ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
|
|
- Τρύφαινα Τρικούπης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )
2 Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015
3 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία Βιβλία 49 Βιβλία 49 Ιστοσελίδες 49 Ιστοσελίδες 49
4
5 1. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1ο ιαγώνισµα 1. Να δειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ, δηλαδή υ = P (ρ). 2. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση για κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις : (αʹ) Από τους παρακάτω τύπους : i. συν2a = 1 2ηµ2 a ii. συνa = 2συν 2 a2 1 iii. συν 2 a = 1 συν2a 2 σωστοί είναι : i. µόνο ο πρώτος ii. µόνο ο δεύτερος iii. ο πρώτος και ο δεύτερος iv. ο πρώτος και ο τρίτος v. όλοι (ϐʹ) Αν οι αριθµοί α1, β1, γ1 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής πρόοδου, τότε α+γ i. β1 = 2 2 ii. β1 = α+γ iii. β2 = α1 + γ1 β iv. 2 = α1 + γ1 v. β1 = α2 + γ2 (γʹ) Εστω η συνάρτηση f (x) = 2x. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή i. η f έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα (0, ) ii. η f έχει σύνολο τιµών το σύνολο R iii. η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο πεδίο ορισµού της iv. η γραφική παράσταση τέµνει τον x0 x στο σηµείο A(1, 0)
6 v. η γραφική της παράσταση έχει ασύµπτωτη τον αρνητικό ηµιάξονα των x. 3. Ερωτήσεις συµπλήρωσης Αν α, θ > 0 και α 1, να συµπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες : (αʹ) log α 1 =... (ϐʹ) log α α =... (γʹ) log α α =... 1 (δʹ) log α α =... (εʹ) log α α x =... (ϛʹ) α log α θ =... Να λυθεί το σύστηµα : { log x + log ψ = 1 3 x 2 9 ψ 4 = 9 Θέµα 3ο 1. Αν οι αριθµού α 1 = 2ηµ2θ, α 2 = 2συνθ, α 3 = ɛφθ, µε θ (0, π 2 ) είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου να αποδειχθεί ότι θ = π Να ϐρεθεί ο λόγος λ και οι τέσσεροις πρώτοι όροι της πρόοδου. Θέµα 4ο 1. Να ϐρεθούν οι τιµές των α, β R, ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 3 + 2αx β + α να έχει παράγοντα το x + 3 και το υπόλοιπο τις διάρεσης αυτού µε το x + 1 να είναι Αν είναι α = 7 και β = 8 (αʹ) να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 (ϐʹ) να λυθεί η ανίσωση P (x) > 15 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6
7 2ο ιαγώνισµα 1. Αν α, β γωνίες µε συνα 0, συνβ 0, συν(α + β) 0, να αποδειχθεί ότι ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Αν ɛφθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης ɛφx = α δίνονται από τον τύπο x = κπ + θ, όπου κ Z (ϐʹ) Αν α, β τυχαίες γωνίες, τότε ισχύει : συν(α β) = συνα συνβ ηµα ηµβ (γʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε το P (ρ). (δʹ) Τρείς αριθµού α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν ισχύει 2β = α + γ. (εʹ) Αν θ 1, θ 2 > 0, τότε ισχύει log(θ 1 + θ 2 ) = log θ 1 + log θ 2 (ϛʹ) Εστω θ > 0. Αν log θ = x, τότε 10 x = θ. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 21x x Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner να κάνετε τη διαίρεση 2. Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0. P (x) : (x 11) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7
8 Θέµα 3ο ίνεται η αριθµητική πρόοδος (α ν ) µε α 3 = 19, α 7 = Να αποδείξετε ότι α 1 = 13 και ω = Να υπολογίσετε το άθροισµα α 8 + α α Να ϐρείτε τον Κ για τον οποίο οι α 1, α 14, α κ, είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Θέµα 4ο 1. Να λύσετε την εξίσωση 3 3u 19 9 u u+2 81 = Να λύσετε στο διάστηµα [0, 2π] την εξίσωση 3 3συνx 19 9 συνx συνx+2 81 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8
9 3ο ιαγώνισµα 1. Αν α ν γεωµετρική πρόοδος µε λ 1, να αποδειχθεί ότι το άθροισµα των ν πρώτων όρων S ν δίνεται από τη σχέση : S ν = α 1 λν 1 λ 1 2. Ερωτήσεις πολλαπλής επολογής. Στις επόµενες προτάσεις να µεταφέρετε στο γραπτό σας τον αριθµό τους και δίπλα ακριβώς, το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. (αʹ) Η παράσταση ηµα ηµ3α + συνα συν3α ισούται µε : i. ηµ2α ii. συν2α iii. συν4α iv. συν2α (ϐʹ) Αν (x), δ(x), π(x) και υ(x) µη µηδενικά πολυώνυµα για τα οποία ισχύουν : (x) = δ(x) π(x) + υ(x) και ϐαθµός του υ(x) µικρότερος του ϐαθµού του δ(x), τότε από τις παρακάτω προτάσεις : i. ϐαθµόςδ(x)+βαθµόςπ(x) =ϐαθµός (x) ii. Το υπόλοιπο της διαίρεσης (x) : π(x) είναι υ(x) iii. ϐαθµόςπ(x) <ϐαθµός (x) σωστές είναι : i. µόνο η πρώτη ii. µόνο η δεύτερη iii. η πρώτη και η δεύτερη iv. η πρώτη και η τρίτη (γʹ) Η παράσταση ɛφα ηµ3α 1+ɛφα ɛφ3α ισούται µε : i. ɛφ4α ηµα ηµ3α ii. 1+συνα συν3α iii. ɛφ2α iv. 2ɛφα (δʹ) Το πολυώνυµο P (x) = αx 3 + βx 2 + 3x + α: i. είναι ϐαθµού 3 ii. είναι ϐαθµού 2 αν α = 0 iii. Εχει ϱίζα το 0 αν β = 0 iv. έχει ϱίζα το 1 αν β = 3. (εʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x: i. έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. ii. είναι γνησίως ϕθίνουσα στο πεδίο ορισµού της iii. η γραφική παράσταση τέµνει τον xx στο σηµείο A(1, 0) iv. Η γραφική παράσταση έχει ασύµπτωτη τον ϑετικό ηµιάξονα Ox. (ϛʹ) Αν α,β,γ διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε : i. β = α+γ ii. γ β = β α 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9
10 β iii. α = β α iv. 2 β = 1 α + 1 γ 1. Να δείξετε ότι : ηµ(2x π 4 )συν(x + π 4 ) + ηµ(x + π 4 )συν(2x π 4 ) = ηµ3x 2. Να λυθεί η εξίσωση : ηµ(2x π 4 )συν(x + π 4 ) + ηµ(x + π 4 )συν(2x π 4 ) = ηµx Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10
11 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + (λ 1)x 2 + (2λ 3)x + 3 3λ 1. Να αποδειχθεί ότι έχει παράγοντα το x 1 για κάθε x R 2. Να ϐρεθεί ο λ R αν ο αριθµός 2 είναι ϱίζα του P (x). 3. Για λ = 1 να λυθεί η εξίσωση : P (x) = 0 Θέµα 4ο 1. Να αποδειχθεί ότι οι αριθµοί : log 2, log(2 2), log 4 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου της οποίας να ϐρεθεί η διαφορά. 2. Να αποδειχθεί ότι το άθροισµα των 9 πρώτων όρων αυτής είναι : S 9 = 27 log 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11
12 4ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ, δηλαδή υ = P (ρ). 2. (αʹ) Να δώσετε τον ορισµό της λογαριθµικής συνάρτησης. (ϐʹ) Να γράψετε στο τετράδιό σας την ένδειξη Σ αν είναι σωστή. ή Λ αν είναι λαν- ϑασµένη για κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις : i. ηµ2α = ηµα συνα ii. Αν α > 0 και α 1 τότε για κάθε x R και για κάθε θ > 0 ισχύει ότι : Αʹ. log α α = α Βʹ. α log α θ = θ iii. Αν α > 0 και α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει ότι : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 iv. Κάθε σταθερό και µη µηδενικό πολυνώνυµο είναι 1ου ϐαθµού. 1. Να αποδείξετε ότι 2. Να λυθεί η εξίσωση ηµ2α 1 + συν2α = ɛφα ηµ2x 1 + συν2x = 1 3. Να ϐρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστηµα [0, 2π] Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 (α + 1)x 2 + (α 1)x + 2 το οποίο έχει παράγοντα το x Να ϐρείτε την τιµή του α R 2. Για α = 2 να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P (x) µε το x Να λύσετε την εξίσωση P (x) = x 2 Θέµα 4ο Εστω η συνάρτηση f(x) = κ + log(x 2 3), κ R 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. 2. Να υπολογίσετε την τιµή του κ ώστε f(2) = log Για κ = 2 (αʹ) Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε ψ = log (ϐʹ) Να λυθεί η f(x) > 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 12
13 5ο ιαγώνισµα 1. Αν συνα 0, συνβ 0, συν(α + β) 0 να αποδείξετε ότι : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ 2. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις : (αʹ) συν2α = συν 2 α ηµ 2 α = 2συν 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α (ϐʹ) Η εξίσωση 7x x x 12 = 0 έχει ϱίζα τον αριθµό 1 (γʹ) Αν θ > 0 τότε ln θ = x e x = θ (δʹ) Το πολυώνυµο P (x) = 3x 3 + 7x 2 4x 3x είναι 2 oυ ϐαθµού. (εʹ) Αν θ 1, θ 2 > 0, τότε ln( θ 1 θ 2 ) = ln θ 1 ln θ 2 Για τις γωνίες α,β ισχύουν ότι : π 2 α π και 0 β π 2. Αν ηµα = 4 5 τότε 1. Να αποδείξετε ότι : ηµ(α + β) = Να αποδείξετε ότι : συν(α + β) = Να αποδείξετε ότι : ɛφ2α = 24 7 Θέµα 3ο και συνβ = 12 13, ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 4 + αx 3 + βx 2 x 2. Αν το πολυώνυµο P (x) έχει ως παράγοντες του x 1 και x + 1, τότε : 1. Να αποδείξετε ότι : α = 1 και β = Αν α = 1 και β = 3 να λύσετε την εξίσωση P (x) = Αν α = 1 και β = 3 να λύσετε την ανίσωση P (x) 0. Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e 2x 2e x + 5) και g(x) = ln 5 + ln(e x 1). 1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f(x) και g(x). 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). 3. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < g(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13
14 6ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι συν2α = 1 2ηµ 2 α. 2. Τι ονοµάζουµε και πως συµβολίζουµε τον λογάριθµο ενός ϑετικού αριθµού ϑ ως προς ϐάση το α µε α > 0 και α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) ηµ(α + β) = ηµα συνβ συνα ηµβ. (ϐʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2, µε 1 α > 0 και θ 1, θ 2 > 0. (γʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο µή µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. (δʹ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων log α x και y = α x είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x. (εʹ) Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 έχει σύνολο τιµών το R. ίνεται η εξίσωση : αηµ2x + βηµ 2 x 2 x = π 2 : 1. Να αποδείξετε ότι β = 2α. 2. Αν β = 2α να λυθεί η εξίσωση. = α µε α > 0, β > 0. Αν µια λύση της είναι η Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο f(x) = x 3 + αx 2 + βx + 4 µε α, β R. Αν το πολυώνυµο x 1 είναι παράγοντας του f(x) και η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για x = 2 είναι µηδέν : 1. Να υπολογίσετε τις τιµές των α και ϐ. 2. Για α = 1, β = 4 να ϐρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του f(x) µε το x Να λύσετε την εξίσωση x 3 x 2 4x + 4 = Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης f(x) = x 3 x 2 4x + 4 ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log 2 (x + 1) Βρείτε το πεδίο ορισµού της. 2. Να ϐρεθούν τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες/ 3. Αν το σηµείο A( 1 2.λ) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, να δείξετε ότι λ = 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14
15 7ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι ɛφ(α + β) = ɛφα+ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ, µε συν(α + β) 0 και συνα συνβ ίνεται η συνάρτηση f(x) = α x, µε α > 1. Να γραφεί το πεδίο ορισµού το σύνολο τιµών και η µονοτονία της συνάρτησης f. 3. Να µεταφερθούν στο γραπτό σας συµπληρωµένες οι παρακάτω προτάσεις ή τύποι : (αʹ) συν2α =... (ϐʹ) Αν P (ρ) = 0 τότε ο ρ λέγεται του πολυωνύµου P (x) και x ρ είναι του πολυωνύµου P (x). (γʹ) log α θ κ = (δʹ) log α α =......, log α 1 = Να ϐρεθούν οι α, β R ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 4 αx 3 + βx 4 να έχει παράγοντες τα πολυώνυµα x + 1, x Για α = 1 και β = 2 να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0. Θέµα 3ο 1. Να αποδειχθεί ότι : 2. Να λυθεί η εξίσωση : 1 + ηµ2x συν2x συν2x = 1 + ηµ2x συν2x συν2x 2ηµx συνx ηµx = 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15
16 Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις µε τύπο f(x) = log(2 2x 8) και g(x) = log(2 x + 4). 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των f, g. 2. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = Να λυθεί η ανίσωση f(x) > g(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16
17 8ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθούν : (αʹ) συν2α = συν 2 α ηµ 2 α (ϐʹ) συν2α = 1 2ηµ 2 α 2. Να µεταφερθούν στην κόλα σας συµπληρωµένες οι παρακάτω προτάσεις : (αʹ) ηµx = ηµθ x = ή x = (ϐʹ) Για κάθε Ϲεύγος πολυωνύµων (x) (διαρετέος),δ(x) (διαιρέτης) µε δ(x) 0, υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο) ώστε : (x) = και ϐαθµός του υ(x) του ϐαθµού του ή υ(x) είναι το πολυώνυµο. (γʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = µε α 1 και θ 1, θ 2 > 0. (δʹ) log α α = , µε α > 0 και α 1 (εʹ) Αν α > 1 τότε ισχύει : 0 < x 1 < x 2 log α x log α x 2 (ϛʹ) ίνεται η συνάρτηση f(x) = α x. Αν 0 < α < 1 τότε η f(x) είναι γνησίως ίνεται η παράσταση A = (ηµx + συνx) 2 + ηµ2x. 1. Να αποδειχθεί ότι : A = 1 + 4ηµxσυνx. 2. Να λυθεί η εξίσωση : A = 1. Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + x 2 + κx + 2, κ R 1. Αν το πολυώνυµο P (x) έχει ϱίζα το 2 να ϐρεθεί ο κ. 2. Αν κ = 1 (αʹ) Να γίνει η διαίρεση P (x) : (x + 1) και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. (ϐʹ) Να λυθεί η εξίσωση : P (x) = 0. Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις µε τύπο f(x) = log(5 3 x + 9) και g(x) = log(9 x 3 3 x ). 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των f, g. 2. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = g(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17
18 9ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε τους τύπους :ηµ2α = 2ηµα συνα, συν2α = συν 2 α ηµ 2 α 2. Να µεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις συµπληρωµένες σωστά : (αʹ) Κάθε και µη µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν. (ϐʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε (γʹ) Μια ακολουθία λέγεται , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πολλαπλασιασµό επί τον ίδιο πάντοτε µη µηδενικό α- ϱιθµό. (δʹ) Αν α > 0 µε α 1, τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει log α (θ 1 θ 2 ) = ίνεται η αριθµητική πρόοδος : 1, 2, 5, 8,... Να ϐρεθούν : 1. Ο πρώτος όρος α 1 και η διαφορά ω. 2. Ο όρος α Το άθροισµα S 15 των 15 πρώτων όρων της. 4. Ο αριθµητικός µέσος των όρων της 17 και 23. Ποιος όρος της ακολουθίας είναι αυτός ο αριθµός Θέµα 3ο ίνεται πολυώνυµο P (x) = 2x 3 + x 2 αx + 2,όπου α R. 1. Να ϐρεθεί η τιµή του α ώστε το πολυώνυµο P (x) να έχει παράγοντα το x Για α = 5, να ϐρεθούν µε το σχήµα Horner το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. 3. Να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 Θέµα 4ο 1. Να λύσετε την εξίσωση : 2 3x = 4 x Αν ξέρετε ότι οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι x 1 = 1 2 και x 2 = 2, να λύσετε την εξίσωση : 2 3ηµx = 4 ηµ2 x 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 18
19 10ο ιαγώνισµα 1. Να χαρακτηρίσετε καθένα από τα παρακάτω ως Σ(Σωστό) ή Λ(Λάθος) (αʹ) ɛφ(α + β) = ɛφα ɛφβ 1+ɛφα ɛφβ (ϐʹ) συν2α = ηµ 2 α συν 2 α (γʹ) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln( x) είναι το διάστηµα (, 0) (δʹ) Η συνρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 είναι γνησίως ϕθίνουσα. (εʹ) Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. 2. (αʹ) Να δείξετε ότι αν α > 0 µε α 1, τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύουν log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 (ϐʹ) Να δείξετε ότι : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 efα ɛφβ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : (αʹ) 2ηµx = 3 (ϐʹ) ɛφx = 3 (γʹ) 2συν 2 x + 1 = 3συνx Να αποδείξετε ότι : 1 + συν2α + 2ηµ 2 α = 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 19
20 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 2x 2 3x Να ϐρείτε πολυώνυµο Q(x) έτσι ώστε P (x) + Q(x) = 0 2. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο x 1 είναι παράγοντας των πολυωνύµων P (x) και Q(x). 3. Να γράψετε το πηλίκο της διαίρεσης του P (x) + Q(x) µε το P (x) Q(x) Θέµα 4ο 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : (αʹ) 2 5x = (ϐʹ) 2 = 64 x (γʹ) 9 x x + 6 = 0 2. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(x 2 1) 3. Να λυθεί η εξίσωση : log(x + 1) + log x = log 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 20
21 11ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ 2. Να µεταφερθούν στην κόλα σας συµπληρωµένες οι παρακάτω προτάσεις : (αʹ) συνx = συνθ x = ή x = (ϐʹ) ɛφ2α = (γʹ) log α ( θ 1 θ 2 ) = µε α > 0, α 1 και θ 1, θ 2 > 0. (δʹ) log α 1 = , µε α > 0 και α 1 (εʹ) Αν 0 < α < 1 τότε ισχύει : 0 < x 1 < x 2 log α x log α x 2 3. Για κάθε Ϲεύγος πολυωνύµων (x) (διαιρετέος),δ(x) (διαιρέτης) µε δ(x) 0, υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο). (αʹ) Γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης : (ϐʹ) Ποιοι είναι οι περιορισµοί για το υ(x); (x) = ίνεται η παράσταση A(x) = ηµ(2x + π 3 ) + ηµ(2x π 3 ) 1. Να αποδειχθεί ότι : A = ηµ2x 2. Να λυθεί η εξίσωση : A = συνx Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 21
22 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + 4x 2 + x 6 1. Να αποδείξετε ότι x 1 είναι παράγοντας του P (x) 2. Να λυθεί η εξίσωση : P (x) = 0 3. Να λυθεί η ανίσωση : P (x) x 1 > 1 Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(x) = log(2 x 1) 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f(x) 2. Να λυθεί η ανίσωση : log(2 x + 26) > 1 + f(x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 22
23 12ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι :συν2α = 1 2ηµ 2 α 2. Τι ονοµάζουµε και ως συµβολίζουµε τον λογάριθµο ενός ϑετικού αριθµού ϑ ως προς ϐάση α µε α > 0 και α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) ηµ(α + β) = ηµασυνβ συναηµβ. (ϐʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 µε 1 α > 0 και θ 1, θ 2 > 0. (γʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο µή µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. (δʹ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων log α x και y = α x είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x. (εʹ) Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 έχει σύνολο τιµών το R. ίνεται η εξίσωση :αηµ2x+βηµ 2 x 2 = α(1) µε α, β > 0. Αν µια λύση της είναι η x = π 2 : 1. Να αποδειχθεί ότι β = 2α. 2. Αν β = 2α να λυθεί η εξίσωση (1). Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο f(x) = x 3 + αx 2 + βx + 4 µε α, β R. Αν το πολυώνυµο x 1 είναι παράγοντας του f(x) και η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για x = 2 είναι µηδέν : 1. Να υπολογίσετε τις τιµές των α και ϐ. 2. Για α = 1 και β = 4 ϐρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του f(x) µε το x Να λύσετε την εξίσωση x 3 4x = x Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης f(x) = x 3 x 2 4x + 4 ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log 2 (x + 1) Βρείτε το πεδίο ορισµού της. 2. Να ϐρεθούν τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες. 3. Αν το σηµείο A( 1 2, λ) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, δείξτε ότι λ = 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 23
24 13ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή αν και µόνο αν P (ρ) = Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό (Σ) ή µε Λάθος (Λ) (αʹ) Για κάθε γωνία α κπ + π 2 ισχύει 1 + ɛφ2 α = 1 συν 2 α. (ϐʹ) Η εξίσωση x 4 + 4x = 0 έχει τέσσερις ϑετικές ϱίζες. (γʹ) Οι αριθµοί 10, 19, 28, 37 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. (δʹ) Η συνάρτηση µε τύπο f(x) = 2 x τέµνει τον άξονα yy στο A(2, 0). (εʹ) Αν log x = 3 τότε x = Εστω ότι οι αριθµοί α 1 = x 3 + 1, α 2 = 3x 2, α 3 = 11x 7 είναι τρεις πρώτοι όροι αριθµητικής προόδου. 1. Να ϐρεθεί το x. 2. Αν x = 2 να ϐρεθεί ο α 12 και το άθροισµα των είκοσι πρώτων όρων S 20. Θέµα 3ο 1. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις : A = ηµ( π 4 x) συνx ηµxσυν(π 4 x) 2. Να λυθεί η εξίσωση A = B B = ηµx (1 + συν2x) ηµ2x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 24
25 Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln( ex 2 e x + 4 ) 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να λύσετε την εξίσωση : ln( e2x 2e x e x ) = ln 5 ln Να λύσετε την ανίσωση : f(x) > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 25
26 14ο ιαγώνισµα 1. είξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυώνυµου για x = ρ. Είναι δηλαδή : υ = P (ρ). 2. Εστω α ϑετικός αριθµός, α 1. Τι ονοµάζουµε εκθετική συνάρτηση µε ϐάση a; 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση : (αʹ) Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιοδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 (ϐʹ) Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. (γʹ) Ο αριθµός ρ είναι ϱίζα ενός πολυωνύµου P (x) αν και µόνον αν P (ρ) = 0. (δʹ) Κάθε συνάρτηση της µορφής f(x) = α x, α > 1 είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R. (εʹ) Αν α > 0, α 1 και θ > 0 τότε : α log α θ = θ 1. Εστω η πολυωνυµική συνάρτηση f(x) = x 4 + 4x 3 x 2 + αx + β η οποία διαιρείται µε τα πολυώνυµα x + 1 και x 2. (αʹ) είξτε ότι α = 16 και β = 12 (ϐʹ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) τέµνει το x x στα σηµεία A( 3, 0), B( 2, 0), Γ( 1, 0) και (2, 0). 2. Αν µια γεωµετρική πρόοδος έχει πρώτο όρο α 1 την τετµηµένη του σηµείου Α και δεύτερο όρο α 2 την τετµηµένη του σηµείου Γ, δείξτε ότι ο α 20 = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 26
27 Θέµα 3ο 1. Να δείξετε ότι x ln 5 = 5 ln x.x > 0 2. Να λύσετε την εξίσωση : 5 2 ln x = 5 + 4x ln 5 3. Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : και f(x) = 3 5 ln x g(x) = 2 x ln Θέµα 4ο Εστω η συνάρτηση f(x) = (2 α) x, x R, α R. 1. είξτε ότι η συνάρτηση ορίζεται σε όλο το R και είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R όταν α (1, 2) 2. Αν α (1, 2) να λύσετε την ανίσωση f(x 3 + 2) < f(3x) 3. Για α = 3 2 να λύσετε την εξίσωση f(1) = f(ηµx) στο διάστηµα (0, 2π) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 27
28 15ο ιαγώνισµα 1. Να συµπληρωθούν τα κενά : (αʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = (ϐʹ) log α ( θ 1 θ 2 ) = (γʹ) log α θ κ = (δʹ) log 1 = (εʹ) ln e = Το ηµ2α ισούται µε : (αʹ) 2ηµα συνα (ϐʹ) 2συν 2 α 1 (γʹ) συν 2 α ηµ 2 α (δʹ) 1 2ηµ 2 α Να λυθεί η εξίσωση e 2x = e x+1 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 3x 2 +2x+7. Να υπολογίσετε το P (0) και να εξετάσετε αν ο αριθµός 1 είναι ϱίζα του πολυωνύµου. Θέµα 4ο Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης συν110 o συν70 o ηµ110 o συν70 o Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 28
29 16ο ιαγώνισµα 1. Να δώσετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου 2. Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της αριθµητικής προόδου είναι : α ν = α 1 + (ν 1) ω 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε το Σ(σωστό ) ή Λ (λάθος). (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x ορίζεται για x > 0 (ϐʹ) Ισχύει η ισοδυναµία ln θ e x = θ (γʹ) Ισχύει : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 (δʹ) Αν το πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα x ρ τότε P (ρ) = 0 Αν το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx 2 + βx 8, όπου α, β R έχει παράγοντα το x + 2 και ϱίζα τον αριθµό 1: 1. Να ϐρείτε τους α,β 2. Για α = 5, β = 2 να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση : 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού. 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 3. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > f(1) f(x) = log(11x 2 7x + 10) log x 2 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 29
30 Θέµα 4ο Ο έκτος όρος αριθµητικής προόδου είναι α 6 = 7 και ο δέκατος α 10 = Να ϐρείτε τον όρο α 1 και την διαφορά ω. 2. Αν α 1 = 3, ω = 2 να ϐρείτε : (αʹ) τον α 1007 και (ϐʹ) το άθροισµα α 20 + α α 50 (γʹ) Να λύσετε την εξίσωση : e x 2e x + α 3 = 0, όπου α 3 είναι ο τρίτος όρος της παραπάνω αριθµητικής προόδου. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 30
31 17ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P (ρ). 2. Να γράψετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου. 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στη κόλλα σας δίπλα στον αριθµό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη : (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα (0, + ) (ϐʹ) Κάθε σταθερό και µη µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν (γʹ) Η συνάρτηση f(x) = e x έχει πεδίο ορισµού το R. (δʹ) Αν α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε β = α+γ 2 (εʹ) Ισχύει ότι ln e = 0 ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 3 7x + 3α και Q(x) = x 2 3x + β όπου α, β R. Αν το x 1 είναι παράγοντας του P (x) και ο αριθµός 2 είναι ϱίζα του πολυωνύµου Q(x) τότε : 1. Να ϐρεθούν τα α,β. 2. Για α = β = 2 (αʹ) Να λυθεί η εξίσωση P (x) = Q(x). (ϐʹ) Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση του P (x) να ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 31
32 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log(2 x 1) 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να λυθεί η ανίσωση log(2 x + 26) > 1 + f(x). 3. Να ϐρείτε τις τιµές του x ώστε οι όροι : log 2, f(x), log(2 x + 3) µε τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Θέµα 4ο Σε µια γεωµετρική πρόοδο α 1, α 2, , α ν ο τέταρτος, ο πέµπτος, και ο έκτος όρος είναι οι αριθµοί : 2, ηµα, ηµα αντίστοιχα όπου α (0, π). 1. Να δείξετε ότι α = π 2 2. Να ϐρείτε τον πρώτο όρο α 1 και το λόγο λ της γεωµετρικής προόδου. 3. Να ϐρείτε τον όρο της προόδου που είναι ίσος µε Να αποδείξετε ότι :. α 2 + α α 10 = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 32
33 18ο ιαγώνισµα 1. ίνεται η συνάρτηση f(x) = ηµx. Κάντε έναν πίνακα τιµών της, την γραφική της παράσταση στο διάστηµα [0, 2π] και αναφέρατε αν είναι γνησίως αύξουσα ή ϕθίνουσα στα διαστήµατα [0, π 2 ], [ π 2, 3π 2 ], [ 3π 2, 2π] 2. Είναι Σωστές ή Λάθος οι ακόλουθες προτάσεις (αʹ) εν ορίζεται ɛφ0 o (ϐʹ) Αν P (ρ) = 0, τότε το ρ λέγεται ϱίζα του πολυωνύµου P (x). (γʹ) Για α 0 και ν ℵ ισχύει α ν = 1 α ν (δʹ) Η f(x) = α x, µε α > 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R. (εʹ) log 10 = 1 (ϛʹ) Αν α > 0, α 1, τότε log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + α 2 x 2 + 3x 4α. 1. Αν το P (x) έχει ως ϱίζα το 1, να ϐρείτε το α. 2. Για α = 2, ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 2 + x α. Θέµα 3ο ίνεται η εξίσωση log x 2 = log(4 3x). 1. Να λυθεί η εξίσωση. 2. Αν x 1 ονοµάσετε την µεγαλύτερη από τις λύσεις της να αποδείξετε ότι 17 log x log 10 log 100 = 1 Θέµα 4ο Να λύσετε την εξίσωση x 3 + 3x 2 2x 2 = x 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 33
34 19ο ιαγώνισµα 1. Αποδείξτε ότι το άθροισµα των ν πρώτων όρων µιας γεωµετρικής προόδου (α ν ) µε λόγο λ είναι S ν = α 1 λν 1 λ 1 Ποιο είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων αν λ = 1; 2. Χαρακτηρίστε µε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις : (αʹ) Ενα σταθερό πολυώνυµο έχει ϐαθµό 0. (ϐʹ) Αν ο ακέραιος ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου ενός πολυωνύµου P (x) µε ακέραιους συντελεστές, τότε ο ρ είναι ϱίζα του P (x). (γʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < a 1 έχει σύνολο τιµών το R (δʹ) Η συνάρτηση g(x) = ln x έχει πεδίο ορισµού το (0, + ). Εστω το πολυώνυµο P (x) = x 3 2αx + β 2 1 το οποίο έχει παράγοντα το x και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x). µε το x + 1 είναι Να ϐρεθούν τα α και ϐ. 2. Για α = 2 και β = 1 (αʹ) Να γίνει η διαίρεση του P (x) µε το x + 1 και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. (ϐʹ) Να λυθεί η ανίσωση P (x) > 0. Θέµα 3ο Εστω ότι οι αριθµοί α = x 4, β = x + 4, γ = 3x 4 µε τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. 1. Να ϐρεθεί η τιµή του x 2. Για x = 8 (αʹ) Αν ο ϐ είναι ο έκτος όρος της προόδου να ϐρεθεί ο πρώτος όρος. (ϐʹ) Να ϐρεθεί το άθροισµα των 10 πρώτων όρων. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(e x 2). 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της. 2. Αν η γραφική παράσταση της f περνά από το σηµείο A(ln 3, 1): (αʹ) Να αποδείξετε ότι α = 1 (ϐʹ) Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τον xx. (γʹ) Να λύσετε την ανίσωση f(2x) f(x) > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 34
35 20ο ιαγώνισµα 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = ( 1 α )x, α < 1 είναι γνησίως αύξουσα. (ϐʹ) Αν α,γ,β τρεις διαδοχικοί όροι µιας γεωµετρικής προόδου τότε ο α γ είναι ο γεωµετρικός µέσος των τριών αυτών αριθµών (γʹ) Ισχύει 9 = ln e 9 2 (δʹ) Η εξίσωση συνx = 2 έχει ακριβώς µία λύση στους πραγµατικούς αριθµούς. (εʹ) Αν α < β τότε ln α < ln β. 2. Να γράψετε τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου. 3. Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ τότε το ρ είναι ϱίζα του πολυωνύµου, δηλαδή P (ρ) = ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx + 6.Αν γνωρίζω ότι το x 1 είναι ένας παράγοντας του πολυωνύµου τότε να ϐρεθεί η τιµή του α. 2. Για α = 7, να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυµο P (x). 3. Να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0. Θέµα 3ο 1. Ο ν-ος όρος µίας ακολουθίας δίνεται από τον τύπο α ν = 3 2ν. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω = Να ϐρεθεί ποιος είναι ο 10ος όρος της ακολουθίας. 3. Πόσους όρους χρειάζοµαι για να πάρω άθροισµα 80; ( ίνεται 324 = 18) 4. Να λυθεί η εξίσωση : Θέµα 4ο ω + 1 ω = x2, όπου ω η διαφορά της παραπάνω ακολουθίας. ίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(e x 1 1) 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 2. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = ln(e 1) 3. Να λυθεί η ανίσωση : f(x 2 + 6) < ln(e 5x 1 1) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 35
36 21ο ιαγώνισµα 1. Αν 0 < α 1, τότε για οποιουσδήποτε αριθµούς θ 1, θ 2 > 0, να αποδείξετε ότι ισχύει : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 2. Να δώσετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου. 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή. ή Λάθος, αν είναι λανθασµένη. (αʹ) e x = θ ln θ = x, θ > 0 (ϐʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x, µε α > 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R. (γʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο πολυωνύµων είναι πάντα ίσως µε το γινόµενο των ϐαθµών τους. (δʹ) Ο ν-ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι α ν = α 1 + (ν + 1) ω (εʹ) Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. Αν α 4 = 2συνx, α 5 = 4συνx + 3, α 6 = 3, x (0, π) είναι ο τέταρτος, πέµπτος και ο έκτος όρος αντίστοιχα µιας αριθµητικής προόδου, τότε : 1. Να ϐρείτε τον πρώτο όρο α 1 και την διαφορά ω της παραπάνω προόδου. 2. Να υπολογίσετε το άθροισµα A = α 21 + α α 49 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = ln 2 x 2+x. 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της. 2. Να αποδείξετε ότι f(x) + f( x) = 0, για κάθε τιµή του x που ανήκει στο πεδίο ορισµού της f. 3. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : A = f( 1 5 ) + f( 1 4 ) + f( 1 3 ) + f( 1 2 ) + f(0) + f(1 2 ) + f(1 3 ) + f(1 4 ) + f(1 5 ) 4. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + 1 2f( x) = f( 1) Θέµα 4ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 (ln α)x 2 + (ln α 2 )x 3, α > 0 1. Αν είναι γνωστό ότι το x 1 είναι παράγοντας του P (x) να ϐρείτε το α. 2. Για α = e, (αʹ) Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 (ϐʹ) Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης P (x) ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. (γʹ) Αν κ = ln 2 1 και λ = log log 3 να αποδείξετε ότι P (κ) P (λ) < 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 36
37 22ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε του τύπους : (αʹ) συν2α = 2συν 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α (ϐʹ) ηµ 2 α = 1 συν2α 2 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη : (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x, 0 < α < 1 είναι γνησίως ϕθίνουσα. (ϐʹ) Η συνάρτηση f(x) = ln x έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R. (γʹ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ = log α x και ψ = α x µε 0 < a 1 είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία που διχοτοµεί τις γωνίες xoψ και xoψ. (δʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δυο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. (εʹ) Ενα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή αν και µόνο αν P (ρ) = Να συµπληρώσετε στο τετράδιο σας, τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω ισότητες : (αʹ) log α α x = όπου 0 < α 1 (ϐʹ) ln θ = x e... = (γʹ) ηµ2α = (δʹ) Αν όλοι οι συντελεστές ενός πολυωνύµου P (x) είναι ίσοι µε µηδέν τότε το P (x) είναι ίσο µε το Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 37
38 Να αποδείξετε ότι : 1. συν(α β) συν(α + β) = ɛφα ɛφβ συν(α β) + συν(α + β), για όλες τις τιµές των α και ϐ που ορίζεται η παράσταση. 2. Να λυθεί η εξίσωση συν(x π 3 ) συν(x + π 3 ) συν(x π 3 ) + συν(x + π 3 ) = 3 Θέµα 3ο, για x κπ + π 2, κ Z ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 3 2x 2 5x + α και Q(x) = x 2 + x + β. Αν το P (x) έχει ϱίζα τον αριθµό 3 και το Q(x) έχει παράγοντα το x + 1 τότε : 1. Να αποδείξετε ότι α = 6 και β = 0 2. Για α = 6 να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 3. Για α = 6 και β = 0 (αʹ) Να γίνει η διαίρεση του P (x) δια του Q(x) και να γραφεί η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. (ϐʹ) Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = log(2 2x 8) και g(x) = log(4 + 2 x ). 1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των f και g 2. Να λυθεί η ανίσωση : f(x) > g(x) 3. Να λυθεί η εξίσωση : 2f( x 2 ) = g(x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 38
39 23ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι : αν α > 0, α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει :log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Ο ν-οστός όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι α ν = α 1 + ν ω. (ϐʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (q) µε τοx ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P (ρ). (γʹ) Το άθροισµα δύο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι µη µηδενικό πολυώνυµο, τότε ο ϐαθµός του είναι ίσος µε το µέγιστο των ϐαθµών των δύο πολυωνύµων. (δʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ). 3. Να µεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις συµπληρώνοντας τα κενά. (αʹ) Ισχύει η ισοδυναµία : συνx = συνθ (ϐʹ) Για κάθε θ > 0 ισχύει η ισοδυναµία : ln θ = x (γʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x, µε 0 < α 1 έχει πεδίο ορισµού το και σύνολο τιµών το ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 9x x + κ, όπου κ R. 1. Αν ο αριθµός 2 είναι ϱίζα του P (x), να ϐρείτε την τιµή του κ. 2. Για κ = 4 να λύσετε την εξίσωση :P (x) = Να λύσετε την εξίσωση :2ηµ 3 ω 9ηµ 2 ω = 4 12ηµω Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 39
40 Θέµα 3ο ίνονται οι αριθµοί α = 1, β = e 3x, γ = 3e 2x και η εξίσωση : 2ψ 3 3ψ = 0 (1.1) 1. Να λύσετε την εξίσωση (1). 2. Να ϐρείτε την τιµή του x ώστε οι αριθµοί α, β, γ να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. 3. Για x = 0 να υπολοδιστεί η διαφορά ω της παραπάνω αριθµητικής προόδου. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 + ln(x 1) 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να λύσετε την εξίσωση :f(x) = x 2 + [ln(x 1)] (αʹ) Να δείξετε ότι ισχύει : f(e x + 1) = e x + x 1 για κάθε x R (ϐʹ) Να λύσετε την ανίσωση f(e x + 1) > e 2x 10 + x 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 40
41 24ο ιαγώνισµα 1. ώστε τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου. 2. Αν 0 < α 1, θ > 0, κ R να αποδείξετε ότι log α θ κ = κ log α θ 3. (αʹ) Να συµπληρώσετε τα δεύτερα µέλη, ώστε να προκύψουν ισότητες : i. log α (θ 1 θ 2 ) = ii. log α ( θ 1 θ 2 ) = iii. log α α x = iv. log α 1 = v. log α α = µε θ 1, θ 2 > 0 και 0 < α 1 (ϐʹ) Να γράψετε τους τύπους : i. του αριθµητικού µέσου ϐ των α, γ, όταν α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. ii. του γεωµετρικού µέσου ϐ των α, γ, όταν α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Εστω το πολυώνυµο P (x) = x 3 2αx 2 + βx + 4 το οποίο έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 2 είναι Να ϐρείτε τις τιµές των α και β. 2. Για α = 1 και β = 7 ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x Για α = 1 και β = 7 να λύσετε την ανίσωση P (x) > 4x + 10 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 41
42 Θέµα 3ο Αν σε µια γεωµετρική πρόοδο είναι λ = 2, α ν = 96 και S ν = 189 να ϐρείτε : 1. Το πλήθος των όρων της 2. Τον πρώτο όρο της 3. Το άθροισµα S = α 1 + α 3 + α α 101 Θέµα 4ο Εστω η συνάρτηση f(x) = 2 ln(x 1) 1 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να ϐρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0 και να κάνετε τον πίνακα προσήµου της f. 3. Να ϐρείτε τα διαστήµατα που η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα xx. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 42
43 25ο ιαγώνισµα 1. Αν 0 < α 1 και θ 0 να δειχτεί ότι για κάθε κ R ισχύει ότι : log α θ κ = κ log α θ 2. Πότε µια ακολουθία (α ν ), ν N λέγεται αριθµητική πρόοδος 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος, γράφοντας στο ϕύλλο απαντήσεών σας δίπλα στον αριθµό της πρότασης την κατάλληλη από τις παραπάνω ενδείξεις που νοµίζετε. (αʹ) Κάθε σταθερό µη µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν. (ϐʹ) Αν 0 < α 1 και θ > 0 Η εξίσωση α x = θ έχει περισσότερες από µία λύσεις. (γʹ) Αν θ > 0 τότε ισχύει ln e θ = θ (δʹ) Το σύνολο τιµών της παράστασης f(x) = log x είναι το διάστηµα (0, + ). (εʹ) Για οποιουσδήποτε όρους α, ϐ, γ µιας αριθµητικής προόδου ισχύει 2β = α+γ. ίνονται οι αριθµοί 1, ηµ 2 x, συνx, x (0, π 2 ) 1. Αν µε την σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να δείξετε ότι x = π Για x = π 3 (αʹ) να ϐρείτε τους τρείς παραπάνω αριθµούς και να δείξετε ότι η διαφορά ω της αριθµητικής προόδου στην οποία ανήκουν είναι ω = 1 4 (ϐʹ) Αν ο δέκατος όρος της αριθµητικής προόδου είναι το 1 4 να δείξετε ότι ο πρώτος όρος είναι το Να ϐρείτε το άθροισµα όλων των όρων της αριθµητικής προόδου που ϐρίσκονται ανάµεσα στον έβδοµο και τον δέκατο έβδοµο όρο. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 43
44 Θέµα 3ο ίνεται η πολυωνυµική συνάρτηση : f(x) = (10 log 2 2)x log θ x 3 4x 2 x log θ + 1 µε θ > 0. Να δείξετε ότι : 1. Η πολυωνυµική συνάρτηση είναι τρίτου ϐαθµού. 2. Αν το x 1 είναι παράγοντας της πολυωνυµικής συνάρτησης τότε θ = Για θ = 10, πολυωνυµική συνάρτηση έχει τη µορφή f(x) = 2x 3 4x 2 x Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f να µην ϐρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση, της g(x) = x 1. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log log log log x 1 x µε q > 1. Να δείξετε ότι : 1. f(x) = log x 2. 2f( α+β 2 ) f(α) + f(β) 3. Να λύσετε την ανίσωση [f(x)] 2 + f(x 2 ) > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 44
45 26ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P (ρ) 2. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες, έτσι ώστε να προκύψουν οι λύσεις των εξισώσεων : (αʹ) ηµx = ηµω x = ή x = (ϐʹ) συνx = συνω x = ή x = Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Το µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν. (ϐʹ) Αν οι αριθµοί α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου τότε ισχύει : β = α+γ 2. (γʹ) Ο ν-οστός όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω, είναι ο : α ν = α 1 + (ν 1) ω. (δʹ) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = log x είναι το R. (εʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x είναι πάντα γνησίως αύξουσα. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 6x 2 + αx + β το οποίο έχει παράγοντα το x 1 και όταν διαιρείται µε το x + 1 δίνει υπόλοιπο Να δείξετε ότι : α = 11, β = 6 2. Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 3. Να λύσετε την ανίσωση P (x) 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 45
46 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = (3 α+1 ) x, x R και α Αν το σηµείο M(1, 3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, να ϐρείτε το α. 2. Για α = 0 να λύσετε τις εξισώσεις : (αʹ) f(x) + f(2x) = 2 (ϐʹ) f(2ηµx) = 3 Θέµα 4ο ln x 1 ln x. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης. 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = Να ϐρείτε τις τιµές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα xx. 4. Αν α ν αριθµητική πρόοδος µε πρώτο όρο α 1 = f(e 2 ) και διαφορά ω = f(e 3 ) να ϐρείτε τον α 21. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 46
47 27ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι : Ενα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ, αν και µόνο αν, το ρ είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή αν και µόνο αν P (ρ) = Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις : (αʹ) log(θ 1 θ 2 ) = (ϐʹ) log( θ 1 θ 2 ) = (γʹ) log θ κ = όπου θ, θ 1, θ 2 > 0 3. Να χαρακτηρίσετε µε Σωστό ή Λάθος κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις : (αʹ) Η συνάρτηση ψ = ηµx είναι περιοδική µε περίοδο 2π. (ϐʹ) Η συνάρτηση ψ = ηµx είναι γνησίως αύξουσα το [0, π 2 ) (γʹ) Αν ɛφx = ɛφθ τότε x = θ (δʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P (x) δια του x + ρ είναι υ = P (ρ) (εʹ) Αν P (ρ) 0 τότε το P (x) δεν έχει παράγοντα το x ρ. (ϛʹ) Αν α x 1 < α x 2 τότε x 1 < x 2 για κάθε α > 0 (Ϲʹ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = α x τέµνει τον άξονα ψ, ψ στο σηµείο A(0, 1) για κάθε α > 0. ίνονται τα πολυώνυµα :P (x) = (κ µ)x 3 µx 3 και Q(x) = 2x 3 + (2κ 1)x + µ 2 που είναι ίσα. 1. Να δείξετε ότι : κ = 1, µ = 1 2. Για τις παραπάνω τιµές να ϐρεθεί το πολυώνυµο P (x). 3. Να δείξετε ότι το x = 1 είναι ϱίζα του P (x) και µάλιστα η µοναδική. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 47
48 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2 1 x2, µε x R. 1. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα xx για κάθε τιµή του x. 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 1 3. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 1 32 Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις g(x) = ηµx και h(x) = συν(ln x 3π). 1. Να δείξετε ότι g(e π 2 ) + g(e π ) = 2 g(e π 6 ) 2. Να ϐρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τον άξονα xx. 3. Να ϐρείτε το κοινό σηµείο(ή τα κοινά σηµεία) των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και h στο διάστηµα [1, e π ]. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 48
49 Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Καζαντζής Αλγεβρα Ιστοσελίδες
50
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα
x 1 δίνει υπόλοιπο 24
ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3. Δίνεται το πολυώνυμο P() 6 α β το οποίο έχει παράγοντα το και όταν διαιρείται με το δίνει υπόλοιπο i. Να δείξετε ότι: α και β 6 ii. Να λύσετε την εξίσωση
Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου
Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log
ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ.
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3συν x 5 είναι 5π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται
1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +
K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του
θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι
1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ 9 /05/ 01 Προαγωγικές Εξετάσεις Β τάξης Εξεταζόμενο μάθημα : Άλγεβρα Σελίδες : (ΔΥΟ) ΘΕΜΑ 1 ο Α. Αν 0, 1 και, 1 θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι log a 1 log 1 log (15 μονάδες)
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Β' Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Α1. Στο επόμενο σχήμα βλέπετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τους άξονες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων,
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Συστήµατα 1.1 Μη γραµµικά συστήµατα........................ Ιδιότητες συναρτήσεων 3.1 Μονοτονία,
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ). 1 5 Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις.. i) Η f έχει πεδίο
1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {
ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=
ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ B. Β.1. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α(π,4) και Β(-2π,6) ανήκουν στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α Α.1. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 175 του σχολικού βιβλίου. Α.. Η διατύπωση του ορισμού βρίσκεται στη σελίδα 163 του σχολικού βιβλίου «εκθετική συνάρτηση». Α.3. i) Λάθος ii) Λάθος iii) Σωστό
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 23/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 3/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα
Px α x α x... α x α. Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο
Αµυραδάκη, Νίκαια (1-493576) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001
Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι
1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω Ρ(x) ένα πολυώνυµο του x και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(x) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1
1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.
Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η
Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
1. Αν είναι. 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: 3. Αν α= 4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση ηµα.συνβ=1+συνα.ηµβ, δείξτε
Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ο Μ Ε Τ Ρ Ι Α Αν είναι π π α < β <
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ
ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,
lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι
Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα
Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...
i. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο Σ Λ iii. Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το x-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0 Σ Λ
1 0 ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝ.ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.. ΘΕΜΑ Α Α 1. Να αποδείξετε ότι ημ ω+συν ω=1 Μον 10 Α. Να σημειώσετε το
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)
Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1
Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος 014-15 ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1 Α ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λυθούν γραφικά τα συστήματα: y y6 y 5 1 : 1 : 3 : y 6 0 y 5
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10
ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Μαθηματικά B Λυκείου
Επαναληπτικά Θέματα ΟΕΦΕ (Προσομοίωσης Εξετάσεων) 00-06 Μαθηματικά B Λυκείου εκφωνήσεις και απαντήσεις από τον parmenides5 χωρίς υδατογραφήματα* *τα υδατογραφήματα τα έβγαλα μόνος μου και δεν τα βρήκα
θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο f (x) = 2 (Σχ.1) είναι. Γ το διάστηµα ( 0,
Κεφάλαιο 4ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο f () = 2 (Σχ.1) είναι Α. το διάστηµα [ 0, Β. το διάστηµα Γ. το σύνολο R ( 0,. το σύνολο R - {1}
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )
5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους
(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. 1. Στο σχήμα 23 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Κεφάλαιο 4ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) =. 5 Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Σχ. i)
ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Λάθος, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος,
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος
1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β4 Έστω η συνάρτηση f ( ) = A( ) B( ) Βρείτε τη µέγιστη
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Μ Τετάρτη 7 Απριλίου 06 ιάρκεια Εξέτασης:
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α
Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6
<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>
Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε