ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ )

2 Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015

3 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία Βιβλία 49 Βιβλία 49 Ιστοσελίδες 49 Ιστοσελίδες 49

4

5 1. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1ο ιαγώνισµα 1. Να δειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ, δηλαδή υ = P (ρ). 2. Ερωτήσεις Πολλαπλής επιλογής. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση για κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις : (αʹ) Από τους παρακάτω τύπους : i. συν2a = 1 2ηµ2 a ii. συνa = 2συν 2 a2 1 iii. συν 2 a = 1 συν2a 2 σωστοί είναι : i. µόνο ο πρώτος ii. µόνο ο δεύτερος iii. ο πρώτος και ο δεύτερος iv. ο πρώτος και ο τρίτος v. όλοι (ϐʹ) Αν οι αριθµοί α1, β1, γ1 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής πρόοδου, τότε α+γ i. β1 = 2 2 ii. β1 = α+γ iii. β2 = α1 + γ1 β iv. 2 = α1 + γ1 v. β1 = α2 + γ2 (γʹ) Εστω η συνάρτηση f (x) = 2x. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή i. η f έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα (0, ) ii. η f έχει σύνολο τιµών το σύνολο R iii. η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο πεδίο ορισµού της iv. η γραφική παράσταση τέµνει τον x0 x στο σηµείο A(1, 0)

6 v. η γραφική της παράσταση έχει ασύµπτωτη τον αρνητικό ηµιάξονα των x. 3. Ερωτήσεις συµπλήρωσης Αν α, θ > 0 και α 1, να συµπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω ισότητες : (αʹ) log α 1 =... (ϐʹ) log α α =... (γʹ) log α α =... 1 (δʹ) log α α =... (εʹ) log α α x =... (ϛʹ) α log α θ =... Να λυθεί το σύστηµα : { log x + log ψ = 1 3 x 2 9 ψ 4 = 9 Θέµα 3ο 1. Αν οι αριθµού α 1 = 2ηµ2θ, α 2 = 2συνθ, α 3 = ɛφθ, µε θ (0, π 2 ) είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου να αποδειχθεί ότι θ = π Να ϐρεθεί ο λόγος λ και οι τέσσεροις πρώτοι όροι της πρόοδου. Θέµα 4ο 1. Να ϐρεθούν οι τιµές των α, β R, ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 3 + 2αx β + α να έχει παράγοντα το x + 3 και το υπόλοιπο τις διάρεσης αυτού µε το x + 1 να είναι Αν είναι α = 7 και β = 8 (αʹ) να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 (ϐʹ) να λυθεί η ανίσωση P (x) > 15 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 6

7 2ο ιαγώνισµα 1. Αν α, β γωνίες µε συνα 0, συνβ 0, συν(α + β) 0, να αποδειχθεί ότι ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Αν ɛφθ = α, τότε οι λύσεις της εξίσωσης ɛφx = α δίνονται από τον τύπο x = κπ + θ, όπου κ Z (ϐʹ) Αν α, β τυχαίες γωνίες, τότε ισχύει : συν(α β) = συνα συνβ ηµα ηµβ (γʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε το P (ρ). (δʹ) Τρείς αριθµού α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν ισχύει 2β = α + γ. (εʹ) Αν θ 1, θ 2 > 0, τότε ισχύει log(θ 1 + θ 2 ) = log θ 1 + log θ 2 (ϛʹ) Εστω θ > 0. Αν log θ = x, τότε 10 x = θ. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 21x x Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner να κάνετε τη διαίρεση 2. Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0. P (x) : (x 11) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 7

8 Θέµα 3ο ίνεται η αριθµητική πρόοδος (α ν ) µε α 3 = 19, α 7 = Να αποδείξετε ότι α 1 = 13 και ω = Να υπολογίσετε το άθροισµα α 8 + α α Να ϐρείτε τον Κ για τον οποίο οι α 1, α 14, α κ, είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Θέµα 4ο 1. Να λύσετε την εξίσωση 3 3u 19 9 u u+2 81 = Να λύσετε στο διάστηµα [0, 2π] την εξίσωση 3 3συνx 19 9 συνx συνx+2 81 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

9 3ο ιαγώνισµα 1. Αν α ν γεωµετρική πρόοδος µε λ 1, να αποδειχθεί ότι το άθροισµα των ν πρώτων όρων S ν δίνεται από τη σχέση : S ν = α 1 λν 1 λ 1 2. Ερωτήσεις πολλαπλής επολογής. Στις επόµενες προτάσεις να µεταφέρετε στο γραπτό σας τον αριθµό τους και δίπλα ακριβώς, το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. (αʹ) Η παράσταση ηµα ηµ3α + συνα συν3α ισούται µε : i. ηµ2α ii. συν2α iii. συν4α iv. συν2α (ϐʹ) Αν (x), δ(x), π(x) και υ(x) µη µηδενικά πολυώνυµα για τα οποία ισχύουν : (x) = δ(x) π(x) + υ(x) και ϐαθµός του υ(x) µικρότερος του ϐαθµού του δ(x), τότε από τις παρακάτω προτάσεις : i. ϐαθµόςδ(x)+βαθµόςπ(x) =ϐαθµός (x) ii. Το υπόλοιπο της διαίρεσης (x) : π(x) είναι υ(x) iii. ϐαθµόςπ(x) <ϐαθµός (x) σωστές είναι : i. µόνο η πρώτη ii. µόνο η δεύτερη iii. η πρώτη και η δεύτερη iv. η πρώτη και η τρίτη (γʹ) Η παράσταση ɛφα ηµ3α 1+ɛφα ɛφ3α ισούται µε : i. ɛφ4α ηµα ηµ3α ii. 1+συνα συν3α iii. ɛφ2α iv. 2ɛφα (δʹ) Το πολυώνυµο P (x) = αx 3 + βx 2 + 3x + α: i. είναι ϐαθµού 3 ii. είναι ϐαθµού 2 αν α = 0 iii. Εχει ϱίζα το 0 αν β = 0 iv. έχει ϱίζα το 1 αν β = 3. (εʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x: i. έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. ii. είναι γνησίως ϕθίνουσα στο πεδίο ορισµού της iii. η γραφική παράσταση τέµνει τον xx στο σηµείο A(1, 0) iv. Η γραφική παράσταση έχει ασύµπτωτη τον ϑετικό ηµιάξονα Ox. (ϛʹ) Αν α,β,γ διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε : i. β = α+γ ii. γ β = β α 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

10 β iii. α = β α iv. 2 β = 1 α + 1 γ 1. Να δείξετε ότι : ηµ(2x π 4 )συν(x + π 4 ) + ηµ(x + π 4 )συν(2x π 4 ) = ηµ3x 2. Να λυθεί η εξίσωση : ηµ(2x π 4 )συν(x + π 4 ) + ηµ(x + π 4 )συν(2x π 4 ) = ηµx Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10

11 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + (λ 1)x 2 + (2λ 3)x + 3 3λ 1. Να αποδειχθεί ότι έχει παράγοντα το x 1 για κάθε x R 2. Να ϐρεθεί ο λ R αν ο αριθµός 2 είναι ϱίζα του P (x). 3. Για λ = 1 να λυθεί η εξίσωση : P (x) = 0 Θέµα 4ο 1. Να αποδειχθεί ότι οι αριθµοί : log 2, log(2 2), log 4 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου της οποίας να ϐρεθεί η διαφορά. 2. Να αποδειχθεί ότι το άθροισµα των 9 πρώτων όρων αυτής είναι : S 9 = 27 log 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11

12 4ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ, δηλαδή υ = P (ρ). 2. (αʹ) Να δώσετε τον ορισµό της λογαριθµικής συνάρτησης. (ϐʹ) Να γράψετε στο τετράδιό σας την ένδειξη Σ αν είναι σωστή. ή Λ αν είναι λαν- ϑασµένη για κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις : i. ηµ2α = ηµα συνα ii. Αν α > 0 και α 1 τότε για κάθε x R και για κάθε θ > 0 ισχύει ότι : Αʹ. log α α = α Βʹ. α log α θ = θ iii. Αν α > 0 και α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει ότι : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 iv. Κάθε σταθερό και µη µηδενικό πολυνώνυµο είναι 1ου ϐαθµού. 1. Να αποδείξετε ότι 2. Να λυθεί η εξίσωση ηµ2α 1 + συν2α = ɛφα ηµ2x 1 + συν2x = 1 3. Να ϐρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστηµα [0, 2π] Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 (α + 1)x 2 + (α 1)x + 2 το οποίο έχει παράγοντα το x Να ϐρείτε την τιµή του α R 2. Για α = 2 να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P (x) µε το x Να λύσετε την εξίσωση P (x) = x 2 Θέµα 4ο Εστω η συνάρτηση f(x) = κ + log(x 2 3), κ R 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. 2. Να υπολογίσετε την τιµή του κ ώστε f(2) = log Για κ = 2 (αʹ) Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε ψ = log (ϐʹ) Να λυθεί η f(x) > 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 12

13 5ο ιαγώνισµα 1. Αν συνα 0, συνβ 0, συν(α + β) 0 να αποδείξετε ότι : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ 2. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις : (αʹ) συν2α = συν 2 α ηµ 2 α = 2συν 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α (ϐʹ) Η εξίσωση 7x x x 12 = 0 έχει ϱίζα τον αριθµό 1 (γʹ) Αν θ > 0 τότε ln θ = x e x = θ (δʹ) Το πολυώνυµο P (x) = 3x 3 + 7x 2 4x 3x είναι 2 oυ ϐαθµού. (εʹ) Αν θ 1, θ 2 > 0, τότε ln( θ 1 θ 2 ) = ln θ 1 ln θ 2 Για τις γωνίες α,β ισχύουν ότι : π 2 α π και 0 β π 2. Αν ηµα = 4 5 τότε 1. Να αποδείξετε ότι : ηµ(α + β) = Να αποδείξετε ότι : συν(α + β) = Να αποδείξετε ότι : ɛφ2α = 24 7 Θέµα 3ο και συνβ = 12 13, ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 4 + αx 3 + βx 2 x 2. Αν το πολυώνυµο P (x) έχει ως παράγοντες του x 1 και x + 1, τότε : 1. Να αποδείξετε ότι : α = 1 και β = Αν α = 1 και β = 3 να λύσετε την εξίσωση P (x) = Αν α = 1 και β = 3 να λύσετε την ανίσωση P (x) 0. Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e 2x 2e x + 5) και g(x) = ln 5 + ln(e x 1). 1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f(x) και g(x). 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). 3. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < g(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13

14 6ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι συν2α = 1 2ηµ 2 α. 2. Τι ονοµάζουµε και πως συµβολίζουµε τον λογάριθµο ενός ϑετικού αριθµού ϑ ως προς ϐάση το α µε α > 0 και α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) ηµ(α + β) = ηµα συνβ συνα ηµβ. (ϐʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2, µε 1 α > 0 και θ 1, θ 2 > 0. (γʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο µή µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. (δʹ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων log α x και y = α x είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x. (εʹ) Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 έχει σύνολο τιµών το R. ίνεται η εξίσωση : αηµ2x + βηµ 2 x 2 x = π 2 : 1. Να αποδείξετε ότι β = 2α. 2. Αν β = 2α να λυθεί η εξίσωση. = α µε α > 0, β > 0. Αν µια λύση της είναι η Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο f(x) = x 3 + αx 2 + βx + 4 µε α, β R. Αν το πολυώνυµο x 1 είναι παράγοντας του f(x) και η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για x = 2 είναι µηδέν : 1. Να υπολογίσετε τις τιµές των α και ϐ. 2. Για α = 1, β = 4 να ϐρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του f(x) µε το x Να λύσετε την εξίσωση x 3 x 2 4x + 4 = Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης f(x) = x 3 x 2 4x + 4 ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log 2 (x + 1) Βρείτε το πεδίο ορισµού της. 2. Να ϐρεθούν τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες/ 3. Αν το σηµείο A( 1 2.λ) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, να δείξετε ότι λ = 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14

15 7ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι ɛφ(α + β) = ɛφα+ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ, µε συν(α + β) 0 και συνα συνβ ίνεται η συνάρτηση f(x) = α x, µε α > 1. Να γραφεί το πεδίο ορισµού το σύνολο τιµών και η µονοτονία της συνάρτησης f. 3. Να µεταφερθούν στο γραπτό σας συµπληρωµένες οι παρακάτω προτάσεις ή τύποι : (αʹ) συν2α =... (ϐʹ) Αν P (ρ) = 0 τότε ο ρ λέγεται του πολυωνύµου P (x) και x ρ είναι του πολυωνύµου P (x). (γʹ) log α θ κ = (δʹ) log α α =......, log α 1 = Να ϐρεθούν οι α, β R ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 4 αx 3 + βx 4 να έχει παράγοντες τα πολυώνυµα x + 1, x Για α = 1 και β = 2 να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0. Θέµα 3ο 1. Να αποδειχθεί ότι : 2. Να λυθεί η εξίσωση : 1 + ηµ2x συν2x συν2x = 1 + ηµ2x συν2x συν2x 2ηµx συνx ηµx = 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15

16 Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις µε τύπο f(x) = log(2 2x 8) και g(x) = log(2 x + 4). 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των f, g. 2. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = Να λυθεί η ανίσωση f(x) > g(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16

17 8ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθούν : (αʹ) συν2α = συν 2 α ηµ 2 α (ϐʹ) συν2α = 1 2ηµ 2 α 2. Να µεταφερθούν στην κόλα σας συµπληρωµένες οι παρακάτω προτάσεις : (αʹ) ηµx = ηµθ x = ή x = (ϐʹ) Για κάθε Ϲεύγος πολυωνύµων (x) (διαρετέος),δ(x) (διαιρέτης) µε δ(x) 0, υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο) ώστε : (x) = και ϐαθµός του υ(x) του ϐαθµού του ή υ(x) είναι το πολυώνυµο. (γʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = µε α 1 και θ 1, θ 2 > 0. (δʹ) log α α = , µε α > 0 και α 1 (εʹ) Αν α > 1 τότε ισχύει : 0 < x 1 < x 2 log α x log α x 2 (ϛʹ) ίνεται η συνάρτηση f(x) = α x. Αν 0 < α < 1 τότε η f(x) είναι γνησίως ίνεται η παράσταση A = (ηµx + συνx) 2 + ηµ2x. 1. Να αποδειχθεί ότι : A = 1 + 4ηµxσυνx. 2. Να λυθεί η εξίσωση : A = 1. Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + x 2 + κx + 2, κ R 1. Αν το πολυώνυµο P (x) έχει ϱίζα το 2 να ϐρεθεί ο κ. 2. Αν κ = 1 (αʹ) Να γίνει η διαίρεση P (x) : (x + 1) και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. (ϐʹ) Να λυθεί η εξίσωση : P (x) = 0. Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις µε τύπο f(x) = log(5 3 x + 9) και g(x) = log(9 x 3 3 x ). 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των f, g. 2. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = g(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17

18 9ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε τους τύπους :ηµ2α = 2ηµα συνα, συν2α = συν 2 α ηµ 2 α 2. Να µεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις συµπληρωµένες σωστά : (αʹ) Κάθε και µη µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν. (ϐʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε (γʹ) Μια ακολουθία λέγεται , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πολλαπλασιασµό επί τον ίδιο πάντοτε µη µηδενικό α- ϱιθµό. (δʹ) Αν α > 0 µε α 1, τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει log α (θ 1 θ 2 ) = ίνεται η αριθµητική πρόοδος : 1, 2, 5, 8,... Να ϐρεθούν : 1. Ο πρώτος όρος α 1 και η διαφορά ω. 2. Ο όρος α Το άθροισµα S 15 των 15 πρώτων όρων της. 4. Ο αριθµητικός µέσος των όρων της 17 και 23. Ποιος όρος της ακολουθίας είναι αυτός ο αριθµός Θέµα 3ο ίνεται πολυώνυµο P (x) = 2x 3 + x 2 αx + 2,όπου α R. 1. Να ϐρεθεί η τιµή του α ώστε το πολυώνυµο P (x) να έχει παράγοντα το x Για α = 5, να ϐρεθούν µε το σχήµα Horner το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. 3. Να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 Θέµα 4ο 1. Να λύσετε την εξίσωση : 2 3x = 4 x Αν ξέρετε ότι οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι x 1 = 1 2 και x 2 = 2, να λύσετε την εξίσωση : 2 3ηµx = 4 ηµ2 x 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 18

19 10ο ιαγώνισµα 1. Να χαρακτηρίσετε καθένα από τα παρακάτω ως Σ(Σωστό) ή Λ(Λάθος) (αʹ) ɛφ(α + β) = ɛφα ɛφβ 1+ɛφα ɛφβ (ϐʹ) συν2α = ηµ 2 α συν 2 α (γʹ) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln( x) είναι το διάστηµα (, 0) (δʹ) Η συνρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 είναι γνησίως ϕθίνουσα. (εʹ) Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. 2. (αʹ) Να δείξετε ότι αν α > 0 µε α 1, τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύουν log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 (ϐʹ) Να δείξετε ότι : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 efα ɛφβ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : (αʹ) 2ηµx = 3 (ϐʹ) ɛφx = 3 (γʹ) 2συν 2 x + 1 = 3συνx Να αποδείξετε ότι : 1 + συν2α + 2ηµ 2 α = 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 19

20 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 2x 2 3x Να ϐρείτε πολυώνυµο Q(x) έτσι ώστε P (x) + Q(x) = 0 2. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο x 1 είναι παράγοντας των πολυωνύµων P (x) και Q(x). 3. Να γράψετε το πηλίκο της διαίρεσης του P (x) + Q(x) µε το P (x) Q(x) Θέµα 4ο 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : (αʹ) 2 5x = (ϐʹ) 2 = 64 x (γʹ) 9 x x + 6 = 0 2. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = ln(x 2 1) 3. Να λυθεί η εξίσωση : log(x + 1) + log x = log 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 20

