ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ήµητρα Αθανασίου Τζαβάρα ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής του Οικονοµικού Πανεπιστηµίου ΑΘηνών ως µέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Συµπληρωµατικής Ειδίκευσης στη Στατιστική Μερικής Παρακολούθησης (Part-time) Αθήνα Σεπτέµβριος 2014

2

3 ΑΦΙΕΡΩΣΗ Στους γονείς µου, Αθανάσιο και Αναστασία που µε στηρίζουν στις επιλογές µου

4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με εκτίµηση στην Κυρία Καλπινέλλη, για την βοήθεια που µου προσέφερε στην εκπόνηση της εργασίας µου Ι

6 ΙΙ

7 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοµάζοµαι Τζαβάρα ήµητρα και γεννήθηκα στις 27/12/83. Κατάγοµαι από τις Ερυθρές Αττικής και µεγάλωσα µέσα σε εξαµελή οικογένεια. Σπούδασα στην Αθήνα, στο Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο, αρχικά, στο τµήµα Μαθηµατικών, και στη συνέχεια στο Οικονοµικό Πανεπιστήµιο, στο τµήµα Στατιστικής. Οι αρχές που διδάχθηκα από την οικογένειά µου και οι γνώσεις που έχω αποκοµίσει από τις σπουδές µου, µε έχουν βοηθήσει στην συγκρότηση της προσωπικότητάς µου και στην τοποθέτηση προσωπικών κινήτρων για την συνεχή βελτίωσή µου. Στόχος µου είναι η αξιοποίηση και η εφαρµογή των γνώσεών µου µε σεβασµό πάντα στις ανθρώπινες και ηθικές αξίες. III

8 IV

9 ABSTRACT Dimitra Tzavara RISK AND STOCHASTIC MODELS September 2014 We live in an era characterized by rapid economic changes. The intent of this paper is to examine one of the changes, that of interest rates. Every financial institution should be ready to face the risks and impacts deriving from economic changes. A way to achieve this, is by predicting the future values of interest rates. The prediction, as explained next, is an integrated process of risk management which yields a lot of information. The prediction is performed with the use of stochastic models, widely known in the financial sector. The stochastic models are based on stochastic differential equations, whose form comprises of two factors, the mean and the volatility process. In this paper, we examine the following: the Vasicek Model, the Hull-White Model, the Ho- Lee Model and the CIR Model. The pre-mentioned are known for being short-term models based on one single factor, that of performance rate. However, it is apparent that there is a need for these models to be further analyzed. V

10 VI

11 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ήµητρα Τζαβάρα ΚΙΝ ΥΝΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σεπτέµβριος 2014 Ζούµε σε µια εποχή όπου οι οικονοµικές αλλαγές είναι ραγδαίες. Μια από αυτές τις αλλαγές είναι και εκείνη που συµβαίνει στις τιµές των επιτοκίων, την οποία θα εξετάσουµε στην συγκεκριµένη εργασία. Θα πρέπει εποµένως ο κάθε χρηµατοοικονοµικός οργανισµός να είναι σε θέση να αντιµετωπίσει τον κίνδυνο που προκύπτει από τις αλλαγές αυτές. Ένας τρόπος για να επιτευχθεί αυτό είναι µέσω της πρόβλεψης των µελλοντικών τιµών των επιτοκίων. Η πρόβλεψη, όπως θα δούµε και παρακάτω, αποτελεί ένα µια ενσωµατωµένη διαδικασία στην ιαχείριση του Κινδύνου και µπορεί να µας παρέχει αρκετές πληροφορίες. Η πρόβλεψη διεξάγεται µε την χρήση στοχαστικών µοντέλων που είναι ευρέως γνωστά στον χρηµατοοικονοµικό τοµέα. Τα στοχαστικά αυτά µοντέλα, βασίζονται σε στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις, των οποίων η µορφή περιλαµβάνει δύο παράγοντες, έναν της µέσης τιµής και έναν της µεταβλητότητας της διαδικασίας. Τα µοντέλα που θα εξετάσουµε εδώ, είναι τα εξής : Το µοντέλο Vasicek, το µοντέλο Hull-White, το µοντέλο Ho-Lee και το µοντέλο CIR. Τα µοντέλα αυτά είναι γνωστά ως βραχυπρόθεσµα µοντέλα που βασίζονται σε έναν παράγοντα, εκείνον της απόδοσης του επιτοκίου. Ωστόσο η ανάγκη για εξέλιξη των µοντέλων αυτών είναι πλέον εµφανής. VII

12 VIII

13 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Η έννοια του κινδύνου 1.2 Είδη Κινδύνων 1.3 ιαχείριση Κινδύνου 1.4 ιαχείριση Κινδύνου και Βασιλεία 2. Η ΚΙΝΗΣΗ BROWN 2.1 Ορισµός της κίνησης Brown 2.2 H κίνηση Brown ως ένας κλιµακωτός τυχαίος περίπατος 2.3 Υπολογισµός της από κοινού πιθανότητας 2.4 Οι ιδιότητες των µεταβολών της κίνησης Brown 2.5 H χαρακτηριστική συνάρτηση της κίνησης Brown 2.6 Κατασκευάζοντας µια µονοδιάστατη κίνηση Brown 2.7 Στοχαστικές ιαφορίκες Εξισώσεις 2.8 Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών (Euler) 3.ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ 3.1 Εισαγωγή 3.2 Μοντέλα επιτοκίων ( Interest Rate Models ) 3.3 Καµπύλη αποδόσεων ( Yield curve ) 3.4 Μοντέλα ισορροπίας και καµπύλη των αποδόσεων 3.5 Vasicek Model 3.6 Hull-White Model 3.7 Ho-Lee Model 3.8 Cox-Ingersoll-Ross Model 4. Ε ΟΜΕΝΑ 4.1 Μέτρηση των παραµέτρων των µοντέλων 4.2 Calibration µε το µοντέλο Vasicek 4.3 Calibration µε το µοντέλο Hull-White 4.4 Calibration µε το µοντέλο Ho-Lee 4.5 Calibration µε το µοντέλο CIR 5. ΕΠΙΛΟΓΟΣ 5.1 Συµπεράσµατα 5.2 Προτάσεις για µελλοντική έρευνα Σελίδα IX

14 X

15 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1 Πίνακας 2 Πίνακας 3 Σελίδα XI

16 XII

17 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ιάγραµµα 1. Calibration ιάγραµµα 2. Prediction ιάγραµµα 3. Μέσο τετρ. Σφάλµα-Vasicek ιάγραµµα 4. Απόλυτο Σφάλµα πρόβλεψης- Vasicek ιάγραµµα 5. Μέσο τετρ. Σφάλµα-Ho-Lee ιάγραµµα 6. Απόλυτο Σφάλµα πρόβλεψης-ho-lee ιάγραµµα 7. Μέσο τετρ. Σφάλµα-CIR ιάγραµµα 8. Απόλυτο Σφάλµα πρόβλεψης-cir ιάγραµµα 9. Vasicek-Ho-Lee ιάγραµµα 10. Vasicek-CIR ιάγραµµα 11. Ho-Lee-CIR Σελίδα XIII

18 XIV

19

20 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Η έννοια του κινδύνου Η έννοια του κινδύνου υπάρχει σε όλες τις ανθρώπινες δραστηριότητες και πηγάζει από την άγνοια των επερχόμενων γεγονότων. Ευρύτερα, ο κίνδυνος μπορεί να οριστεί ως η έκθεση στην αβεβαιότητα, ενώ όταν αναφερόμαστε σε μια συγκεκριμένη δραστηριότητα ορίζουμε σαν κίνδυνο την πιθανότητα εμφάνισης ενός μη επιθυμητού αποτελέσματος ή αντίστοιχα την απουσία του επιθυμητού αποτελέσματος. Όταν αναφερόμαστε στη λέξη "ρίσκο" εννοούμε διαφορετικά πράγματα ο καθένας από τη δική του θέση και σκοπιά. Αυτό σίγουρα έχει να κάνει με τον χώρο στον οποίο δραστηριοποιείται ο καθένας και τα προβλήματα-καταστάσεις που μπορεί να τον φέρουν αντιμέτωπο με το ρίσκο. Είναι λοιπόν λογικό να πρέπει να δώσουμε έναν ορισμό ο οποίος θα είναι αντιπροσωπευτικός και θα καλύπτει ένα ευρύ φάσμα της καθημερινότητάς μας. Μιλώντας για ρίσκο μίλαμε για την επίδραση που θα έχει η έκβαση μιας κατάστασης, πάνω σε ένα άτομο, σε ένα αντικείμενο, σε ένα περιουσιακό στοιχείο κλπ. Επομένως, αξίες όπως η σωματική υγεία, η κοινωνική κατάσταση, η συναισθηματική ευεξία, ο χρηματοοικονομικός πλούτος, μπορεί να κερδίζονται ή να χάνονται, κατά τη λήψη κινδύνων που απορρέουν από μια δεδομένη δράση, δραστηριότητα ή και αδράνεια. Λέγεται συνήθως ότι το ρίσκο είναι μια απειλή πάνω σε αντικείμενα, κάτι δηλαδή που επηρεάζει αρνητικά τα αντικείμενα αυτά, ή που επηρεάζει τους παράγοντες που διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στην επιτυχή πορεία μιας εταιρείας. Όπως αντιλαμβανόμαστε θα μπορούσαμε να δώσουμε αρκετούς ορισμούς για να περιγράψουμε τι ακριβώς εννοούμε όταν μιλάμε για ρίσκο ή κίνδυνο. Η διαφορετική αυτή αντίληψη του κινδύνου από άτομο σε άτομο, καθιστά τον ορισμό του κινδύνου ή αλλιώς ρίσκου μια έννοια εντελώς υποκειμενική. Ωστόσο αυτό που μας ενδιαφέρει στην συγκεκριμένη διατριβή είναι η χρηματοοικονομική μορφή του ρίσκου. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε το ρίσκο ως 1

21 την πιθανή απόκλιση των οικονομικών αποτελεσμάτων η οποία μετράται ανάμεσα στα πραγματικά και τα προβλεπόμενα αποτελέσματα. Η επιστημονική προσέγγιση για το ρίσκο έκανε την εμφάνισή της στα χρηματοοικονομικά στη δεκαετία του 1960 με το υποδείγμα αποτίμησης περιουσιακών στοιχείων, και έγινε ακόμα πιο σημαντική και αναγκαία στη δεκαετία του 1980, όπου τα χρηματοοικονομικά παράγωγα πολλαπλασιάστηκαν. Πρόκειται για μια μη μετρήσιμη ποσότητα, η οποία χαρακτηρίζεται από αβεβαιότητα. Η αβεβαιότητα αυτή όμως δεν είναι απαραίτητο να επιφέρει αρνητικά αποτελέσματα. Θα πρέπει επομένως να δούμε και να αντιμετωπίσουμε το ρίσκο ως μια ευκαιρία ανοιχτή σε επιλογές, όπως είχε τονίσει και ο Daniel Bernoulli. Με άλλα λόγια, το ρίσκο δεν είναι κάτι που θα πρέπει να αντιμετωπίζουμε με αρνητική διάθεση, καθώς ο οικονομικός αντίκτυπος που θα επιφέρει μπορεί να καταλήξει σε οικονομικό όφελος, τόσο βραχυπρόθεσμα οσο και μακροπρόθεσμα. Όταν συμβαίνει ένα γεγονός, τότε αυτό μπορεί να μας βοηθήσει να επιτύχουμε τους στόχους μας, ή ακόμα και να τους ξεπεράσουμε. Αυτοί οι στόχοι μπορεί να αναφέρονται σε πωλήσεις, κέρδη, μετοχές, ή ακόμα στη συμπεριφορά των μελών μιας εταιρείας. Το να ρισκάρουμε όμως υπερβολικά και χωρίς σκέψη είναι αυτά που θα μας οδηγήσουν σε οικονομική καταστροφή. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει απαραίτητα ότι μπορούμε να είμαστε απόλυτοι στον αν το ρίσκο είναι καλό ή κακό. Ένα παράδειγμα, βασισμένο στην επικαιρότητα είναι η "φούσκα" των στεγαστικών δανείων, που οδήγησαν στην χειρότερη οικονομική κρίση. Από αυτή την άποψη το ρίσκο θεωρείται κακό. Ενώ η ανάληψη υπερβολικών κινδύνων μπορεί πράγματι να είναι επικίνδυνη, η εξάλειψη των κινδύνων σε κάθε σενάριο επένδυσης δεν είναι ούτε δυνατή ούτε καν ευεργετική. Σε διάστημα μερικών ετών, έχουμε περάσει φαινομενικά από μια περίοδο κατά την οποία κανένας κίνδυνος δεν ήταν πολύ μεγάλος, σε μια περίοδο κατά την οποία δεν υπάρχει ρίσκο που να είναι πολύ μικρό. 2

22 Ευτυχώς ή δυστυχώς, ο κίνδυνος δεν μπορεί ποτέ να εξαλειφθεί πραγματικά, και στην πραγματικότητα, μια ανοχή στους κινδύνους είναι ουσιαστικής σημασίας για την ουσιαστική οικονομική ανάπτυξη. Δεδομένου ότι πολλά περισσότερα πράγματα θα μπορούσαν να συμβούν σε σχέση με αυτά που συμβαίνουν στην πραγματικότητα, κάποιος βαθμός αβεβαιότητας πάντα θα υπάρχει. Δεν έχει σημασία πόση μέριμνα λαμβάνεται κατά τη λήψη οποιασδήποτε απόφασης, ένα αρνητικό ή ακούσιο αποτέλεσμα είναι πάντα μια πιθανότητα. Με λίγα λόγια, ο κίνδυνος θα είναι πάντα μαζί μας. Όπως σημειώνει ο Peter Bernstein στο βιβλίο του, "Εναντίον των θεών": Η αξιοσημείωτη ιστορία του ρίσκου, η ιστορία του σύγχρονου κόσμου χαρακτηρίζεται από μια «ένταση μεταξύ εκείνων που υποστηρίζουν ότι οι καλύτερες αποφάσεις βασίζονται σε ποσοτικοποιήσεις και εκείνων που βασίζουν τις αποφάσεις τους σε μια περισσότερο υποκειμενική πίστη για το αβέβαιο μέλλον.» Έτσι, ενώ οι προτάσεις για τη μεταρρύθμιση της οικονομικής και εταιρικής διακυβέρνησης στοχεύουν στην εξάλειψη κάθε κινδύνου, πρέπει να αναρωτηθούμε κατά πόσο τα τεχνητά όρια σε όλα τα «ρίσκα» μπορεί στην πραγματικότητα να δημιουργήσουν το μεγαλύτερο κίνδυνο απ όλους. Από χρηματοοικονομική άποψη, ο κίνδυνος αναφέρεται στην αβεβαιότητα σχετικά με τις αποδόσεις μιας επένδυσης και μπορεί να γίνει αντιληπτός στη διακύμανση των αναμενόμενων αποδόσεών της. Στην περίπτωση αυτή μετράται με την τυπική απόκλιση της επένδυσης, ή με άλλα λόγια με τον βαθμό απόκλισης της αναμενόμενης απόδοσης από την μέση αναμενόμενη απόδοση. Τέλος, θα πρέπει να είμαστε σε θέση πλέον να αντιληφθούμε ότι το ρίσκο είναι βασικό συστατικό για την οικονομική ανάπτυξη. Καθώς οι νομοθέτες, οι ρυθμιστικές αρχές και οι κεντρικές τράπεζες ερευνούν τα αίτια της οικονομικής κρίσης και τους τρόπους αποφυγής της επόμενης, θα είναι ζωτικής σημασίας να αναγνωρίσουν ότι ο κίνδυνος θα είναι πάντα μαζί μας και, μάλιστα, ότι η περίπτωση του κινδύνου είναι ένα αναγκαίο κακό. 3

23 1.2 Είδη Κινδύνων Υπάρχουν διάφορα είδη κινδύνων, τα οποία κατηγοριοποιούνται συμφωνα με δίαφορα κριτήρια. Θα μπορούσαμε να πούμε πως σε ένα πρώτο επίπεδο οι κίνδυνοι που επηρεάζουν μια επιχείρηση διακρίνονται σε : Επιχειρηματικούς κινδύνους ( Business Risks ) και Χρηματοοικονομικούς Κινδύνους ( Financial Risks ) Οι Επιχειρηματικοί Κίνδυνοι είναι αυτοί που πηγάζουν και από το εσωτερικό και από το εξωτερικό περιβάλλον της επιχείρησης και συνδένονται άμεσα με τις Στρατηγικές Αποφάσεις που λαμβάνονται στα πλαίσια της λειτουργίας της. Οι Χρηματοοικονομικοί Κίνδυνοι ( με τους οποίους θα ασχοληθούμε εδώ, και ειδικότερα με τον επιτοκιακό κίνδυνο ) προέρχονται από τον τρόπο που μια επιχείρηση χρηματοδοτεί τις λειτουργίες της. Πηγάζουν δηλαδή από την λειτουργία των διαφόρων αγορών χρήματος και κεφαλαίου. Με άλλα λόγια οι Χρηματοοικονομικοί Κίνδυνοι ενσωματώνουν τους κινδύνους αυτούς που απειλούν την οικονομική υγεία και ευρωστία της επιχείρησης. Οι κίνδυνοι αυτοί έχουν τα παρακάτω χαρακτηριστικά : Κόστος και διαθεσιμότητα Κεφαλαίου Ικανότητα ανταπόκρισης στις ανάγκες των ταμειακών ροών σε εύλογο χρόνο Ικανότητα διατήρησης και ανάπτυξης αμεροληψίας Ικανότητα απορρόφησης βραχυπρόθεσμων διαταραχών Ο Κίνδυνος της Αγοράς αποτελεί μια κατηγορία κινδύνων που ανήκουν στους Χρηματοοικονομικούς Κινδύνους, και αναφέρεται στη μείωση της αξίας μιας επένδυσης, εξαιτίας αλλαγών στους παράγοντες που διαμορφώνουν την αξία της Αγοράς. 4

