Povijest Boksita. BOKSIT (Alumijeva ruda) August Breihaupt. Osnovno o boksitu
|
|
- Θεοφάνια Καψής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Povijest Boksita BOKSIT (Alumijeva ruda) Tomislav Bratko Boksit je prvi put nađen u Francuskoj (1821.) kod mjesta Les Baux (LeBo), pa je po njemu dobio ime boksit. Isti material kasnije su pronašli i kraj Bohinjske Bistrice, pa su ga prema tom mjestu nazvali vohajnitom (prema njemačkom nazivu mjesta Wocheiner Feistritz). August Breihaupt Boksitni materijal nađen je i u Dalmaciji kod Kljaka u okolici Drniša, pa je po tom nalazištu nazvan kljakitom. Otkrio ga je njemački minerolog August Breihaupt. Osnovno o boksitu Boksit je polimineralni agregat sastavljen od aluminijskih hidroksida. Hidroksidi su spojevi kojima je anion hidroksid-ion, ili spojevi koji u anionu uz kisik sadrže i hidroksidniion. U hidroksidima koji imaju slojevitu rešetku većinom prevladavaju slabe Van der Walsove sile, pa se odlikuju kalavošću po slojevima. 1
2 Hidroksidi aluminija HIDRARGILIT ili ĐIPSIT Al(OH)3 - kristalizira u monoklinskom sustavu - kristali su mu sitni i imaju pločasti habitus - tvori zemljaste, ljuskaste i sigasto-koraste agregate - tvrdoća od 2,5 do 3 - srebrnastobijel je, sivkast ili zelenkast - u Hrvatskoj ga ima kod Drniša, Knina i u Lici, a u svijetu u Rusiji, Francuskoj, Grčkoj, Mađarskoj, SAD-u i Brazilu. - hidrargilit se rabi za dobivanje aluminija Hidroksidi aluminija DIJASPOR -AlOOH - kristalizira u rompskom sustavu - kristali imaju pločast ili igličast habitus - tvori listićaste, štapićaste ili vlaknaste agregate - tvrdoća od 6,5 do 7 - bijel je, a s primjesama može biti sivkast, žućkast zelenkast, crvenkast ili ljubičast. - u Hrvatskoj ga ima kod Mazina i u Lici, a u svijetu u Grčkoj, Rusiji, Švicarskoj i SAD-u - rabi se za dobivanje aluminija te proizvidnju vatrostalnih materijala Dijaspor Hidroksidi aluminija BEMIT γ-alooh -jedna od dimorfnih, rompskih modifikacija AlOOH, druga je dijaspor -razlikuje se od dijaspora po unutrašnjoj građi -mekši je od dijaspora, tvrdoća mu je 3 po Mohsovoj skali i gustoća približno 3,1 2
3 Bemit Ta tri minerala glavni su sastojci BOKSITA, koji se često uvrštava među minerale, ikao to nije, nego je sedimentna stijena koja sadrži smjesu hidroksida aluminija i u manjoj količini hidroksida željeza te niz drugih minerala (pretežno glina). Neki boksiti sadrže samo jedan ili dva od spomenutih hidroksida, pa se prema prevladavajućem mineralu i zovu hidrargilitni, dijasporni ili bemitni boksiti. Boksiti se javljaju u različitim bojama koje se kreću od svijetlo sive, roze ili žute do tamno smeđe i tamno crvene. Boja je u velikoj mjeri određena vrstom, prema i veličiničestica minerala željeza. Vrlo raspršeni getit teži da bude žut i smeđ, a tamne crvene tonove obično vežemo s grubljim hematitom. Boksit je porozan, fine zrnate teksture, kompaktan i ima nepravilan lom. Oolitske teksture su česte, sa zaobljenim kamenim zrnima ugrađenim u glinastu masu, a može se prostirati unutar cijelog ležišta. 3
4 Industriski procesi dobivanja boksita Geološki stari boksiti su vrlo teški, njihova specifična težina iznosi i do 3,6 kg/dm³, dok su mlađi boksiti s pretežno gibsitom mekani i imaju specifične težine oko 2,0 do 2,5. kg/dm³. Industrijski procesi koji se koriste za iskorištavanje boksita su relativno jednostavni u usporedbi s drugim industrijskim mineralima, jer je većina rude boksita koja se eksploatira, zadovoljavajuće kvalitete. Bayer-ov proces Proces se sastoji od niza standardnih postupaka: drobljenje, pranje, sušenje i mrvljenje da bi se uklona glina i ostale nečistoće. Pranje se obično izvodi s četkama opremljenim s vibracijskim pregradama, sušenje se obavlja u rotacijskim pećima. Brušenje se može obaviti suhom ili mokrom stanju. Separacija teškim tekućinama se koristi za uklanjanje željeznih minerala u lateritskim boksitima, a za sideritom bogatim rudama, uklanjanje FeCO3 postiže se spiralnim magnetskim usmjerivačem visokog intenziteta magnetskog razdvajanja. Bayer-ov proces je glavni industrijski proces za preradu boksita i proizvodnju alumina (aluminij oksid). Boksit, najvažnija ruda aluminija, sadrži samo % aluminij oksida (Al2O3, glinica), ostatak čini smjesa silikata, raznih željeznih oksida i titandioksida. (wikipedija) 4
5 Carl Josef Bayer ( ) Bayer-ov proces Bio je austrijski kemičar koji je izumio proces Bayer, vađenje alumina iz boksita, nužan uto vrijeme za ekonomičniju proizvodnju aluminija. Bayer-ov proces U Bayer-ovom procesu, boksit se drobi i melje te ispire s vrućom otopinom natrij hidroksid, NaOH, na 175 C. Na taj način glinica se pretvara u rudi, natrijevaluminat NaAl(OH)4, prema kemijskoj reakciji: Al2O3 + 2NaOH + 3H2O 2NaAl(OH)4 Ostali dijelovi boksita se ne otapaju i nakon ispiranja se uklanjaju filtriranjem. Smjesa krutih nečistoća se zove crveni mulj i predstavlja problem za odlaganje. Nakon toga se slabo alkalna otopina hladi, a aluminijev se hidroksid taloži kao bijela, pahuljasto čvrsta tvar prema reakciji: NaAl(OH)4 Al(OH)3 + NaOH Slijedi zagrijavanje na 980 C (kalciniranje), pri čemu se aluminijev hidroksid raspada na aluminijev oksid, oslobađajući vodene pare u procesu: 2Al(OH)3 Al2O3 + 3H2O Velik dio tako proizvedenog aluminijeva oksida naknadno otapamo u Hall-Héroult procesu kako bi se proizveo aluminij. Ležišta boksita Ležišta boksita javljaju u iznimno različitim geološkim okolnostima i shodno tome, mnoge klasifikacije su predložene od strane geologa da se opišu pojave boksita. Ležišta boksita su klasificirana prema kemijskom sastavu, geološkom porijeklu, teksturi, topografskoj poziciji, stijeni domaćinu i obliku pojavljivanja. Najčešća metoda klasifikacije ležišta je prema stijenama podloge, pri čemu se boksiti dijele na karbonatne boksite i silikatne boksite (ili laterite). Drugi način klasifikacije je temeljen na oblicima i pojavljivanju ležišta boksita. 5
6 Rezidualni sedimenti Rezidui ili rezidualni sedimenti sadrže rezidualni kvarc i tinjce, silikatne mineralne male topljivosti te nove minerale nastale pri kemijskom trošenju stijena, najčešće minerlae glina, željezove okside i hidrokside te aluminijeve hidrokside. Među reziduima su lateritne stijene (lateriti i boksiti) i zemlja crvenica (terra rossa). Lateritne stijene Lateritne stijene su produkti intenzivnog fizikalnog i kemijskog površinskog trošenja alumosilikatih stiijena u uvijetima tropske klime. U osnovi se sastoje od željezovih oksida i hidroksida, aluminijevih hidroksida, minerala glina (pretežno kaolinita) i kvarca. Ako su prevladavajući sastojci lateritne stijene željezovi oksidi takva stijena se zove LATERIT. BOKSIT je član grupe lateritnih stijena i kao prevladavajući sastojak sadrži aluminijeve hidrokside (hidragilit, dijaspor i bemit). Boksiti koji nastaju na alumosilikatnoj podlozi zovu se lateritni boksiti, a oni koji nastaju na karbonatnoj podlozi iz netopljiva alumosilikatnog ostatka ili alumosilikatnih materijala nanešenih na karbonatnu podlogu zovu se krški boksiti. Lateritni sedimenti Lateriti Lateriti i boksiti se nazivaju željezovom odnosno aluminijevom rudom kada je gospodarski opravdana ekstrakcija željeza, odnosno aluminija iz dotičnog laterita, odnosno boksita. Kriteriji na temelju kojih se oni smatraju rudama ovise o stanju svjetske ekonomije i razvoju tehnologije. 6
