Frekvencijska karakteristika Prijenosna funkcija Granična frekvencija Rezonantna frekvencija RLC krugova Električni filtri

Transcript

1 5 MREŽNE KARAKTERISTIKE Frekecjska karakterstka Prjeosa fukcja Grača frekecja Rezoata frekecja RLC krugoa Elektrč fltr

2 Mreže karakterstke 5.. Frekecjske karakterstke AC strujh krugoa Mreže karakterstke goore o poašaju strujh krugoa elektrčh mreža a razlčtm frekecjama. Iako je moguće aalzrat spojee složeh kofguracja, odje će se promatrat samo jedosta slučaj. Struj krug a slc 5- predstalja djello potecjala sastaljeo od dje mpedacje Z Z. Z Z o Slka 5 Djello potecjala Prmjeom Krchhoff-oh zakoa lako se pokaže da rjede jedadžbe 5.: o Z Z Z Z Z Z o + + (5.) Oaj odos apoa 0 prema zoe se aposko pojačaje l prjeosa fukcja. Oso o odosu mpedacja, pojačaje može bt eće l maje od, što odgoara poećaju l smajeju zlazog apoa 0 u odosu a ulaz apo. Buduć da je mpedacja osa o frekecj, sljed da će pojačaje, odoso prjeosa fukcja kruga također ost o frekecj. Sama prjeosa fukcja ost će o zboru elektrčog elemeta koj se promatra kao zlaz elemet CR spoj Prključak ulazog apoa a serjsk spoj otporka kodezatora, daje mogućost razmatraja dju kofguracja: CR RC, oso o zboru elemeta a kojem se promatra zlaz apo 0. Za CR krug prkaza slkom 5- može se a temelju zraza 5. zest aposko pojačaje, kako je apsao u zrazu 5.: C C R o R o Slka 5 CR spoj 58

3 ELEKTROTEHNIKA o Z R R ZR + ZC R j j ωc ωcr Naposko pojačaje ajčešće se mjer u db prema (5.) o aposko pojačaje ( db ) 0 log 0 (5.3) što sljed z zraza 5.4 za pojačaja sage P V / R pojačaje sage ( db ) 0 log 0 log (5.4) o o o 0 0 P V / R S pomoću gorjh zraza može se lako pokazat da će aposkom pojačaju od 5 puta odgoarat 4 db, a pojačaju sage od 5 puta zos od 7 db. Aalogo, ako am je zadao pojačaje sage l apoa zadao u decbelma, oda se relato pojačaje dobje kao što pokazuju zraz 5.5 pojačaje sage pojačaje apoa 0 0 pojačaje sage( db ) 0 pojačaje apoa( db ) 0 (5.5) Aalzom CR spoja prkazaog a slc 5- d se da će a sokm frekecjama (kad je ω elk) zraz /jωcr je male u odosu a, pa će aposko pojačaje bt prblžo jedako. Međutm, kako frekecja pada, tako čla /j ω CR postaje se začajj, a aposko pojačaje pada. Izos aposkog pojačaja da je s zrazom 5.6 aposko pojačaje Kada je rjedost / ω CR jedaka mamo + ω CR aposko pojačaje 0,707 + (5.6) (5.7) To odgoara dostrukom smajaju sage l padu od 3 db u odosu a soke frekecje. Frekecja kod koje se to događa zoe se grača frekecja. S obzrom da se to može događat kod skh, al sokh frekecja (što će se djet uskoro) razlkujemo gorju doju graču frekecju. ωc rad / s (5.8) ω CR CR τ c 59

4 Mreže karakterstke gdje je τ CR remeska kostata kodezatorsko-otporčkog spoja koje daje graču frekecju. Umjesto kruže (grače) frekecje uobčajeo je korstt obču, cklču frekecju fc, koju mjermo u Hz. fc ωc Hz π πcr (5.9) Ako se zraz urstu u zraz 5. dobje se zraz 5.0: o f j j j ωcr π f f π f c c (5.0) Oo je opć zraz za aposko pojačaje u CR mrež. Buduć da pojačaje os o magaroj jedc j, jaso je da će promjeom frekecje postojat faz pomak. Aalzom zraza 5.0 za tr razlčta slučaja zgleda oako:. slučaj: f >> fc Kad je frekecja f puo eća od fc čla fc/f je maj od jedce, pa je aposko pojačaje prblžo jedako. Imagar do je zaemar prema realom, pa je pojačaje kruga realo. Faz pomak je također zaemar. To je prkazao a slc 5-3a.. slučaj: f fc U oom slučaju zraz 5.0 postaje 5.: o f c j j f (5.) što se može apsat kao: ( j) ( )( + ) ( j) + + o 0,5 + 0,5 j j j (5.) To je prkazao a fazorskom djagramu a slc 5-3 b) koja pokazuje da je pojačaje a gračoj frekecj jedako 0,707, a faz kut od To zač da zlaz apo prethod ulazom apou za 45 0, uz pojačaje od 0,707 / slučaj: f << fc U oom slučaju frekecja je spod grače frekecje, pa je fc/f puo eće od, pa sljed: 60

5 ELEKTROTEHNIKA o fc fc j j f f j f f c (5.3) To zač da je pojačaje magaro, kao što se d a fazorskom djagramu a slc 5-3c). Izos pojačaja je jedostao f/fc pomak jedak je +90 0, što zač da zlaz apo prethod (egl. leads) ulazom apou za Im A Im A Im A A A A f / f c Re A 0.5 Re A Re A (a) f >> fc (b) f fc (c) f << fc Slka 5 3 Fazorsk djagram CR spoja Buduć da je fc kostata za zada krug, u oom području je aposko pojačaje learo poezao s frekecjom. Ako se frekecja prepolo, oda će se aposko pojačaje prepolot. To zač, da pojačaje pada s faktorom 0.5 za saku oktau (oktaa je udostručaaje l prepololjaaje frekecje ekaleta je skoku za oktau a glasoru l ekom glazbeom strumetu). Pad aposkog pojačaja za 0.5 je ekaleto promje pojačaja od -6 db. To zač da se promjea pojačaja može zrazt sa 6 db po okta. Alterat ač je da se promatra dekada (promjea frekecje za faktor 0). Ako frekecja pade 0 puta tj. a zos od 0. prethodog, aposko pojačaje je palo a 0 prethodog, što odgoara pojačaju od - 0 db. Tako je promjea pojačaja 0 db po dekad. Na slc 5-4 prkaza je frekecjsk odz CR kruga to za ampltudu fazu. Njhoa aproksmacja asmptotskom prkazom aza se Bode-o djagram. 6

6 Mreže karakterstke pojačaje db agb 6 db/okta 0 db/dekad log f faz pomak f c log f Slka 5 4 Frekecjsk odz CD kruga po zosu faz (Bode-o djagram) 5... RC skopropus flter R C o Slka 5 5 Nskopropus fltar Na slča ač za RC spoj dobje se zraz za aposko pojačaje, kao: odoso: j o ZC ωc ZR + ZC R j + jωcr ωc o + jωcr ω f + j + j ω f Lako se d da a sokm frekecjama, kad je kruža frekecja ω elka, da aposko pojačaje tež ul, dok je kod skh frekecja prblžo jedako. c c (5.4) (5.5) 6

7 ELEKTROTEHNIKA Slka 5-6 prkazuje poašaje kruga, jego kompleks oblk pojačaja, za f<<fc, ffc fc>>f: Im A Im A Im A A Re A Re A Re A 0.5 A fc / f A (a) f << fc (b) f fc (c) f >> fc Slka 5 6 Naposko pojačaje RC kruga a razlčtm frekecjama Očedo je da se rad o skopropusom fltru koj ske propušta, a soke guš, uz gorju graču frekecju fc s agbom od -6 db/okta, odoso -0 db/dekad. pojačaje db agb -6 db/okta -0 db/dekad faz pomak log f fc log f Slka 5 7 Bode-o djagram RC spoja Lako je pokazat slčost RL RC spojea, što se d a slc 5-8: CR ma sto poašaje kao RL, dok RC LR također maju jedake Bodeoe djagrame. 63

8 Mreže karakterstke RLC spoje Slka 5 8 RC RL fltr C c L L R R Slka 5 9 RLC serjsk spoj Kod RLC spojea frekecja mjeja X L X C mpedacju, pa će ukupja medacja bt jedaka: Z R + jωl + R + j ωl jωc ωc (5.6) 64

9 ELEKTROTEHNIKA što se za (f) d a slc 5-0. Rad se o fltru pojasog propusta, u kojem postoje gorja doja grača frekeecja, a šra propusta os o elemetma. Najeća struja je u rezoacj f r r šra propusta f0 f Slka 5 0 (f) za serjsk RLC spoj Slčo se za za paralel RLC spoj (slka 5-) može pokazat da se rad o pojasoj bra (postoj gušeje za frekecje zmeđu gorje doje grače), za koju je struja ajmaja u rezoacj (5.7). R L C Slka 5 Paralel RLC spoj ωo fo (5.7) LC π LC Slka 5 Pojasa braa paralelog RLC spoja 65

10 Mreže karakterstke 5.. Prjeosa fukcja Na slc je prkazaa leara mreža s ulazom x(t) zlazom y(t). Također je prkazaa jeza reprezetacju u kompleksom (frekecjskom) području: x(t) leara mreža y(t) a) X(s)e st leara mreža Y(s)e st b) Slka 5 3 a) remeska domea b) s-domea Općeto, ulaz x(t) zlaz y(t) opsa su dferecjalom jedadžbom: dt dt m m d x( t) d x( t) dx( t) dyt d yt dyt a a a a y t dt bm + bm... m + + b m + b0x t dt dt dt gdje su a, a-,..., a0, bm, bm-,..., b0 reale kostate. (5.8) Ako je x(t) X(s)e st, oda zlaz mora mat oblk y(t)y(s)e st, gdje su X(s) Y(s) fazorske reprezetacje od x(t) y(t). Tako gorja jedadžba u s-području postaje: st ( as + a s as + a0) Y( se ) ( m + m ) z čega sljed mreža fukcja: H s b s b s bs b X s e m m st m Y s bms + b s +... bs + b X s as + a s + as+ a m m Mreža fukcja može se prkazat u faktorzraom oblku: k ( s z) ( s z)...( s zm ) H ( s) s p s p... s p gdje su: k je kostata z, z,..., zm su ule mreže fukcje p, p,..., p su polo mreže fukcje. (5.9) (5.0) (5.) 66

11 ELEKTROTEHNIKA Mreža fukcja može se ekspadrat korsteć parcjale razlomke: N r r r ks (5.) s p s p s p H s Ako su zada koefcjet poloma brojka azka mreže fukcje, oda Matlab s pomoću resdue() fukcje rješaa rjedost od r, r,..., r, p, p,..., p k, k,..., k. Opć oblk resdue() fukcje je: [r, p, k] resdue(um, de) gdje su: um - redča ektor čje rjedost su koefcjet poloma brojka u padajućem zu de - redča ektor čje rjedost su koefcjet poloma azka u padajućem zu r - je stupčast porat ektor 0 p - (lokacje poloa) je stupčast porat ektor k - (drekt čla) je redča porat ektor Naredba pak [um, de] resdue(r, p, k) raća parcjale razlomke atrag u polomsk oblk. Na prmjer za zada, 4 3 4s + 3s + 6s + 0s + 0 H ( s) 4 3 s + s + 5s + s + 8 uz pomoć Matlab programa: um [ ]; de [ 5 8]; [r, p, k] resdue(um, de) dobt će se: >> pr3_5 r p k 4 67

12 te atrag: Mreže karakterstke >> [brojk, azk]resdue(r,p,k) brojk Colums through Colum azk >> Prmjer 5. Za struj krug a slc treba: a) Nać mrežu fukcju H(s) b) Nać poloe ule od H(s) c) Ako je s(t) 0 e -3t cos(t ) treba ać 0(t). 3H 6 Ω () S t Ω 4H () t 0 Rješeje: U s-dome, gorja slka postaje: Slka 5 4 Struj krug prmjera 5. 3s 6 V S s 4s V ( s) 0 Slka 5 5 Struj krug u s-dome Rješaajem: 4 ( 6+ 4s ) ( ( + )) + V0 s V0 s VX s s Vs s VX s Vs s 6+ 4s 6 4s 3s 68

13 ELEKTROTEHNIKA pojedostaljejem: V0 s 4s + 6s 3 s V s 6s + 5s + 30s + 9 Iz zadaog (t) d se da je fazorsk apo: pa je V0(s): V 0 40 o ; s 3 + j s ( o ) V s 0 40 H s s + j 0 3 b) c) se rješaaju s Matlab programom koj alaz poloe, ule 0(t). % Program za trazeje poloa ula um [4 6 0]; de [ ]; dsp('nule su') z roots(um) dsp('polo su') p roots(de) % program za racuaje prjeose fukcje % trazeje zlazog apoa s -3+*j; polyal(um,s); d polyal(de,s); 0 0.0*exp(j*p*(40/80))*/d; 0_abs abs(0); 0_ag agle(0)*80/p; % sps zos fazu zlazog apoa fprtf('fazorsk apo 0, zos: %f \Fazorsk apo 0, kut u stupjema: %f', 0_abs, 0_ag) koj daje: >> pr3_5b Nule su z polo su p Fazorsk apo 0, zos: Fazorsk apo 0, kut u stupjema: Iz rezultata, zlaz apo (t) može se prkazat kao: 69 3t cos ( ) t e t

14 5.3. Frekecjsk odz šeg reda Opć oblk prjeose fukcje aalogog strujog kruga je: H s m Y s bms + b s +... bs + b X s as + a s + as+ a m m Mreže karakterstke (5.3) Moguće je realzrat aaloge fltere drugog reda pozaajuć jhou prjeosu fukcju: () za skopropus flter () () () H LP za sokopropus flter H HP k ( s) ( s) za pojaso-propus flter H BP s + Bs + ω 0 ks s Bs ω ks 3 ( s) za pojaso-epropus flter H BR ( s) s + Bs + ω 0 ks + k s Bs ω (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) gdje su k, k, k3, k4, B ω0 kostate. Frekecjsk odz je odz mreže a ulaz sus sgal. Ako se u općoj mrežoj fukcj H(s) zamje s sa jω, dobje se: M H s ω ω θ ω s j (5.8) gdje su: ( ω) ( ω) θ ( ω) ( ω) M H j H j (5.9) Ampltuda karakterstka l ampltud odz je graf M(ω) u odosu a ω. Slčo, faz odz je graf θ(ω) u odosu a ω. Ampltuda faza karakterstka mogu se dobt upotrebom Matlab-oe fukcje freqs(), s općm oblkom hs freqs (um, de, rage) gdje su: um [b m b m-... b b 0 ] de [a a -... a a 0 ] rage je frekecjsk opseg hs je frekecjsk odz (u kompleksom oblku) 70

15 ELEKTROTEHNIKA Neka se pretposta da se žel acrtat frekecjsk odz za prjeosu fukcju zadau sa: s + 4 H ( s) s + 4s + 6 Rješeje: Pozom Matlab programa: um [ 0 4]; de [ 4 6]; w logspace(-, 4); h freqs(um, de, w); f w/(*p); mag 0*log0(abs(h)); semlogx(f, mag) ttle('ampltud odz') xlabel('frekecja, Hz') ylabel('pojacaje, db') dobje se: 7 Slka 5 6 Frekecjsk odz šeg reda Prmjer 5. Za RLC struj krug zada slkom 5.7: a) pokazat da je prjeosa fukcja H s R V0 ( s s ) L V R s s + s + L LC b) Za L5 H, C. μf R0000 Ω treba acrtat frekecjsk odz. c) Što se dogod ako se R smaj a R00 Ω, a C L ostau epromjeje?

16 Mreže karakterstke L C () t R o() t Slka 5 7 Slka uz prmjer 5. Rješeje a) U frekecjskog dome prjeosa fukcja se dobje kao: što daje: H s V s R scr 0 V s slc+ scr+ H s R + sl + sc R V0 ( s s ) L V R s s + s + L LC Odgoor za b) c) dobju se upotrebom Matlab programa: Slka 5 8 Slka uz prmjer 5. Ako se otpor smajuje sa 0,000Ω a 00Ω, pojas propust frekecjskog odza opada, a faktor kaltete kruga raste. 7