Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ"

Διόνυσος Παπαφιλίππου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

2 Αρχιμήδης 287 π.χ. 212 π.χ.

4 Παλίμψηστος

6 Παλίμψηστος--ευχολόγιον

7 Παλίμψηστα: αρχαίοι πάπυροι και περγαμηνές πολλαπλής χρήσης. Το κείμενο του Αρχιμήδη γράφτηκε αρχικά το δεύτερο μισό του 10 ου αιώνα μ.χ. Έγινε παλίμμψηστο το 1229, (συλλογή προσευχών). Εξετάστηκε το 1906 στη Κωνσταντινούπολη από τον Heiberg που αντιλήφθηκε τη σημασία του. Διάβασε 80%, και βρήκε 7 κείμενα του Αρχιμήδη. Χάθηκε Βρέθηκε σε πολύ χειρότερη κατάσταση Το 1998 πουλήθηκε σε πλειστηριασμό του Christie s στην Νέα Υόρκη για 2,2 εκατομμύρια δολάρια. Αγοραστής: άγνωστος Σήμερα βρίσκεται στο Walters Art Museum

8 Στο Παλίμψηστο βρίσκονται 7 έργα του Αρχιμήδη «Περί επιπέδων ισορροπιών» «Κύκλου μέτρησις» «Περί των μηχανικών θεωρημάτων, προς Ερατοσθένη έφοδος» «Περί ελίκων» «Στομάχιον» «Περί των επιπλεόντων σωμάτων» «Περί ρ σφαίρας και κυλίνδρου».

9 Αρχιμήδης: βιβλίο «Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένην έφοδος» «Καὶ Κ ὶ γάρ τινα τῶν πρότερόν ό μοι φανέντων μηχανικῶς ὕστερον γεωμετρικῶς ἀπεδείχθη διὰ τὸ χωρὶς ἀποδείξεως εἶναι τὴν διὰ τούτου τοῦ τρόπου θεωρίαν ἑτοιμότερον γάρ ἐστι προλαβόντα διὰ τοῦ τρόπου γνῶσίν τινα τῶν ζητημάτων πορίσασθαι τὴν ἀπόδειξιν μᾶλλον ἤ μηδενὸς ἐγνωσμένου ζητεῖν.» Άλλωστε κάποιες ιδιότητες που στην αρχή μου αποκαλύφθηκαν με τη μηχανική στη συνέχεια αποδείχθηκαν με τη γεωμετρία, διότι η προσέγγιση που γίνεται με τη μέθοδο αυτή δεν επιδέχεται απόδειξης. Είναι ευκολότερο να οδηγηθείς στην απόδειξη, εάν έχεις αποκτήσει εκ των προτέρων κάποια γνώση του πράγματος, παρά αν ψάχνεις κάτι για το οποίο δεν έχεις την παραμικρή ιδέα. (γεωμετρική απόδειξη= μέθοδο της εξάντλησης)

10 Ο Αρχιμήδης στην Έφοδο για την μέθοδό του με τη μηχανική: «για να βρούμε ένα ζητούμενο εμβαδόν ή όγκο κόβουμε την επιφάνεια ή το σώμα σ' ένα πολύ μεγάλο αριθμό λεπτές, παράλληλες και επίπεδες λωρίδες ή λεπτές παράλληλες φέτες και (νοητά) κρεμάμε αυτά τα κομμάτια στο ένα άκρο δεδομένου μοχλού με τέτοιον τρόπο, ώστε αυτά να βρίσκονται σε ισορροπία με ένα σχήμα του οποίου η περιεκτικότητα και το κέντρο βάρους είναι γνωστά.»

11 ος μοι πα στω και τα γαν κινάσω Βιβλίο 1, περί επιπέδων ισορροπιών ΤΑ ΜΕΓΕΘΕΑ ΙΣΟΡΡΟΠΕΟΝΤΙ ΑΠΟ ΜΑΚΕΩΝ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΟΤΩΣ ΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΛΟΓΟΝ ΕΧΟΝΤΩΝ ΤΟΙΣ ΒΑΡΕΣΙΝ. Τα μεγέθη Γ, Δ θα έρθουν σε ισορροπία ως προς το Ε όταν οι αποστάσεις AΕ, ΕΒ ικανοποιούν την σχέση αντιστρόφως ανάλογες με το βάρος τους: Γ:Δ=AΕ: ΕB ΤΟ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΝ ΒΑΡΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΚΙΝΟΥΝ, ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΕΝ.

12 Ογκος κυλίνδρου

13 Όγκος κώνου εγκάρσια τομή κύκλος με ακτίνα r(h-z)/h

14 Όγκος σφαίρας

15 Λογισμό Όγκος μπλε κυλίνδρου όγκος κώνου με ύψος r και ακτίνα βάσης r όγκος σφαίρας= 2/3 όγκου κυλίνδρου = 4 όγκο κώνου

16 Αρχιμήδης Ο όγκος του κυλίνδρου είναι 3/2 του όγκου της σφαίρας!

17 Κόκκινος κύλινδρος: ακτίνα 2r, ύψος 2r μπλέ κώνος: ακτίνα 2r, ύψος 2r Γνωστό από τον Ευκλείδη: Κύλινδρος =3 κώνος [Στοιχεία, Πρόταση 7.10]

18 Θα ισορροπήσουμε το σύστημα σφαίρας,κώνου, κυλίνδρου ως προς Α

! Μία μικρή φέτα κυλίνδρου, σφαίρας, κώνου στην εγκάρσια τομή MN HA: AS=MN 2 : (OP 2 +QR 2 )=

19 Εγκάρσιες τομές σφαίρας, κώνου και του κυλίνδρου είναι κύκλοι!! και του κυλίνδρου, είναι κύκλοι!! Μία μικρή φέτα κυλίνδρου, σφαίρας, κώνου στην εγκάρσια τομή MN HA: AS=MN 2 : (OP 2 +QR 2 )= κύκλος, διάμετρο ΜΝ : (κύκλος,διάμετρο OP + κύκλο, διάμετρο QR) Ως προς το Α έχουμε πετύχει την ισορροπία: κύλινδρος με κέντρο βάρους στο S η σφαίρα και ο κώνος με κέντρο βάρους στο H

20 Έτσι το σύστημα ισορροπεί αν κύλινδρος LEFG είναι στο K και η σφαίρα+κώνος ΑEF είναι στο H. Άρα κύλινδρος LEFG = 2(σφαίρα+κώνος ΑEF) Αφού κώνος AEF= 8 (κώνος ΑBD) προκύπτει το ζητούμενο

21 Ισορροπία και εμβαδά Το εμβαδόν ανάμεσα στην παραβολή και τέμνουσα ισούται τα 4/3 του αντίστοιχου τριγώνου Στη γεωμετρική απόδειξη

22 Μοντέρνος λογισμός σχέση: ευθύγραμμο τμήμα Β Β + εφαπτομένη? Αρχιμήδης και Boyer Ισορροπία: παραβολικό τμήμα στο P με τρίγωνο ργ ΑΒC στο κέντρο βάρους του. Άρα παραβ. Τμήμα AVB=1/3 ABC=4/3 τριγ. ΑVΒ

23 ιόφαντος ~τρίτος αιώνας μ.χ. Έργα του: Αριθμητική (13 βιβλία, σώζονται 6) Περί πολυγώνων αριθμών Πορίσματα

24 Σε ελεύθερη μετάφραση Παλατινή ανθολογία 8.126(6 ος αιώνας μ.χ.): Σ' ΑΥΤΟΝ ΤΟΝ ΤΑΦΟ ΑΝΑΠΑΥΕΤΑΙ Ο ΙΟΦΑΝΤΟΣ. Η Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΘΑ ΩΣΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΥΣΕ. Ο ΘΕΟΣ ΤΟΥ ΕΠΕΤΡΕΨΕ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΝΕΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΝΑ ΕΚΤΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΜΑ ΕΝΑ Ω ΕΚΑΤΟ ΚΑΙ ΦΥΤΡΩΣΕ ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΓΕΝΙ ΤΟΥ. ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΕΒ ΟΜΟ ΑΚΟΜΑ, ΗΡΘΕ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ ΤΟΥ Η ΜΕΡΑ. ΤΟΝ ΠΕΜΠΤΟ ΧΡΟΝΟ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ, ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΕΝΑ ΠΑΙ Ι. ΤΙ ΚΡΙΜΑ, ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΑΡΟ ΤΟΥ ΓΙΟ. ΑΦΟΥ ΕΖΗΣΕ ΜΟΝΑΧΑ ΤΑ ΜΙΣΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΤΕΡΑ ΤΟΥ, ΓΝΩΡΙΣΕ ΤΗΝ ΠΑΓΩΝΙΑ ΤΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ. ΤΕΣΣΕΡΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ, Ο ΙΟΦΑΝΤΟΣ ΒΡΗΚΕ ΠΑΡΗΓΟΡΙΑ ΣΤΗ ΘΛΙΨΗ ΤΟΥ, ΦΤΑΝΟΝΤΑΣ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. (1/6)n + (1/12)n + (1/7)n 5 + (1/2)n +4 = n Λύση: n=84

25 Σύμβολα του Διόφαντου (συγκεκομμένη άλγεβρα) ς : Δ Y : K Y : Δ Y Δ: άγνωστος x x 2 ( δύναμις) x 3 ( κύβος) x 4 ( δυναμοδύναμις) ΔK Y : x 5 ( δυναμόκυβος) K Y K: x 6 (κυβόκυβος ) ς X : 1/x = x 1 (ειδικές ονομασίες για αντίστροφα) ις : ίσος

26 Αριθμητική είναι συλλογή 150 περίπου προβλημάτων, με συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα. λείπει: συστηματική μελέτη των αλγεβρικών πράξεων, αλγεβρικών συναρτήσεων, επίλυσης εξισώσεων. δεν υπάρχει προσπάθεια εύρεσης όλων των πιθανών λύσεων. αναγνωρίζει μόνο τις θετικές ρητές ρίζες αν υπάρχουν δύο θετικές ρίζες, αναγνωρίζει μόνο τη μεγαλύτερη. δεν αναγνωρίζει καθόλου τις αρνητικές λύσεις. στα αόριστα προβλήματα (με άπειρο αριθμό λύσεων) δίνει μόνο μία απάντηση.

27 Τα μεγάλα θετικά εκτός από τον μερικό συμβολισμό: Έδωσε κανόνες για μαθηματικές εκφράσεις: μεταφορά όρων από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο, ακύρωση όμοιων όρων από τις δύο πλευρές της ισότητας. όρισε αρνητικές δυνάμεις για τους αγνώστους και τους κανόνες για τους εκθέτες Έδωσε κανόνες για το γινόμενα που αφορούν όρους με αρνητικούς συντελεστές: παρ. ( )( )=(+) ) ( ) Απομάκρυνση από την γεωμετρική άλγεβρα, οι όροι δεν χρειάζεται να είναι ομογενείς, δουλεύει με δυνάμεις μεγαλύτερες του 3.

28 Πρόβλημα Ι 28 Να βρεθούν δύο αριθμοί έτσι ώστε το άθροισμά τους και το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι δοθέντες αριθμοί: Λύση: έστω το ενα άθροισμα 20, και το άθροισμα τετραγώνων 208. x=10+z, x=10 z z=2, άρα οι δύο αριθμοί είναι 12 και 8.

29 (1993, 1995) Pierre de Fermat ( ) Sir Andrew John Wiles (1953--) [

30 Ας παύση η πραγματεία των μαθηματικών. ιότι εάν τις δημοσία ή κατ' ιδίαν, καθ' ημέραν ή νύκτωρ συλληφθή αναστρεφόμενος εν τη απαγορευμένη πλάνη, αμφότεροι ας πληγούν δια κεφαλικής ποινής. ιότι δεν είναι διάφορον αμάρτημα το δδά διδάσκεσθαι κεκωλυμένα ή το διδάσκειν». δδά Κώδιξ Θεοδοσιανός (Ουαλεντιανού λ ύ και Ουάλεντος), ΙΧ, 16, 8. (438μ.Χ.) «Οι μαθηματικοί, εάν μή ώσιν έτοιμοι, καυθέντων των κωδίκων της ιδίας πλάνης υπό τα όμματα των Επισκόπων, να δώσουν πίστιν εις την λατρείαν της καθολικής πίστεως, ότι δεν θα επανέλθουν εις την παλαιάν πλάνην, ου μόνον από της πόλεως Ρώμης, αλλά και εκ πασών των πόλεων αποφασίζομεν να εκδιωχθούν. Εάν δε δεν κάμνουν τούτο και παρά την σωτηρίαν απόφασιν της ημετέρας επιεικείας, συλληφθούν εν ταις πόλεσιν είτε παρεισάγουν τα μυστικά της πλάνης, θα τύχωσι της ποινής της εξορίας». Αυτοκράτορες Ονώριος και Θεοδόσιος προς τον Καικιλιανό Ύπαρχο. «ΗΗ μαθηματική τέχνη αξιόποινος ούσα απαγορεύεται».. Ιουστινιάνειος Κώδιξ, ΙΧ, 18, 2.

31 Ασκήσεις Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας λογισμό τους τύπους για τους όγκους κυλίνδρου, κώνου, σφαίρας. Να αποδείξετε ότι HA: AS=MN 2 : (OP 2 +QR 2 ), βλ. διαφάνεια 19. Να συμπληρώσετε τις λεπτομέρειες στη διαφάνεια 20 από το σημείο «Άρα» Να χρησιμοποιήσετε τη μηχανική μέθοδο του Αρχιμήδη για να αποδείξετε τη σχέση εμβαδών παραβολικού τμήματος και τριγώνου, βλ. διαφάνεια 22. Στο πρόβλημα Ι.28 ο Διόφαντος δίνει μία δευτεροβάθμια εξίσωση που επιλύει. Αναλύστε τη μέθοδο του και δείξτε ότι για την επίλυση του συστήματος ισοδυναμεί με τον τύπο

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 1.04.14 Χ. Χαραλάμπους ος μοι πα στω και τα γαν κινάσω Βιβλίο 1, περί επιπέδων ισορροπιών ΤΑ ΜΕΓΕΘΕΑ ΙΣΟΡΡΟΠΕΟΝΤΙ ΑΠΟ ΜΑΚΕΩΝ ΑΝΤΙΠΕΠΟΝΘΟΤΩΣ ΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΛΟΓΟΝ ΕΧΟΝΤΩΝ ΤΟΙΣ ΒΑΡΕΣΙΝ. Τα