ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΛΩΔΙΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΛΩΔΙΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΣΑΒΕΛΛΑ ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Χ. ΓΑΝΤΕΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ 1

2 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΛΩΔΙΩΝ BΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΥ ΙΣΑΒΕΛΛΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Χ. ΓΑΝΤΕΣ EΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ 1

3 Στον Salvatore που με κάνει να βλέπω τον κόσμο ολοένα και πιο όμορφο.

4 Το καθήκον του επιστήμονα δεν είναι τόσο να δει αυτό που κανείς δεν είδε, αλλά να σκεφτεί αυτό που κανείς δεν σκέφτηκε για εκείνα που όλοι βλέπουν ΕΡΓΟΥΙΝ ΣΡΕΝΤΙΝΓΚΕΡ Nobel Φυσικής 1933

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ABSTRACT ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΚΑΛΩΔΙΩΤΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1.1. ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΑΠΛΟΥ ΚΑΛΩΔΙΟΥ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΛΩΔΙΩΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΛΩΔΙΩΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ - ΣΤΕΓΕΣ ΑΠΟ ΔΙΚΤΥΟ ΚΑΛΩΔΙΩΝ.1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΟΡΤΙΑ ΦΑΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φάση Φάση Φάση Λειτουργίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑ J.S.GERO 3.1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΠΟ ΔΙΚΤΥΟ ΚΑΛΩΔΙΩΝ Συμπεριφορά επίπεδων στεγών Σύγκριση διαγραμμάτων με το CABLE Συμπεριφορά στεγών τύπου Hypar net Σύγκριση διαγραμμάτων με το CABLE ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑ GERO Παράδειγμα 1 (επίπεδη στέγη) Σύγκριση αποτελεσμάτων Παράδειγμα (στέγη τύπου Hypar net) Σύγκριση αποτελεσμάτων ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΣΤΕΓΗ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΑΤΟΨΗΣ Λόγος βέλους / διάμετρο 1: Λόγος βέλους / διάμετρο 1: Συμπεριφορά δικτύων καλωδίων κυκλικής κάτοψης Παράδειγμα Σύγκριση αποτελεσμάτων... 4

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 - ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΑΤΑ SZABO, KOLLAR ΚΑΙ PAVLOVIC 4.1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΚΑΛΩΔΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΚΑΛΩΔΙΩΝ Γεωμετρία Κατανομή του κατακόρυφου κατανεμημένου φορτίου στα καλώδια Ανάλυση περιμετρικού δακτυλίου Δυνάμεις που προκαλούν μόνο θλίψη στον περιμετρικό δακτύλιο Δυνάμεις που προκαλούν μόνο κάμψη στον περιμετρικό δακτύλιο Εντάσεις στα καλώδια λόγω παραμόρφωσης του δακτυλίου Διαφορά θερμοκρασίας Προένταση Η ανάλυση αντισυμμετρικών φορτίων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Σύγκριση αποτελεσμάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 - ΕΥΡΕΣΗ ΣΧΗΜΑΤΟΣ 5.1. ΓΕΝΙΚΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΦΥΣΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΑΦΟΡΤΙΣΤΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟΥ Παράδειγμα ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 - ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 6.1. ΓΕΝΙΚΑ ΑΠΛΟ ΚΑΛΩΔΙΟ Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ Η ΜΕΘΟΔΟΣ NEWTON RAPHSON ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΣ NEWTON RAPHSON ΕΠΙΒΟΛΗ ΤΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΕ ΒΗΜΑΤΑ... 89

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 - H ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ 7.1. ΓΕΝΙΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας Ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ταλάντωση με απόσβεση Ανάλυση συστημάτων με περισσότερους βαθμούς ελευθερίας Δυναμική ανάλυση με τη μέθοδο της επαλληλίας των ιδιομορφών ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟ Επαναληπτική μέθοδος με γεωμετρική μη γραμμικότητα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 - ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ 8.1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΛΩΔΙΩΤΗΣ ΣΤΕΓΗΣ ΤΟΥ ΣΤΑΔΙΟΥ ΕΙΡΗΝΗΣ ΚΑΙ ΦΙΛΙΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ CADISI ΚΑΙ CABLE ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΤΟ EASY ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Φάση Φάση Λειτουργίας (Συνδυασμός φορτίσεων 1) Φάση Λειτουργίας (Συνδυασμός φορτίσεων ) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι - ΤΟ ΣΤΑΔΙΟ ΕΙΡΗΝΗΣ ΚΑΙ ΦΙΛΙΑΣ I.1. ΙΣΤΟΡΙΚΟ I.. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ I.3. ΑΓΚΥΡΩΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΔΕΣΗ I.4. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ I.5. ΕΠΙΚΑΛΥΨΗ I.6. ΦΟΡΤΙΑ I.7. ΜΕΛΕΤΗ I.8. ΤΟ ΣΤΑΔΙΟ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ (ΕΤΟΣ 1983) I.9. ΤΟ ΣΤΑΔΙΟ ΣΗΜΕΡΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ II - ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ II.1. ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ STATIK3_TO_CABLE II.. ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ CABLE II..1. Αρχείο δεδομένων II... Αρχείο αποτελεσμάτων

8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ III - ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ III.1. ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΟΜΒΩΝ ΑΠΟ CADISI III.. AΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ CABLE III..1. Φάση III... Φάση λειτουργίας Συνδυασμός φορτίσεων III..3. Φάση λειτουργίας Συνδυασμός φορτίσεων... ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 6 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ... 6

9 Εισαγωγή Από τη δεκαετία του 6 και μετά, οι στέγες από δίκτυα καλωδίων άρχισαν να κερδίζουν το ενδιαφέρον των πολιτικών μηχανικών και των αρχιτεκτόνων, ανοίγοντας νέους ορίζοντες στο πεδίο της μηχανικής και της αρχιτεκτονικής. Η ικανότητά τους να καλύπτουν πολύ μεγάλα ανοίγματα χωρίς ενδιάμεσες στηρίξεις και να παραλαμβάνουν φορτία πολύ μεγαλύτερα από το ίδιο βάρος, τις καθιστά ιδιαίτερα οικονομικές και πολλές φορές αποτελούν τη μοναδική λύση για τη στέγαση μεγάλων χώρων. Επιπλέον, με τις ασυνήθιστες μορφές τους, δίνουν πολύ όμορφα αισθητικά αποτελέσματα. Η εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών έκανε δυνατή την επίλυση μεγάλων συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων, και βοήθησε στην ανάπτυξη μεθόδων αντιμετώπισης της μη γραμμικής συμπεριφοράς των καλωδίων. Στην Ελλάδα το καλύτερο παράδειγμα καλωδιωτής στέγης αποτελεί η ανηρτημένη στέγη του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας στο Φάληρο, που κατασκευάστηκε το Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να παρουσιάσει τη συμπεριφορά των δικτύων καλωδίων, καθώς επίσης και τα βήματα που ακολουθούνται για την ανάλυση και μελέτη αυτών. Για τις αναλύσεις των διαφόρων παραδειγμάτων χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα μη γραμμικής ανάλυσης CABLE3, που δίνεται από τους P. Broughton και P. Ndumbaro, ενώ η στέγη του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας χρησιμοποιήθηκε ως κοινό παράδειγμα, για να μπορεί να γίνει κάποια σύγκριση μεταξύ των διαφόρων μεθόδων ανάλυσης που παρουσιάζονται. Η εργασία χωρίζεται σε οκτώ κεφάλαια και τρία παραρτήματα, στα οποία γίνονται συνεχείς αναφορές. Αναλυτικότερα, στα δύο πρώτα κεφάλαια της εργασίας γίνεται μια σύντομη παρουσίαση των καλωδιωτών κατασκευών και ειδικότερα των δικτύων καλωδίων, καθώς επίσης και κάποιες βασικές αρχές στις οποίες βασίζεται η λειτουργία και η μελέτη αυτών. Στα επόμενα δύο κεφάλαια, το τρίτο και τέταρτο, αναφέρονται δύο μέθοδοι προκαταρκτικής ανάλυσης δικτύων καλωδίων σε στάδιο προμελέτης, η πρώτη προτείνεται από τον J.S.Gero, και η δεύτερη από τους J. Szabò, L. Kollar και M.V Pavlovic. Την κάθε μέθοδο ακολουθούν αριθμητικά παραδείγματα, καθώς επίσης και συγκριτικοί πίνακες με τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τις μεθόδους αυτές, και αυτών που προκύπτουν από τις αναλύσεις με το πρόγραμμα CABLE3.

10 Στο πέμπτο κεφάλαιο ξεκινάει η αναφορά στη σύγχρονη μεθοδολογία ανάλυσης των εφελκυόμενων κατασκευών. Συγκεκριμένα, το κεφάλαιο αυτό αναφέρεται στην εύρεση σχήματος, που αποτελεί το πρώτο βήμα της ανάλυσης, αφού προσδιορίζεται η γεωμετρία του φορέα, η οποία θα ληφθή ως αρχική για την περαιτέρω ανάλυση. Το κεφάλαιο που ακολουθεί αναφέρεται στη μη γραμμική ανάλυση που γίνεται, προκειμένου να υπολογιστούν οι παραμορφώσεις και οι εντάσεις που αναπτύσσονται στα δίκτυα καλωδίων και στο έβδομο κεφάλαιο γίνεται μία αναφορά στη μη γραμμική δυναμική ανάλυση των κατασκευών αυτών. Στο όγδοο κεφάλαιο δίνονται τα στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν για την ανάλυση της στέγης του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας με τα προγράμματα Easy και CABLE3, καθώς επίσης και πίνακες με τα συγκριτικά αποτελέσματα των δύο προγραμμάτων. Τέλος ακολουθούν τρία παραρτήματα. Στο πρώτο γίνεται μία παρουσίαση του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας με όλα τα απαραίτητα στοιχεία για τις διάφορες αναλύσεις, καθώς επίσης και φωτογραφικό υλικό με όλες τις φάσεις κατασκευής της ανηρτημένης στέγης. Στο δεύτερο παράρτημα γίνεται μια περιγραφή των προγραμμάτων που χρησιμοποιήθηκαν γι αυτή την εργασία και ιδιαίτερα του προγράμματος CABLE3, ενώ στο τρίτο δίνονται τα αποτελέσματα των αναλύσεων της στέγης του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας που έγιναν με το πρόγραμμα CABLE3 και που χρησιμοποιούνται για τη σύγκριση με τις διάφορες μεθόδους. Ι. ΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΥ Οκτώβριος 1

11 Abstract After the sixties, the cable net roofs begun to stimulate the interest of civil engineers and architects, opening new horizons in the field of engineering and architecture. Their capacity to cover long spans without intermediate supports and to carry large loads, much larger than their self weight, renders them particularly economical and sometimes the only solution to roofing large spaces. Moreover, with their unusual forms, differ from all the other conventional structures, something that makes them extremely appealing. The evolution of the computers made possible the solving of large systems of nonlinear equations and assisted in developing the methods that deal with the nonlinear behaviour of the cables. In Greece the best example of cable net roof is the suspended roof of the Palais de Sport in Faliro that has been constructed in the The purpose of this thesis is to present the behaviour of the cable net roofs, as well as the steps that one may follow for their analysis and study. For the analysis of the various examples, is used the program of nonlinear analysis CABLE3, that is suggested by P. Broughton and P. Ndumbaro. Furthermore, the roof of the Palais de Sport in Faliro is used as a common example for comparing the various methods of analysis presented. The thesis consists of eight chapters and three appendices. The first two chapters present briefly the cable structures and especially the cable nets and also gives some basic principles on which is based the function and the study of this kind of structures. The next two chapters, the third and fourth, are refering to two methods of preliminary analysis of cable nets, the first suggested by J.S.Gero, and the second by J. Szabò, L. Kollar and M.V Pavlovic. Every method is followed by numerical examples and comparative tables with the results of these methods and the results of the analysis with the program CABLE3. From the fifth chapter begins an approach to the modern analysis of tensile structures. In particular, this chapter refers to formfinding, that constitutes the first step of the analysis, since it defines the geometry of the model, that will be taken into account as the initial shape for the further analysis. The chapter that follows focuses on the nonlinear

12 analysis that must be done in order to calculate the displacements and the tensions of the cables, whilst the seventh chapter introduces the nonlinear dynamic analysis of these structures. The eighth chapter gives some important elements that have been used for the analysis of the cable net roof of the Palais de Sport with the programs Easy and CABLE3, and the comparative tables with the results of the two programs. Finally, there are three appendices. The Palais de Sport is presented in the first one, with all the elements that are required for the various analysis, and there are also some photographs that show the different fases of the construction of the roof. The second appendix describes the programs that have been used for this thesis and especially the program CABLE3. The third one contains all the results of the analysis with the program CABLE3 that have been done for the roof of the Palais de Sport. I. VASSILOPOULOU October 1

13 Κεφάλαιο 1 Καλωδιωτές κατασκευές 1.1. Συμπεριφορά απλού καλωδίου Ο πιο απλός τρόπος για να κατασκευάσουμε μία καλωδιωτή κατασκευή είναι να κρεμάσουμε ένα καλώδιο από δύο σημεία (Σχ.1α). Το σχήμα του καλωδίου δεν διατηρείται σταθερό, αλλά αλλάζει ανάλογα με το φορτίο που ασκείται. Για παράδειγμα αν ασκείται ένα συγκεντρωμένο φορτίο τότε το καλώδιο παίρνει τριγωνική μορφή (Σχ.1β), αν ασκείται ομοιόμορφα κατανεμημένο τότε παίρνει σχήμα παραβολικό (Σχ.1γ), για συνδυασμό των δύο προηγουμένων φορτίσεων το καλώδιο παίρνει τη μορφή των Σχ.1δ και Σχ.1ε, ενώ τέλος για φορτία α- ντίθετα από την καμπυλότητά του χάνει εντελώς την ισορροπία του και το σχήμα του παραμορφώνεται προς την αντίθετη καμπυλότητα (Σχ.1στ). Σχ.1.1 Απλή καλωδιωτή κατασκευή Για ν αποφευχθεί η απότομη αυτή αλλαγή του σχήματος του καλωδίου μπορεί να τοποθετηθεί άλλο ένα καλώδιο με αντίθετη καμπυλότητα όπως φαίνεται στο Σχ.1. και τα δύο αυτά κύρια καλώδια να συνδέονται μεταξύ τους με άλλα δευτερεύοντα κατακόρυφα καλώδια.

14 Κεφάλαιο 1 Καλωδιωτές κατασκευές Σχ.1. Σύστημα των δύο καλωδίων Το όλο σύστημα προεντείνεται είτε με τα κατακόρυφα καλώδια, είτε με το Α και το Β. Έτσι παραλαμβάνουν και τα δύο κύρια καλώδια τις κατακόρυφες φορτίσεις, είτε αυτές είναι προς τα πάνω, οπότε μειώνεται η τάση στο Α και αυξάνεται η τάση στο Β καλώδιο, είτε προς τα κάτω οπότε συμβαίνει το αντίθετο. 1.. Συμπεριφορά καλωδιωτών κατασκευών Οι καλωδιωτές κατασκευές έχουν έρθει στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος των πολιτικών μηχανικών και των αρχιτεκτόνων εδώ και πολύ καιρό, λόγω των ασυνήθιστων σχημάτων που μπορούν να παραχθούν χρησιμοποιώντας τες, καθώς επίσης και για την οικονομία του υλικού που μπορεί να επιτευχθεί. Αντίθετα από τις περισσότερες κοινές κατασκευές από σκυρόδεμα ή χάλυβα που παραλαμβάνουν τα κατακόρυφα φορτία με διατμητικές και καμπτικές τάσεις, στις καλωδιωτές κατασκευές αναπτύσσονται μόνο εφελκυστικές δυνάμεις και ταυτόχρονα η παραμόρφωσή τους είναι έντονη, γι αυτό και η συμπεριφορά τους είναι έντονα μη γραμμική. Έτσι τα καλώδια δεν μπορούν να υπολογιστούν με βάση το αρχικό τους σχήμα. Αντιθέτως η αλλαγή της γεωμετρίας τους θα πρέπει να ληφθεί υπ όψη. Αυτό σημαίνει ότι οι ε- σωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται, δεν μεταβάλλονται γραμμικά με το εξωτερικό φορτίο, αφού η δυσκαμψία του καλωδίου αλλάζει σύμφωνα με το βέλος του. Η μη γραμμικότητα μπορεί να οφείλεται: σε μη γραμμικότητα του υλικού: τα καλώδια δεν μπορούν να παραλάβουν θλίψη, γιατί τότε θα χαλαρώσουν και η δυσκαμψία τους θα μηδενιστεί. Η περίπτωση αυτή θα μπορούσε να ληφθεί υπ όψη εισάγοντας στον καταστατικό νόμο του υλικού πολύ μικρές τιμές του ΕΑ για τα μέλη που θα έπαιρναν θλίψη. Έτσι το διάγραμμα του υλικού θα δινόταν από το παρακάτω σχήμα. σ Σχ.1.3 Καταστατικός νόμος του υλικού του καλωδίου ε

15 Κεφάλαιο 1 Καλωδιωτές κατασκευές 3 σε γεωμετρική μη γραμμικότητα: η αυξανόμενη φόρτιση προκαλεί μεγάλες παραμορφώσεις, με αποτέλεσμα η δυσκαμψία του καλωδίου να αυξάνεται συνεχώς, (Σχ.1.4α). Συνήθως με την αρχική προένταση επιτυγχάνεται μεγάλη δυσκαμψία. Στη συνέχεια με την επιβολή των εξωτερικών φορτίων η συμπεριφορά μπορεί να είναι μη γραμμική αν τα φορτία αυτά είναι σημαντικά σε σχέση με την προένταση, ή σχεδόν γραμμική αν τα φορτία είναι πολύ μικρότερα από την προένταση. Στο διάγραμμα του Σχ.1.4β φαίνεται η μη γραμμική συμπεριφορά των καλωδίων. P δ α) β) Σχ.1.4 Λόγω της εξωτερικής φόρτισης αλλάζει η δυσκαμψία του καλωδίου 1.3. Παραδείγματα καλωδιωτών κατασκευών Καλωδιωτές κατασκευές είναι οι αναρτημένες και κρεμαστές γέφυρες, οι ιστοί κεραιών, τα υπόστεγα από καλώδια και μεμβράνες, οι στέγες από δίκτυο καλωδίων, τα υποθαλάσσια καλώδια κ.λ.π. Στις επόμενες φωτογραφίες βλέπουμε μερικές από τις κατασκευές αυτές. Εικ.1.1 Καλωδιωτή γέφυρα ακτινικού τύπου

16 Κεφάλαιο 1 Καλωδιωτές κατασκευές 4 Εικ.1. Η γέφυρα του ποταμού Ohio στη West Virginia Εικ.1.3 Η γέφυρα Alamillo στη Σεβίλλη

17 Κεφάλαιο 1 Καλωδιωτές κατασκευές 5 Εικ.1.4 Η πεζογέφυρα Trinity στο Manchester

18 Κεφάλαιο 1 Καλωδιωτές κατασκευές 6 Εικ.1.5 Ολυμπιακό Στάδιο στο Μόναχο Εικ.1.6 Ολυμπιακό Στάδιο στο Μόναχο

19 Κεφάλαιο 1 Καλωδιωτές κατασκευές 7 Εικ.1.7 Ολυμπιακό Στάδιο στο Μόναχο Εικ.1.8 Ολυμπιακό Στάδιο στο Μόναχο

20 Κεφάλαιο 1 Καλωδιωτές κατασκευές 8 Εικ.1.9 Raleigh Arena στη North Carolina Εικ.1.1 Στάδιο Saint Ouen στο Παρίσι Εικ.1.11 Παγοδρόμιο στον Καναδά

21 Κεφάλαιο 1 Καλωδιωτές κατασκευές 9 Εικ.1.1 Μακέτα για στάδιο στη Ιαπωνία Εικ.1.13 Στάδιο Ειρήνης και Φιλίας στο Φάληρο

22 Κεφάλαιο Στέγες από δίκτυο καλωδίων.1. Περιγραφή Η κατασκευή εφελκυόμενων στεγών μεγάλων ανοιγμάτων άρχισε να ενδιαφέρει τους πολιτικούς μηχανικούς και τους αρχιτέκτονες σχετικά πρόσφατα. Ωστόσο, η πρώτη φορά που χρησιμοποιήθηκαν καλώδια για να καλύψουν έναν μεγάλο χώρο, ήταν το 7μ.Χ. για τη στέγαση του Κολοσσαίου στη Ρώμη. Ένα πρώτο παράδειγμα ανηρτημένης στέγης είναι τα εκθεσιακά περίπτερα στο Nizni Novgorod που κατασκευάστηκαν στο τέλος του 19ου αιώνα. Όμως, το δρόμο για την ανάπτυξη της μελέτης, της ανάλυσης και της κατασκευής των μοντέρνων εφελκυόμενων στεγών, άνοιξε η πρώτη στέγη του είδους αυτού, που κατασκευάστηκε στο στάδιο Raleigh στη North Carolina των Η.Π.Α. και ολοκληρώθηκε το 1953 (Σχ..1 και Σχ..). Η κύρια κατασκευή αποτελείται από ένα δίκτυο καλωδίων το οποίο αγκυρώνεται σε δύο τόξα από σκυρόδεμα που τέμνονται μεταξύ τους και το καθένα έχει κλίση 1 ο ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Σχ..1 Άποψη του σταδίου Raleigh Arena στη North Carolina των Η.Π.Α. Σχ.. Μεταφορά των κυρίων δυνάμεων στο έδαφος

23 Κεφάλαιο Στέγες από δίκτυο καλωδίων 11 Οι στέγες αυτές χρησιμοποιούνται πλέον συχνά για κάλυψη σταδίων, κολυμβητικών πισινών και γυμναστηρίων, θεάτρων, υποστέγων αεροσκαφών, εργοστασίων. Η εμπειρία έ- δειξε πως οι κατασκευές αυτές έχουν μεγάλο αρχιτεκτονικό, κατασκευαστικό και οικονομικό ενδιαφέρον. Έχουν πάντα ένα όμορφο αισθητικό αποτέλεσμα, είναι ευσταθείς και οικονομικές κατασκευές αφού το μεγαλύτερο μέρος των φορτίων μεταφέρεται ως εφελκυσμός στα καλώδια, πράγμα που σημαίνει καλύτερη αξιοποίηση της διατομής των στοιχείων. Επομένως πρόκειται για μία οικονομικότερη λύση. Οι εφελκυόμενες στέγες μπορούν να είναι: απλά ανηρτημένες στέγες (Σχ..3) με προεντεταμένα καλώδια και δοκούς (με θλιβόμενα και εφελκυόμενα μέλη) σε επίπεδη διάταξη (Σχ..4) δίκτυο προεντεταμένων καλωδίων (Σχ..5) Οι απλά ανηρτημένες στέγες αποτελούνται από απλά καλώδια διατεταγμένα σε ορθογωνική ή τραπεζοειδή κάτοψη που κρέμονται από κατακόρυφα πλαίσια (Σχ..3α) ή διατεταγμένα ακτινικά σε κυκλική κάτοψη που στηρίζονται στην περίμετρο σε ένα θλιβόμενο δακτύλιο και στο εσωτερικό σε έναν εφελκυόμενο δακτύλιο (Σχ..3β). α) β) Σχ..3 Απλά ανηρτημένες στέγες Σχ..4 Σύστημα από καλώδια και δοκούς (εφελκυόμενα και θλιβόμενα στοιχεία)

24 Κεφάλαιο Στέγες από δίκτυο καλωδίων 1 Οι στέγες με προεντεταμένα καλώδια και δοκούς διαμορφώνονται από πλαίσια που αποτελούνται από θλιβόμενα και εφελκυόμενα μέλη, και είναι διατεταγμένα το ένα σε κάποια απόσταση από το άλλο. Έχουν μεγαλύτερη δυσκαμψία από τις προηγούμενες κατάσκευές, η οποία επιτυγχάνεται με τη χρήση ενός δεύτερου καλωδίου με αντίθετη καμπυλότητα από το πρώτο. Μεταξύ τους συνδέονται με κατακόρυφα μέλη, τα οποία, αν παίρνουν θλίψη (Σχ..4α), είναι θλιβόμενες ράβδοι, ενώ αν παίρνουν εφελκυσμό (Σχ..4β), είναι καλώδια. Στο (Σχ..4γ) δίνεται ένας συνδυασμός των δύο παραπάνω περιπτώσεων. Η δυσκαμψία επιτυγχάνεται προεντείνοντας τα δύο κύρια καλώδια, ή κονταίνοντας τις θλιβόμενες ράβδους, ή προεντείνοντας τα κατακόρυφα καλώδια. Οι στέγες από δίκτυο προεντεταμένων καλωδίων διαμορφώνουν επιφάνειες διπλής καμπυλότητας, επομένως αγκυρώνονται σε σημεία διαφορετικού ύψους, αν είναι σε ορθογωνική ή ρομβοειδή κάτοψη (Σχ..5α), ή κρέμονται από ένα ψηλό υποστύλωμα και σχηματίζουν κωνική μορφή (Σχ..5β). α) β) Σχ..5 Στέγες από πλέγμα καλωδίων Σχ..6 Στέγη σχήματος υπερβολικού παραβολοειδούς ελλειπτικής κάτοψης

