0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Βασικά Θεωρήματα του κεφ.1.8 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. 1 Δίνεται η συνάρτηση f() = αν. Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι < 3 προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [,3]. Ο πρώτος κλάδος είναι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της ως πολυωνυμική συνάρτηση. Ομοίως και ο δεύτερος κλάδος. Πρέπει να ελέγξουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο που αλλάζει μορφή δηλαδή στο =. Παρατηρούμε ότι lim f () = lim ( 1) = 3 και lim f () lim ( ) + + = = δηλαδή η f δεν είναι συνεχής στο =. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [,3]. Συνεπώς δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano παρόλο που ο πρώτος κλάδος έχει ρίζα την 1 =. 1

2 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση + + f() = αν 1. Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι < 1 προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ 1,1]. Πρέπει να ελέγξουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο που αλλάζει μορφή δηλαδή στο =. Παρατηρούμε ότι + lim f () lim ( 1) 1 = + + = και lim f () 3 lim ( 4 1) = + =,δηλαδή limf() = limf() = 1= f(), δηλαδή η f είναι συνεχής στο =. Άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ 1,1]. Επειδή f ( 1) = 1 > και f (1) = < προκύπτει ότι f (1) f ( 1) <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ 1,1]. Εξετάζουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο δοθέν διάστημα. Αν έχει πολλούς κλάδους η συνάρτηση f εξετάζουμε επιπλέον τη συνέχεια της f στα σημεία που αλλάζει μορφή. Διαπιστώνουμε αν οι τιμές f( α ), f( β ) είναι ετερόσημες. Συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ρίζα στο διάστημα που μας δίνεται.

3 Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 6 ln = + 6 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (1, e). 6 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) ln 6, [ 1, e] = +. Τότε Η f είναι συνεχής στο [ 1, e] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. 6 f ( 1) = ln = 5 < και ( ) 6 έχουμε f ( 1) f ( e) = 5e <. f e = lne + e 6= 6lne+ e 6= 6+ e 6= e> δηλαδή Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον ( 1, e) 6 6 ώστε f ( ) =, οπότε ln + 6 = ln = + 6. τέτοιο, Άρα η εξίσωση 6 ln = + 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα ( 1, e ) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών εφόσον απαιτείται. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος της εξίσωσης. Θεωρούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης ως συνάρτηση f. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [ αβ, ]. Προσοχή: ΜΗ ΞΕΧΝΑΤΕ ότι η έκφραση «ρίζα της εξίσωσης f() =» είναι ισοδύναμη με την έκφραση «ρίζα της συνάρτησης f». 3

4 Παράδειγμα 4. Αν α + να δείξετε ότι η εξίσωση αηµ + π = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, α+π ]. Από τη δοθείσα εξίσωση λαμβάνουμε ισοδύναμα αηµ + π = αηµ + π =. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = αηµ + π ορισμένη και συνεχή στο άρα και στο [, α+π ]. Παρατηρούμε ότι f () =π> και f( α+π ) =αηµ ( α+π ) +π α π f( α+π ) =αηµ [ ( α+π) 1] Αρχικά έχουμε από τα δεδομένα ότι α>. Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις: i. Αν ηµ ( α + π ) = 1 θα είναι f( α+π ) = δηλαδή ρίζα της εξίσωσης f() = θα είναι το α+π. ii. Αν ηµ ( α + π) 1 τότε ηµ ( α + π ) < 1 ηµ ( α + π) 1< οπότε f( α+π ) =αηµ [ ( α+π) 1] < και f( α+π) f() <. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση f() = θα έχει ένα τουλάχιστον μία ρίζα στο (, α+π ). Από τις περιπτώσεις (i), (ii) συμπεραίνουμε ότι η f() = έχει ένα τουλάχιστον μία ρίζα στο (, α+π ]. Ως γνωστόν το θεώρημα του Bolzano εφαρμόζεται σε κλειστό διάστημα [ a, β ] ενώ το συμπέρασμα του στο αντίστοιχο ανοικτό διάστημα. Έτσι λοιπόν όταν η ρίζα, μιας συνεχούς a, β ή στα ημιανοικτά συνάρτησης f στο [, ] διαστήματα [ a, β ) ή (, ] a β, μας ζητηθεί στο κλειστό διάστημα [ ] a β, θα έχουμε και μηδενισμό του γινομένου στη δεύτερη συνθήκη του θεωρήματος, δηλαδή f( a) f( β ), συνεπώς θα υπάρχει ένα τουλάχιστον [, ] ένα τουλάχιστον [ a β ) ή ένα τουλάχιστον ( a β ] τέτοιο, ώστε f ( ) =, διότι :, Αν ( ) ( ) <, f a f β, τότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) ( ) = f. Αν f( a) f( β ) =, τότε = aή = β. a β ή a β τέτοιο, ώστε 4

5 Παράδειγμα 5. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 + = + 5 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο. Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: = =. Θεωρούμε τη συνάρτηση πολυωνυμική. 3 f() = + 5 ορισμένη στο και συνεχή σε αυτό ως Παρατηρούμε ότι f () = 1 > και f () = 5 <. Άρα ισχύει f () f () <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [, ]. Οπότε προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της Δηλαδή η εξίσωση 3 f() = + 5 στο (, ). 3 + = + 5 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (, ). Αν προσέξουμε όμως διαπιστώνουμε ότι ακριβώς στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν πάρουμε το [1, ]. Ως τελικό συμπέρασμα μπορούμε να πούμε ότι και οι δύο λύσεις είναι σωστές. Ελέγχουμε με δοκιμές ποιο μπορεί να είναι το κατάλληλο διάστημα [, ] αβ στο οποίο να ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano. 5

6 Παράδειγμα 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει ακριβώς δύο ρίζες στο (, ). 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f () = ορισμένη στο και συνεχή σε αυτό ως πολυωνυμική άρα και στο [, ]. Διαχωρίζουμε το δοθέν διάστημα στα υποδιαστήματα [,1], [1, ] και παρατηρούμε ότι: f () = = 1 > f (1) = = 5 < f () = = 7 > Για το διάστημα [,1] έχουμε f() f(1) <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [,1] άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,1). Επίσης για το διάστημα [1, ] έχουμε f(1) f() <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [1, ], άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (1, ). Συνεπώς η εξίσωση ρίζα στο (1, ) = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,1) και τουλάχιστον μία Θα εξετάσουμε τη μονοτονία της f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά. Δημιουργούμε το πηλίκο των διαφορών: f ( 1) f ( ) ( ) ( ) (31 3 ) 9(1 ) λ= = = = (1 )[3( ) 9] = = 3( ) 9 1 Για το (,1) : Έστω 1 με 1, (,1) δηλαδή < 1 < 1 και < < 1 τότε < 1 < 1, < < 1 και < 1 < 1 οπότε < < 3 3( ) < 9 3( ) 9< άρα λ< και η f γνησίως φθίνουσα. 6

7 Για το (1, ) : Έστω 1 με 1, (1, ) δηλαδή 1< 1 < και 1< < τότε 1< < 4, 1< < 4 και 1< 1 < 4 οπότε 1 3< + + < 1 9< 3( + + ) 3( + + ) 9> άρα λ> και η f γνησίως αύξουσα. Τελικά οι ρίζες της εξίσωσης στο [, ] είναι μοναδικές. Να υπενθυμίσουμε ότι: f( 1) f( ) 1. Αν λ= > συμπεραίνουμε ότι οι όροι του κλάσματος 1 και 1 f( 1) f( ) είναι ομόσημοι. Δηλαδή αν 1 < τότε f( 1) f( ) < Άρα 1 < f( 1) < f( ) Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα f( 1) f( ). Αν λ= < συμπεραίνουμε ότι οι όροι του κλάσματος 1 και 1 f( 1) f( ) είναι ετερόσημοι. Δηλαδή αν 1 < τότε f( 1) f( ) > Άρα 1 < f( 1) > f( ) Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα. Δημιουργούμε την f κατά τα γνωστά. Αποδεικνύουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας ρίζας με το θεώρημα Bolzano. Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, άρα και 1-1. Συνεπώς η ρίζα θα είναι μοναδική. Στην περίπτωση που πρέπει να αποδείξουμε την ύπαρξη ακριβώς δύο ριζών στο ( αβ, ) διαχωρίζουμε το δοθέν διάστημα σε δύο υποδιαστήματα και αποδεικνύουμε την ύπαρξη ακριβώς μίας ρίζας σε καθένα από αυτά. 7

8 Παράδειγμα 7. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (,3) = 3 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα Η εξίσωση έχει νόημα για και 3 ή για και 3. Παρατηρούμε σε αυτή την άσκηση ότι αν μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και το πρώτο μέλος το θεωρήσουμε ως συνάρτηση του, τότε δεν μπορούμε να πάρουμε τις ακραίες τιμές και 3 διότι τις έχουμε εξαιρέσει. Για να αποφύγουμε αυτό το «σκόπελο» κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1 ο μέλος δηλαδή: 4 4 ( + 4)( ) = ( + )(3 ) ( + 4)( ) + ( + )( 3) = 4 Θεωρούμε τώρα την f() = ( + 4)( ) + ( + )( 3) ορισμένη στο και συνεχή σε αυτό ως πολυωνυμική. Άρα και στο [,3]. Παρατηρούμε ότι f () = 6 < και f (3) = 83 >. Άρα ισχύει f() f(3) <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [,3]. Οπότε προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της στο (,3). 4 f() = ( + 4)( ) + ( + )( 3) Δηλαδή η εξίσωση = 3 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (,3). Η λύση αυτή είναι δεκτή γιατί πληροί τους περιορισμούς. Στην περίπτωση που η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές και η συνάρτηση που θεωρούμε δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και κατόπιν θεωρούμε τη συνάρτηση f(). Τελικά αποδεικνύουμε το ζητούμενο κάνοντας χρήση του θεωρήματος Bolzano με την f(). 8

9 Παράδειγμα 8. 4 Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () = και 3 g() = τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο του διαστήματος ( 1,1). Λύνοντας την εξίσωση f() Δηλαδή = g() βρίσκουμε τα κοινά σημεία των C f,c g = =. 4 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = ορισμένη και συνεχή στο ως πολυωνυμική. Άρα και στο [ 1,1]. Έχουμε h( 1) = 7 και h(1) = 17 δηλαδή h( 1) h(1) < Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano για 4 3 την h() = στο (-1,1). Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( 1,1) τέτοιο ώστε h( ξ ) =, δηλαδή f( ξ ) = g( ξ ). Τα σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων τα βρίσκουμε από τη λύση της εξίσωσης f() = g(). Αν μας ζητούν να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός τουλάχιστον σημείου τομής των δύο γραφικών παραστάσεων τότε θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g() και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο δοθέν διάστημα. 9

10 Παράδειγμα 9. Για κάθε α ( 1, ), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,1) ( 1 ξ)( 1 α ) e ξ = ( α ) ξ. ξ τέτοιο ώστε: Για κάθε α ( 1, ), θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ξ (,1 ). Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( ) 1 1 α e = α 1 1 α e α =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα f() = 1 1 α e α, και έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [,1 ] ως γινόμενο και διαφορά συνεχών συναρτήσεων. f f 1 = 1 α α = 1 α α < διότι έχουμε: 1<α<. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,1) τέτοιο ώστε: ξ f( ξ ) = ( 1 ξ)( 1 α ) e = ( α ) ξ. Εφόσον για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο [, ] άμεσα να αποδείξουμε τις εξής ισοδύναμες προτάσεις: η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) αβ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ( αβ, ) τέτοιο ώστε: ( ) η C f τέμνει τον f =. σε ένα τουλάχιστον σημείο M(,) με (, ) αβ, μπορούμε αβ. 1

11 Παράδειγμα 1. Έστω συνάρτηση f :[,6], η οποία είναι συνεχής στο [,6 ] με f( ) f( 6) =. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) = f( + ) f( ) και να αποδείξετε ότι αυτή είναι συνεχής. β. Να αποδείξετε ότι: g( ) + g( ) + g( 4) =. γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, 4) ξ ώστε: f( ) f( ) ξ+ = ξ. α. Η συνάρτηση f( +, ) ως σύνθεση των f( ) με D = [,6] και της ( ) Dh = R, ορίζεται όταν: R f [, 4]. h = + με Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι: g, 4,6 =, 4. Προφανώς η g είναι συνεχής στο D g αφού προκύπτει από σύνθεση και διαφορά συνεχών συναρτήσεων. D = [ ] [ ] [ ] β. Θέτοντας στην g( ) = f( + ) f( ) διαδοχικά =, = και = 4, προκύπτουν οι σχέσεις: g ( ) = f( ) f(, ) g( ) = f( 4) f( ) και ( ) = ( ) ( ) g4 f 6 f 4. Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, έχουμε: g ( ) + g ( ) + g ( 4) = f ( 6) f () =. (1) γ. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Η (1) να αληθεύει όταν: g( ) = g( ) = g( 4) =. Τότε οι αριθμοί,, 4 είναι λύσεις της εξίσωσης g( ) =. Η (1) να αληθεύει όταν δεν είναι και οι τρεις προσθετέοι του πρώτου μέλους μηδέν. Τότε οι δύο από αυτούς είναι ετερόσημοι. Έστω g ( ) g ( ) <. Τότε ισχύει στο [, ] το Θ. Bolzano για την ( ) είναι συνεχής στο [, ] ως συνεχής στο [, 4 ]. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) (, 4) τέτοιο ώστε: g ( ξ ) =. Όμοια, αν g( ) g( 4) < ή ( ) ( ) εξίσωση g( ) = έχει μία τουλάχιστον λύση στο (, 4 ) ή στο (, 4) (, 4) g, αφού ήδη η g g g 4 <, η αντίστοιχα. 11

12 Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε: g( ξ ) = f( ξ+ ) = f ( ξ ). Από μια σχέση της μορφής ( ) ( ) ( ) h α + h β + h γ = συμπεραίνουμε ότι ή όλοι οι όροι του αθροίσματος είναι μηδέν, ή οι δύο από αυτούς είναι ετερόσημοι. 1

13 Παράδειγμα 11. Να δείξετε ότι η εξίσωση e = 1 ln, έχει μοναδική ρίζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση f () e ln 1, (, ) = + +. Η f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι γνησίως αύξουσα διότι: για οποιαδήποτε, (, ) ln < ln. 1 1 Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: 1 1 e + ln < e + ln e + ln 1 < e + ln 1 f ( ) < f ( ) ( ) lim f () = lim e + ln 1 =, 1 +, με < e < e και 1 γιατί = = και lim (e 1) lim (ln ) = ( ) lim f () = lim e + ln 1 = +, γιατί lim e + = + και lim (ln ) = +. + Το σύνολο τιμών της f είναι το ( lim f (), lim f ()) (, ) + + σύνολο τιμών, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) = + =. Το μηδέν ανήκει στο + τέτοιο ώστε f( ) =. Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() =. Αυτή η ρίζα είναι μοναδική αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1 1. Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f() =, έχει μία τουλάχιστον ρίζα και δεν δίνεται το διάστημα που την περιέχει, τότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών της. Αν το σύνολο τιμών της περιέχει το μηδέν τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον Df ώστε f( ) =. Δηλαδή η εξίσωση f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Αν επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα. 13

14 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα 1. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης g() = ηµ 3 στο διάστημα [, π]. Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης ημ 3 = στο διάστημα [, π]. π π Είναι οι 1 =, =. 3 3 Τοποθετούμε τις ρίζες και το διάστημα του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. ΔΙΑΣΤΗΜΑ π [, ) 3 π π (, ) 3 3 π (, π ] 3 Επιλεγμένος π π f( ) Πρόσημο Και βρίσκουμε τα πρόσημα της συνάρτησης όπως φαίνονται στο πίνακα. Αυτή η διαδικασία λειτουργεί και ως μεθοδολογία. Εναλλακτική μεθοδολογία είναι και η εξής: Βρίσκουμε τις ρίζες της f() =. Τοποθετούμε στον άξονα χ χ τα άκρα του πεδίου ορισμού και τις ρίζες. Βρίσκουμε ενδεικτικά μία τιμή f( ) της f. Αν f( ) > θέτουμε στο αντίστοιχο διάστημα το + και στα υπόλοιπα διαστήματα εναλλάξ - και +. Στην περίπτωση διπλής ρίζας το πρόσημο παραμένει το ίδιο στα διαστήματα δεξιά και αριστερά από τη ρίζα. 14

15 Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο με την ιδιότητα f() + f( + 3) = για κάθε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει [,3] ώστε να ισχύει f( ) = f( + ). Επειδή οι συναρτήσεις f(), g() = + 3 ορίζονται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών άρα και η f(g()) = f( + 3) ορίζεται ομοίως στο. Ισχύει f() + f( + 3) = f() = f( + 3) (1). Από τη σχέση (1) έχουμε: για = ισχύει f() = f(3) () και για = ισχύει f() = f(5) (3). Ψάχνουμε να βρούμε τουλάχιστον ένα [,3] ώστε να ισχύει f( ) = f( + ). Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() f( + ) ορισμένη και συνεχής στο ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Παρατηρούμε ότι: h() = f () f () = f (3) f () λόγω της () και h(3) = f (3) f (5) = f (3) + f () λόγω της (3). Άρα h() h(3) = [f (3) + f ()] και συμπεραίνουμε ότι αν f(3) + f() = τότε h() h(3) = οπότε ρίζα της h θα είναι το ή το 3. Αν f(3) + f() τότε h() h(3) < οπότε από το θεώρημα Bolzano συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ρίζα της h στο (,3). 15

16 Παράδειγμα 3. Δίνεται συνάρτηση f με τύπο e f() = + ορισμένη στο [,5]. Να αποδείξετε ότι η 1 εξίσωση 11+ f () = είναι αδύνατη στο [,5]. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι και γνησίως φθίνουσα στο [,5] ως άθροισμα γνησίως φθινουσών συναρτήσεων. (Η συνάρτηση και η συνάρτηση e είναι γνησίως φθίνουσες. ) 1 Θεωρώ τη συνάρτηση g ( ) = 11 + f( ) η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [,5]. Άρα το σύνολο τιμών της g θα είναι το e [ g(5), g()] = [11 + +,1 + e]. 5 4 Παρατηρώ ότι το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της g. Άρα δεν υπάρχει ξ [,5] έτσι ώστε g( ξ) = 11 + f( ξ) =.Συνεπώς η εξίσωση 11 + f( ) = είναι αδύνατη στο [,5]. Εξετάζουμε αν το ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης. Αν δεν ανήκει τότε η εξίσωση που μας δίνεται είναι αδύνατη. 16

17 Παράδειγμα 4. Αν α, β, γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 ηµ ( + β ) + ηµ ( + 3γ ) = συν ( + α ) +. π, ώστε: f() = ηµ + β + ηµ + 3γ συν + α, και θα π αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον, ώστε να ισχύει: f( ) =. 1 Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( ) π Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, αθροίσματα συνεχών συναρτήσεων. αφού προκύπτει από συνθέσεις, δυνάμεις και f = ηµ β + ηµ 3γ συν α π π π π 1 f = ηµ + β + ηµ + 3γ συν + α = 1 1 συν β + συν 3γ ηµ α = 1 ηµ β+ 1 ηµ 3γ ( 1 συν α) = 1 1 ηµ β ηµ 3γ + συν α + = ηµ β + ηµ 3γ συν α ( ) 1 Συνεπώς: ( ) Αν ( ) Αν ( ) π 1 f f = ηµ β + ηµ 3γ συν α. π f f <, τότε, σύμφωνα με το Θ. Βolzano, υπάρχει τουλάχιστον π, f =. ώστε ( ) π f f =, τότε f( ) είναι ρίζα της εξίσωσης f ( ) =. Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον π = ή f =, π οπότε το = ή το = π, ώστε να ισχύει: f( ) =. 17

18 Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f() ως εξής: Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο [ αβ., ] Αποδεικνύουμε ότι f( α) f( β). = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [, ] αβ, εργαζόμαστε Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν f ( α) f ( β ) <, τότε από το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) f( ) =. αβ ώστε Αν f ( α) f ( β ) =, τότε f( α ) = ή ( ) εξίσωσης f() =. Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον [, ] f β =, οπότε το α ή το β είναι ρίζα της αβ ώστε: f( ) =. 18

19 Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση ηµ f () = ln + e. α. Βρείτε τα όρια: lim f () + και lim f (). + β. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο. Df =, +. Έχουμε: ηµ lim f = lim ln + e =, γιατί lim (ln ) =, lim ( e ) = 1 και + + ηµ lim 1 + =. ηµ 1 ηµ lim f = lim ln + e = lim ln + = +, γιατί: e 1 1 ηµ lim =, αφού < < 1 και lim =, αφού για κάθε + e e + α. Είναι ( ) ( ) + + ( ) lim (ln ) = +, + (, + ) είναι: ηµ ηµ ηµ 1 = =, οπότε και επειδή 1 1 lim = lim =, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι + + ηµ lim =. + β. Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση f() Επειδή lim f () =, υπάρχει 1 (, + ) ώστε f( 1) <. + Επειδή lim f () + = +, υπάρχει (, ) = έχει μία τουλάχιστον λύση στο = ( + ) + με > 1 ώστε f( ) >. Επομένως ισχύει το θεώρημα Bolzano για την f στο [ 1, ] διότι: D,. η f είναι συνεχής στο [ 1, ], αφού προκύπτει από συνεχείς συναρτήσεις. f f <.. ( ) ( ) 1 f 19

20 Άρα η εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον λύση στο ( ) ( ) 1,, +. Ισοδύναμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο M,. ( ) Αν η συνάρτηση f δεν ορίζεται στο [ αβ, ] αλλά ορίζεται στο (, ) αβ όπου είναι συνεχής και θέλουμε να αποδείξουμε την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης f() = στο ( αβ, ), τότε ελέγχουμε αν: lim f () lim f () = ή με <. + α β Τότε θα υπάρχουν (, ) ομόσημο του β 1 lim f (). αβ με f( 1) ομόσημο του lim f () + α και (, ) αβ με f( ) Εφαρμόζοντας πλέον το Θ. Bolzano στο [ 1, ] αποδεικνύουμε την ύπαρξη της ρίζας στο (, ), άρα και στο ( αβ, ) αφού (, ) ( αβ, ). 1 1 Ανάλογη διαδικασία ακολουθούμε αν η f ορίζεται στο [ αβ, ) ή στο (, ] αντίστοιχα αν f ( ) lim f () < ή lim f () f ( ) + β α αβ, οπότε ελέγχουμε β = ή με <.

21 Παράδειγμα 6. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζες ρ ρ ( ),,1. 1 ( ) e e e 1 = + 1 ( ) έχει δύο τουλάχιστον ετερόσημες β. Θεωρούμε τη συνάρτηση g η οποία είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο και τέτοια g( ρ1) g( ρ) ώστε: =, όπου ρ1, ρ οι ρίζες του προηγουμένου ερωτήματος. ρ ρ 1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g( ) = έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα. α. Για κάθε, και 1, έχουμε: ( ) e 3 e e = + 1 ( ) ( ) e e e 1 = + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e 1 e 1 + =. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( ) f () = e e 1 e 1 +, και θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση f() ρ, ρ,1. = έχει δύο τουλάχιστον ετερόσημες ρίζες 1 ( ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f σε καθένα από τα διαστήματα [,] και [,1 ]. Η f είναι συνεχής στο [,] και συνεχής στο [,1 ] αφού προκύπτει από γινόμενα και αθροίσματα συνεχών συναρτήσεων. ( ) ( ) ( ) f = e e 3 = 18 > f( ) = ( 1) = < 1 1 e 1 f( 1) = ( e 1) 13 = 31 = 3 > e e Συνεπώς: f( ) f( ) < και ( ) ( ) f f 1 <. 1

22 Άρα, η εξίσωση f( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( ) ρ (,1 ). Επειδή ρ 1 (, ) (,1) και (,1) (,1 ), f( ) = έχει δύο τουλάχιστον ετερόσημες ρίζες ( ) ρ1, ρ,,1. β. Έχουμε: ( ) ( ) ρ 1, και μια τουλάχιστον ρίζα ρ συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση ( ) g ρ g ρ ρ g ρ = g ( ρ ) = ρ ρ ρ ρ, ρ,1. Οι ρίζες είναι δεκτές διότι (1) 1 Η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο [ ] Η g είναι συνεχής στο [, ] ρ ρ ως συνεχής στο R. 1 ρ, ρ, διότι: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ρ g ρ ρ g ρ g ρ g ρ = g ρ = < 1 ( ) ρ1 ρ1 διότι: ρ οι αριθμοί ρ1, ρ είναι ετερόσημοι, άρα <. ρ είναι g ( ρ ), αφού, αν ήταν ( ) g ( ), ρ = άτοπο διότι η g είναι γνησίως μονότονη. 1 1 g ρ =, θα είχαμε από την (1) ότι και Συνεπώς η εξίσωση g( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα ρ ( ρ ) 1,. Επειδή η g είναι γνησίως μονότονη στο R, δεν μπορεί να έχει και άλλη πραγματική ρίζα. ρ, ρ. Άρα η εξίσωση g( ) = έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα ( ) 1 Αν στην εξίσωση f( ) g( ) = υπάρχουν παρονομαστές που να μηδενίζονται για = α ή = β, τότε με απαλοιφή αυτών των παρονομαστών μετασχηματίζουμε την εξίσωση στη μορφή h ( ) =. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει περισσότερες από μια ρίζες στο ( αβ, ), χωρίζουμε το διάστημα [ αβ, ] σε τόσα υποδιαστήματα όσο το πλήθος των ριζών που θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν στο ( αβ, ), και εφαρμόζουμε στο καθένα υποδιάστημα το Θ. Bolzano.

23 Παράδειγμα 7. Βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f() 3 = ηµ συν στο διάστημα [ π ],. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, π ] ως διαφορά συνεχών. Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης f( ) = στο διάστημα [ ], π. Είναι: f() = ηµ 3 συν = ηµ = 3 συν π π εϕ = εϕ = κπ +, κ, 3 3 π 3π,. (1) εϕ = 3 π 3π, Έχουμε: π π π 1 1 κπ+ π κπ π κ κ= ή κ= Τότε από την (1) έχουμε: π = ή 3 4π = (δεκτές) 3 Επιλέγουμε έναν αριθμό σε καθένα από τα υποδιαστήματα του [, π ] που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό που θα είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f. Διάστημα π π 4π 4 π,,, π Επιλεγμένος π π 3π αριθμός 6 f( ) Πρόσημο + Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ, εργαζόμαστε ως εξής: Διαπιστώνουμε τη συνέχεια της f στο διάστημα Δ. Λύνουμε την εξίσωση f() =,. 3

24 Σε καθένα από τα υποδιαστήματα του Δ που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες της f, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε την τιμή f( ). Το πρόσημο της τιμής f( ) είναι το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα. 4

25 Παράδειγμα 8. 1 =. Δίνεται η συνάρτηση f() e, (,) i. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ii. iii. Να δείξετε ότι η εξίσωση Να δείξετε ότι η εξίσωση e = έχει μοναδική αρνητική ρίζα. e = είναι αδύνατη, στο (,). i. Η f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι γνησίως φθίνουσα διότι: για οποιαδήποτε 1 1 1, (,), με < 1 > και 1 1 e < e e > e. Με πρόσθεση κατά > 1 >. μέλη έχουμε 1 e e f( ) f ( ) 1 1 lim f () = lim e ( ) 1 = = 1 γιατί lim = και lim e = 1 1 lim f () = lim e = = Το σύνολο τιμών της f είναι το ( lim f (), lim f () ) (,). =. ii. Για την εξίσωση e = έχουμε (διαιρώντας με < ) = = =. e e f() Αυτή η τελευταία εξίσωση έχει μοναδική αρνητική ρίζα ( < ), αφού η f είναι 1 γνησίως φθίνουσα και το ανήκει στο σύνολο τιμών της, σύμφωνα με το (i) ερώτημα. 5

26 iii. Διαιρούμε με < και τα δύο μέλη της εξίσωσης και έχουμε: = = = =. e e e f () Όμως ο αριθμός 1 δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα η εξίσωση 1 f() = είναι αδύνατη στο (,). Το ίδιο θα ισχύει και για την ισοδύναμή της εξίσωση e =. Αν έχουμε υπολογίσει το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f και θέλουμε να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα τότε προσπαθούμε να μετασχηματίσουμε την εξίσωση σε μια άλλη ισοδύναμη, της μορφής f() = k, k. Αν ο αριθμός k ανήκει στο σύνολο τιμών της f και η f είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση f() = k, k έχει μοναδική ρίζα. Το ίδιο ισχύει και για την ισοδύναμή της, την αρχική εξίσωση. Αν ο αριθμός k δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. 6

27 Παράδειγμα 9. Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f: για τις οποίες ισχύει κάθε. f () 7f() + 1 = για Α Τρόπος: Για κάθε R είναι: ( )( ) + = άρα για ο Rισχύει f ( ) 3 f ( ) 4 =, οπότε ή f ( ο) = 3 ή f ( ο) = 4, (επειδή μια συνάρτηση σε ένα f () 7f () 1 = f () 3 f () 4, ( )( ) ο ο ο δεν μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές τιμές). Οι τιμές λοιπόν που μπορεί να πάρει η συνάρτηση f στο Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε R ισχύει: ή f () = 3 ή f () = 4, δηλαδή η f είναι σταθερή συνάρτηση. ο είναι ή το 3 ή το 4. Έστω ότι η f δεν είναι σταθερή συνάρτηση τότε θα υπάρχουν 1, R με 1 (χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι 1< ) τέτοια, ώστε f ( 1) = 3 και f ( ) = 4. Για τη συνάρτηση f έχουμε ότι είναι συνεχής στο 1, και 3 = f ( 1) f ( ) = 4, άρα ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, οπότε η f θα παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( 1) = 3 και f ( ) = 4, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ο ( 1,) τέτοιο, ώστε 7 f ( ο) = που είναι άτοπο, γιατί = Επομένως: 4 ή f () = 3 για κάθε R ή f () = 4 για κάθε R B Τρόπος: Για κάθε R είναι: f () 7f () + 1 = f () f () + = f () = g () = 4 4 (1), όπου 7 g() = f (). 7

28 Για κάθε R είναι g () > g() και επειδή η g είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Άρα για κάθε R θα είναι ή g() < ή g() >. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν για κάθε R είναι g() <, τότε από (1) έχουμε g() = f () = f () = 3. Αν για κάθε R είναι g() >., τότε από (1) έχουμε g() = f () = f () = 4. Επομένως: ή f () = 3 για κάθε R ή f () = 4 για κάθε R. Αν για δυο συναρτήσεις f : Α και g : Α ισχύει: τότε δεν έπεται κατ ανάγκη ότι: f () g() = για κάθε A, f ()= για κάθε A ή g() = για κάθε A. Πράγματι, αν θεωρήσουμε π.χ. τις συναρτήσεις:, αν 1 f ()=, αν > 1 και, αν 1 g()=, αν > 1 τότε για κάθε είναι f () g() =, αλλά δεν ισχύει f ()= για κάθε ή g() = για κάθε. Για αυτό το λόγο εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Α Τρόπος: Η αρχική σχέση ισχύει για κάθε, άρα θα ισχύει και για, οπότε καταλήγουμε σε f( ) α f( ) β = όπου α,β R (γινόμενο δύο αριθμών ίσο με μια σχέση της μορφής ( )( ) ο ο το μηδέν), οπότε θα ισχύει ή f( ο ) = α ή f( ο ) = β, (αφού μια συνάρτηση σε ένα ο δεν μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές τιμές). 8

29 Οι τιμές λοιπόν που μπορεί να πάρει η συνάρτηση f στο ο είναι ή το α ή το β. Στη συνέχεια με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο και αξιοποιώντας το Θεώρημα των Ενδιαμέσων Τιμών αποδεικνύουμε ότι για κάθε ισχύει: ή f() = α ή f() = β, δηλαδή ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση. B Τρόπος: Με συμπλήρωση τετραγώνου καταλήγουμε σε μια ισότητα της μορφής f() κ =λ g () =λ (1), για κάθε R, όπου g() = f() κ, κ,λ R με ( ) λ>. Για κάθε R είναι g () > g() και επειδή η g είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Άρα για κάθε R θα είναι ή g() < ή g() >. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν για κάθε R είναι g() <, τότε από (1) έχουμε g() = λ f() κ = λ f() = κ - λ. Αν για κάθε R είναι g() >., τότε από (1) έχουμε g() =λ f() κ=λ f() =κ+λ. Επομένως: ή f () =κ λ για κάθε R ή f () =κ+λ για κάθε R. 9

30 Παράδειγμα 1. Έστω η συνάρτηση f : [ 1, ], η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( 1, ) f ( 1) + f () + 3f () ώστε f( ) =. 6 Η f είναι συνεχής στο [ 1, ]. 1< f( 1) < f() αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. 1< f( 1) = f( 1) < f() f( 1) = f( 1) < f() (1) 1< < f( 1) < f() < f() () 1< f( 1) < f() = f() 3f( 1) < 3f() = 3f() (3) Προσθέτω κατά μέλη τις (1), (), (3) και προκύπτει: f ( 1) + f () + 3f () 6f ( 1) < f ( 1) + f () + 3f () < 6f () f ( 1) < < f (). 6 Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον ( 1, ) ώστε f ( 1) + f () + 3f () f( ) =. Το είναι μοναδικό γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα. 6 Ένας από τους τρόπους που χρησιμοποιείται για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f() k, k αβ,,είναι το θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών. = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( ) Έτσι, σε ασκήσεις όπως η παραπάνω, παρατηρούμε ότι το δεύτερο μέλος είναι ένας αριθμός (άθροισμα διαφορετικών τιμών της f ) της μορφής ν 1f ( 1) +ν f ( ) νκf ( κ). ν +ν ν 1 κ Προσπαθούμε, χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της f, να αποδείξουμε ότι αυτός βρίσκεται μεταξύ των f( α ) και f( β ). Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. 3

31 Παράδειγμα 11. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ αβ, ] και 1, [, ] υπάρχει [, ] 3f( ) + f( ) = 4f( ). αβ, ώστε 1 αβ. Να αποδείξετε ότι Αν η συνάρτηση f είναι σταθερή τότε f () = c, c για κάθε αβ [, ]. Άρα f( 1) f( ) c = = και 3f( 1) + f( ) = 4f( ) 4c = 4f( ) f( ) = c. Άρα ως μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο του [ αβ., ] Αν η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή τότε αφού είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αβ,, ] ισχύει το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Δηλαδή, η συνάρτηση θα έχει μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή M. Οπότε: m f ( 1) M 3m 3f ( 1) 3M (1) m f( ) M m f( ) M () Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και () και προκύπτει: 3f( 1) + f( ) 4m 3f ( 1) + f ( ) 4M m M. 4 3f( 1) + f( ) Δηλαδή ο αριθμός 4 3f( 1) + f( ) ώστε f( ) = 4f( ) = 3f( 1) + f( ). 4 ανήκει στο σύνολο τιμών της f, άρα υπάρχει αβ [, ] Ένας τρόπος για να αποδείξουμε ότι υπάρχει [, ] 1 κ ο α β, ώστε ν1f ( 1) + νf ( ) νκf ( κ) f ( ο) = και δεν γνωρίζουμε τη μονοτονία της f, είναι ο εξής: ν + ν ν Εφαρμόζουμε αρχικά το θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης τιμής, οπότε προκύπτει ότι η f έχει μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή Μ στο διάστημα [ α, β ] ν1f ( 1) + νf ( ) νκf ( κ) Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι ο αριθμός ν1+ ν νκ και τέλος εφαρμόζουμε θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και αποδεικνύουμε το ζητούμενο. ανήκει στο [ m, M ] 31

32 Ένας άλλος τρόπος είναι να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Bolzano για συγκεκριμένη συνάρτηση σε κατάλληλο διάστημα. Στο παράδειγμα αυτό μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() =4f () 3f ( 1) f ( ) και να διακρίνουμε περιπτώσεις για τα 1, Αν 1 =, τότε g () = για οποιοδήποτε Αν 1 και έστω 1 < τότε εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση g() =4f () 3f ( 1) f ( ) στο διάστημα [ 1, ] 3

33 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα 1. Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα =, για την οποία ισχύει + f ( ) = για κάθε =,. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f( ) = στο διάστημα Δ. β) Να δείξετε ότι η f() > για κάθε (, ) γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f(). δ) Να γίνει η γραφική της παράσταση. αν ( ) f = 1. α) Έστω ότι υπάρχει =, Η σχέση + f ( ) = για = γίνεται f = έτσι ώστε ( ) + f ( ) = = =±, άρα η εξίσωση f() = έχει σαν ρίζες τους αριθμούς 1 = ή =. β) Έχουμε f() για κάθε (, ) και επειδή η f είναι συνεχής στο =,, άρα θα διατηρεί σταθερό πρόσημο δηλαδή f() > ή f() <. Έχουμε όμως f( ) = 1 άρα f() >. γ) + f () = f () = f () = άρα f() = ή και τους δύο τύπους, όμως η f() >.Συνεπώς f() =. f() = ή y y δ) Έστω y = f() άρα θα έχουμε + y = = + 1 = (1). Όπως ξέρουμε από την Β Λυκείου η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη με μεγάλο άξονα α= και μικρό β= 1. 33

34 Από την έλλειψη δεκτό μέρος είναι μόνο τα σημεία της Μ (, y) με y. Παρατήρηση: Η άσκηση επιλύεται πολύ εύκολα αν κάνει κανείς από την αρχή την γραφική παράσταση της συνάρτησης. Από τη σχέση που μας δίνουν βρίσκουμε τις ρίζες της f() =. Στο διάστημα που δημιουργείται από τις δύο ρίζες το πρόσημο της συνάρτησης διατηρείται σταθερό. 34

35 Παράδειγμα. Δίνεται μία συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [,3]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [,3] τέτοιο ώστε f(1) + f() = 3f( ξ ). Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [,3], θα έχει μία μέγιστη τιμή Μ και μία ελάχιστη m (σύμφωνα με το Θ.Μ.Ε.Τ.). Οπότε θα έχουμε: m f (1) Μ (1) m f () Μ m f () Μ () Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1), () και λαμβάνουμε: f (1) + f () 3m f (1) + f () 3Μ m Μ (3) 3 Αν m = Μ δηλαδή η συνάρτηση f είναι σταθερή τότε μπορούμε να επιλέξουμε ένα τυχαίο ξ [,3] για το οποίο θα ισχύει f(1) + f() = 3f( ξ ). Αν m <Μ τότε το σύνολο τιμών της f θα είναι το [m, Μ] και σύμφωνα με τη (3) και εφαρμόζοντας το Θ.Ε.Τ. συμπεραίνουμε ότι θα υπάρχει ξ (,3) έτσι ώστε f (1) + f () f( ξ ) = f(1) + f() = 3f( ξ ). 3 Άρα τελικά υπάρχει ξ [,3] τέτοιο ώστε f(1) + f() = 3f( ξ ). 35

36 Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : ( 1, ), για την οποία ισχύει f() 3 lim = και ηµ ( 1) ( 1) f() 1 για κάθε (1, ) (1). i. Να υπολογιστούν τα όρια lim f () και lim f (). + 1 ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης 1 h() = f() iii. 1 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = f() + 1 ε :y= 1 μόνο ένα κοινό σημείο με τετμημένη ( 1, ) έχει με την ευθεία f() 3 i. Θέτουμε φ () = f() 3 =φ() ( ) f() =φ() ( ) + 3. Τότε lim f() = lim φ() ( ) + 3 = + 3 = 3. [ ] Επίσης, ( 1, ) 1 > και διαιρώντας και τα δύο μέλη της ανισότητας (1) με 1 έχουμε: ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ηµ + ηµ f() f() ( ) lim + 1 = και ( ) ηµ 1 ηµ u lim = lim = 1 = u u (Θέτουμε 1 u = και ( ) lim 1 = ) + 1 Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, θα είναι και lim f () =. ii. Η συνάρτηση h ορίζεται στο διάστημα ( 1, ), αφού η f ορίζεται σ αυτό και η ορίζεται για Η h είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι γνησίως αύξουσα διότι για οποιαδήποτε ( ), 1, με < f( ) < f( ) ()

37 και 1 1< 1 > < + 1< (3). Προσθέτουμε κατά μέλη τις () και (3) και προκύπτει 1 1 f( ) + 1 < f( ) + 1 h( ) < h( ) lim h() = lim f() + 1 = γιατί lim (f () + 1) = + 1 = 3 και lim( ) = και 1 lim h() = lim f() + 1 = = 3. 1 Το σύνολο τιμών της h είναι το ( lim h(), lim h() ) (,3) + 1 iii. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό ( 1, ) =., ώστε g( ) = = 1 f( ) + 1= f( ) + 1 = h( ) =. f( ) Επειδή το σύνολο τιμών της h περιέχει το μηδέν, σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον ( 1, ) η h είναι γνησίως αύξουσα. : h( ) =. Αυτό το είναι μοναδικό αφού iii. Για να δείξουμε ότι δύο γραφικές παραστάσεις C f,c g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f() = g() έχει ακριβώς μία ρίζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g() και αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση h() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα εφαρμόζοντας, θεώρημα Bolzano ή υπολογίζοντας το σύνολο τιμών της h το οποίο περιέχει τον αριθμό μηδέν. Η μοναδικότητα της ρίζας οφείλεται στο γεγονός ότι η h είναι γνησίως μονότονη. 37

38 Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει (1) και f () = 1. Να δείξετε ότι: i. Η εξίσωση f() = είναι αδύνατη. ii. f() <, για κάθε. f () f() = + 3, για κάθε iii. 7 Η ευθεία y = έχει με τη γραφική παράσταση της f ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,3). i. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f() = έχει ρίζα τον αριθμό ρ. Τότε ισχύει f( ρ ) = και η (1) γίνεται f ( ρ ) f ( ρ ) = ρ ρ+ 3 ρ ρ+ 3= αδύνατη αφού έχει <. Άρα η εξίσωση f() = είναι αδύνατη. ii. Επειδή η f είναι συνεχής και f(), για κάθε, η συνάρτηση f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο. Επιπλέον είναι f () = 1 <. Άρα f() <, για κάθε. iii. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3), τέτοιο ώστε f( ) Στην (1), για = 3, έχουμε 7 =. f (3) f (3) 6 =. Λύνουμε την εξίσωση με άγνωστο το f (3) και προκύπτει f (3) = 1 7 ή f (3) = 1+ 7 > (απορρίπτεται). Επίσης έχουμε f() = 1 f(3) και ισχύει < < 1 7 < 7 < που Άρα, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3), τέτοιο 7 ώστε f( ) =. 38

39 Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, αρκεί να δείξουμε ότι είναι συνεχής στο και ότι f (), για κάθε. Ένας τρόπος για να δείξουμε ότι μια ευθεία της μορφής ε : y = k, k R έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη ο α (, β,είναι ) να εφαρμόσουμε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύοντας ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον α ο (, β ), τέτοιο ώστε f( ο) = k. Ένας άλλος τρόπος είναι να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση g() = f () k σε κατάλληλο διάστημα. Ημερομηνία τροποποίησης: /11/11 39

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο,

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 3 ωρών στις Συναρτήσεις και τα Όρια 9-5 Θέμα Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( )

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) ( ) ( ) β. g( x) Όταν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει παρονομαστές αυτοί πρέπει να είναι διάφοροι του Άρα: μηδενός ( ) ( ) . Δίνεται η συνάρτηση: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( x) = 3x + 5x α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να υπολογίσετε τις τιμές:, και α. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Α= β. = 3 + 5 = ( ) = 3 ( ) + 5 ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 Βασικά σημεία προσοχής για την τελευταία επανάληψη στην ύλη των Μαθηματικών Γ Λυκείου Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Χρήσιμο βοήθημα για όλους

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β)

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β) Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε ( α) ( β). Να δειχτεί ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των ( α ) και ( β ) υπάρχει ένας τουάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα