{F W t } 0 t T = σ(w k (s), s t, 1 k) L 2 ([0, T ])

Transcript

1 Αναλυτικές και Αριθμητικές Λύσεις Υπερβολικών Στοχαστικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos Ε. Α. Καλπινέλλη Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σεπτέμβριος 2011

2 Εισαγωγή Μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos, κατασκευάζουμε λύσεις μίας ευρείας οικογένειας υπερβολικών στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Προτείνουμε ένα νέο αριθμητικό σχήμα για την επίλυση των υπερβολικών αυτών εξισώσεων που βασίζεται στο ανάπτυγμα σε Wiener Chaos, ενώ παράγονται a priori και a posteriori αποτελέσματα σχετικά με τη σύγκλιση της μεθόδου. Η προτεινόμενη αριθμητική μέθοδος εφαρμόζεται για την επίλυση του υποδείγματος των Heath-Jarrow-Morton για τα επιτόκια και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά που παράγονται με τη μέθοδο Monte Carlo.

3 Εισαγωγή Μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos, κατασκευάζουμε λύσεις μίας ευρείας οικογένειας υπερβολικών στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Προτείνουμε ένα νέο αριθμητικό σχήμα για την επίλυση των υπερβολικών αυτών εξισώσεων που βασίζεται στο ανάπτυγμα σε Wiener Chaos, ενώ παράγονται a priori και a posteriori αποτελέσματα σχετικά με τη σύγκλιση της μεθόδου. Η προτεινόμενη αριθμητική μέθοδος εφαρμόζεται για την επίλυση του υποδείγματος των Heath-Jarrow-Morton για τα επιτόκια και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά που παράγονται με τη μέθοδο Monte Carlo.

4 Εισαγωγή Μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos, κατασκευάζουμε λύσεις μίας ευρείας οικογένειας υπερβολικών στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Προτείνουμε ένα νέο αριθμητικό σχήμα για την επίλυση των υπερβολικών αυτών εξισώσεων που βασίζεται στο ανάπτυγμα σε Wiener Chaos, ενώ παράγονται a priori και a posteriori αποτελέσματα σχετικά με τη σύγκλιση της μεθόδου. Η προτεινόμενη αριθμητική μέθοδος εφαρμόζεται για την επίλυση του υποδείγματος των Heath-Jarrow-Morton για τα επιτόκια και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά που παράγονται με τη μέθοδο Monte Carlo.

5 Το ανάπτυγμα σε Wiener Chaos - Γενικό Πλαίσιο W = {w k = w k (t), k 1, t [0, T ]} Κίνηση Brown W = (Ω, F, P) Χώρος πιθανοτήτων εφοδιασμένος με τη διήθηση {F W t } 0 t T = σ(w k (s), s t, 1 k) m = {m k ( ), k 1} L ([0, T ]) Ορθοκανονική βάση του L 2 ([0, T ]) ξ ik = T 0 m i(s)dw k (s) Ανεξάρτητες κανονικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές { J = α = (αi k, i, k 1) : αk i {0, 1, 2,... }, } i,k αk i < { Ξ = ξ α = 1 } α! i,k H α (ξ k i ik ) όπου α! = i,k αk i! και H n(t) είναι το πολυώνυμο Hermite τάξης n. X χώρος Hilbert Παρατήρηση: Αν α = 0, τότε ξ α = 1.

6 Θεώρημα Cameron - Martin Cameron - Martin (1947) Η συλλογή {ξ α, α J } είναι μία ορθοκανονική βάση του L 2 (Ω, F W T, P). Για u L 2 (Ω, F W T, P; X ) και u α = E[uξ α ] X, u = α J u α ξ α και E[ u 2 X ] = α J u α 2 X. Ορισμός ( ) l α (i, k) = j { max(α k i 1) α l j αν i = j και k = l αλλιώς

7 Θεώρημα Cameron - Martin Cameron - Martin (1947) Η συλλογή {ξ α, α J } είναι μία ορθοκανονική βάση του L 2 (Ω, F W T, P). Για u L 2 (Ω, F W T, P; X ) και u α = E[uξ α ] X, u = α J u α ξ α και E[ u 2 X ] = α J u α 2 X. Ορισμός ( ) l α (i, k) = j { max(α k i 1) α l j αν i = j και k = l αλλιώς

8 Οι χώροι Wiener Chaos με βάρος Συναρτήσεις Βαρών r α, α J ακολουθία θετικών αριθμών R φραγμένος γραμμικός τελεστής L 2 (W; X ), με (Ru) α = r α u α, u α X. Ορισμός: Χώροι Wiener Chaos με βάρος Ο χώρος Wiener Chaos με βάρος RL 2 (W; X ) ορίζεται ως { RL 2 (W; X ) := u : u 2 RL 2 (W;X ) = Ru 2 L 2 (W;X ) = } rα 2 u α 2 X < α J όπου X χώρος Hilbert. Οι χώροι Wiener Chaos με βάρος είναι χώροι Hilbert, ενώ η επιλογή των βαρών εξαρτάται αποκλειστικά από τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος.

9 Οι χώροι Wiener Chaos με βάρος Συναρτήσεις Βαρών r α, α J ακολουθία θετικών αριθμών R φραγμένος γραμμικός τελεστής L 2 (W; X ), με (Ru) α = r α u α, u α X. Ορισμός: Χώροι Wiener Chaos με βάρος Ο χώρος Wiener Chaos με βάρος RL 2 (W; X ) ορίζεται ως { RL 2 (W; X ) := u : u 2 RL 2 (W;X ) = Ru 2 L 2 (W;X ) = } rα 2 u α 2 X < α J όπου X χώρος Hilbert. Οι χώροι Wiener Chaos με βάρος είναι χώροι Hilbert, ενώ η επιλογή των βαρών εξαρτάται αποκλειστικά από τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος.

10 Οι χώροι Wiener Chaos με βάρος Συναρτήσεις Βαρών r α, α J ακολουθία θετικών αριθμών R φραγμένος γραμμικός τελεστής L 2 (W; X ), με (Ru) α = r α u α, u α X. Ορισμός: Χώροι Wiener Chaos με βάρος Ο χώρος Wiener Chaos με βάρος RL 2 (W; X ) ορίζεται ως { RL 2 (W; X ) := u : u 2 RL 2 (W;X ) = Ru 2 L 2 (W;X ) = } rα 2 u α 2 X < α J όπου X χώρος Hilbert. Οι χώροι Wiener Chaos με βάρος είναι χώροι Hilbert, ενώ η επιλογή των βαρών εξαρτάται αποκλειστικά από τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος.

11 Ειδικές περιπτώσεις χώρων Wiener Chaos με βάρος Ο χώρος L 2,Q. Ειδικές Περιπτώσεις Συναρτήσεων Βαρών Q = q 1, q 2,... : ακολουθία θετικών αριθμών q α = i,k 1 qαk i k Ορισμός : Συνάρτηση βαρών Ο χώρος Wiener Chaos με βάρος L 2,Q (W; X ) ορίζεται ως { L 2,Q (W; X ) := u : u 2 L (2,Q) (W;X ) = } q 2α u α 2 X < α J όπου X χώρος Banach. Ομαλότητα λύσεων q k = q = 1 L 2,Q (W; X ) = L 2 (W; X ) q k q > 1 L 2,Q (W; X ) L 2 (W; X ) q k q < 1 L 2,Q (W; X ) (S) 0, γ

12 Ειδικές περιπτώσεις χώρων Wiener Chaos με βάρος Ο χώρος L 2,Q. Ειδικές Περιπτώσεις Συναρτήσεων Βαρών Q = q 1, q 2,... : ακολουθία θετικών αριθμών q α = i,k 1 qαk i k Ορισμός : Συνάρτηση βαρών Ο χώρος Wiener Chaos με βάρος L 2,Q (W; X ) ορίζεται ως { L 2,Q (W; X ) := u : u 2 L (2,Q) (W;X ) = } q 2α u α 2 X < α J όπου X χώρος Banach. Ομαλότητα λύσεων q k = q = 1 L 2,Q (W; X ) = L 2 (W; X ) q k q > 1 L 2,Q (W; X ) L 2 (W; X ) q k q < 1 L 2,Q (W; X ) (S) 0, γ

13 Ειδικές περιπτώσεις χώρων Wiener Chaos με βάρος Ο χώρος L 2,Q. Ειδικές Περιπτώσεις Συναρτήσεων Βαρών Q = q 1, q 2,... : ακολουθία θετικών αριθμών q α = i,k 1 qαk i k Ορισμός : Συνάρτηση βαρών Ο χώρος Wiener Chaos με βάρος L 2,Q (W; X ) ορίζεται ως { L 2,Q (W; X ) := u : u 2 L (2,Q) (W;X ) = } q 2α u α 2 X < α J όπου X χώρος Banach. Ομαλότητα λύσεων q k = q = 1 L 2,Q (W; X ) = L 2 (W; X ) q k q > 1 L 2,Q (W; X ) L 2 (W; X ) q k q < 1 L 2,Q (W; X ) (S) 0, γ

14 Το ανάπτυγμα σε Wiener Chaos - Θεώρημα Ισοδυναμίας Χώροι Hilbert: V H V V = L 2 ((0, T ); V ) Θεώρημα Ισοδυναμίας Το τυχαίο πεδίο u RL 2 (W; V), όπου u = α J u αξ α ικανοποιεί τη Στοχαστική Διαφορική Εξίσωση (ΣΔΕ) t t ( u(t) = u 0 + (Au+f )(s)ds+ M k u+g k )(s)dw k (s), 0 t T 0 0 k 1 όπου A, M k : V V f, g k RL 2 (W; V ) και u 0 RL 2 (W; H) αν και μόνον αν 1. u α C([0, T ]; H) 2. u α ικανοποιεί τον Διαδότη, όπου ορίζεται μονοσήμαντα ως η λύση του συστήματος t ( t u α (t) = u 0,α + Au + f )α (s)ds+ αi k(m ku + g k ) α (i,k)(s)m i (s)ds, 0 για κάθε t [0, T ] και α J στον V. 0 i,k

15 Wiener Chaos λύσεις υπερβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων Εστω V = H 1 0 (Rn ; R m ), H = L 2 (R n ; R m ) και η υπερβολική στοχαστική διαφορική εξίσωση T T u(t) = u(0)+ A h (s)u(s) + f (s, x)ds+ 0 0 (M k u(s) + g k (s))dw(s) όπου A h (t) t [0,T ] υπερβολικοί τελεστές A h (t)u(t) = n j=1 B j(t)u xj (t) και B j (x, t) συμμετρικοί πίνακες και M k : V V. Ορισμός: Λύσεις Wiener Chaos Αν u = α J u αξ α την Στοχαστική Διαφορική Εξίσωση (ΣΔΕ), οι συντελεστές του αναπτύγματος σε σειρά Fourier ικανοποιούν τον Διαδότη. k 1

16 Wiener Chaos λύσεις υπερβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων Εστω V = H 1 0 (Rn ; R m ), H = L 2 (R n ; R m ) και η υπερβολική στοχαστική διαφορική εξίσωση T T u(t) = u(0)+ A h (s)u(s) + f (s, x)ds+ 0 0 (M k u(s) + g k (s))dw(s) όπου A h (t) t [0,T ] υπερβολικοί τελεστές A h (t)u(t) = n j=1 B j(t)u xj (t) και B j (x, t) συμμετρικοί πίνακες και M k : V V. Ορισμός: Λύσεις Wiener Chaos Αν u = α J u αξ α την Στοχαστική Διαφορική Εξίσωση (ΣΔΕ), οι συντελεστές του αναπτύγματος σε σειρά Fourier ικανοποιούν τον Διαδότη. k 1

17 Wiener Chaos λύσεις υπερβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων μέσω της μεθόδου vanishing viscosity Βήματα Προσέγγιση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης μέσω της κατάλληλης ακολουθίας παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Εφαρμογή της μεθόδου Wiener Chaos στο παραβολικό πρόβλημα και προσδιορισμός των παραβολικών διαδοτών που εξασφαλίζουν την ύπαρξη λύσης του υπερβολικού προβλήματος. Εφαρμογή του Θεωρήματος Ισοδυναμίας για την κατασκευή της λύσης του υπερβολικού προβλήματος.

18 Wiener Chaos λύσεις υπερβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων μέσω της μεθόδου vanishing viscosity Βήματα Προσέγγιση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης μέσω της κατάλληλης ακολουθίας παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Εφαρμογή της μεθόδου Wiener Chaos στο παραβολικό πρόβλημα και προσδιορισμός των παραβολικών διαδοτών που εξασφαλίζουν την ύπαρξη λύσης του υπερβολικού προβλήματος. Εφαρμογή του Θεωρήματος Ισοδυναμίας για την κατασκευή της λύσης του υπερβολικού προβλήματος.

19 Wiener Chaos λύσεις υπερβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων μέσω της μεθόδου vanishing viscosity Βήματα Προσέγγιση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης μέσω της κατάλληλης ακολουθίας παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Εφαρμογή της μεθόδου Wiener Chaos στο παραβολικό πρόβλημα και προσδιορισμός των παραβολικών διαδοτών που εξασφαλίζουν την ύπαρξη λύσης του υπερβολικού προβλήματος. Εφαρμογή του Θεωρήματος Ισοδυναμίας για την κατασκευή της λύσης του υπερβολικού προβλήματος.

20 Wiener Chaos λύσεις υπερβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων μέσω της μεθόδου vanishing viscosity Η υπερβολική στοχαστική διαφορική εξίσωση προσεγγίζεται από την ακολουθία παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων u ɛ (t) = u(0)+ T όπου A p (t) t [0,T ] με 0 A p (s)u ɛ (s) + f (s, x)ds+ A p (t)u ɛ (t) = T 0 (M k u ɛ (s) + g k (s))dw(s) k 1 n B j (t)ux ɛ j (t) + ɛ u ɛ (t) j=1 Οι συντελεστές της ακολουθίας των παραβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων ικανοποιούν τον παραβολικό Διαδότη t t uα(t, ɛ x) = u0,α+ ɛ (A p u ɛ ) α (s)ds+ αi k(m ku ɛ +g k ) α (i,k)(s)m i (s)ds α J και ɛ (0, 1]. 0 0 i,k

21 Wiener Chaos λύσεις υπερβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων μέσω της μεθόδου vanishing viscosity Θεώρημα - Υπαρξη και μοναδικότητα λύσεων για τον Διαδότη Εστω u 0,α V και f α, g k,α V. Τότε υπάρχει μοναδική λύση u α του υπερβολικού Διαδότη, τέτοια ώστε u α V (C[0, T ]; H) με u α H, α J. Θεώρημα - Υπαρξη και μοναδικότητα λύσεων της Υπερβολικής ΣΔΕ Εστω u 0 RL 2 (W; V ) και f, g k RL 2 (W; V) για κατάλληλα επιλεγμένο σώρο Wiener Chaos με βάρος. u RL 2 (W; V). Τότε υπάρχει μοναδική μεταβολική (variational) λύση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης u RL 2 (W; V). Η λύση μπορεί να γραφεί ως u = α J u αξ α, όπου u α ικανοποιεί τον Διαδότη.

22 Wiener Chaos λύσεις υπερβολικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων μέσω της μεθόδου vanishing viscosity Θεώρημα - Υπαρξη και μοναδικότητα λύσεων για τον Διαδότη Εστω u 0,α V και f α, g k,α V. Τότε υπάρχει μοναδική λύση u α του υπερβολικού Διαδότη, τέτοια ώστε u α V (C[0, T ]; H) με u α H, α J. Θεώρημα - Υπαρξη και μοναδικότητα λύσεων της Υπερβολικής ΣΔΕ Εστω u 0 RL 2 (W; V ) και f, g k RL 2 (W; V) για κατάλληλα επιλεγμένο σώρο Wiener Chaos με βάρος. u RL 2 (W; V). Τότε υπάρχει μοναδική μεταβολική (variational) λύση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης u RL 2 (W; V). Η λύση μπορεί να γραφεί ως u = α J u αξ α, όπου u α ικανοποιεί τον Διαδότη.

23 Ομαλότητα λύσεων σε χώρους Wiener Chaos με βάρος Ειδικές Περιπτώσεις Λύσεις απείρως διαφορίσιμες κατά Malliavin Εστω u 0 L 2,Q (W; V ) και f, g k L 2,Q (W; V), όπου η συνάρτηση βαρών ικανοποιεί τη σχέση q k q > 1. Τότε υπάρχει μοναδική λύση u L 2,Q (W; V) της υπερβολικής ΣΔΕ που είναι απείρως διαφορίσιμη κατά Malliavin. Λύσεις σε χώρους Hida-Kondratiev Εστω u 0 S ρ,γ και f, g k S ρ,γ και η συνάρτηση βαρών δίνεται από τη σχέση q 2 α = (α!) ρ i,k 1 (2ik)γαk i, ρ, γ R. Τότε υπάρχει μοναδική λύση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης που ανήκει στο χώρο Hida-Kondratiev S ρ,γ.

24 Ομαλότητα λύσεων σε χώρους Wiener Chaos με βάρος Ειδικές Περιπτώσεις Λύσεις απείρως διαφορίσιμες κατά Malliavin Εστω u 0 L 2,Q (W; V ) και f, g k L 2,Q (W; V), όπου η συνάρτηση βαρών ικανοποιεί τη σχέση q k q > 1. Τότε υπάρχει μοναδική λύση u L 2,Q (W; V) της υπερβολικής ΣΔΕ που είναι απείρως διαφορίσιμη κατά Malliavin. Λύσεις σε χώρους Hida-Kondratiev Εστω u 0 S ρ,γ και f, g k S ρ,γ και η συνάρτηση βαρών δίνεται από τη σχέση q 2 α = (α!) ρ i,k 1 (2ik)γαk i, ρ, γ R. Τότε υπάρχει μοναδική λύση της υπερβολικής στοχαστικής διαφορικής εξίσωσης που ανήκει στο χώρο Hida-Kondratiev S ρ,γ.

25 Αριθμητική Μέθοδος Επίλυσης Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Το άπειρο άθροισμα των συντελεστών του Διαδότη u α είναι διπλά άπειρο, καθότι για κάθε N 1 υπάρχουν απείρως πολλοί πολυδείκτες α τέτοιοι ώστε α = N. Η περικοπή της στοχαστικής βάσης {ξ α } α J = 1 α! i,k H α (ξ k i ik ) ισοδυναμεί με την περικοπή του μήκους α = α J αk i = N. Η περικοπή της ντετερμινιστικής βάσης ισοδυναμεί με τη διατήρηση μόνο των n πρώτων {m i (s)} i 1. Η περικοπή του αριθμού των διαδικασιών που γεννούν την τυχαιότητα ισοδυναμεί με την περικοπή του αριθμού των κινήσεων Brown {w k } k r. Περικομμένο σύνολο πολυδεικτών: J n,r N = {α J : α N, και αk i = 0 i > n ή k > r}

26 Αριθμητική Μέθοδος Επίλυσης Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Το άπειρο άθροισμα των συντελεστών του Διαδότη u α είναι διπλά άπειρο, καθότι για κάθε N 1 υπάρχουν απείρως πολλοί πολυδείκτες α τέτοιοι ώστε α = N. Η περικοπή της στοχαστικής βάσης {ξ α } α J = 1 α! i,k H α (ξ k i ik ) ισοδυναμεί με την περικοπή του μήκους α = α J αk i = N. Η περικοπή της ντετερμινιστικής βάσης ισοδυναμεί με τη διατήρηση μόνο των n πρώτων {m i (s)} i 1. Η περικοπή του αριθμού των διαδικασιών που γεννούν την τυχαιότητα ισοδυναμεί με την περικοπή του αριθμού των κινήσεων Brown {w k } k r. Περικομμένο σύνολο πολυδεικτών: J n,r N = {α J : α N, και αk i = 0 i > n ή k > r}

27 Αριθμητική Μέθοδος Επίλυσης Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Το άπειρο άθροισμα των συντελεστών του Διαδότη u α είναι διπλά άπειρο, καθότι για κάθε N 1 υπάρχουν απείρως πολλοί πολυδείκτες α τέτοιοι ώστε α = N. Η περικοπή της στοχαστικής βάσης {ξ α } α J = 1 α! i,k H α (ξ k i ik ) ισοδυναμεί με την περικοπή του μήκους α = α J αk i = N. Η περικοπή της ντετερμινιστικής βάσης ισοδυναμεί με τη διατήρηση μόνο των n πρώτων {m i (s)} i 1. Η περικοπή του αριθμού των διαδικασιών που γεννούν την τυχαιότητα ισοδυναμεί με την περικοπή του αριθμού των κινήσεων Brown {w k } k r. Περικομμένο σύνολο πολυδεικτών: J n,r N = {α J : α N, και αk i = 0 i > n ή k > r}

28 Αριθμητική Μέθοδος Επίλυσης Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Το άπειρο άθροισμα των συντελεστών του Διαδότη u α είναι διπλά άπειρο, καθότι για κάθε N 1 υπάρχουν απείρως πολλοί πολυδείκτες α τέτοιοι ώστε α = N. Η περικοπή της στοχαστικής βάσης {ξ α } α J = 1 α! i,k H α (ξ k i ik ) ισοδυναμεί με την περικοπή του μήκους α = α J αk i = N. Η περικοπή της ντετερμινιστικής βάσης ισοδυναμεί με τη διατήρηση μόνο των n πρώτων {m i (s)} i 1. Η περικοπή του αριθμού των διαδικασιών που γεννούν την τυχαιότητα ισοδυναμεί με την περικοπή του αριθμού των κινήσεων Brown {w k } k r. Περικομμένο σύνολο πολυδεικτών: J n,r N = {α J : α N, και αk i = 0 i > n ή k > r}

29 Αριθμητική Μέθοδος Επίλυσης Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Το άπειρο άθροισμα των συντελεστών του Διαδότη u α είναι διπλά άπειρο, καθότι για κάθε N 1 υπάρχουν απείρως πολλοί πολυδείκτες α τέτοιοι ώστε α = N. Η περικοπή της στοχαστικής βάσης {ξ α } α J = 1 α! i,k H α (ξ k i ik ) ισοδυναμεί με την περικοπή του μήκους α = α J αk i = N. Η περικοπή της ντετερμινιστικής βάσης ισοδυναμεί με τη διατήρηση μόνο των n πρώτων {m i (s)} i 1. Η περικοπή του αριθμού των διαδικασιών που γεννούν την τυχαιότητα ισοδυναμεί με την περικοπή του αριθμού των κινήσεων Brown {w k } k r. Περικομμένο σύνολο πολυδεικτών: J n,r N = {α J : α N, και αk i = 0 i > n ή k > r}

30 Σφάλμα Λόγω Περικοπής Εστω ũ α η λύση του περικομμένου Διαδότη και ũ n,r N := α J ũαξα η προσεγγιστική λύση της Υπερβολικής Στοχαστικής Διαφορικής Εξίσωσης. Θεώρημα Η προσεγγιστική λύση u n,r N RL2 (W; V) ικανοποιεί τον ακόλουθο a priori περιορισμό: u ũ n,r 2 N RL 2 (W;V) C(I 1 + I 2 + I 3 ) όπου το I 1 είναι το σφάλμα που οφείλεται στην περικοπή των συντελεστών του μοντέλου I 1 = u 0 u n,r 0,N 2 + f f n,r 2 RL 2 (W;V ) N RL 2 (W;V) + f f n,r 2 N RL 2 (W;H) + ( gk g n,r k,n 2 ) g + k g n,r k,n 2 V H k 1 το I 2 είναι το σφάλμα που οφείλεται στην περικοπή του αναπτύγματος σε Wiener Chaos το I 3 είναι το σφάλμα που οφείλεται στη διακριτοποίηση

31 Σφάλμα Λόγω Περικοπής Εστω ũ α η λύση του περικομμένου Διαδότη και ũ n,r N := α J ũαξα η προσεγγιστική λύση της Υπερβολικής Στοχαστικής Διαφορικής Εξίσωσης. Θεώρημα Η προσεγγιστική λύση u n,r N RL2 (W; V) ικανοποιεί τον ακόλουθο a priori περιορισμό: u ũ n,r 2 N RL 2 (W;V) C(I 1 + I 2 + I 3 ) όπου το I 1 είναι το σφάλμα που οφείλεται στην περικοπή των συντελεστών του μοντέλου το I 2 είναι το σφάλμα που οφείλεται στην περικοπή του αναπτύγματος σε Wiener Chaos [ I 2 = rα 2 f α 2 V + f α 2 H + u 0,α 2 V + ( gα (i,k) 2 ) ] g + V α (i,k) 2 H i,k 1 α J \J n,r N το I 3 είναι το σφάλμα που οφείλεται στη διακριτοποίηση

32 Σφάλμα Λόγω Περικοπής Εστω ũ α η λύση του περικομμένου Διαδότη και ũ n,r N := α J ũαξα η προσεγγιστική λύση της Υπερβολικής Στοχαστικής Διαφορικής Εξίσωσης. Θεώρημα Η προσεγγιστική λύση u n,r N RL2 (W; V) ικανοποιεί τον ακόλουθο a priori περιορισμό: u ũ n,r 2 N RL 2 (W;V) C(I 1 + I 2 + I 3 ) όπου το I 1 είναι το σφάλμα που οφείλεται στην περικοπή των συντελεστών του μοντέλου το I 2 είναι το σφάλμα που οφείλεται στην περικοπή του αναπτύγματος σε Wiener Chaos το I 3 είναι το σφάλμα που οφείλεται στη διακριτοποίηση I 3 = C α h V όπου h είναι O( t p + x p ), όπου με p συμβολίζουμε την τάξη της περικοπής και C α = C(r α)

33 Το υπόδειγμα των Heath Jarrow Morton Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων. περιλαμβάνει μία ευρεία κατηγορία υποδειγμάτων, μεταξύ των οποίων τα υποδείγματα των Ho-Lee, Hull -White κ.α. μπορεί να είναι απειροδιάστατο, ενώ δεν ικανοποιεί πάντα την ιδιότητα Markov.

34 Το υπόδειγμα των Heath Jarrow Morton Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων. περιλαμβάνει μία ευρεία κατηγορία υποδειγμάτων, μεταξύ των οποίων τα υποδείγματα των Ho-Lee, Hull -White κ.α. μπορεί να είναι απειροδιάστατο, ενώ δεν ικανοποιεί πάντα την ιδιότητα Markov.

35 Το υπόδειγμα των Heath Jarrow Morton Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων. περιλαμβάνει μία ευρεία κατηγορία υποδειγμάτων, μεταξύ των οποίων τα υποδείγματα των Ho-Lee, Hull -White κ.α. μπορεί να είναι απειροδιάστατο, ενώ δεν ικανοποιεί πάντα την ιδιότητα Markov.

36 Το υπόδειγμα των Heath Jarrow Morton Το υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton (HJM) προτείνει ένα γενικό μηχανισμό μοντελοποίησης της εξέλιξης της καμπύλης επιτοκίων (forward rate curve), λαμβάνοντας υπόψιν την παρατηρηθείσα δομή των επιτοκίων (term structure). υποδεικνύει τη σχέση ανάμεσα στην ταχύτητα (drift) και τη διακύμανση (volatility) μίας καμπύλης επιτοκίων. περιλαμβάνει μία ευρεία κατηγορία υποδειγμάτων, μεταξύ των οποίων τα υποδείγματα των Ho-Lee, Hull -White κ.α. μπορεί να είναι απειροδιάστατο, ενώ δεν ικανοποιεί πάντα την ιδιότητα Markov.

37 Εφαρμογή στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton Η στοχαστική διαφορική εξίσωση HJM u(t) = u 0+ t 0 ( d dx u(s) + k σ k (s, x) t σ k (y, x)dy ) ds+ t 0 0 k σ k (s, x)dw k (s) σε κατάλληλο χώρο Hilbert H. Πρόταση Η θεωρία που προτάθηκε εφαρμόζεται στην περίπτωση του υποδείγματος των HJM και η ύπαρξη Wiener Chaos λύσεων σε κατάλληλο χώρο Wiener Chaos με βάρος εξαρτάται από την ομαλότητα των δεδομένων του προβλήματος.

38 Εφαρμογή στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton Η στοχαστική διαφορική εξίσωση HJM u(t) = u 0+ t 0 ( d dx u(s) + k σ k (s, x) t σ k (y, x)dy ) ds+ t 0 0 k σ k (s, x)dw k (s) σε κατάλληλο χώρο Hilbert H. Πρόταση Η θεωρία που προτάθηκε εφαρμόζεται στην περίπτωση του υποδείγματος των HJM και η ύπαρξη Wiener Chaos λύσεων σε κατάλληλο χώρο Wiener Chaos με βάρος εξαρτάται από την ομαλότητα των δεδομένων του προβλήματος.

39 Αριθμητικό Σχήμα Συμβολισμός: u n j = u(t n, x j ). Σχήμα: Διακριτοποίηση Μέθοδος Upwind - 1ου βαθμού ακριβείας ( ) ûj n = û n 1 j t x A û n 1 j û n 1 j 1 + kˆf n 1 j Μέθοδος Lax-Wendroff - 2ου βαθμού ακριβείας ( ( ûj n = û n 1 j 1 + û n 1 j ) A t 2 x + A2 t 2 2 x 2 1 A2 t 2 x 2 ) + û n 1 j+1 ( ) A t 2 x + A2 t 2 2 x 2 Η προσθήκη ενός όρου δεύτερης τάξης στο αριθμητικό σχήμα, βοηθά στην εξάλειψη ενός σημαντικού ποσοστού αστάθειας που παρουσιάζει η μέθοδος Upwind.

40 Αριθμητικό Σχήμα Συμβολισμός: u n j = u(t n, x j ). Σχήμα: Διακριτοποίηση Μέθοδος Upwind - 1ου βαθμού ακριβείας ( ) ûj n = û n 1 j t x A û n 1 j û n 1 j 1 + kˆf n 1 j Μέθοδος Lax-Wendroff - 2ου βαθμού ακριβείας ( ( ûj n = û n 1 j 1 + û n 1 j ) A t 2 x + A2 t 2 2 x 2 1 A2 t 2 x 2 ) + û n 1 j+1 ( ) A t 2 x + A2 t 2 2 x 2 Η προσθήκη ενός όρου δεύτερης τάξης στο αριθμητικό σχήμα, βοηθά στην εξάλειψη ενός σημαντικού ποσοστού αστάθειας που παρουσιάζει η μέθοδος Upwind.

41 Αριθμητικό Σχήμα Συμβολισμός: u n j = u(t n, x j ). Σχήμα: Διακριτοποίηση Μέθοδος Upwind - 1ου βαθμού ακριβείας ( ) ûj n = û n 1 j t x A û n 1 j û n 1 j 1 + kˆf n 1 j Μέθοδος Lax-Wendroff - 2ου βαθμού ακριβείας ( ( ûj n = û n 1 j 1 + û n 1 j ) A t 2 x + A2 t 2 2 x 2 1 A2 t 2 x 2 ) + û n 1 j+1 ( ) A t 2 x + A2 t 2 2 x 2 Η προσθήκη ενός όρου δεύτερης τάξης στο αριθμητικό σχήμα, βοηθά στην εξάλειψη ενός σημαντικού ποσοστού αστάθειας που παρουσιάζει η μέθοδος Upwind.

42 Αριθμητικά Αποτελέσματα για την εξίσωση επιτοκίων HJM Αρχικές Συνθήκες: Μονοδιάστατη κίνηση Brown W, με A = 1, σ HJM = 0.2 και αρχική συνθήκη u(0, x) = e x. Ντετερμινιστική Συνάρτηση Μεταβλητότητας ( d du(t, x) = dx u(t, x) + x σhjm(t, k ( x) σ k HJM (t, s)ds ) ) ds dt+ k=1 σhjm(t, k x)dw k (t). k=1 Στοχαστική Συνάρτηση Μεταβλητότητας ( d du(t, x) = dx u(t, x) + x σhjm(t, k ( x) σ k HJM (t, s)ds ) ) ds dt+ k=1 σhjm(t, k x)u(t, x)dw k (t). k=1 0 0

43 Αριθμητικά Αποτελέσματα για την εξίσωση επιτοκίων HJM Αρχικές Συνθήκες: Μονοδιάστατη κίνηση Brown W, με A = 1, σ HJM = 0.2 και αρχική συνθήκη u(0, x) = e x. Ντετερμινιστική Συνάρτηση Μεταβλητότητας ( d du(t, x) = dx u(t, x) + x σhjm(t, k ( x) σ k HJM (t, s)ds ) ) ds dt+ k=1 σhjm(t, k x)dw k (t). k=1 Στοχαστική Συνάρτηση Μεταβλητότητας ( d du(t, x) = dx u(t, x) + x σhjm(t, k ( x) σ k HJM (t, s)ds ) ) ds dt+ k=1 σhjm(t, k x)u(t, x)dw k (t). k=1 0 0

44 Αριθμητικά Αποτελέσματα για την εξίσωση επιτοκίων HJM Αρχικές Συνθήκες: Μονοδιάστατη κίνηση Brown W, με A = 1, σ HJM = 0.2 και αρχική συνθήκη u(0, x) = e x. Ντετερμινιστική Συνάρτηση Μεταβλητότητας ( d du(t, x) = dx u(t, x) + x σhjm(t, k ( x) σ k HJM (t, s)ds ) ) ds dt+ k=1 σhjm(t, k x)dw k (t). k=1 Στοχαστική Συνάρτηση Μεταβλητότητας ( d du(t, x) = dx u(t, x) + x σhjm(t, k ( x) σ k HJM (t, s)ds ) ) ds dt+ k=1 σhjm(t, k x)u(t, x)dw k (t). k=1 0 0

45 Σύγκλιση του σφάλματος λόγω περικοπής E 1 : u n N+1 un N L 2 (W;V) u n N+1 L 2 (W;V) E 2 : u n N u MC L 2 (W;V) u MC L 2 (W;V) Σχήμα: Σύγκλιση στην L 2 νόρμα της προτεινόμενης αριθμητικής μεθόδου διατηρώντας n = 15 στοιχεία στην ντετερμινιστική βάση.

46 Σύγκριση του αριθμητικού σχήματος Wiener Chaos με τη μέθοδο Monte Carlo Σχήμα: Σφάλματα λόγω περικοπής για την 1η και 2η ροπή της λύσης

47 Σύγκριση του αριθμητικού σχήματος Wiener Chaos με τη μέθοδο Monte Carlo Υπολογιστικοί Χρόνοι Πίνακας: Υπολογιστικοί Χρόνοι (σε δευτερόλεπτα) MONTE CARLO WIENER CHAOS Μεταβλητότητα HJM Upwind Lax-Wendroff Upwind Lax-Wendroff Ντετερμινιστική Στοχαστική

48 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Επέκταση της παρούσης θεωρίας σε μη γραμμικές υπερβολικές εξισώσεις. Επέκταση της θεωρίας του αναπτύγματος σε Wiener Chaos σε υπερβολικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με τυχαίους συντελεστές. Εφαρμογή του αριθμητικού σχήματος στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton για πρόβλεψη.

49 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Επέκταση της παρούσης θεωρίας σε μη γραμμικές υπερβολικές εξισώσεις. Επέκταση της θεωρίας του αναπτύγματος σε Wiener Chaos σε υπερβολικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με τυχαίους συντελεστές. Εφαρμογή του αριθμητικού σχήματος στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton για πρόβλεψη.

50 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Επέκταση της παρούσης θεωρίας σε μη γραμμικές υπερβολικές εξισώσεις. Επέκταση της θεωρίας του αναπτύγματος σε Wiener Chaos σε υπερβολικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με τυχαίους συντελεστές. Εφαρμογή του αριθμητικού σχήματος στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton για πρόβλεψη.

51 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Επέκταση της παρούσης θεωρίας σε μη γραμμικές υπερβολικές εξισώσεις. Επέκταση της θεωρίας του αναπτύγματος σε Wiener Chaos σε υπερβολικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με τυχαίους συντελεστές. Εφαρμογή του αριθμητικού σχήματος στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton για πρόβλεψη.

52 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Επέκταση της θεωρίας του αναπτύγματος σε Wiener Chaos σε υπερβολικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με τυχαίους συντελεστές Χαρακτηριστικά Μη γραμμικές συναρτήσεις του χωρο-χρονικού θορύβου. Εφαρμογές Στη φυσική στη διάδοση κυμάτων στην ατμόσφαιρα και στους ωκεανούς. Στη βιολογία, όταν τα υπό μελέτη χαρακτηριστικά εξελίσσονται με τυχαίο τρόπο στο χρόνο και τον χώρο. Στις τηλεπικοινωνίες στη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.

53 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Επέκταση της θεωρίας του αναπτύγματος σε Wiener Chaos σε υπερβολικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με τυχαίους συντελεστές Χαρακτηριστικά Μη γραμμικές συναρτήσεις του χωρο-χρονικού θορύβου. Εφαρμογές Στη φυσική στη διάδοση κυμάτων στην ατμόσφαιρα και στους ωκεανούς. Στη βιολογία, όταν τα υπό μελέτη χαρακτηριστικά εξελίσσονται με τυχαίο τρόπο στο χρόνο και τον χώρο. Στις τηλεπικοινωνίες στη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.

54 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Επέκταση της θεωρίας του αναπτύγματος σε Wiener Chaos σε υπερβολικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με τυχαίους συντελεστές Χαρακτηριστικά Μη γραμμικές συναρτήσεις του χωρο-χρονικού θορύβου. Εφαρμογές Στη φυσική στη διάδοση κυμάτων στην ατμόσφαιρα και στους ωκεανούς. Στη βιολογία, όταν τα υπό μελέτη χαρακτηριστικά εξελίσσονται με τυχαίο τρόπο στο χρόνο και τον χώρο. Στις τηλεπικοινωνίες στη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.

55 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Επέκταση της θεωρίας του αναπτύγματος σε Wiener Chaos σε υπερβολικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με τυχαίους συντελεστές Χαρακτηριστικά Μη γραμμικές συναρτήσεις του χωρο-χρονικού θορύβου. Εφαρμογές Στη φυσική στη διάδοση κυμάτων στην ατμόσφαιρα και στους ωκεανούς. Στη βιολογία, όταν τα υπό μελέτη χαρακτηριστικά εξελίσσονται με τυχαίο τρόπο στο χρόνο και τον χώρο. Στις τηλεπικοινωνίες στη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.

56 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Εφαρμογή του αριθμητικού σχήματος στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton Επίλυση του υποδείγματος HJM μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Εκτίμηση ποσοτήτων που σχετίζονται με την καμπύλη επιτοκίων, όπως: η τιμή των ομολόγων. η διάρκεια ενός ομολόγου, που συμπίπτει με την παράγωγο κατά Malliavin στην κατεύθυνση της καμπύλης επιτοκίων και αποτελεί μέτρο της ευαισθησίας της καμπύλης ως προς τις διακυμάνσεις των επιτοκίων. Εύρεση λύσεων απείρως διαφορίσιμων κατά Malliavin.

57 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Εφαρμογή του αριθμητικού σχήματος στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton Επίλυση του υποδείγματος HJM μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Εκτίμηση ποσοτήτων που σχετίζονται με την καμπύλη επιτοκίων, όπως: η τιμή των ομολόγων. η διάρκεια ενός ομολόγου, που συμπίπτει με την παράγωγο κατά Malliavin στην κατεύθυνση της καμπύλης επιτοκίων και αποτελεί μέτρο της ευαισθησίας της καμπύλης ως προς τις διακυμάνσεις των επιτοκίων. Εύρεση λύσεων απείρως διαφορίσιμων κατά Malliavin.

58 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Εφαρμογή του αριθμητικού σχήματος στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton Επίλυση του υποδείγματος HJM μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Εκτίμηση ποσοτήτων που σχετίζονται με την καμπύλη επιτοκίων, όπως: η τιμή των ομολόγων. η διάρκεια ενός ομολόγου, που συμπίπτει με την παράγωγο κατά Malliavin στην κατεύθυνση της καμπύλης επιτοκίων και αποτελεί μέτρο της ευαισθησίας της καμπύλης ως προς τις διακυμάνσεις των επιτοκίων. Εύρεση λύσεων απείρως διαφορίσιμων κατά Malliavin.

59 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Εφαρμογή του αριθμητικού σχήματος στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton Επίλυση του υποδείγματος HJM μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Εκτίμηση ποσοτήτων που σχετίζονται με την καμπύλη επιτοκίων, όπως: η τιμή των ομολόγων. η διάρκεια ενός ομολόγου, που συμπίπτει με την παράγωγο κατά Malliavin στην κατεύθυνση της καμπύλης επιτοκίων και αποτελεί μέτρο της ευαισθησίας της καμπύλης ως προς τις διακυμάνσεις των επιτοκίων. Εύρεση λύσεων απείρως διαφορίσιμων κατά Malliavin.

60 Προτάσεις για Μελλοντική Ερευνα Εφαρμογή του αριθμητικού σχήματος στο υπόδειγμα των Heath-Jarrow-Morton Επίλυση του υποδείγματος HJM μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos. Εκτίμηση ποσοτήτων που σχετίζονται με την καμπύλη επιτοκίων, όπως: η τιμή των ομολόγων. η διάρκεια ενός ομολόγου, που συμπίπτει με την παράγωγο κατά Malliavin στην κατεύθυνση της καμπύλης επιτοκίων και αποτελεί μέτρο της ευαισθησίας της καμπύλης ως προς τις διακυμάνσεις των επιτοκίων. Εύρεση λύσεων απείρως διαφορίσιμων κατά Malliavin.

61 Αναλυτικές και Αριθμητικές Λύσεις Υπερβολικών Στοχαστικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos Ευχαριστώ για την προσοχή σας!