25 Κεφάλαιο Στέγες από δίκτυο καλωδίων 13 Στην κατηγορία αυτή ανήκουν και οι στέγες που έχουν σχήμα υπερβολικό παραβολοειδές. Οι δύο αντιδιαμετρικές άκρες είναι υπερυψωμένες ενώ οι άλλες δύο βρίσκονται σε χαμηλότερα σημεία (Σχ..6). Έτσι επιτυγχάνονται δύο διαφορετικές καμπυλότητες που καθιστούν το σύστημα δύσκαμπτο. Τα καλώδια που στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω λέγονται φέροντα καλώδια, ενώ αυτά που στρέφουν τα κοίλα προς τα κάτω λέγονται σταθεροποιητικά. Αυτού του είδους οι στέγες καλύπτουν κυρίως μεγάλα ανοίγματα, είναι ελαφριές κατασκευές και ιδιαίτερα δύσκαμπτες σε σχέση με το υλικό που χρησιμοποιείται. Η δυσκαμψία του συστήματος επιτυγχάνεται με την προένταση των καλωδίων. Τα καλώδια μπορούν να πάρουν μόνο εφελκυσμό, γι αυτό και η προένταση θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε, για όλες τις περιπτώσεις φόρτισης, (συμπεριλαμβανομένου και του ανέμου που μπορεί να προκαλέσει υποπίεση), να μην προκύψει ποτέ θλίψη σε καλώδιο, ή καλύτερα, να υπάρχει σε κάθε περίπτωση ένας ελάχιστος εφελκυσμός. Τα καλώδια αγκυρώνονται σ ένα περιμετρικό δοκάρι, ή δακτύλιο όπως λέγεται, που είναι πολύ πιο δύσκαμπτο από αυτά. Σε φάση προμελέτης μπορεί να θεωρηθεί τελείως άκαμπτο ή να θεωρηθεί ότι αποτελείται από στοιχεία που έχουν αξονική, διατμητική και καμπτική δυσκαμψία ως προς τους δύο κύριους άξονες. Το δοκάρι αυτό στηρίζεται σε πυλώνες που είναι συνήθως κεκλιμένοι και έχουν τέτοια κλίση ώστε η δύναμη που μεταφέρουν τα καλώδια λόγω προέντασης και κατακορύφων φορτίων να μεταφέρεται κυρίως ως αξονική δύναμη στους πυλώνες, έτσι ώστε να μην αναπτύσσονται μεγάλες ροπές στη βάση τους. Στις καλωδιωτές κατασκευές έχουμε πολύ μεγάλες παραμορφώσεις, αφ ενός μεν γιατί η αντοχή των καλωδίων είναι πολύ μεγάλη και επομένως η αντίστοιχη επιμήκυνση είναι σημαντική, αφ ετέρου δε γιατί λόγω της έλλειψης της διατμητικής δυσκαμψίας, προκειμένου ν αναλάβουν φορτία που θα προκαλούσαν διάτμηση, αλλάζουν το σχήμα τους, έτσι ώστε να ι- σορροπήσουν στην νέα θέση χωρίς διάτμηση. Τέλος, ακόμα και μικρές παραμορφώσεις στον περιμετρικό δακτύλιο είναι δυνατόν να προκαλέσουν μεγάλα βέλη στα καλώδια. Η ανάλυση των καλωδιωτών κατασκευών πρέπει να είναι μη γραμμική, λαμβάνοντας υπ όψη τη γεωμετρική μη γραμμικότητα και τη μη γραμμικότητα υλικού. Αρχικά επιλύεται το σύστημα των καλωδίων για την προένταση και τα ίδια βάρη, θεωρώντας τον περιμετρικό δακτύλιο εντελώς άκαμπτο, για να προσδιοριστούν οι παραμορφώσεις που προκύπτουν στο δακτύλιο. Έπειτα γίνεται επίλυση για τις διάφορες φορτίσεις, λαμβάνοντας υπ όψη τις προηγούμενες παραμορφώσεις, και τη μερική δυσκαμψία του δακτυλίου... Φορτία Τα φορτία που λαμβάνονται υπ όψη για την ανάλυση αυτών των κατασκευών είναι ίδια με τα αυτά που λαμβάνονται υπ όψη για οποιοδήποτε άλλο σύστημα που χρησιμοποιείται για επικάλυψη χώρων. Ωστόσο, παράλληλα με την ιδιαίτερη χαρακτηριστική γεωμετρία των καλωδιωτών στεγών, κρίνεται αναγκαίο να γίνουν ορισμένες παρατηρήσεις ειδικά για τα φορτία που χρησιμοποιούνται στην ανάλυσή τους. Τα φορτία που λαμβάνονται υπ όψη είναι:

26 Κεφάλαιο Στέγες από δίκτυο καλωδίων 14 Τα μόνιμα φορτία που αποτελούνται από το βάρος της καλωδίωσης (δηλαδή των καλωδίων, των αγκυρώσεών τους και των συνδέσμων στους κόμβους), από το βάρος της επικάλυψης και της μόνωσης και από τις μηχανολογικές και τεχνολογικές ε- γκαταστάσεις που πιθανόν να κρέμονται από την καλωδίωση (φωτισμός, συστήματα ήχου, διάδρομοι για επισκευή κ.λ.π.). Το χιόνι, του οποίου η πυκνότητα και η ποσότητα εξαρτώνται από την περιοχή. Σε α- ντίθεση με τις παραδοσιακές επίπεδες στέγες, στις ανηρτημένες στέγες το φορτίο του χιονιού μπορεί να μην είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο σε όλη την κάτοψη της στέγης. Η γεωμετρία της στέγης, καθώς επίσης και η επιρροή του ανέμου μπορούν να προκαλέσουν συσσώρευση χιονιού στις πιο επίπεδες περιοχές. Ο άνεμος, ο οποίος μπορεί να προκαλέσει και υποπίεση. Και αυτή η φόρτιση μπορεί να μην είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη σε όλη την κάτοψη. Πολλές φορές γίνονται και δοκιμές σε φυσικά μοντέλα τοποθετημένα σε ειδικές σήραγγες, προκειμένου να προσδιοριστούν οι πιέσεις και οι υποπιέσεις που δημιουργεί ο άνεμος στην κατασκευή. Η προένταση, η οποία θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε να εξασφαλίζει έναν ελάχιστο εφελκυσμό σε όλα τα καλώδια για οποιονδήποτε συνδυασμό φόρτισης. Η διαφορά θερμοκρασίας στο δακτύλιο και τα καλώδια. Από αυτά, το χιόνι, τα μόνιμα φορτία, όπως επίσης και η διαφορά θερμοκρασίας μπορούν να θεωρηθούν ομοιόμορφα κατανεμημένα, ενώ ο άνεμος λαμβάνεται ως ομοιόμορφη φόρτιση αλλά αντισυμμετρική κατά τμήματα της κάτοψης, όπως φαίνεται στο Σχ..7. Σχ..7 Πιθανές κατανομές ανεμοπίεσης Έτσι οι φορτίσεις μπορούν να ομαδοποιηθούν σε τρεις κατηγορίες: ομοιόμορφα κατανεμημένα φορτία η προένταση αντισυμμετρικά φορτία

27 Κεφάλαιο Στέγες από δίκτυο καλωδίων Φάσεις ανάλυσης.3.1. Φάση Αρχικά γίνεται η εύρεση του γεωμετρικού σχήματος, στο οποίο επιτυγχάνεται ισορροπία για την προένταση των καλωδίων και το ίδιο βάρος της καλωδίωσης, χωρίς όμως την επιβολή εξωτερικών φορτίων..3.. Φάση 1 Η φάση αυτή της ανάλυσης συνδέεται με την παρουσία της επικάλυψης και όλων των άλλων μόνιμων φορτίων που ασκούνται στην καλωδίωση. Σ αυτή τη φάση η ένταση των φερόντων καλωδίων αυξάνεται, ενώ αυτή των σταθεροποιητικών μειώνεται. Σε πολλές περιπτώσεις και ιδιαίτερα σε επίπεδες κατασκευές, αυτή η φάση επιλέγεται σαν μηδενική, ούτως ώστε η επιλογή της γεωμετρίας της κατασκευής να γίνει βάσει των φορτίων που θα φέρει στο μεγαλύτερο μέρος της ζωής της Φάση Λειτουργίας Η φάση αυτή διακρίνεται από δύο περιπτώσεις φόρτισης: Η πρώτη περίπτωση, στην οποία λαμβάνονται υπ όψη όλα τα κινητά κατακόρυφα φορτία, όπως το φορτίο χιονιού και η πίεση ανέμου, αποτελεί και τη δυσμενέστερη περίπτωση φόρτισης για τα φέροντα καλώδια. Υπολογίζεται η μέγιστη ένταση που α- ναπτύσσεται στα φέροντα καλώδια, καθώς επίσης και η ελάχιστη ένταση που αναπτύσσεται στα σταθεροποιητικά καλώδια. Γίνεται έλεγχος αντοχής στα φέροντα καλώδια και έλεγχος ελαχίστου εφελκυσμού στα σταθεροποιητικά. Επίσης υπολογίζονται οι μέγιστες παραμορφώσεις. Στη δεύτερη περίπτωση λαμβάνεται υπ όψη η υποπίεση που δημιουργεί το φορτίο α- νέμου. Η ένταση στα φέροντα καλώδια μειώνεται ενώ αυτή στα σταθεροποιητικά αυξάνεται, φτάνοντας στη μέγιστη τιμή της. Γίνεται έλεγχος αντοχής στα σταθεροποιητικά καλώδια και έλεγχος ελαχίστου εφελκυσμού στα φέροντα.

28 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 3.1. Γενικά Η μέθοδος υπολογισμού που αναπτύχθηκε τη δεκαετία του 7 από τον J.S.Gero [1] [], χρησιμοποιείται για την ανάλυση των στεγών από δίκτυο καλωδίων σε στάδιο προμελέτης, και βασίζεται στη μετατροπή ενός μεγάλου δικτύου με μεγάλο πλήθος καλωδίων (πρωτότυπο), σ ένα μικρότερο με λιγότερα καλώδια (μοντέλο), κι έπειτα βάσει διαγραμμάτων προκύπτει η συμπεριφορά τού υπό κλίμακα μοντέλου, η οποία ανάγεται στο πρωτότυπο. Τα διαγράμματα είναι δύο ειδών: i) παραμόρφωση προς αξονική δύναμη για διάφορα φορτία και δυσκαμψίες των μελών και για σταθερή προένταση και ii) παραμόρφωση προς αξονική δύναμη για διάφορα φορτία και προεντάσεις και για σταθερή δυσκαμψία των μελών και μπορούν να παραχθούν για οποιοδήποτε μοντέλο. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε σύστημα μονάδων γιατί τα μεγέθη είναι αδιαστατοποιημένα. Η μέθοδος αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για στέγες επίπεδες ή δύο διαφορετικών καμπυλοτήτων (τύπου Hypar), με κατόψεις σχήματος τετραγώνου ή ρόμβου. 3.. Συμπεριφορά των κατασκευών από δίκτυο καλωδίων Οι παραδοχές που γίνονται γι αυτή την ανάλυση είναι: το υλικό των καλωδίων είναι γραμμικά ελαστικό τα φορτία εφαρμόζονται στους κόμβους οι στηρίξεις είναι είτε τελείως άκαμπτες είτε αποτελούνται από καλώδια με καμπυλότητα τέτοια, ώστε να θεωρούνται άκαμπτες στηρίξεις στο δίκτυο των καλωδίων ασκείται ομοιόμορφη φόρτιση και ομοιόμορφη προένταση. Επιπλέον είναι διατεταγμένα σε κάνναβο ίσων αποστάσεων και η διατομή των καλωδίων είναι ίδια για όλα τα καλώδια.

29 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero Συμπεριφορά επίπεδων στεγών Η συμπεριφορά των επίπεδων στεγών δίνεται σε όρους μεγίστης βύθισης και μεγίστης έντασης των καλωδίων για διάφορες τιμές φορτίων ανά κόμβο, τιμές δυσκαμψίας και προέντασης. Το δίκτυο που χρησιμοποιήθηκε για να παραχθούν τα διαγράμματα αυτά αποτελείται από 4 καλώδια ανά πλευρά με μήκος πλευράς 4 μονάδες μήκους (Σχ.3.1). Σχ.3.1 Κάτοψη επιπέδου δικτύου Στα Σχ.3. και Σχ.3.3 δίνονται ενδεικτικά τα διαγράμματα της παραμόρφωσης και της έντασης των καλωδίων συναρτήσει του φορτίου ανά κόμβο και της προέντασης για σταθερή δυσκαμψία στα ΕΑ=.. Σχ.3. Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης

30 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 18 Σχ.3.3 Διάγραμμα μεγίστων εντάσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης Από τα διαγράμματα αυτά παρατηρούμε: τη μη γραμμική συμπεριφορά της κατασκευής στα διάφορα επίπεδα φόρτισης την αύξηση της δυσκαμψίας όσο αυξάνεται το φορτίο την αύξηση της δυσκαμψίας όσο αυξάνεται η προένταση η συμπεριφορά της κατασκευής τείνει να γίνει γραμμική για μεγάλες τιμές της προέντασης και του φορτίου. Τέλος, τα διαγράμματα που περιλαμβάνουν και τις δύο πληροφορίες για τη μέγιστη παραμόρφωση και μέγιστη ένταση για διάφορες τιμές προέντασης και για μία σταθερή τιμή της δυσκαμψίας είναι της μορφής του Σχ.3.4. Ανάλογα διαγράμματα μπορούν να παραχθούν για διάφορες τιμές δυσκαμψίας και για μία σταθερή τιμή προέντασης.

31 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 19 Σχ.3.4 Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων μεγίστων εντάσεων για διάφορα επίπεδα φόρτισης ανά κόμβο και προέντασης με δυσκαμψία ΕΑ= Σύγκριση διαγραμμάτων με το CABLE3 Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα CABLE3 (βλ. Παράρτημα ΙΙ), έγιναν διάφορες επιλύσεις για το δίκτυο καλωδίων (Σχ.3.1) για να παραχθούν διαγράμματα σαν τα προηγούμενα. Ενδεικτικά, για να μπορεί να γίνει κάποια σύγκριση, στο Σχ.3.5 παρατίθεται το διάγραμμα που αντιστοιχεί σε δυσκαμψία καλωδίων ίση με EA=., για επικόμβια φορτία σε όλους τους κόμβους από,5 5, και για δυνάμεις προέντασης από 1 5. Όσον αφορά στις μονάδες, όπως αναφέρεται και στο Παράρτημα ΙΙ, το πρόγραμμα αυτό δίνει αποτελέσματα σε μονάδες ίδιες με αυτές που δίνει ο χρήστης στα δεδομένα. Επομένως τα διαγράμματα που προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για οποιοδήποτε σύστημα μονάδων. Συγκρίνοντας τα διαγράμματα του Σχ.3.4 και του Σχ.3.5 παρατηρούμε πως δεν υπάρχουν διαφορές.

32 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero Επίπεδο τετραγωνικό δίκτυο καλωδίων με ΕΑ=. 9 Μέγιστες εντάσεις ,5 1, 1,5, 3,5,5 3, 4,5 4, 5, Προένταση p=5 p=4 p=3 p= p= Μέγιστες μετακινήσεις Σχ.3.5 Διάγραμμα από CABLE3 μεγίστων παραμορφώσεων μεγίστων εντάσεων για διάφορα επίπεδα φόρτισης ανά κόμβο και προέντασης με δυσκαμψία ΕΑ= Συμπεριφορά στεγών τύπου Hypar net Οι στέγες αυτού του τύπου έχουν κάτοψη σχήματος ρόμβου και χαρακτηρίζονται από τις δύο διαφορετικές καμπυλότητες, αφού οι δύο αντιδιαμετρικές άκρες βρίσκονται ψηλότερα και οι άλλες δύο χαμηλότερα (Σχ.3.6). Σχ.3.6 Κάτοψη και προοπτικό στέγης τύπου Hypar net Και σ αυτή την περίπτωση η συμπεριφορά της κατασκευής δίνεται σε όρους μεγίστης βύθισης και μεγίστης έντασης των καλωδίων για διάφορες τιμές φορτίων ανά κόμβο, διάφορες τιμές δυσκαμψίας και προέντασης. Το δίκτυο που χρησιμοποιήθηκε για να παραχθούν τα διαγράμματα είναι το ίδιο με το προηγούμενο μόνο που τα καλώδια είναι 3 ανά πλευρά και στραμένα κατά 45 ο (Σχ.3.7). Η κάτοψη είναι ρομβοειδούς μορφής με πλευρά ίση με 4 μονάδες μήκους και λόγο υψομετρικής διαφοράς προς μήκος πλευράς ίσος με 1:4, δηλαδή οι δύο αντιδιαμετρικές πλευρές βρίσκονται 1 μονάδες μήκους ψηλότερα από τις άλλες δύο. Τα υ- ψόμετρα των κορυφών φαίνονται στο σχήμα. Τα διαγράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν

33 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 1 για στέγες με ρομβοειδή κάτοψη και με λόγο υψομετρικής διαφοράς προς μήκος πλευράς ίσο με 1:4. Σχ. 3.7 Κάτοψη, όψεις και προοπτικό της στέγης τύπου Hypar Ενδεικτικά στα Σχ.3.8 και Σχ.3.9 δίνονται τα διαγράμματα της παραμόρφωσης και της έντασης των καλωδίων συναρτήσει του φορτίου ανά κόμβο και της προέντασης για σταθερή δυσκαμψία στα ΕΑ=15.. Σχ.3.8 Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης

34 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero Σχ.3.9 Διάγραμμα μεγίστων εντάσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης Από τα διαγράμματα αυτά προκύπτει ότι η απόκριση των κατασκευών αυτών μπορεί να χωριστεί σε 3 περιοχές: Περιοχή Ι: Η προένταση είναι μηδενική ή το φορτίο είναι τέτοιο ώστε να εξουδετερώνει την προένταση (αυτό συμβαίνει για προένταση μηδενική και για φορτία μεγαλύτερα από,5 όπως και για προένταση 1). Περιοχή ΙΙ: Η προένταση προκαλεί πάντα εφελκυσμό (αυτό συμβαίνει για όλα τα φορτία και για προένταση από και πάνω καθώς επίσης και για φορτία μικρότερα από,5 και προένταση 1). Περιοχή ΙΙΙ: Κάποια από τα προεντεταμένα καλώδια είναι αφόρτιστα. Αυτό παριστάνει ένα μεταβατικό στάδιο μεταξύ της περιοχής Ι και ΙΙ. Παρατηρούμε τη γραμμική συμπεριφορά των δύο πρώτων περιοχών και την έντονα μη γραμμική συμπεριφορά την τρίτης περιοχής. Tα διαγράμματα που περιλαμβάνουν και τις δύο πληροφορίες για τη μέγιστη παραμόρφωση και μέγιστη ένταση για διάφορες τιμές προέντασης και για μία σταθερή τιμή της δυσκαμψίας είναι της μορφής του Σχ.3.1. Ανάλογα διαγράμματα μπορούν να παραχθούν για διάφορες τιμές δυσκαμψίας και για μία σταθερή τιμή προέντασης.

35 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 3 Σχ.3.1 Τύπος Hypar: διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων μεγίστων εντάσεων για διάφορα επίπεδα φόρτισης ανά κόμβο και προέντασης με δυσκαμψία ΕΑ= Σύγκριση διαγραμμάτων με το CABLE3 Προσπαθώντας να αναπαράγουμε τα τρία παραπάνω διαγράμματα, χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα CABLE3, και κάνοντας διάφορες επιλύσεις για το δίκτυο καλωδίων του Σχ.3.7, καταλήξαμε στα διαγράμματα που δίνονται παρακάτω (Σχ.3.11, Σχ.3.1 και Σχ.3.13). Οι αναλύσεις έγιναν για επικόμβια φορτία σε όλους τους κόμβους από,5 5, και για δυνάμεις προέντασης από 1 5, ενώ η δυσκαμψία καλωδίων ελήφθηκε ίση με EA=15., Κάνοντας μία σύγκριση ανάμεσα στα διαγράμματα που δίνει ο Gero και αυτά που παράγονται από την παραμετρική ανάλυση με το CABLE3, προκύπτουν σημαντικές διαφορές. Η προένταση φαίνεται να μην επαρκεί για φορτίο μεταξύ του 3,5 και 4, και για προένταση, καθώς επίσης και για φορτίο μεταξύ του 1,5 και, και για προένταση 1, όπου οι παραμορφώσεις στα διαγράμματα αυξάνονται απότομα, σε αντίθεση με τα διαγράμματα κατά Gero στα οποία αυτή η περίπτωση παρατηρείται μόνο για φορτία μεγαλύτερα από,5 και για προένταση 1. Ωστόσο για φορτίο μεγαλύτερο από τις τιμές που αναφέραμε, δηλαδή για φορτίο μεγαλύτερο του 4, και για προένταση, και για φορτίο μεγαλύτερο του, και για προένταση 1, τα καλώδια βρίσκουν ξανά ισορροπία και η αύξηση των παραμορφώσεων γίνεται πλέον

36 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 4 ομαλά. Επιπλέον, οι εντάσεις που προκύπτουν από το CABLE3 (Σχ.3.1), ακόμα και για προεντάσεις μεγαλύτερες του, είναι μεγαλύτερες από τις τιμές του αντίστοιχου διαγράμματος κατά Gero (Σχ.3.9), κατά περίπου 15%. Στέγη τύπου Hypar (EA=15.),5,45 Μέγιστη παραμόρφωση,4,35,3,5,,15,1,5,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 Φορτίο/κόμβο P=5 P=4 P=3 P= P=1 Σχ.3.11 Διάγραμμα από CABLE3 μεγίστων παραμορφώσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης Στέγη τύπου Hypar (EA=15.) Μέγιστη ένταση ,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 Φορτίο/κόμβο P=5 P=4 P=3 P= P=1 Σχ.3.1 Διάγραμμα από CABLE3 μεγίστων εντάσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης

37 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 5 Στέγη τύπου HYPAR κάτοψης σχήματος ρόμβου (ΕΑ=15.) 9 Μέγιστες εντάσεις , 4,5 4, 3,5,5 3,, 1,5,5 1, Μέγιστες μετακινήσεις Προένταση p=5 p=4 p=3 p= p=1 Σχ.3.13 Διάγραμμα από CABLE3 για στέγη τύπου Hypar: διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων μεγίστων εντάσεων για διάφορα επίπεδα φόρτισης ανά κόμβο και προέντασης με δυσκαμψία ΕΑ= Ανάλυση κατά GERO Οι σχέσεις που υιοθετήθηκαν για την μετατροπή του πρωτοτύπου στο μοντέλο είναι βασισμένες στο θεώρημα του Buckingham και είναι οι παρακάτω: N p 1 S m S p : απόσταση των καλωδίων (3.1) N 1 m N p W m W p : φορτίο ανά κόμβο (3.) N m N p Pm Pp : προένταση καλωδίου (3.3) N p m EA p N m m N EA : δυσκαμψία ανά καλώδιο (3.4) N p Tm Tp : αξονική ένταση καλωδίου (3.5) N m όπου Ν είναι το πλήθος των καλωδίων ανά πλευρά. Οι δείκτες m και p δηλώνουν το μοντέλο και το πρωτότυπο αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας αντίστοιχες σχέσεις, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα και για άλλα δίκτυα καλωδίων που διαφέρουν μόνο στον αριθμό των καλωδίων. Έτσι

38 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 6 αν η πρωτότυπη κατασκευή έχει τυπικό μήκος L p μπορεί να αναχθεί σε μία κατασκευή υπό κλίμακα με τυπικό μήκος L s όπου σ αυτή την περίπτωση ο δείκτης s δηλώνει το υπό κλίμακα μοντέλο. Οι σχέσεις αυτές είναι οι παρακάτω: m s m s L L d d : παραμόρφωση (3.6) m s m s m s L L E E W W : φορτίο ανά κόμβο (3.7) m s m s L L A A : διατομή καλωδίου (3.8) m s m s m s L L E E P P : προένταση (3.9) m s m s m s L L E E T T : αξονική ένταση καλωδίου (3.1) Αν θεωρήσουμε ότι L m =L p και N s =N m οι σχέσεις μεταξύ του υπό κλίμακα μοντέλου (και άρα του μοντέλου) και του πρωτοτύπου γίνονται ως εξής: p s p s L L d d : παραμόρφωση (3.11) s p p s p s p s N N L L E E W W : φορτίο ανά κόμβο (3.1) s p p s p s N N L L A A : διατομή καλωδίων (3.13) s p p s p s p s N N L L E E P P : προένταση (3.14) s p p s p s p s N N L L E E T T : αξονική ένταση καλωδίου (3.15) s p p s p s p s N N L L E E EA EA : δυσκαμψία καλωδίων (3.16)

39 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero Παράδειγμα 1 (επίπεδη στέγη) Θεωρούμε την κάτοψη επίπεδης στέγης του Σχ.3.14, με πλευρά ίση με m και με καλώδια ανά πλευρά σε απόστασεις 9,5m. Σχ.3.14 Κάτοψη επίπεδης στέγης Τα δεδομένα του προβλήματος είναι: L p = m N p = W p,μόνιμα =5,5 kn/κόμβο W p,κινητά =,5 kn/κόμβο W p,tot =6, kn/κόμβο Α p =6,33 cm E p =4.. kn/m (EA) p =15. kn (T u ) p =1.6 kn P p =9, kn Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις (3.11) έως (3.16) θα μπορούσαμε να ανάγουμε τη γεωμετρία και τα χαρακτηριστικά αυτής της στέγης σε μία άλλη με 4 καλώδια ανά πλευρά και μήκος 4m. Έτσι θα έχουμε: L L s p 4, N N p s 4 5 E E s p d s =d p *, W s =W p *1*(,) *5 = W p W s,μόνιμα =W p,μόνιμα =5,5 kn/κόμβο W s,κινητά =W p,κινητά =,5 kn/κόμβο

40 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 8 W s,tot =W p,tot =6, kn/κόμβο A s =6,33*(,) *5=1,66 cm P s =9,*1*(,) *5=18 (T u ) s =1.6*1*(,) *5=5 (EA) s =15.*1*(,) *5=3. Χρειάζεται όμως να ξανακάνουμε τη διαδικασία για να φέρουμε τις τιμές των φορτίων στις τιμές των διαγραμμάτων. Γι αυτό θέτουμε E s =1/6*E. L L s p 4, N N p s 4 5 E E s p 4.. 6* W s =W p *1/6*(,) *5 =1/6*W p W s,μόνιμα =1/6*W p,μόνιμα =,917 kn/κόμβο W s,κινητά =1/6*W p,κινητά =,83 kn/κόμβο W s,tot =1/6*W p,tot =1, kn/κόμβο P s =9,*1/6*(,) *5=3, (T u ) s =1.6*1/6*(,) *5=4 (EA) s =15.*1/6*(,) *5=5. Στη βιβλιογραφία [] δίνονται διαγράμματα για μήκος καλωδίων L s =4, για πλήθος καλωδίων Ν s =4, για δυσκαμψία (ΕΑ) s =5. 35., για προένταση P s = 5 και για φορτίο W s = 5 και είναι για οποιοδήποτε σύστημα μονάδων. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση μας ενδιαφέρει το διάγραμμα του Σχ.3.15 απ όπου παίρνουμε τις τιμές για τις παραμορφώσεις και για τις αξονικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα καλώδια. Έτσι για την τιμή (ΕΑ) s =5. και για προένταση P s =3, προκύπτουν οι παρακάτω τιμές για τα διάφορα φορτία: για W s,μόνιμα =,917 kn/κόμβο d s,μόνιμα =,4 T s,μόνιμα =31 για W s,κινητά =,83 kn/κόμβο d s, κινητά =,3 T s, κινητά =3 για W s,tot =1, kn/κόμβο d s,tot =,43 T s,tot =3 όπου d είναι οι παραμορφώσεις και T οι αξονικές δυνάμεις στα καλώδια. Οι τιμές μπορούν να μετατραπούν για το πρωτότυπο σύμφωνα με τις σχέσεις (3.11) και (3.15): d p,μόνιμα =5*,4=, T p,μόνιμα =3*31=93 d p, κινητά =5*,3=,15 T p, κινητά =3*3=9 d p,tot =5*,43=,15 T p,tot =3*3=96

41 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 9 Σχ.3.15 Διάγραμμα για επίπεδο δίκτυο καλωδίων, ΕΑ= Σύγκριση αποτελεσμάτων Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα CABLE3, επιλύουμε τη στέγη του προηγούμενου παραδείγματος (Σχ.3.14), για τα χαρακτηριστικά που δίνονται παραπάνω, δηλαδή για δυσκαμψία ίση με ΕΑ=15. και προένταση ίση με P=9. Έγιναν τρεις επιλύσεις για τις τρεις περιπτώσεις φορτίσεων ξεχωριστά (μόνιμα 5,5kN/κόμβο, κινητά,5kn/κόμβο και συνολικά φορτία 6,kN/κόμβο). Παρακάτω δίνεται ένας συγκριτικός πίνακας των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από το πρόγραμμα αυτό και των αποτελεσμάτων που προκύπτουν με την παραπάνω μέθοδο κατά Gero: Επίπεδο δίκτυο καλωδίων τετραγωνικής κάτοψης Φορτίο Μέγιστη παραμόρφωση (m) Μέγιστη αξονική ένταση (kn) (kn/κόμβο) CABLE3 GERO Απόκλιση CABLE3 GERO Απόκλιση 5,5 1,86, 7,5% ,6%,5,17,15 11,76% 9 9 % 6,,,15 6,44% ,91% Πίν.3.1 Συγκριτικός πίνακας αποτελεσμάτων για επίπεδη στέγη Όπως βλέπουμε, για το παράδειγμα του επίπεδου τετραγωνικού δικτύου, η μέθοδος αυτή δίνει πολύ καλά αποτελέσματα, με πολύ μικρή απόκλιση από τα αποτελέσματα της μη γραμμικής ανάλυσης του συγκεκριμένου φορέα.

