|
|
|
- Χρυσάνθη Κορνάρος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2
3 γ n ϑ n
4 n ψ T 8 Q 6
5
6 j, k, m, n, p, r, r t, x, y f m (x) (f(x)) m / a/b (f g)(x) = f(g(x)) n f f n I J α β I = α + βj N, Z, Q ϕ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος
7 λόγος ὕδωρ αἰθήρ ϕ φ Φ τ ϕ Φειδίας τ τομή g G ϕ
8 ,, 2, 3, 5,... /, 2/, 3/2, 5/3,... ϕ Υπατία ἡ Ἀλεξανδρεῖα ΑΓΕΟΜΕΤΡΗΤΩΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ
9
10 Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος
11 qetir hgrannik, xestigrannik (kub), vosьmigrannik, dvenadcatigrannik, dvadcatigrannik Z AB AB : AZ = AZ : ZB a = AZ b = ZB
12 a > b AB = a + b a + b a = a b. a b = + a. b ϕ = a/b ϕ = + ϕ. ϕ 2 = ϕ +.
13 ϕ ξ 2 ξ = 0. ξ = + 5 2, ξ 2 = 5. 2 ϕ = =, ϕ ϕ ϕ = + ϕ = + + ϕ = ϕ = [; ], ϕ ϕ /ϕ ϕ = [0; ]. ϕ Ω
14 zolotoe seqenie ϕ ϕ ϕ ϕ = m/n m n m/n = (m + n)/n (m + n)/n m = m + n m = n m = 2m ϕ n a b a > b na + b = a a b.
15 a b = n + a. b n n n σ(n) = a/b σ(n) = n + σ(n). σ 2 (n) = nσ(n) +. n σ(n) λ 2 nλ = 0. λ = λ (n) = n + n , λ 2 = λ 2 (n) = n n
16 n γ n : (0, ) (0, ) γ n (x) = n + x, ξ n = σ(n) y = γ n (x) y = x ξ n = σ(n) x = γ n (x) x (n) 0, γ n (x (n) 0 ), γ 2 n (x (n) x (n) 0 > 0 0 ), γ 3 n (x (n) 0 ),..., σ(n) = n + D(n), 2 D(n) = n n 2 < D(n) < (n + ) 2,
17 γ n n < σ(n) < n +. σ(n) n n + ( n + ) D(n) (σ(n) n) = n = 0, n n 2 n n σ(n) σ(n) = n, {σ(n)} = σ(n). u u u u {u} {u} = u u u = u + {u}, 0 {u} <, u u < u + 3 = 3, 3.4 = 3, 4 = 4, 3.4 = 4. {3} = 0, {3.4} = 0.4, { 4} = 0, { 3.4} = σ(n) n D(n) = n m
18 n = m 2 n m Πυθαγόρας ὁ Σάμιος c a b c 2 = a 2 + b 2 n σ(n) = n + σ(n) = n + n + σ(n) σ(n) = [n; n], = n +. n + n + n + n σ(n)
19 ϕ = σ() ψ = σ(2) χ = σ(3) n n n n D(n) σ(n) ϕ, τ + 2 ψ χ σ(n) = + nσ(n). σ(n) = + nσ(n) = + n + nσ(n) = + n + n + n n ϑ n : (0, ) (0, ) ϑ n (x) = + nx, ξ n = σ(n) y = ϑ n (x) y = x ξ n = σ(n) x = ϑ n (x) x (n) 0, ϑ n (x (n) 0 ), ϑ 2 n (x (n) 0 ), ϑ 3 n (x (n) 0 ),...,
20 ϑ n x (n) 0 > 0 n Q n = {α + βσ(n); α Q, β Q} Q Q n (α + βσ(n)) + (α + β σ(n)) = (α + α ) + (β + β )σ(n), (α + βσ(n)) (α + β σ(n)) = (αα + ββ ) + (nββ + αβ + α β)σ(n), Q n σ(n) = σ(n) = α 0 β 0 α + βσ(n) = α + nβ α 2 + nαβ β 2 β α 2 + nαβ β 2 σ(n). α 2 + nαβ β 2 α/β = ( n ± D(n))/2 D(n) α/β Q n α + βσ(n) = α + β σ(n) α = α β = β.
21 F m (x) m x F m+2 (x) = xf m+ (x) + F m (x) (m = 0,, 2,...) F 0 (x) = 0, F (x) = F 0 (x) = 0, F (x) =, F 2 (x) = x, F 3 (x) = x 2 +, F 4 (x) = x 3 + 2x, F 5 (x) = x 4 + 3x 2 +, F 6 (x) = x 5 + 4x 3 + 3x, F 7 (x) = x 6 + 5x 4 + 6x 2 +, F 8 (x) = x 7 + 6x 5 + 0x 3 + 4x, F 9 (x) = x 8 + 7x 6 + 5x 4 + 0x 2 +, F 0 (x) = x 9 + 8x 7 + 2x x 3 + 5x. F m (x) m m m F m (x) m L m (x) m x L m+2 (x) = xl m+ (x) + L m (x) (m = 0,, 2,...), L 0 (x) = 2, L (x) = x x = F m = F m (), L m = L m ().
22 L 0 (x) = 2, L (x) = x, L 2 (x) = x 2 + 2, L 3 (x) = x 3 + 3x, L 4 (x) = x 4 + 4x 2 + 2, L 5 (x) = x 5 + 5x 3 + 5x, L 6 (x) = x 6 + 6x 4 + 9x 2 + 2, L 7 (x) = x 7 + 7x 5 + 4x 3 + 7x, L 8 (x) = x 8 + 8x x 4 + 6x 2 + 2, L 9 (x) = x 9 + 9x x x 3 + 9x. L 0 (x) = x 0 + 0x x x x L m (x) m 0 m m L m (x) m
23 x u m+2 xu m+ u m = 0, (m = 0,, 2,...).
