MODELI TEMELJENI NA DIFERENCIJALNIM JEDNADŽBAMA VIŠEG REDA I NA SUSTAVIMA DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI

Transcript

1 MODELI TEMELJENI NA DIFERENCIJALNIM JEDNADŽBAMA VIŠEG REDA I NA SUSTAVIMA DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI MATEMATIČKO NJIHALO Jedadžba koja osuje gbaje matematčkog jala rozlaz z drugog Newtoovog zakoa r ma F r, r r čemu je F mg r j. S druge strae trajektorju gbaja možemo osat zrazom r r r rt lsφ lcosφ j z čega sljed r r r vt l& φ cosφ l& φsφ j r r r at l & φ sφ && φ cos φ l & φ cosφ && φs φ j. Uvrštavajem dobveog zraza u zjedačavajem vektorsk komoeata dobjemo l & φ sφ && φ cos φ l & φ cosφ && φs φ g. Možejem rve jedadžbe s cosφ, a druge sa sφ, te jovm zbrajajem dobjemo derecjalu jedadžbu matematčkog jala d φ g sφ. 3 dt l Kod modelraja romatraog roblema otrebo je, ravo, zadat očete uvjete tj. očet oložaj φ očetu brzu & φ. Dobvea derecjala jedadžba vrjed u slučaju kada ema treja. Kod rsutost treja retostavmo da je sla treja roorcoala brz gbaja, a dobjemo derecjalu jedadžbu d φ dφ g c sφ, 4 dt dt l gdje je c koecjet treja tj. arametar kojm se modelra teztet treja. Obje jedadžbe su eleare derecjale jedadžbe drugog reda. Njovo aaltčko rješeje je am ozato. Da b odredl umerčko rješeje, revedemo jedadžbu drugog reda a sustav dvju jedadžb rvog reda: deramo t φ t t &. φ t

2 Potom je & && & g l a zada očet uvjet su. Uočmo da je dobve sustav oblka &, t,. &, t, g l & φ cφ sφ c s, 5 To je sustav dvju derecjal jedadžb rvog reda. Dobve sustav rješmo umerčk korsteć eku od umerčk metoda. Vrlo se često, da b odredl aaltčko rješeje, rovod learzacja gorj jedadžb. Name, z razvoja ukcje s θ u Talorov red, za male kuteve θ sljed: s θ θ, a radajuća learzraa jedadžba, za slučaj bez treja, glas: d φ g φ. 6 dt l Dobvea je leara jedadžba drugog reda čje aaltčko rješeje zamo odredt jedako je φ s g g t C t Ccos l l t. Koecjet C C odrede se z očet uvjeta. Važo je aglast ojavu greške koja astaje kod learzacje sustava. Takva se greška ljeo može uočt a Slc. π Na Slc. je rkazao rješeje za: l.3; φ, & φ Slka.?? rješeje orgale jedadžbe rješeje learzrae jedadžbe Slka.

3 Prmjer. Leare derecjale jedadžbe drugog reda dobju se kod modelraja vbracja u sustavu s elastčom orugom, r čemu se dobje derecjala jedadžba d d m c k t, 7 dt dt gdje je t odmak utega z ravotežog oložaja, c je koecjet rgušeja, k je kostata oruge, dok je t vajska sla sustava. Za otuo zadavaje ostavkjeog roblema otrebo je ozavat očet oložaj očetu brzu &. Prmjer. Leare derecjale jedadžbe drugog reda dobju se kod modelraja RLC elektrčog kruga. Derecjala jedadžba kojom je osaa jakost struje t daa je s d d du L R C t. 8 dt dt dt Ovdje je L duktvtet zavojce, R otor, C kaactet kodezatora, a u u t elektromotora sla zvora. Da b ostavlje roblem mogl rješt otrebo je zadat dva očeta uvjeta. Sustav derecjal jedadžb. reda derecjale jedadžbe všeg reda Oćet sustav derecjal jedadžb rvog reda možemo zasat u oblku: d d d d d d,, M,,,,, K,, K,, K, 9 Ovdje je ezavsa varjabla,, K, očet uvjeta tj., K,. su eozate ukcje. Potrebo je zadat LORENTZOV ATRAKTOR Loretzov atraktor je rješeje sustava derecjal jedadžb koje se dobju kod modelraja atmosere. Zamslmo do atmosere oblka ravokute loče, koj se grje odozdo, a lad odozgo, dok je a bočm rubovma temeratura kostata. Tol zrak se dže, a lad se suša, te astaje tolsk rotok kojm tola struj od da rema vru. Ako ozačmo s kovektv tok, orzotala razdoba temerature, z vertkala razdoba temerature. Nadalje ozačmo s σ koecjet vskozost termala koduktvost, ρ temeratura razlka zmeđu vra da te koecjet β kvocjet zmeđu šre vse odručja. Pradajuć sustav derecjal jedadžb glas:

4 d σ dt d ρ z dt dz β z dt Ovdje je t vrjeme. Ovakav sustav je eleara je ga moguće rješt aaltčk. Numerčk dobveo rješeje za slučaj σ 3, ρ 6.5 β, uz očete uvjete z rkazao je a Slc Slka 3. PREDATOR-PREY SUSTAV Začaja sustav u oulacjskoj damc je tzv. redator - re sustav derecjal jedadžb. Sustav je eleara oblka d ab dt. d c d dt t restavlja oulacju žrtve re, a t oulacju grabežljvaca redator. Zbog kvadratog člaa, koj ogoduje razvoju oulacje grabežljvaca, a smajeju oulacje žrtv, sustav jedadžb je eleara jegovo aaltčko rješeje e zamo odredt. Numerčka rješeja se aravo mogu odredt.

5 Prmjer: t može redstavljat oulacju ste, a t oulacju krue rbe u ekom moru l odručju. U tom se slučaju omoću koecjeta a modelra brza rerodukcje ste rbe, dok je b koecjet kojm se određuje vjerojatost da će krua rba ojest stu rbu. Nadalje arametar c je redstavlja mjeru za orast oulacje krue rbe, kad oa ojede stu rbu, dok arametar d služ za modelraje oadaja oluacje krue rbe, u slučaju kada ema dovoljo ste rbe. Zamljvo je romatrat rješeja sustava u tzv. azoj rav azom rostoru. To zgleda kao da smo zgubl vremesku dmezju. Kao kod rkazvaja orbta ojed laeta, ovdje se ut crta bez amćeja vremeskog treutka u kojem smo rošl određeom točkom. Da b odredl rješeja u azoj rav, rješmo se ovsost o vremeu. Jaso je da z sljed: d c d c d. d ab a b c Uočmo da je za brojk gorjeg zraza jedak ul, što zač da je agb krvulje d a jedak ula, odoso krvulja je orzotala. Za je azvk jedak ul, a je b krvulja vertkala. Jedadžbu možemo rješt searacjom varjabl ab d cd d a d bd c d a log b c d log kost. Dobvea krvulja je eltčog oblka, zavs o očetom uvjetu a osovu kojeg se odred vrjedost kostate. Krvulja je zatvorea, što zač da je redator-re oulacja cklčka. Slka 4. NAPOMENA: Na slča se ač, u azoj rav, mogu romatrat rješeja rje dera derecjal jedadžb drugog reda.

6 Promatrajmo oćetu derecjalu jedadžbu všeg reda oblka,,, K,. 3 Iz gorje jedadžbe sljed veza zmeđu ezavse varjable, eozate ukcje jez dervacja. Da b očet roblem bo u otuost dera otrebo je zadat očet uvjeta:,, K,. Derecjalu jedadžbu všeg reda možemo revest a sustav jedadžb rvog reda, tako da deramo ; ; K ;. 4 Dobve sustav je d d d 3 d M d d d,, K, d. 5 Isto tako z ostavlje očet uvjeta.9 možemo dobt očete uvjete gorjeg sustava. Numerčko rješavaje sustava derecjal jedadžb rvog reda Za rješavaje sustava možemo rmjet rje derae umerčke seme tj. Eulerovu metodu, Ruge-Kutta td. Navedee se seme rmjejuju o komoetama sustava. Sasvm je jaso da će takav rstu bt odgovarajuć, jer se u svm romatram semama, vrjedost u sljedećem koraku zračua a osovu ozat vrjedost z retodog roračuskog koraka.

7 LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE. REDA Promatrat ćemo leare derecjale jedadžbe drugog reda oblka Tražmo rješeje ostavljee jedadžbe a tervalu [ a, b]. Razlkujemo dvje klase roblema a PROBLEM SA POČETNIM VRIJEDNOSTIMA zadae su očete vrjedost a, a. 6 očet uvjet tg α a a α a b Slka 5. b PROBLEM SA RUBNIM UVJETIMA zadae su vrjedost a, b rub uvjet b a a Slka 6. b

8 POČETNI PROBLEM ODREĐIVANJE PROGIBNE LINIJE JARBOLICE Slka 7. Derecjala jedadžba kojom se modelra rogba lja jarbolce glas d L z, 7 dz EI gdje je L dulja, vajska sla o jedc dulje, EI je leksjska krutost. S obzrom da je jarbol ksra a jedrlc, odgovarajuć očet uvjet ostavljeog roblema su: d. Derecjala jedadžba je leara možemo je rješt ekom od metoda dz osa u astavku. Iterval [ a, b] odjelmo a jedak odtervala s točkama a,, K, b, gdje je b a,. Za ostavljee očete uvjete zatm tražmo aroksmacje rješeja,,, u tm točkama. K a a b Slka 8.

9 a Prevođeje a sustav derecjal jedadžb. reda Kao što je objašjeo u retodom oglavlju, ostavlje se roblem može revest a očet roblem za sustav derecjal jedadžb. b Metoda koač razlka Sustav možemo rješavat drekto, korsteć koače razlke za aroksmacje dervacja u romatraoj točk. Name, kao što zamo, redstavlja smjer koecjet tagete u točk. S obzrom da tagetu možemo svatt kao grač slučaj sekate, očekujemo da će smjer koecjet tagete bt dobar rblžak za. Navedeu aroksmacju možemo dobt a vše razlčt ača Slka 9. Aroksmacju 8 dobjemo derecrajem uarjed orward derecg. Derecrajem uatrag backward derecg dobjemo zraz a cetralm derecrajem cetral derecg zraz, 9. derecraje uarjed cetralo derecraje derecraje uatrag Slka 9. Razvojem ukcje u okol točke u Talorov red može se okazat da je greška koju aravmo derecrajem uarjed, odoso uatrag, reda O, dok je greška kod cetralog derecraja reda O.

10 Za umerčku aroksmacju druge dervacje korstt ćemo čjecu da je druga dervacja zaravo rva dervacja dervacje ukcje tj. aroksmacjom dobjemo drugu odjeljeu razlku uarjed. Na slča ač dobjemo drugu odjeljeu razlku uatrag,, odoso drugu cetralu odjeljeu razlku.. 3 Uvrštavajem dera odjelje razlka u zadau derecjalu jedadžbu. možemo umerčk odredt jezo rješeje. Najrje, z zada očet uvjeta sljed 4a. 4b Rekurzvo sada možemo u rozvoljoj točk tervala odredt aroksmacju za vrjedost rješeja. Name, uvrštavajem odjelje razlka dobjemo zraz 4c z kojeg odredmo vrjedost, korsteć vrjedost koje smo odredl u retodm koracma. Postuak oavljamo za,, K. Oazmo, da je ovako dobvea metoda, određea s zrazma 4a-4c ekslcta. Korštejem drug odjelje razlka moguće je, aravo, dobt mlctu metodu.

11 RUBNI PROBLEM ODREĐIVANJE TEMPERATURE U ŠTAPU Promatrajmo jedadžbu očuvaja tole takog dugačkog omogeog ezolraog štaa. U stacoarom staju jedadžba je daa s d T k T T ok d 5 gdje je T T temeratura štaa a udaljeost, Tok je temeratura okole, a k koecjet tolske vodljvost. T ok T T T ok L Slka. Da b odredl rješeje ovog roblema, otrebo je ostavt odgovarajuće rube uvjete, r. zadat temeraturu a krajevma štaa T T T L T. Ovdje se dakle rad o rubom roblemu. Problem sa zadam rubm uvjetma zato je tež od roblema sa zadam očetm vrjedostma. SAVIJANJE PROSTE GREDE Slka. Odgovarajuća derecjala jedadžba koja osuje savjaje roste grede, odoso derecjala jedadžba elastče lje osača, jedaka je d M 6 d EI gdje je odmak z ravotežog oložaja, M M momet savjaja, E modul elastčost, a I ercjal momet. U romatraom su slučaju rub uvjet da s L.

12 a Metoga gađaja sootg metod Promatrajmo derecjalu jedadžbu 6 s rubm uvjetma a a, b b. 7 Postavlje roblem revedemo a sustav jedadžb z. 8 z z Kod dobveog sustava jeda am je očet uvjet ozat, tj. a a, dok am je drug z a a? eozat. Ideja metode gađaja je zaravo metoda okušaja ogrešaka. Name, okušamo ogodt vrjedost a. Za eku odabrau vrjedost ađemo rješeje sustava. To će bt rješeje ostavljeog roblema samo ako dobveo rješeje ~ zadovoljava uvjet ~ b b, što ajčešće eće bt slučaj. Da b odredl sravu vrjedost a s kojom ćemo dobt rješeje roblema odaberemo dvje vrjedost a a, te ađemo radajuća rješeja Slka.. Pretostavmo da vrjed b > b < b a a b b. b a b točo rješeje a b Slka. Nadamo se da ćemo sravo rješeje dobt ako uzmemo learu kombacju tj. za a α a α a. 9 S obzrom da je jedadžba leara očekujemo da je arametar α ajbolje odabrat tako da vrjed b b b α b α b α. b b Ako za odabrau aroksmacju a e dobjemo točo rješeje, oavljamo ostuak sve dok e dobjemo rješeje koje zadovoljava rub uvjet b b s određeom točošću. Naravo, može se dogodt da rješeje koje zadovoljava ostavljee rube uvjete e ostoj.

13 b Metoda koač razlka Drug je ač rješavaja rubog roblema omoću metode koač razlka. Kao kod očetog roblema, terval ajrje odjelmo u djelova. S obzrom a ostavljee rube uvjete, mamo a b, 3 tj. ozate su am vrjedost. Korsteć metode koač razlka 8-4 za svaku točku mreže, z jedadžbe 69 dobjemo. 3 Za razlku od očetog roblema, sada rješeja e možemo odredt rekurzvo jer am vrjedost je ozata. Umjesto toga, rassvajem jedadžb oblka 3 za svak dobjemo sustav jedadžb za,, K eozat vrjedost.,, K : : : 3 M Grurajem koecjeata uz eozace sustava rebacvajem ozat vrjed-ost a desu strau sustava, dobjemo sustav oblka b A gdje je A O O O M M, b M. Oazmo da je matrca A trodjagoala. Rješeje takvog sustava se rlčo jedostavo odred omoću eke od metoda za rješavaje learog sustava.

14 POSEBAN SLUČAJ POISSONOVA JEDNADŽBA U D du, u u d Metoda koač razlka Promatra terval odjelmo u jedak djelova. Ovdje je j j uj u j. Ako za svaku uutarju točku tervala, aroksmramo gorju jedadžbu metodom koač razlka dobjemo uj uj uj j, j,, K,. Na osovu ostavlje rub uvjeta mamo u u. Gorje jedadžbe če sustav, koj možemo zasat u oblku A û ˆ gdje je O O O A O O O u M, uˆ M u ˆ M. M Rješavajem tog sustava, dobjemo umerčke aroksmacje rješeja romatrae derecjale jedadžbe.