Γεωμετρική Κατανομή Τάξης k και εφαρμογές

Transcript

1 Γεωμετρική Κατανομή Τάξης και εφαρμογές Μαρία Φιλιππή Διπλωματική εργασία Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Στατιστική και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά Πανεπιστήμιο Αιγαίου Σάμος, 017 1

2

3 i

4 Περίληψη Σε αυτήν την διπλωματική εργασία παρουσιάζεται και αναλύεται η Γεωμετρική Κατανομή Τάξης. Συγκεκριμένα, ορίζουμε την κατανομή και προσδιορίζουμε τους τύπους συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας και της συνάρτησης κατανομής της κάνοντας αναφορά τόσο στις ιδιότητες της όσο και στις ροπές της. Γίνεται εκτίμηση των παραμέτρων της και αναλύονται οι διαφορετικές μορφές που η κατανομή έχει. Επιπλέον, δίδονται πρακτικές οδηγίες για την εφαρμογή της στον στατιστικό έλεγχο ποιότητας και συγκεκριμένα σε διαγράμματα ελέγχου για την διασπορά S με Χρήση του Κανόνα των Συνεχόμενων Σημείων, ενώ παρουσιάζεται και μία αριθμητική εφαρμογή. ii

5 iii

6 Ευχαριστίες Ευχαριστώ την οικογένεια μου, τον κ. Αθανάσιο Ρακιτζή (επιβλέπων καθηγητή) για την άψογη συνεργασία και επικοινωνία κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας διπλωματικής εργασίας, καθώς επίσης και τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής κ. Αλέξανδρο Καραγρηγορίου και κ. Θεοδόση Δημητράκο. iv

7 v

8 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή.1 Κεφάλαιο Γεωμετρική Κατανομή Τάξης Εισαγωγή Ορισμός Γεωμετρικής Κατανομής Τάξης.3. Ανεξάρτητες και Ισόνομες Δοκιμές Γεωμετρική Κατανομή τάξης..5.3 Ιδιότητες Γεωμετρικής Κατανομής Τάξης 8.4 Εκτίμηση Μαρκοβιανή Γεωμετρική Κατανομή Τάξης 1.6 Παρεμβαλλόμενη-Γεωμετρική κατανομή τάξης.7 Ανακεφαλαίωση 4 Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές της Γεωμετρικής Κατανομής Τάξης στα Διαγράμματα Ελέγχου 3.1 Εισαγωγή.5 3. Διαγράμματα Ελέγχου για την Διασπορά Μέτρα Απόδοσης Διαγραμμάτων Ελέγχου Διαγράμματα Ελέγχου S με Χρήση του Κανόνα των Συνεχόμενων Σημείων Αριθμητικά Αποτελέσματα Ανακεφαλαίωση..4 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 43 Βιβλιογραφία 48 vi

9 vii

10 Κατάλογος πινάκων Πίνακας 1 Αποτελέσματα 1 Ανεξάρτητων Πειραμάτων με βάση τη Γεωμετρική Κατανομή τάξης = Πίνακας Τιμές ARL (SDRL) για το Διάγραμμα Ελέγχου US: /, n = 5 35 Πίνακας 3 Τιμές ARL (SDRL) για το Διάγραμμα Ελέγχου US: /, n = Πίνακας 4 Τιμές ARL (SDRL) για το Διάγραμμα Ελέγχου US: /,n = Πίνακας 5 Τιμές ARL (SDRL) για το Διάγραμμα Ελέγχου LS: /, n = 5 39 Πίνακας 6 Τιμές ARL (SDRL) για το Διάγραμμα Ελέγχου LS: /, n = Πίνακας 7 Τιμές ARL (SDRL) για το Διάγραμμα Ελέγχου LS: /, n = viii

11 ix

12 Κατάλογος Σχημάτων ΣΧΗΜΑ 1 Γεωμετρική κατανομή τάξης =8...9 ΣΧΗΜΑ Γεωμετρική κατανομή τάξης =4.10 ΣΧΗΜΑ 3 Διάγραμμα της h p) E( T ) για {, 3, 4, 5, 6} 13 ( ΣΧΗΜΑ 4 Διάγραμμα τηςe(t ) = 5(5) ΣΧΗΜΑ 5 Διάγραμμα της E(T ) = 50(10) ΣΧΗΜΑ 6 Διάγραμμα της h p) E( T ) ως προς p για =5,10,0,40 15 ( ΣΧΗΜΑ 7 Το Άνω Μονόπλευρο Διάγραμμα Ελέγχου S με τον κανόνα των =3 Συνεχόμενων Σημείων..9 ΣΧΗΜΑ 8 Το Κάτω Μονόπλευρο Διάγραμμα Ελέγχου S με τον κανόνα των =7 Συνεχόμενων Σημείων..30 ΣΧΗΜΑ 9 Γραφική παράσταση g(p) ως συνάρτηση p 33 10

13 Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Θεωρούμε πείραμα με δύο διαφορετικά αποτελέσματα το ένα θα το λέμε επιτυχία (S ή 1) ενώ το άλλο αποτυχία (F ή 0). Το πείραμα αυτό είναι γνωστό και ως πείραμα (δοκιμή) Bernoulli. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα n φορές και τα αποτελέσματα του πειράματος τα διατάσσουμε το ένα μετά το άλλο χωρίς διακοπές μεταξύ τους, δηλ σε συνεχή γραμμή. Ως ροή επιτυχιών ορίζουμε μία ακολουθία συνεχόμενων επιτυχιών (S) των οποίων προηγούνται και έπονται αποτυχίες (F). Για παράδειγμα, έστω ότι εκτελούμε n = 10 διαδοχικές επαναλήψεις ενός πειράματος Bernoulli με δύο δυνατά αποτελέσματα (1 για κάθε επιτυχία και 0 για κάθε αποτυχία). Αν υποθέσουμε ότι προέκυψε η ακολουθία αποτελεσμάτων ,τότε μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι έχουμε διαδοχικά μία ροή επιτυχιών μήκους, μία ροή επιτυχιών μήκους 3 και μία ροή επιτυχιών μήκους 1. Επίσης, έχουμε και δύο ροές αποτυχιών, η 1 η μήκους 3 και η η μήκους 1. Οι ροές και τα προβλήματα που σχετίζονται με αυτές άρχισαν να απασχολούν τους στατιστικούς από πολύ νωρίς. Το 1738 ο de Moivre διατύπωσε το πρόβλημα υπολογισμού της πιθανότητας μήκους ροής r ή περισσότερων επιτυχιών σε n δοκιμές. Άλλες αναφορές σχετικά με το πρόβλημα, μπορεί κανείς να βρει στους Simpson (1740), Laplace (181) και Todhunter (1865). Ο Marbe (1916, 1934) χρησιμοποίησε παρατηρήσεις σε ροές για να υποστηρίξει την θεωρία ότι αν ένα νόμισμα δίνει «κεφαλή» (Heads, H) πολύ συχνά τότε η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος «γράμματα» (Tails, T) μειώνεται. Οι Wald και Wolfowitz (1940) βασίστηκαν στη θεωρία ροών και πρότειναν έναν δίπλευρο έλεγχο τυχαιότητας ενώ από τότε, έχουν αναπτυχθεί διάφορες εφαρμογές των ροών σε διαφορετικούς επιστημονικούς κλάδους. Η μελέτη τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με ροές είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική σε πολλά επιστημονικά πεδία. Στον στατιστικό έλεγχο ποιότητας οι ροές χρησιμοποιήθηκαν από τον Deming (197) και από τους Kitagawa and Segushi (1956, 1957) δίνοντας έμφαση στην σημαντικότητα της μελέτης των κατανομών που σχετίζονται με πολλαπλές ροές και εφαρμόζονται άμεσα σε τεχνικές του στατιστικού ελέγχου ποιότητας. 1

14 Οι περισσότερες εφαρμογές που αναφέρονται σε ροές σχετίζονται με τον χρόνο αναμονής μέχρι την εμφάνιση μιας (ή περισσοτέρων) ροών καθώς και τον αριθμό εμφάνισης των ροών. Για το λόγο αυτό είναι χρήσιμο να εξετάσουμε τις κατανομές που ακολουθούν οι χρόνοι αναμονής των ροών και στην συνέχεια να τους χρησιμοποιήσουμε στην επίλυση προβλημάτων που εμφανίζονται σε διαφορετικούς επιστημονικούς κλάδους. Η παρούσα διπλωματική εργασία επικεντρώνεται στον χρόνο αναμονής μέχρι τη πρώτη εμφάνιση μιας ροής επιτυχιών μήκους. Η κατανομή αυτή είναι γνωστή και ως Γεωμετρική Κατανομή τάξης (Geometric Distribution of order ). Στο πρώτο μέρος της εργασίας (Κεφάλαιο ) θα δοθούν τα βασικά χαρακτηριστικά της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης όπως ο ορισμός, η συνάρτηση πιθανότητας, η συνάρτηση κατανομής καθώς και οι ροπές αυτής. Θα μας απασχολήσει το πρόβλημα της εκτίμησης των παραμέτρων της κατανομής και θα δοθούν δύο διαφορετικοί τρόποι για την εκτίμηση της πιθανότητας επιτυχίας. Επίσης, θα δοθούν συνοπτικά και επεκτάσεις του συνήθους μοντέλου της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης όπως η Μαρκοβιανή Γεωμετρική Κατανομή Τάξης και η Παρεμβαλλόμενη-γεωμετρική κατανομή τάξης. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας (Κεφάλαιο 3) θα γίνει εφαρμογή της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης σε διαδικασίες του στατιστικού ελέγχου διεργασιών και συγκεκριμένα σε διαγράμματα ελέγχου για την παρακολούθηση της διασποράς. Περιγράφονται τα μέτρα απόδοσης διαγραμμάτων ελέγχου και στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με την περίπτωση μονόπλευρων διαγραμμάτων ελέγχου S. Κλείνοντας, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα μιας εκτεταμένης αριθμητικής μελέτης σχετικά με την απόδοση των διαγραμμάτων ελέγχου US: / και LS: /.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η Γεωμετρική Κατανομή Τάξης Εισαγωγή Η θεωρία των κατανομών που σχετίζονται με ροές έχει αναπτυχθεί στηριζόμενη κυρίως στα αποτελέσματα των δοκιμών Bernoulli (δηλ. σε ανεξάρτητες και ισόνομα κατανεμημένες δοκιμές). Ωστόσο, αν και οι θεωρίες των κατανομών σχετικά με τις ροές μπορούν να γενικευθούν κάνοντας κάποιες «παραλείψεις» στην υπόθεση της ανεξαρτησίας ή της ισονομίας, πάλι τα πλεονεκτήματα τους πηγάζουν από το μοντέλο που βασίζεται στις δοκιμές Bernoulli. Στο κεφάλαιο αυτό, θα ασχοληθούμε με τις ροές που βασίζονται σε δοκιμές Bernoulli και στην συνέχεια θα περιγράψουμε διάφορες προεκτάσεις και γενικεύσεις αυτών..1 Ορισμός Γεωμετρικής Κατανομής Τάξης Έστω X1, X,... διαδοχικές δοκιμές που έχουν ως αποτέλεσμα είτε επιτυχία (S) είτε αποτυχία (F). Έστω T η τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) η οποία εκφράζει το χρόνο αναμονής (ισοδ. πλήθος δοκιμών) μέχρι την εμφάνιση για τη 1 η φορά, συνεχόμενων επιτυχιών. Ως δοκιμές θεωρούνται τα αποτελέσματα των ρίψεων ενός νομίσματος (μπορεί και μη δίκαιου) και η μεταβλητή T αναπαριστά τον ελάχιστο αριθμό ρίψεων που εξασφαλίζει ροή αποτελεσμάτων κεφαλής (αν θεωρηθεί ως επιτυχία) μήκους. Ο χρόνος αναμονής T ορίζεται με τους εξής ισοδύναμους τρόπους T min n : X... X 1 n 1 n n n min n : X j 1 min n : X j jn 1 jn 1 3

16 Μια άλλη τυχαία μεταβλητή που σχετίζεται στενά με την T είναι το μήκος L n της «μεγαλύτερης» ροής επιτυχιών σε n δοκιμές. Για παράδειγμα, έστω ότι εκτελούμε n 1 διαδοχικές επαναλήψεις ενός πειράματος Bernoulli με δύο δυνατά αποτελέσματα (S για κάθε επιτυχία και F για κάθε αποτυχία). Αν υποθέσουμε ότι προέκυψε η ακολουθία αποτελεσμάτων SSSSFFSSSFFF, τότε μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι έχουμε διαδοχικά μία ροή επιτυχιών μήκους 4 και μία ροή επιτυχιών μήκους 3. Άρα ως επιτυχιών μήκους 4. Ln θεωρείται η ροή Παρατηρώντας ότι τα ενδεχόμενα { T n} και { L } είναι ισοδύναμα, μπορούμε άμεσα να εξάγουμε την κατανομή της αντίστροφα. Κατά συνέπεια, n T αν γνωρίζουμε την κατανομή της L n, και P( T n) P( L ). (.1) Εάν η σειρά των υπό εξέταση δοκιμών είναι Bernoulli, τότε η κατανομή της μεταβλητής T ονομάζεται γεωμετρική κατανομή τάξης (δείτε Philippou et al. (1983)) και η ονομασία της οφείλεται στο γεγονός ότι για 1, προκύπτει άμεσα η συνήθης Γεωμετρική κατανομή, δηλ. T ~ ( ) 1 Ge p, όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας. Η συνήθης υπόθεση για την ανάπτυξη και μελέτη του μοντέλου της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης, είναι ότι οι διαδοχικές δοκιμές X1, X,... αποτελούν ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές Bernoulli, με πιθανότητα επιτυχίας p. Ισοδύναμα, έχουμε ότι αν X ~ B(1, p ), τότε i όπου I ( x ) είναι η δείκτρια συνάρτηση με A x 1 x ( i ) (1 ) {0,1} ( ) n P X x p p I x, (.) I A 1, 0, x A x A (.3) Φυσικά στην πράξη, δεν είναι απαραίτητο ότι θα ικανοποιούνται πάντα οι συνήθεις υποθέσεις για το μοντέλο της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης. Για παράδειγμα, αν υπάρχει Μαρκοβιανή εξάρτηση μεταξύ των διαδοχικών δοκιμών, η κατανομή της τ.μ. T είναι γνωστή ως Marov-Γεωμετρική Κατανομή τάξης (Marov-Geometric distribution of order ), (δείτε Mohanty(1966) και Feller(1968)). Επίσης, αν οι διαδοχικές δοκιμές X1, X,... είναι ανεξάρτητες αλλά όχι ισόνομες, τότε η κατανομή της τ.μ. T είναι γνωστή ως 4

17 παρεμβαλλόμενη-γεωμετρική κατανομή τάξης (intervened-geometric distribution of order,( Balarishnan, Balasubramanian and Viveros (1995)). Τέλος, μια άλλη μορφή της γεωμετρικής κατανομής τάξης προκύπτει αν δεν απαιτήσουμε την ανεξαρτησία των δοκιμών Bernoulli αλλά υποθέσουμε ότι μπορούμε να μετασχηματίσουμε τα αποτελέσματα τους σε μια δυαδική μορφή τάξης l και τότε η κατανομή της T λέγεται διευρυμένη γεωμετρική κατανομή τάξης (extended geometric distribution of order,ai(1985)). Στη συνέχεια της παρούσας διπλωματικής, θα μας απασχολήσει κυρίως το σύνηθες μοντέλο της Γεωμετρικής κατανομής τάξης. Σε περίπτωση που κάποιες από τις συνήθεις υποθέσεις δεν ικανοποιούνται, αυτό θα αναφέρεται ξεκάθαρα.. Ανεξάρτητες και Ισόνομες Δοκιμές Γεωμετρική Κατανομή τάξης Αρχικά θεωρούμε ότι η ακολουθία X1, X,... είναι ανεξάρτητες και ισόνομες Bernoulli τ.μ., με πιθανότητα επιτυχίας (S) ίση με p, η οποία ισούται με p P({ S}) P( X i 1). Επίσης, η πιθανότητα αποτυχίας (F) είναι ίση με q 1 p και δίνεται από τη σχέση q P({ F}) P( X 0) 1 P( X 1). i i Ας συμβολίσουμε ως f ( x) P( T x), x {0,1,,...}, τη συνάρτηση πιθανότητας της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης, 1. Τότε, για 0x, η f ( x) P( T x) δίνεται από τη σχέση 0, 0 x f ( x) p, x qp, x (.4) Για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας f(x) για x, υπάρχουν αρκετές ισοδύναμες σχέσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας την πληροφορία που προκύπτει όταν γνωρίζουμε σε ποια δοκιμή εμφανίστηκε η πρώτη αποτυχία στη σειρά των δοκιμών, μπορούμε να καταλήξουμε στην παρακάτω αναδρομική σχέση: i1 ( ) ( ) f x qp f x i (.5) i1 5

18 Παρατηρούμε ότι το ενδεχόμενο T x γράφεται ως τομή δύο ανεξάρτητων ενδεχομένων, έστω αυτά E 1, E με το E 1 να είναι το ενδεχόμενο εμφάνισης των αποτελεσμάτων F SS S ακριβώς στη x-οστη δοκιμή και το E να είναι το ενδεχόμενο μηεμφάνισης ροής επιτυχιών (τουλάχιστον) μήκους έως τη (x 1)-οστη δοκιμή. Τότε, η συνάρτηση πιθανότητας f(x) γράφεται ως f(x) = P(T = x) = P(E 1 E ) = P(E 1 )P(E ), απ' όπου προκύπτει και η παρακάτω αναδρομική σχέση x1 f ( x) qp{1 f ( i)} (.6) i0 Τέλος, ένας υπολογιστικά απλός τύπος είναι ο f ( x) f ( x 1) qp f ( x 1) (.7) ο οποίος προκύπτει με άμεση εφαρμογή του τύπου (.4) στη σχέση f(x 1) f(x). Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με την εύρεση των ισοδύναμων τύπων (.5)-(.7) δείτε Hahn and Gage (1983), Ai et al. (1984), Philippou and Mari (1985), Laurencelle (1987) και Barry and Lo Bello (1993). Οι Philippou and Muwafi(198) χρησιμοποιήσαν συνδυαστικές τεχνικές και απέδειξαν ότι για x, η συνάρτηση πιθανότητας δίνεται από τη σχέση f ( x) x1 x... x 1... x x x q p x1, x,..., x p (.8) όπου το εσωτερικό άθροισμα ορίζεται πάνω στους μη αρνητικούς ακεραίους που ικανοποιούν την υπόθεση i xi x. i1 x1, x,..., Η απόδειξη της σχέσης (.8) βασίζεται στην παρατήρηση ότι ένα τυπικό στοιχείο του ενδεχομένου {T = x} αποτελείται από μια διάταξη της μορφής a a... a SS... S (.9) 1 x 1... x x όπου το αποτέλεσμα F έχει εμφανιστεί x 1 φορές, το αποτέλεσμα SF έχει εμφανιστεί x φορές και γενικά το αποτέλεσμα SS... S F F έχει εμφανιστεί x φορές. Οι αντίστοιχες 1 πιθανότητες εμφάνισης των παραπάνω αποτελεσμάτων στη διάταξη της (.9) είναι q, pq,, p 1 q, από τις οποίες προκύπτει ότι η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου {T = x}, ισούται με 6

19 x xi i* xi xi x1 i1 i1 i1 x 1... q pq p q p q p Η απόδειξη ολοκληρώνεται λαμβάνοντας υπόψη το ότι οι μεταβλητές Χ i ικανοποιούν την συνθήκη ισούται με i xi x και άρα το πλήθος των διαφορετικών τρόπων εμφάνισης της (.9) i1 x x... x ( x x... x )!. x, x,..., x xi! i1 Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι στον τύπο (.4) οι λύσεις προκύπτουν με επίλυση της Διοφαντικής εξίσωσης. Γενικά, αν και η f(x) δίνεται σε κλειστή μορφή, δε συνίσταται η χρήση της για μεγάλες τιμές των και x. Αντί του παραπάνω τύπου, ο οποίος βασίζεται στη χρήση πολυωνυμικών συντελεστών, οι Uppuluri and Patil (1983) πρότειναν έναν τύπο ο οποίος βασίζεται στη χρήση διωνυμικών συντελεστών (αντί πολυωνυμικών). Επιπλέον, η άθροιση γίνεται μέσω απλών (και όχι πολλαπλών) αθροισμάτων. Πιο συγκεκριμένα, για x, η συνάρτηση πιθανότητας της T είναι j 1 1 j j x j j x j f ( x) p 1 qp p 1 qp (.10) j0 j j0 j Ένας εναλλακτικός τύπος, ο οποίος προκύπτει από τη χρήση διωνυμικών συντελεστών, είναι x i x i xi j i x j 1 1, (.11) f ( x) q p 1, x 1 i1 j0 j i 1 ή, ισοδύναμα (δείτε π.χ. Musseli (1996)). Έστω x1 1 x j 1 x j 1 f ( x) 1 p q q j1 j j1 j1 j j1. (.1) F ( x) P( T x) f ( y) η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (α.σ.κ.) της T. yx Τότε, (δείτε π.χ. ) ο υπολογισμός της F(x), x + 1, γίνεται μέσω της αναδρομικής σχέσης με αρχικές συνθήκες τις F( x) F( x -1) qp 1 F( x 1) (.13) 7

20 0, 0 x Fx ( ). p, x 1 Δεν είναι δύσκολο να παρατηρήσουμε ότι η σχέση (.11) είναι μια απλή αναδιατύπωση της σχέσης (.6) λόγω της ισότητας f x F( x) F( x 1). Με τρόπο ανάλογο, όπως στην απόδειξη της (.6), έχουμε έναν τύπο σε κλειστή μορφή για την F(x) F(x) = 1 px+1 q (x 1+ x ) ( q x 1,,x p ) i=1 x i όπου το εσωτερικό άθροισμα ορίζεται πάνω στους μη αρνητικούς ακεραίους ικανοποιούν την υπόθεση i1 Mari(1985, 1986) και Philippou et al. (1985)., x, (.14) x,..., 1, x x που i x x 1. Για περισσότερες λεπτομέρειες δείτε Philippou and i Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, οι κατανομές των τυχαίων μεταβλητών T και L n συνδέονται άμεσα και η γνώση της μίας, επιτρέπει τον προσδιορισμό της άλλης. Έχοντας πλέον στη διάθεσή μας την κατανομή της T, δίνουμε τις παρακάτω χρήσιμες σχέσεις μεταξύ των πιθανοτήτων που σχετίζονται με τις τυχαίες μεταβλητές T και L n. Ειδικότερα, P(L n ) = F(n), P(L n 1) = 1 F(n), P(L n = ) = P(T n) P(T +1 n), 1 n, x + (.15) P(L n < ) = 1 qp P(T = n + + 1), n 1. Αυτές οι σχέσεις προσφέρουν απλούς τρόπους που εκτιμούν την ακριβή κατανομή της L n μέσω της κατανομής της T..3 Ιδιότητες Γεωμετρικής Κατανομής Τάξης Από την αναδρομική σχέση (δείτε επίσης (.5)) f ( x) f ( x 1) - qp f ( x 1), και για x > ισχύει ότι f ( x) f ( x 1) 1 qp 1. (.16) f ( x 1) f ( x 1) Η συνάρτηση πιθανότητας f(x) της T είναι γνησίως φθίνουσα για x >. Από τη σχέση (.) προκύπτει ότι η f(x) παίρνει την μέγιστη τιμή της για x =, η οποία ισούται με p. 8

21 Στη συνέχεια, για x { + 1,,} η f(x) λαμβάνει σταθερή τιμή και ίση με qp, δηλ. f ( 1)... f ( ) qp. Έπειτα, οι τιμές της f(x) φθίνουν και προκύπτει lim f( x) 0. Στα παρακάτω σχήματα.1 και. παρουσιάζονται μερικά γραφήματα της συνάρτησης πιθανότητας της γεωμετρικής κατανομής τάξης, για {4,8} και διάφορες τιμές του p. x ΣΧΗΜΑ 1: Γεωμετρική κατανομή τάξης =8 9

22 ΣΧΗΜΑ : Γεωμετρική κατανομή τάξης =4 Από τα γραφήματα αυτά, είναι προφανές ότι υπάρχει ομοιότητα, σε ότι αφορά τη μορφή της κατανομής και τη δεξιά ουρά την οποία αυτή εμφανίζει, σε σύγκριση με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανομής. Αυτό προκύπτει και από το γεγονός ότι οι συντελεστές λοξότητας και κυρτότητας ( 3, 4 ) της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης είναι πολύ κοντά στο και 9, οι οποίοι υποδεικνύουν τους συντελεστές λοξότητας (η λοξότητα είναι ένα μέτρο της ασυμμετρίας που χαρακτηρίζει την κατανομή γύρω από τη μέση τιμή της) και κυρτότητας (αναφέρεται στο πόσο πεπλατυσμένο είναι το διάγραμμα την κατανομής συχνοτήτων) της εκθετικής κατανομής, αντίστοιχα (δες Balarishnan, N. and Koutras, M. V. (000)). 10

23 Η συγκεκριμένη παρατήρηση έγινε από τους Barry and Lo Bello (1993) οι οποίοι έδωσαν έναν πίνακα των τιμών των συντελεστών 3, 4 για p 1/ και σημείωσαν ότι καθώς το αυξάνει, οι συντελεστές προσεγγίζουν τους αντίστοιχους συντελεστές της εκθετικής κατανομής. Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση είναι T G(z) E(z ) 0 f(x)z x και στην περίπτωση της γεωμετρικής κατανομής τάξης δίνεται από (pz) ( 1 pz) (pz) G(z) όπου 1 1 z qp z 1 qza(z) 1-(pz) A(z) 1 (pz) (.17) Στην παραπάνω σχέση μπορεί να καταλήξει κανείς με διαφορετικούς τρόπους. Οι Balasubramanian,Viveros and Balarishnan (1993) θεώρησαν μια τυπική ροή που οδηγεί σε συνεχόμενες επιτυχίες για πρώτη φορά ως πιθανογεννήτρια συνάρτηση του χρόνου στάσης T ως S... SFS... S 0 j1 και κατέληξαν στην G(z) { i0-1 j i 1 ( pz) i ( pz) ( pz) (1 pz) (pz) qz } ( pz) { qz} ( pz) (.18) 1 1 pz 1 ( pz) 1 z qp z 1 qz 1 pz j0 i0 Οι ροπές τάξης r και οι παραγοντικές ροπές της γεωμετρικής κατανομής τάξης r E( ) E[( ) ] r 0,1,... r T ( r) T r και από τις αναδρομές έχουμε ' μ r r p( q r r 1 ri ' { ( 1) }μ,r 1 i i0 i qp r 1 1) μ (r) r{ μ (r-1 ) qp q (r1 ) r i0 r i 1 (ri1 ) (i 1 ) (i 1) μ i 1 },r 1 11

24 Ειδικότερα, έχουμε p 1 qp 1 ( 3) p ( 1) p qp (.19) ( qp ) ' ' 1 και αντικαθιστώντας στον τύπο Var(T ) ( ) τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι 1 1 ( 1) qp p Var(T ). ( qp ) Από την x F(x) f ( y) προκύπτει ότι x 1 F ( x) z G( z) και από την σχέση (.15) η 1 z y0 x 0 παράγουσα συνάρτηση της μέγιστης ροής πιθανοτήτων(longest run probabilities) P(L n ) δίνεται από τον τύπο n n P ( Ln ) z (1 F( n)) z n0 n0 1 1 G( z) z ή από την σχέση (.17) n0 n 1 ( pz) A( z) P ( Ln ) z (.0) 1 1 z qp z 1 qza( z).4 Εκτίμηση Η μέση τιμή της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης έχει τη μορφή 1 p i 1 E( T ) p h( p) (.1) qp και είναι μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του p με i1 limh( p),limh( p). Στα p0 παρακάτω σχήματα, δίνονται οι τιμές της E(T ) για διάφορες τιμές του. h0 1

25 ΣΧΗΜΑ 3: Διάγραμμα της h p) E( T ) για {, 3, 4, 5, 6}. ( ΣΧΗΜΑ 4: Διάγραμμα της E(T ) = 5(5)40 13

26 ΣΧΗΜΑ 5: Διάγραμμα της E(T ) = 50(10)100 Στη συνέχεια θα δούμε πως μπορούμε να εκτιμήσουμε την παράμετρο p της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης, για δεδομένο, όταν έχουμε στη διάθεσή μας ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους N. Έστω T,1, T,,..., T ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους N από τη Γεωμετρικής, N N Κατανομής τάξης, δεδομένο. Έστω T _ Ti, / N ο συνήθης δειγματικός μέσος για τον i1 οποίο ισχύει ότι T. Τότε, ο T είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής της μέσης τιμής μ 1 = h(p) του πληθυσμού. Δεν είναι δύσκολο να διαπιστώσουμε (λόγω της μονοτονίας της h(p)) ότι η εξίσωση h(p) = T έχει μια μοναδική αποδεκτή λύση. Η λύση αυτή μας δίνει τον Εκτιμητή Μεθόδου Ροπών (ΕΜΡ) p του p. Η ασυμπτωτική αποδοτικότητα του p είναι κοντά στο 1 έπειτα από αριθμητικούς υπολογισμούς που πραγματοποιήθηκαν από τους Ai and Hirano(1989) και η ασυμπτωτική διασπορά δίνεται από την σχέση Σημειώνεται ότι η εξίσωση 1 p q [1 ( 1) qp p ]. (.) 1 ( p p p ) T = h(p ) = 1 p (1 p )p (.3) 14

27 μπορεί να λυθεί αναλυτικά στις περιπτώσεις όπου = 1 (περίπτωση της συνήθους Γεωμετρικής Κατανομής) και =. Ειδικότερα, οι ΕΜΡ σε αυτή την περίπτωση είναι, αντίστοιχα, 1 p και p Tp. (.4) T 1/ Για άλλες τιμές του, ο ΕΜΡ προσδιορίζεται με αριθμητικές μεθόδους. Για ευκολία στον προσδιορισμό του ΕΜΡ p του p, οι Viveros and Balarishnan(1993) έδωσαν γραφικές παραστάσεις της h ( p) συναρτήσει του p για διάφορες τιμές του. Ενδεικτικά, παρατίθενται στο Σχήμα 6 γραφήματα για διάφορες τιμές του. ΣΧΗΜΑ 6:Διάγραμμα της h p) E( T ) ως προς p για =5,10,0,40 ( 15

28 Σχετικά με τον Εκτιμητή Μέγιστης Πιθανοφάνειας (ΕΜΠ) του p, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι παρακάτω δύο περιπτώσεις (σενάρια) σχετικά με τα διαθέσιμα δεδομένα. Ειδικότερα: I. Είναι διαθέσιμα όλα τα αποτελέσματα των διαδοχικών δοκιμών Bernoulli, τα οποία οδηγούν στην πραγματοποίηση των T,1, T,,..., T., N II. Είναι διαθέσιμοι μόνοι οι χρόνοι αναμονής. Αρχικά ας θεωρήσουμε ότι ισχύει το Σενάριο Ι. Τότε, υποθέτουμε ότι η ανεξάρτητη ακολουθία των διαδοχικών δοκιμών Bernoulli συνοψίζεται από τα ζεύγη (, ),(, ),...,(, ) S1 F1 S F SN F N όπου i S και F i συμβολίζουν αντίστοιχα τον αριθμό επιτυχιών και αποτυχιών που παρατηρήθηκαν κατά την πραγματοποίηση του T, i = 1,,, N. i, Προφανώς, T, i Si F. Τότε, λόγω ανεξαρτησίας των διαδοχικών πειραμάτων αλλά και i μεταξύ των διαδοχικών δοκιμών Bernoulli, η συνάρτηση πιθανοφάνειας L(p) γράφεται στη μορφή όπου N S i i1 S και N F i i1 F L(p) = p S (1 p) F (.5) είναι τα (ολικά) αθροίσματα επιτυχιών και αποτυχιών στα N ανεξάρτητα πειράματα, αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή, ο ΕΜΠ p του p, προσδιορίζεται λύνοντας την εξίσωση η οποία δίνει N d dp log L(p) = 0, p = S = S, S+F T, όπου T, = S + F = i=1 T,i είναι το ολικό άθροισμα των δοκιμών Bernoulli που πραγματοποιήθηκαν για την παρατήρηση του συνόλου του δείγματος. Επίσης, η παρατηρούμενη πληροφορία Fisher (observed Fisher s Information) για τον ΕΜΠ εκτιμητή δίνεται από τη σχέση d I( pˆ ) log ( ),. L p dp pˆ pˆ p pˆ T. (.6) (1 ) Έπειτα, ας θεωρήσουμε ότι ισχύει το Σενάριο ΙΙ. Στην περίπτωση αυτή ο ΕΜΠ p του p δεν μπορεί να δοθεί σε κλειστή μορφή. Ωστόσο, η εύρεση του ΕΜΠ με χρήση αριθμητικών μεθόδων δεν είναι σύνθετη. Ιδιαίτερα χρήσιμες για το σκοπό αυτό είναι η αναδρομική σχέση (.4) καθώς και η 1 η παράγωγος αυτής ως προς p. 16

29 Πιο συγκεκριμένα, έστω T,1, T,,..., T οι N ανεξάρτητες παρατηρήσεις που είναι, N διαθέσιμες από τη Γεωμετρική Κατανομή τάξης. H συνεισφορά κάθε T,i στο λογάριθμο της πιθανοφάνειας log L(p) είναι: log p, T,i = l i (p; T,i ) { log(1 p) + log p, + 1 T,i T log(1 p) + log p + log [1,i i=1 f(i + 1) ], T,i + 1 όπου f(x) είναι η συνάρτηση πιθανότητας της Γεωμετρικής Κατανομής τάξης. (.7) Ο λογάριθμος της πιθανοφάνειας είναι N log L(p) = i=1 l i (p; T,i ), και ο ΕΜΠ p του p είναι η τιμή εκείνη για το p που μεγιστοποιεί τη log L(p). Για την επίλυση του προβλήματος μεγιστοποίησης, δύο μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν, η μέθοδος της διχοτόμησης (Direct Search method) και η μέθοδος Newton-Raphson. Για την εφαρμογή της μεθόδου της διχοτόμησης, βασιζόμαστε αρχικά στο ότι το p (0,1). Τότε, μπορούμε να διασπάσουμε το (0,1) σε m επιμέρους υποδιαστήματα και να υπολογίσουμε την τιμή της log L(p) στο τελευταίο σημείο κάθε υποδιαστήματος. Τότε, ο ΕΜΠ του p είναι η τιμή εκείνη για την οποία έχουμε τη μέγιστη τιμή log L(p). Για την εφαρμογή της μεθόδου Newton-Raphson, εργαζόμαστε ως εξής: Η παράγωγος της log L(p) ως προς p είναι log L(p) p = i=1 l i (p; T,i ) p όπου l i (p;t,i ) p = { 1 1 p + p p, 1 1 p + p, N T,i f (i+ 1) i=1 T 1,i f(i+ 1) i=1 T,i = + 1 T,i, (.8), T,i + 1 όπου f (x) = f(x) p. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η f(x) f(x; p), δηλαδή είναι συνάρτηση και του p. Για απλότητας στους συμβολισμούς χρησιμοποιούμε f(x) αντί f(x; p). Για τον υπολογισμό της f (x) παρατηρούμε ότι f (T,i ) = f(t,i ) log f(t,i) p = f(t,i ) l i(p;t,i ), (.9) p και η l i (p; T,i ) p μπορεί να υπολογισθεί αναδρομικά με χρήση του παραπάνω τύπου. Ο ΕΜΠ είναι η τιμή του p που ικανοποιεί την εξίσωση πιθανοφάνειας log L(p) p = 0. Επιπλέον, για την εκτέλεση της μεθόδου Newton-Raphson χρειαζόμαστε την Πληροφορία Fisher (Fisher s Information), η οποία δίνεται από τη σχέση 17

30 όπου f (x) = f(x) p. N I(p) = l i (p;t,i ) i=1, (.30) p Για τον υπολογισμό της f (x) παρατηρούμε ότι f (T,i ) = f (T,i ) l i(p;t,i ) p + f(t,i ) log f(t,i ) p. Τότε, ο ΕΜΠ p του p μπορεί να υπολογισθεί επαναληπτικά από τον τύπο p j+1 = p j + log L(p) p p=p j I(p j ), (.31) έως ότου η επιθυμητή ακρίβεια να πραγματοποιηθεί. Αυτό συνήθως συμβαίνει όταν p j+1 p j < ε, όπου το ε μπορεί να είναι π.χ. της τάξης του Η συγκεκριμένη επαναληπτική διαδικασία έχει αποδειχθεί πολύ γρήγορη και αποτελεσματική όσον αφορά την σύγκλιση, ενώ αποδίδει τα επιθυμητά επίπεδα ακρίβειας. Βασιζόμενοι στον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας pˆ S T, και χρησιμοποιώντας την ασυμπτωτική κανονικότητα του ΕΜΠ[Rao(1973,p. 365],μια προσέγγιση του 100(1 )% διάστημα εμπιστοσύνης του p είναι όπου z α/ είναι το άνω ^ ^ z ^ a / za / ( p, p ), (.3) ^ I( p) ^ I( p) a ποσοστιαίο σημείο της τυπικής κανονικής κατανομής, και I ( p) η εκτίμηση της πληροφορίας του Fisher.Σε ορισμένες περιπτώσεις το διάστημα εμπιστοσύνης (.3) εμπεριέχει τιμές μεγαλύτερες του 1, γι αυτό οι Viveros and p Balarishnan(1993) χρησιμοποίησαν τον μετασχηματισμό ln( ) και το 100(1 )% 1 p διάστημα εμπιστοσύνης του φ δίνεται από τον τύπο ^ z ^ a / za / ( p, p ) (.33) ^ I( ) ^ ^ I( ) ^ ^ ^ ^ p όπου ln( ) και ( ) p(1 p) T ^, 1 p 18

31 Ένας μετασχηματισμός του παραπάνω διαστήματος δίνει ένα 100(1 )% διάστημα εμπιστοσύνης για το p ως ( ^ ^ p (1 p)exp{ z ^ p a / ^ ^ p(1 p) T, }, ^ ^ p (1 p)exp{ z ^ p a / ^ ^ p(1 p) T, } ). (.34) Στη συνέχεια, δίνουμε το παρακάτω παράδειγμα για τον υπολογισμό των ΕΜΠ και ΕΜΡ. Τα δεδομένα έχουν ληφθεί από την εργασία των Viveros and Balarishnan (1993), όπου και παραπέμπεται ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης για τον πλήρη πίνακα. Πίνακας 1: Αποτελέσματα 1 Ανεξάρτητων Πειραμάτων με βάση τη Γεωμετρική Κατανομή τάξης = 10. i S i F i T,i Σύνολο Στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι διαθέσιμα όλα τα αποτελέσματα των διαδοχικών δοκιμών Bernoulli, τα οποία οδηγούν στην πραγματοποίηση των T,1, T,,..., T.,1 Υποθέτουμε ότι η ανεξάρτητη ακολουθία των διαδοχικών δοκιμών Bernoulli συνοψίζεται από τα ζεύγη όπου και συμβολίζουν αντίστοιχα τον αριθμό επιτυχιών και αποτυχιών που παρατηρήθηκαν κατά την πραγματοποίηση του, i=1,,,1. Προφανώς, T, S F 450 i i i Τότε, λόγω ανεξαρτησίας των διαδοχικών πειραμάτων αλλά και μεταξύ των διαδοχικών δοκιμών Bernoulli, η συνάρτηση πιθανοφάνειας L(p) γράφεται στη μορφή L(p) = p S (1 p) F = p 368 (1 p) 8 όπου S N S i i1 N F i i1 368και F 8. 19

32 Στην περίπτωση αυτή, ο ΕΜΠ p του p είναι όπου T, = S + F = p = N i=1 T,i S S + F = S = 368 T, 450 = 0,8178 = 450 είναι το ολικό άθροισμα των δοκιμών Bernoulli που πραγματοποιήθηκαν για την παρατήρηση του συνόλου του δείγματος. Επίσης, η παρατηρούμενη πληροφορία Fisher (observed Fisher s Information) για τον ΕΜΠ εκτιμητή δίνεται από τη σχέση T,. 450 I( pˆ ) 300 pˆ(1 pˆ) 0,8178*0,18. Μία προσέγγιση του 100(1 )% διάστημα εμπιστοσύνης του p είναι ^ z ^ a/ za/ 1.96 ( p, p ) ( ) (0.781, ) ^ ^ 300 I( p) I( p) Ένας μετασχηματισμός του παραπάνω διαστήματος δίνει ένα 100(1 )% διάστημα εμπιστοσύνης για το p ως ^ p p (, ) (0.7794,0.8508) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ p (1 p)exp{ z / p(1 p) T } p (1 p)exp{ z / p(1 p) T } a, a, ^ Στην περίπτωση που είναι διαθέσιμοι μόνο οι χρόνοι αναμονής T,1, T,,..., T. Πιο, N συγκεκριμένα, έστω T,1, T,,..., T οι 1 ανεξάρτητες παρατηρήσεις που είναι διαθέσιμες,1 από τη Γεωμετρική Κατανομή τάξης χρησιμοποιώντας επαναληπτικές μεθόδους καταλήγουμε να υπολογίσουμε τον ΕΜΠ p του p μπορεί να υπολογισθεί επαναληπτικά από τον τύπο (.31). 0

33 .5 Μαρκοβιανή Γεωμετρική Κατανομή Τάξης Έστω X 1, X, μια ομοιογενής (ανεξάρτητη του χρόνου) αλυσίδα Marov δύο καταστάσεων, με πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης όπου p p ij t t1 p p P (.35) p P( X j / X i), t, 0 i, j 1 και αρχικές πιθανότητες p j P( X1 j), j 0,1. Στην περίπτωση αυτή, η κατανομή του χρόνου αναμονής T μέχρι την εμφάνιση για πρώτη φορά μιας ροής επιτυχιών μήκους καλείται Μαρκοβιανή Γεωμετρική Κατανομή τάξης. Μια ισοδύναμη διατύπωση του προβλήματος αυτού, ως ένα πείραμα ρίψης δύο νομισμάτων, είναι η εξής: Έστω δύο μη αμερόληπτα νομίσματα C 1 και C με P(C 1 = H) = p 01 = 1 p 00 = 1 P(C1 = T) P(C = H) = p 11 = 1 p 10 = 1 P(C = T) Για τη την πρώτη δοκιμή, ρίχνουμε ένα άλλο νόμισμα με την πιθανότητα να φέρουμε γράμματα (Τ, tail) ίση με p0 1 p1. Προφανώς, μπορούμε να θεωρήσουμε ως επιτυχία την εμφάνιση Η (ή T) και αντίστοιχα ως αποτυχία την εμφάνιση T (ή H). Έτσι, το πρόβλημα διατυπώνεται όπως ακριβώς και τα προηγούμενα. Στις επόμενες ρίψεις, το πείραμα εξελίσσεται ως εξής: Επιλέγουμε το νόμισμα C 1 αν στην προηγούμενη δοκιμή έχουμε παρατηρήσει γράμματα (H, head). Διαφορετικά, επιλέγουμε το C. Προφανώς, ο χρόνος αναμονής (αριθμός ρίψεων) μέχρι να εμφανιστεί για 1 η φορά μια ροή συνεχόμενων H ακολουθεί τη Μαρκοβιανή Γεωμετρική Κατανομή τάξης. Η συνάρτηση πιθανότητας f(x) = P(T = x) στην περίπτωση της Μαρκοβιανής Γεωμετρικής Κατανομής τάξης, μπορεί να υπολογιστεί μέσω της παρακάτω αναδρομικής σχέσης με αρχικές συνθήκες τις ( ) i 00 ( 1) ( ), 1 i f x p f x p p p f x i x (.36) 1

34 0, 0 x 1 f ( x) p1 p11, x 1 p0 p01 p11, x 1 Χρησιμοποιώντας τη (.36) και τον ορισμό της πιθανογεννήτριας συνάρτησης, λαμβάνουμε την πιθανογεννήτρια της Μαρκοβιανής Γεωμετρικής Κατανομής τάξης, έστω αυτή G(z) = E(z T ) = x=0 z x P(T = x), η οποία ισούται με T p p p p p p z z p p p p p z p z G( z) E( Z ) p ( p p p p ) z p p za( z) 1 ( ) όπου 1 ( ) ( ) i p00z p01 p10 z p11z i (.37) 1 ( p11z) Az () 1 p z 11. Αν θέσουμε p1 p01 p11 p και p0 p00 p10 q μας οδηγεί στον αναδρομικό τύπο (.5), στην πιθανογεννήτρια (.1) και στον μέσο (.19). H μέση τιμή στην περίπτωση της Μαρκοβιανής Γεωμετρικής Κατανομής τάξης δίνεται από ( p p ) p p ( p p ) p 1 ' '1. (.38) 1 p01 p10 p11.6 Παρεμβαλλόμενη Γεωμετρική Κατανομή Τάξης (intervened-geometric distribution of order ) Έστω X1, X,... διαδοχικές δοκιμές Bernoulli αλλά στο πείραμα πραγματοποιείται παρέμβαση. Για παράδειγμα, παρέμβαση μπορεί να γίνει μόλις η πρώτη αποτυχία παρουσιασθεί με αποτέλεσμα να αλλάξει η πιθανότητα επιτυχίας σε όλες τις επόμενες δοκιμές. Θέτουμε ως p 0 την πιθανότητα επιτυχίας των δοκιμών μέχρι την πραγματοποίηση της πρώτης αποτυχίας και ως p 1 πιθανότητα επιτυχίας όλων των δοκιμών μετά την αποτυχία. Αυτό είναι ένα «μονόπλευρα παρεμβαλλόμενο μοντέλο» («single-intervention model).στην περίπτωση αυτή, αν θεωρήσουμε τον χρόνο αναμονής για συνεχείς επιτυχίες μέχρι, μπορούμε να ονομάζουμε την κατανομή του ως παρεμβαλλόμενη-γεωμετρική κατανομή τάξης (με μονόπλευρη παρέμβαση). Έτσι, ορίζεται η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της ως

35 p0, x f(x) P(T x) 1 P( X i) P( Y x i), i1 x 1 (.39) όπου Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με την Χ να ακολουθεί γεωμετρική (στην οποία σταματάμε μόλις εμφανισθεί αποτυχία) με πιθανότητα επιτυχίας p 0, και την Υ να ακολουθεί γεωμετρική κατανομή τάξης με πιθανότητα επιτυχίας p 1.Από την συνάρτηση μάζας πιθανότητας της Χ προκύπτει i-1 P(X i) p q0 0 i 1,,... και η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της Υ δίνεται στην ενότητα. (αντικαθιστώντας με p 1 και q1 τα p και q αντίστοιχα), έτσι υπολογίζεται η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της από την (.39). Εναλλακτικά, η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της προκύπτει ως 1 q0 p1 z (1 p1z){1 ( p0z) } G(z) (p0z) (.40) 1 (1 p z)(1 z q p z ) 0 χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες σχέσεις (δείτε π.χ. Balarishnan et al. (1995)) προκύπτει η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της : 1 1 0, αν x 0,1,..., -1 p0, x q0 p1, x 1 1 (1 p0 ) f ( 1) q0 p1, x f(x) (1 p0 ) f (x 1) p0 f ( x ), x 3,..., (1 p0 ) f () p0 f ( 1) q0 p0 p1, x 1 1 (1 p0 ) f ( 1) p0 f () q1 p1 f ( 1) q0 p0 p1, x (1 p ) (x 1) ( ) ( 1) ( ), 0 f p0 f x q1 p1 f x p0q1 p1 f x x 3, 4,... (.41) Επιπρόσθετα, παραγοντοποιώντας την G(z) ως προς z και αντικαθιστώντας z 1 προκύπτει ο απλοποιημένος τύπος του μέσου του χρόνου στάσης ως εξής: Αξίζει να αναφερθεί ' E( T ) (1 p0 )( ). (.4) q p q q ότι τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται για την παρεμβαλλόμενη-γεωμετρική κατανομή τάξης έχουν εφαρμοστεί από τους

36 Balarishnan, Balasubramanian and Viveros(1995) προκειμένου να ξεκινήσει η διεξαγωγή δοκιμών όπου θα μπορούν να γίνουν διορθωτικές αλλαγές από τον εκτελεστή του πειράματος ( ώστε να βελτιωθεί η πιθανότητα επιτυχίας του εξοπλισμού). Θέτοντας όπου p p p και q q q οδηγούμαστε στην γεωμετρική κατανομή τάξης που παρουσιάσαμε παραπάνω..7 Ανακεφαλαίωση Στο κεφάλαιο αυτό προσδιορίσθηκε η γεωμετρική κατανομή τάξης την οποία ακολουθεί η τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) T η οποία εκφράζει το χρόνο αναμονής μέχρι την εμφάνιση για τη 1 η φορά, συνεχόμενων επιτυχιών και η ονομασία της προέρχεται από το γεγονός ότι μας παραπέμπει για =1 στην γεωμετρική κατανομή. Στην συνέχεια έγινε εκτενής αναφορά σ αυτή με παράθεση τύπων αναδρομικών και μη της συνάρτησης κατανομής της, αναλύθηκαν οι ιδιότητες της, προσδιορίσθηκαν οι ροπές της και οι πιθανογεννήτριες καθώς και έγινε εκτίμηση των παραμέτρων της χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της Μέγιστης Πιθανοφάνειας αλλά και τη Μέθοδο των Ροπών. Επιπρόσθετα, έγινε γενίκευση της γεωμετρικής κατανομής τάξης σε δύο διαφορετικές κατευθύνσεις διαφοροποιώντας κάποιες υποθέσεις σχετικά με τις ροές των δοκιμών Bernoulli.Στην πρώτη περίπτωση, υποθέτοντας ότι οι δοκιμές Bernoulli συσχετίζονται με μια Μαρκοβιανή αλυσίδα διαπιστώνεται ότι ο χρόνος αναμονής T ακολουθεί Μαρκοβιανή Γεωμετρική Κατανομή Τάξης. Στην δεύτερη περίπτωση, παρεμβαίνοντας στο πείραμα Bernoulli και διαφοροποιώντας την πιθανότητα μετά την εμφάνιση αποτυχίας προσδιορίζεται η Παρεμβαλλόμενη Γεωμετρική Κατανομή Τάξης. 4

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εφαρμογές της Γεωμετρικής Κατανομής Τάξης στα Διαγράμματα Ελέγχου 3.1 Εισαγωγή Στις παραγωγικές διεργασίες μας ενδιαφέρει η παρακολούθηση της συμπεριφοράς μιας κρίσιμης ποσότητας ενός (μετρήσιμου) χαρακτηριστικού X (τυχαία μεταβλητή) των προϊόντων που παράγονται. Για παράδειγμα, το χαρακτηριστικό X μπορεί να είναι μήκος, βάρος, όγκος του παραγόμενου προϊόντος ή ακόμη και αριθμός ελαττωματικών/ελαττωμάτων, τα οποία καταγράφονται κατά την επιθεώρηση. Η παρακολούθηση της κρίσιμης ποσότητας βασίζεται σε μετρήσεις του Χ, οι οποίες είναι διαθέσιμες κατά τη συλλογή τυχαίων δειγμάτων, σε διαδοχικές χρονικές στιγμές. Έστω X 1, X, τυχαία δείγματα μεγέθους n το καθένα, όπου X i = (X i1, X i,, X in ), i = 1,,,. Η X ij εκφράζει την j-οστή μέτρηση στο i-οστό δείγμα. Χρησιμοποιώντας τα τυχαία δείγματα X 1, X, υπολογίζουμε την τιμή μιας κατάλληλης στατιστικής συνάρτησης (τυχαίας μεταβλητής) που εκτιμά (συνήθως αμερόληπτη εκτιμήτρια) την κρίσιμη ποσότητα που μας ενδιαφέρει. Συνήθως αυτή είναι η μέση τιμή της X ή η διακύμανσή της. Θα συμβολίζουμε αυτή τη στατιστική συνάρτηση ως W g( X ). Έτσι η (διαχρονική) παρακολούθηση της διεργασίας συμπίπτει με την παρακολούθηση της συμπεριφοράς της κρίσιμης ποσότητας και επιτυγχάνεται με την παρακολούθηση των τιμών που λαμβάνει η στατιστική συνάρτηση W i στα διάφορα δείγματα. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα διαγράμματα είναι τα διαγράμματα τύπου Shewhart τα οποία εισήγαγε το 194 ο W. A. Shewhart (Shewhart 194). Ένα τυπικό διάγραμμα ελέγχου τύπου Shewhart είναι μια γραφική παράσταση που αναπαρίστανται οι παρατηρούμενες τιμές της σ.σ. W με σημεία (κουκκίδες), τα οποία έχουν συνδεθεί με μια τεθλασμένη γραμμή. Επιπλέον, στο διάγραμμα σχεδιάζονται και άλλες τρεις γραμμές: i. Η κεντρική γραμμή (center line, CL) ή μέσο επίπεδο της διεργασίας, η οποία συνήθως ταυτίζεται με τη μέση τιμή της W (mean value, CL = μ W = E(W)). Η τιμή μ W προσδιορίζεται όταν η διεργασία λειτουργεί εντός ελέγχου. Μια διεργασία (σύστημα) η οποία λειτουργεί μόνο με την παρουσία φυσικής μεταβλητότητας λέμε ότι είναι εντός ελέγχου διεργασία (in-control process) ή ότι λειτουργεί σε ευσταθή 5 i i

38 κατάσταση (stable state). Όμως, σε μια διεργασία μπορεί να εμφανίζονται περιστασιακά και άλλες μορφές μεταβλητότητας οι οποίες δεν οφείλονται σε τυχαίες αιτίες αλλά αφορούν τη συστηματική αλλαγή στο επίπεδο κάποιου (ή κάποιων) παραγόντων που καθορίζουν την ποιότητα του προϊόντος. Η μεταβλητότητα αυτή αναφέρεται ως ειδική μεταβλητότητα και οι αιτίες που οδηγούν σε αυτή ονομάζονται ειδικές ή προσδιορισμένες αιτίες μεταβλητότητας (special or assignable causes of variation). Μια διεργασία (σύστημα) η οποία λειτουργεί με την παρουσία ειδικών αιτιών μεταβλητότητας λέμε ότι είναι εκτός ελέγχου διεργασία(out of control process) ή ότι λειτουργεί σε ασταθή κατάσταση (unstable state). ii. Δύο ακραίες γραμμές, το κάτω και το άνω όριο ελέγχου (lower control limit, LCL και upper control limit, UCL). Ισχύει ότι LCL < CL < UCL και τα όρια αυτά τοποθετούνται (συμμετρικά) γύρω από τη κεντρική γραμμή CL, σε προκαθορισμένη απόσταση. Η απόσταση αυτή προσδιορίζεται είτε από το Μοντέλο Ορίων Σίγμα (sigma limits model) με LCL w L w CL, w UCL w L w, (3.1) όπου w, w η μέση τιμή και τυπική απόκλιση της W και L η απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή. Είτε από μοντέλο Ορίων Πιθανότητας (a/) με όπου LCL w za / w, CL w, UCL w za / w (3.) w, w όπου w, w η μέση τιμή και τυπική απόκλιση της W και z a/ το άνω a / ποσοστιαίο σημείο της Ν(0,1) Όσο οι τιμές της W απεικονίζονται εντός των ορίων ελέγχου και η συμπεριφορά τους είναι «τυχαία» (δεν ακολουθούν κάποιο συγκεκριμένο πρότυπο/μοτίβο), τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η διεργασία παραμένει εντός (στατιστικού) ελέγχου και δε χρειάζεται να προβούμε σε κάποια διορθωτική ενέργεια. Αν όμως κάποιο σημείο βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου λέμε ότι υπάρχει ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασία. Σε αυτή την περίπτωση αντιμετωπίζουμε κατάσταση συναγερμού (alarm) και πρέπει να προχωρήσουμε σε έρευνα για να ανακαλύψουμε τις ειδικές αιτίες μεταβλητότητας που είναι υπεύθυνες για αυτή τη συμπεριφορά. Μόλις ανιχνευθούν οι ειδικές αιτίες μεταβλητότητας θα πρέπει να προβούμε σε διορθωτικές ενέργειες έτσι ώστε αυτές να απομακρυνθούν (Βλέπε Αντζουλάκος, Δ). Αξίζει να αναφέρουμε πως σε περίπτωση που έχουμε ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας ενώ η διεργασία είναι στην πραγματικότητα εντός ελέγχου, έχουμε ένδειξη εσφαλμένου συναγερμού (false alarm). 6

39 3. Διαγράμματα Ελέγχου για την Διασπορά Στην παρούσα ενότητα θα αναπτύξουμε την κατασκευή διαγραμμάτων ελέγχου για την παρακολούθηση της συμπεριφοράς της διασποράς ενός συνεχούς ποιοτικού χαρακτηριστικού X. Στην ανάλυση που ακολουθεί υποθέτουμε ότι το χαρακτηριστικό X ακολουθεί κατανομή N(μ, σ ). Θεωρούμε ότι η μέση τιμή μ παραμένει αμετάβλητη και μας ενδιαφέρει η ανίχνευση αλλαγών στη διασπορά σ (ή ισοδύναμα στην τυπική απόκλιση σ). Όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου, η τιμή της διασποράς είναι σ 0 ενώ όταν η διεργασία είναι εκτός ελέγχου, τότε σ 1 = δσ 0, δ > 0. Αν δ > 1 τότε έχουμε αύξηση στη διασπορά της διεργασίας ενώ αν δ < 1 τότε έχουμε μείωση στη διασπορά της διεργασίας. Αν δ = 1, τότε η διεργασία είναι εντός ελέγχου (δεν έχει επέλθει μεταβολή στη διασπορά της διεργασίας). Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhart για την παρακολούθηση της διασποράς είναι τα R, S και S. Για περισσότερες λεπτομέρειες δείτε Montgomery (009). Στη συνέχεια, θα μας απασχολήσει το διάγραμμα ελέγχου S, το οποίο βασίζεται στη δειγματική τυπική απόκλιση, δηλ. Είναι γνωστό ότι W i = S i = 1 n 1 (X ij X i) n i=1. (3.3) Si E( S ) c και i 0 4 S i V ( S ) 1 c, i 0 4 όπου το c 4 είναι c 4 1 ( n / ). n1 (( n1) / ) Άρα, με βάση το μοντέλο ορίων 3σ (3.1), το κλασσικό διάγραμμα ελέγχου S Φάσης ΙΙ έχει τη μορφή: Όπου UCL 3 ( c 3 1 c ) B CL c S i S i S 4 0 i LCL 3 ( c 3 1 c ) B S i S i B c 3 1 c και B c 3 1 c. (3.4)

40 Θα πρέπει να σημειωθεί ότι για n 5, το B 5 < 0 οπότε σε αυτές τις περιπτώσεις το LCL < 0 και άρα το θέτουμε ίσο με το μηδέν. Είναι προφανές ότι αν το LCL = 0, δεν θα παρατηρήσουμε σημείο κάτω από το κάτω όριο ελέγχου οπότε δεν είναι δυνατή η ανίχνευση μειώσεων στη διασπορά της διεργασίας. Ένας τρόπος για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα αυτό είναι να αναπτύξουμε ένα διάγραμμα ελέγχου S με βάση το μοντέλο ορίων πιθανότητας που παρουσιάστηκε προηγουμένως (Ενότητα 3.1,σχέση(3.)). Ειδικότερα, έστω a το επιθυμητό ποσοστό εσφαλμένων συναγερμών για το διάγραμμα. Από τις ιδιότητες της κατανομής του S i, ξέρουμε ότι (n 1)S i σ απ όπου ισοδύναμα λαμβάνουμε ~χ n 1. Άρα, όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου, ισχύει ότι P (χ a n 1;1 (n 1)S i σ 0 χ a n 1; ) = 1 a, P (σ 0 χ n 1;1 a n 1 S i σ χ n 1; a 0 ) = 1 a. n 1 Τελικά, τα όρια ελέγχου του διαγράμματος S με όρια πιθανότητας, είναι LSL 0 n1;1 a/ n 1, USL 0 n1; a/ n 1, (3.5) ενώ η κεντρική γραμμή του διαγράμματος συνηθίζεται να είναι ίση με τη διάμεσο της κατανομής, δηλαδή CL 0 n1;0.5 n Μέτρα Απόδοσης Διαγραμμάτων Ελέγχου Μια άλλη έννοια που σχετίζεται με τα διαγράμματα ελέγχου διασποράς είναι το μέσο μήκος ροής (ή μέσο μήκος διαδρομής) του διαγράμματος (average run length, ARL) που ορίζεται με τη σχέση 1 ARL p όπου p συμβολίζει την πιθανότητα να βρεθεί ένα σημείο του διαγράμματος ελέγχου εκτός των ορίων ελέγχου. Μια συνήθης πρακτική είναι να συνοδεύεται η τιμή του ARL με την τυπική απόκλιση της κατανομής του μήκους ροής SDRL (standard deviation run length). Στην περίπτωση που η κατανομή του μήκους ροής του διαγράμματος είναι γεωμετρική η τιμή του SDRL 8

41 ταυτίζεται με την τιμή του ARL. Επιπλέον η γνώση της κατανομής του μήκους ροής, η οποία με βάση τα όσα έχουμε δει έως τώρα είναι γεωμετρική κατανομή, μας επιτρέπει τον υπολογισμό και τη χρήση ποσοστιαίων σημείων προκειμένου να έχουμε περισσότερη πληροφορία σχετικά με την απόδοση του διαγράμματος. 3.4 Διαγράμματα Ελέγχου S με Χρήση του Κανόνα των Συνεχόμενων Σημείων Στην συγκεκριμένη ενότητα θα ασχοληθούμε με την περίπτωση μονόπλευρων διαγραμμάτων ελέγχου S. Στα διαγράμματα αυτά έχουμε ένδειξη εκτός ελέγχου (OOC) διεργασίας όταν συνεχόμενα σημεία του διαγράμματος ελέγχου S βρεθούν πάνω από το άνω όριο ελέγχου UCL (άνω μονόπλευρο διάγραμμα). Με αντίστοιχο τρόπο, ορίζεται και το κάτω μονόπλευρο διάγραμμα ελέγχου. Πιο συγκεκριμένα, έχουμε ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας όταν συνεχόμενα σημεία βρεθούν κάτω από το κάτω όριο ελέγχου LCL. Ενδεικτικά, δίνουμε τις παρακάτω εικόνες σχημάτων στα οποία έχουμε ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας: ΣΧΗΜΑ 7: Το Άνω Μονόπλευρο Διάγραμμα Ελέγχου S με τον κανόνα των =3 Συνεχόμενων Σημείων 9

42 ΣΧΗΜΑ 8: Το Κάτω Μονόπλευρο Διάγραμμα Ελέγχου S με τον κανόνα των =7 Συνεχόμενων Σημείων Δεν είναι δύσκολο να διαπιστώσουμε ότι το μήκος ροής (RL) του διαγράμματος (είτε στο άνω μονόπλευρο, είτε στο κάτω μονόπλευρο) συνδέεται άμεσα με τη Γεωμετρική Κατανομή τάξης, αφού πρέπει να αναμένουμε συνεχόμενα σημεία στην περιοχή (UCL, + ) (ή (0, LCL), αντίστοιχα) προκειμένου να χαρακτηρίσουμε την διεργασία ως εκτός ελέγχου (out of control process). Στη συνέχεια, θα αναπτύξουμε την περίπτωση του άνω μονόπλευρου διαγράμματος. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί κανείς να αναπτύξει και το κάτω μονόπλευρο διάγραμμα με τον κανόνα των συνεχόμενων σημείων. Θα συμβολίζουμε τα διαγράμματα αυτά ως US: / και LS: /. Ας θεωρήσουμε ένα διάγραμμα ελέγχου S στο οποίο απεικονίζονται οι δειγματικές τυπικές αποκλίσεις S 1, S, των δειγμάτων X 1, X,, μεγέθους n το καθένα. Στο διάγραμμα υπάρχει ένα άνω όριο ελέγχου UCL, το οποίο χωρίζει την περιοχή του διαγράμματος σε ζώνες, στη Ζώνη 1 πάνω από το UCL και στη Ζώνη 0, η οποία αντιστοιχεί στο διάστημα (0, UCL). Σε κάθε απεικονιζόμενη τιμή στη Ζώνη 0 αντιστοιχούμε την τιμή «0» και σε κάθε απεικονιζόμενη τιμή στη Ζώνη 1 αντιστοιχούμε την τιμή «1». Με τον τρόπο αυτό σχηματίζουμε μια ακολουθία 0-1 και έχουμε ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας όταν εμφανιστεί μια ροή από «1» μήκους. Έστω p η πιθανότητα επιτυχίας, δηλαδή η πιθανότητα να βρεθεί σημείο πάνω από το UCL. Τότε, p = P(S i > UCL) = 1 P(S i UCL) = 1 P (χ n 1 (n 1)UCL σ ) = F χn 1 ( (n 1)UCL σ ), 30

43 όπου F χn 1 ( ) είναι η αθροιστική συνάρτηση κατανομή της χ κατανομής με n 1 βαθμούς ελευθερίας (β.ε.). Όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου τότε p = p 0 = F χn 1 ( (n 1)UCL σ ), 0 ενώ όταν η διεργασία είναι εκτός ελέγχου, τότε p = p 1 = F χn 1 ( (n 1)UCL σ 1 ) = F χn 1 ( (n 1)UCL δσ ). 0 Αν RL είναι η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το μήκος ροής του διαγράμματος US: /, τότε η κατανομή της RL είναι η Γεωμετρική Κατανομή τάξης, με συνάρτηση πιθανότητας (δείτε Κεφάλαιο, σχέση (.6)) και αρχικές συνθήκες x1 f ( x) qp{1 f ( i)} i0 0,0 x P( RL x) p, x. qp, x Τότε, το μέσο μήκος ροής (ARL) και η τυπική απόκλιση του μήκους ροής (SDRL) του διαγράμματος US:/ δίνονται αντίστοιχα από τους τύπους και 1 p ARL E( RL) (1 p) p, 1 1 ( 1) qp p SDRL V ( RL). ( qp ) Όταν η διεργασία είναι εντός ελέγχου θα συμβολίζουμε ως ARL 0 το εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής ενώ όταν η διεργασία είναι εκτός ελέγχου, θα το συμβολίζουμε ως ARL 1. Αξίζει να σημειώσουμε ότι το ARL είναι συνάρτηση της μετατόπισης δ, δηλαδή ARL = ARL(δ). Ειδικότερα, ARL 0 = ARL(1) και ARL 1 = ARL(δ), 0 < δ 1. Έχουμε πλέον στη διάθεσή μας όλα τα απαραίτητα εργαλεία για την ανάπτυξη του διαγράμματος ελέγχου US: /. Τα βήματα περιγράφονται παρακάτω: Βήμα 1. Επιλέγουμε το μέγεθος δείγματος n, την επιθυμητή τιμή (έστω c 0 ) για το ARL 0 και την τιμή του, {,3, }. Βήμα. Θέτουμε ARL 0 = c 0 και λύνουμε την εξίσωση ως προς p 0, p 0 (0,1). 31

44 Βήμα 3. Έστω p 0 η αποδεκτή λύση από το Βήμα. Θέτουμε το UCL = σ 0 χ n 1;p 0 άνω όριο ελέγχου για το διάγραμμα US: /. Βήμα 4. Ανακηρύσσουμε τη διεργασία ως εκτός ελέγχου όταν για πρώτη φορά συνεχόμενες τιμές S i είναι μεγαλύτερες από το UCL. Η διαδικασία ανάπτυξης του διαγράμματος ελέγχου LS: / είναι αντίστοιχη με αυτή του US: /. Ακολουθούμε τα Βήματα 1-4 όπως παρουσιάστηκαν παραπάνω και θέτουμε το κάτω όριο ελέγχου LCL = σ 0 χ n 1;1 p 0 n 1 n 1. Στη συνέχεια, ανακηρύσσουμε τη διεργασία ως εκτός ελέγχου όταν για πρώτη φορά συνεχόμενες τιμές S i είναι μικρότερες από το LCL. Τέλος, στην περίπτωση που το = 1, το US: 1/1 (LS: 1/1) είναι το σύνηθες άνω (κάτω) μονόπλευρο διάγραμμα ελέγχου S με ένα όριο πιθανότητας. Στην επόμενη ενότητα, θα δώσουμε αριθμητικά αποτελέσματα σχετικά με την απόδοση των διαγραμμάτων ελέγχου US: / και LS: /. το 3.5 Αριθμητικά Αποτελέσματα Στην παρούσα ενότητα θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα μιας εκτεταμένης αριθμητικής μελέτης σχετικά με την απόδοση των διαγραμμάτων ελέγχου US: / και LS: /. Θεωρούμε ως c 0 {500,1000}, n {5,10,15} και {1,,3,4,5}. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι σ 0 = 1. Ως βασικό μέτρο απόδοσης χρησιμοποιείται το ARL αλλά επειδή γνωρίζουμε την κατανομή του μήκους ροής, δίνονται οι τιμές του SDRL καθώς και ποσοστιαία σημεία. Σχετικά με την απόδοση του διαγράμματος, αυτή υπολογίζεται για δ {1.0,1.1,,.0} (για το US: /) και για δ {1.0,0.9,,0.3} (για το LS: /). Πριν προχωρήσουμε στην παράθεση των αποτελεσμάτων, δίνουμε ένα παράδειγμα της εφαρμογής της μεθοδολογίας. Θέλουμε το διάγραμμα μας να έχει ARL0 c Στη διάθεσή μας έχουμε τυχαία δείγματα μεγέθους n = 3 το καθένα, από κανονική κατανομή, με γνωστή (και αμετάβλητη) μέση τιμή μ και εντός ελέγχου διασπορά ίση με σ 0, δηλ. X i = (X i1, X i, X i3 ), i = 1,, με X ij ~N(μ, σ 0 ). Έστω επίσης ότι το = και p = P(S i > UCL). Τότε, 1 p 1 p ARL p p p p p (1 p) p (1 p) p

45 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(p) = 500p 3 501p + 1 για p (0,1) δίνεται στο παρακάτω σχήμα όπου έχουν σημειωθεί και οι ρίζες της εξίσωσης g(p) = 0. ΣΧΗΜΑ 9:Γραφική παράσταση g(p) ως συνάρτηση p Επιλύοντας την εξίσωση, προκύπτουν οι τιμές και 1, όπου η μόνη αποδεκτή είναι η * p p Άρα. το άνω όριο ελέγχου UCL για το διάγραμμα ελέγχου US: / ισούται με (δείτε Βήμα 3) UCL = σ 0 χ n 1;p 0 n 1 = σ 0 χ 3 1; = σ = σ 0. Εργαζόμενοι κατά τον ίδιο τρόπο, προκύπτει το κάτω όριο ελέγχου LCL για το διάγραμμα ελέγχου LS: /: LCL = σ 0 χ n 1;1 p 0 n 1 = σ 0 χ 3 1; = σ = σ 0. Γνωρίζοντας τις τιμές των ορίων ελέγχου, μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές του ARL. Ενδεικτικά θα το κάνουμε για δ = 1. (για το US: /) και για δ = 0.8 (για το LS: /). Ειδικότερα, για 1. έχουμε p (δ) = p = P(S > UCL) = 1 P(S UCL) = 1 P (χ UCL 1. ) = 1 F χ ( ) = 1 F χ ( ) =

46 p ( ) p P(S UCL) 1 P( S UCL) UCL * P 1 F F (.43978) 0, , ARL1 ARL1(1.) , *0, Για 0. 8 έχουμε.8* p ( ) p P(S LCL) LCL * P F F (0.6759) ARL1 ARL1(0.8) *

47 Πίνακας : Τιμές ARL (SDRL) για το Διάγραμμα Ελέγχου US: /, n = 5. δ 1/1 / 3/3 4/4 5/5 1/1 / 3/3 4/4 5/ (499.50) (498.54) (497.64) (496.77) (495.9) (999.50) (998.53) (997.61) (996.7) (995.85) (51.68) (45.5) (45.) (46.79) (48.78) (470.07) (454.74) (45.40) (453.88) (456.58) (14.91) (137.63) (138.51) (140.77) (143.35) (5.10) (39.43) (38.75) (41.7) (44.71) (88.89) (85.31) (86.64) (88.97) (91.49) (149.47) (140.7) (141.1) (143.94) (147.6) (59.36) (57.10) (58.59) (60.77) (63.06) (95.83) (90.05) (91.13) (93.75) (96.73) (41.93) (40.58) (4.08) (44.07) (46.1) (65.37) (61.61) (6.95) (65.35) (67.97) (30.99) (30.5) (31.70) (33.50) (35.3) (46.88) (44.46) (45.88) (48.04) (50.35) (3.77) (3.43) (4.81) (6.43) (8.06) (35.0) (33.49) (34.9) (36.85) (38.88) (18.80) (18.73) (0.0) (1.49) (.96) (7.06) (6.13) (7.49) (9.5) (31.06) (15.5) (15.36) (16.57) (17.91) (19.4) (1.51) (0.98) (.8) (3.88) (5.50) (1.64) (1.87) (14.01) (15.4) (16.45) (17.50) (17.6) (18.50) (19.95) (1.4) UCL p