24 u m = λ m, λ m+2 xλ m+ λ m = 0 λ 2 xλ = 0. λ = λ (x) = x + x x, λ 2 = λ 2 (x) = x x λ + λ 2 = λ (x) + λ 2 (x) = x, λ λ 2 = λ (x)λ 2 (x) =. x λ (x) x λ 2 (x) u m = C λ m + C 2 λ m 2,
25 C C 2 m x C C 2 F m (x) = λm λ m 2 λ λ 2 = C + C 2 = 0, C λ + C 2 λ 2 =. C = λ λ 2 = x2 + 4 = C 2. 2 m x ((x + x 2 + 4) m (x x 2 + 4) m ). C C 2 C + C 2 = 2, C λ + C 2 λ 2 = x. C = C 2 =. L m (x) = λ m + λ m 2 = 2 m ((x + x 2 + 4) m + (x x 2 + 4) m ). F m (x) = L m (x) = 2 m j 0 2 m j 0 ( ) m (x 2 + 4) j x m 2j, 2j + ( ) m (x 2 + 4) j x m 2j, 2j F(x, t) = F m (x)t m m=0
26 L(x, t) = L m (x)t m. m=0 F(x, t) = λ λ 2 L(x, t) = (λ m λ m 2 )t m = λ λ 2 m=0 = t xt t 2. (λ m + λ m 2 )t m = m=0 = 2 xt xt t 2. ( ) λ t = λ 2 t λ t + λ 2 t = x t < /λ = x x F(x, t) = t 2 xt, L(x, t) = xt t2 xt t. 2
27 F(0, t) = t t = 2 m=0 t 2m+ = F m (0)t m m=0 F m (0) = m F m (0) = 0 L(0, t) = 2 t 2 = 2 m=0 t 2m = L m (0)t m, m=0 L m (0) = 0 m L m (0) = 2 L x (x, t) = t(t2 + ) ( xt t 2 ) = 2 F t (x, t) = t 2 + ( xt t 2 ) 2 = m= m= L m(x)t m, mf m (x)t m = t L m(x) = mf m (x) mf m (x)t m. m λ (x) = 2 (x + x 2 + 4) = ( ) x + = λ (x) 2 x2 + 4 x2 + 4 m= λ 2(x) = 2 (x x 2 + 4) = 2 ( ) x = λ 2(x) x2 + 4 x L m(x) = (λ m (x) + λ m 2 (x)) = m(λ m (x)λ (x) + λ m 2 (x)λ 2(x)) =
28 = m x2 + 4 (λm (x) λ m 2 (x)) = mf m (x). (x 2 + 4)F m(x) = ml m (x) xf m (x). (x 2 + 4)F m(x) + 3xF m(x) (m 2 )F m (x) = 0. F m (x) (x 2 + 4)y + 3xy (m 2 )y = 0 y(0) = ( ( ) m )/2 y (0) = m( + ( ) m )/2 m m > 0 F m (x) = ( ) m+ F m (x), L m (x) = ( ) m L m (x). m m < 0 F m (x) = = λ λ 2 ( ( λ 2 ) m ( λ ) m) = λ λ 2 ( ) m (λ m 2 λ m ) = ( ) m+ F m (x) L m (x) = ( λ 2 ) m + ( λ ) m = ( ) m (λ m 2 + λ m ) = ( ) m L m (x). {F m (x)} m Z {L m (x)} m Z m = 0 m : F m (x) :... x 2 + x 0 x x L m (x) :... x 3 3x x x 2 x x x 3 + 3x...
29 (x 2 + 4)F 2 m(x) = L 2 m(x) + 4( ) m+. (x 2 + 4)F 2 m(x) = (λ m λ m 2 ) 2 = λ 2m + λ 2m 2 2(λ λ 2 ) m = = λ 2m + λ 2m 2 + 2( ) m + 4( ) m+ = (λ m + λ m 2 ) 2 + 4( ) m+. λ m,2(x) = F m (x)λ,2 (x) + F m (x). F m (x)λ (x) + F m (x) = λ λ 2 ( (λ m ) λ m 2 )λ + λ m λ m 2 = = ( ) λ m+ + λ m 2 + λ m λ m 2 = (λ m+ λ m λ 2 ) = λ λ 2 λ λ 2 = λ λ 2 λ m (λ λ 2 ) = λ m. λ m + λ m 2 = F m (x)λ + F m (x) + F m (x)λ 2 + F m (x) = = F m (x)(λ + λ 2 ) + F m (x) + F m (x) = xf m (x) + F m (x) + F m (x) = = F m (x) + F m+ (x). L m (x) = F m (x) + F m+ (x). L m (x) (x 2 + 4)y + xy m 2 y = 0
30 y(0) = +( ) m y (0) = m( ( ) m )/2 2m + y(0) = 0 y (0) = 2m + 2m + y = a k (m)x k, k=0 a 0 (m) = 0 a (m) = 2m+ k > 0 a k+2 (m) = (2m + )2 k 2 4(k + )(k + 2) a k(m). a 2k = 0 k a 2k+ = 0 k > m a 3 (m) = (2m + )m(m + ), a 5 (m) = 3 2! a 2k+ (m) = 2m + ( ) m + k. 2k + 2k (2m + )(m )m(m + )(m + 2). 5 4!
31 m L 2m+ (x) = k=0 2m + 2k + ( m + k 2k ) x 2k+. m ( ) m m + k L 2m (x) = 2 + x 2k. k 2k k= L m (x) = m 2 k=0 m m 2k ( m k k ) x m 2k + + ( ) m. F m (x) = L m(x)/m m > 0 F m (x) = m 2 k=0 ( m k k ) x m 2k. m 2 ( ) m k F m =. k k=0 (x + ) m x x = ex e x, x = ex + e x. 2 2
32 2 x 2 x =.
33 x + x = e x, x x = e x. [0, ) [, ) x = (x + x 2 + ). π y = a(x)y 2 + b(x)y + c(x)
34 x 2 + y 2 = x 2 y 2 = x x = 2 t t = (x/2) t λ = t + t = e t, λ 2 = t t = e t. L m (x) = λ m + λ m 2 = e mt + ( ) m e mt. L 2k (x) = 2 (2kt) = 2 (2k (x/2)), L 2k+ (x) = 2 ((2k + )t) = 2 ((2k + ) (x/2)).
35 m L m (x) = 2 (m (x/2)), m L m (x) = 2 (m (x/2)), m n (L n L m )(x) = L n (L m (x)) = L mn (x). m n n m mn L n (L m (x)) = 2 (n (L m (x)/2)) = 2 (n ((m (x/2)))) = = 2 (nm (x/2)) = L mn (x). n m mn L n (L m (x)) = 2 (n (L m (x)/2)) = 2 (n ((m (x/2)))) =
36 = 2 (nm (x/2)) = L mn (x). m n L n (L m (x)) = L m (L n (x)) = L mn (x). λ λ 2 m λ m + λ m 2 = L m (x), λ m λ m 2 =. µ = λ m µ 2 = λ m 2 µ 2 L m (x)µ = 0. n ν = µ n = λ mn ν 2 = µ n 2 = λ mn 2 ν 2 L mn (x)ν = 0 ν 2 L n (L m (x))ν = 0. m, m 2,..., m r λ λ 2 L (x)λ = 0, µ = λ m m 2 m r µ 2 L m m 2 m r (x)µ = 0. L m m 2 m r (x) = (L m L m... L mr )(x).
37 L m (x) (x 2 + 4)y + xy m 2 y = 0. m y y 2 y = C y + C 2 y 2 x t x = 2 t x = 4 2 t + 4 = 4 2 t y = dy dx = dy dt dt dx = ẏ 2 t, y = dy dx = ÿ 4 2 t ẏ t 4 3 t. t ÿ m 2 y = 0. y = C (mt) + C 2 (mt),
38 y = C (m (x/2)) + C 2 (m (x/2)). F m (x) (x 2 + 4)y + 3xy (m 2 )y = 0. (x 2 + 4)y + 2xy + xy + y m 2 y = (x 2 + 4)y + 3xy (m 2 )y = 0. z = y (x 2 + 4)z + 3xz (m 2 )z = 0. ( x) = x, ( x) = x, ( x) = z = x2 +, x2 + 4 (C (m (x/2)) + C 2 (m (x/2))). C C 2 y = L m (x) y(0) = + ( ) m ) y (0) = m( ( ) m )/2 z = F m (x) z(0) = ( ( ) m )/2 z (0) = m( + ( ) m )/2 mf m (x) = L m(x) z,m (x) = y,m (x) = (n (x/2)), y 2,m (x) = (m (x/2)), x2 + 4 (m (x/2)), z 2,m(x) = (m (x/2)) x2 + 4
39 M(x) = 0 x,
40 x M(x) λ x λ = λ2 λx. M(x) m m M m (x) = 0 = a m(x) b m (x) x c m (x) d m (x), a m (x), b m (x), c m (x), d m (x) x a 0 (x) =, b 0 (x) = 0, c 0 (x) = 0, d 0 (x) =, a (x) = 0, b (x) =, c (x) =, d (x) = x. M m+ (x) = M m (x)m(x) a m+(x) c m+ (x) b m+ (x) d m+ (x) = a m(x) c m (x) b m (x) d m (x) 0 x. a m+ (x) = b m (x), b m+ (x) = a m (x) + xb m (x), c m+ (x) = d m (x), d m+ (x) = c m (x) + xd m (x). b m+2 (x) = xb m+ (x) + b m (x), d m+2 (x) = xd m+ (x) + d m (x).
41 a m = F m (x), b m (x) = F m (x), c m (x) = F m (x), d m (x) = F m+ (x). 0 x m = F m (x) F m (x) F m (x) F m+ (x). m F m (x)f m+ (x) F 2 m(x) = ( ) m. F m r (x)f m+r (x) F 2 m(x) = ( ) m+ r F r (x), m r
42 F m (x)f r+ (x) F m+ (x)f r (x) = ( ) m F m r (x), M p (x)m q (x) = M p+q (x) p q
43 F p (x) F p (x) F p (x) F p+ (x) F q (x) F q (x) F q (x) F q+ (x) = F p+q (x) F p+q (x) F p+q (x) F p+q+ (x). p = q = m p = m + q = m F p+q (x) = F p (x)f q (x) + F p (x)f q+ (x). F 2m (x) = F m (x)l m (x), F 2m+ (x) = F 2 m(x) + F 2 m+(x). x = F 2m = F m L m, F 2m+ = F 2 m + F 2 m+. m F m (x) F m/2 (x) m F m F m/2 σ(n) λ 2 nλ = 0 σ(n) = λ (n), λ (x) σ m (n) m n Q n
44 σ m (n) = F m (n) + F m (n)σ(n). σ 0 (n) =, σ (n) = σ(n), σ 2 (n) = + nσ(n), σ (n) = n + σ(n). σ(n) m m > 0 σ m (n) = (σ (n)) m σ 2 (n) = nσ(n)+ σ m+2 (n) = nσ m+ (n) + σ m (n). n \ m F m (n) n = D() = 5 λ = ( + 5)/2 λ 2 = ( 5)/2 F m () = (( 2 m + 5) m ( ) 5) m, 5 m F m F m (n) m n F m+2 (n) = nf m+ (n)+f m (n) F 0 (n) = 0, F (n) = n = 2 D(2) = 8 λ = + 2 λ 2 = 2 F m (2) = (( 2 + ) m ( 2 ) m ) 2, 2
45 m P m P m = F m (2) m 2 P m+2 = 2P m+ + P m P 0 = 0, P = n = 3 D(3) = 3 λ = (3 + 3)/2 λ 2 = (3 3)/2 F m (3) = 2 m 3 (( 3 + ) m ( 3 3 ) m ) 3, m H m H m = F m (3) m 3 H m+2 = 3H m+ + H m H 0 = 0, H = L m (n) m n L m+2 (n) = nl m+ (n) + L m (n) L 0 (n) = 2, L (n) = n n = L m () = 2 m ( ( + 5) m + ( 5) m ). L m (2) = (( + ) m ( 2 + ) m ) 2. L m (3) = (( 3 + ) m ( ) m ) 3. 2 m σ σ 4 D() = 5 σ(4) σ() σ(4) = + 2σ() = ϕ 3. σ m (n) σ(m) M n n = m = 3
46 M = 4 D() = 5, D(4) = 20 = 4 5 = 4D() σ() σ(4) Q σ(4) ϕ = σ() σ() σ(4) = (4 + 20)/2 = = 2 + (2ϕ ) = + 2ϕ = ϕ 3. n = M = D(M)/D(n) > n = M = D()/D() = 25/5 = 25 σ() = ( + 25)/2 = ( + 5 5)/2 = ( + 5(2ϕ ))/2 = 3 + 5ϕ = ϕ 5. x = n M = L 2m+ (n) (n 2 + 4)F 2 2m+(n) = L 2 2m+(n) + 4. σ(m) = (M + M 2 + 4)/2 = (M + F 2m+ (n) n 2 + 4)/2 = = (M + F 2m+ (n)(2σ(n) n))/2 = (M nf 2m+ (n))/2 + F 2m+ (n)σ(n). M nf 2m+ (n) = L 2m+ (n) nf 2m+ (n) M nf 2m+ (n) = F 2m + F 2m+2 nf 2m+ (n) = 2F 2m (n). σ(l 2m+ (n)) = F 2m (n) + F 2m+ (n)σ(n) = σ 2m+ (n). µ = λ 2m+ (n) = σ 2m+ (n) µ 2 L 2n+ (n)λ = 0,
47 λ (n) = σ(n) λ 2 nλ = 0. σ(l 2n+ (n)) = σ 2m+ (n). M ξ 2 Mξ = 0 M ξ 2 Mξ + = 0. [n; n] 2m+ = [L 2n+ (n); L 2n+ (n)]. m F m () L m () F m (2) L m (2) F m (3) L m (3) F m (4) L m (4) F m (n) L m (n) σ(4) = + 2ϕ = ϕ 3,
48 σ() = 3 + 5ϕ = ϕ 5, σ(29) = 8 + 3ϕ = ϕ 7, σ(76) = ϕ = ϕ 9, σ(99) = ϕ = ϕ, σ(4) = 2 + 5ψ = ψ 3, σ(82) = ψ = ψ 5, σ(478) = ψ = ψ 7, σ(2786) = ψ = ψ 9, σ(6258) = ψ = ψ, σ(36) = 3 + 0χ = χ 3, σ(393) = χ = χ 5, σ(4287) = χ = χ 7, σ(46764) = χ = χ 9, σ(507) = χ = χ. n M M n σ(m) σ(n) σ(m) = a + bσ(n), a b σ(m) Q n k D(M) = k 2 D(n) M = k 2 (n 2 + 4). σ(m) = M + D(M) 2 = M + k(2σ(n) n) 2 = M + k D(n) 2 = M nk 2 = + kσ(n).
49 a = M nk, b = k. 2 n M = k 2 (n 2 + 4) M n M > n k > L 2 2m+(n) + 4 = (n 2 + 4)F 2 2m+(n), p, q, r M = L 2p+ (r) n = L 2q+ (r) M n = L2 2p+(r) + 4 L 2 2q+(r) + 4 = (r2 + 4)F 2 2p+(r) (r 2 + 4)F 2 2q+(r) = k = F 2p+ (r)/f 2q+ (r) σ(m) = M nk 2 + kσ(n). ( ) 2 F2p+ (r). F 2q+ (r) σ(m) σ(n) r 2p +, 2q + M = L 2p+ (r) n = L 2q+ (r) M = = L 5 (), n = 4 = L 3 () k = F 5 ()/F 3 () = 5/2 σ() = 4 (5/2) σ(4) = σ(4). σ() = σ() = 2 = , σ(4) = (σ(4) 2) = σ(4). =
50 M N σ(m) σ(n) σ(n) σ(m) σ(n) σ(n) σ(m) = α + βσ(n), σ(n) = α + β σ(n). σ(m) = α + β σ(n), α, β, α, β, α, β σ(76) = ϕ σ() = 3 + 5ϕ 5σ(76) 34σ() = = 3 σ(76) = σ(). p q r 2 (r + r 2 + 4) p + p 2 (r r 2 + 4) p = L p p (r), 2 (r + r 2 + 4) p p 2 (r r 2 + 4) p = r 2 + 4F p p (r). 2σ p (r) = L p (r) + r 2 + 4F p (r). 2σ q (r) = L q (r) + r 2 + 4F q (r). r2 + 4 = 2σp (r) L p (r) F p (r) σ p (r) = F q(r)l p (r) F p (r)l q (r) 2F q (r) = 2σq (r) L q (r). F q (r) + F p(r) F q (r) σq (r).
51 σ 3 (3) = σ4 (3), σ 4 (3) = σ3 (3). k=0 ( ) k n. σ(n) q = n/σ(n) < k=0 ( ) k n = σ(n) n σ(n) k= = σ 2 (n) σ 2 (n) nσ(n) = σ2 (n). ( ) k n = σ 2 (n) = nσ(n). σ(n) k=0 ( ) k n = σ 2 (n), σ(n) k= ( ) k n = nσ(n). σ(n) ϕ 2 = + ϕ σ(n) λ 2 nλ = 0 σ(n) = λ (n) λ 2 (n) m µ = λ 2m (n), µ 2 = λ 2m 2 (n). µ + µ 2 = λ 2m (n) + λ 2m 2 (n) 2 = L 2m (n) 2
52 µ µ 2 = (λ 2m (n) )(λ 2m 2 (n) ) = = (λ (n)λ 2 (n)) 2m (λ 2m (n) + λ 2m 2 (n)) + = 2 L 2m (n). µ µ 2 µ 2 (L 2m (n) 2)µ (L 2m (n) 2)) = 0 µ K 2m (n) = L 2m (n) 2 m > 0 µ 2 K 2m (n)µ K 2m (n) = 0. µ = K 2m (n) + K 2m(n) µ. K 2m (n) < µ µ = K 2m (n)+ µ K 2m (n) = K 2m (n)+ K 2m (n) + K 2m(n) µ K 2m (n) = K 2m (n)+ + µ. L 2m (n) 2 µ = σ 2m (n) = [K 2m (n);, K 2m (n)] = [L 2m (n) 2;, L 2m (n) 2]. m > σ 2m (n) = [L 2m (n) ;, L 2m (n) 2]. n = ϕ m = ϕ 2 = [3 ;, 3 2] = [2; ] = + [; ] = + φ, m > L 2m (n) 2 >
53 ϕ ϕ 2 = [2; ], ϕ 4 = [6;, 5], ϕ 6 = [7;, 6], ϕ 8 = [46;, 45]. ψ ψ 2 = [5;, 4], ψ 4 = [33;, 32], ψ 6 = [97;, 96], ψ 8 = [53;, 52]. χ χ 2 = [0;, 9], χ 4 = [8;, 6], χ 6 = [297;, 296], χ 8 = [458;, 457]. [a 0 ; a, a 2,...] = [0; a 0, a 2, a 3,...]. ϕ 4 = [0; 6,, 5], ψ 6 = [0; 97,, 96], χ 2 = [0; 0,, 9]. N m n m n α β σ(m) = α + βσ(n). β 0 σ(m) = α m σ(m) N α = 0 β = σ(n) = σ(n) n n n N m n σ(m) = α+βσ(m) α β σ(n) = α + β σ(n) α = α, β = /β n m m n
54 N m n n r m, n, r σ(m) = α + βσ(n) σ(n) = α + β σ(r) α, β, α, β σ(m) = α + β(α + β σ(r)) = α + β σ(r) α = α + βα, β = ββ. α β m r N [n] = {m N : m n}. [] = {, 4,, 29, 76, 99,...}, [2] = {2, 4, 82, 478, 2786, 6238,...}, [3] = {3, 36, 393, 4287, 46764, 507,...}. [n] σ m (n) m σ(n) σ(n) n n =, 2, 3 n σ(n) n n σ(n) n n σ(n) n = σ(n) σ 2 (n) nσ(n) = σ(n).
55 n
56 σ(l 2m+ (n)) = F 2m (n) + F 2m+ (n)σ(n) L 2m+ (n) F 2m (n) F 2m+ (n) n σ(4) = + 2ϕ = ϕ 3 n n n n = 4
57 x y y = x/σ(n) k = /σ(n) y = σ(n)(x n) k 2 = σ(n) k k 2 = ( /σ(n))σ(n) = σ(n)/(σ 2 (n) + ) /(σ 2 (n) + ) n a(n) = σ(n) σ2 (n) σ 2 (n) +, b(n) = σ2 (n) σ 2 (n) +. a(n)/b(n) = σ(n) n ψ = σ(2) ψ 2 ψ 2 ψ 2 = ((ψ 2) + 2) 2 = 4 + 4(ψ 2) + (ψ 2) 2.
58 ψ 45 = π/4
59 ψ / = 2 + = ψ. / 2 = (ψ )/2 (ψ+)/2 (ψ + )(ψ )/4 = (ψ 2 )/4 = ψ/2 2ψ
60 ψ 2ψ a 2a 2 ψ
61 2 :
62
63
64 x 2 Dy 2 = D D D n = n x n L 2 m(n) (n 2 + 4)F 2 m(n) = 4( ) m. x 2 D n y 2 = 4( ) m. x m = L m (n), y m = F m (n). x 2 n y 2 = ( ) m,
65 n 2n x m = L m (2n)/2, y m = F m (2n). n = n 2 + n = m = 2, 4, 6, 8 m =, 3, 5, 7 x 2 2y 2 = ±. x 2 = L 2 (2)/2 = 3, y 2 = F 2 (2) = 2, x 4 = L 4 (2)/2 = 7, y 4 = F 4 (2) = 2, x 6 = L 6 (2)/2 = 99, y 6 = F 6 (2) = 70, x 8 = L 8 (2)/2 = 577, y 8 = F 8 (2) = 408. x 2 2y 2 =. x = L (2)/2 =, y = F (2) =, x 3 = L 3 (2)/2 = 7, y 3 = F 3 (2) = 5, x 5 = L 5 (2)/2 = 4, y 5 = F 5 (2) = 29, x 7 = L 7 (2)/2 = 239, y 7 = F 7 (2) = 69. x 2 2y 2 =. p T p = p(p + ) 2 = q 2 = Q q.
66 4p 2 + 4p + = 8q 2 +. (2p + ) 2 2(2q) 2 =. x = 2p + y = 2q x 2 2y 2 = p m = L 2m(2) 2 4, q m = F 2m(2). 2 m (p, q ) = (, ), (p 2, q 2 ) = (8, 6), (p 3, q 3 ) = (49, 35), (p 4, q 4 ) = (288, 204). T 8 Q 6 T p Q q
67 Oxy (±ψ, ±) 2ψ (±/ψ n, ±/ψ n ) n = 0, 2, 4,... (±/ψ n, ±/ψ n ) n =, 3, 5,... (±(ψ )/ψ n, 0), r n = /ψ n
68 n = 0, 2, 4,... (0, ±(ψ )/ψ n ), r n = /ψ n n =, 3, 5,...
69 f : [0, ) [0, ) { } x, 0 < x <, f(x) = 0 x = 0. f x {/n, n =, 2, 3,...} f f(x) = f(/n) = 0, x /n 0 f(x) =. x /n+0 f f(0) = 0 f x = 0 (0, ) [0, ) f f m m f 0 (x) = x, f (x) = f(x), f 2 (x) = (f f)(x) = f(f(x)), f 3 (x) = (f f f)(x) = f(f(f(x))),... ξ (0, ) f(ξ) = ξ y = f(x) y = x f ξ n ξ n f ξ f 0 < ξ < ξ ξ = [0; a, a 2, a 3,...].
70 a, a 2, a 3,... /ξ = a ξ = [a ; a 2, a 3,...] f(ξ) = [0; a 2, a 3,...]. f (a, a 2, a 3,...)
![f(ξ) = ξ [0; a 2, a 3,...] = [0; a, a 2, a 3,...], a = a 2 = a 3 =... a n ξ n = [0; n, n, n,.](/docs-images/80/81055173/images/71-0.jpg "..] = [0; n]. ξ n = σ(n) n = σ(n) = n2 + 4 n.")
71 f(ξ) = ξ [0; a 2, a 3,...] = [0; a, a 2, a 3,...], a = a 2 = a 3 =... a n ξ n = [0; n, n, n,...] = [0; n]. ξ n = σ(n) n = σ(n) = n2 + 4 n. 2 σ(n) σ 2m+ (n) = [L 2m+ (n); L 2m+ (n)] = [0; L 2m+(n)].
72 f m > σ 2m (n) = [L 2m (n) ;, L 2m (n) 2]. σ 2m (n) = [0; L 2m(n),, L 2m (n) 2] f ( ) = [0;, L σ 2m 2m (n) 2]. (n) ( ) f 2 = [0; L σ 2m 2m (n) 2, ], (n) ( ) f 3 = [0;, L σ 2m 2m (n) 2]. (n) L = f ( ) = [0;, L σ 2m 2m (n) 2] (n) f 2 (L) = L, f(l) L, L = f ( ). σ 2m (n) L f m = n = σ() = ϕ f(/ϕ) = /ϕ, f(/ϕ 2 ) = /ϕ, f 2 (/ϕ 2 ) = /ϕ = f(/ϕ 2 ). L = f(/ϕ 2 ) = /ϕ f(l) = L L f
73 a, b, c b c ξ = [a; b, c] ξ ξ = a + b + c + b + = a + b + c + ξ a = a + c + ξ a bc + bξ ab +. ξ bξ 2 b(2a c)ξ + a 2 b abc c = 0, ξ = 2ab bc + bc(bc + 4). 2b (bc) 2 + 4bc = (bc + 2) 2 4 b c (bc + 2) 2 4 = d 2 d d = (bc + 2) 2 d bc + 2 a =, b = 2, c = 3 ξ = 5 f 2 = [; 2, 3], η = ξ = = [0;, 2, 3] f(η) =, f 2 (η) =, f 3 (η) = = f(η), ξ f ζ = f(η) f 2 (ζ) = ζ
![ξ = 7 4 = [0;, 3, ]. f(ξ) = 7 3, f 2 (ξ) = 4 7 3, f 3 (ξ) = 2 7 4 = ξ.](/docs-images/80/81055173/images/74-0.jpg "ξ f a, b, c ξ = [0; a, b, c].")
74 ξ = 7 4 = [0;, 3, ]. f(ξ) = 7 3, f 2 (ξ) = 4 7 3, f 3 (ξ) = = ξ. ξ f a, b, c ξ = [0; a, b, c]. ξ ξ = a + b + c + a + = a + b + c + ξ = bc + bξ + abc + abξ + a + c + ξ.
75 (ab + )ξ 2 + (abc + a b + c)ξ (bc + ) = 0, ξ = b a c abc + (abc + a + b + c) (ab + ) a =, b = 2, c = 3 3ξ 2 + 8ξ 7 = ξ = = [0;, 2, 3]. 3 f f(ξ) = 37 4, f 2 (ξ) = , f 3 (ξ) = = ξ. ξ f n n 3/4 λ λ = 0, ξ = , η = ξ = f η , , , , , η f, = η., , 4
![f ξ = [0; p, p 2,..., p r, q, q 2,..., q s ], p, p 2,.](/docs-images/80/81055173/images/76-0.jpg ".., p r q, q 2,..., q s ξ ξ f s Πλάτων Άριστοτέλης")
76 f ξ = [0; p, p 2,..., p r, q, q 2,..., q s ], p, p 2,..., p r q, q 2,..., q s ξ ξ f s Πλάτων Άριστοτέλης
77 Ηρακλῆς Ζεύς Ἀλκμήνη Ηρα Εὐρισθεύς Ολυμπος Αιδης Κέρβερος Αὐγείας Ἀλϕειός, Πηνειός y = a (x/a)
78 Εὔδοξος ὁ Κνίδιος
79
80 Trudy Instituta matematiki i mehaniki UrO RAN
81 f n (x) = (f(x)) n x f n (x) n f x F m m F m (x) m L m m L m (x) m σ(n) n ϕ = σ() χ = σ(3) ψ = σ(2)
γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X
X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω
Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α
Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ
Sheet H d-2 3D Pythagoras - Answers
1. 1.4cm 1.6cm 5cm 1cm. 5cm 1cm IGCSE Higher Sheet H7-1 4-08d-1 D Pythagoras - Answers. (i) 10.8cm (ii) 9.85cm 11.5cm 4. 7.81m 19.6m 19.0m 1. 90m 40m. 10cm 11.cm. 70.7m 4. 8.6km 5. 1600m 6. 85m 7. 6cm
(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007
(! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
..,..,..,..,..,.. $#'().. #*#'!# !" #$% &'( )*%!"( %+
!" #$% &'( )*%!"( %+,--%. )!%/%#-%. %% (*%!%!)..,..,..,..,..,..!" #$#%$"& $#% $#'().. #*#'!# -0 --%0 % %--/%#-%0 %%0 () - %)!" %1 -# #( )%+!"&/ #$%+/,!% 1%/!"& )(00& 3 ) %4%)!% "% %-" ) )!%1 )(-% 3 651300
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
ts s ts tr s t tr r n s s q t r t rs d n i : X n X n 1 r n 1 0 i n s t s 2 d n i dn+1 j = d n j dn+1 i+1 r 2 s s s s ts
r s r t r t t tr t t 2 t2 str t s s t2 s r PP rs t P r s r t r2 s r r s ts t 2 t2 str t s s s ts t2 t r2 r s ts r t t t2 s s r ss s q st r s t t s 2 r t t s t t st t t t 2 tr t s s s t r t s t s 2 s ts
r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t
r t t r t ts r3 s r r t r r t t r t P s r t r P s r s r P s r 1 s r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r 2s s r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r t r 3 s3 Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t r r r rs
... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς
ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν α= ( x,y ), β= ( x,y) γ= x,y α β+ γ =
Ακρότατα'Συναρτησιακών'μίας' Συνάρτησης:'Πρόβλημα+ +4α'
Ακρότατα'Συναρτησιακών'μίας' Συνάρτησης:'Πρόβλημα+ +4α' Τελικόςχρόνοςt f «ελεύθερος»0τελικήτιμήxt f ) «ελεύθερη»:ασυσχετιστα' Ηεύρεσητουακροτάτουσυνάρτηση)γίνεταιμετηνεπίλυσητηςΔιαφ.Εξισ... Εξίσωση'Euler'...καιοισταθερέςολοκληρώσεωςθαπροκύψουναπότηνικανοποίησητων...
TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789
TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2
ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 08 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 43 Α. Ο
f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)
Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
f : G G G = 7 12 = 5 / N. x 2 +1 (x y) z = (x+y+xy) z = x+y+xy+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+yz+xz+xyz.
Σ.Παπαδόπουλος 1 1 Βασικές έννοιες ομάδας Εστω G ένα σύνολο με G. Μία πράξη στο G είναι μία συνάρτηση f : G G G. Αντί f(x, y) γράφουμε x y και αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης xy. Είναι φανερό ότι σε
= (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u
www.maths.gr, Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε ΘΕΜΑ ο 5 6 4 6 4 5 det 4 5 6 ()det ()det ()det 8 9 7 9 7 8 7 8 9 ()( ) ()( 6 ) ()( ) 5 4 4 det
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
Επιμέλεια:xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 8ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 701-800 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες - Σειρές Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 83 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913
Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ
F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21
m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m
MÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
= = = =
2 24 1 + + 51 + 10 = 30547 60 60 2 60 3 21600. = 1.414212962 2. = 1.414213562373 2 30 25 42 + + 35 = 30547. = 42.42638888 60 60 2 720 30 2. = 42.4264068711 .. διά γωνία μέσος ποταμός Εὔϕράτης Τίγρις σύστημα
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)
J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ
L. F avart. CLAS12 Workshop Genova th of Feb CLAS12 workshop Feb L.Favart p.1/28
L. F avart I.I.H.E. Université Libre de Bruxelles H Collaboration HERA at DESY CLAS Workshop Genova - 4-8 th of Feb. 9 CLAS workshop Feb. 9 - L.Favart p./8 e p Integrated luminosity 96- + 3-7 (high energy)
Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ
. Μέθοδος Frobenius Τυπολογίο Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ d w Γενική µορφή της γραµµικής.ε. ης τάξης: dz + P (z)dw + Q(z)w = dz Μορφή της.ε. όταν το σηµείο z = z είναι κανονικό ανώµαλο σηµείο d w dz
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ε ι σ α γ ω γ ή 2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν 5. Π ρ ό τ α σ η 6. Τ ο γ ρ α φ ε ί ο 1. Ε ι σ α γ ω
m i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: 01/03/2015. Θέμα Β. Θέμα Α. Α 1. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73.
Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: /3/5 Θέμα Α Α. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73. Α.. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 84. Α 3. i --> Σ, ii --> Σ, iii --> Λ, iv --> Λ, v --> Σ Θέμα
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της
Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές
Μέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a
SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS
SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ( ) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% )
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ (0-6-005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ) Έστω μια τυχαία μεταβλητή Χ και ένα δείγμα x, x,, x n. Θεωρούμε την τιμή k = n i= ( x && x) i.να διευκρινιστεί
k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)
ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)
![ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)](/thumbs/80/82069494.jpg "ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)")
Έστω συνάρτηση f: [α, β] R παραγωγίσιμη. Τότε η παράγωγος συνάρτηση f (x) παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β). Έστω f (α) < λ < f (β). Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει x 0 ώστε f (x 0 ) = λ.
..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!
!! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
S T (x) = exp. (α) m n q x = m+n q x m q x. (β) m n q x = m p x m+n p x. (γ) m n q x = m p x n q x+m. tp x = S Tx (t) = S T (x + t) { x+t
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2013-2014
y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
4. Απαγορεύεται η χρήση υπολογιστή χειρός. Απαγορεύεται η χρήση κινητού, και ως υπολογιστή χειρός.
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ, ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, ΙΟΥΝΙΟΣ 207 ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ:.............................. Οδηγίες. Συμπληρώστε το όνομά
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0,, 2, 3, 4, }. Με Q θα συμβολίζουμε
Λύση. Λύση Άσκηση 3. Λύση. ( Α Α Α Ι ) Α. Α Α=Ιν. Άσκηση 4. επαληθεύει τη σχέση Χ. Λύση.
Άσκηση Α A, B ατιστρέψιµοι πίακες µε AB= A, BA= B είξτε ότι A = A, B = B ος τρόπος Α = Α Α=( Α Β) Α= Α Β Α Α = Α Οµοίως Α= Α Β= Α ( Β Α)= Α Β Α B = B ος τρόπος Α =Α Α= ( Α Β) Α=Α ( Β Α ) =Α Β=Α Οµοίως
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0,, 2, 3, 4, }. Με Q θα συμβολίζουμε
Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.
Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r
r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st
Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει
( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1
ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]
![ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]](/thumbs/76/73907473.jpg "ιαµέριση (Partition) ορισµένη στο διάστηµα I = [a, b]")
ιαµέριση (Prtition) ορισµένη στο διάστηµα I = [, b] P = {x 0,x 1,x 2,...,x n } = x 0
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 4: Παράγωγοι Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 68 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
?=!! #! % &! & % (! )!! + &! %.! / ( + 0. 1 3 4 5 % 5 = : = ;Γ / Η 6 78 9 / : 7 ; < 5 = >97 :? : ΑΒ = Χ : ΔΕ Φ8Α 8 / Ι/ Α 5/ ; /?4 ϑκ : = # : 8/ 7 Φ 8Λ Γ = : 8Φ / Η = 7 Α 85 Φ = :
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη
ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ
901 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 82 27 Ιανουαρίου 2006 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 012582 Απόφαση της ΡΑΕ για την έγκριση του Εγχειριδίου Δι αχείρισης Μετρήσεων και
cos t dt = 0. t cos t 2 dt = 1 8 f(x, y, z) = (2xyz, x 2 z, x 2 y) (2xyz) = (x2 z) (x 2 z) = (x2 y) 1 u du =
ΛΥΣΕΙΣ. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 7.1.()(b) σ (t) (cos t sin t 1) οπότε σ (t) και σ f(x y z) ds π (c) σ (t) i + tj οπότε σ (t) 1 + 4t και σ f(x y z) ds 1 t cos 1 + 4t dt 1 8 cos
Jean Pierre Serre. Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique (GAGA) Annales de l institut Fourier, Tome 6 (1956), p
Jean Pierre Serre Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique (GAGA) Annales de l institut Fourier, Tome 6 (1956), p. 1-42. 2 0 X X X X X Kähler 1 X X X Chow X n 12 1 H. Cartan [3] H. Cartan W-L. Chow
8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii)..
இர மத ப பண கள வ ன க கள 1.கணங கள ம ச ப கள ம 1. A ={4,6.7.8.9}, B = {2,4,6} C= {1,2,3,4,5,6 } i. A U (B C) ii. A \ (C \ B). 2.. i. (A B)' ii. A (BUC) iii. A U (B C) iv. A' B' v. A\ (B C) 3. A = { 1,4,9,16
Second Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20
3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.
![3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.](/thumbs/40/20675264.jpg "3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.")
3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e
Λύσεις ασκήσεων 6. Οι συντελεστές του αναπτύγματος υπολογίζονται ως εξής: = y( ( 1) = 2 L. L n. = 0 Αναζητούμε αρμονική λύση για y(x) λόγω ΣΣ
Λύσεις ασκήσεων 6. y + y, y() y( ) Αναζητούμε αρμονική λύση για y(x) λόγω ΣΣ λ k > y(x) As(kx) + Bsi(kx) y() A y() Bsi(k) B k,,,.. y (x) Bsi ( x ),,,.. ιδιοσυναρτήσεις Αν λ τετριμένη λύση. Οι ιδιοσυναρτήσεις
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΕΣΤ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΩΡΟΜΙΣΘΙΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΒΟΗΘΟΙ ΤΗΛΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ (ΑΡ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ: 2/2017) (ΛΕΥΚΩΣΙΑ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 2019
ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 09 ΘΕΜΑ Α Α. α) ορισμός σελ.5 β)i) για να έχει μια συνάρτηση αντίστροφη πρέπει να είναι -. ii) ορισμός σελ.35 Α. ορισμός σελ.4 Α3. απόδειξη σελ.35 Α4. α)λ
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c
GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία
= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική
Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε
x3 + 1 (sin x)/x d dx (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). d dx (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x 2 ). 3x 2 cos(x 3 )dx = sin(x 3 ) + C. d e (t2 +1) = e (t2 +1)
x sin x cosx e x lnx x3 + (sin x)/x e x {}}{ (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). }{{}}{{} f(g(x)) 3x cos(x 3 ). 3x cos(x 3 ) x 3 3x sin(x 3 ) (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x ). 3x cos(x 3 ) = sin(x 3 ) + C. e ( +).
Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)
![Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)](/thumbs/63/49057706.jpg "Τύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)")
Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche
Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΠΗΓΕΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ
ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΤΖΩΡΤΖΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Επιβλέπων καθηγητής:αναγνωστοπουλοσ Κ. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ-ΣΕΜΦΕ 26 Σεπτεμβρίου 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΕΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΒΑΡΥΤΙΚΩΝ
x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2
![x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2](/thumbs/20/424851.jpg "x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2")
¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)
Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου
(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
![(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x](/thumbs/62/47493101.jpg "(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x")
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β
1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να
η η η η GAR = 1 F RR η F RR F AR F AR F RR η F RR F AR µ µ µ µ µ µ Γ R N=mxn W T X x mean X W T x g W P x = W T (x g x mean ) X = X x mean P x = W T X d P x P i, i = 1, 2..., G M s t t
Ask seic Algebrac -1.
Ask seic Algebac. : Θεωρούμε τον πίνακα A = ω ω ω ω () όπου ω είναι μια κυβική ρίζα της μονάδος (φανταστική). Να υπολογίσετε τους πίνακες A, A, A. : Ας είναι οι πίνακες M = ( x /x ) (, N = y ) και P =
Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες
Μικρό σώμα μάζας m κινείται μέσα σε βαρυτικό πεδίο με σταθερά g και επιπλέον κάτω από την επίδραση μιας δύναμης με συνιστώσες F x = 2κm και F y = 12λmt 2 όπου κ και λ είναι θετικές σταθερές σε κατάλληλες