24 1.2.1 Κίνδυνος Αγοράς ( Market Risk ) Ο Κίνδυνος της Αγοράς σχετίζει τη μεταβλητότητα της διαφοράς ανάμεσα στις τιμές των τίτλων της Αγοράς και των υποχρεώσεων εντός ενός χρονικού διαστήματος, εξαιτίας μελλοντικών αλλαγών στις τιμές των τίτλων ή των αποδόσεων. Από την άποψη αυτή, οι αλλαγές στις ταμειακές ροές τω υποχρεώσεων, λόγω των επιπτώσεων πανώ στα μελλοντικά μετοχικά κέρδη, θα πρέπει επίσης να λαμβάνονται υπόψιν, ενώ οι "ελεύθεροι τίτλοι" ίσως θα πρέπει να αγνοούνται. Ο Κίνδυνος της Αγοράς διακρίνεται στις παρακάτω κατηγορίες : Χρηματιστηριακός Κίνδυνος ( Equity Index Risk ) Νομισματικός Κίνδυνος ( Currency Risk) Κίνδυνος Επιτοκίου ( Interest Rate Risk ) Κίνδυνος Εμπορευμάτων O κίνδυνος με τον οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι ο Επιτοκιακός, του οποίου τον ορισμό δίνουμε αμέσως παρακάτω Επιτοκιακός Κίνδυνος ( Interest Rate Risk ) Μιλώντας για Επιτοκιακό Κίνδυνο εννοούμε τον κίνδυνο ο οποίος μπορεί να αλλάξει της αξία μιας επένδυσης, εξαιτίας των μεταβολών στο επίπεδο των επιτοκίων. Οι μεταβολές αυτές επηρεάζουν τα χρεόγραφα με αντίστροφη σχέση και επομένως ο κίνδυνος αυτός μπορεί να μειωθεί είτε με την διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου ( differentiation ) είτε με την αντιστάθμιση του κινδύνου ( hedging ). Καθώς αυξάνονται τα επιτόκια, οι τιμές των ομολόγων πέφτουν στην δευτερογενή αγορά, αλλά και αντίστροφα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι καθώς τα επιτόκια αυξάνονται, το κόστος ευκαιρίας διακράτησης ενός ομολόγου μειώνεται και κατ αυτό τον τρόπο οι επενδυτές στρέφονται σε επενδυτικά προϊόντα με υψηλότερες αποδόσεις. 5

25 Στην εργασία αυτή θα ασχοληθούμε με τα επιτόκια, και πιο συγκεκριμένα με τα μοντέλα επιτοκίων, τα οποία χρησιμοποιούμε για να κάνουμε πρόβλεψη των μελλοντικών τιμών των επιτοκίων, αφού πρώτα έχουμε κάνει εκτίμηση των παραμέτρων συμφωνα με τα δεδομένα που έχουμε αντλήσει. Η πηγή από την οποία θα αντλήσουμε δεδομένα στη συγκεκριμένη εργασιά είναι το U.S. Department of the Treasury. Όπως έχουμε ήδη προαναφέρει, ο Κίνδυνος των Επιτοκίων είναι ένα είδος χρηματοοικονομικού κινδύνου, τον οποίο καλούνται τα χρηματοοικονομικά ιδρύματα να αντιμετωπίσουν, αναπτύσσοντας τα κατάλληλα υποδείγματα. Ο κίνδυνος αυτός προκύπτει από την αναντιστοιχία των επιτοκίων τόσο στον όγκο, όσο και στη διάρκεια των τίτλων, των δανείων, των υποχρεώσεων και των εκτός ισολογισμού στοιχείων της τράπεζας. Μια απροσδόκητη μεταβολή στα επιτόκια μπορεί να επηρεάσει σοβαρά την κερδοφορία ενός χρηματοοικονομικού οργανισμού καθώς και την αξία της μετοχής της. Για παράδειγμα, εάν σε μια τράπεζα οι υποχρεώσεις της είναι περισσότερο ευαίσθητες, σε σχέση με τις απαιτήσεις της, στις μεταβολές των επιτοκίων, μια αύξηση των επιτοκίων θα μειώσει τα κέρδη και μια πτώση των επιτοκίων θα αυξήσει τα κέρδη. Αναλυτικότερα, η μετατροπή των στοιχείων ενεργητικού περιλαμβάνει την αγορά πρωτοβάθμιων χρεογράφων ( ομολογίες, ομόλογα, συναλλαγματικές, γραμμάτια κ.λπ. ) και την έκδοση δευτεροβάθμιων ( μετοχές ). Τα πρώτα που συνήθως αγοράζονται από ένα χρηματοοικονομικό ίδρυμα χαρακτηρίζονται από ημερομηνία λήξης και διαφορετική ρευστότητα από εκείνη των δευτεροβάθμιων που διατίθενται προς πώληση. Κατ αυτό τον τρόπο, αντιπαρατάσσοντας τις ημερομηνίες λήξης των στοιχείων ενεργητικού και παθητικού ως μέρος της συνάρτησης μετατροπής ενεργητικού, τα ιδρύματα αυτά είναι εκτεθειμένα σε επιτοκιακό κίνδυνο. Αυτό που πρέπει να τονίσουμε στο σημείο αυτό είναι πως οι μεταβολές των επιτοκίων είναι μια στρατηγική που ακολουθούν οι κεντρικές τράπεζες, οι οποίες έχουν ως στόχο να εξομαλύνουν τα επίπεδα των επιτοκίων. Με την εξομάλυνση 6

26 αυτή, οι απροσδόκητες διαταραχές και η μεταβλητότητα των επιτοκίων, τείνουν να γίνουν μικρότερες. Ο Επιτοκιακός Κίνδυνος επηρεάζει συνήθως τις τιμές των ομολόγων περισσότερο από εκείνες των μετοχών. 1.3 Διαχείριση Κινδύνου ( Risk Management ) Στο σημείο αυτό θα πρέπει να αναφέρουμε με ποιο τρόπο θα αντιμετωπίσουμε το ρίσκο, ή ακόμα καλύτερα πως θα το διαχειριστούμε. Εδώ λοιπόν κάνει την εμφάνισή της η έννοια της διαχείρισης του κινδύνου, μια έννοια πολύ σημαντική, η οποία κατακτά ολοένα και μεγαλύτερο έδαφος στον χώρο της οικονομίας και των επιχειρήσεων. Η διαδικασία αναγνώρισης, ανάλυσης και είτε η αποδοχή είτε ο μετριασμός της αβεβαιότητας στην λήψη επενδυτικών αποφάσεων συνθέτουν την έννοια της διαχείρισης του κινδύνου. Ουσιαστικά, η διαχείριση του κινδύνου λαμβάνει χώρα ανά πάσα στιγμή που ένας επενδυτής αναλύει και προσπαθεί να ποσοτικοποιήσει την πιθανότητα ζημιών στην επένδυση του, και στη συνέχεια παίρνει τα κατάλληλα μέτρα όσον αφορά στους επενδυτικούς του στόχους και στην ανοχή του κινδύνου. Η ανεπαρκής διαχείριση του κινδύνου μπορεί να προκαλέσει σοβαρές συνέπειες τόσο για τις επιχειρήσεις όσο και για τους ιδιώτες. Για παράδειγμα, η ύφεση που ξεκίνησε το 2008 οφείλεται σε μεγάλο βαθμό από τη χαλαρή διαχείριση του πιστωτικού κινδύνου των χρηματοπιστωτικών επιχειρήσεων. Για να είμαστε πιο σαφείς σχετικά με το τι ακριβώς εννοούμε όταν μιλάμε για διαχείριση κινδύνου δίνουμε έναν πιο αυστηρό ορισμό, ο οποίος είναι ευρέως γνωστός και αποδεκτός Ορισμός της Διαχείρισης Κινδύνου Ως Διαχείριση Κινδύνου ( Risk Management ) ορίζουμε ένα σύνολο δράσεων που αναλαμβάνουν οι επιχειρήσεις και οι ιδιώτες προκειμένου να μειώσουν τον κίνδυνο 7

27 που προκύπτει από τις δραστηριότητές τους. Επομένως θα μπορούσαμε να πούμε πως είναι η διαδικασία του εντοπισμού, της αξιολόγησης, της ιεράρχησης των κινδύνων ( έτσι όπως αυτοί ορίζονται στο πρότυπο ISO 31000) οι οποίοι ακολουθούνται από συντονισμένες οικονομικές εφαρμογές των πόρων, για την ελαχιστοποίηση, την παρακολούθηση και τον έλεγχο της πιθανότητας και / ή των επιπτώσεων των ατυχών γεγονότων καθώς και την μεγιστοποίηση της υλοποίησης των ευκαιριών. Κάποιες παραδοσιακές μέθοδολογίες της Διαχείρισης Κινδύνων επικεντρώνονται στους κινδύνους που προέρχονται από φυσικές και νόμιμες αιτίες, όπως φυσικές καταστροφές, ατυχήματα, θάνατος και άλλα. Η Διαχείριση Χρηματοοικονομικών Κινδύνων από την άλλη πλευρά, εστιάζει σε κινδύνους οι οποίοι μπορούν να αντιμετωπιστούν με την χρήση χρηματοοικονομικών εργαλείων, όπως θα δούμε και παρακάτω. Υπό την έννοια αυτή η Διαχείριση των Κινδύνων δεν αποτελεί καινοτομία, αν και τα τελευταία χρόνια παρουσιάζει αυξημένο ενδιαφέρον, λόγω των σημαντικών αλλαγών που παρατηρήθηκαν στο παγκόσμιο χρηματοοικονομικό περιβάλλον. Οι αλλαγές αυτές προήλθαν κυρίως από την παγκοσμιοποίηση των αγορών και την χαλάρωση του κανονιστικού πλαισίου χωρίς να έχουν γίνει πρώτα οι κατάλληλες αλλαγές στο τεχνολογικό πεδίο. Κατ αυτό τον τρόπο το χρηματοοικονομικό περιβάλλον έγινε περισσότερο επικίνδυνο καθώς η σταθερότητα του παρελθόντος αντικαταστάθηκε από την συνεχώς αυξανόμενη μεταβλητότητα των αγορών. Το αποτέλεσμα ήταν να αυξηθεί η ανάγκη δημιουργίας κατάλληλων μεθοδολογιών και εργαλείων προκείμενου να αντιμετωπιστούν οι κίνδυνοι αυτοί. Η εξάλειψη ή έστω και ο περιορισμός των κινδύνων θα ήταν απαγορευτικά πολυδάπανος και σε ορισμένες περιπτώσεις αδύνατος χωρίς τη συμβολή νέων τεχνικών που κυριαρχούν σήμερα στις παγκόσμιες αγορές. Ωστόσο η μείωση των κινδύνων που εμφανίζονται σε έναν συγκεκριμένο και προεπιλεγμένο τομέα, είναι αναγκαία. 8

28 Η Διαχείριση του Κινδύνου αποτελεί τον κεντρικό πυρήνα της Στρατηγικής Διαχείρισης κάθε οργανισμού. Ουσιαστικά αποτελεί την διεργασία ( την οποία έχουμε ήδη προαναφέρει συνοπτικά παραπάνω ) σύμφωνα με την οποία οι οργανισμοί προσεγγίζουν με μεθοδικότητα τους κινδύνους που σχετίζονται με τις δραστηριότητές τους, και έχοντας ως στόχο μέσω των κινδύνων αυτών, το κέρδος σε κάθε δραστηριότητα. Η καλή διαχείριση του κινδύνου επιτυγχάνεται με την αναγνώριση και τον χειρισμό των κινδύνων, αυξάνοντας κατ αυτό τον τρόπο την πιθανότητα επιτυχίας των συνολικών στόχων του οργανισμού. Η αξιολόγηση των κινδύνων μπορεί να αποκαλύψει από τα αρχικά στάδια αν αξίζει ή όχι να ασχοληθεί ο οργανισμός με μια προσφορά και οι ανεπτυγμένες διαδικασίες που εφαρμόζονται, είναι διαθέσιμες σε όλη την έκταση του project που θέλει να διεξάγει η επιχείρηση. Πολλα προβλήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν εκ των προτέρων και να δώσουν την ευκαιρία στον διαχειριστή του έργου να καθορίσει μια πορεία. Οι κίνδυνοι μπορεί να προέρχονται από την αβεβαιότητα στις χρηματοπιστωτικές αγορές, από τις απειλές που προκύπτουν από τις αποτυχίες κάποιου project (σε οποιαδήποτε φάση του σχεδιασμού, της ανάπτυξης, της παραγωγής, ή της υπόστασης των κύκλων ζωής ), τις νομικές υποχρεώσεις, από τον πιστωτικό κίνδυνο, ατυχήματα, φυσικές αιτίες και καταστροφές, καθώς και από εσκεμμένη επίθεση από έναν αντίπαλο, ή από αβέβαια γεγονότα και απρόβλεπτες αιτίες. Πολλά πρότυπα διαχείρισης κινδύνου έχουν αναπτυχθεί, συμπεριλαμβανομένου του Management Institute Project, του Εθνικού Ινστιτούτου Προτύπων και Τεχνολογίας, αναλογιστικές ενώσεις, και τα πρότυπα ISO. Οι μέθοδοι, οι ορισμοί και οι στόχοι ποικίλλουν σε μεγάλο βαθμό, ανάλογα με το αν η μέθοδος διαχείρισης των κινδύνων είναι το πλαίσιο της διαχείρισης του έργου, της ασφάλειας, της μηχανικής, των βιομηχανικών διεργασιών, οικονομικών χαρτοφυλακίων, αναλογιστικών εκτιμήσεων, ή της δημόσιας υγείας. 9

29 1.3.2 Βήματα της διαδικασίας στην Διαχείριση Κινδύνων. Η καλή διαχείριση της εταιρείας είναι και το σημείο έναρξης για την καλή διαχείριση των κινδύνων που αντιμετωπίζει η εταιρεία. Είναι λοιπόν αναγκαίο να υπάρχει ένα πλαίσιο, σύμφωνα με το οποίο θα λειτουργεί η εταιρεία απέναντι στους κινδύνους. Το πλάισιο αυτό θα πρέπει να είναι ενσωματωμένο στην γενικότερη λειτουργία της σε καθημερινή βάση. Κατ αυτό τον τρόπο η διοίκηση της εταιρείας, θα πρέπει να δημιουργήσει, σύμφωνα με τις ανάγκες και τους στόχους της, μια ιεραρχημένη δομή η οποία θα ανταποκρίνεται στην "κουλτούρα"της. Τα βήματα αυτά ακολουθούν αμέσως παρακάτω : Προσδιορισμός στόχων και περιεχομένου Αναγνώριση κινδύνων Ανάλυση των κινδύνων που έχουν εντοπιστεί Αξιολόγηση των κινδύνων Διαχείριση των κινδύνων Καταγραφή και επαναπροσδιορισμός των κινδύνων και της φύσης τους, σε τακτά χρονικά διαστήματα. Συνεχής επικοινωνία με τους μετόχους και διαβούλευσή τους Αναφορά των κινδύνων 1.4 Διαχείριση Κινδύνου και η Βασιλεία ( Basel ) Εξετάζοντας την κατάσταση που επικρατεί στις τράπεζες, τόσο την παρούσα περίοδο, λόγω της οικονοµικής κρίσης που επικρατεί, όσο και διαχρονικά, γίνεται σαφές ότι η διαχείριση των κινδύνων που αντιµετωπίζουν τα συστήματα αυτά αποτελεί επιτακτική ανάγκη. Οι τράπεζες θα πρέπει να αισθάνονται ασφάλεια µέσα στο ελεύθερο πιστωτικό περιβάλλον που επικρατεί, έτσι ώστε να µπορούν να δρουν ορθολογικά και απαλλαγµένες από κινδύνους, παίρνοντας σωστές αποφάσεις σε περιόδους που τα πιστωτικά περιθώρια είναι στενά. Για να επιτευχθούν οι στόχοι των επενδυτικών ιδρυµάτων, δηλαδή το µεγαλύτερο κέρδος, µε το χαµηλότερο δυνατό κόστος, πρέπει 10

30 οι κίνδυνοι που αναλαµβάνουν να είναι συνετοί και µέσα σε καθορισµένα όρια, σύµφωνα µε την πολιτική του κάθε ιδρύµατος και µε τους στόχους του χαρτοφυλακίου που αναλαµβάνει. Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, οι κίνδυνοι που αναλαμβάνει μια επιχείρηση ή εταιρεία, θα πρέπει να ακολουθούν μια διαδικασία αντίστοιχη και με αυτή που ορίσαμε παραπάνω. Μιας και αναφερόμαστε στον Τραπεζικό τομέα, θα πρέπει επίσης να ελέγχονται οι τιμές και οι δανειακοί όροι καθώς και οι κίνδυνοι που αυτοί συνεπάγονται, και να είναι μέσα στα πλαίσια και τα όρια των κινδύνων που η ίδια η τράπεζα μπορεί να αναλάβει και να αντιμετωπίσει. Με αυτό τον τρόπο δημιουργήθηκε η ανάγκη άσκησης εποπτείας για την διαχείριση των κινδύνων που αντιμετωπίζουν τα τραπεζικά ιδρύματα. Ο παράγοντας που έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην παρουσία της εποπτείας στον τομέα αυτό, είναι η διαμεσολάβηση των τραπεζών, μεταξύ των δανειοληπτών και των καταθετών. Εδώ κάνει την εμφάνισή της η Επιτροπή της Βασιλείας, που έχει ως στόχο να εδραιώσει και να διασφαλίσει την οικονομική ευρωστία των ιδρυμάτων αυτών, ενισχύοντας παράλληλα την ικανότητά τους να αντιμετωπίζουν τις επιπτώσεις που μπορεί να προκληθούν από εξωγενείς παράγοντες. Μ ε τον τρόπο αυτό συμβάλλει στην σταθερότητα του ευρύτερου χρηματοπιστωτικού συστήματος μιας χώρας. Η εποπτεία των τραπεζών ( αλλά και των ασφαλιστικών εταιρειών σιγά-σιγά ) υπόκεινται σε έλεγχο από τις αρμόδιες εποπτικές αρχές, όπως αυτές ορίζονται από την Τράπεζα της Ελλάδος, εάν αναφερθούμε στη χώρα μας. Ο έλεγχος που διεξάγεται, αφορά τα παρακάτω : Έλεγχος της φερεγγυότητας, της ρευστότητας, της κεφαλαιακής επάρκειας και της συγκέντρωσης κινδύνων Επάρκεια της εταιρικής διακυβέρνησης, συμπεριλαμβανομένων των συστημάτων εσωτερικού ελέγχου και της διαχείρισης κινδύνων Στρατηγικές και διαδικασίες για τη διασφάλιση της διατήρησης των ιδίων κεφαλαίων των πιστωτικών ιδρυμάτων, στο απαιτητό επίπεδο, για την κάλυψη των κινδύνων που αναλαμβάνει το εκάστοτε ίδρυμα. 11

31 1.4.1 Η Βασιλεία ΙΙ ( Basel II ) Η Βασιλεία ΙΙ, δημοσιοποιήθηκε αρχικά τον Ιούνιο του 2004, και έχει ως στόχο τη δημιουργία ενός διεθνούς προτύπου για την εποπτεία των τραπεζών και συγκεκριμένα τον έλεγχο των τραπεζικών κεφαλαίων που θα πρέπει να τοποθετηθούν στην άκρη προκειμένου να αντιμετωπιστούν χρηματοοικονομικοί και λειτουργικοί κίνδυνοι, που αντιμετωπίζουν οι τράπεζες και η οικονομία γενικότερα. Ουσιαστικά έρχεται να καλύψει τις ατέλειες του Συμφώνου της Βασιλείας Ι και πρόκειται να εφαρμοστεί πλήρως μέχρι το Οι βασικοί στόχοι του νέου Συμφώνου συνίστανται στα ακόλουθα : Διασφάλιση ότι η κεφαλαιακή αποκέντρωση είναι περισσότερο ευαίσθητη στον κίνδυνο. Υποστήριξη της δημοσιοποίησης των απαιτήσεων προκειμένου να επιτραπεί στους μετόχους της Αγοράς να εκτιμήσουν την κεφαλαιακή επάρκεια ενός ιδρύματος. Διασφάλιση ότι, ο Πιστωτικός, ο Λειτουργικός και ο Κίνδυνος της Αγοράς ποσοτικοποιούνται με βάση τα δεδομένα και επίσημες τεχνικές. Εναρμόνιση των οικονομικών και ρυθμιστικών κεφαλαίων με στόχο τη μείωση της έκτασης του ρυθμιστικού arbitrage. Το νέο Σύμφωνο της Βασιλείας απαρτίζεται από τρεις πυλώνες : Πυλώνας 1. Καθορισμός των κεφαλαιακών απαιτήσεων για την κάλυψη του πιστωτικού και του λειτουργικού κινδύνου. Πυλώνας 2. Καθορισμός του σκοπού που αποβλέπει στην διαδικασία της αξιολόγησης της κεφαλαιακής επάρκειας των τραπεζών από τις εποπτικές αρχές, καθώς και την θέσπιση των γενικών αρχών και κριτηρίων που θα διέπουν την διαδικασία αυτή. Πυλώνας 3. Ενίσχυση της πειθαρχίας της αγοράς μέσω της δημοσιοποίησης συγκεκριμένων ποιοτικών και ποσοτικών στοιχείων. Οι τρεις αυτοί πυλώνες του νέου Συµφώνου είναι αµοιβαίως αλληλοενισχυόµενοι. Αναµφίβολα, η αποτελεσµατικότητα των κανόνων του πρώτου πυλώνα εξαρτάται 12

32 καθοριστικά, από την ικανότητα των εποπτικών αρχών να ελέγχουν την ορθή εφαρµογή τους, µέσω των εξουσιών του 2ου πυλώνα. Επίσης, οι αυξηµένες υποχρεώσεις γνωστοποίησης στοιχείων του 3ου πυλώνα διαµορφώνουν τα κατάλληλα κίνητρα για τη βελτίωση των διαδικασιών διαχείρισης κινδύνων, που αναπτύσσουν οι τράπεζες. 13

33 14

34 2. H KIΝΗΣΗ BROWN ( BROWNIAN MOTION ) Η κίνηση Brown ή διαδικασία Wiener όπως θα την δούμε κυρίως στην εργασία αυτή, είναι µία απ' τις πιο σηµαντικές στοχαστικές διαδικασίες και αποτελεί θεμέλιο λίθο των μοντέλων σε συνεχή χρόνο. Η χρήση της προορίζεται επίσης, στο να προσεγγίσει άλλες στοχαστικές διαδικασίες. Η ονοµασία της οφείλεται στον Robert Brown ο οποίος το 1827 παρατήρησε µία αδιάκοπη και άτακτη κίνηση λεπτοτάτων, αλλά ορατών στο µικροσκόπιο, σωµατιδίων (κόκκων γύρης), που αιωρούνταν στο νερό. Αυτό που παρατήρησε ο R.Brown ήταν ότι το μονοπάτι που ακολουθεί ένα δεδομένο σωματίδιο είναι ακανόνιστο και δεν έχει εφαπτομένη σε κανένα σημείο. Επίσης οι διαδρομές που ακολουθούν δύο διαφορετικά σωματίδια είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Για την καλύτερη κατανόηση της κίνησης αυτής, αξίζει να αναφέρουμε κάποια εισαγωγικά στοιχεία που όμως είναι σημαντικά εργαλεία για την μελέτη και την περιγραφή του φαινομένου αυτού. Ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας των πιθανοτήτων είναι αφιερωμένο στην περιγραφή της μακροσκοπική εικόνας που προκύπτει σε τυχαία συστήματα τα οποία ορίζονται από ένα πλήθος τυχαίων επιδράσεων μικροσκοπικής φύσεως. Η κίνηση Brown είναι η μακροσκοπική εικόνα η οποία προκύπτει από ένα σωματίδιο το οποίο κινείται τυχαία σε χώρο d-διαστάσεων. Από τη μικροσκοπική πλευρά, σε οποιοδήποτε χρονικό βήμα, το σωματίδιο δέχεται μια τυχαία μετατόπιση, η οποία προκαλείται για παράδειγμα με το χτύπημα από άλλα σωματίδια ή από μία εξωτερική δύναμη, έτσι ώστε, εάν η θέση του στο χρόνο μηδέν είναι X 0, τη στιγμή n η θέση του θα δίνεται ως όπου ξ 1, ξ 2,, ξ n είναι τυχαιές μεταβλητές (εκτοπίσματα που δέχεται το σωματίδιο), ανεξάρτητες και ισόνομες με τιμές στον, και οι οποίες παίρνουν τις τιμές +1 και -1 με πιθανότητα ½. Με άλλα λόγια ισχύει : 15

35 Επομένως η διαδικασία Brown είναι ένα µαθηµατικό µοντέλο που µπορεί να περιγράψει την αδιάκοπη αυτή κίνηση, θεωρώντας το τυχαίο εκτόπισμα που δέχεται κάθε φορά το (δεδομένο) σωματίδιο ως τυχαία μεταβλητή. Παράλληλα παίζει ένα πολύ σπουδαίο ρόλο στη θεωρία των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων, για τις οποίες θα αναφέρουμε κάποια στοιχεία παρακάτω. 2.1 Ορισμός της κίνησης Brown Η κίνηση Brown [1] είναι μια στοχαστική διαδικασία B t, με Β(t,ω) : Ω η οποία έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : B(0) = 0 B(t)-B(s) ~ N(0, t-s) για t s 0 ( ή εναλλακτικά B(t+s)-B(s) ~ N(0, t) ) Αν 0 < t 1 < t 2 < < t n, οι τυχαίες μεταβλητές Β(t 1 ), Β(t 2 )-Β(t 1 ),...,Β(t n )-Β(t n-1 ) είναι ανεξάρτητες (ανεξάρτητες μεταβολές ). Οι τροχιές της κίνησης Βrown είναι συνεχείς με πιθανότητα 1 Οι ιδιότητες αυτές ορίζουν μία και μόνο στοχαστική διαδικασία, η οποία περιγράφει τα χαρακτηριστικά ενός τυχαίου περιπάτου (τυχαίας διαδρομής). Η πρώτη ιδιότητα μας περιγράφει πως η διαδικασία ξεκινά από το σημείο μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση η κίνηση Βrown ονομάζεται τυπική (standard). Στην περίπτωση που η διαδικασία ξεκινά από το σημείο x, τότε η κατανομή που ακολουθεί η διαδικασία θα είναι η N(x, t). Γενικότερα, η κατανομή της κίνησης Βrown εξαρτάται από το αρχικό σημείο που ξεκινά η διαδικασία. Η δεύτερη ιδιότητα περιγράφει πως οι μεταβολές της κίνησης Βrown ακολουθούν την Κανονική Κατανομή (Κατανοµή Gauss ). Οι μεταβολές αυτές ονομάζονται στάσιμες προσαυξήσεις ( stationary increments ) και η κατανομή τους μεταξύ δύο χρονικών στιγμών εξαρτάται αποκλειστικά από την απόσταση μεταξύ των χρονικών αυτών στιγμών. Eάν θέσουμε s=0, τότε προκύπτει Var(B(t))=t. Aυτό σημαίνει πως η 16

36 διασπορά αυτής της διαδικασίας αυξάνεται χωρίς όριο όταν αυξάνεται ο χρόνος εξέλιξής της, ενώ η μέση τιμή της παραμένει μηδέν. Η τρίτη ιδιότητα αναφέρεται στην ανεξαρτησία των μεταβολών της κίνησης Βrown και μας δίνει την πληροφορία πως οι μεταβολές αυτές οι οποίες ονομάζονται ανεξάρτητες προσαυξήσεις ( independent increments ) αντιστοιχούν σε μη αλληλοεπικαλυπτόμενα χρονικά διαστήματα. Επίσης είναι σημαντικό να αναφέρουμε εδώ πως γνωρίζοντας ότι B(s) = x 0, και με δεδομένο ότι ισχύει B(0) = 0, η ποσότητα Β(τ) για κάποιο τ s, δεν μας δίνει καμία επιπλέον πληροφορία για τη διαφορά Β(t)- B(s) με t > s. H ιδιότητα αυτή αναφέρεται ως Μαρκοβιανή ιδιότητα και μας περιγράφει πως η γνώση του παρελθόντος δεν έχει σημασία για την πρόβλεψη του μέλλοντος. Tέλος, η τέταρτη ιδιότητα μας πληροφορεί πως η συνάρτηση t B t είναι συνεχής για κάθε t. Ωστόσο δεν είναι διαφορίσιμη ως προς t πουθενά. Θα ανακαλέσουμε σε αυτό το σημείο πως το άθροισμα δύο τυχαίων μεταβλητών που κατανέμονται κανονικά με μέσους μ 1,μ 2 και διασπορές αντίστοιχα, είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται κανονικά με μέσο μ 1 +μ 2 και διασπορά. Επομένως το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών Β( t 3 ) B(t 2 ), B(t 2 ) B(t 1 ) έχει μέσο 0 και διασπορά t 3 -t Η Κίνηση Brown ως ένας κλιμακωτός τυχαίος περίπατος Θεωρώντας έναν τυχαίο περίπατο {X n }στο σύνολο των ακεραίων,με ξ i να είναι οι τυχαίες μεταβλητές που αναπαριστούν τα εκτοπίσματα που αναφέραμε και παραπάνω, χρησιμοποιώντας το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα έχουμε ότι : που σημαίνει ότι η τυχαία αυτή μεταβλητή συγκλίνει κατά κατανομή καθώς Ν. 17

37 Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα αυτό, μπορούμε να ορίσουμε την τμηματικά σταθερή τυχαία μεταβλητή : όπου είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος από Νt. Χρησιμοποιώντας όλα τα παραπάνω καταλήγουμε στο ότι η μεταβλητή που ορίσαμε συγκλίνει κατά κατανομή στην Β t, η οποία είναι όπως γνωρίζουμε η κίνηση Βrown, με μέση τιμή μηδέν και διασπορά ίση με t. Για να δείξουμε τώρα την ανεξαρτησία των μεταβολών της κίνησης, και την στασιμότητά τους θα πάρουμε αρχικά τη διαφορά Χ n -Χ m. Αυτό που προκύπτει είναι το εξής : Η διαφορά αυτή είναι ανεξάρτητη από Χ m και κατανέμεται πανομοιότυπα με τη μεταβλητή Χ n-m. To ίδιο ισχύει και για τη διαφορά B t -B s. Για 0 s t, η B t -B s είναι ανεξάρτητη από την B s και ικανοποιεί τη σχέση B t -B s = B t-s που σημαίνει ότι η τυχαία διαδικασία και στα δύο μέλη της ισότητας αυτής ακολουθεί την ίδια κατανομή. Για να δείξουμε ότι η τυχαία μεταβλητή που ορίσαμε παραπάνω ακολουθεί την κατανομή Gauss, παρατηρούμε ότι για συγκεκριμένο t και Ν, συγκλίνει στην Β t. Αποδεικνύεται στη συνέχεια: 2.3 Υπολογισμός της από κοινού πιθανότητας Πριν προχωρήσουμε στον υπολογισμό της κοινής πιθανότητας, θα πρέπει να τονίσουμε πως για οποιαδήποτε διαμέριση 0 t 1 t 2 t n το διάνυσμα 18

38 συγκλίνει κατά κατανομή σε μια n-διάστατη τυχαία μεταβλητή Gauss της μορφής. Ο υπολογισμός της από κοινού πυκνότητας του συμβάντος Β(t 1 ),,B(t n ) είναι ισοδύναμος με τον υπολογισμό του συμβάντος Β(t 1 ) - B(t 0 ), B(t n )-B(t n-1 ). Από τις ιδιότητες που μελετήσαμε παραπάνω θα προχωρήσουμε στον υπολογισμό της μέσης τιμής και της διασποράς της κίνησης Brown με τη βοήθεια του μέτρου Wiener που αυτή επάγει, και το οποίο ορίζεται ως εξής : όπου Α 1,, A n είναι υποσύνολα του, τα οποία ονομάζονται σύνολα Borel. Η παραπάνω ποσότητα αποτελεί κατά κάποιο τρόπο την πιθανότητα να βρίσκεται η στοχαστική διαδικασία, την χρονική στιγμή t i, στα αντίστοιχα διαστήματα, και ονομάζεται πεπερασμένης διάστασης κατανομή. Πιο συγκεκριμένα μπορούμε να πούμε πως είναι η πιθανότητα να βρίσκεται η κίνηση Brown, τις χρονικές στιγμές t i, σε συγκεκριμένα διαστήματα του συνόλου των πραγματικών αριθμών, και ισχύει για οποιαδήποτε ακολουθία χρονικών στιγμών. Η συνάρτηση ονομάζεται πιθανότητα μετάβασης διότι η κίνηση Brown είναι όπως έχουμε ήδη αναφέρει μια Mαρκοβιανή διαδικασία. Με άλλα λόγια η συνάρτηση αυτή μας δείχνει τη μετάβαση από το σημείο y στο σημείο x. Αξίζει να σημειώσουμε εδώ πως μια τέτοια διαδικασία (Markov) αποτελεί ένα ιδιαίτερο είδος στοχαστικής διαδικασίας όπου μόνο η παρούσα αξία μιας μεταβλητής έχει σημασία για την πρόβλεψη του μέλλοντος. 19

39 2.3.1 Μέση τιμή και διασπορά της Κίνησης Brown Aν Β t μια μονοδιάστατη τυπική κίνηση Brown, τότε λαμβάνοντας τη μέση τιμή ως προς το μέτρο Wiener που ορίσαμε παραπάνω και αν f συνεχής συνάρτηση στους πραγματικούς, έχουμε: Χρησιμοποιώντας αυτή την ποσότητα θα υπολογίσουμε τη μέση τιμή της Β t. Σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτει ότι : αφού ολοκληρώνουμε περιττή συνάρτηση σε διάστημα συμμετρικό ως προς το 0. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την ποσότητα : Αποδείξαμε λοιπόν ότι : Στην επόμενη σελίδα ακολουθεί ένα σημαντικό θεώρημα για την κίνηση Brown. 20

40 2.3.1.a Θεώρημα Αν Β(t) είναι μια μονοδιάστατη κίνηση Brown ( ή αλλιώς διαδικασία Wiener ), τότε για κάθε ακέραιο αριθμό n, με 0 = t 0 t 1 t n (χρονικές στιγμές ), και f :, έχουμε ότι : Απόδειξη Θέτουμε X i =B(t i ) και Υ i =X i -X i-1, όπου i=1,2,,n. Επίσης ορίζουμε h ( y 1,, y n ) = f ( y 1, y 1 + +y n ). Τότε έχουμε : Για τη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι οι τ.μ. Υ i = Β(t i )-B(t i-1 ) είναι ανεξάρτητες και κάθε Υ i ~ Ν( 0, t i -t i-1 ). Επίσης κάναμε αλλαγή μεταβλητών y i = x i -x i-1 με i= 1,2,,n και x 0 =0. Η Ιακωβιανή για αυτή την αλλαγή μεταβλητών είναι ίση με Οι ιδιότητες των μεταβολών της κίνησης Brown Σύμφωνα με την δεύτερη ιδιότητα της κίνησης Brown ( B(t)-B(s)~N(0,t-s) ) μπορούμε να δούμε ότι η κατανομή των μεταβολών αυτών έχει ως εξής : 21

41 Συνεπώς η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής B t -B s είναι η g(x, t-s 0). Έτσι έχουμε ότι εάν f: είναι συνεχής συνάρτηση, από το οποίο όπως είναι αναμενόμενο προκύπτει ότι: Επίσης εάν F s =σ( Β u,u s) είναι η σ-άλγεβρα που παράγεται από την κίνηση Brown μέχρι τη χρονική στιγμή s, τότε λόγω της τρίτης ιδιότητας που είδαμε παραπάνω, έχουμε ότι η διαφορά B t -B s είναι ανεξάρτητη της σ-άλγεβρας F s, δηλαδή Σε αυτό το σημείο είναι σκόπιμο να παρατηρήσουμε ότι η διαφορά B t -B s είναι ανεξάρτητη της σ-άλγεβρας F s και όχι η ίδια η B t. Πράγματι έχουμε: αφού η B t είναι F s -μετρήσιμη, ενώ εάν η B t ήταν ανεξάρτητη της F s, τότε θα είχαμε 2.5 Η χαρακτηριστική συνάρτηση της Κίνησης Brown και των μεταβολών της Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της κίνησης Brown μπορούμε να υπολογίσουμε την χαρακτηριστική της συνάρτηση καθώς και την χαρακτηριστική συνάρτηση των 22

42 μεταβολών της. Θα υπολογίσουμε πρώτα την χαρακτηριστική συνάρτηση των μεταβολών της. Μετατρέποντας τον εκθέτη, έχουμε: Έτσι λοιπόν: όπου θέτοντας και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι παίρνουμε τελικά : 23

43 Για να υπολογίσουμε τώρα τη χαρακτηριστική συνάρτηση της κίνησης Brown αρκεί να θέσουμε s=0 και επειδή Β 0 =0 (τυπική κίνηση Brown), η σχέση στην οποία καταλήξαμε πιο πάνω γίνεται : 2.6 Κατασκευάζοντας μια μονοδιάστατη κίνηση Brown Βασικό είναι να αποδείξουμε σε πρώτη φάση την ύπαρξη της κίνησης Brown. Η μέθοδος που θα ακολουθήσουμε, περιλαμβάνει μια έξυπνη επιλογή ορθοκανονικής βάσης, η οποία αποτελεί την επίσημη έκφραση του «λευκού θορύβου» στο χώρο των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, που ορίζονται στο διάστημα [0,1]. Αξίζει εδώ να σημειώσουμε πως, μιλώντας για λευκό θόρυβο εννοούμε την παράγωγο της κίνησης Brown ως προς το χρόνο. Στην πραγματικότητα ο λευκός θόρυβος δεν υπάρχει, λόγω του ότι η παράγωγος της κίνησης Brown δεν ορίζεται πουθενά. Στη συνέχεια θα ολοκληρώσουμε την έκφραση αυτή ως προς το χρόνο και θα δείξουμε πως η σειρά συγκλίνει. Μετά από αυτά τα βήματα θα έχουμε κατασκευάσει μια κίνηση Brown ή αλλιώς μια διαδικασία Wiener. Πριν όμως προχωρήσουμε, παραθέτουμε το παρακάτω λήμμα a Λήμμα Έστω Β(t) μια μονοδιάστατη κίνηση Brown. Tότε ισχύει: E( B(t)B(s)) = t s = min{s,t} για t 0, s 0. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι t s 0. Τότε έχουμε: 24

44 Χρησιμοποιώντας επομένως ότι Ε(B(t)) = 0 και Ε(Β(t)B(s)) = min(t,s) (μιας και B(t) ακολουθεί την κατανομή Gauss), θα προχωρήσουμε στην κατασκευή της κίνησης Brown που χρησιμοποιείται σε προσομοιώσεις. Έστω {η k } kϵ N μια συλλογή από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κατανομή Gauss, με μέση τιμή μηδέν και μοναδιαία διακύμανση, και {ψ k (t)} k ϵ N οποιαδήποτε ορθοκανονική βάση στο χώρο των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, οι οποίες όμως δεν είναι τυχαίες μεταβλητές. Όταν μιλάμε για ορθοκανονικότητα εννοούμε πως ισχύει η παρακάτω σχέση: Άρα οποιαδήποτε συνάρτηση f(t) από τη συλλογή αυτή, μπορεί να αναλυθεί ως f(t) = Σ k ϵ N α k ψ k (t), όπου α k κατάλληλοι συντελεστές. Θεωρώντας την ξ(t) έχουμε ότι: Eίναι εύκολο να δούμε στη συνέχεια ότι ο συντελεστής α k μπορεί να γραφεί ως 25

45 Yποθέτουμε ότι οι συντελεστές αυτοί είναι ανεξάρτητοι και ακολουθούν την κατανομή Gauss με Ε(α k )=0. Επομένως για να είμαστε συνεπείς,για k, l διαφορετικά μεταξύ τους έχουμε την ακολουθη σχέση: Λόγω της ορθογωνιότητας που έχουμε ήδη αναφέρει ισχύει : Ορίζεται στη συνέχεια η παρακάτω στοχαστική διαδικασία, η οποία θα αποδείξουμε ότι αποτελεί μια κίνηση Brown στο διάστημα [0,1]. Για να το αποδείξουμε αυτό, αρκεί να επαληθεύσουμε ότι η διαδικασία αυτή έχει τη σωστή συνδιακύμανση ανά ζεύγος, από τη στιγμή που η τυχαία μεταβλητή B t είναι γραμμικός συνδυασμός τυχαίων μεταβλητών Gauss (η k ), με μέση τιμή μηδέν. Επομένως και η B t πρέπει να είναι τυχαία μεταβλητή Gauss και να έχει μέση τιμή μηδέν. Έχουμε : 26

46 Εδώ επικαλεστήκαμε την ανεξαρτησία των τυχαίων μεταβλητών {η k }. Στη συνέχεια θα ορίσουμε μια δείκτρια συνάρτηση χ τ (t) στο διάστημα [0,τ], η οποία θα μας βοηθήσει να ερμηνεύσουμε τα παραπάνω. Έστω χ τ (t) = 1 όταν tϵ [0,τ], και χ τ (t) = 0 διαφορετικά. Για tϵ [0,τ], μπορούμε να εκφράσουμε τη δείκτρια συνάρτηση ως εξής: Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της ορθογωνιότητας για την ορθοκανονική βάση {ψ k (t)} που έχουμε επιλέξει, η παραπάνω σχέση με τη βοήθεια της δείκτριας συνάρτησης μπορεί να γραφεί και ως : Μια συνηθισμένη επιλογή για τις συναρτήσεις {ψ k (t)} είναι η βάση Haar. Η πρώτη συνάρτηση σε αυτή τη βάση είναι ίση με 1 στο διάστημα [0, ½] και -1 στο διάστημα [½,1], η δεύτερη συνάρτηση είναι ίση με 2 στο [0, ¼] και -2 στο [ ¼, ½] και ούτω καθ εξής. Η χρησιμότητα των συναρτήσεων αυτών έγκειται στο ότι βοηθούν να κατασκευάσουμε μια γέφυρα Brown, η οποία αποτελεί μια διαδικασία Wiener με αρχική και τελική τιμή ίση με μηδέν. 27

47 2.7 Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις Στο σημείο αυτό θα αναφέρουμε περιληπτικά την έννοια των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων, τις οποίες και θα χρησιμοποιήσουμε στα μοντέλα των επιτοκίων παρακάτω, προκειμένου να κάνουμε πρόβλεψη για τα δεδομένα που θα αντλήσουμε. Η γενική μορφή που έχει μια στοχαστική διαφορική εξίσωση [2] είναι η παρακάτω : με αρχική συνθήκη Χ ( 0 ) = x 0. Όπως ήδη γνωρίζουμε η ποσότητα dw(t) αποτελεί μια διαδικασία Wiener ή αλλίως κίνηση Brown όπως ορίσαμε και παραπάνω. Θα μπορούσαμε να πούμε στο σημείο αυτό πως η μορφή που θα συναντήσουμε στα υποδείγματα των επιτοκίων θα είναι όπως η παραπάνω με την διαφορά ότι στην θέση των b και Β θα έχουμε τις ποσότητες των μ και σ αντίστοιχα. Με άλλα λόγια θα έχουμε μια μορφή όπως η παρακάτω : όπου r ( 0) = r 0. Θα πρέπει εδώ να αναφέρουμε πως οι ποσότητες μ και σ εκφράζονται και αυτές σε συνάρτηση με τον χρόνο t και το επιτόκιο r. Μέσω της στοχαστικής αυτής μορφής, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του ομολόγου κατά την χρονική στιγμή t. Έχουμε : Δεν θα ασχοληθούμε όμως περαιτέρω με τον υπολογισμό της ποσότητας αυτής, καθώς είναι πέρα από τους σκοπούς της εργασίας αυτής. 28

48 2.8 Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών ( Euler ) Για την επίλυση των παραπάνω στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών Euler Runge-Kutta, η οποία μας δίνει προσεγγιστικές λύσεις. Θα κάνουμε μια περιληπτική αναφορά για τη μέθοδο αυτή αμέσως παρακάτω. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες, αλλά πλέον συνηθισμένες και διαδεδομένες υπολογιστικές τεχνικές επίλυσης στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Βασικό χαρακτηριστικό της μεθόδου αυτής σε σχέση με την επίλυση των εξισώσεων αυτών είναι ότι περιγράφουν προβλήματα οριακών τιμών, χρησιμοποιώντας την σειρά Taylor και την πολυωνυμική παρεμβολή. Εάν το σύστημα που επιλύουμε με τις πεπερασμένες διαφορές, έχει μοναδική λύση, που συνήθως έχει, οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής (εδώ οι τιμές των επιτοκίων), θεωρούνται προσεγγιστικές σε σχέση με αυτές της αναλυτικής λύσης. Η καλή ή κακή προσέγγιση ανάμεσα ανάμεσα στην υπολογιστική ( αριθμητική ) και πραγματική ( αναλυτική αν υπάρχει ) λύση εξαρτάται από την συγκεκριμένη μεθοδολογία πεπερασμένων διαφορών που υιοθετείται και αξιολογείται μελετώντας την σύγκλιση, την ευστάθεια και την συνοχή του αριθμητικού σχήματος. Όλα αυτά που έχουμε παραθέσει μέχρι στιγμής, θα τα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια σε συνδυασμό με τα δεδομένα που θα αντλήσουμε, προκειμένου να κάνουμε πρόβλεψη για τις τιμές των επιτοκίων σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο. Ας δούμε στο σημείο αυτό ένα παράδειγμα επίλυσης μιας στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Ας θεωρήσουμε την κανονικοποιημένη εξίσωση της θερμότητας σε μια διάσταση, με τις παρακάτω ομογενείς οριακές συνθήκες Dirichlet : 29

49 όπου η U (0, t) είναι η οριακή συνθήκη και η U (0, x) η αρχική συνθήκη. Χρησιμοποιούμε τις διαμερίσεις x 0, x 1, x j και t 1, t 2,, t N του χώρου και του χρόνου. Οι διαμερίσεις αυτές είναι ομοιόμορφες, οπότε η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων του χώρου, όπως και οι διαφορές μεταξύ δύο διαδοχικών χρονικών στιγμών να είναι k. Αυτό που θέλουμε είναι να προσεγγίσουμε αριθμητικά τις ποσότητες που έχουν την παρακάτω μορφή : Η επαναναληπτική διαφορά που θα χρησιμοποιήσουμε εκφράζεται από την παρακάτω σχέση : Η μέθοδος αυτή αποτελεί μια μέθοδο που εκφράζεται ρητά στην επίλυση της εξίσωσης της θερμότητας. Λύνοντας ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων της παρακάτω μορφής λαμβάνουμε την ποσότητα Το παραπάνω σχήμα είναι πάντοτε αριθμητικά σταθερό και συγκλίνει και τα σφάλματα είναι γραμμικά ανά χρονικό βήμα, και τετραγωνικά ανά βήμα στον χώρο. Ισχύει η σχέση : 30

50 Μπορούμε να δούμε σχηματικά ότι έχουμε περιγράψει μέχρι στιγμής παρακάτω στο Σχήμα 1. Σχήμα 1. 31

51 32

52 3. ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ 3.1 Εισαγωγή Η ελεύθερη ροή των κεφαλαίων είναι απαραίτητη για τη σύγχρονη παγκόσμια ολοκληρωμένη οικονομία και θα πρέπει να εξυπηρετεί τον κύριο οικονομικό στόχο της αποτελεσματικής κατανομής των σπάνιων πόρων. Ο βραχυπρόθεσμος κίνδυνος μείον το επιτόκιο είναι ο βασικός δείκτης του συνολικού κόστους του χρήματος. Το επιτόκιο, όντας ελεύθερο από συγκεκριμένους κινδύνους καθορίζεται μόνο από τις δυνάμεις της προσφοράς και της ζήτησης στην παγκόσμια αγορά κεφαλαίου και ως εκ τούτου, η έννοια αυτή είναι στην πραγματικότητα ένας από τους κύριους δείκτες της απόδοσης της παγκόσμιας οικονομίας. Το βραχυπρόθεσμο επιτόκιο μηδενικού κινδύνου αποτελεί τη βάση για τον υπολογισμό των άλλων συντελεστών με διαφορετικές μακροπρόθεσμες δομές και παράγοντες κινδύνου. Τα στοχαστικά μοντέλα των επιτοκίων [4] κάνουν εμφανή την παρουσία τους στην τιμολόγηση και στην αποτιμήση των παράγωγων περιουσιακών στοιχείων. Γι 'αυτό οι οικονομολόγοι και οι μαθηματικοί κάνουν μεγάλες προσπάθειες για να μοντελοποιήσουν τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια. Η πιο δεδομένη μέθοδος για την τιμολόγηση βασίζεται στη θεωρία των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων, όπως θα δούμε και παρακάτω. 3.2 Μοντέλα επιτοκίων ( Interest Rate Models ) Τα μοντέλα των επιτοκίων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μοντελοποιήσουμε τα δυναμικά της καμπύλης των αποδόσεων, κάτι που είναι πολύ βασικό για την τιμολόγηση και την αντιστάθμιση των τίτλων σταθερού εισοδήματος, αλλά και από μακροοικονομική σκοπιά. Παραδοσιακά, τα μοντέλα αυτά καθορίζουν μια στοχαστική διαδικασία για τη δυναμική διάρθρωση των όρων που χρησιμοποιούμε, στο χρόνο, ο οποίος θεωρείται 33

53 συνεχής. Είναι πολύ σημαντικό να αναπτύξουμε νέες και καινοτόμες λύσεις για τη μοντελοποίηση της δομής αυτής. Τέλος, λόγω της στοχαστικής διαδικασίας, το αποτέλεσμα εξαρτάται από μια σταθερή και μια μεταβλητή ποσότητα, οι οποίες μας δίνουν την παρακάτω μορφή: Εδώ ο πρώτος όρος είναι ντετερμινιστικός και καλείται τάση, ενώ ο δεύτερος όρος περιγράφει την τυχαιότητα της διαδικασίας ή αλλιώς μεταβλητότητα. Η μεταβλητότητα αυτή όπως θα δούμε μπορεί να είναι είτε ντετερμινιστική είτε στοχαστική. 3.3 Καμπύλη αποδόσεων ( Yield curve ) Ο όρος της διάρθρωσης των επιτοκίων ( term structure ) απεικονίζει τις αποδόσεις των τίτλων οι οποίοι διαφέρουν μόνο ως προς το χρόνο μέχρι τη λήξη τους. Η καμπύλη των αποδόσεων κατασκευάζεται από τις αποδόσεις αναφοράς σταθερού εισοδήματος ομολόγων μηδενικού τοκομεριδίου χωρίς αθέτηση [3]. Οι τίτλοι που εκδίδονται από την κυβέρνηση συχνά χρησιμοποιούνται ως σημείο αναφοράς, δεδομένου ότι θεωρούνται μηδενικού κινδύνου και ως εκ τούτου είναι ομοιογενείς σε κάθε πτυχή, εκτός από τις αποδόσεις και τη λήξη τους. Η διάρθρωση απεικονίζεται γραφικά, σαν κάθε πληρωμή τοκομεριδίου να ήταν ένα ομόλογο μηδενικού τοκομεριδίου που ωριμάζει κατά την ημερομηνία πληρωμής του. Αυτό είναι πολύ σημαντικό, από τη στιγμή που τα ομόλογα μηδενικού τοκομεριδίου είναι σπάνια. Γιατί όμως είναι σημαντική η καμπύλη των αποδόσεων ; Η καμπύλη των αποδόσεων είναι πολύ σημαντική τόσο για την οικονομική, όσο και για τη νομισματική οικονομία, και λειτουργεί σας σύνδεσμος μεταξύ τους. Από οικονομική σκοπιά, η καμπύλη αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αντιστάθμιση χαρτοφυλακίων ενάντια στον κίνδυνο, και για την τιμολόγηση παραγώγων. 34

54 Τα επιτόκια μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την προεξόφληση στο χρόνο, και είναι επομένως η βάση τιμολόγησης όλων των χρηματοοικονομικών μέσων. Κατ αυτό τον τρόπο μπορούμε στη συνέχεια να ενσωματώσουμε τις επενδυτικές αποφάσεις. Όσον αφορά τη διαχείριση του κινδύνου, ο όρος της διάρθρωσης διαδραματίζει καθοριστικό ρόλο. Κατά τον υπολογισμό της αξίας σε κίνδυνο, για ένα χαρτοφυλάκιο σταθερού εισοδήματος, μπορεί κανείς να προσομοιώσει διαφορετικές διαδρομές για τον όρο της δομής, με ένα μοντέλο επιτοκίου και στη συνέχεια να δημιουργήσει μια κατανομή των τιμών για το υποκείμενου χαρτοφυλάκιο σε κάθε σενάριο. Από μακροοικονομική άποψη, ο όρος δομή μπορεί να ερμηνευθεί ως εκτίμηση των μελλοντικών βραχυπρόθεσμων επιτοκίων, του πληθωρισμού και της οικονομικής δραστηριότητας. Αυτές οι προβλέψεις χρησιμοποιούνται από τις εταιρείες στις επενδυτικές αποφάσεις, από τους καταναλωτές στις αποφάσεις εξοικονόμησης και από τους οικονομολόγους στις αποφάσεις πολιτικής. Αξίζει να πούμε σε αυτό το σημείο ότι η κεντρική τράπεζα μπορεί να προσαρμόσει το επιτόκιο στο βραχυπρόθεσμο κομμάτι της καμπύλης αποδόσεων, αλλά αυτό που έχει σημασία για την πραγματική οικονομία είναι οι μακροπρόθεσμες αποδόσεις. Προκειμένου να διεξάγει αποτελεσματική νομισματική πολιτική μια κεντρική τράπεζα μπορεί να χρησιμοποιήσει ένα μοντέλο επιτοκίου έτσι ώστε να γίνουν κατανοητές οι κινήσεις των βραχυπρόθεσμων επιτοκίων μεταφρασμένες σε κινήσεις μακροπρόθεσμων επιτοκίων. Εμπειρικές μελέτες δείχνουν ότι η διάρθρωση μπορεί να προβλέψει την αύξηση της κατανάλωσης, καλύτερα από παλινδρομήσεις και εξαιρετικά πολύπλοκα οικονομετρικά μοντέλα Παράγοντες που επηρεάζουν την καμπύλη των αποδόσεων Έχοντας κατά νου ότι οι τιμές και οι αποδόσεις κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις, οι παράγοντες που επηρεάζουν την καμπύλη των αποδόσεων διαφέρουν μεταξύ τους. Τα μακροπρόθεσμα επιτόκια έχουν την τάση να επηρεάζονται από τις προσδοκίες για την Αμερικανική Πολιτική της Federal Reserve. Τα βραχυπρόθεσμα επιτόκια τείνουν να αυξάνονται όταν η πολιτική αυτή αναμένεται 35

55 να αυξήσει τα επιτόκια, και το αντίστοιχο ( πτώση των βραχυπρόθεσμων επιτοκίων δηλαδή ) όταν αναμένεται η μείωση τους. Τα ομόλογα μεγαλύτερης διάρκειας (ή το «μακρύ άκρο» της καμπύλης) επηρεάζονται σε κάποιο βαθμό από τις προοπτικές για την πολιτική που θα ακολουθήσει η Fed, αλλά και άλλοι παράγοντες παίζουν ρόλο στo να προκαλούν την κίνηση των μακροπρόθεσμων αποδόσεων προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Πρωτίστως μεταξύ αυτών είναι οι προοπτικές για τον πληθωρισμό, την οικονομική ανάπτυξη, τους παράγοντες προσφοράς και ζήτησης, καθώς και η γενική στάση των επενδυτών απέναντι στον κίνδυνο. Πολύ γενικά, η επιβράδυνση της ανάπτυξης και ο χαμηλότερος πληθωρισμός θα βοηθήσουν την απόδοση των μακροπρόθεσμων ομολόγων (οι αποδόσεις πέφτουν). Ταχύτερη ανάπτυξη και αύξηση του πληθωρισμού, θα βλάψουν την απόδοση (και θα προκαλέσουν την αύξηση των αποδόσεων). Όλοι αυτοί οι παράγοντες επηρεάζουν ταυτόχρονα την κατεύθυνση των μακροπρόθεσμων ομολόγων. Σημαντικότατο ρόλο σε αυτό διαδραματίζει και η διάθεση ανάληψης του κινδύνου Το σχήμα της καμπύλης των αποδόσεων Η καμπύλη αποδόσεων [3] δείχνει αυτό που ονομάζεται "η χρονική διάρθρωση των επιτοκίων», ή την ιδέα ότι η ημερομηνία λήξης του ομολόγου και η απόδοση είναι συνδέονται. Η καμπύλη αποδόσεων μπορεί φυσικά να έχει οποιοδήποτε σχήμα, αλλά υπάρχουν κάποιες βασικές περιπτώσεις για το πώς θα πρέπει να είναι σε διαφορετικές καταστάσεις. Υπάρχουν τέσσερα κύρια πρότυπα που μπορούν να χαρακτηρίσουν τη διάρθρωση: κανονική, επίπεδη, ανεστραμμένη και ογκώδη. Τα διάφορα σχήματα αντιπροσωπεύουν διαφορετικές προσδοκίες για το μέλλον. Υπό κανονικές συνθήκες αγοράς οι επενδυτές δεν αναμένουν σημαντικές αλλαγές στην οικονομία και πιστεύουν ότι η οικονομία θα συνεχίσει να αυξάνεται στον κανονικό ρυθμό που επικρατεί. Κατά τη διάρκεια αυτών των συνθηκών, οι επενδυτές αναμένουν υψηλότερες αποδόσεις για τους τίτλους με μεγαλύτερες διάρκειες. Αυτή είναι μια πολύ λογική υπόθεση δεδομένου ότι τα βραχυπρόθεσμα μέσα γενικά 36