Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
|
|
- Αμάραντος Μαυρίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) , (b) + 0, (c) + 0, (d) Rešitev: Homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti so enačbe oblike + a + b 0 Z nastavkom e λ pridemo do karakteristične enačbe λ + aλ + b 0 Rešitvi λ 1, karakteristične enačbe imenujemo karakteristični števili Splošna rešitev enačbe je odvisna od karakterističnih števil Zapišemo jo lahko v obliki: () C 1 e λ 1 + C e λ, če sta λ 1 λ realni števili () (C 1 + C )e λ, če je λ 1 λ λ R () C 1 e λ cos ω + C e λ sin ω, če je λ 1 λ + iω in λ λ iω (a) : Karakteristična enačba λ 6λ ima rešitvi λ 1 in λ Torej je splošna rešitev diferencialne enačbe () C 1 e + C e (b) + 0 : Karakteristična enačba λ λ ima rešitev λ 1 λ 1 Splošna rešitev je () (C 1 + C )e (c) + 0 : Karakteristična enačba λ ima imaginarni rešitvi λ 1 i, λ i Splošna rešitev se zato glasi () C 1 cos + C sin 1
2 (d) : Karakteristična enačba λ + λ + 0 ima kompleksni rešitvi λ i in λ 1 i Splošna rešitev pa je () C 1 e cos + C e sin () Z metodo nedoločenih koeficientov reši nehomogene diferencialne enačbe: (a) + 3 3, (b) e + 0, (c) sin, (d) + cos, (0) 0, (0) 1 Rešitev: Nehomogeno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti lahko zapišemo v obliki + a + b r(), kjer je nehomogeni člen r() ponavadi vsota členov, ki so oblike p()e λ cos ω ali pa p()e λ sin ω Splošna rešitev enačbe je oblike h + p, kjer je h rešitev homogene enačbe, partikularno rešitev p pa lahko poiščemo z metodo nedoločenih koeficientov z naslednjim nastavkom: Nehomogeni člen Število Nastavek p n ()e λ λ P n ()e λ p n () cos ω, p n () sin ω ±iω P n () cos ω + Q n () sin ω p n ()e λ cos ω, p n ()e λ sin ω λ ± iω P n ()e λ cos ω + Q n ()e λ sin ω Pri tem sta P n in Q n poljubna polinoma iste stopnje kot polinom p n Če je število, ki pripada nehomogenemu členu, ničla karakteristične enačbe stopnje s, moramo nastavek pomnožiti z s Če je nehomogeni člen vsota večih členov, izračunamo partikularno rešitev za vsak člen posebej in nato te rešitve seštejemo (a) : Homogeni del: Karakteristična enačba λ λ ima rešitvi λ 1 1 in λ 3 Dobimo h () C 1 e + C e 3
3 Nehomogeni del: Nehomogeni del je linearna funkcija, zato vzemimo za nastavek poljubno linearno funkcijo p () A + B Od tod sledi: p() A, p() 0 Če to vstavimo v diferencialno enačbo, dobimo kar prepišemo v sistem enačb: A + 3(A + B) 3, 3A 3, 3B A Rešitev tega sistema je A 1 in B 0 Sledi p () in () C 1 e + C e 3 + (b) e + 0 : Homogeni del: Karakteristična enačba λ 7λ ima rešitvi λ 1 in λ 5, kar nam da Nehomogeni del: h () C 1 e + C e 5 Nehomogeni del je tukaj vsota eksponentne funkcije in pa konstante Zato bomo vzeli nastavek p () Ae + B Dobimo p() Ae in p() Ae Če to vstavimo v diferencialno enačbo, dobimo kar prepišemo v sistem enačb: Ae 7Ae + 10(Ae + B) e + 0, A, 10B 0, ki ima rešitev A 1, B Sledi p () e + in () C 1 e + C e 5 + e + 3
4 (c) sin : Homogeni del: Karakteristična enačba λ + λ 5 0 ima rešitvi λ 1 1 in λ 5, zato je Nehomogeni del: h () C 1 e + C e 5 Na desni strani imamo sinusno funkcijo, zato bomo vzeli nastavek p () A sin +B cos p() A cos B sin, p() A sin B cos Ko to vstavimo v diferencialno enačbo, dobimo enačbo: A sin B cos + A cos B sin 5A sin 5B cos 6 sin, ( 6A B) sin + (A 6B) cos 6 sin S primerjavo koeficientov pri funkcijah sin in cos pridemo do sistema enačb: 6A B 6, A 6B 0, ki ima rešitev A 3, B Torej je p () 3 sin cos, splošna rešitev pa je () C 1 e + C e 5 3 sin cos (d) + cos, (0) 0, (0) 1 : Homogeni del: Karakteristična enačba λ ima rešitvi λ 1 i in λ i Sledi Nehomogeni del: h () C 1 cos + C sin Nehomogeni člen je kosinusna funkcija, zato je primeren nastavek p () A cos +B sin Ker pa je i hkrati enojna rešitev karakteristične enačbe, moramo ta nastavek pomnožiti z, da dobimo p () (A cos + B sin ) Odvoda partikularne rešitve sta enaka: Sedaj dobimo enačbo p() A cos + B sin + ( A sin + B cos ), p() A sin + B cos + ( A cos B sin ) A sin + B cos + ( A cos B sin ) + (A cos + B sin ) cos,
5 od koder sledi: A 0, B Partikularna rešitev je tako enaka p () sin, splošna rešitev enačbe pa je () C 1 cos + C sin + sin Konstanti C 1 in C bomo določili z upoštevanjem začetnih pogojev Iz enakosti sledi: () C 1 sin + C cos + sin + cos 0 (0) C 1, 1 (0) C Rešitev enačbe pri danih začetnih pogojih je torej funkcija () ( + 1) sin (3) Reši sistem navadnih diferencialnih enačb: ẋ, ẏ Rešitev: Homogen sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda s konstantnimi koeficienti je sistem oblike A, kjer je (t) R n in A R n n Rešitev sistema NDE je odvedljiva vektorska funkcija : I int R R n, za katero je (t) A (t) za vsak t I Grafično si lahko sistem predstavljamo kot vektorsko polje A, rešitve sistema pa so krivulje, ki so tangentne na vektorsko polje V našem primeru ponazarja vektorsko polje vrtinec, ki kroži okrog izhodišča v pozitivni smeri Pokazali bomo, da so rešitve sistema enačb parametrično podane krožnice s središči v koordinatnem izhodišču t 5
6 1 način: Sisteme NDE prvega reda v dveh dimenzijah lahko rešimo s prevedbo na eno enačbo drugega reda Z odvajanjem prve enačbe dobimo ẍ ẏ Če upoštevamo, da je ẏ, pridemo do enačbe ẍ + 0 Splošna rešitev te enačbe je Ker je ẋ, od tod sledi še (t) C 1 cos t + C sin t (t) C 1 sin t C cos t Če začetnih pogojev ne omenjamo eksplicitno, ponavadi privzamemo oznaki (0) 0 in (0) 0 V našem primeru tako dobimo C 1 0 in C 0 Rešitev sistema lahko zapišemo v matrični obliki (t) (t) Matrika cos t sin t sin t cos t cos t sin t R t sin t cos t 0 0 predstavlja rotacijo za kot t v pozitivni smeri okoli izhodišča, kar pomeni, da točka, ki je na začetku v položaju ( 0, 0 ), kroži okoli izhodišča, ob času t pa je zavrtena za kot t glede na začetni položaj t 0, 0 t način: Sisteme enačb v višjih dimenzijah običajno raje rešujemo z računanjem matričnih eksponentov Rešitev sistema A je namreč funkcija (t) e ta (0), kjer je matrični eksponent definiran s Talorjevo vrsto e ta t n A n, n! n0 ki konvergira za vsako matriko A in vsak t R Včasih lahko to vrsto izračunamo direktno po definiciji, v splošnem pa si pomagamo s prevedbo matrike na Jordanovo kanonično formo V našem primeru lahko eksplicitno izračunamo potence matrike A Najprej je A Id
7 Nadalje je A 3 A in A Id, kar pomeni, da je zaporedje (A n ) periodično s periodo Sedaj je: e ta Id + ta + t A + t3 A 3 + t A 3! )! t t Id (1 +! t6 6! + + A +, ) (t t3 3! + t5 5! t7 7! + Izraza v oklepajih sta Talorjevi vrsti funkcij cos in sin, kar pomeni, da je cos t sin t e ta sin t cos t Tako smo prišli po drugi poti do istega rezultata Opomba: Omenili smo že, da matrika cos ϕ sin ϕ R ϕ sin ϕ cos ϕ predstavlja rotacijo za kot ϕ v pozitivni smeri okoli izhodišča Matriki 0 ϕ dr ϕ ϕ 0 rečemo infinitezimalna rotacija (čeprav v resnici ni rotacija), saj za majhne kote ϕ velja formula R ϕ Id + dr ϕ Tu gre za analogijo aproksimacije grafa funkcije s tangento, le da tukaj aproksimiramo matrično funkcijo R Φ Id dr Φ Φ Kot smo že pokazali, je to le aproksimacija prvega reda natančne formule R ϕ e dr ϕ () Reši sistema diferencialnih enačb z izračunom Jordanovih kanoničnih form: (a) ẋ, ẏ +, (b) ẋ +, ẏ + 3, (0) 0, (0) 1 Rešitev: V praksi pogosto računamo eksponente matrik na naslednji način (ki je uporaben predvsem v višjih dimenzijah) Če je matrika diagonalna ali pa Jordanova kletka, je: λ 1 J λ e 0 λ tj λ e λt te λt 0 e λt, λ1 0 e D e 0 λ td λ 1 t 0 0 e λ t 7
8 V splošnem primeru lahko matriko prevedemo v Jordanovo kanonično formo A P JP 1, kjer je P prehodna matrika, J pa ali diagonalna matrika ali pa Jordanova kletka velikosti dva Tedaj je e ta P e tj P 1 Matrika A ima lahko tudi dve konjugirano kompleksni lastni vrednosti V tem primeru moramo računati v kompleksni aritmetiki (a) Rešujemo sistem ẋ(t) ẏ(t) Najprej bomo prevedli matriko sistema A v Jordanovo kanonično formo A P JP 1 Lastne vrednosti matrike A so rešitve enačbe λ 1 1 λ λ(1 λ) λ λ 0 Lastni vrednosti sta torej λ 1 in λ 1 Lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ 1, mora zadoščati enačbi Vzamemo lahko na primer v 1 (1, ) Lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ, pa zadošča enačbi Vzemimo v (1, 1) Tako dobimo prehodno matriko in njen inverz 1 1 P, P Od tod lahko izračunamo eksponent e ta : e ta e 3 t e t e t + e t e t e t e t e t e t + e t Rešitev danega sistema je (t) 1 e (t) 3 t + e t e t e t 0 e t e t e t + e t 0 Poglejmo še skico vektorskega polja in rešitev sistema V smereh lastnih vektorjev imamo tokovnice, ki gredo proti ali iz izhodišča (odvisno od predznaka lastne vrednosti) 8
9 (b) Sedaj imamo sistem diferencialnih enačb ẋ(t) 1 1 ẏ(t) 3 Računajmo 1 λ 1 3 λ ( 1 λ)(3 λ) + λ λ Imamo eno dvojno lastno vrednost λ 1, vendar pa je dim ker(a I) 1, kar pomeni, da imamo en lastni in en posplošeni lastni vektor Za posplošeni lastni vektor lahko vzamemo v (1, 0), od tod pa potem sledi v 1 (A I)v (, ) Prehodna matrika in njen inverz sta P 1 0 Eksponent e ta je enak: e ta 1 1 e t te t 0 0 e t, P t t e t t 1 + t Če upoštevamo začetna pogoja (0) 0 in (0) 1, dobimo rešitev (t) te t (t) (1 + t)e t Poglejmo še skici (5) Telo z maso m se premika pod vplivom sile teže Na začetku je na višini 0 in ima hitrost v v smeri, ki je pod kotom ϕ glede na vodoravnico (a) Izračunaj parabolo leta (b) Izračunaj domet telesa Rešitev: (a) Pri tej nalogi si bomo pogledali poševni met Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da se v začetnem trenutku masna točka nahaja na -osi 9
10 v vcosφ,vsinφ 0, 0 0 D Masna točka se giblje pod vplivom sile teže F (0, mg), njen položaj ob času t pa bomo označili z r(t) ((t), (t)) Gibanje točke po prostoru določa drugi Newtonov zakon F m r Matematično gledano je to sistem dveh navadnih diferencialnih enačb drugega reda, ki ga po komponentah lahko zapišemo v obliki: mẍ 0, mÿ mg Rešitev takšnega sistema diferencialnih enačb je določena z začetnim položajem in pa z začetno hitrostjo točke: r(0) (0, 0 ), r(0) (v cos ϕ, v sin ϕ) V našem primeru so na srečo komponente sistema separirane, zato lahko vsako enačbo rešimo posebej V bistvu nam niti ni potrebno znati reševati diferencialnih enačb, saj zadostuje že dvakratno integriranje V smeri osi : Z integriranjem enačbe mẍ 0 (oziroma ẍ 0) dobimo: ẋ C, Ct + D Z upoštevanjem začetnih pogojev (0) 0 in ẋ(0) v od tod sledi V smeri osi : (t) v cos ϕ t V navpični smeri z integriranjem enačbe mÿ mg (oziroma ÿ g) dobimo: ẏ gt + C, 1 gt + Ct + D Če upoštevamo, da je (0) 0 in ẏ(0) v sin ϕ, dobimo (t) 1 gt + v sin ϕ t
11 Trajektorija točke pri poševnem metu je torej r(t) (v cos ϕ t, 1 ) gt + v sin ϕ t + 0 V tem zapisu za vsak čas natančno vemo, kje se točka nahaja Če iz enakosti v cos ϕ t izrazimo t in rezultat vstavimo v 1 gt + v sin ϕ t + 0, pa dobimo, da se točka giblje po paraboli g v cos ϕ + tg ϕ + 0 (b) Sedaj nas bo zanimalo, kje točka pade na tla Tam bo 0 oziroma g v cos ϕ + tg ϕ Ta kvadratna enačba ima dve rešitvi: eno pozitivno in eno negativno Pozitivna rešitev je enaka dometu tg ϕ + tg ϕ + g 0 v D cos ϕ Če mečemo s tal, je D v g g v cos ϕ sin ϕ, od koder sledi, da bo domet maksimalen, če je začetni kot enak ϕ 5 11
Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Tretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
diferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Navadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Reševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
vezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Funkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Matematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb
Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2017/2018 Za kaj rabimo diferencialne
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Numerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Kotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Navadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Lastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Matematične metode v fiziki II. B. Golli, PeF
Matematične metode v fiziki II B. Golli, PeF 8. september 2014 2 Kazalo 1 Navadne diferencialne enačbe (NDE) 5 1.1 Uvod.............................................. 5 1.1.1 Diferencialne enačbe v fiziki.............................
Odvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Jasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE. za finančno matematiko
Jasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE za finančno matematiko Ljubljana 211 naslov: DIFERENCIALNE ENAČBE ZA FINANČNO MATEMATIKO avtorske pravice: Jasna Prezelj izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Jasna
Afina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Kotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Uporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Definicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti
11. Posplošeni problemi lastnih vrednosti Dani sta kvadratni n n matriki A in B. Množico vseh matrik oblike A λb, kjer je λ C, imenujemo matrični šop in označimo z (A, B) ali A λb. Karakteristični polinom
1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Kombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Osnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Osnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Najprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Problem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
VEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod
Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod Borut Jurčič - Zlobec Andrej Perne Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Ljubljana 6 Kazalo Iterativno reševanje nelinearnih enačb 4 Navadna
Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Splošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Navadne diferencialne enačbe
Poglavje 6 Navadne diferencialne enačbe 6.1 Uvod Splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n-tega reda F(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 je n-parametrična družina funkcij. Kadar želimo iz splošne rešitve
1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE
Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p p RAK: P-XII//74 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE L
Naloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.
1 Rešene naloge Naloge iz vaj: Sistem togih teles 1. Tročleni lok s polmerom R sestavljen iz lokov in je obremenjen tako kot kaže skica. Določi sile podpor. Rešitev: Lok razdelimo na dva loka, glej skico.
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Problem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
1.(a) Kdaj ima A R 2 mero 0? (b) Naj bo D enotski krog in f : D R taka, da je f ds = 0. Kaj lahko rečeš o funkciji f?
Test iz Analize II (. semester), 2.2.2008 Priimek, ime, šifra:.(a) Kdaj ima A R 2 mero 0? (b) Naj bo D enotski krog in f : D R taka, da je f ds = 0. Kaj lahko rečeš o funkciji f? D 2. a) Formuliraj izrek
Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Poglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
8. Navadne diferencialne enačbe
8. Navadne diferencialne enačbe 8.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I
Kemijska tehnologija Visokošolski strokovni program Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 29. 8. 2013 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh
Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Dragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.