να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle."

Transcript

1 Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει: Η συνάρτηση στο [, ] να είναι συνεχής. Η συνάρτηση στο, να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι. Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.. Όταν μας ζητούν να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle σε μια συνάρτηση στο διάστημα [, ] ουσιαστικά μας ζητούν να βρούμε (, ) τέτοιο ώστε ( ). Για να βρούμε το ξ πρέπει: Να βρούμε την παράγωγο της Να λύσουμε την εξίσωση ( ) Tα ξ που βρήκαμε να ανήκουν στο διάστημα, 6. Δίνεται η συνάρτηση 3 8. α) Να εξεταστεί αν για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα,. β) Αν ναι, να εφαρμοστεί το θεώρημα Rolle για την παραπάνω συνάρτηση. ΛΥΣΗ 9

2 α) Η ως πολυωνυμική: είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα, είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, με 3 ' 8 ' 6 8. Επομένως για την ικανοποιούνται όλες οι προϋποθέσεις εφαρμογής του θεωρήματος Rolle , 646 5, δηλαδή είναι β) Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle για την υπάρχει, τέτοιο, ώστε 4 Όμως ' 3 4 ή 3 Οι τιμές αυτές είναι και οι δύο δεκτές, αφού ανήκουν στο διάστημα αναμένουμε το. '.,, στο οποίο Τρόπος αντιμετώπισης: 3. Aν η είναι πολύκλαδη τότε: Για να εξετάσουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία αλλαγής του τύπου της χρησιμοποιούμε τους αντίστοιχους ορισμούς. Την εξίσωση ( ) την λύνουμε ξεχωριστά για κάθε κλάδο της παραγώγου. 6. Δίνεται η συνάρτηση:,, Να βρεθούν τα,,, ώστε για την συνάρτηση να εφαρμόζεται το θ. Rolle στο,. Να βρεθεί ο αριθμός του θ. Rolle. ΛΥΣΗ Για να εφαρμόζεται το θ. Rolle στο διάστημα, πρέπει η να είναι: συνεχής στο,. παραγωγίσιμη στο, και. 4 3 () Ισχύει

3 Για την συνέχεια στο, έχουμε: Αν Αν είναι είναι, συνεχής, ως πολυώνυμο., συνεχής, ως πολυώνυμο. Αν, για να είναι συνεχής πρέπει και αρκεί lim lim Για την παράγωγο της στο, έχουμε: Αν Αν, είναι, είναι '. '. Αν, για να είναι παραγωγίσιμη πρέπει και αρκεί τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής της στο να είναι ίσοι πραγματικοί αριθμοί. Είναι, οπότε lim lim lim lim lim lim lim lim lim πρέπει. Αφού,, από τη σχέση () βρίσκουμε 3. Για τις τιμές των,,, που βρήκαμε ο τύπος της συνάρτησης γράφεται:, 3, και η παράγωγος είναι: Από θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Για, : ' Για : ' Για,: Παρατήρηση Η εφαπτομένη της, ', 6, '. απορρίπτεται αδύνατο ' 6 δεκτό 3 στο σημείο με τετμημένη είναι παράλληλη στον άξονα ' 3

4 Κατηγορία η Εύρεση ριζών εξίσωσης Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε τις ρίζες μιας εξίσωσης ακολουθούμε έναν από τους παρακάτω τρόπους: Με τις μεθόδους που μάθαμε στις προηγούμενες τάξεις (παραγοντοποίηση, τριώνυμο,τύποι Vietta...) Προφανής ρίζα Με την βοήθεια μιας - συνάρτησης (κοίτα κεφάλαιο 6 κατηγορία ) Με το θ. Bolzano Βρίσκουμε το σύνολο τιμών και ελέχγουμε αν το ανήκει σε αυτό Με το θ. Rolle Όταν όμως η εκφώνηση της άσκησης μας ζητάει να βρούμε εάν υπάρχουν κ ρίζες της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα (, ) τότε συνήθως χρησιμοποιούμε τα θεωρήματα Bolzano και Rolle. Μάλιστα αρχικά πρέπει να ελέγχουμε το θ. Bolzano και αν δεν εφαρμόζεται να καταφεύγουμε στο θ. Rolle. Στις ασκήσεις που θα δούμε σε αυτήν την κατηγορία θα κάνουμε κυρίως χρήση του θ. Rolle διότι οι άλλοι τρόποι δεν δουλεύουν (συνήθως). Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Μας δίνουν την συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θ. Rolle Τρόπος αντιμετώπισης: Εξετάζουμε εαν ισχύουν οι απαιτούμενες συνήκες και το εφαρμόζουμε στο κατάλληλο διάστημα. Όταν μας ζητούν να βρούμε εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα πρέπει να βρούμε (, ) τέτοιο ώστε ( ). 6.3 Δίνεται η συνάρτηση 4 ln e α) Η εξίσωση ' έχει μία τουλάχιστον ρίζα. β) Η εξίσωση 4. Να αποδείξετε ότι e e e έχει μία τουλάχιστον ρίζα. ΛΥΣΗ

5 α) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το e,. Η είναι συνεχής στο e,4 παραγωγίσιμη στο e,4 και e 4 Επομένως, για την εφαρμόζεται το θ. Rolle στο e,4, οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον e,4 τέτοιο, ώστε Συνεπώς, η εξίσωση '. ' έχει μία τουλάχιστον ρίζα. β) Στη συνάρτηση εφαρμόζουμε το θ. Rolle στο e,4. 4 e 4 4 ln e ln e e e e e Είναι ' ln e οπότε ' Άρα, η εξίσωση 4 e e e έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 4 e Δίνεται η συνάρτηση 3., τέτοιος, ώστε η Αν είναι 3, να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη στην γραφική παράσταση της στο σημείο, παράλληλη στον άξονα ΛΥΣΗ '. Η συνάρτηση ως πολυωνυμική είναι: συνεχής στο διάστημα,. παραγωγίσιμη στο διάστημα και '.,, με, να είναι Επίσης δηλαδή. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει, ώστε '. Δηλαδή η εφαπτομένη της στο σημείο,. τέτοιος είναι παράλληλη στον άξονα '. 3

6 6.5 α) Έστω συνεχής στο,, και παραγωγίσιμη στο, με Να εξετασθεί αν εφαρμόζεται το θ. Rolle για τη συνάρτηση g e β) Να δειχθεί ότι υπάρχει, ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση g e '. ώστε e., στο,. είναι συνεχής στο,, αφού γίνονται πράξεις μεταξύ e,. Επίσης είναι παραγωγίσιμη στο,, με g' e e ' και των συνεχών, ge, g e e. Οπότε, αφού g g, λόγω υπόθεσης εφαρμόζεται το θ. Rolle για την g στο,. β) Λόγω του (α) θα υπάρχει, ώστε ' e e ' e '. g, δηλαδή είναι: ' Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Δεν μας δίνουν την συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θ. Rolle και την βρίσκουμε από τα ζητούμενα. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). Εξετάζουμε εάν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θ. Bolzano (κοίτα κεφάλαιο κατηγορία ). Αν αυτό δεν μας οδηγήσει στην λύση τότε: Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της δηλαδή μια συνάρτηση F για την οποία ισχύει F( ) ( ). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F στο διάστημα,. 4

7 6.6 Να δειχτεί ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο,. ΛΥΣΗ Αν σκεφτούμε το θ. Bolzano για την 3 4 8, στο ικανοποιείται το., βλέπουμε ότι δεν Αν εφαρμόζαμε το θ. Rolle για την συνάρτηση θα βρίσκαμε ότι η παράγωγος της έχει τουλάχιστον μια ρίζα και όχι η ίδια η. Για αυτό σκεπτόμαστε να θεωρήσουμε μία συνάρτηση που έχει παράγωγο την F 4 4. Η F είναι συνεχής στο, 3 παραγωγίσιμη στο, με F' 4 8 και 4 4 F F θεωρούμε την 4 3 F, F δηλαδή. Oπότε οπότε ικανοποιούνται οι συνθήκες του Rolle άρα υπάρχει, ώστε έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο,. 6.7 Αν F ', δηλαδή η ln, να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,. ΛΥΣΗ Θέτουμε,,. Η F είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο, με F' και F F, διότι F ln F ln ln Θεωρούμε μία παράγουσα F της, F ln,, 5

8 Επομένως, από θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, F'. Άρα, η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα, τέτοιο, ώστε, που είναι το ζητούμενο. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει κ τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα (, ). Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της δηλαδή μια συνάρτηση F για την οποία ισχύει F( ) ( ). Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε κ υποδιαστήματα που δεν έχουν μεταξύ τους κοινά εσωτερικά σημεία. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F σε καθένα από τα υποδιαστήματα. 6.8 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση στο διάστημα,. ΛΥΣΗ 4 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες Εύκολα διαπιστώνουμε αν θεωρήσουμε συνάρτηση 4 και εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano δεν καταλήγουμε στο ζητούμενο. Αναζητούμε επομένως την αρχική συνάρτηση F της για να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. Είναι: 4 4 ' 4 ' 4 ' () Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση 4 F. Εφόσον θέλουμε δύο τουλάχιστον ρίζες για τη δοσμένη εξίσωση, προσπαθούμε για την F να βρούμε δύο διαστήματα, στα οποία να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. Τα διαστήματα αυτά είναι τα,,,, όπως διαπιστώνουμε από την πρώτη κιόλας δοκιμή μια και το χωρίζει το, ακριβώς στη μέση. Η F είναι συνεχής στα διαστήματα,,, Η F είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα, συναρτήσεων, με F F και F F F ' 4., ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων., ως γινόμενο παραγωγίσιμων 6

9 Σύμφωνα λοιπόν με το θεώρημα Rolle υπάρχουν, και, F ' και F ' τέτοια, ώστε: Σύμφωνα λοιπόν με την () τα, είναι ρίζες της δοσμένης εξίσωσης και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ (, ) που ικανοποιεί μια ισότητα τότε Θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βρίσκουμε μια συνάρτηση F (αρχική) που η παράγωγος της να ισούται με το πρώτο μέλος της εξίσωσης μας.,. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F στο διάστημα 6.9 Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα, 3 3 διάστημα, με: Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε ' 3 και παραγωγίσιμη στο. ΛΥΣΗ Στην ζητούμενη σχέση θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος οπότε έχουμε 3. Δεν μπορούμε να θέσουμε συνάρτηση h 3 και να εφαρμόσουμε θ.bolzano στο διάστημα, διότι δεν ξέρουμε αν η είναι συνεχής (άρα και η h) και επίσης δεν έχουμε κάποια πληροφορία για τις τιμές των a,. Άρα βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της θεώρημα Rolle. 3 Μια τέτοια αρχική είναι η g,, Η g είναι συνεχής στο διάστημα, παραγωγίσιμη στο διάστημα, με g' ' 3 g g 3 και εφαρμόζουμε σε αυτήν το που ισχύει Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει, τέτοιο, ώστε Όμως g' ' 3, οπότε: g' ' 3 ' 3 g '. 7

10 Συνάρτηση Αρχική F Συνάρτηση g Αρχική G ( ) c F( ) c g ( ) G ( ) ( ), v - v F( ) g ( ) ( ) ( ) G ( ) ( ) F ( ) ln g ( ) G ( ) ln ( ) F( ) g ( ) G ( ) ( ) F ( ) g ( ) G ( ) ( ) F( ) g ( ) ( ) ( ) G ( ) ( ) ( ) F( ) g( ) ( ) ( ) G ( ) ( ) ( ) F ( ) g ( ) G ( ) F( ) F( ) g( ) G ( ) ( ) e F( ) e g ( ) e G( ) e ( ) a F( ) ln a g a ( ) ( ) ( ) G ( ) ln a ( ) h ( ) ( g ) ( ) ( g ) ( ) H ( g)( ) ( g ) ( ) ( g ) ( ) [ g ( )] h ( ) g H ( ) 8

11 6. Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο και. Να αποδείξετε ότι: α) υπάρχει, τέτοιο, ώστε ' 3, β) υπάρχει, τέτοιο, ώστε ', γ) υπάρχει 3, τέτοιο, ώστε ' ,, με ΛΥΣΗ α) Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' 3 ' 3 ' 3 3 ' 3 ' Θέτουμε g 3, με,. Ισχύουν τα εξής: Η g είναι συνεχής στο,, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Η g είναι παραγωγίσιμη στο g' 3 ' g' ' 3 Είναι g και g. Άρα ισχύει ότι: g g,, ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με:. Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: g' ' 3 ' 3 β) Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' ' ' ' ' ' ' ', με, Θέτουμε h. Παρατηρούμε ότι: Η h είναι συνεχής στο,, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι παραγωγίσιμη στο,, ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: ' h' ' h' 9

12 Είναι h και h. Άρα ισχύει h h. Σύμφωνα με τα θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστ ' h' ' ' '. γ) Θέτουμε όπου 3 το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' ' ' ' ' ' ' Θέτουμε, με,. Παρατηρούμε ότι: Η είναι συνεχής στο Η είναι παραγωγίσιμη στο ' ' ' ' Είναι και.,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.,, ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: 4. Άρα ισχύει Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον 3, τέτοιο, ώστε: ' ' ' ' Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ' g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) τότε Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση G της g δηλαδή μια συνάρτηση G για την οποία ισχύει G( ) g( ). G( ) Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με e και έχουμε G( ) G( ) G( ) G( ) ' e g e ' e G( ) e G( ) G( ) G( ) ' e e e Εφαρμόζουμε το θ. Rolle για την h e G( ) στο διάστημα,.

13 6. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο. Να δειχτεί ότι υπάρχει, ' k, όπου k πραγματικός αριθμός., και ώστε να ισχύει η σχέση ΛΥΣΗ Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' k Διαπιστώνουμε ότι η εξίσωση είναι της μορφής ' g με g αρχική της g είναι η G k. k Πολλαπλασιάζουμε με e την εξίσωση οπότε έχουμε: k k k k k k e ' ke e ' k e e ' e k e ' k Θεωρούμε τη συνάρτηση h e. Είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο, με h' k e ' k ke και hh γιατί. Άρα ισχύει το θ. Rolle οπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε να είναι k k e ' ke e ' k ' k. h' δηλαδή k. Μια 3 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Δεν μας δίνουν την συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θ. Rolle και την βρίσκουμε από τα δεδομένα. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της δηλαδή μια συνάρτηση F για την οποία ισχύει F( ) ( ). Όμως μερικές φορές είναι δύσκολη η εύρεση της αρχικής συνάρτησης F από την σχέση ( ). Σε αυτήν την περίπτωση: Παίρνουμε την σχέση που είναι δεδομένη και δίνεται από την άσκηση την μετασχηματίζουμε κατάλληλα και βρίσκουμε από αυτήν την συνάρτηση F. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F στο διάστημα,.

14 6. Έστω ότι η συνάρτηση :, ισχύει, για κάθε,. Αν ένα, τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε ln ', είναι παραγωγίσιμη και, να δείξετε, ότι υπάρχει. ΛΥΣΗ Έχουμε ln ln ln ln ln ln () ln,, Έστω η συνάρτηση g Για την g ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, με g' και ' ln ' ισχύει g g ln από την () Άρα υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ώστε τέτοιο,, ' ln ln ' g' Παρατήρηση Η κλασσική μεθοδολογία είναι η εξής: Θέτουμε όπου το, φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και σχηματίζουμε την εξίσωση ln '. Θέτουμε συνάρτηση g ln ' Διαπιτώνουμε ότι για την συνάρτηση g δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θ.bolzano διότι δεν ξέρουμε αν η είναι συνεχής (άρα και η g) και επίσης δεν έχουμε κάποια πληροφορία για τις τιμές των a,. Έπειτα προσπαθούμε να βρούμε μια αρχική συνάρτηση της g. Αυτό όμως είναι δύσκολο οπότε χρησιμοποιούμε τα δεδομένα για να βρούμε την συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θ.rolle.

15 4 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Απόδειξη ότι υπάρχει ένα ξ ώστε να ισχύει μια σχέση που περιέχει τον όρο ''. Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ (, ) που ικανοποιεί μια σχέση που περιέχει τον όρο '' τότε Θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Βρίσκουμε μια συνάρτηση F που η δεύτερη παράγωγος της να ισούται με το πρώτο μέλος της εξίσωσης μας. Χωρίζουμε το διάστημα (, ) σε υποδιαστήματα που δεν έχουν μεταξύ τους κοινά εσωτερικά σημεία. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F σε καθένα από τα υποδιαστήματα οπότε προκύπτουν δύο ξ, ξ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την F στο διάστημα,. Όμοια θα αντιμετωπίζουμε ασκήσεις που περιέχουν όρους 3, 6.3 Δίνεται συνάρτηση : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ''. τέτοιο, ώστε ΛΥΣΗ. Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: Ισχύουν τα εξής: Η είναι συνεχής στο,. Η είναι παραγωγίσιμη στο,. Ισχύει. Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε '. Ομοίως η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε '. 3

16 Παρατηρούμε λοιπόν ότι: Η ' είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη. ' '. και παραγωγίσιμη στο,, αφού η είναι δύο φορές Ισχύει ότι Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ''. τέτοιο, ώστε 6.4 Έστω μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει 4 και. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 4, τέτοιο, ώστε ''. ΛΥΣΗ Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: '' () '' ' ' Η () γράφεται ισοδύναμα ' ' '' Θέτουμε F με,. Η F είναι συνεχής στα,,, παραγωγίσιμη στα,,, και F F, F F Επομένως, από θ. Rolle υπάρχουν,,, F' F'. τέτοια, ώστε να ισχύει Η F ' είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο, και F' F'. 4

17 Επομένως, από θ.rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον F''... '', που είναι το ζητούμενο., τέτοιο, ώστε 5 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Ύπαρξη το πολύ κ ριζών. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει κ το πολύ ρίζες στο διάστημα (, ). Υποθέτουμε ότι έχει κ+ ρίζες με ρ < ρ <... < ρ κ < ρ κ+. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την σε καθένα από τα διαστήματα [ρ, ρ ], [ρ, ρ 3 ],..., [ρ κ-, ρ κ ], [ρ κ, ρ κ+ ]. Βρίσκουμε ότι υπάρχουν [ρ, ρ ], [ρ, ρ 3 ],..., [ρ κ, ρ κ+ ] τέτοια ώστε ( ) ( )... ( ). Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle για την σε καθένα από τα διαστήματα [ξ, ξ ], [ξ, ξ 3 ],..., [ξ κ-, ξ κ ]. Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να οδηγηθούμε σε άτοπο. 6.5 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες για κάθε, ΛΥΣΗ. Έστω ότι η δοσμένη εξίσωση έχει τρεις τουλάχιστον πραγματικές ρίζες, τις α, β και γ με: Θεωρούμε τη συνάρτηση: 4 3 συνεχής στα διαστήματα, παραγωγίσιμη στα διαστήματα,. 3, Η είναι: και,, και, και Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχουν, και, ' και ' τέτοια, ώστε: 5

18 ' Στο σημείο αυτό δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε άτοπο, έτσι συνεχίζουμε με την '. Το θεώρημα Rolle για την ' στο, δίνει ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε Έχουμε: 3 '', δηλαδή ''. Όμως έχουμε: '' 6, οπότε άτοπο, διότι 48. '' Άρα η δοσμένη εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. 6 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Ύπαρξη ακριβώς κ ριζών. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) έχει κ ακριβώς ρίζες στο διάστημα (, ). Βρίσκουμε ότι έχει τουλάχιστον κ ρίζες. Συνήθως με την βοήθεια των θεωρημάτων Bolzano και Rolle (κοίτα και μεθοδολογία σελίδα ). Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει το πολύ κ ρίζες. Συνήθως με την βοήθεια του θεωρήματος Rolle που καταλήγει σε άτοπο ή με την βοήθεια της μονοτονίας (υπάρχουν και λιγότεροι συχνοί τρόποι για παράδειγμα άμα είναι δευτέρου βαθμού έχει το πολύ δύο ρίζες). Όποτε από το πρώτο βήμα έχουμε αποδείξει ότι έχει τουλάχιστον κ ρίζες από το δεύτερο ότι έχει το πολύ κ ρίζες άρα έχει ακριβώς κ. 6.6 Να αποδείξετε ότι έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες στο διάστημα εξίσωση:,, η ΛΥΣΗ Θεωρούμε την συνάρτηση h. ΥΠΑΡΞΗ ΔΥΟ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΩΝ Εφόσον θέλουμε δύο τουλάχιστον ρίζες για τη δοσμένη εξίσωση, προσπαθούμε για την h να βρούμε δύο διαστήματα, στα οποία να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano. Τα διαστήματα αυτά είναι τα,,,, 6

19 Η h είναι συνεχής στο διάστημα, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. h και h άρα h h Οπότε από θ.bolzano, η εξίσωση h, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,. Η h είναι συνεχής στο διάστημα, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. h και h, άρα h h Οπότε από θ.bolzano, η εξίσωση h, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα. Συνεπώς η εξίσωση h, έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα, ΥΠΑΡΞΗ ΔΥΟ ΤΟ ΠΟΛΥ ΡΙΖΩΝ με Έστω ότι, η εξίσωση h, έχει και τρίτη πραγματική ρίζα στο διάστημα, Η h είναι: 3 συνεχής στα διαστήματα, και, 3 παραγωγίσιμη στα διαστήματα,., και,, και 3 h h h Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχουν, και, 3 h' και h' που είναι άτοπο γιατί: h' και η εξίσωση h', έχει στο, Άρα η δοσμένη εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. τέτοια, ώστε:, μοναδική ρίζα το.,. Αποδείξαμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες και το πολύ δύο. Επομένως έχει ακριβώς δύο ρίζες. 6.7 Δίνεται η συνάρτηση, για την οποία ισχύουν '' ln. Να δείξετε ότι οι και ', όπου g' ln μόνο κοινό σημείο με τετμημένη στο,. για κάθε και g, έχουν ένα ΛΥΣΗ 7

20 ' ' ' ' έχει μία, μόνο, λύση στο Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση g g,. ΥΠΑΡΞΗ ΜΙΑΣ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΑΣ βρίσκουμε μια αρχική της συνάρτηση. Έστω η συνάρτηση Για την ' g' h g ή ln h,. Για την h ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων (η είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη) είναι παραγωγίσιμη στο, με h' ' και h h ln ln ln που ισχύει Άρα η εξίσωση,. h' έχει μία, τουλάχιστον, λύση στο ΥΠΑΡΞΗ ΜΙΑΣ ΤΟ ΠΟΛΥ ΡΙΖΑΣ h' έχει δύο λύσεις στο Έστω ότι η εξίσωση, τις,. Η συνάρτηση h ' ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, είναι παραγωγίσιμη στο, με h'' '' ισχύει h' h' Επομένως, η εξίσωση h'' '' έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο,, που είναι άτοπο, αφού '' για κάθε. Άρα η εξίσωση h' έχει μια, μόνο, λύση στο,. 7 Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Ύπαρξη ξ ώστε μια εφαπτομένη να διέρχεται από ένα σημείο. Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της, εργαζόμαστε ως εξής: στο σημείο, να διέρχεται από το σημείο 8

21 Γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης y ' αντικαθιστούμε = κ και y = λ. και Στην εξίσωση της εφαπτομένης θέτουμε στην θέση του ξ το και φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος οπότε έχουμε g. Εφαρμόζουμε θ. Bolzano στην g ή θ.rolle σε μια αρχική της g. 6.8 Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο, και παργωγίσιμη στο. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, εφαπτομένη της στο σημείο, να διέρχεται από το σημείο,., με τέτοιο, ώστε η ΛΥΣΗ Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : y ' Επειδή η διέρχεται από το σημείο, οπότε θα πάρουμε ' ' () η () επαληθεύεται για και y,. Θέτουμε όπου το για να σχηματίσουμε την εξίσωση: ' Θα δείξουμε ότι η εξίσωση ' έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ' ' ' ' ' ' ' ' Θέτουμε F με,. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση συνεχής στον, παραγωγίσιμη στο, και F F F' έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, Η F είναι: 9

22 Επομένως, από θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε F'... ' Άρα η εξίσωση ' έχει μία τουλάχιστον ρίζα, ζητούμενο., που είναι το Κατηγορία 3 η Θεωρητικές - Συνδυαστικές Τρόπος αντιμετώπισης: Στις συγκεκριμένες ασκήσεις συνδιάζουμε τις μεθοδεύσεις που έχουμε αναφέρει παραπάνω. Πολύ συχνός τόπος αντιμετώπισης είναι να θεωρούμε μια σχέση ότι ισχύει και να καταλήγουμε σε άτοπο. 6.9 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα Δ, να δείξετε ότι: α) Μεταξύ δύο ριζών της στο Δ υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της. β) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της στο Δ υπάρχει μια, το πολύ, ρίζα της. ΛΥΣΗ α) Έστω, δύο ρίζες της. Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Άρα η, ' έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο.,, β) Έστω, δύο διαδοχικές ρίζες της '. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ των και, δεν υπάρχει άλλη ρίζα της, αφού Έστω, ότι η έχει δύο ρίζες στο,. Τότε σύμφωνα με το α) Θα έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο,, που είναι άτοπο. Άρα η έχει μια, το πολύ, ρίζα μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της ' '. 3

23 6. Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ' για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι -. ΛΥΣΗ Έστω ότι η δεν είναι. Τότε θα υπάρχουν, με π.χ. και. Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει Άρα η εξίσωση ', για κάθε. Οπότε η είναι. ' έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στο,, που είναι άτοπο, αφού 6. Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο και για κάθε είναι ' g g' να δειχτεί ότι μεταξύ δύο ριζών της τουλάχιστον ρίζα της συνάρτησης g. υπάρχει μια ΛΥΣΗ Έστω ότι μεταξύ των ριζών και της g δηλαδή g για κάθε,. Από την σχέση g g g και καταλήγουμε ότι, ' ' έχουμε g., δεν υπάρχει καμία ρίζα της ' g ' g g αφού Θεωρούμε τη συνάρτηση h. g Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη είναι παραγωγίσιμη στο και, ισχύει h h γιατί 3

24 Έτσι υπάρχει τουλάχιστον ένα, ώστε να είναι Είναι ' g g' ' g h' g g h οπότε ' ' που είναι άτοπο από την υπόθεση. Συνεπώς η h'. g θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των ριζών και. Σύνθετες ασκήσεις 6. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : 3. Να αποδείξετε ότι: για την οποία ισχύει 4 και α) υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε, β) υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε: ' ' 3 ΛΥΣΗ α) Θέτουμε όπου το και έχουμε την εξίσωση: Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με,. Η g είναι συνεχής στο,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Είναι: g 43 και g 434 Δηλαδή ισχύει g g. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον,, ώστε: g β) Θέτουμε όπου το και έχουμε την εξίσωση: ' ' 3 3 ' ' ' ' 3 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με, 3.

25 Η h είναι συνεχής στο,, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Η h είναι παραγωγίσιμη στο,, ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: 3 h' ' ' ' 3 Είναι: h 3 3 και: h Δηλαδή ισχύει h h., ώστε: Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον,, h' ' ' 3 ' ' 3 Παρατήρηση Στο β) ερώτημα της άσκησης η αρχική σκέψη θα μας οδηγούσε στο να εφαρμόσουμε το θ.rolle για την h στο διάστημα,. Όμως 3, h άρα h h h. Οπότε ψάχνουμε για άλλο διάστημα. Για το μοναδικό αριθμό που έχουμε κάποια πληροφορία είναι ο, που έχουμε βρει από το πρώτο ερώτημα. Άρα το ζητούμενο διάστημα θα είναι το, ή το. Με δοκιμές διαπιστώνουμε ότι είναι το,., Άρα να έχουμε πάντα στο μυαλό μας ότι το θ. Rolle μπορεί να εφαρμόζεται σε διάστημα που θα προκύπτει με την βοήθεια των προηγούμενων ερωτημάτων της άσκησης ή των δεδομένων της. 6.3 Να δειχθεί ότι η εξίσωση e ΛΥΣΗ e έχει ακριβώς μία ρίζα στο. Παρατηρούμε ότι η είναι η προφανής ρίζα της εξίσωσης αφού e e. Έστω ότι έχει και άλλη δηλαδή ρίζα της εξίσωσης e e. για την συνάρτηση e e Τότε αν Rolle στο, αφού ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος 33

26 είναι συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη στο, ' e e e e και ισχύει Οπότε υπάρχει, ώστε ' e, άτοπο γιατί. Όμοια αν καταλήγουμε σε άτοπο άρα η αρχική έχει μοναδική ρίζα την. 6.4 Δίνεται η συνάρτηση 9 της '. ΛΥΣΗ. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών Η συνάρτηση σαν πολυώνυμο 6ου βαθμού έχει παράγωγο ένα πολυώνυμο 5ου βαθμού. Άρα η ' μπορεί να έχει το πολύ 5 ρίζες. Η ' 9 έχει προφανείς ρίζες και. Επίσης από Άρα από θ. Rolle στα 3,,, και πολυωνυμική, θα υπάρχουν στα 3,,, και '. Άρα η,,, 3. ' μπορεί να έχει 5 τουλάχιστον ρίζες.,3 για την παραγωγίσιμη, άρα και συνεχή σαν,3 από μία τουλάχιστον ρίζα της Όποτε η ' έχει 5 ακριβώς ρίζες. 6.5 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο τέτοια, ώστε για κάθε, να ισχύει: () Να αποδείξετε ότι: α) β) ' γ) αν, τότε υπάρχει, τέτοιο, ώστε: '. ΛΥΣΗ α) Από ην υπόθεση (), για, έχουμε: () Έστω ότι,,τότε η () γίνεται: (3) 34

27 Από την (), για. Οπότε, λόγω της (), έχουμε:. (4) Δηλαδή,, Άρα., έχουμε: και β) Παραγωγίζουμε την ισότητα () και έχουμε: ' ' ' (5) Από την (5), για η οποία, λόγω της (4) γίνεται: Άρα: '. ' ' ', ' ' ' ή, προκύπτει: γ) Για την ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο,, αφού είναι συνεχής στο, ως παραγωγίσιμη είναι παραγωγίσιμη στο, και Από την (), για, επειδή είναι, έχουμε:. Δηλαδή, είναι. Επομένως υπάρχει, τέτοιο, ώστε: '. '., άρα 35

28

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle

Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ» 2.6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων. Προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle Σελ.414 Πρότυπα κλειστά τμήματα «ΜΕΘΟΔΟΣ».6. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Υποδείξεις Απαντήσεις Ασκήσεων.344. α. Σωστό β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό στ. Σωστό ζ. Λάθος η. Σωστό θ. Σωστό ι. Λάθος ια. Σωστό ιβ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R.

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R. ΜΑΘΗΜΑ.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση γράφεται e + e e 0 Προφανής ρίζα Θεωρούµε τη συνάρτηση f()

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικόσ Λογιςμόσ. Παράγωγοσ. Εξίςωςη εφαπτομένησ όταν γνωρίζουμε το ςημείο επαφήσ

Διαφορικόσ Λογιςμόσ. Παράγωγοσ. Εξίςωςη εφαπτομένησ όταν γνωρίζουμε το ςημείο επαφήσ Διαφορικόσ Λογιςμόσ Παράγωγοσ Εξίςωςη εφαπτομένησ όταν γνωρίζουμε το ςημείο επαφήσ 1 ε καθεμία από τισ επόμενεσ περιπτώςεισ να βρείτε την εξίςωςη τησ εφαπτομένησ τησ γραφικήσ παράςταςησ τησ ςτο ςημείο

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγισεις. Aνισοτητες. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος

Προσεγγισεις. Aνισοτητες. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος Προσεγγισεις Aνισοτητες Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος 1 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Προσημο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (-6-) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Α. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

x x = ( x) = 0, = = f x x x = συν x e e = ;

x x = ( x) = 0, = = f x x x = συν x e e = ; Θεώρηµα του Pierre Fermat Αν µία συνάρτηση f : ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστηµα παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο είναι παραγωγίσιµη στο τότε f ( ) = Σχόλια Μία συνάρτηση µπορεί να έχει ακρότατο σε σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω η συνάρτηση ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες) A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8/05/0, :40) Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259

Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Α. Απόδειξη σελίδα 94 Α. Ορισμός σελίδα 88 Α. Ορισμός σελίδα 59 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. z yi, yir z 4 z ( 4) yi 4 ( ) yi ( 4) 4( y ) 4 y...

Διαβάστε περισσότερα