7 Zemlja crvenica (Terra rossa) Zemlja crvenica ili Terra rossa sadrži kaolinit, tinjce i kvarc te manji udio hematita, getita, plagioklasa, kalijeva feldspata i amorfne tvari. Crvena je, smeđastocrvena ili žućkastocrvena, a nastaje na karbonatnoj podlozi, osobito na krškim terenima mediteranskog područja. Materijal za tvorbu nanesen je ili vjetrom ili spiranjem te pomješan s tlom nastalim trošenjem karbonatnih stijena. Zemlja crvenica je obradivo tlo. Zemlja crvenica (Terra rossa) Ležišta boksita u Hrvatskoj Ležišta i pojava aluminijeve rude boksita nalazilo se u većem dijelu Hrvatske u tolikom broju da je s pravom nazvan našim ''nacionalnim mineralom''. Boksitna rudišta nalaze se u Kordunu i okolnim područjima, u Lici, Istri, Bukovici, Promini i Moseću, od Sinja do Imotskog, a u novije vrijeme minerološki zanimljive pojave otkrivene su i u našim sjevernim krajevima : Ravnoj gori, Papuku i Krndiji. Nije stoga neobično da je boksit istraživanviše negoli ijedna druga ruda u Hrvatskoj. Boksiti naših ležišta postankom se dosta razlikuju, a to se održava u načinu njihova pojavljivanja, veličini ležišta, mineralnom sastavu i kvaliteti. Ležišta boksita u Hrvatskoj Prema postanku ležišta se boksita i boksitičnih sedimenata u našim terenima mogu pojednostavljeno svrstati u tri skupine: a) Ležišta boksita, glinovitih boksita, boksitičkih glina i glina trijske starosti (Slunj, Lika), potom jurska (Istra), pa i neogenska (Tounj, Peruča, Trilj) čine jednu takvu skupinu. b) Boksite starijeg paleogena (Istra, otoci, Dalmacija) i one mlađepalogenske starosti (Dalmacija) izdvaja se prema postanku kao posebnu skupinu i svrstava u boksite ''tip terra rossa''. c) Boksitička ležišta nastala mehaničkim putempretaloživanjem drugih ležišta. Najčešće je riječ o beznačajnim nalazištima koja su slabo istražena, a poznatija od ostalih su ona pronađena unutar Promina naslaga (Drniš, Studenci). 7
8 Sjeverna Hrvatska U prostoru sjeverne Hrvatske boksitne su tvorevine zabilježene u Ravnoj gori, Papuku i Krndiji. Redom su to manja nalazišta, zanimljiva samo kao geološke pojave. Karlovac-Slunj Trijaski boksiti Glavna karakteristika ležišta da im u većini slučajeva starost nije moguće dokazati. Ležišta su promjenjiva litološkog ssastava. Uglavnom se sastoje od glinovitog boksita s dosta proslojaka hematitičnih ili boksitičnih glina, pa čak i proslojaka ugljena. Glinoviti boksiti trijaske starosti nađeni su na nizu mjesta u Kordunu. Najpoznatija nalazišta nalaze se kraj Kokireva SI od Vojnića, uz Koranu kod Veljuna i Blagaja, potom u Marindolskom brdu, te kod Obajdina, Bročanca i Furjana JI od Slunja. Gornjokredni boksiti Karlovac-Slunj Opća odlika gornjokrednih boksita jest visoka kvaliteta, nizak sadržaj kaolinita i minerala željaza. Gornjokredni boksiti utvrđeni su u dva odvojenja područja. Jedno se nalazi u međurječju Kupe, Dobre i Mrežnice zapadno od Duge Rese, a drugo u Kordunu sjeverno od Veljuna. Neogenski boksiti Karlovac-Slunj Često su crvene, smeđecrvene ili žućkastocrvene boja, vrlo mekani i lako se drobe. Neogenski glinski boksiti nađeni su na četiri mjesa u području Mejašića i Rebrovića, te jugoistočna od Tounja. 8
9 Pleistocenski boksiti Karlovac-Slunj Pojavljuju se kao boksitične gline južno od Vukove Gorice, u okolici Bosanaca i Bosljeva. Prema obliku su izolirana ili sekundarna tijela koja leže preko svih starijih, mezozojskih sedimenata, otvorenih ovom području. Naslage boksitičnih glina talog su preostao nakon trošenja stijena i bogate su silicijem i željezom. Lika Boksitna ležišta nalaze se na granici srednjotrijaskih vapnenaca i transgresivno položenih gornjotrijaskih klastičnih naslaga. Na području Like nalaze se ležišta : Veliki Skočaj, Grgin brijeg, Vrace, Rudopolje, Kijani, Mazin, Labusi. Kninsko područje Nalazišta boksita i boksitičnih tvorevina u kninskom području nisu brojna niti su gospodarstveno vrijedna. Dinara-Svilaja U prostranstvima Dinare i Svilaje boksitna su u nalazištia vrlo rijetka. Orudnjenja se pojavljuju u nekoliko stratigrafskih horizonata, a nalazišta su redom bez gospodarstvene vrijednosti. a) Trijaske boksitične stijene u JI padnama Svilaje, sjeverno od Sutine pojave samo boksitično-željeznih breča. b) Donjokredni boksiti otkriveni su sjeverno od Kijeva, potom na SI padinama Kozjaka, te u Crvenim gredama i oko Velikog i Malog Lupoglava na Dinari. Boksiti na granici donje i gornje krede. Manje pojave boksita nađene su na južnoj strani Debelog brda na Dinari, sjeverno od Ogorja na Svilaji i SZ od Zelova. 9
10 Istra Istra je osim prema ugljenu i kamenu poznata i kao značajno boksitno područje Republike Hrvatske. Otkriveno je da se u Istri otkopavao i upotrebljavao boksit i prije 1821., kada je ruda otkrivena i opisana. Boksiti se u Istri pojavljuju u dva stratigrafska horizonta: sjeverno i južno od Limskog kanala te na području od Umaga do Oprtlja i dalje preko Pazina do Labina i Barbata, u području Učke i SI od Pule. Otoci Ležišta boksita ima na više otoka, od poznatijih to su Cres, Krk, Pag, Rab, Goli otok, Brač, Hvar, Murtrer, Pašman. Studenci-Imotski Ležišta i pojave boksita u području Studenca i Imotskoga vezani su za nekoliko sinklinala i antiklinala. Boksitno orudnjenje se nalazi u dva stratigrafska horizonta: jednom kredno-paleogenskih i drugom mlađepaleogenskih boksita, ili dvama nizovima boksitnih ležišta iste starosti. a) Kredno-paleogenski boksiti Najčeće je riječ o manjim ležištima i pojavama, s izdancima duljina od nekoliko metara do nekoliko desetaka metara i s debljinom boksita u prosjeku do 3 metra. b) Srednjoeocenski boksiti Boksit se nalazi u okršenu reljefu, ispunjavajući udubljenja u obliku lećastih, džepolikih rudnih tijela. Duljina izdanaka nije veća od 30 metara, a srednja deljina ležišta iznosi 3-6 metara. Vrgorac-Metković U široj okolici Vrgorca i Metkovića razvijene su pojave boksitnog orudnjenja duž kontakata senonskih vapnenaca i paleogenskih vapnenaca. Najveća boksitna nalazišta u vrgoračkome kraju pronađena su JI od Plane, gdje su zabilježene četri pojave od kojih najveća ima površinu m2, a najmanja 40 m2. 10
11 Ekonomska iskoristivost boksita S obzirom na kakvoću korištenog boksita, tijekom industrijskog procesa je potrebno 4-6 t osušenog boksita kako bi se proizvele 2 t aluminijevog-oksida, što na kraju ispadne 1 t čistog aluminija. Na svjetskom tržištu cijena se kreće od 0,01 $ za 0,45 kg boksita, 0,10 $ za 0,45 kg aluminija i 0,75 $ za 045 kg aluminijevog metala. Uporaba boksita Osim korištenje boksita za proizvodnju aluminija, boksit se koristi u metalurgiji i drugim industrijama. Zbog male težine (posebice uspoređujući sa željezom), prirodne otpornosti na koroziju, i fizikalnih svojstava pogodnih za kalupljenje aluminij ima široke primjene u: avioindustriji industriji pakiranja (aluminijska folija, limenke...) brodogradnji 11
12 prijenosu električne struje (dalekovodi) svemirskoj industriji (udio aluminija u svemirskim letjelicama je preko-80%) automobilskoj industriji (motor i drugi dijelovi), informatičkoj industriji (mobiteli, kabeli...) građevinarstvu (instalacije, građevinski elementi...) itd. 12
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Reverzibilni procesi
Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?
Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Vesla, teleskopi, nosači za štapove za ribolov
76 Vesla, teleskopi, nosači za štapove za ribolov vesla pala piatta rvena vesla obojana prozirnom poliuretanskom bojom, vrlo čvrsta, sa ravnom lopaticom. Imaju plastično ležište za rašlje Φ43mm. tr13 38180
13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA 13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA. Elektronska konfiguracija ns 2 np 1 B 4
13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA 13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA Bor redak element, najčešće u obliku minerala boraksa, Na 2 B 4 O 7 10H 2 O. Aluminijum najrasprostranjeniji metal u Zemljinoj kori (8,3 mas.%) i
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima
Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Sistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
13. skupine. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju
Elementi 13. skupine U 13. skupini periodnog sustava nalaze se sljedeći elementi: bor (B), aluminij (Al), galij (Ga), indij (In) i talij (Tl). B je polumetal, dok su ostali elementi metali. U elementarnom
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje