Energija magnetnega polja

Transcript

1 Energija magnenega polja. Energija magnenega polja Vsebina: moč in energija, energija sisema uljav, nadomesna indukivnos, energija v nelinearnih magnenih srukurah, gosoa energije, izračun indukivnosi iz magnene energije, energija hiserezne zanke, izgube v jedru, produk BH, magnena sila. Izhajamo iz moči na uljavi, ki je enaka produku oka in napeosi na uljavi p = u i. To so sedaj časovno spreminjajoče veličine, lahko bi orej pisali udi p( ) = u ( ) i ( ). Upoševamo še izraz za padec napeosi na uljavi u dψ di = =, ki je izražena s produkom indukivnosi in spremembe oka v d d uljavi in dobimo d i( ) p( ) = i( ). Inegracija moči po času pa je energija d W ( ) = p( )d. Inegracijo po času nadomesimo z inegracijo po oku i( ) di W ( ) = p( )d = id = idi d in dobimo W ( ) ( i ( ) i ( ) ) i( ) =. Vzemimo, da na začeku ni bilo oka skozi uljavo ( i( ) = A ), poem je renuna energija sorazmerna kvadrau renune vrednosi oka skozi uljavo W i ( ) ( ) = (.) To je energija, ki je shranjena v magnenem polju uljave v časovnem renuku. Z upoševanjem zveze med magnenim sklepom in okom skozi uljavo Ψ ( ) = i( ), lahko energijo izrazimo udi s renuno vrednosjo magnenega sklepa Ψ ( ) W ( ) =. (.) Primer: Izračunajmo in skicirajmo časovni poek energije v uljavi z indukivnosjo mh, če skozi ovoje eče ok,5sin( ω ) A, kjer je perioda signala T = 5 ms. Določimo še maksimalno vrednosi e energije.

2 Energija magnenega polja. Izračun: Časovna poek energije v uljavi je W ( ) =,5I sin ( ω). Maksimalna energija nasopi pri čerini periode okovnega vzbujanja (pri ω = π / W =,5 mj. max ), edaj je Napoek: Funkcijo sin ( ) ω enosavno izrišemo, če upoševamo zvezo ω ( ω ) sin ( ) = cos( ). Gre orej za harmonični signal dvojne frekvence osnovnega, ki ima dodano enosmerno komponeno, ki je ravno enaka polovici ampliude. SIKA: Časovni poek oka (črkano, v [A]) in magnene energije (polno, v [mj])v polju uljave. Energija je sorazmerna kvadrau oka in v primeru harmoničnega vzbujanja doseže maksimum v čerini periode signala. Takra je enaka,5i, kjer je I ampliuda oka. Malab: =:e-6:5e-3; om=*pi/5e-3; i=.5*sin(om.*); W=.5*sin(om.*).^; plo(,i,,w) Energija sisema več uljav. Kakšne pa so energijske razmere, če je uljav več, med njimi pa je magneni sklep? V em primeru je porebno upoševai še magneno energijo zaradi skupnega vorjenja magnenega polja v sisemu več uljav. Energija v sisemu dveh uljav je (( ) ( ) ) M M di di di di d d d d W = u ± u i + u ± u i d = ± M i + ± M i d Predznak je v obeh primerih enak: poziiven, če se fluksa uljav»podpiraa«in

3 Energija magnenega polja. negaiven, če se»ne podpiraa«. Skupna energija je ob upoševanju zveze M = M = M enaka W = i + i ± Mi i. (.3) Poglejmo še poseben primer, ko gre skozi obe uljavi isi ok. Tedaj lahko pišemo W = i + i ± Mi. Izposavimo i / in dobimo W = ( ) + ± M i. (.4) Izraz v oklepaju lahko»razumemo«ko skupno (nadomesno) indukivnos, ki bo orej = + ± M, (.5) nad ako, da je energija sisema dveh sklopjenih uljsv s skupnim okom enaka W i = nad. Splošna formula za sisem N sklopljenih uljav je N N W ( ) = jk i j ( ) ik ( ) (.6). j= k= Primer: Tuljavi z indukivnosima mh in 4 mh sa vezani zaporedno. Njuna fluksa se podpiraa s fakorjem sklopa,8. Tok skozi uljavi je simerične žagase oblike s periodo 5 ms in ampliudo A. Skicirajmo poek skupne energije uljav in izračunajmo velikos energije v času =,5 ms. Rešujemo enačbo (( ) ( ) ) M + M d ( d d + d d ) pri čemer W = u ± u i u ± u i = i i ± M i i i i ± M i i smaramo, da velja M = M = M. Z upoševanjem inegracije»per pares«: d( ii )= idi + idi velja ± ( Mid i + Mid i ) = ± Md( ii ) dobimo ( i d i + idi ± Md( ii )) = i + i ± Mi i. Za izpeljavo glej npr. A.R.Sinigoj, Osnove elekromagneiko,

4 Energija magnenega polja. SIKA: Sisem dveh sklopljenih uljav z isim okom in nadomesno vezje. SIKA: Tok (modra črkana, v [A]) in skupna energija sisema dveh uljav (polna čra, v [mj]). MATAB: nad=8.6e-3; =:e-6:5e-3; om=*pi/5e-3; i=*sawooh(om.*,.5); W=e3*.5*nad*i.^; plo(,i,,w,,zeros(,lengh())) Izračun: Medsebojno indukivnos določimo ko M = k =, 8 4 mh, 6 mh. Ker se fluksa vzajemno podpiraa je nadomesna indukivnos enaka nad = + + M = ( + 4 +, 6) mh =,5 mh. Časovni poek energije je parabolično naraščanje in upadanje z dvojno periodo okovnega vzbujanja. V času,5 ms je ok enak A in velikos energije W i nad = =,5 (A),5 mh =, 4 mj.

5 Energija magnenega polja. Energija magnenega polja v nelinearnih magnenih srukurah Pri doslej izpeljanih izrazih za energijo v magnenem polju magnenih srukur (uljav) smo predposavili linearno zvezo med fluksom in okom: Φ = i. Ta predposavka je pogoso upravičena, vsekakor edaj, ko nimamo opravka z magnenimi maeriali ali pa edaj, ko je upravičena linearizacija magneilne krivulje. V eh primerih je relaivna permeabilnos konsanna. Sedaj pa bomo obdelali še primer, ko linearizacija magneilne krivulje ni upravičena, oziroma, bi s ovrsno poenosavivijo naredili preveliko poenosaviev. Zanima nas orej energija magnenega polja v nelinearnih srukurah, v feromagnenih jedrih, kjer je zveza med B-jem in H-jem oziroma magnenim sklepom in vzbujalnim okom nelinearna. Še več, običajno imamo opravka s hiserezno zanko. Izhajamo iz osnovne zveze p = i u in dψ u =, od koder je dw = pd = idψ. d Energija, porebna za magneenje od časa do je enaka W ( ) = idψ. Vzemimo feromagneno jedro, esno ovio z N ovoji, kjer velja Amperov zakon mag Ni = H dl ; za diferencial magnenega sklepa lahko pišemo dψ = NdΦ = N ( B da). Z upoševanjem obeh zvez, pa udi ega, da bo porebno pazii na časovno spremembo Bja, dobimo Wmag ( ) = H dl ( NdB d A ) N A. Enačbo preuredimo ako, da združimo inegracijo po površini in dolžini v inegracijo po volumnu 3 : Wmag ( ) = H db dv V (.7) V oklepaju v enačbi (.7) lahko razpoznamo gosoo magnene energije, ki jo lahko zapišemo ko wmag ( ) = H d B, (.8) B( ) 3 To lahko naredimo, ker so rije od širih vekorjev v inegralu kolinearni (enako usmerjeni). To so d B, d A, dl. Zao lahko združimo ( H d B) in ( dl d A).

6 Energija magnenega polja. pri čemer je porebno inegrirai jakos polja po gosoi preoka. Če magneimo maerial od B = T do nekega B, bo B w( B ) = H d B. SIKA: Inegracija gosoe magnene energije. Inegriramo vzdolž B osi! Gosoa energije pri linearni magneilni krivulji. V primeru, da imamo opravka z maerialom, ki ga lahko opišemo z linearno magneilno krivuljo, lahko uporabimo zvezo B in določimo gosoo energije ko w B µ = µ H, kar vsavimo v gornjo enačbo = (.9) oziroma, če magneimo do B je B w( B ) =. µ Celono energijo magneenja dobimo z inegracijo gosoe energije po volumnu W B µ = dv. (.) V Če predposavimo homogeno polje v volumnu, pa je energija kar W B = V. (.) µ To enačbo lahko zapišemo udi s H-jem ko W µ H = V. Pokažie enakos izraza W µ H i = V in W =.

7 Energija magnenega polja. Primer: Jedro brez zračne reže iz feromagnenega maeriala z µ r = 85 ima 35 ovojev. Presek jedra ima površino 3 cm, srednja dolžina gosonice pa je 6 cm. Določimo magneno energijo v jedru pri enosmernem oku skozi ovoje A. NI 35 A Izračun: H = = = 66,7A/m l,6m w W Vs A 85 4π (66,7 ) Am m 77 J/m 7 µ rµ H = = = 4 = wv = 77,6 3 J =,3J. 3 SIKA: Primer jedra z linearno magneilno krivuljo s prikazom gosoe energije v jedru ko površine med magneilno krivuljo in B osjo. Energija v nelinearnih magnenih srukurah. V primeru, da je magneilna krivulja nelinearna, je porebno energijo računai neposredno iz enačbe (.8). ahko udi zapišemo diferencial gosoe magnene energije, ki bo dw = H db. (.) Gosoo energije dobimo orej z inegracijo površine med magneilno krivuljo in osjo B: Bkončna w = H d B. (.3) Bzačena Če upoševamo celono hiserezno zanko, ugoovimo, da bo gosoa energije v em maerialu enaka površini hiserezne zanke: w = A BH zanke. (.4)

8 Energija magnenega polja. SIKA: Primer jedra z nelinearno magneilno krivuljo s prikazom gosoe energije v jedru ko površine med magneilno krivuljo in H osjo. Primer: Vzemimo primer linearizirane magneilne krivulje, ki jo opišemo s prelomnima očkama B = T, H = A/m in B =, T, H = 4 A/m. Določimo gosoo magnene energije v jedru feromagneika s podano magneilno krivuljo, če ga magneimo od T do gosoe, T. Izračun: Izračunai je porebno inegral po enačbi (.3), ki pa ga v primeru linearizirane krivulje lahko določimo preproso iz delnih površin krivulje: A/m T 6A/m,T w = + A/m,T+ = 75 J/m 3 SIKA: Odsekoma zvezna magneilna krivulja in gosoa energije ko površina med hiserezno krivuljo in B osjo. Produk B in H V poglavju 9 smo že govorili o rdomagnenih in mehkomagnenih maerialih in omenili, da je lasnos rdomagnenih maerialov velika remanenčna gosoo polja (B r ), pa udi velika koerciivna jakos polja (H c ). Ugooviev ega poglavja je, da je gosoa magnene energije sorazmerna produku Hja in Bja. V em smislu lahko delimo maerialne na rdomagnene in mehkomagnene po maksimalni gosoi energije, ki jo dosežejo i maeriali. Ta produk določimo ko pravokonik z največjo površino v drugem kvadranu magneilne B(H) krivulje. S pojmom gosoe energije se v praksi predvsem označuje rdomagnene maeriale, ki se jih glede na a krierij lahko deli še nadalje: v.i. konvencionalne romagnene maeriale s produkom ( BH med in 8 kj/m 3 (npr. AlNiCo: aluminij-nikelj-kobal) in visokoenergijske rdomagnene maeriali (npr. SmCo: samarij-kobal in NeFeB: neodij.železo-bor) s produkom ) max

9 Energija magnenega polja. ( BH ) max nad 8 kj/m 3. Tipične vrednosi prikazujea sledeči abeli (ponovno ugoovimo vzrajnos pojavljanja eno ko so Oe: Oersead in G: Gauss): SIKA: Trdomagneni maeriali: kompozicija, B r, H c, ( BH ) max, Curiejeva emperaura in specifična upornos. Vir: Povzeo po ASM Handbook, Vol., ASM Inernaional, 99. SIKA: Mehkomagneni maeriali: kompozicija, začena permeabilnos, maksimalna (sauracijska) gosoa polja, hiserezne izgube (gosoa energije), specifična upornos. Vir: Povzeo po ASM Handbook, Vol., ASM Inernaional, 99. Izgube v jedru. Energija, vložena v grajenje magnenega polja v nelinearni magneni srukuri je nepovrana. Uporabi se za magenenje maeriala, za obračanje.i. Weissovih obsegov, pri čemer pride do (mehanskega) renja. Če je ok v ovojih na jedru izmeničen in»obhodi«hiserezno krivuljo f kra na sekundo (frekvenca signala), bo gosoa izgubne moči enaka (iz w = pt ): phis = fa (.5) BH zanke

10 Energija magnenega polja. celona hiserezna izgubna moč pa bo enaka gosoi moči pomnoženi z volumnom maeriala 4 Opozorilo: P = p V. (.6) his his A A Vs J m m m m, V A BH zanke predsavlja gosoo energije, enoa je T = = 3 predsavlja volumen [m 3 ]. Primer: Določimo hiserezno izgubno moč jedra prosornine cm 3, kaerega magneilna krivulja je na sliki. (Je v obliki kvadraa z B r =,5 T in H c = A/m). Vzbujalni signal ima frekvenco 5 Hz. SIKA: Hisezna zanka določena z B r in H c. Izračun: Površina hiserezne zanke je 4,5T A/m = J/m 3. To je gosoa magnene energije, ki je porebna za magneenje jedra. Gosoa izgubne moči je po enačbi (.4): 5s - J/m 3 =6 4 J/(s m 3 ), celona moč hisereznih izgub pa -6 m J/(s m 3 ) = 7, W. 4 V praksi se običajno hiserezne izgube računa po formuli kh f B [W/kg], kjer je k h konsana. Za več informacij o načrovanju ransformaorjev in dušilk priporočam priročnik F. Mlakar, I Kloar: Mali ransformaorji in dušilke, Elekroehniški vesnik, 97. (na razpolago v knjižnici FE). V prakičnih formulah pogoso nameso kvadraa Bja nasopa lahko udi različen fakor, ako recimo Seinmezova formula vzame za eksponen vrednos,6, konsana k h pa npr., za mehko železo in,3 za jeklo. (M.A. Plonus: Applied Elecromagneics). Poleg hisreznih izgub lahko nasopajo še izgube zaradi vrinčnih okov. Te so za prevodne feromagneike običajno sorazmerne kvadrau gosoe preoka in kvadrau frekvence ( f B ).

11 Energija magnenega polja. Določevanje indukivnosi iz magnene energije. Enačba za izračun energije v magnenem polju je primerna udi za določevanje lasne indukivnosi. Pri enosmernem oku skozi vodnik je magnena energija v prosoru enaka I W = (.7) Če je indukivnos neznana, magneno energijo, ki jo v prosoru povzroča ok v vodniku pa znamo določii na drug način, lahko indukivnos iz energije določimo iz W I =. (.8) Kako pa izračunamo magneno energijo na drugačen način ko s pomočjo indukivnosi? Iz poznavanja gosoe magnenega preoka v srukuri. Določimo gosoo energije po enačbi B w = in jo inegriramo po volumnu: µ W = w dv (.9) V Ta zapis je posebno primeren edaj, ko je ežko določii fluks skozi ploskev. Tak primer so polni vodniki, ki imajo magneno polje udi v noranjosi vodnika in ne le v zunanjosi. Torej je udi v noranjosi vodnika določena magnena energija, ki prispeva k celoni indukivnosi vodnika. Primer: Določimo indukivnos na enoo dolžine za noranjos (okroglega) vodnika polmera,5 cm. Vodnik je iz neferomagnenega maeriala. Slika: Okrogel vodnik polmera R. Izračun: Najprej z uporabo Amperovega zakona določimo gosoo preoka v µ I noranjosi in dobimo B = r (glej poglavje o Amperovem zakonu). Nao πr zapišemo gosoo energije znoraj vodnika v skladu z enačbo:

12 Energija magnenega polja. µ I r / r B w = =. Gosoo energije je porebno inegrirai po celonem µ π µ volumnu vodnika W w dv r ( πrdr l ) r I I l r µ µ = = = π µ 6π V, kjer je l dolžina W µ I vodnika. Indukivnos znoraj vodnika je enaka = = l. Dobimo I 8π zanimiv rezula, da indukivnos noranjosi vodnika ni odvisna od polmera vodnika. Na enoo dolžine je enaka 7 4π / l = = 5 nh/m. 8π Dodano: Določimo še preosalo indukivnos vodnika (v okolici). Polje je udi izven vodnika, kar je seveda udi porebno upoševai pri indukivnosi I vodnika. Jakos polja izven vodnika je H =, gosoa energije je orej πr µ H µ I w = = πr, celona energija pa µ I dr W = lπrdr = k = πr r r r. Dobimo rezula, s kaerim prav goovo ni nekaj v redu, saj energija ne more bii neskončna. Pa vendar, rezula je smiseln, če je smiseln udi neskončen vodnik. Neskončen vodnik pa je le koncep, ki nam poenosavi razumevanje polja, saj zelo dolg vodnik v svoji okolici povzroča polje, ki ni dosi drugačno, ko bi ga povzročal neskončen vodnik. Se pa zaplee pri določenih izračunih, kjer posane neskončnos problemaična, ko je na primer računanje fluksa ali energije v neskončni okolici vodnika. Rešiev je v upoševanju realnih primerov, kjer mora bii vodnik zaključen, da lahko v njem eče ok. Tak je primer dvovoda, ki smo ga že obravnavali v poglavju o magnenem preoku, kjer smo izračunali indukivnos med dvovodoma. ahko pa indukivnos akega dvovoda obravnavamo udi iz izraza za energijo, kjer je porebno nameso inegracijo do neskončnosi inegrirai od polmera vodnika do sredine drugega vodnika. Dobimo d I l d µ I µ dr µ I l d W = lπrdr = = ln πr 4π r 4π r in r r W µ l d = = ln. S em smo upoševali šele energijo, ki jo prispeva en vodnik. Za I π r celono indukivnos dvovoda moramo upoševai fluksa obeh vodnikov, skupni

13 Energija magnenega polja. rezula še z indukivnosjo v noranjosi vodnika bo dvovoda µ l µ l d µ l 4π π r π 4 = + ln = + d ln r. 5 Magnena sila. Ko nas zanima sila med poloma magnea, v zračni reži magnea ali pa med dvema vodnikoma s okom, moramo ločii dva primera: ) ko ni virov, ki bi dovajali energijo v sisem. Tedaj bo X komponena sile enaka F ali v splošnem kjer je W x W = (.) m x Φ = kons Wm Wm Wm F =,, x y z Φ = kons, (.) sprememba energije shranjene v magnenem polju. Mehansko delo bo v em primeru zmanjšalo magneno energijo. Tipičen primer je rajni magne. ) Ko je vir priključen in konsanen bo X komponena enaka F x W =. (.) m x I = kons V em primeru pa bo opravljeno mehansko delo rezuliralo v povečanju magnene energije, ki bo prišla iz vira(ov). Tipičen primer je elekromagne. Vzemimo rajni magne z režo razdalje x in preseka A v smeri osi X. Magnena energija v zračni reži je W δ Bδ Ax =. Pri em smo predposavili, da v zračni reži ni µ sresanja polja. Silo dobimo z odvajanjem energije po x-u: F x Wδ = = x Bδ A µ Predznak pomeni predvsem o, da bo energija sisema po opravljenem mehanskem. 5 Rezula je pravilen, čeprav je bil izračun indukivnosi izven noranjosi vodnika nekoliko poenosavljen. Bolj poglobljena analiza upoševa razdeliev vodnika na splošne zanke in izračun povprečnega preoka med dvovodoma. (Glej na npr. A.R: Sinigoj: Osnove elekromagneike) Končni rezula pa je enak, ko a, ki smo ga navedli.

14 Energija magnenega polja. delu manjša ko pred em. Sila med poloma je vedno aka, da ju vleče skupaj, kar velja udi za sisem magne feromagneik. V em primeru pride do analognega procesa ko pri elekrični indukciji. Na srani feromagneika, ki je bliže severnemu polu magnea, se inducira južni pol (usmerijo se magneni dipolni momeni), kar pomeni, da se rajni magne in feromagneik privlačia. Poseben primer so diamagneiki, ki bi se odbijajo od magneov 6. Primer: Magneno jedro E oblike na skici (a = 5 cm, A = cm ) z µ r = ima magneilno uljavo na srednjem sebru. Določimo ežo pločevine, ki jo še lahko drži elekromagne, če je v N = ovojih ok, A. Magneno upornos pločevine zanemarimo, zaradi hrapavosi površine pa upoševamo 5 µm dolžine zračne reže. Slika: Magneno jedro E oblike. Izračun: Narišemo magneno vezje in določimo fluks v srednjem sebru. Dobimo Φ Φ R + R NI NI µ ANI a a δ a δ µ µ A µ µ A µ A µ m δ Rm + = = = r r r. 4,7µWb Upoševai moramo silo v vseh reh zračnih režah, formulo za silo v zračni reži pa B A Φ zapišemo s fluksom F = =. Upoševamo še, da je v sranskih sebrih fluks µ µ A x manjši od isega v srednjem sebru in dobimo 3 Φ F = ( Φ + Φ ) = 347,4 N. To silo izenačimo s silo eže in dobimo µ A µ A 347,4 N m = 35,45 kg. 9,8 m/s 6 Odboj je neodvisen od posavive diamagneika in omogoča lebdenje (leviacija) diamagnenega maeriala. Ker pa so i efeki zelo šibki, so za opazovanje lebdenja porebna zelo velika polja, ki jih običajno dosežemo s superprevodnimi magnei.

15 Energija magnenega polja. SIKA: Gosoa energije je pomemben podaek za izbiro rajnih magneov. Največjo energijsko vrednos imajo Nd-Fe-B in Sm-Co. V končni fazi je seveda izbira maeriala odvisna od razmerja med ceno in učinkom. Primer kolokvijskih in izpinih nalog : Magnena sila: izpi, 3. januar 7 izpi, 4. februar 5 Energija: Drugi kolokvij OE II, 9.5. kolokvij (.6.)

16 Energija magnenega polja. POVZETEK: ) V primeru linearne zveze med fluksom in okom v magneni srukuri, lahko energijo sisema (uljave) izrazimo z lasno indukivnosjo ko W ( ) = i ( ). ) V primer dveh sklopljenih linearnih sisemov velja zveza W = i + i ± Mi i, ki je v primeru isega oka skozi oba elemena W = ( ) + ± M i ali udi nad W i =, kjer je nad = + ± M. Predznak je odvisen od ega ali se fluksa obeh uljav podpiraa ali nasproujea. 3) Če je zveza med fluksom in okom nelinearna, je porebno magneno energijo določii iz gosoe energije, ki je enaka wmag ( ) = H d B. Gre za B( ) inegracijo magneilne krivulje vzdolž B osi. 4) V primeru linearne ali linearizirane magneilne krivulje, je gosoa energije določena z B w( B ) =, celona energija v jedru (ob predposavki µ B homogenosi polja v jedru) pa W = V. µ 5) Površina hisrezne zanke je sorazmerna hisereznim izgubam. Zao so za uporabo pri velikih izmeničnim signalih (npr. ransformaorji) bolj primerna mehkomagnena jedra. Moč hisereznih izgub je p = f A, kjer je f frekvenca vzbujalnega signala. his BH zanke I 6) Z upoševanjem izraza za energijo uljave W = lahko ob poznavanju W energije določimo lasno indukcivnos ko =. I 7) Silo v magnenem polju dobimo s parcialnim odvajanjem magnene Wm Wm Wm energije in je F = ±,,. Predznak je odvisen od ega, ali je x y z v sisem vključen vir (poziivni predznak) ali ni vira (negaiven predznak). Bδ A Sila v zračni reži je F =. Predznak nasopa v smislu zmanjšanja µ energije sisema oziroma privlačne sile med poloma elekromagnea.