ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ &ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ TECHNOLOGICAL EDUCATION INST ITUTE OF PATRAS DEPARTMENT: BUSINESS PLANNING & INFORMATION SYSTEMS ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Η. ΚΟΥΝΕΤΑΣ ΠΑΤΡΑ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ...5. ΕΝΝΟΙΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ...6. ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΚΛΑΣΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ...3. Στοχαστικά Υποδείγματα Χρονολογικών σειρών...3. Στασιμότητα (Saionary) Αυτοσυνδιακύμανση και Αυτοσυσχέτιση Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης και Έλεγχος Στασιμότητας Μερική Αυτοσυσχέτιση Τυχαία Χρονολογική Σειρά...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ - R p Τελεστής Υστέρησης Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Δεύτερης Τάξης - AR () Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Τάξεως p AR( p) Συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχετίσεως για υποδείγματα μορφής - AR Έλεγχος Στατιστικής Σημαντικότητας Συντελεστών Αυτοσυσχέτισης και μερικού συντελεστή...55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Υποδείγματα Κινητού Μέσου ΜΑ(q) Υπόδειγμα Κινητού Μέσου ης Τάξης - MA () Υπόδειγμα Κινητού Μέσου Τάξης q MA( q) Εννοια Αντιστρεψιμότητας Μεικτά υποδείγματα ARMA(p,q)...65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μεθοδολογία Box-Jenkins και Προβλέψεις Υποδειγμάτων ARIMA...77 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

3 5. ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARIM A ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX -JENKINS Κριτήρια Επιλογής Υποδειγμάτων Προβλέψεις με AR και MA Υποδείγματα ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ AR() ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ MA () ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ARMA (,) ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΤΡΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ Εποχικά Υποδείγματα SARIMA Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ BOX-JENKINS ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ PASW...95 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 3 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 3

4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι σημειώσεις του μαθήματος «Τεχνικές Προβλέψεων και Ελέγχου» γράφτηκαν με σκοπό να αποτελέσουν συμπληρωματικό σύγγραμμα διαλέξεων προπτυχιακού επιπέδου στο συγκεκριμένο μάθημα. Η κατανόηση του παρόν συγγράμματος προαπαιτεί γνώση μαθηματικών, στατιστικής και οικονομικής θεωρίας όπως αυτά διδάσκονται στο τμήμα του Επιχειρηματικού Σχεδιασμού & Πληροφορικών Συστημάτων. Η ανάγκη για την συγγραφή των σημειώσεων αυτών που να καλύπει τις ανάγκες των φοιτητών αλλά και να συνδέει την θεωρία με το εργαστήριο και την χρήση Η/Υ προγραμμάτων θεωρώ πως ήταν επιτακτική για δύο λόγους. Ο πρώτος αφορά την έλλειψη αυτόνομων συγραμμάτων που να καλύπτουν αποκλειστικά τις τεχνικές και ο δεύερος ότι πάρα πολύ λίγα συγράμματα συνδέουν την θεωρία με την χρήση Η/Υ και συγκεκριμένα του στατιστικού πακέοτυ PASW. Θα ήθελα να ευχαριστήσω του φοιτητές του τμήματος μας Ηλιάδη Ευτύχιο και Τζουμανίκα Δημοσθένη μια και οι συγκεκριμένες σημειώσεις αποτελούν μια κριτική ανάγνωση της πτυχιακής τους εργασίας. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους φοιτητές του τμήματος Εξάρχου Αθανασία-Μαρία, Καραντώη Ανδρέα, Μανωνα Αικατερινη για την επίλυση των σκήσεων που παρατίθενται. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η περιγραφή της διαχρονικής εξελίξεως και η πρόβλεψη της μελλοντικής συμπεριφοράς μιας στοχαστικής μεταβλητής αποτελεί ένα από τα σπουδαιότερα αντικείμενα μελέτης της οικονομετρίας, της επιχειρησιακής έρευνας του Markeing, της Μετεωρολογίας και πολλών άλλων επιστημών. Οι πιο ενδεδειγμένες μέθοδοι για να μελετηθούν τα διαχρονικά φαινόμενα θεωρούνται στις μέρες μας οι στατιστικές μέθοδοι. Ο κλάδος της Στατιστικής ο οποίος μελετά τα φαινόμενα αυτά αποδίδεται με τον όρο Ανάλυση χρονολογικών σειρών (Time Series Analysis).Χρονολογική σειρά καλείται μια συλλογή παρατηρήσεων που γίνονται σε διαδοχικές χρονικές στιγμές. Πολλές χρονολογικές σειρές συναντούμε στην Οικονομία όπως για παράδειγμα σε τιμές μετοχών σε διαδοχικές ημέρες, η αξία των εξαγωγών μιας χώρας σε συνεχόμενους μήνες, τα κέρδη μιας επιχειρήσεως σε διαδοχικά χρόνια κλπ. Πολλοί ήταν αυτοί που βοήθησαν στην ανάπτυξη πολλών στατιστικών μεθόδων για την ανάλυση των χρονολογικών σειρών όπως οι Box-Jenkins με την θεωρία τους που θα αναφέρουμε μετέπειτα αλλά και οι Hannan, Anderson, Kendall, Chafield, Nelson κ.α. Έτσι οι σύγχρονοι ερευνητές έχουν στην διάθεση τους όλα τα εφόδια για να μελετήσουν με επιτυχία μια χρονολογική σειρά που θα του παρουσιασθεί στην πράξη. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 5

6 . ΕΝΝΟΙΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Χρονοσειρά (ime serie ) είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων y, y,..., y όπου ο δείκτης Τ παριστάνει ισαπέχοντα χρονικά σημεία ή διαστήματα. Τα χρονικά διαστήματα μπορεί να είναι(έτος, μήνας, ημέρα, εβδομάδα, ώρα, κ.α). Οι παρατηρήσεις y, y,..., y είναι συγκεκριμένες τιμές των τυχαίων μεταβλητών Y, Y, Y T και είναι μέρος μόνο μιας άπειρης ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών και αναφέρονται στην έννοια του δείγματος ενώ οι τυχαίες μεταβλητές στην έννοια του πληθυσμού. Απαραίτητη συνθήκη για τη μελέτη χρονολογικών σειρών είναι η ύπαρξη δεδομένων (daa). Δεδομένα χρονολογικών σειρών συναντούμε σε πολλές επιστήμες (οικονομικές, κοινωνικές, φυσική, ιατρική κ.α) Μερικά παραδείγματα είναι οι μηνιαίες πωλήσεις μιας επιχείρησης, οι τιμές ενός αγαθού ανά τρίμηνο, οι δείκτες των μετοχών στο ΧΑΑ. Βασικό χαρακτηριστικό κάθε χρονολογικής σειράς είναι η εξάρτηση μεταξύ των διαδοχικών τιμών της. Αντικείμενο μελέτης του κλάδου των χρονολογικών σειρών είναι η φύση της αλληλεξάρτησης που υπάρχει μεταξύ των παρατηρήσεων και χωρίζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο περιλαμβάνει την ανάλυση των ιδιοτήτων της σειράς έτσι ώστε να προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά που διέπουν τη συμπεριφορά της. Αυτό γίνεται με τη χρονική όσο και τη φασματική ανάλυση (specral analysis). To δεύτερο μέρος με το οποίο θα ασχοληθούμε και περισσότερο αφορά τα υποδείγματα χρονολογικών σειρών (ime series models). Στα συγκεκριμένα υποδείγματα απώτερος σκοπός είναι η δημιουργία προβλέψεων και συνεπακόλουθα η μείωση της αβεβαιότητας και η καλύτερη εκτίμηση διαφόρων γεγονότων. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 6

7 . ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ Αντικειμενικός σκοπός της μελέτης χρονολογικών σειρών είναι η χρησιμοποίησή τους στη διενέργεια προβλέψεων. Η πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών μιας μεταβλητής μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους. Οι μέθοδοι αυτοί διαφέρουν ως προς την πολυπλοκότητα, την ταχύτητα, το κόστος υπολογισμού τους καθώς επίσης και από τη διαθεσιμότητα των απαραίτητων δεδομένων. Σε γενικές γραμμές, οι μέθοδοι πρόβλεψης (forecas mehods) διαχωρίζονται σε υποκειμενικές ή ποιοτικές (subjecive or qualiaive) και σε αντικειμενικές ή ποσοτικές (objecive or quaniaive).οι υποκειμενικές μέθοδοι πρόβλεψης, οι οποίες δεν θα μας απασχολήσουν ιδιαίτερα,γίνονται κυρίως από έμπειρους επιστημονικούς αναλυτές οι οποίοι χρησιμοποιούν τις γνώσεις τους σε συνδυασμό με την κρίση τους, για την ασφαλή διεξαγωγή συμπερασμάτων. Πρακτικά,δεν δίνουν βάρος σε μαθηματικές ή στατιστικές μεθόδους. Μια αρκετά διαδεδομένη ποιοτική μέθοδος είναι η μέθοδος των Δελφών, η οποία χρησιμοποιείται αρκετά στις επιχειρήσεις και βασίζεται στη συγκέντρωση πληροφοριών από ειδικές ομάδες εμπειρογνωμόνων. Αντιθέτως,οι αντικειμενικές μέθοδοι πρόβλεψης βασίζονται σε κάποιο μαθηματικό ή στατιστικό υπόδειγμα και σε ποσοτικά δεδομένα (model based forecass). Tα υποδείγματα αυτά χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τα αιτιατά (causal) και τα μη αιτιατά (non-causal). ΑΙΤΙΑΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ Με τα υποδείγματα αυτά κάνουμε προβλέψεις μιας μεταβλητής με βάση την οικονομική και στατιστική σχέση που συνδέει τη μεταβλητή μας με άλλες που σχετίζονται μαζί ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 7

8 της. Τέτοια υποδείγματα είναι τα οικονομετρικά υποδείγματα. Για τη διενέργεια προβλέψεων με τα οικονομετρικά ακολουθούνται τα εξής βήματα:. Θα πρέπει να προσδιοριστεί το οικονομικό υπόδειγμα που συνδέει την εξαρτημένη μεταβλητή με τις άλλες ερμηνευτικές (ανεξάρτητες μεταβλητές).. Χρειάζεται να γίνει εξειδίκευση του κατάλληλου στατιστικού που εκφράζει την οικονομική σχέση των μεταβλητών και να εκτιμάται με τις γνωστές οικονομετρικές μεθόδους. 3. Τέλος, γίνεται η εκτίμηση του επιλεγμένου υποδείγματος και στη συνέχεια γίνονται οι προβλέψεις βάση των εκτιμήσεων. ΣΕΙΡΩΝ ΜΗ ΑΙΤΙΑΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ Στα υποδείγματα χρονολογικών σειρών η πρόβλεψη στηρίζεται αποκλειστικά και μόνο στις προηγούμενες τιμές της ίδιας χρονολογικής σειράς που θέλουμε να προβλέψουμε. Δηλαδή, προβλέπουμε τη μελλοντική συμπεριφορά μιας χρονοσειράς όχι σε συνάρτηση άλλων σειρών αλλά εξετάζοντας την προηγούμενη συμπεριφορά της δηλαδή το ιστορικό της. Τα υποδείγματα χρονολογικών σειρών χωρίζονται σε καθοριστικά υποδείγματα (deerminisic models) τα οποία βασίζονται σε απλές μαθηματικές μορφές (υποδείγματα κινητών μέσων όρων, εκθετικής εξομάλυνσης και τάσης) αλλά και σε στοχαστικά υποδείγματα (sochasic models) όπως το υπόδειγμα μορφής Box-Jenkins.Με κάποια από τα παραπάνω υποδείγματα θα ασχοληθούμε διεξοδικά στη συνέχεια. Τα πλεονεκτήματα των χρονολογικών υποδειγμάτων σε σχέση με τα οικονομετρικά είναι πως είναι έχουν χαμηλότερο κόστος διενέργειας προβλέψεων και είναι λιγότερο πολύπλοκα. Αντιθέτως, βασικό τους μειονέκτημα είναι πως δεν στηρίζονται σε κάποια θεωρία που να εξηγεί πώς διαμορφώνονται οι τιμές της χρονολογικής σειράς. Θεωρούν δηλαδή πώς ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 8

9 αυτό που συνέβαινε στο παρελθόν θα εξακολουθήσει να συμβαίνει και στο μέλλον. Δεν υπάρχει ένας μηχανισμός που να επιτρέπει τυχόν μεταβολές στη διαμόρφωση των μελλοντικών τιμών πράγμα που συνεπάγεται μείωση της ακρίβειας των προβλέψεων ιδιαίτερα για μακροχρόνιες περιόδους. Για όλους τους παραπάνω λόγους οι μέθοδοι των χρονολογικών σειρών κρίνονται πιο κατάλληλες για βραχυχρόνιες προβλέψεις ενώ αντίθετα οι οικονομετρικές μέθοδοι είναι καταλληλότερες στη διενέργεια μακροχρόνιων προβλέψεων..3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Η απεικόνιση μιας χρονολογικής σειράς ως προς το χρόνο ονομάζεται χρονοδιάγραμμα(ime-plo).h μελέτη του χρονοδιαγράμματος μιας χρονοσειράς είναι εξαιρετικά χρήσιμη για τον προσδιορισμό βασικών χαρακτηριστικών της σειράς όπως η ύπαρξη τάσης, εποχικότητας κ.α. Στο σημείο παραθέτουμε κάποια διαγράμματα χρονολογικών σειρών τα οποία αφορούν κάποια βασικά μακροοικονομικά μεγέθη της Ελληνικής Οικονομίας όπως το ΑΕΠ(Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν),τις Ιδιωτικές και Δημόσιες επενδύσεις καθώς και τις Δημόσιες Δαπάνες. Σημειώνεται πως όλα τα στοιχεία προέρχονται από δημοσιεύματα της Ελληνικής Στατιστικής Υπηρεσίας. Στο παρακάτω διάγραμμα φανερώνεται η πορεία του ΑΕΠ της χώρας μας σε σταθερές τιμές 988 την περίοδο Παρατηρούμε πως σε γενικές γραμμές η πορεία είναι ανοδική με μικρές περιόδους μείωσης. Δηλαδή αναφερόμαστε σε μια μη στάσιμη χρονολογική σειρά (non-saionary) η οποία παρουσιάζει έντονα ανοδική τάση (rend).με άλλα λόγια, πρόκειται για μια σειρά που ο μέσος και η διακύμανση μεταβάλλονται μέσα στη δειγματική περίοδο με ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 9

10 αποτέλεσμα η κατανομή να μην είναι σταθερή. Όπως θα δούμε παρακάτω μετατρέπουμε πρώτα τη σειρά σε στάσιμη, έπειτα επιλέγουμε την κατάλληλη μορφή υποδείγματος που εξηγεί καλύτερα τα δεδομένα και τέλος ακολουθεί η εκτίμηση και η πρόβλεψη. Διάγραμμα. Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν (Δις.δρχ.-Σταθ.Τιμές 988) Στο επόμενο διάγραμμα φανερώνεται η πορεία των ιδιωτικών επενδύσεων στην Ελλάδα σε σταθερές τιμές το 998.Η πορεία είναι μεν ανοδική αλλά όχι τόσο ομαλή όσο στο διάγραμμα του ΑΕΠ. Οι μεγαλύτερες αυξομειώσεις παρουσιάζονται στη δεκαετία και οφείλονται σε διάφορες συγκυρίες της εποχής. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

11 Διάγραμμα. Ιδιωτικές Επενδύσεις (Δις.δρχ-Σταθ.Τιμές 988) Στο επόμενο διάγραμμα παρουσιάζονται οι δημόσιες επενδύσεις ως ποσοστό του ΑΕΠ. Το ποσοστό αυτό χαρακτηρίζεται από συνεχείς αυξομειώσεις γύρω από ένα σταθερό μέσο επίπεδο που κυμαίνεται περίπου στο 6% του ΑΕΠ. Η συγκεκριμένη σειρά δεν φαίνεται να έχει σημαντική τάση ούτε σταθερή διακύμανση σε όλη την περίοδο κάτι που καθιστά απαραίτητο τον έλεγχο στασιμότητας. Διάγραμμα.3 Δημόσιες Επενδύσεις ως % του ΑΕΠ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

12 Το τελευταίο διάγραμμα απεικονίζει τις δημόσιες δαπάνες σε σταθερές τιμές 97 της περιόδου Στο συγκεκριμένο διάγραμμα υπάρχει τάση αλλά και εποχικότητα κάτι που αποτελεί δείγμα μη στασιμότητας στη συγκεκριμένη χρονολογική σειρά. Διάγραμμα.4 Δημόσιες Δαπάνες.4 ΚΛΑΣΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η κλασική μέθοδος ανάλυσης μιας χρονολογικής σειράς αποβλέπει στο διαχωρισμό αυτής της χρονολογικής σειράς στις επιμέρους συνιστώσες της που περιλαμβάνουν: Tη μακροχρόνια τάση(long-run rend) Την κυκλική Συνιστώσα (cyclical componen) Την εποχιακή Συνιστώσα(seasonal componen) Την τυχαία Συνιστώσα(random componen) Τον διαχωρισμό της χρονολογικής σειράς στις επιμέρους συνιστώσες της μπορεί να επιτευχθεί με μη στοχαστικά υποδείγματα: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

13 Το πολλαπλασιαστικό υπόδειγμα Το προσθετικό υπόδειγμα ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ (MULTIPLICATIVE MODEL) Το υπόδειγμα αυτό εκφράζεται ως: Y T C S R Όπου: T=μακροχρόνια τάση, C=κυκλική συνιστώσα, S=εποχιακή συνιστώσα και R=τυχαία συνιστώσα ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΤΑΣΗ (SECULAR TREND) Η τάση μιας χρονολογικής σειράς αναφέρεται σε μια σχετικά σταθερή συμπεριφορά ή κατεύθυνση της χρονολογικής σειράς η διάρκεια της οποίας είναι μεγαλύτερη του ενός έτους. Δηλαδή, η τάση περιγράφει την καθαρή επιρροή μακροχρόνιων παραγόντων της χρονοσειράς απαλλαγμένη από κυκλικές, εποχιακές και τυχαίες επιδράσεις.για παράδειγμα, οι καταναλωτικές δαπάνες ενός καταναλωτή για ένα συγκεκριμένο αγαθό μπορεί μακροχρόνια να επηρεαστούν από διάφορους παράγοντες όπως εισόδημα, εποχικότητα του προϊόντος, καταναλωτικές συνήθειες, πολέμους κ.τ.λ. Όμως έχει αποδειχθεί εμπειρικά πως το εισόδημα του καταναλωτή είναι ο σημαντικότερος παράγοντας που επηρεάζει τις καταναλωτικές δαπάνες που μεταβάλλονται από περίοδο σε περίοδο με σταθερή αναλογία. Η καμπύλη που αναπαριστά την τάση μιας χρονικής σειράς δεν είναι απαραίτητα γραμμική. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 3

14 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ Προηγουμένως αναφερθήκαμε στο γεγονός πως η τάση μιας χρονοσειράς μπορεί να είναι γραμμική ή μη γραμμική. Ο πιο εύκολος τρόπος για να μετρήσουμε την τάση είναι το υπόδειγμα παλινδρόμησης το οποίο θα έχει εξαρτημένη μεταβλητή τις τιμές της χρονοσειράς και ανεξάρτητη μεταβλητή τη χρονική περίοδο. Η μαθηματική μορφή του υποδείγματος τάσης ποικίλει και η εκλογή της κατάλληλης μαθηματικής μορφής είναι αντικείμενο στατιστικού ελέγχου. Διάγραμμα.5 Τάση Χρονολογικών Σειρών Εμείς θα ασχοληθούμε με την εξίσωση γραμμικής τάσης (linear rend ) η οποία έχει την εξής μορφή: Y Η γραμμική εξίσωση της τάσης είναι η απλούστερη και εκφράζεται με απόλυτους αριθμούς Y =τάση της χρονολογικής σειράς για την περίοδο,,... N και μετράει τη ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 4

15 μέση μεταβολή της χρονοσειράς ανά μονάδα χρόνου.καθαρά πληροφοριακά αξίζει να αναφέρουμε πως υπάρχουν ακόμα και κάποιες άλλες μορφές τάσεων όπως: Λογαριθμική τάση(logarihmic rend) Y ln ln Εκθετική τάση(exponenial rend) Y e Λογιστική τάση(logisic rend) Y e Πολυωνυμιακή τάση(polynomial rend) Y Gomperz τάση (Gomperz rend) Η γραμμική εξίσωση της τάσης είναι η απλούστερη καθώς εκφράζεται σε απόλυτους αριθμούς, εκτιμάται με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων OLS και έχει τη μορφή: Y όπου Y είναι η τάση της χρονολογικής σειράς για την χρονική περίοδο,,,... N και το μετράει της χρονολογικής σειράς ανά μονάδα χρόνου. Y X ΑΠΟΜΟΝΩΣΗ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ Για να εντοπίσουμε τις λοιπές συνιστώσες μιας χρονολογικής σειράς θα πρέπει η επίδραση της τάσης στις τιμές της χρονολογικής σειράς να απομακρυνθεί από τα στοιχεία του δείγματος. Η απομάκρυνση της τάσης στο πολλαπλασιαστικό υπόδειγμα επιτυγχάνεται διαιρώντας τις τιμές της χρονολογικής σειράς με τις αντίστοιχες της μακροχρόνιας Y T C S R Y T T τάσης.έχουμε δηλαδή τον εξής τύπο: C S R Όπου * Y είναι οι τιμές της χρονολογικής σειράς απαλλαγμένης της τάσης * ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 5

16 Διάγραμμα.6 Τιμές Χρονολογικής Σειράς και Γραμμή Τάσης Στον παραπάνω πίνακα δίνονται στατιστικά που δείχνουν τις πωλήσεις ενός αγαθού την χρονική περίοδο Η γραμμή τάσης είναι Y ,η κλίση.65 φανερώνει πως η μέση τιμή της τάσης αυξάνει με.65δρχ.το χρόνο. Οι τιμές της τάσης υπολογίζονται με τον εξής τρόπο: T (.65)() 7.9 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 6

17 T (.65)(6).3 T (.65)(9).95 ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ (CYCLICAL COMPONENT) Η κυκλική συνιστώσα μιας χρονολογικής σειράς μετράει τις αποκλίσεις των τιμών γύρω από τη μακροχρόνια τάση της και έχει διάρκεια μεγαλύτερη του ενός έτους. Δεν αμφισβητείται πως η απομόνωση και η μέτρηση της κυκλικής συνιστώσας είναι αρκετά δύσκολη(με εξαίρεση τους εμπορικούς κύκλους).ο εντοπισμός της και η μέτρησή της μπορεί να γίνει με τη μέθοδο του ποσοστού της τάσης(percenage of rend).η διαδικασία της μεθόδου έχει ως εξής: Το υπόδειγμα της χρονολογικής σειράς στη γραμμική του μορφή εκτιμάται με την OLS γνωστή και ως μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Χρησιμοποιώντας τη γραμμή τάσης, υπολογίζουμε για κάθε χρονική περίοδο τις αντίστοιχες τιμές της. Υπολογίζουμε το λόγο των τιμών της χρονολογικής σειράς και των αντιστοίχων τιμών της τάσης. Αν βρεθούν τυχόν αποκλίσεις αυτής της διαίρεσης γύρω από τη μονάδα αυτό αποδίδεται στις εποχιακές και τυχαίες επιδράσεις στη χρονολογική σειρά. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 7

18 Πίνακας. Πωλήσεις Αεροπορικών Εισιτηρίων της Ο.Α σε χιλιάδες Εκτιμούμε τη γραμμή τάσης που είναι: Y οι τιμές της τάσης για την περίοδο δίνονται στην τρίτη στήλη του πίνακα. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις τιμές του λόγου της χρονολογικής σειράς και της τάσης που δίνονται στην τελευταία στήλη του πίνακα. Παρατηρούμε πως οι μισές τιμές της τελευταίας στήλης είναι χαμηλότερες του σημείου αναφοράς() και οι υπόλοιπες μισές υψηλότερες. Τέλος οι αποκλίσεις γύρω από το % της τάσης εντοπίζουν την ύπαρξη κυκλικών διακυμάνσεων στην χρονοσειρά κάτι το οποίο αποτελεί σημαντικό πρόβλημα ειδικότερα όταν το υπόδειγμα χρησιμοποιηθεί για μελλοντικές προβλέψεις. Τα επόμενα διαγράμματα παρουσιάζουν τις πωλήσεις και τη γραμμή τάσης(.7) και τις κυκλικές και τυχαίες επιδράσεις(.8). ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 8

19 Διαγράμματα.7 Γραμμή Τάσης και.8 Κυκλικές και Τυχαίες Διακυμάνσεις ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 9

20 ΕΠΟΧΙΑΚΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΚΑΙ ΕΠΟΧΙΑΚΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ SEASONAL COMPONENT- SEASONAL INDICES a.η εποχιακή συνιστώσα θεωρείται η πηγή των εμπορικών και οικονομικών χρονολογικών σειρών. Η βασική της διαφορά με την κυκλική συνιστώσα είναι η διάρκεια(duraion) καθώς μπορεί να εμφανισθεί με διάρκεια μιας εβδομάδας, ενός μήνα ή και ενός τριμήνου. Η εποχιακή συνιστώσα μετράται με τους εποχιακούς δείκτες(seasonal indices) που θα αναλύσουμε ευθύς αμέσως. b. Οι εποχιακοί δείκτες μιας χρονοσειράς κατασκευάζονται με την παρακάτω διαδικασία: BHMA To πρώτο στάδιο περιλαμβάνει την εξομάλυνση της χρονολογικής σειράς. Η εξομάλυνση επιτυγχάνεται με τον υπολογισμό των κινητών μέσων(moving averages). Xαρακτηριστικό των κινητών μέσων στο πολλαπλασιαστικό υπόδειγμα είναι πως απομονώνουν τις εποχιακές και τυχαίες επιδράσεις από τη χρονολογική σειρά. ΒΗΜΑ Στο δεύτερο στάδιο υπολογίζουμε το λόγο των τιμών της χρονολογικής σειράς και των Y T C S R κινητών μέσων. Δηλαδή: KM T C S R KM Όπου T C κινητός μέσος. Ο κινητός μέσος μας δίνει την κυκλική συνιστώσα και τη συνιστώσα της τάσης(rend-cyclical componen). ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

21 ΒΗΜΑ 3 Στο βήμα αυτό για κάθε χρονική περίοδο υπολογίζουμε τους αριθμητικούς μέσους των λόγων S R. Η διαδικασία αυτή απομακρύνει τη χρονολογική σειρά από τυχαίες αποκλίσεις και είναι ένα μέτρο της εποχιακής συνιστώσας. Στον παρακάτω πίνακα θα παραθέσουμε στατιστικά στοιχεία που αναφέρονται στο ποσοστό πληρότητας ξενοδοχείων της Αττικής την περίοδο Πίνακας. Ποσοστό Πληρότητας Ξενοδοχείων Αττικής(99-995) Βάσει των στοιχείων του πίνακα υπολογίζουμε αρχικά τους κινητούς μέσους / / ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

22 Στη συνέχεια υπολογίζουμε τους κεντρικούς κινητούς μέσους TC /.66 TC /.666 Έπειτα υπολογίζεται η εποχιακή συνιστώσα, δηλαδή διαιρούμε τις παρατηρήσεις της χρονολογικής σειράς με τις αντίστοιχες τιμές των κεντρικών κινητών μέσων SI TC / Y.8 /.66.3 μέχρι το SI 6 Τέλος υπολογίζουμε τους εποχιακούς δείκτες με την εξής διαδικασία: )οι δείκτες SI της τελευταίας στήλης συγκεντρώνονται ανά τρίμηνο )υπολογίζουμε τους αριθμητικούς μέσους ανά τρίμηνο 3)αθροίζουμε τους τριμηνιαίους μέσους 4)διαιρούμε κάθε τριμηνιαίο μέσο με το σύνολο του και το αποτέλεσμα πολλαπλασιάζεται με εκείνο τον αριθμό που οδηγεί το μέσο εποχιακό δείκτη να ισούται με τη μονάδα. Οι εποχιακοί δείκτες του παραπάνω πίνακα δίνονται στο παρακάτω διάγραμμα. Είναι εύκολα αντιληπτό πως το ποσοστό πληρότητας των ξενοδοχείων της Αττικής ήταν χαμηλότερα του ετησίου ποσοστού πληρότητας το πρώτο και το τρίτο τρίμηνο και μεγαλύτερο του ετησίου ποσοστού πληρότητας στα άλλα δύο τρίμηνα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

23 Πίνακας.3 Χρονολογικές Σειρές: Εποχιακοί Δείκτες ΤΥΧΑΙΑ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ(RANDOM COMPONENT) H τυχαία συνιστώσα (απόκλιση) μιας χρονολογικής σειράς δεν επηρεάζεται από τις άλλες συνιστώσες και δεν επαναλαμβάνεται σε τακτά χρονικά διαστήματα. Υπολογίζεται ως εξής: R Y CT S ΤΟ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ(ADDITIVE MODEL) To προσθετικό υπόδειγμα μιας χρονολογικής σειράς εκφράζεται ως εξής: Y T C S R ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 3

24 Διάγραμμα.9 Χρονολογικές Σειρές:Eποχιακοί Δείκτες ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 4

25 Διάγραμμα. Χρονολογική Σειρά και οι Συνιστώσες της ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 5

26 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Οι μέθοδοι εξομάλυνσης (smoohing mehods) μιας χρονολογικής σειράς έχουν ως σκοπό στην απομάκρυνση της τυχαίας συνιστώσας και υποβαθμίζουν την τάση αλλά και την εποχιακή και κυκλική συνιστώσα αντίστοιχα. Πρακτικά, οι επικρατέστερες μέθοδοι εξομάλυνσης χρονολογικών σειρών είναι: Mέθοδος κινητών μέσων (moving average mehod) Μέθοδος εκθετικής εξομάλυνσης (exponenial smoohing mehod) ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕΣΩΝ Η διαδικασία εξομάλυνσης χρονολογικών σειρών με τη μέθοδο κινητών μέσων περιλαμβάνει τα παρακάτω στάδια. ) Με δεδομένες τις παρατηρήσεις της χρονολογικής σειράς και γνωρίζοντας σε πόσες περιόδους επιθυμούμε τον υπολογισμό των κινητών μέσων υπολογίζουμε τα κινητά σύνολα (moving oals). ) Τα κινητά σύνολα διαιρούνται με τον αριθμό των παρατηρήσεων σε κάθε υποσύνολο, το πηλίκο των οποίων μας δίνει τους κινητούς μέσους. Στις χρονολογικές σειρές που έχουμε περιττό αριθμό παρατηρήσεων δεν υπολογίζονται κινητοί μέσοι για τις πρώτες και τελευταίες χρονικές περιόδους( κ= αριθμός παρατηρήσεων για κάθε κινητό σύνολο). 3) Υπολογίζουμε τη διαφορά ανάμεσα στις τιμές της χρονολογικής σειράς και των κινητών μέσων. Η διαφορά αυτή μετράει τις αποκλίσεις της χρονολογικής σειράς γύρω από τους κινητούς μέσους. Όλα αυτά φαίνονται και στον παρακάτω πίνακα: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 6

27 Πίνακας.4 Πωλήσεις Βενζίνης Η μέθοδος των κινητών παρουσιάζει ένα σοβαρό μειονέκτημα. Πιο συγκεκριμένα δεν περιλαμβάνει κινητούς μέσους για μερικές από τις πρώτες και τελευταίες παρατηρήσεις της χρονολογικής σειράς. Το γεγονός αυτό συντελεί στην απώλεια πληροφοριών σχετικά με τη χρονολογική σειρά. Στο πρώτο διάγραμμα φαίνεται η συμπεριφορά των πωλήσεων της βενζίνης, επειδή όμως παρουσιάζονται τυχαίες μεταβολές δεν μπορούμε να εντοπίσουμε τις συνιστώσες της χρονολογικής σειράς. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 7

28 Στο δεύτερο διάγραμμα διαπιστώνουμε πως η χρονολογική σειρά παρουσιάζει κορυφές (peaks) στο τρίτο τρίμηνο κάθε έτους, πεδιάδες (valleys) πάλι στο πρώτο τρίμηνο κάθε έτους και πως γενικά η σειρά παρουσιάζει μακροχρόνια τάση των πωλήσεων της βενζίνης. Μέσων Διάγραμμα. Εξομάλυνση Χρονολογικών Σειρών: Η Μέθοδος των Κινητών ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 8

29 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗΣ Η εκθετική μέθοδος εξομάλυνσης μιας χρονολογικής σειράς βασίζεται στην αρχή πως οι πρόσφατες τιμές της σειράς έχουν μεγαλύτερη βαρύτητα από εκείνες παλαιότερων περιόδων και δίνεται από την εξής σχέση S Y S για όπου Y τιμή της χρονολογικής σειράς την περίοδο S εξομαλυσμένη τιμή της σειράς την περίοδο σταθμιστής (weigh) Στο τελευταίο διάγραμμα διαπιστώνεται η συμπεριφορά της σειράς στις αρχικές αλλά και στις τιμές εξομάλυνσης. Διαπιστώνουμε πως ο βαθμός εξομάλυνσης της σειράς εξαρτάται από την τιμή του συντελεστή εξομάλυνσης (όταν. έχουμε καλύτερη εξομάλυνση από.7 ). Διάγραμμα. Εκθετική Εξομάλυνση Χρονολογικών Σειρών ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 9

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Στοχαστικά Υποδείγματα Χρονολογικών σειρών Τα στοχαστικά υποδείγματα (sochasic models) βασίζονται στην ιδέα ότι μια χρονολογική σειρά της οποίας οι διαδοχικές τιμές συσχετίζονται σε μεγάλο βαθμό, μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει παραχθεί από μια στοχαστική διαδικασία(sochasic process).στα περισσότερα στατιστικά προβλήματα προσπαθούμε να εκτιμήσουμε τις ιδιότητες του πληθυσμού από το δείγμα. Στις χρονολογικές σειρές όμως δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερες από μια παρατηρήσεις για κάθε μια μεταβλητή σε συγκεκριμένο χρόνο. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε τις παρατηρούμενες τιμές της χρονολογικής σειράς(observed ime series) ως ένα δείγμα από ένα άπειρο πληθυσμό τέτοιων δειγμάτων, τα οποία θα μπορούσαν να είχαν παραχθεί από την ίδια στοχαστική διαδικασία. Η έννοια του πληθυσμού της Στατιστικής αντιστοιχεί στην έννοια της στοχαστικής διαδικασίας και η έννοια του δείγματος στην παρατηρούμενη σειρά. Ένα απλό παράδειγμα μιας στοχαστικής χρονολογικής σειράς y είναι να θεωρήσουμε ότι οι διαδοχικές μεταβολές των τιμών της είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με μέσο το μηδέν, έχουν δηλαδή αυτή τη μορφή: y y.η μεγαλύτερη δυσκολία που αντιμετωπίζουμε στην ανάλυση χρονολογικών σειρών έχει να κάνει με την επιλογή του πιο κατάλληλου υποδείγματος. Αυτό επιτυγχάνεται με την εξέταση της δομής των ιστορικών δεδομένων της χρονολογικής σειράς με συγκεκριμένα στατιστικά μέτρα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 3

31 . Στασιμότητα (Saionary) Η στασιμότητα είναι πολύ σημαντική έννοια καθώς είναι απαραίτητη προϋπόθεση για τα περισσότερα εργαλεία της ανάλυσης χρονολογικών σειρών. Μια στοχαστική διαδικασία χαρακτηρίζεται ως στάσιμη όταν οι στατιστικές της ιδιότητες δεν επηρεάζονται από μια μεταβολή στην αρχή του χρόνου. Οι στατιστικές ιδιότητες των παρατηρήσεων με αρχή y, y,, y είναι οι ίδιες με τις στατιστικές ιδιότητες των παρατηρήσεων με αρχή N την περίοδο k y, y,, y. k k k N Μια χρονολογική σειρά θα είναι στάσιμη αν ο μέσος και η διακύμανση της δεν μεταβάλλονται με το χρόνο και η συνδιακύμανση μεταξύ των τιμών της σε δύο χρονικά σημεία εξαρτάται μόνο από την απόσταση ανάμεσα σε αυτά χρονικά σημεία και όχι από τον ίδιο το χρόνο. Για μια στάσιμη χρονολογική σειρά και για κάθε τιμή του θα ισχύουν: a) E y y b) Var y E y E y y c),, Cov y y Cov y y k m mk k Οι δύο πρώτες συνθήκες δηλώνουν σταθερό μέσο και διακύμανση ενώ η τελευταία υποδηλώνει ότι η συνδιακύμανση μεταξύ δύο οποιονδήποτε τιμών y που απέχουν k περιόδους είναι συνάρτηση μόνο του k, δηλαδή της χρονικής υστέρησης ή προήγησης των δύο αυτών τιμών και ονομάζεται αυτοσυνδιακύμανση. Επίσης, αν μια χρονολογική σειρά είναι στάσιμη, τότε θα έχει σταθερή κατανομή πυκνότητας πιθανότητας f y για κάθε και επομένως μια εκτίμηση του μέσου y και της ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 3

32 διακύμανσης y μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας το μέσο και τη διακύμανση αντίστοιχα του δείγματος των παρατηρήσεων της χρονολογικής σειράς y N y N και y N N y y Στην οικονομία οι περισσότερες χρονολογικές σειρές που συναντάμε είναι μη στάσιμες αφού περιέχουν τάση, εποχικότητα και κυκλικές κυμάνσεις. Η ανάλυση αυτών των μη στάσιμων χρονολογικών σειρών είναι πολύ δύσκολη αλλά μπορούν με κατάλληλες τεχνικές να μετατραπούν σε στάσιμες και να μελετηθούν με τις μεθόδους ανάλυσης στάσιμων χρονολογικών σειρών που είναι πολύ απλούστερες. Για παράδειγμα, πολλές χρονολογικές σειρές μετατρέπονται σε στάσιμες, αφαιρώντας την τάση ή παίρνοντας διαδοχικά πρώτες διαφορές στα δεδομένα στοιχεία..3 Αυτοσυνδιακύμανση και Αυτοσυσχέτιση Όπως έχουμε αναφέρει η αυτοσυνδιακύμανση (auocovariance) μέτρα τη συνδιακύμανση μεταξύ δύο παρατηρήσεων της ίδιας χρονολογικής σειράς που βρίσκονται σε κάποια απόσταση μεταξύ τους. Έτσι, η αυτοσυνδιακύμανση μεταξύ y και y k που απέχουν k χρονικές περιόδους συμβολίζεται με k και ορίζεται ως:, k Cov y y k E y E y y k E y k Για μια στάσιμη χρονολογική σειρά, όπως είδαμε προηγουμένως θα έχουμε E y E y οπότε k y ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 3

33 α) k Cov y, y k E y y y k y β) Cov y y, y, k (αυτοσυνδιακύμανση μηδενικής υστέρησης) Πιο χρήσιμος είναι ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ δύο παρατηρήσεων y και y k που απέχουν k χρονικές περιόδους και ορίζεται ως ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης (auocorrelaion coefficien): k Cov y, y k Var( y ) Var( y ) k Αν μιλάμε για στάσιμη χρονολογική σειρά, τότε η διακύμανση δεν μεταβάλλεται με το χρόνο και άρα Var y Var( y ) Συνεπώς και με την βοήθεια των σχέσεων α) και β) ο k y συντελεστής αυτοσυσχέτισης απλοποιείται ως:, k k Cov y y k Var y Οι σχέσεις k και k αναφέρονται στις θεωρητικές τιμές των αυτοσυνδιακυμάνσεων και των συντελεστών αυτοσυσχέτισης της στοχαστικής διαδικασίας y.στην πράξη όμως χρησιμοποιούμε ένα πεπερασμένο δείγμα παρατηρήσεων y, y, yn από το οποίο λαμβάνουμε εκτιμήσεις των αληθινών στον πληθυσμό αυτοσυνδιακυμάνσεων και αυτοσυσχετίσεων. Συμβολίζοντας με y το μέσο του δείγματος των Ν παρατηρήσεων θα έχουμε: N k k y y y k y N ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 33

34 k k N k y y y k y N y y Οι εκτιμήσεις των k με βάση την παραπάνω σχέση αποτελούν τους δειγματικούς συντελεστές αυτοσυσχέτισης. Αν για την χρονολογική σειρά έχουμε μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων τότε η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης k θα πλησιάζει κατά προσέγγιση την αληθινή αυτοσυσχέτιση. Οι τιμές που παίρνει το είναι μεταξύ και επειδή η συνάρτηση k αυτοσυσχέτισης είναι συμμετρική ( k k ) εξετάζουμε μόνο τις θετικές τιμές του k. Οπότε αν έχουμε δύο παρατηρήσεις που απέχουν k χρονικές περιόδους έχουν μεγάλη σχέση μεταξύ k τους τότε η τιμή του ρ k θα είναι κοντά στη μονάδα. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης k συμβολίζεται και ως ACF..4 Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης και Έλεγχος Στασιμότητας Η διαγραμματική απεικόνιση των τιμών της μας δίνει το διάγραμμα συνάρτησης αυτοσυσχέτισης (correlogram) και έτσι μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μια χρονολογική σειρά είναι στάσιμη ή όχι. Για μια στάσιμη χρονοσειρά όπως φαίνεται και παρακάτω οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης φθίνουν γρήγορα προς το μηδέν καθώς μεγαλώνει ο αριθμός των υστερήσεων k ενώ αντίθετα δεν συμβαίνει το ίδιο στις μη στάσιμες χρονολογικές σειρές. Στο σημείο αυτό παραθέτουμε διαγράμματα το ένα στασιμότητας και το άλλο μη στασιμότητας. Στο πρώτο παρατηρούμε πως η σειρά είναι στάσιμη ενώ στο δεύτερο η σειρά είναι μη στάσιμη λόγω της ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 34

35 αργής μείωσης των διαδοχικών συντελεστών αυτοσυσχέτισης. Οι μη στάσιμες σειρές μετατρέπονται σε στάσιμες παίρνοντας πρώτες ή δεύτερες διαφορές ή με τη χρήση λογαρίθμου. Διάγραμμα. Στάσιμη Χρονολογική Σειρά Διάγραμμα. Μη Στάσιμη Χρονολογική Σειρά ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 35

36 Άσκηση Οι πωλήσεις ενός προϊόντος y δίνονται στο παρακάτω πίνακα Να υπολογιστούν οι αυτοσυναδιακυμάνσεις και οι μερικές αυτοσυσχετίσεις. Απάντηση Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα ως εξής: Y Y + Y -Y Y + -Y Y + -Y Y + _ 895 _ 48,3 38, ,3 38,3 3, ,3 3,3-8, ,3-8,87-46, ,87-46,87-6, ,87-6,87 3, ,87 3,3 43, ,3 43, _ 43,3 _ Σύνολο = = = = (4.775) =.846,87 = = Var( ) = = (.36, , , , ,79 + 7,99 + 9, ,9) = (59.796,8) =7.474,6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 36

37 = / = [(*48,3) + (48,3*38,3) + (38,3*3,3) + (3,3*(-8,87)) + (-8,87*(-46,87)) + (-46,87*(-6,87)) + (-6,87*3,3) + (3,3*43,3) + (43,3*)] / [ 48,3 + 38,3 + 3,3 + (-8,87) + (-46,87) + (-6,87) + 3,3 + 43,3 = (6.648,9 +.94,94-4.6, ,4 +.59,39-84, + 34,99) / ,8 =3.47/59.796,8 =,5 = / = -.5,3 / ,63 = -,37 = =,5 = (- ) / (- ) = (-,37,5 ) / (-,5 ) = -,4 /,95 = -,443 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 37

38 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ BARTLETT (Barle s Tes) O έλεγχος του Barle βασίζεται στην υπόθεση ότι η χρονολογική σειρά είναι στάσιμη και οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης του δείγματος ακολουθούν προσεγγιστικά την κανονική κατανομή με μηδενικό μέσο και διακύμανση N ( N μέγεθος του δείγματος). Επομένως για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης έχουμε: H : και η εναλλακτική είναι: : τα οποία συγκρίνουμε με την τιμή του στατιστικού :.O έλεγχος Barle ισχύει για μεγάλα δείγματα και εξετάζει μεμονωμένα κάθε συντελεστή αυτοσυσχέτισης. Για να ελέγξουμε την υπόθεση ότι από κοινού ένας αριθμός συντελεστών διαφέρει ή όχι από το μηδέν χρησιμοποιούμε το στατιστικό κριτήριο Q των Box-Pierce. B. Q ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Box-Pierce Tes) O έλεγχος στασιμότητας μιας χρονολογικής σειράς με τη στατιστική Box-Pierce χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της συνδυαστικής υπόθεσης ότι όλοι οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης είναι μηδέν ορίζεται ως εξής: Q N Όπου N μέγεθος του δείγματος και m μήκος χρονικής υστέρησης.η στατιστική Q m k k ακολουθεί την X κατανομή με m βαθμούς ελευθερίας. Αν Q X a, m η χρονολογική σειρά δεν είναι στάσιμη και αντιστρόφως. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 38

39 Γ.ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ BOX-LJUNG Η στατιστική των Box-Lung αν και ακολουθεί την X, a m δίνει καλύτερα αποτελέσματα από την Q στατιστική όταν εφαρμόζεται σε μικρά δείγματα και ορίζεται ως m εξής: LB k N N X m. Αν LB X a, m k N k στασιμότητας της χρονολογικής σειράς απορρίπτεται. τότε η υπόθεση της.5 Μερική Αυτοσυσχέτιση Μια άλλη συνάρτηση που θα εξετάσουμε και χρησιμοποιείται πολύ στη μελέτη χρονολογικών σειρών είναι η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης. Γενικότερα, ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης rxy z,..., : zv μετρά τη συσχέτιση των δύο μεταβλητών x και y όταν έχει αφαιρεθεί η επίδραση που ασκούν άλλες μεταβλητές όπως οι z,..., z v πάνω σε αυτές. Στις χρονολογικές σειρές ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης μεταξύ y και y k ορίζεται ως ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ τους όταν έχουν ληφθεί υπόψη οι συσχετίσεις όλων των ενδιάμεσων τιμών y, y,..., y k. Η παλινδρόμηση μπορεί να εξηγήσει καλύτερα την έννοια της μερικής αυτοσυσχέτισης. Θεωρούμε την παλινδρόμηση της y πάνω στις y και y : y y y ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 39

40 Ο αριστερά δείκτης του φανερώνει τη χρονική υστέρηση της μεταβλητής και αντίστοιχα ο δεξιά δείκτης δηλώνει τη μέγιστη τάξη παλινδρόμησης (ισχύουν για την y ). Ο συντελεστής της y μετρά το συντελεστή μερικής αυτοσυσχέτισης δεύτερης τάξεως ( ) διότι αυτός δείχνει τη συσχέτιση μεταξύ των y και y όταν έχει συμπεριληφθεί στην παλινδρόμηση η ενδιάμεση y. Γενικότερα, ο συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης p τάξεως συμβολίζεται με το γράμμα pp και είναι ο συντελεστής του y p στην παλινδρόμηση. Δηλαδή : y y y y p p... pp p σημειώνουμε εδώ πως ο συντελεστής πρώτης τάξης ταυτίζεται με τον απλό συντελεστή αυτοσυσχέτισης.πρακτικά υποδείγματα όπως τα παραπάνω τα εκτιμούμε ξεκινώντας μια χρονική υστέρηση του y και προσθέτοντας από μια υστέρηση κάθε φορά. Οι εκτιμήσεις ελαχίστων τετραγώνων των συντελεστών ss σε κάθε τέτοιο υπόδειγμα για s,,..., p μας δίνει τη σειρά των μερικών αυτοσυσχετίσεων,, 33,..., pp.οι τρεις πρώτοι συντελεστές που προκύπτουν από τις εκτιμήσεις των υποδειγμάτων είναι: προκύπτει από y y το προκύπτει από y y y το το 33 προκύπτει από y 3 y 3 y 33 y3 3 Οι τιμές του ss για τις διάφορες τιμές του s,,... αποτελούν τη συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης (parial auocorrelaion funcion) και συμβολίζεται με τα γράμματα PACF.Τόσο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 4

41 η μορφή του PACF αλλά και του ACF μας χρησιμεύουν στον προσδιορισμό της μορφής της στοχαστικής διαδικασίας που δημιούργησε τη δεδομένη χρονολογική σειρά..6 Τυχαία Χρονολογική Σειρά Μια τυχαία χρονολογική σειρά ονομάζεται αυτή η οποία έχει τυχαία μεταβλητή ή αλλιώς λευκό θόρυβο (whie noise). Μια σειρά ονομάζεται λευκός θόρυβος αν δεν έχει κανένα ευκρινές σχήμα ή πρότυπο και συμβολίζεται με ε.τα χαρακτηριστικά της είναι ότι έχει σταθερό μέσο(συνήθως μηδέν), σταθερή διακύμανση και οι τιμές της δεν αυτοσυσχετίζονται. Γενικότερα για κάθε τιμή του θα έχουμε: για k k k Άρα, μια τέτοια σειρά είναι πάντα στάσιμη και έχει μηδενικούς συντελεστές αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης. Χαρακτηριστικότερο παράδειγμα αποτελούν οι τυχεροί αριθμοί ΤΖΟΚΕΡ και ΛΟΤΤΟ που καταγράφονται κάθε εβδομάδα και είναι διαδικασία λευκού θορύβου. Σε αυτές τις περιπτώσεις οι προηγούμενες τιμές της σειράς δεν χρησιμεύουν καθόλου στην πρόβλεψη μελλοντικών τυχερών αριθμών. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 4

42 Διάγραμμα.3 Διαδικασία Τυχαίας Χρονολογικής Σειράς (λευκός θόρυβος) Διάγραμμα.4 Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης Τυχαίας Χρονολογικής Σειράς.7 Υπόδειγμα Τυχαίας Διαδρομής Στα υποδείγματα τυχαίας διαδρομής(random walk) κάθε τιμή της χρονολογικής σειράς Y,προκύπτει από την αμέσως προηγούμενη Y με την προσθήκη ενός τυχαίου σφάλματος, δηλαδή έχουμε την εξής σχέση: Y Y,=,T όπου είναι λευκός θόρυβος(μηδενικού ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 4

43 μέσου).στο υπόδειγμα τυχαίας διαδρομής βλέπουμε ότι οι διαδοχικές μεταβολές των τιμών της Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. y y y Εξετάζοντας πρώτα πως εξελίσσεται διαχρονικά αυτή η σειρά, θεωρούμε ότι η αρχική τιμή της y ισούται με y και κάνοντας διαδοχικές αντικαταστάσεις έχουμε: y y y y y y y... y e i i Η εξίσωση αυτή είναι και η γενική λύση της εξίσωσης διαφορών πρώτης τάξης που αντιπροσωπεύει η τυχαία διαδρομή. Καταλήγουμε δηλαδή στο συμπέρασμα πως οι διαδοχικές παρατηρήσεις της χρονολογικής σειράς y είναι από κοινού εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές αφού συσχετίζονται γραμμικά με τις ίδιες προηγούμενες τιμές των τυχαίων σφαλμάτων.το υπόδειγμα τυχαίας διαδρομής αποδεικνύεται μη στάσιμο καθώς ενώ έχει σταθερό μέσο y E y,η διακύμανση αλλά και οι διακυμάνσεις των τιμών δεν παραμένουν σταθερά διαχρονικά. Για την ύπαρξη στασιμότητας θα πρέπει να ισχύουν και οι τρεις συνθήκες. Άρα για το μέσο έχουμε τα εξής: E y E y y E E E y Εφόσον E( ). Για τις διακυμάνσεις ισχύουν τα εξής: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 43

44 var y E y E y E y y E E i... E αφού ισχύει: E Όσων αφορά τη διακύμανση,... Cov y y E k k k E k k... k έχουμε σαν δεδομένο πως το είναι λευκός θόρυβος που έχει μέσο μηδέν, σταθερή διακύμανση για όλα τα και οι διακυμάνσεις είναι μηδενικές για κάθε s s.καταλήγουμε δηλαδή στο συμπέρασμα πως η σειρά είναι μη στάσιμη παρότι έχει σταθερό μέσο διότι τόσο η διακύμανση αλλά και οι διακυμάνσεις της είναι συναρτήσεις του χρόνου,προσεγγίζοντας μάλιστα το άπειρο καθώς το τείνει εκεί. Παίρνοντας όμως τις πρώτες διαφορές δηλαδή y y y η σειρά γίνεται στάσιμη με μηδενικό μέσο αφού ταυτίζεται με τη τυχαία σειρά που είναι λευκός θόρυβος. Αν το υπόδειγμα της τυχαίας διαδρομής περιλαμβάνει και σταθερό όρο τότε έχουμε το υπόδειγμα της τυχαίας διαδρομής με σταθερά(random walk wih drif) το οποίο έχει αυτή τη μορφή y y όπου β είναι η σταθερά της εξίσωσης, παρατηρούμε και εδώ πως παίρνοντας πρώτες διαφορές η σειρά γίνεται στάσιμη και έχουμε: y.αν μπούμε στη διαδικασία να συγκρίνουμε το υπόδειγμα τυχαίας διαδρομής με το αντίστοιχο της σταθεράς βλέπουμε πως στο υπόδειγμα με σταθερά οι πρώτες διαφορές είναι εν μέρει στοχαστικές και σταθερές. Χαρακτηριστικότερο παράδειγμα χρονολογικών σειρών που ακολουθούν τυχαίες διαδρομές βρίσκουμε στις χρηματιστηριακές μεταβλητές όπως είναι οι τιμές των μετοχών για τις οποίες ισχύει προσεγγιστικά ότι η τιμή της μετοχής την ημέρα ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 44

45 ισούται με την τιμή της μετοχής της προηγούμενης ημέρας συν ένα τυχαίο σφάλμα.ένα τέτοιο παράδειγμα φαίνεται στο διάγραμμα. Διάγραμμα.5 Υπόδειγμα Τυχαίας Διαδρομής (random walk) Στο συγκεκριμένο διάγραμμα παρουσιάζεται μια διαδικασία τυχαίας διαδρομής που προκύπτει από την σχέση y y όπου το τυχαίο σφάλμα ελήφθη από ένα δείγμα παρατηρήσεων τυχαίων αριθμών κανονικής κατανομής με μηδενικό μέσο και διακύμανση ίση με τη μονάδα Διάγραμμα.6 Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης Τυχαίας Διαδρομής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 45

46 Στο δεύτερο μέρος του διαγράμματος παρουσιάζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της διαδικασίας τυχαίας διαδρομής. Παρατηρούμε πως οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης φθίνουν με αργό ρυθμό δείγμα της μη στασιμότητας της σειράς. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 46

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ - R p Ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα R p,στην γενική του μορφή θα διατυπώνεται ως εξής: Y Y py p. Οι παράμετροι,, p είναι σταθερές και το καλείται λευκός θόρυβος (whie noise) το οποίο μετράει τα τυχαία σφάλματα. Τα παραπάνω είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με μέσο το μηδέν και σταθερή διακύμανση. Ο ορός αυτοπαλινδρομο έχει να κάνει στο ότι η σχέση αυτή είναι ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης, όπου η εξαρτημένη μεταβλητή Y παλινδρομείτε στις προηγούμενες τιμές της ίδιας της μεταβλητής Y.Το p υποδηλώνει την τάξη του αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος και αναφέρεται στο μήκος της υστερήσεως ενώ τα Y, Y, Y p είναι οι τιμές της χρονοσειράς με υστέρηση. 3. Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Πρώτης Τάξης - R Η μορφή ενός υποδείγματος R θα είναι σύμφωνα και με τον παραπάνω τύπο η εξής: Y Y Τον τύπο αυτόν μπορούμε να τον αναλύσουμε πιο εύκολα εκφράζοντας το Y σε αποκλίσεις από το μέσο του. Αν η χρονοσειρά Y είναι στάσιμη τότε για κάθε χρονική στιγμή ο μέσος(μ) θα είναι ίδιος και εφόσον E( Y ) και ( ) θα έχουμε: E(Y ) E( ) E E( Y ) E( ) E(Y ) E E(Y ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 47

48 Για να είναι στάσιμη θα πρέπει Αν αφαιρέσουμε από την γενική μορφή τον μέσο κατά μέλη και ο τότε το R μπορεί να γραφτεί ως: y y Y Y Y Y (3) Y ( ) y y όπου y Y για κάθε,, Εκτός από το (a) στο υπόδειγμα R ισχύουν και τα παρακάτω: b. V(y ) Απόδειξη Παίρνοντας την σχέση () αν υψώσουμε στο τετράγωνο και τα μέλη θα έχουμε : E(y ) E ( y ) ( ) Ey Ey (4) To y εξαρτάται μόνο από το οπότε y και αφού η χρονοσειρά είναι στάσιμη το Ey Ey V(y ) Επομένως η σχέση (4) θα γίνει: c. Covy, y Απόδειξη s s V(y ) V(Y ) ή V(y ) Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της σχέσης () με y s y y y y y s s s ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 48

49 E(y y ) E(y y ) E( y ) s s s s s για κάθε s διότι E( y s) και E(yy s) s Άρα γενικά θα ισχύει ότι καθώς και, s s, d. s s s Θα πρέπει το για να είναι η χρονοσειρά στάσιμη γιατί η διακύμανση δεν γίνεται να πάρει αρνητικές τιμές. Για η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης αρχίζοντας από την μονάδα φθίνει γεωμετρικά και τείνει προς το μηδέν καθώς το s αυξάνει. Το ίδιο ισχύει και αν το καθώς η συνάρτηση θα φθίνει γεωμετρικά προς το μηδέν αλλά με αρνητικό πρόσημο. 3. Τελεστής Υστέρησης Στην ανάλυση των χρονολογικών σειρών χρησιμοποιείται αρκετές φορές ο τελεστής υστερήσεως L (lag operaor) ο οποίος μας διευκολύνει στις αλγεβρικές πράξεις. Οπότε αν έχουμε σε μια σχέση Υ - με τον τελεστή υστέρησης L μπορεί να γραφτεί ως LY μια Y ως L Y, μια 3 Y ως 3 L Y κλπ. Γενικά θα ισχύει s Y s L Y δηλαδή ο εκθέτης του L δηλώνει τον αριθμό των φορών που θα πρέπει να υστερήσουμε την μεταβλητή Y. Άρα η σχέση y y γίνεται: y Ly ή y ή ( L) y ή L y ( L) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 49

50 Για ο όρος ( L) μπορεί να θεωρηθεί ως το όριο μιας γεωμετρικής προόδου άπειρης τάξης, οπότε θα έχουμε ( L) L L L 3 3 j j j j j j y a L a 3.3 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Δεύτερης Τάξης - AR () Τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα δεύτερης (p=) τάξεως στην γενική τους μορφή μπορούν να γραφτούν ως εξής: Y Y Y () Μια χρονολογική σειρά y με μέσο θα είναι y y y () Για την AR () προκύπτουν τα παρακάτω: α. Απόδειξη Από την σχέση () παίρνουμε τις μέσες τιμές οπότε θα έχουμε ( Y ) ( Y ) E( Y ) E( ), E( ) β. Var( Y ) Απόδειξη Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης () με y y y y y y y Στη συνέχεια παίρνουμε τις μέσες τιμές και προκύπτει E( y ) Var( y ) E( y y ) E( y y ) E( y ) E( ) y ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 5

51 , επειδή y E( y y ) Cov Y, Y για s γ. s s s s Απόδειξη Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης y y y με το y s δηλαδή θα έχουμε y y s y y s y y s y s Έπειτα παίρνουμε τις μέσες τιμές και θα προκύψει y Cov Y, Y y y E y y Ey s s s s s, Cov Y Y, s s s s καθώς το Ey s και τα y y s s, y y s s για s δ. s s s Απόδειξη s s s Διαιρούμε την σχέση (γ) με το και έχουμε: s s s Αν χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του τελεστή υστέρησης το υπόδειγμα AR γράφεται ως ( ) L L y (3) Εξισώνοντας το αριστερό μέλος με το μηδέν θα προκύψει η ομογενή μορφή της εξίσωσης διαφορών που ορίζει η σχέση (3).Η λύση της εξίσωσης αυτής εξαρτάται από της ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης X X Αυτή είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες λ και λ ικανοποιούν την συνθήκη X ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 5

52 Οι ρίζες, με τις παραμέτρους α συνδέονται όπως παρακάτω Οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης υπολογίζονται από τον τύπο : λ,λ = a a 4a Οι ρίζες αυτές μπορεί να είναι πραγματικές αν η διακρίνουσα είναι θετική ή μιγαδικές αν είναι αρνητική. Για να υπάρχει στασιμότητα οι ρίζες και θα πρέπει να είναι μικρότερες της μονάδας σε απόλυτες τιμές. Αν μια χρονολογική σειρά είναι της μορφής AR για να είναι στάσιμη θα πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω προϋποθέσεις : 3.4 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Τάξεως p AR( p) Η γενική μορφή του AR( p ) δίνεται από τον εξής τύπο: Y Y Y Y p p ή αλλιώς με την βοήθεια του τελεστή υστέρησης όπως παρακάτω p ( L L pl ) y ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 5

53 Οι σχέσεις που προκύπτουν στην AR( p ) είναι οι ακόλουθες α. Var( Y ) p p για s β. s s s p s p για s γ. s s s p s p ακόλουθες: Από το γ προκύπτουν p εξισώσεις Yule-Walker για s, p δηλαδή οι Για s, 3 p p Για s, 3 p p Για s 3, 3 3 p p Για s p, p p p 3 p3 p Επομένως η μορφή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός AR( p ) υποδείγματος εξαρτάται από τις τιμές των παραμέτρων του αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος (,,.., p ). Συμβολισμός σε πίνακα: p a p a x a p p p p R = Π x Α A R ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 53

54 3.5 Συνάρτηση Μερικής Αυτοσυσχετίσεως για υποδείγματα μορφής - AR Όλες οι αυτοπαλίνδρομες διαδικασίες έχουν συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης οι οποίες βαίνουν φθίνουσες καθώς αυξάνει το μήκος της υστέρησης, με αποτέλεσμα να είναι πολλές φορές δύσκολο να καθοριστεί η τάξη του υποδείγματος που περιγράφει τη σειρά με βάση τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ένα πρόσθετο κριτήριο για το σκοπό αυτό είναι η συνάρτηση της μερικής αυτοσυσχέτισης (Parial Auocorellaion Funcion PACF). Η μερική αυτοσυσχέτιση ανάμεσα στην Y και την Y s αναφέρεται στην συσχέτιση ανάμεσα στην Y και την Y s όταν έχουν αφαιρεθεί οι γραμμικές επιδράσεις των ενδιάμεσων μεταβλητών Y, Y,..., Y ( s ).Αν παραστήσουμε τον συντελεστή αυτοσυσχέτισης με ss τάξεως s δηλαδή τον συντελεστή αυτοσυσχέτισης ανάμεσα στην Y και Y s για s,..., p, τότε το ss θα είναι ο συντελεστής μερικής παλινδρόμησης της μεταβλητής y s στο υπόδειγμα: y y y y y s s 3s 3 ss s Ο μερικός συντελεστής αυτοσυσχέτισης όπως βλέπουμε έχει δυο δείκτες. Ο αριστερός δείκτης μας δείχνει την χρονική υστέρηση της μεταβλητής σύμφωνα με το Y, Y... Ο δείκτης δεξιά μας δείχνει την μέγιστη τάξη της παλινδρόμησης. Άρα η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης είναι μηδέν για s μια αυτοπαλίδρομη διαδικασία τάξεως p. Με άλλα λόγια ισχύουν τα εξής: Για AR () : α) β) ss για s Για AR () : γ) p όταν θα μιλάμε για δ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 54

55 ε) ss για s Για AR( p ) : στ) ζ),, η) ss για s p p 3.6 Έλεγχος Στατιστικής Σημαντικότητας Συντελεστών Αυτοσυσχέτισης και μερικού συντελεστή Στην πράξη επειδή τόσο οι πραγματικές τιμές των αυτοσυσχετίσεων s όσο και των πραγματικών μερικών αυτοσυσχετίσεων ss δεν είναι γνωστές χρησιμοποιούνται οι αντίστοιχες εκτιμήσεις τους από το δείγμα. Εάν στους τύπους που δίνουν την θεωρητική τιμή της συνάρτησης μερικής Αυτοσυσχετίσεως, τα ss που προκύπτουν είναι δειγματικές. s θα αντικατασταθούν με τις δειγματικές τιμές τους τότε, οι τιμές των Με βάση τις εκτιμήσεις αυτές μπορεί να γίνει έλεγχος σημαντικότητας των παραμέτρων στον πληθυσμό. Για μεγάλα δείγματα, οι εκτιμήσεις των αυτοσυσχετίσεων s s κατανέμονται κανονικά με μέση τιμή το μηδέν και διακύμανση, όπου T είναι το μέγεθος T του δείγματος. Το ίδιο ισχύει και για τις εκτιμήσεις των μερικών αυτοσυσχετίσεων s s για υστερήσεις μεγαλύτερες από την τάξη p της AR διαδικασίας. s N, T N,, για s p s s T ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 55

56 Στη συνέχεια θα αναπτύξουμε τον έλεγχο της σημαντικότητας του συντελεστή δηλαδή θα ελέγξουμε την υπόθεση: s, H v s H : s : s s Ο έλεγχος αυτός θα γίνει με την βοήθεια της στατιστικής: s s T. Για δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας α=5% η μηδενική απορρίπτεται αν s, διαφορετικά θα έχουμε αποδοχή της H. Το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για αυτόν τον έλεγχο είναι : s s s.στον έλεγχο σημαντικότητας των συντελεστών μερικής αυτοσυσχέτισης ισχύουν τα ίδια με τα παραπάνω. Δηλαδή ο ss είναι σημαντικός αν και μόνο αν T. ss Με τη βοήθεια του παραπάνω ελέγχου σημαντικότητας των συντελεστών μερικής αυτοσυσχέτισης μπορεί να καθοριστεί η τάξη μιας AR διαδικασίας. Θα επιλεγεί ως τάξη της σειράς αυτή που αντιστοιχεί στην τελευταία σημαντική τιμή του s. Για παράδειγμα έστω ότι η τελευταία σημαντική τιμή του είναι για s, δηλαδή έστω ότι ο συντελεστής είναι στατιστικά σημαντικός, ενώ ο συντελεστής 33 είναι στατιστικά μη σημαντικός. Τότε, συμπεραίνουμε ότι η τάξη p του υποδείγματος είναι. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 56

57 Άσκηση Από ένα δείγμα 5 παρατηρήσεων προέκυψαν οι παρακάτω εκτιμήσεις: =.56 = = Μπορείτε να ισχυριστείτε ότι προέρχεται από μια αυτοπαλίνδρομη διαδικασία τάξεως 4.. Απάντηση =.56, με =,56 = , με =,5 και με =,956 = , με =,39, με =,45 και με =,98 = = *,56 =,8 *,56 =,744 = (Σ.Μ.Σ.) (Σ.Σ.) Αφού το,744 είναι εντός του -,96 και του,96, αποδεχόμαστε την. Άρα δεν είναι στατιστικά σημαντικό. Για AR(): α) β) = για s > Για AR(): γ) β) = για s > = *,956 =,8 *,956 =,68 = (Σ.Μ.Σ.) (Σ.Σ.) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 57

58 Άρα είναι στατιστικά σημαντικό. Αφού το,68 είναι εκτός του -,96 και του,96, απορρίπτουμε την. = *,98 =,8 *,98 =,96 = (Σ.Μ.Σ.) (Σ.Σ.) Αφού το,96 είναι εκτός του -,96 και του,96, απορρίπτουμε την. Άρα είναι στατιστικά σημαντικό. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι δεν προέρχεται από μια αυτοπαλίνδρομη διαδικασία τάξεως 4. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 58

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4. Υποδείγματα Κινητού Μέσου ΜΑ(q) Τα υποδείγματα κινητού μέσου είναι χρήσιμα για περιγραφή φαινομένων όπου τα γεγονότα παράγουν ένα άμεσο αποτέλεσμα, η επίδραση του οποίου δεν σταματά εκεί αλλά συνεχίζει, αν και το ίδιο το γεγονός παύει να υφίσταται. Τις περισσότερες φορές επηρεάζει λιγότερο και για μικρό χρονικό διάστημα τις επόμενες χρονικές στιγμές. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι οι απεργίες όπου επηρεάζουν την οικονομία όχι μόνο βραχυχρόνια αλλά και μακροχρόνια. Ως προς την γενική τους μορφή, οι διαδικασίες κινητού μέσου MAq γράφονται ως εξής: Y q q όπου τα είναι σταθεροί παράμετροι και ο λευκός θόρυβος. Στο υπόδειγμα MAq υποθέτουμε ότι η χρονολογική σειρά Y δημιουργείται ως ένας σταθμικός μέσος των τυχαίων σφαλμάτων των q προηγούμενων περιόδων. 4. Υπόδειγμα Κινητού Μέσου ης Τάξης - MA () Μια διαδικασία κινητού μέσου πρώτης τάξης MA () θα έχει την εξής γενική μορφή: Y Στο υπόδειγμα αυτό ισχύουν τα παρακάτω: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 59

60 α) E( Y ) β) Var( Y ) γ) Cov( Y, Y ), για k k k k, για k δ), , Αποδείξεις α) E Y E E E ( ) ( ) ( ) ( ) β) Var( Y ) E( Y ) E( ) E E( ) E γ) CovY, Y E Y Y k k k E( )( ) E( ) E( ) E( ) E( ) E( ) για k ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 6

61 δ) -θσ θ σ ( ) για k Όπως γίνεται αντιληπτό όλες οι αυτοσυνδιακυμάνσεις και συνεπώς και οι αυτοσυσχετίσεις είναι μηδέν εκτός από την πρώτη. Αυτό σημαίνει ότι μια οποιαδήποτε παρατήρηση της Y σχετίζεται μόνο με την προηγούμενη ή την επομένη και δεν σχετίζεται με καμία άλλη. Για παράδειγμα η Y3 σχετίζεται με την Y ή την Y 4. Γενικά η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης στα υποδείγματα κινητών μέσων γίνεται μηδέν με τάξη q, γίνεται μηδέν μετά από q χρονικές υστερήσεις ( k q) σε αντίθεση με το ότι συμβαίνει στα AR όπου η θεωρητική συνάρτηση k φθίνει αλλά δεν μηδενίζεται ποτέ. 4. Υπόδειγμα Κινητού Μέσου ης Τάξης - MA () Το υπόδειγμα κινητού μέσου δεύτερης τάξης MA () έχει την παρακάτω μορφή: Y ή αλλιώς με την βοήθεια του τελεστή υστέρησης: Y ( L L ) Οι σχέσεις που ισχύουν στο MA () είναι οι εξής:. E( y ). Var( y ) Για τις συναρτήσεις αυτοδιασποράς ισχύουν:, για k γ = θ σ ε, για k 5. k, για k ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 6

62 Επίσης για τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης ισχύουν τα παρακάτω: θ ( k, για k Αποδείξεις των παραπάνω ). E Y E E E E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Var( Y ) E( Y ) E( ) E E( ) E E( ) E 3. Cov( Y, Y ) E Y Y k E( )( ) 3 4. E Y Y E( )( ) Προφανώς για s θα ισχύει s 6. ( ) ( ) ( ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 6

63 7. ( ) 8. Τέλος είναι προφανές ότι για s θα ισχύει Άρα το υπόδειγμα MA () έχει μνήμη δυο περιόδων για το λόγο ότι το Y επηρεάζεται από τις τιμές Y και Y αλλά όχι και από τιμές υστέρησης μεγαλύτερης του δύο. s 4.3 Υπόδειγμα Κινητού Μέσου Τάξης q MA( q) Η γενική μορφή ενός MA( q ) δίνεται από τον τύπο : Y q Οι σχέσεις για το MA( q ) είναι οι παρακάτω:. E( Y ). Var( Y ) ( 3 q ) 3. Cov( Y, Y ) ( ) k k k k k q kq q 4. k (-θ... )σ k k k q k q (... q ) -θ... κ q q... q ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 63

64 4.4 Εννοια Αντιστρεψιμότητας Η ιδιότητα της αντιστρεψιμότητας αφορά στην μετατροπή ενός υποδείγματος MAq σε υπόδειγμα AR( ) (άπειρης τάξης). Αντίστοιχα θα λέμε ότι ένα υπόδειγμα AR( p ) είναι αντιστρέψιμο αν μπορεί να λάβει μορφή ενός υποδείγματος MA( ). Τα υποδείγματα AR( p ) θα λέμε ότι είναι αντιστρέψιμα εφόσον είναι και στάσιμα. Αντίθετα για τις διαδικασίες κινητού μέσου MAq θα πρέπει να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις για να είναι αντιστρέψιμα και είναι οι παρακάτω: MA () : MA () : MAq : Θα πρέπει oι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης του L να είναι όλες μέσα στο μοναδιαίο κύκλο ή αλλιώς οι ρίζες του πολυωνύμου L να βρίσκονται όλες έξω από τον μοναδιαίο κύκλο. Άσκηση 3 Από μία χρονοσειρά με παρατηρήσεις υπολογίσαμε τις παρακάτω δειγματικές αυτοσυσχετίσεις των υπολοίπων του υποδείγματος = : ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 64

65 k Μπορείτε να θεωρήσετε ότι τα υπόλοιπα αυτά προέρχονται από σφάλματα που έχουν χαρακτηριστικά λευκού θορύβου (ε.σ α=5%, = 5.57, =8.37 ). Απάντηση ( ) Var ( ) 6 36 Cov(, s) Έλεγχος Box-Pierce Q = N* = [(,89) + (,8) + (,74) + (,75) + (,68) + (,36) + (,98) + (,6) + (,) + (,8) + (-,7) + (-,) ] = *3,54 = 38,58 Συμπεραίνουμε ότι τα υπόλοιπα δεν προέρχεται από διαδικασία λευκού θορύβου και υπάρχει αυτοσυσχέτιση στα σφάλματα. Οπότε είναι στάσιμη για κάθε k. 4.5 Μεικτά υποδείγματα ARMA(p,q) Τα μεικτά υποδείγματα ARMA είναι ένας συνδυασμός από αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα AR( p ) και διαδικασίες κινητού μέσου MAq. Αυτά παρατηρούνται όταν κατά την διερεύνηση της στασιμότητας μιας χρονοσειράς τα δεδομένα της έχουν συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης ή μερικής αυτοσυσχέτισης που δεν φαίνονται να μηδενίζονται μετά από κάποιο σημείο αλλά φθίνουν και οι δυο με αργό ρυθμό. Για να δώσουμε την γενική μορφή των μεικτών υποδειγμάτων χρησιμοποιούμε τα υποδείγματα AR( p ) και MAq οπότε καταλήγουμε στην ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 65

66 εξής γενική μορφή για το ARMA( p, q ) : Y Y Y Y p p p p ή με τους τελεστές υστέρησης θα έχουμε : A( L) Y ( L) Το υπόδειγμα ARMA( p, q ) είναι συνδυασμός p αυτοπαλίνδρομων όρων και q όρων κινητού μέσου. Είναι προφανές ότι ένα καθαρά αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα ή ένα καθαρό υπόδειγμα κινητού μέσου μπορούν να θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις μιας ARMA διαδικασίας. Δηλαδή, θα ισχύουν τα εξής: AR( p) ARMA( p,) MA( q) ARMA(, q) Η πιο απλή μορφή μιας ARMA διαδικασίας είναι η ARMA (,). Οπότε και από την γενική μορφή, για p και q θα έχουμε την σχέση: Y a a Y () Y a Y () ή Αυτό το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ως μια καθαρά MA διαδικασία, αλλά και ως μια αυτοπαλίνδρομη διαδικασία με άπειρους όρους AR( ). Ας δούμε πρώτα πώς μπορεί να μεταμορφωθεί σε μια διαδικασία κινητού μέσου. Υστερούμε διαδοχικά τη μορφή της () και αντικαθιστώντας για Y, Y, Y 3,... καταλήγουμε στη μορφή: i i ( ) i i i Y a a a a ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 66

67 i Για να είναι στάσιμη αυτή η σειρά, θα πρέπει το άθροισμα a ( a ) να συγκλίνει, οπότε αυτό σημαίνει ότι πρέπει το a. Όταν ισχύει αυτό, και επομένως η σειρά είναι στάσιμη, τότε η μορφή του υποδείγματος θα είναι η: Y a i a ( a ) i a i i i Αυτή η μορφή δημιουργήθηκε αντικαθιστώντας τη σειρά a από τη στιγμή a i που είναι άθροισμα όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Η μορφή αυτή είναι μια MA διαδικασία με άπειρους όρους, που θα μπορούσε να προσεγγιστεί με έναν περιορισμένο αριθμό όρων, δεδομένου ότι η σημασία των συντελεστών όλο και μικραίνει. Αυτό σημαίνει ότι από κάποιο σημείο θα μπορούσαν να παραλειφθούν οι επόμενοι όροι. Μπορούμε εύκολα να καταλάβουμε ότι απαιτείται υψηλής τάξεως MA διαδικασίας προκειμένου να προσεγγιστεί η αντίστοιχη ARMA (,) διαδικασία. Επομένως, είναι προφανής η οικονομία που επιτυγχάνεται με τη χρήση των μεικτών υποδειγμάτων, αφού το ARMA (,) υπόδειγμα έχει μόνο δύο συντελεστές. Sτη συνέχεια, θα δούμε πώς το υπόδειγμα () μπορεί να διατυπωθεί και ως AR( ).Με διαδοχικές αντικαταστάσεις για,, 3,... στην μορφή () καταλήγουμε στην σχέση: a Y a Y i ( ) i i Η σειρά αυτή για να γίνει αντιστρέψιμη θα πρέπει. Οπότε και σε αυτήν την περίπτωση επιτυγχάνεται οικονομία στους συντελεστές με την χρήση της ARMA (,) διαδικασίας. Για το μεικτό υπόδειγμα ARMA (,) ισχύουν τα παρακάτω : a) ( Y ) a ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 67

68 b) c) d) s s για s e) ( )( ) f) s s για s Αποδείξεις Τώρα θα εξετάσουμε τις αποδείξεις όλων των παραπάνω σχέσεων Στη σχέση () παίρνουμε τις μέσες τιμές και στα μέλη: a. E Y a a E Y E Στη (b) θα υψώσουμε τη σχέση Y a Y () στο τετράγωνο και θα πάρουμε τις μέσες τιμές: E Y E a Y Για την απόδειξη της (c) χρησιμοποιώντας ξανά την σχέση () έχουμε: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 68

69 , y Cov y y E y y E E E y E y Η (d) παίρνοντας πάλι την σχέση () αποδεικνύεται ως Cov y, y E y y s s s s s E y y s s s s s s s s s s e. ( )( ) f. a s s s s s s Διακρίνουμε ότι στη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης υπεισέρχεται ο συντελεστής από την MA () διαδικασία, αλλά μόνο για την αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης. Όλες οι άλλες ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 69

70 αυτοσυσχετίσεις εξαρτώνται μόνο από το αυτοπαλίνδρομο μέρος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για την ARMA (,) διαδικασία φθίνει γεωμετρικά με την αύξηση του s. Η μείωση όμως, σε αντίθεση με την AR (), αρχίζει από το και όχι από το. Η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης για την ARMA (,) διαδικασία φθίνει γεωμετρικά όπως στην περίπτωση της MA () διαδικασίας. Γενικεύοντας σε ένα ARMA( p, q ) οι πρώτες q αυτοσυσχετίσεις για s q, εξαρτώνται από όλους τους συντελεστές i και i του αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος και του υποδείγματος του κινητού μέσου αντιστοίχως. Όταν το s παίρνει μεγαλύτερες τιμές από το q, οι αυτοσυνδιακυμάνσεις και οι αυτοσυσχετίσεις θα είναι παρόμοιες με αυτές μιας διαδικασίας AR( p ) οι οποίες θα δίνονται και αυτές από τους τύπους, για s q s s s p s p, για s q s s s p s p Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μιας ARMA( p, q ) διαδικασίας συμπεριφέρεται όπως αυτή μιας AR( p ) διαδικασίας, ενώ η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης συμπεριφέρεται όπως αυτή μιας MA( q ) διαδικασίας, για s q p. Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός ARMA( p, q ), υποδείγματος μπορούν να εφαρμοστούν οι ίδιες τεχνικές που χρησιμοποιούνται και για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός MA( q ) υποδείγματος. Δηλαδή μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι σχέσεις που συνδέουν τις αυτοσυσχετίσεις με τις παραμέτρους του υποδείγματος, αλλά επίσης μπορούν να εφαρμοστούν κάποιες μη γραμμικές μέθοδοι εκτίμησης, από τη στιγμή που το υπόδειγμα είναι μη γραμμικό ως προς τις παραμέτρους. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 7

71 Στην συνέχεια ακλουθούν δύο πίνακες οι όποιοι ουσιαστικά είναι μια περίληψη των όσων γράψαμε σε αυτό το κεφάλαιο. Χαρακτηριστικά των υποδειγμάτων ARMA ( p, q ) Υπόδειγμα Αυτοσυσχετίσεις ACF Μερικές αυτοσυσχετίσεις PACF Λευκός θόρυβος Όλες μηδέν: k Όλες μηδέν: kk AR () Φθίνουν προς το μηδέν από Μηδέν μετά από Ευθέως αν Με πριονωτή μορφή αν AR () Φθίνουν Μηδέν μετά από Ευθέως από για πραγματικές ρίζες Με ημιτονοειδή τρόπο για μιγαδικές ρίζες AR( p ) Φθίνουν προς το μηδέν από q Μηδέν μετά το pp MA () Μηδέν μετά το Φθίνει σχεδόν γεωμετρικά από το MA () Μηδέν μετά το Φθίνει σχεδόν γεωμετρικά από το ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 7

72 MA( q ) Μηδέν μετά το q Φθίνει σχεδόν γεωμετρικά από το qq ARMA (,) Φθίνει γεωμετρικά από το Φθίνει γεωμετρικά ή κυματιστά από το ARMA( p, q ) Φθίνει γεωμετρικά από το q Φθίνει γεωμετρικά ή κυματιστά από το Πίνακας 4. Χαρακτηριστικά των Υποδειγμάτων ARMA pp Συνθήκες Στασιμότητας και Αντιστρεψιμότητας των υποδειγμάτων ARMA Υπόδειγμα Εξίσωση Στασιμότητα Αντιστρεψιμότητα AR () y y a Αντιστρέψιμο εφόσον στάσιμο AR () y y y Αντιστρέψιμο στάσιμο εφόσον AR( p ) L y Οι ρίζες του πολυωνύμου L να κείνται εκτός του μοναδιαίου κύκλου Αντιστρέψιμο στάσιμο εφόσον ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 7

73 MA () y Πάντα στάσιμο MA () y Πάντα στάσιμο MA( q ) y L Πάντα στάσιμο Οι ρίζες του πολυωνύμου L να κείνται εκτός του μοναδιαίου κύκλου ARMA (,) y y a ARMA( p, q ) L y L Οι ρίζες του πολυωνύμου L να κείνται εκτός του μοναδιαίου κύκλου Οι ρίζες του πολυωνύμου L να κείνται εκτός του μοναδιαίου κύκλου Πίνακας 4. Συνθήκες Στασιμότητας και Αντιστρεψιμότητας των Υποδειγμάτων ARMA Άσκηση 4 Έστω ότι η μεταβολή των καθαρών κερδών μιας επιχείρησης ακολουθεί το υπόδειγμα = όπου η μεταβολή των κερδών (χωρίς να έχουν χρησιμοποιηθεί διαφορές). Ποιο είναι το παραπάνω υπόδειγμα και πως το ερμηνεύετε; Αποτελεί στάσιμη και αντιστρέψιμη χρονοσειρά; Απάντηση = ARMA (, ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 73

74 Για να δείξουμε ότι ένα υπόδειγμα ARMA(,) είναι στάσιμο φτάνει να ισχύει η συνθήκη στασιμότητας για το υπόδειγμα AR(). Επομένως, < <, το οποίο ισχύει. Άρα είναι στάσιμη χρονοσειρά. Η αντιστρεψιμότητα ενός υποδείγματος ARMA βασίζεται στο MA μέρος. Επομένως, + < -, +,55 < -,55 <, το οποίο δεν ισχύει - <,55 +, <,365 <, το οποίο ισχύει < <,55 <, το οποίο ισχύει Άρα είναι αντιστρέψιμη χρονοσειρά, αφού ισχύουν οι προϋποθέσεις. Άσκηση 5 Για την παρακάτω χρονοσειρά = , σ =4. Είναι η παραπάνω χρονοσειρά στάσιμη και αντιστρέψιμη;. Να βρεθούν ο μέσος, η διακύμανση και οι αυτοσυσχετίσεις,,. 3. Να γίνει το διάγραμμα αυτοσυσχέτισης. 4. Να διατυπωθεί το υπόδειγμα με τον συμβολισμό του τελεστή υστέρησης L Απάντηση ) = , σ =4, MA() Για να είναι αντιστρέψιμη η χρονοσειρά θα πρέπει : < <,68 <, το οποίο ισχύει. Άρα η χρονοσειρά είναι αντιστρέψιμη. Το υπόδειγμά μας είναι στάσιμο, διότι κάθε υπόδειγμα κινητού μέσου είναι στάσιμο. ) = - = µ = µ = - Μέσος E( ) = = - + µ = - + µ µ =, ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 74

75 = ( + θ ) = 4( + (-,68) ) = 4,6 = -θ = -,68 * 4 = -,7, για κ= = =, για κ > Για κ =, = = = -,67 Για κ >, =, = 3) 4) L = = L = = -.68L = (,68) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 75

76 Άσκηση 6 Βρείτε την ΜΑ έκφραση της πρώτης τάξης AR() με παράμετρο.3. Απάντηση AR() : = +,3 + MA : = -,3 Άσκηση 7 Για την παρακάτω χρονοσειρά να υπολογίσετε τις αυτοσυσχετίσεις πρώτης, δεύτερης και τρίτης τάξης, = Απάντηση = = = =,475 = + =,64 + = -,64 +,37 = -,7 = + =,78 * (-,7) + (-,64) * (,475) = -,,34 = -,54 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 76

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5. Μεθοδολογία Box-Jenkins και Προβλέψεις Υποδειγμάτων ARIMA Η ανάλυση που κάναμε παραπάνω για τα υποδείγματα AR, MA και ARMA μέχρι τώρα αναφέρονται όλα σε στάσιμες διαδικασίες που σημαίνει ότι ο μέσος, η διακύμανση και οι αυτοδιακυμάνσεις δεν εξαρτώνται από το χρόνο, δηλαδή ο μέσος και η διακύμανση παραμένουν σταθεροί, ενώ οι αυτοσυνδιακυμάνσεις εξαρτώνται μόνο από τη χρονική υστέρηση s. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε μη στάσιμες διαδικασίες. Μη στάσιμες διαδικασίες συνήθως είναι οι σειρές οι οποίες παρουσιάζουν τάση ή εποχικές διακυμάνσεις όπως είναι οι σειρές του Α.Ε.Π.(Ακαθάριστου Εγχώριου προϊόντος),των επενδύσεων και των δημόσιων δαπανών αλλά και σειρές τυχαίας διαδρομής(random walk). Αν σε μια χρονολογική σειρά ο μέσος μετατοπίζεται διαχρονικά τότε μιλάμε για σειρά μη στάσιμη ως προς το μέσο ενώ αν η διακύμανση της δεν παραμένει σταθερή τότε μιλάμε για μη στασιμότητα ως προς τη διακύμανσή της. Βέβαια υπάρχει τρόπος μετατροπής μιας μη στάσιμης σειράς σε στάσιμη κι αυτό γίνεται με τη μεθοδολογία των Box-Jenkins.Η μεθοδολογία αυτή προτείνει την μετατροπή των σειρών σε στάσιμες με τη χρήση πρώτων, δεύτερων κ.τ.λ. διαφορών. Όταν εξασφαλίσουμε τη στασιμότητα με τις d διαφορές τότε θα ακολουθήσουμε την ανάλυση προσαρμογής του κατάλληλου ARMA( p, q ) υποδείγματος στη μετασχηματισμένη σειρά. Έστω ότι οι παρατηρήσεις μιας χρονολογικής σειράς είναιy, Y,..., Y n τότε παίρνοντας Y Y Y L Y. πρώτες διαφορές έχουμε ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 77

78 Αν αυτή η μετασχηματισμένη σειρά είναι στάσιμη τότε το υπόδειγμα που προσαρμόζουμε λέγεται ολοκληρωμένο υπόδειγμα πρώτης τάξεως ARMA( p, q ) ή αλλιώς αυτοπαλίνδρομο ολοκληρωμένο υπόδειγμα κινητών μέσων(auoregressive inegraed moving average) και συμβολίζεται ως ARIMA( p,, q ).Γενικά, αν d είναι ο αριθμός των διαφορών που πρέπει να πάρουμε σε ένα ολοκληρωμένο υπόδειγμα προκειμένου να γίνει d στάσιμο θα έχουμε d Y L Y τότε το υπόδειγμα που προσαρμόζουμε στην αρχική σειρά Y ονομάζεται αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα κινητών μέσων τάξεως ( p, d, q ) και συμβολίζεται ως ARIMA( p, d, q ) με γενική μορφή: d A L L Y L όπου p... p και A L a L a L q L L... L. q Ορισμός: Μια μη στάσιμη σειρά λέγεται ολοκληρωμένης τάξεως και παριστάνεται ως I d όταν μετατρέπεται σε στάσιμη με τη χρήση d αριθμού διαφορών. Ο όρος ολοκληρωμένη σειρά προέρχεται από τον τρόπο με τον οποίο μια μη στάσιμη διαδικασία προκύπτει από μία στάσιμη. Αυτό γίνεται ολοκληρώνοντας φορές τη μη στάσιμη σειρά για να προκύψει η στάσιμη. Μια στάσιμη σειρά, όπως ο λευκός θόρυβος, θεωρείται ολοκληρωμένη σειρά μηδενικής τάξεως I. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 78

79 5. ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARIMA Γενικά, να υπόδειγμα ARMA( p, q ) που εφαρμόζεται σε μια ολοκληρωμένη σειρά d τάξεως ονομάζεται αυτοπαλίνδρομο ολοκληρωμένο υπόδειγμα κινητού μέσου τάξεως ( p, d, q ) και συμβολίζεται ως ARIMA( p, d, q ).Για να γίνει πιο κατανοητό, οι τρεις μορφές των παραμέτρων αυτού του υποδείγματος είναι: οι p παράμετροι του αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος, ο αριθμός d των διαφορών που απαιτούνται για να γίνει η σειρά στάσιμη, και q οι παράμετροι του υποδείγματος κινητού μέσου. Για παράδειγμα, ένα υπόδειγμα που περιγράφεται ως ARIMA (,, 3) σημαίνει ότι περιέχει μία αυτοπαλίνδρομη παράμετρο, και τρεις παραμέτρους κινητού μέσου που έχουν υπολογιστεί για την προκύπτουσα σειρά των δεύτερων διαφορών. Όπως προείπαμε, μια ARMA( p, q ) διαδικασία στη γενική της μορφή γράφεται ως εξής: Y a ay ay... apy p... qq. Μια ARIMA( p, d, q ) διαδικασία μπορεί να διατυπωθεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους και να πάρει τρεις διαφορετικές μορφές.. Ως συνάρτηση των παρελθουσών τιμών της και των τιμών του διαταρακτικού όρου, τρέχουσας και παρελθουσών. Η μορφή αυτή είναι γνωστή ως εξίσωση διαφοράς (difference equaion form).. Ως συνάρτηση των παρελθουσών τιμών της και της τρέχουσας τιμής του διαταρακτικού όρου. Η μορφή αυτή είναι γνωστή ως η αντίστροφη μορφή (invered form). 3. Ως συνάρτηση μόνο των τιμών του διαταρακτικού, τρέχουσας και παρελθουσών. Η μορφή αυτή είναι γνωστή ως τυχαία διαταραχή (random shock form). ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 79

80 5.3 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOX -JENKINS Η προσέγγιση BOX-JENKINS στην ανάλυση χρονολογικών σειρών είναι μια μέθοδος εύρεσης ενός στατιστικού υποδείγματος ARIMA( p, d, q ) η οποία να παριστάνει ικανοποιητικά τη στοχαστική διαδικασία από την οποία προήλθαν τα δεδομένα, δηλαδή το δείγμα μας. Η συγκεκριμένη μέθοδος περιλαμβάνει τρία στάδια: Την ταυτοποίηση(idenificaion),την εκτίμηση(esimaion),και το διαγνωστικό έλεγχο (diagnosic checking). ΣΤΑΔΙΟ :ΤΑΥΤΟΠΟΙΗΣΗ Στο συγκεκριμένο στάδιο γίνεται η εξειδίκευση ενός ARIMA υποδείγματος με βάση τις πληροφορίες που παίρνουμε από το δείγμα. Αυτό σημαίνει ότι καθορίζονται οι τιμές των p, d και q. Με άλλα λόγια, καθορίζεται ο αριθμός d των διαφορών που απαιτούνται για να μετατραπεί η σειρά σε στάσιμη, εφόσον βέβαια δεν είναι, και έπειτα καθορίζεται η τάξη p της αυτοπαλίνδρομη διαδικασίας και η τάξη q της διαδικασίας κινητού μέσου. Για να διαπιστώσουμε αν η σειρά είναι στάσιμη ή όχι, θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά της δειγματικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Αν οι αυτοσυσχετίσεις συγκλίνουν ταχύτατα προς το μηδέν σημαίνει ότι η σειρά μάλλον είναι στάσιμη. Αντιθέτως, αν οι αυτοσυσχετίσεις φθίνουν με αργό ρυθμό, είναι σοβαρή ένδειξη ότι η σειρά είναι μη στάσιμη, οπότε πρέπει να γίνει στάσιμη. Σε αυτή την περίπτωση θα χρησιμοποιήσουμε τις πρώτες ή τις δεύτερες ή κ.τ.λ. διαφορές για να μετατρέψουμε τη σειρά σε στάσιμη. Αφού η σειρά έχει γίνει στάσιμη, προσδιορίζεται στη συνέχεια η τάξη του υποδείγματος ARIMA, δηλαδή προσδιορίζονται οι τιμές του p και του q. Ο προσδιορισμός τους βασίζεται στις δειγματικές απλές και μερικές, αυτοσυσχετίσεις. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 8

81 ΣΤΑΔΙΟ :ΕΚΤΙΜΗΣΗ Το δεύτερο στάδιο ανάλυσης στη μεθοδολογία Box-Jenkins είναι η εκτίμηση των συντελεστών του υποδείγματος. Δηλαδή, εξετάζουμε την εκτίμηση των p παραμέτρων a, a..., apτης αυτοπαλίνδρομης διαδικασίας και των q παραμέτρων,..., q της διαδικασίας κινητού μέσου. Αν η σειρά που εξετάζουμε είναι μόνο αυτοπαλίνδρομη, οι παράμετροί της, όπως είδαμε προηγουμένως, μπορούν να εκτιμηθούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Αν όμως, η σειρά περιέχει και όρους κινητού μέσου τότε για την εκτίμηση των παραμέτρων του κινητού μέσου θα χρησιμοποιηθούν μη γραμμικές μέθοδοι εκτίμησης. Η κατάλληλη μέθοδος εξαρτάται από τη μορφή της στοχαστικής διαδικασίας, που διαμορφώνει τη χρονολογική σειρά και τον αριθμό των διαφορών, που απαιτούνται για τη στασιμότητα μιας χρονολογικής σειράς. Για να αναφερθούμε πιο συγκεκριμένα, σε εμπειρικές εφαρμογές η μαθηματική μορφή του υποδείγματος προσδιορίζει τη μέθοδο εκτίμησης. ΣΤΑΔΙΟ 3:ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ανεξαρτήτως της μορφής του υποδείγματος, η χρησιμοποίηση του για μελλοντικές προβλέψεις θέτει σαν απαραίτητη προϋπόθεση πως το εκτιμηθέν υπόδειγμα είναι ικανοποιητικό. Ο έλεγχος της καταλληλότητας του υποδείγματος βασίζεται στα παρακάτω τέσσερα κριτήρια: Τη σημαντικότητα των συντελεστών του υποδείγματος Τη σταθερότητα των συντελεστών του υποδείγματος Τις ιδιότητες των καταλοίπων Την προβλεπτική ικανότητα του υποδείγματος ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 8

82 Έχοντας κάνει την εκτίμηση και την ταυτοποίηση θα πρέπει να ελέγξουμε αν το συγκεκριμένο υπόδειγμα είναι ικανοποιητικό με την έννοια του κατά πόσο καλά προσαρμόζεται στα δεδομένα (fiing). Σε γενικές γραμμές, ο πιο καλός τρόπος για να ελέγξουμε την προσαρμοστικότητα ενός υποδείγματος είναι να εξετάσουμε την προβλεπτική του ικανότητα (forecasing abiliy) έξω από τη δειγματοληπτική περίοδο. Συνήθως όμως επειδή δεν υπάρχει αρκετός αριθμός δεδομένων για αυτή τη διαδικασία, τόσο η ταυτοποίηση αλλά και η εκτίμηση και ο έλεγχος γίνονται με το ίδιο δείγμα παρατηρήσεων. Θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο των καταλοίπων. Αν ο ερευνητής θεωρεί το εκτιμηθέν υπόδειγμα κατάλληλο για τα δεδομένα μας, αν δηλαδή εκφράζει ικανοποιητικά τη διαδικασία από την οποία προέρχονται τα δεδομένα, τότε τα κατάλοιπα θα πρέπει να συμπεριφέρονται σαν μια διαδικασία λευκού θορύβου(whie noise).αυτό σημαίνει πως δεν πρέπει να υπάρχει αυτοσυσχέτιση μεταξύ των καταλοίπων. Αυτός ο έλεγχος για τα κατάλοιπα γίνεται με τη στατιστική Q των Box-Pierce, με την οποία ελέγχεται από κοινού η σημαντικότητα ενός αριθμού συντελεστών αυτοσυσχέτισης, έστω m. Η μηδενική υπόθεση τότε, θα είναι H m :...,όπου i, i,,..., m είναι οι συντελεστές συσχέτισης των καταλοίπων. Η στατιστική Q των Box-Pierce ορίζεται ως: BP m ^ Q T, όπου ^ είναι δειγματικές αυτοσυσχετίσεις των καταλοίπων και T ο s s s αριθμός των παρατηρήσεων. Ο αριθμός των αυτοσυσχετίσεων ισούται με την τετραγωνική ρίζα του αριθμού των παρατηρήσεων, δηλαδή ισχύει m κατανομή T. Η στατιστική Q BP ακολουθεί την X με m p q βαθμούς ελευθερίας. Η μηδενική υπόθεση θα απορρίπτεται αν η τιμή Q BP είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη τιμή της κατανομής X, για δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας. Οπότε θα ισχύουν τα παρακάτω: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 8

83 Απόρριψη : H, αν QBP X Αποδοχή : H,αν QBP X Το κριτήριο Q έχει υποστεί διάφορες τροποποιήσεις από την αρχική του διατύπωση. Έτσι στις πρακτικές εφαρμογές σήμερα χρησιμοποιείται κυρίως η τροποποίηση που έκαναν οι Ljung και Box, η οποία ορίζεται ως: Q LB n( n ) k j j ^ ( ) n j Κι αυτή η στατιστική ακολουθεί προσεγγιστικά την κατανομή X με m p q βαθμούς ελευθερίας. Όπως και στο Q BP έτσι και εδώ η μηδενική υπόθεση θα απορρίπτεται όταν QLB για δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας. Η στατιστική Q LB χρησιμοποιείται X περισσότερο για μικρά δείγματα ενώ για μεγάλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν το ίδιο κατάλληλα και οι δύο. 5.4 Κριτήρια Επιλογής Υποδειγμάτων Αυτός ο έλεγχος γίνεται με μια διαδικασία που ονομάζεται υπερπροσαρμογή (overfiing). Σύμφωνα με αυτή τη διαδικασία ο έλεγχος της καταλληλότητας του εκτιμημένου υποδείγματος γίνεται συγκρίνοντάς το με ένα άλλο υπόδειγμα μεγαλύτερης τάξης. Με λίγα λόγια το εκτιμημένο υπόδειγμα ARMA( p, q ), θα συγκριθεί με τα υποδείγματα ARIMA( p, q) και ARIMA( p, q ) της αμέσως επόμενης τάξης. Αν το εκτιμημένο υπόδειγμα είναι τελικά το καταλληλότερο για τα δεδομένα μας, δηλαδή αν περιγράφει τη διαδικασία από την οποία παράχθηκαν τα δεδομένα, θα πρέπει οι επιπλέον συντελεστές στα μεγαλύτερα υποδείγματα να μην είναι στατιστικά διαφορετικοί από το μηδέν. Αν αυτοί οι συντελεστές δεν είναι μηδέν, τότε ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 83

84 θα υπάρχει κάποιο άλλο υπόδειγμα που να είναι πιο κατάλληλο για τα δεδομένα μας, απ ότι το εκτιμημένο. Τέλος, θα αναφέρουμε κάποια κριτήρια που μας βοηθούν να επιλέξουμε το κατάλληλο υπόδειγμα. Είναι προφανές ότι αν αυξήσουμε την τάξη του υποδείγματος προσθέτοντας υστερήσεις είτε για το αυτοπαλίνδρομο τμήμα είτε για το τμήμα κινητού μέσου, θα μειώνεται το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων, αλλά ταυτόχρονα θα μειώνονται και οι βαθμοί ελευθερίας αφού εκτιμώνται περισσότερες παράμετροι. Δυο κριτήρια που χρησιμοποιούνται ευρέως στην ανάλυση χρονολογικών σειρών είναι το κριτήριο πληροφοριών Akaike (Akaike Informaion Crierion) ή αλλιώς AIC και το Μπαϊεσιανό κριτήριο Schwarz (Schwarz Bayesian Crierion) ή αλλιώς SBC. Τα κριτήρια αυτά ορίζονται ως εξής: AIC ln n s T ln SBC ln s n T Όπου: s =εκτίμηση της διακύμανσης των καταλοίπων, n =αριθμός εκτιμούμενων παραμέτρων υποδείγματος ( p q ) όπου η μονάδα αντιστοιχεί στην σταθερά αν υπάρχει, T = αριθμός παρατηρήσεων που χρησιμοποιούνται στην παλινδρόμηση Η προσθήκη μιας επιπλέον μεταβλητής στο υπόδειγμα μειώνει το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων άρα και τη διακύμανση,αλλά ταυτόχρονα αυξάνει το n στους τύπους του AIC και SBC αντίστοιχα. Επομένως αν η προστιθέμενη μεταβλητή δεν έχει ερμηνευτική ικανότητα, τότε οι τιμές και των δύο κριτηρίων θα αυξηθούν. Η επιλογή δηλαδή των υποδειγμάτων γίνεται με βάση τη μικρότερη τιμή των κριτηρίων. Με άλλα λόγια, από ένα αριθμό υποδειγμάτων με διαφορετικό αριθμό παραμέτρων επιλέγουμε εκείνο με τη μικρότερη τιμή AIC ή SBC. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 84

85 Από τα δύο κριτήρια αυτά, το SBC θεωρείται ασυμπωτικά καλύτερο. Επειδή το T, το SBC επιβάλει μεγαλύτερη ποινή από το AIC στον επιπλέον αριθμό ln εκτιμούμενων παραμέτρων. Έτσι το κριτήριο SBC οδηγεί πάντα στην επιλογή ενός υποδείγματος του οποίου ο αριθμός των παραμέτρων δεν είναι σε καμία περίπτωση μεγαλύτερος από αυτόν που επιλέχτηκε με το κριτήριο AIC. Τα δύο αυτά κριτήρια χρησιμοποιούνται στην επιλογή του καταλληλότερου υποδείγματος ARIMA από πλευράς αριθμού υστερήσεων που θα πρέπει να περιληφθούν. Επίσης εφαρμόζονται και σε άλλα υποδείγματα, όπως τα υποδείγματα κατανεμημένων χρονικών υστερήσεων για την επιλογή του αριθμού των υστερήσεων των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν η σύγκριση γίνεται μεταξύ υποδειγμάτων με ίδιο αριθμό παραμέτρων, τότε τα κριτήρια AIC και SBC οδηγούν επιλογή του υποδείγματος με μεγαλύτερο R. 5.5 Προβλέψεις με AR και MA Υποδείγματα Έχοντας διαπιστώσει το κατάλληλο υπόδειγμα μορφής AR( p ), MA( q ),ή ARMA( p, q ) που προσαρμόζεται καλύτερα στα δεδομένα μιας χρονολογικής σειράς και αφού έχει προηγηθεί η εκτίμηση και ο έλεγχος τώρα μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για προβλέψεις. Η πρόβλεψη των τιμών μιας χρονοσειράς σε μελλοντικές περιόδους γίνεται με βάση το εκτιμημένο υπόδειγμα που προσαρμόσαμε στα δεδομένα Για παράδειγμα, έστω Y, Y,..., Y T,τα ιστορικά δεδομένα μιας χρονολογικής σειράς στην οποία προσαρμόσαμε ένα υπόδειγμα ARMA( p, q ).Η πρόβλεψη την επόμενη περίοδο T θα είναι η υπό συνθήκη αναμενόμενη τιμή(condiional expecaion) της σειράς αυτής, δηλαδή η τιμή αυτή αποτελεί την πιο πιθανή τιμή της σειράς στο μέλλον με βάση όλες τις προηγούμενες τιμές της. Μια πρόβλεψη που κάνουμε την περίοδο T,για την επόμενη ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 85

86 Y περίοδο T,συμβολίζεται με Y και εκφράζεται ως: Y E ET YT όπου ο Y Y T,... υποδείκτης T στην αναμενόμενη τιμή δηλώνει ότι στηρίζεται στις πληροφορίες μέχρι και την περίοδο T. Γενικότερα, θα συμβολίζουμε την πρόβλεψη για h περιόδους ως T h T T h Y E Y.Το λάθος πρόβλεψης συμβολίζεται ως et h και είναι η διαφορά μεταξύ της τιμής του Y την περίοδο T h,,3,..., περίοδοι στο μέλλον. h και της προσληφθείσης τιμής, δηλαδή et h YT h YT h όπου 5.5. ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ AR() ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Έστω το υπόδειγμα: Y a ay Για T το υπόδειγμα γίνεται Y a ay Αν οι παράμετροι a και a είναι γνωστές, τότε με βάση τις πληροφορίες που έχουμε μέχρι την περίοδο T μια πρόβλεψη για την περίοδο T θα είναι η υπό συνθήκη προσδοκώμενη τιμή της Y.Αν θέσουμε ως Y την πρόβλεψη τότε: Y ETYT και γενικεύοντας θα έχουμε: Y h ETYT h που θα αποτελεί μια πρόβλεψη για h περιόδους μπροστά με βάση τις πληροφορίες που έχουμε μέχρι την περίοδο T. Αυτή η πρόβλεψη που ελαχιστοποιεί την ποσότητα E T Y T hyt h δηλαδή ελαχιστοποιεί το μέσο του τετραγώνου του σφάλματος (Mean Square Error), θεωρείται άριστη πρόβλεψη (opimal forecas). Γενικότερα, για τις προβλέψεις που γίνονται για h περιόδους ισχύουν τα εξής: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 86

87 Y a a Y T h T h Var ^ 4 h T h... Από την τελευταία σχέση είναι φανερό ότι η διακύμανση του σφάλματος πρόβλεψης αυξάνει μη γραμμικά, καθώς αυξάνει η περίοδος πρόβλεψης ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ MA () ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Έστω το υπόδειγμα MA () που δίνεται από τον εξής τύπο: Y Η πρόβλεψη για την περίοδο T, όπως είδαμε και πριν θα είναι: Y E Y Γενικά, για προβλέψεις για h περιόδους μπροστά ισχύει: Y T h V h T T T Από την τελευταία σχέση είναι φανερό ότι ένα υπόδειγμα κινητού μέσου πρώτης τάξης είναι κατάλληλο για προβλέψεις μόνο μια περίοδο μπροστά, αφού για h η πρόβλεψη θα είναι πάντοτε ο μέσος ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ARMA (,) ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ Έστω το υπόδειγμα ARMA (,) Y a a Y Για T το υπόδειγμα γίνεται: Y a a Y T T ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 87

88 Η άριστη πρόβλεψη για την επόμενη χρονική περίοδο θα είναι Y a a Y T T Το σφάλμα πρόβλεψης και η διακύμανσή του θα δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: Y Y T T T V V T Έστω το υπόδειγμα ARIMA (,,) : W a a w όπου W Y Y Παίρνουμε τις πρώτες διαφορές οι οποίες είναι AR () για να γίνει στάσιμη η μη στάσιμη η σειρά Y. Οπότε, θα γίνει πρόβλεψη για τη διαφορά w και στη συνέχεια θα γίνει πρόβλεψη της Y. Η άριστη πρόβλεψη για την wt είναι: wt a awt Η πρόβλεψη τώρα για την αρχική σειρά Y, δηλαδή η πρόβλεψη για την YT θα είναι: Y Y w Y a a w T T T T T Y a a Y Y T T T a a Y a Y T T Γενικά, η πρόβλεψη για h περιόδους μπροστά θα είναι: Y Y w w... w T h T T T T h Το τελευταίο βήμα στη μεθοδολογία των προβλέψεων με τη χρήση ARMA( p, q ) υποδείγματα έχει να κάνει με την αξιοπιστία των προβλέψεων. Έτσι κάνοντας μια πρόβλεψη δεν ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 88

89 μας ενδιαφέρει μόνο ένα σημείο πρόβλεψης y T h αλλά και ένα μέτρο αξιοπιστίας της πρόβλεψης, δηλαδή το διάστημα εμπιστοσύνης της πρόβλεψης. Ένα a % διάστημα πρόβλεψης θα έχει τη μορφή: ύ yt h z c ά ό / oπου zc είναι η / κριτική τιμή για την τυπική κανονική κατανομή N (,). 5.6 ΜΕΤΡΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ Για να αξιολογήσουμε την προβλεπτική ικανότητα ενός υποδείγματος θα πρέπει να συγκρίνουμε τις προβλέψεις με τα πραγματικά δεδομένα της χρονολογικής σειράς. Κάτι τέτοιο υποδηλώνει πως διαθέτουμε παρατηρήσεις ακόμα και για τις περιόδους μέσα στις οποίες κάνουμε τις προβλέψεις. Στη συγκεκριμένη περίπτωση μιλάμε για εκ των υστέρων προβλέψεις(ex-pos) δηλαδή προβλέψεις που γίνονται μέσα στην περίοδο όπου έχουν ήδη πραγματοποιηθεί οι τιμές που θέλουμε να προβλέψουμε. Αντιθέτως, όταν προβλέπουμε σήμερα τις μελλοντικές τιμές της μεταβλητής τότε αναφερόμαστε για εκ των προτέρων(ex-ane) προβλέψεις, δηλαδή προβλέψεις τιμών για περιόδους που δεν έχουμε ακόμα αληθινές τιμές. Ουσιαστικά οι προβλέψεις που κάνουμε με ένα συγκεκριμένο υπόδειγμα μπορούν να αξιολογηθούν μόνο ex-pos.για να εξυπηρετήσουμε το σκοπό αυτό, από ένα συνολικό δείγμα παρατηρήσεων που διαθέτουμε αφήνουμε τις τελευταίες παρατηρήσεις τις οποίες δεν συμπεριλαμβάνουμε στην εκτίμηση προκειμένου να τις συγκρίνουμε με τις προβλέψεις που κάνουμε στο διάστημα αυτό. Απαραίτητη προϋπόθεση είναι να έχουμε μεγάλο αριθμό ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 89

90 παρατηρήσεων ώστε να υπάρχουν οι απαραίτητοι βαθμοί ελευθερίας για την εκτίμηση και τους ελέγχους του επιλεγμένου υποδείγματος. Η αξιολόγηση των προβλέψεων γίνεται με κάποια στατιστικά μέτρα που στηρίζονται στο μέγεθος του λάθους πρόβλεψης που κάνουμε. Έχουμε λοιπόν: A =οι πραγματικές τιμές της χρονολογικής σειράς F =οι προβλεφθείσες τιμές e = F - A =το λάθος πρόβλεψης Στο σημείο θα παραθέσουμε κάποιους τύπους που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση της ακρίβειας των ex-pos προβλέψεων: N Μέσο σφάλμα τετραγώνου (Mean Squared Error) MSE e N Τετραγωνική ρίζα MSE (Roo Mean Squared Error) R M S E N e Μέσο Απόλυτο Σφάλμα(Mean Absolue error N e N MAE Μέσο Απόλυτο Ποσοστιαίο Σφάλμα(Mean Absolue Percenage Error) M A P E F A N A Το μέσο σφάλμα τετραγώνου(mse) αλλά και η τετραγωνική ρίζα(rmse) δίνουν μεγαλύτερη βαρύτητα στα μεγάλα λάθη διότι τετραγωνίζονται σε αντίθεση με τα MAE και MAPE που υπολογίζουν μόνο τα απόλυτα σφάλματα. Όσο μικρότερες είναι οι τιμές των παραπάνω μεγεθών τόσο καλύτερη είναι και η προβλεπτική ικανότητα του υποδείγματος. Μειονέκτημα αποτελεί το γεγονός πως όλα τα παραπάνω μεγέθη επηρεάζονται από τις μονάδες ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 9

91 μέτρησης των μεταβλητών κάτι που σημαίνει πως απαιτείται προσοχή κατά τη σύγκριση μεταξύ εναλλακτικών ώστε η προβλεπόμενη μεταβλητή να εκφράζεται στις ίδιες μονάδες. Ένα άλλο μέγεθος που θα εξετάσουμε και είναι ανεξάρτητο των μονάδων μέτρησης είναι ο συντελεστής ανισότητας του Theil που συμβολίζεται με το γράμμα U και έχει τον εξής N R M S E N N τύπο: F A U A A O Theil πρότεινε τη χρήση ποσοστιαίων μεταβολών στη θέση των A και F, αλλά ο τύπος χρησιμοποιείται και στις αρχικές τιμές. Ο συγκεκριμένος συντελεστής παίρνει την τιμή μηδέν όταν οι προβλέψεις είναι απόλυτα ακριβείς και την τιμή ένα όταν οι προβλέψεις είναι όλες μηδέν. Αντίθετα, αν ο συντελεστής υπερβαίνει τη μονάδα τότε οι προβλέψεις δεν είναι καθόλου καλές. Συμπερασματικά, όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι ο συντελεστής U τόσο καλύτερες είναι οι προβλέψεις. Η σχέση του συντελεστή U αναλύεται σε τρεις συνιστώσες UM UV UC όπου: UM ποσοστό μεροληψίας (bias proporion) UV ποσοστό διακύμανσης (variance proporion) UC ποσοστό συνδιακύμανσης (covariance proporion) Χαρακτηριστικό είναι πως οι καλές προβλέψεις θα έχουν μικρό ποσοστό μεροληψίας και διακύμανσης και μεγάλο ποσοστό συνδιακύμανσης. 5.7 Εποχικά Υποδείγματα SARIMA ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 9

92 Τα εποχικά υποδείγματα SARIMA είναι μια άλλη κατηγόρια των υποδειγμάτων ARIMA. Γενικότερα, στοιχεία μικρότερης διάρκειας του έτους όπως μηνιαία, τριμηνιαία και υπόλοιπα στοιχεία μας φανερώνουν την εποχικότητα. Το εποχικό μέρος του υποδείγματος ARIMA έχει παρόμοια δομή με αυτή ενός μη εποχικού υποδείγματος και γράφεται ως SARIMA( Sp, Sd, Sq ) x ARIMA( p, d, q ). Στο εποχικό μέρος διεξάγονται πολλαπλασιασμοί της χρονικής υστέρησης S (δηλαδή τον αριθμό των περιόδων για μια εποχή) με τους συντελεστές p που είναι ο αριθμός των αυτοπαλίνδρομων εποχικών όρων ( SAR ), των αριθμό των εποχικών διαφορών d και το εύρος των στοιχείων των εποχικών όρων του κινητού μέσου q ( SMA ). Το φαινόμενο της εποχικότητας αποτελεί μια κανονική κύμανση μέσα στο χρονολογικό έτος οδηγώντας σε υψηλή συσχέτιση ανάμεσα στις τιμές τις σειράς που αντιστοιχούν στην ίδια περίοδο ανάμεσα στα διαφορετικά έτη. Την καλοκαιρινή περίοδο διαπιστώνεται ένας αυξημένος όγκος των πωλήσεων στα αναψυκτικά σε σχέση με της άλλες περιόδους του έτους λόγω της ζεστής. Αυτό είναι ένα παράδειγμα της εποχικότητας. Μια πρώτη αντιμετώπιση αφορά την αφαίρεση της εποχικότητας από την χρονολογική σειρά και την χρησιμοποίηση της μεθόδου που έχουμε μελετήσει, την γνωστή ως Box-Jenkins. Όποτε και εφαρμόζουμε της τεχνικές της ταυτοποίησης, εκτίμησης και πρόβλεψης. Μια άλλη μέθοδος η οποία είναι και η επικρατέστερη αφορά την ενσωμάτωση του εποχικού προτύπου των στοιχείων μας στο κανονικό υπόδειγμα ARIMA και την χρησιμοποίηση της μεθοδολογίας Box-Jenkins. Η μέθοδος αυτή καταλήγει στην εκτίμηση υποδειγμάτων με περισσότερες παραμέτρους. Άσκηση 8 Να εκφραστούν τα ακόλουθα μοντέλα με την μορφή (p,d,q)x((p,d,q)s α) (-L)(-L 4 ) = (-θ L)(-θ L 4 ) β) (-L) = (-.3L -.6L ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 9

93 γ) (-αl)(- L ) = (-θ L)(-θ L ) Απάντηση α) Έχουμε SARIMA(,,) 4 x ARIMA(,,) β) (-L) = (-.3L -.6L ) - L =,3L,6L - =,3,6 =,3,6 Άρα έχουμε ARIMA(,,) γ) Έχουμε SARIMA(,,) 4 x ARIMA(,,) Άσκηση 9 Υποθέτοντας ότι ένα δείγμα παρατηρήσεων προέρχεται από μια ARMA (,) με την εξής εκτίμηση: = p-v (.) (.) (.) Τι παρατηρείτε; Απάντηση Παρατηρούμε ότι :, <,5, άρα απορρίπτουμε την H. Άρα είναι στατιστικά σημαντικό., >,5, άρα αποδεχόμαστε την H. Άρα είναι στατιστικά μη σημαντικό., >,5, άρα αποδεχόμαστε την H. Άρα είναι στατιστικά μη σημαντικό. Άσκηση Ποιο από τα παρακάτω υποδείγματα θεωρείται ότι είναι το πλέον κατάλληλο και γιατί; AR() ARIMA (,,) ARIMA (,,) Roo Mean Squared Error ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 93

94 Mean Absolue Error Theil Inequaliy ΑΠΑΝΤΗΣΗ Σύμφωνα με την θεωρία, για να μπορέσουμε να δούμε ποιό από τα υποδείγματα είναι το κατάλληλο κοιτάμε τα εξής: την ρίζα μέσου τετραγωνικού σφάλματος (RMSe) και το μέσο απόλυτο σφάλμα (MAE). Όσο πιο μικρές είναι οι τιμές των παραπάνω μεγεθών τόσο καλύτερο είναι το υπόδειγμα μας. Όμως επειδή επηρεάζονται από τις μονάδες μέτρησης των μεταβλητών κοιτάμε ένα άλλο μέγεθος το οποίο είναι ανεξάρτητο από τις μονάδες μέτρησης. Αυτό είναι το heil, δηλαδή ο συντελεστής ανισότητας. Αν ο συντελεστής υπερβεί την μονάδα, τότε οι προβλέψεις είναι πολύ κακές. Όσο πιο κοντά είναι στο μηδέν ο συντελεστής του heil, τόσο καλύτερες είναι οι προβλέψεις. Επομένως, το καλύτερο υπόδειγμά μας είναι το AR() με heil <,95 < Άσκηση Έστω ότι η μεταβολή των καθαρών κερδών μιας επιχείρησης ακολουθεί το υπόδειγμα P P- όπου P η μεταβολή των κερδών (χωρίς να έχουν χρησιμοποιηθεί διαφορές). Ποιο είναι το παραπάνω υπόδειγμα και πως το ερμηνεύετε; Αποτελεί στάσιμη και αντιστρέψιμη χρονοσειρά; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Για να δείξουμε ότι ένα υπόδειγμα ARMA(,) είναι στάσιμο φτάνει να ισχύει η συνθήκη στασιμότητας για το υπόδειγμα AR(). Επομένως, < <, το οποίο ισχύει. Άρα είναι στάσιμη χρονοσειρά. Η αντιστρεψιμότητα ενός υποδείγματος ARMA βασίζεται στο MA μέρος. Επομένως, + < -, +,55 < -,55 <, το οποίο δεν ισχύει - <,55 +, <,365 <, το οποίο ισχύει < <,55 <, το οποίο ισχύει Άρα είναι αντιστρέψιμη χρονοσειρά, αφού ισχύουν οι προϋποθέσεις. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 94

95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6. Η ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ BOX-JENKINS ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ PASW. Στο παρόν κεφάλαιο αναλύεται διεξοδικά η διενέργεια προβλέψεων με βάση το στατιστικό πρόγραμμα PASW. Για την ανάλυση αυτή έχουν επιλεγεί δύο μετοχές του τραπεζικού τομέα αυτές της Εθνικής τράπεζας καθώς και της τράπεζας ALPHA BANK. Εθνική Τράπεζα της Ελλάδος (ΕΤΕ) Στο συγκεκριμένο παράδειγμα έχουν περαστεί τιμές της ΕΤΕ στο SPSS για το διάστημα από //9 έως 7/7/ δηλαδή 376 τιμές. Εικόνα (Define daes) Έπειτα από το menu του SPSS και συγκριμένα από την επιλογή Daa-Define Daes- Days μπαίνει Day= το οποίο ορίζει ότι η περιοδικότητα των δεδομένων είναι ανά ημέρα αφού πρόκειται για τιμές κλεισίματος της μετοχής. Εικόνα (Μεταβλητές DAY_,DATE_) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 95

96 Δοκιμάζοντας από το menu του SPSS και πηγαίνοντας στο Graphs-Time Series- Auocorrelaions τοποθετείται η μεταβλητή ETE στο Variables για να γίνουν οι δοκιμές και να βρεθεί το καταλληλότερο υπόδειγμα κάνοντας τους ελέγχους στασιμότητας. Οπότε δοκιμάζεται αρχικά χωρίς διαφορές επιλέγεται το οk για να προκύψουν τα εξής αποτελέσματα στο oupu. Εικόνα 3 (Διαδικασία για έλεγχο στασιμότητας) Εικόνα 4 (Πίνακας Auocorrelaions so Oupu) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 96

97 Πίνακας (Auocorrelaions) Auocorrelaions Series: ETE Lag a. b. Auocorrel Box-Ljung Saisic aion Sd. Error a Value df Sig. b,989,5 37,446,,977,5 733,37,,967,5 89,873 3,,959,5 44,9 4,,95,5 786,665 5,,94,5 6,679 6,,93,5 46,46 7,,93,5 79,549 8,,93,5 33,573 9,,93,5 343,5,,89,5 374,33,,883,5 444,543,,873,5 434,9 3,,86,5 4634,398 4,,85,5 498,75 5,,838,5 596,49 6, The underlying process assumed is independence (whie noise). Based on he asympoic chi-square approximaion. Χρονολογικές υστερήσεις(lag), Τιμή του συντελεστή αυτοσυσχέτισης(auocorrelaion), Τυπικό σφάλμα(sd Error), ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 97

98 Τιμή της στατιστικής συνάρτησης Box-Ljung (Value), Βαθμοί ελευθερίας(df), Τιμή πιθανότητας της στατιστικής συνάρτησης(sig) Από τον παραπάνω πίνακα είναι ξεκάθαρο ότι για όλα τα lags υπάρχει αυτοσυσχέτιση γατί όλα τα ρ είναι μηδέν οπότε δεν είναι στάσιμη χωρίς διαφορές και θα δοκιμαστεί με πρώτες διαφορές. Πατώντας πάλι οκ εμφανίζονται τα εξής στον πίνακα Auocorrelaions. Εικόνα 5 (Διαδικασία για έλεγχο στασιμότητας) Εικόνα 6 (Πίνακας Auocorrelaions so Oupu) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 98

99 Πίνακας (Auocorrelaions) Auocorrelaions Series: ETE Lag Auocorrel Box-Ljung Saisic aion Sd. Error a Value df Sig. b,3,5,35,554 -,7,5 5,58,64 -,8,5 7,9 3,48,47,5 8,748 4,68 -,48,5 9,67 5,87 -,6,5 9,878 6,3,33,5,36 7,7,9,5,68 8,4,53,5,78 9,3,,5,76,3 -,3,5,67,35,5,5,55,45,7,5 4,7 3,359,33,5 4,635 4,44,4,5 4,64 5,478,5,5 4,77 6,545 a. The underlying process assumed is independence (whie noise). b. Based on he asympoic chi-square approximaion. Έλεγχος στασιμότητας H : H : Με την υπόθεση H δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα είναι στάσιμη ενώ με την H υπάρχει αυτοσυσχέτιση και δεν προκύπτει στασιμότητα. ) H o : ρ = ρ =.554>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ ) H o : ρ = ρ =.64>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 3) H o : ρ 3 = ρ 3 =.48<α=.5 Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 99

100 Η : ρ 3 4) H : ρ 4 = ρ 4 =.68>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 4 5) H o : ρ 5 = ρ 5 =.87>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 5 6) H o : ρ 6 = ρ 6 =.3>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 6 7) H o : ρ 7 = ρ 7 =.7>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 7 8) H o : ρ 8 = ρ 8 =.4>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη).. Η : ρ 8 6) H o : ρ 6 = ρ =.545>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 6 Επειδή το ρ 3 εμφανίζει αυτοσυσχέτιση θα ήταν καλύτερα να γίνει δοκιμή με πρώτες διαφορές και με λογάριθμο για να ελεγχθεί αν υπάρχουν καλύτερα αποτελέσματα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

101 Εικόνα 7 (Διαδικασία για έλεγχο στασιμότητας) Εικόνα 8 (Πίνακας Auocorrelaions στο Oupu) Πίνακας 3 (Auocorrelaions) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

102 Auocorrelaions Series: ETE Lag Auocorrel Box-Ljung Saisic aion Sd. Error a Value df Sig. b -,4,5,5,944 -,79,5,348,39 -,86,5 5,65 3,6,,5 5, 4,65 -,,5 5,394 5,37 -,,5 5,438 6,489,,5 9,7 7,34,9,5 9,33 8,37,,5 9,33 9,4,3,5 9,36,53 -,,5 9,357,589,,5 9,357,67,6,5,784 3,69,36,5,94 4,663,4,5,3 5,73 -,3,5,33 6,79 a. The underlying process assumed is independence (whie noise). b. Based on he asympoic chi-square approximaion. Οπότε στο oupu εμφανίζεται ο πίνακας auocorrelaions και γίνεται ο έλεγχος στασιμότητας. Έλεγχος στασιμότητας H : H : ) H o : ρ = ρ =.944>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ ) H o : ρ = ρ =.39>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 3) H o : ρ 3 = ρ 3 =.6>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 3 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

103 4) H o : ρ 4 = ρ 4 =.65>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 4 5) H o : ρ 5 = ρ 5 =.37>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 5 6) H o : ρ 6 = ρ 6 =.489>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 6 7) H o : ρ 7 = ρ 7 =.34>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 7 8) H o : ρ 8 = ρ 8 =.37>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη). Η : ρ 8 6) H o : ρ 6 = ρ 6 =.79>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 6 Πράγματι με πρώτες διαφορές και λογάριθμο σε όλα τα p-value υπάρχει στασιμότητα. Τα αποτελέσματα που φαίνονται να είναι καλύτερα από ότι με πρώτες διαφορές και χωρίς λογάριθμο. Οπότε βάση του έλεγχου κανονικότητας φαίνεται ότι η διαδικασία είναι στάσιμη ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 3

104 με πρώτες διαφορές και λογάριθμο. Έπειτα, με τα διαγράμματα που εμφανίζονται στο oupu των ACF και Parial ACF εντοπίζονται τα q και τα p αντίστοιχα. Εικόνα 9 (Εύρεση τάξεως q) Εικόνα (Εύρεση τάξεως p) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 4

105 Από τα διαγράμματα ACF και PACF προκύπτει q= και p=. Το υπόδειγμα είναι της μορφής ARIMA(p,d,q)-ARIMA(,,) (d= λόγω πρώτων διαφορών). Η θεωρητική μορφή του υποδείγματος είναι η εξής: y Έπειτα πηγαίνοντας στο SPSS στα δεδομένα ακολουθούνται οι παρακάτω διαδικασίες. Από το menu επιλέγεται Analyze-Time Series-Creae Models.Στο Dependen Variables μπαίνει η μεταβλητή της ETE και στο Mehod επιλέγεται ARIMA.Πατώντας το Crieria εμφανίζεται ο πίνακας ARIMA Crieria και στο Nonseasonal μπαίνουν οι τιμές των p,d,q που έχουν εντοπιστεί,, αντίστοιχα. Πατώντας το Coninue και πηγαίνοντας στο Saisics γίνονται οι παρακάτω επιλογές και στη συνέχεια ok. Εικόνα (Καθορισμός υποδείγματος ARIMA(,,) στο SPSS) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 5

106 Εικόνα (Διαδικασία για έλεγχο στατιστικής σημαντικότητας) Στη συνέχεια στο Oupu βγαίνει ο πίνακας ARIMA Model Parameers από τον οποίο μελετώνται οι παραμέτροι που είναι στατιστικά σημαντικοί κάνοντας τον έλεγχο στατιστικής σημαντικότητας για το υπόδειγμα ARIMA(,,). Εικόνα 3 (Πίνακας ARIMA Model Parameers στο Oupu) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 6

107 Πίνακας 4 (ARIMA Model Parameers) ARIMA Model Parameers ETE-ModeETE No TransformConsan AR Difference MA Lag Lag Esimae SE Sig. -,8,8 -,67,79 -,97,46 -,37, -,984,36-7,577, Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας p-value των εκτιμητών του υποδείγματος H : H : Με την υπόθεση H ο εκτιμητής μας είναι στατιστικά μη σημαντικός, ενώ με την H ο εκτιμητής μας είναι στατιστικά σημαντικός. ) H o : ρ = ρ =.79>α=.5 Αποδοχή H o άρα ο εκτιμητής είναι στατιστικά μη σημαντικός (Σ.Μ.Σ.) Η : ρ ) H o : ρ = ρ =<α=.5 Απόρριψη H o άρα ο εκτιμητής είναι στατιστικά σημαντικός (Σ.Σ.) Η : ρ 3) H o : ρ = ρ =<α=.5 Απόρριψη H o άρα ο εκτιμητής είναι στατιστικά σημαντικός (Σ.Σ.) Η : ρ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 7

108 Αφού βρέθηκαν όλοι εκτιμητές στατιστικά σημαντικοί (εκτός του σταθερού όρου ο οποίος δεν επηρεάζει σε κάτι) και γνωρίζοντας τις παραμέτρους του υποδείγματος ARIMA(,,) θεωρείται ως το καταλληλότερο. Οι εκτιμώμενοι παράμετροι,, θα είναι ίσοι με:.8,.97,.984 Η μαθηματική μορφή του υποδείγματος είναι: Y.8.97 y.984 Για να είναι το υπόδειγμα Y αποδεκτό, για να θεωρηθεί δηλαδή ότι περιγράφει τη διαδικασία που παρήγαγε τα δεδομένα, θα πρέπει τα κατάλοιπα να είναι λευκός θόρυβος, δηλαδή δεν θα πρέπει να αυτοσυσχετίζονται. Για αυτό το λόγο θα γίνει έλεγχος στασιμότητας στα κατάλοιπα (residuals) επαληθεύοντας έτσι αν τα αποτελέσματα είναι αληθή για το ARIMA(,,). Από το menu του SPSS λοιπόν πηγαίνοντας Analyze-Time Series-Creae Models και στο Time Series Modeler και συγκεκριμένα στο Save επιλέγεται το Noise Residuals. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 8

109 Εικόνα 4 (Διαδικασία για την εύρεση των Residuals) Πατώντας οκ εμφανίζεται η μεταβλητή Noise Residual ETE στο SPSS που δείχνει τα υπόλοιπα(residuals). ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 9

110 Εικόνα 5 (Τιμές των Residuals) Από το menu του SPSS επιλέγοντας Graphs-Time Series-Auocorrelaions η μεταβλητή NResidual μπαίνει στο Variables και στη συνέχεια ok για να βγει ο πίνακας αυτοσυσχέτισης στο oupu και να γίνει έλεγχος στασιμότητας. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

111 Εικόνα 6 (Διαδικασία για έλεγχο στασιμότητας των Residuals) Πίνακας 5 (Auocorrelaions) Series: Noise residual from ETE-Model_ Lag Auocorrelaions Auocorrel Box-Ljung Saisic aion Sd. Error a Value df Sig. b,,5,58,69 -,6,5 4,49, -,88,5 7,36 3,6,55,5 8,58 4,74 -,56,5 9,74 5,83 -,7,5 9,84 6,3,5,5,78 7,84,37,5,59 8,6,45,5,37 9,5,8,5,49,3 -,39,5,9,357,,5,76,44,63,5 3,843 3,385,39,5 4,44 4,47 -,3,5 4,445 5,49,,5 4,6 6,553 a. The underlying process assumed is independence (whie noise). b. Based on he asympoic chi-square approximaion. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

112 Έλεγχος στασιμότητας H : H : Με την υπόθεση H δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα είναι στάσιμη ενώ με την H υπάρχει αυτοσυσχέτιση και δεν προκύπτει στασιμότητα. ) H o : ρ = ρ =.69>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ ) H o : ρ = ρ =.>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 3) H o : ρ 3 = ρ 3 =.6>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 3 4) H o : ρ 4 = ρ 4 =.74>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 4 5) H o : ρ 5 = ρ 5 =.83>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 5 6) H o : ρ 6 = ρ 6 =.3>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

113 Η : ρ 6 7) H o : ρ 7 = ρ 7 =.84>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 7 8) H o : ρ 8 = ρ 8 =.6>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 8 6) H o : ρ 6 = ρ 6 =.553>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 6 Άρα από τον έλεγχο καταλοίπων φαίνεται ότι η διαδικασία είναι στάσιμη καθώς για όλες της χρονολογικές υστερήσεις τα p είναι στάσιμα. Έτσι το υπόδειγμα ARIMA(,,) επιβεβαιώνεται ότι είναι το πλέον κατάλληλο. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 3

114 ALPHA_BANK Στο παρακάτω παράδειγμα έχουν συλλεχθεί στο SPSS μετοχές από //9 εώς 3//(συνολικά 5 τιμές). Εικόνα 7 (Define daes) Στη συνέχεια από το menu του SPSS επιλέγονται οι εντολές Daa-Define Daes-Days και στο Days τοποθετήθηκε Day = καταλήγοντας στο παρακάτω Εικόνα 8 (Μεταβλητές DAY_,DATE_) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 4

115 Έπειτα από το menu του SPSS και συγκεκριμένα από το Graphs-Time Series- Auocorrelaions μπαίνει η μεταβλητή ALPHA BANK στο Variables και γίνονται δοκιμές για να βρεθεί το καταλληλότερο υπόδειγμα. Για την διαδικασία αυτή απαιτείται ελέγχος στασιμότητας(πίνακας ). Αρχικά χρειάζεται με πρώτες διαφορές επιλέγεται το οk για να προκύψουν τα εξής αποτελέσματα στο oupu. Εικόνα 9 (Διαδικασία για έλεγχο στασιμότητας) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 5

116 Εικόνα (Πινακας Auocorrelaions so Oupu) Πίνακας 6 (Auocorrelaions) Series: ALPHA_BANK Lag Auocorrelaions Auocorrel Box-Ljung Saisic aion Sd. Error a Value df Sig. b,65,45,,47 -,6,45 7,734, -,4,44 7,835 3,5,53,44 9,8 4,54 -,9,44 3,39 5,,3,44 3,84 6,3,78,44 6,97 7,8,4,44 7,79 8,4 -,7,44 7,737 9,38,8,44 7,77,59,73,44,5,39,,44,594,57,7,44,959 3,74 -,6,44,98 4,,65,44 3,45 5,8 -,46,44 4,54 6,84 a. The underlying process assumed is independence (whie noise). b. Based on he asympoic chi-square approximaion. Χρονολογικές υστερήσεις(lag), Τιμή του συντελεστή αυτοσυσχέτισης(auocorrelaion), ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 6

117 Τυπικό σφάλμα(sd Error), Τιμή της στατιστικής συνάρτησης Box-Ljung(Value), Βαθμοί ελευθερίας(df), Τιμή πιθανότητας της στατιστικής συνάρτησης(sig) Έλεγχος στασιμότητας H : H : Με την υπόθεση H δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα είναι στάσιμη ενώ με την Hυπάρχει αυτοσυσχέτιση και δεν προκύπτει στασιμότητα. ) H o : ρ = ρ =.47>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ ) H o : ρ = ρ =.<α=.5 Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η : ρ 3) H o : ρ 3 = ρ 3 =.5=α Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η : ρ 3 4) H o : ρ 4 = ρ 4 =.54>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 4 5) H o : ρ 5 = ρ 5 =.<α=.5 Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 7

118 Η : ρ 5 6) H o : ρ 6 = ρ 6 =.3<α=.5 Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η : ρ 6 7) H o : ρ 7 = ρ 7 =.8<α=.5 Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η : ρ 7 8) H o : ρ 8 = ρ 8 =.4<α=.5 Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η : ρ 8 Από ότι φαίνεται από τους ελέγχους των υποθέσεων με πρώτες διαφορές υπάρχει αυτοσυσχέτιση στα περισσότερα από τα πρώτα 8 και έτσι δεν είναι στάσιμη η διαδικασία. Οπότε θα δοκιμαστεί με δεύτερες διαφορές. Εικόνα (Διαδικασία για έλεγχο στασιμότητας) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 8

119 Πίνακας 7 (Auocorrelaions) Series: ALPHA_BANK Lag Auocorrelaions Auocorrel Box-Ljung Saisic aion Sd. Error a Value df Sig. b -,49,45 83,954, -,4,45 93,774,,3,45 93,853 3,,3,44,55 4, -,4,44,4 5,,38,44,98 6,,46,44,54 7,,5,44,66 8, -,33,44,633 9, -,7,44,99,,68,44 5,344, -,4,44 6,9,,5,44 6,5 3, -,55,44 8,7 4,,97,44 3,3 5, -,3,44 9,63 6, a. The underlying process assumed is independence (whie noise). b. Based on he asympoic chi-square approximaion. Από τον παραπάνω πίνακα είναι ξεκάθαρο ότι για όλα τα lags υπάρχει αυτοσυσχέτιση γατί όλα τα p είναι μηδέν οπότε δεν είναι στάσιμη με δεύτερες διαφορές και δοκιμάζεται με πρώτες διαφορές και λογάριθμο. Πατώντας πάλι οκ και εμφανίζονται τα εξής αποτελέσματα στον πίνακα Auocorrelaions. Εικόνα (Διαδικασία για έλεγχο στασιμότητας) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 9

120 Πίνακας 8 (Auocorrelaions) Auocorrelaions Series: ALPHA_BANK Lag Auocorrel Box-Ljung Saisic aion Sd. Error a Value df Sig. b,7,45,63,5 -,88,45 6,54,38 -,7,44 6,69 3,8,9,44 6,878 4,43 -,43,44 7,85 5,66,48,44 9,5 6,73,9,44 6,7 7,3,6,44 6,86 8,38 -,7,44 6,65 9,54 -,,44 6,653,8,44,44 7,645,9,47,44 8,776,94,4,44 9,64 3,5,3,44 9,73 4,39,35,44,349 5,59 -,48,44,53 6,59 a. The underlying process assumed is independence (whie noise). b. Based on he asympoic chi-square approximaion. Έλεγχος στασιμότητας H : H : Με την υπόθεση H δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα είναι στάσιμη ενώ με την Hυπάρχει αυτοσυσχέτιση και δεν έχουμε στασιμότητα. ) H o : ρ = ρ =.5>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ ) H o : ρ = ρ =.38<α=.5 Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η : ρ 3) H o : ρ 3 = ρ 3 =.8>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

121 Η : ρ 3 4) H o : ρ 4 = ρ 4 =.43>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 4 5) H o : ρ 5 = ρ 5 =.66>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 5 6) H o : ρ 6 = ρ 6 =.73>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 6 7) H o : ρ 7 = ρ 7 =.3<α=.5 Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η : ρ 7 8) H o : ρ 8 = ρ 8 =.38<α=.5 Απόρριψη H (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Η : ρ 8. 6) H o : ρ 6 = ρ 6 =.59>α=.5 Αποδοχή H (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα στάσιμη) Η : ρ 6 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

122 Οπότε βάση του έλεγχου στασιμότητας που έγινε φαίνεται ότι η διαδικασία αυτή είναι στάσιμη με πρώτες διαφορές και λογάριθμο. Ύστερα με τα διαγράμματα που εμφανίζονται στο oupu των ACF και Parial ACF εντοπίζονται τα q και τα p αντίστοιχα. Εικόνα 3 (Εύρεση τάξεως q) Εικόνα 4 (Εύρεση τάξεως p) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ

123 Άρα q= και p=. Το υπόδειγμα είναι της μορφής ARIMA(p,d,q)-ARIMA(,,) Η θεωρητική μορφή του υποδείγματος είναι η εξής: y y Πηγαίνοντας στο SPSS που υπάρχουν τα δεδομένα ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία. Από το menu επιλέγεται Analyze-Time Series-Creae Models.Στο Dependen Variables μπαίνει η μεταβλητή ALPHA_BANK και στο Mehod επιλέγεται το ARIMA.Πατώντας το Crieria εμφανίζεται ο πίνακας ARIMA Crieria και στο Nonseasonal μπαίνουν οι τιμές των p,d,q δηλαδή,, αντιστοίχως. Επιλέγοντας Coninue, και πηγαίνοντας στο Saisics επιλέγονται τα παρακάτω πατώντας ok. Εικόνα 5 (Καθορισμός υποδείγματος ARIMA(,,) στο SPSS) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 3

124 Εικόνα 6 (Διαδικασία για έλεγχο στατιστικής σημαντικότητας) Στη συνέχεια στο Oupu βγαίνει ο πίνακας ARIMA Model Parameers ο οποίος χρειάζεται για τον έλεγχο στατιστικής σημαντικότητας στο υπόδειγμα ARIMA(,,). ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 4

125 Εικόνα 7 (Πίνακας ARIMA Model Parameers στο Oupu) Πίνακας 9 (ARIMA Model Parameers) ARIMA Model Parameers ALPHA_BANK-MoALPHA_BA No Transforma Consan AR Difference MA Lag Lag Lag Lag Esimae SE Sig. -,5, -,386,7 -,553,5 -,5,8 -,64,8-3,543, -,636,63 -,4,6 -,588,6 -,858,4 Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας p-value των εκτιμητών του υποδείγματος H : H : ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 5

126 Με την υπόθεση H ο εκτιμητής είναι στατιστικά μη σημαντικός, ενώ με την H εκτιμητής είναι στατιστικά σημαντικός. ο ) H o : ρ = ρ =.7>α=.5 Αποδοχή H o άρα ο εκτιμητής είναι στατιστικά μη σημαντικός (Σ.Μ.Σ.) Η : ρ ) H o : ρ = ρ =.8<α=.5 Απόρριψη H o άρα ο εκτιμητής είναι στατιστικά σημαντικός (Σ.Σ.) Η : ρ 3) H o : ρ = ρ =<α=.5 Απόρριψη H o άρα ο εκτιμητής είναι στατιστικά σημαντικός (Σ.Σ.) Η : ρ 4) H o : ρ 3 = ρ 3 =.6<α=.5 Απόρριψη H o άρα ο εκτιμητής είναι στατιστικά σημαντικός (Σ.Σ.) Η : ρ 3 5) H o : ρ 4 = ρ 4 =.4<α=.5 Απόρριψη H o άρα ο εκτιμητής είναι στατιστικά σημαντικός (Σ.Σ.) Η : ρ 4 Αφού βρέθηκαν όλοι οι εκτιμητές στατιστικά σημαντικοί (εκτός του σταθερού όρου ο οποίος δεν επηρεάζει το υπόδειγμα) και γνωρίζοντας τις παραμέτρους του υποδείγματος ARIMA(,,) θεωρείται ως το καταλληλότερο. Οι εκτιμώμενοι παράμετροι,,,, θα είναι ίσοι με: ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 6

127 .5,.553,.64,.636,.588 Το είναι ο σταθερός όρος, τα, εκτιμώμενοι παράμετροι αυτοπαλίνδρομης διαδικασίας AR και τα, εκτιμώμενοι παράμετροι κινητού μέσου MA. και θα έχει την εξής μαθηματική μορφή: Y.5.553y.64y Για να είναι το υπόδειγμα Y αποδεκτό, για να θεωρηθεί δηλαδή ότι περιγράφει τη διαδικασία που παρήγαγε τα δεδομένα, θα πρέπει τα κατάλοιπα να είναι λευκός θόρυβος, οπότε δεν θα πρέπει να αυτοσυσχετίζονται. Για αυτό το λόγο θα γίνει έλεγχος στασιμότητας στα κατάλοιπα (residuals) επαληθεύοντας έτσι αν τα αποτελέσματα είναι αληθή για το ARIMA(,,). Από το menu του SPSS λοιπόν πηγαίνοντας Analyze-Time Series-Creae Models και στο Time Series Modeler και συγκεκριμένα στο Save επιλέγεται το Noise Residuals. Εικόνα 8 (Διαδικασία για την εύρεση των Residuals) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ 7