( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )"

Λουκανός Στεφανόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija kostate Derivacija kostate fukcije c jedaka je uli c Derivacija ezavise varijable jedaka je jeda Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije (c f()) c f () Derivacija zbroja ili razlike dviju ili više fukcija jedaka je zbroju ili razlici derivacija tih fukcija (f() + g() h()) f () + g () h () Derivacija umoška dviju fukcija (f() g()) f () g() + f() g() Derivacija umoška tri fukcije (f() g() h()) f () g() h() + f() g () h() + f() g() h () Derivacija kvocijeta (razlomka) f f g f g, g ( ) g ( g ) ( g ) c c g, g ( ) g Derivacija složee fukcije (kompozicija fukcija) dy df dg y f ( g) d dg d pri čemu su f f(g) i g g() derivabile s obzirom a svoje argumete Derivacije osovih fukcija c,, ( ) -,,, > ( a ) a l a, a, +,, e e, e e, ( a ) a l a, a > l, >, >, (si ) cos, (cos ) si, ctg,, si k π k Z arccos, <,, ( arctg) + log a, a, > l a π tg,, cos k + k Z arcsi, <, ( arc ctg) +, (sh ) ch

2 ch, sh (ch ) sh, ( th ), ( cth ), ( Arsh ) ( Arch ), > Derivacija fukcije izosi: Arth,, < (( f ) ) ( f ) f, ( c + d) ( c + d) Arcth, l f f, f > f a + b c + d a + b c + d b c + d a + b d f c + d c + d bc + bd ad bd bc ad Vježba 5 Nađite derivaciju fukcije f() e 5 5 e Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() l Rješeje l Derivacija kvocijeta: f f g f g, g ( ) g ( g ) f () Vježba Nađite derivaciju fukcije f() l l l l +, > Zadatak (Maja, gimazija) Nađite derivaciju fukcije Rješeje y m m m m a a, a a a +

3 Prije deriviraja trasformirat ćemo izraz: 8 + y Sada deriviramo po pravilu za derivaciju potecije: djelomičo y korjeovaje Vježba Nađite derivaciju fukcije y y Zadatak (Aa, gimazija) Nađi jedadžbu tagete krivulje y u točki s apscisom Rješeje Budući da točka D pripada krivulji, uvrstit ćemo apscisu u jedadžbu krivulje da dobijemo ordiatu točke: Tražea točka ima koordiate D(, ) y Jedadžba tagete u točki D(, y ) krivulje y f() glasi: Nađemo derivaciju fukcije: y y f ( ) ( ) f i izračuamo jeziu vrijedost za f ( ) f () y D y y + Jedadžba tagete je:

4 Vježba y y f ( ) y y Nađi jedadžbu tagete krivulje y y + Zadatak 5 (Aa, gimazija) Izračuaj derivaciju fukcije Rješeje 5 Fukciju apišemo u obliku: y + y + u točki s apscisom f a b a b c c c, f Uporabom pravila: m m a a i a a zadau fukciju koačo apišemo: f Derivacija izosi: f Vježba 5 Izračuaj derivaciju fukcije f Zadatak (Aa, gimazija) Nađi derivaciju fukcije f() ( + ) Rješeje Ako je y f(u) i u g(), tj y f(g())), a fukcije y i u imaju derivacije, tada je dy dy du y yu u ili d du d

5 iačica Uporabom formule za kvadrat zbroja: zadau fukciju pišemo u obliku polioma: Tada je derivacija jedaka: iačica Koristimo pravilo za derivaciju složee fukcije: (a + b) a + a b + b f() ( + ) f () + ( + ) f() ( + ) > f () ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Vježba Nađi derivaciju fukcije f() ( + 9) f () ( + 9) Zadatak 7 (Aa, gimazija) Nađi derivaciju fukcije f() (cos si ) Rješeje 7 si cos cos si iačica Uporabom formule za kvadrat razlike: (a b) a a b + b i trigoometrijskih fukcija dvostrukog argumeta: zadau fukciju pišemo u obliku: cos cos si, si si cos f() (cos si ) cos cos si + si (cos + si ) cos si Tada je derivacija jedaka: [cos + si ] si f() si > f () cos cos iačica Koristimo pravilo za derivaciju složee fukcije: f() (cos si ) > f () (cos si ) (cos si ) (cos si ) ( si cos ) (cos si ) (cos + si ) [(a b) (a + b) a b ] (cos si ) cos Vježba 7 Nađi derivaciju fukcije f() (si + cos ) f () cos Zadatak 8 (Aa, gimazija) Odredi prve dvije derivacije fukcije f() l Rješeje 8 Neka su f i g derivabile fukcije a istom itervalu I Fukcija f g je derivabila i vrijedi: 5

6 (f g) f g + f g (derivacija umoška) l cos Derivacija zadae fukcije glasi: f l + ( l ) l + l + Druga derivacija fukcije f derivacija je prve derivacije Zato je: f [ f ] [ l + ] Vježba 8 Odredi prve dvije derivacije fukcije f() 5 f () 5, f () Zadatak 9 (Aa, gimazija) Odredi je li u točki s apscisom fukcija f() + rastuća ili opadajuća Rješeje 9 Fukcija f raste a itervalu <a, b> oda i samo oda ako je f () u svakoj točki tog itervala Fukcija f pada a itervalu <a, b> oda i samo oda ako je f () u svakoj točki tog itervala Odredimo derivaciju zadae fukcije: f () + Izračuamo vrijedost derivacije u točki : Zbog f () > fukcija je rastuća u toj točki f () + > Vježba 9 Odredi je li u točki s apscisom fukcija f() + rastuća ili opadajuća opadajuća Zadatak (Aa, gimazija) Odredi stacioare točke za fukciju f() Rješeje Točka u kojoj je vrijedost derivacije jedaka uli zove se stacioara točka U toj točki tageta je paralela s osi y 8 Tageta y Tageta - - Izračuamo derivaciju f : f () Riješimo jedadžbu f () Njezia rješeja su stacioare točke > / : > >, Vježba Odredi stacioare točke za fukciju f(),

7 Zadatak (Natalija, hotelijerska škola) log + Odredite f () Zadaa je fukcija f ( ) Rješeje ( ) a a l a ( log ) a l a cos f log log + ( + ) + ( + ) Deriviramo fukciju: f + l + l 7 ( + ) l 7 7 ( + ) l Sada je: Vježba 5 f + l + 9 l 7 l 7 l + log + Odredite f () Zadaa je fukcija f ( ) l l Zadatak (Natalija, hotelijerska škola) Odredite jedadžbu tagete a graf fukcije f Rješeje Odredimo ordiatu točke T(, y ) koja leži a grafu fukcije: Nađemo derivaciju fukcije: u točki y f T (, y ) T (, ) y f l ( l ) ( l ) f f l l l e l e Jedadžba tagete glasi: Vježba y y f y l y l l + e e e e e y l l l e y l l e + + e + Odredite jedadžbu tagete a graf fukcije f u točki 7

8 l e y ( ) Zadatak (Marija, gimazija) Nađite derivaciju fukcije y l tg Rješeje Poovimo derivacije elemetarih fukcija: y l y, y tg y, y y cos Budući da je zadaa složea fukcija, vrijedi: dy du dv ako je y f(u), u g(v), v h(), tada je y du dv d Derivacija fukcije je: y l tg y co cos si s si cos tg si cos cos [ siα cosα si α ] si Vježba Nađite derivaciju fukcije y l Zadatak (Marija, gimazija) Nađite derivaciju fukcije y si + cos Rješeje Derivacija zbroja glasi: y u + v y u + v Derivacije elemetarih fukcija su: { y si y cos, y cos y si Budući da je zadaa složea fukcija, vrijedi: ako je y f(u), u g(), tada je y dy du du d Derivacija fukcije je: y si + cos y si 5 cos + cos 5 si si 5 cos cos 5 si ( ) ( si + cos ) ( ) si cos si cos si cos si cos ( cos s ) si cos si cos si cos i si cos cos cos 8

9 Vježba si cos cos si cos si cos si si si Nađite derivaciju fukcije si y si cos Zadatak 5 (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) Dokažite da je derivacija siusa jedaka kosiusu istog argumeta: (si ) cos Rješeje 5 ( si ) koristimo trasformaciju si ( + ) si lim α + β α β siα si β cos si cos si cos si lim lim + cos si si + limes produkta jedak lim lim cos je produktu limesa si + si + lim cos lim lim cos cos cos Vježba 5 Dokažite da je: (cos ) si Sliča dokaz Zadatak (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) Dokažite da je derivacija siusa jedaka kosiusu istog argumeta: (si ) cos Rješeje ( si ) koristimo trasformaciju si ( + ) si lim α + β α β siα si β cos si cos si cos si lim lim + cos si si + limes produkta jedak lim lim cos je produktu limesa si + si + lim cos lim lim cos cos cos Vježba Dokažite da je: (cos ) si Sliča dokaz 9

10 Zadatak 7 (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) f Nađite derivaciju fukcije Rješeje 7 Derivacija zbroja : ( f + g ) f + g Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije: (c f()) c f () Derivacija potecije : koristimo pravilo koristimo pravilo za umožak + + derivacije zbroja + + kostate i fukcije ( f ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) Vježba 7 koristimo tabliče derivac ije Nađite derivaciju fukcije 8 + f + + Zadatak 8 (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) Nađite derivaciju fukcije ( ) y + 8 Rješeje 8 Derivacija zbroja : ( f + g ) f + g Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije: (c f()) c f () Derivacija potecije : dy dy du Derivacija složee fukcije: il i y y ( u) u d du d Složea fukcija derivira se tako da se ajprije derivira po posredoj fukciji kao argumetu i dobivei rezultat pomoži derivacijom posrede fukcije iačica ( 8) y + ( ) y + y u y u u u + 8 u u + 8 iačica 8 ( 8 ) ( 8 ) ( 8) ( 8 ) y + y + y + + y + 8 Vježba 8 Nađite derivaciju fukcije y y ( + ) ( )

11 Zadatak 9 (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) y l + Nađite derivaciju fukcije Rješeje 9 Derivacija zbroja : ( f + g ) f + g Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije: (c f()) c f () Derivacija potecije : dy dy du Derivacija složee fukcije: il i y y ( u) u d du d Složea fukcija derivira se tako da se ajprije derivira po posredoj fukciji kao argumetu i dobivei rezultat pomoži derivacijom posrede fukcije iačica u y ( ) y l + y l u y u + u + u + u + + iačica ( ) ( ) + + y y + + y l + y l + y + y Vježba 9 Nađite derivaciju fukcije y ( + ) ( ) ( ) y + + ( ) ( ) + + y y + + l Zadatak (Ivaa, Gora, Jelea, Edita, ekoomski fakultet) y a si b + c + d Nađite derivaciju fukcije Rješeje Derivacija zbroja : ( f + g ) f + g Derivacija umoška kostatog faktora i fukcije: (c f()) c f () Derivacija potecije : dy dy du Derivacija složee fukcije: il i y y ( u) u d du d Složea fukcija derivira se tako da se ajprije derivira po posredoj fukciji kao argumetu i dobivei rezultat pomoži derivacijom posrede fukcije iačica y a si b + c + d y a si u + d y a cos u u + y a cos u u u b + c u b + c u b + u b

12 y a cos b + c b y a b cos b + c iačica y a si b + c + d y a si b + c + d y a cos b + c b + c + Vježba ( ) Nađite derivaciju fukcije y a ( b ) y a b cos ( b ) y a cos b + c b y a b cos b + c si

Σχετικά έγγραφα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički