ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΤΑ ANΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ. Προσθετικός Λευκός Gaussian Θόρυβος (Additive White Gaussian Noise-AWGN

Transcript

1 ΡΗ /1/009 3:4 μμ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΤΑ ANΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ Προσθετικός Λευκός Gaussian Θόρυβος (Additive White Gaussian Noise-AWGN AWGN) ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΕ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ (ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΗΛΕΦΩΝΙΑ) P T P ΚΑΝΑΛΙ ΒΑΣΙΚΗΣ R +P NR P R +P no + ΔΕΚT ΖΩΝΗΣ H(f) N 0 / Ισχύς του θορύβου στην έξοδο του δέκτη (τηλεφώνου) Λόγος Σήματος προς Θόρυβο στον προορισμό sagri@di.uoa.gr 1

2 ΡΗ /1/009 3:4 μμ ΛΕΥΚΟΣ GAUSSIAN ΘΟΡΥΒΟΣ ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΟΥ ΚΑΝΑΛΙΟΥ (f( c,β c ) Αποτελείται από δύο ορθογώνιες μεταξύ τους συνιστώσες: n(t)=n c (t)cos(πf c t) - n s (t)sin(πf c t) όπου τα n c (t) και n s (t) είναι τυχαία σήματα, με Gaussian κατανομή, μεταξύ τους ασυσχέτιστα, με φάσμα σταθερής πυκνότητας Ν 0 για συχνότητες -B c /<=f<= B c / S n (f) N 0 / B c P n =P nc =P ns N 0 S nc (f), S ns (f) f c -B c / B c / u(t)=a c m(t)cos(πf c t+φ c ) () = () + () = () cos( π + φ ) + () cos( π + φ ) () sin( π + φ ) r t u t n t A m t f t n t f t n t f t c c c c c n s c n Στην συνέχεια, για συντόμευση των πράξεων, δεχόμαστε ότι ισχύει φ n =φ c. () = () + ( ) cos( π + φ ) ( ) sin( π + φ ) r t A m t n t f t n t f t c c c c s c c sagri@di.uoa.gr

3 ΡΗ /1/009 3:4 μμ () = () + ( ) cos( π + φ ) ( ) sin( π + φ ) r t A m t n t f t n t f t c c c c s c c r(t) P R +N R X LPF P 0 +P n0 cos(πf c t+φ L ) ( ) cos( π c φ) c ( ) c( ) cos( π c φc) cos( π c φl) n() tsin( π ft+ φ ) cos( π ft+ φ ) = r t f t+ = Am t + n t f t+ f t+ + s c c c L 1 1 = () () cos( ) () () cos( 4 ) Am c t + nc t φc φl + c c c c L Am t + n t π f t+ φ + φ 1 1 ns() t sin( φc φl) ns() t sin( 4π fct+ φc + φl) Από το LPF διέρχονται μόνο οι συνιστώσες χαμηλής συχνότητας και στην έξοδο λαμβάνεται το σήμα : 1 y() t = Acm() t + nc () t cos( φ c φl) ns() t sin ( φc φl) 1 y t A m t n t n t () = () + () cos( φ φ ) () sin( φ φ ) c c c L s c L Αν φ c =φ L (Χρήση PLL) Ισχύς του θορύβου στην είσοδο του δέκτη SNR στον Προορισμό sagri@di.uoa.gr 3

4 ΡΗ /1/009 3:4 μμ 1 1 y t A m t n t n t () = () + () cos( φ φ ) () sin( φ φ ) c c c L s c L Αξίζει να διερευνηθεί τι συμβαίνει όταν φ c ±φ L. Τότε το σήμα y(t) γράφεται: 1 1 y t A m t n t n t () = () cos( φ φ ) + () cos( φ φ ) () sin( φ φ ) c c L c c L s c L Οπότε η ισχύς, P 0, του σήματος στην έξοδο του δέκτη 1 P = A P cos φ φ 0 ( ) 4 z m c L και η ισχύς, P n0, του θορύβου στην έξοδο του δέκτη 1 P = P cos + P 4 ( φ φ ) sin ( φ φ ) n0 nc c L ns c L και επειδή P nc =P ns =P n =WN 0 Pn 1 = NW 0 0 Όταν λοιπόν φ c ±φ L. 1 P = A P cos ( φ φ ) 0 4 z m c L Pn 1 = NW 0 0 Παρατηρούμε ότι η ισχύς του θορύβου στην έξοδο του δέκτη παραμένει αμετάβλητος ενώ η ισχύς του σήματος ελαττώνεται με την αύξηση της διαφοράς (φ c φ L ) Τελικά αποδεικνύεται ότι ποιότητα λήψης καταλήγει σε S S = cos ( φ c φ L ) N N o DSB και γίνεται απόλυτα φανερή η ανάγκη καλής λειτουργία του PLL b sagri@di.uoa.gr 4

5 ΡΗ /1/009 3:4 μμ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑ SSB Ηανάλυση είναι ανάλογη της περίπτωσης του DSB. Αλγεβρική Εξίσωση Σήματος SSB (USSB/LSSB) () = () cos( π + φ ) ± ˆ ( ) sin( π + φ ) u t A m t f t A m t f t c c c c c c Σήμα και Θόρυβος στην Είσοδο του Δέκτη () = () + () cos( π + φ ) + ˆ ( ) ( ) sin( π + φ ) r t A m t n t f t A m t n t f t c c c c c s c c Σύμφωνη Αποδιαμόρφωση r(t) P R +N R X LPF P 0 +P n0 cos(πf c t+φ L ) Στην Έξοδο του Δέκτη (μετά το LPF) 1 1 y t A m t n t n t () = () + () cos( φ φ ) () sin( φ φ ) c c c L s c L Αν φ c =φ L (Χρήση PLL) Ισχύς Σήματος στην Έξοδο του Δέκτη Ισχύς Θορύβου στην Έξοδο του Δέκτη Pn0 = Pnc = Pn = N 0Bc = N 0W sagri@di.uoa.gr 5

6 ΡΗ /1/009 3:4 μμ Ισχύς Σήματος SSB στην Είσοδο του Δέκτη Ποιότητα Σήματος στην έξοδο του Δέκτη S P r S = = N ossb N 0W N b Αλγεβρική Εξίσωση Σήματος ΑΜ Σήμα ΑΜ Υποβαθμισμένο από το Θόρυβο Καναλιού Μετά από Σύμφωνη Αποδιαμόρφωση sagri@di.uoa.gr 6

7 ΡΗ /1/009 3:4 μμ Μετά από Σύμφωνη Αποδιαμόρφωση Ισχύς Σήματος AM στην Είσοδο του Δέκτη SNR στον Προορισμό nc ΦΩΡΑΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑΣ Σήμα ΑΜ Υποβαθμισμένο από το Θόρυβο Καναλιού Εξίσωση Περιβάλλουσας Αν Ισχύει Ισχύει Επίσης 7

8 ΡΗ /1/009 3:4 μμ Οπότε Όμως με την επιφύλαξη ότι το SNR στην είσοδο του αποδιαμορφωτή είναι αρκούντως μεγάλο. (βλέπε κατώφλι) ΒΑΣΙΚH ΔΙΑΤΑΞΗ ΕΝΟΣ ΔΕΚΤΗ PM u(t)=a c cos(πf c t+φ(t)) Αποδ/τής φάσης y(t)=φ(t) Αποδ/τής φάσης ΒΑΣΙΚH ΔΙΑΤΑΞΗ ΕΝΟΣ ΔΕΚΤΗ FM Κύκλωμα Αποδιαμόρφωσης Συχνότητας () ( ) cos t 1 d u t = AC π fct+ πkf m( τ) dτ y() t = () t k () f m t Αποδ/τής π dt φ = συχνότητας Αποδ/τής συχνότητας sagri@di.uoa.gr 8

9 ΡΗ /1/009 3:4 μμ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΦΑΣΕΩΝ FM A c n K (t)=v n (t)sin(φ n (t)-φ(t)) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ S Y (f) ΤΟΥ Y n (t) ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ S Y (f) N 0 /A c sagri@di.uoa.gr 9

10 ΡΗ /1/009 3:4 μμ Κύκλωμα Αποδιαμόρφωσης Γωνίας x(t)=a c cos(πf c t+φ(t)) Αποδ/τής γωνίας y(t)=φ(t) ΒΑΣΙΚH ΔΙΑΤΑΞΗ ΕΝΟΣ ΔΕΚΤΗ PM Αποδ/τής γωνίας ΒΑΣΙΚH ΔΙΑΤΑΞΗ ΕΝΟΣ ΔΕΚΤΗ FM Αποδ/τής γωνίας Διαφοριστής (S/N) o y(t) Το σήμα στην είσοδο του δέκτη PM: u(t)=a c cos(πf C t+k p m(t)) +n(t) n(t) θόρυβος λευκός Gaussian με φασματική πυκνότητα N 0 / Αν (S/N) R >10 1. Ο θόρυβος που περνά στην έξοδο του φωρατή είναι προσθετικός, Gaussian, λευκός με φασματική πυκνότητα S no (f)=n 0 /A c. Μετά το χαμηλοπερατό φίλτρο, στην έξοδο του φωρατή, η ισχύς του θορύβου είναι P no =S no (f) W=(N 0 W)/A c 3. H ισχύς του σήματος είναι k pp m 4. Η ποιότητα λήψης είναι (S/N) o =(k pa c P m )/(N 0 W) sagri@di.uoa.gr 10

11 ΡΗ /1/009 3:4 μμ ΓΙΑ ΕΝΑ ΔΕΚΤΗ PM ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΙΣΧΥΕΙ: Αν (S/N) R >10 1. Ο θόρυβος που περνά στην έξοδο του φωρατή είναι Gaussian, λευκός με φασματική πυκνότητα S no (f)=n 0 /A c. Μετά το χαμηλοπερατό φίλτρο, στην έξοδο του φωρατή, η ισχύς του θορύβου είναι P no =S no (f) W=(N 0 W)/A c 3. H ισχύς του σήματος είναι k p P m 4. Η ποιότητα λήψης είναι (S/N) o =(k p A c P m )/(N 0 W) 5. Επειδή ισχύει β p =k p max m(t) έπεται ότι S P β S S N N N m p = = β ppmn o b b ( max mt ( ) ) όπου P Mn η ισχύς κανονικοποιημένου μηνύματος. ΓΙΑ ΕΝΑ ΔΕΚΤΗ PM ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΙΣΧΥΕΙ: Αν (S/N) R >10 S P β S S N N N m p = = β ppmn o b b ( max mt ( ) ) Επειδή -π<k p m(t)<π β p <π!!! Αυτό αποτελεί βασικό μειονέκτημα για το PM. sagri@di.uoa.gr 11

12 ΡΗ /1/009 3:4 μμ ΓΙΑ ΕΝΑ ΔΕΚΤΗ FM η έξοδος του φωρατή πρέπει να οδηγηθεί σε κύκλωμα διαφοριστή με H(f) = f Αν (S/N) R >10 1. Ο θόρυβος που περνά στην έξοδο του αποδιαμορφωτή είναι Gaussian, λευκός με φασματική πυκνότητα S no (f)=n 0 /A c S Y (f) LPF (W) FM S no (f)=(n 0 /A c )f. Στην έξοδο του δέκτη ο θόρυβος είναι Gaussian και η φασματική του πυκνότητα εξαρτάται από τη συχνότητα. sagri@di.uoa.gr 1

13 ΡΗ /1/009 3:4 μμ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠΙΔΟΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣΗ ΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΤΟΥ ΕΥΡΟΥΣ-ΖΩΝΗΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΤΩΦΛΙΟΥ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΓΩΝΙΑ Πρέπει να σημειωθεί ότι οι πιο πάνω σχέσεις έχουν υπολογιστεί με την παραδοχή ότι ισχύει (S/N) R >10. Αν η παραδοχή αυτή δεν αληθεύει το σήμα της βασικής ζώνης καταστρέφεται πλήρως μετά την αποδιαμόρφωση. Για το λόγο αυτό στα διάφορα προβλήματα η λύση πρέπει να βρίσκεται κάτω από τον περιορισμό της σχέσης αυτής. Οπεριορισμός (S/N) R >10 είναι ισοδύναμη με:. (S/N) R >10 (S/N) b >0 (β f +1) (S/N) o >60P mn β f (β f +1) sagri@di.uoa.gr 13

14 ΡΗ /1/009 3:4 μμ Απόδειξη των Ισοδύναμων Σχέσεων Περιορισμού: (S/N) R >10 P r /(N 0 B C )>10 [Pr/(N 0 W)](W/B C )>10 (S/N) b >10(B C /W) (S/N) b >10((β f +1)W/W) (S/N) b >0 (β f +1) (S/N) o =3β f P mn (S/N) b (S/N) o >60P mn β f (β f +1) (S/N) o >60P mn β f 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΤΗΜΑΤΩΝ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανακεφαλαιώνοντας για τα συστήματα αυτά ισχύει: ( S N) = ( S N) DSB/SSB / / 0 b α P AM Συμβ. / = / α PMn FM / 3 / mn ( S N) ( S N) ( S N) = β P ( S N) 0 f mn b και εύκολα προκύπτει ( S N) = ( S N) DSB/SSB / / 0 db b db α PMn AM Συμβ. ( S/ N) = ( S/ N) + 10log 0 db b db α PMn FM / / 10log 3 ( S N) = ( S N) + 10 ( β fpmn) 0 db b db b sagri@di.uoa.gr 14

15 ΡΗ /1/009 3:4 μμ και λαμβάνοντας υπόψιν τις προηγούμενες σχέσεις και τα κατώφλια λειτουργίας: 90 (S/N) o,db =f((s/n) b,db ) DSB-SSB FM β f =9 FM β f =7 FM β f =5 AM a=0.8 (S/N) o,db (S/N) b,db ΛΥΣΗ Υπολογισμός Κατωφλίου β fth β fth =6.6 Υπολογισμός τιμής β f αν καλυφθεί όλο το εύρος-ζώνης που διατίθεται β fth =5 <6.6 (δεκτό) απαιτείται (S/N) b =67, P R =6 mwatt, P T =67 Watt sagri@di.uoa.gr 15

16 ΡΗ /1/009 3:4 μμ S n (f) BPF f 1 P n1 ΔΕΚΤΗΣ SSB (S/N) ossb1 (S/N) RFM ΔΕΚΤΗΣ FM S n (f) BPF f P n ΔΕΚΤΗΣ SSB (S/N) ossb P ni (S/N) ossbi BPF f K P nk ΔΕΚΤΗΣ SSB (S/N) ossbk sagri@di.uoa.gr 16

17 ΡΗ /1/009 3:4 μμ 1 και S(f) 3 W ΟΛΙΚΟ =KW Έστω P ni η ισχύς θορύβου στην είσοδο του i-στου δέκτη SSB. Επειδή η ζώνη θορύβου που πέρασε μέσα από το i-στο φίλτρο εκτείνεται στην περιοχή συχνοτήτων (f i, f i +W), ισχύει: fi ( 3i 3i 1) fi+ W 3 3 N0 N0f N0W Pni = f df = = + A 3A 3A c c iw (i 1)W Αν το i-στο σήμα SSB γραφεί ως A m ()cos t ( π ft) + A m ) ()sin t ( π f t) i i i i μετά την ομόδυνη φώραση θα περάσει στην έξοδο του δέκτη SSB σήμα και θόρυβος που δίνονται από την εξίσωση c Αν το i-στο σήμα SSB γραφεί ως ) A m()cos t ft + A m()sin t ft + n ()cos t ft + n t sin ft ( π ) ( π ) ( π ) ( ) ( π ) i i i i ci i si i μετά την ομόδυνη φώραση θα περάσει στην έξοδο του δέκτη SSB σήμα και θόρυβος που δίνονται από την εξίσωση: 1 [ Amt i() + nci() t] Δηλαδή ο θόρυβος στην έξοδο του δέκτη SSB είναι P noi =P nci /4=P ni /4, άρα. 5 4 P P noi noj N0W P = 6Ac 3i 3i + 1 = 3j 3j+ 1 ( 3i 3i 1) 3 noi + Έστω ότι επιλέγουμε τo πλάτος του i-στου σήματος SSB να είναι A i. Τότε η ισχύς του σήματος στην έξοδο του i-στου δέκτη SSB θα είναι P i = A i P m /4, αφού δεχθήκαμε ότι όλα τα διαβιβαζόμενα τηλεφωνικά σήματα έχουν ισχύ, ίση με P m. Άρα (S/N) i /(S/N) j =(A i /A j ) (3j -3j+1)/(3i -3i+1) ή (S/N) i /(S/N) 1 =(A i /A 1 ) /(3i -3i+1) Και επομένως αν (S/N) i =σταθ. (A i /A 1 ) = (3i -3i+1) sagri@di.uoa.gr 17

18 ΡΗ /1/009 3:4 μμ Και επομένως αν (S/N) i =σταθ. (A i /A 1 ) = (3i -3i+1) (A i ) = (3i -3i+1)(Α 1 ). Επειδή πρέπει: K i= A = KA i προκύπτει: K K i i+ K A1 = KA i= 1 i= 1 οπότε προσδιορίζεται το Α i : Προσδιορίστε το SNR της εξόδου όταν το σύστημα χρησιμοποιεί διαμόρφωση FM με β f =4. ΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΣΧΥΟΣ P R ΣΤΗΝ ΕΙΣΟΔΟ ΤΟΥ ΔΕΚΤΗ sagri@di.uoa.gr 18

19 ΡΗ /1/009 3:4 μμ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΣΧΥΟΣ P n ΣΤΗΝ ΕΙΣΟΔΟ ΤΟΥ ΔΕΚΤΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ SNR ΣΤΗΝ ΕΙΣΟΔΟ ΤΟΥ ΔΕΚΤΗ SNR 4 PR 4 10 FM = = = ( β 1) WN 4 10 f + 0 ( 5+ 1) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ SNR ΣΤΗΝ ΕΞΟΔΟ R 0 4 P 4 10 SNR b = = = 10 WN SNR FM = 3β f P m n SNR SNR b = 10 = b = = 300 sagri@di.uoa.gr 19

20 ΡΗ /1/009 3:4 μμ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Από ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 5.1, 5.3 (μόνο ό,τι αφορά τα σχήματα 5.11, 5.1, 5.13 καθώς και τους τύπους χωρίς απόδειξη και την Ενότητα ολόκληρη.. ) sagri@di.uoa.gr 0