21 11ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ 2. Να µεταφερθούν στην κόλα σας συµπληρωµένες οι παρακάτω προτάσεις : (αʹ) συνx = συνθ x = ή x = (ϐʹ) ɛφ2α = (γʹ) log α ( θ 1 θ 2 ) = µε α > 0, α 1 και θ 1, θ 2 > 0. (δʹ) log α 1 = , µε α > 0 και α 1 (εʹ) Αν 0 < α < 1 τότε ισχύει : 0 < x 1 < x 2 log α x log α x 2 3. Για κάθε Ϲεύγος πολυωνύµων (x) (διαιρετέος),δ(x) (διαιρέτης) µε δ(x) 0, υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο). (αʹ) Γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης : (ϐʹ) Ποιοι είναι οι περιορισµοί για το υ(x); (x) = ίνεται η παράσταση A(x) = ηµ(2x + π 3 ) + ηµ(2x π 3 ) 1. Να αποδειχθεί ότι : A = ηµ2x 2. Να λυθεί η εξίσωση : A = συνx Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 21

22 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + 4x 2 + x 6 1. Να αποδείξετε ότι x 1 είναι παράγοντας του P (x) 2. Να λυθεί η εξίσωση : P (x) = 0 3. Να λυθεί η ανίσωση : P (x) x 1 > 1 Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(x) = log(2 x 1) 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f(x) 2. Να λυθεί η ανίσωση : log(2 x + 26) > 1 + f(x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 22

23 12ο ιαγώνισµα 1. Να αποδειχθεί ότι :συν2α = 1 2ηµ 2 α 2. Τι ονοµάζουµε και ως συµβολίζουµε τον λογάριθµο ενός ϑετικού αριθµού ϑ ως προς ϐάση α µε α > 0 και α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) ηµ(α + β) = ηµασυνβ συναηµβ. (ϐʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 µε 1 α > 0 και θ 1, θ 2 > 0. (γʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο µή µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. (δʹ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων log α x και y = α x είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y = x. (εʹ) Η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 έχει σύνολο τιµών το R. ίνεται η εξίσωση :αηµ2x+βηµ 2 x 2 = α(1) µε α, β > 0. Αν µια λύση της είναι η x = π 2 : 1. Να αποδειχθεί ότι β = 2α. 2. Αν β = 2α να λυθεί η εξίσωση (1). Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο f(x) = x 3 + αx 2 + βx + 4 µε α, β R. Αν το πολυώνυµο x 1 είναι παράγοντας του f(x) και η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου για x = 2 είναι µηδέν : 1. Να υπολογίσετε τις τιµές των α και ϐ. 2. Για α = 1 και β = 4 ϐρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του f(x) µε το x Να λύσετε την εξίσωση x 3 4x = x Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης f(x) = x 3 x 2 4x + 4 ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log 2 (x + 1) Βρείτε το πεδίο ορισµού της. 2. Να ϐρεθούν τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες. 3. Αν το σηµείο A( 1 2, λ) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, δείξτε ότι λ = 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 23

24 13ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή αν και µόνο αν P (ρ) = Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό (Σ) ή µε Λάθος (Λ) (αʹ) Για κάθε γωνία α κπ + π 2 ισχύει 1 + ɛφ2 α = 1 συν 2 α. (ϐʹ) Η εξίσωση x 4 + 4x = 0 έχει τέσσερις ϑετικές ϱίζες. (γʹ) Οι αριθµοί 10, 19, 28, 37 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. (δʹ) Η συνάρτηση µε τύπο f(x) = 2 x τέµνει τον άξονα yy στο A(2, 0). (εʹ) Αν log x = 3 τότε x = Εστω ότι οι αριθµοί α 1 = x 3 + 1, α 2 = 3x 2, α 3 = 11x 7 είναι τρεις πρώτοι όροι αριθµητικής προόδου. 1. Να ϐρεθεί το x. 2. Αν x = 2 να ϐρεθεί ο α 12 και το άθροισµα των είκοσι πρώτων όρων S 20. Θέµα 3ο 1. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις : A = ηµ( π 4 x) συνx ηµxσυν(π 4 x) 2. Να λυθεί η εξίσωση A = B B = ηµx (1 + συν2x) ηµ2x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 24

25 Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x + ln( ex 2 e x + 4 ) 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να λύσετε την εξίσωση : ln( e2x 2e x e x ) = ln 5 ln Να λύσετε την ανίσωση : f(x) > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 25

26 14ο ιαγώνισµα 1. είξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυώνυµου για x = ρ. Είναι δηλαδή : υ = P (ρ). 2. Εστω α ϑετικός αριθµός, α 1. Τι ονοµάζουµε εκθετική συνάρτηση µε ϐάση a; 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση : (αʹ) Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιοδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 (ϐʹ) Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. (γʹ) Ο αριθµός ρ είναι ϱίζα ενός πολυωνύµου P (x) αν και µόνον αν P (ρ) = 0. (δʹ) Κάθε συνάρτηση της µορφής f(x) = α x, α > 1 είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R. (εʹ) Αν α > 0, α 1 και θ > 0 τότε : α log α θ = θ 1. Εστω η πολυωνυµική συνάρτηση f(x) = x 4 + 4x 3 x 2 + αx + β η οποία διαιρείται µε τα πολυώνυµα x + 1 και x 2. (αʹ) είξτε ότι α = 16 και β = 12 (ϐʹ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) τέµνει το x x στα σηµεία A( 3, 0), B( 2, 0), Γ( 1, 0) και (2, 0). 2. Αν µια γεωµετρική πρόοδος έχει πρώτο όρο α 1 την τετµηµένη του σηµείου Α και δεύτερο όρο α 2 την τετµηµένη του σηµείου Γ, δείξτε ότι ο α 20 = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 26

27 Θέµα 3ο 1. Να δείξετε ότι x ln 5 = 5 ln x.x > 0 2. Να λύσετε την εξίσωση : 5 2 ln x = 5 + 4x ln 5 3. Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : και f(x) = 3 5 ln x g(x) = 2 x ln Θέµα 4ο Εστω η συνάρτηση f(x) = (2 α) x, x R, α R. 1. είξτε ότι η συνάρτηση ορίζεται σε όλο το R και είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R όταν α (1, 2) 2. Αν α (1, 2) να λύσετε την ανίσωση f(x 3 + 2) < f(3x) 3. Για α = 3 2 να λύσετε την εξίσωση f(1) = f(ηµx) στο διάστηµα (0, 2π) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 27

28 15ο ιαγώνισµα 1. Να συµπληρωθούν τα κενά : (αʹ) log α (θ 1 θ 2 ) = (ϐʹ) log α ( θ 1 θ 2 ) = (γʹ) log α θ κ = (δʹ) log 1 = (εʹ) ln e = Το ηµ2α ισούται µε : (αʹ) 2ηµα συνα (ϐʹ) 2συν 2 α 1 (γʹ) συν 2 α ηµ 2 α (δʹ) 1 2ηµ 2 α Να λυθεί η εξίσωση e 2x = e x+1 Θέµα 3ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 3x 2 +2x+7. Να υπολογίσετε το P (0) και να εξετάσετε αν ο αριθµός 1 είναι ϱίζα του πολυωνύµου. Θέµα 4ο Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης συν110 o συν70 o ηµ110 o συν70 o Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 28

29 16ο ιαγώνισµα 1. Να δώσετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου 2. Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της αριθµητικής προόδου είναι : α ν = α 1 + (ν 1) ω 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε το Σ(σωστό ) ή Λ (λάθος). (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x ορίζεται για x > 0 (ϐʹ) Ισχύει η ισοδυναµία ln θ e x = θ (γʹ) Ισχύει : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 log α θ 2 (δʹ) Αν το πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα x ρ τότε P (ρ) = 0 Αν το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx 2 + βx 8, όπου α, β R έχει παράγοντα το x + 2 και ϱίζα τον αριθµό 1: 1. Να ϐρείτε τους α,β 2. Για α = 5, β = 2 να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση : 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού. 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 3. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > f(1) f(x) = log(11x 2 7x + 10) log x 2 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 29

30 Θέµα 4ο Ο έκτος όρος αριθµητικής προόδου είναι α 6 = 7 και ο δέκατος α 10 = Να ϐρείτε τον όρο α 1 και την διαφορά ω. 2. Αν α 1 = 3, ω = 2 να ϐρείτε : (αʹ) τον α 1007 και (ϐʹ) το άθροισµα α 20 + α α 50 (γʹ) Να λύσετε την εξίσωση : e x 2e x + α 3 = 0, όπου α 3 είναι ο τρίτος όρος της παραπάνω αριθµητικής προόδου. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 30

31 17ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P (ρ). 2. Να γράψετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου. 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στη κόλλα σας δίπλα στον αριθµό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη : (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα (0, + ) (ϐʹ) Κάθε σταθερό και µη µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν (γʹ) Η συνάρτηση f(x) = e x έχει πεδίο ορισµού το R. (δʹ) Αν α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε β = α+γ 2 (εʹ) Ισχύει ότι ln e = 0 ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 3 7x + 3α και Q(x) = x 2 3x + β όπου α, β R. Αν το x 1 είναι παράγοντας του P (x) και ο αριθµός 2 είναι ϱίζα του πολυωνύµου Q(x) τότε : 1. Να ϐρεθούν τα α,β. 2. Για α = β = 2 (αʹ) Να λυθεί η εξίσωση P (x) = Q(x). (ϐʹ) Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση του P (x) να ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 31

32 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log(2 x 1) 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να λυθεί η ανίσωση log(2 x + 26) > 1 + f(x). 3. Να ϐρείτε τις τιµές του x ώστε οι όροι : log 2, f(x), log(2 x + 3) µε τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Θέµα 4ο Σε µια γεωµετρική πρόοδο α 1, α 2, , α ν ο τέταρτος, ο πέµπτος, και ο έκτος όρος είναι οι αριθµοί : 2, ηµα, ηµα αντίστοιχα όπου α (0, π). 1. Να δείξετε ότι α = π 2 2. Να ϐρείτε τον πρώτο όρο α 1 και το λόγο λ της γεωµετρικής προόδου. 3. Να ϐρείτε τον όρο της προόδου που είναι ίσος µε Να αποδείξετε ότι :. α 2 + α α 10 = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 32

33 18ο ιαγώνισµα 1. ίνεται η συνάρτηση f(x) = ηµx. Κάντε έναν πίνακα τιµών της, την γραφική της παράσταση στο διάστηµα [0, 2π] και αναφέρατε αν είναι γνησίως αύξουσα ή ϕθίνουσα στα διαστήµατα [0, π 2 ], [ π 2, 3π 2 ], [ 3π 2, 2π] 2. Είναι Σωστές ή Λάθος οι ακόλουθες προτάσεις (αʹ) εν ορίζεται ɛφ0 o (ϐʹ) Αν P (ρ) = 0, τότε το ρ λέγεται ϱίζα του πολυωνύµου P (x). (γʹ) Για α 0 και ν ℵ ισχύει α ν = 1 α ν (δʹ) Η f(x) = α x, µε α > 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R. (εʹ) log 10 = 1 (ϛʹ) Αν α > 0, α 1, τότε log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + α 2 x 2 + 3x 4α. 1. Αν το P (x) έχει ως ϱίζα το 1, να ϐρείτε το α. 2. Για α = 2, ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 2 + x α. Θέµα 3ο ίνεται η εξίσωση log x 2 = log(4 3x). 1. Να λυθεί η εξίσωση. 2. Αν x 1 ονοµάσετε την µεγαλύτερη από τις λύσεις της να αποδείξετε ότι 17 log x log 10 log 100 = 1 Θέµα 4ο Να λύσετε την εξίσωση x 3 + 3x 2 2x 2 = x 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 33

34 19ο ιαγώνισµα 1. Αποδείξτε ότι το άθροισµα των ν πρώτων όρων µιας γεωµετρικής προόδου (α ν ) µε λόγο λ είναι S ν = α 1 λν 1 λ 1 Ποιο είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων αν λ = 1; 2. Χαρακτηρίστε µε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις : (αʹ) Ενα σταθερό πολυώνυµο έχει ϐαθµό 0. (ϐʹ) Αν ο ακέραιος ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου ενός πολυωνύµου P (x) µε ακέραιους συντελεστές, τότε ο ρ είναι ϱίζα του P (x). (γʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < a 1 έχει σύνολο τιµών το R (δʹ) Η συνάρτηση g(x) = ln x έχει πεδίο ορισµού το (0, + ). Εστω το πολυώνυµο P (x) = x 3 2αx + β 2 1 το οποίο έχει παράγοντα το x και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x). µε το x + 1 είναι Να ϐρεθούν τα α και ϐ. 2. Για α = 2 και β = 1 (αʹ) Να γίνει η διαίρεση του P (x) µε το x + 1 και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. (ϐʹ) Να λυθεί η ανίσωση P (x) > 0. Θέµα 3ο Εστω ότι οι αριθµοί α = x 4, β = x + 4, γ = 3x 4 µε τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. 1. Να ϐρεθεί η τιµή του x 2. Για x = 8 (αʹ) Αν ο ϐ είναι ο έκτος όρος της προόδου να ϐρεθεί ο πρώτος όρος. (ϐʹ) Να ϐρεθεί το άθροισµα των 10 πρώτων όρων. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ln(e x 2). 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της. 2. Αν η γραφική παράσταση της f περνά από το σηµείο A(ln 3, 1): (αʹ) Να αποδείξετε ότι α = 1 (ϐʹ) Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τον xx. (γʹ) Να λύσετε την ανίσωση f(2x) f(x) > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 34

35 20ο ιαγώνισµα 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = ( 1 α )x, α < 1 είναι γνησίως αύξουσα. (ϐʹ) Αν α,γ,β τρεις διαδοχικοί όροι µιας γεωµετρικής προόδου τότε ο α γ είναι ο γεωµετρικός µέσος των τριών αυτών αριθµών (γʹ) Ισχύει 9 = ln e 9 2 (δʹ) Η εξίσωση συνx = 2 έχει ακριβώς µία λύση στους πραγµατικούς αριθµούς. (εʹ) Αν α < β τότε ln α < ln β. 2. Να γράψετε τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου. 3. Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ τότε το ρ είναι ϱίζα του πολυωνύµου, δηλαδή P (ρ) = ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx + 6.Αν γνωρίζω ότι το x 1 είναι ένας παράγοντας του πολυωνύµου τότε να ϐρεθεί η τιµή του α. 2. Για α = 7, να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυµο P (x). 3. Να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0. Θέµα 3ο 1. Ο ν-ος όρος µίας ακολουθίας δίνεται από τον τύπο α ν = 3 2ν. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω = Να ϐρεθεί ποιος είναι ο 10ος όρος της ακολουθίας. 3. Πόσους όρους χρειάζοµαι για να πάρω άθροισµα 80; ( ίνεται 324 = 18) 4. Να λυθεί η εξίσωση : Θέµα 4ο ω + 1 ω = x2, όπου ω η διαφορά της παραπάνω ακολουθίας. ίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(e x 1 1) 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 2. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = ln(e 1) 3. Να λυθεί η ανίσωση : f(x 2 + 6) < ln(e 5x 1 1) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 35

36 21ο ιαγώνισµα 1. Αν 0 < α 1, τότε για οποιουσδήποτε αριθµούς θ 1, θ 2 > 0, να αποδείξετε ότι ισχύει : log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 2. Να δώσετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου. 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή. ή Λάθος, αν είναι λανθασµένη. (αʹ) e x = θ ln θ = x, θ > 0 (ϐʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x, µε α > 1 είναι γνησίως αύξουσα στο R. (γʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο πολυωνύµων είναι πάντα ίσως µε το γινόµενο των ϐαθµών τους. (δʹ) Ο ν-ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι α ν = α 1 + (ν + 1) ω (εʹ) Για το µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. Αν α 4 = 2συνx, α 5 = 4συνx + 3, α 6 = 3, x (0, π) είναι ο τέταρτος, πέµπτος και ο έκτος όρος αντίστοιχα µιας αριθµητικής προόδου, τότε : 1. Να ϐρείτε τον πρώτο όρο α 1 και την διαφορά ω της παραπάνω προόδου. 2. Να υπολογίσετε το άθροισµα A = α 21 + α α 49 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = ln 2 x 2+x. 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της. 2. Να αποδείξετε ότι f(x) + f( x) = 0, για κάθε τιµή του x που ανήκει στο πεδίο ορισµού της f. 3. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : A = f( 1 5 ) + f( 1 4 ) + f( 1 3 ) + f( 1 2 ) + f(0) + f(1 2 ) + f(1 3 ) + f(1 4 ) + f(1 5 ) 4. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + 1 2f( x) = f( 1) Θέµα 4ο ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 (ln α)x 2 + (ln α 2 )x 3, α > 0 1. Αν είναι γνωστό ότι το x 1 είναι παράγοντας του P (x) να ϐρείτε το α. 2. Για α = e, (αʹ) Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 (ϐʹ) Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης P (x) ϐρίσκεται κάτω από τον άξονα xx. (γʹ) Αν κ = ln 2 1 και λ = log log 3 να αποδείξετε ότι P (κ) P (λ) < 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 36

37 22ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε του τύπους : (αʹ) συν2α = 2συν 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α (ϐʹ) ηµ 2 α = 1 συν2α 2 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη : (αʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x, 0 < α < 1 είναι γνησίως ϕθίνουσα. (ϐʹ) Η συνάρτηση f(x) = ln x έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R. (γʹ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ = log α x και ψ = α x µε 0 < a 1 είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία που διχοτοµεί τις γωνίες xoψ και xoψ. (δʹ) Ο ϐαθµός του γινοµένου δυο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. (εʹ) Ενα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή αν και µόνο αν P (ρ) = Να συµπληρώσετε στο τετράδιο σας, τα κενά που υπάρχουν στις παρακάτω ισότητες : (αʹ) log α α x = όπου 0 < α 1 (ϐʹ) ln θ = x e... = (γʹ) ηµ2α = (δʹ) Αν όλοι οι συντελεστές ενός πολυωνύµου P (x) είναι ίσοι µε µηδέν τότε το P (x) είναι ίσο µε το Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 37

38 Να αποδείξετε ότι : 1. συν(α β) συν(α + β) = ɛφα ɛφβ συν(α β) + συν(α + β), για όλες τις τιµές των α και ϐ που ορίζεται η παράσταση. 2. Να λυθεί η εξίσωση συν(x π 3 ) συν(x + π 3 ) συν(x π 3 ) + συν(x + π 3 ) = 3 Θέµα 3ο, για x κπ + π 2, κ Z ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 3 2x 2 5x + α και Q(x) = x 2 + x + β. Αν το P (x) έχει ϱίζα τον αριθµό 3 και το Q(x) έχει παράγοντα το x + 1 τότε : 1. Να αποδείξετε ότι α = 6 και β = 0 2. Για α = 6 να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 3. Για α = 6 και β = 0 (αʹ) Να γίνει η διαίρεση του P (x) δια του Q(x) και να γραφεί η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. (ϐʹ) Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου που είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής. Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = log(2 2x 8) και g(x) = log(4 + 2 x ). 1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των f και g 2. Να λυθεί η ανίσωση : f(x) > g(x) 3. Να λυθεί η εξίσωση : 2f( x 2 ) = g(x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 38

39 23ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι : αν α > 0, α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ 2 > 0 ισχύει :log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Ο ν-οστός όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είναι α ν = α 1 + ν ω. (ϐʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (q) µε τοx ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P (ρ). (γʹ) Το άθροισµα δύο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι µη µηδενικό πολυώνυµο, τότε ο ϐαθµός του είναι ίσος µε το µέγιστο των ϐαθµών των δύο πολυωνύµων. (δʹ) Η συνάρτηση f(x) = log x είναι γνησίως αύξουσα στο (0, + ). 3. Να µεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις συµπληρώνοντας τα κενά. (αʹ) Ισχύει η ισοδυναµία : συνx = συνθ (ϐʹ) Για κάθε θ > 0 ισχύει η ισοδυναµία : ln θ = x (γʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x, µε 0 < α 1 έχει πεδίο ορισµού το και σύνολο τιµών το ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 9x x + κ, όπου κ R. 1. Αν ο αριθµός 2 είναι ϱίζα του P (x), να ϐρείτε την τιµή του κ. 2. Για κ = 4 να λύσετε την εξίσωση :P (x) = Να λύσετε την εξίσωση :2ηµ 3 ω 9ηµ 2 ω = 4 12ηµω Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 39

40 Θέµα 3ο ίνονται οι αριθµοί α = 1, β = e 3x, γ = 3e 2x και η εξίσωση : 2ψ 3 3ψ = 0 (1.1) 1. Να λύσετε την εξίσωση (1). 2. Να ϐρείτε την τιµή του x ώστε οι αριθµοί α, β, γ να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. 3. Για x = 0 να υπολοδιστεί η διαφορά ω της παραπάνω αριθµητικής προόδου. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 + ln(x 1) 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να λύσετε την εξίσωση :f(x) = x 2 + [ln(x 1)] (αʹ) Να δείξετε ότι ισχύει : f(e x + 1) = e x + x 1 για κάθε x R (ϐʹ) Να λύσετε την ανίσωση f(e x + 1) > e 2x 10 + x 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 40

41 24ο ιαγώνισµα 1. ώστε τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου. 2. Αν 0 < α 1, θ > 0, κ R να αποδείξετε ότι log α θ κ = κ log α θ 3. (αʹ) Να συµπληρώσετε τα δεύτερα µέλη, ώστε να προκύψουν ισότητες : i. log α (θ 1 θ 2 ) = ii. log α ( θ 1 θ 2 ) = iii. log α α x = iv. log α 1 = v. log α α = µε θ 1, θ 2 > 0 και 0 < α 1 (ϐʹ) Να γράψετε τους τύπους : i. του αριθµητικού µέσου ϐ των α, γ, όταν α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. ii. του γεωµετρικού µέσου ϐ των α, γ, όταν α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Εστω το πολυώνυµο P (x) = x 3 2αx 2 + βx + 4 το οποίο έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 2 είναι Να ϐρείτε τις τιµές των α και β. 2. Για α = 1 και β = 7 ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x Για α = 1 και β = 7 να λύσετε την ανίσωση P (x) > 4x + 10 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 41

42 Θέµα 3ο Αν σε µια γεωµετρική πρόοδο είναι λ = 2, α ν = 96 και S ν = 189 να ϐρείτε : 1. Το πλήθος των όρων της 2. Τον πρώτο όρο της 3. Το άθροισµα S = α 1 + α 3 + α α 101 Θέµα 4ο Εστω η συνάρτηση f(x) = 2 ln(x 1) 1 1. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. 2. Να ϐρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0 και να κάνετε τον πίνακα προσήµου της f. 3. Να ϐρείτε τα διαστήµατα που η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα xx. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 42

43 25ο ιαγώνισµα 1. Αν 0 < α 1 και θ 0 να δειχτεί ότι για κάθε κ R ισχύει ότι : log α θ κ = κ log α θ 2. Πότε µια ακολουθία (α ν ), ν N λέγεται αριθµητική πρόοδος 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστό ή Λάθος, γράφοντας στο ϕύλλο απαντήσεών σας δίπλα στον αριθµό της πρότασης την κατάλληλη από τις παραπάνω ενδείξεις που νοµίζετε. (αʹ) Κάθε σταθερό µη µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν. (ϐʹ) Αν 0 < α 1 και θ > 0 Η εξίσωση α x = θ έχει περισσότερες από µία λύσεις. (γʹ) Αν θ > 0 τότε ισχύει ln e θ = θ (δʹ) Το σύνολο τιµών της παράστασης f(x) = log x είναι το διάστηµα (0, + ). (εʹ) Για οποιουσδήποτε όρους α, ϐ, γ µιας αριθµητικής προόδου ισχύει 2β = α+γ. ίνονται οι αριθµοί 1, ηµ 2 x, συνx, x (0, π 2 ) 1. Αν µε την σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να δείξετε ότι x = π Για x = π 3 (αʹ) να ϐρείτε τους τρείς παραπάνω αριθµούς και να δείξετε ότι η διαφορά ω της αριθµητικής προόδου στην οποία ανήκουν είναι ω = 1 4 (ϐʹ) Αν ο δέκατος όρος της αριθµητικής προόδου είναι το 1 4 να δείξετε ότι ο πρώτος όρος είναι το Να ϐρείτε το άθροισµα όλων των όρων της αριθµητικής προόδου που ϐρίσκονται ανάµεσα στον έβδοµο και τον δέκατο έβδοµο όρο. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 43

44 Θέµα 3ο ίνεται η πολυωνυµική συνάρτηση : f(x) = (10 log 2 2)x log θ x 3 4x 2 x log θ + 1 µε θ > 0. Να δείξετε ότι : 1. Η πολυωνυµική συνάρτηση είναι τρίτου ϐαθµού. 2. Αν το x 1 είναι παράγοντας της πολυωνυµικής συνάρτησης τότε θ = Για θ = 10, πολυωνυµική συνάρτηση έχει τη µορφή f(x) = 2x 3 4x 2 x Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f να µην ϐρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση, της g(x) = x 1. Θέµα 4ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = log log log log x 1 x µε q > 1. Να δείξετε ότι : 1. f(x) = log x 2. 2f( α+β 2 ) f(α) + f(β) 3. Να λύσετε την ανίσωση [f(x)] 2 + f(x 2 ) > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 44

45 26ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το x ρ είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P (ρ) 2. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες, έτσι ώστε να προκύψουν οι λύσεις των εξισώσεων : (αʹ) ηµx = ηµω x = ή x = (ϐʹ) συνx = συνω x = ή x = Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. (αʹ) Το µηδενικό πολυώνυµο έχει ϐαθµό µηδέν. (ϐʹ) Αν οι αριθµοί α, ϐ, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου τότε ισχύει : β = α+γ 2. (γʹ) Ο ν-οστός όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω, είναι ο : α ν = α 1 + (ν 1) ω. (δʹ) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = log x είναι το R. (εʹ) Η συνάρτηση f(x) = α x είναι πάντα γνησίως αύξουσα. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 6x 2 + αx + β το οποίο έχει παράγοντα το x 1 και όταν διαιρείται µε το x + 1 δίνει υπόλοιπο Να δείξετε ότι : α = 11, β = 6 2. Να λύσετε την εξίσωση P (x) = 0 3. Να λύσετε την ανίσωση P (x) 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 45

46 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = (3 α+1 ) x, x R και α Αν το σηµείο M(1, 3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f, να ϐρείτε το α. 2. Για α = 0 να λύσετε τις εξισώσεις : (αʹ) f(x) + f(2x) = 2 (ϐʹ) f(2ηµx) = 3 Θέµα 4ο ln x 1 ln x. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 1. Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης. 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = Να ϐρείτε τις τιµές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα xx. 4. Αν α ν αριθµητική πρόοδος µε πρώτο όρο α 1 = f(e 2 ) και διαφορά ω = f(e 3 ) να ϐρείτε τον α 21. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 46

47 27ο ιαγώνισµα 1. Να αποδείξετε ότι : Ενα πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το x ρ, αν και µόνο αν, το ρ είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή αν και µόνο αν P (ρ) = Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις : (αʹ) log(θ 1 θ 2 ) = (ϐʹ) log( θ 1 θ 2 ) = (γʹ) log θ κ = όπου θ, θ 1, θ 2 > 0 3. Να χαρακτηρίσετε µε Σωστό ή Λάθος κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις : (αʹ) Η συνάρτηση ψ = ηµx είναι περιοδική µε περίοδο 2π. (ϐʹ) Η συνάρτηση ψ = ηµx είναι γνησίως αύξουσα το [0, π 2 ) (γʹ) Αν ɛφx = ɛφθ τότε x = θ (δʹ) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P (x) δια του x + ρ είναι υ = P (ρ) (εʹ) Αν P (ρ) 0 τότε το P (x) δεν έχει παράγοντα το x ρ. (ϛʹ) Αν α x 1 < α x 2 τότε x 1 < x 2 για κάθε α > 0 (Ϲʹ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = α x τέµνει τον άξονα ψ, ψ στο σηµείο A(0, 1) για κάθε α > 0. ίνονται τα πολυώνυµα :P (x) = (κ µ)x 3 µx 3 και Q(x) = 2x 3 + (2κ 1)x + µ 2 που είναι ίσα. 1. Να δείξετε ότι : κ = 1, µ = 1 2. Για τις παραπάνω τιµές να ϐρεθεί το πολυώνυµο P (x). 3. Να δείξετε ότι το x = 1 είναι ϱίζα του P (x) και µάλιστα η µοναδική. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 47

48 Θέµα 3ο ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2 1 x2, µε x R. 1. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f ϐρίσκεται πάνω από τον άξονα xx για κάθε τιµή του x. 2. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 1 3. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 1 32 Θέµα 4ο ίνονται οι συναρτήσεις g(x) = ηµx και h(x) = συν(ln x 3π). 1. Να δείξετε ότι g(e π 2 ) + g(e π ) = 2 g(e π 6 ) 2. Να ϐρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τον άξονα xx. 3. Να ϐρείτε το κοινό σηµείο(ή τα κοινά σηµεία) των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g και h στο διάστηµα [1, e π ]. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 48

49 Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Καζαντζής Αλγεβρα Ιστοσελίδες

50

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

i. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο Σ Λ iii. Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το x-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0 Σ Λ

i. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο Σ Λ iii. Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το x-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0 Σ Λ 1 0 ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝ.ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.. ΘΕΜΑ Α Α 1. Να αποδείξετε ότι ημ ω+συν ω=1 Μον 10 Α. Να σημειώσετε το

Διαβάστε περισσότερα

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 015 Περιεχόµενα 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Δινεται μια συναρτηση f : [α, ]. Να δωσετε τον ορισμο της συνεχειας της f στο διαστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το διάγραµµα Α. B. Γ.. Ε. 7 . * Από τα παρακάτω διαγράµµατα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης το διάγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία)

1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία) 1 ο Κριτήριο αξιολόγησης (Τριγωνοµετρία) ΒΑΘ/ΓΙΑ ΘΕΜΑ 1ο µονάδες 1 Κάθε στοιχείο της στήλης Α είναι ίσο µε ένα και µόνο στοιχείο της στήλης Β Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δύο στηλών στήλη Α συν (y

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 009 ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα; Γράψτε ένα παράδειγμα δύο αντίθετων μονωνύμων. β) Ποια αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα