Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
|
|
- Ὑπατος Λόντος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne forme bomo uporabili za nalizo vseh možnih krivulj drugega reda v R in ploskev drugega reda v R 3. Definicija in osnovne lastnosti V vektorskem prostoru R n označimo z, običajni skalarni produkt. Naj bo A R n n simetrična matrika. Potem preslikavo q : R n R podano s predpisom q(v) = Av,v za v R n, imenujemo kvadratna forma na R n. Rečemo še, da simetrična matrika A pripada q. 3 x Zgled. Vzemimo n = 3 in A = 0. Označimo še v =. 3 0 z Potem je q(v) = Av,v = x + + z x + 6xz. Na R n lahko kvadratno formo q podamo tudi kot polinom v x i, x ix j, i, j =,...,n, i < j, kjer so x i komponente vektorja v R n, to je x v = x :.x n 0
2 0 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME q(v) = n i= n a ii x i + n i= j=i+ a ij x i x j. Potem je q(v) = Av,v za simetrično matriko a a... a n a a... a n A = a n a n... a nn Zgled. Matrika za kvadratno formo q(v) = 3x +z x+6xz 4z na R 3 je Potem velja q(v) = Av, v. Vzemimo kvadratno formo q : R n R podano z q(v) = Av,v. Naj bo na R n poleg standardne baze S dana še nova baza B. Označimo z v B razvoj vektorja v po bazi B in s P = P BS prehodno matriko med novo bazo in standardno bazo. Torej velja v = Pv B. Iz tega sledi Av,v = APv B,Pv B = P APv B,v B. V bazi B je kvadratna forma q podana s simetrično matriko B = P AP.Ker želimo kvadratne forme opisati do spremembe baze natanko, vpeljemo pojem ekvivalentnosti dveh kvadratnih form. Definicija.3 Kvadratni formi q : R n R in q : R n R, ki jima pripadata zaporedoma matriki A in A, sta ekvivalentni, če obstaja taka obrnljiva matrika P, da je A = P A P. Opomba.4 Iz povedenega sledi, da lahko na dve (različni) kvadratni formi q in q, ki sta ekvivalentni, gledamo kot na eno kvadratno formo v dveh (različnih) bazah. Na množici vseh kvadratnih form q : R n R definiramo relacijo: q in q sta v relaciji, če sta ekvivalentni kvadratni formi. Zlahka se prepričamo, da je ekvivalenčna relacija.
3 . DEFINICIJA IN OSNOVNE LASTNOSTI 03 Trditev. Vsaka kvadratna forma je ekvivalentna kaki kvadratni formi, ki ji pripada diagonalna matrika. Dokaz Naj bo A simetrična matrika, ki pripada kvadratni formi q. Po spektralnem izreku za simetrične matrike, se matriko A da diagonalizirati v kaki ortonormirani bazi. Torej je A = QDQ, kjer je D diagonalna in stolpci matrike Q tvorijo ortonormirano bazo. Zato je QQ = I oziroma Q = Q. Matrika Q je ortogonalna matrika. Tako smo pokazali, da je A = QDQ, kjer je Q obrnljiva matrika. Kvadratni formi, ki pripadata matrikama A in D, sta ekvivalentni. Izrek.6 (Slvestrov izrek o vztrajnosti) Naj bo q : R n R kvadratna forma in A pripadajoča simetrična matrika. Potem je q ekvivalentna kvadratni formi, ki ji pripada matrika I 0 0 S = 0 I 0, (XI.) kjer je I j identična matrika reda s j, j =,, s + s = r(a), s je število pozitivnih lastnih vrednosti (štetih z večkratnostmi) za A in s število negativnih lastnih vrednosti (z večkratnostmi) za A. Dokaz Po prejšnji trditvi je q ekvivalentna kvadratni formi, ki ji pripada diagonalna matrika D. Ker je A simetrična matrika, so vse njene lastne vrednosti realne. Pri tem lahko privzamemo, da je D oblike D 0 0 D = 0 D 0 R n n, kjer sta D in D diagonalni in so vsi diagonalni elementi v D pozitivni in vsi diagonalni elementi v D negativni. Tako je D R s s in D R s s. Ker za vsako pozitivno realno število obstaja realen kvadratni koren, lahko najdemo taki obrnljivi diagonalni matriki E in E, da je E = D in E = E 0 0 D. Označimo P = 0 E 0. Potem je 0 0 I I 0 0 P DP = 0 I 0 = S
4 04 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME Kvadratna forma q je zato ekvivalentna kvadratni formi, ki ji pripada matrika S. Definicija.7 Matriko S iz (XI.) imenujemo Slvestrova matrika za kvadratno formo q(v) = Av,v. Par števil (s,s ) imenujemo signatura kvadratne forme q. Vsoto s + s = r(a) imenujemo rang kvadratne forme q. Opomba.8 Kvadratna forma je s signaturo določena do ekvivalentnosti natanko. Poljubni dve ekvivalentni kvadratni formi imata enako signaturo, neekvivalentni kvadratni formi pa imata različni signaturi. Zgled.9 Poiščimo Slvestrovo matriko za kvadratno formo q(x, ) = 4x na R. Tej kvadratni formi pripada simetrična matrika [ ] 0 A =. 0 Karakteristični polinom za A je p A (λ) = λ 4. Lastni vrednosti za A sta in, zato je signatura za q enaka (,). Slvestrova matrika za q je [ ] 0. 0 Ker bomo kasneje rabili kvadratne forme na R in R 3, navedimo vse možne neekvivalentne kvadratne forme na R in R 3. Izrek.0 Na R imamo naslednje neekvivalentne kvadratne forme: signatura rang kvadratna forma (,0) x + (,) x (0,) x (,0) x (0,) x (0, 0) 0 0 Na R 3 imamo poleg zgoraj naštetih še štiri neekvivalentne kvadratne forme z rangom 3: signatura rang kvadratna forma (3,0) 3 x + + z (,) 3 x + z (,) 3 x z (0,3) 3 x z
5 . KRIVULJE DRUGEGA REDA 0 Definicija. Naj bo A simetrična matrika, ki pripada kvadratni formi q. Naj bo B = {v,v,...,v n } ortonormirana baza iz lastnih vektorjev za A in P ortogonalna matrika, katere stolpci so vektorji v,v,...,v n. Potem je A = PDP, kjer je D diagonalna matrika. Označimo z V i = L (v i ). Potem vektorske podprostore V,V,...,V n imenujemo glavne osi kvadratne forme q. Glavne osi nam določajo ortogonalen koordinatni sistem v R n. Zgled. Poiščimo glavni osi kvadratne forme q(x,) = 4x na R. Pripadajoča matrika je [ ] 0 A = 0 in njeni lastni vrednosti ([ ]) sta α = ([ in α ]) =. Hitro izračunamo, da sta glavni osi V = L in V = L. Krivulje drugega reda Krivulja drugega reda je množica točk [ ] x v R, ki zadoščajo enačbi ax + bx + c + dx + e + f = 0 (XI.) Pri tem privzamemo, da je vsaj eden od koeficientov a,b, c neničeln. Včasih krivuljam drugega reda rečemo tudi stožnice. Kvadratna forma, ki pripada krivulji (XI.), je q(v) = q(x,) = ax + bx + c, kjer je v = Le-tej pripada matrika A = [ ] a b. Torej je b c q(v) = Av,v. Linearni del enačbe (XI.) zapišemo v obliki dx + ex = v,v 0, [ ] x.
6 06 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME kjer je v 0 = obliki [ ] d. Enačbo krivulje drugega reda tako lahko zapišemo tudi v e Av,v + v,v 0 + f = 0. (XI.3) Na kratko si bomo ogledali vse možne krivulje drugega reda. Pri tem bomo ločili več primerov. Primer I Predpostavimo, da je r(a) = in v 0 = 0. Potem je enačba krivulje oblike Av,v + f = 0 (XI.4) [ ] Naj bo A = PDP α 0, kjer je P ortogonalna matrika in D = diagonalna matrika. Z V in V označimo glavni osi za (XI.4). Ti dve glavni 0 α osi kvadratne forme q imenujemo glavni osi krivulje (XI.4). Pišimo še [ ] x = v = P v. V koordinatah x in ima krivulja (XI.4) enačbo α x + α = f. Ker je r(a) =, sta α in α neničelna. Sedaj ločimo več možnosti: a) Če je f = 0, je enačba za (XI.4) enaka α x + α = 0. (XI.) - Če sta α in α oba pozitivna ali oba negativna, je edina rešitev enačbe (XI.) točka (0, 0). - Če sta α in α različnih predznakov, npr. α > 0 in α < 0, potem (XI.) lahko zapišemo v obliki (β x + β )(β x β ) = 0, (XI.6) kjer je β = α in β = α. Rešitev enačbe (XI.6) sta premici, ki se sekata v točki 0. b) Predpostavimo, da je f 0. Označimo γ = f α in γ = f α. Potem ima krivulja (XI.4) enačbo Ločimo tri možnosti. x γ + γ =. (XI.7)
7 . KRIVULJE DRUGEGA REDA 07 [ ] x (i) Če sta oba γ in γ negativna, potem nobena točka ne zadošča enačbi (XI.7). (ii) Če je eden od γ ali γ pozitiven in drugi negativen, potem je (XI.7) enačba hiperbole. (iii) Če sta oba γ in γ pozitivna, je (XI.7) enačba elipse. Števili γ in γ v (ii) oziroma (iii) imenujemo polosi hiperbole, oziroma elipse. Zgled. Narišimo krivuljo drugega reda z enačbo x 8x+ = 4. Kvadratni formi x 8x + pripada matrika [ ] 4 A =. 4 Ta ima karakteristični polinom p A (λ) = λ 0λ + 9 = (λ ([ 9)(λ ]) ). Lastni vrednosti sta α = in α = 9. Glavni osi sta L in ([ ]) L, oziroma premici z enačbama = x in = x. V koordinatnem sistemu [ ] [ x ] [x ] = ima krivulja enačbo oziroma x + 9 = 4, x =. Krivulja je elipsa in njeni polosi sta in 3. x x
8 08 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME Primer II Predpostavimo, da je r(a) = in v 0 0. Ker je A obrnljiva matrika, obstaja tak vektor u 0, da je Au 0 = v 0. Potem lahko enačbo krivulje (XI.3) preoblikujemo v 0 = Av,v + v,au 0 + f = = Av,v + Av,u 0 + Au 0,v + 4 Au 0,u 0 4 Au 0,u 0 + f = = A(v + u 0),v + u 0 4 Au 0,u 0 + f. Če označimo v = v + u 0 in f = f 4 Au 0,u 0, potem ima krivulja enačbo Av,v + f = 0. Glede na premaknjeni koordinatni sistem, ima krivulja enačbo brez linearnega dela. Krivulje s tako enačbo pa smo že obravnavali v primeru I. Omenimo še, da glavni osi kvadratne forme Av,v imenujemo glavni osi krivulje (XI.3). Zgled. Katera krivulja drugega reda je podana z enačbo 0x 0x + 60x 0 = 0? Matrika, [ ki pripada ] kvadratni formi q(x,) = 0x 0x je 0 0 A =. Njena determinanta je deta = 0, zato je r(a) = 0 [ ] x. Poiščimo koordinatni sistem v =, v katerem ima krivulja enačbo [ ] 60 brez linearnega dela. Vektor v 0 za krivuljo je v 0 =. Potem je 0 [ ][ ] [ ] u 0 = A v 0 = =. Novi koordinatni sistem je [ ] [ ] v x x = = + [ ] [ ] x + =. 4 V tem koordinatnem sistemu ima krivulja enačbo Pri tem je 4 Au 0,u 0 = 30. 0x 0x 0 = 0. Karakteristični polinom za matriko A je p A (λ) = λ λ 0 = = (λ )(λ + 0). Lastni vrednosti sta α = in α = 0. Glavni
9 . KRIVULJE DRUGEGA REDA 09 ([ ]) ([ ]) osi sta V = L in V = L. To sta premici z enačbama = x in = x. V originalnih koordinatah sta to premici = x + 3 in = x + 4. V koordinatnem sistemu [ ] x = [ ] [x ] ima krivulja enačbo x 0 = 0 oziroma x 0 3 =. To je enačba hiperbole, katere polosi sta 0 3 in.
10 0 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME x x 3 4 x 3 4 Primer III Predpostavimo, da je r(a) =. Potem je σ(a) = {0,α}, kjer je α 0. Naj bo A = PDP, kjer je P ortogonalna in D diagonalna matrika. Glede na koordinate [ ] [ ] v x = = P x ima krivulja enačbo α + γx + δ + ϕ = 0. Ker je α 0, to enačbo delimo z α in dobimo + γ α x + δ α + ϕ α = 0
11 . KRIVULJE DRUGEGA REDA in ( + δ ) + γ α α x + ϕ α δ 4α = 0. Označimo = + δ α, γ = γ α in ϕ = ϕ α δ. Enačba krivulje je 4α potem + γ x + ϕ = 0. Ločimo več možnih primerov. a) Denimo, da je γ = 0. - Potem v primeru, ko je ϕ > 0 nimamo nobene rešitve, - v primeru, ko je ϕ = 0, dobimo eno premico = 0 ter - v primeru ϕ < 0 dve vzporedni premici = ± ϕ. b) Če je γ 0, označimo x = x + ϕ γ. Potem ima krivulja enačbo To je enačba parabole. + γ x = 0. Zgled.3 Poiščimo, katero krivuljo predstavlja enačba x x + 4 x + 4 = 0. Kvadratna forma x x + ima matriko [ ] A =, ki ima karakteristični polinom p A (λ) = λ λ. Lastni vrednosti sta 0{ in [, ] rang [ A je]} enak. Ortonormirana baza iz lastnih vektorjev je, in novi spremenljivki sta [ ] x = [ x + x ]. Velja še [ ] x = [ x + x ]. Potem je enačba krivulje 4x = 0, oziroma x + = 0. Vpeljemo še novi spremenljivki = in x = x in dobimo x = 0 oziroma x =.
12 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME To je enačba parabole. x x x 3 Povzemimo: Pokazali smo, da so krivulje drugega reda elipsa, hiperbola in parabola - te imenujemo neizrojene krivulje drugega reda - ter prazna množica, točka, premica, par vzporednih in par sekajočih se premic. Te zadnje primere imenujemo izrojeni primeri krivulj drugega reda. 3 Ploskve drugega reda V R 3 je z enačbo ax + b + cz + dx + exz + fz + gx + h + iz + j = 0, (XI.8) kjer je vsaj eden od a,b, c, d, e, f neničeln, podana ploskev, ki jo imenujemo ploskev drugega reda. Kvadratna forma, ki pripada ploskvi z enačbo (XI.8), je ax + b + cz + a d e dx + exz + fz. Tej pripada matrika A = d b f. Linearen del e f c x zapišemo v obliki skalarnega produkta gx+h +iz = v,v 0, kjer je v = z g in v 0 = h. Enačbo (XI.8) lahko zapišemo v obliki i Av,v + v,v 0 + j = 0. (XI.9)
13 3. PLOSKVE DRUGEGA REDA 3 Podobna analiza, kot pri krivuljah, nas privede do vseh možnih ploskev drugega reda. Navedli bomo vse možnosti. Spet moramo ločiti več primerov. Primer I Naj bo r(a) = 3 in v 0 = 0. α 0 0 Naj bo A = PDP, kjer je P ortogonalna in D = 0 α 0 diagonalna 0 0 α 3 matrika. V koordinatah ima ploskev enačbo x v = = P v z α x + α + α 3 z = β. (XI.0) Po potrebi pomnožimo enačbo z, tako da je β 0. a) Privzemimo najprej, da je β > 0. Sedaj ločimo več možnosti glede na signaturo kvadratne forme α x + α + α 3 z. (XI.) - Če je signatura enaka (3, 0), potem je ploskev (XI.0) elipsoid. elipsoid - Če je signatura enaka (, ) je ploskev enodelni hiperboloid. - Če je signatura enaka (, ), je ploskev dvodelni hiperboloid.
14 4 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME enodelni hiperboloid dvodelni hiperboloid - V primeru, da je signatura enaka (0,3), nobena točka ne ustreza enačbi (XI.0). b) Obravnavajmo še primer β = Če je signatura kvadratne forme (XI.) enaka (3,0) ali (0,3), dobimo samo točko (0, 0, 0). Če je signatura enaka (,) ali (,), dobimo (eliptični) stožec. eliptični stožec Primer II Naj bo rang r(a) = 3 in v 0 0. Označimo z u 0 vektor, za katerega je Au 0 = v 0. Potem z uvedbo novih spremenljivk v = v+ u 0 enačbo (XI.9) prevedemo na obliko brez linearnega dela. To pa smo že obravnavali v primeru I.
15 3. PLOSKVE DRUGEGA REDA Primer III Privzemimo, da r(a) =. Z uvedbo novih spremenljivk v = P v prevedemo enačbo (XI.9) v obliko α x + α + β x + β + β 3 z + γ = 0. Z uvedbo novih spremenljivk x = x + β α in = + β α gornjo enačbo prevedemo na obliko α x + α + βz + γ = 0. (XI.) Tu smo pisali β namesto β 3. Po potrebi lahko z množenjem z dosežemo, da je γ 0. Sedaj ločimo več primerov. a) Če je β 0, vpeljemo novo spremenljivko z = z + γ β. Ploskev ima potem enačbo α x + α + βz = 0. - Če je signatura kvadratne forme α x + α enaka (,0) ali (0,), dobimo eliptični paraboloid. eliptični paraboloid - Če je signatura enaka (,), pa dobimo hiperbolični paraboloid (ali sedlo). hiperbolični paraboloid
16 6 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME b) Če pa je β = 0 in γ < 0, potem imamo enačbo α x + α + γ = 0. (XI.3) - Če je signatura kvadratne forme α x + α enaka (,0), dobimo eliptični valj. - Če je signatura enaka (,), dobimo hiperbolični valj. eliptični valj hiperbolični valj - V primeru, da je signatura enaka (0,), nobena točka ne ustreza enačbi (XI.3). c) Zadnja možnost v tem primeru je β = γ = 0. Potem enačba α x + α = 0 predstavlja: - premico, če je signatura kvadratne forme α x + α enaka (,0) ali (0,). - dve ravnini, ki se sekata v premici, če je signatura enaka (,). Primer IV Obravnavati moramo še primer, ko je r(a) =. Z uvedbo novih spremenljivk v = P v prevedemo enačbo (XI.9) v obliko α x + β x + β + β 3 z + γ = 0. Z uvedbo nove spremenljivke x = x + β α dobimo α x + β + β 3 z + γ = 0. a) Če je β 0, potem uvedemo novo spremenljivko = + β 3 β z + γ β,
17 3. PLOSKVE DRUGEGA REDA 7 b) če pa je β = 0 in β 3 0, potem uvedemo novo spremenljivko = z + γ β 3. V obeh primerih dobimo enačbo To je enačba paraboličnega valja. α x + β = 0. parabolični valj c) Zadnja možnost, ki še ostane, je primer β = β 3 = 0. Tedaj je enačba oblike α x + γ = 0, oziroma x = γ α. - Če je γ α > 0, potem nimamo rešitve. - Če je γ = 0, je dobljena ploskev ravnina, - če pa je γ α < 0, dobimo par vzporednih ravnin. Za konec navedimo še vse možne vrste ploske drugega reda in za vsako enostaven zgled enačbe, ki ji ustreza. Tudi tu ločimo neizrojene in izrojene primere. Neizrojene ploskve drugega reda so: vrsta zgled enačbe elipsoid x + + z = enodelni hiperboloid x + z = dvodelni hiperboloid x z = stožec x + z = 0 eliptični paraboloid x + z = 0 hiperbolični paraboloid x z = 0 eliptični valj x + = hiperbolični valj x = parabolični valj x = 0
18 8 POGLAVJE XI. KVADRATNE FORME Izrojene ploskve drugega reda so: vrsta zgled enačbe točka x + + z = 0 premica x + = 0 dve ravnini x = 0 ravnina x = 0 par vzporednih ravnin x = prazna množica x =, x + =, x + + z = Zgled 3. Določimo, katero ploskev predstavlja enačba x + xz + z =. Simetrična matrika, ki pripada kvadratni formi q(x,, z) = x + xz + z, je 0 A = Njen karakteristični polinom je p A (λ) = λ 3 +λ +λ. Ker je p A ( ) > 0, p A ( ) < 0, p A (0) < 0, p A () > 0 in p A () < 0, ima p A (λ) eno negativno in dve pozitivni ničli. Signatura kvadratne forme q je (, ). Zato enačba predstavlja enodelni hiperboloid. Zgled 3. Določimo vrsto ploskve drugega reda, podane z enačbo x z + 4x + x + 7z + 0 = 0. Kvadratna forma je x z + 4x in ima simetrično matriko 0 A = Rang matrike A je. Ker je matrika bločno diagonalna, hitro dobimo njen karakteristični polinom: p A (λ) = (λ λ)( λ) = λ(λ )(λ ). Spekter matrike A je σ(a) = {0,,} in signatura kvadratne forme je (,0). Izračunajmo glavne osi. Za lastne vrednosti α = 0, β = ter γ = dobimo A αλ = 4 0, A βλ = 0 in A γλ =
19 3. PLOSKVE DRUGEGA REDA 9 Pripadajoči lastni vektorji so u = 0, u = 0 in u 3 = Glavne osi kvadratne forme Av,v so L, L 0 ter L Uvedemo v = P v, kjer je P = 0. Potem je 0 0 x v = 0 x = 0 0 x = z in z 0 z x + x v = = z x z = x + z x + z V novem koordinatnem sistemu je enačba ploskve oblike ( + z + x + ) ( z x + ) z = ( z + x z + 0 = ) ( + z + ) z Če uvedemo = in z = z + 0, dobimo z + x + 0 = + z + x x + 0 = 0. = 0. Če sedaj uvedemo še x = x , dobimo enačbo eliptičnega paraboloida: + z + x = 0.
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014 2 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA
Διαβάστε περισσότεραMetoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότεραAFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA
Aleš Vavpetič AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA Ljubljana 2011 ii naslov: AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA avtorske pravice: Aleš Vavpetič izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Aleš Vavpetič, Ljubljana
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: matematika
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik BOJANA ZALAR Celje 2009 Izdala: Fakulteta za logistiko Univerze v Mariboru Naslov: Uporaba matematičnih metod
Διαβάστε περισσότεραUniverza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar
Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper Geometrija Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar Koper, 2007 PREDGOVOR Pričujoče študijsko gradivo je povzeto po naslednjih knigah Richard S. Millman, George
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti 1 / 20
Problem lastnih vrednosti 1 / 20 2 / 20 1 Uvod 2 Potenčna metoda 3 Inverzna iteracija 4 QR iteracija 5 Metode za simetrične matrike Sturmovo zaporedje Jacobijeva iteracija 3 / 20 Uvod Naj bo A R n n. Paru
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότερα1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραŽiga Virk REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOMETRIJO
Žiga Virk REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOMETRIJO Ljubljana 2015 ii naslov: REŠENE NALOGE IZ UVODA V DIFERENCIALNO GEOME- TRIJO avtorske pravice: Žiga Virk izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραMnožico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότερα