Prof. dr. sc. Maja Biljan-August Prof. dr. sc. Snježana Pivac Doc. dr. sc. Ana Štambuk 2. IZDANJE. Poglavlje 2.

Transcript

1 Prof. dr. sc. Maja Blja-August Prof. dr. sc. Sježaa Pvac Doc. dr. sc. Aa Štambuk UPORABA STATISTIKE U EKONOMIJI. IZDANJE Poglavlje. REGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZA Ekoomsk fakultet Sveučlšta u Rjec Rjeka, 9.

2

3 . REGRESIJSKA I KORELACIJSKA ANALIZA.. Pojam regresjske korelacjske aalze Poslova makroekoomska statstka često, uz aalzu kretaja jede ekoomske pojave, maju potrebu stražt ovsost dvju l vše pojava, odoso umerčkh zova, zajedo. Prv korak u stražvaju ovsost varjabl jeste crtaje grafčkog prkaza koj se azva djagram raspaja. Djagram raspaja u pravokutom koordatom sustavu točkama ( x, y prkazuje parove vrjedost dvju promatrah umerčkh varjabl. Na osov takve slke mogu se odmah uočt osove veze među promatram varjablama. Slka.. y y x (a poztva fukcoala veza x (b poztva statstčka veza Na slc.. prkazaa su djagrama raspaja. Slka (a prkazuje fukcoalu vezu zmeđu varjable. Zamšljea lja koja povezuje sve točke a slc je pravac. Matematčk oblk veze, ovh dvju promatrah varjabl, je jedadžba pravca. Od te lje ema kakvog odstupaja, stoga se kaže da je ova veza strogo fukcoala. Zamšlje pravac je rastuć, odoso porast vrjedost jede varjable prat porast vrjedost druge promatrae varjable zato je ova veza poztva. Čest slučaj u praks prkaza je a slc (b. Ako se zmeđu točaka ovog djagrama zamsl krvulja, to b opet bo pravac. Međutm ovdje su prsuta poztva egatva odstupaja od lje pravca, a to se tumač razm utjecajma drugh varjabl z prakse. Stoga ova veza vše je strogo fukcoala, već se za ju kaže da je statstčka (stohastčka l slučaja veza. 77

4 Porast vrjedost jede varjable u prosjeku prat porast druge varjable, pa je ova veza poztva. Slka.. y y x (a egatva fukcoala (b egatva statstčka veza veza Na slc.. prkazaa su opet djagrama raspaja. Slka (a prkazuje fukcoalu vezu zmeđu varjable, a zamšljea lja koja povezuje sve točke a slc je opet pravac. Matematčk oblk veze ovh dvju promatrah varjabl je jedadžba pravca od čje lje ema kakvog odstupaja, pa je ova veza strogo fukcoala. Zamšlje pravac je padajuć, odoso porast vrjedost jede varjable prat pad vrjedost druge promatrae varjable, pa je ova veza egatva. Čest slučaj u praks prkaza je a slc (b. Ako se zmeđu točaka ovog djagrama zamsl krvulja, to b opet bo pravac. Međutm ovdje su prsuta poztva egatva odstupaja od lje pravca, a to se, kako je već rečeo, tumač razm utjecajma drugh varjabl z prakse. Stoga ova veza vše je strogo fukcoala, već se za ju kaže da je statstčka (stohastčka l slučaja veza. Porast vrjedost jede varjable u prosjeku prat pad druge varjable, stoga je ova veza egatva. Veza zmeđu promatrah varjabl e mora uvjek odgovarat jedadžb pravca. x 78

5 Slka.3. y y x (a poztva fukcoala krvoljska veza Na slc.3. su djagrama raspaja. Slka (a prkazuje fukcoalu krvoljsku poztvu vezu zmeđu varjable. Zamšljea lja koja povezuje sve točke a slc je krvulja. Matematčk oblk veze ovh dvju promatrah varjabl je eka ekspoecjala jedadžba od čje lje ema kakvog odstupaja, pa je ova veza strogo fukcoala. I ovdje vrjed da porast vrjedost jede varjable prat porast vrjedost druge promatrae varjable zato je ova veza poztva. U praks se češće događa slučaj prkaza a slc (b. Ako se zmeđu točaka ovog djagrama zamsl lja to b opet bla krvulja. Međutm ovdje su prsuta poztva egatva odstupaja zbog utjecaja drugh varjabl z prakse. Ova veza je statstčka (stohastčka l slučaja. I ovdje porast vrjedost jede varjable u prosjeku prat porast druge varjable, stoga je ova veza poztva. x (b poztva statstčka krvoljska veza U poslovoj makroekoomskoj statstc promatra se samo prv kvadrat koordatog sustava jer su u ekoomj varjable uglavom poztve. 79

6 Slka.4. y x (a ema veze među pojavama Na slc.4. prkaza je djagram raspaja koj upućuje a zaključak da ema povezaost među promatram pojavama. Name zamšljea krvulja koja prolaz zmeđu točaka a ovom grafkou e postoj e može se defrat prat l porast jede pojave rast l pad druge promatrae pojave, jer se pr jedoj vrjedost varjable x može dogodt vše razlčth vrjedost druge varjable y. Pod pojmom korelacja podrazumjeva se međuzavsost l povezaost slučajh varjabl. Po smjeru korelacja može bt poztva egatva. Poztva korelacja je prsuta kada rast jede varjable prat rast druge promatrae varjable, odoso kada pad jede prat pad druge varjable. Negatva korelacja prsuta je kada rast jede varjable prat pad druge varjable obrato. Za razlku od korelacjske aalze zadaća regresjske aalze je da proađe aaltčko-matematčk oblk veze zmeđu jede ovse l regresad varjable jede l vše eovsh l regresorskh varjabl. Osm objašjavaja prrode ovsost promatrah pojava a temelju tog aaltčkog oblka može se vršt predvđaje vrjedost ovse varjable pr određem vrjedostma eovse-h varjabl... Regresjsk model U slučaju postojaja samo jede ovse l regresad, samo jede eovse l regresorske varjable kaže se da je to jedostav, jedostruk l jedodmezoal regresjsk model. Ako se uz jedu ovsu l regresad 8

7 varjablu u aalz jave dvje l vše eovsh l regresorskh varjabl kaže se da je to slože, všestruk l všedmezoal model. Regresjska aalza se može postavt a sljedeć ač:. Potpuo, preczo koczo defraje predmeta cljeva stražvaja, te postavljaje osovh pretpostavk. Crtaje djagrama raspaja, zbor modela defraje varjabl (a prmjer adtv model f ( + e, (.. gdje je: - ovsa l regresad varjabla - eovsa l regresorska varjabla e - slučaja kompoeta. Svak model ma slučaju kompoetu e, koja upućuje da veze zmeđu pojava u praks su fukcoale ego su statstčke l stohastčke, odoso oko lje kokretog adtvog modela postoje poztva /l egatva odstupaja orgalh vrjedost. U ovom koraku bto je formrat statstčko-dokumetacjsku osovu z prmarog (drekto /l sekudarog (lteratura zvora vodeć račua da promatra podac budu usporedv da jhova usporedba zadovoljava ekoomske krterje. 3. Odabr kokretog regresjskog modela, jegova specfkacja pretpostavke (a prmjer lear model: β + + e. Slka.5. y β Model u praks e moraju bt adtv: a prmjer, multplkatv model f ( e, gdje je: - ovsa l regresad varjabla, - eovsa l regresorska varjabla, e - slučaja kompoeta. x 8

8 Na slc.5. prkaza je djagram raspaja koj upućuje a postojaje poztve statstčke veze zmeđu dvju varjabl. Povlačejem lje pravca zmeđu točaka djagrama raspaja pretpostavlja se adtva leara veza među varjablama. 4. Statstčka aalza modela: ocjea parametara pokazatelja reprezetatvost modela U ovoj faz regresjske aalze ocjejuju se parametr kokretog zabraog regresjskog modela, te se račuaju odgovarajuć pokazatelj reprezetatvost modela, koj ukazuju a to zadovoljava l model statstčke krterje. 5. Testraje hpoteza o modelu statstčko teorjskh pretpostavk a DA - ako su spujee pretpostavke, vrš se steza rezultata doose se sudov o predmetu stražvaja b NE -ako su spujee pretpostavke: vrš se modfkacja modela vraća se a korak., tj. a zbor ovog modela defraje varjabl. Regresjskom aalzom traže se ocjejuju parametr fukcje koja a ajbolj moguć ač opsuje vezu zmeđu varjabl..3. Model jedostave leare regresje Ako su u aalz prsute samo dvje varjable tada se rad o jedostavoj regresj. Na temelju uzorka parova vrjedost varjabl : ( x, y, ( x, y,..., ( x, y crta se djagram raspaja koj je prkaza a slc.6.. Slka.6. y y x x 8

9 . Djagram raspaja pokazuje poztvu statstčku vezu zmeđu pojava Slka.7. y y e ˆ β ˆ + ˆ β x x Ako se a djagramu raspaja povuče pravac o je općeto oblka: ˆ ˆ β + ˆ β (.3. Svaka točka djagrama raspaja zadovoljava jedadžbu: ˆ β ˆ + e, (.3. + β odoso svaka točka odstupa od lje pravca za poztvu l egatvu razlku e. Regresjska aalza traž parametre ˆ β ˆ β, tako da pravac ˆ prolaz zmeđu stvarh točaka promatrah varjabl da ajbolje tumač vezu zmeđu jh, odoso pravac mora bt takav da odstupaja e budu ajmaja. Postoj vše razlčth metoda za ocjeu ovh parametara, a ajčešće rabljea metoda je metoda ajmajh kvadrata koja upravo procjejuje parametre ˆ β ˆ β tako da odstupaja e budu ajmaja. 3 Oa daje ajbolje 3 Pr formraju modela postavljaju se pretpostavke slučaje greške e (tzv. Gauss- Markovljev uvjet: I. E( e, (očekvaje slučaje pogrješke je ula za svaku opservacju II. III. E( e, e j σ e < + za j (homoskedastčost varjace rezduala, tj. cost. pretpostavlja se da je varjaca rezduala koača čvrsta E( e, e j, j, tj. (pogrješka je slučaja ema korelacje zmeđu varjabl Cov( e, e j, j s pomakom od e 83

10 leare eprstrae ocjee vrlo je često prmjejvaa metoda za ocjeu parametara. + e ˆ (.3.3 Odstupaja orgalh vrjedost od ocjejeh vrjedost e mogu bt poztva egatva, stoga da se e b međusobo poštle te poztve egatve vrjedost, ova metoda mmzra sumu kvadrata od e. m e m ( ˆ [ ( ˆ ˆ β ] m + β (.3.4 Dakle, traž se mmum kvadrata odstupaja emprjskh (stvarh u odosu a regresjske vrjedost: [ ( ˆ β ˆ ] f ( ˆ β, ˆ β + β (.3.5 Nako prmjee matematčkog postupka tražeja mmuma dobju se dvje jedadžbe s dvje epozace tj. parametr regresjskog modela ˆ β ˆ β. gdje su: ˆ β + ˆ β (.3.6 ˆ β + ˆ β (.3.7 Sustav (.3.6, (.3.7 uvjek ma rješeja vrjed da je: ˆ β ˆ b ˆ β (.3.8 (.3.9 jedostave artmetčke srede varjabl. Koačo je ocjeje model: ˆ ˆ β + ˆ β (.3. IV. E ( e, (slučaja pogrješka je dstrburaa ezavso od regresorske varjable Vrjed da je slučaja pogrješka e dstrburaa ormalom dstrbucjom: N (, σ <. 84

11 85 gdje je ˆβ kostat čla, tj. očekvaa vrjedost zavse varjable kada je ezavsa varjabla jedaka ul: ( ˆβ kada je. Ovaj parametar terpretra se kao odsječak a os koordata u kojoj regresjsk pravac sječe os, uz pretpostavku da je apscsa te točke. Regresjsk koefcjet ˆβ pokazuje prosječu promjeu zavse varjable kada ezavsa varjabla poraste za jedcu. Ovaj parametar terpretra se kao koefcjet smjera, odoso agba regresjskog pravca koj može mat poztv egatv predzak, ovso o smjeru veze zmeđu promatrah varjabl. Može se postavt suprota ovsost u modelu, a ač da je varjabla sada ovsa l regresorska varjabla: e + + ˆ ˆ α α (.3. Ocjea parametara u ovom slučaju vrš se a jedak ač kao kod početog modela ˆ, samo što je sada ovsa varjabla, pa u zrazma za zračuavaje parametara, mjejaju mjesta. a ˆ ˆ ˆ α α (.3. Matrčm putem regresjska jedadžba može se apsat: βˆ ; (.3.3 gdje su matrce: ˆ ˆ ˆ ;.... ;.. β β β (.3.4 ( ( ˆ T T β (.3.5 gdje su: T T ( (. (.3.6

12 .4. Leara korelacja procjea koefcjeta korelacje.4. Leara korelacja Najpozatja mjera leare korelacje zmeđu slučajh varjabl je Pearsoov koefcjet leare korelacje (r: ( ( r, l ( ( r (.4. σ x σ y gdje su σ x σ y jedostave stadarde devjacje promatrah varjabl: x y σ x y σ (.4. Vrjedost koefcjeta leare korelacje kreće se u tervalu: r (.4.3 U skladu s velčom ovog koefcjeta može se zaključt smjer teztet leare korelacje među promatram varjablama: r ; r fukcoala egatva/poztva korelacja < r,8 ;,8 r < jaka egatva/poztva korelacja,8 < r,5 ;,5 r <, 8 sredje jaka egatva/poztva korelacja,5 < r < ; < r <, 5 slaba egatva/poztva korelacja r ema korelacje. Koefcjet parcjale korelacje je pokazatelj korelacje zmeđu dvje varjable uz stodobo sključeje utjecaja drugh varjabl. Ako se račua parcjala korelacja zmeđu trju varjabl u kombacj vrjed da je: korelacja zmeđu.. varjable uz sključeje utjecaja 3. varjable: r ( r3 r3 ρ.3 (.4.4 ( r ( r 3 3 korelacja zmeđu. 3. varjable uz sključeje utjecaja. varjable: 86

13 r3 ( r r3 ρ 3. (.4.5 ( r ( r 3 korelacja zmeđu. 3. varjable uz sključeje utjecaja. varjable: r3 ( r r3 ρ 3., (.4.6 ( r ( r 3 gdje su r j odgovarajuć koefcjet korelacje promatrah varjabl. Matrca koefcjeata korelacje općeto je: r r3.. r k r r3.. rk R r3 r3.. r3k, rk rk rk 3.. gdje je k broj promatrah varjabl. S obzrom da za korelacju vrjed da je r, matrca R je smetrča matrca. j r jk Koefcjet parcjale korelacje zmeđu. varjable, uz sključeje utjecaja ostalh promatrah varjabl je općeto: Rj ρ j. klm..., (.4.7 ( R R gdje je R : jj R j kofaktor, tj. algebarsk komplemet matrce koefcjeata korelacje R j + j ( M j, (.4.8 a M j je odgovarajuć mor (subdetermata matrce koefcjeata korelacje R..4.. Procjea koefcjeta korelacje Ako je vrjedost koefcjeta korelacje blža, jegova samplg dstrbucja (dstrbucja z uzoraka je asmetrča ema ormal oblk. Stoga 87

14 se procjea vrš Fsherovom trasformacjom (r u Z - pomoću odgovarajućh tablca l račuom: Zˆ ar tgh rˆ (.4.9 Iterval povjereja procjee za Z je: { ˆ Z Se( Z < Z < Zˆ + Z Se( Z } α Pr Z (.4. gdje je: Z - odgovarajuća vrjedost z tablca ormale dstrbucje α - odgovarajuć vo pouzdaost procjee (ajčešće 95% Se ( Z. (.4. 3 Nako zračuavaja tervala pouzdaost za Z potrebo je doju gorju gracu za Z trasformrat atrag u r (Z u r - pomoću odgovarajućh tablca l račuom: r tgh Z (.4. Kod egatve korelacje prlkom trasformraja treba vodt račua o egatvom predzaku koefcjeta korelacje r. Napomea: Fsherova trasformacja se e korst za male uzorke..5. Spearmaov koefcjet korelacje Ako se žel stražt međuovsost pojava koje su zražee modaltetma redosljedog oblježja, odoso ako su m modaltet prdruže a temelju ordale skale račua se korelacja raga. Najpozatja mjera korelacje raga zmeđu dvju varjabl je Spearmaov koefcjet korelacje raga (r S : N 6 d rs, (.5. 3 N N gdje je: N - broj parova vrjedost varjabl, d r x r( y - razlka ragova vrjedost varjabl. ( 88

15 Svakoj vrjedost varjabl dodjeljuje se rag skaza prvm N prrodm brojevma. Pr tome se ragraje može započet ragom, počevš od ajmaje vrjedost oblježja l počevš od ajveće vrjedost oblježja. Pr tom se ragraje mora provest a jedak ač za obje promatrae varjable. Ako se jav vše jedakh vrjedost jede varjable mora m se dodjelt jedak rag a ač da se zračua artmetčka sreda jhovh ragova. Spearmaov koefcjet korelacje raga može poprmt vrjedost u tervalu: r (.5. S Kada ovaj koefcjet poprm vrjedost -, rječ je o potpuoj korelacj raga među varjablama. Vrjedost ovog koefcjeta zač da ema kakve korelacje raga među pojavama. Najčešće se vrjedost Spearmaovog koefcjeta kreće u raspou < r s <. Koefcjet blž rubovma ovog tervala, tj. - upućuje a veću korelacju raga promatrah dvju varjabl. Prmjer.5.. Vlask velkog saloa automobla «Z» žel utvrdt odos zmeđu postguth bodova a testu koj su prodavač spujaval prlkom prjema a posao prodah automobla, koje su t prodavač uspjel prodat tjekom svoje prve gode rada u tom salou. Slučaj uzorak od prodavača dao je sljedeće rezultate: Tablca.. Bodov postgut a testu broj prodah automobla prodavača autosaloa «Z», 8. god. Prodavač Bodov a Broj prodah Ragrae testu automobla varjable d r(x -r(y d (x (y r(x r(y A B C D E F G H I J Izvor: Podac autosaloa «Z», 9.god. Zadatak je zračuat Spearmaov koefcjet korelacje raga. 89

16 N 6 d 6 6 rs, N N Očta je jaka veza zmeđu postguth bodova a testu broja prodah automobla..6. Regresjska djagostka Nako ocjee parametara regresjskog modela postavlja se ptaje reprezetatvost, odoso sposobost modela da objas kretaje ovse varjable uz pomoć odabrae eovse varjable. U tu svrhu korste se ek apsolut relatv pokazatelj. Ov pokazatelj temelje se a raspodjel odstupaja vrjedost ovse varjable u regresjskom modelu od jee artmetčke srede jeh očekvah vrjedost ˆ. Slka.8. y ˆ β ˆ + ˆ β y ST y SR SP y x Na slc.8. prkaza je djagram raspaja varjabl s ucrtam ocjejem modelom pravca ˆ. Na slc je ozačea artmetčka sreda varjable. Pr formraju suma odgovarajućh odstupaja, zbog već raje avedeog razloga, da se međusobo e b poštle poztve egatve razlke račuaju se jhov kvadrat: SP ( ˆ ˆ + ˆ β β (.6. Dakle, SP je suma kvadrata protumačeog djela odstupaja vrjedost varjable od artmetčke srede, odoso suma kvadrata odstupaja ocjejeh vrjedost varjable od artmetčke srede. 9

17 SR ( ˆ ˆ ˆ β β (.6. Dakle, SR je suma kvadrata eprotumačeog djela odstupaja vrjedost varjable od artmetčke srede, odoso suma kvadrata odstupaja orgalh l emprjskh vrjedost varjable od ocjejeh vrjedost. Ova odstupaja su u stvar slučaje pogrješke e. ST ( (.6.3 ST je suma kvadrata ukuph odstupaja vrjedost varjable od artmetčke srede. Vrjed da je: SP + SR ST, (.6.4 što se vd a slc.8. Ovaj zraz koj je u skraćeom oblku da pomoću (.6.4 zove se jedadžba aalze varjace predstavlja temelj aalze reprezetatvost regresjskog modela. Stadarda pogrješka regresje je apsolut pokazatelj reprezetatvost regresjskog modela, a pokazuje prosječ stupaj varjacje stvarh vrjedost ovse varjable u odosu a očekvae regresjske vrjedost. SR ˆ σ ˆ (.6.5 Izraz (.6.5 je stadarda pogrješka regresje jedostrukog modela. Ovaj pokazatelj zraže je u orgalm jedcama mjere ovse varjable. Stoga je a temelju stadarde pogrješke regresje teško uspoređvat reprezetatvost modela s razlčtm mjerm jedcama. Taj problem elmra relatv pokazatelj koefcjet varjacje regresje, koj predstavlja postotak stadarde pogrješke regresje od artmetčke srede varjable. ˆ ˆ σ ˆ V ˆ (.6.6 Najmaja vrjedost koefcjeta varjacje je %, a ajveća je defraa. Što je koefcjet varjacje regresjskog modela blž ul, to je model reprezetatvj. Često se uzma dogovorea graca reprezetatvost od %. Dakle ako je koefcjet varjacje maj od % kaže se da je model dobar. Koefcjet determacje je pokazatelj reprezetatvost regresjskog modela koj se temelj a aalz varjace. O se defra kao omjer sume 9

18 kvadrata odstupaja protumačeh regresjom sume kvadrata ukuph odstupaja. SP r (.6.7 ST Koefcjet determacje kaže kolko % je sume kvadrata odstupaja vrjedost varjable od artmetčke srede protumačeo regresjskm modelom. Prema (.6.4, vrjed da je: r SR ST (.6.8 Vrjedost koefcjeta determacje kreće se u tervalu r. Regresjsk model je reprezetatvj ako je ovaj pokazatelj blž. Teorjska graca reprezetatvost modela je,9. U praks je poekad vrlo teško proać varjablu koja dobro objašjava ovsu pojavu, pa se ta graca reprezetatvost spušta do,6. Korgra koefcjet determacje: r ( r (.6.9 ( k + je asmptotsk eprstraa ocjea koefcjeta determacje. Za jedostruku learu regresju vrjed da je koefcjet leare korelacje: r, r ± gdje predzak koefcjeta leare korelacje odgovara predzaku parametara ocjejeog jedostrukog learog modela: ˆα ˆβ. Još vrjed da je: r σ σ ˆ ˆ, σ α r β σ gdje su σ σ stadarde devjacje varjabl. Prmjer.6.. Isptuje se veza zmeđu obrazovaja vsa plaća u trgov «Z» u kojoj je zaposleo djelatka: 9

19 Tablca.. Gode obrazovaja prosječe plaće zaposleka u trgov «Z» u 8. god. Obrazovaje Prosječa eto x y x y - gode (x mjeseča plaća u k (y Izvor: Podac trgove «Z», 9.god. Zadatak je: a acrtat djagram raspaja b ocjet parametre jedadžb pravaca leare regresje c zračuat Pearsoov koefcjet leare korelacje koefcjet determacje d zračuat koefcjet varjacje regresje Rješeja: a Grafko. Djagram raspaja Mjeseča plaća Gode obrazovaja Izvor: Podac trgove «Z», 9.god. 93

20 b Jedadžba prvog pravca regresje glas: β + β 457,5 49, 8 β + 63, ,5 β β ,8,5 457,6 49,8 Regresjsk koefcjet ( β pokazuje da se mjeseča eto plaća povećava u prosjeku za 49,8 k kada se duža obrazovaje produž za godu. Jedadžba drugog pravca regresje glas: α + α 3,53, 35 α + 63, α α,5, ,53,35 Regresjsk koefcjet ( α pokazuje da se obrazovaje produžlo u prosjeku za,35 gode ukolko se mjeseča eto plaća povećala za k. c Pearsoov koefcjet korelacje (r zos: r 63, ,5 94 σ x σ y,93 σ x x 685,5 3,5 y 86 σ 458 y 94 Između obrazovaja plaća postoj jaka poztva korelacja. 94

21 Koefcjet determacje glas: r SP SP ST , β + β 457, , ST Koefcjet determacje pokazuje da je 86% sume kvadrata odstupaja vrjedost varjable od artmetčke srede protumačeo regresjskm modelom. Koefcjet leare korelacje pomoću koefcjeta determacje zos: r r,86,93 d Koefcjet varjacje regresje glas: σ 388,5 V 8, Koefcjet varjacje regresje maj je od % pa je ocjeje model regresje reprezetatva. Stadarda pogrješka regresje je: σ SR SR β ,5 β , ,