεί τόσο γραφικά όσο και μαθηματικά. Στη γραφική προσέγγιση, οι ιστορικές παρατηρήσεις της υπό εξέτασης μεταβλητής κατατάσσονται κατά αύξουσα ή φθίνουσα τάξη μεγέθους και σχεδιάζεται ένα διάγραμμα που σχετίζει το μέγεθος με την αντίστοιχη συχνότητα υπέρβασης ή την περίοδο επαναφοράς. Κατόπιν, στα ήδη τοποθετημένα στοιχεία προσαρμόζεται μια ομαλή καμπύλη για να περιγράψει την πιθανότητα μελλοντικής εμφάνισης του συγκεκριμένου γεγονότος. Η μαθηματική προσέγγιση στη στατιστική ανάλυση βασίζεται στην υπόθεση ότι μια συγκεκριμένη μαθηματική περιγραφή, γνωστή και ως κατανομή συχνότητας, μπορεί να αντικαταστήσει την ομαλή καμπύλη της γραφικής μεθόδου. Οι παράμετροι της εν λόγω κατανομής ορίζονται ως στατικές συναρτήσεις, βασισμένες στις υδρολογικές παρατηρήσεις. Η ανάλυση συχνότητας ακραίων συμβάντων βροχής και παροχών αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για την εκτίμηση της μελλοντικής διακύμανσής τους, η οποία θα καθορίσει την υδρολογική διαστασιολόγηση διαφόρων έργων αξιοποίησης των υδατικών πόρων (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0). Πολλές κατανομές πιθανότητας έχουν εισαχθεί στη βιβλιογραφία ως μοντέλα υδρολογικών φαινομένων, τέτοια όπως σε ακραία γεγονότα. Εάν τα γεγονότα μπορεί να θεωρηθούν ότι είναι ανεξάρτητα του χρόνου, εφόσον ο χρόνος και το μέγεθος ενός γεγονότος δεν έχει καμία σχέση με τα προηγούμενα γεγονότα, τότε η ανάλυση συχνότητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει την πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος ή συνδυασμού γεγονότων. Τα υδρολογικά φαινόμενα που συνήθως περιγράφονται από την ανάλυση συχνότητας περιλαμβάνουν ακραίες βροχοπτώσεις, ελάχιστες παροχές και μέγιστες παροχές, ξηρασίες κ.α. Σκοπός, λοιπόν, της ανάλυσης συχνότητας είναι η ανάλυση ιστορικών παρατηρήσεων υδρολογικών μεταβλητών, έτσι ώστε να εκτιμηθεί η μελλοντική πιθανότητα εμφάνισης τους. Τα δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση πρέπει να αξιολογούνται ως προς τους στόχους, τη διάρκεια των διαθέσιμων παρατηρήσεων και την πληρότητα αυτών. Ακόμα πρέπει να πληρούν ορισμένα στατιστικά κριτήρια, όπως το να είναι τυχαία, ανεξάρτητα, ομοιογενή και στάσιμα (WMO, 009)..6.. Χρονικές σειρές και περίοδοι επαναφοράς Στην ανάλυση συχνότητας αντί της πιθανότητας έχει επικρατήσει να χρησιμοποιείται η περίοδος επαναφοράς ή επανάληψης, που είναι η περίοδος σε χρόνια ανάμεσα σε συμβάντα που το μέγεθός τους είναι ίσο ή μεγαλύτερο από το θεωρούμενο. Η περίοδος επαναφοράς είναι το αντίστροφο της πιθανότητας εμφάνισης ενός συμβάντος ορισμένου μεγέθους και συνδέονται με τη σχέση (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): T P.85 4

45 T P P X x F X T P P X x F X x x ανάλυση μεγίστων.86 ανάλυση ελαχίστων.87 όπου Τ είναι η περίοδος επαναφοράς ενός συμβάντος, Ρ είναι η πιθανότητα που υπάρχει να εμφανισθεί σε ένα συγκεκριμένο χρόνο, ένα συμβάν που θα ισούται ή θα το υπερβαίνει σε μέγεθος και F x είναι η πιθανότητα μη υπέρβασης του συμβάντος στο χρόνο αυτό. Για να ισχύουν οι σχέσεις (.86) και (.87) θα πρέπει η τυχαία μεταβλητή να είναι συνεχής και να ισχύει η παραδοχή της ανεξαρτησίας της κάθε εμφάνισης από τις προηγούμενες και τις επόμενές της. Για την περίπτωση της ανάλυσης συχνότητας χρησιμοποιούνται οι παρατηρήσεις των ακραίων τιμών συμβάντων με τη μορφή χρονικών σειρών. Οι σειρές αυτές είναι δύο ειδών (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): Οι ετήσιες χρονικές σειρές αποτελούνται από τις μέγιστες ακραίες τιμές που παρατηρούνται μία φορά το χρόνο κατά μία περίοδο πολλών ετών παρατηρήσεων. Η διάταξη των σειρών αυτών γίνεται κατά φθίνουσα τάξη μεγέθους και χρησιμοποιούνται πολύ στην υδρολογία γιατί υπάρχει ισχυρή θεωρητική βάση που επιτρέπει την προέκτασή τους και πέρα από την περίοδο για την οποία υπάρχουν παρατηρήσεις. Οι χρονικές σειρές μερικής διάρκειας που αποτελούνται από όλες τις τιμές που είναι ίσες ή ξεπερνούν μία από τα προηγούμενα καθορισμένη ακραία τιμή ενός συμβάντος, διαταγμένες κατά φθίνουσα τάξη μεγέθους. Έτσι στις σειρές αυτές μπορεί να χρησιμοποιούνται περισσότερες από μία τιμές το χρόνο ή να υπάρχουν χρονιές που δεν αναφέρονται καθόλου, αν η μέγιστη ακραία τιμή που παρατηρήθηκε σε αυτές είναι μικρότερη από την επιλεγμένη σαν βάση. Ύστερα από ανάλυση πολλών περιπτώσεων βρέθηκε ότι τα δύο αυτά είδη σειρών ταυτίζονται για περιόδους επαναφοράς που ξεπερνούν τα δέκα χρόνια. Αν ένα συμβάν έχει περίοδο επαναφοράς Τ, τότε η πιθανότητα Ρ ότι ένα άλλο συμβάν, του ίδιου ή μεγαλύτερου μεγέθους, μπορεί να εμφανισθεί κατά ένα οποιοδήποτε έτος μέσα στην περίοδο αυτή, δίνεται από τη σχέση: P T.88 Ακόμα η πιθανότητα J να εμφανιστεί ένα συμβάν περιόδου επαναφοράς T σε οποιοδήποτε διάστημα διάρκειας N χρόνων, δίνεται από τη σχέση: 43

46 J T Ν.89 όπου είναι η συχνότητα εμφάνισης του συμβάντος. Δεδομένου ότι σε ένα οποιοδήποτε έτος υπάρχει μόνο η πιθανότητα να εμφανιστεί ή να μην εμφανισθεί το συμβάν, η πιθανότητα να μην εμφανισθεί είναι (-Ρ) Διαδικασίες ανάλυσης συχνότητας Η πρώτη μέθοδος ανάλυσης συχνότητας κάνει χρήση της θέσης σχεδιασμού (plotting position) για τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος που μπορεί να προκύψει. Για παράδειγμα, όταν αναλύονται οι μέγιστες ετήσιες τιμές, σαν περίοδο επαναφοράς ορίζεται το διάστημα σε χρόνια ανάμεσα στην εμφάνιση της m-οστής μέγιστης τιμής και μιας άλλης ίσης ή μεγαλύτερης τιμής (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0). Ο προσδιορισμός της περιόδου επαναφοράς Τ, κατά μία εκδοχή, μπορεί να γίνει με τη σχέση: T N m.90 όπου N είναι ο συνολικός αριθμός των ετών που υπάρχουν παρατηρήσεις και m είναι η θέση της εξεταζόμενης τιμής στη χρονική σειρά ή σειρά συχνότητας. Στην Υδρολογία, η πιο ενδεδειγμένη σχέση υπολογισμού της θέσης σχεδιασμού για ακαθόριστες κατανομές που χρησιμοποιείται στα περισσότερα δείγματα είναι η εξίσωση του Weibull που προκύπτει από το συνδυασμό των σχέσεων (.88) και (.90), δίνοντας την πιθανότητα υπέρβασης P(Xx) με βάση την παρακάτω σχέση: m P(X x) T N (Weibull, 939).9 Η τεχνική σε αυτή την περίπτωση είναι να τοποθετηθούν τα δεδομένα κατά αύξουσα ή φθίνουσα τάξη μεγέθους και να προσδιοριστεί ο αριθμός θέσης της εξεταζόμενης τιμής μέσα στη χρονική σειρά ή σειρά συχνότητας. Άλλες εξισώσεις εκτίμησης των πιθανοτήτων υπέρβασης Ρ(Χ x), που χρησιμοποιούνται είναι οι παρακάτω (Chow, 964, Rao and Hamed, 000): P(X x) m N m 0.5 N (California, 93).9 P(X x) (Hazen, 94).93 44

47 m 0.3 P(X x) N 0.38 m 0.3 P(X x) N 0.4 (Beard, 943).94 (Chegοdayev, 955).95 P(X x) 3 m 8 N 4 (Blom, 958).96 3m P(X x) 3N m 0.44 P(X x) N 0. m 0.4 P(X x) N 0. m P(X x) 4 N (Tukey, 96).97 (Gringorten, 963).98 (Cunnane, 978).99 (Adamowski, 98).00 Η περίοδο επαναφοράς T, σχετίζεται με την πιθανότητα μη υπέρβασης F, με βάση τη σχέση: F.0 T όπου F Fx T είναι η πιθανότητα να υπάρξει μια πλημμύρα μεγέθους x T ή μικρότερου. Η δεύτερη μέθοδος της ανάλυσης συχνότητας χρησιμοποιεί τις κατανομές ακραίων τιμών, οι οποίες προσαρμόζονται όπως και οι άλλες κατανομές στα δεδομένα του δείγματος. Όσον αφορά τις εκτιμήσεις του κατανομών. Στην πρώτη περίπτωση το x T, προκύπτουν με βάση δύο τύπους συναρτήσεων x T εκτιμάται άμεσα δίνοντας διάφορες τιμές στην περίοδο επαναφοράς. Στη δεύτερη περίπτωση το x T εκτιμάται με βάση την τρίτη μέθοδο της ανάλυσης συχνότητας, η οποία κάνει χρήση του παράγοντα συχνότητας, Κ Τ. Οι παράγοντες συχνότητας (Chin, 006, Rakhecha and Singh, 009) είναι διαθέσιμοι για 45

48 αρκετές κατανομές και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόκτηση του μεγέθους ενός γεγονότος για μια συγκεκριμένη περίοδο επαναφοράς Τ. Ο Ven te Chow (964), έχει προτείνει ως γενική εξίσωση, για την ανάλυση συχνότητας υδρολογικών μεταβλητών, τη σχέση: x x K s T όπου.0 T x T είναι το μέγεθος του γεγονότος ή η μέγιστη τιμή της μεταβλητής x, περιόδου επαναφοράς Τ, x και s είναι ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση των τιμών της χρονικής σειράς και K T είναι ο παράγοντας συχνότητας, που εξαρτάται από την περίοδο επαναφοράς Τ και τα χαρακτηριστικά της κατανομής. Για κατανομές διπαραμετρικές, ο παράγοντας Κ T αποτελεί συνάρτηση μόνο της πιθανότητας της θεωρούμενης τιμής. Σε περιπτώσεις όμως ασύμμετρων κατανομών ο παράγοντας Κ T αποτελεί συνάρτηση και των χαρακτηριστικών του είδους της κατανομής και επηρεάζεται από τον αριθμό των παρατηρήσεων (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0). Με τη χρησιμοποίηση των θεωρητικών κατανομών πιθανότητας η σχέση μεγέθους περιόδου επαναφοράς είναι αρκετά αξιόπιστη για μεγέθη κοντά στο μέσο όρο. Με την επέκταση των τιμών για μεγάλες περιόδους επαναφοράς μεγαλώνει η πιθανότητα σφάλματος στην εκτίμηση του αντίστοιχου μεγέθους. Τα όρια εκατέρωθεν της τιμής που προκύπτει από τη θεωρητική κατανομή για περίοδο επαναφοράς T βρίσκονται με τη θεώρηση ενός επιπέδου εμπιστοσύνης α. Σύμφωνα με έναν εμπειρικό τρόπο γίνεται η υπόθεση ότι η κατανομή πιθανότητας της x T είναι Κανονική με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούνται οι πίνακες της τυπικής κανονικής κατανομής. Τα όρια εμπιστοσύνης υπολογίζονται με βάση τις ακόλουθες σχέσεις (Τσακίρης, 995): xt,max xt Zα/S (Άνω Όριο) T.03 xt,min xt Zα/S (Κάτω Όριο) T.04 xt όπου Z = Ζ α/ είναι η ανηγμένη μεταβλητή της αθροιστικής τυπικής κανονικής κατανομής που αντιστοιχεί σε δεδομένη στάθμη σημαντικότητας α και S T είναι η τυπική απόκλιση του x T. Για στάθμη σημαντικότητας α=5%, Ζ α/ =.96 (Παπαμιχαήλ, 004). Το τυπικό σφάλμα του x T δίνεται από τη σχέση: s ST δ N.05 46

49 όπου s είναι η τυπική απόκλιση της κατανομής των στοιχείων του δείγματος, N είναι το πλήθος των στοιχείων του δείγματος (μέγεθος του δείγματος) και δ είναι ο παράγοντας (ή παράμετρος) του τυπικού σφάλματος εξαρτώμενος από το είδος της χρησιμοποιούμενης κατανομής και ειδικότερα από τον παράγοντα συχνότητας (Σακκάς, 004)..7. Κατανομές πιθανοτήτων στην ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών Οι ακραίες τιμές ενός συμβάντος, μέγιστες ή ελάχιστες, ακολουθούν κάποια κατανομή συχνότητας. Η γραφική παράσταση της πιθανότητας συναρτήσει της μεταβλητής x λέγεται κατανομή της πιθανότητας. Οι συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας χωρίζονται σε: Διακριτοποιημένες ή διαρκιτές κατανομές (όπως η Διωνυμική, η Bernouli, η Αρνητική Διωνυμική, η Γεωμετρική, η Poisson, η Υπεργεωμετρική, η Πολυωνυμική, κ.α.) Συνεχείς κατανομές (όπως η Ομοιόμορφη, η Κανονική, η Γάμμα, η Εκθετική, κ.α.) Οι συναρτήσεις συνεχών κατανομών πιθανότητας, οι οποίες χρησιμοποιούνται στην ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών ομαδοποιούνται σε οικογένειες συνεχών κατανομών και κατατάσσονται ως εξής (Rao and Hamed, 000, WMO, 009): Κανονική κατανομή. Κανονική κατανομή. Λογαριθμική Κανονική κατανομή δύο παραμέτρων (LN()) 3. Λογαριθμική Κανονική κατανομή τριών παραμέτρων (LN(3)) Κατανομές Ακραίων Τιμών. Γενικευμένη κατανομή Ακραίων Τιμών (GEV). Κατανομή Ακραίων Τιμών τύπου I ή κατανομή Gumbel (EVI) 3. Κατανομή Ακραίων Τιμών τύπου II ή κατανομή Frechet (EVII) 4. Κατανομή Ακραίων Τιμών τύπου III ή κατανομή Weibull (EVIII) Γάμμα Οικογένεια. Εκθετική κατανομή. Εκθετική κατανομή δύο παραμέτρων 3. Γάμμα κατανομή δύο παραμέτρων με χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας K Τ με χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας Kτ 4. Κατανομή Pearson τύπου III (P(3)) 5. Λογαριθμική Pearson τύπου III κατανομή (LP(3)) 47

50 Κατανομή Wakeby. Κατανομή Pareto δύο παραμέτρων. Γενικευμένη Pareto κατανομή 3. Κατανομή Wakeby τεσσάρων παραμέτρων 4. Κατανομή Wakeby πέντε παραμέτρων Λογιστική κατανομή. Λογιστική κατανομή. Γενικευμένη Λογιστική κατανομή Οι παραπάνω κατανομές έχουν παρουσιαστεί και χρησιμοποιηθεί ευρέως στην ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών υδρολογικών μεταβλητών και ειδικότερα στην ανάλυση μέγιστων τιμών βροχοπτώσεων και παροχών από πολλούς ερευνητές (Gumbel, 954, 958, Chow 964, Yevjevich, 97, Buckett and Oliver, 977, Kite, 988, Song and Ding, 988, Cunnane, 989, Bobee and Ashkar, 99, Παπαμιχαήλ, 99, 993, 004, Shahin et al., 993, Τσακίρης, 995, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 999, 0α, Fowler and Kilsby, 003, Rao and Hamed, 000, Σακκάς, 004, Norbiato et al., 007, WMO, 009). Συγκεκριμένα η κατανομή Gumbel, η οποία έχει συζητηθεί εκτενώς στην βιβλιογραφία της υδρολογίας, είναι η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη (Gumbel, 954, 958, Chow 964, Yevjevich, 97, Buckett and Oliver, 977, Cunnane, 989, Παπαμιχαήλ, 99, 993, 004, Rao and Hamed, 000) και έχει εφαρμοστεί σε ανάλυση ακραίων βροχοπτώσεων (Fowler and Kilsby, 003, Norbiato et al., 007). Ο Chow (964) εισήγαγε στην ανάλυση συχνότητας τη χρήση του παράγοντα συχνότητας και χρησιμοποίησε την Κανονική κατανομή, την κατανομή Pearson τύπου III (P(3)), την κατανομή ακραίων τιμών τύπου I ή κατανομή Gumbel (EVI) και την Λογαριθμική Κανονική κατανομή δύο παραμέτρων (LN()). Ο Kite (988) παρουσίασε και ανάλυσε στο σύγραμμά του την οικογένεια της Κανονικής κατανομής, την κατανομή ακραίων τιμών τύπου I ή κατανομή Gumbel (EVI) και τις περισσότερες από τις κατανομές της Γάμμα Οικογένειας. Οι Bobee and Ashkar (99) ανέλυσαν τις κατανομές της Γάμμα Οικογένειας και έδωσαν τις σχέσεις υπολογισμού των παραμέτρων των κατανομών. Οι κατανομές Gumbel, Pearson τύπου ΙΙΙ και Λογαριθμική Pearson τύπου ΙΙΙ είναι οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες κατανομές στον Ελλαδικό χώρο στην ανάλυση συχνότητας τόσο μέγιστων βροχοπτώσεων όσο και μέγιστων παροχών (Παπαμιχαήλ, 99, 993, 004, Τσακίρης, 995, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 999, 0α, Σακκάς, 004). Οι Rao and Hamed (000) έδωσαν τις σχέσεις υπολογισμού των παραμέτρων των κατανομών και εφάρμοσαν το σύνολο των κατανομών από όλες τις οικογένεις σε δεδομένα παροχών από διάφορους ποταμούς. Στη διεθνή βιβλιογραφία επίσης έχουν δημοσιευτεί αρκετές εργασίες, οι οποίες παρουσιάζουν τις μεθόδους εκτίμησης (ροπών, μέγιστης πιθανοφάνειας και πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών) των παραμέτρων των παραπάνω κατανομών (Landwehr et al., 48

51 979a, Maciunas et al., 979, Greenwood et al., 979, Hosking et al., 985, Hosking, 986, 990, Song and Ding, 988, Mahdi and Cenac, 005)..7.. Κανονική κατανομή Γύρω στο 70 ο Abraham De Moivre ανακάλυψε την Κανονική κατανομή στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Ο Βέλγος Μαθηματικός Adolph Queteler, γύρω στα 870, είχε την ιδέα να χρησιμοποιήσει την καμπύλη της κατανομής αυτής ως ένα ιδανικό ιστόγραμμα με το οποίο θα μπορούσαν να συγκρίνουν άλλα ιστογράμματα που αντιστοιχούσαν σε δεδομένα. Η Κανονική κατανομή (Normal Distribution) ή κατανομή Gauss (η οποία χρησιμοποιήθηκε από τον ίδιο για την περιγραφή των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων) είναι μια συμμετρική κωδωνοειδής καμπύλη, τα όρια της οποίας εκτείνονται από x=- μέχρι x=+. Η ονομασία Κανονική (Normal) δόθηκε πιο πρόσφατα από τον Karl Pearson. Η Κανονική κατανομή, η οποία συχνά χρησιμοποιείται για στατιστικά συμπεράσματα και στην ανάλυση φυσικών φαινομένων, είναι χρήσιμη στην υδρολογία για την περιγραφή φαινομένων, όπως η μέση ετήσια απορροή ή η μέση ετήσια συγκέντρωση ρύπων. Ο Markovic (965) ανακάλυψε ότι η Κανονική κατανομή θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την προσαρμογή της κατανομής των ετήσιων βροχοπτώσεων και των απορροϊκών δεδομένων. Οι Slack et al. (975) απέδειξαν ότι, σε περιπτώσεις απουσίας πληροφοριών σχετικά με την κατανομή των πλημμυρών και των οικονομικών απωλειών που σχετίζονται με το σχεδιασμό των μέτρων για τη μείωση των πλημμυρών, η χρήση της Κανονικής κατανομής είναι καλύτερη από άλλες κατανομές ακραίων τιμών. Σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα, το άθροισμα ενός μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών είναι κανονικά κατανεμημένο. Ο συντελεστής ασυμμετρίας, C s, της Κανονικής κατανομής είναι μηδέν λόγω της συμμετρίας της κατανομής, ενώ ο συντελεστής κύρτωσης k ισούται με 3. Η Κανονική κατανομή, λοιπόν είναι η πιο σημαντική και χρήσιμη κατανομή πιθανότητας, γιατί: Πολλά πειράματα μπορούν να εκφρασθούν μέσω τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν την Κανονική κατανομή. Η Κανονική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν προσέγγιση πολλών άλλων κατανομών. Η κατανομή αυτή αποτελεί τη βάση για πολλές τεχνικές που χρησιμοποιούνται στην στατιστική συμπερασματολογία. Για να ακολουθεί μία μεταβλητή την Κανονική κατανομή πιθανότητας πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες : o Ένας μεγάλος αριθμός αιτιολογικών παραγόντων να επηρεάζει την τιμή της μεταβλητής. 49

52 o Η επίδραση κάθε παράγοντα να είναι ανεξάρτητη από την επίδραση των άλλων παραγόντων. o Η επίδραση των διαφόρων παραγόντων να είναι προσθετική. Η Κανονική κατανομή έχει δύο παραμέτρους : τη μέση τιμή x που είναι η παράμετρος θέσης και την τυπική απόκλιση s που είναι η παράμετρος κλίμακας. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί την Κανονική κατανομή αν έχει σύνολο πιθανών τιμών ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την εξής: f x x x exp s π s.06 όπου π=3.4 και e είναι η βάση των νεπέρειων λογαρίθμων. Οι παράμετροι της κατανομής, x και s, πρέπει να ικανοποιούν τις συνθήκες: x και s > 0. Η μορφή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας είναι μια κωνοειδής καμπύλη, συμμετρική ως προς την ευθεία x x. Η επιφάνεια που περικλείεται από την καμπύλη f (x) και τον άξονα των x ισούται με την μονάδα. Θέτοντας στη σχέση (.06) την τυποποιημένη κανονική μεταβλητή, για τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: x x Z, θα ισχύει s f Z Z exp π.07 Η αθροιστική συνάρτηση της τυπικής Κανονικής κατανομής είναι: z Z π.08 F Z exp dz Η μέγιστη τιμή της μεταβλητής x, περιόδου επαναφοράς T, εκτιμάται από τη σχέση (Chow, 964): xτ x Z s.09 50

53 όπου Ζ είναι μία τυπική μεταβλητή (κανονική ανοιγμένη μεταβλητή), κανονικά κατανεμημένη με μέσο όρο μηδέν και τυπική απόκλιση ίση με μονάδα το οποίο αντικαθιστά τον παράγοντα συχνότητας και εξαρτάται από την περίοδο επαναφοράς. Οι τιμές του Z δίνονται από στατιστικούς πίνακες. Εκτίμηση των παραμέτρων κατανομής Σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών και τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας ακολουθείται η ίδια διαδικασία για την εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής, δίνοντας τα ίδια αποτελέσματα με βάση τις σχέσεις (Rao and Hamed, 000): Ν x x i Ν.0 i= Ν i. i= s x x Ν Για τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών ισχύει (Hosking, 990, Rao and Hamed, 000): Ν α b x x l. 0 i Ν i= α l b b0.3 π Λύνοντας τη σχέση (.3) ως προς α προκύπτει:.4 α b b π 0 όπου με α και α συμβολίζονται οι παράμετροι της Κανονικής κατανομής, l και l είναι οι ροπές του δείγματος, ενώ τα b 0 και b έχουν οριστεί παραπάνω και δίνονται από σχέση (.59) για r=0 και. Παράγοντας συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, ο παράγοντα συχνότητας K ισούται με την τυποποιημένη κανονική τυχαία T μεταβλητή Z ( T Z ), ενώ το τυπικό σφάλμα S T εκτιμάται με την ακόλουθη διαδικασία για την κάθε μέθοδο εκτίμησης των παραμέτρων. 5

54 Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος, με βάση τη μέθοδο των ροπών και τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, δίνεται από τη σχέση (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): 0,5 Z s ST N.5 όπου Z είναι μία τυπική μεταβλητή, s είναι η τυπική απόκλιση και N είναι το μέγεθος του δείγματος. Αντίστοιχα, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος με τη μέθοδο της πιθανότητας των σταθμισμένων ροπών δίνεται από τη σχέση (Hosking, 986, Rao and Hamed, 000): T 0,5 S 0.53Z s.6 τα Z, s και N ορίστηκαν προηγουμένως. N.7.. Λογαριθμική Κανονική κατανομή δύο παραμέτρων Υπάρχουν περιπτώσεις κατά τις οποίες οι μεταβλητές (όπως υδρολογικές μεταβλητές) δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή αλλά είναι δυνατόν οι λογάριθμοί της (συνήθως οι νεπέρειοι λογάριθμοι) να την ακολουθούν. Μια τυχαία μεταβλητή X ακολουθεί τη Λογαριθμική Κανονική κατανομή δύο παραμέτρων (two parameter Lognormal distribution ή Galton distribution, LN()) αν η μεταβλητή Y = ln(x) ακολουθεί την Κανονική κατανομή. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση : f x y y exp exp(y)s s y π y.7 για x > 0, και y lnx Όσον αφορά την αθροιστική συνάρτηση κατανομής ισχύει: y y y s s y π y.8 F x exp dy 5

55 Θέτοντας στη σχέση (.8) y y Z προκύπτει: s y z Z π.9 F Z exp dz Οι παράμετροι της Λογαριθμικής Κανονικής κατανομής δύο παραμέτρων είναι οι εξής: ο μέσος όρος y (παράμετρος κλίμακας) και η τυπική απόκλιση s y (παράμετρος σχήματος) οι οποίες αναφέρονται στη λογαριθμική μετατροπή της τυχαίας μεταβλητής Y. Επομένως η Λογαριθμική Κανονική κατανομή δύο παραμέτρων προκύπτει από την Κανονική κατανομή θέτοντας ως: Y = ln(x).0 δηλαδή X= exp(y). και υφίσταται στην περίπτωση που η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του Y=ln(X) κατανέμεται κανονικά. Η μέγιστη τιμή της μεταβλητής x για περίοδο επαναφοράς T, εκτιμάται από τη σχέση (Chow, 964): x * Τ exp y Z sy. Εκτίμηση των παραμέτρων κατανομής Σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών, για την εφαρμογή της Λογαριθμικής Κανονικής κατανομής δύο παραμέτρων χρησιμοποιούνται οι (φυσικές) λογαριθμικές τιμές της αρχικής μεταβλητής x. Ο προσδιορισμός του μέσου όρου, y και της τυπικής απόκλισης, s y γίνεται με τη βοήθεια των σχέσεων που ακολουθούν: y N i= N y i.3 y N i= N y i.4 53

56 N N sy y y.5 Οι στατιστικές παράμετροι της αρχικής μεταβλητής x συνδέονται με τις αντίστοιχες παραμέτρους της μεταβλητής y, με τις ακόλουθες σχέσεις (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): s y x exp y s x exp sy.6.7 C 3C C.8 3 s v v C exp s C v y.9 3C + C.30 3 s v v όπου C s είναι ο συντελεστής ασυμμετρίας και C v είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας. Η μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας είναι η πιο κοινή τεχνική εκτίμησης παραμέτρων που χρησιμοποιείται για τη Λογαριθμική Κανονική κατανομή δύο παραμέτρων λόγω του γεγονότος ότι οι εκτιμήσεις των παραμέτρων κάνουν τα δεδομένα πιο πιθανά από οποιαδήποτε άλλη μέθοδο. Παρακάτω δίνονται οι σχέσεις για τις εκτιμήσεις των παραμέτρων της κατανομής (Kite, 988): y Ν lnxi.3 Ν i= sy lnx y Ν Ν i.3 i= Η μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών ακολουθεί μια σύνθετη διαδικασία για την εύρεση των σχέσεων εκτίμησης των παραμέτρων. Σύμφωνα με τους Hosking (990) και Rao and Hamed (000) δίνονται οι ακόλουθες σχέσεις εκτίμησης των παραμέτρων της κατανομής: 54

57 y s y lnb.33 s b b0 y erf b0.34 όπου b 0 και b δίνονται από τη σχέση (.59) για r=0 και, erf(x) είναι η συνάρτηση σφάλματος και erf - (x) είναι η αντίστροφή της. Παράγοντας συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, ο παράγοντα συχνότητας K T της Λογαριθμικής Κανονικής κατανομής δύο παραμέτρων, δίνεται από τη σχέση (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): s y exp s y Z T exp s y.35 όπου το Z ορίστηκε προηγουμένως. Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος, με τη μέθοδο των ροπών, δίνεται από τη σχέση (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): S T s δy.36 N όπου δ είναι η παράμετρος η οποία δίνεται από τη σχέση : K T y v v T v v v v δ C 3C K C 6C 5C 6C 4.37 και C v είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας για τον οποίο ισχύει: C v s x.38 55

58 Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος γίνεται από τη σχέση (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): S T s δy.39 N όπου δ y είναι η παράμετρος για την οποία ισχύει: z y T v v Cv δ K C ln C Λογαριθμική Κανονική κατανομή τριών παραμέτρων Η Λογαριθμική Κανονική κατανομή τριών παραμέτρων είναι παρόμοια με τη Λογαριθμική Κανονική κατανομή δύο παραμέτρων με τη διαφορά ότι το x είναι μετατοπισμένο κατά ένα ποσό γ το οποίο αντιπροσωπεύει το κατώτερο όριο. Συχνά οι λογάριθμοι μιας τυχαίας μεταβλητής X δεν κατανέμονται κανονικά. Σε αυτές τις περιπτώσεις εισάγεται μια παράμετρος ορίου γ με σκοπό την επίλυση του προβλήματος, αποδίδοντας μια κατανομή τριών παραμέτρων. Οι Limpert et al. (00) απέδειξαν πως η Λογαριθμική Κανονική κατανομή τριών παραμέτρων είναι ευρέως διαδεδομένη μέσα από την επιστήμη. Η Λογαριθμική Κανονική κατανομή τριών παραμέτρων (three parameter Lognormal distribution, LN(3)) έχει διάφορες εφαρμογές όπως στη Γεωλογία, στην Ιατρική, στην περιβαλλοντική επιστήμη (βροχόπτωση, μόλυνση αέρα), στην τεχνολογία τροφίμων κ.α.. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: f x ln x γ y exp x γs s y π y.4 Όσον αφορά την αθροιστική συνάρτηση κατανομής δίνεται από τη σχέση: Fx exp dx 0 y x ln x γ y.4 x γs π s y Η Λογαριθμική Κανονική κατανομή τριών παραμέτρων αποτελείται από τις εξής παραμέτρους: το μέσο όρο y (παράμετρος κλίμακας) την τυπική απόκλιση s y (παράμετρος σχήματος) και τη γ (παράμετρο θέσης) 56

59 οι οποίες αναφέρονται στη λογαριθμική μετατροπή της τυχαίας μεταβλητής Y και για την οποία ισχύει (Stedinger et al., 993): Y ln X γ.43 Η μέγιστη τιμή της μεταβλητής x για περίοδο επαναφοράς T, εκτιμάται από τη σχέση (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): x exp μ Z s T y y.44 όπου το Z ορίστηκε προηγουμένως. Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Σύμφωνα με Kite (977) οι δύο πρώτες ροπές της Λογαριθμικής Κανονικής κατανομής τριών παραμέτρων, με βάση τη μέθοδο των ροπών, δίνονται από τις σχέσεις: sy m γ exp y m exp s exp y s y y Ο συντελεστής μεταβλητότητας δίνεται από τη σχέση (Kite, 988): C w v 3 w 3.47 όπου w ορίζεται, με τη βοήθεια του συντελεστή ασυμμετρίας C s, από τη σχέση: w s C C 4 s.48 Επίσης για τον συντελεστή μεταβλητότητας ισχύει η σχέση: C v s x.49 57

60 Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (.45) και (.46) στη σχέση (.49) προκύπτουν οι σχέσεις: v sy ln C.50 s y ln lncv C v.5 Η επίλυση της σχέσης (.45) ως προς γ δίνει τη σχέση: s y γ x exp y.5 Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, οι εκτιμήσεις των παραμέτρων δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): y Ν Ν lnxi.53 i= Ν sy ln x y Ν γ i.54 i= FγN γ.55 F' γ N+ N N όπου γ N είναι η τιμή που παίρνει η παράμετρος γ τη N οστή φορά της επανάληψης, σύμφωνα με τη μέθοδο Newton Raphson, και γ N+ είναι η τιμή της παραμέτρου γ που προκύπτει από την επίλυση της σχέσης (.55). Επίσης Ν F γ x γ y s x γ ln x γ i y i i i= i= Ν.56 df γ F' γ y s x γ x γ ln x γ dγ Ν Ν y i i i i= i= Ν Ν d y ds i= dγ dγ i= y xi γ xi γ.57 58

61 d y dγ Ν Ν xi γ.58 i= ds Ν y dy dγ Ν i= dγ ln xi γ y xi γ.59 Σύμφωνα με Hosking (990) και Rao and Hamed (000), δίνονται οι ακόλουθες σχέσεις για τις ροπές, με βάση τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών: sy l exp y l sy sy exp y erf.60.6 Μια προσεγγιστική λύση για τις εκτιμήσεις των παραμέτρων με τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών δίνεται από τους Hosking (990) και Rao and Hamed (000), με βάση τις ακόλουθες σχέσεις: l s s y ln ln erf erf y b b0 y s y sy.6 s z z z 3 5 y.63 sy γ l exp y.64 όπου erf(x) είναι η συνάρτηση σφάλματος και το z δίνεται από τη σχέση: z 8 t 3 3 Φ.65 με Φ ( ) είναι η τυπική Κανονική κατανομή και Φ - ( ) είναι η αντίστροφή της. 59

62 Παράγοντας συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, ο παράγοντα συχνότητας K T της Λογαριθμικής Κανονικής κατανομής τριών παραμέτρων, δίνεται από τη σχέση (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): y exp Z * s T exp s y y s.66 Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος δίνεται από τη σχέση (Rao and Harmed, 000): 0,5 Z sy ST N.67 όπου το Ζ ορίστηκε προηγουμένως. Στη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος δίνεται από τη σχέση (Rao and Harmed, 000): S T x x x x x var γ var s var y cov γ,s γ s y y γ s y x x x x covγ, y cov s y, y γ y s y y y y όπου για τον κάθε παράγοντα ισχύουν οι σχέσεις (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): x γ x s y Z exp y Z s s y y x exp y Z s y y.7 60

63 var γ ND.7 s s y y y y var y exp s y exp s y ND s y s y var sy sy exp sy y exp sy y ND s y cov γ, y exp y ND s y covγ,s y syexp y ND y y y cov s, y s exp s y ND.77 y y y s s D exp s y exp s y y sy sy.78 με N το μέγεθος του δείγματος και var( ) και cov( ) είναι η μεταβλητότητα και συμμεταβλητότητα αντίστοιχα Γενικευμένη Κατανομή Ακραίων Τιμών Οι Fisher (97) και Fisher and Tippett (98) οι οποίοι έκαναν πρωτοποριακές έρευνες πάνω στη Θεωρία Ακραίων Τιμών, διέκριναν τρεις τύπους κατανομών Ακραίων Τιμών: Η κατανομή Gumbel ή τύπου I (Extreme Value I, EVI) κατανομή Η κατανομή Frechet ή τύπου IΙ (Extreme Value II, EVII) κατανομή και Η κατανομή Weibull ή τύπου III (Extreme Value III, EVIII) κατανομή H συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Γενικευμένης Κατανομής Ακραίων Τιμών δίνεται από τη σχέση: k k x ξ x ξ f(x) k exp k α α α.79 Σύμφωνα με τους von Mises (936) και Jenkinson (955), η Γενικευμένη κατανομή Ακραίων Τιμών είναι τριών παραμέτρων και περιγράφεται από μία γενική μαθηματική 6

64 μορφή, που χρησιμοποιείται ευρέως στην ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών, από τη σχέση της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής (Jekinson, 955): x ξ κ x ξ F(x) exp k, k > 0 και α > 0 α α.80 όπου ξ, α και k είναι οι παράμετροι θέσης, κλίμακας και σχήματος αντίστοιχα. Η Γενικευμένη Κατανομή Ακραίων Τιμών (GEV) αποδεικνύεται κατάλληλη για τη μέγιστη ένταση βροχής σε μεγάλο εύρος περιπτώσεων (Koutsogiannis and Mamassis, 00) συνδυάζοντας τις κατανομές Ακραίων Τιμών τύπου Ι, ΙΙ και ΙΙΙ σε μία ενιαία μαθηματική έκφραση. Η κάθε κατανομή περιγράφεται από την τιμή που παίρνει η παράμετρος σχήματος k στη σχέση (.80). Θέτοντας στη σχέση (.80) k = 0 προκύπτει η κατανομή Gumbel ή τύπου I (EVI) κατανομή, για k αρνητικό (k<0) προκύπτει η κατανομή Frechet ή τύπου IΙ (EVIΙ) κατανομή, ενώ για k θετικό (k>0) δίνεται η κατανομή Weibull ή τύπου III (EVIII) κατανομή. Η μέγιστη τιμή της μεταβλητής x, με περίοδο επαναφοράς T, εκτιμάται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): α xτ ξ ln k Τ k.8 Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Η εκτίμηση των παραμέτρων ξ, α και k, με τη μέθοδο των ροπών, γίνεται με τη βοήθεια των πρώτων τριών ροπών (Rao and Hamed, 000): α m ξ Γ k k.8 α m Γ k Γ k k.83 3 α m 3 Γ 3k 3Γ k Γ k Γ k 3 k

65 Ο συντελεστής ασυμμετρίας υπολογίζεται από τη σχέση: C 3 3k 3 k k k m k m k k 3 S 3 3 k.85 όπου Γ( ) είναι η συνάρτηση Γάμμα. Στη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η συνάρτηση της πιθανότητας για ένα δείγμα N μεγέθους στη Γενικευμένη κατανομή Ακραίων Τιμών δίνεται από τη σχέση: N ln f x i : ξ, α, k.86 ln L ξ, α, k i= ενώ η εκτίμηση των παραμέτρων γίνεται με τη βοήθεια μιας επαναληπτικής μεθόδου με βάση τις παρακάτω σχέσεις: ln L ξ, α, k ξ ln L ξ, α, k α ln L ξ, α, k k Σύμφωνα με τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, οι παράμετροι της κατανομής υπολογίζονται από τις σχέσεις (Hosking et. al., 985, Rao and Hamed, 000): α ξ b0 Γ k k.90 0 α Γ k b b k k.9 k C.9554C.9 όπου b b ln 0 C 3b b 0 ln 3 ενώ τα b 0 και b ορίστηκαν προηγουμένως

66 Παράγοντας συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, η μέγιστη τιμή x T για τη Γενικευμένη Κατανομή Ακραίων Τιμών, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): α α xτ ξ k k k k k.94 όπου ο παράγοντας συχνότητας δίνεται από τη σχέση: K Τ k k ln k k k k Κατανομή Gumbel Η κατανομή Gumbel (EVI ή διπλή Εκθετική κατανομή Ακραίων Τιμών) είναι μια διπαραμετρική κατανομή, η οποία οφείλει το όνομά της στο Γερμανό μαθηματικό Emil Gumbel (89-966). Η κατανομή Gumbel έχει χρησιμοποιηθεί σε διάφορους τομείς, όπως στην υδρολογία για τη μοντελοποίηση ακραίων φαινομένων και στη μηχανική, ενώ είναι κατάλληλη για την περιγραφή μεγίστων τιμών και αποτελεί ειδική περίπτωση της κατανομής GEV (Neves and Alves, 008). Τα μέγιστα ετήσια ύψη μιας 4ωρης βροχόπτωσης συχνά περιγράφονται από μια κατανομή Gumbel, καθώς και τα ετήσια μέγιστα της παροχής ρευμάτων. Οι παράμετροι της κατανομής Gumbel είναι: η παράμετρος θέσης ξ και η παράμετρος κλίμακας α Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής, δίνεται από τη σχέση: x ξ x ξ f x exp exp exp α α α x.96 Η κατανομή Gumbel περιγράφεται από τη συνάρτηση της αθροιστικής κατανομής με τη σχέση: x ξ F(x) exp exp με x α.97 64

67 Θέτοντας στη σχέση (.97) x ξ y προκύπτει: α F x exp exp y.98 Η επίλυση της σχέσης (.98) ως προς y δίνει τη σχέση: όπου p P x x T.99 y ln ln F x ln ln p ή yt ln ln b T.00 όπου b είναι η ανηγμένη μεταβλητή, T είναι η περίοδος επαναφοράς και για την πιθανότητα P ισχύει: P T.0 Η μέγιστη τιμή της μεταβλητής x με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): x T ξ αln ln T.0 Αντικαθιστώντας τη σχέση (.00) στη σχέση (.0) προκύπτει, για την εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x περιόδου επαναφοράς T, η σχέση: x ξ αy T.03 T Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Με βάση τη μέθοδο των ροπών, εκτιμώνται οι παράμετροι θέσης και κλίμακας από τις ακόλουθες σχέσεις (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): x ξ γ * α ξ α.04 π s α 6 όπου γ είναι η σταθερά Euler η οποία ισούται με την τιμή

68 Η επίλυση των παραπάνω σχέσεων ως προς τις παραμέτρους, δίνει τις ακόλουθες σχέσεις: ξ x α.06 α s 6 π.07 Σύμφωνα με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η συνάρτηση της πιθανότητας για ένα δείγμα μεγέθους N στην κατανομή Gumbel, δίνεται από τη σχέση: N x ξ x ξ N ln L N ln α exp i= α i= α i i.08 Παραγωγίζοντας τη συνάρτηση της σχέσης (.08) ως προς τις παραμέτρους ξ και α και εξισώνοντας τις παραγώγους με μηδέν προκύπτει (για α 0): N Ν i exp 0.09 ln L x ξ ξ α α i= α N N Ν ln L xi ξ xi ξ xi ξ exp 0 α i= α α i= α α.0 Λύνοντας το παραπάνω σύστημα παραμέτρους της κατανομής: ln L ln L ξ α 0 προκύπτουν οι σχέσεις για τις αx N i= N i= xi xi exp α xi exp α. x ξ α ln N ln exp N i i= α. Η τιμή της παραμέτρου α εκτιμάται με τη βοήθεια της επαναληπτικής μεθόδου Newton - Raphson ανανεώνοντας κάθε φορά τη σχέση (.09) και (.0), παίρνοντας ως τελική ln L ln L τιμή εκείνη που θα προκύψει όταν 0. ξ α Για την εφαρμογή της μεθόδου Newton-Raphson απαιτούνται αρχικές τιμές των παραμέτρων ξ και α και λαμβάνονται αυτές που υπολογίζονται με τη μέθοδο των ροπών. 66

69 Σύμφωνα με τους Greenwood et al. (979), Hosking (986) και Rao and Hamed (000) ισχύει για τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών: ξ b α.3 α b b l 0.4 ln ln όπου b 0 και b ορίστηκαν προηγουμένως. Παράγοντας συχνότητας K T Η αντικατάσταση των σχέσεων (.06) και (.07) στη σχέση (.0) δίνει την παρακάτω σχέση (Rao and Hamed, 000): s 6 xt x ln ln π T.5 Εξισώνοντας τη σχέση (.5) με τη σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας προκύπτει, η σχέση για τον παράγοντα συχνότητας K T : 6 K T ln ln T ln T π.6 Για μικρά σχετικά δείγματα (N < 00) ο παράγοντας συχνότητας σχέση: K T εκτιμάται από τη Κ Τ yn ln lnτ ln Τ.7 σ N όπου yn και σ N είναι μεταβλητές, που δίνονται στον Πίνακα (Haan, 977, Παπαμιχαήλ, 993) σα συνάρτηση του μεγέθους του δείγματος N. Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών, για το τυπικό σφάλμα, ισχύει η σχέση (Rao and Hamed, 000, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): 0,5 S.30K.0K T T T s.8 N 67

70 Στη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος δίνεται από τη σχέση (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): T 0,5 S Y Y α.9 N όπου Y ln ln T.0 Η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος, με βάση τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, δίνεται από τη σχέση (Hosking, 986a, Rao and Hamed, 000): T 0,5 S Y Y α. όπου Y ορίστηκε προηγουμένως Κατανομή Frechet N Η κατανομή Ακραίων Τιμών τύπου II (EVII), γνωστή και ως κατανομή Frechet από το Γάλλο μαθηματικό Mausice Frechet ( ), αποτελεί ειδική περίπτωση της Γενικευμένης κατανομής Ακραίων Τιμών, όταν η παράμετρος σχήματος k παίρνει αρνητική τιμή (k < 0). Μόνο εκείνες οι κατανομές οι οποίες δεν έχουν όρια από αριστερά, μπορούν να χρησιμοποιήσουν τη κατανομή Frechet ως όριο (Frechet, 97, Alves and Neves, 00). Η Frechet είναι μια τριπαραμετρική ασυμπτωτική κατανομή, η οποία εφαρμόζεται σε ακραία γεγονότα (όπως η μέγιστη ημερήσια βροχόπτωση του έτους και η παροχή ποταμού) και αποτελείται από τις εξής τρεις παραμέτρους: την παράμετρο θέσης ξ την παράμετρο κλίμακας α και την παράμετρο σχήματος k Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: f x k x ξ k x ξ exp k α α α. Η κατανομή Frechet περιγράφεται από την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, σύμφωνα με τη σχέση: x ξ Fx exp α k.3 68

71 Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Στη μέθοδο των ροπών οι παράμετροι θέσης, κλίμακας και σχήματος εκτιμώνται με βάση τις παρακάτω σχέσεις (Neves and Alves, 008): x ξ α Γ k, για k.4.5 s α k k, για k 3 3k 3 k k k C s, για 3 3 k k k.6 όπου Γ( ) είναι η συνάρτηση Γάμμα και C s είναι ο συντελεστής ασυμμετρίας, ο οποίος ορίστηκε προηγουμένως Κατανομή Weibull Η κατανομή Ακραίων Τιμών τύπου III (EVIII), γνωστή και ως Weibull κατανομή, αποτελεί ειδική περίπτωση της Γενικευμένης κατανομής Ακραίων Τιμών όταν η παράμετρος σχήματος k παίρνει θετική τιμή (k > 0). Μόνο εκείνες οι κατανομές με πεπερασμένο το τελικό τους σημείο από δεξιά ( ξ ) μπορούν να χρησιμοποιήσουν σαν όριο την κατανομή Weibull. Η Weibull είναι μια τριπαραμετρική ασυμπτωτική κατανομή κατάλληλη για ανάλυση συχνότητας ελαχίστων τιμών ενός υδρολογικού φαινομένου, όπως για ελάχιστες παροχές υδατορευμάτων. Οι τρεις παράμετροι της κατανομής είναι: η παράμετρος θέσης ξ η παράμετρος κλίμακας α και η παράμετρος σχήματος k Η κατανομή Weibull μπορεί να θεωρηθεί σαν μια αντίστροφη Γενικευμένη κατανομή a Ακραίων Τιμών με παραμέτρους k, α και ξm a (Hosking, 986, Rao and b b Hamed, 000). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και η αθροιστική συνάρτηση της κατανομής δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: f x b b b x m x m exp a a a.7 69

72 b x m Fx exp λ x.8 a Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x, με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): x m a ln T T b.9 Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Η εκτίμηση των παραμέτρων με τη μέθοδο των ροπών γίνεται με τη βοήθεια των παρακάτω σχέσεων (Rao and Hamed, 000): x m a Γ b.30 b b s α Γ Γ Γ 3Γ Γ Γ n 3 b b b b S 3 i 3 ns i=.3 C x x Γ Γ b b όπου x, s, C S και Γ( ) είναι ο μέσος όρος, η μεταβλητότητα ο συντελεστής συμμετρίας και η συνάρτηση Γάμμα αντίστοιχα, τα οποία ορίστηκαν προηγουμένως. Στη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η συνάρτηση πιθανότητας για ένα δείγμα μεγέθους N στην κατανομή Weibull, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): b L exp a a a Ν Ν b Ν b xi m xi m.33 i= i= Λογαριθμίζοντας την παραπάνω σχέση προκύπτει: Ν xi m xi m Ν ln L Ν ln b Ν ln a b ln i= a i= a.34 b 70

73 Ύστερα από παραγώγιση της σχέσης (.34) ως προς τα a, b και m και εξισώνοντας τα αποτελέσματα τους με το μηδέν, προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: Ν b ln L Νb b xi m a a a i= a.35 0 Ν Ν b ln L Ν xi m xi m xi m b b i= a i= a a log log 0.36 b Ν Ν ln L b xi m b xi m 0 m i= a i= a.37 Οι τιμές των παραμέτρων a, b και m εκτιμώνται με τη βοήθεια της επαναληπτικής μεθόδου Newton-Raphson επαναλαμβάνοντας κάθε φορά τους υπολογισμούς ταυτόχρονα για τις τρεις (3) σχέσεις (.35), (.36) και (.37). Για την εφαρμογή της επαναληπτικής μεθόδου Newton-Raphson απαιτούνται οι αρχικές τιμές των παραμέτρων a, b και m και για το λόγο αυτό λαμβάνονται αυτές που υπολογίζονται με τη μέθοδο των ροπών. Ως τελικές τιμές των παραμέτρων της κατανομής Weibull παίρνονται εκείνες για τις οποίες οι προαναφερθείσες τρεις (3) σχέσεις προσεγγίζουν τη μηδενική τιμή. Όσον αφορά τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, για τις εκτιμήσεις των παραμέτρων ισχύει (Greenwood et al., 979, Rao and Hamed, 000): b C.9554C.38 l a b Γ b.39 m l a Γ b.40 όπου 3 ln C 3 t ln 3 t 3 l l 6b 6b b b b

74 b Ν Ν i Ν i xi Ν i= Ν Ν.43 ενώ b 0 και b ορίστηκαν προηγουμένως. Χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, ο παράγοντα συχνότητας K T της κατανομής Weibull δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): K T b ln T b b b.44 Η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος, για την εύρεση των ορίων εμπιστοσύνης, γίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): x x x x ST var α var b co v α, b α b α b.45 όπου var( ) cov( ) είναι η μεταβλητότητα και η συμμεταβλητότητα αντίστοιχα Εκθετική κατανομή Η Εκθετική κατανομή (Exponential distribution) είναι μια ειδική περίπτωση της Γάμμα οικογένειας κατανομών, η οποία χρησιμοποιείται για την περιγραφή υδρολογικών μεταβλητών σε μικρή χρονική κλίμακα, όπως για ωριαία ή ημερήσια ύψη βροχής. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: f(x) λ * exp λx, x 0.46 Η Εκθετική κατανομή έχει μια παράμετρο κλίμακας λ και περιγράφεται από την αθροιστική συνάρτηση κατανομής σύμφωνα με τη σχέση: F(x) exp λx, x 0.47 Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση (Κουτσογιάννης, 997): x T λ ln T.48 7

75 Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Η εκτίμηση της παραμέτρου λ, στη μέθοδο των ροπών γίνεται με τη βοήθεια των παρακάτω σχέσεων (Κουτσογιάννης, 997): x s λ λ Εκθετική κατανομή δυο παραμέτρων Η Εκθετική κατανομή δύο παραμέτρων (Exponential distribution two parameters) είναι μια ειδική περίπτωση της Γάμμα οικογένειας κατανομών η οποία χρησιμοποιείται κυρίως για να την περιγραφή των χρονικών διαστημάτων που μεσολαβούν μεταξύ δυο γεγονότων μιας διαδικασίας Poisson. Η διπαραμετρική Εκθετική κατανομή βρίσκει εφαρμογή σε πειράματα φυσικής, στην υδρολογία για τον υπολογισμού του ρυθμού βροχόπτωσης μιας συγκεκριμένης χρονικής περιόδου, στις τηλεπικοινωνίες κ.α.. Οι παράμετροί της είναι οι εξής : παράμετρος κλίμακας α και παράμετρος θέσης ε H συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: x ε f(x) exp α α.5 Η Εκθετική κατανομή δύο παραμέτρων, περιγράφεται από την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, σύμφωνα με τη σχέση: x ε F(x) exp α.5 Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): T.53 x ε αln T 73

76 Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών, οι εκτιμήσεις των παραμέτρων α και ε γίνονται από τις σχέσεις (Rao and Hamed, 000): ε x α.54 s α.55 όπου x και s είναι ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση αντίστοιχα. Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, οι εκτιμήσεις των παραμέτρων γίνονται με βάση τις σχέσεις (Cohen and Helm, 97, Flood Studies Report, 975, Rao and Hamed, 000): N x α x min N.56 ε N * x min x N.57 Με τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών εκτιμώνται οι παράμετροι ως εξής (Rao and Hamed, 000): α l.58 ε l l.59 l b b.60 0 Παράγοντας συχνότητας K T Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): T *.6 x ε α α T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, ο παράγοντα συχνότητας K T της Λογαριθμικής Κανονικής κατανομής δύο παραμέτρων, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): T ln T.6 74

77 Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Με βάση τη μέθοδο των ροπών, ισχύει η παρακάτω σχέση για το τυπικό σφάλμα εκτίμησης (Rao and Hamed, 000): α S K K N 0,5.63 T T T Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, δίνεται η σχέση (Rao and Hamed, 000): α N K T ST KT N N 0,5.64 Η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος, με βάση τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών γίνεται από τη σχέση (Hosking, 986, Rao and Hamed, 000): α 4 ST KT KT N 3 0, Γάμμα κατανομή δύο παραμέτρων με χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας K Τ Η Γάμμα κατανομή δύο παραμέτρων με χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας K Τ [Gamma Distribution G()] έχει χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή μέγιστων εντάσεων βροχής. Όπως και η εκθετική, έτσι και η κατανομή Γάμμα αποτελεί μία από τις πιο χρήσιμες και ευρέως διαδεδομένες κατανομές στην τεχνική υδρολογία. Οι παράμετροι της Γάμμα κατανομής είναι η παράμετρος κλίμακας α και η παράμετρος σχήματος β. Η Γάμμα κατανομή δύο παραμέτρων με χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας K Τ περιγράφεται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και την αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας από τις σχέσεις (Γεωργίου, 004): x α Γβ α β f x x exp β x Fx x exp dx β α Γ β 0.66 x β.67 α Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x, με περίοδο επαναφοράς T δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): xt αβ T α β.68 75

78 όπου για τον παράγοντα συχνότητας T ισχύει (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): χcs T.69 4 Cs C s α α β.70 χ ν Z 9ν 9ν 3.7 ενώ το Ζ ορίστηκε προηγουμένως. Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών εκτιμώνται οι παράμετροι από τις σχέσεις (Rao and Hamed, 000): α s.7 x x β s.73 Στη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η συνάρτηση πιθανότητας για ένα δείγμα μεγέθους N για τη Γάμμα κατανομή δύο παραμέτρων με χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας K Τ δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): N N N β β i i α Γ β i α i.74 L x exp x Λογαριθμίζοντας τη σχέση (.74) προκύπτει: lnl Nβ ln α N ln Γ β β ln x x i N N i.75 i α i Η παραγώγιση της σχέσης (.75) ως προς τις παραμέτρους α και β δίνει τις ακόλουθες σχέσεις: N x i 0.76 ln L Nβ α α α i 76

79 N Γ' β Nln α N ln xi β Γβ.77 i ln L Οι Bobee and Ashkar (99) πρότειναν μια διαδικασία προκειμένου να λύσουν τις σχέσεις (.76) και (.77) με αποτέλεσμα να καταλήξουν στις παρακάτω σχέσεις για την εκτίμηση των παραμέτρων: β U U U, για 0 U U U β U U U, για U α Α β.80 όπου Ν Α xi.8 Ν i= G Ν x x...x.8 i i Ν U ln Α ln G.83 Αντίστοιχα οι παράμετροι της κατανομής εκτιμώνται, με βάση τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, από τις σχέσεις (Hosking, 990, Rao and Hamed, 000): α l β.84 Αν 0 < t τότε ισχύει: v β πt v v 0.058v v

80 Αν t τότε ισχύει: v t v v β.87v.3v.88 όπου t l l b b b Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Με βάση τη μέθοδο των ροπών, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος, δίνεται από τη σχέση (Bobee, 973, Rao and Hamed, 000): s K S T T KT Cν KT Cν Cν n C s.90 όπου 3 T Cs Cs Cs Cs C s Z 3 Z s s s K Z C C 6 6 C Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος δίνεται από την εξής σχέση (Bobee and DesGroseilliers, 985, Rao and Hamed, 000): S s T δ.9 N εk K K εk K δ βψ' β βη 4β β C C όπου T T T T T β.93 s β β s 0 β β 6β 30β 4β 30β 3β ψ' β 78

81 .7.. Κατανομή Pearson τύπου III Η κατανομή Pearson τύπου III (γνωστή και ως Γάμμα κατανομή τριών παραμέτρων) έχει χρησιμοποιηθεί ευρέως στη στατιστική υδρολογία ως ένα μοντέλο πρωτότυπων (μη μετασχηματισμένων) και λογαριθμικά μετασχηματισμένων σειρών απορροής. Η κατανομή Pearson τύπου III [P(3) distribution] είναι μια ασύμμετρη κατανομή με τρεις παραμέτρους: την παράμετρο κλίμακας α την παράμετρο σχήματος β και την παράμετρο θέσης γ Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή x ακολουθεί την κατανομή Pearson τύπου ΙΙΙ αν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): β x γ x γ f(x) exp αβ α α.95 όπου Γ(β) είναι η συνάρτηση Γάμμα η οποία εκφράζεται από τη σχέση: β.96 β x exp x dx 0 Ακόμα ισχύει:.97 Γ(β)=(β-)!=(β-) Γ(β-) Θέτοντας στη σχέση (.95) όπου γ = 0, προκύπτει η σχέση (.66) που αντιστοιχεί στη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Γάμμα κατανομής δύο παραμέτρων με χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας K Τ. Για αυτό και η Γάμμα κατανομή δύο παραμέτρων με χρησιμοποίηση του παράγοντα συχνότητας K Τ θεωρείται ειδική περίπτωση της κατανομής Pearson τύπου III. Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής δίνεται από τη σχέση: x β x γ x γ Fx exp dx α β α α.98 γ Θέτοντας στις σχέσεις.95 και (.98) όπου β y f(y) exp y β x γ y, προκύπτουν οι σχέσεις: α.99 79

82 F y y e dy y β y β.300 γ x Το δεξιό μέλος της εξίσωσης (.300) είναι ίσο με F (Haan, 977), δηλαδή είναι ίσο ν με την αθροιστική πιθανότητα της κατανομής χ, με ν=β βαθμούς ελευθερίας και χ =y. Από Πίνακες της αθροιστικής πιθανότητας της χ κατανομής, για δεδομένη πιθανότητα, ισχύει: F x P X x T.30 και για ν=β βαθμούς ελευθερίας, προκύπτει η τιμή χ, από την οποία εκτιμάται η μέγιστη τιμή της μεταβλητής x, περιόδου επαναφοράς T, από τη σχέση (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): xt αχ γ.30 Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Η εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Pearson τύπου III, με τη μέθοδο των ροπών, γίνεται από τις σχέσεις (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): α s C s.303 β Cs.304 s γ x Cs.305 όπου x, s και C s είναι ο μέσος όρος, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής ασυμμετρίας της κατανομής αντίστοιχα που υπολογίζονται από τη σειρά συχνότητας των ιστορικών δεδομένων. Για τον συντελεστή ασυμμετρίας ισχύει η σχέση : N Cs x 3 i x N s i=

83 Σύμφωνα με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας οι εκτιμήσεις των παραμέτρων α, β και γ γίνονται ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία: β N x i i= i= i N.307 N * x α N i= x i N N i= i N x.308 ή α A β.309 N N όπου A xi.30 i= Προκειμένου να εκτιμηθεί η παράμετρος γ, παίρνεται ως αρχική τιμή εκείνη που προκύπτει από τη μέθοδο των ροπών. Η τιμή αυτή αντικαθίσταται στις παραπάνω σχέσεις από τις οποίες παίρνονται οι τιμές που αντιστοιχούν στις παραμέτρους α και β. Οι τιμές των παραμέτρων α, β, γ που προκύπτουν, αντικαθίστανται στις παρακάτω σχέσεις (.3) έως (.35). Τα αποτελέσματα των σχέσεων (.3) και (.33) αντικαθίσταται με τη σειρά τους στη σχέση (.30) δίνοντας με αυτόν τον τρόπο την καινούργια τιμή της παραμέτρου γ. Επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία (επαναληπτική μέθοδος Newton Raphson) μέχρι η σχέση (.3) να προσεγγίσει τη μηδενική τιμή: F n+ n.3 F' όπου N i.3 F ln x Nln α Nψ β i= N Nα β F' Nψ' β.33 x α γ γ i= i 8

84 N N α i= xi γ N i= xi.34 N β γ α Nα i= γ xi.35 Στη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών οι παράμετροι της κατανομής εκτιμώνται από τις παρακάτω σχέσεις (Rao and Hamed, 000): α l Γβ Γ β γ l β.37 Αν t3 τότε ισχύει: 3 t 3 t.38 m t β t 0.88t 0.044t m 3 m m m.39 Ενώ, αν t3 τότε ισχύει: 3 t β t.30 m t t 0.536t 3 m m m t.56096t t 3 m m m όπου το t 3 δίνεται από την ακόλουθη σχέση: t 3 6 b 6 b b b b

85 Παράγοντας συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, ο παράγοντα συχνότητας K T της κατανομής Pearson τύπου III, για τη μέθοδο των ροπών, δίνεται από τη σχέση (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): 3 T λ Z λ 3λ.33 Στη σχέση (.3) το λ δίνεται από τη σχέση: λ 6 Cs.34 ενώ το Z είναι όπως ορίστηκε προηγουμένως. Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας και τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών ο παράγοντας συχνότητας Κ Τ δίνεται από τη σχέση (Wilson and Hilferty, 93, Rao and Hamed, 000): 3 Cs Cs KT Z Cs όπου Ζ ορίστηκε προηγουμένως. Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος, με βάση τη μέθοδο των ροπών, δίνεται από τη σχέση σχέση (Rao and Hamed, 000): s ST δ N.36 όπου s είναι η τυπική απόκλιση των στοιχείων του δείγματος, N είναι το μέγεθος του δείγματος, ενώ για το δ ισχύει: ρkt 0,5 3ρ KT 6ρ ρ KTM δ 4 6 6ρ 5ρ M 0,

86 όπου ρ, Μ και Η δίνονται παρακάτω από τις σχέσεις: ρ = 0,5 C s.38 Z H 6 λ 8λ M H 3.39 H = +λ Ζ - λ.330 Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος δίνεται από τη σχέση (Kite, 988, Rao and Hamed, 000): S T x x x x x var α var β var γ covα,β α β γ α β x x x x covα, γ covβ, γ α γ β γ όπου για τον κάθε παράγοντα ισχύει: x β KT β α α α.33 K α KT β β Cs x T α α β.333 x γ K T Cs Cs Z Cs Cs 6 6 Cs Cs Z Cs 3 Z Cs N var α ψ' β Nα D β β var β 4 Nα D β

87 var γ βψ' β.338 cov α,β cov α, γ Nα D ψ' β Nα D β 3 Nα D β β β covβ, γ 3 Nα D β D β 3 ψ' β β α 4 β Λογαριθμική Pearson τύπου III κατανομή Αν η μεταβλητή lnx θεωρείται ότι ακολουθεί την κατανομή Pearson τύπου III τότε η μεταβλητή x ακολουθεί τη Λογαριθμική Pearson τύπου III κατανομή [Log Pearson type III distribution, LP(3)]. Όταν μια σειρά από παρατηρήσεις περιγράφονται ικανοποιητικά από τη Λογαριθμική Pearson τύπου III κατανομή, τότε οι λογάριθμοι των παρατηρήσεων περιγράφονται από την κατανομή Pearson τύπου III, η οποία χρησιμοποιείται για την περιγραφή των μεγίστων εντάσεων βροχόπτωσης και αποτελείται από τις τρεις ακόλουθες παραμέτρους: την παράμετρο κλίμακας α, την παράμετρο σχήματος β και την παράμετρο θέσης γ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής δίνεται από τη σχέση: β lnx γ lnx γ f(x) exp αxβ α α όπου Γ( ) είναι η συνάρτηση Γάμμα όπως ορίστηκε προηγούμενα..343 Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής δίνεται αντίστοιχα, από τη σχέση: x β lnx γ lnx γ Fx exp dx α β x α α

88 Θέτοντας στη σχέση (.344), lnx γ y προκύπτει: α y F y y exp y dy β β.345 x 0 Γνωρίζοντας τους βαθμούς ελευθερίας για v=β και σε συνδυασμό με τους Πίνακες της αθροιστικής πιθανότητας της χ κατανομής, προκύπτει η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x, με περίοδο επαναφοράς T, από τη σχέση (Rao and Hamed, 000, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): xt exp yt exp αχ γ.346 Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Σύμφωνα με τον Bobee (975), η εκτίμηση των παραμέτρων, με βάση τη μέθοδο των ροπών, δίνεται από τις σχέσεις: γ β ln α ln x.347 γ β ln α ln s ln C 3γ β ln 3α s Πολλαπλασιάζοντας όλα τα μέλη της σχέσης (.347) με τον αριθμό 3 και αφαιρώντας τα από τη σχέση (.349) προκύπτει η σχέση: 3 α lncs 3ln x β ln 3α.350 Ακόμα πολλαπλασιάζοντας όλα τα μέλη της σχέσης (.347) με τον αριθμό και αφαιρώντας τα από τη σχέση (.348) προκύπτει η σχέση: α lns ln x βln α.35 86

89 Η σχέση (.350) εξισώνεται με τη σχέση (.35) και δίνει τη σχέση : ln C B ln s s 3ln x ln x.35 Η εκτίμηση της παραμέτρου α γίνεται από τις σχέσεις: A 3 α.353 C B Η εκτίμηση των παραμέτρων βασίζεται στις τιμές που παίρνει το B. Σε κάθε περίπτωση ισχύει: Για B προκύπτει 3 α, Για B 3 προκύπτει α, Για B προκύπτει 0 α Για 3.5 < B < 6 προκύπτει 3 A C.09 C C.355 Ενώ για 3.0 < B 3.5 προκύπτει A C.356 α A Οπότε οι παράμετροι β και γ εκτιμώνται από τις σχέσεις: ln x ln s β ln α ln α.358 βln α.359 γ lnx Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων α, β και γ, με βάση τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, πραγματοποιούνται λύνοντας αριθμητικά τις παρακάτω σχέσεις (Raο and Hamed, 000): 87

90 β N i= lnx i Ν α γ.360 Ν ψ β N lnxi γ ln.36 i= α α β N lnx γ i= i Ν.36 όπου ψ (β) δίνεται από τη σχέση: ψ β lnβ β β 0β 5β 40β 3β Οι παράμετροι εκτιμώνται ακολουθώντας την επαναληπτική μέθοδο Newton Raphson όπως πραγματοποιήθηκε και στην κατανομή Pearson τύπου III. Στη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών ακολουθείται η ίδια διαδικασία με εκείνη της κατανομής Pearson τύπου III, για την εκτίμηση των παραμέτρων, θέτοντας όπου y = lnx και εφαρμόζοντας τις παρακάτω σχέσεις (Rao and Hamed, 000): α l Γβ Γ β γ l β.365 Αν t3 τότε ισχύει: 3 t 3 t.366 m t β t 0.88t 0.044t m 3 m m m.367 Ενώ, αν t3 τότε ισχύει: 3 t t.368 m 3 88

91 β t t 0.536t 3 m m m t.56096t t 3 m m m t 3 6 b 6 b b b b b N i i x i=.37 N N N i Παράγοντας συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας με τη χρήση του παράγοντα συχνότητας K T η ακραία τιμή επαναφοράς T δίνεται από τη σχέση (Raο and Hamed, 000): y T περιόδου.37 y ln x y K s T T T y Η σχέση (.37) μπορεί επίσης να πάρει τη μορφή: x exp y K s T T y.373 Ο παράγοντα συχνότητας K T της κατανομής Λογαριθμικής Pearson τύπου III κατανομής, για τη μέθοδο των ροπών, δίνεται από τη σχέση (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): 3 T λ Z λ 3λ.374 όπου το λ δίνεται από τη σχέση: λ 6 Cs.375 Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας και τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, ο παράγοντας συχνότητας Κ Τ δίνεται από τη σχέση (Wilson and Hilferty, 93, Rao and Hamed, 000): 3 Cs Cs KT Z Cs

92 Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Mε βάση τη μέθοδο των ροπών, ισχύει για το τυπικό σφάλμα (Rao and Hamed, 000): 3 4 s K T 3C s K T C s K T 5C s T T T s s n 4 Cs 4 Cs 8 S K 3K C 3 3C K T Cs Cs Z Cs Cs 6 6 Cs Cs Z C s 3 Z C N s.378 Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος γίνεται με τη σχέση (Rao and Hamed, 000): S T x x x x x var α var β var γ covα,β α β γ α β x x x x covα, γ covβ, γ α γ β γ Για τον υπολογισμό των παραγόντων της σχέσης (.379) ακολουθείται η ίδια διαδικασία της παραγράφου.7., χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (.33) έως (.34) Κατανομή Pareto δυο παραμέτρων Η κατανομή Pareto δύο παραμέτρων οφείλει την ονομασία της στον Ιταλό Οικονομολόγο Vifredo Pareto, ο οποίος τη διατύπωσε πρώτος στα τέλη του 800. Η κατανομή αυτή εισήχθηκε από τον Pickands (975) και αρχικά προτάθηκε ως ένα μοντέλο για την κατανομή των εισοδημάτων. Επίσης χρησιμοποιείται για την κατανομή πληθυσμού μέσα με μία δοθείσα περιοχή, ενώ έχει εφαρμογές σε διάφορους τομείς όπως σε κοινωνικό οικονομικούς, φυσικούς, βιολογικούς καθώς και στην ανάλυση ακραίων περιβαλλοντικών φαινομένων. Οι παράμετροι της κατανομής Pareto είναι η παράμετρος σχήματος, k και η παράμετρος κλίμακας, λ και ορίζεται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και την αθροιστική συνάρτηση κατανομής σύμφωνα με τις σχέσεις: f x k λ k x k

93 και λ Fx x k, x λ.38 Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x, με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0): xτ k λτ.38 Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Η εκτίμηση των παραμέτρων, με βάση τη μέθοδο των ροπών, γίνεται χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες σχέσεις (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 0):.383 λ x k k C C C.384 v v v όπου x και C v είναι η μέση τιμή και ο συντελεστής μεταβλητότητας αντίστοιχα, όπου για τον τελευταίο ισχύει η σχέση: C v s x.385 Η εκτίμηση των παραμέτρων με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας γίνεται με τις σχέσεις (Quandt, 966):.386 λ min x i ln xi N λ.387 k i N.7.4. Γενικευμένη Pareto κατανομή Η γενικευμένη Pareto κατανομή (Generalized Pareto Distribution GPD), η οποία θεσπίστηκε από τον Pickands (975), είναι μια απλή κατανομή χρήσιμη για την περιγραφή γεγονότων τα οποία υπερβαίνουν ένα καθορισμένο κατώτερο όριο, τέτοιο όπως όλες οι πλημμύρες πάνω από ένα όριο ή οι καθημερινές ροές πάνω από το μηδέν. Η Γενικευμένη 9

94 Pareto κατανομή, έχει εφαρμοστεί για τη μοντελοποίηση διάφορων φυσικών φαινομένων και ακραίων τιμών στην υδρολογία (Davison, 984, Smith, 984, Van Montfort and Witter, 986, Fitzgerald, 989, Hosking and Wallis, 987, Rosbjerg et al., 99, Rasmussen et al., 994, Ashkar and Ouarda, 996) και αποτελείται από τις εξής παραμέτρους: την παράμετρο σχήματος k και την παράμετρο κλίμακας α Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής δίνεται από τη σχέση: k f x x ε α α k.388 Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής δίνεται από την παρακάτω σχέση για k 0 (για k = 0 ισχύει η Εκθετική κατανομή) : F x k k x ε k 0 α exp x ε k 0 α όπου ε είναι το κατώτατο όριο. Ακόμα για k = -, η Γενικευμένη Pareto κατανομή περιέχει την Ομοιόμορφη κατανομή. Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x, περιόδου επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): α k.39 k xt ε T k 0 Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων με τη μέθοδο των ροπών γίνονται με τη βοήθεια του μέσου όρου, της μεταβλητότητας και του συντελεστή ασυμμετρίας ( x, s και C s αντίστοιχα) σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις (Rao and Hamed, 000): α x ε για k k s α k k

95 C s 3k k k.394 Η εκτίμηση της παραμέτρου k γίνεται με βάση τις σχέσεις (.395) έως (.397), από όπου προκύπτει η τιμή της k παραμέτρου ύστερα από μια διαδικασία επαναλήψεων, θέτοντας ως αρχική τιμή k = 0 για θετικό συντελεστή ασυμμετρίας ( C s >0) και k =-0.5 για αρνητικό συντελεστή ασυμμετρίας ( C s <0): k Fk n k.395 F' k n+ n n Fk F' k n 3k C k k s k k k 6 k k 3k 3k 3k n Κάθε φορά που υπολογίζονται οι σχέσεις (.396) και (.397), οι τιμές που προκύπτουν εισάγονται στη σχέση (.395) από όπου προκύπτει η καινούργια τιμή για την παράμετρο k. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται έως ότου η τιμή της σχέσης (.396) να προσεγγίσει τη μηδενική τιμή. Στη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας η συνάρτηση πιθανότητας, για ένα δείγμα μεγέθους N, για τη Γενικευμένη Pareto κατανομή, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): Ν Ν k L x ε α α k i.398 i= Λογαριθμίζοντας τη σχέση (.398) και παραγωγίζοντάς την ως προς τις παραμέτρους α και k προκύπτουν οι σχέσεις: Ν yi α α.399 k α k ln L N i= ln L N ln y ln y 0 k k k k i= k k i= Ν Ν i i.400 Η εκτίμηση λοιπόν των παραμέτρων α και k γίνεται από τη σχέση (.40) ακολουθώντας την επαναληπτική διαδικασία Newton - Raphson: 93

96 αn+ αn δαn k k δk n+ n n.40 όπου για τα δα n και δk n ισχύει: δα n α α k α δk n ln L ln L ln L ln L ln L ln L αk k k.40 ln L N y i α α k α.403 k N i= N N N ln L N 3 ln y y y 3 k k k k i= k k i= k k i= ln L Ν N N yi yi α k α k k i= k k i= k i i i Όσον αφορά τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, οι παράμετροι εκτιμώνται από τις σχέσεις (Hosking, 990, Rao and Hamed, 000): l.406 α k k l l.407 ε k k 3t t όπου t 3 l l 6b 6b b b b b N i i x i=.40 N N N i Παράγοντας συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, ο παράγοντα συχνότητας K T της κατανομής Γενικευμένης Pareto κατανομής, για τη μέθοδο των ροπών, δίνεται από τη σχέση ( Rao and Hamed, 000): 94

97 k k T k T k k Τυπικό σφάλμα εκτίμησης.4 Με βάση τη μέθοδο των ροπών, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος δίνεται από τη σχέση (Hosking and Wallis, 987, Rao and Hamed, 000): x x x x ST var α var k cov α, k α k α k Σύμφωνα με τους Hosking και Wallis (987), για ε = 0 δίνεται η μεταβλητότητα, οι μερικές παράγωγοι και η συμμεταβλητότητα από τις παρακάτω σχέσεις: x T k α k x α k α k T T lnt k k k var α var k α k 6k k N k 3k 4k k k k 6k N k 3k 4k cov α,k k k 4k k α N k 3k 4k.47 Η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος, σύμφωνα με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, δίνεται από τη σχέση (Hosking, 986, Hosking and Wallis, 987, Rao and Hamed, 000): x x x x ST var α var k cov α, k α k α k Όταν ε = 0, τότε η μεταβλητότητα, οι μερικές παράγωγοι και η συμμεταβλητότητα δίνονται από τις σχέσεις: x T α k k.49 95

98 x α α α var α k N k k T T lnt k k k.40.4 var k k N.4 α cov α,k k N.43 Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν μόνο για k < 0.5. Στην περίπτωση που k > 0.5 οι υπολογισμοί γίνονται πιο πολύπλοκοι. Στη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, ισχύει για την εκτίμηση του τυπικού σφάλματος (Hosking, 986, Hosking and Wallis, 987, Rao and Hamed, 000): x x x x ST var α var k cov α, k α k α k όπου x T α k k.45 x α α k k T T lnt k k k.46 Για τη μεταβλητότητα και τη συμμεταβλητότητα των παραμέτρων εκτίμησης, για ε=0 ισχύει: var α var α α 7 8k k k N k 3 k 3 k k k k N k 3 k

99 cov α,k 3 k 6k 7k k α N k 3 k.49 Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν μόνο για k>-0.5. Στην περίπτωση που k<-0.5 οι υπολογισμοί γίνονται πιο πολύπλοκοι Κατανομή Wakeby Η κατανομή Wakeby είναι μια κατανομή με πέντε παραμέτρους m, a, b, c και d, οι οποίες ερμηνεύονται ως εξής: m είναι η παράμετρος θέσης a είναι η παράμετρος κλίμακας και b, c και d είναι οι παράμετροι σχήματος Μια από της εφαρμογές της κατανομής Wakeby είναι η εκτίμηση των ακραίων πλημμυρικών απορροών για διάφορες περιόδους επαναφοράς. Το πλεονέκτημα αυτής της κατανομής είναι το γεγονός ότι οι παράμετροί της υπολογίζονται με τη βοήθεια της μεθόδου των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, αντιπροσωπεύοντας τα χαρακτηριστικά του δείγματος σε μια ευθεία γραμμή τάσης. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής δεν μπορούν ακριβώς να προσδιοριστούν. Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x, με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση: b d xt m a T c T για m Στην περίπτωση που η παράμετρος m ισούται με μηδέν (m=0), τότε πρόκειται για την κατανομή Wakeby τεσσάρων παραμέτρων της οποίας η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x, με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση: b d xt a T c T, για m Λογιστική κατανομή Η Λογιστική κατανομή (Logistic distribution LO) είναι μια συνεχής κατανομή πιθανότητας, η οποία στο σχήμα μοιάζει με την κανονική κατανομή και έχει εφαρμογές σε πολλούς τομείς όπως στη Βιολογία, στην Ψυχολογία, στην Τεχνολογία, στη Φυσική, στην Επιδημιολογία, στην Υδρολογία κ.α.. Η Λογιστική κατανομή έχει δύο παραμέτρους: την παράμετρος θέσης ξ και την παράμετρος κλίμακας α 97

100 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: x ξ x ξ f x exp exp α α α.43 Η Λογιστική κατανομή περιγράφεται από την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, σύμφωνα με τη σχέση: x ξ Fx exp α.433 Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x, με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): T.434 x ξ αln T Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών, η εκτίμηση των παραμέτρων γίνεται με τη βοήθεια του μέσου όρου x και της μεταβλητότητας s με βάση τις σχέσεις (Greenwood et al., 979, Rao and Hamed, 000): x ξ.435 s π α Λύνοντας τη σχέση (.45) ως προς την παράμετρο α, προκύπτει: α s 3 π.437 Όσον αφορά τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, η συνάρτηση της πιθανότητας, της Λογιστικής κατανομής από ένα δείγμα μεγέθους N, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): Ν Ν x ξ L exp x ξ exp Ν α α i= i= α i i

101 Το y i ορίζεται από τη σχέση: xi ξ yi exp α.439 Λογαριθμίζοντας τη σχέση (.438) και σε συνδυασμό με τη σχέση (.439), προκύπτει: ln L Νln α x ξ ln y α Ν Ν i i.440 i= i= Η μερική παραγώγιση της σχέσης (.440) ως προς τις παραμέτρους ξ και α δίνει τις σχέσεις: Ν yi 0.44 ξ α α ln L Ν i= x ξ x ξ y 0.44 Ν Ν ln L Ν i i i α α α i= α i= Σύμφωνα με την επαναληπτική μέθοδο Newton Raphson, εκτιμώνται οι παράμετροι ξ και α από τη σχέση: ξn+ ξn dξn α α dα n+ n n.443 όπου οι τιμές των dξ n και dα n αποκτώνται από τη σχέση: dξn ξ ξα ξ dα n lnl lnl lnl lnl lnl lnl αξ α α.444 Οι δεύτερες μερικές παράγωγοι δίνονται ως εξής: ln L Ν Ν y i y i ξ α i= α i=

102 ln L Ν 4 Ν Ν Ν 3 xi ξ 3 xi ξ y i 4 xi ξ y i α α α i= α i= α i= 4 α Ν xi ξ y i.446 i= ln L Ν Ν Ν Ν yi 3 xi ξ y i 3 xi ξ y i α ξ α α i= α i= α i=.447 Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται έως ότου οι τιμές των σχέσεων (.44) και (.44) προσεγγίσουν τη μηδενική τιμή. Στη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών οι παράμετροι υπολογίζονται από τις σχέσεις (Greenwood et al., 979, Rao and Hamed, 000): Ν ξ l b x x i Ν i= α b b0.449 όπου b και b 0 ορίστηκαν προηγουμένως. Παράγοντας συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, ο παράγοντα συχνότητας K T της κατανομής Λογιστικής κατανομής, και για τις τρεις μεθόδους εκτίμησης, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): 3 KT ln T π.450 Η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος, για την εύρεση των ορίων εμπιστοσύνης, γίνεται ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία για τις τρεις μεθόδους εκτίμησης των παραμέτρων. Τυπικό σφάλμα εκτίμησης Σύμφωνα με τη μέθοδο των ροπών, η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος δίνεται από τη σχέση (Balakrishnan, 99, Rao and Hamed, 000): T 0,5 T S K α.45 N 00

103 Με βάση τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας, για την εκτίμηση του τυπικού σφάλματος ισχύει (Antle et al., 970, Hosking, 986, Rao and Hamed, 000) : T 0,5 T S 3.307K α.45 N Στη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών η εκτίμηση του τυπικού σφάλματος γίνεται από τη σχέση (Hosking, 986, Rao and Hamed, 000): T 0,5 T S 3.336K α Γενικευμένη Λογιστική κατανομή N Η Γενικευμένη Λογιστική κατανομή (Generalized logistic distribution - GLO) χρησιμοποιείται για την εκτίμηση ακραίων τιμών πλημμύρων και είναι παρόμοια με τη Γενικευμένη Pareto και τη Γενικευμένη κατανομή Ακραίων Τιμών. Η Γενικευμένη Λογιστική κατανομή έχει τρεις παραμέτρους ξ, α και k για τις οποίες ισχύει: ξ είναι η παράμετρος θέσης, α είναι η παράμετρος κλίμακας και k είναι η παράμετρος σχήματος Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τη σχέση: x ξ k x ξ k f x k k α α α.454 Η Γενικευμένη Λογιστική κατανομή (GLO) ορίστηκε από τους Hosking (986) και Rao and Harmed (000) με βάση τη σχέση της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής ως εξής: x ξ Fx k α k.455 Η μεταβλητή x παίρνει τιμές α ξ x < για k 0 k α < x ξ για k 0 k 0

104 Η εκτίμηση της μέγιστης τιμής της μεταβλητής x, με περίοδο επαναφοράς T, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): α xτ ξ T k k για k Εκτίμηση των παραμέτρων της κατανομής Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων ξ, α και k με τη μέθοδο των ροπών γίνεται με τη βοήθεια των παρακάτω σχέσεων (Rao and Hamed, 000): α x ξ k k k α s k k k k k C s 3 3 3k 3k 3 k k k k k k k 3 k k k k k.459 Αν C s <,5 τότε ισχύει για την παράμετρο k: k = - exp ( Ζ 0.7Ζ Ζ 3 ) (.460) Στην περίπτωση που ισχύει C s >,5 τότε η παράμετρος k εκτιμάται από τη σχέση: Cs k 4, 007 3, 4C,985C s s.46 όπου Ζ = log(c s ) Στη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας η συνάρτηση πιθανότητας, για ένα δείγμα μεγέθους N στη Γενικευμένη Λογιστική κατανομή, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): Ν k Ν k xi ξ xi ξ L k k Ν α i= α i= α.46 0

105 Το yi ορίζεται ως: xi ξ yi ln k k α.463 Ύστερα από λογαρίθμιση της σχέσης (.46) προκύπτει: Ν Ν k xi ξ xi ξ ln L Νln α ln k ln k k i= α i= α.464 Οι παράγωγοι της σχέσης (.464) ως προς τις παραμέτρους ξ, α, και k, εξισώνοντάς τες με τη μηδενική τιμή, δίνουν αντίστοιχα τις σχέσεις: ln L Q 0 ξ α ln L P Q 0 α αk ln L P Q R 0 k k k Σύμφωνα με τις σχέσεις (.454) έως (.456) τα P, Q και R ισοδυναμούν αντίστοιχα με: N i.468 P N exp y i= N Q k exp y k exp y k exp y N N.469 i i i i= i= N i i i.470 R N y y exp y i= i= Οι μερικές παραγώγους των σχέσεων (.468) έως (.470) ως προς τις παραμέτρους ξ, α και k δίνουν τις σχέσεις: N P exp y exp y ξ i i i.47 i= y ξ 03

106 N P exp y exp y α i i i.47 i= y α N P exp y exp y k i i i.473 i= y k yi y i ξ ξ ξ N N Q k k exp y i k k exp y i k exp y i i= i= N yi exp yik exp yi exp yi i= ξ.474 yi y i α α α N N Q k k exp y i k k exp y i k exp y i i= i= N yi exp yik exp yi exp yi i= α.475 N N Q yi y k i k exp y i k k exp y i k exp y i k i= k i= k N N yi i i i i i= k i= N N exp y k exp y exp y exp y k i i i i.476 exp y k exp y k y exp y k i= i= N N N R y y y ξ ξ ξ ξ i i i exp yi yi exp yi exp yi.477 i= i= i= N N N R y y y α α α α i i i exp yi yi exp yi exp yi.478 i= i= i= N N N R y y y k k k k i i i exp yi yi exp yi exp yi.479 i= i= i= Οι τιμές των παραμέτρων ξ, α και k προκύπτουν κατόπιν διαδοχικών επαναλήψεων της σχέσης: ξn+ ξn dξn α α dα n+ n n k n+ k n dk n

107 όπου τα dξ n, παραγώγων: dα n και dk n δίνονται παρακάτω, με τη βοήθεια των δεύτερων μερικών ξ ξα ξk ξ lnl lnl lnl lnl dξn lnl lnl lnl lnl dα α ξ α α k α lnl lnl lnl lnl k ξ k α k k n dk n.48 Με βάση τη μέθοδο των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών, οι παράμετροι της Γενικευμένης Λογιστικής κατανομής εκτιμώνται ως εξής: k t 3.48 α ξ l.483 k k l α l.484 k Παράγοντας συχνότητας K T Σύμφωνα με τη γενική σχέση του Ven te Chow (964), για υδρολογική ανάλυση συχνότητας, ο παράγοντα συχνότητας K T της Γενικευμένης Λογιστικής κατανομής, και για τις τρεις μεθόδους εκτίμησης, δίνεται από τη σχέση (Rao and Hamed, 000): K T k k k T k k k k k k k.485 όπου Γ( ) είναι η συνάρτηση Γάμμα.7.8. Συγκεντρωτικός πίνακας σχέσεων διαφόρων κατανομών Στον Πίνακας. δίνονται συγκεντρωτικά οι σχέσεις για τον υπολογισμό της μέγιστης τιμής x T, οι σχέσεις για τον υπολογισμό των παραμέτρων με τις μεθόδους των ροπών (MOM), της μέγιστης πιθανοφάνειας (MLM) και των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών (PWM) και οι σχέσεις για τον υπολογισμό του παράγοντα συχνότητας K T για τις κατανομές ακραίων τιμών που εφαρμόστηκαν στην παρούσα Μεταπτυχιακή διατριβή. Σε κάποιες κατανομές απουσιάζουν οι παραπάνω σχέσεις για κάποιες μεθόδους εκτίμησης των παραμέτρων λόγω του γεγονότος ότι δε βρέθηκε βιβλιογραφικά η εφαρμογή τους. 05

108 Πίνακας.. : Σχέσεις εκτίμησης της μέγιστης τιμής x T, των παραμέτρων με τις μεθόδους MOM, MLM και PWM και του παράγοντα συχνότητας για τις κατανομές ακραίων τιμών. Εκτίμηση παραμέτρων Μέγιστη τιμή Εκτίμηση παράγοντα συχνότητας Κ Τ Μέγιστη τιμή MOM MLM PWM Κ Τ MOM MLM PWM xt x s z xt xt y z s e y y z s e y x Ν Ν i= x Ν s xi x Ν i= s y μy x e s s x e y s y C e C v 3 s v v i 3C + C s y y x γe sy ysy s e e s y s y Cv e e x Ν Ν i= Ν i= x s xi x Ν i Ν α l b x x 0 i Ν i= α l s l b b 0 Ν i i N i= N ΚΑΝΟΝΙΚΗ b x ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ (LN()) x x s K K T =Z K T =Z K T =Z sy y lnb Ν y lnxi - b b 0 s Ν s i= y erf y Z s y b Ν 0 e x sy lnx i y Ν T x s KT KT s Ν i= b0 x xi y e Ν i= Ν i b xi N i= N ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΤΡΙΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ (LN(3)) Ν y lnxi Ν i= Ν s y lnxi y Ν i= l s y ln sy erf y z z sy z γl e s y y T x x s K T T T K K s y Z sy e s y Z sy e T s y s e e y s y Z sy e e T s y K s y Z sy e K T s y Z sy e T s y s e e y K T 06

109 Πίνακας.. (συνέχεια): Σχέσεις εκτίμησης της μέγιστης τιμής x T, των παραμέτρων με τις μεθόδους MOM, MLM και PWM και του παράγοντα συχνότητας για τις κατανομές ακραίων τιμών. Εκτίμηση παραμέτρων Εκτίμηση παράγοντα συχνότητας Κ Τ Μέγιστη τιμή Μέγιστη τιμή x Τ MOM MLM PWM MOM MLM PWM x T ξ αln ln x T ln T λ xt ε α lnt ξ x α s 6 α π λ x α s ε x α N xi ξ α ln N ln exp i= α N xi xi exp i= α αx N xi exp i= α N x α x imin N N xi min x ε N ξ b α b b α ln 0 GUMBEL (EVI) 07 x x s K T ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΔΥΟ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ α l ε l l l b b 0 T T ΓΑΜΜΑ ΔΥΟ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΜΕ K T (G) T Κ T T σ yν ln ln T Ν Κ T T σ yν ln ln T Ν Κ T T σ yν ln ln T x ε α ln T α K C K ln T K ln T xt s α x s β x χcs KT 4 C χ v Z 9v 9v S 3 T x α β U β U U χcs KT 4 C χ v Z 9v 9v S 3 T l α β v β v v v v π t b b0 t b K T 0 χcs Ν 3 * * 4 C χ v Z 9v 9v S 3

110 Πίνακας.. (συνέχεια): Σχέσεις εκτίμησης της μέγιστης τιμής x T, των παραμέτρων με τις μεθόδους MOM, MLM και PWM και του παράγοντα συχνότητας για τις κατανομές ακραίων τιμών. Μέγιστη τιμή x T = 0,5 α χ + γ xt e 0.5χ γ α s C Εκτίμηση παραμέτρων Εκτίμηση παράγοντα συχνότητας K T Μέγιστη τιμή x Τ MOM MLM PWM MOM MLM PWM β Cs s γ x Cs s α s C β Cs y y s y γ y s y Cs y α N i= β N α xi N N N i= x N i= i i N x lnxi γ i= β Ν α N lnxi γ Ν ψβ ln i= α N β i= lnxi γ α Ν PEARSON ΤΥΠΟΥ III (P(3)) Γβ α l Γ β t β t 0.88 t t m 3 m m m γ l α β m 3 t 3 π t 6b 6b b t3 b b 0 0 x x s K ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ PEARSON ΤΥΠΟΥ III (LP(3)) Γβ α l Γ β t β t 0.88 t t m 3 m m m γ l α β m 3 t 3 π t 6b 6b b t3 b b 0 0 T xt T y K T sy e K 3 T λ Z- λ 3λ λ C 6 s K 3 T λ Z- λ 3λ λ Cs 6 y 3 Cs Cs KT Z Cs Cs Cs KT Z Cs Cs Cs KT Z Cs Cs Cs KT Z Cs

111 Πίνακας.. (συνέχεια): Σχέσεις εκτίμησης της μέγιστης τιμής x T, των παραμέτρων με τις μεθόδους MOM, MLM και PWM και του παράγοντα συχνότητας για τις κατανομές ακραίων τιμών. xτ Μέγιστη τιμή λ Τ k α xt ε k T x ξ α ln T T k Εκτίμηση παραμέτρων Εκτίμηση παράγοντα συχνότητας K T Μέγιστη τιμή x Τ MOM MLM PWM MOM MLM PWM λ x k k C C C C v s x v v v α x ε k α s k k C s s x k k 3k ξ π α 3 k min x i N α N xi ln i k α x ε k αn+ αn δα n kn+ kn δk n ξn+ ξn δξn α α δα n+ n n PARETO ΔΥΟ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ PARETO (GP) α l k k ε l l k 3t k t ξ l α b b l x x s K ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ (LO) T T k T T k KT k T k k k k KT k T k k k k KT k T k k x x s K K ln T K ln T K ln T T 3 π T 3 π T 3 π 09

112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ - ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΙΚΩΝ ΑΠΟΡΡΟΩΝ 3.. Γενικά Η χρησιμότητα των σχέσεων έντασης διάρκειας συχνότητας (Intensity Duration Frequency, I D F) βροχοπτώσεων και κατ επέκταση των όμβριων καμπυλών είναι άμεση σε όλα τα προβλήματα υδρολογικού σχεδιασμού που αφορούν στην αντιπλημμυρική προστασία. Η χρήση τους συνίσταται στον υπολογισμό της έντασης βροχής i, για δεδομένη διάρκεια t, η οποία έχει σχέση με τα χαρακτηριστικά του υδατορεύματος ή του αγωγού που μελετάται, και για δεδομένη περίοδο επαναφοράς Τ, που έχει σχέση με τη σημασία του έργου που μελετάται και την ασφάλειά του έναντι πλημμυρών. Οι πλημμύρες των υδατορευμάτων οφείλονται σε ισχυρές βροχοπτώσεις, κρίσιμης διάρκειας που είναι ανάλογη της έκτασης, του σχήματος καθώς και του ανάγλυφου της λεκάνης που τροφοδοτεί το υδατόρευμα. Η εκτίμηση των πλημμυρικών απορροών, όταν δεν υπάρχουν δεδομένα παροχών, τα οποία είναι δύσκολο να αποκτηθούν, γίνεται με τη βοήθεια των βροχοπτώσεων που τις προκαλούν. Επομένως, η εκτίμηση των πλημμυρών μπορεί να βασιστεί μόνο στην αντίστοιχη ανάλυση συχνότητας των βροχοπτώσεων, διαφόρων διαρκειών και περιόδων επαναφοράς, που τις προκαλούν (Παπαμιχαήλ, 99, 004, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου 999, 0α,β, Παπαμιχαήλ κ.άλ., 000, 00, Γεωργίου κ.άλ., 003, Μπαλτάς, 003, Γεωργίου κ.άλ., 005, Καραμούζης κ.άλ., 000, 00, 003) αφού γι αυτές υπάρχουν συνήθως χρονοσειρές πραγματικών δεδομένων. Οπότε, είναι μια διαδικασία απαραίτητη στις περιπτώσεις των λεκανών απορροής στη θέση ενός φράγματος, για τον ακριβή σχεδιασμό έργων όπως η σήραγγα εκτροπής και ο υπερχειλιστής ασφαλείας. Οι αναλύσεις των μέγιστων εντάσεων βροχής, μιας σειράς καταιγίδων μπορούν να συνοψισθούν σε :. Οικογένειες καμπυλών (όμβριες καμπύλες) για δεδομένες συχνότητες εμφάνισης ή περιόδους επαναφοράς, απεικονίζοντας τη μέση μέγιστη ένταση βροχόπτωσης για κάθε διαφορετική διάρκεια.. Εμπειρικούς τύπους που εκφράζουν τις σχέσεις που απεικονίζονται στις παραπάνω καμπύλες. Υπάρχουν διάφοροι εμπειρικοί τύποι, αναφέροντας παρακάτω τους περισσότερο χρησιμοποιούμενους: P i a b T 3. 0

113 i n 3. P a T b n a b log T Pi T 3.3 όπου P i είναι η μέση μέγιστη ένταση βροχόπτωσης σε (mm/h), Τ είναι η περίοδος επαναφοράς, α, b, και n είναι παράμετροι που διαφοροποιούνται από σταθμό σε σταθμό, και για ένα συγκεκριμένο σταθμό κυμαίνονται ανάλογα από την περίοδο επαναφοράς ή με τη διάρκεια της βροχής Σε κάποιες χώρες, όπου έχει γίνει εκτεταμένη ανάλυση εντάσεων, με βάση δεδομένα μέγιστων τιμών βροχοπτώσεων, έχουν καταρτιστεί χάρτες που παρουσιάζουν γραμμές όμοιων τιμών των παραμέτρων αυτών. Όμως, είναι σκόπιμο να αναφερθεί ότι ένα σύνολο χαρτών ισοϋέτιων καμπυλών θεωρείται περισσότερο χρήσιμο. 3. Έναν αριθμό χαρτών που προκύπτουν από την ανάλυση συχνοτήτων βροχόπτωσης για διάφορες διάρκειες και περιόδους επαναφοράς. Οι αντίστοιχες εντάσεις μπορούν εύκολα να προκύψουν από τους χάρτες αυτούς διαιρώντας τα ύψη με τη διάρκεια. Ιδιαίτερη σημασία θα πρέπει να προσδίδεται στη σωστή και ακριβή λήψη των υψών βροχοπτώσεων εφόσον, η διαδικασία εξαγωγής των σχέσεων έντασης διάρκειας συχνότητας βασίζεται στα δεδομένα που λαμβάνονται από την καταγραφή τους. Στην Ελλάδα, αλλά και σε άλλες χώρες, η γενική κατάσταση των βροχομετρικών δικτύων χαρακτηρίζεται από: α) ένα σχετικά αραιό δίκτυο σταθμών εξοπλισμένων με βροχογράφο και β) ένα πολύ πυκνότερο δίκτυο σταθμών με βροχόμετρο, στο οποίο τυπικά η μέτρηση γίνεται μία φορά ημερησίως (συνήθως στις 08:00, αν και υπάρχουν ορισμένοι σταθμοί της ΕΜΥ με πυκνότερες μετρήσεις, π.χ. δύο μετρήσεις ημερησίως, στις 08:00 και στις 0:00). 3.. Βροχομετρικά δεδομένα Για τον σχεδιασμό και τη μελέτη της λειτουργίας των έργων αξιοποίησης των υδατικών πόρων, η βροχόπτωση παίζει πολύ σημαντικό ρόλο. Ο χαρακτήρας των ατμοσφαιρικών κατακρημνισμάτων, άρα και της βροχόπτωσης, επηρεάζεται από τα κλιματολογικά χαρακτηριστικά της περιοχής, την τοπογραφία της και τη θέση της σε σχέση με τη διεύθυνση των κύριων κυκλωνικών συστημάτων. Προκειμένου να διερευνηθούν τα χαρακτηριστικά αυτά είναι απαραίτητη η εγκατάσταση δικτύων σταθμών παρατηρήσεων. Η διάταξη του κάθε δικτύου παρατηρήσεων εξαρτάται από την περιοχή, τον σκοπό για τον

114 οποίο χρειάζονται οι παρατηρήσεις, τα διαθέσιμα οικονομικά μέσα καθώς και άλλους ειδικούς για κάθε περίπτωση παράγοντες. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η εγκατάσταση δικτύων βροχομετρικών παρατηρήσεων σε υδρολογικές λεκάνες. Οι παρατηρήσεις του δικτύου των λεκανών αυτών χρειάζονται για εκτίμηση της απορροής και πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο ακριβείς επειδή πάνω σε αυτές θα βασισθεί η μελέτη και η εκτέλεση κάποιου ή κάποιων υδραυλικών έργων. Ο αριθμός και ο τύπος των οργάνων που θα χρησιμοποιηθούν, πρέπει να τοποθετηθούν σε μία λεκάνη η οποία θα είναι συνάρτηση παραγόντων οικονομικών, κλιματικών και τοπογραφικών, όπως και του τρόπου ανάλυσης των παρατηρήσεων. Σε περίπτωση που οι παρατηρήσεις χρησιμοποιηθούν μόνο σαν δείκτες, τότε το δίκτυο των σταθμών δεν χρειάζεται να είναι πολύ πυκνό, αλλά χρειάζεται μεγάλη χρονική περίοδος παρατηρήσεων. Αν όμως, οι παρατηρήσεις χρησιμοποιηθούν σαν αντιπροσωπευτικά μεγέθη περιοχών, τότε ο χρόνος παρατηρήσεων μπορεί να λιγότερος αλλά χρειάζεται πυκνότερο δίκτυο και πολύ μεγαλύτερη προσοχή ώστε να είναι βέβαιο ότι οι παρατηρήσεις είναι πραγματικά αντιπροσωπευτικές. Τα δεδομένα τα οποία απαιτούνται για την ανάλυση των μέγιστων βροχοπτώσεων και την εξαγωγή των σχέσεων έντασης διάρκειας συχνότητας λαμβάνονται από μετρήσεις σε βροχόμετρα και βροχογράφους. Τα βροχόμετρα είναι εκείνα τα όργανα μέτρησης τα οποία δίνουν την ολική σημειακή βροχόπτωση και το ισοδύναμο νερού μιας χιονόπτωσης ανά ορισμένα χρονικά διαστήματα, συνήθως ωρο και 4ωρο, με την ανάγνωση της ένδειξης από έναν παρατηρητή. Ο πιο κλασικός τύπος μη αυτογραφικού βροχομέτρου (όργανο μέτρησης του μεγέθους των ατμοσφαιρικών κατακρημνισμάτων) έχει σχήμα κυλινδρικό και αποτελείται από το συλλέκτη, το χωνί και τον αποδέκτη. Ο συλλέκτης είναι ένας κύλινδρος αρκετά υψηλός με κατακόρυφα τα εσωτερικά του τοιχώματα που καταλήγει στο χωνί που το άνοιγμά του έχει την ίδια διάμετρο με αυτή του συλλέκτη. Η κλίση των τοιχωμάτων του χωνιού είναι τουλάχιστον 45 ο ώστε να προλαβαίνει τις απώλειες νερού που μπορεί να προκληθούν κατά την πρόσκρουση των σταγόνων της βροχής. Το χωνί καταλήγει στον αποδέκτη που έχει στενή είσοδο και προστατεύεται από την ηλιακή ακτινοβολία για να ελαχιστοποιείται η απώλεια του νερού από εξάτμιση (Παπαμιχαήλ, 004). Ο πιο συνηθισμένος τύπος βροχόμετρου είναι το δεκαπλασιαστικό βροχόμετρο. Στα δεκαπλασιαστικά βροχόμετρα η επιφάνεια του συλλέκτη είναι δεκαπλάσια από την επιφάνεια της διατομής του αποδέκτη, έτσι που το ύψος βροχής που φτάνει στο συλλέκτη γίνεται δέκα φορές μεγαλύτερο στον αποδέκτη με αποτέλεσμα την αύξηση της ακρίβειας των μετρήσεων (Παπαμιχαήλ, 004). Οι βροχογράφοι, καταγράφουν με απλό ωρολογιακό μηχανισμό τη σχέση ύψους βροχής χρόνου, αναλύοντας έτσι τη σημειακή χρονική διανομή των βροχοπτώσεων και είναι όργανα με τα οποία επιτυγχάνεται η συνεχής καταγραφή της ποσότητας της βροχής (Παπαμιχαήλ, 004).

115 Τρεις τύποι βροχογράφων είναι σήμερα σε χρήση, ο βροχογράφος με ανατρεπόμενους κάδους, ο σταθμιστικός βροχογράφος και ο βροχογράφος με πλωτήρα. Οι βροχογράφοι δίνουν παρατηρήσεις για πολύ μικρά χρονικά διαστήματα και για το λόγο αυτό είναι κατάλληλοι για τη μελέτη της διακύμανσης της έντασης μιας συγκεκριμένης βροχής. Αν ο αυτογραφικός μηχανισμός τους ρυθμιστεί έτσι που το τύμπανο που φέρει το χαρτί καταγραφής να κάνει μια πλήρη περιστροφή την ημέρα (να χρειάζεται δηλαδή αλλαγή χαρτιού κάθε μέρα), το ύψος της βροχής μπορεί να μετράται κατά 5λεπτα διαστήματα. Αν ο μηχανισμός ρυθμιστεί για αλλαγή χαρτιού μια φορά την εβδομάδα, το ύψος της βροχής μπορεί να μετρηθεί ανά 0λεπτα διαστήματα (Παπαμιχαήλ, 004). Ο βροχογράφος με ανατρεπόμενους κάδους αποτελείται από δύο μικρού κάδους που είναι τοποθετημένοι σε κοινό άξονα και μετακινούνται πάνω κάτω καθώς γεμίζουν με το νερό της βροχής, που κατευθύνεται προς αυτούς από το χωνί του οργάνου. Για την ανατροπή ενός κάδου χρειάζεται βροχή ίση με το /4 του mm και ο ελάχιστος χρόνος που απαιτείται για μια ανατροπή είναι /0 του sec. Οι ανατρεπόμενοι κάδοι συνδέονται με μηχανισμό καταγραφής που μεταφέρει τις παρατηρήσεις στο χαρτί καταγραφής. Ο σταθμιστικός βροχογράφος αποτελείται από ένα δοχείο που είναι τοποθετημένο πάνω σε ένα ελατήριο. Καθώς νερό συγκεντρώνεται από τη βροχή στο δοχείο, το ελατήριο συμπιέζεται προς τα κάτω και η συμπίεση αυτή μεταφέρεται από ένα μηχανισμό στο χαρτί καταγραφής. Η δυναμικότητα του οργάνου φτάνει να συγκεντρώσει μέχρι και 000 mm βροχής. Ο βροχογράφος με πλωτήρα αποτελείται από ένα δοχείο στο οποίο συγκεντρώνεται το νερό της βροχής και με τη βοήθεια ενός πλωτήρα οι μεταβολές της στάθμης του νερού μεταφέρονται στο χαρτί καταγραφής με κατάλληλο μηχανισμό. Στους σύγχρονους βροχογράφους που είναι ενταγμένοι σε αυτόματους μετεωρολογικούς σταθμούς δεν χρησιμοποιείται χαρτί καταγραφής αλλά γίνεται ηλεκτρονική καταχώρηση των μετρήσεων σε data loggers (Παπαμιχαήλ, 004) Μεγιστοποίηση βροχοπτώσεων Κατά τη σχεδίαση μεγάλων υδραυλικών έργων, για λόγους ασφαλείας, πολλές φορές πρέπει να χρησιμοποιούνται ακραίες τιμές βροχοπτώσεων που έχουν περίοδο επανάληψης μερικές εκατοντάδες χρόνια. Στις περιπτώσεις αυτές είναι από τα πράγματα αδύνατον να υπάρχουν παρατηρήσεις για τόσο μεγάλα χρονικά διαστήματα και πρέπει να βρεθεί κάποιος τρόπος για τον προσδιορισμό του πιθανού ακραίου ύψους βροχής με βάση διαθέσιμα στοιχεία. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται μεγιστοποίηση (Παπαμιχαήλ, 004). Μία διαδικασία μεγιστοποίησης είναι η εκτίμηση της πιθανής μέγιστης βροχόπτωσης, η οποία πραγματοποιείται με τη χρησιμοποίηση της σχέσης (Hershfield, 96, 965): 3

116 * * m m Η 3.4 h h k s όπου h m είναι το ύψος βροχής που αντιστοιχεί στην πιθανή μέγιστη βροχόπτωση * h είναι η μέση τιμή των ετήσιων μέγιστων υψών βροχής διάρκειας t * s Η είναι η τυπική απόκλιση των ετήσιων μέγιστων υψών βροχής διάρκειας t και k m είναι ο συντελεστής συχνότητας συναρτήσει της διάρκειας βροχής και της μέσης βροχόπτωσης, ο οποίος δίνεται σε νομογράφημα αλλά μπορεί να προσεγγιστεί και από τη σχέση: h 4 km 0 8.6ln 30 t * Στη σχέση του Hershfield, τα στατιστικά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται δεν είναι ακριβώς όπως υπολογίζονται από τις τυπικές εξισώσεις της στατιστικής, αλλά διορθωμένα. Συγκεκριμένα, γίνονται δύο ειδών διορθώσεις όπου στην πρώτη διόρθωση λαμβάνεται υπόψη το μέγεθος του δείγματος, ενώ στη δεύτερη λαμβάνεται υπόψη το μέγεθος της μεγαλύτερης τιμής του δείγματος. Στην αυθεντική μέθοδο, οι διορθώσεις γίνονται βάση εμπειρικών νομογραφημάτων, τα οποία έχουν μετατραπεί σε αναλυτικές εξισώσεις. Θεωρώντας ότι h και sη είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του πλήρους δείγματος των ετήσιων μέγιστων βροχοπτώσεων, εκτιμημένες με το συνήθη τρόπο, n είναι το μέγεθος του δείγματος και ' h και ' sη είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του δείγματος αφού αφαιρεθεί η μέγιστη τιμή του, τότε (Παπαμιχαήλ, 004): ' ' h h φ n ψ h,h,n s s φ n ψ s,s,n * ' Η Η Η Η όπου: φ φ n n 0.96e n n 4.e ' ' h 0.4 ψ h,h,n h n 3.0 4

117 ' '.37 s Η 0.65 ψ s Η,s Η,n n sη n 3. Πέρα από τη μεγιστοποίηση των βροχών και την εκτίμηση της μέγιστης πιθανής βροχόπτωσης ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα ιστορικά ακραία γεγονότα βροχής που συνοδεύονται και από μεγάλες καταστροφές. Ο Paulhus (965), με τη βοήθεια των μεγίστων τροπικών καταιγίδων διαφόρων διαρκειών από όλο τον κόσμο, βρήκε ότι αν η μεταβολή του ύψους βροχής σε σχέση με τη διάρκεια της, σχεδιασθεί σε διαγράμματα όπου οι κλίμακες είναι λογαριθμικές, τότε στα παγκόσμια μέγιστα βροχομετρικά ύψη προσαρμόζεται μία ευθεία γραμμή της μορφής: h t 3. όπου h είναι το ύψος βροχής (mm) και t είναι η διάρκεια βροχής (ώρες). Το Ινστιτούτο Υδρολογίας της Αγγλίας (Institute of Hydrology, 978) έκανε παρόμοια ανάλυση χρησιμοποιώντας μέγιστα ύψη βροχής από την Αγγλία βρήκε ότι στα μέγιστα βροχομετρικά ύψη της Αγγλίας προσαρμόζονται σε λογαριθμική κλίμακα μια ευθεία γραμμή της μορφής: h t 3.3 όπου h είναι το ύψος βροχής (mm) και t είναι η διάρκεια βροχής (hrs) Καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων Τα τρία χαρακτηριστικά της βροχόπτωσης, ένταση, διάρκεια και συχνότητα, είναι πολύ σημαντικά και αλληλεπιδρούν μεταξύ τους σε πολλά προβλήματα υδρολογικού σχεδιασμού. Στην πράξη όμως, κατά το σχεδιασμό, συνήθως συνδυάζονται γραφικά με τη μορφή της καμπύλης έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων. Η διερεύνηση των σχέσεων που υπάρχουν ανάμεσα στην ένταση, τη διάρκεια και τη συχνότητα εμφάνισης μιας βροχής, είναι μια βασική διαδικασία, που χρησιμοποιείται πολύ στην υδρολογική ανάλυση μικρών σχετικά σε έκταση περιοχών. Για τη διερεύνηση των σχέσεων έντασης διάρκειας συχνότητας των βροχών ενός σταθμού, για τον οποίο υπάρχουν βροχογραφικές παρατηρήσεις επί μακρά σειρά ετών, τα διαθέσιμα στοιχεία χωρίζονται με βάση τη διάρκειά τους σε διάφορες περιόδους. Τα ακραία ύψη βροχής μετατρέπονται σε ωριαίες εντάσεις οι οποίες ταξινομούνται σε χρονικές σειρές κατά φθίνουσα τάξη μεγέθους και υπολογίζεται η περίοδος επαναφοράς τους με μια σχέση της μορφής (Παπαμιχαήλ, 004): 5

118 Ν T 3.4 P m όπου Τ είναι η περίοδος επαναφοράς ή συχνότητα επανάληψης και Ρ είναι η πιθανότητα εμφάνισης του φαινομένου, η οποία δίνεται από την εξίσωση Weibull: P m 3.5 όπου m είναι ένας αριθμός, που υποδηλώνει τη θέση του συμβάντος στη χρονική σειρά και N είναι ο αριθμός των ετών των παρατηρήσεων, που χρησιμοποιήθηκαν στη σειρά. Στην ανάλυση συχνότητας (παράγραφο.6..), όπου έχει επικρατήσει να χρησιμοποιείται η περίοδος επαναφοράς αντί της πιθανότητας, η περίοδος επαναφοράς T είναι το αντίστροφο της πιθανότητας εμφάνισης P ενός συμβάντος ορισμένου μεγέθους. Στην πρώτη μέθοδο ανάλυσης συχνότητας (παράγραφο.6.3.), η οποία κάνει χρήση της θέσης σχεδιασμού για τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος που μπορεί να προκύψει, η περίοδος επαναφοράς T προσδιορίζεται από τη σχέση (3.4), ενώ η πιο ενδεδειγμένη σχέση υπολογισμού της θέσης σχεδιασμού για ακαθόριστες κατανομές που χρησιμοποιείται στα περισσότερα δείγματα είναι η σχέση (3.5). Τα παραπάνω στοιχεία μεταφέρονται σε διαγράμματα και σχεδιάζονται οι καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας των βροχών του σταθμού που μελετάται. Με βάση τα παραπάνω, μπορεί να σχεδιαστούν χάρτες με καμπύλες ίσης έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων που είναι πολύ σημαντικοί για τη μελέτη και σχεδίαση υδραυλικών έργων Αναλυτικές εκφράσεις Για την εκτίμηση των πλημμυρικών παροχών των λεκανών απορροής, οι οποίες είναι απαραίτητες στον υδρολογικό σχεδιασμό των κατασκευών ασφαλείας, πρέπει να υπολογιστούν οι αντίστοιχες βροχοπτώσεις σχεδιασμού των βροχομετρικών σταθμών. Για αυτό τον λόγο χρησιμοποιούνται οι καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων. Στο σύστημα συντεταγμένων, η ένταση της βροχόπτωσης, παριστά την τεταγμένη και η διάρκεια την τετμημένη. Μία καμπύλη έντασης-διάρκειας δίνεται για κάθε περίοδο επαναφοράς. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας για κάθε περιοχή είναι ανεξάρτητες. Οι διαφορές, αν και μικρές, επιφέρουν αλλαγές στα χαρακτηριστικά της βροχόπτωσης ανά περιοχές. Οι καμπύλες σχεδιάζονται σε δι-λογαριθμικό χαρτί και έχουν χαρακτηριστικό σχήμα. Τυπικά, οι καμπύλες, για μια συγκεκριμένη περίοδο επαναφοράς (μικρές διάρκειες δύο ωρών ή λιγότερο) εμφανίζουν μια χαρακτηριστική καμπυλότητα, ενώ για μεγαλύτερες διάρκειες είναι ευθείες. 6

119 Οι αναλυτικές σχέσεις έντασης - διάρκειας, συγκεκριμένης περιόδου επαναφοράς Τ, έχουν διάφορες μορφές, μεταξύ των οποίων είναι και η εξής (Wenzel 98, Chow et al. 988, Μιμίκου 994, Παπαμιχαήλ, 004): i k t b m 3.6 όπου i είναι η ένταση της βροχής (mm/hr), t είναι η διάρκεια της βροχής (hrs), k και m είναι σταθερές και b είναι η διορθωτική παράμετρος, που διορθώνει τη χρονική κλίμακα δίνοντας τη δυνατότητα βελτιστοποίησης της σκέδασης των σημείων γύρω από την όμβρια καμπύλη. Υπάρχουν πολλές μορφές αναλυτικών σχέσεων που εμφανίζονται σε τεχνικές βιβλιογραφίες, κάποιες από τις οποίες είναι οι ακόλουθες (WMO, 009): i t c α b 3.7 α T i c t b 3.8 c 3.9 i α t b α b log T i t c 3.0 όπου α, b και c είναι συντελεστές που ποικίλουν ανάλογα με την τοποθεσία και την περίοδο επαναφοράς. Οι μορφές των αναλυτικών σχέσεων έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων, που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή, για την περιγραφή των καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων, είναι η σχέση (3.0) και η σχέση: i kt α t b m 3. όπου α είναι μια παράμετρος, k και m είναι σταθερές, b είναι η διορθωτική παράμετρος και T είναι η περίοδος επαναφοράς σε έτη. 7

120 3.4.. Εκτίμηση παραμέτρων Ο υπολογισμός των παραμέτρων των σχέσεων έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων, από τις οποίες προκύπτουν καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας, πραγματοποιείται με τις εξής μεθόδους:. Μέθοδος καθολικής εκτίμησης (Κουτσογιάννης 997),. Εκτίμηση με ενοποίηση διαρκειών (Κουτσογιάννης 997) και 3. Μέθοδος προσαρμογής δεδομένων (Παπαμιχαήλ, 004). Η μέθοδος της καθολικής εκτίμησης εκτιμά ταυτόχρονα το σύνολο των παραμέτρων των όμβριων καμπυλών ελαχιστοποιώντας το συνολικό σφάλμα των όμβριων καμπυλών σε σχέση με τα ιστορικά δεδομένα. Η χρήση αυτής της μεθόδου προϋποθέτει την αντιστοίχηση σε κάθε στοιχείο κάθε δείγματος μία συγκεκριμένη περίοδο επαναφοράς. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιείται η εμπειρική συνάρτηση κατά Gringorten. Άρα, για το στοιχείο (ένταση βροχής) υπ αριθμόν l του δείγματος j, διατεταγμένου σε φθίνουσα σειρά i ij, η περίοδος επαναφοράς είναι (Κουτσογιάννης, 997): T jl N j 0. l Ενώ η εμπειρική συνάρτηση κατά Cunnane είναι: T jl N 0. j l όπου N j είναι το μέγεθος του δείγματος j. Επομένως, κάθε στοιχείο δείγματος περιγράφεται από μία τριάδα αριθμών (i jl, T jl, t j ). Σε περίπτωση που θεωρηθεί ότι είναι γνωστό το σύνολο των παραμέτρων των όμβριων καμπυλών, τότε για δεδομένα T jl, t j υπολογίζεται η θεωρητική ένταση από τη σχέση: i x T f t j l j 3.4 όπου x(t) και f(t) είναι συναρτήσεις της περιόδους επαναφοράς και της διάρκειας αντίστοιχα. 8

121 Για το σφάλμα αντίστοιχα, δίνεται η σχέση: ˆ i e lni lni ln î jl jl jl jl jl 3.5 Στην εξίσωση (3.5) έχει γίνει χρήση του λογαριθμικού μετασχηματισμού των εντάσεων προκειμένου να διατηρηθεί ισορροπία ανάμεσα στα σφάλματα των εντάσεων για μικρές και μεγάλες διάρκειες (δεδομένου ότι στις πρώτες οι εντάσεις είναι μεγαλύτερες). Το καθολικό μέσο σφάλμα υπολογίζεται από τη σχέση (Κουτσογιάννης, 997): E k k N j Σ e j j= N Σ l j l= 3.6 Στόχος της διαδικασίας εκτίμησης των παραμέτρων είναι η ελαχιστοποίηση της σχέσης (3.6). H γενική αναλυτική λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης δεν μπορεί να κατασκευαστεί εξαιτίας των πολύπλοκων εκφράσεων των όμβριων καμπυλών, ιδιαίτερα της συνάρτησης x(τ). Για αυτό το λόγο καταφεύγουμε σε αριθμητικές λύσεις. Η μέθοδος της καθολικής εκτίμησης στηρίζεται σε έναν αλγόριθμο αναζήτησης (μη γραμμική βελτιστοποίηση), ο οποίος καταλήγει στη βέλτιστη λύση με διαδοχικές προσεγγίσεις, έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το καθολικό σφάλμα. Η μέθοδος εκτίμησης με ενοποίηση διαρκειών υπολογίζει το σύνολο των παραμέτρων των όμβριων καμπυλών στα εξής δύο στάδια (Κουτσογιάννης, 997):. Στο πρώτο στάδιο υπολογίζονται οι παράμετροι της συνάρτησης f(t) και. Στο δεύτερο στάδιο υπολογίζονται οι παράμετροι της x(t). Σε αντίθεση με την καθολική μέθοδο, η μέθοδος εκτίμησης με ενοποίηση διαρκειών δε χρησιμοποιεί τις εμπειρικές συναρτήσεις κατανομής των δειγμάτων. Από τη γενική εξίσωση των όμβριων καμπυλών, σχέση (3.4), προκύπτει ότι η τυχαία μεταβλητή y = i f(t), έχει συνάρτηση κατανομής ανεξάρτητη της διάρκειας t, η οποία καθορίζεται πλήρως από τη συνάρτηση x(τ). Πρέπει, λοιπόν, οι παράμετροι b και m να υπολογιστούν έτσι ώστε να ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη. Έστω ότι οι τιμές των παραμέτρων b και m είναι γνωστές, τότε μπορούν να υπολογιστούν οι τιμές y jl =i jl *f(t j ). Ενοποιώντας όλα τα δείγματα που περιέχουν τις τιμές y jl, λαμβάνεται ένα συνολικό δείγμα μεγέθους ως εξής: M k N 3.7 j j= 9

122 Σύμφωνα με αυτό το δείγμα, το οποίο έχει καταταχθεί κατά φθίνουσα σειρά, μπορούν να αντιστοιχηθούν αύξοντες αριθμοί ή βαθμοί R jl σε όλες τις Μ τιμές y jl (Στην περίπτωση που υπάρχουν ταυτόσημες τιμές y jl χρησιμοποιείται ο μέσος όρος των αντίστοιχων βαθμών). Επανερχόμενοι στα επί μέρους αρχικά δείγματα των ξεχωριστών διαρκειών υπολογίζεται για κάθε τιμή ο μέσος βαθμός: R j k k R lj N 3.8 j= Σε περίπτωση που όλα τα επιμέρους δείγματα έχουν την ίδια κατανομή τότε κάθε πρέπει να βρίσκεται πολύ κοντά στην τιμή Μ, διαφορετικά οι τιμές R j θα R j θα διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους. Για το λόγο αυτό γίνεται χρήση της στατιστικής παραμέτρου Kruskal Wallis, η οποία συνδυάζει τους μέσους βαθμούς από όλα τα επιμέρους δείγματα, σύμφωνα με την ακόλουθη στατική συνάρτηση: k j j 3.9 i= M H N R M M Η προαναφερθείσα στατιστική συνάρτηση Η ακολουθεί την κατανομή χ με k- βαθμούς ελευθέριας. Έτσι, το πρόβλημα προσδιορισμού των παραμέτρων b και m μπορεί να αναχθεί στην ελαχιστοποίηση της στατιστικής παραμέτρου Η, με παράλληλο στατιστικό έλεγχο της υπόθεσης Η=0. Όμως, και σε αυτή την περίπτωση η αναλυτική ελαχιστοποίηση δεν είναι δυνατή, αλλά θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί αριθμητική μέθοδος, η οποία ελέγχει με συστηματικό τρόπο δοκιμαστικές τιμές των παραμέτρων. Ύστερα από τον προσδιορισμό των παραμέτρων που αναφέρθηκε προηγουμένως, η εκτίμηση των παραμέτρων της συνάρτησης x(t) γίνεται με τις μεθόδους στατιστικής (μέθοδος των ροπών, μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας, μέθοδος των πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών). Μέθοδος προσαρμογής δεδομένων Παρατηρώντας τη σχέση (3.6) διαπιστώνεται ότι έχει σχετικά μεγαλύτερη ευελιξία και γενικότητα έναντι άλλων σχέσεων αφού περιλαμβάνει τη διορθωτική παράμετρο b, που διορθώνει τη χρονική κλίμακα δίνοντας τη δυνατότητα βελτιστοποίησης της σκέδασης των σημείων γύρω από την όμβρια καμπύλη. Με βάση τη σχέση (3.6), η απόκτηση των σχέσεων (i, t) και για άλλες περιόδους επαναφοράς Τ, οδήγησε στην απόκτηση των καμπυλών έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων (i, t, T), σχέση (3.). Η εκτίμηση των παραμέτρων της σχέσης (3.) επιτυγχάνεται με διάφορες διαδικασίες όπως με την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων και με τη γραφική 0

123 μέθοδο. Λογαριθμίζοντας τη σχέση (3.), παρατηρείται ότι οι καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων, σε διπλό λογαριθμικό χαρτί, είναι ευθείες παράλληλες με παράμετρο την περίοδο επαναφοράς Τ και άξονες i και (t+b), με αναλυτική έκφραση την παρακάτω σχέση (Παπαμιχαήλ, 004, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 99): α 3.30 log i log kt m log t b Η ρύθμιση της σχέσης (3.30) αρχίζει με την εκτίμηση της διορθωτικής παραμέτρου b έτσι ώστε να βελτιστοποιείται η σκέδαση των σημείων γύρω από τις καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων (μπορεί να γίνει αναλυτικά αλλά και γραφικά, πάνω σε διπλό λογαριθμικό χαρτί). Στη συνέχεια, για κάθε Τ της ανάλυσης και με τη βοήθεια της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων εκτιμώνται τα Α Τ =log(kt α ) και m της εξίσωσης (3.30). Τέλος, και με βάση τις τιμές των ζευγών (Α Τ, logτ), που ήδη είναι γνωστές, εκτιμώνται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι τιμές k και α από τη γραμμική σχέση: T 3.3 A log k α log T Η εκτίμηση των παραμέτρων b, m, α και k και συνεπώς η εκτίμηση των σχέσεων των όμβριων καμπυλών, πραγματοποιείται κατά την ολοκλήρωση της ανωτέρω διαδικασίας από την οποία γίνεται δεκτό το γεγονός ότι b = 0 (σχετικά μικρή διασπορά των σημείων γύρω από τις καμπύλες έντασης διάρκειας συχνότητας βροχοπτώσεων). Γνωρίζοντας την ένταση της βροχής i (mm/hr), με βάση τα βροχομετρικά δεδομένα από τους σταθμούς, τις περιόδους επαναφοράς Τ, καθώς και τις διάρκειες βροχόπτωσης t, προκύπτουν οι εκτιμήσεις των εντάσεων βροχής των διαφόρων κατανομών. Η εκτίμηση των παραμέτρων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων όπως περιγράφεται παραπάνω, πραγματοποιείται με τη χρησιμοποίηση του προγράμματος Excel. Επιπλέον, η εκτίμηση των παραμέτρων τόσο της σχέσης (3.6) όσο και της σχέσης (3.0) του WMO που χρησιμοποιείται στην παρούσα διατριβή, έγινε με τη βοήθεια της μη γραμμικής συσχέτισης (nonlinear regression) με τη βοήθεια του στατιστικού πακέτου Statgraphics Centurion XVI (Statgraphics, 00). Για τη μη γραμμική συσχέτιση το πρόγραμμα Statgraphics χρησιμοποιεί την τεχνική του Marquardt (Marquardt, 963, Kuester and Mize, 973), που είναι μία μη γραμμική διαδικασία ελαχίστων τετραγώνων, η οποία για να εφαρμοσθεί απαιτεί κατάλληλες αρχικές τιμές για την τελική εκτίμηση των παραμέτρων των σχέσεων. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να αναφερθεί ότι στην περίπτωση εφαρμογής μιας εμπειρικής σχέσης γενικευμένης μορφής για την εκτίμηση της έντασης της βροχόπτωσης θα πρέπει, εάν είναι δυνατό, να εξετάζεται η διαδικασία υπολογισμού της σχέσης αυτής. Αυτού του είδους οι τύποι βασίζονται, πολλές φορές, στην ανάλυση περιορισμένων δεδομένων που αναφέρονται σε συγκεκριμένες περιοχές και η εφαρμογή τους σε άλλες περιοχές μπορεί να οδηγήσει σε ανακριβή συμπεράσματα.

124 3.5. Εκτίμηση πλημμυρικών απορροών Γενικά Ο σωστός σχεδιασμός των έργων αξιοποίησης των υδατικών πόρων βασίζεται στις σχέσεις έντασης-διάρκειας-συχνότητας ραγδαίων βροχοπτώσεων, για περιόδους επαναφοράς που ταυτίζονται με την οικονομική ζωή των έργων και εξάγονται από τα ιστορικά δεδομένα των μέγιστων βροχοπτώσεων διαφόρων διαρκειών. Η εύρεση της μέγιστης έντασης βροχής (i), για διάφορες διάρκειες (t) και για περιόδους επαναφοράς (T) επιτυγχάνεται με τη βοήθεια της ανάλυσης συχνότητας ακραίων τιμών. Με τη βοήθεια των σχέσεων έντασης διάρκειας συχνότητας ραγδαίων βροχοπτώσεων εκτιμάται η μέγιστη ένταση βροχής, ορισμένης διάρκειας, για μια συγκεκριμένη περίοδο επαναφοράς, που ταυτίζεται με την οικονομική ζωή του έργου αξιοποίησης των υδατικών πόρων της περιοχής. Το ύψος βροχής που προκύπτει χρησιμοποιείται στη συνέχεια για την εκτίμηση των πλημμυρογραφημάτων (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 999). Η εκτίμηση των πλημμυρικών παροχών είναι απαραίτητη στον υδρολογικό σχεδιασμό και την κατασκευή έργων ασφαλείας ενός φράγματος όπως είναι η σήραγγα εκτροπής και ο υπερχειλιστής ασφαλείας ενός φράγματος. Ο υδρολογικός σχεδιασμός προηγείται του υδραυλικού σχεδιασμού και συνίσταται στην εκτίμηση της πλημμύρας σχεδιασμού, δηλαδή την πλημμύρα που αναμένεται να συμβεί στη θέση του έργου με συχνότητα, όπου Τ είναι η περίοδος επαναφοράς και J είναι η πιθανότητας ότι το συμβάν (στην προκειμένη περίπτωση η πλημμύρα) θα εμφανιστεί σε οποιοδήποτε διάστημα διάρκειας N χρόνων ζωής σύμφωνα με τη σχέση: J T Ν 3.3 Η διάρκεια της βροχής σχεδιασμού αποφασίζεται με βάση τα τεχνικά και τα οικονομικά χαρακτηριστικά του έργου. Όταν το έργο που κατασκευάζεται έχει πρόβλημα με το όγκο (π.χ. ταμιευτήρες), τότε επιλέγεται μεγάλη διάρκεια βροχής, ενώ όταν το πρόβλημα που παρουσιάζεται αφορά την αιχμή της πλημμύρας (π.χ. δίκτυα όμβριων) τότε επιλέγεται μικρή διάρκεια. Για την κατασκευή ενός έργου η περίοδο επαναφοράς της πλημμύρας είναι μικρότερη από αυτήν της καταιγίδας που την προκάλεσε, για T<500 χρόνια (παράδειγμα για καταιγίδα 80ετίας αντιστοιχεί πλημμύρα 50ετίας) (Μιμίκου, 994). Έστω ότι η περίοδος κατασκευής του έργου ισούται με χρόνια τότε η διακινδύνευση σχεδιασμού J, σύμφωνα με τη σχέση (3.3), είναι 9% και.99% για περίοδο επαναφοράς 0 και 00 ετών αντίστοιχα. Σύμφωνα με τους Sutcliffe (978), Γεωργίου κ.αλ. (003), και Παπαμιχαήλ (004) υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ περιόδου επαναφοράς πλημμύρας και περιόδου επαναφοράς βροχής σχεδιασμού, σε αντίθεση με τους Larson and

125 Reich (973), Κουτσογιάννης (004), κ.λπ. που θεωρούν ότι η ανωτέρω διαφοροποίηση δεν είναι σωστή και ότι κατά μέσο όρο οι δύο περίοδοι επαναφοράς συμπίπτουν. Θεωρώντας ότι υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ περιόδου επαναφοράς πλημμύρας και περιόδου επαναφοράς βροχής σχεδιασμού, δίνεται ο παρακάτω Πίνακας 3.. Πίνακας 3..: Αντιστοιχία περιόδου επαναφοράς πλημμύρας και περιόδου επαναφοράς βροχής σχεδιασμού. Περίοδος επαναφοράς πλημμύρας Περίοδος επαναφοράς βροχής σχεδιασμού Για τον υπολογισμό της πλημμύρας σχεδιασμού απαιτείται η εκτίμηση της βροχής σχεδιασμού. Το ύψος της βροχής σχεδιασμού h, προκύπτει με δεδομένα την περίοδο επαναφοράς T, π.χ. για πλημμύρα σχεδιασμού περιόδου επαναφοράς 50 έτη, η περίοδος επαναφοράς της βροχής θα πρέπει να είναι 8 χρόνια (Μιμίκου, 994, Παπαμιχαήλ, 004). Αυτό σημαίνει ότι απαιτείται γενικά μεγαλύτερης περιόδου επαναφοράς βροχής σχεδιασμού για να παραχθεί μια πλημμυρική αιχμή συγκεκριμένης περιόδου επαναφοράς. Αυτή η διαφορά γίνεται μικρότερη με την αύξηση της περιόδου επαναφοράς και μηδενίζεται στο διάστημα μεταξύ της περιόδου 500 έως 000 χρόνια (Μιμίκου, 994, Παπαμιχαήλ, 004) Χρονική κατανομή βροχοπτώσεων Το πιο σημαντικό στοιχείο ενός υδρογραφήματος είναι η εκτίμηση του μεγέθους της αιχμής του που προέρχονται από βροχοπτώσεις διαφόρων διαρκειών και περιόδων επαναφοράς προκειμένου να αποφευχθούν οι καταστροφικές συνέπειες που προκαλούνται από τις πλημμύρες. Οι πρώτες μέθοδοι που διερευνήθηκαν για αυτόν τον σκοπό ήταν εμπειρικές, ενώ στη συνέχεια χρησιμοποιήθηκαν το Μοναδιαίο Υδρογράφημα (Μ.Υ.), τα Συνθετικά Μοναδιαία Υδρογραφήματα (Σ.Μ.Υ.) και τα μοντέλα βροχής-απορροής. Σε περιπτώσεις που δεν υπάρχουν ταυτόχρονες μετρήσεις βροχής-απορροής, χρησιμοποιείται η διαδικασία των Συνθετικών Μοναδιαίων Υδρογραφημάτων (Σ.Μ.Υ.), όπου η εκτίμηση των πλημμυρογραφημάτων πραγματοποιείται με τη βοήθεια των Μοναδιαίων Υδρογραφημάτων (Μ.Υ.), η διερεύνηση των οποίων βασίζεται σε εμπειρικές σχέσεις που συνδέουν ορισμένα φυσικά χαρακτηριστικά της λεκάνης με τα στοιχεία του Μ.Υ. (Παπαμιχαήλ κ. άλ., 000). Η εκτίμηση πλημμυρογραφημάτων θεωρώντας ότι η ένταση της βροχής είναι σταθερή σε όλη τη διάρκεια της, είναι εσφαλμένη, επειδή διάρκειες μερικών ωρών θεωρούνται αρκετά μεγάλες για να υποτεθεί ότι η ένταση της βροχής παραμένει σταθερή. Υπάρχουν αρκετές εμπειρικές μέθοδοι με τις οποίες μπορεί να υπολογιστεί το σχήμα του βροχογραφήματος 3

126 όταν είναι γνωστά το ύψος της βροχόπτωσης και η διάρκειά της (Παπαμιχαήλ, 004). Μεταξύ των μεθόδων χρονικής κατανομής των βροχοπτώσεων, που χρησιμοποιήθηκαν ευρέως σε υδρολογικούς σχεδιασμούς είναι οι εξής (Chow et al., 988):. Μέθοδος της S.C.S.. Μέθοδος του Τριγωνικού βροχογραφήματος 3. Μέθοδος του δυσμενέστερου συνδυασμού 4. Μέθοδος των εναλλασσόμενων υψών βροχής Στη μέθοδο της S.C.S. η χρονική κατανομής της βροχόπτωσης αναφέρεται σε καταιγίδες διάρκειας 6 και 4 ωρών. Για την περίπτωση των καταιγίδων διάρκειας 4 ωρών η S.C.S. ανέπτυξε τέσσερις τύπους κατανομής της βροχόπτωσης (I, IA, III, II). Οι τύποι I και IA ενδείκνυται σε κλίμα με υγρούς χειμώνες και ξηρά καλοκαίρια, όπως είναι οι περιοχές των Η.Π.Α. που βρίσκονται στα παράλια του Ειρηνικού. Ο τύπος III ενδείκνυται για τις περιοχές των Η.Π.Α. που βρίσκονται στον Κόλπο του Μεξικού και στα παράλια του Ατλαντικού, όπου λαμβάνουν χώρα τροπικές καταιγίδες διάρκειας μεγαλύτερης των 4 ωρών. Τέλος, ο τύπος II ενδείκνυται για όλες τις άλλες περιοχές των Η.Π.Α. (Παπαμιχαήλ, 004). Η μέθοδος του δυσμενέστερου σχεδιασμού (USBR, 977) είναι μια παραλλαγή της μεθόδου των εναλλασσόμενων υψών βροχής όπου το μεγαλύτερο ύψος βροχής δεν τοποθετείται στο κεντρικό χρονικό διάστημα, αλλά στο χρονικό διάστημα που βρίσκεται απέναντι από τη μέγιστη τεταγμένη του μοναδιαίου υδρογραφήματος (Παπαμιχαήλ, 004). Στη μέθοδο του Τριγωνικού βροχογραφήματος το βροχογράφημα έχει σχήμα τριγώνου (Chow et al., 988). Η βάση του τριγώνου αντιπροσωπεύει τη διάρκεια της καταιγίδας (T s ) και το εμβαδόν του, το συνολικό ύψος βροχόπτωσης. Το ύψος του τριγώνου (h) αντιπροσωπεύει την αιχμής της έντασης της καταιγίδας και υπολογίζεται από τα γεωμετρικά στοιχεία του τριγώνου. Ο χρόνος εμφάνισης της αιχμής της καταιγίδας (t α ) δίνεται από το συντελεστή εξέλιξης της καταιγίδας r, που ισούται με το λόγο του χρόνου αιχμής (t α ) προς τη διάρκεια της καταιγίδας (T d ), δηλαδή: r t T α 3.33 d Αν r=0.5 τότε η αιχμή της καταιγίδας εμφανίζεται στο μέσο της διάρκειά της Αν r < 0.5 τότε η αιχμή εμφανίζεται νωρίτερα και Αν r >0.5 τότε η αιχμή εμφανίζεται αργότερα Στον Πίνακα 3., δίνονται τυπικές τιμές του συντελεστή εξέλιξης της καταιγίδας (r), διαφόρων περιοχών (Wenzel, 98). Οι τιμές αυτές βρέθηκαν από την ανάλυση μιας σειράς καταιγίδων των περιοχών αυτών και όπως φαίνεται από τον Πίνακα 3. είναι μικρότερες από 0.5 (Παπαμιχαήλ, 004). 4

127 Πίνακας 3..: Τυπικές τιμές του συντελεστή εξέλιξης καταιγίδας (r), διαφόρων περιοχών. Περιοχή Τιμή του r Βαλτιμόρη Σικάγο Σικάγο 0.94 Σινσινάτι 0.35 Κλήβελαντ Ινδία 0.46 Οντάριο Φιλαδέλφεια 0.44 Σύμφωνα με τη μέθοδο των εναλλασσόμενων υψών βροχής [Alternating Block Method] (Chow et al., 988), η βροχόπτωση διάρκειας t και περιόδου επαναφοράς T κατανέμεται ως εξής μέσα στη διάρκειά της: Από τη σχέση έντασης διάρκειας περιόδου επαναφοράς της μορφής της σχέσης (3.0) και γνωρίζοντας ότι το ύψος βροχή ισούται με το γινόμενο της έντασης επί της διάρκειας της, για βροχοπτώσεις της ίδιας περιόδου επαναφοράς T, προκύπτει η σχέση (Παπαμιχαήλ, 004): h t t h t t c c 3.34 Από τη σχέση έντασης διάρκειας περιόδου επαναφοράς της μορφής της σχέσης (3.) και γνωρίζοντας ότι το ύψος βροχή ισούται με το γινόμενο της έντασης επί της διάρκειας της, για βροχοπτώσεις της ίδιας περιόδου επαναφοράς T, προκύπτει η σχέση (Παπαμιχαήλ, 004): h h t t m 3.35 Όπου h είναι το ύψος βροχής διάρκειας t, h είναι το ύψος βροχής διάρκειας t, t είναι η διάρκεια βροχής ύψους h, t είναι η διάρκεια βροχής ύψους h, m και c είναι σταθερές που υπολογίζονται από τη σχέση έντασης διάρκειας περιόδου επαναφοράς Με βάση τις σχέσεις (3.34) και (3.35) υπολογίζονται τα ύψη βροχής κάθε επιμέρους διάρκειας (μέσα στη συνολική διάρκεια). Τα ύψη αυτά είναι αθροιστικά. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι διαφορές τους που είναι τα ύψη βροχής κάθε χρονικού διαστήματος και μετά ακολουθεί η κατανομή τους ως εξής: Το μεγαλύτερο ύψος τοποθετείται στο κεντρικό χρονικό διάστημα, το αμέσως μικρότερο ύψος στο επόμενο χρονικό διάστημα από δεξιά, 5

128 το αμέσως μικρότερο ύψος στο επόμενο χρονικό διάστημα από αριστερά και ου το καθεξής (Παπαμιχαήλ, 004) Εκτίμηση απορροϊκής βροχής Η απορροϊκή βροχή, η οποία είναι το μέρος της βροχής που δίνει άμεση απορροή, εξαρτάται από την τοπογραφική διαμόρφωση της λεκάνης, τη διαπερατότητα των εδαφών, το είδος της φυτοκάλυψης και τις ατμοσφαιρικές συνθήκες. Η εκτίμηση της απορροϊκής βροχής γίνεται με τη βοήθεια τριών βασικών διαδικασιών, που είναι γνωστές σαν δείκτες διηθητικότητας (Παπαμιχαήλ, 004):. Μέθοδος του δείκτη διηθητικότητας f ave. Μέθοδος του δείκτη διηθητικότητας Φ 3. Μέθοδος του δείκτη W Για την εφαρμογή τους χρειάζεται η ύπαρξη υδρογραφήματος από το χωρισμό του οποίου σε άμεση και βασική απορροή βρίσκεται η απορροϊκή βροχή. Η βροχή αυτή χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των διαφόρων δεικτών που στη συνέχεια μπορεί να εφαρμοστούν για όλες τις άλλες βροχές. Αυτό σημαίνει ότι δείκτες δεν μπορεί να προσδιορισθούν σε λεκάνες για τις οποίες δεν έχουν γίνει ταυτόχρονες παρατηρήσεις βροχής και απορροής (Παπαμιχαήλ, 004). Στη μέθοδο του δείκτη διηθητικότητας f ave, ο δείκτης f ave ορίζεται σαν η μέση διηθητικότητα μιας λεκάνης κατά τη διάρκεια μιας περιόδου που υπάρχει νερό διαθέσιμο για διήθηση, δηλαδή κατά τη διάρκεια μιας βροχής. Όσον αφορά τη μέθοδο του δείκτη διηθητικότητας Φ, ο δείκτης Φ, ο οποίος είναι ο πιο απλός από όλους, ορίζεται σαν η μέση ένταση της βροχής πάνω από την οποία ο όγκος της βροχής ισούται με τον όγκο της άμεσης απορροής. Σε αντίθεση με τον προηγούμενο δείκτη, ο δείκτης Φ συμπεριλαμβάνει τη συγκράτηση από τη φυτοκόμη και από τις εδαφικές κοιλότητες. Επίσης, σε αυτόν τον δείκτη δεν υπάρχει πρόβλεψη για διαστήματα στα οποία δεν υπάρχει βροχή, δηλαδή σε περίπτωση μη συνεχών βροχών. Η τιμή του δείκτη Φ προσεγγίζει το εκείνη του f ave για βροχές μεγάλης διάρκειας, κατά τις οποίες ο όγκος του νερού που διηθείται στο έδαφος είναι μεγάλος σε σχέση με αυτόν που συγκρατείται στην επιφάνεια. Ακόμα, ο δείκτης Φ επηρεάζεται επίσης από την ένταση της βροχής και μεγαλώνει όσο η ένταση της βροχής αυξάνει. Στη μέθοδο του δείκτη W, ο δείκτης W αντιπροσωπεύει τη μέση διήθηση κατά το χρονικό διάστημα που η ένταση της βροχής ξεπερνά τη διηθητικότητα του εδάφους και δίνεται από τη σχέση: W I m 3.36 Δt 6

129 όπου I m είναι η αθροιστική διηθητικότητα για το χρονικό διάστημα Δt που αντιπροσωπεύει το χρόνο που η ένταση της βροχής ξεπερνά τη διηθητικότητα. Οι δείκτες διηθητικότητας υπολογίζονται από ταυτόχρονες παρατηρήσεις βροχής και απορροής και χωρισμό του υδρογραφήματος σε άμεση και βασική απορροή. Η εφαρμογή των δεικτών για την εκτίμηση της απορροής ακολουθεί την αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή ακολουθεί πρώτα το ιστόγραμμα της βροχής και μετά εφαρμόζεται ο δείκτης που επιλέχθηκε για την περίπτωση. Η μέθοδος του απορροϊκού συντελεστή CN της S.C.S. εφαρμόζεται σε περιπτώσεις που δεν υπάρχουν ταυτόχρονες παρατηρήσεις βροχής και απορροής για τον υπολογισμό των δεικτών διηθητικότητας (USDA Soil Conservation Service, 97, 986, Παπαμιχαήλ, 004). Σύμφωνα με τη S.C.S. η σχέση βροχής-απορροής περιγράφεται από τη σχέση: F Q S P I 3.37 a όπου S είναι η μέγιστη ικανότητα συγκράτησης υγρασίας του εδάφους ή αποθηκευτικότητας F είναι η πραγματική συγκράτηση υγρασίας από το έδαφος Q είναι ο όγκος απορροής P είναι ο όγκος βροχόπτωσης Ia είναι η αρχική συγκράτηση υγρασίας Η πραγματική συγκράτηση υγρασίας δίνεται από τη σχέση: 3.38 F P I Q a Αν η σχέση (3.38) αντικατασταθεί στη σχέση (3.37) τότε προκύπτει: Q P I a a P I S 3.39 Η αρχική συγκράτηση Ia είναι συνάρτηση πολλών παραγόντων μεταξύ των οποίων είναι ο τρόπος χρήσης και διαχείρισης της γης, η συγκράτηση του νερού της βροχής από τη φυτοκάλυψη, η διηθητικότητα του εδάφους, η αποθήκευση νερού σε επιφανειακές κοιλότητες και η προηγούμενη υγρασιακή κατάσταση του εδάφους (Antecedent Soil Moisture Condition (AMC)). Ύστερα από πειράματα και με εμπειρία πολλών ετών, η S.C.S. κατέληξε στην παρακάτω εμπειρική σχέση για την αρχική συγκράτηση Ia: Ia 0. S

130 Με αντικατάσταση της σχέσης (3.40) στη σχέση (3.39) προκύπτει η ακόλουθη σχέση: P e P 0.S P 0.8S για P > 0. S 3.4 Αν P 0.S, τότε P e = 0, όπου P e είναι η απορροϊκή βροχή. Η αποθηκευτικότητα S μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει του απορροϊκού συντελεστή CN από τη σχέση: 5400 S 54 CN 3.4 Εφόσον η αποθηκευτικότητα S, εξαρτάται από τους παράγοντες που επηρεάζουν την αρχική συγκράτηση υγρασίας Ia, τότε και ο απορροϊκός συντελεστής CN θα εξαρτάται από τους ίδιους παράγοντες. Πιο συγκεκριμένα ο CN είναι ένας συντελεστής που αντιπροσωπεύει τη συνδυασμένη επίδραση του εδάφους, του τρόπου χρήσης και διαχείρισης αυτού, των καλλιεργητικών συνθηκών και της προηγούμενης υγρασιακής κατάστασης του εδάφους (AMC). Οι παραπάνω παράγοντες μπορούν να εκτιμηθούν είτε από εδαφολογικούς χάρτες, είτε με εργασίες υπαίθρου. Η SCS έχει κατατάξει τους παραπάνω παράγοντες σε κατηγορίες προκειμένου να διευκολύνεται η χρήση τους, για τον υπολογισμό του CN (Παπαμιχαήλ, 004). Κατάταξη εδαφικών τύπων Η SCS έχει αναπτύξει ένα σύστημα κατάταξης εδαφών που αποτελείται από τέσσερις εδαφικούς τύπους, που ορίζονται με τα γράμματα A, B, C και D. Τα εδαφικά χαρακτηριστικά που συνδυάζονται με κάθε τύπο εδάφους είναι (Παπαμιχαήλ, 004): Τύπος A: Εδάφη με μεγάλη τελική διηθητικότητα και διαπερατότητα. Βαθιά αμμώδη, βαθιά πηλώδη, συσσωματούμενα ιλυώδη. Τύπος B: Εδάφη με μέτρια τελική διηθητικότητα και διαπερατότητα. Ρηχά πηλώδη, πηλοαμμώδη. Τύπος C: Εδάφη με μικρή τελική διηθητικότητα και διαπερατότητα. Αργιλοπηλώδη, ρηχά αμμοπηλώδη, εδάφη με χαμηλή περιεκτικότητα σε οργανική ουσία, εδάφη πλούσια σε άργιλο. Τύπος D: Εδάφη με πολύ μικρή τελική διηθητικότητα και διαπερατότητα. Εδάφη τα οποία διογκώνονται όταν υγραίνονται, έχουν δηλαδή υψηλή περιεκτικότητα σε μοντμοριλονιτική άργιλο και ορισμένα αλατούχα εδάφη. 8

131 Οι παραπάνω εδαφικοί τύποι μπορούν να αναγνωριστούν με έναν από τους παρακάτω τρόπους:. Από τα εδαφολογικά χαρακτηριστικά,. Από εδαφολογικούς χάρτες και 3. Από τον ελάχιστο ρυθμό διήθησης. Σε περίπτωση που χρησιμοποιείται ο τρίτος τρόπος, ο ελάχιστος ρυθμός διήθησης για κάθε εδαφολογικό τύπο, δίνεται ο παρακάτω πίνακας: Τύπος Ελάχιστος ρυθμός διήθησης (cm/hr) A B C D Κατάταξη της κατάστασης της επιφάνειας τους εδάφους Η κατάσταση της επιφάνειας του εδάφους κατατάσσεται με βάση τρία χαρακτηριστικά. Αυτά είναι ο τρόπος χρήσης γης, η γεωργική διαχείριση ή πρακτική και οι υδρολογικές συνθήκες. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι χρήσης γης, οι οποίες δίνονται σε πίνακες. Όσον αφορά τον τρόπο διαχείρισης ή τις γεωργικές πρακτικές που ακολουθούνται στις καλλιέργειες, αυτές διακρίνονται σε γραμμικές κατά τις ισοϋψείς και σε αναβαθμούς. Οι υδρολογικές συνθήκες σχετίζονται με το αν η βλάστηση είναι πυκνή και σε καλή κατάσταση και αν το έδαφος είναι πλούσιο σε οργανική ουσία και έχει μια καλή δομή προκαλώντας έτσι μεγάλη διήθηση και μικρή απορροή και διακρίνονται σε κακές, δυσμενείς, μέτριες και καλές συνθήκες (Παπαμιχαήλ, 004). Προηγούμενή υγρασιακή κατάσταση του εδάφους Η προηγούμενη υγρασιακή κατάσταση του εδάφους (Antecedent soil Moisture Condition, AMC), επιδρά σημαντικά τόσο στον όγκο, όσο και στο ρυθμό της απορροής. Αναγνωρίζοντας τη σπουδαιότητα του παράγοντα αυτού, η SCS ανέπτυξε τρεις τύπους προηγούμενης υγρασιακής κατάστασης, οι οποίοι ορίζονται σαν I, II και III. Η εδαφική κατάσταση για κάθε τύπο είναι (Παπαμιχαήλ, 004): Κατάσταση I: Τα εδάφη είναι ξηρά, αλλά η υγρασία τους δε βρίσκεται στο σημείο μόνιμης μάρανσης. Οι καλλιεργητικές εργασίες γίνονται με αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσματα. Κατάσταση II: Μέση υγρασιακή κατάσταση Κατάσταση III: Μεγάλη βροχόπτωση ή χαμηλή βροχόπτωση και χαμηλές θερμοκρασίες έχουν εμφανισθεί το τελευταίο πενταήμερο. Υγρό έδαφος. 9

132 Διάφοροι ερευνητές ανέπτυξαν εξισώσεις εκτίμησης των απορροϊκών συντελεστών προηγούμενης υγρασιακής κατάστασης τύπου I και τύπου III (CN I και CN III αντίστοιχα) με τη βοήθεια του απορροϊκού συντελεστή προηγούμενης υγρασιακής κατάστασης τύπου II, CN II. Έτσι ο Sobhani (976) δίνει τις παρακάτω σχέσεις: CN III CNII CN II 3.43 CN CN II I CN II 3.44 Προβλήματα εφαρμογής του CN Κατά καιρούς έχουν γίνει πολλά σχόλια και διορθώσεις όσον αφορά τον τρόπο εκτίμησης του CN, αλλά και της αρχικής συγκράτησης Ia. Η θεωρία του CN είναι κάπως σκοτεινή και κρύβει το πραγματικό περιεχόμενο που αντιπροσωπεύει την αποθηκευτικότητα της λεκάνης. Επιπλέον η εισαγωγή μιας παραμέτρου, που οι τιμές της κυμαίνονται από 0 μέχρι 00, ίσως κάπου να οδηγεί σε λάθος εκτιμήσεις για το σύνολο των λεκανών. Έτσι σε τελευταίες εκδόσεις της USDA Soil Conservation Service, δεν περιέχονται τιμές του CN μικρότερες του 30. Επίσης, για λεκάνες με CN μικρότερο του 40 συνιστάται να προτιμάται κάποια άλλη μέθοδος εκτίμησης της απορροϊκής βροχής (Παπαμιχαήλ, 004). Ένα άλλο χαρακτηριστικό της προηγούμενης μεθόδου είναι ότι παίρνει την αρχική συγκράτηση Ia, σαν ένα κλάσμα της αποθήκευσης S (Ia=0.S) της λεκάνης. Η αρχική συγκράτηση Ia όμως, εξαρτάται πάρα πολύ, από τις αλλαγές των χαρακτηριστικών της λεκάνης. Παρ όλα αυτά η χρησιμοποίηση του απορροϊκού συντελεστή CN για τον υπολογισμό της απορροϊκής βροχής, είναι μια τεχνική η οποία χρησιμοποιείται διεθνώς (Παπαμιχαήλ, 99, 004, Maidment, 993, Wanielista et al., 997, Παπαμιχαήλ και Παπαδήμος, 995, κ.α.). Για την αποφυγή, λοιπόν, ζημιών στην περιοχή εξαιτίας των πλημμυρικών παροχών, γίνεται εκτίμηση των πλημμυρογραφημάτων των βροχοπτώσεων με διάφορους τρόπους όπως (Γεωργίου κ.α., 003): ) Με την Ορθολογική μέθοδο, ) Με τον τύπο του Fuller, 3) Με τη S.C.S. 4) Με το Σ.Μ.Υ. της Sierra Nevada Συνθετικό Μοναδιαίο Υδρογράφημα Sierra Nevada Για την εκτίμηση των υδρογραφημάτων πλημμύρας που προκύπτουν από τις βροχοπτώσεις διαφόρων διαρκειών και περιόδων επαναφοράς, χρησιμοποιείται η μέθοδος 30

133 του Συνθετικού Μοναδιαίου Υδρογραφήματος (Σ.Μ.Υ.) (U.S.D.I., 987) που βασίζεται στο αδιάστατο υδρογράφημα της περιοχής της Sierra Nevada. Με βάση τη μέθοδο αυτή, ο χρόνος υστέρησης του Σ.Μ.Υ. υπολογίζεται από τη σχέση (U.S.D.I., 987, Παπαμιχαήλ κ.άλ., 000, Γεωργίου κ. άλ., 003, Παπαμιχαήλ, 004,): LLc Lg 0.776C S ή N 3.45 LLc Lg S όπου Lg είναι ο χρόνος υστέρησης του μοναδιαίου υδρογραφήματος σε ώρες, C είναι η σταθερά που λαμβάνεται ίση με 6 Κn, Kn είναι ο συντελεστής του Manning που λαμβάνεται ίσος με 0., L είναι το μέγιστο μήκος διαδρομής του κυρίως ρεύματος σε Km, L c είναι το μήκος του κυρίως ρεύματος από την έξοδο της λεκάνης μέχρι την προβολή του κέντρου βάρους της λεκάνης πάνω στο κύριο ρεύμα σε Km, S είναι η κλίση του κυρίως ρεύματος σε m/m και N είναι σταθερά ίση με Η διάρκεια της μοναδιαίας βροχής, D από την οποία προέρχεται το συνθετικό μοναδιαίο υδρογράφημα δίνεται από τη σχέση: L D g Η τετμημένη του Σ.Μ.Υ., η οποία προέρχεται από απορροϊκή βροχή mm υπολογίζεται από τη σχέση: t m T D Lg όπου t m είναι ο χρόνος του Σ.Μ.Υ. σε ώρες Τ παίρνεται από τον Πίνακα του αδιάστατου Μ.Υ. της Sierra Nevada D είναι η τιμή που προκύπτει από τις σχέσεις (3.45), (3.46) και (3.47) Η τεταγμένη του Σ.Μ.Υ., η οποία προέρχεται από απορροϊκή βροχή mm υπολογίζεται από τη σχέση: 3

134 A q Q D Lg 3.49 όπου Q είναι η παροχή του Σ.Μ.Υ. σε m 3 /sec A είναι η έκταση της υδρολογικής λεκάνης σε km q είναι η αδιάστατη παροχή που παίρνεται από τον Πίνακα του αδιάστατου Μ.Υ. της Sierra Nevada Στη συνέχεια, στο Σχήμα 3. δίνεται το διάγραμμα ροής όλων των διαδικασιών που εφαρμόζονται στην παρούσα διατριβή. Ανάλυση συχνότητας ακραίων τιμών βροχοπτώσεων Εύρεση κατανομών ακραίων τιμών που χρησιμοποιούνται στην υδρολογία Εκτίμηση παραμέτρων κατανομών (MOM, MLM, PWM) και συγκριτική αξιολόγηση Εκτίμηση παράγοντα συχνότητας, K T (MOM, MLM, PWM) και συγκριτική αξιολόγηση Εκτίμηση μεγίστων εντάσεων βροχόπτωσης Εκτίμηση καμπυλών Έντασης - Διάρκειας - Συχνότητας (I-D-F) βροχοπτώσεων Επιλογή σχέσης WMO Μέγιστες βροχοπτώσεων Σ.Μ.Υ. της Sierra Nevada Εκτίμηση πλημμυρικών απορροών Σχήμα 3..: Διάγραμμα ροής διαδικασιών υπολογισμού πλημμυρικών παροχών από ανάλυση συχνότητας. 3

135 3.6. Προγράμματα διόδευσης πλημμύρων Η κίνηση ενός πλημμυρικού κύματος σε ένα υδάτινο σύστημα, μαζί με τα φαινόμενα που το ακολουθούν, παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον για τον υδρολόγο και η ανάλυση της συμπεριφοράς του αποτελεί τον οδηγό για το σωστό σχεδιασμό των οποιασδήποτε φύσης έργων, που πρόκειται να κατασκευαστούν στο σύστημα αυτό (Παπαμιχαήλ, 004). Η εκτίμηση της εκτάσεως ή του μεγέθους των απαιτούμενων έργων καθώς και της αποτελεσματικότητας αυτών τόσον κατά το στάδιο της μελέτης όσον και κατά της λειτουργίας των και, τέλος, η οργάνωση Υπηρεσίας προβλέψεως πλημμυρών απαιτεί την ανάπτυξη κατάλληλων μεθόδων οι οποίες περιλαμβάνονται υπό τον γενικό όρο διόδευση πλημμυρών. Διόδευση πλημμύρας είναι γενικά, η διαδικασία με την οποία το υδρογράφημα μιας πλημμυρικής απορροής προσδιορίζεται σε μια διατομή ενός ποταμού όταν δοθεί το υδρογράφημα αυτής σε μια άλλη διατομή του ποταμού ανάντη της πρώτης (Σακκά, 004). Προκειμένου να ερμηνευτεί το φαινόμενο των πλημμυρών, οι επιστήμονες χρησιμοποιούν τα μοντέλα, δηλαδή αναπαραστάσεις ενός μέρους της πραγματικότητας, η οποία είναι δομημένη κατά τέτοιο τρόπο ώστε να παρουσιαστούν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά της. Η προσομοίωση της πλημμύρας γίνεται με τη χρήση υδρολογικών και υδραυλικών μοντέλων προσομοίωσης. Μπορούν να αναφερθούν κάποια αριθμητικά μοντέλα προσομοίωσης πλημμύρας που χρησιμοποιούνται ευρέως όπως: ArcGIS Delta mapper INFOWORKS RS INFOWORKS ISIS MIKE HEC-RAS SOBEK-CF HYDROF LISFLOOD-FP TUFLOW MIKE- TELEMAC D SOBEK-OF Delft-FLS TELEMAC 3D Delft-3D FINEL D Για τη μελέτη και την προσομοίωση πλημμυρικών γεγονότων, συνήθως χρησιμοποιείται το λογισμικό πακέτο HEC (Hydrologic Engineering Center) του Ειδικού Σώματος Μηχανικών του Στρατού που υπάγεται στο Ινστιτούτο Υδατικών Πόρων των ΗΠΑ (Καραμολέγκος, 009, Μπουρλής, 0). Το HEC-RAS (Hydrologic Engineering Center - River Analysis System) είναι ένα μοντέλο μεμονωμένου υδρολογικού γεγονότος το οποίο σχεδιάστηκε από τον κ. Gary W. Brunner, επικεφαλή της ομάδας ανάπτυξης του HEC RAS, ενώ το περιβάλλον εργασίας του χρήστη και τα γραφικά προγραμματίστηκαν από τον κ. Mark R. Jensen. Το HEC RAS προσομοιώνει φυσικά ή τεχνητά υδατορέματα, καθώς και μεμονωμένα υδατορέματα ή συστήματα υδατορεμάτων. Επίσης πραγματοποιεί υπολογισμούς ροής μονοδιάστατης ανάλυσης σε μόνιμη ροή (steady flow) ή μη μόνιμη ροή (unsteady flow). Το λογισμικό 33

136 HEC RAS είναι ένα ολοκληρωμένο λογισμικό υδραυλικής προσομοίωσης σταθερής και ασταθούς ροής. Αποτελείται από τα εξής επιμέρους δομικά στοιχεία: Την εισαγωγή γεωμετρικών δεδομένων Την εισαγωγή δεδομένων σταθερής ή ασταθούς ροής Την εισαγωγή ιζηματολογικών δεδομένων Την εισαγωγή δεδομένων υδραυλικού σχεδιασμού και Το παράθυρο διαχείρισης των ανωτέρω στοιχείων Το HEC-RAS είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για τον χρήστη και έχει πολλά πλεονεκτήματα όπως: Έχει φιλικό περιβάλλον για νέους χρήστες Έχει ελάχιστα δεδομένα εισόδου Απλή και σύντομα υπολογιστική διαδικασία Αποτελέσματα σε διάφορες μορφές (πίνακες, διαγράμματα, σχέδια κλπ) Γίνεται εισαγωγή αποτελεσμάτων σε Arc-GIS Επίσης το HEC-RAS μειώνει αισθητά την υπολογιστική διαδικασία σε χρόνο και εργασία και δίνει αποτελέσματα σε εύχρηστη μορφή, όπως πίνακες και διαγράμματα. Ο χρήστης, λοιπόν, καλείται να χρησιμοποιήσει το εργαλείο αυτό έχοντας πάντα υπόψη του το θεωρητικό υπόβαθρο που ισχύει. Άλλα μοντέλα που μπορούν να αναφερθούν για την προσομοίωση των πλημμυρών είναι τα υδρολογικά μοντέλα VFlow και το Geo-RASS. Το VFlow είναι ένα κατανεμημένο μοντέλο εξομοίωσης φυσικών διεργασιών που χρησιμοποιεί τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση του συστήματος εξισώσεων. Ουσιαστικά, ο κύριος στόχος του μοντέλου είναι η εξομοίωση επεισοδίων βροχής. Το HEC-GeoRAS είναι ένα εργαλείο σύνδεσης του HEC-RAS με Γεωγραφικά Συστήματα Πληροφοριών (G.I.S). Το πρόγραμμα λειτουργεί σε περιβάλλον ArcGIS ή ArcView και σχεδιάστηκε για την επεξεργασία γεωγραφικών δεδομένων που προέρχονται από Ψηφιακά Μοντέλα Εδάφους (DTM). Το πρόγραμμα χρησιμοποιείται τόσο για την παραγωγή δεδομένων εισόδου (inputs) στο HEC-RAS όσο και για τη χωρική επεξεργασία των δεδομένων εισόδου (outputs). Ένα άλλο πρόγραμμα το οποίο επιλύει το πρόβλημα της διόδευσης πλημμύρας (από ταμιευτήρα), στη γενική του περίπτωση, είναι το Η/Υ RESFLDRT. Ουσιαστικά το πρόγραμμα αυτό είναι η κωδικοποιημένη μορφή της επαναληπτικής μεθόδου αριθμητικής ολοκλήρωσης. Το πρόγραμμα έχει αναπτυχθεί σε γλώσσα Pascal και η λειτουργία του είναι διαλογική (interactive), μπορεί όμως να γίνει και με υποβολή (batch). 34

137 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.. Δεδομένα βροχόπτωσης Η εφαρμογή βασίζεται σε δεδομένα βροχόπτωσης του μετεωρολογικού σταθμού της Μεγάλης Παναγιάς (υψομέτρου 440 m, γεωγραφικού πλάτους 40 ο 7 και γεωγραφικού μήκους 3 ο 40 ), ο οποίος λειτουργεί υπό την εποπτεία του Υπουργείου Γεωργίας, για την περίοδο των υδρολογικών ετών μέχρι 00 (συνολικής διάρκειας 36 χρόνων). Η καταγραφή των δεδομένων βροχόπτωσης, η οποία είναι ωριαία, πραγματοποιήθηκε με τη βοήθεια του βροχογράφου. Στην περίοδο των υδρολογικών ετών μέχρι 00 υπήρξαν αρκετές ελλείψεις στις μετρήσεις οι οποίες συμπληρώθηκαν από γειτονικούς μετεωρολογικούς σταθμούς όπως, το μετεωρολογικό σταθμό του Γοματίου (γεωγραφικού πλάτους 40 ο 3 και γεωγραφικού μήκους 3 ο 47 ), υπό την εποπτεία του Εργαστηρίου Υδραυλικής της Γεωπονικής Σχολής Α.Π.Θ., το μετεωρολογικό σταθμό της Αρναίας (γεωγραφικού πλάτους 40 ο 39 και γεωγραφικού μήκους 3 ο 40 ) υπό την εποπτεία του Ινστιτούτο Δασικών Ερευνών ΕΘ.Ι.ΑΓ.Ε. και το μετεωρολογικό σταθμό των Σκουριών (γεωγραφικού πλάτους 40 ο 6 και γεωγραφικού μήκους 3 ο 4 ) υπό την εποπτεία της εταιρείας Ελληνικός Χρυσός Α.Ε. Στο Σχήμα 4.. που ακολουθεί απεικονίζονται σε χάρτη οι προαναφερθέντες μετεωρολογικοί σταθμοί της Χαλκιδικής. Με τη βοήθεια των δεδομένων βροχόπτωσης, όπως πάρθηκαν από τις μετρήσεις των μετεωρολογικών σταθμών, υπολογίστηκαν τα μέγιστα ετήσια ύψη βροχής, των βροχοπτώσεων διάρκειας ώρας,, 4 και 6 ωρών των υδρολογικών ετών μέχρι 00 0 στο σταθμό Μ. Παναγιάς, τα οποία δίνονται στον Πίνακα 4. Στη συνέχεια διαιρώντας τα ύψη βροχής με τις αντίστοιχες διάρκειες, προκύπτουν οι μέγιστες ετήσιες εντάσεις βροχής των υδρολογικών ετών μέχρι 00 0 στο σταθμό Μ. Παναγιάς, οι οποίες δίνονται στον Πίνακα 4. Πρέπει να σημειωθεί ότι τα μέγιστα ύψη και οι μέγιστες εντάσεις βροχής για τα υδρολογικά έτη μέχρι πάρθηκαν από το βιβλίο του καθηγητή κ. Δ. Παπαμιχαήλ «Τεχνική Υδρολογία Επιφανειακών Υδάτων» (Παπαμιχαήλ, 004). 35

138 Σχήμα 4..: Γεωγραφική τοποθέτηση των μετεωρολογικών σταθμών της Μ. Παναγιάς, του Γοματίου, της Αρναίας και των Σκουριών. 36