42 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero Παράδειγμα (στέγη τύπου Hypar net) Θεωρούμε την κάτοψη στέγης του Σχ.3.16, με καλώδια ανά πλευρά, των οποίων η απόσταση μεταξύ τους είναι 6,73m. Ο λόγος της υψομετρικής διαφοράς των δύο αντιδιαμετρικών σημείων προς το μήκος πλευράς είναι ίσος με 1:4, δηλαδή για μήκος πλευράς ίσο με m η υψομετρική διαφορά είναι 5m, όπως φαίνεται και στο σχήμα. Σχ.3.16 Κάτοψη και προοπτικό στέγης τύπου Hypar net Τα δεδομένα του προβλήματος είναι: L p = m N p = W p,μόνιμα =5,5 kn/κόμβο W p,κινητά =,5 kn/κόμβο W p,tot =6, kn/κόμβο Α p =6,33 cm E p =4.. kn/m (EA) p =15. kn (T u ) p =16 kn P p =9, kn Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις (3.11) έως (3.16) θα μπορούσαμε να ανάγουμε την γεωμετρία και τα χαρακτηριστικά αυτής της στέγης σε μία άλλη με 3 καλώδια ανά πλευρά και μήκος 4m, αφού η τυπική κάτοψη απ όπου και προέκυψαν τα αντίστοιχα διαγράμματα έχει αυτά τα χαρακτηριστικά. Έτσι θα έχουμε: L L s p 4, N N p s 3 6,67 E E s p

43 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 31 d s =d p *, W s =W p *1*(,) *6,67 =1,77*W p W s,μόνιμα =1,77*W p,μόνιμα =4,84 kn/κόμβο W s,κινητά =1,77*W p,κινητά =,44 kn/κόμβο W s,tot =1,77*W p,tot =5,8 kn/κόμβο P s =9,*1*(,) *6,67=4,1 (T u ) s =1.6*1*(,) *6,67=336,17 (EA) s =15.*1*(,) *6,67=4. Χρειάζεται όμως να ξανακάνουμε τη διαδικασία για να φέρουμε τις τιμές των φορτίων στις τιμές των διαγραμμάτων. Γι αυτό θέτουμε E s =,15 E. L L s p 4, N N p s 3 6,67 E E s p,15* ,15 W s =W p *,15*(,) *6,67 =,*W p W s,μόνιμα =,*W p,μόνιμα =1,1 kn/κόμβο W s,κινητά =,*W p,κινητά =,11 kn/κόμβο W s,tot =,*W p,tot =1,3 kn/κόμβο P s =9,*,15*(,) *6,67=3 (Tu) s =1.6*,15*(,) *6,67=4 (EA) s =15.*,15*(,) *6,67=5. Στη βιβλιογραφία [] δίνονται διαγράμματα για μήκος καλωδίων L s =4, για πλήθος καλωδίων Ν s =3, για δυσκαμψίες (ΕΑ) s =5. 35., για προένταση P s = 5 και για φορτίο W s = 5 και είναι για οποιοδήποτε σύστημα μονάδων. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση μας ενδιαφέρει το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος (Σχ.3.17), απ όπου παίρνουμε τις τιμές για τις παραμορφώσεις και για τις αξονικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα καλώδια. Έτσι για την τιμή (ΕΑ) s =5. και για προένταση P s =3, προκύπτουν οι παρακάτω τιμές για τα διάφορα φορτία: για W s,μόνιμα =1,1 kn/κόμβο d s,μόνιμα =,11 T s,μόνιμα =35 για W s,κινητά =,11 kn/κόμβο d s, κινητά =,1 T s, κινητά =31 για W s,tot =1,3 kn/κόμβο d s,tot =,1 T s,tot =36

44 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 3 Οι τιμές για το πρωτότυπο προκύπτουν από τις σχέσεις (3.11) και (3.15): d p,μόνιμα =,55 T p,μόνιμα =15 d p, κινητά =,5 T p, κινητά =93 d p,tot =,6 T p,tot =18 Σχ.3.17 Διάγραμμα για δίκτυο καλωδίων, τύπου Hypar net, ΕΑ=5. Από τα δύο αυτά παραδείγματα προκύπτει ότι στη δεύτερη περίπτωση οι αξονικές δυνάμεις που αναπτύσσονται είναι σχεδόν ίσες με αυτές της πρώτης περίπτωσης, ενώ οι παραμορφώσεις είναι μικρότερες, πράγμα που σημαίνει ότι η στέγη τύπου Hypar net είναι πιο δύσκαμπτη κατασκευή Σύγκριση αποτελεσμάτων Ο έλεγχος των αποτελεσμάτων γίνεται και πάλι χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα CABLE3. Επιλύουμε τη στέγη του προηγούμενου παραδείγματος για τα χαρακτηριστικά που δίνονται παραπάνω και που είναι ίδια με το παράδειγμα 1, δηλαδή για δυσκαμψία ίση με ΕΑ=15. και προένταση ίση με P=9. Έγιναν και σ αυτή την περίπτωση τρεις επιλύσεις για τις τρεις φορτίσεις ξεχωριστά (μόνιμα 5,5kN/κόμβο, κινητά,5kn/κόμβο και συνολικά φορτία 6,kN/κόμβο). Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα αποτελέσματα που προκύπτουν από το πρόγραμμα αυτό και τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την παραπάνω μέθοδο:

45 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 33 Δίκτυο καλωδίων με αντίθετες καμπυλότητες ρομβοειδούς κάτοψης (τύπος Hypar) Φορτίο Μέγιστη παραμόρφωση (m) Μέγιστη αξονική ένταση (kn) (kn/κόμβο) CABLE3 GERO Απόκλιση CABLE3 GERO Απόκλιση 5,5,6,55 8,33% 18 15,7%,5.6, % % 6,,658,6 8.81% ,8% Πίν.3. Συγκριτικός πίνακας αποτελεσμάτων για επίπεδη στέγη Από τον πίνακα αυτό βλέπουμε πως και για την περίπτωση του δικτύου καλωδίων με αντίθετες καμπυλότητες (τύπος Hypar), η μέθοδος αυτή δίνει πολύ καλά αποτελέσματα, με πολύ μικρή απόκλιση από τα αποτελέσματα της μη γραμμικής ανάλυσης του συγκεκριμένου δικτύου καλωδίων Παραγωγή διαγραμμάτων για στέγη κυκλικής κάτοψης Λόγος βέλους / διάμετρο 1:1 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία με αυτή που προτείνει ο Gero, και με τη βοήθεια του προγράμματος CABLE3, προέκυψαν τα παρακάτω διαγράμματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μία προκαταρκτική ανάλυση σε στάδιο προμελέτης των κυκλικών στεγών. Το δίκτυο που χρησιμοποιήθηκε για να παραχθούν τα διαγράμματα συμπεριφοράς, είναι κυκλικής κάτοψης, διαμέτρου D=5m, με 5 καλώδια ανά διεύθυνση, όπως φαίνεται στο Σχ Έγιναν αναλύσεις για φορτία από,5 5,, για προένταση από 1 5 και για δυσκαμψία καλωδίων ίση με EA=5. και EA=15. ενώ ο λόγος βέλους / διάμετρο ελήφθη ίσος με f D 1 1. Τα διαγράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για καλωδιωτές στέγες κυκλικής κάτοψης με λόγο βέλους προς διάμετρο ίσο με 1:1. Σχ Κάτοψη, όψεις και προοπτικό της κυκλικής στέγης για f/d=1:1

46 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 34 Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1:1 και ΕΑ=5.7 Μέγιστη παραμόρφωση Φορτίο/κόμβο P=5 P=4 P=3 P= P=1 Σχ.3.19 Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1:1 και ΕΑ=5 8 7 Μέγιστη ένταση P=5 P=4 P=3 P= P= Φορτίο/κόμβο Σχ.3. Διάγραμμα μεγίστων εντάσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης

47 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 35 Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1:1 και ΕΑ=5 8 Μέγιστες εντάσεις , 4,5 3 4, 3,5 3,,,5 1 1,5,5 1, Μέγιστες μετακινήσεις Προένταση p=5 p=4 p=3 p= p=1 Σχ.3.1 Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων μεγίστων εντάσεων για διάφορα επίπεδα φόρτισης ανά κόμβο και προέντασης με δυσκαμψία ΕΑ=5. Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=:1 και ΕΑ=15.3 Μέγιστη παραμόρφωση P=5 P=4 P=3 P= P= Φορτίο/κόμβο Σχ.3. Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης

48 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 36 Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1:1 και ΕΑ= Μέγιστη ένταση P=5 P=4 P=3 P= P= Φορτίο/κόμβο Σχ.3.3 Διάγραμμα μεγίστων εντάσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1:1 και ΕΑ=15 8 Μέγιστες εντάσεις , 4 4,5 4, 3,5 3 3,, 1 1,5,5,5 1,.1..3 Μέγιστες μετακινήσεις Προένταση p=5 p=4 p=3 p= p=1 Σχ.3.4 Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων μεγίστων εντάσεων για διάφορα επίπεδα φόρτισης ανά κόμβο και προέντασης με δυσκαμψία ΕΑ=15.

49 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero Λόγος βέλους / διάμετρο 1: Αντίστοιχα διαγράμματα έγιναν για το ίδιο πλήθος καλωδίων και την ίδια διάμετρο κάτοψης, αλλά με λόγο βέλους προς διάμετρο ίσο με 1: (Σχ.3.5). Και σ αυτή την περίπτωση έγιναν αναλύσεις για φορτία από,5 5,, για προένταση από 1 5 και για δυσκαμψία καλωδίων ίση με EA=5. και EA=15.. Τα διαγράμματα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για καλωδιωτές στέγες κυκλικής κάτοψης με λόγο βέλους προς διάμετρο ίσο με 1:. Σχ. 3.5 Κάτοψη, όψεις και προοπτικό της κυκλικής στέγης για f/d=1: Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1: και ΕΑ=5 1.6 Μέγιστη παραμόρφωση P=5 P=4 P=3 P= P= Φορτίο/κόμβο Σχ.3.6 Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης

50 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 38 Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1: και ΕΑ= Μέγιστη ένταση Φορτίο/κόμβο P=5 P=4 P=3 P= P=1 Σχ.3.7 Διάγραμμα μεγίστων εντάσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1: και ΕΑ=5 9 8 Προένταση Μέγιστες εντάσεις ,5 1, 1,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, p=5 p=4 p=3 p= p= Μέγιστες μετακινήσεις Σχ.3.8 Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων μεγίστων εντάσεων για διάφορα επίπεδα φόρτισης ανά κόμβο και προέντασης με δυσκαμψία ΕΑ=5.

51 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 39 Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1: και ΕΑ=15.7 Μέγιστη παραμόρφωση Φορτίο/κόμβο P=5 P=4 P=3 P= P=1 Σχ.3.9 Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1: και ΕΑ= Μέγιστη ένταση Φορτίο/κόμβο P=5 P=4 P=3 P= P=1 Σχ.3.3 Διάγραμμα μεγίστων εντάσεων φορτίο/κόμβο για διάφορες τιμές προέντασης

52 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 4 Στέγη υπερβολικού παραβολοειδούς κάτοψης κυκλικής με f/d=1: και ΕΑ=15 9 Μέγιστες εντάσεις ,5 5, 5 3,5 4, 4,5 3, 3, 1,5 1 1,, Μέγιστες μετακινήσεις Προένταση p=5 p=4 p=3 p= p=1 Σχ.3.31 Διάγραμμα μεγίστων παραμορφώσεων μεγίστων εντάσεων για διάφορα επίπεδα φόρτισης ανά κόμβο και προέντασης με δυσκαμψία ΕΑ= Συμπεριφορά δικτύων καλωδίων κυκλικής κάτοψης Από τα παραπάνω διαγράμματα προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα: όσο μειώνεται ο λόγος βέλους προς διάμετρο f/d το δίκτυο γίνεται πιο εύκαμπτο και επομένως παρουσιάζονται μεγαλύτερες παραμορφώσεις όσο αυξάνεται η δυσκαμψία EA το σύστημα παρουσιάζει μικρότερες παραμορφώσεις, αφού γίνεται πιο δύσκαμπτο για την περίπτωση που έχουμε δύναμη προέντασης μικρή, παρουσιάζεται το ίδιο φαινόμενο με τη στέγη ρομβοειδούς κάτοψης τύπου Hypar, δηλαδή το φορτίο εξουδετερώνει την προένταση στα σταθεροποιητικά καλώδια, δηλαδή αυτά με καμπυλότητα αντίθετη από τη φορά του φορτίου και σημειώνονται απότομες αυξήσεις στις παραμορφώσεις. Αυτό συμβαίνει για προένταση 1 και φορτίο μεγαλύτερο του 3,5 όταν ο λόγος f/d είναι ίσος με 1:1, ενώ για πιο εύκαμπτα δίκτυα (μικρότερος λόγος f/d και μικρότερη δυσκαμψία ΕΑ), το φαινόμενο αυτό μπορεί να παρουσιαστεί και για δύναμη προέντασης ίση με.

53 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero Παράδειγμα 3 Θεωρούμε την κάτοψη στέγης του Σχ.3.3, με 7 καλώδια ανά διεύθυνση, των οποίων η απόσταση μεταξύ τους είναι 4,m. Ο λόγος του βέλους προς τη διάμετρο είναι ίσος με 1:, δηλαδή για διάμετρο ίση προς 114m, το βέλος των καλωδίων θα είναι 5,7m, όπως φαίνεται και στο σχήμα. Σχ. 3.3 Κάτοψη κυκλικής στέγης f/d=, Τα δεδομένα του προβλήματος είναι: L p =114 m N p =7 W p,φάση1 =7, kn/κόμβο W p,φλ1 =17,6 kn/κόμβο W p,φλ =1,4 kn/κόμβο E p =165.. kn/m (EA) p =86. kn (T u ) p =.4 kn P p =6, kn όπου οι δείκτες στα φορτία δηλώνουν τις διάφορες φάσεις ανάλυσης όπως αναφέρθηκαν σε προηγούμενο κεφάλαιο. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3.11) έως (3.16), ανάγουμε τη γεωμετρία και τα χαρακτηριστικά αυτής της στέγης στο μοντέλο σύμφωνα με το οποίο έγιναν τα διαγράμματα. Έτσι θα έχουμε: L L s p 5 114,44 N N p s 7 5 5,4 E E s p ,69 d s =d p *,44

54 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 4 W s =W p *,69*(,44) *5,4 =3,9*W p W s,φάση1 =W p,φάση1 =8,8 kn/κόμβο W s,φλ1 =W p,φλ1 =68,64 kn/κόμβο W s,tot =W p,tot =4,56 kn/κόμβο P s =6,*,69*(,44) *5,4=43,81 (T u ) s =.4*,69*(,44) *5,4=1731,5 (EA) s =86.*,69*(,44) *5,4=6.37 Χρειάζεται όμως να ξανακάνουμε τη διαδικασία για να φέρουμε τις διάφορες τιμές στις τιμές των διαγραμμάτων. Γι αυτό θέτουμε E s =1/41*E. L L s p 5 114,44 N N p s 7 5 5,4 E E s p * 4..,17 W s =W p *,17*(,44) *5,4 =,95*W p W s,μόνιμα =,95*W p,μόνιμα =,684 kn/κόμβο W s,κινητά =,95*W p,κινητά =1,67 kn/κόμβο W s,tot =,95*W p,tot =,988 kn/κόμβο P s =6,*,17*(,44) *5,4=1,66 (T u ) s =.4*,17*(,44) *5,4=4,65 (EA) s =86.*,17*(,44) *5,4=5. Από το διάγραμμα του Σχ.3.8, για τιμή (ΕΑ) s =5. και για προένταση P s =1, προκύπτουν οι παρακάτω τιμές για τα διάφορα φορτία: για W s,φάση1 =,684 kn/κόμβο d s,φάση1 =,17 T s,φάση1 =15, για W s,φλ1 =1,67 kn/κόμβο d s,φλ1 =,59 T s,φλ1 =7, για W s,φλ =,988 kn/κόμβο d s,φλ =,5 T s,φλ =17,3 όπου d είναι οι παραμορφώσεις και T οι αξονικές δυνάμεις στα καλώδια. Οι τιμές μπορούν να μετατραπούν για το πρωτότυπο σύμφωνα με τις σχέσεις (3.11) και (3.15): d p, φάση1 =,7*,17=,39 T p, φάση1 =56*15,=841 d p, φλ1 =,7*,59=1,34 T p, φλ1 =56*7,=1513 d p, φλ =,7*,5=,56 T p, φλ =56*64,9= Σύγκριση αποτελεσμάτων Ο φορέας που επιλύθηκε παραπάνω είναι μια πρώτη προσέγγιση της καλωδιωτής στέγης του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας που παρουσιάζεται στο Παράρτημα Ι, έτσι όπως θα μπορούσαμε να την προσεγγίσουμε σε στάδιο προμελέτης. Θεωρώντας ως δυσκαμψία των καλωδίων, τον μέσο όρο των δυσκαμψιών των φερόντων και σταθεροποιητικών καλωδίων, και βέλος ίσο με f=d/, το οποίο δεν απέχει πολύ από τα πραγματικά βέλη των καλωδίων,

55 Κεφάλαιο 3 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά J.S.Gero 43 έγινε επίλυση σύμφωνα με τη μέθοδο κατά Gero, για φορτία που αντιστοιχούν στη φάση 1 (μόνιμα φορτία και προένταση) και στις φάσεις λειτουργίας για τον πρώτο συνδυασμό (μόνιμα φορτία, χιόνι και προένταση) και για το δεύτερο συνδυασμό (μόνιμα φορτία, υποπίεση και προένταση). Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα της μεθόδου αυτής, με αυτά που προκύπτουν από το πρόγραμμα CABLE3, παίρνουμε τον παρακάτω πίνακα: Δίκτυο καλωδίων με αντίθετες καμπυλότητες κυκλικής κάτοψης (ΣΕΦ) Φορτίο Μέγιστη παραμόρφωση (m) Μέγιστη αξονική ένταση (kn) (kn/κόμβο) CABLE3 GERO CABLE3 GERO Φάση 1-7,,331, ΦΛ.Σ1-17,6,793 1, ΦΛ.Σ 1,4,476, Πίν.3.3 Συγκριτικός πίνακας αποτελεσμάτων του παραδείγματος με το πρόγραμμα CABLE3 Παρατηρούμε πως για την τιμή του φορτίου 17,6 προκύπτουν μεγάλες διαφορές ιδιαίτερα στις παραμορφώσεις. Επισημαίνουμε ότι, γι αυτή την τιμή του φορτίου, χρειάστηκε να πάρουμε τιμές από την περιοχή του διαγράμματος που χαρακτηρίζεται από μεγάλα φορτία και μικρή προένταση, και που παρατηρούνται μεγάλες παραμορφώσεις, αφού όπως προαναφέρθηκε το φορτίο εξουδετερώνει την προένταση. Αν όμως ξαναλύσουμε το παράδειγμά μας, έτσι ώστε να πάρουμε τις τιμές από το διάγραμμα για δυσκαμψία EA=15. και για προένταση P s 3,, δηλαδή να πάρουμε τιμή E s =1/13,75*E αντί για E s =1/41*E, τότε οι τιμές των παραμορφώσεων και των εντάσεων θα είναι: d p, φάση1 =,39 T p, φάση1 =855 d p, φλ1 =,93 T p, φλ1 =19 d p, φλ =,56 T p, φλ =985 οι οποίες είναι πιο κοντά, στις τιμές που προέκυψαν από το CABLE3, ιδιαίτερα όσον αφορά στο συνδυασμό 1 της φάσης λειτουργίας. Επομένως χρησιμοποιώντας τα διαγράμματα κατά Gero, θα πρέπει να αποφεύγονται οι περιοχές όπου τα μεγάλα φορτία εξουδετερώνουν τη μικρή προένταση, γιατί δεν δίνουν σωστά αποτελέσματα. Αντιθέτως θα πρέπει να γίνεται τέτοιος μετασχηματισμός, ώστε να χρησιμοποιούμε διαγράμματα διαφορετικά στις περιοχές όπου η προένταση επαρκεί. Η σύγκριση με τα αποτελέσματα του Παραρτήματος ΙΙΙ, τα οποία αναφέρονται στην πραγματική κατασκευή, δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Δίκτυο καλωδίων με αντίθετες καμπυλότητες κυκλικής κάτοψης (ΣΕΦ) Φορτίο Μέγιστη παραμόρφωση (m) Μέγιστη αξονική ένταση (kn) (kn/κόμβο) Παράρτημα ΙΙΙ GERO Παράρτημα ΙΙΙ GERO Φάση 1-7,,39, ΦΛ.Σ1-17,6,731, ΦΛ.Σ 1,4,38, Πίν.3.4 Πίνακας αποτελεσμάτων του παραδείγματος και της πραγματικής κατασκευής

56 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 4.1. Γενικά Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με μία μέθοδο που αναπτύχθηκε από τους Szabò, Kollar και Pavlovic [3] για στέγες από δίκτυο καλωδίων που σχηματίζουν επιφάνεια σχήματος υπερβολικού παραβολοειδούς, ενώ η κάτοψη είναι κυκλική ή ελλειπτική. Τα καλώδια σε κάτοψη είναι κάθετα μεταξύ τους. Οι παραδοχές που γίνονται για την ανάλυση είναι: το δίκτυο των καλωδίων θεωρείται επίπεδο για τις κατακόρυφες φορτίσεις. τα φορτία είναι κατακόρυφα και ομοιόμορφα κατανεμημένα. για κάθε μία διεύθυνση θα εξετάζεται ένα αντιπροσωπευτικό καλώδιο θεωρώντας ότι σε όλα τα άλλα καλώδια της ίδιας διεύθυνσης αναπτύσσονται ίδιες δυνάμεις. οι εσωτερικές δυνάμεις και παραμορφώσεις του δακτυλίου υπολογίζονται με βάση το μοντέλο του απλού κυκλικού επίπεδου δακτυλίου. για τον υπολογισμό των παραμορφώσεων η θλίψη στο δακτύλιο αμελείται και λαμβάνονται υπ όψη μόνο οι καμπτικές παραμορφώσεις. η αλλαγή της γεωμετρίας στα καλώδια δεν λαμβάνεται υπ όψη και επομένως οι εσωτερικές δυνάμεις υπολογίζονται στην απαραμόρφωτη κατάσταση. Το λάθος αυτής της παραδοχής μπορεί να μειωθεί υπολογίζοντας την παραμόρφωση των καλωδίων και επαναλαμβάνοντας την διαδικασία, παίρνοντας την παραμορφωμένη κατάσταση σαν αρχική. Η τελευταία παραδοχή μπορεί να γίνει μόνο στην περίπτωση που τα φορτία είναι ο- μοιόμορφα κατανεμημένα σε όλη την κάτοψη, όπως η προένταση και τα κατακόρυφα φορτία. Σε περίπτωση της αντισυμμετρικής φόρτισης, όπως είναι η ανεμοπίεση (Σχ..7), είναι απαραίτητο να λάβουμε υπ όψη την αλλαγή του σχήματος των καλωδίων.

57 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic Συμπεριφορά μεμονωμένου καλωδίου Προκειμένου να γίνει κατανοητή η ανάλυση των δικτύων καλωδίων, θεωρείται απαραίτητο να δοθούν ορισμένοι τύποι που αφορούν στη συμπεριφορά ενός απλού καλωδίου. Σχ.4.1 α) απλό καλώδιο υπό ομοιόμορφο φορτίο β) υποχώρηση στήριξης Ας υποθέσουμε ένα απλό καλώδιο του οποίου τα άκρα τα στηρίζουμε σε απόσταση l μεταξύ τους και στο ίδιο ύψος, ενώ σε αυτό ασκείται ένα ομοιόμορφο φορτίο q. Το καλώδιο α- ποκτά ένα σχήμα παραβολικό που καθορίζεται από το βέλος f (Σχ.4.1α). Η οριζόντια συνιστώσα Η της έντασης που αναπτύσσεται στο καλώδιο λόγω του ομοιόμορφου αυτού φορτίου είναι: f ql H 8 (4.1) Ο τύπος που δίνει το συνολικό μήκος του καλωδίου είναι: / / 1 l l dx z s Γενικά ισχύει το ανάπτυγμα σειράς: x x x x x Κάνοντας την παραδοχή παραβολικού σχήματος καλωδίου θα έχουμε: x l f dx dz x l l f z κι έτσι ο τύπος για το μήκος του καλωδίου γίνεται: / / 3 4 / / / / l l l l l l x l f x dx x l f dx z s επομένως ισχύει [3], [1] : l f l s (4.) Δ

58 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 46 Στην περίπτωση που έχουμε υποχώρηση στήριξης κατά Δl, το βέλος θα αυξηθεί κατά w m (Σχ.4.1β), αλλά το συνολικό μήκος του καλωδίου θα παραμείνει το ίδιο. Έτσι θα ισχύει: s w f m s l l 16 f w 3l 8 f 1 3l m l Επομένως το επιπλέον βέλος λόγω της υποχώρησης στήριξης κατά Δl θα είναι: w m 3l 8 f 3l l f 1 l f l (4.3) Σε περίπτωση που αυξηθεί το φορτίο κατά Δq η αύξηση της οριζόντιας συνιστώσας της έντασης του καλωδίου θα δίνεται σύμφωνα με τον τύπο (4.1) ως εξής: ql H (4.4) 8 f Σύμφωνα με τις εξισώσεις συμβιβαστού των παραμορφώσεων, η επιμήκυνση του καλωδίου λόγω της αύξησης της οριζόντιας συνιστώσας της έντασής του (ΔΗ), που υπολογίζεται σύμφωνα με το νόμο του Hooke, θα πρέπει να ισούται με την επιμήκυνση που προκύπτει από την αύξηση του βέλους του w. Έτσι, η επιμήκυνση ενός μικρού τμήματος του καλωδίου λόγω της αύξησης της οριζόντιας συνιστώσας της έντασής του, θα είναι: H ds ds H ds E E ds ds (4.α) A dx ds EA dx Το μήκος αυτού του τμήματος θα δίνεται ως εξής: ds dx dz (4.β) ενώ λόγω της αύξησης του βέλους θα είναι: ds ds dx dz dw (4.γ) Αν αφαιρέσουμε την (4.β) από την (4.γ) και θεωρώντας ότι Δds<<ds, προκύπτει: dz dw dw ds ds ds dz dw dw ds (4.δ) ds ds Εξισώνοντας τις ισότητες (4.α) και (4.δ) και ολοκληρώνοντας θα έχουμε: H EA l / ds dx dx l / dzdw 1 dx l / l / ds l / l / Κάνοντας την παραδοχή παραβολικού σχήματος για το καλώδιο, θα έχουμε: dz dx dw ds dx 8 f dw 8wk x και x l dx l Επιπλέον κάνουμε την παραδοχή ότι 1 1 Επομένως η εξίσωση (4.ε) μπορεί να γραφτεί: z και επομένως ds 1 (4.ε)

59 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 47 H s EA l / l / 64 f w l 4 k x dx 1 l / l / 64w l k 4 x dx (4.στ) και ολοκληρώνοντας θα έχουμε: H s EA 16 3 f w l k 8 3 w k l 16 3 f w l k (4.5) όπου αγνοούμε τον δευτέρας τάξεως όρο του βέλους. Τέλος χρησιμοποιώντας την (4.4) η (4.5) μπορεί να μας δώσει τον τύπο του βέλους w k : 3 3l 3l s H q (4.6) 16 fea 18f EA w k 4.3. Μέθοδος επίλυσης δικτύου καλωδίων Αρχικά υπολογίζεται ποιο μέρος του κατανεμημένου κατακορύφου φορτίου παραλαμβάνουν τα καλώδια κατά τη x διεύθυνση και ποιο μέρος τα καλώδια κατά τη y διεύθυνση. Διαιρώντας τις οριζόντιες συνιστώσες των εντάσεων που αναπτύσσονται στα καλώδια λόγω του φορτίου αυτού, με τις αντίστοιχες αποστάσεις διαδοχικών καλωδίων προκύπτουν οι κατανεμημένες δυνάμεις που ασκούνται στον περιμετρικό δακτύλιο. Όλες οι κατανεμημένες δυνάμεις στο δακτύλιο χωρίζονται σε αυτές που του προκαλούν μόνο θλίψη n I και σε αυτές που του προκαλούν μόνο κάμψη n II (Σχ.4.). Σχ.4. Χωρισμός των δυνάμεων που ασκούνται στο δακτύλιο Η διαδικασία επίλυσης χωρίζεται σε δύο βήματα: στο πρώτο βήμα το περιμετρικό δοκάρι θεωρείται εντελώς άκαμπτο και απαραμόρφωτο και γίνεται επίλυση για τις φορτίσεις που του προκαλούν μόνο θλίψη n I, όπως για παράδειγμα μέρος της ομοιόμορφα κατανεμημένης φόρτισης, η προένταση των καλωδίων και η θερμοκρασία, ενώ στο δεύτερο βήμα θεωρείται ότι παραμορφώνεται και γίνεται επίλυση για τις φορτίσεις που του προκαλούν κάμψη n II, όπως μέρος της ομοιόμορφα κατανεμημένης φόρτισης και οι αντισυμμετρικές φορτίσεις.

60 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 48 Έπειτα γίνεται η επίλυση των καλωδίων για να προσδιοριστούν οι επιπλέον εντάσεις που αναπτύσσονται σε αυτά λόγω της παραμόρφωσης του δακτυλίου. Αυτές θα προστεθούν στις εντάσεις που βρήκαμε στην αρχή της διαδικασίας, που αναπτύσσονται στα καλώδια λόγω του κατανεμημένου κατακορύφου φορτίου και τέλος γίνεται έλεγχος για τις συνολικές αυτές εντάσεις που δεν θα πρέπει να υπερβαίνουν την αντοχή των καλωδίων Γεωμετρία Η εξίσωση επιφανείας δίνεται από τη σχέση: k x x k y y z 8 f x όπου k x και l x 8 f y k y οι καμπυλότητες επιφανείας. l Tα βέλη f x και f y είναι πάντα θετικά, ενώ η εξίσωση της προβολής στο επίπεδο, δηλαδή η εξίσωση της έλλειψης, δίνεται από τη σχέση: x y 1 y 4 4 l l x y Στην περίπτωση που η κάτοψη είναι κυκλική ισχύει l x =l y. (4.7) Για την ανάλυση εξετάζεται ένα αντιπροσωπευτικό καλώδιο ανά διεύθυνση, που στην περίπτωση των ομοιόμορφων κατανεμημένων φορτίσεων θα πρέπει να είναι τα κεντρικά, α- φού στο κέντρο του δικτύου καλωδίων παρατηρούνται τα μεγαλύτερα βέλη, και άρα αναπτύσσονται οι μεγαλύτερες εντάσεις. Σχ.4.3 Κάτοψη στέγης Κατανομή του κατακόρυφου κατανεμημένου φορτίου στα καλώδια Θεωρώντας τον περιμετρικό δακτύλιο εντελώς άκαμπτο, το κατακόρυφο ομοιόμορφο φορτίο q παραλαμβάνεται από τα καλώδια των δύο διευθύνσεων. Αν θεωρήσουμε ότι τα καλώδια έχουν ένα μέτρο πλάτος, θα ισχύει:

61 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 49 q=q x +q y (4.8) Σύμφωνα με τις παραδοχές που προαναφέρθηκαν τα φορτία q x και q y θεωρούνται σταθερά για κάθε καλώδιο της ίδιας διεύθυνσης. Λόγω της ισορροπίας, τα βέλη που προκαλούνται λόγω αυτού του φορτίου στο καλώδιο κατά x και στο καλώδιο κατά y θα πρέπει να είναι ίσα. Έτσι βάσει της (4.6) θα ισχύει: 3l s y (4.9) 3 3 w 3l x sx y x wy qx q 18f x x y EA 18f y EA y Από τις δύο αυτές εξισώσεις (4.8) και (4.9) υπολογίζονται τα φορτία q x και q y. Οι οριζόντιες συνιστώσες των εντάσεων που αναπτύσσονται στα καλώδια λόγω αυτών των δυνάμεων, μεταφέρονται στον περιμετρικό δακτύλιο. Βάσει της (4.1) οι δυνάμεις που ασκούνται από τα καλώδια στον δακτύλιο, είναι: n x q l 8 f x x και x n y q yl y (4.1) 8 f y Τα n xq και n yq θεωρούνται θετικά όταν προκαλούν εφελκυσμό στο καλώδιο. Εδώ ο αρνητικό πρόσημο αναφέρεται στο καλώδιο με την αρνητική καμπυλότητα που για την προκειμένη περίπτωση είναι το καλώδιο στη διεύθυνση x (βλ. Σχ.4.3) Ανάλυση περιμετρικού δακτυλίου Δυνάμεις που προκαλούν μόνο θλίψη στον περιμετρικό δακτύλιο Σχ.4.4 Εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στο δακτύλιο από τα φορτία που του προκαλούν μόνο θλίψη

62 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 5 Θεωρώντας ότι η εσωτερική δύναμη που αναπτύσσεται στον περιμετρικό δακτύλιο λόγω των δυνάμεων που του προκαλούν μόνο θλίψη, έχει κατεύθυνση ίδια με την εφαπτομένη στο σημείο που εξετάζουμε, θα έχουμε: N dy x (4.11) N dx y Από το Σχ.4.4 μπορούμε να πάρουμε δύο εξισώσεις ισορροπίας για το τμήμα που ε- ξετάζουμε: dn x I I n dy και dn y n dx (4.1) x και ολοκληρώνοντας αυτές τις δύο εξισώσεις θα έχουμε: N x I n y N και N y ny x N y (4.13) I x x y Οι αρχικές τιμές N x και N y είναι μηδενικές αφού για y= N x = και x= N y =, μιας και οι δυνάμεις έχουν κατεύθυνση ίδια με την εφαπτομένη σε κάθε σημείο. Αντικαθιστώντας την (4.13) στην (4.11) παίρνουμε: I ny x I n y x dy dx και ολοκληρώνοντάς την θα έχουμε: n I y x n I x y C l x ενώ στο σημείο y=, x= I lx C n y. 8 (4.14) (4.15) Αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της (4.15) με C τότε: I 4 nx 4 x y I l n l x y x 1 (4.16) Ωστόσο όμως, για να ισχύει η εξίσωση της έλλειψης (4.7), θα πρέπει να ισχύει: n l (4.17) n l I x I y x y Δυνάμεις που προκαλούν μόνο κάμψη στον περιμετρικό δακτύλιο Για ευκολία, οι παραμορφώσεις στον ελλειπτικό περιμετρικό δακτύλιο θα υπολογιστούν χρησιμοποιώντας έναν ισοδύναμο κυκλικό δακτύλιο διαμέτρου: d l x l y (4.18) όταν ισχύει [3] : Και στον κυκλικό και στον ελλειπτικό δακτύλιο τα φορτία προκαλούν καθαρή κάμψη

63 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 51 n II x n (4.19) II y και, θεωρώντας θετική τη ροπή που προκαλεί εφελκυσμό στις εσωτερικές ίνες, οι ροπές κάμψης για τον κύκλο, που αναπτύσσονται στα σημεία 1 και (Σχ.4.5) δίνονται από τον τύπο: M 1 II n y d M (4.) 8 ενώ για την έλλειψη, χρησιμοποιώντας την (4.18), η (4.) γίνεται: M 1 II n y l xl y M (4.1) 8 Δ Δ Σχ.4.5 Παραμορφώσεις του δακτυλίου λόγω των φορτίων που του προκαλούν μόνο κάμψη Η αλλαγή στις διαμέτρους για τον κυκλικό δακτύλιο είναι (Σχ.4.5): d x d y n 48 II y d 4 M d 1 EI e 6 EI e (4.) όπου (ΕΙ) e είναι η δυσκαμψία του δακτυλίου, ενώ για τον ελλειπτικό, χρησιμοποιώντας την (4.18), είναι: l x l y a a II ny lxl y 48 EI e M 1 l 6 l x y EI e (4.3) όπου: 3 a 3 l l l l y x x x l l y y (4.4) Από την (4.3) παρατηρούμε πως ισχύει: Δl y = - αδl x (4.5)

64 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 5 Έτσι, αφού τα φορτία θα πρέπει να χωρίζονται σε αυτά που προκαλούν μόνο θλίψη και σε αυτά που προκαλούν μόνο κάμψη, θα πρέπει να ισχύει (Σχ.4.): n x και n I x n II x n y n n (4.6) I y II y Λόγω όμως των (4.17) και (4.19) τα φορτία που προκαλούν μόνο θλίψη θα είναι: n I x n x n l 1 l y x y και ενώ αυτά που προκαλούν μόνο κάμψη θα είναι: n II x l y nx n y l x και l y 1 l x n n I y II y nx n y (4.7) l 1 l II x x y n (4.8) Εντάσεις στα καλώδια λόγω παραμόρφωσης του δακτυλίου Αν εκφράσουμε την (4.3) ως προς τη δύναμη που ασκείται στον δακτύλιο λόγω της αλλαγής της διαμέτρου του περιμετρικού δακτυλίου κατά Δl x, η σχέση θα μετατραπεί ως εξής: n II yr l l II 48 EI e n l a (4.9) xr x όπου το α δίνεται από τη σχέση (4.4). x y Λόγω της παραμόρφωσης του περιμετρικού δακτυλίου τα καλώδια απομακρύνονται το ένα από το άλλο, και τα βέλη τους αλλάζουν. Αναπτύσσεται έτσι μια εσωτερική δύναμη p στα καλώδια, κατά την αντίθετη έννοια, η οποία τα επαναφέρει το ένα κοντά στο άλλο, και η ο- ποία με τη σειρά της προκαλεί νέα αλλαγή στα βέλη τους. Η δύναμη αυτή θεωρείται θετική αν προκαλεί εφελκυσμό, ενώ τα συνολικά βέλη θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε τα δύο αντιπροσωπευτικά καλώδια να εξακολουθούν να βρίσκονται σε επαφή. Βάσει της (4.3) τα βέλη λόγω της υποχώρησης στηρίξεων θα είναι: w w x y 3l x 16 f 3l y 16 f x y l x l y 3l y 16 f y al x (4.3) (4.31) Παρατηρούμε ότι εάν το βέλος w x είναι μεγαλύτερο από το βέλος w y, το καλώδιο κατά τη διεύθυνση x, που στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω κατεβαίνει περισσότερο απ ό,τι το καλώδιο στην άλλη διεύθυνση. Έτσι η δύναμη p που χρειάζεται ν αναπτυχθεί προκειμένου να

65 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 53 φέρει τα δύο καλώδια ξανά σε επαφή θα πρέπει να μειώσει το βέλος w x και να αυξήσει το w y, δηλαδή να ανεβάσει το καλώδιο κατά τη διεύθυνση x και να κατεβάσει το καλώδιο κατά διεύθυνση y. Έτσι σύμφωνα με το Σχ.4.3 θα πρέπει να δημιουργήσει και στα δύο καλώδια εφελκυσμό, πράγμα που σημαίνει ότι η δύναμη αυτή θα είναι θετική και για τα δύο καλώδια. Bάσει της (4.6) τα βέλη λόγω της δύναμης p θα είναι: 3l s (4.3) EA 3 p x x wx p 18f x 3 p y wy p 18 f y x 3l s y (4.33) EA y Για να εξακολουθούν να βρίσκονται σε επαφή τα δύο καλώδια θα πρέπει η αλλαγή στα βέλη τους να είναι ίδια, δηλαδή: w x w p x w y w p y (4.34) Αντικαθιστώντας τις (4.3) έως (4.33) στην (4.34) προκύπτει η δύναμη p: p l f 8l 3 x x s x x l f EA f EA x x x l y a f y l s y 3 y y y (4.35) Αυτή η δύναμη προκαλεί εντάσεις στα καλώδια των οποίων οι οριζόντιες συνιστώσες δίνονται από τη σχέση (4.1): n xc pl 8 f x και x n yc ply (4.36) 8 f y Οι δυνάμεις αυτές θα πρέπει να προστεθούν στις δυνάμεις που προκύπτουν από τα κατακόρυφα κατανεμημένα φορτία q, που βρήκαμε παραπάνω από τις εξισώσεις (4.1), για να βρούμε τις συνολικές εντάσεις που αναπτύσσονται στα καλώδια. Παράλληλα οι δυνάμεις αυτές μεταφέρονται από τα καλώδια στον περιμετρικό δακτύλιο προκαλώντας του θλίψη και κάμψη. Επομένως θα πρέπει να χωριστούν και αυτές σύμφωνα με τις σχέσεις (4.7) και (4.8) σε ένα μέρος που προκαλεί μόνο θλίψη μόνο κάμψη II n xc, II n yc. I n xc, I n yc και σε ένα άλλο μέρος που προκαλεί Η παραμόρφωση του περιμετρικού δακτυλίου λαμβάνεται ως εξής: αν ο δακτύλιος παραμορφωθεί και επομένως η στήριξη του δικτύου καλωδίων μετακινηθεί, τότε οι οριζόντιες συνιστώσες των εντάσεων n που αναπτύσσονται στα καλώδια λόγω του εξωτερικού φορτίου

66 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 54 q και που δίνονται από τη σχέση (4.1), παραμορφώνουν το δακτύλιο και το δίκτυο καλωδίων ταυτόχρονα. Όμως για τις παραμορφώσεις λαμβάνονται υπόψη μόνο οι δυνάμεις που προκαλούν καθαρή κάμψη, ενώ οι παραμορφώσεις που προέρχονται από τις δυνάμεις που προκαλούν καθαρή θλίψη αμελούνται. Επομένως, όσον αφορά στις παραμορφώσεις μάς ενδιαφέρουν μόνο οι δυνάμεις II n οι οποίες προκαλούν τις διαμέτρων, σύμφωνα με την (4.9) και τις II n r στο δακτύλιο λόγω της αλλαγής των II n c στο δίκτυο των καλωδίων σύμφωνα με τους τύπους (4.36) απ όπου παίρνουμε μόνο το μέρος εκείνο που προκαλεί καθαρή κάμψη σύμφωνα με την (4.8). Έτσι θα ισχύει: n II x n n (4.37) II xr II xc Από την (4.37) σε συνδυασμό με την (4.5) υπολογίζονται οι αλλαγές στις διαμέτρους του περιμετρικού δακτυλίου Δl x και Δl y Διαφορά θερμοκρασίας Η διαφορά θερμοκρασίας στον περιμετρικό δακτύλιο και στο δίκτυο καλωδίων προκαλεί εσωτερικές δυνάμεις στην κατασκευή. Το φαινόμενο είναι παρόμοιο με την προένταση. Αν μελετήσουμε χωριστά το δίκτυο καλωδίων και το δακτύλιο, υπό διαφορά θερμοκρασίας, τα δύο στοιχεία θα απομακρύνονταν το ένα από το άλλο, ομοιόμορφα κατά το περίγραμμα της κάτοψης. Ο δακτύλιος θα απομακρυνόταν από την περίμετρο και θα χρειαζόταν μία δύναμη προέντασης να φέρει το δίκτυο σε επαφή με το δακτύλιο. Έτσι, τα καλώδια χωρίζονται ανά διεύθυνση και τους επιβάλλονται μετακινήσεις έτσι ώστε να ταιριάξουν ξανά στο δακτύλιο. Αυτό όμως προκαλεί αλλαγές στα βέλη που μπορούν να υπολογιστούν σύμφωνα με την (4.3). Προκειμένου να εξαλειφθεί αυτή η διαφορά μεταξύ της περιμέτρου και του δικτύου, εισάγεται μία δύναμη p σύμφωνα με την (4.35) κι έτσι ακολουθείται η παραπάνω διαδικασία Προένταση Η ελάχιστη προένταση που χρειάζεται, προσδιορίζεται από την απαίτηση να υπάρχει ένας ελάχιστος εφελκυσμός σε όλα τα καλώδια υπό οποιονδήποτε συνδυασμό φορτίσεων. Στην περίπτωση της προέντασης το μέγεθος της εφελκυόμενης δύναμης στα καλώδια είναι γνωστό. Εάν για παράδειγμα προεντείνουμε μόνο τα καλώδια κατά x διεύθυνση με τη δύναμη n xp, σταθερή για όλα τα καλώδια αυτής της διεύθυνσης, τότε σύμφωνα με την (4.1), την προένταση αυτή είναι σαν να την προκαλεί μία δύναμη p που ασκείται στα καλώδια που προεντείνουμε, και για λόγους ισορροπίας θα πρέπει να ασκείται και στα καλώδια της άλλης διεύθυνσης. Έτσι θα έχουμε:

67 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 55 n xp pl 8 f x x p nxp 8 f x lx και n yp pl l (4.38) y f x y nxp 8 f y f y lx Από την (4.38) προκύπτει ότι η δύναμη της προέντασης είναι ανεξάρτητη από τη δυσκαμψία του περιμετρικού δακτυλίου κι έτσι το πρόβλημα είναι στατικά ορισμένο. Η προένταση με τη σειρά της προκαλεί θλίψη και κάμψη στο δακτύλιο σύμφωνα με τις σχέσεις (4.7) και (4.8) Η ανάλυση αντισυμμετρικών φορτίων Δύο είναι οι βασικές περιπτώσεις που ξεχωρίζουν: όταν και τα δύο αντιπροσωπευτικά καλώδια υποβάλλονται σε αντισυμμετρική φόρτιση (Σχ.4.6α), και όταν μόνο το ένα από τα δύο αυτά καλώδια υποβάλλεται σε αντισυμμετρική φόρτιση (Σχ.4.6β). Σχ.4.6 Βασικές περιπτώσεις αντισυμμετρικής ανεμοπίεσης Τα δύο αντιπροσωπευτικά καλώδια που θα χρησιμοποιήσουμε για τους υπολογισμούς δεν μπορεί να είναι πλέον στο κέντρο, γιατί σ αυτό το σημείο δεν αναπτύσσονται δυνάμεις. Αυτά τα δύο καλώδια θα είναι αυτά που τέμνονται στα τέταρτα της κάθε διαμέτρου [3] (Σχ.4.6), θα έχουν μήκος,89l, ενώ το βέλος w γι αυτό το μήκος γίνεται, βάσει της (4.1): q.89l ql w f (4.39) 8H 8H Στην περίπτωση της αντισυμμετρικής φόρτισης τα καλώδια προκειμένου να εξισορροπήσουν τα φορτία αλλάζουν σχήμα, χωρίς να επιμηκύνονται και επομένως χωρίς να προκαλούν επιπλέον δυνάμεις στον περιμετρικό δακτύλιο, γι αυτό και ο τελευταίος μπορεί να θεωρηθεί εντελώς άκαμπτος. Οι παραμορφώσεις στα καλώδια θα πρέπει να τέτοιες ώστε στο σημείο τομής τους να εξακολουθούν να βρίσκονται σε επαφή. Εδώ θα εξετάσουμε τη δεύτερη περίπτωση (Σχ.4.6β) καθ ό,τι είναι και η πιο περίπλοκη.

68 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 56 Αφού το καλώδιο κατά τη y διεύθυνση παραλαμβάνει το φορτίο του ανέμου αλλάζοντας σχήμα, η ένταση που αναπτύσσεται σε αυτό από τα προηγούμενα φορτία δεν αλλάζει, ά- ρα και η παραμόρφωσή του δεν αλλάζει. Στο σημείο τομής των καλωδίων σύμφωνα με την (4.1) το βέλος του θα δίνεται από τη σχέση: w y.89l y q y (4.4) 8n y όπου n y είναι η δύναμη που αναπτύσσεται λόγω των προηγούμενων φορτίων. Στο σημείο τομής των δύο καλωδίων η παραμόρφωση για το καλώδιο κατά τη x διεύθυνση θα είναι ίση με τα 3/4 της μέγιστης παραμόρφωσης στο κέντρο, κι έτσι, κάνοντας την παραδοχή πως το μήκος του καλωδίου είναι,89 φορές του μακρύτερου καλωδίου κατά x, αυτού δηλαδή που βρίσκεται στη θέση y=, βάσει της (4.6), θα έχουμε: l x.89sx 9 lx sx q x.79 f EA 51 f x EA x 3 3 (4.41) w x qx 4 18 x x Θα πρέπει να ισχύει: w x =w y (4.4) καθώς επίσης και: q=q x +q y (4.43) Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις προσδιορίζεται το κοινό βέλος των καλωδίων των δύο διευθύνσεων, όπως επίσης και η αύξηση του φορτίου για το καλώδιο κατά τη διεύθυνση x, και βάσει της (4.4) προκύπτει η αύξηση της έντασης στο καλώδιο αυτό. Αυτή όμως η επιπλέον ένταση που αναπτύσσεται σε όλα τα καλώδια της διεύθυνσης x μεταφέρεται ως φορτίο στον περιμετρικό δακτύλιο, όπως φαίνεται στο Σχ.4.7. Ωστόσο η παραμόρφωση που του προκαλεί αυτό το φορτίο είναι πολύ μικρότερη από τις παραμορφώσεις του Σχ.4.5, γι αυτό και δεν λαμβάνεται υπ όψη. Επομένως η παραδοχή που κάναμε για απαραμόρφωτο δακτύλιο δεν απέχει πολύ από την πραγματικότητα. Οι ροπές κάμψης και οι αξονικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα τέσσερα σημεία του κυκλικού δακτυλίου (Σχ.4.7), θα είναι [3] : M1 19 M 3. nxd (4.44α) M M (4.44β) N 4 N.88n d (4.44γ) 1 3 x N N (4.44δ) 4 όπου η θετική ροπή είναι αυτή που προκαλεί εφελκυσμό στο εσωτερικό και θετική α- ξονική δύναμη είναι αυτή που προκαλεί εφελκυσμό στο δακτύλιο.

69 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 57 Σχ.4.7 Παραμόρφωση του περιμετρικού δακτυλίου λόγω φορτίων ανέμου Οι ροπές κάμψης και οι αξονικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα τέσσερα σημεία του ελλειπτικού δακτυλίου δίνονται από τις προηγούμενες σχέσεις, αντικαθιστώντας το d σύμφωνα με την (4.18) Παράδειγμα 1 Δίνεται η στέγη ελλειπτικής κάτοψης του Σχ.4.8: Σχ.4.8. Καλωδιωτή στέγη ελλειπτικής κάτοψης

70 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 58 Στοιχεία καλωδιωτής στέγης ελλειπτικής κάτοψης Σταθεροποιητικά καλώδια κατά x (στρέφουν τα κοίλα προς τα κάτω) Μήκος ανοίγματος l x = 5 m Βέλος f x = 3.5 m Δυσκαμψία (ΕA ) x = 7.7 kn Απόσταση καλωδίων δ x = 1 m Φέροντα καλώδια κατά y (στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω) Μήκος ανοίγματος l y = 65 m Βέλος f y = 6.5 m Δυσκαμψία (ΕA ) y = 4. kn Απόσταση καλωδίων δ y = 1 m Περιμετρικός δακτύλιος Δυσκαμψία (ΕI ) e = kn/ m Φορτία Μόνιμα φορτία q =.3 kn/ m Φορτίο χιονιού S =.8 kn/ m =.6667 *q Προένταση Άνεμος κατά τη διεύθυνση x (ομοιόμορφη υποπίεση) c = -.8 p w =.8 kn/ m W x = c*p w => W x = -.64 kn/ m = *q Άνεμος κατά τη διεύθυνση y (ομοιόμορφη υποπίεση) c = -.35 W y = c*p w => W σ y = -.8 kn/ m = *q Άνεμος κατά τη διεύθυνση y (αντισυμμετρική φόρτιση) c = -.55 W a y = -.44 kn/ m = *q Σχ.4.9. Φόρτιση ανέμου κατά y

71 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 59 Ανάλυση για τα μόνιμα φορτία Το μήκος των καλωδίων είναι (4.): s x = 5,653 m s y = 66,733 m Αν τα φορτία που παραλαμβάνουν τα καλώδια κατά τις δύο διευθύνσεις είναι: q x : για το φορτίο κατά τη διεύθυνση x q y : για το φορτίο κατά τη διεύθυνση y τότε η (4.8) μετατρέπεται ως εξής: q x q y q και σε συνδυασμό με την (4.9) τα φορτία στα καλώδια θα είναι: q x =,17 kn/ m q y =,193 kn/ m x y Οι οριζόντιες συνιστώσες των εντάσεων που αναπτύσσονται στα καλώδια είναι (4.1): n xq = -9,51 kn n yq = 15,7 kn Το μέρος του φορτίου που προκαλεί μόνο κάμψη στο δακτύλιο είναι (4.8): n ΙΙ xq = -11,8 kn n ΙΙ yq = 11,8 kn Η διάμετρος του ισοδύναμου κυκλικού δακτυλίου θα είναι (4.18): d = 57,1 m ενώ από την (4.4) θα έχουμε: α =,876 Από την (4.9) προκύπτει η δύναμη που θα προκαλεί στο δακτύλιο παραμόρφωση Δl x : n ΙΙ xr = -91,38 *Δl x n ΙΙ yr = 91,38 *Δl x Από την (4.35) προκύπτει η δύναμη p θετική και για τα δύο καλώδια: p = 1,53 *Δl x ενώ από την (4.36) προκύπτουν οι οριζόντιες συνιστώσες των εντάσεων στα καλώδια λόγω της παραμόρφωσης αυτής: n xc = 136,38 *Δl x n yc = 14,1 *Δl x

72 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 6 Το μέρος του φορτίου αυτού που προκαλεί μόνο κάμψη στο δακτύλιο είναι (4.8): n ΙΙ xc = 39,54 *Δl x n ΙΙ yc = -39,54 *Δl x Επομένως η εξίσωση (4.37) μπορεί να γραφτεί ως εξής: n II xq = n II xr -n II xc => -11,8 = -13,9 *Δl x απ' όπου και προκύπτει η παραμόρφωση του δακτυλίου Δl x : Δl x =,93 m Οι επιπλέον δυνάμεις στα καλώδια λόγω αυτής της παραμόρφωσης θα είναι αριθμητικά: n xc = 1,31 kn n yc = 11, kn και επομένως το σύνολο των δυνάμεων στα καλώδια θα είναι: n x = n xq +n xc => n x =,8 kn n y = n yq +n yc => n y = 6,9 kn Το μέρος αυτού του φορτίου που προκαλεί μόνο κάμψη στο δακτύλιο είναι (4.8): n ΙΙ xq = -8,5 kn n ΙΙ yq = 8,5 kn Τα βέλη από το ομοιόμορφο φορτίο q είναι (4.9): w x = w y =,466 m,466 m Λόγω της παραμόρφωσης του δακτυλίου Δl x τα βέλη θα είναι (4.3) και (4.31): w Δ x = w Δ y =,418 m,1483 m ενώ λόγω της δύναμης p τα βέλη μετατρέπονται βάσει των (4.3) και (4.33): w p x = -,63 m w p y =,33 m Άρα τα συνολικά βέλη θα είναι: w x,tot = w x +w Δ x +w p x => w x,tot =,81 m w y,tot = w y +w Δ y +w p y => w y,tot =,81 m

73 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 61 Άλλα ομοιόμορφα φορτία Ανάλογα με τα μόνιμα φορτία βρίσκουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στα καλώδια για όλες τις ομοιόμορφες φορτίσεις, για το χιόνι, τον άνεμο κατά x και κατά y : q S W x W y c 1,,667 -,13 -,93 n x,8 7,46-5,97 -,61 n y 6,9 71,79-57,43-5,13 n ΙΙ x -8,5 -, 17,6 7,7 n ΙΙ y 8,5, -17,6-7,7 όπου με c συμβολίζουμε τους συντελεστές φόρτισης με τους οποίους πολλαπλασιάζουμε το μόνιμο φορτίο για να προκύψουν τα άλλα φορτία. Προένταση Η προένταση θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε να εξασφαλίζει με τους δυσμενέστερους συνδυασμούς φορτίσεων, έναν ελάχιστο εφελκυσμό σε όλα τα καλώδια. Ο συνδυασμός φορτίσεων που επιβαρύνει περισσότερο τα σταθεροποιητικά καλώδια είναι ο (q +W x ), ενώ για τα φέροντα καλώδια είναι ο (q +q s ). Η προένταση είναι καλύτερη αν επιτυγχάνονται ίδιες απόλυτες τιμές της ροπής και για τους δύο αυτούς συνδυασμούς. Επομένως: n ΙΙ P = -n II q *(c D+S +c D+Wx )/ = -1,67 *n II q Αν εφαρμόσουμε μία προένταση αυτού του μεγέθους οι ροπές που θα αναπτυχθούν στο δακτύλιο θα έχουν την ίδια απόλυτη τιμή, αφού ισχύει: n ΙΙ D+S+P =( 3,667 +( -1,67 )) =,4 *n II q n ΙΙ D+Wx+P =( -1,133 +( -1,67 )) = -,4 *n II q Άρα η τιμή της προέντασης είναι τέτοια ώστε το μέρος αυτής που προκαλεί ροπή στο δακτύλιο, αντικαθιστώντας την τιμή n II q που βρήκαμε παραπάνω, να έχει την τιμή: n ΙΙ P = n ΙΙ Px = -n ΙΙ Py = 1,45 kn

74 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 6 Με τη βοήθεια των σχέσεων (4.8) και (4.38) προκύπτει η ολική δύναμη της προέντασης με την οποία θα πρέπει να προεντείνουμε τα καλώδια κατά x : n Px = 36,4 kn ενώ προεντείνοντας αυτά τα καλώδια προκύπτει δύναμη προέντασης για τα καλώδια κατά y ίση με: n Py = 3,8 kn Μπορούμε επομένως να συμπληρώσουμε τον πίνακα των φορτίσεων: q S W x P q+p+wx q+p+s q+p n x,8 7,46-5,97 36,4 3,87 46,3 38,84 n y 6,9 71,79-57,43 3,8,8 131,51 59,7 n ΙΙ x -8,5 -, 17,6 1,45 19,8-19,8, n ΙΙ y 8,5, -17,6-1,45-19,8 19,8 -, Οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στα καλώδια για τον συνδυασμό φορτίσεων (q +W x ), είναι: n (q+wx)x = n x *(c D +c Wx ) = n (q+wx)y = n y *(c D +c Wx ) = -3,17 kn -3,511 kn Παρατηρούμε πως η προένταση επαρκεί αφού για τα καλώδια και των δύο κατευθύνσεων για τους δυσμενέστερους συνδυασμούς, προκύπτει εφελκυσμός της τάξεως των: n Px +n (q+s)x = 46,3 kn n Py +n (q+wx)y =,8 kn Η προένταση μικραίνει το μήκος των καλωδίων κατά x γι' αυτό τη μεταβολή στα βέλη των καλωδίων μπορούμε να τη βρούμε μόνο από τα καλώδια της άλλης διεύθυνσης. Το βέλος που προκύπτει από τη δύναμη της προέντασης είναι βάσει της πρώτης ισότητας της (4.6): w py =,95 m Σύμφωνα με τη σχέση (4.3) η παραμόρφωση στο δακτύλιο για τη δύναμη της προέντασης θα είναι: Δl x = -,114 m η οποία με τη σειρά της προκαλεί επιπλέον βέλος στο καλώδιο (4.31): w' Δ y = -,1878 m Το τελικό βέλος λόγω προέντασης στα μη προεντεταμένα καλώδια, θα είναι: w p yall =w py +w' Δ y = -,93 m

75 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 63 Παρατήρηση Η προένταση κατά y προκύπτει θετική, πράγμα που σημαίνει ότι επιμηκύνει τα καλώδια κατά αυτή την έννοια, που είναι τα φέροντα καλώδια, δηλαδή αυτά που στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω. Ωστόσο το μήκος τους δεν αλλάζει, επομένως θα πρέπει να αλλάξει το βέλος τους. Η αλλαγή αυτή θα προκαλέσει ένα επιπλέον βέλος προς τα κάτω, επομένως θετικό. Παράλληλα η παραμόρφωση στο δακτύλιο που προκύπτει από την προένταση προκαλεί την απομάκρυνση των δύο άκρων του κατά τον άξονα των y, άρα και την ανύψωση του καλωδίου κατά y. Επομένως η μεταβολή του βέλους θα είναι αρνητική. Αντισυμμετρικά φορτία Μετατρέποντας την (4.43) ως εξής: q x q q x y y και εξισώνοντας τα βέλη των δύο καλωδίων στο τέταρτο του μήκους τους (4.4) και (4.41):.89 l y q 3 y 9 lx s x w x wy qx 51 f EA 8 n x y x όπου n y η δύναμη που προκύπτει από το συνδυασμό των μόνιμων φορτίων με την προένταση προένταση και τη συμμετρική φόρτιση του ανέμου κατά y : n y =n Py +n qy * (1+ c σ Wy)= 34,59 kn/ m παίρνουμε το φορτίο που αντιστοιχεί σε κάθε αντιπροσωπευτικό καλώδιο: q x = -,397 kn/ m q y = -,43 kn/ m Οι οριζόντιες συνιστώσες των εντάσεων που αναπτύσσονται στα καλώδια είναι (4.1): n a (Wy)x= n a (Wy)y= 35,44 kn 3,5 kn

76 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic Παράδειγμα Δίνεται η στέγη κυκλικής κάτοψης του Σχ.4.1: Σχ.4.1. Καλωδιωτή στέγη κυκλικής κάτοψης Στοιχεία καλωδιωτής στέγης κυκλικής κάτοψης Σταθεροποιητικά καλώδια κατά x (στρέφουν τα κοίλα προς τα κάτω) Μήκος ανοίγματος l x = 113,96 m Βέλος f x = 6,9 m Δυσκαμψία (ΕA ) x = kn Απόσταση καλωδίων δ x = 4 m Οριζόντια συνιστώσα προέντασης H px = 615, kn Φέροντα καλώδια κατά y (στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω) Μήκος ανοίγματος l y = 113,96 m Βέλος f y = 5,96 m Δυσκαμψία (ΕA ) y = kn Απόσταση καλωδίων δ y = 4 m Οριζόντια συνιστώσα προέντασης H py = 581,9 kn Περιμετρικός δακτύλιος Δυσκαμψία (ΕI ) e = 3,85E+9 kn/ m

77 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 65 Φορτία Μόνιμα φορτία q =,45 kn/ m Φορτίο χιονιού S =,65 kn/ m = 1,44*q Προένταση Ομοιόμορφη υποπίεση ανέμου c = -,8 p w = 1,375 kn/ m W = c*p w => W = -1,1 kn/ m = -,44*q Ανάλυση για τα μόνιμα φορτία Το μήκος των καλωδίων είναι (4.): s x = 114,886 m s y = 114,791 m Αν τα φορτία που παραλαμβάνουν τα καλώδια κατά τις δύο διευθύνσεις είναι: q x : για το φορτίο κατά τη διεύθυνση x q y : για το φορτίο κατά τη διεύθυνση y q x qy τότε η (4.8) μετατρέπεται ως εξής: q x y και σε συνδυασμό με την (4.9) τα φορτία στα καλώδια θα είναι: q x = 1,18 kn/ m q y =,6 kn/ m Οι οριζόντιες συνιστώσες των εντάσεων που αναπτύσσονται στα καλώδια είναι (4.1): n xq = -34,53 kn n yq = 168,89 kn Το μέρος του φορτίου που προκαλεί μόνο κάμψη στο δακτύλιο είναι (4.8): n ΙΙ xq = -36,71 kn n ΙΙ yq = 36,71 kn Η διάμετρος του κυκλικού δακτυλίου είναι: d = 113,96 m

78 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 66 Από την (4.) προκύπτει η δύναμη που θα προκαλεί στο δακτύλιο παραμόρφωση Δd x : n ΙΙ xr = -195,7 *Δd x n ΙΙ yr = 195,7 *Δd x Από την (4.35) προκύπτει, για α ίσο με τη μονάδα, η δύναμη p αρνητική και για τα δύο καλώδια, πράγμα που σημαίνει πως το βέλος κατά y είναι μεγαλύτερο από το βέλος κατά x : p = -,3 *Δd x ενώ από την (4.36) προκύπτουν οι οριζόντιες συνιστώσες των εντάσεων στα καλώδια λόγω της παραμόρφωσης αυ n xc = -59,91 *Δd x n yc = -63,3 *Δd x Το μέρος του φορτίου αυτού που προκαλεί μόνο κάμψη στο δακτύλιο είναι (4.8): n ΙΙ xc = 1,66 *Δd x n ΙΙ yc = -1,66 *Δd x Επομένως η εξίσωση (4.37) μπορεί να γραφτεί ως εξής: n II xq= n II xr -n II xc => -36,71 = -197,36 *Δl x απ' όπου και προκύπτει η παραμόρφωση του δακτυλίου Δd x : Δd x =,157 m Οι επιπλέον δυνάμεις στα καλώδια λόγω αυτής της παραμόρφωσης θα είναι αριθμητικά: n xc = -1,9 kn n yc = -13,64 kn και επομένως το σύνολο των δυνάμεων στα καλώδια θα είναι: n x = n xq +n xc => n x = -317,45 kn n y = n yq +n yc => n y = 155,5 kn Το μέρος αυτού του φορτίου που προκαλεί μόνο κάμψη στο δακτύλιο είναι (4.8): n ΙΙ xq = -36,35 kn n ΙΙ yq = 36,35 kn Τα βέλη από το ομοιόμορφο φορτίο q είναι (4.9): w x =,394 m w y =,394 m

79 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 67 Λόγω της παραμόρφωσης του δακτυλίου Δdx τα βέλη θα είναι (4.3) και (4.31): w Δ x =,738 m w Δ y =,7733 m ενώ λόγω της δύναμης p τα βέλη μετατρέπονται βάσει των (4.3) και (4.33): w p x =,14 m w p y = -,66 m Άρα τα συνολικά βέλη θα είναι: w x,tot = w x +w Δ x +w p x => w x,tot = 1,761 m w y,tot = w y +w Δ y +w p y => w y,tot = 1,761 m Άλλα ομοιόμορφα φορτία Ανάλογα με τα μόνιμα φορτία βρίσκουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στα καλώδια για όλες τις ομοιόμορφες φορτίσεις, για το χιόνι, τον άνεμο κατά x και κατά y : q S W c 1, 1,444 -,44 n x n y n ΙΙ x n ΙΙ y -317,45-458,54 775,99 155,5 4,5-379,5-36,35-341,39 577,74 36,35 341,39-577,74 όπου με c συμβολίζουμε τους συντελεστές φόρτισης με τους οποίους πολλαπλασιάζουμε το μόνιμο φορτίο για να προκύψουν τα άλλα φορτία. Προένταση Οι οριζόντιες συνιστώσες της προέντασης που εφαρμόζεται στα δύο καλώδια είναι: n Px = 615, kn n Py = 581,9 kn

80 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 68 όμως η προένταση στο ένα καλώδιο προκαλεί επιπλέον προένταση και στο άλλο, έτσι θα έχουμε επιπλέον δυνάμεις προέντασης στα καλώδια σύμφωνα με τον τύπο (4.38): n' Py = 649,6 kn n' Px = 551,37 kn Επομένως οι οριζόντιες συνιστώσες της ολικής προέντασης θα είναι: n Pxall = 1166,57 kn n Pyall = 131,16 kn Μπορούμε επομένως να συμπληρώσουμε τον πίνακα των φορτίσεων: q S W P q+p+w q+p+s q+p n x -317,45-458,54 775, ,57 165,11 39,58 849,1 n y 155,5 4,5-379,5 131,16 16,91 161, ,41 Οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στα καλώδια για τον συνδυασμό φορτίσεων (q +W ), είναι: n (q+w)x = n x *(c D +c W ) = 458,54 kn n (q+w)y = n y *(c D +c W ) = -4,5 kn Παρατηρούμε πως η προένταση επαρκεί αφού για τα καλώδια και των δύο κατευθύνσεων για τους δυσμενέστερους συνδυασμούς, προκύπτει εφελκυσμός της τάξεως των: n Pxall +n (q+s)x = 39,58 kn n Pyall +n (q+w)y = 16,91 kn Σύγκριση αποτελεσμάτων Ο φορέας που επιλύθηκε στο τελευταίο παράδειγμα, είναι μια απλή προσέγγιση της καλωδιωτής στέγης του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας (Παράρτημα Ι), έτσι όπως θα μπορούσαμε να την προσεγγίσουμε σε στάδιο προμελέτης. Τα φορτία που ελήφθησαν υπ όψη είναι τα φορτία που αντιστοιχούν στη φάση 1 (μόνιμα φορτία και προένταση) και στις φάσεις λειτουργίας για τον πρώτο συνδυασμό (μόνιμα φορτία, χιόνι και προένταση) και για το δεύτερο συνδυασμό (μόνιμα φορτία, υποπίεση και προένταση). Η σύγκριση της μεθόδου αυτής με το πρόγραμμα CABLE3 και με την προηγούμενη μέθοδο κατά Cero, μπορεί να γίνει μόνο θεωρώντας τον δακτύλιο εντελώς άκαμπτο. Οι παραμορφώσεις και οι εντάσεις για τις τρεις φορτίσεις προκύπτουν σύμφωνα με την διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω. Όσον αφορά τις παραμορφώσεις, οι τιμές δίνονται από τα βέλη w x και w y, ενώ για να προκύψουν οι εντάσεις προσθέτουμε τις n xq και n yq στις δυνάμεις προέντασης n px και n py. Έτσι, έχουμε τα παρακάτω συγκριτικά αποτελέσματα:

81 Κεφάλαιο 4 Μέθοδος προκαταρκτικής ανάλυσης κατά Szabò, Kollar και Pavlovic 69 Δίκτυο καλωδίων με αντίθετες καμπυλότητες κυκλικής κάτοψης (ΣΕΦ) Φορτίο Μέγιστη παραμόρφωση (m) Μέγιστη αξονική ένταση (kn) kn/m CABLE3 GERO Szabò, Kollar, Pavlovic CABLE3 GERO Szabò Kollar Pavlovic Φ1,45,39,39, (751) ΦΛ.Σ1 1,1,731,93, (995) ΦΛ.Σ -,65 -,38 -,56 -, (155) Πίν.4.1 Συγκριτικός πίνακας αποτελεσμάτων για το δίκτυο καλωδίων του ΣΕΦ, θεωρώντας ότι ο δακτύλιος δεν παραμορφώνεται Οι τιμές που βρίσκονται στην παρένθεση είναι οι οριζόντιες συνιστώσες των εντάσεων, που μας δίνει η μέθοδος αυτή. Οι τιμές έξω από την παρένθεση βρέθηκαν με τη βοήθεια του προγράμματος Statik3_to_cable3 (βλ. Παράρτημα ΙΙ). Τα πλήρη αποτελέσματα που προκύπτουν από τη μέθοδο αυτή, θεωρώντας δηλαδή τον δακτύλιο παραμορφώσιμο, διαφέρουν κατά πολύ από αυτά του προγράμματος CABLE3 και της μεθόδου κατά Cero. H σύγκριση μεταξύ αυτών δεν μπορεί να γίνει, αφού τα δεδομένα είναι διαφορετικά. Παρ όλ αυτά δίνεται ο παρακάτω πίνακας για να γίνει μια εκτίμηση των μεταβολών που προκαλεί η παραμορφωσιμότητα του δακτυλίου: Δίκτυο καλωδίων με αντίθετες καμπυλότητες κυκλικής κάτοψης (ΣΕΦ) Φορτίο Μέγιστη παραμόρφωση (m) Μέγιστη αξονική ένταση (kn) kn/m CABLE3 GERO Szabò, Kollar, Pavlovic CABLE3 GERO Szabò Kollar Pavlovic Φ1,45,39,39 1, (1386) ΦΛ.Σ1 1,1,731,93, (161) ΦΛ.Σ -,65 -,38 -,56-1, (165) Πίν.4. Συγκριτικός πίνακας αποτελεσμάτων για το δίκτυο καλωδίων του ΣΕΦ, θεωρώντας ότι ο δακτύλιος παραμορφώνεται

82 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος 5.1. Γενικά Τώρα πλέον η μεθοδολογία ανάλυσης μιας εφελκυόμενης κατασκευής χαρακτηρίζεται προτίστως από τη "φάση ", κατά την οποία, προσδιορίζεται το γεωμετρικό σχήμα που θα έ- χει η κατασκευή. Η μορφή που παίρνουν οι εφελκυόμενες κατασκευές, έχει άμεση σχέση με το επίπεδο προέντασης στο οποίο υποβάλλονται και τις συνθήκες που επικρατούν στο σύνορο. Έτσι ξεκινώντας από μία αρχική γεωμετρία, χρησιμοποιώντας επαναληπτικές μεθόδους, και λαμβάνοντας υπ όψη η μη γραμμική συμπεριφορά των καλωδίων, επιτυγχάνεται στατική ισορροπία σε κάθε μέρος της κατασκευής (Σχ.5.1). Συνήθως η ανάλυση για την εύρεση σχήματος γίνεται για τα μόνιμα φορτία και την προένταση, έτσι ώστε το σχήμα που θα προκύψει να αντιστοιχεί στα φορτία που θα φέρει η κατασκευή κατά το μεγαλύτερο μέρος της ζωής της και να ικανοποιεί τις αρχιτεκτονικές απαιτήσεις. Το σχήμα αυτό, χρησιμοποιείται έπειτα για την ανάλυση με τα φορτία λειτουργίας, δηλαδή τα κινητά φορτία και τον άνεμο. Σχ. 5.1 Διαδικασία εύρεσης σχήματος

83 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος Εύρεση σχήματος από φυσικά μοντέλα Η εύρεση σχήματος μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας μικρά φυσικά μοντέλα υπό κλίμακα, φτιαγμένα από σύρματα, και υποβάλλοντάς τα σε προένταση και φορτία ανάλογα αυτών της πραγματικής κατασκευής. Η μέθοδος της φυσικής προσομοίωσης χρησιμοποιήθηκε αρχικά για να μας παρέχει πληροφορίες για την απαιτούμενη προένταση, την εντατική κατάσταση, την παραμόρφωση και τη γεωμετρία της κατασκευής, την περίοδο που δεν είχαν ακόμα αναπτυχθεί οι μαθηματικές μέθοδοι. Το φυσικό μοντέλο και η πραγματική κατασκευή θα πρέπει να μοιάζουν ως προς τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και ως προς την ελαστική και στατική συμπεριφορά. Αυτό σημαίνει ότι οι διαστάσεις πρέπει να είναι ανάλογες, να ισχύει ο νόμος του Hooke για τα υλικά που χρησιμοποιούνται για το φυσικό μοντέλο και τα διαγράμματά τους των τάσεων παραμορφώσεων να μην παρουσιάζουν φαινόμενα υστέρησης. Είναι μία εμπειρική μέθοδος που μπορεί να εφαρμοστεί για το στάδιο προμελέτης. Μπορεί να μας δώσει ένα τελικό οπτικό αποτέλεσμα, επισημαίνοντας τις δυσκολίες της κατασκευής, απαιτεί όμως πολύ χρόνο και μεγάλο κόστος για να φτιαχτούν τα μοντέλα και πολλές φορές συγκρίνοντάς το με το συνολικό κόστος του έργου, είναι ασύμφορο. Τέλος η ακρίβεια είναι πολύ μικρή όσον αφορά στη γεωμετρία και κυρίως στην κατανομή των τάσεων Εύρεση σχήματος στην αφόρτιστη κατάσταση Αρχικά περιγράφεται μία διαδικασία εύρεσης σχήματος, χρησιμοποιώντας την επαναληπτική μέθοδο Newton, όταν η κατασκευή βρίσκεται σε αφόρτιστη κατάσταση, δηλαδή επιβάλλεται μόνο η προένταση και όχι άλλα εξωτερικά φορτία [7]. Αν πάρουμε μία επιφάνεια υπερβολικού παραβολοειδούς, που είναι και η πιο συνηθισμένη μορφή στεγών από δίκτυο καλωδίων, τότε η εξίσωση που δίνει την επιφάνεια αυτή είναι της μορφής: Ζ=αΧ -bυ ή Z kx Y όπου οι συντελεστές α, b και k είναι σταθερές που εξαρτώνται από τις καμπυλότητες που σχηματίζονται κατά τις δύο διευθύνσεις. Οι οριζόντιες συνιστώσες της προέντασης των καλωδίων, για ίσες και αντίθετες καμπυλότητες, είναι ίδιες για τα φέροντα και τα σταθεροποιητικά καλώδια, ενώ αυτές διαφέρουν αν οι καμπυλότητες διαφέρουν. Σε μία τέτοια περίπτωση οι δύο διαφορετικές τιμές υπολογίζονται υποθέτοντας αρχικά τη μία, για παράδειγμα την οριζόντια συνιστώσα της προέντασης των φερόντων καλωδίων, και υπολογίζοντας έπειτα την άλλη, αυτή στα σταθεροποιητικά καλώδια, η οποία αρχικά υποθέτουμε ότι είναι μηδενική. Έτσι το σχήμα του δικτύου στην αφόρτιστη κατάσταση είναι μόνο συνάρτηση του λόγου Η σ /Η φ, όπου Η σ η οριζόντια συνιστώσα της προέντασης των σταθεροποιητικών καλωδίων και Η φ η οριζόντια συνιστώσα της προέντασης των φερόντων καλωδίων. Έστω ότι έχουμε το δίκτυο καλωδίων του Σχ.5., στο οποίο η κάτοψη είναι κάνναβος ίσων αποστάσεων, και έστω ότι η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς που θέλουμε να προσδιορίσουμε δίνεται από την παραπάνω εξίσωση Ζ=αΧ -bυ. Αν το αρχικό μήκος των μελών (m+1,m) και (n+1,n) με μηδενική προένταση το συμβολίσουμε με L*, τότε το μήκος μετά την άσκηση της προέντασης Τ m+1,m και Τ n+1,n αντίστοιχα, θα δίνεται από τον τύπο:

84 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος 7 (L*+e m+1,m ) =(X m+1 -X m ) +(αx m+1 -αx m ) (5.1) (L*+e n+1,n ) =(Y n+1 -Y n ) +(by n+1 -by n ) (5.) όπου m m m m m m X X L EA H L EA T e 1 1, 1, * * (5.3) n n n n n n Y Y L EA H L EA T e 1 1, 1, * * (5.4) Σχήμα 5. Αν αντικαταστήσουμε τις (5.3) και (5.4) στις (5.1) και (5.) αντίστοιχα θα προκύψουν οι παρακάτω σχέσεις που είναι ίσες με μηδέν αν οι τιμές Χ m+1 και Υ n+1 είναι οι σωστές: m m m m m m m X X X X a X X X f * * EA L H X X L m m (5.5) n n n n n n n Y Y Y Y b Y Y Y f * * EA L H Y Y L n n (5.6) Σύμφωνα με την επαναληπτική μέθοδο Νewton, η λύση μιας συνάρτησης f(x) μπορεί να βρεθεί με επαναληπτική διαδικασία, όπου η τιμή κάθε νέου βήματος i+1 υπολογίζεται από τις τιμές στο βήμα i σύμφωνα με τον τύπο: i i i i x f x f x x 1. Εφαρμόζοντας αυτή τη διαδι-

85 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος 73 κασία, μπορούμε να βρούμε τις τιμές Χ m+1 και Υ n+1 για τις οποίες οι παραπάνω συναρτήσεις παίρνουν την τιμή μηδέν: X m1, i1 m1, i f X m1, i X m1, i και f X Y n1, i1 Y n1, i f f Y n1, i Y n1, i 5.4. Μέθοδος ισορροπίας συνόλου Σχ.5.3 Ισορροπία κόμβου i Συνήθως η εύρεση σχήματος γίνεται λαμβάνοντας υπ όψη την προένταση και τα μόνιμα φορτία, έτσι ώστε το σχήμα που θα βρούμε να αντιστοιχεί στο σχήμα που θα έχει η κατάσκευή το μεγαλύτερο μέρος της ζωής της. Στο Σχ.5.3 κάνουμε την παραδοχή ότι ο άξονας του κάθε μέλους παραμένει ευθύγραμμος καθ όλο το μήκος του και ότι η αξονική δύναμη που αναπτύσσεται σε κάθε μέλος είναι η ίδια για όλο το μήκος του μέλους [6]. Αν σ έναν κόμβο α- σκηθεί ένα φορτίο τυχαίας διεύθυνσης, τότε οι εξισώσεις ισορροπίας στην παραμορφωμένη κατάσταση για τον κόμβο i και για κάθε κατεύθυνση x, y, z θα δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: m k 1 S l ki ki x ki P ix m k 1 S l ki ki y ki P iy m k 1 S l ki ki z ki P iz, (5.7) όπου m S ki Δx ki Δy ki Δz ki :το πλήθος των μελών που συντρέχουν στον κόμβο i :η αξονική δύναμη που αναπτύσσεται στο μέλος ki =x k - x i =y k - y i =z k - z i l ki = ( xk xi ) ( yk yi ) ( zk z i ) το μήκος του μέλους ki P ix, P iy, P iz :οι συνιστώσες κατά x, y, z αντίστοιχα της δύναμης στον κόμβο i Η εξίσωση ισορροπίας με τη μορφή μητρώων θα έπαιρνε τη μορφή: [Α] {S} = {P} (5.8)

86 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος 74 όπου, [Α] :το μητρώο των συνημιτόνων κατεύθυνσης των μελών {S} {P} :το μητρώο των εσωτερικών δυνάμεων που αναπτύσσονται στα μέλη :το μητρώο των εξωτερικών δυνάμεων Στην εξίσωση (5.8) περιλαμβάνονται όλοι οι κόμβοι, ακόμα και αυτοί που βρίσκονται στη στήριξη. Είναι φανερό ότι οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στις στηρίξεις δεν είναι γνωστές, αλλά αντίθετα θα έπρεπε να υπολογιστούν βάσει των δυνάμεων που ασκούνται στους εσωτερικούς κόμβους. Έτσι αν χωρίσουμε τους εσωτερικούς από τους εξωτερικούς κόμβους η εξίσωση (5.8) θα γίνει: Ae Ai S Pe Pi (5.9) απ όπου προκύπτουν δύο εξισώσεις ισορροπίας, μία για τους εσωτερικούς κόμβους και μία για τους εξωτερικούς κόμβους: [Α i ] (S) = (P i ) (5.1) [Α e ] (S) = (P e ) (5.11) Έτσι, από την (5.1) μπορούν να υπολογιστούν οι εσωτερικές δυνάμεις (S) λόγω των εξωτερικών φορτίων που ασκούνται στους εσωτερικούς κόμβους (P i ), κι έπειτα από την (5.11) υπολογίζονται οι δυνάμεις στις στηρίξεις (P e ). Από δω και στο εξής θα θεωρήσουμε ότι η εξίσωση (5.8) αναφέρεται μόνο στους εσωτερικούς κόμβους. Αν το πλήθος των εσωτερικών κόμβων είναι n και το πλήθος των μελών είναι m τότε, γράφοντας τις εξισώσεις (5.7) για κάθε έναν εσωτερικό κόμβο, θα έχουμε ένα σύστημα με 3n εξισώσεις. Επομένως η (5.8) θα γίνει για τους εσωτερικούς μόνο κόμβους: [Α] 3nxm {S} m = {P} 3n (5.1) όπου, [Α] 3nxm :το μητρώο των συνημιτόνων κατεύθυνσης των μελών {S} m {P} 3n :το μητρώο των εσωτερικών δυνάμεων που αναπτύσσονται στα μέλη :το μητρώο των εξωτερικών δυνάμεων στους εσωτερικούς κόμβους Οι άγνωστοι σ αυτή την περίπτωση είναι οι m τιμές των εσωτερικών δυνάμεων S ki που αναπτύσσονται στα μέλη και οι 3n συντεταγμένες των εσωτερικών κόμβων. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις. Αν είναι δεδομένες οι εσωτερικές δυνάμεις (δεδομένη προένταση), μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες των εσωτερικών κόμβων. Αν είναι δεδομένη η γεωμετρία και οι εξισώσεις είναι λιγότερες από τα μέλη δηλαδή 3n<m τότε μπορούμε να ορίσουμε μονοσήμαντα τις εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα μέλη. Αν είναι δεδομένη η γεωμετρία και οι εξισώσεις είναι περισσότερες από τα μέλη, δηλαδή 3n>m, δεν μπορούμε να βρούμε μία μοναδική λύση για τις εσωτερικές δυνά-

87 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος 75 μεις, αφού το πρόβλημα προκύπτει αόριστο με 3n-m βαθμούς αοριστίας. Επομένως θα πρέπει να προσεγγίσουμε το πρόβλημα διαφορετικά. Στη γενική περίπτωση το μητρώο [Α] είναι ορθογωνικό με πλήθος σειρών διαφορετικό από αυτό των στήλων. Με την μέθοδο απαλοιφής κατά Gauss, δηλαδή με κατάλληλες αλλαγές στις σειρές (και επομένως και στις σειρές του μητρώου {P}) αλλά και τις στήλες του (και επομένως και στις στήλες του μητρώου {S}) θα μπορούσε να γραφτεί με τη μορφή: A A 11 1 A A 1 S S 1 P1 P (5.13) όπου [Α 11 ] είναι το μέγιστο τετραγωνικό μητρώο που μπορεί να προκύψει από το μητρώο [Α] και για το οποίο ισχύει A 11. Έτσι από την (5.13) παίρνουμε δύο ισότητες μητρώων: (S 1 ) = -[A 11 ] -1 [A 1 ] (S )+ [A 11 ] -1 (P 1 ) (5.14) (P ) = (-[A 1 ] [A 11 ] -1 [A 1 ] + [A ]) (S )+ [A 1 ] [A 11 ] -1 (P 1 ) (5.15) από τις οποίες μπορούν να βρεθεί μοναδική λύση για τα μητρώα (S 1 ) και (P ). Η μέθοδος απαλοιφής κατά Gauss [4] που αναφέρθηκε προηγουμένως, γίνεται για να βρεθούν πόσες ανεξάρτητες εξισώσεις έχουμε. Το παρακάτω παράδειγμα εξηγεί την διαδικασία που ακολουθείται σ' αυτή τη μέθοδο Παράδειγμα Σχήμα 5.4 Δίνεται το δίκτυο των καλωδίων του Σχ.5.4. Το πλήθος των μελών είναι m=7, ενώ το πλήθος των εσωτερικών κόμβων είναι n=4, επομένως οι εξισώσεις που θα έχουμε στη διάθεσή μας θα είναι n=8, εφόσον μιλάμε για επίπεδο φορέα. Ισχύει n>m. Μορφώνονται έτσι τα μητρώα των συνημιτόνων κατεύθυνσης [Α], των εσωτερικών δυνάμεων στα μέλη (S) και των εξωτερικών δυναμεων στους εσωτερικούς κόμβους (P) που είναι:

88 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος A ) ( S S S S S S S S ) ( P P P P P P P P P Πριν ξεκινήσει η διαδικασία θα πρέπει να αλλάξουν οι θέσεις κάποιων γραμμών έτσι ώστε να υπάρχουν στη διαγώνιο όροι μη μηδενικοί. Έτσι η γραμμή 4 πάει στη θέση της 6, η γραμμή 7 στη θέση της 4, η γραμμή 5 στη θέση της 7 και η γραμμή 6 στη θέση της 5. Το μητρώο [Α] παίρνει την παρακάτω μορφή A Η μέθοδος απαλοιφής κατά Gauss γίνεται έτσι ώστε όλοι οι όροι κάτω από την κύρια διαγώνιο του μητρώου [Α] να είναι μηδέν. Για την πρώτη στήλη όλοι οι όροι είναι ήδη ίσοι με μηδέν, επομένως προχωρούμε στη δεύτερη στήλη για την οποία χρησιμοποιείται η δεύτερη σειρά. Έτσι προσθέτοντας τη δεύτερη με την τρίτη σειρά και τη δεύτερη με την έκτη, μηδενίζονται οι όροι κάτω από τη διαγώνιο για την δεύτερη στήλη. Συνεχίζοντας έτσι και για τις επόμενες στήλες προκύπτει ένα μητρώο [Α] στο οποίο όλοι οι όροι κάτω από τη διαγώνιο είναι μη-

89 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος 77 δενικοί και στην τελευταία σειρά όλοι οι όροι είναι ίσοι με μηδέν. Το μετασχηματισμένο μητρώο είναι: A Παρατηρούμε ότι όλοι οι όροι της γραμμής 5 και της γραμμής 8 είναι μηδενικοί, πράγμα που σημαίνει ότι οι εξισώσεις που αντιστοιχούν σ αυτές τις γραμμές είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων γραμμών. Από το αρχικό μητρώο [Α] το μητρώο [Α 11 ] που μπορεί να σχηματιστεί είναι 6x6, το [Α 1 ] είναι 6x1, το [Α 1 ] είναι x6 και τέλος το [Α ] είναι x1. Η μορφή του αρχικού μητρώου [Α] γίνεται: A A A A A Αντίστοιχα τα μητρώα των εσωτερικών δυνάμεων που αναπτύσσονται στα μέλη [S], και των εξωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στους εσωτερικούς κόμβους [P] δίνονται ως εξής:

90 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος 78 S ( S ) S 11 1 S S S S S S S P ( P ) P 11 1 P1 P P 3 P4 P 5 P6 P 7 P8 Βάσει των τύπων (5.14) και (5.15) μπορούμε να δώσουμε μόνο τα 6 ανεξάρτητα φορτία, δηλαδή το μητρώο [P 11 ], απ όπου και θα προκύψει το μητρώο [S 11 ] και έπειτα θα προκύψουν τα υπόλοιπα εξαρτώμενα φορτία δηλαδή το μητρώο [P 1 ] Μέθοδος πυκνότητας δύναμης Αν αντικαταστήσουμε το πηλίκο της αξονικής εσωτερικής δύναμης ενός μέλους προς το μήκος του, δηλαδή το S l ki ki, με μία καινούργια παράμετρο qki που την ονομάζουμε πυκνότητα δύναμης, τότε οι εξισώσεις (5.7) θα πάρουν την παρακάτω μορφή [6],[9] : m k 1 q ki x ki P ix m k 1 q ki y ki P iy m k1 q ki z ki P iz, (5.16) Δίνοντας αυθαίρετα την πρώτη τιμή της πυκνότητας δύναμης και μορφώνοντας τις ε- ξισώσεις (5.16) για κάθε εσωτερικό κόμβο, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των εσωτερικών κόμβων, δεδομένου ότι αυτές των εξωτερικών κόμβων είναι γνωστές. Οι συντεταγμένες του κόμβου k δίνονται από τη σχέση: x k qki x P i q ki kx y k q ki y P i q ki ky qki zi Pkz z k (5.17) q ki Με γνωστές τις συντεταγμένες υπολογίζονται τα μήκη των μελών: l ki x y z (5.18) ki ki ki και έπειτα οι νέες εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα μέλη: i lki i lki l S ki EA Ski EA (5.19) l l ki i1 ki i1 ki όπου i είναι το επόμενο βήμα της επανάληψης, και i-1 το προηγούμενο βήμα. Στο τέλος του κάθε βήματος υπολογίζεται η νέα τιμή της πυκνότητας δύναμης και επαναλαμβάνεται ο υπολογισμός των συντεταγμένων των εσωτερικών κόμβων. Το κριτήριο σύγκλισης θα

91 x x 1 Κεφάλαιο 5 Εύρεση σχήματος 79 μπορούσε να είναι η μικρή διαφορά στις συντεταγμένες μεταξύ δύο συνεχόμενων βημά- i των: k i k Αφού έχουν υπολογιστεί τα τελικά μήκη των μελών, οι εσωτερικές δυνάμεις S ki θα δίνονται από τον τύπο: S ki =q ki *l ki.

92 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 6.1. Γενικά Αφού έχει προσδιοριστεί η γεωμετρία της κατασκευής στη "φάση ", ξεκινάει η ανάλυση. Σ αυτό το βήμα ελέγχεται και η εγκυρότητα της "φάσης " και επιβεβαιώνεται η στατική ευστάθεια της κατασκευής που υποβάλλεται πλέον σε όλους τους συνδυασμούς φορτίσεων. Η ανάλυση του προσομοιώματος μπορεί να γίνει με τη μέθοδο των μετακινήσεων. Ωστόσο ό- μως για τη μη γραμμική ανάλυση χρησιμοποιούνται επαναληπτικές μέθοδοι όπως η μέθοδος Newton Raphson, η τροποποιημένη μέθοδος Newton Raphson, σε συνδυασμό με τη μεθοδο επιβολής του φορτίου σε βήματα. Αρχικά όμως καλό θα ήταν να δούμε πώς μορφώνεται το μητρώο δυσκαμψίας σε δισδιάστατο πρόβλημα για ένα απλό καλώδιο, έτσι όπως μας το παρουσιάζουν στο βιβλίο τους οι Peter Broughton και Paul Ndumbaro [5]. 6.. Απλό καλώδιο Στο Σχ.6.1 βλέπουμε ένα τυπικό μέλος μέσα σ ένα καθολικό σύστημα συντεταγμενων X Y. Οι συντεταγμένες στο σημείο Α είναι X A και Y A ενώ στο σημείο B είναι αντίστοιχα X B και Y B. Οι ιδιότητες του μέλους είναι Α η διατομή του και Ε το μέτρο ελαστικότητας. Το μήκος του μέλους αυτού είναι: L X X Y Y (6.1) B A B A Το διάνυσμα των φορτίων που εφαρμόζονται στα άκρα του μέλους αυτού δίνεται ως προς το καθολικό σύστημα συντεταγμένων (Σχ.6.1α): [L]=[Fx α, Fy α,fx b, Fy b ] (6.) Το αντίστοιχο διάνυσμα των μετατοπίσεων στα άκρα του μέλους δίνεται ως προς το καθολικό σύστημα συντεταγμένων (Σχ.6.1β): [Χ]=[x α, y α, x b, y b ] (6.3)

93 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 81 Τα εξωτερικά φορτία και οι αντίστοιχες μετατοπίσεις συνδέονται μέσω του μητρώου δυσκαμψίας με την παρακάτω σχέση: [L]=[K]*[X] (6.4) Αντίστοιχα για μία μικρή αύξηση του εξωτερικού φορτίου θα έχουμε: [δl]=[k]*[δx] (6.5) Σχ.6.1 Καθολικό σύστημα συντεταγμένων (α) Εξωτερικά φορτία (β) μετατοπίσεις Σχ.6. Τοπικό σύστημα συντεταγμένων (α) Εξωτερικά φορτία (β) μετατοπίσεις Οι τοπικοί άξονες P και Q φαίνονται στο Σχ.6.. Τα συνημίτονα κατεύθυνσης των τοπικών αξόνων σε σχέση με το καθολικό σύστημα αξόνων δίνονται ως εξής: l p =(X B -X A )/L m p =(Y B -Y A )/L (6.6) m q =(X B -X A )/L = l p l q = (Y B -Y A )/L = m p (6.7) Το διάνυσμα των εξωτερικών φορτίων που εφαρμόζονται στα άκρα των μελών και που δίνεται ως προς το τοπικό σύστημα συντεταγμένων (Σχ.6.α) είναι: [R]=[R, S] (6.8) ενώ το αντίστοιχο διάνυσμα των μετατοπίσεων στα άκρα του μέλους ως προς το τοπικό σύστημα συντεταγμένων (Σχ.6.β) είναι: [U]=[u,υ] (6.9)

94 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 8 Η μετατροπή του μητρώου μετατοπίσεων [U] στο μητρώο μετατοπίσεων [Χ] γίνεται με την παρακάτω σχέση: [U]=[T]*[X] (6.1) όπου [Τ] είναι το μητρώο μετασχηματισμού και δίνεται ως εξής: l p m p l p mp T (6.11) lq mq lq mq Αντίστοιχα η μετατροπή του μητρώου των εξωτερικών φορτίων εκφραζόμενων ως προς το καθολικό σύστημα συντεταγμένων, στο μητρώο των εξωτερικών φορτίων ως προς το τοπικό σύστημα συντεταγμένων γίνεται με τη σχέση: T ' R L * (6.1) l p lq όπου mp mq T ' (6.13) l p lq mp mq Η επιμήκυνση του μέλους είναι: e L u L (6.14) και σε μορφή μητρώων θα μπορούσε να γραφτεί: [E]=[A]*[U] (6.15) ενώ αν παραγωγίσουμε θα προκύψει: L L u u L e e e AA U e (6.16) H αξονική δύναμη που αναπτύσσεται στο μέλος, λαμβάνοντας υπ όψη την αρχική προένταση και την επιμήκυνση, θα δίνεται βάσει του νόμου του Hooke: P=P +(EA)/L *e P P E EA (6.17) L Το ανάστροφο μητρώο του [ΑΑ] που δίνεται στη (6.16) χρησιμοποιείται για να συνδέσει τα εξωτερικά φορτία που αναφέρονται στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων, με τις αξονικές δυνάμεις των μελών, δηλαδή: L u L e L e R P R AA' P ενώ αν παραγωγίσουμε θα προκύψει: (6.18)

95 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 83 U e L u L P e L u L P e L u L P e L P P e L e L u L R U d P AA R ' (6.19) Αν αντικαταστήσουμε στην τελευταία σχέση τον όρο [δp] με την έκφραση: E L EA P (6.) και τον όρο [δe] από την (6.16): U AA L EA P (6.1) προκύπτει από την (6.19): U d AA L EA AA R ' (6.) Από την (6.1) ισχύει: [δu]=[t]*[δx] (6.3) Η (6.1) χρησιμοποιώντας τις (6.15), (6.17), (6.18) και (6.3) θα πάρει τη μορφή: X T A L EA P AA T L ' ' (6.4) ενώ αν παραγωγίσουμε θα έχουμε: X T d AA L EA AA T R T L ' ' ' (6.5) όπου η έκφραση: T d AA L EA AA T ' ' (6.6) αντιπροσωπεύει το μητρώο δυσκαμψίας για κάθε βήμα. Έτσι το μητρώο δυσκαμψίας που πρέπει να χρησιμοποιούμε για την σχέση (6.5) δίνεται από την παρακάτω σχέση: e L u L P e L u L P e L u L P e L P e L e L u L L EA e L e L u L m m l l m m l l k q p q p q p q p q q q q p p p p m l m l m l m l (6.7)

96 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 84 Η συνεισφορά αυτού του μητρώου δυσκαμψίας, το οποίο αντιστοιχεί σε ένα μόνο μέλος, στο καθολικό μητρώο δυσκαμψίας δίνεται από τη σχέση: K T k T ' (6.8) Αν θέλουμε να ξεχωρίσουμε τις μετατοπίσεις στην αρχή και το τέλος τους μέλους, καθώς επίσης και τη συνεισφορά της δυσκαμψίας του κάθε άκρου του μέλους στην ολική δυσκαμψία, τότε θα πρέπει να χωρίσουμε το μητρώο [Τ] σε δύο όρους, με αποτέλεσμα η (6.8) να γραφόταν με τέσσερις επιμέρους εξισώσεις: K11 T 1' k T 1 K1 T 1' k T K T ' k T K T k όπου 1 ' T (6.9) l l m 1 p p p p T 1 και q m q l m T (6.3) lq mq Σύμφωνα με τη μέθοδο Newton Raphson, η οποία θα παρουσιαστεί παρακάτω, σε κάθε βήμα της επανάληψης, έχοντας γνωστό το εξωτερικό φορτίο και το μητρώο δυσκαμψίας, βρίσκουμε τις μετακινήσεις των κόμβων σύμφωνα με τη σχέση (6.5) η οποία πλέον παίρνει τη μορφή: L L K X (6.31) a a όπου το μητρώο των εσωτερικών δυνάμεων υπολογίζεται ως εξής: T AA' P L a ' (6.3) 6.3. Η μέθοδος των μετακινήσεων Όπως αναφέρθηκε και στο κεφάλαιο 5, οι εξισώσεις ισορροπίας στη "φάση " για τον κόμβο i θα δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: m k1 S l ki ki x ki P ix m k1 S l ki ki y ki P iy m k1 S l ki ki z ki P iz, (6.33) όπου m :το πλήθος των μελών που συντρέχουν στον κόμβο i S ki :η αξονική δύναμη που αναπτύσσεται στο μέλος ki x ki =x k - x i y ki =y k - y i z ki =z k - z i

97 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 85 l ki = ( xki ) ( yki ) ( zki ) το μήκος του μέλους ki P :οι συνιστώσες κατά x, y, z αντίστοιχα της δύναμης στον κόμβο i ix, Piy, Piz Αν οι συντεταγμένες και το διάνυσμα των μετακινήσεων κατά x, y, z του κόμβου i δίνονται αντίστοιχα: X i x y z i και U u v, τότε οι τελικές συντεταγμένες του κόμβου i μετά την w i επιβολή των φορτίων, θα είναι: i i X F X U Στην τελική φάση οι εξισώσεις ισορροπίας θα είναι [6] : m k1 m k1 m k1 όπου S l S l S l S l S l S l F S ki S S ki F xki x u F yki y v F z z w ki ki ki ki ki ki ki ki ki ki x u P P ki y v P P ki z w P P ki :η τελική αξονική δύναμη στο μέλος ki :η τελική προβολή του μήκους στον άξονα των x :η τελική προβολή του μήκους στον άξονα των y :η τελική προβολή του μήκους στον άξονα των z ix iy iz (6.34) l F ki F F F l l ( x ) ( y ) ( z ) ki ki ki ki :το τελικό μήκος του μέλους ki F P ki P P ki :το συνολικό φορτίο στον κόμβο i. Το τελικό μήκος μπορεί να γραφτεί επίσης ως εξής: F l ki l lki X U ki X ki X ki X ki U ki U kiu ki όπου: X X X και U U U ki k i ki k (6.35) i Αν θέσουμε: a b ki ki 1 x ki uki yki vki zki wki l ki 1 u ki vki wki l ki (6.36) (6.37)

98 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 86 τότε το τελικό μήκος μπορεί να γραφτεί ως εξής: F 1/ 1/ 1 1 l ki lki 1 aki bki 1 aki bki (6.38) F l l ki ki Αναπτύσσοντας την (6.38) σε σειρά και κρατώντας μέχρι και τους όρους της 3 ης τάξεως για τις μετακινήσεις u, v, w θα έχουμε: l 1 3 F ki a... ki bki aki akibki aki l ki (6.39) Η σχέση μεταξύ της αύξησης της αξονικής δύναμης που αναπτύσσεται στα μέλη και της αντίστοιχης επιμήκυνσής τους δίνεται από τον νόμο του Hooke: F l ki lki S 1 ki EAki ki EAki EA ki (6.4) lki lki Χρησιμοποιώντας τη σχέση (6.38) μπορούμε να ξαναγράψουμε την (6.4) και να την αναπτύξουμε σε σειρά και κρατώντας μέχρι και τους όρους της 3 ης τάξεως για τις μετακινήσεις u, v, w: S ki EAki aki bki aki akibki aki... (6.41) Τέλος αντικαθιστώντας τις (6.36), (6.37) και (6.39) στην (6.34) θα έχουμε: m k1 m k1 m k1 S S S ki ki ki u l ki ki v l ki ki w l ki ki EA EA ki ki EA ki S S ki ki S ki x l ki ki y l ki ki z l ki ki a a a ki ki ki P ix P iy P iz R R ix iy R iz (6.4) όπου: R R R c ix iy iz ki m EAki Ski k1 m EAki Ski k1 m EAki Ski k1 u lki v lki ki ki w lki 1 3 aki bki aki και ki c c d c ki ki ki ki x l y l ki ki ki ki z l ki ki ki d d d ki ki ki 3 3aki 3akibki 5aki (6.43) b (6.44)

99 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 87 Οι τιμές R ix, R iy, R iz, προέκυψαν αμελώντας τους όρους πάνω από την 3 η τάξη για τις μετακινήσεις u, v, w. Για την ανάλυση ενός χωρικού μοντέλου θα πρέπει να γραφτούν τρεις εξισώσεις ι- σορροπίας (6.4) για κάθε κόμβο, σύνολο 3n εξισώσεις ισορροπίας όπου n το πλήθος των κόμβων. Οι εξωτερικοί κόμβοι θεωρούνται αμετάθετοι. Η λύση αυτών των εξισώσεων επιτυγχάνεται με τη βοήθεια αριθμητικών αλγορίθμων, οι οποίοι δίνουν τις τιμές για τις μετακινήσεις u, v, w. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην (6.4) προκύπτουν οι τιμές της αξονικής έντασης για κάθε μέλος Η μέθοδος Newton Raphson Στη μέθοδο αυτή [5], [6], [7] για κάθε κύκλο επανάληψης υπολογίζεται εκ νέου το μητρώο δυσκαμψίας ανάλογα με τη παραμόρφωση που έχει υποστεί η κατασκευή μέχρι αυτό το βήμα φόρτισης. Η όλη διαδικασία φαίνεται στο Σχ.6.3. Σχ.6.3 Μέθοδος Newton Raphson Τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: Στην αρχή της επαναληπτικής διαδικασίας θεωρούμε την κατασκευή στην απαραμόρφωτη κατάσταση και στην αφόρτιστη κατάσταση. Επομένως οι μετατοπίσεις και οι δυνάμεις είναι μηδενικές. U =R = Υπολογίζεται το μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής στην απαραμόρφωτη κατάσταση, Κ, που εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του υλικού και από τα χαρακτηριστικά των μελών (διατομές και μήκος), δηλαδή από τον όρο ΕΑ/L. Έχοντας υπολογίσει το μητρώο Κ, υπολογίζεται το μητρώο των μετατοπίσεων U 1 για συγκεκριμένο φορτίο, σύμφωνα με τη σχέση: Κ *U 1 = P. Ωστόσο αυτές οι μετατοπίσεις δεν είναι οι πραγματικές. Έχοντας το μητρώο των μετατοπίσεων, υπολογίζουμε το διάνυσμα των εσωτερικών δυνάμεων R 1 και το νέο μητρώο δυσκαμψίας Κ 1.

100 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 88 Επιλύεται το σύστημα Κ 1 *ΔU 1 =R 1 απ όπου και προκύπτει το διάνυσμα ΔU 1. Το νέο μητρώο μετατοπίσεων παριστάνεται από το διάνυσμα: U =U 1 -ΔU 1. Με βάση το νέο μητρώο μετατοπίσεων U ξαναυπολογίζονται το νέο μητρώο δυσκαμψίας Κ και το νέο διάνυσμα των εσωτερικών δυνάμεων R. Επιλύεται το σύστημα Κ *ΔU =R απ όπου και προκύπτει το διάνυσμα ΔU. Το νέο μητρώο μετατοπίσεων παριστάνεται από το διάνυσμα: U 3 =U -ΔU. Η επαναληπτική διαδικασία τελειώνει όταν ικανοποιηθεί το κριτήριο σύγκλισης της μετατόπισης ΔU ή των εσωτερικών δυνάμεων R Τροποποιημένη μέθοδος Newton Raphson Στη μέθοδο αυτή [6] για κάθε κύκλο επανάληψης δεν υπολογίζεται εκ νέου το μητρώο δυσκαμψίας αλλά χρησιμοποιείται το αρχικό το μητρώο δυσκαμψίας που υπολογίζεται στην απαραμόρφωτη κατάσταση. Η όλη διαδικασία φαίνεται στο Σχ.6.4. Σχ.6.4 Τροποποιημένη Μέθοδος Newton Raphson Τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: Στην αρχή της επαναληπτικής διαδικασίας θεωρούμε την κατασκευή στην απαραμόρφωτη κατάσταση και στην αφόρτιστη κατάσταση. Επομένως οι μετατοπίσεις και οι δυνάμεις είναι μηδενικές. U =R = Υπολογίζεται το μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής στην απαραμόρφωτη κατάσταση, Κ, που εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του υλικού και από τα χαρακτηριστικά των μελών (διατομές και μήκος), δηλαδή από τον όρο ΕΑ/L. Έχοντας υπολογίσει το μητρώο Κ, υπολογίζεται το μητρώο των μετατοπίσεων U 1 για συγκεκριμένο φορτίο, σύμφωνα με τη σχέση: Κ *U 1 = P. Έχοντας το μητρώο των μετατοπίσεων, υπολογίζουμε το διάνυσμα των εσωτερικών δυνάμεων R 1.

101 Κεφάλαιο 6 Μητρωική ανάλυση 89 Επιλύεται το σύστημα Κ *U = P-R 1 απ όπου και προκύπτει το διάνυσμα U. Με βάση το νέο μητρώο μετατοπίσεων U ξαναυπολογίζονται το νέο διάνυσμα των ε- σωτερικών δυνάμεων R. Επιλύεται το σύστημα Κ *U 3 = P-R απ όπου και προκύπτει το διάνυσμα U 3. Η επαναληπτική διαδικασία τελειώνει όταν ικανοποιηθεί το κριτήριο σύγκλισης της μετατόπισης U ή των εσωτερικών δυνάμεων R. Η διαφορά με τη μέθοδο Newton Raphson είναι ότι απαιτούνται λιγότεροι υπολογισμοί αφού δεν χρειάζεται σε κάθε βήμα να υπολογίζεται το μητρώο δυσκαμψίας, ωστόσο η σύγκλιση γίνεται πιο αργά, δηλαδή χρειάζονται περισσότερες επαναλήψεις. Αυτό εξαρτάται και από το μητρώο δυσκαμψίας που επιλέγεται αρχικά Επιβολή του φορτίου σε βήματα Όταν το σύστημα των μη γραμμικών εξισώσεων χαρακτηρίζεται από υψηλό βαθμό μη γραμμικότητας ή όταν το εξωτερικό φορτίο που επιβάλλεται στην κατασκευή είναι αρκετά μεγάλο, τότε το φορτίο δεν επιβάλλεται μονομιάς, αλλά χωρίζεται σε επιμέρους τμήματα κι έτσι ο υπολογισμός γίνεται ανά βήματα [6]. Η μέθοδος αυτή συνδυάζεται με την επαναληπτική μέθοδο Newton Raphson. Μέσα σε κάθε βήμα φόρτισης υπολογίζεται το μητρώο δυσκαμψίας και γίνονται οι επαναλήψεις έτσι ώστε να προκύψουν οι σωστές μετατοπίσεις.

102 Κεφάλαιο 7 H δυναμική συμπεριφορά 7.1. Γενικά Η ελαχιστοποίηση του μονίμου φορτίου σε σχέση με το τυχηματικό φορτίο, η έλλειψη της προέντασης, ή η μικρή τιμή αυτής στις πρώτες ελαφριές κατασκευές που έγιναν, είχε σαν αποτέλεσμα μικρές δυσκαμψίες και επομένως ανθεκτικότητα στους σεισμούς, αλλά ευαισθησία στα αεροδυναμικά φαινόμενα που εκδηλώνονται με ταλαντώσεις συνεχώς αυξανόμενου εύρους. Παρ όλο που η ένταση του ανέμου μπορεί να είναι πολύ μικρή σε σχέση με τα μέγιστα στατικά φορτία που μπορεί να παραλάβει η κατασκευή, το δυναμικό φαινόμενο που δημιουργεί, σε συνδυασμό με τις κρίσιμες συχνότητες και ταχύτητες, αν διαρκεί μεγάλο χρονικό διάστημα μπορεί να προκαλέσει μεγάλες παραμορφώσεις κι έτσι να θέσει σε κίνδυνο τη λειτουργικότητα και πολλές φορές και την ίδια την ευστάθεια της κατασκευής. Η απόκριση της κατασκευής στα φορτία ανέμου δεν εξαρτάται μόνο από την ταχύτητα του ανέμου, αλλά επίσης και από την μορφή, τις διαστάσεις και τα χαρακτηριστικά της ίδιας της κατασκευής. Μπορούμε να διαχωρίσουμε τα στατικά από τα δυναμικά χαρακτηριστικά της φόρτισης αυτής. Το στατικό μέρος του ανέμου είναι αυτό που, ασκούμενο κάθετα στην επιφάνεια των κατασκευών, προκαλεί πίεση και υποπίεση στο εξωτερικό και το εσωτερικό αντίστοιχα. Το δυναμικό μέρος του φορτίου είναι αυτό που προκαλεί τις ταλαντώσεις. Έτσι η ταχύτητα του ανέμου δίνεται από δύο όρους, μία μέση οριζόντια συνιστώσα V, της οποίας η ένταση και η διεύθυνση θεωρούνται σταθερές και μία μεταβαλλόμενη με το χρόνο και θα μπορούσε να σχηματιστεί από ένα πλήθος ημιτονοειδών συναρτήσεων με διάφορα εύρη η καθεμία γύρω από τη μέση τιμή της. V t V Vx t V n 1 t A sin n f n (7.1) Η δύναμη του ανέμου δίνεται με ένα διάγραμμα συναρτήσει του χρόνου, το οποίο συντάσσεται από μετρήσεις που γίνονται για την κάθε περιοχή για διάφορες χρονικές περιόδους.

103 Κεφάλαιο 7 Η δυναμική συμπεριφορά 91 Πολλές φορές, προκειμένου να προσδιοριστούν οι πιέσεις και οι υποπιέσεις που δημιουργεί ο άνεμος στην κατασκευή, γίνονται δοκιμές σε φυσικά μοντέλα υπό κλίμακα τοποθετημένα σε ειδικές σήραγγες. 7.. Γραμμική δυναμική ανάλυση Σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας Στο Σχ.7.1 δίνεται ένα καλώδιο με τη μάζα συγκεντρωμένη στο μέσον του ανοίγματος. Η κίνηση είναι μόνο κατά τον άξονα των z. Η κατάσταση ισορροπίας λόγω του ίδιου βάρους P g που οφείλεται στη μάζα m, χαρακτηρίζεται από την ένταση που αναπτύσσεται στα μέλη των καλωδίων S, από το αρχικό μήκος των μελών L και από τη συντεταγμένη του κεντρικού κόμβου z [6] [8]. Σχ.7.1 Σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας Εάν προστεθεί ένα ακόμα φορτίο P t μεταβαλλόμενο με τον χρόνο, η γενική εξίσωση της δυναμικής ισορροπίας για το μονοβάθμιο σύστημα δίνεται ως εξής: f I +f S +f E =P g +P t m w c w k w P g P (7.) t όπου: f I = m w :η δύναμη της αδράνειας f S = c w :η δύναμη της απόσβεσης f E = k w :η ελαστική δύναμη P g P t w :η δύναμη βαρύτητας :η δυναμική δύναμη :η μετατόπιση του κεντρικού κόμβου Η ολική μετατόπιση w tot ισούται με το άθροισμα της στατικής μετατόπισης που προκαλείται από το φορτίο P g και τη δυναμική μετατόπιση που προκαλείται από το φορτίο P t, δηλαδή: w tot = w g + w t, και επομένως η ελαστική δύναμη παίρνει τη μορφή:

104 Κεφάλαιο 7 Η δυναμική συμπεριφορά 9 f E = k w w ) (7.3) ( g t Ωστόσο ο παράγοντας w g δεν μεταβάλλεται με το χρόνο, επομένως και οι παράγωγοί του ως προς t θα είναι μηδέν. Αντικαθιστώντας την (7.3) στην (7.) και λαμβάνοντας υπ όψη ότι P g =k w g προκύπτει: m w c w k ( w w ) k w g t g P t m w c w k w P (7.4) t δηλαδή η δυναμική συμπεριφορά μπορεί να μελετηθεί, αγνοώντας τα φορτία βαρύτητας, αρκεί τα δυναμικά βέλη να μετρώνται με αφετηρία το παραμορφωμένο σχήμα του φορέα λόγω των φορτίων αυτών. Τα τελικά βέλη θα είναι το άθροισμα των δυναμικών και των στατικών βελών Ταλάντωση χωρίς απόσβεση Σχ.7. Γραφική παράσταση ελεύθερης ταλάντωσης Στην περίπτωση της ελεύθερης ταλάντωσης, όταν δηλαδή το εξωτερικό μεταβαλλόμενο φορτίο είναι μηδενικό και η κατασκευή δεν έχει απόσβεση, P t =, c=, η εξίσωση (7.4) γράφεται: k w w w w (7.5) m και η λύση της είναι: w t = Asinωt + Bcosωt ή w t = R (cos(ωt-θ)) (7.6) όπου οι συντελεστές A και B καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες, δηλαδή η τιμή της μετατόπισης και της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t o οπότε και ξεκινάει η κίνηση. w A=w ο, B o, R A B. Η γωνία θ είναι η γωνία φάσης και ισούται με: tan 1 B tan A 1 w o w ενώ ω είναι η κυκλική συχνότητα του συστήματος, που για τα καλώδια ισούται με [9] : 3 k 4 EA L L (7.7) 3 / m ml ( ) So L z 1/ o

105 Κεφάλαιο 7 Η δυναμική συμπεριφορά 93 Ο χρόνος Τ που χρειάζεται το σύστημα να εκτελέσει μία πλήρη ταλάντωση ονομάζεται ιδιοπερίοδος του συστήματος και είναι: T. Σε περίπτωση που το εξωτερικό μεταβαλλόμενο φορτίο δεν είναι μηδενικό, αλλά δίνεται ως P t =αp, η λύση της εξίσωσης είναι: ap w t = Asinωt + Bcosωt+ k ενώ αν το φορτίο είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή P t apsin t όπου είναι η συχνότητα επιβολής του φορτίου η λύση της εξίσωσης θα είναι: apsin t w t = Asinωt + Bcosωt+ m Ταλάντωση με απόσβεση Σχ.7.3 Γραφική παράσταση ελεύθερης ταλάντωσης με απόσβεση Αν στην εξίσωση (7.5) προσθέσουμε τη δύναμη της απόσβεσης, που είναι ανάλογη της ταχύτητας, προκύπτει η εξίσωση της ελεύθερης ταλάντωσης με απόσβεση, η οποία δίνεται από τον τύπο: m w c w k w (7.8) Αν παραστήσουμε με τον όρο ξ το ποσοστό της κρίσιμης απόσβεσης τότε θα ισχύει: c 1 (7.9) c m cr Αν ο συντελεστής της απόσβεσης c είναι μικρότερος από την κρίσιμη απόσβεση c cr, δηλαδή ξ<1 τότε μπορεί να συμβεί η ταλάντωση του συστήματος, και η λύση της (7.8) θα είναι:

106 Κεφάλαιο 7 Η δυναμική συμπεριφορά 94 w t t e Asin t Bcos t (7.1) D D όπου D 1 και οι συντελεστές A και B καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες της μετατόπισης w o, και της ταχύτητας w o w A o και B wo. D w o τη χρονική στιγμή t o : Σε περίπτωση που το εξωτερικό μεταβαλλόμενο φορτίο δεν είναι μηδενικό, αλλά δίνεται ως ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή είναι w w τότε η λύση της εξίσωσης θα είναι: o w t = m o ap 4 P t apsin t και οι αρχικές συνθήκες t sin t cos t e cos t sin t D D D 7... Ανάλυση συστημάτων με περισσότερους βαθμούς ελευθερίας Η βασική μέθοδος για την επίλυση της εξίσωσης κίνησης σε συστήματα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας είναι η μέθοδος επαλληλίας των ιδιομορφών Δυναμική ανάλυση με τη μέθοδο της επαλληλίας των ιδιομορφών Η μέθοδος της επαλληλίας των ιδιομορφών προϋποθέτει η εξίσωση κίνησης (7.11) του συστήματος με Ν βαθμούς ελευθερίας, να είναι γραμμική και να βασίζεται στον υπολογισμό των ιδιοσυχνοτήτων ω n και των αντίστοιχων ιδιομορφών {φ} n. M U C U K U (7.11) P t Η λύση της εξίσωσης κίνησης (7.11) δίνεται ως γνωστόν από τον τύπο: U X X X X t t n n n i i (7.1) i1 όπου κάθε τιμή του X i t αντιπροσωπεύει τις Ν προσδιοριστέες χρονικές συναρτησεις, οι οποίες έχουν διαστάσεις μήκους και αποτελούν τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος ως προς τη βάση Φ 1, Φ,,Φ n. Δηλαδή η λύση {U t } της εξίσωσης σε κάθε χρονική στιγμή t μπορεί να εκφραστεί σαν επαλληλία των μετακινήσεων που οφείλονται σε κάθε κανονική μορφή, δηλαδή σαν επαλληλία των κανονικών μορφών Φ i πολλαπλασιασμένες με κατάλληλους συντελεστές t X i

107 Κεφάλαιο 7 Η δυναμική συμπεριφορά 95 Γράφοντας την (7.1) με μορφή μητρώων θα έχουμε: U X (7.13) και χρησιμοποιώντας την στην (7.11) θα προκύψει: M X C X K X (7.14) P t Αν θεωρήσουμε την απόσβεση μηδενική και πολλαπλασιάσουμε την (7.14) με το α- ντίστροφο μητρώο της i-στης κανονικής μορφής T i T i T T T M X K X P t, τότε: (7.15) Λόγω της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, δηλαδή επειδή ισχύει K, i j και j, θα έχουμε: T T T M X K X P i i i i i t T i M (7.16) T T T Αν θέσουμε M i i M i K i i K i και Pi i P i j μεγέθη που ο- νομάζουμε γενικευμένη μάζα, γενικευμένη δυσκαμψία και γενικευμένη δύναμη αντίστοιχα, η εξίσωση κίνησης για την i-στή κανονική μορφή ταλάντωσης παίρνει τη μορφή: M X K X P (7.17) i i i i i Η παραπάνω διαδικασία γίνεται για να προσδιοριστεί μία εξίσωση ανεξάρτητη για κάθε μία κανονική μορφή ταλάντωσης, δηλαδή μία εξίσωση εξαναγκασμένης ταλάντωσης μονοβάθμιου συστήματος. Έτσι το σύστημα των Ν διαφορικών εξισώσεων της (7.11) μετατρέπεται μέσω των (7.17) σε Ν ανεξάρτητες διαφορικές εξισώσεις. Η δυναμική απόκριση της κατάσκευής υπολογίζεται επιλύοντας ξεχωριστά για κάθε βαθμό ελευθερίας, με τη μέθοδο που α- ναλύθηκε για το μονοβάθμιο σύστημα και επαλληλίζοντας τα αποτελέσματα σύμφωνα με την (7.1). T Ωστόσο οι ιδιομορφές είναι ορθοκανονικές ως προς τη μάζα M I K και λό- γω της (7.7) ισχύει επίσης έχουμε για όλους τους βαθμούς ελευθερίας: X X T P t T M I. Επομένως από την (7.15) θα (7.18) ενώ από την επίλυση της K προκύπτουν οι ιδιοσυχνότητες ω n. Ορισμένες φορές, όταν η κατανομή των μαζών το επιτρέπει, είναι δυνατόν να μειωθεί ο όγκος του δυναμικού υπολογισμού, μειώνοντας τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος. Αυτή η διαδικασία της πύκνωσης των μαζών μπορεί να επιτευχθεί με τη μέθοδο απαλοιφής κατά Gauss. Χωρίζοντας τους βαθμούς ελευθερίας σε κύριους, αυτοί που θα διατηρηθούν και

108 Κεφάλαιο 7 Η δυναμική συμπεριφορά 96 σε δευτερεύοντες, αυτοί που θα μειωθούν, είναι δυνατόν να ξαναγράψουμε την εξίσωση κίνησης χωρίς απόσβεση ως ακολούθως: K K mm T ms K K ms ss M mm M ms m T (7.19) M ms M ss s όπου: m :οι κύριοι βαθμοί ελευθερίας n m :οι δευτερεύοντες βαθμοί ελευθερίας :οι ιδιομορφές για τους κύριους βαθμούς ελευθερίας s :οι ιδιομορφές για τους δευτερεύοντες βαθμούς ελευθερίας Εξαλείφοντας τον όρο 1 T έχουμε: K K s s (7.) ss ms m s m Θέτοντας T T K T K T K m με r από την (7.19) θα έχουμε: r M r m I K s K ms T 1 T T και M T M T r, (7.1) 7.3. Μη γραμμική δυναμική ανάλυση με την επαναληπτική μέθοδο Αν δώσουμε τις διάφορες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα με τη μορφή μητρώων τότε θα έχουμε [6] : F I = M U t :το μητρώο της δύναμης της αδράνειας F S = Ct U t F E = t Ut :το μητρώο της δύναμης της απόσβεσης K :το μητρώο της ελαστικής δύναμης όπου Μ C(t) Κ(t) U(t) :το μητρώο μαζών :το μητρώο απόσβεσης :το μητρώο δυσκαμψίας :το μητρώο των μετακινήσεων και η εξίσωση ισορροπίας με τη μορφή μητρώων για το χρόνο t και t+δt είναι: F I (t)+f S (t)+f E (t)=p t (t) (7.) F I (t+δt)+f S (t+δt)+f E (t+δt)=p t (t+δt) (7.3) Αφαιρώντας την (7.) από την (7.3) έχουμε: ΔF I (t)=f I (t+δt)- F I (t)= M U t (7.4) ΔF S (t)=f S (t+δt)-f S (t)= Ct U t (7.5)

109 Κεφάλαιο 7 Η δυναμική συμπεριφορά 97 ΔF E (t)=f E (t+δt)-f E (t)= Kt U t (7.6) ΔP t (t)=p t (t+δt)-p t (t)=δp(t) (7.7) Έτσι η εξίσωση κίνησης για το χρόνο t δίνεται από τη σχέση: t Ct U t Kt U t Pt M U (7.8) Οι μάζες θεωρούνται συγκεντρωμένες στους κόμβους. Σε κάθε βαθμό ελευθερίας α- ντιστοιχεί μία μάζα που ταλαντώνεται. Σε περίπτωση που έχουμε μία επιφάνεια η μάζα υπολογίζεται από το εμβαδόν που αναλογεί σε κάθε κόμβο Α i, επί το επιφανειακό φορτίο: M i Ai P. Το μη γραμμικό μητρώο της δυσκαμψίας ενημερώνεται σε κάθε βήμα. g Επαναληπτική μέθοδος με γεωμετρική μη γραμμικότητα Για την επίλυση του προβλήματος με την επαναληπτική μέθοδο Newmark θα πρέπει να εισάγουμε μία σχέση μεταξύ της επιτάχυνσης, της ταχύτητας και της μετατόπισης που να ι- σχύει για ένα χρονικό διάστημα Δt, όπως φαίνεται και στο Σχ.7.4. Aν η επιτάχυνση U μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο t, η ταχύτητα U θα εκφράζεται ως δεύτερη παράγωγος του χρόνου t, ενώ η μετατόπιση U ως τρίτη παράγωγος του χρόνου t. Σχ.7.4 Σχέση μεταξύ επιτάχυνσης, ταχύτητας και μετατόπισης Οι σχέσεις που δίνουν τις τρεις αυτές παραμέτρους είναι: U U U t (7.9) t

110 Κεφάλαιο 7 Η δυναμική συμπεριφορά 98 U U U t U t (7.3) t U Ut Ut U t 3 U (7.31) t 6 Στο τέλος του διαστήματος Δt ισχύει τ= Δt και τότε η U t και η Ut που αντιστοιχούν στη χρονική στιγμή t θα είναι: U (7.3) U t t U t t U t t t (7.33) t Ut t U t U t 6 Η (7.33) λύνεται ως προς τη : (7.3) για να προκύψει η U t t U κι έπειτα αντικαθιστούμε αυτή την έκφραση στην U 6 6 t U t U t 3U t t t (7.34) t U t 3 U t 3U t U t t (7.35) Αν αντικαταστήσουμ τις (7.34) και (7.35) στην (7.8) η εξίσωση κίνησης γίνεται: 6 M t U 6 t 3 t t t U t 3U t Ct U t 3U t U t t U t Pt K (7.36) Φέρνοντας όλους τους όρους που σχετίζονται με τις γνωστές αρχικές συνθήκες στο δεξί μέλος, η νέα εξίσωση θα δίνεται από την ακόλουθη ψευδοστατική εξίσωση : K t U t Pt (7.37) όπου οι όροι K P K t και P t 6 t είναι: 3 t t Kt M Ct 6 t και t Pt M U t 3U t Ct 3U t U t t (7.38) Οι παραδοχές που γίνονται για την επαναληπτική μέθοδο είναι οι εξής: η επιτάχυνση μεταβάλλεται γραμμικά οι ιδιότητες της απόσβεσης και της δυσκαμψίας παραμένουν γραμμικές κατά τη διάρκεια του κάθε χρονικού διαστήματος

111 Κεφάλαιο 7 Η δυναμική συμπεριφορά 99 Η διαδικασία της επαναληπτικής μεθόδου για κάθε βήμα Δt είναι η ακόλουθη: 1. Οι αρχικές τιμές της μετατόπισης U t και της ταχύτητας U t είναι γνωστές. Με γνωστές τις τιμές αυτές καθώς επίσης και τις ιδιότητες της κατασκευής που είναι συνδεδεμένες με την απόσβεσης C(t) και την δυσκαμψία K(t) προκύπτουν οι δυνάμεις απόσβεσης F C (t) και οι ελαστικές δυνάμεις F S (t). 3. Η αρχική επιτάχυνση δίνεται από τη σχέση: U 1 t M Pt F t F t 4. Υπολογίζονται οι όροι K t και P t 5. Υπολογίζονται η Ut 6. Υπολογίζονται η U t από την (7.37) από την (7.35) από την (7.38) 7. Η ταχύτητα και η μετατόπιση στο τέλος της επανάληψης, δηλαδή στο χρόνο (t+δt), θα είναι: U t t U t U t και Ut t Ut U t ντίστοιχα C α- S Μέχρι τώρα δεν έχει σημειωθεί καμία αστοχία λόγω αεροδυναμικών φαινομένων στις καλωδιωτές στέγες, με διάφορες μορφές, σε διαφορετικές τοποθεσίες, και υποβαλλόμενες σε μεταβλητές συνθήκες ανέμου ως προς τη διεύθυνση και την μέση ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα της αστάθειας που μπορεί να προκληθεί λόγω δυναμικής συμπεριφοράς στις α- νηρτημένες προεντεταμένες στέγες, ιδιαίτερα όταν υπάρχουν μεγάλες καμπυλότητες και αρκετά μεγάλες δυνάμεις προέντασης, δηλαδή όταν διαθέτουν αρκετή δυσκαμψία, είναι της ίδιας στάθμης σοβαρότητας με τη στατική συμπεριφορά και όχι μεγαλύτερης.

112 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις 8.1. Ανάλυση καλωδιωτής στέγης του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας Η γεωμετρία και τα φορτία της καλωδιωτής στέγης του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας καθώς επίσης και τα χαρακτηριστικά των καλωδίων του δικτύου, δίνονται στο Παράρτημα Ι. Έγιναν δύο αναλύσεις: η πρώτη χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα CADISI για την εύρεση σχήματος και το πρόγραμμα CABLE3 (βλ. Παράρτημα ΙΙ) για τη μη γραμμική ανάλυση και η δεύτερη με το πρόγραμμα EASY, ενώ και στις δύο περιπτώσεις η ανάλυση έγινε για τρεις συνδυασμούς φορτίσεων όπως αναφέρθηκαν στην παράγραφο.3 (για τα φορτία βλ. Ι.6): Φάση 1: αρχικά έγινε ανάλυση για τα μόνιμα φορτία (-,45kN/m ) συν την προένταση, δηλαδή για κατακόρυφο επικόμβιο φορτίο ίσο με,45*4*4 = 7,kN/κόμβο (η επιφάνεια επιρροής που αντιστοιχεί σε κάθε κόμβο είναι 4m x 4m), όπου και γίνεται έλεγχος των παραμορφώσεων. Φάση λειτουργίας Συνδυασμός φορτίσεων 1: ελήφθησαν υπ όψη τα μόνιμα φορτία (-,45kN/m ), το χιόνι (-,65kN/m ), και η προένταση, δηλαδή συνολικό κατακόρυφο φορτίο ίσο με (-,45-,65) = -1,1kN/m που αντιστοιχεί σε επικόμβιο φορτίο ίσο με (-,45-,65)*4*4 = -17,6kN/κόμβο. Σ αυτή την περίπτωση ελέγχονται οι αντοχές των φερόντων καλωδίων και γίνεται έλεγχος ελαχίστου εφελκυσμού στα σταθεροποιητικά. Φάση λειτουργίας Συνδυασμός φορτίσεων : τέλος έγινε ανάλυση για τα μόνιμα φορτία (-,45kN/m ), την υποπίεση ανέμου (1,1kN/m ), και την προένταση, δηλαδή για συνολικό κατακόρυφο φορτίο (-,45+1,1) = +,65kN/m που αντιστοιχεί σε κατακόρυφο φορτίο (-,45+1,1) *4*4=+1,4kN σε κάθε κόμβο. Σ αυτή τη φάση ελέγχονται οι αντοχές των σταθεροποιητικών καλωδίων και γίνεται έλεγχος ελαχίστου εφελκυσμού στα φέροντα.

113 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις Ανάλυση με CADISI και CABLE3 Η εύρεση σχήματος έγινε με το πρόγραμμα CADISI, για μήκος καλωδίων κατά τη x και την y διεύθυνση ίσο με 4m, για δύναμη προέντασης ίση με 581,9kN για τα φέροντα καλώδια, δηλαδή αυτά κατά τη x διεύθυνση και 615,kN για τα σταθεροποιητικά καλώδια, δηλαδή αυτά κατά τη y διεύθυνση, και για συντελεστή απόστασης ίσο με,45 και για τις δύο διευθύνσεις. Για τη μη γραμμική ανάλυση χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα CABLE3, στο οποίο ό- λοι οι εξωτερικοί κόμβοι, που αντιστοιχούν στα σημεία αγκύρωσης των καλωδίων, θεωρήθηκαν αμετακίνητοι και ως προς τις τρεις διευθύνσεις. Οι δυσκαμψίες των καλωδίων ήταν , kn για τα φέροντα καλώδια και 11.35, kn για τα σταθεροποιητικά, ενώ οι δυνάμεις προέντασης προέκυψαν από τις οριζόντιες συνιστώσες των δυνάμεων προέντασης, ί- σες με 615,kN για τα σταθεροποιητικά καλώδια και 581,9kN για τα φέροντα καλώδια, σύμφωνα με τα συνημίτονα κατεύθυνσης του κάθε μέλους. Τα φορτία ελήφθησαν υπ όψη ως επικόμβια σε όλους τους κόμβους. Έγινε έλεγχος για φορτίο θραύσης ίσο με 3kN για τα φέροντα καλώδια, ενώ για τα σταθεροποιητικά ίσο με 1849kN. Οι μονάδες που χρησιμοποιήθηκαν ήταν σε m για τις συντεταγμένες των κόμβων και kn για τις δυνάμεις. Στα επόμενα σχήματα φαίνεται το προσομοίωμα που χρησιμοποιήθηκε για την ανάλυση αυτή. Σχ.8.1 Προοπτικό του προσομοιώματος για το CABLE3

114 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις 1 Σχ.8. Αρίθμηση μελών (φέροντα καλώδια) Σχ.8.3 Πλάγια όψη κατά x

115 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις 13 Σχ.8.4 Αρίθμηση μελών (σταθεροποιητικά καλώδια) Σχ.8.5 Πλάγια όψη κατά y

116 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις 14 Σχ.8.6 Αρίθμηση κόμβων 8.3. Ανάλυση με το EASY Χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα EASY, έγινε αρχικά εύρεση σχήματος, εισάγοντας το αρχείο με τις συντεταγμένες της περιφέρειας από το πρόγραμμα CADISI, για μήκος καλωδίων κατά τη x και την y διεύθυνση ίσο με 4m, για δύναμη προέντασης ίση με 581,9kN για τα φέροντα καλώδια, δηλαδή αυτά κατά τη x διεύθυνση και 615,kN για τα σταθεροποιητικά καλώδια, δηλαδή αυτά κατά τη y διεύθυνση, και για συντελεστή απόστασης ίσο με,77 και για τις δύο διευθύνσεις. Όλοι οι εξωτερικοί κόμβοι, θεωρήθηκαν αμετακίνητοι και ως προς τις τρεις διευθύνσεις. Οι δυσκαμψίες των καλωδίων, όπως και αναφέρθηκε και στην προηγούμενη ανάλυση, ήταν ,kN για τα φέροντα καλώδια και 11.35, kn για τα σταθεροποιητικά. Τα φορτία ελήφθησαν υπ όψη ως κατανεμημένα σε όλη την επιφάνεια του δικτύου και όχι σαν ε-

117 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις 15 πικόμβια φορτία. Οι μονάδες που χρησιμοποιήθηκαν ήταν σε m για τις συντεταγμένες των κόμβων και kn/m για τις δυνάμεις. Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται το προσομοίωμα που χρησιμοποιήθηκε για την α- νάλυση αυτή. Οι κόμβοι, των οποίων η αρίθμηση ξεκινάει με τον αριθμό 9, είναι οι κόμβοι της περιφέρειας, ενώ αυτοί, των οποίων η αρίθμηση ξεκινάει με τον αριθμό 8, είναι οι κόμβοι που αντιστοιχούν στα σημεία αγκύρωσης των καλωδίων. Τέλος οι κόμβοι, με αρίθμηση που ξεκινάει με τον αριθμό 4, είναι οι εσωτερικοί κόμβοι του δικτύου. Σχ.8.7 Προοπτικό του προσομοιώματος για το EASY Σχ.8.8 Πλάγια όψη κατά x

118 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις 16 Σχ.8.9 Αρίθμηση κόμβων στην περιφέρεια Σχ.8.1 Πλάγια όψη κατά y

119 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις 17 Σχ.8.11 Αρίθμηση κόμβων καλωδίων

120 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις Συγκριτικά αποτελέσματα Επειδή τα δύο προγράμματα έχουν διαφορετική αρίθμηση κόμβων και διαφορετικές συντεταγμένες κόμβων x, y, z παραθέτονται στον παρακάτω πίνακα οι αρχικές συντεταγμένες των τριών βασικών κόμβων (αρχή, μέση και τέλος) των δύο κεντρικών καλωδίων για να μπορέσουν να προκύψουν τα σχετικά υψόμετρα των κόμβων. Οι συντεταγμένες αυτές προέκυψαν με την εύρεση σχήματος. Ακολουθούν πίνακες με τα συγκριτικά αποτελέσματα για τις παραμορφώσεις στον κεντρικό κόμβο και για τις δυνάμεις που αναπτύσσονται στα μέλη. Η αρίθμηση κόμβων αναφέρονται στo Σχ.8.6 για τον συνδυασμό προγραμμάτων CADISI και CABLE3 και στο Σχ.8.11 για το πρόγραμμα EASY, ενώ η αρίθμηση των μελών αναφέρονται στα Σχ.8. και Σχ.8.4 για το πρόγραμμα CABLE3 και πάλι στο Σχ.8.11 για το πρόγραμμα EASY. Σημειώνουμε ότι τα μέλη στο EASY δηλώνονται από τον κόμβο αρχής και τον κόμβο τέλους. Τα αποτελέσματα των τριών αναλύσεων με το πρόγραμμα CABLE3 δίνονται στο Παράρτημα ΙΙΙ. Πρόγραμμα Κόμβος X (m) Y (m) Z (m) 1 56,98-56,98-1,5 CADISI 56,98 56,98-1,5 7,,, ,96,, ,, -5, ,94,, EASY ,94 113,97, ,3 56,94 1, ,97 56,94 1, ,94 56,94 6,31 Πίν.8.1 Αρχικές συντεταγμένες κόμβων Φάση 1 Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως στη φάση αυτή λαμβάνονται υπ όψη τα μόνιμα φορτία και η προένταση. Για το CABLE3 η ανάλυση έγινε για επικόμβια φορτία σε όλους τους κόμβους ίσα με 7,kN, ενώ για το EASY η ανάλυση έγινε για ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο σε όλη την επιφάνεια ίσο με,45kn/m. Οι μετατοπίσεις και οι συντεταγμένες του κεντρικού κόμβου, όπου και παρατηρείται η μέγιστη βύθιση, δίνονται στον πίνακα που α- κολουθεί.

121 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις 19 Πρόγραμμα Κόμβος DX (m) NewX (m) DY (m) NewY (m) DZ (m) NewZ (m) CABLE3 381, 57,,, -,39-6,9 EASY , 56,94, 56,94 -,88 6, Πίν.8. Μετατοπίσεις και τελικές συντεταγμένες κεντρικών κόμβων Οι μέγιστες τελικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα καλώδια στο τέλος της ανάλυσης, δίνονται στον παρακάτω πίνακα για τα αντίστοιχα μέλη. Πρόγραμμα Μέλος Ένταση P (kn) Φορτίο θραύσης (kn) CABLE EASY , ,61 3 Πίν.8.3 Μέγιστες εντάσεις και αντίστοιχα φορτία θραύσης Φάση Λειτουργίας (Συνδυασμός φορτίσεων 1) Στη φάση αυτή λαμβάνονται υπ όψη τα μόνιμα φορτία, το χιόνι και η προένταση. Για το CABLE3 η ανάλυση έγινε για επικόμβια φορτία σε όλους τους κόμβους ίσα με 17,6kN, ενώ για το EASY η ανάλυση έγινε για ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο σε όλη την επιφάνεια ίσο με 1,1kN/m. Οι μετατοπίσεις και οι συντεταγμένες του κεντρικού κόμβου, όπου και παρατηρείται η μέγιστη βύθιση, δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Πρόγραμμα Κόμβος DX (m) NewX (m) DY (m) NewY (m) DZ (m) NewZ (m) CABLE3 381, 57,,, -,731-6,69 EASY , 56,94, 56,94 -,689 5,6 Πίν.8.4 Μετατοπίσεις και τελικές συντεταγμένες κεντρικών κόμβων Οι μέγιστες τελικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα καλώδια στο τέλος της ανάλυσης αυτής, δίνονται στον παρακάτω πίνακα για τα αντίστοιχα μέλη.

122 Κεφάλαιο 8 Αναλύσεις 11 Πρόγραμμα Μέλος Ένταση P (kn) Φορτίο θραύσης (kn) CABLE EASY , ,479 3 Πίν.8.5 Μέγιστες εντάσεις και αντίστοιχα φορτία θραύσης Φάση Λειτουργίας (Συνδυασμός φορτίσεων ) Οι μετατοπίσεις και οι τελικές συντεταγμένες του κεντρικού κόμβου μετά την φόρτιση του δικτύου με τα μόνιμα φορτία, την υποπίεση του ανέμου και την προένταση, δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Για το CABLE3 η ανάλυση έγινε για επικόμβια φορτία σε όλους τους κόμβους ίσα με +1,4kN, ενώ για το EASY η ανάλυση έγινε για ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο σε όλη την επιφάνεια ίσο με +,65kN/m. Πρόγραμμα Κόμβος DX (m) NewX (m) DY (m) NewY (m) DZ (m) NewZ (m) CABLE3 381, 57,,,,38-5,58 EASY , 56,94, 56,94,4 6,73 Πίν.8.6 Μετατοπίσεις και τελικές συντεταγμένες κεντρικών κόμβων Οι μέγιστες τελικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα καλώδια στο τέλος της τελευταίας αυτής ανάλυσης, δίνονται στον παρακάτω πίνακα για τα αντίστοιχα μέλη. Πρόγραμμα Μέλος Ένταση P (kn) Φορτίο θραύσης (kn) CABLE EASY , , Πίν.8.7 Μέγιστες εντάσεις και αντίστοιχα φορτία θραύσης

123 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας I.1. Ιστορικό Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας στο Φάληρο στεγάζεται με δίκτυο καλωδίων. Η αρχιτεκτονική μελέτη του σταδίου έγινε από το γραφείο Παπαγιάννη. Η στατική μελέτη του φέροντος οργανισμού του σταδίου έγινε από τον κ. Δημήτρη Μπαϊρακτάρη και τον κ. Φαίδων Καρυδάκης, ενώ η μελέτη της στέγης έγινε το από τον κ. Massimo Majowiecki, τον κ. Φώτη Ζούλα και τον κ. R. Alessi. Η κατασκευή της στέγης έγινε το 1983 από την Κοινοπραξία T.E.C.I. Spa και Ψυκτική Ελλάδος Α.Ε. Σχ.Ι.1 Αρχιτεκτονικά σχέδια Όψεις και τομή του σταδίου

124 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 11 Σχ.Ι. Αρχιτεκτονικά σχέδια Κάτοψη του σταδίου I.. Περιγραφή Οι συντεταγμένες των κόμβων αγκύρωσης των καλωδίων βρίσκονται σε μία καμπύλη σχήματος υπερβολικού παραβολοειδούς, που είναι ορισμένη από τις παρακάτω σχέσεις:,15 56,98 6 ( x y ) 8, 74 z x y 56,98 δηλαδή η προβολή της καμπύλης αυτής είναι κύκλος ακτίνας R=56,98m. Το ψηλότερο από το χαμηλότερο σημείο της καμπύλης έχει υψομετρική διαφορά 1,3m. Σχ.Ι.3 Ορισμός καμπύλης υπερβολικού παραβολοειδούς

125 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 113 Ο περιμετρικός δακτύλιος ακολουθεί την κίνηση του υπερβολικού παραβολοειδούς. Είναι από προεντεταμένο σκυρόδεμα κατηγορίας Β45 και έχει διατομή κιβωτιοειδή. Το πάχος των τοιχωμάτων είναι από έως 5cm και στο πάνω εσωτερικό σημείο μορφώνονται ειδικές υποδοχές για τις κεφαλές των καλωδίων που αγκυρώνονται. Ο δακτύλιος στηρίζεται σε 3 ισαπέχοντα σημεία επάνω σε αντίστοιχα πλαίσια, μέσω εφεδράνων που του επιτρέπουν όλες τις ελευθερίες κίνησης για αργές παραμορφώσεις, ερπυσμού, συστολές, φορτίσεις χιονιού και ανέμου, ενώ σε περιπτώσεις βίαιων οριζοντίων δυνάμεων, μέσω υδραυλικών απόσβεστήρων σε κάθε στήριξη, ο δακτύλιος δεσμεύεται στην αξονική διεύθυνση κάθε κύριου πλαισίου. Στα σημεία στήριξης υπάρχουν δίδυμα διαφράγματα που εξασφαλίζουν το απαραμόρφωτο της διατομής, και παράλληλα μεταφέρουν τα φορτία στις στηρίξεις. Η προένταση του δακτυλίου, λόγω των μεγάλων ροπών που αναπτύσσονται, φτάνει μέχρι και την τιμή των 45.kN. Στο Σχ.Ι.4 φαίνεται η διατομή του και στο Σχ.Ι.5 το εφέδρανο. Στις φωτογραφίες που ακολουθούν απεικονίζουν τη στήριξη του δακτυλίου. Σχ.Ι.4 Γεωμετρία περιμετρικού δοκαριού Σχ.Ι.5 Εφέδρανο περιμετρικού δακτυλίου

126 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 114 Εικ.Ι.1 Στήριξη περιμετρικού δοκαριού στα πλαίσια Εικ.Ι. Εφέδρανο με υδραυλικούς αποσβεστήρες

127 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 115 Τα 3 πλαίσια είναι μεταβλητού ύψους, έτσι ώστε να ακολουθούν την καμπύλη. Είναι τετράστυλα τριόροφα από οπλισμένο σκυρόδεμα κατηγορίας Β45, εκτός από το άνω ζύγωμα που είναι κεκλιμένο, συγκρατεί τις κερκίδες και το δακτύλιο σε πρόβολο και είναι προεντεταμένο με κοίλη ορθογωνική διατομή. Το δίκτυο καλωδίων αποτελείται από 7 φέροντα καλώδια διαμέτρου Φ6 χιλ. (τα καλώδια αυτά στρέφουν τα κοίλα προς τα πάνω και επομένως στηρίζονται στα ανυψωμένα σημεία του δακτυλίου) και 7 σταθεροποιητικά καλώδια διαμέτρου Φ46 χιλ. (τα οποία στρέφουν τα κοίλα προς τα κάτω, στηρίζονται δηλαδή στα πιο χαμηλά σημεία του δακτυλίου). Τα καλώδια είναι από χάλυβα St157/177 και είναι διατεταγμένα σε κάνναβο 4m x 4m. Η επιλογή του καννάβου έγινε μετά από σύγκριση με άλλες διαστάσεις, λαμβάνοντας υπ' όψη το κόστος των καλωδίων, των στοιχείων αγκύρωσης καθώς και το κόστος των εργασιών για την ανάρτηση και την προένταση των καλωδίων. Σχ.Ι.6 Κάτοψη καλωδιωτής στέγης

128 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 116 Σχ.Ι.7 Υψομετρικές διαφορές στο δακτύλιο

129 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 117 Τα φέροντα είναι πολύκλωνα χαλύβδινα καλώδια και αποτελούνται από 148 κλώνους. Το βάρος τους είναι 17,9kg/m, το ελάχιστο ονομαστικό φορτίο θραύσης 3 kn και η ελάχιστη αντοχή των κλώνων σε εφελκυσμό 157N/mm. Τα σταθεροποιητικά είναι κι αυτά πολύκλωνα χαλύβδινα καλώδια και αποτελούνται από 17 κλώνους. Το βάρος τους είναι 1,5kg/m, το ελάχιστο ονομαστικό φορτίο θραύσης 1849 kn και η ελάχιστη αντοχή των κλώνων σε εφελκυσμό 16N/mm. Τα καλώδια είναι γαλβανισμένα για προστασία κατά της διάβρωσης και τα κενά μεταξύ των κλώνων καλύφθηκαν με διοξείδιο του μολύβδου. Το μέτρο ε- λαστικότητας των καλωδίων είναι: Ε=165kN/mm. Ο σχηματισμός των καλωδίων είναι: Φέροντα καλώδια Σταθεροποιητικά καλώδια 33 κλώνοι Φ 4,95 χιλ. 33 κλώνοι Φ 4,6 χιλ. 7 κλώνοι Φ 4,6 χιλ. 1 κλώνοι Φ 4,6 χιλ. 15 κλώνοι Φ 4,6 χιλ. 9 κλώνοι Φ 4,6 χιλ. 9 κλώνοι Φ,3 χιλ. 1 κλώνος Φ 4,75 χιλ. 36 κλώνοι Φ 3,58 χιλ. 3 κλώνοι Φ 3,58 χιλ. 4 κλώνοι Φ 3,58 χιλ. 18 κλώνοι Φ 3,58 χιλ. 1 κλώνοι Φ 3,58 χιλ. 6 κλώνοι Φ 3,58 χιλ. 1 κλώνος Φ 3,8 χιλ. Συνολικό εμβαδόν μεταλλικής διατομής 1,87cm Συνολικό εμβαδόν μεταλλικής διατομής 1,79cm Σχ.Ι.8 Σχηματισμός καλωδίων

130 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 118 I.3. Αγκύρωση και σύνδεση Τα βλήτρα αγκύρωσης για τα φέροντα καλώδια είναι Φ7 ενώ για τα σταθεροποιητικά είναι Φ56. Η αγκύρωση επιτρέπει την ελεύθερη στροφή με άξονα στροφής τον άξονα των καλωδίων, έτσι ώστε να γίνεται καλύτερη έδραση της επικάλυψης και ν αποφεύγονται καμπτικές και στρεπτικές τάσεις στα βλήτρα, που θα μπορούσαν να εμφανιστούν κατά την ανάρτηση και την προένταση των καλωδίων. Στα Σχ.Ι.9 και Ι.1 δίνονται οι λεπτομέρειες της αγκύρωσης των φερόντων καλωδίων. Οι σύνδεσμοι στους κόμβους των καλωδίων είναι από συμπαγές κράμα αλουμινίου με κοιλότητες απόλυτα ίδιες με αυτές των καλωδίων που διασταυρώνονται, έτσι ώστε η επιφάνεια έδρασης του καλωδίου να είναι η μέγιστη δυνατή και ν αναπτυχθεί μεγαλύτερη δύναμη τριβής. Η σύσφιξη επιτυγχάνεται με δύο ζεύγη φουρκετών U, κοχλίες και ροδέλες. Στο σχήμα 11 φαίνεται μία τέτοια σύνδεση. Στις φωτογραφίες που ακολουθούν φαίνονται οι λεπτομέρειες των αγκυρώσεων και των συνδέσεων στους κόμβους. Σχ.Ι.9 Λεπτομέρεια σφαιρικής άρθρωσης

131 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 119 Σχ.Ι.1 Σχέδιο σφαιρικής άρθρωσης των φερόντων καλωδίων

132 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 1 Εικ.Ι.3 Αγκύρωση καλωδίων στο περιμετρικό δοκάρι Εικ.Ι.4 Σφαιρική άρθρωση

133 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 11 Σχ.Ι.11 Σχέδια συνδέσμων κόμβων

134 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 1 Εικ.Ι.5 Σύνδεση καλωδίων μεταξύ τους Εικ.Ι.6 Λεπτομέρεια συνδέσμου κόμβων

135 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 13 I.4. Διαδικασία τοποθέτησης Αρχικά τοποθετήθηκαν οι αρθρώσεις στο περιμετρικό δακτύλιο. Έπειτα έγινε η προετοιμασία των καλωδίων επί εδάφους όπου και τοποθετήθηκαν οι ανάλογες κεφαλές στα άκρα τους. Αναρτήθηκαν πρώτα τα φέροντα και μετά τα σταθεροποιητικά καλώδια. Κατόπιν τοποθετήθηκαν οι σύνδεσμοι των κόμβων που είχαν προσημανθεί, και τέλος έγινε η προένταση των καλωδίων. Κάθε καλώδιο υποβλήθηκε σε τρεις κύκλους εφελκυσμού διάρκειας 15 λεπτών ο καθένας έως το 5% του ονομαστικού φορτίου θραύσης. Μετά τον τρίτο κύκλο, υποβλήθηκε σε εφελκυσμό ίσο με την αντίστοιχη προένταση. Τέλος έγινε γεωμετρικός έλεγχος της φέρουσας κατασκευής, μετρήθηκαν δηλαδή τα συνολικά μήκη των καλωδίων και σημειώθηκαν τα σημεία των κόμβων. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι οι επιτρεπόμενες ανοχές στα μήκη κοπής και σήμανσης ήταν της τάξης του ±,5. I.5. Επικάλυψη Επάνω στα καλώδια τοποθετήθηκε μία τραπεζοειδής λαμαρίνα, η οποία στερεώθηκε σε αμφιέρειστα μόνο τμήματα, από καλώδιο σε καλώδιο, για να μπορέσει να πάρει τις μεταβαλλόμενες κλίσεις της στέγης. Η κατά μήκος αλληλεπικάλυψη των λαμαρινών είναι τουλάχιστον 1cm, ενώ κατά πλάτος έγινε συρραφή. Η σύνδεση έγινε με χαλύβδινες φουρκέτες Φ8 ανά,5m. Έπειτα τοποθετήθηκαν μία στρώση μεμβράνης για υγρομόνωση και σκληρές πλάκες Fesco-board για θερμομόνωση, και τέλος στεγανωτικές μεμβράνες. I.6. Φορτία α) Καλώδια Ίδιο βάρος καλωδίων,9 kn/m Φορτίο επικάλυψης και άλλα μόνιμα φορτία,36 kn/m Χιόνι,65 kn/m Άνεμος (c= -,8) 1,1 kn/m Διαφορά θερμοκρασίας ±1 ο C Προένταση καλωδίων οριζόντια συνιστώσα για τα φέροντα 581,9 kn οριζόντια συνιστώσα για τα σταθεροποιητικά 615, kn β) Δακτύλιος Ίδιο βάρος δακτυλίου Μόνιμα φορτία Τυχηματικά φορτία Διαφορά θερμοκρασίας (άνω κάτω, μέσα έξω) Προένταση 16, kn/m 14, kn/m 45,8 kn/m -15 ο C

136 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 14 I.7. Μελέτη Η επίλυση έγινε θεωρώντας τη στέγη και το δακτύλιο σαν ενιαίο σύστημα που εδράζεται σε 3 ελαστικά κατακόρυρα στηρίγματα. Για το δακτύλιο έγινε ανάλυση χωρικού πλαισίου. Αρχικά θεωρήθηκε σαν ελαστική δοκός στο χώρο για να ληφθή υπ όψη η αλληλεπίδραση καλωδίων δακτυλίου, ενώ στη συνέχεια αναλύθηκε με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων κελύφους για τον υπολογισμό της αναπτυσσόμενης εντατικής κατάστασης και των απαιτούμενων οπλισμών. Για τη μελέτη της καλωδίωσης αναπτύχθηκε μία γενική μέθοδος υπολογισμού στεγών από δίκτυο καλωδίων, λαμβάνοντας υπ όψη τη μη γραμμικότητα του υλικού καθώς επίσης και τη γεωμετρική μη γραμμικότητα. Έγινε σε δύο βήματα: στο πρώτο βήμα, με το πρόγραμμα RETE έγινε η ανάλυση της «φάσης» με τις αρχικές συντεταγμένες των κόμβων αγκύρωσης. Από αυτή την επίλυση προέκυψαν μικρές μετατοπίσεις στο περιμετρικό δακτύλιο και επομένως μικρές μεταβολές στη γεωμετρική θέση των σημείων αγκύρωσης. Στο δεύτερο βήμα της μελέτης έγινε η μη γραμμική ανάλυση της καλωδίωσης υπό τις διάφορες φορτίσεις χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα TENSO. Σ αυτό το βήμα ελήφθησαν υπ όψη οι μεταβολές της φάσης, έτσι ώστε να προκύψουν οι ακριβείς θέσεις της αγκύρωσης των καλωδίων. Τέλος έγινε και ανάλυση με πεπερασμένα στοιχεία. Στις επιλύσεις εξετάστηκε το ένα τέταρτο του φορέα, λόγω συμμετρίας ως προς τους δύο κύριους άξονες.

137 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 15 I.8. Το Στάδιο υπό κατασκευή (έτος 1983)

138 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 16 Εικ.Ι.7 Ανύψωση των καλωδίων με γερανό Εικ.Ι.8 Τοποθέτηση καλωδίων

139 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 17 Εικ.Ι.9 Αγκύρωση των καλωδίων στον περιμετρικό δακτύλιο

140 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 18 Εικ.Ι.1 Τοποθέτηση συνδέσμων κόμβων Εικ.Ι.11 Προεργασία για την προένταση

141 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 19 Εικ.Ι.1 Προένταση Εικ.Ι.13 Μερική άποψη της στέγης κατόπιν της προέντασης όλων των καλώδιων

142 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 13 Εικ.Ι.14 Άποψη του σταδίου μετά το πέρας των εργασιών για την τοποθέτηση των καλωδίων Εικ.Ι.15 Τοποθέτηση επικάλυψης

143 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 131 Εικ.Ι.16 Άποψη του σταδίου κατά τη διάρκεια των εργασιών για την τοποθέτηση της επικάλυψης

144 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 13 I.9. Το Στάδιο σήμερα

145 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 133 Εικ.Ι.17 Εσωτερική άποψη του σταδίου Εικ.Ι.18 Πλαίσια και περιμετρικός δακτύλιος

146 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 134 Εικ.Ι.19 Πλάγια όψη του σταδίου Εικ. Ι. Προοπτική όψη του σταδίου

147 Παράρτημα Ι Το στάδιο Ειρήνης και Φιλίας 135 Εικ.Ι.1 Άποψη από αέρος του Σταδίου Ειρήνης και Φιλίας και του περιβάλλοντα χώρου