x 2 y 2 = 12 xy(x 2 y 2 ) = T 8 T 9 + 3T 8
|
|
|
- Λυκούργος Ζαφειρόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3 x 2 y 2 = 12 xy(x 2 y 2 ) = T 8 T 9 + 3T 8
4
5 Διόϕαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς Εὐκλείδες Ερατοσθένης Υπατία Πτολεμαῖος, Ἀρίσταρχος, Ηρων, Πάππος, Θέων, Υψικλῆς, Μενέλαος Ἀριθμητικά βιβλίον βιβλία
6 ἀριθμός P (x 1, x 2,..., x n ) = 0 P x 1, x 2,..., x n ri Vladimiroviq Mati ceviq ax + by = c x 2 + y 2 = z 2 x 2 Dy 2 = 1 D x n + y n = z n n
7 Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν Πορίσματα Καὶ ἔχομεν πάλιν ἐν τοῖς Πορίσμοσιν ὅτι Μητρόδωρος Επιτάϕιος Διοϕάντου Επιτάϕιον Διοϕάντου 7
8 Οὑτός τοι Διόϕαντον ἔχει τάϕος ἆ μέγα θαῦμα. Καὶ τάϕος ἐκ τέχνης μέτρα βίοιο λέγει. Εκτην κουρίζειν βιότου θεὸς ὤπασε μοίρην δωδεκάτην δ ἐπιθείς, μῆλα πόρεν χνοάειν τῇ δ ἄρ ἐϕ ἑβδομάτῃ τὸ γαμήλιον ἥψατο ϕέγγος, ἐκ δὲ γάμων πέμπτῳ παῖδ ἐπένευσεν ἔτει. Αἰαῖ, τηλύγετον δειλὸν τέκος ἥμισυ πατρὸς τοῦδε καὶ ἡ κρυερὸς μέτρον ἑλὼν βιότου. Πένθος δ αὖ πισύρεσσι παρηγορέων ἐνιαυτοῖς τῇδε πόσου σοϕίῃ τέρμ ἐπέρησε βίου. ἕκτην ἕκτη ἑκτός δωδεκάτην δωδέκατη δωδέκατος ἑβδομάτῃ ἑβδόματη ἑβδόματος
9 ἥμισυ ἥμισυς ἥμισυς πισύρεσσι πίσυρες Αἴολος x x 6 + x 12 + x x = x. x = 84 ἀριθμός μονάς μονάδος συγκοπή ἀριθμός
10 ὕπαρξις λεῖψις Ψ ὕπαρξις λεῖψις Λεῖψις ἐπὶ λεῖπσιν πολλαπλασιασθεῖσα ποιεῖ ὕπαρξιν, λεῖψις ἐπὶ ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν, καὶ τῆς λείψεως σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον, Ψ Ψ Λ Ι λεῖψις ς ἀριθμός ἀριθμός x δύναμις x 2 κύβος x 3 10
11 δυναμοδύναμις x 4 δυναμόκυβος x 5 κυβόκυβος x 6 ἀριθμοστόν 1/x δυναμιστόν 1/x 2 κυβοστόν 1/x 3 δυναμοδυναμιστόν 1/x 4 δυναμοκυβοστόν 1/x 5 κυβοκυβοστόν 1/x 6 x m x n m 6 n 6 m+n 6 χ 1 = α, 2 = β, 3 = γ, 4 = δ, 5 = ε, 6 = ϛ, 7 = ζ, 8 = η, 9 = θ; 10 = ι, 20 = κ, 30 = λ, 40 = μ, 50 = ν, 60 = ξ, 70 = ο, 80 = π, 90 = ϙ; 100 = ρ, 200 = ς, 300 = τ, 400 = υ, 500 = ϕ, 600 = χ, 700 = ψ, 800 = χ, 900 = ϡ; 1000 = α, 2000 = β, 3000 = γ, 4000 = δ, 5000 = ε, 6000 = ϛ, 7000 = ζ, 8000 = η, 9000 = θ. Υ = β Υ Υ = δ Υ ος τετράγωνος ἴσ ι σ ἴσος
12 x x x 2 + 5x + 3 x 3 6x 2 + 9x 1 = x 3 + 9x (6x 2 + 1) (40x )/(x x 2 ) ἐν μορίῳ
13 ἐν μορίῳ μόριον ϕιλία καλός Φιλοκαλία λλ ου 8x 3 16x 2 = x 3 x = 16/7 ιϝ ϝ ϛ ιϛ πρῶτος, δεύτερος, τρίτος, τέταρτος, α ος β ος γ ος δ ος 50/23 ν κγ ων ων ῶν 1/2 1/3 γ γ γ χ γ 16 9 θ ις θ ις mx 2 + px = q, mx 2 = px + q, mx 2 + q = px.
14 mx 2 = px, mx 2 = q, px = q. x 2 Επιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ α ου ἀριθμοῦ γ ον καὶ τὸ τοῦ β ου ε ον ἐπὶ τὸ αὐτὸ συντεθέντα ποιῇ λ x 1 x 2 x 1 /3+x 2 /5 = 30. x = x 2 /5 x 2 = 5x x 1 /3 = 30 x x 1 = 90 3x x 1 + x 2 = 5x + (90 3x) = 2x + 90 = 100 x = 5 x 1 = 75 x 2 = 25
15 Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶς καὶ ὁ πολλαπλασιασμὸς ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς. x y x y = 4 xy = 96 x + y = 2t x = t + 2 y = t 2 xy = (t + 2)(t 2) = t 2 4 = 96 t 2 = 100 t = 10 x = 12 y = 8 Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶς τετράγωνος, προσλαβὼν τὸν λοιπὸν, ποιῇ τετράγωνον. x y x 2 + y y 2 + x y = 2x + 1 x 2 + (2x + 1) = (x+1) 2 (2x+1) 2 +x = 4x 2 +5x+1 = (2x 2) 2 +13x 3 x = 3/13 y = 6/ = 19/13 3/13 19/13 y = 2kx + k 2 k x 2 + y = x 2 + (2kx + k 2 ) = (x + k) 2 (2kx + k 2 ) 2 + x n (2kx + k 2 ) 2 + x = (2kx + k 2 n) 2 + (4kn + 1)x n 2 + 2k 2 n. x = n(n 2k 2 )/(1+4kn) x = n(n 2k2 ) 1 + 4kn, y = k(2n2 + k) 1 + 4kn, k n x y k = 1 n = 3
16 Τὸν ἐπιταχθένα τετρ+αγωνον εἰς δύο τετραγώνους. x y x 2 +y 2 = 16 Oxy x 2 + y 2 = 16 (0, 4) y = kx 4 k x 2 + (kx 4) 2 = 16 x = 8k k 2 + 1, y = 4(k2 1) k k = 2 x = 16/5, y = 12/5 Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ, ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι τετραγώνῳ.
17 x 1, x 2, x 3 x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 x 3 x 2 + x 3 x 1 x 3 + x 1 x 2 t x 1 + x 2 + x 3 = (t + 1) 2, x 1 + x 2 x 3 = 1. x 1 = t + 1 2, x 2 = 1 + t2, x 3 = t + t x 3 + x 1 x 2 = 2t t = 8 x 3 + x 1 x 2 = 4 2 x 1 = 17 2, x 2 = 65 2, x 3 = 40. t = 32. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τεσσάρων τετράγωνος, ἐάν τε προσλάβῃ ἕκαστον, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον. x 1, x 2, x 3, x 4 (x 1 +x 2 + x 3 + x 4 ) 2 ± x k k = 1, 2, 3, 4 (3, 4, 5) (5, 12, 13) (39, 52, 65) (25, 60, 65) 65 2 = ( ) 2 = (8 + i) 2 (8 i) 2 = ( i)(63 16i) = , 65 2 = ( ) 2 = (7 + 4i) 2 (7 4i) 2 = ( i)(33 56i) = (16, 63, 65) (33, 56, 65) (a, b, c) a 2 + b 2 = c 2
18 c 2 ± 2ab = (a ± b) 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 65λ x 1, x 2, x 3, x 4 λ 2 x 1 = 2λ , x 2 = 2λ , x 3 = 2λ , x 4 = 2λ λ 2 ( ) = 12768λ 2 = 65λ. λ = 65/12768 x 1 = , x 2 = , x 3 = , x 4 = Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὄπος ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος κύβος προσλαβὼν τὸν ἐλάσσονα ἀριθμὸς ἴσος ᾖ τῷ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος κύβῳ προσλαβόντι τὸν μείζονα ἀριθμόν. x y x > y x 3 + y = y 3 + x. (x y)(x 2 + xy + y 2 ) = x y x 2 + xy + y 2 = 1 y = kx k x 2 (1 + k + k 2 ) = 1 k 1 + k + k 2 c 1 + k + k 2 = (1 c 2 ) + (1 2c)k + (k + c) 2, k c k = (1 c 2 )/(2c 1) 1 + k + k 2 = ((c 2 c + 1)/(2c 1)) 2 c 1/2 x = 2c 1 c 2 c + 1, y = 1 c2 c 2 c + 1.
19 c = 3/4 x = 8/13 y = 7/13 k = 7/8 (x, y) Oxy x 2 + xy + y 2 = 1 Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν τῷ ἀορίστῳ, ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν μετὰ μονάδος μιᾶς ποιῇ τετράγωνον. x, y, z xy + 1, yz + 1, zx + 1 xy = ξ 2 + 2ξ y = ξ ξ xy +1 = ξ 2 + 2ξ + 1 = (ξ + 1) 2 xξ = ξ 2 + 2ξ x = ξ + 2 zξ + 2z + 1 z = 4ξ + 4 zξ + 2z + 1 = (4ξ + 4)ξ + 2(4ξ + 4) + 1 = 4ξ ξ + 9 = (2ξ + 3) 2
20 yz + 1 = ξ(4ξ + 4) + 1 = 4ξ 2 + 4ξ + 1 = (2ξ + 1) 2 x = ξ + 2, y = ξ, z = 4ξ + 4, ξ Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ὅπως ἕκαστος αὐτῶς λείψας τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ποιῇ τετράγωνον. x 1, x 2, x 3 x 2 = x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 12, x 2 12, x 3 12 x 1 = 169/4 x 1 12 = 169/4 12 = 121/4 = (11/2) 2 x 2 x 3 x 3 = t 2 t x 2 = 13t/2 13t/2 12 t (13t/2 12) = 104t 192 = (104t 361) + ( ) = (104t 361)+169 t = 361/104 t 2 = / / = 529/10816 = (23/104) 2 x 1 = 169 4, x 2 = , x 3 = x 1 = x x 2 12 y 2 y (x, y) Oxy x 2 y 2 = 12 (x y)(x+y) = 12 x y = p x+y = 12/p x = 12 + p2, y = 2p 12 p2. 2p
21 x 2 y 2 = 12 p t = 1 (13/2, 11/2) x 1 = (13/2) 2 = 169/4 Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκάστου αὐτῶν τετράγωνος, ἐάν τε προσλάβῃ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν τριῶν, ἐάν τε λείψῃ, ποιῇ τετράγωνον. x 1, x 2, x 3 x 2 1 ± (x 1 + x 2 + x 3 ), x 2 2 ± (x 1 + x 2 + x 3 ), x 2 3 ± (x 1 + x 2 + x 3 ) (40, 42, 58), (24, 70, 74), (15, 112, 113). (a, b, c) c 2 ± 2ab = (a ± b) 2 2ab = 3360
22 x 1 + x 2 + x 3 λ x 1 = 58λ, x 2 = 74λ, x 3 = 113λ 58 2 ± λ 2 x 1 + x 2 + x 3 = λ 2 245λ = λ 2 λ = 7/96 x 1 = , x 2 = , x 3 = (a, b, c) a = 2mn, b = m 2 n 2, c = m 2 + n 2, m n p = ab/2 = mn m 2 n 2 p mn m 2 n 2 = p xy(x 2 y 2 ) = p y < x Oxy x = r φ, y = r φ r 4 φ φ( 2 φ 2 φ) = 1 2 r4 2φ 2φ = 1 4 r4 4φ = p. r 4 = 4p 4φ. p = 840 Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῇ ὑποτεινούσῃ λείψας τὸν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ἀρθῶν ποιῇ κύβον. a = 2xy b = x 2 y 2 c = x 2 + y 2 x y x > y
23 xy(x 2 y 2 ) = 840 y = 2 a = 4x, b = x 2 4, c = x c a = x x = (x 2) 2 c b = 8 = 2 3 x 2 = = 64 = 4 3 x = 10 a = 40, b = 96, c = 104 x = 66 a = 264, b = 4352, c = 4360 Εὑρεῖν τρίγωνον ὀρθογώνιον ὅπως ὁ ἐν τῇ περιμέτρῳ αὐτοῦ ῇ τετράγωνος. καὶ προσλαβὼν τὸν ἐν τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ ποιῇ κύβον. a b c a + b + c ab/2 + a + b + c a = 2ξ b = ξ 2 1 c = ξ ξ > 1
24 2ξ 2 + 2ξ ξ(ξ 2 1) + 2ξ 2 + 2ξ = ξ 3 + 2ξ 2 + ξ 2ξ 2 +2ξ = m 2 ξ 2 m ξ = 2/(m 2 2) ξ 3 +2ξ 2 +ξ = 2m 4 /(m 2 2) 3 m 2m 4 /(m 2 2) 3 2 < m 2 < 4 m = 27/16 2m = 27/8 = (3/2) 3 2m 4 /(m 2 2) 3 ξ = 512/217 a = , b = , c = m = 29791/16000 Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν = 10 δεκάς δεκάδος
25 τετρακτύς μονάς μονάδος δυάς δυάδος τριάς τριάδος ἁρμονία τετράς τετράδος κόσμος 4 : 3 3 : 2 2 : 1
26 a 1, a 2, a 3,... a k+1 a k d a 1 d a 1, a 1 + d, a 1 + 2d,..., n a n = a 1 + (n 1)d, n = 1, 2, 3,.... a, a, a,... a 1 = a d = 0 1, 2, 3,... a 1 = 1 d = 1 n a 1, a 2, a 3,... n S n = a 1 + a a n 1 + a n. S n = a n + a n a 2 + a 1. S n + S n = 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n 1 ) (a n 1 + a 2 ) + (a n + a 1 ). k a k +a n+1 k = (a 1 +(k 1)d)+(a 1 +(n k)d) = a 1 +(a 1 +(n 1)d) = a 1 +a n. 2S n = n(a 1 + a n ), S n = n 2 (a 1 + a n ).
27 n n(n + 1) n =. 2 a 1 = 1 k 2 k a (k) n = 1 + (k 2)(n 1). n k V n (k) = n (2 + (k 2)(n 1)). 2 V n (k) n k n k Υψικλῆς ὁ Ἀλεξανδρεύς k V (k) 1 = 1, V (k) 2 = k. k = 3 V (k) n+1 = V (k) n + (k 2)n + 1. T n = V (3) n = n(n + 1) 2 ( ) n + 1 =. 2 T 0 = 0 n n n = T n. n + 1 n 0 T n+1 = T n + (n + 1).
28 k = 4 Q n = V (4) n = n 2. k = 5 P n = V (5) n = n(3n 1), 2 k = 6 H n = V (6) n = n(2n 1). H n = T 2n 1. V n (k) (n 1)n = n + (k 2), 2 n 1 k = 6 V (k) n = n + (k 2)T n 1. ( ) V (k) n = n + (k 2)T n 1 = (n + T n 1 ) + (k 3)T n 1 = T n + (k 3)T n 1, V (k) n = T n + (k 3)T n 1. ( ) k = 6 n k + 1 k V (k+1) n = T n + (k 2)T n 1 = (T n + (k 3)T n 1 ) + T n 1 = V (k) n + T n 1.
29 k\n V (k+1) n = V (k) n + T n 1. ( ) V (k) m+n = V m (k) + V n (k) + (k 2)mn. V m (k) + V n (k) + (k 2)mn = m + (k 2)T m 1 + n + (k 2)T n 1 + (k 2)mn = = (m + n) + (k 2)(T m 1 + T m 1 + mn) = (m 1)m + (n 1)n + 2mn = (m + n) + (k 2) 2 = (m + n) + (k 2) (m + n)2 (m + n) = 2 (m + n 1)(m + n) = (m + n) + (k 2) 2 = (m + n) + (k 2)T m+n 1 = V (k) m+n. V n (k) k =
30 k T n = V n (3) n a (3) n = n T 1 = 1 O T 2 = = 3 P 1 Q 1 O O n P i Q i i n T n k O O n i O i k 2 (k 2)(i 1) a (k) i V (k) i k k O O π/k k
31 2π/k π/k O k 2 m k k > 2 m = 1 m
32 9 + 4T 8 m > 1 k n + (k 2)T n 1 = m n(2 + (k 2)(n 1)) = 2m. 2m
33 T 9 + 3T 8 d k d > 1 n = d, 2 + (k 2)(n 1) = 2m d. k = 2 + 2(m d) d(d 1). d = m k = 2 d = 2m k = 2 1/(2m 1) m = 36 2m = 72 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 d = n = 2 k = 36 d = n = 3 k = 13 d = n = 6 k = 4 d = n = 8 k = 3 k 8 n(n + 1) = (2n + 1) 2. ( )
34 n m n(n + 1)/2 = m 2 4n 2 + 4n = 8m 2 (2n + 1) 2 2(2m) 2 = 1 x = 2n + 1 y = 2m x 2 2y 2 = 1 x 1 = 3, y 1 = 2 x 0 = 1, y 0 = 0 x n, y n x 2 2y 2 = 1 [ 2, 3, 4, 5 x n y n ] = [ ] n [ x 2 = 17, y 2 = 12; x 3 = 99, y 2 = 70; x 4 = 577, y 4 = 408; x 5 = 3363, y 5 = 2378, n 2 = 8, m 2 = 6; n 3 = 49, m 3 = 35; n 4 = 288, m 4 = 204; n 5 = 1681, m 5 = T x 2 Dy 2 = 1 D x 0 = 1, y 0 = 0 D πρόβλημα βοεικόν D D x 1, y 1 8(k 2)V (k) n + (k 4) 2 = (2 + (2n 1)(k 2)) 2, ( ) 1 0 ]
35 8(k 2)V (k) n + (k 4) 2 = 4n(k 2)(2 + (k 2)(n 1)) + ((k 2) 2) 2 = = 8n(k 2) + 4n(k 2) 2 (n 1) + (k 2) 2 4(k 2) + 4 = = 4 + (8n 4)(k 2) + (4n(n 1) + 1)(k 2) 2 = = 4 + 4(2n 1)(k 2) + (2n 1) 2 (k 2) 2 = (2 + (2n 1)(k 2)) 2. N k 8(k 2)N + (k 4) 2 = Q 2 Q Q = 2 + (2n 1)(k 2) 2n 1 = (Q 2)/(k 2) n = Q + k 4 2(k 2). N = 1225 k 8(k 2) (k 4) 2 = 9800(k 2) + (k 4) 2 Q 2 k = 3, 4, 6, 29, 60, 124, 1225 Q 99, 140, 198, 515, 756, 1100, 3671 n 49, 35, 25, 10, 7, 5, 2 j k V (j) n V (j) n + V (k) n = 2V ((j+k)/2) n. + V n (k) = n + (j 2)T n 1 + n + (k 2)T n 1 = 2n + (j + k 4)T n 1 = ( ( ) ) j + k = 2 n + 2 T n 1 = 2V n ((j+k)/2). 2 0 j k 3 V (k+j) n + V (k j) n = 2V (k) n.
36
37 Εκαστος τῶν ἀπὸ τῆς τριάδος ἀριθμῶν αὐξομένων μονάδι, πολύγωνός ἐστι πρῶτον ἀπὸ τῆς μονάδος, καὶ ἔχει γωνίας τοσαύτας ὅσον ἐστὶν τὸ πλῆθος στ τῶν καὶ
38 Π ΠΕΡΙ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ πρῶτος, πρῶτον ἐστι, ἐστὶν k k > 2 G k (x) = n=1 V n (k) G k (x) = V (k) n x n. (T n + (k 3)T n 1 )x n. n=1 G 3 (x) = T n x n = 1 n(n + 1)x n. 2 n=1 n=1 x < 1 H(x) = x 0 x 0 H(ξ) ξ 2 dξ = 1 2 G 3 (ξ) dξ = 1 2 x n = n=1 nx n+1. n=1 x 2(1 x). H(x) x 2 = H(x) = 1 2(1 x) 2, x 2 2(1 x) 2.
39 G 3 (x) = H (x), G k (x) = = G 3 (x) = (T n + (k 3)T n 1 )x n = n=1 n=1 x (1 x) 3. T n x n + (k 3) T n 1 x n = n=1 T n x n + (k 3)x T n x n = G k (x) = n=1 n=1 V (k) n x n = n=2 x (k 3)x2 + (1 x) 3 (1 x) 3 x + (k 3)x2 (1 x) 3. V n (k) E k (x) = n=1 V n (k) x n. n! e x = n=0 1 n! xn. E 3 (x) = n=1 T n n! xn. x E 3(x) = n=1 T n (n 1)! xn 1 = n=0 T n+1 x n = n! n=0 n T n x n = n!
40 = n=1 1 (n 1)! xn + n=0 1 n! xn + E 3 (x) = x = xe x + e x + E 3 (x). n=0 1 n! xn + e x + E 3 (x) = E 3 (x) y y = (x + 1)e x y(0) = 0 y = (C + x + x 2 /2)e x. C = 0 x 0 E k (x) = n=1 E 3 (ξ) dξ = = E 3 (x) = x(1 + x/2)e x. n=1 x 0 T n (n + 1)! xn+1 = n=1 (ξ + ξ 2 /2)e ξ dξ = x 2 e x /2, x 2 e x /2 = n=1 T n 1 x n. n! T n 1 x n = n! T n + (k 3)T n 1 x n = x(1 + x/2)e x + (k 3)x 2 e x /2. n! k V n (k) E k (x) = x n = 1 n! 2 x((k 2)x + 2)ex. V (k) n n=1 V (k) n = 1 n! d n G k (k) (0), V dxn n = dn E k dx (0). n f f (n) (0)x n /n!
41 Α α Ι ι Ρ ρ Β β Κ κ Σ σ ς Γ γ Λ λ Τ τ Δ δ Μ μ Υ υ Ε ε Ν ν Φ ϕ Ζ ζ Ξ ξ Χ χ Η η Ο ο Ψ ψ Θ θ Π π Ω ω ὁ ἡ τό οἱ αἱ τά τοῦ τῆς τοῦ τῶν τῶν τῶν τῷ τῇ τῷ τοῖς ταῖς τοῖς τόν τήν τό τούς τάς τά τώ τώ, τοῖν, τοῖν, τώ τά τά, ταῖν, ταῖν, τά δύο ἀριθμοὺς Ομηρος δύο ἀριθμώ
42 1 αʹ εἷς, μία, ἕν πρῶτος ἅπαξ 2 βʹ δύο δεύτερος δίς 3 γʹ τρεῖς, τρία τρίτος τρίς 4 δʹ τέτταρες, τέτταρα τέταρτος τετράκις 5 εʹ πέντε πέμπτος πεντάκις 6 ϛʹ ἕξ ἕκτος ἑξάκις 7 ζʹ ἑπτά ἕβδομος ἑπτάκις 8 ηʹ ὀκτώ ὄγδοος ὀκτάκις 9 θʹ ἐννέα ἔνατος ἐνάκις 10 ιʹ δέκα δέκατος δεκάκις 11 ιαʹ ἕνδεκα ἑνδέκατος ἑνδεκάκις 12 ιβʹ δώδεκα δωδέκατος δωδεκάκις 13 ιγʹ τρεῖς καὶ δέκα τρίτος καὶ δέκατος τρὶς καὶ δεκάκις 14 ιδʹ τέτταρες καὶ δέκα τέταρτος κ. δ. τετράκις κ. δ. 15 ιεʹ πέντε καὶ δέκα πέμπτος κ. δ. πεντάκις κ. δ. 16 ιϛʹ ἑκκαίδεκα ἕκτος κ. δ. ἑξάκις κ. δ. 17 ιζʹ ἑπτὰ καὶ δέκα ἕβδομος κ. δ. ἑπτάκις κ. δ. 18 ιηʹ ὀκτὼ καὶ δέκα ὄγδοος κ. δ. ὀκτάκις κ. δ. 19 ιθʹ ἐννέα καὶ δέκα ἔνατος κ. δ. ἐνάκις κ. δ. 20 κʹ εἴκοσι εἰκοστός εἰκοσάκις κ. δ. δεύτερος τρίτος πρῶτος
43 10 1 δέκα 10 2 ἑκατόν 10 3 χίλιοι 10 6 μέγας 10 9 γίγας τέρας πετάννυμι ἕξ 10 6 μ μικρός 10 9 νάνος μ μ
44
45 x 8 x 9 x 7 x 7, x 8, x 9 δυναμοκυβόκυβος x 8 κυβοκυβόκυβος x 9 δυναμοκυβοκυβοστόν 1/x 8 κυβοκυβοκυβοστόν 1/x 9 Οὕτως γὰρ εὐόδευτα γενήσεται τοῖς ἀρχομένοις, καὶ ὴ ἀγωγὴ αὐτῶν μνημονευθήσεται, τῆς πραγματείας αὐτῶν ἐν τρισκαίδεκα βιβλίοις γεγενημένης.
46 Διονύσιος Διόνυσος
47 Τὴν εὕρεσιν τῶν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς προβλημάτων, τιμιώτατέ μοι Διονύσιε, γινώσκων σε σπουδαίως ἔχοντα μαθεῖν, [ὀργανῶσαι τὴν μέθοδον] ἐπειράθην, ἀρξάμενος ἀϕ ὧν συνέστηκε τὰ πράγματα θεμελίων, ὑποστῆσαι τὴν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ϕύσιν τε καὶ δύναμιν. Ισως μὲν οὖν δοκεῖ τὸ πρᾶγμα δυσχερέστερον, ἐπειδὴ μήπω γνώριμόν ἐστιν, δυσέλπιστοι γὰρ εἰς κατόρθωσίν εἰσιν αἱ τῶν ἀρχομένων ψυχαί, ὅμως δ εὐκατάληπτόν σοι γενήσεται, διά τε τὴν σὴν προθυμίαν καὶ τὴν ἐμὴν ἀπόδειξιν ταχεῖα γὰρ εἰς μάθησιν ἐπιθυμία προσλαβοῦσα διδαχήν.
48
= = = =
2 24 1 + + 51 + 10 = 30547 60 60 2 60 3 21600. = 1.414212962 2. = 1.414213562373 2 30 25 42 + + 35 = 30547. = 42.42638888 60 60 2 720 30 2. = 42.4264068711 .. διά γωνία μέσος ποταμός Εὔϕράτης Τίγρις σύστημα
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2018 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 3 Διδαγμένο κείμενο Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12)
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν
καταλήξεις ασυναίρετων της β' κλίσης Ενικός ον. γεν. δοτ. αιτ. κλ. -ον -ου -ῳ -ον -ον -ος -ου -ῳ -ον -ε Πληθυντικός -οι -ων -οις -ους -οι
Η δεύτερη κλίση περιλαμβάνει ονόματα: αρσενικά και θηλυκά σε: -ος ουδέτερα σε: -ον συνηρημένα σε: -ους, -ουν αττικόκλιτα αρσενικά και θηλυκά σε: -ως, ουδέτερα σε: -ων Τα αρσενικά και τα θηλυκά της β' κλίσης
Origenes - Adnotationes in Numeros
0185-0254 - Origenes - Adnotationes in Numeros This text belongs to the Thesaurus Linguae Graecae (TLG ), a Research Center at the University of California, Irvine, which digitized it and owns the relevant
Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.
ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία
Iohannes Damascenus - De theologia
This text belongs to the Thesaurus Linguae Graecae (TLG ), a Research Center at the University of California, Irvine, which digitized it and owns the relevant Copyright. On May 15, 2008, Prof. M. Pantelia,
γ n ϑ n n ψ T 8 Q 6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ
2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΤΕΤΑΡΤΗ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΤΕΤΑΡΤΗ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Διδαγμένο κείμενο: Αριστοτέλους, Ηθικά Νικομάχεια (Β3 1-2
Και θα γίνει κατά τις έσχατες μέρες να εκχύσω ( αποστείλω ) το Πνεύμα σε κάθε άνθρωπο.
«καὶ ἔσται ἐν ταῖς ἐσχάταις ἡμέραις, ἐκχεῶ ἀπὸ τοῦ Πνεύματός μου ἐπὶ πᾶσαν σάρκα» (Ιωήλ 2,28) «ἀπὸ Ἱεροσολύμων μὴ χωρίζεσθαι, ἀλλὰ περιμένειν τὴν ἐπαγγελίαν τοῦ Πατρὸς ἣν ἠκούσατέ μου, ὑμεῖς δὲ βαπτισθήσεσθε
Κατάλογος τῶν Συγκερασµῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν ιατονικῶν Κλιµάκων µέχρι καὶ σὲ 1200 µουσικὰ διαστήµατα (κόµµατα)
Κατάλογος τῶν Συγκερασµῶν ὅλων τῶν Βυζαντινῶν ιατονικῶν Κλιµάκων µέχρι καὶ σὲ 1200 µουσικὰ διαστήµατα (κόµµατα) τοῦ Παναγιώτη. Παπαδηµητρίου ρ. Ἠλεκτρ. Μηχανικοῦ, Φυσικοῦ Περιεχόµενα 1. Εἰσαγωγή...1 2.
Cirillus Alexandrinus - De synagogae defectu
This text belongs to the Thesaurus Linguae Graecae (TLG ), a Research Center at the University of California, Irvine, which digitized it and owns the relevant Copyright. On May 15, 2008, Prof. M. Pantelia,
Εαρινό Εξάμηνο 2012. 22.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2012 22.03.12 Χ. Χαραλάμπους Προσέγγιση για το π (Αρχιμήδης) "Κύκλου μέτρησις" Το θεώρημα εκφράζει τον λόγο της περιφέρειας του κύκλου ως προς τη διάμετρο του κύκλου, δηλ. το π. 3 10 / 71
Εὐκλείδεια Γεωµετρία
Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 2010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 14 22-11-2010 Συνοπτικὴ περιγραφή Πρόταση τῆς έσµης Εὐθειῶν. Εστω ὅτι τὰ σηµεῖα, καὶ, εἶναι τέτοια ὥστε οἱ εὐθεῖες και εἶναι
Αρχαία Ελληνική Γλώσσα Β Γυμνασίου. Ενότητα 2 : Γ. Γραμματική
Αρχαία Ελληνική Γλώσσα Β Γυμνασίου Ενότητα 2 : Γ. Γραμματική 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Διαφάνειες Γραμματική: Συμφωνόληκτα 3 Κλήση αφωνόληκτων 4-6 Κλίση ημιφωνόληκτων 7-15 Ασκήσεις 16-23 Εργασία για το σπίτι 24 Κ.
Origenes - Adnotationes in Judices
This text belongs to the Thesaurus Linguae Graecae (TLG ), a Research Center at the University of California, Irvine, which digitized it and owns the relevant Copyright. On May 15, 2008, Prof. M. Pantelia,
ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 18.03.14 Χ. Χαραλάμπους Πως ορίζονται αξιωματικά από το σύστημα των ρητών αριθμών οι πραγματικοί αριθμοί? Τομές του Dedekind (1831-1916) στους ρητούς: δημιουργία των άρρητων (αξιωματική
ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ
Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν
ΚΕΙΜΕΝΑ. Α. Το τέχνασμα του Θεμιστοκλή
ΚΕΙΜΕΝΑ Α. Το τέχνασμα του Θεμιστοκλή Ἀλλ' ἐπεὶ τῶν πολεμίων ὁ στόλος τῇ Ἀττικῇ κατὰ τὸ Φαληρικὸν προσφερόμενος τοὺς πέριξ ἀπέκρυψεν αἰγιαλούς, πάλιν ἐπάπταινον οἱ Πελοποννήσιοι πρὸς τὸν Ἰσθμόν. Ἔνθα δὴ
ΕΠΙΡΡΗΜΑΤΑ. Σημείωσις. Ὡς ἐπιρρήματα λαμβάνονται πολλάκις καὶ τύποι ὀνομάτων ἢ ρημάτων: δημοσίᾳ, ἰδίᾳ, προῖκα (= δωρεὰν) ἄγε, ἴθι, φέρε (= ἔλα) κτλ.
ΕΠΙΡΡΗΜΑΤΑ 257. Ἐπιρρήματα λέγονται αἱ ἄκλιτοι λέξεις, αἱ ὁποῖαι προσδιορίζουν συνήθως τὰ ῥήματα, δηλοῦσαι τόπον, χρόνον, τρόπον, ποσὸν κτλ. 1) Τοπικὰ ἐπιρρήματα: ἐνθάδε (= ἐδῶ), ἐνταῦθα, ἐκεῖ, ἄνω, κάτω
ιστοσελίδα https://en.wikipedia.org/wiki/the_lobster ):
ΥΣ02 ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Χειμερινό Εξάμηνο 2017-2018 Τέταρτη Εργασία (1 μονάδα του συνολικού βαθμού του μαθήματος) Ημερομηνία Ανακοίνωσης: 22 Δεκεμβρίου 2017 Ημερομηνία Παράδοσης: 18 Ιανουαρίου 2018 (24:00,
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Α. «Ἐπεί δ ἡ πόλις τῶν συγκειµένων τοῖς ἀπό συµβόλων κοινωνοῦσι»:να µεταφράσετε το απόσπασµα που σας δίνεται. Μονάδες 10 Β. Να γράψετε σ
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 18 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ: Αριστοτέλους «Πολιτικά» Τῷ περί πολιτείας
ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι χε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ υ υ υ υ υ υ Π ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ζο ο ο ει ει κο ο
Χερουβικό σε ἦχο πλ.. Ε ΑΣΗ ΤΟ ΩΣΤΑΤΙΟΥ ΡΙΓΓΟΥ ΑΡΧΟΤΟΣ ΡΩΤΟΨΑΛΤΟΥ ΤΗΣ.Τ.Χ.Ε. Ἦχος Nε Οι τ Χε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι χε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ υ υ υ υ
EDU IT i Ny Testamente på Teologi. Adjunkt, ph.d. Jacob P.B. Mortensen
EDU IT i Ny Testamente på Teologi Adjunkt, ph.d. Jacob P.B. Mortensen teojmo@cas.au.dk Ny Testamente som fag Tekstfortolkning Originaltekster på græsk Udfordring: at nå diskussion, fortolkning og perspektivering
Αριθμητικά. Δες τα παρακάτω παραδείγματα:
Αριθμητικά Αριθμητικά είναι οι λέξεις που φανερώνουν αριθμούς. Χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά για να δείξουμε ποσότητα, σειρά, από πόσα μέρη αποτελείται κάτι, πόσες φορές μεγαλύτερο είναι κάτι από κάτι άλλο,
Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2011 16.03.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Αρχιμήδης 287 π.χ. 212 π.χ. Παλίμψηστος Παλίμψηστος--ευχολόγιον Παλίμψηστα: αρχαίοι πάπυροι και περγαμηνές πολλαπλής χρήσης. Το κείμενο του Αρχιμήδη γράφτηκε
ΑΡΧΑΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η
ΑΡΧΑΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η 15. Bούλομαι δὲ καὶ ἃς βασιλεῖ πρὸς τὴν πόλιν συνθήκας ὁ Λυκοῦργος ἐποίησε διηγήσασθαι: μόνη γὰρ δὴ αὕτη ἀρχὴ διατελεῖ οἵαπερ ἐξ ἀρχῆς κατεστάθη: τὰς δὲ ἄλλας πολιτείας εὕροι
Numbers / Αριθμοι - According to 4Q121 Septuagint Numbers (4QLXXNum) - Verse Order
Numbers / Αριθμοι - According to 4Q121 Septuagint Numbers - Verse Order Chapter 3 40 [Και ειπεν יהוה προς Μωυσην λεγων] αριθμησον [παν πρωτοτοκον αρσεν των υι]ων Ισραηλ απ[ο μηνιαιου και επανω και λα]βε
Εισαγωγή στη Φιλοσοφία
Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ενότητα 3: Είναι - Συνειδέναι Κωνσταντίνος Μαντζανάρης Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
α α α α α α α α α α Χε ρου ου βει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει ει χε ε κο νι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι Γ
ΗΧΟΣ ΡΩΤΟΣ ΘΕΟΩΡΟΥ ΦΩΑΕΩΣ Ἦχος O τ Χ ρου ου β χ ρου ου β µ µυ υ υ υ υ υ υ υ υ στ κω ω ως κο ν Γ κο ο ο ο ν 1 ζο ο ο ο κο ο ο ν ζον τ ς κ τη ζω ο ο ο ο ο πο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ζω ο πο ω ω ω ω ω ω ω ω Τρ
Λυκειο Ευαγγελικης Σχολης Σμυρνης
Ì Ü Å Ñ Ø Ò È Ã Ø Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ ºÅÔÓÖÓ ÒÒ Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð ¹ Πειραματικο Ö Ö Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒÔ Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôòùô ÒØ Λυκειο Ευαγγελικης Σχολης Σμυρνης ½ Ë ÔØ Ñ ÖÓÙ¾¼½¼ ÙÒ Õ ÓÖ
ΑΠΟΛΥΤΙΚΙΑ & ΘΕΟΤΟΚΙΑ ΕΣΠΕΡΑΣ 1-15 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ. Παρασκευή 1/08/2014 Ἑσπέρας Ψάλλοµεν τὸ Ἀπολυτίκιο τῆς 2/8/2014. Ἦχος.
ΑΟΛΥΤΙΚΙΑ & ΘΕΟΤΟΚΙΑ ΕΣΕΡΑΣ 1-15 ΑΥΟΥΣΤΟΥ αρασκευή 1/08/2014 Ἑσπέρας Ψάλλοµεν τὸ Ἀπολυτίκιο τῆς 2/8/2014 δ Ταχὺ προκατάλαβε ι α σι λει ον δι α δη µα ε στε φθη ση κο ρυ φη εξ α θλων ων υ πε µει νας υ περ
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ: ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ: ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ Διάλεξη 12 Τέταρτο επεισόδιο (173d-175a): Έκτος ορισμός της σωφροσύνης (ἐπιστήμη ἀγαθοῦ τε καὶ κακοῦ) και η ανασκευή της Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος
Iohannes Damascenus - De azymis
This text belongs to the Thesaurus Linguae Graecae (TLG ), a Research Center at the University of California, Irvine, which digitized it and owns the relevant Copyright. On May 15, 2008, Prof. M. Pantelia,
Ιστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Διόφαντος και Αραβικά Μαθηματικά. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπερείδης, Επιτάφιος, 23-26
ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπερείδης, Επιτάφιος, 23-26 Ο Επιτάφιος του Υπερείδη είναι ένας από τους έξι επιτάφιους της αρχαίας ελληνικής γραμματείας. Γράφτηκε και εκφωνήθηκε στις αρχές της άνοιξης του 322 π. Χ. Αφορά τους
Α. Διδαγμένο κείμενο : Ηθικά Νικομάχεια Αριστοτέλους ( Β1, 5-7 & 7-8 )
Διαγώνισμα Αρχαία Ελληνικά Γ Λυκείου Ηθικά Νικομάχεια Αριστοτέλους Α. Διδαγμένο κείμενο : Ηθικά Νικομάχεια Αριστοτέλους ( Β1, 5-7 & 7-8 ) Μαρτυρεῖ δὲ καὶ τὸ γινόμενον ἐν ταῖς πόλεσιν οἱ γὰρ νομοθέται τοὺς
Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Ηθικά Νικομάχεια Β 1,5-8
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 28 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους
Ask seic Majhmatik c Logik c 2
Ask seic Majhmatik c Logik c 2 1. Να δειχτεί με πίνακες αλήθειας ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες. (αʹ) (A B) και A B. (βʹ) A (B C) και (A B) (A C). (γʹ) A B και B A. (δʹ) A B και B A.
Εὐκλείδεια Γεωµετρία
Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,
Gregorius Nyssenus - De deitate filii et spiritus sancti
This text belongs to the Thesaurus Linguae Graecae (TLG ), a Research Center at the University of California, Irvine, which digitized it and owns the relevant Copyright. On May 15, 2008, Prof. M. Pantelia,
ΕΘΝΙΚΟΝ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΝ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ
ΕΘΝΙΚΟΝ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΝ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ Βαθμολόγιo για το ακαδ. έτος 2016-2017 και περίοδο ΕΞ(Χ) 2016-2017 Για το μάθημα ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (12421) Διδάσκoντες:Χ.Αθανασιάδης,Ι.Εμμανουήλ,
ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: 7
ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: 7 ΚΕΙΜΕΝΟ α) Ἀριστοτέλους Πολιτικὰ Γ 1, 1-2 Τῷ περὶ πολιτείας ἐπισκοποῦντι,
ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 1.04.14 Χ. Χαραλάμπους ος μοι πα στω και τα γαν κινάσω Βιβλίο 1, περί επιπέδων ισορροπιών ΤΑ ΜΕΓΕΘΕΑ ΙΣΟΡΡΟΠΕΟΝΤΙ ΑΠΟ ΜΑΚΕΩΝ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΟΤΩΣ ΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΛΟΓΟΝ ΕΧΟΝΤΩΝ ΤΟΙΣ ΒΑΡΕΣΙΝ. Τα
ΘΟΥΚΥΔΙΔΗΣ. καί ὑπερενεγκόντες ναῦς ἀποκομίζονται: κύρια πρόταση ἀποκομίζονται: ρήμα
ΘΟΥΚΥΔΙΔΗΣ Συντακτική ανάλυση Οἱ μέν οὖν παρά τήν γῆν: κύρια πρόταση ἐκομίζοντο: ρήμα οἱ Πελοποννήσιοι: υποκ. τῆς νυκτός: γεν. του χρόνου εὐθύς: επιρ. προσδ. χρόνου κατά τάχος: ΠΣ τρόπου ἐπ οἴκου: ΠΣ κατεύθυνσης
ιδαγμένο κείμενο Αριστοτέλους, Ηθικά Νικομάχεια (Β1, 1-3 και Β6, 1-4)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2017 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
«Η λύση του Γόρδιου Δεσμού» αρχαία ελληνικά Α Γυμνασίου ενότητα 7
«Η λύση του Γόρδιου Δεσμού» αρχαία ελληνικά Α Γυμνασίου ενότητα 7 J.-S.Berthélemy, Paris, Ecole Nationale Supérieure des Beaux -Arts Εργασία των μαθητών του Α1 Γυμνάσιο Αγίου Πνεύματος Επιμέλεια Λιούσα
Ιστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
α α α α α α α α ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙ ΟΙΝΩΝΙΟ ΗΧΟΣ Λ. ΗΧΟΣ ΛΓΙΟΣ ΘΕΟΩΡΟΥ ΦΩΕΩΣ Ἦχς Ο τ Ν Χ ρυ υ υ υ υ υ υ χ ρυ υ β µ µυ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ µυ υ υ στ κω ω ως κ ν 1 ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙ ΟΙΝΩΝΙΟ ΗΧΟΣ Λ. Γ κ ν ζ
α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε
Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε
Athanasius Alexandrinus - Magnus - Epistula ad Palladium
This text belongs to the Thesaurus Linguae Graecae (TLG ), a Research Center at the University of California, Irvine, which digitized it and owns the relevant Copyright. On May 15, 2008, Prof. M. Pantelia,
4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός.
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΙΟΥΝΙΟΣ 207 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ:.............................. Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά
Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας
Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Μάθημα: Γεωμετρία Θεματική Ενότητα: Ανισοτικές Σχέσεις Θέμα: Αποδείξεις της τριγωνικής ανισότητας Ομάδα εργασίας: Γιώργος Ρούμελης Ρωμανός Τζουνάκος Διονύσης
4. ΠΟΙΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΘΕΟΣ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΣΜΟΥ
4. ΠΟΙΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΘΕΟΣ ΤΟΥ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΣΜΟΥ Βασική προϋπόθεση γιά νά μιλήσει κανείς γιά τόν Θεόν μας εἶναι ἡ σαφής διάκριση μεταξύ τῶν ὅρων : οὐσίας ἤ φύσεως καί ἀκτίστων ἐνεργειῶν τοῦ Θεοῦ. Ἔτσι, ὁ Θεός μας
Ασκήσεις γραμματικής. Εκφώνηση. Να μεταφέρετε τους παρακάτω τύπους στον άλλο αριθμό: τοῦ σοφοῦ. (ὦ) δίκαιε. τὸν τίμιον. τοὺς πιστοὺς.
Ασκήσεις γραμματικής ΑΣΚΗΣΗ 1 Εκφώνηση Να μεταφέρετε τους παρακάτω τύπους στον άλλο αριθμό: τοῦ σοφοῦ (ὦ) δίκαιε τὸν τίμιον τοὺς πιστοὺς ταῖς ψυχραῖς τὸ δίκαιον τοῖς ἐντίμοις τοῦ σοφοῦ τῶν σοφῶν (ὦ) δίκαιε
Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Πλάτων, Πολιτεία 615C-616Α Αρδιαίος ο τύραννος
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 2 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ
of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.
Σημειώσεις του Μαθήματος ΜΕΜ 103 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2018 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των
Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Πολιτικά (Γ1, 1-2, 3-4/6/12) Τῷ περὶ πολιτείας ἐπισκοποῦντι, καὶ τίς ἑκάστη καὶ ποία
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους
< = ) Τ 1 <Ο 6? <? Ν Α <? 6 ϑ<? ϑ = = Χ? 7 Π Ν Α = Ε = = = ;Χ? Ν !!! ) Τ 1. Ο = 6 Μ 6 < 6 Κ = Δ Χ ; ϑ = 6 = Σ Ν < Α <;< Δ Π 6 Χ6 Ο = ;= Χ Α
# & ( ) ) +,. /, 1 /. 23 / 4 (& 5 6 7 8 8 9, :;< = 6 > < 6? ;< Β Γ Η. Ι 8 &ϑ Ε ; < 1 Χ6 Β 3 / Κ ;Χ 6 = ; Λ 4 ϑ < 6 Χ ; < = = Χ = Μ < = Φ ; ϑ =
Ε υ _ λο _ γη _ τος _ ει _ Κυ _ ρι _ ε _ δι _ δα _ ξον _ με _ τ α_ δι _. Τ ων _ α _ γι _. ων _ ο _ χο _ ρος _ ευ _ ρε _ π η_ γη _ ην _ τ ης_
ΜΝΗΜΟΣΥΝΟΝ. πρωτ. Κων. Παπαγιάννη Μουσικόν Τριώδιον τόμος Β' Ωρολόγιον 2003 σ.15* Ε υ _ λο _ γη _ τος _ ει _ Κυ _ ρι _ ε _ δι _ δα _ ξον _ με _ τ α_ δι _ και _ ω _ μα _ τ α _ α _ σου _ Τ ων _ α _ γι _.
Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά
Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια τερεά (Κανονικά και Ηµικανονικά Πολύεδρα) Λίγα Ιστορικά στοιχεία ηµ. Μπουνάκης χ. ύµβουλος Μαθηµατικών dimitrmp@sch.gr Ιούνιος 2011 Κανονικό Πολύεδρο είναι το
οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι τα α α α α α α α α α α α α Χε Δ βι ι ι ι ι ι ιµ µυ Ν ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι χι
ΧΕΡΟΥΙΚΟ ΛΕΙΤΟΥΡΙΚΑ ΚΟΙΩΙΚΟ ΗΧΟΣ Λ. ΧΕΡΟΥΙΚΟ Θ. ΦΩΚΑΕΩΣ) ΗΧΟΣ Λ. Ἦχος η N Οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι οι τ Χ ρο ο ο ο χ ρο βι ι ι ι ι ι ιµ µ µ στι ι κω ως ι κο νι ι ι
ΑΡΧΗ & ΠΟΡΕΙΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ
ΑΡΧΗ & ΠΟΡΕΙΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Η φιλοσοφική σκέψη Στοχάζεται.. Θαλής ο Μιλήσιος: «Κάλλιστος ὁ κόσμος. Ποίημα γάρ Θεοῦ ἐστι». Αναξαγόρας: «Νοῦς τις ἐστί ὁ τά πάντα διακοσμήσας». Πλάτων : «Ὁ κόσμος εἰκών τοῦ νοητοῦ
Ἔκτασις. οι τα α α Δ. α α α α Δ. ου ου ου ου ου ου ου ου ου ου ου ου ου. υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ µυ υ στι ι ι Μ. ι ι ει ει κο ο νι ι ι ι ι ι ι
ΗΧΟΣ ΕΥΤΕΡΟΣ ΘΕΟΩΡΟΥ ΦΩΚΑΕΩΣ Ἦχος Ἔκτσις. ι Οι οι οι οι τ Β Χ ρο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο Β ο ο χ ρο ο βι ιµ µ µ στι ι ι κω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ως ι κο νι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι κο ο νι ι
y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)
![y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)](/thumbs/52/30615281.jpg "y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)")
Ασκήσεις σε Σήματα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Οκτωβρίου 015 1. Ενα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα
Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ
Α θ ή ν α, 7 Α π ρ ι λ ί ο υ 2 0 1 6 Τ ε ύ χ ο ς Δ ι α κ ή ρ υ ξ η ς Α ν ο ι κ τ ο ύ Δ ι ε θ ν ο ύ ς Δ ι α γ ω ν ι σ μ ο ύ 0 1 / 2 0 1 6 μ ε κ ρ ι τ ή ρ ι ο κ α τ α κ ύ ρ ω σ η ς τ η ν π λ έ ο ν σ υ μ
Ὁ πιστὸς φίλος. Πιστεύω¹ τῷ φίλῳ. Πιστὸν φίλον ἐν κινδύνοις γιγνώσκεις². Ὁ φίλος τὸν
Ὁ πιστὸς φίλος. Πιστεύω¹ τῷ φίλῳ. Πιστὸν φίλον ἐν κινδύνοις γιγνώσκεις². Ὁ φίλος τὸν φίλον ἐν πόνοις³ καὶ κινδύνοις οὐ λείπει. Τοῖς τῶν φίλων λόγοις ἀεὶ πιστεύομεν. Εἰ κινδυνεύετε, ὦ φίλοι, τοὺς τῶν ἀνθρώπων
Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον. Ἕτερον. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη.
Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Κυ ρι ε ε λε η σον Ἦχος Πα Α µην Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι ον Ἕτερον. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ υ ρι ι ον 1 ΙΩΑΝΝΟΥ Α. ΝΕΓΡΗ
of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ1124 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2012 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των μαθηματικών
Ο πύργος της Βαβέλ Πως «εξηγεί» η ιουδαιοχριστιανική θρησκεία την ποικιλία γλωσσών στον κόσμο
Ο πύργος της Βαβέλ Πως «εξηγεί» η ιουδαιοχριστιανική θρησκεία την ποικιλία γλωσσών στον κόσμο Η ιστορία του πύργου της Βαβέλ υπάρχει στη Γένεση, στο κεφάλαιο 11. Ξεκινά ως εξής: Καί ἦν πᾶσα ἡ γῆ χεῖλος
ΣΡΙΣΟΚΛΙΣΑ ΕΠΙΘΕΣΑ: Τα επίθετα αυτά κλίνονται κατά την γ κλίση των ουσιαστικών στο αρσενικό και το ουδέτερο γένος τους.
ΣΡΙΣΟΚΛΙΣΑ ΕΠΙΘΕΣΑ: Τα επίθετα αυτά κλίνονται κατά την γ κλίση των ουσιαστικών στο αρσενικό και το ουδέτερο γένος τους. Α. ΥΩΝΗΕΝΣΟΛΗΚΣΑ α) Σρικατάληκτα σε -ῠς,ειᾰ,ῠ ΟΝ. ὁ βαθὺς ἡ βαθεῖα τὸ βαθὺ ΓΕΝ. τοῦ
ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΠΙΘΕΤΑ
ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΠΙΘΕΤΑ Τα επίθετα της αρχαίας ελληνικής διακρίνονται: α) ως προς τον αριθμό των γενών σε: τριγενήδιγενή Τριγενή είναι τα επίθετα που έχουν τρία γένη (αρσενικό, θηλυκό και ουδέτερο).
bx 2 (t). Για είσοδο ax 1(t) + bx 2 (t), η έξοδος είναι x(t t 0 ) και y(t t 0) = t t 0 x(t) ax 1 (t 1) + bx 2 (t 1) sin ax 1 (t)+
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού - Γ. Καφεντζής Ασκηση. αʹ Γραµµικό: Είναι y = y = Τρίτη Σειρά Ασκήσεων
ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΗΘΙΚΑ ΝΙΚΟΜΑΧΕΙΑ (Β1, 1-4) Διττῆς δὴ τῆς ἀρετῆς οὔσης, τῆς μὲν διανοητικῆς τῆς δὲ ἠθικῆς,
54 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ
Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;
Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; 3. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης,
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ. Αριστοτέλη «Πολιτικά»
Ελευθερίου Βενιζέλου 237, Γάζι Τηλ./Fax: 2810 823411 email: syxekp@gmail. com www.syekp.gr Βρέντζου Μαρία, Φιλόλογος ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΜΑ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλη «Πολιτικά»
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΑ Β ΓΥΜΝΑΙΟΥ
ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Θεωρητικά στοιχεία 1. Παρατακτική σύνδεση α. Ασύνδετη παράταξη ή ασύνδετο σχήμα Είναι ο αρχικός και απλοϊκός τρόπος σύνδεσης όμοιων προτάσεων ή όρων. Κατ αυτόν τα συνδεόμενα μέρη διαδέχονται
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Θουκυδίδου Περικλέους Ἐπιτάφιος (ΙΙ, 41)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 IOYΝIOY 2005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Θουκυδίδου
ΠΡΩΤΑΓΟΡΑ 322Α - 323Α
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ... Α] ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΡΩΤΑΓΟΡΑΣ ΠΡΩΤΑΓΟΡΑ
ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΑΘΗΝΑΙΩΝ
4 ο Γυμνάσιο Ηρακλείου Επεξεργασία φυλλαδίου: Άννα Μακράκη ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΑΘΗΝΑΙΩΝ Ἀθηναῖοι, ὡς καὶ οἱ ἑτέρας πόλεις κατοικοῦντες, πολλὰ ἐν τῷ βίῳ ἐπιτηδεύουσι, ἵνα τὰ ἀναγκαῖα πορίζωνται:
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 2005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ
ΞΕΝΟΦΩΝΤΑ, ΕΛΛΗΝΙΚΑ. Βιβλίο 1, Κεφάλαια 16-19
ΞΕΝΟΦΩΝΤΑ, ΕΛΛΗΝΙΚΑ Βιβλίο 1, Κεφάλαια 16-19 Οἱ δ' Ἀθηναῑοι ἐκ τῆς Σάμου ὁρμώμενοι τὴν βασιλέως κακῶς ἐποίουν, καὶ ἐπὶ τὴν Χίον καὶ τὴν Ἔφεσον ἐπέπλεον, καὶ παρεσκευάζοντο πρὸς ναυμαχίαν, καὶ στρατηγοὺς
ἐκτὸς ἐπ ἀσπαλάθων κνάµπτοντες, καὶ τοῖς ἀεὶ παριοῦσι σηµαίνοντες ὧν ἕνεκά τε καὶ ὅτι εἰς τὸν Τάρταρον ἐµπεσούµενοι ἄγοιντο.» Α. Από το κείµενο που
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 29 ΜΑÏΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ιδαγµένο κείµενο Πλάτωνος
Διαίρεση φωνηέντων Φωνήεντα Μακρόχρονα Βραχύχρονα
Ενότητα 2 η - Αρχαία Ελληνικά Α Γυμνασίου Ονοματεπώνυμο: Ημερομηνία: Μέρος Β - Η εκπαίδευση των παιδιών στην αρχαία Αθήνα Γραμματική Φθόγγοι και γράμματα Ο τονισμός Πώς έγραφαν οι αρχαίοι Έλληνες; Η αρχαία
Οι Άγιοι της Θεσσαλονίκης.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Ενότητα 2: Το αποστολικό υπόβαθρο της Εκκλησίας της και οι Άγιοι της Αποστολικής περιόδου Συµεών Πασχαλίδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Ἡ «Ἁγία καί Μεγάλη Σύνοδος» στήν Κρήτη θεολογικές καί ἐκκλησιαστικές θέσεις
Ἡ «Ἁγία καί Μεγάλη Σύνοδος» στήν Κρήτη θεολογικές καί ἐκκλησιαστικές θέσεις Περιεχόμενα Εἰσαγωγή Α Βασικά θεολογικά καί ἐκκλησιολογικά θέματα γιά τίς Συνόδους καί τούς διαλόγους μέ τούς ἑτεροδόξους 1.
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΑ Β ΓΥΜΝΑΙΟΥ
ΕΝΟΤΗΤΑ 8 1. Στις παρακάτω προτάσεις να βρείτε το αντικείμενο. α. Ἡ τοῦ Θεοῦ φρόνησις πάντων ἐπιμελεῖται. β. Ἀνθρώπου ψυχὴ τοῦ θείου μετέχει. γ. Τὸ τῆς πόλεως ἦθος ὁμοιοῦται τοῖς ἄρχουσι. δ. Στέργε μὲν
Δευτερόκλιτα επίθετα
Δευτερόκλιτα επίθετα Τα δευτερόκλιτα επίθετα χωρίζονται στις παρακάτω κατηγορίες: 1. Ασυναίρετα Τριγενή και τρικατάληκτα, π.χ. ὁ σοφὸς, ἡ σοφὴ, τὸ σοφόν, ὁ δίκαιος, ἡ δικαία, τὸ δίκαιον Τριγενή και δικατάληκτα,
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ: ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ
ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ: ΠΛΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ Διάλεξη 08 Δεύτερο επεισόδιο (163e-165a7): Κριτίου ρήσις και τέταρτος ορισμός της σωφροσύνης (τὸ γιγνώσκειν αὐτὸν ἑαυτόν) Νικόλαος Γ. Χαραλαμπόπουλος
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................
Ακολουθίες στο Παρεκκλήσιο Αγίου Λουκά Κριμαίας
Ακολουθίες στο Παρεκκλήσιο Αγίου Λουκά Κριμαίας ΑΠΟΛΛΩΝΕΙΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ Μάρτιος 2/3/2017 Παράκληση, 18:00 3/3,10/3,17/3,24/3 Χαιρετισμοί, 19:15 31/3/2017 Ἀκάθιστος 19:15 Ὕμνος Ἀπρίλιος: 6/4/2017 Παράκληση,
«Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία»
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» «Πρώτοι Αριθµοί και Κρυπτογραφία» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Άννα Κώτσου Επιβλέπων: Ευτύχιος