= = = =

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= = = ="

Φόβος Κανακάρης-Ρούφος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

3 = = = = = =

4 .. διά γωνία μέσος ποταμός Εὔϕράτης Τίγρις σύστημα Βαβυλών

5 M r

9 49 = a a = a n 60 n a a 0.

10 a n,..., a 1, a 0 a a = a n... a 1 a = , 3899 = , = = , 3635 = , =

11 1 60, 31 60, ,... 3 a = a n 60 n a a 0 + a a a a a = a n a 1... a 0 ; a 1 a 2 a 3... a n, a 1,..., a 0 ; a 1, a 2, a 3, /240, 71/480, 7801/ = , = , = ,

12 355/113 π = , = 3; , π 3 = 3, 125 = 25/8 = 3; 7 30 a, b c a 2 + b 2 = c 2 (a, b, c) (a, b, c) a, b, c (a < c, b < c) a 2 + b 2 = c 2 a : b : c a, b, c a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2, m, n m > n m, n Πυθαγόρας

13 a 2 + b 2 = c 2 ϕίλος ἄνθρωπος c a a 2 /b 2 (a, b, c) b = c 2 a 2 a 2 /b 2 a c b n 0; ; 59 2; 49 0; ; 5 1; 37 0; ; 15

14 (3367, 3456, 4825) a 2 /b / ; a 2 /b 2 0; (45, 60, 75) = 15(3, 4, 5). ἁρπεδονάπται ἁρπεδόνη ἅπτω

15 n a b c xy = (x + y)2 (x y) 2. 4 x + y = a, xy = b a b b = a 2 /4 ((x y)/2) 2 x + y 2 x y 2 = a 2, (a ) 2 = b. 2

16 x = a 2 + (a 2 ) 2 b, y = a 2 (a ) 2 b. 2 a 2 4b x, y xy = 60. N

17 x 1 > 0 N x n+1 = 1 (x n + N ), n = 1, 2, 3,..., 2 xn N x 1 N N/x1 = x 1 x 1 < N N/x 1 > x 1 x 1 > N N/x 1 < x 1 x 2 x 1 N/x 1 x 1 N/x 1 x 2 = 1 (x 1 + N ). 2 x1 x 2 x 3 N x 1

18 = = = x 1 x n N = n x n = 1111, = N N = a 2 + b a b b < a 2 N = a 2 (1 + b/a 2 ) = a 1 + b/a 2 a(1 + b/(2a 2 )) = a + b/(2a) = (1/2)(a + a + b/a) = (1/2)(a + N/a). x 1 + x 1 + x = 1 + x/2 x 2 /8 +...

19 x 1 + x x 1 + x/2 1 + x/2 1 + x x = 0 a + b/(2a) a2 + b x 2 1 = N x 1 = x 2 = x 3 =... = N x 2 1 N x 1, x 2, x 3,... N n 1 x n+1 = 1 (x n + N ) > 2 xn x n N x n = N, x n N n 2 n x n x n+1 = x n 1 (x n + N ) = 1 (x n N ) 2 xn 2 xn = x2 n N 2x n > 0. x = n x n x = (x + N/x)/2 x = N

20 f x 1 f x n+1 = x n f(x n) f (x n ) N f : x x 2 N x n+1 = x n x2 n N = 1 (x n + N ), 2x n 2 xn 2 x n+1 = 1 (x n + 2 ), x 1 = 3 = 1; xn 2 x 2 = = 1; 25, x 3 = 577 = 1;

21 N N f : x (x + N/x)/2 [ N/3, ] x x ξ x x f(x ) f(x ) = f (ξ)(x x ). (1 N x 2 ) f (x) = 1 2 x [ N/3, ] 1/2 f(x ) f(x ) < 1 2 x x. f x x = 1 ( x + N ). 2 x x = N x 1 [ N/3, ]

22 x 1, x 2, x 3,... x n+1 = f(x n ) x = N y = f(x) y = x ( N, N) x 2 + px = q, x 2 = px + q, x 2 + q = px p, q, r ax 3 + bx 2 = c a, b, c ( 1 + 5) 1 x = 2. 3 < x < 4 x = 4 2;

26 22 2 r 1 3 = r 1 4 = r 5 12 = = r r M 1/2 r s 2/3 r 333 r /360

27 5/7 1/2 + 1/7 + 1/14 1/2 + 1/6 + 1/21 1 = 0, 5 = 0, 49, 2 0, 49 = = = = 5 10 = 0, 5. 2/7 = 1/4 + 1/28 r r 22 2/n n ἐϕημερίδος ἐϕημερίς ἐπί ἡμέρα

28 λεπτά Διόϕαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς Θαλῆς ὁ Μιλήσιος Υψικλῆς Ιππαρχος = τξεʹ ʹ σνα χίλιοι μύριοι

29 αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ ιʹ κʹ λʹ μʹ νʹ ξʹ οʹ πʹ ϙʹ ρʹ σʹ τʹ υʹ ϕʹ χʹ ψʹ ωʹ ϡʹ α β γ δ ε ϛ ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ϙ ϙ θϡϙθʹ = ευξζʹ λα ἑξηκοστὰ τμήμα, λεπτά πρῶτα δεύτερα ἑξηκοστά Κλαύδιος Πτολεμαῖος Μαθηματικὴ σύνταξις Η μεγάλη σύνταξις Η μεγίστη σύνταξις μεγίστη

30 τμήματα α AB 120 α/2 α AB AB = α = 120 α/2 (180 α) = 120 α/2 2 α+ 2 α = 1 2 α + 2 (180 α) = χορδή 1/ , 36, 54, 18, 9 30, 60, 45, 15, 75 3, 1 30,

31 3 1 α α α/ α πδ π μα γ μϛ κε πε πα δ ιε μϛ ιδ πε πα κζ κβ μϛ γ οὐδέν

32 M α α = 1/2 ) α α/ α = ((α + α) α)/ α περιϕερειῶν εὐθειῶν ἑξηκοστῶν περιϕερεία εὐθεῖα ἑξηκοστά α α α/ α α α β ν α β ν ξ ξ νδ κα ϙ πδ να ι μδ κ ρκ ργ γε κγ λα ιη λϛ λζ δ νε νθ μγ 60 μοιρῶν ξ 60 = = 60 ξ SBA 1 1. = 1; 2 50 = = /360 = 377 π =

33 3, π. = = 3; 8 30 = = μοιρῶν ϙ 84; = = = = = = 1; = = 1, =. 1, μοιρῶν ρκ 103; = = = = = = 1; = = 1, = 1, d a τ = (1 + 5)/2 ABD d = 60 a = d/τ 36 = a = 60/τ = 30( 5 1). = = 37; λϛ 37; 4 55

34 Εὐκλείδης Στοιχεῖα ἄκρος καὶ μέσος λόγος α EC

35 s A B s DE S α/2 DC s ABCD AB DC + AD BC = AC BD. AB = 120 DC = (180 α) AC = BD = (180 α/2)) AD = BC = α/2 120 (180 α) + 2 α/2 = 2 (180 α/2). DEB DEC 2 α/2 + 2 (180 α/2) = 120 2, 2 α + 2 (180 α) = 120 2, 120 (180 α) + 2 α/2 = α/2. 2 α/2 = 60( α). 18 ( 2 18 = 60( ) = ( 5 1) 2 ). 18 = = 18; = ιη μϛ ιθ μα.

36 2π 2π. = 6; π. = 6, π 2π 2π. = 6; , 2π. = 6, π

Σχετικά έγγραφα

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν