τα βιβλία των επιτυχιών

Transcript

1 Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

2 ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ ΜΑΘ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΕΠΑ.Λ.

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ...11 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων...1 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...6 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης...40 Ερωτήσεις κατανόησης ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΑΚΡΟΤΑΤΑ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων...45 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...55 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης...75 Ερωτήσεις κατανόησης ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων...81 Μεθοδολογίες Εφαρμογές...84 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης

4 7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Φύλλο αξιολόγησης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 3 Ερωτήσεις κατανόησης ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Μεθοδολογίες Εφαρμογές... 9 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Φύλλο αξιολόγησης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 11. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (Ι) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΙΙ) ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης... 99

5 Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης Φύλλο αξιολόγησης ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων απαντήσεων Μεθοδολογίες Εφαρμογές Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Ερωτήσεις κατανόησης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 18. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

6 10

7 0Επαναληψη Βασικων Εννοιων ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ i. α ν = α α α ν, α 1 = α, α 0 = 1 (α 0) ν παράγοντες ii. α ν = α 1 ν (α 0) iii. α μ α ν = α μ + ν και αμ α ν = α μ ν iv. (α β) ν = α ν β ν και ( α β ) ν = αν β ν v. (α μ ) ν = α μ ν ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ i. (α + β) = α + αβ + β ii. (α β) = α αβ + β iii. α β = (α β)(α + β) iv. (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 v. (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 vi. α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ) vii. α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ) i. α = { α, α 0 α, α < 0 ii. α = α και α 0, για κάθε α iii. α = α = α iv. α α α, για κάθε α v. x = α > 0 x = ± α vi. x = α = x = ± α vii. α β = α β και α β = _ α β, β 0 viii. α + β α + β και α β α + β ix. x < θ θ < x < θ x. x > θ x< θ ή x > θ (διαφορά τετραγώνων) (διαφορά κύβων) ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ 11

8 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΡΙΖΕΣ i. α = β α = β (α, β 0) ii. α β = α β (α, β 0) α _ iii. β = α (α 0, β > 0) β Προσοχή: α + β α + β και α β α β iv. α > β α > β, (α, β 0) v. α = α, α 0 vi. _ α = α, α vii. ν μ νμ _ α = α, ν, μ με ν, μ > και α 0 viii. νμ α μκ = ν α κ _, ν, μ, κ με ν, μ >, κ άρτιος και α 0 ix. ν α ν β = α ν β, ν με ν > και α, β 0 ν x. α μ = α μ ν, ν, μ με ν, μ > και α > 0 1 ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ i. α 0 για κάθε α ii. Αν α > β και β > γ, τότε α > γ iii. Αν α > β, τότε α ± γ β ± γ iv. Αν α > β και γ > δ, τότε α + γ > β + δ v. Αν γ > 0, τότε: α > β α γ > β γ α > β α γ > β γ vi. Αν γ < 0 τότε: α > β α γ < β γ α > β α γ < β γ vii. Αν α, β ομόσημοι, τότε α > β 1 α < 1 β viii. Αν α > 0, β > 0, τότε α > β α > β ix. Αν α < 0, β < 0, τότε α < β α > β x. Αν α, β, γ, δ θετικοί με α > β και γ > δ, τότε α γ > β δ Προσοχή: Δεν αφαιρούμε, ούτε διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ A ΒΑΘΜΟΥ Έχουν τη μορφή: αx + β = 0 αx = β (1) Αν α 0, τότε η (1) έχει μοναδική λύση την x = β α. Αν α = 0 και β 0, τότε η (1) είναι αδύνατη. Αν α = 0 και β = 0, τότε η (1) είναι αόριστη.

9 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Έχουν τη μορφή: αx + βx + γ = 0 (α 0) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Δ = β 4αγ Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 _ Δ > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες: x 1, = β ± Δ α Δ = 0 Δ < 0 Έχει μία διπλή ρίζα: x 0 = β _ α Δεν έχει πραγματικές ρίζες. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ 3 i. Λύνονται με: παραγοντοποίηση, το σχήμα Hοrner. ii. Για εξισώσεις της μορφής x ν = α διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν ν θετικός άρτιος ακέραιος και α > 0, τότε: x ν = α x = ± ν α Αν ν θετικός άρτιος ακέραιος και α < 0, τότε η εξίσωση x ν = α είναι αδύνατη. Αν ν θετικός περιττός ακέραιος και α > 0, τότε: x ν = α x = ν α Αν ν θετικός περιττός ακέραιος και α < 0, τότε: _ x ν = α x = ν α Έχουν τη μορφή: Όμοια αν αx < β. Η (1) δίνει: ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ A ΒΑΘΜΟΥ αx > β (1), α 0 x > β α, α > 0 ή x < β α, α < 0 Αν α = 0 και β > 0, τότε η (1) είναι αδύνατη. Αν α = 0 και β < 0, τότε η (1) είναι αόριστη. Αν α = 0 και β = 0, τότε η (1) είναι αδύνατη. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Έχουν τη μορφή: αx + βx + γ > 0 ή αx + βx + γ < 0 (α 0) Λύνονται με τη χρήση των πινάκων που προκύπτουν από το πρόσημο τριωνύμου, όπως φαίνεται παρακάτω. 13

10 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ x x 1 x + αx + βx + γ Ομόσημο του α Ετερόσημο του α x x 0 + αx + βx + γ Ομόσημο του α Ομόσημο του α x + Ομόσημο του α αx + βx + γ Ομόσημο του α 14 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ 3 Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος. Αναλύουμε σε γινόμενο το 1ο μέλος. Κάνουμε πίνακα, όπου βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα του γινομένου. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Μια ανίσωση της μορφής f(x) 0 είναι ισοδύναμη με την f(x) g(x) 0 για g(x) 0. g(x) Μια ανίσωση της μορφής f(x) h(x) γράφεται: f(x) g(x) g(x) h(x) 0 f(x) h(x)g(x) 0 (f(x) h(x)g(x))g(x) 0, g(x) 0 g(x) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f 1 (x) f (x) f ν (x) 0 Κάνουμε πίνακα, όπου βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα f 1 (x), f (x),, f ν (x) και τελικά βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία το γινόμενο είναι μη αρνητικό. Όμοια, αν θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση f 1 (x) f (x) f ν (x) 0. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Β ΒΑΘΜΟΥ Το πολυώνυμο f(x) = αx + βx + γ, α 0 μετασχηματίζεται ως εξής: _ Αν Δ > 0, τότε f(x) = α(x x 1 )(x x ), όπου x 1, = β ± Δ α Αν Δ = 0, τότε f(x) = α(x x 0 ), όπου x 0 = _ β α Αν Δ < 0, τότε το f(x) δεν παραγοντοποιείται στο.

11 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ Ανισότητα Συμβολισμός Γράφημα α x β [α, β] α < x β (α, β] α x < β [α, β) α < x < β (α, β) α α α α β β β β α x [α, + ) α < x (α, + ) x α (, α] x < α (, α) α + α + α α Το σύστημα: έχει ορίζουσες: ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ x { α 1 x + β 1 y = γ 1 α x + β y = γ D = α 1 β 1 α β, D x = γ 1 β 1 γ β, D y = α 1 γ 1 α γ _ Αν D 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση την x = D x D, y = _ D y D. Αν D = 0 και D x 0 ή D y 0, το σύστημα είναι αδύνατο. Αν D = D x = D y = 0, το σύστημα είναι αόριστο. (εκτός από την περίπτωση όπου όλοι οι συντελεστές των αγνώστων είναι μηδέν και ένας τουλάχιστον από τους σταθερούς όρους είναι διάφορος του μηδενός, οπότε το σύστημα είναι αδύνατο) 15

12 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ y ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = α x, α > 0 και α 1 Πεδίο ορισμού: Σύνολο τιμών: (0, + ) y α > 1 0 < α < 1 1 Ο x 1 Ο x α x 1 = α x x 1 = x α x 1 = α x x 1 = x α x 1 < α x x 1 < x α x 1 < α x x 1 > x e > 1 y 1 Ο x Ειδική περίπτωση f(x) = e x, e,71 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = nx Πεδίο ορισμού: (0, + ) Σύνολο τιμών: y Ο 1 x ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ x = α x = ogα (α > 0) og10 α = α, 10 ogα = α(α > 0) og1 = 0, og10 = 1 og(α 1 α ) = ogα 1 + ogα (α 1, α > 0) og α 1 α = ogα 1 ogα (α 1, α > 0) logα κ = κ ogα (α > 0, κ ) e x = α x = nα (α > 0) ne α = α, e nα = α (α > 0) n1 = 0, ne = 1 n(α 1 α ) = nα 1 + nα (α 1, α > 0) n α 1 α = nα 1 nα (α 1, α > 0) nα κ = κ nα (α > 0, κ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Δεν υπάρχουν αρνητικοί λογάριθμοι, καθώς και λογάριθμος του 0.

13 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Βασικοί τύποι: ημθ = β α, συνθ = γ α εφθ = β γ, σφθ = γ β Α Βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις: γ i. ημ α + συν α = 1 _ ii. εφα = συνα ημα συνα σφα = ημα εφα σφα = 1 iii. ημ(α + β) = ημα συνβ + ημβ συνα iv. ημ(α β) = ημα συνβ ημβ συνα v. συν(α + β) = συνα συνβ ημα ημβ vi. συν(α β) = συνα συνβ + ημα ημβ vii. ημα = ημα συνα viii. συνα = συν α ημ α = 1 ημ α = συν α 1 β Γ α θ Β Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών: Γωνίες 0 ο ή 0 rad 30 o ή π 6 rad 45o ή π 4 rad 60o ή π 3 rad 90o ή π rad ημθ 0 1 _ _ 3 1 συνθ _ 1 3 _ 1 0 _ εφθ _ 0 3 _ σφθ _ Μνημονικός κανόνας: _ ημ(0 ο, 30 ο, 45 ο, 60 ο, 90 ο ) = 0, 1,, 3, 4 _ συν(0 ο, 30 ο, 45 ο, 60 ο, 90 ο ) = 4, 3,, 1, 0 17

14 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο: Γωνίες αντίθετες: i. συν( θ) = συνθ ii. ημ( θ) = ημθ iii. εφ( θ) = εφθ iv. σφ( θ) = σφθ Γωνίες με άθροισμα 180 ο : i. ημ(180 ο θ) = ημθ ii. συν(180 ο θ) = συνθ iii. εφ(180 ο θ) = εφθ iv. σφ(180 ο θ) = σφθ v. ημ(180 ο + θ) = ημθ vi. συν(180 ο + θ) = συνθ vii. εφ(180 ο + θ) = εφθ viii. σφ(180 ο + θ) = σφθ Γωνίες με άθροισμα 90 ο : i. ημ(90 ο θ) = συνθ ii. συν(90 ο θ) = ημθ iii. εφ(90 ο θ) = σφθ iv. σφ(90 ο θ) = εφθ v. ημ(90 ο + θ) = συνθ vi. συν(90 ο + θ) = ημθ vii. εφ(90 ο + θ) = σφθ viii. σφ(90 ο + θ) = εφθ Τριγωνομετρικές εξισώσεις: ημx = ημθ { x = κπ + θ x = κπ + π θ, κ συνx = συνθ { x = κπ + θ x = κπ θ, κ εφx = εφθ x = κπ + θ, κ σφx = σφθ x = κπ + θ, κ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ α ν+1 = α ν + ω α ν = α 1 + (ν 1)ω _ α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β = α + γ S ν = ν (α 1 + α ν ) και S ν = ν [ α 1 + (ν 1)ω ] ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ α ν+1 = α ν λ, λ 0 α ν = α 1 λ ν 1 α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β = α γ _ S ν = α 1 (λ ν 1), λ 1 και S λ 1 ν = ν α 1, λ = 1 18

15 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

16

17 1οΡισΜοσ συναρτησησ πρ α Ξ Ε ι σ Μ Ε συ ν α Ρ Τ η σ Ε ι σ ΘΕωΡια σε ΜοΡΦη ΕΡωΤησΕων - απαντησεων 1 Τι ονομάζουμε συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; Απάντηση Συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. A f Β Συμβολικά: f: A B ή x f y = f(x) > Παραδείγµατα: i. Σε κάθε αυτοκίνητο αντιστοιχεί ένας αριθμός κυκλοφορίας. Άρα η διαδικασία αυτή είναι συνάρτηση. ii. Σε κάθε μαθητή αντιστοιχίζεται ένας μόνο βαθμός για τα Μαθηματικά. Άρα και η διαδικασία αυτή είναι συνάρτηση. iii. Η διαδικασία κάθε άνθρωπος οδηγεί μόνο ένα αυτοκίνητο δεν είναι συνάρτηση. iv. A Β Α B A Β H παραπάνω διαδικασία δεν είναι συνάρτηση, γιατί ένα στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε δύο στοιχεία του συνόλου Β H παραπάνω διαδικασία είναι συνάρτηση. H παραπάνω διαδικασία δεν είναι συνάρτηση, γιατί ένα στοιχείο του συνόλου Α δεν αντιστοιχίζεται στο σύνολο Β. 1

18 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τα γράμματα που χρησιμοποιούμε για να συμβολίσουμε μια συνάρτηση είναι συνήθως τα: f, g, h, φ κ.λπ. Έστω μια συνάρτηση f: A B. Πότε η f ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Απάντηση Αν το σύνολο Α είναι υποσύνολο του (A ) και Β =, τότε η f λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. 3 Έστω μια συνάρτηση f: A. i. Αν η f αντιστοιχίζει το x A στο y, τότε πώς αλλιώς γράφεται το y και πώς λέγεται; ii. Πώς ονομάζονται οι μεταβλητές x και y; Απάντηση i. Αν έχουμε τη συνάρτηση f: A, x A, όπου το x αντιστοιχίζεται στο y, τότε γράφουμε: Α B y = f(x) f Το f(x) λέγεται τιμή της f στο x. ii. Αν y = f(x), όπου x A, είναι μια συνάρτηση, τότε το x λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή και το y εξαρτημένη μεταβλητή. x f(x) i. Το y = f(x) το λέμε τύπο της συνάρτησης ή εικόνα του x ή τιμή της f στο x. Στην πράξη ο τύπος μιας συνάρτησης αποτελεί το «μονοπάτι» για να μεταβούμε από το σύνολο Α στο σύνολο Β. Υπάρχουν άπειροι τρόποι μετάβασης (τύποι) από το Α στο Β. Για παράδειγμα: f(x) = x +, g(x) = x + 1 3x + 4 κ.λπ. ii. Για την ανεξάρτητη μεταβλητή μπορούμε να χρησιμοποιούμε και άλλα γράμματα, εκτός από το x, χωρίς να δημιουργούμε προβλήματα στο ορισμό της. Για παράδειγμα, ο τύπος f(x) = x 3 x + 7 και ο τύπος g(t) = t 3 t + 7 εκφράζουν την ίδια συνάρτηση. iii. Η αντιστοίχιση από το σύνολο Α στο σύνολο Β μπορεί να γίνεται με περισσότερες από μια διαδικασίες. Τότε η συνάρτηση περιγράφεται με περισσότερους από έναν τρόπους.

19 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Για παράδειγμα: A 1 3 f(x) = x x < 0 f(x) = 3x Η παραπάνω αντιστοίχιση περιγράφεται από τη συνάρτηση με τύπο: f(x) = { x, x < 0 3x + 1, x 0 Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται πολλαπλού τύπου ή κλαδωτές. 4 i. Τι ονομάζουμε πεδίο ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης f, της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος της y = f(x); ii. Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f: A με τύπο y = f(x); Απάντηση i. Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος y = f(x), ονομάζεται το «ευρύτερο» υποσύνολο του, στο οποίο έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση f(x). Συμβολικά: A = {x / f(x) } ii. Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού Α ονομάζουμε το σύνολο όλων των στοιχείων του που το καθένα είναι αντίστοιχο ενός τουλάχιστον στοιχείου του Α και (συνήθως) συμβολίζουμε με f(a). Συμβολικά: f(a) = {y / υπάρχει ένα τουλάχιστον x A, τέτοιο, ώστε: y = f(x)} Με τη βοήθεια βελοδιαγράμματος έχουμε τα παρακάτω: f(a) Είναι φανερό ότι ένα στοιχείο y του δεν είναι υποχρεωτικά η εικόνα κάποιου στοιχείου x του Α. 3

20 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i. Το f(a) γενικά είναι υποσύνολο του. ii. Το πεδίο ορισμού Α της f συμβολίζεται και με D f. iii. Αξίζει να προσέξουμε ότι: Η έκφραση: «Δίνεται συνάρτηση f: A» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α. Η έκφραση: «Δίνεται η συνάρτηση f: A Β» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α και το σύνολο τιμών της f(a) είναι υποσύνολο του Β. Δηλαδή f(a) B. Η έκφραση: «Δίνεται η συνάρτηση y = f(x), x A» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α. 5 Ποιους περιορισμούς χρειαζόμαστε για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f αν γνωρίζουμε τον τύπος της; Απάντηση Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με γνωστό τύπο θέτουμε τους εξής περιορισμούς: Οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός. Οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός. Αν έχουμε παράσταση της μορφής εφ[f(x)], τότε πρέπει f(x) κπ + π, κ Αν έχουμε παράσταση της μορφής σφ[f(x)], τότε πρέπει f(x) κπ, κ Τονίζουμε ότι οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το. Συνοπτικά έχουμε τον παρακάτω πίνακα: Τύπος Περιορισμός f(x) = h(x) g(x) g(x) 0 f(x) = ν g(x), ν, ν > 1 g(x) 0 f(x) = εφ[g(x)] g(x) κπ + π, κ f(x) = σφ[g(x)] g(x) κπ, κ 4