0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Βασικά Θεωρήματα του κεφ.1.8 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. 1 Δίνεται η συνάρτηση f() = αν. Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι < 3 προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [,3]. Ο πρώτος κλάδος είναι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της ως πολυωνυμική συνάρτηση. Ομοίως και ο δεύτερος κλάδος. Πρέπει να ελέγξουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο που αλλάζει μορφή δηλαδή στο =. Παρατηρούμε ότι lim f () = lim ( 1) = 3 και lim f () lim ( ) + + = = δηλαδή η f δεν είναι συνεχής στο =. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [,3]. Συνεπώς δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano παρόλο που ο πρώτος κλάδος έχει ρίζα την 1 =. 1

2 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση + + f() = αν 1. Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι < 1 προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ 1,1]. Πρέπει να ελέγξουμε αν η f είναι συνεχής στο σημείο που αλλάζει μορφή δηλαδή στο =. Παρατηρούμε ότι + lim f () lim ( 1) 1 = + + = και lim f () 3 lim ( 4 1) = + =,δηλαδή limf() = limf() = 1= f(), δηλαδή η f είναι συνεχής στο =. Άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ 1,1]. Επειδή f ( 1) = 1 > και f (1) = < προκύπτει ότι f (1) f ( 1) <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [ 1,1]. Εξετάζουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο δοθέν διάστημα. Αν έχει πολλούς κλάδους η συνάρτηση f εξετάζουμε επιπλέον τη συνέχεια της f στα σημεία που αλλάζει μορφή. Διαπιστώνουμε αν οι τιμές f( α ), f( β ) είναι ετερόσημες. Συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ρίζα στο διάστημα που μας δίνεται.

3 Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 6 ln = + 6 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (1, e). 6 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) ln 6, [ 1, e] = +. Τότε Η f είναι συνεχής στο [ 1, e] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. 6 f ( 1) = ln = 5 < και ( ) 6 έχουμε f ( 1) f ( e) = 5e <. f e = lne + e 6= 6lne+ e 6= 6+ e 6= e> δηλαδή Επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα, τουλάχιστον ( 1, e) 6 6 ώστε f ( ) =, οπότε ln + 6 = ln = + 6. τέτοιο, Άρα η εξίσωση 6 ln = + 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα ( 1, e ) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών εφόσον απαιτείται. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος της εξίσωσης. Θεωρούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης ως συνάρτηση f. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [ αβ, ]. Προσοχή: ΜΗ ΞΕΧΝΑΤΕ ότι η έκφραση «ρίζα της εξίσωσης f() =» είναι ισοδύναμη με την έκφραση «ρίζα της συνάρτησης f». 3

4 Παράδειγμα 4. Αν α + να δείξετε ότι η εξίσωση αηµ + π = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, α+π ]. Από τη δοθείσα εξίσωση λαμβάνουμε ισοδύναμα αηµ + π = αηµ + π =. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = αηµ + π ορισμένη και συνεχή στο άρα και στο [, α+π ]. Παρατηρούμε ότι f () =π> και f( α+π ) =αηµ ( α+π ) +π α π f( α+π ) =αηµ [ ( α+π) 1] Αρχικά έχουμε από τα δεδομένα ότι α>. Διακρίνουμε τώρα τις εξής περιπτώσεις: i. Αν ηµ ( α + π ) = 1 θα είναι f( α+π ) = δηλαδή ρίζα της εξίσωσης f() = θα είναι το α+π. ii. Αν ηµ ( α + π) 1 τότε ηµ ( α + π ) < 1 ηµ ( α + π) 1< οπότε f( α+π ) =αηµ [ ( α+π) 1] < και f( α+π) f() <. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση f() = θα έχει ένα τουλάχιστον μία ρίζα στο (, α+π ). Από τις περιπτώσεις (i), (ii) συμπεραίνουμε ότι η f() = έχει ένα τουλάχιστον μία ρίζα στο (, α+π ]. Ως γνωστόν το θεώρημα του Bolzano εφαρμόζεται σε κλειστό διάστημα [ a, β ] ενώ το συμπέρασμα του στο αντίστοιχο ανοικτό διάστημα. Έτσι λοιπόν όταν η ρίζα, μιας συνεχούς a, β ή στα ημιανοικτά συνάρτησης f στο [, ] διαστήματα [ a, β ) ή (, ] a β, μας ζητηθεί στο κλειστό διάστημα [ ] a β, θα έχουμε και μηδενισμό του γινομένου στη δεύτερη συνθήκη του θεωρήματος, δηλαδή f( a) f( β ), συνεπώς θα υπάρχει ένα τουλάχιστον [, ] ένα τουλάχιστον [ a β ) ή ένα τουλάχιστον ( a β ] τέτοιο, ώστε f ( ) =, διότι :, Αν ( ) ( ) <, f a f β, τότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) ( ) = f. Αν f( a) f( β ) =, τότε = aή = β. a β ή a β τέτοιο, ώστε 4

5 Παράδειγμα 5. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 + = + 5 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο. Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: = =. Θεωρούμε τη συνάρτηση πολυωνυμική. 3 f() = + 5 ορισμένη στο και συνεχή σε αυτό ως Παρατηρούμε ότι f () = 1 > και f () = 5 <. Άρα ισχύει f () f () <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [, ]. Οπότε προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της Δηλαδή η εξίσωση 3 f() = + 5 στο (, ). 3 + = + 5 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (, ). Αν προσέξουμε όμως διαπιστώνουμε ότι ακριβώς στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν πάρουμε το [1, ]. Ως τελικό συμπέρασμα μπορούμε να πούμε ότι και οι δύο λύσεις είναι σωστές. Ελέγχουμε με δοκιμές ποιο μπορεί να είναι το κατάλληλο διάστημα [, ] αβ στο οποίο να ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano. 5

6 Παράδειγμα 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει ακριβώς δύο ρίζες στο (, ). 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f () = ορισμένη στο και συνεχή σε αυτό ως πολυωνυμική άρα και στο [, ]. Διαχωρίζουμε το δοθέν διάστημα στα υποδιαστήματα [,1], [1, ] και παρατηρούμε ότι: f () = = 1 > f (1) = = 5 < f () = = 7 > Για το διάστημα [,1] έχουμε f() f(1) <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [,1] άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,1). Επίσης για το διάστημα [1, ] έχουμε f(1) f() <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [1, ], άρα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (1, ). Συνεπώς η εξίσωση ρίζα στο (1, ) = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,1) και τουλάχιστον μία Θα εξετάσουμε τη μονοτονία της f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά. Δημιουργούμε το πηλίκο των διαφορών: f ( 1) f ( ) ( ) ( ) (31 3 ) 9(1 ) λ= = = = (1 )[3( ) 9] = = 3( ) 9 1 Για το (,1) : Έστω 1 με 1, (,1) δηλαδή < 1 < 1 και < < 1 τότε < 1 < 1, < < 1 και < 1 < 1 οπότε < < 3 3( ) < 9 3( ) 9< άρα λ< και η f γνησίως φθίνουσα. 6

7 Για το (1, ) : Έστω 1 με 1, (1, ) δηλαδή 1< 1 < και 1< < τότε 1< < 4, 1< < 4 και 1< 1 < 4 οπότε 1 3< + + < 1 9< 3( + + ) 3( + + ) 9> άρα λ> και η f γνησίως αύξουσα. Τελικά οι ρίζες της εξίσωσης στο [, ] είναι μοναδικές. Να υπενθυμίσουμε ότι: f( 1) f( ) 1. Αν λ= > συμπεραίνουμε ότι οι όροι του κλάσματος 1 και 1 f( 1) f( ) είναι ομόσημοι. Δηλαδή αν 1 < τότε f( 1) f( ) < Άρα 1 < f( 1) < f( ) Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα f( 1) f( ). Αν λ= < συμπεραίνουμε ότι οι όροι του κλάσματος 1 και 1 f( 1) f( ) είναι ετερόσημοι. Δηλαδή αν 1 < τότε f( 1) f( ) > Άρα 1 < f( 1) > f( ) Συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα. Δημιουργούμε την f κατά τα γνωστά. Αποδεικνύουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας ρίζας με το θεώρημα Bolzano. Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, άρα και 1-1. Συνεπώς η ρίζα θα είναι μοναδική. Στην περίπτωση που πρέπει να αποδείξουμε την ύπαρξη ακριβώς δύο ριζών στο ( αβ, ) διαχωρίζουμε το δοθέν διάστημα σε δύο υποδιαστήματα και αποδεικνύουμε την ύπαρξη ακριβώς μίας ρίζας σε καθένα από αυτά. 7

8 Παράδειγμα 7. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (,3) = 3 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα Η εξίσωση έχει νόημα για και 3 ή για και 3. Παρατηρούμε σε αυτή την άσκηση ότι αν μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και το πρώτο μέλος το θεωρήσουμε ως συνάρτηση του, τότε δεν μπορούμε να πάρουμε τις ακραίες τιμές και 3 διότι τις έχουμε εξαιρέσει. Για να αποφύγουμε αυτό το «σκόπελο» κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1 ο μέλος δηλαδή: 4 4 ( + 4)( ) = ( + )(3 ) ( + 4)( ) + ( + )( 3) = 4 Θεωρούμε τώρα την f() = ( + 4)( ) + ( + )( 3) ορισμένη στο και συνεχή σε αυτό ως πολυωνυμική. Άρα και στο [,3]. Παρατηρούμε ότι f () = 6 < και f (3) = 83 >. Άρα ισχύει f() f(3) <. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [,3]. Οπότε προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της στο (,3). 4 f() = ( + 4)( ) + ( + )( 3) Δηλαδή η εξίσωση = 3 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (,3). Η λύση αυτή είναι δεκτή γιατί πληροί τους περιορισμούς. Στην περίπτωση που η εξίσωση που μας δίνεται περιέχει παρονομαστές και η συνάρτηση που θεωρούμε δεν ορίζεται σε κάποιο από τα άκρα του διαστήματος, τότε πρώτα κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και κατόπιν θεωρούμε τη συνάρτηση f(). Τελικά αποδεικνύουμε το ζητούμενο κάνοντας χρήση του θεωρήματος Bolzano με την f(). 8

9 Παράδειγμα 8. 4 Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () = και 3 g() = τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο του διαστήματος ( 1,1). Λύνοντας την εξίσωση f() Δηλαδή = g() βρίσκουμε τα κοινά σημεία των C f,c g = =. 4 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = ορισμένη και συνεχή στο ως πολυωνυμική. Άρα και στο [ 1,1]. Έχουμε h( 1) = 7 και h(1) = 17 δηλαδή h( 1) h(1) < Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano για 4 3 την h() = στο (-1,1). Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( 1,1) τέτοιο ώστε h( ξ ) =, δηλαδή f( ξ ) = g( ξ ). Τα σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων τα βρίσκουμε από τη λύση της εξίσωσης f() = g(). Αν μας ζητούν να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός τουλάχιστον σημείου τομής των δύο γραφικών παραστάσεων τότε θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g() και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο δοθέν διάστημα. 9

10 Παράδειγμα 9. Για κάθε α ( 1, ), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,1) ( 1 ξ)( 1 α ) e ξ = ( α ) ξ. ξ τέτοιο ώστε: Για κάθε α ( 1, ), θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ξ (,1 ). Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( ) 1 1 α e = α 1 1 α e α =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα f() = 1 1 α e α, και έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [,1 ] ως γινόμενο και διαφορά συνεχών συναρτήσεων. f f 1 = 1 α α = 1 α α < διότι έχουμε: 1<α<. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,1) τέτοιο ώστε: ξ f( ξ ) = ( 1 ξ)( 1 α ) e = ( α ) ξ. Εφόσον για μια συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο [, ] άμεσα να αποδείξουμε τις εξής ισοδύναμες προτάσεις: η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) αβ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ( αβ, ) τέτοιο ώστε: ( ) η C f τέμνει τον f =. σε ένα τουλάχιστον σημείο M(,) με (, ) αβ, μπορούμε αβ. 1

11 Παράδειγμα 1. Έστω συνάρτηση f :[,6], η οποία είναι συνεχής στο [,6 ] με f( ) f( 6) =. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) = f( + ) f( ) και να αποδείξετε ότι αυτή είναι συνεχής. β. Να αποδείξετε ότι: g( ) + g( ) + g( 4) =. γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, 4) ξ ώστε: f( ) f( ) ξ+ = ξ. α. Η συνάρτηση f( +, ) ως σύνθεση των f( ) με D = [,6] και της ( ) Dh = R, ορίζεται όταν: R f [, 4]. h = + με Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι: g, 4,6 =, 4. Προφανώς η g είναι συνεχής στο D g αφού προκύπτει από σύνθεση και διαφορά συνεχών συναρτήσεων. D = [ ] [ ] [ ] β. Θέτοντας στην g( ) = f( + ) f( ) διαδοχικά =, = και = 4, προκύπτουν οι σχέσεις: g ( ) = f( ) f(, ) g( ) = f( 4) f( ) και ( ) = ( ) ( ) g4 f 6 f 4. Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, έχουμε: g ( ) + g ( ) + g ( 4) = f ( 6) f () =. (1) γ. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Η (1) να αληθεύει όταν: g( ) = g( ) = g( 4) =. Τότε οι αριθμοί,, 4 είναι λύσεις της εξίσωσης g( ) =. Η (1) να αληθεύει όταν δεν είναι και οι τρεις προσθετέοι του πρώτου μέλους μηδέν. Τότε οι δύο από αυτούς είναι ετερόσημοι. Έστω g ( ) g ( ) <. Τότε ισχύει στο [, ] το Θ. Bolzano για την ( ) είναι συνεχής στο [, ] ως συνεχής στο [, 4 ]. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) (, 4) τέτοιο ώστε: g ( ξ ) =. Όμοια, αν g( ) g( 4) < ή ( ) ( ) εξίσωση g( ) = έχει μία τουλάχιστον λύση στο (, 4 ) ή στο (, 4) (, 4) g, αφού ήδη η g g g 4 <, η αντίστοιχα. 11

12 Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε: g( ξ ) = f( ξ+ ) = f ( ξ ). Από μια σχέση της μορφής ( ) ( ) ( ) h α + h β + h γ = συμπεραίνουμε ότι ή όλοι οι όροι του αθροίσματος είναι μηδέν, ή οι δύο από αυτούς είναι ετερόσημοι. 1

13 Παράδειγμα 11. Να δείξετε ότι η εξίσωση e = 1 ln, έχει μοναδική ρίζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση f () e ln 1, (, ) = + +. Η f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι γνησίως αύξουσα διότι: για οποιαδήποτε, (, ) ln < ln. 1 1 Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: 1 1 e + ln < e + ln e + ln 1 < e + ln 1 f ( ) < f ( ) ( ) lim f () = lim e + ln 1 =, 1 +, με < e < e και 1 γιατί = = και lim (e 1) lim (ln ) = ( ) lim f () = lim e + ln 1 = +, γιατί lim e + = + και lim (ln ) = +. + Το σύνολο τιμών της f είναι το ( lim f (), lim f ()) (, ) + + σύνολο τιμών, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) = + =. Το μηδέν ανήκει στο + τέτοιο ώστε f( ) =. Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() =. Αυτή η ρίζα είναι μοναδική αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1 1. Για να δείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f() =, έχει μία τουλάχιστον ρίζα και δεν δίνεται το διάστημα που την περιέχει, τότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών της. Αν το σύνολο τιμών της περιέχει το μηδέν τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον Df ώστε f( ) =. Δηλαδή η εξίσωση f() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα. Αν επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα. 13

14 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα 1. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης g() = ηµ 3 στο διάστημα [, π]. Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης ημ 3 = στο διάστημα [, π]. π π Είναι οι 1 =, =. 3 3 Τοποθετούμε τις ρίζες και το διάστημα του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. ΔΙΑΣΤΗΜΑ π [, ) 3 π π (, ) 3 3 π (, π ] 3 Επιλεγμένος π π f( ) Πρόσημο Και βρίσκουμε τα πρόσημα της συνάρτησης όπως φαίνονται στο πίνακα. Αυτή η διαδικασία λειτουργεί και ως μεθοδολογία. Εναλλακτική μεθοδολογία είναι και η εξής: Βρίσκουμε τις ρίζες της f() =. Τοποθετούμε στον άξονα χ χ τα άκρα του πεδίου ορισμού και τις ρίζες. Βρίσκουμε ενδεικτικά μία τιμή f( ) της f. Αν f( ) > θέτουμε στο αντίστοιχο διάστημα το + και στα υπόλοιπα διαστήματα εναλλάξ - και +. Στην περίπτωση διπλής ρίζας το πρόσημο παραμένει το ίδιο στα διαστήματα δεξιά και αριστερά από τη ρίζα. 14

15 Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο με την ιδιότητα f() + f( + 3) = για κάθε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει [,3] ώστε να ισχύει f( ) = f( + ). Επειδή οι συναρτήσεις f(), g() = + 3 ορίζονται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών άρα και η f(g()) = f( + 3) ορίζεται ομοίως στο. Ισχύει f() + f( + 3) = f() = f( + 3) (1). Από τη σχέση (1) έχουμε: για = ισχύει f() = f(3) () και για = ισχύει f() = f(5) (3). Ψάχνουμε να βρούμε τουλάχιστον ένα [,3] ώστε να ισχύει f( ) = f( + ). Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() f( + ) ορισμένη και συνεχής στο ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Παρατηρούμε ότι: h() = f () f () = f (3) f () λόγω της () και h(3) = f (3) f (5) = f (3) + f () λόγω της (3). Άρα h() h(3) = [f (3) + f ()] και συμπεραίνουμε ότι αν f(3) + f() = τότε h() h(3) = οπότε ρίζα της h θα είναι το ή το 3. Αν f(3) + f() τότε h() h(3) < οπότε από το θεώρημα Bolzano συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ρίζα της h στο (,3). 15

16 Παράδειγμα 3. Δίνεται συνάρτηση f με τύπο e f() = + ορισμένη στο [,5]. Να αποδείξετε ότι η 1 εξίσωση 11+ f () = είναι αδύνατη στο [,5]. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι και γνησίως φθίνουσα στο [,5] ως άθροισμα γνησίως φθινουσών συναρτήσεων. (Η συνάρτηση και η συνάρτηση e είναι γνησίως φθίνουσες. ) 1 Θεωρώ τη συνάρτηση g ( ) = 11 + f( ) η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [,5]. Άρα το σύνολο τιμών της g θα είναι το e [ g(5), g()] = [11 + +,1 + e]. 5 4 Παρατηρώ ότι το δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της g. Άρα δεν υπάρχει ξ [,5] έτσι ώστε g( ξ) = 11 + f( ξ) =.Συνεπώς η εξίσωση 11 + f( ) = είναι αδύνατη στο [,5]. Εξετάζουμε αν το ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης. Αν δεν ανήκει τότε η εξίσωση που μας δίνεται είναι αδύνατη. 16

17 Παράδειγμα 4. Αν α, β, γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 ηµ ( + β ) + ηµ ( + 3γ ) = συν ( + α ) +. π, ώστε: f() = ηµ + β + ηµ + 3γ συν + α, και θα π αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον, ώστε να ισχύει: f( ) =. 1 Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( ) π Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, αθροίσματα συνεχών συναρτήσεων. αφού προκύπτει από συνθέσεις, δυνάμεις και f = ηµ β + ηµ 3γ συν α π π π π 1 f = ηµ + β + ηµ + 3γ συν + α = 1 1 συν β + συν 3γ ηµ α = 1 ηµ β+ 1 ηµ 3γ ( 1 συν α) = 1 1 ηµ β ηµ 3γ + συν α + = ηµ β + ηµ 3γ συν α ( ) 1 Συνεπώς: ( ) Αν ( ) Αν ( ) π 1 f f = ηµ β + ηµ 3γ συν α. π f f <, τότε, σύμφωνα με το Θ. Βolzano, υπάρχει τουλάχιστον π, f =. ώστε ( ) π f f =, τότε f( ) είναι ρίζα της εξίσωσης f ( ) =. Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον π = ή f =, π οπότε το = ή το = π, ώστε να ισχύει: f( ) =. 17

18 Για να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f() ως εξής: Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο [ αβ., ] Αποδεικνύουμε ότι f( α) f( β). = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [, ] αβ, εργαζόμαστε Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν f ( α) f ( β ) <, τότε από το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) f( ) =. αβ ώστε Αν f ( α) f ( β ) =, τότε f( α ) = ή ( ) εξίσωσης f() =. Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον [, ] f β =, οπότε το α ή το β είναι ρίζα της αβ ώστε: f( ) =. 18

19 Παράδειγμα 5. Δίνεται η συνάρτηση ηµ f () = ln + e. α. Βρείτε τα όρια: lim f () + και lim f (). + β. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο. Df =, +. Έχουμε: ηµ lim f = lim ln + e =, γιατί lim (ln ) =, lim ( e ) = 1 και + + ηµ lim 1 + =. ηµ 1 ηµ lim f = lim ln + e = lim ln + = +, γιατί: e 1 1 ηµ lim =, αφού < < 1 και lim =, αφού για κάθε + e e + α. Είναι ( ) ( ) + + ( ) lim (ln ) = +, + (, + ) είναι: ηµ ηµ ηµ 1 = =, οπότε και επειδή 1 1 lim = lim =, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι + + ηµ lim =. + β. Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση f() Επειδή lim f () =, υπάρχει 1 (, + ) ώστε f( 1) <. + Επειδή lim f () + = +, υπάρχει (, ) = έχει μία τουλάχιστον λύση στο = ( + ) + με > 1 ώστε f( ) >. Επομένως ισχύει το θεώρημα Bolzano για την f στο [ 1, ] διότι: D,. η f είναι συνεχής στο [ 1, ], αφού προκύπτει από συνεχείς συναρτήσεις. f f <.. ( ) ( ) 1 f 19

20 Άρα η εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον λύση στο ( ) ( ) 1,, +. Ισοδύναμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο M,. ( ) Αν η συνάρτηση f δεν ορίζεται στο [ αβ, ] αλλά ορίζεται στο (, ) αβ όπου είναι συνεχής και θέλουμε να αποδείξουμε την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης f() = στο ( αβ, ), τότε ελέγχουμε αν: lim f () lim f () = ή με <. + α β Τότε θα υπάρχουν (, ) ομόσημο του β 1 lim f (). αβ με f( 1) ομόσημο του lim f () + α και (, ) αβ με f( ) Εφαρμόζοντας πλέον το Θ. Bolzano στο [ 1, ] αποδεικνύουμε την ύπαρξη της ρίζας στο (, ), άρα και στο ( αβ, ) αφού (, ) ( αβ, ). 1 1 Ανάλογη διαδικασία ακολουθούμε αν η f ορίζεται στο [ αβ, ) ή στο (, ] αντίστοιχα αν f ( ) lim f () < ή lim f () f ( ) + β α αβ, οπότε ελέγχουμε β = ή με <.

21 Παράδειγμα 6. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζες ρ ρ ( ),,1. 1 ( ) e e e 1 = + 1 ( ) έχει δύο τουλάχιστον ετερόσημες β. Θεωρούμε τη συνάρτηση g η οποία είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο και τέτοια g( ρ1) g( ρ) ώστε: =, όπου ρ1, ρ οι ρίζες του προηγουμένου ερωτήματος. ρ ρ 1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g( ) = έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα. α. Για κάθε, και 1, έχουμε: ( ) e 3 e e = + 1 ( ) ( ) e e e 1 = + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e 1 e 1 + =. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( ) f () = e e 1 e 1 +, και θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση f() ρ, ρ,1. = έχει δύο τουλάχιστον ετερόσημες ρίζες 1 ( ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f σε καθένα από τα διαστήματα [,] και [,1 ]. Η f είναι συνεχής στο [,] και συνεχής στο [,1 ] αφού προκύπτει από γινόμενα και αθροίσματα συνεχών συναρτήσεων. ( ) ( ) ( ) f = e e 3 = 18 > f( ) = ( 1) = < 1 1 e 1 f( 1) = ( e 1) 13 = 31 = 3 > e e Συνεπώς: f( ) f( ) < και ( ) ( ) f f 1 <. 1

22 Άρα, η εξίσωση f( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( ) ρ (,1 ). Επειδή ρ 1 (, ) (,1) και (,1) (,1 ), f( ) = έχει δύο τουλάχιστον ετερόσημες ρίζες ( ) ρ1, ρ,,1. β. Έχουμε: ( ) ( ) ρ 1, και μια τουλάχιστον ρίζα ρ συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση ( ) g ρ g ρ ρ g ρ = g ( ρ ) = ρ ρ ρ ρ, ρ,1. Οι ρίζες είναι δεκτές διότι (1) 1 Η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο [ ] Η g είναι συνεχής στο [, ] ρ ρ ως συνεχής στο R. 1 ρ, ρ, διότι: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ρ g ρ ρ g ρ g ρ g ρ = g ρ = < 1 ( ) ρ1 ρ1 διότι: ρ οι αριθμοί ρ1, ρ είναι ετερόσημοι, άρα <. ρ είναι g ( ρ ), αφού, αν ήταν ( ) g ( ), ρ = άτοπο διότι η g είναι γνησίως μονότονη. 1 1 g ρ =, θα είχαμε από την (1) ότι και Συνεπώς η εξίσωση g( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα ρ ( ρ ) 1,. Επειδή η g είναι γνησίως μονότονη στο R, δεν μπορεί να έχει και άλλη πραγματική ρίζα. ρ, ρ. Άρα η εξίσωση g( ) = έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα ( ) 1 Αν στην εξίσωση f( ) g( ) = υπάρχουν παρονομαστές που να μηδενίζονται για = α ή = β, τότε με απαλοιφή αυτών των παρονομαστών μετασχηματίζουμε την εξίσωση στη μορφή h ( ) =. Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει περισσότερες από μια ρίζες στο ( αβ, ), χωρίζουμε το διάστημα [ αβ, ] σε τόσα υποδιαστήματα όσο το πλήθος των ριζών που θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχουν στο ( αβ, ), και εφαρμόζουμε στο καθένα υποδιάστημα το Θ. Bolzano.

23 Παράδειγμα 7. Βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f() 3 = ηµ συν στο διάστημα [ π ],. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, π ] ως διαφορά συνεχών. Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης f( ) = στο διάστημα [ ], π. Είναι: f() = ηµ 3 συν = ηµ = 3 συν π π εϕ = εϕ = κπ +, κ, 3 3 π 3π,. (1) εϕ = 3 π 3π, Έχουμε: π π π 1 1 κπ+ π κπ π κ κ= ή κ= Τότε από την (1) έχουμε: π = ή 3 4π = (δεκτές) 3 Επιλέγουμε έναν αριθμό σε καθένα από τα υποδιαστήματα του [, π ] που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό που θα είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f. Διάστημα π π 4π 4 π,,, π Επιλεγμένος π π 3π αριθμός 6 f( ) Πρόσημο + Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ, εργαζόμαστε ως εξής: Διαπιστώνουμε τη συνέχεια της f στο διάστημα Δ. Λύνουμε την εξίσωση f() =,. 3

24 Σε καθένα από τα υποδιαστήματα του Δ που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες της f, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε την τιμή f( ). Το πρόσημο της τιμής f( ) είναι το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα. 4

25 Παράδειγμα 8. 1 =. Δίνεται η συνάρτηση f() e, (,) i. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ii. iii. Να δείξετε ότι η εξίσωση Να δείξετε ότι η εξίσωση e = έχει μοναδική αρνητική ρίζα. e = είναι αδύνατη, στο (,). i. Η f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι γνησίως φθίνουσα διότι: για οποιαδήποτε 1 1 1, (,), με < 1 > και 1 1 e < e e > e. Με πρόσθεση κατά > 1 >. μέλη έχουμε 1 e e f( ) f ( ) 1 1 lim f () = lim e ( ) 1 = = 1 γιατί lim = και lim e = 1 1 lim f () = lim e = = Το σύνολο τιμών της f είναι το ( lim f (), lim f () ) (,). =. ii. Για την εξίσωση e = έχουμε (διαιρώντας με < ) = = =. e e f() Αυτή η τελευταία εξίσωση έχει μοναδική αρνητική ρίζα ( < ), αφού η f είναι 1 γνησίως φθίνουσα και το ανήκει στο σύνολο τιμών της, σύμφωνα με το (i) ερώτημα. 5

26 iii. Διαιρούμε με < και τα δύο μέλη της εξίσωσης και έχουμε: = = = =. e e e f () Όμως ο αριθμός 1 δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα η εξίσωση 1 f() = είναι αδύνατη στο (,). Το ίδιο θα ισχύει και για την ισοδύναμή της εξίσωση e =. Αν έχουμε υπολογίσει το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f και θέλουμε να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα τότε προσπαθούμε να μετασχηματίσουμε την εξίσωση σε μια άλλη ισοδύναμη, της μορφής f() = k, k. Αν ο αριθμός k ανήκει στο σύνολο τιμών της f και η f είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση f() = k, k έχει μοναδική ρίζα. Το ίδιο ισχύει και για την ισοδύναμή της, την αρχική εξίσωση. Αν ο αριθμός k δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. 6

27 Παράδειγμα 9. Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f: για τις οποίες ισχύει κάθε. f () 7f() + 1 = για Α Τρόπος: Για κάθε R είναι: ( )( ) + = άρα για ο Rισχύει f ( ) 3 f ( ) 4 =, οπότε ή f ( ο) = 3 ή f ( ο) = 4, (επειδή μια συνάρτηση σε ένα f () 7f () 1 = f () 3 f () 4, ( )( ) ο ο ο δεν μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές τιμές). Οι τιμές λοιπόν που μπορεί να πάρει η συνάρτηση f στο Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε R ισχύει: ή f () = 3 ή f () = 4, δηλαδή η f είναι σταθερή συνάρτηση. ο είναι ή το 3 ή το 4. Έστω ότι η f δεν είναι σταθερή συνάρτηση τότε θα υπάρχουν 1, R με 1 (χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι 1< ) τέτοια, ώστε f ( 1) = 3 και f ( ) = 4. Για τη συνάρτηση f έχουμε ότι είναι συνεχής στο 1, και 3 = f ( 1) f ( ) = 4, άρα ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, οπότε η f θα παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( 1) = 3 και f ( ) = 4, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ο ( 1,) τέτοιο, ώστε 7 f ( ο) = που είναι άτοπο, γιατί = Επομένως: 4 ή f () = 3 για κάθε R ή f () = 4 για κάθε R B Τρόπος: Για κάθε R είναι: f () 7f () + 1 = f () f () + = f () = g () = 4 4 (1), όπου 7 g() = f (). 7

28 Για κάθε R είναι g () > g() και επειδή η g είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Άρα για κάθε R θα είναι ή g() < ή g() >. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν για κάθε R είναι g() <, τότε από (1) έχουμε g() = f () = f () = 3. Αν για κάθε R είναι g() >., τότε από (1) έχουμε g() = f () = f () = 4. Επομένως: ή f () = 3 για κάθε R ή f () = 4 για κάθε R. Αν για δυο συναρτήσεις f : Α και g : Α ισχύει: τότε δεν έπεται κατ ανάγκη ότι: f () g() = για κάθε A, f ()= για κάθε A ή g() = για κάθε A. Πράγματι, αν θεωρήσουμε π.χ. τις συναρτήσεις:, αν 1 f ()=, αν > 1 και, αν 1 g()=, αν > 1 τότε για κάθε είναι f () g() =, αλλά δεν ισχύει f ()= για κάθε ή g() = για κάθε. Για αυτό το λόγο εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Α Τρόπος: Η αρχική σχέση ισχύει για κάθε, άρα θα ισχύει και για, οπότε καταλήγουμε σε f( ) α f( ) β = όπου α,β R (γινόμενο δύο αριθμών ίσο με μια σχέση της μορφής ( )( ) ο ο το μηδέν), οπότε θα ισχύει ή f( ο ) = α ή f( ο ) = β, (αφού μια συνάρτηση σε ένα ο δεν μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές τιμές). 8

29 Οι τιμές λοιπόν που μπορεί να πάρει η συνάρτηση f στο ο είναι ή το α ή το β. Στη συνέχεια με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο και αξιοποιώντας το Θεώρημα των Ενδιαμέσων Τιμών αποδεικνύουμε ότι για κάθε ισχύει: ή f() = α ή f() = β, δηλαδή ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση. B Τρόπος: Με συμπλήρωση τετραγώνου καταλήγουμε σε μια ισότητα της μορφής f() κ =λ g () =λ (1), για κάθε R, όπου g() = f() κ, κ,λ R με ( ) λ>. Για κάθε R είναι g () > g() και επειδή η g είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Άρα για κάθε R θα είναι ή g() < ή g() >. Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν για κάθε R είναι g() <, τότε από (1) έχουμε g() = λ f() κ = λ f() = κ - λ. Αν για κάθε R είναι g() >., τότε από (1) έχουμε g() =λ f() κ=λ f() =κ+λ. Επομένως: ή f () =κ λ για κάθε R ή f () =κ+λ για κάθε R. 9

30 Παράδειγμα 1. Έστω η συνάρτηση f : [ 1, ], η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( 1, ) f ( 1) + f () + 3f () ώστε f( ) =. 6 Η f είναι συνεχής στο [ 1, ]. 1< f( 1) < f() αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. 1< f( 1) = f( 1) < f() f( 1) = f( 1) < f() (1) 1< < f( 1) < f() < f() () 1< f( 1) < f() = f() 3f( 1) < 3f() = 3f() (3) Προσθέτω κατά μέλη τις (1), (), (3) και προκύπτει: f ( 1) + f () + 3f () 6f ( 1) < f ( 1) + f () + 3f () < 6f () f ( 1) < < f (). 6 Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον ( 1, ) ώστε f ( 1) + f () + 3f () f( ) =. Το είναι μοναδικό γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα. 6 Ένας από τους τρόπους που χρησιμοποιείται για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f() k, k αβ,,είναι το θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών. = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( ) Έτσι, σε ασκήσεις όπως η παραπάνω, παρατηρούμε ότι το δεύτερο μέλος είναι ένας αριθμός (άθροισμα διαφορετικών τιμών της f ) της μορφής ν 1f ( 1) +ν f ( ) νκf ( κ). ν +ν ν 1 κ Προσπαθούμε, χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της f, να αποδείξουμε ότι αυτός βρίσκεται μεταξύ των f( α ) και f( β ). Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. 3

31 Παράδειγμα 11. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ αβ, ] και 1, [, ] υπάρχει [, ] 3f( ) + f( ) = 4f( ). αβ, ώστε 1 αβ. Να αποδείξετε ότι Αν η συνάρτηση f είναι σταθερή τότε f () = c, c για κάθε αβ [, ]. Άρα f( 1) f( ) c = = και 3f( 1) + f( ) = 4f( ) 4c = 4f( ) f( ) = c. Άρα ως μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο του [ αβ., ] Αν η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή τότε αφού είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αβ,, ] ισχύει το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Δηλαδή, η συνάρτηση θα έχει μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή M. Οπότε: m f ( 1) M 3m 3f ( 1) 3M (1) m f( ) M m f( ) M () Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και () και προκύπτει: 3f( 1) + f( ) 4m 3f ( 1) + f ( ) 4M m M. 4 3f( 1) + f( ) Δηλαδή ο αριθμός 4 3f( 1) + f( ) ώστε f( ) = 4f( ) = 3f( 1) + f( ). 4 ανήκει στο σύνολο τιμών της f, άρα υπάρχει αβ [, ] Ένας τρόπος για να αποδείξουμε ότι υπάρχει [, ] 1 κ ο α β, ώστε ν1f ( 1) + νf ( ) νκf ( κ) f ( ο) = και δεν γνωρίζουμε τη μονοτονία της f, είναι ο εξής: ν + ν ν Εφαρμόζουμε αρχικά το θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης τιμής, οπότε προκύπτει ότι η f έχει μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή Μ στο διάστημα [ α, β ] ν1f ( 1) + νf ( ) νκf ( κ) Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι ο αριθμός ν1+ ν νκ και τέλος εφαρμόζουμε θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και αποδεικνύουμε το ζητούμενο. ανήκει στο [ m, M ] 31

32 Ένας άλλος τρόπος είναι να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Bolzano για συγκεκριμένη συνάρτηση σε κατάλληλο διάστημα. Στο παράδειγμα αυτό μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() =4f () 3f ( 1) f ( ) και να διακρίνουμε περιπτώσεις για τα 1, Αν 1 =, τότε g () = για οποιοδήποτε Αν 1 και έστω 1 < τότε εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση g() =4f () 3f ( 1) f ( ) στο διάστημα [ 1, ] 3

33 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα 1. Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα =, για την οποία ισχύει + f ( ) = για κάθε =,. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f( ) = στο διάστημα Δ. β) Να δείξετε ότι η f() > για κάθε (, ) γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f(). δ) Να γίνει η γραφική της παράσταση. αν ( ) f = 1. α) Έστω ότι υπάρχει =, Η σχέση + f ( ) = για = γίνεται f = έτσι ώστε ( ) + f ( ) = = =±, άρα η εξίσωση f() = έχει σαν ρίζες τους αριθμούς 1 = ή =. β) Έχουμε f() για κάθε (, ) και επειδή η f είναι συνεχής στο =,, άρα θα διατηρεί σταθερό πρόσημο δηλαδή f() > ή f() <. Έχουμε όμως f( ) = 1 άρα f() >. γ) + f () = f () = f () = άρα f() = ή και τους δύο τύπους, όμως η f() >.Συνεπώς f() =. f() = ή y y δ) Έστω y = f() άρα θα έχουμε + y = = + 1 = (1). Όπως ξέρουμε από την Β Λυκείου η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη με μεγάλο άξονα α= και μικρό β= 1. 33

34 Από την έλλειψη δεκτό μέρος είναι μόνο τα σημεία της Μ (, y) με y. Παρατήρηση: Η άσκηση επιλύεται πολύ εύκολα αν κάνει κανείς από την αρχή την γραφική παράσταση της συνάρτησης. Από τη σχέση που μας δίνουν βρίσκουμε τις ρίζες της f() =. Στο διάστημα που δημιουργείται από τις δύο ρίζες το πρόσημο της συνάρτησης διατηρείται σταθερό. 34

35 Παράδειγμα. Δίνεται μία συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [,3]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [,3] τέτοιο ώστε f(1) + f() = 3f( ξ ). Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [,3], θα έχει μία μέγιστη τιμή Μ και μία ελάχιστη m (σύμφωνα με το Θ.Μ.Ε.Τ.). Οπότε θα έχουμε: m f (1) Μ (1) m f () Μ m f () Μ () Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1), () και λαμβάνουμε: f (1) + f () 3m f (1) + f () 3Μ m Μ (3) 3 Αν m = Μ δηλαδή η συνάρτηση f είναι σταθερή τότε μπορούμε να επιλέξουμε ένα τυχαίο ξ [,3] για το οποίο θα ισχύει f(1) + f() = 3f( ξ ). Αν m <Μ τότε το σύνολο τιμών της f θα είναι το [m, Μ] και σύμφωνα με τη (3) και εφαρμόζοντας το Θ.Ε.Τ. συμπεραίνουμε ότι θα υπάρχει ξ (,3) έτσι ώστε f (1) + f () f( ξ ) = f(1) + f() = 3f( ξ ). 3 Άρα τελικά υπάρχει ξ [,3] τέτοιο ώστε f(1) + f() = 3f( ξ ). 35

36 Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : ( 1, ), για την οποία ισχύει f() 3 lim = και ηµ ( 1) ( 1) f() 1 για κάθε (1, ) (1). i. Να υπολογιστούν τα όρια lim f () και lim f (). + 1 ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης 1 h() = f() iii. 1 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = f() + 1 ε :y= 1 μόνο ένα κοινό σημείο με τετμημένη ( 1, ) έχει με την ευθεία f() 3 i. Θέτουμε φ () = f() 3 =φ() ( ) f() =φ() ( ) + 3. Τότε lim f() = lim φ() ( ) + 3 = + 3 = 3. [ ] Επίσης, ( 1, ) 1 > και διαιρώντας και τα δύο μέλη της ανισότητας (1) με 1 έχουμε: ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ηµ + ηµ f() f() ( ) lim + 1 = και ( ) ηµ 1 ηµ u lim = lim = 1 = u u (Θέτουμε 1 u = και ( ) lim 1 = ) + 1 Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, θα είναι και lim f () =. ii. Η συνάρτηση h ορίζεται στο διάστημα ( 1, ), αφού η f ορίζεται σ αυτό και η ορίζεται για Η h είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι γνησίως αύξουσα διότι για οποιαδήποτε ( ), 1, με < f( ) < f( ) ()

37 και 1 1< 1 > < + 1< (3). Προσθέτουμε κατά μέλη τις () και (3) και προκύπτει 1 1 f( ) + 1 < f( ) + 1 h( ) < h( ) lim h() = lim f() + 1 = γιατί lim (f () + 1) = + 1 = 3 και lim( ) = και 1 lim h() = lim f() + 1 = = 3. 1 Το σύνολο τιμών της h είναι το ( lim h(), lim h() ) (,3) + 1 iii. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό ( 1, ) =., ώστε g( ) = = 1 f( ) + 1= f( ) + 1 = h( ) =. f( ) Επειδή το σύνολο τιμών της h περιέχει το μηδέν, σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον ( 1, ) η h είναι γνησίως αύξουσα. : h( ) =. Αυτό το είναι μοναδικό αφού iii. Για να δείξουμε ότι δύο γραφικές παραστάσεις C f,c g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f() = g() έχει ακριβώς μία ρίζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g() και αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση h() = έχει μία τουλάχιστον ρίζα εφαρμόζοντας, θεώρημα Bolzano ή υπολογίζοντας το σύνολο τιμών της h το οποίο περιέχει τον αριθμό μηδέν. Η μοναδικότητα της ρίζας οφείλεται στο γεγονός ότι η h είναι γνησίως μονότονη. 37

38 Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει (1) και f () = 1. Να δείξετε ότι: i. Η εξίσωση f() = είναι αδύνατη. ii. f() <, για κάθε. f () f() = + 3, για κάθε iii. 7 Η ευθεία y = έχει με τη γραφική παράσταση της f ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,3). i. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f() = έχει ρίζα τον αριθμό ρ. Τότε ισχύει f( ρ ) = και η (1) γίνεται f ( ρ ) f ( ρ ) = ρ ρ+ 3 ρ ρ+ 3= αδύνατη αφού έχει <. Άρα η εξίσωση f() = είναι αδύνατη. ii. Επειδή η f είναι συνεχής και f(), για κάθε, η συνάρτηση f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο. Επιπλέον είναι f () = 1 <. Άρα f() <, για κάθε. iii. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3), τέτοιο ώστε f( ) Στην (1), για = 3, έχουμε 7 =. f (3) f (3) 6 =. Λύνουμε την εξίσωση με άγνωστο το f (3) και προκύπτει f (3) = 1 7 ή f (3) = 1+ 7 > (απορρίπτεται). Επίσης έχουμε f() = 1 f(3) και ισχύει < < 1 7 < 7 < που Άρα, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον (,3), τέτοιο 7 ώστε f( ) =. 38

39 Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, αρκεί να δείξουμε ότι είναι συνεχής στο και ότι f (), για κάθε. Ένας τρόπος για να δείξουμε ότι μια ευθεία της μορφής ε : y = k, k R έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη ο α (, β,είναι ) να εφαρμόσουμε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύοντας ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον α ο (, β ), τέτοιο ώστε f( ο) = k. Ένας άλλος τρόπος είναι να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση g() = f () k σε κατάλληλο διάστημα. Ημερομηνία τροποποίησης: /11/11 39

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΘΕΜΑ o Α Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και f(α)f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x.

ΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8/05/0, :40) Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (-6-) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Α. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο,

με f f κ)κάθε συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο διάστημα αυτό. λ)αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 3 ωρών στις Συναρτήσεις και τα Όρια 9-5 Θέμα Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα