SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET ANDREJA TOMAŠIĆ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET ANDREJA TOMAŠIĆ"

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET ANDREJA TOMAŠIĆ PRILOG RAZVOJU GEOTEHNIČKOG INŽENJERSTVA S NAGLASKOM NA UREĐENJE OKOLIŠA ZAVRŠNI RAD VARAŽDIN, 2011

2 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GEOTEHNIČKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD PRILOG RAZVOJU GEOTEHNIČKOG INŽENJERSTVA S NAGLASKOM NA UREĐENJE OKOLIŠA STUDENT; Andreja Tomašić MENTOR; prof.dr.sc Božo Soldo VARAŽDIN, 2011

3 SADRŽAJ 1. UVOD OPĆENITO O GEOTEHNIČKOM INŽENJERSTVU I UREĐENJU OKOLIŠA GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO GRAĐA TLA OPĆENITO O UREĐENJU OKOLIŠA PRIMJER UREĐENJA KOD SANACIJE KANALA UVOD U PROBLEM ANALIZA UZROKA EROZIJE POKOSA SANACIJSKA RJEŠENJA PRIMJER UREĐENJA KOD SANACIJE KLIZIŠTA UVOD U NASTAJANJE KLIZIŠTA METODE ZA STABILIZACIJU KOSINA PRIMJER SANACIJE CESTOVNOG KLIZIŠTA PRIMJER UREĐENJA KOD IZRADE POTPORNIH ZIDOVA OPĆENITO O POTPORNIM ZIDOVIMA KLASIFIKACIJA POTPORNIH ZIDOVA PREMA VRSTI MATERIJALA ČESTI POTPORNI ZIDOVI ZAKLJUČAK LITERATURA...34

4 1. UVOD U današnje vrijeme potreba očuvanja okoliša postaje neoporeciva. Očuvanje okoliša nije potrebno samo na mjestima gdje dolazi do zagađenja ili onečišćenja, već i na mjestima gdje se zbog prirodnih pojava ili ljudskih aktivnosti naruši izgled i/ili stabilnost terena. Zadaća geotehničkih zahvata je osigurati dugoročno funkcioniranje objekata, a time i stabilnost terena na kojem ih gradimo. Za svaki takav zahvat vrijedi naći ono rješenje koje pruža optimalnu sigurnost, a istodobno leži u granicama troškova koji su ekonomski opravdani. Logično je da i estetska vrijednost, kao i brzina izvedbe igraju veliku ulogu pri tom odabiru. Naglasak teme ovoga rada leži na očuvanju okoliša, zbog toga su obrađene teme koje svojom učinkovitosti i dobrim uklapanjem u okoliš pridonose toj svrsi. Na slici 1. vidimo potporni zid koji je dobar primjer za oboje. SLIKA 1. Potporni zid

5 2. OPĆENITO O GEOTEHNIČKOM INŽENJERSTVU I UREĐENJU OKOLIŠA 2.1.GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO Geotehnika je grana graditeljstva koja se bavi proučavanjem svojstva, stanja i ponašanja geološke sredine. Nadalje geotehnika proučava zakonitosti promjena u geološkoj sredini pod utjecajem određene inženjerske djelatnosti ili prirodnog procesa. Dakle možemo reći da je osnovni predmet proučavanja tlo, u kojem gradimo. Zahvati i objekti kojima se bavi geotehnika su mnogobrojni; temeljenje, klizišta, nasipi, usjeci, zasjeci, građevinske jame, odlagališta otpada, itd. Naravno da se kod provedbe navedenih radova javljaju određeni problemi kao što su stabilnost tla, temeljenje na slabo nosivom tlu ili visoki nivo podzemnih voda. Kod rješavanje takvih problema potrebno je opširno znanje iz fizike, mehanike krutih tijela, mehanike fluida, kemije, geologije, informatike, itd. Teško je pronaći jednu osobu koja bi zadovoljila sva ta znanja, stoga se rješenja traže u okvirima timskog rada GRAĐA TLA Tlo je nakupina zrnaca različite veličine i oblika, slika 2. Posebno svojstvo tla je da je tlo trofazni medij koji se sastoji od tekuće, čvrste i plinovite faze. Plinovita faza je zrak a tekuća faza je voda u porama tla. Čvrstu faza u tlu čini skelet tla, ako su zrnca poredana gušće kažemo da je tlo bolje zbijeno. Zastupljenost svake faze u uzorku se može iskazati pomoću mase i volumena uzorka, koje određujemo mjerenjima. Iz omjera volumena ili mase uzorka mogu se odrediti neke od veličine koje su presudne za donošenje odluka o tehničkom korištenju tla.

6 SLIKA 2. Tlo Porozitet n je omjer volumena pora u uzorku V p i volumena cijelog uzorka V. V p n = (0 n 1) V Koeficijent pora e definiran je kao omjer volumena pora V p i volumena čvrste faze V s u uzorku. V p e = (0 e ) V s Stupanj saturacije S r uzorka je omjer volumena pora ispunjenih vodom V w i volumena pora V p u uzorku. V w S r = ( 0 S r 1 ) V p

7 Vlažnost w predstavlja omjer mase vode M w u uzorku i mase suhog uzorka M d. M w w = ( 0 w ) M d Ove četiri veličine su kvocijenti dimenzijski istovrsnih veličina, pa se izražavaju samo brojem. Često su izražene u postocima, za što se moraju pomnožiti brojem 100. Do sad smo tlo promatrali kao medij koji se sastoji od zraka, vode i čvrstih čestica, što je više ili manje realno za uzorak tla. Tlo u prirodi sadrži mnogo živih i neživih organizama i nije homogeno, slika 3. SLIKA 3. Tlo u prirodi

8 2.3. OPĆENITO O UREĐENJU OKOLIŠA Okolišem se smatra čitava čovjekova okolina, živa i neživa priroda te čovjekove tvorevine. Svaki ljudski zahvat u prirodi ima neke posljedice. Kada gradimo građevinu, prometnicu ili provodimo neki drugi zahvat, naše djelovanje uvijek utječe na izgled okoliša. Za vrijeme tih radova se izgled okoliša naruši, to je neizbježna činjenica. No nakon završetka radova se neki objekti bolje uklapaju u izgled okoline od drugih. Ovdje je, između ostalog, važno da se upotrebljava materijal koji se već nalazi u prirodi. Dalje je važno da se sam izgled ljudske tvorevine optimizira, kako bi uljepšao a ne narušio izgled okoline. S jedne strane ljudski zahvati mogu narušiti prirodnu ljepotu okoline, a s druge i okolina može negativno djelovati na naše objekte. Zato moramo spriječiti negativno djelovanje s obje strane. SLIKA 4. Narušavanje izgleda okoline Gornja slika pokazuje kako je nužno promišljati i tražiti rješenja određenih zahvata za poboljšanje zaštite, sanacije i uređenja okoliša. Često se za stabilizaciju kosina koristi biljno raslinje, jer korijenje učvršćuje tlo. Međutim biljno raslinje može imati i negativne posljedice na objekte koji se nalaze u blizini. U slučaju prikazanom na slici 5. korijenje ispod objekta dovodi do pucanja zidova.

9 Korijenje upija vlagu iz tla, što dovodi do neravnomjernog slijeganja ispod cijele građevine, a to opet do pucanja zidova. SLIKA 5. Utjecaj korijenja drveća na građevinu SLIKA 6. Utjecaj okoliša na ljudske tvorevine

10 Sanacija oštećenog tla Postoji mnogo metoda za ojačanje tla, jedna od novijih metoda je duboko injektiranje ekspanzijskom smolom. Ekspanzijska smola učvršćuje tlo na traženom području, a ponaša se na različite načine u skladu s karakteristikama tla. U rastresitom tlu mješavina popunjava praznine i djeluje kao hidrauličko vezno sredstvo, stvara monolitni konglomerat sa značajnim mehaničkim svojstvima. U koherentnom tlu, mješavina stvara gustu mrežu kanala, sličnu korijenju biljaka. Tako nastaje komprimirana masa koja je učvrsnuta tim kanalima. Djelovanje smole je ograničeno na radijus od maksimalno 2 m, zbog velike brzine kemijske reakcije prijelaza iz tekućeg u čvrsto stanje. Brza reakcija ima i pozitivne strane jer nema rasipavanja materijala, i izbjegni se štete nastale nekontroliranom infiltracijom materijala u teren. Stupanj ekspanzije smole je od 2 pa čak do 20 puta, a ovisi o otporu na koji nailazi. Ovako tretirana područja se odlikuju dugoročnom stabilnošću. Propusnost ekspandiranih smola se može usporediti s glinenim tlom, što onemogućuje ispiranje materijala. SLIKA 7. Poboljšanje svojstva tla ekspandirajućom smolom

11 Zaštita i uređenje biljnim raslinjem Već su rano ljudi primijetili da korijenje veže tlo, te da takve padine imaju strmiji pad i veću visinu bez većeg urušavanja. Korijenje u tlu djeluje kao prirodna armatura slika 8. Ova metoda se često koristi za sanaciju i stabilizaciju klizišta. Najprikladnije su grmolike vrste koje stimuliraju rasađivanje. Nadalje se mora voditi računa o prikladnosti pojedinih vrsta. Neke vrste već spadaju u novo udomaćene, a rastu brže i bujnije od većine drugih vrsta. SLIKA 8. Stabilizacija kosine biljnim pokrovom SLIKA 9. Biljno raslinje i primjer uređenja kosine biljnim raslinjem

12 3. PRIMJER UREĐENJA KOD SANACIJE KANALA 3.1.UVOD U PROBLEM Središnji primjer na kojem će se analizirati uloga geotehnike u funkciji zaštite okoliša s naglaskom na stabilizaciju i uređenje pokosa je odvodni kanal na HE Varaždin. Kanal je trapeznog oblika, projektiranog nagiba 1:2,5 izveden je dubokim iskopom u pretežno šljunčanim naslagama dravske naplavine. Od samoga početka rada se na pokosu kanala u razini vodnoga lica javljaju erozijska mjesta; vododerine, odroni i osipavanje. Do kojih dolazi u uvjetima promjenjivog režima rada elektrane. Pogled na odvodni kanal prikazan je na slici 10. SLIKA 10. Pogled na kanal

13 3.2. ANALIZA UZROKA EROZIJE POKOSA Do najvećih deformacija u pokosu dolazi u području denivelacije. Pri naglom padu vodene razine se zrnati materijal znatno destabilizira, zbog čega dolazi do osipavanja oblutica i šljunka. Sile koje imaju nepovoljni utjecaj na erozijsku otpornost pokosa su : Hidrodinamičke sile Hidrostatičke sile Gravitacijske sile. Hidrodinamičke sile su sile vrtloženja, sile pri stacionarnom tečenju kroz kanal, sile pri povratnom procjeđivanju vode kroz tlo. Hidrostatičke su sile uzgona u pojasu varijacije vodene razine. Gravitacijske su sile uvećanja obujamske težine obalnoga materijala zbog naglog pada razine vode u koritu. Već sama prisutnost vode u porama tla, kao i njezino tečenje s mjesta višeg potencijala na mjesto nižeg potencijala ima sljedeće posljedice: Ispod razine vode sila uzgona djeluje na svaki uronjeni volumen Spomenuti tok vode s višeg prema nižem potencijalu izaziva hidrodinamičke sile. Opisane pojave imaju za posljedicu sile koje djeluju na svaku česticu tla. Najjednostavnija analiza stabilnosti pokosa je preko djelujućih sila u uvjetima promjenjivog potencijala. Kad voda u tlu teče zbog razlike potencijala, tada mora svladati trenje u česticama tla, pri tome se dio potencijalne energije pretvara u rad trenja. Na potopljeni volumen djeluje dodatna sila trenja i skreće rezultantu silu prema smjeru tečenja vode kroz tlo. S L h Smjer strujanja vode je paralelan s pokosom β Kut nagiba pokosa p δ γ SLIKA 11. Poligon sila za uronjeni obujam tla kroz kojega teče voda paralelno s pokosom

14 Iz slike 11. je vidljivo da vektorskim sumiranjem hidrodinamičke sile S i uronjene jedinične težine materijala γ nastaje nova rezultanta p na jedinicu volumena tla koja je skrenuta prema smjeru toka vode u tlu. Dakle, pišemo : p = S +γ S = i γ w γ = γ sat - γ w gdje je; i- strujni ili hidraulički gradijent, γ w -zapreminska težina vode ( 10 kn/m 2 ), γ sat -zapreminska težina suhog tla. Hidraulički gradijent ima opću formulu : i = h L gdje je; h- razlika ukupnog potencijala, L- put procijeđivanja Tako je iz slike 2. vidljivo da je u slučaju paralelnog strujanja vode s pokosom i = sin β. Također iz poligona sila možemo izračunati kut otklona rezultante p od vertikalne komponente γ : S cos β δ = arctg γ + S sin β Kod nekoherentnih materijala kut nagiba pokosa može, u graničnom slučaju, biti jednak kutu unutarnjeg trenja tla ( β=φ). Drugim riječima rečeno to znači da je najstrmiji kut pokosa β jednak kutu unutarnjeg trenja φ za rahlo stanje tla. Nagib pokosa odvodnog kanala HE Varaždin iznosi 1: 2,5 ako zanemarimo strujanje vode će kut unutarnjeg trenja za zaobljeni materijal s dobrom graduacijom iznositi φ=34. Faktor sigurnosti računamo kao omjer kuta unutarnjeg trenja tla i kuta nagiba pokosa

15 tgϕ tg34 Fs = = = tg 1,69 tgβ 21,8 U nekoherentnim tlima propusnost vode ne utječe na veličinu kuta unutarnjeg trenja, ali porni tlak može mijenjati otpornost na posmik. U promatranom kanalu je naizgled smanjenje posmične otpornosti u području denivelacije ( do 2,5 m ). U slučajevima jake kiše, kad je pokos potpuno zasićen do površine, strujni tlak izaziva smanjenje otpornosti na posmik u smjeru strujanja vode. Tako za slučaj najkritičnijeg tečenja kad se voda procjeđuje paralelno s pokosom pišemo; S sin δ = arctg γ S cos Sada je faktor sigurnosti manji od 1, te iznosi : ( 90 + β ) ( 90 + β ) = 16,8 o tgϕ Fs = tg( β + δ ) = 0,85 Ovaj proračun upućuje na mogućnost nestabilnosti pokosa pri strujanju vode paralelno s pokosom. Moguće je izračunati minimalni kut unutarnjeg trenja kojega bi materijal u pokosu morao imati. Tada bi faktor sigurnosti F s 1, pa je potrebni kut unutarnjeg trenja φ β + δ, te konačno iznosi φ 39. Kod ovoga kuta nebi došlo do urušavanja materijala, jer bi sila trenja između zrna tla bila veća od sila. Sanacijske metode bi trebale imati cilj, kut unutarnjeg trenja materijala na pokosu što bolje približiti optimalnoj vrijednosti, kako bi se povećala erozijska otpornost pokosa SANACIJSKA RJEŠENJA Odvodni kanal HE Varaždin je građen u aluvijalnim dravskim šljunkovito-pjeskovitim materijalima, koji po svojoj prirodi nose veliku opasnost od erozijskog djelovanja otvorenih kanalskih i povratnih procjednih voda. Zato je sad važan izbor odgovarajućih metoda i materijala da bi se povećala erozijska otpornost. Dalje se mora voditi računa o estetskom izgledu terena, što uključuje da se provedeni zahvati moraju uklopiti u postojeći izgled okoline. Izbijanjem zrna oblutica u zoni denivelacije dolazi do destabilizacije cijelog pokosa, što se može spriječiti materijalom iz kamenoloma jako velikog promjera kao i žičanim košarama reno madraca.

16 Istraživanja na materijalima Na otpornost na smicanje uvelike utječe oblik zrna. O obliku zrna ovisi pokretljivost čestica pri jednakoj zbijenosti. Dio otpornosti koji ovisi o ukliještenosti zrna raste ako su zrna uglasta a pada ako su zaobljena. Oblik zrna i graduacija imaju velik utjecaj na kut trenja što prikazuje sljedeća tablica. TABLICA 1 Utjecaj oblika zrna i graduacije na kut trenja φ Oblik zrna i garduacija Kut trenja ϕ [ ] rahlo zbijeno Zaobljen, jednolična (U) Uglast, jednolična (U) Zaobljen, dobra (W) Uglasto, dobra (W) Prema podacima o veličini čestica i njihovom udjelu u tlu (graduacija) izrađujemo granulometrijski dijagram. Granulometrijski dijagram prikazuje granulometrijski sastav tla tj. sadržaj zrna različite veličine u određenoj količini tla izražen u postocima mase, slika 12. SLIKA 12. Granulometrijski dijagram

17 Dalje definiramo promjer efektivnog D 10 i dominantnog D 60 zrna. Promjer efektivnog zrna je onaj promjer zrna kojega u ukupnoj količini težine zajedno sa sitnijim česticama ima 10%. Promjer dominantnog zrna je onaj promjer od kojega je u danom uzorku 60% zrna manje. Njihov omjer definira koeficijent jednoličnosti C u. C u = D D Koeficijent zakrivljenosti je C c, a definiran je C c = ( D D ) D 60 gdje je; D 30 onaj promjer od kojega je u danom uzorku 30% zrna manje. Ako je koeficijent jednoličnosti C u > 4 onda je materijal šljunak, a ako je C u > 6 je materijal pijesak. Kada je koeficijent zakrivljenosti granulometrijske krivulje 1<C c <3 je materijal dobro graduiran. Ako jedan od ova dva uvjeta nije ispunjen onda je šljunak odnosno pijesak slabo graduiran. Oblik granulometrijske krivulje uvelike utječe na kut otpornosti na smicanje. Kada koeficijent jednoličnosti raste će pri istom utrošku rada za zbijanje, koeficijent pora e biti manji, a sa time će rasti utjecaj ukliještenosti pa konačno i kut trenja φ. Odabir optimalnog kompozita koji bi nakon ugradnje na predviđeno mjesto morao iskazivati dobra mehanička svojstva vrši se prema sljedeća četiri kriterija: 1. Granulometrijska raznolikost 2. Veličina zrna 3. Ukliještenost i hrapavost zrna 4. Nesferičan oblik.

18 S druge strane je ekstremno nepovoljno ako upotrebljeni materijal ne odgovara navedenim kriterijima. Ako zrna imaju kuglastu formu ili su jednakih dimenzija s glatkim oplošjima onda je nasipni kut takvih materijala gotovo jednak nuli. Iz navedenog slijedi da zasipni materijal na HE Varaždin nije odgovarao navedenim kriterijima Zaštita lomljenim kamenom Zaštita lomljenim kamenom se u slučaju hidroelektrane Varaždin provodi samo u gornjem dijelu pokosa, započinje cca. 1m ispod razine min. vode, a završava na bermi. Potporni temelji se izvode kao trakasto ojačanje od lomljenoga kamena. Zaštita pokosa je predviđena u denivelacijskom pojasu kanala, a upotrebljeni materijal se obavezno mora dopremiti iz kamenoloma. Ovdje je važno da je upotrebljeni kamen dobro graduiran ( granulometriska raznolikost), dalje je važno da su zrna dovoljno velika. Zrna nasmiju biti glatka jer hrapava zrna imaju veći kut unutarnjeg trenja, i moraju odstupati od kuglastog oblika. Kao što se vidi na slici 13. se najsitniji granulat postavlja do razine berme. M3 max RV 169,50 M2 1.2,5 cca 4,8 m min RV 167,00 M1 cca 4,3 m cca 3,7m M cm cca 7 m 3 /m' kanala; M cm cca 3 m 3 /m' kanala; M3-3-7 cm cca 2 m 3 /m' kanala. SLIKA 13. Sanacija miješanim materijalom

19 Reno madraci Posebna izvedba gabiona su tzv. reno madraci, to su tanke gabionske košare napunjene oblim granulatom. O gabionima će biti riječi u poglavlju 4. potporni zidovi. Ove košare karakterizira veliki odnos površinskih dimenzija prema debljini košare. Nakon punjenja ove košare se prekrivaju poklopnom mrežom, koja se učvršćuje za pobočke i pregrade košara žičanim kopčama. Na primjeru HE Varaždin koristile su se ove košare u dimenzijama 4x2x0.3 m. Kod ugradnje Reno madraca najvažnija je procjena kuta unutarnjeg trenja između Reno madraca i prirodnog materijala na pokusu. Izgled košare reno madraca i pokosa zaštičenog ovom metodom prikazani su na slikama 14 i 15. SLIKA 14. Izgled košare reno madraca SLIKA 15. Zaštita pokosa kanala reno madracem

20 4. PRIMJERI UREĐENJA KOD SANACIJE KLIZIŠTA 4.1. UVOD U NASTAJANJE KLIZIŠTA Pojam klizanje obuhvaća pokrete tla ili stijena koji nastaju zbog sloma materijala na granicama pokrenute mase. Zbog utjecaja gravitacije i dodatnih opterećenja u tlu nastaju naponi smicanja koji su uzrok kretanjima masa niz kosine. Brzina kretanja može biti vrlo velika (brzo klizanje ) ili neprimjetna ( puzanje ). Na prirodnim kosinama je nagib nakon dugog vremenskog razdoblja prilagođen stvarnoj čvrstoći tla na smicanje. Tako se objašnjava da su u prirodi strmije kosine od materijala veće čvrstoće kao npr; pijesak, šljunak i sl. a one blaže od prašinastog i glinovitog materijala. Do klizanja takvih kosina dolazi kada iz bilo kojeg razloga dođe do povećanja napona smicanja, tako da premaše čvrstoću tla. Na kosini nastaje slom i klizanje manjeg ili većeg područja. Klizanje će se zaustaviti kad se opet uspostavi ravnoteža čvrstoće tla i opterećenja tj. kada se oblik kosine prilagodi promjeni napona ili kada prestanu djelovati utjecaji koji su izazvali promjene ( razina podzemne vode, strujni tlak i sl.). Do promjene napona ili osobina materijala u površinskom sloju, može doći sa i bez ljudske aktivnosti. Prema tome da li je klizanje posljedica ljudske aktivnosti ili nije, uzroke klizanja dijelimo u dvije kategorije. U prvu kategoriju ubrajamo postepen porast strmine kosine uslijed erozije u koritima vodotoka, promjene razine podzemne vode ali i trajni učinak izluživanja materijala zbog strujanja podzemne vode. U drugu kategoriju ubrajamo klizanja nastala zbog ljudske aktivnosti; promjene oblika kosine iskopavanjem ili nasipavanjem, promjene opterećenja gradnjom građevina kao i promjene prirodnog režima i razine podzemne vode na obalama akumulacijskih jezera. Kada na prirodnim kosinama mijenjamo uvjete stabilnosti moramo voditi računa o osiguranju trajne stabilnosti tih područja. Potrebno je naći onaj nagib koji jamči trajno i sigurno funkcioniranje građevina a istovremeno leži u granicama ekonomske opravdanosti.

21 SLIKA 16. Izgled klizišta 4.2. METODE ZA STABILIZACIJU KOSINE Prilikom projektiranja zemljanih radova može se dogoditi da dobiveni podaci o faktoru sigurnosti pokazuju preniske vrijednosti. Dakle u toku radova mogu se pojaviti nestabilnosti. Odgovarajućim mjerama mora se osigurati zadovoljavajuća stabilnost. Da bi tehničko rešenje bilo ekonomski opravdano i sigurno, moraju se naći razlozi predviđene ili uočene nestabilnosti. Postoji puno metoda za stabilizaciju kosina, ovdje su nabrojene samo neke; Promjena geometrije presjeka Drenažne mjere Potporne konstrukcije Armiranje tla Pošumljavanje

22 Promjena geometrije presjeka Promjena geometrije presjeka uključuje ublažavanje nagiba kosine, dodavanje tereta na stopu kosine te preraspodjelu mase u presjeku kosine. Ublažavanje nagiba kosine je vrlo efikasna metoda ako je kritična površina relativno plitka ( slika 17 a ). Dodavanje tereta na stopi kosine je za razliku od ublažavanja nagiba efikasna metoda ako je kritična površina relativno duboka (slika 17 b ). Preraspodjela mase u presjeku kosine je moguća u slučaju usjeka i zasjeka na padini. Premještanje mase tla sa višeg na niži dio kosine, ili uklanjanje materijala čime se formira blaža kosina, su u kombinaciji sa dreniranjem ili dodavanjem tereta u stopi kosine vrlo pouzdane metode. SLIKA 17. Stabilizacija kosine promjenom oblika presjeka

23 Dreniranje Drenažne mjere se poduzimaju radi smanjenja i kontroliranja kretanja vode po površini kosine, i zbog umanjenja pornih pritisaka. Na slici 18. su prikazani neki tipovi dreniranja. Osim površinskog dreniranja koje uz vegetaciju predstavlja preventivnu zaštitu kosina, postoje drenažne mjere za smanjenje arteških pritisaka i/ili presijecanje vodonosnih slojeva koji utječu na stabilnost kosine. Ovdje se primjenjuju bušotine, bunari, drenažni tuneli i šahtovi. SLIKA 18. Tipovi dreniranja Iskop drenova Prvo se postavljaju glavni a zatim dodatni drenovi. Kopani drenovi izvode se pomoću traktorskih rovokopača, tako da teoretska širina drena bude cca. 50cm. Radove postavljanja drenova treba planirati u sušnom razdoblju, iako se i tada može očekivati urušavanje drenažnih rovova do 50% teoretskog obujma. Dno drena bi moralo biti dublje od klizne plohe, a prosječna dubina je do 3m. Nakon iskapanja jarka u istoga se postavlja geotekstil g/m 2. Na dnu drena postavlja se PCV drenažna cijev preko koje se stavlja drenažni zasip to je mješavina šljunka i pijeska s odgovarajućim filtarskim sposobnostima. Na kraju se jarak zatvara glinenim slojem kojem je zadatak da spriječi poniranje površinskih voda u dren.

24 Važno je napomenuti da se drenovi obavezno kopaju od nižih prema višim kotama. Postupak građenja drenažnog jarka omotanog geotekstilom prikazan je na slici 19. SLIKA 19. Građenje drenažnog jarka omotanog geotekstilom; a)iskop b)postavljanje geotekstila c)nasipavanje posteljice cijevi d)nasipavanje i zbijanje drenažnog materijala e)omatanje geotekstilom f)zasipavanje i zbijanje materijala

25 4.3. PRIMJER SANACIJE CESTOVNOG KLIZIŠTA Na slici 20. prikazan je završni sanirani izgled potpornog gabionskog zida uz trup ceste. Česti geotehnički problemi vezani uz ceste su kod stabilnosti odnosno nestabilnosti pokosa, kako na gornjim tako i na donjim pokosima cesta. Uzroci ovim problemima su prije svega reguliranje oborinskih i procjednih voda. U mekanim materijalima, pod utjecajem većih količina vode, dolazi do natapanja i promjene u koheziji što može utjecati na stvaranje kliznih ploha te prouzročiti pomake i odrone tla. Moguća rješenja su prihvat i odvođenje oborinskih voda, ali i stabilizacija pokosa. Pokos se može stabilizirati primjenom lomljenog kamena, te gabionskih zidova. SLIKA 20. Potporni gabionski zid uz trup ceste

26 5. PRIMJER UREĐENJA KOD IZRADE POTPORNIH ZIDOVA 5.1. OPĆENITO O POTPORNIM ZIDOVIMA Potporna konstrukcija je svaka ona koja osigurava sigurno i stabilno vanjsko lice tla, nagnuto pod kutem većim od onog koji je moguć bez tog zahvata. One su geotehničke građevine jer preuzimaju opterećenje od tla. Mogu se izvoditi od svih vrsta materijala koji se koriste u građevinarstvu. Postoje dvije osnovne vrste potpornih konstrukcija; One koje pridržavaju zasjeke u prirodnom tlu One koje pridržavaju nasipe Postoji još mnogo klasifikacija potpornih konstrukcija, kao što se vidi na slici 21. je jedna od njih na gravitacijske i fleksibilne. SLIKA 21. Klasifikacija potpornih konstrukcija Također je moguće potporne zidove klasificirati prema vrsti materijala na; Potporne zidove od nasutog materijala Potporne zidove od lomljenoga kamena Potporne zidove od betona i armiranog betona

27 5.2. KLASIFIKACIJA POTPORNIH ZIDOVA PREMA VRSTI MATERIJALA Potporni zidovi od nasutog materijala Potporne konstrukcije od nasutog materijala su žičane košare ispunjene šljunkom ili kamenom. Žičane košare su načinjene od pocinčane čelične žice koja je pojačana na rubovima okvira od okruglog čelika. Prazne košare slažu se na mjesto gdje se podiže zid, a potom se napune zatvore i vežu. Ovaj postupak ponavljamo do željene visine. Ovakvi zidovi su vrlo prikladni za stabilizaciju manjih klizanja uz ceste jer se mogu izvoditi na kratkim dionicama, a time se izbjegava poremećaj nestabilne kosine. Prednosti gabiona su da osiguravaju dobro dreniranje tla iza zida, a njihova podatljivost omogućuje primjenu u tlima nejednolike krutosti koja mogu izazvati probleme krutim zidovima. Nedostatak je što punjenje kamenom zahtjeva mnogo ručnog rada koji je u današnje vrijeme skup. Često se koriste za stabilizaciju kanala rijeka. Ove konstrukcije još nazivamo i gabionima, a izgled jedne košare prikazan je na slici 22. Zidovi od nasutog materijala se dobro uklapaju u okoliš, jer materijal u košarama izgleda prirodno, a moguće ih je ukrasiti biljem ili cvijećem, slika 23. SLIKA 22. Gabionska košara

28 SLIKA 23. Gabionski zid Potporni zidovi od lomljenoga kamena Lomljeni kamen je klasičan materijal za potporne konstrukcije. Danas se više ne upotrebljavaju jer se ove konstrukcije izvode ručno. Rijetku primjenu nalaze jedino u sklopu arhitektonski važnih građevina. Kameni zidovi mogu biti složeni bez maltera pa se često nazivaju suhim zidovima. Suhi zidovi služe na jadranskom obalnom području za terasarsko oblikovanje poljoprivrednih površina.

29 SLIKA 24. Kameni potporni zid Potporni zidovi od betona i armiranog betona Potporne konstrukcije od betona i armiranog betona su danas vrlo česte. Masivne zidove gradimo od betona, olakšane i montažne zidove od armiranog betona. Važno je da upotrebljeni beton odgovara standardima i propisima za betonske konstrukcije te da je vodonepropusan i otporan na mraz. Slobodne površine ovakvih zidova ostaju ne obrađene, zato oplate moraju biti pažljivo izrađene da nebi bilo neravnina. Betonski zidovi se ne smiju žbukati. Između žbuke i zida nastaju diferencijalne deformacije zbog temperaturnih promjena koje s vremenom dovode do opadanja žbuke. Ovi zidovi mogu imati različite oblike, neki su prikazani na slici 25. S obzirom da zidovi od betona i armiranog betona tvore monotone površine u većini ne pridonose uljepšanju okoline, svakako se radi svoje stabilnosti često upotrebljavaju.

30 SLIKA 25. Armirano betonski zid T i L oblika SLIKA 26. Armirani betonski zid

31 5.3.ČESTI POTPORNI ZIDOVI Gravitacijski potporni zid Težina gravitacijskog zida preuzima vodoravni tlak zasipa i usmjeruje ga tako da rezultanta prolazi kroz bazu temelja na tlo. Naponi koji djeluju uz rubove temelja ne smiju biti veći od dopuštenog opterećenja. Također tangencijalna komponenta sila na bazi temelja mora biti manja od otpora tla na smicanje. Osnovni oblik temelja gravitacijskih potpornih zidova je pravokutan s istakom na prednjoj strani, što zahtjeva najveću količinu i težinu materijala. Na slici 27. je prikazana mogučnost smanjenja utroška materijala. Nagib prednje strane zida pomiče njegovo težište prema stražnjoj ivici temelja, a nagnuta i lomljena stražnja površina zida smanjuje i povoljnije usmjeruje rezultantu tlaka. Gravitacijske zidove gradimo od betona, lomljenog kamena ili od gabiona. SLIKA 27. Presjek gravitacijskog potpornog zida

32 Potporni zid s konzolom Ušteda mase gravitacijskog zida može se postići ako se dio težine zasipa iskoristi da se povoljnije usmjeri rezultanta sila koja djeluje na zid. To postižemo izradom armirano betonske konzole na prikladnoj visini stražnje strane zida. Ukupna rezultanta tlaka koja djeluje na zid je manja nego na zidu bez konzole. Ovi zidovi su prikladni za visoke zidove jer se troškovi mogu znatno smanjiti. SLIKA 28. Potporni zid s konzolom

33 Potporni zid sa zategom Zid sa zategom je potporni zid od armiranog betona koji samo svojom težinom ne može uravnotežiti sustav sila koji na njega djeluje te mu se dodaje zatega ili sidro. Ovi zidovi se koriste za svladavanje većih visina. Zatege i sidra su elementi koje dodajemo u sustav da preuzmu dio vodoravnih opterećenja i prenesu ih u zaleđe zida. Zatege ugrađujemo u zidove koji pridržavaju nasipe ili u zidove koji iza sebe imaju vodoravne površine. One su usidrene u zaleđe zida, sidrene blokove ili sidrene zidove, a mogu biti čelične šipke ili užad, armirano betonske grede a javljaju se i noviji materijali kao na primjer karbonska vlakna. Geotehnička sidra ugrađujemo ako se iza zida nalazi autohtono tlo nagnute površine. Ovi elementi imaju istu ulogu kao i zatege, a sidrimo ih u sidreni injektirani dio duboko u tlo. Oba sidrišna tijela se moraju nalaziti izvan aktivnog kliznog klina i nesmiju na njega vršiti nikakav utjecaj, kako se nebi vršilo dodatno opterećenje na zid i tako umanjilo djelovanje zatege. Ako zatege postavimo na povoljnoj visini preuzimaju vodoravnu komponentu tlaka te ukupna težina zida može biti manja nego u gravitacijskoj varijanti. SLIKA 29. Potporni zid s zategom

34 Armirano tlo U nešto novije vrijeme se upotrebljava tzv. armirano tlo. To je složenac u kojem vlačna naprezanja preuzima armatura. Armirano tlo se sastoji od dvije vrste gradiva to su armatura i nasip. Armatura može biti metalna ili plastična. Za nasip se upotrebljava nekoherentno tlo, zbog dobrog prianjanja i filtracijskih sposobnosti. Armirano tlo ima široku primjenu u graditeljstvu, točnije kod građenja u lošim tlima. Koherentna tla sama od sebe imaju određenu vlačnu čvrstoću, koja se ugradnjom armature poveća. Nekoherantna tla nemaju nikakvu vlačnu čvrstoću, stoga se je njihova primjena u graditeljstvu proširila dodavanjem armature. Ova metoda poboljšanja svojstava tla primjenjuje se u novije vrijeme tj. od 60-tih godina prošloga stoljeća. Svoj izum Terre Armee je 1966 patentirao francuski arhitekt H. Vidal. Osnova ovog izuma je čelićna trakasta armatura pričvršćena na metalnu košaricu na licu potporne građevine. Temelj Vidalove tehnologije je aktiviranje trenja između metalnih traka i tla. Druge vrsta armatura (geotekstil, geomreže) djeluju na istom principu. SLIKA 30. Armirano tlo

35 Potporni zid od montažnih elemenata Ovi zidovi se izvode od kratkih armirano betonskih ili drvenih elemenata koji se slažu u vitla u obliku pravokutnika. Pravokutnici se ispune pijeskom, šljunkom ili sitnim lomljenim kamenom ovisno o ekonomičnosti i dostupnosti. Materijal za ispunu mora biti vodopropusan. Poprečni elementi su na krajevima podebljani jer se na njih odupiru uzdužni elementi i tako prenose dio bočnog tlaka ispune. Prednost ovih zidova leži u brzini i jednostavnosti montaže. Za rad su dovoljne lake mehaničke dizalice, a nije potrebna obrada i dugotrajna priprema gradilišta kao na primjer postavljanje oplate ili ugrađivanje i obrada betona. Također nije potrebno čekati da se beton stvrdne jer se ispuna može ugrađivati kako visina zida raste pa zid postepeno u toku izvedbe preuzima opterećenja. Ako se uzdužni elementi s vanjske strane ukopaju ispod razine smrzavanja nisu potrebni temelji. Ovi zidovi su prikladni za trajnu stabilizaciju manjih i većih klizišta. SLIKA 31. Potporni zid od montažnih elemenata

36 6. ZAKLJUČAK Na primjeru HE Varaždin prikazano je jedno suvremeno rješenje zaštite korita kanala primjenom Reno madraca. Ova metoda pruža dobru zaštitu, no isti učinak možemo postići primjenom drobljenoga kamena određenih frakcija. Središnji primjer sanacije klizišta je sanacija cestovnog klizišta potpornim gabionskim zidom. U radu je dati pregled često primjenjenih potpornih zidova. Potporni zidovi sa zategom i armirano tlo imaju najbolju perspektivu za daljnu primjenu zbog brze i ekonomične izvedbe, ali i uz visoke estetske vrijednosti. Na kraju ovoga rada dolazim do zaključka da se primjenom geotehničkih metoda uvelike može pridonjeti očuvanju i uređenju okoliša. Kod primjene potpornih zidova ili nekih drugih geotehničkih metoda je važno naći onu metodu koja najbolje odgovara karakteristikama područja. Nabrojene metode se rijetko koriste same, već u kombinaciji. Svaka metoda može biti efikasna ako se upotrijebi na ispravan način i ako se uzmu u obzir svi važni parametri. Iz navedenih razloga se konačna odluka može donjeti samo na temelju višestrukog sagledavanja određenih situacija.

37 7. LITERATURA [1] Bedeković D. Prilog razvoju potpornih zidova s naglaskom na uređenje okoliša, Varaždin, [2] Maksimović, Mehanika tla, Beograd AGM knjiga, [3] Nonveiller, Mehanika tla i temeljenje građevina, Zagreb, Školska knjiga, [4] Soldo B. Skripta iz predmeta Geotehničko ekološki zahvati, Geotehnički fakultet; Sveučilište u Zagrebu, [5] Soldo B. i drugi, Projekt sanacije klizišta u Općini Bednja, Geotehnički fakultet; Sveučilište u Zagrebu, [6] Soldo B. I drugi, Projekt zaštite pokosa odvodnog kanala HE Varaždin, Geotehnički fakultet; Sveučilište u Zagrebu, [7] web stranice preuzeto preuzeto

38 SAŽETAK Tema ovog završnog rada je PRILOG RAZVOJU GEOTEHNIČKOG INŽENJERSTVA S NAGLASKOM UREĐENJE OKOLIŠA. Zbog toga sam pokušala navesti najprimjenjivanije metode geotehnike koje pridonose očuvanju okoliša. Rad se sastoji od četiri poglavlja koja su; općenito o geotehničkom inženjerstvu i uređenju okoliša, primjeri uređenja kod sanacije kanala i uređenja kod sanacije klizišta, te potporni zidovi. Na početku rada se govori općenito o pojmovima geotehnika i očuvanja okoliša, a dati je i primjer poboljšanja svojstva tla ekspandirajućom smolom. Stabilizacija i uređenje pokosa će se analizirati na primjeru odvodnoga kanala HE Varaždin. Sanaciju klizišta obrađujem kroz definiciju pojma klizanja i nekih najčešćih metoda sanacije. Na kraju su nabrojene neke vrste potpornih zidova, koji svakako svojom funkcijom i izgledom pridonose očuvanju okoliša.

Osnovni elementi klizišta

Osnovni elementi klizišta STABILNOST KOSINA Klizište 1/ Klizanje kao geološki fenomen: - tektonski procesi - gravitacijske i hidrodinamičke sile 2/ Klizanja nastala djelovanjem ljudi: - iskopi, nasipi, dodatno opterećenje kosina

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

STABILNOST KOSINA. (ponavljanje)

STABILNOST KOSINA. (ponavljanje) KLIZIŠTA STABILNOST KOSINA (ponavljanje) Definicija faktora sigurnosti F S τ τ f = τ d ϕ ' ϕ d ' < ϕ ' c ' c d ' < c ' σ Prikaz efektivnih graničnih i mobiliziranih parametara čvrstoće Vrijedi, dakle,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO

GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO GEOTEHNIČKO INŽENJERSTVO POMOĆNI DIJAGRAMI, TABLICE I FORMULE ZA ISPIT dopunjeno za ak.god. 016/017 Slika 1. Parcijalni koeficijenti za GEO/STR za djelovanja, parametre materijala i otpore prema EC-7 Slika.

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Temelji i potporni zidovi

Temelji i potporni zidovi Temelji i potporni zidovi Temelj Temelj je dio konstrukcije koji omoguava prijenos reaktivnih sila i momenata oslonaca u tlo. 3 Temelj mora: 1. prenositi reaktivne sile i momente u tlo s dovoljnom sigurnošu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

OSIGURANJE STABILNOSTI PADINA

OSIGURANJE STABILNOSTI PADINA OSIGURANJE STABILNOSTI PADINA Željko SOKOLIĆ, dipl.ing.grañ. GEOTEHNIČKI STUDIO, d.o.o. DANI OVLAŠTENIH INŽENJERA GRAðEVINARSTVA OPATIJA, 14.-16. LIPNJA 2007. SADRŽAJ 1. OPĆENITO 2. STABILNOST KOSINA OD

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Q (promjenjivo) P (stalno) c uk=50 (kn/m ) =17 (kn/m ) =20 (kn/m ) 2k=0 (kn/m ) N 60=21 d=0.9 (m)

Q (promjenjivo) P (stalno) c uk=50 (kn/m ) =17 (kn/m ) =20 (kn/m ) 2k=0 (kn/m ) N 60=21 d=0.9 (m) L = L 14.1. ZADATAK Zadan je pilot kružnog poprečnog presjeka, postavljen kroz dva sloja tla. Svojstva tla i dimenzije pilota su zadane na skici. a) Odrediti graničnu nosivost pilota u vertikalnom smjeru.

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

RJEŠAVANJE PROBLEMA s podzemnom vodom

RJEŠAVANJE PROBLEMA s podzemnom vodom Inženjersko značenje hidrogeoloških uvjeta: POVRŠINSKA VODA PODZEMNA VODA zagađenje poplava usijedanje zemljišta zbog trajnog sniženja podzemne vode erozija 1 III. HIDROGEOLOŠKI UVJETI RJEŠAVANJE PROBLEMA

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Troosni posmik. Troosni posmik. Troosni posmik. Priprema neporemećenog uzorka. Troosnaćelija. Uzorak je u gumenoj membrani Ćelija se ipuni sa vodom

Troosni posmik. Troosni posmik. Troosni posmik. Priprema neporemećenog uzorka. Troosnaćelija. Uzorak je u gumenoj membrani Ćelija se ipuni sa vodom Troosnaćelija Ploha loma Priprema neporemećenog uzorka Uzorak je u gumenoj membrani Ćelija se ipuni sa vodom 1 Oprema za troosna ispitivanja (Institut IGH Zagreb) Test Animation σ1= = σdev = σ1= = σdev

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA

3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα