Συγκράτηση αντικειμένου από ρομποτικά δάχτυλα: Μοντελοποίηση χωρίς τη χρήση περιορισμών

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΙΝΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διπλωματική εργασία με θέμα: Συγκράτηση αντικειμένου από ρομποτικά δάχτυλα: Μοντελοποίηση χωρίς τη χρήση περιορισμών Εκπόνηση διπλωματικής: Μπατζιανούλης Ιάσων Α.Ε.Μ.: 5428 Επιβλέπουσα: Δουλγέρη Ζωή Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 22

2 Όλο τον κόσμο ρώτα κι απ τη γνώμη σου μη βγαίνεις λαϊκή παροιμία 2

3 Για την εκπόνηση της διπλωματικής εργασίας θέλω να ευχαριστήσω την καθηγήτρια κα. Ζωή Δουλγέρη για την καθοδήγηση και τις σημαντικές συμβουλές της σε θέματα της ρομποτικής αλλά και σε θέματα που αφορούν την εξέλιξη της σταδιοδρομίας μου. Επιπλέον, ευχαριστώ το διδακτορικό προσωπικό του εργαστηρίου ρομποτικής για τη βοήθεια και την παρέα. Το μεγαλύτερο ευχαριστώ το χρωστάω στους γονείς μου και στην αδερφή μου που είναι πάντα δίπλα μου στις δυσκολίες και στις στεναχώριες, και συνεχίζουν να πιστεύουν σε μένα. 3

4 Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο : Εισαγωγή... 7 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση... 2.Εισαγωγικά Χαρακτηριστικά του συστήματος Μοντελοποίηση επαφής και κίνησης κύλισης Δεσμοί επαφής Δεσμοί κύλισης Συμπεράσματα... 2 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση Εισαγωγικά Δυναμική ανάλυση Ισορροπία του συστήματος Έλεγχος ευσταθούς λαβής του συστήματος Συμπεράσματα Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με δεσμούς κίνησης Εισαγωγικά Προσομοίωση με άκαμπτα ακροδάχτυλα Προσομοίωση με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα Συμπεράσματα Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής Εισαγωγικά Ανάλυση τριβής σε επιφάνεια επαφής Εισαγωγή στατικής τριβής στο σύστημα Προσομοιώσεις με άκαμπτα ακροδάχτυλα Προσομοιώσεις με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα Επίδραση της τριβής Coulomb Συμπεράσματα Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Εισαγωγικά : Μετάβαση μεταξύ στατικής κατάστασης και κατάστασης ολίσθησης Προσομοιώσεις σε κατάσταση ολίσθησης

5 6.3 Συμπεράσματα Κεφάλαιο 7: Συμπεράσματα Παράρτημα... 9 Π. Περιγραφή τρόπου προσομοίωσης... 9 Π.2 Κινηματική ανάλυση και αποδείξεις Π.2. Κινηματική ανάλυση Π.2.2 Δεσμοί επαφής Π.2.3 Δεσμοί κύλισης Π.2.4 Πίνακες, και Π.2.5 Αποδείξεις... Π.3 Πίνακας συντελεστών τριβής... 7 Αναφορές-Βιβλιογραφία

6 6

7 Κεφάλαιο : Εισαγωγή Η ιδέα του ρομπότ δεν είναι νέα. Από το 92 όπου εισήχθηκε ο όρος στο θεατρικό έργο R.U.R ( Rossum s Universal Robots ) του Karel Capek και την αξέχαστη μυθολογία των έργων του Isaac Asimov μέχρι τις σημερινές ταινίες επιστημονικής φαντασίας, η έννοια του ρομπότ αποτελεί ιδιαίτερα ενδιαφέρον και πολυσυζητημένο θέμα. Αλήθεια, όμως, τι είναι ρομπότ; Η εικόνα που έχει επικρατήσει είναι αυτή ενός μεταλλικού ανθρωποειδούς κατασκευάσματος που έχει την ικανότητα να ενεργεί αυτοβούλως αντιδρώντας σε ερεθίσματα που δέχεται από το περιβάλλον. Ενώ η εικόνα αυτή θα αποτελέσει σίγουρα μια πραγματικότητα στο άμεσο ή απώτερο μέλλον δεν αντικατοπτρίζει πλήρως τον όρο ρομπότ. Ως ρομπότ χαρακτηρίζεται μία μηχανική κατασκευή που εκτελεί αυτόματα μία ή περισσότερες καθορισμένες εργασίες χωρίς να είναι απαραίτητος ο ανθρώπινος έλεγχος. Η τεχνολογία που ασχολείται με την κατασκευή και εξέλιξη των ρομποτικών μηχανημάτων ονομάζεται ρομποτική και κύριος σκοπός της είναι η ακριβής και αξιόπιστη λειτουργία των ρομπότ ώστε να μειωθεί η πιθανότητα αστοχίας που χαρακτηρίζει τον ανθρώπινο παράγοντα. Για αυτόν τον λόγο οι εφαρμογές της ρομποτικής είναι εξαιρετικά δημοφιλείς στο μεγαλύτερο εύρος της επιστήμης και της τεχνολογίας. Εικόνα.: Ρομποτικός βραχίονας Canadarm του διαστημικού λεωφορείου Columbia Οι εφαρμογές της ρομποτικής έχουν σημαντικό ρόλο στη διαστημική με τη χρήση ρομποτικών δορυφόρων, βραχιόνων, rovers κ.α., στη βιομηχανία με την ακριβή μεταφορά και συναρμολόγηση εξαρτημάτων, στη διαχείριση επικίνδυνων για τον άνθρωπο καταστάσεων με την εξουδετέρωση εκρηκτικών μηχανισμών και την έρευνα και απεγκλωβισμό ανθρώπων, ενώ ραγδαία αναπτύσσεται τα τελευταία χρόνια και ο τομέας της ρομποτικής χειρουργικής ιατρικής. Επίσης, πρόοδος έχει σημειωθεί και στον τομέα της υποβοήθησης της ανθρώπινης λειτουργίας με την κατασκευή ρομποτικών εξωσκελετικών συστημάτων και τεχνητών μελών. Βεβαίως, μόνιμη επιδίωξη αποτελεί η αντιγραφή της ανθρώπινης λειτουργίας στοχεύοντας στη δημιουργία ρομπότ με ανθρώπινα χαρακτηριστικά. Προς αυτό τον προσανατολισμό έχουν γίνει σημαντικές εξελίξεις στον τομέα της κινηματικής και αναγνώρισης προτύπων (εικόνων, ήχου, εκφράσεων κ.α.) ώστε να επιτευχθεί η αλληλεπίδραση του ρομπότ με τον άνθρωπο. Πρόσφατα παραδείγματα αποτελούν το ρομπότ Nexi του ΜΙΤ καθώς και το πρόγραμμα ECCEROBOT της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Πλεονέκτημα αυτών των ρομπότ αποτελεί το γεγονός ότι εκτός από την μορφή, οι κινήσεις και γενικότερα η συμπεριφορά των 7

8 Κεφάλαιο : Εισαγωγή ρομπότ διακατέχεται από φυσικότητα ώστε να είναι συμβατά με την ανθρώπινη συμπεριφορά. Προς την κατεύθυνση της φυσικής συμπεριφοράς στρέφεται και το περιεχόμενο αυτής της διπλωματικής εργασίας. Η ρομποτική αποτελείται από συνδυασμό πολλών ξεχωριστών επιστημών όπως η φυσική, η ηλεκτρονική, η επιστήμη υλικών, η μηχανολογία και είναι άμεσα συνδεδεμένη με την θεωρεία συστημάτων αυτόματου ελέγχου (ΣΑΕ). Ο έλεγχος του ρομπότ αποτελεί ίσως την πιο σημαντική παράμετρο για την επίτευξη του στόχου για τον οποίο το ρομπότ έχει προγραμματιστεί. Ο έλεγχος βασίζεται σε συγκεκριμένες αρχές (μοντέλα), επεξεργάζεται τα σήματα που δέχεται (ερεθίσματα) καθορίζει την Εικόνα.: Nexi του ΜΙΤ(27) συμπεριφορά του ρομποτικού συστήματος. Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται ανάλυση και εξέλιξη των μοντέλων στα οποία βασίζεται ο έλεγχος ενός συγκεκριμένου ρομποτικού συστήματος έχοντας σαν άξονα την φυσική συμπεριφορά του συστήματος. Πιο συγκεκριμένα, μελετάται η συμπεριφορά δύο ρομποτικών δαχτύλων (βραχιόνων) κατά τον χειρισμό ενός αντικειμένου με σκοπό την ασφαλή (σταθερή) λαβή. Αναλυτικότερα, εξετάζονται οι δυνάμεις που επιβάλλονται από τα δάχτυλα στο αντικείμενο, οι τριβές που αναπτύσσονται, και η συμπεριφορά του συστήματος όταν αυτές είναι ικανές να συγκρατήσουν το αντικείμενο αλλά και όταν δεν είναι ικανές για να το συγκρατήσουν. Στη μέχρι τώρα βιβλιογραφία αναφέρονται προσπάθειες χειρισμού αντικειμένων δύο ή τριών διαστάσεων με χρήση περιορισμών. Οι περιορισμοί αποτελούν μαθηματικά εργαλεία με σκοπό την συμπεριφορά Εικόνα.2: Σύστημα δύο ρομποτικών δαχτύλων σε επαφή με αντικείμενο του συστήματος σε συνθήκες ασφαλούς λαβής, δηλαδή την επιβολή κατάλληλων δυνάμεων για την αντιστάθμιση του βάρους του αντικειμένου. Με την χρήση περιορισμών εισάγονται προϋποθέσεις στη λειτουργία του συστήματος, που επιβάλλουν το σύστημα να κινηθεί με συγκεκριμένο τρόπο, γεγονός που έχει ως συνέπεια να χάνεται η φυσική συμπεριφορά του συστήματος. Με γνώμονα τη ρεαλιστικότητα της συμπεριφοράς αναπτύχθηκε μια νέα μοντελοποίηση χωρίς περιορισμούς που επιτρέπει το αντικείμενο να κινηθεί φυσικά στην περίπτωση που υπάρχει είτε δεν υπάρχει ολίσθηση. Η δομή της διπλωματικής εργασίας έχει ως εξής: Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται το σύστημα που μελετάται, γίνεται η κινηματική ανάλυση του συστήματος και αναφέρονται οι δεσμοί κίνησης (δεσμοί επαφής και δεσμοί κύλισης) Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται η δυναμική ανάλυση του συστήματος, υπολογίζονται οι συνθήκες ισορροπίας και παρουσιάζονται τα σήματα ελέγχου που μελετώνται καθώς και ο στόχος του συστήματος ελέγχου 8

9 Κεφάλαιο : Εισαγωγή Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι προσομοιώσεις που έγιναν με χρήση δεσμών κύλισης και ο σχολιασμός με χρήση και χωρίς χρήση δεσμών επαφής Στο πέμπτο κεφάλαιο εισάγεται η μοντελοποίηση χωρίς δεσμούς κύλισης σε συνθήκες που δεν υπάρχει ολίσθηση, αναλύονται οι δυνάμεις και οι τριβές στις επαφές του αντικειμένου με τα δάχτυλα και παρουσιάζονται οι προσομοιώσεις που δείχνουν την αξιοπιστία της μοντελοποίησης Στο έκτο κεφάλαιο εισάγεται η μοντελοποίηση χωρίς δεσμούς κύλισης σε συνθήκες που στο σύστημα μπορεί εμφανίζεται ολίσθηση, αναλύεται η μοντελοποίηση και παρουσιάζονται προσομοιώσεις που δείχνουν την αφύσικη συμπεριφορά του συστήματος όταν χρησιμοποιούνται δεσμοί σε αντιπαράθεση με τη ρεαλιστική συμπεριφορά της μοντελοποίησης που προτείνεται Στο έβδομο κεφάλαιο αναφέρονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από τη μελέτη του συστήματος και προτάσεις για μελλοντική έρευνα 9

10 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση 2.Εισαγωγικά Σε αυτό το κεφάλαιο περιγράφεται το σύστημα που μελετάται στην εργασία. Το σύστημα αποτελείται από δύο ρομποτικούς βραχίονες (δάκτυλα), τριών βαθμών ελευθερίας ( =3-dof), οι οποίοι βρίσκονται σε επαφή με αντικείμενο στις δύο παράλληλες πλευρές του. Πιο συγκεκριμένα, αναφέρονται τα χαρακτηριστικά και η κινηματική ανάλυση του συστήματος, καθώς και οι περιορισμοί του. 2.2 Χαρακτηριστικά του συστήματος Το σύστημα απαρτίζεται από δύο επίπεδους ρομποτικούς βραχίονες με τρείς περιστροφικές αρθρώσεις, στα άκρα των οποίων βρίσκονται ημισφαιρικά ακροδάχτυλα. Τα ακροδάχτυλα μπορεί να είναι είτε παραμορφώσιμα (ή ελαστικά ή μαλακά) είτε άκαμπτα (σκληρά), δηλαδή με και χωρίς παραμόρφωση στα σημεία επαφής με το αντικείμενο. Το αντικείμενο είναι άκαμπτο και έχει δύο παράλληλες πλευρές. Η κίνηση του συστήματος περιορίζεται στο οριζόντιο επίπεδο με τον z-άξονα να είναι κάθετος και προς τα έξω. Η θετική φορά περιστροφής ορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος, που αποτελεί το άθροισμα των βαθμών ελευθερίας των δύο ρομποτικών βραχιόνων και των βαθμών ελευθερίας του αντικειμένου, είναι. Το σύστημα που μελετάται παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα: Σχήμα 2.: Οι ρομποτικοί βραχίονες σε επαφή με ορθογώνιο αντικείμενο

11 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση Πλέον οι ρομποτικοί βραχίονες θα αναφέρονται και σαν ρομποτικά δάχτυλα είτε απλώς δάχτυλα. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η ονοματολογία που χρησιμοποιείται για την μαθηματική περιγραφή του συστήματος: Συμβολισμοί: :Πίνακας στροφής γύρω από τον άξονα-z κατά γωνία δ :Διάνυσμα θέσης τυχαίου σημείου Α στο αδρανειακό πλαίσιο :Διάνυσμα θέσης τυχαίου σημείου Α στο τυχαίο πλαίσιο :Ελεύθερο διάνυσμα εκφρασμένο στο αδρανειακό πλαίσιο :Ελεύθερο διάνυσμα εκφρασμένο στο τυχαίο πλαίσιο :Αδρανειακό πλαίσιο συντεταγμένων του συστήματος :Πλαίσιο συντεταγμένων στο κέντρο μάζας του αντικειμένου :Πλαίσιο συντεταγμένων στο άκρο του i-στου δαχτύλου :Πλαίσιο συντεταγμένων στο σημείο επαφής του i-στου δαχτύλου με το αντικείμενο :Αναφορά στο i-στό δάκτυλο(αρίθμηση κατά τα θετικά x ως προς το ) :Αναφορά στη j-στη άρθρωση(αρίθμηση κατά τα θετικά y ως προς το ) :Η j-στη άρθρωση του i-στου δαχτύλου :Περιστροφική ταχύτητα της j-στης άρθρωσης του i-στου δαχτύλου :Άνυσμα θέσης των περιστροφικών αρθρώσεων του i-στου δαχτύλου :Προσανατολισμός του i-στου δακτύλου :Γενικευμένο άνυσμα θέσης του άκρου του i-στου δαχτύλου :Συντεταγμένες του κέντρου μάζας και γωνία του αντικειμένου ως προς το :Οι μεταφορικές ταχύτητες και η περιστροφική ταχύτητα του αντικειμένου :Άνυσμα θέσης του κέντρου μάζας του αντικειμένου ως προ το :Γενικευμένο άνυσμα θέσης του κέντρου μάζας του αντικειμένου :Γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος :Προσανατολισμός του αριστερού δαχτύλου ως προς το πλαίσιο :Προσανατολισμός του δεξιού δαχτύλου ως προς το πλαίσιο :Άνυσμα θέσης του σημείου επαφής από την αρχή του πλαισίου :Άνυσμα θέσης του σημείου επαφής από την αρχή του πλαισίου :Τεταγμένη του σημείου επαφής ως προς το πλαίσιο :Πίνακας στροφής του ως προς το πλαίσιο :Πίνακας στροφής του ως προς το πλαίσιο :Πίνακας στροφής του ως προς το πλαίσιο :Η μέγιστη παραμόρφωση του ακροδαχτύλου κατά τη διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια επαφής

12 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση :Ιακωβιανή μεταφορικής ταχύτητας του i-στου ρομποτικού βραχίονα :Άνυσμα διάστασης με στοιχεία μονάδες :Ιακωβιανή του i-στου ρομποτικού βραχίονα, :Ιακωβιανή της μεταφορικής ταχύτητας από το στο :Ιακωβιανή της μεταφορικής ταχύτητας από το στο :Μοναδιαίος πίνακας διάστασης :Μήκος της βάσης των ρομποτικών βραχιόνων :Πλάτος αντικειμένου :Μήκος συνδέσμου των ρομποτικών βραχιόνων :Μάζα αντικειμένου :Μάζα συνδέσμου των ρομποτικών βραχιόνων :Ροπή αδράνειας του αντικειμένου :Ροπή αδράνειας του -συνδέσμου του -στου ρομποτικού βραχίονα :Ακτίνα ημισφαιρικού ακροδαχτύλου του i-στου δαχτύλου :Μοναδιαίο άνυσμα στον x-άξονα :Μοναδιαίο άνυσμα στον y-άξονα 2.3 Μοντελοποίηση επαφής και κίνησης κύλισης Σε αυτή την παράγραφο παρουσιάζεται η μοντελοποίηση που πραγματοποιήθηκε έτσι ώστε να επιτευχθεί ο σκοπός της ευσταθούς λαβής. Για την επίτευξη ευσταθούς λαβής πρέπει να τηρούνται δύο προϋποθέσεις: I. Να μην χάνεται η επαφή των ακροδαχτύλων με το αντικείμενο II. Να μην υπάρχει ολίσθηση μεταξύ των ακροδαχτύλων και του αντικειμένου Για την τήρηση των προϋποθέσεων αυτών εισάγονται στο σύστημα δύο είδη δεσμών: I. Δεσμοί επαφής: που εξασφαλίζουν την επαφή των ακροδαχτύλων με το αντικείμενο II. Δεσμοί κύλισης: που εξασφαλίζουν την κύλιση χωρίς ολίσθηση των ακροδαχτύλων πάνω στην επιφάνεια του αντικειμένου. Οι δεσμοί αυτοί αποτελούν τους περιορισμούς του συστήματος για κάθε επαφή των ακροδαχτύλων με τις δύο πλευρές του αντικειμένου. Επομένως το σύστημα θα έχει τέσσερις δεσμούς, δύο για κάθε επαφή. Εξαιτίας των περιορισμών η κίνηση του συστήματος θα εξαρτάται και από τους δεσμούς και συνεπώς οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος μειώνονται στους. Στη συνέχεια αναπτύσσεται η μαθηματική περιγραφή των παραπάνω δεσμών Δεσμοί επαφής Απαραίτητη προϋπόθεση για τον χειρισμό του αντικειμένου είναι η ύπαρξη επαφής του αντικειμένου με τα δύο ακροδάχτυλα. Με την χρήση άκαμπτων ακροδαχτύλων, όπου η επαφή είναι σημειακή, η προϋπόθεση της επαφής καλύπτεται με την εισαγωγή δεσμού επαφής για κάθε ένα από τα σημεία που εφάπτεται το αντικείμενο με τους ρομποτικούς βραχίονες. 2

13 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση Σχήμα 2.2:Σημεία επαφής των δακτύλων με το αντικείμενο Από τα σχήματα 2. και 2.2 διαπιστώνεται ότι για να αποτελεί το πρέπει να ισχύει: σημείο επαφής (2.) με είναι εκφρασμένα στο αδρανειακό πλαίσιο. Το άνυσμα είναι πάντα κάθετο στην επιφάνεια επαφής και επομένως μπορεί να εκφραστεί στο πλαίσιο Επίσης, η έκφραση του πλαισίου στο πλαίσιο αντιστοιχεί σε μία στροφή κατά. Επομένως το γράφεται: ως: (2.2) (2.3) Ακόμα το εκφρασμένο στο πλαίσιο είναι. Άρα το άνυσμα εκφρασμένο στο πλαίσιο είναι: (2.4) 3

14 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση Με βάση τις σχέσεις (2.3) και (2.4) η (2.) γράφεται: (2.5) Επειδή η επαφή αφορά μόνο την κάθετη συνιστώσα, με βάση την παραπάνω ισότητα των πινάκων, ο δεσμός επαφής που προκύπτει για τον αριστερό βραχίονα είναι: Με παρόμοιο συλλογισμό προκύπτει και ο δεσμός επαφής για τον δεξιό βραχίονα. Η σχέση που πρέπει να ικανοποιείται είναι: Ακόμα ισχύουν οι σχέσεις: (2.6) (2.7) και (2.8) (2.9) Η σχέση (2.7) με βάση τις (2.8) και (2.9) γράφεται: (2.) Όπως και για τον προηγούμενο δεσμό, η επαφή αφορά την κάθετη στην επιφάνεια συνιστώσα επομένως ο δεσμός που προκύπτει είναι: (2.) 4

15 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση Οι σχέσεις (2.6) και (2.) περιγράφουν μαθηματικά τους ολόνομους δεσμούς επαφής. Με την χρήση δεσμών επαφής αναπτύσσονται δεσμικές δυνάμεις στις επαφές που αντιστοιχούν στις απαιτούμενες κάθετες δυνάμεις ώστε να διατηρηθούν οι επαφές. Εξαιτίας της αλγεβρικής ιδιότητας των δεσμών οι τιμές των κάθετων δυνάμεων ενδέχεται να είναι και αρνητικές, πράγμα που σημαίνει πως αναπτύχθηκαν εφελκυστικές δυνάμεις στο αντικείμενο με σκοπό να το επιμηκύνουν. Εφελκυστικές δυνάμεις μπορούν να αναπτυχθούν όταν η επαφή είναι τέτοια ώστε να επιτρέπει την ύπαρξη δυνάμεων και προς τις δύο κατευθύνσεις, όπως για παράδειγμα την πάκτωση. Όμως, το φαινόμενο αυτό έρχεται σε αντίθεση με την πραγματικότητα διότι το σύστημα που μελετάται δεν είναι δυνατό να διατείνει ένα άκαμπτο αντικείμενο. Με σκοπό την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος έγινε μοντελοποίηση με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα, στα οποία η επαφή εξασφαλίζεται από την ύπαρξη παραμόρφωσης. Μοντελοποίηση με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα Σχήμα 2.3: Μοντέλο Kelvin ελαστικού δαχτύλου(a) και παραμόρφωση δαχτύλου(b) Με τη χρήση παραμορφώσιμων ακροδαχτύλων οι δεσμοί επαφής αποφεύγονται αφού η επαφή εξασφαλίζεται με την ύπαρξη παραμόρφωσης. Η παραμόρφωση για κάθε ακροδάχτυλο ορίζεται ως και δίνεται από την σχέση: (2.2) Σαν σημείο επαφής ορίζεται το μέσο της περιοχής που ακουμπάει στην επιφάνεια. Η απόσταση από το κέντρο του ημισφαιρικού ακροδαχτύλου είναι, όπου είναι η ακτίνα του ημισφαιρικού ακροδαχτύλου και (Σχήμα 2.3b) η μέγιστη παραμόρφωση. Για την επαφή του ακροδαχτύλου με άκαμπτη επιφάνεια επιλέχθηκε το μοντέλο Kelvin (Σχήμα 2.3α), το οποίο χρησιμοποιεί έναν αποσβεστήρα παράλληλα με ένα ελατήριο. Με βάση αυτό το μοντέλο η δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια αποτελείται από τη δύναμη του ελατηρίου και τη 5

16 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση δύναμη απόσβεσης. Επομένως, η τιμή της κάθετης στην επιφάνεια επαφής δύναμης υπολογίζεται από τον τύπο: (2.3) όπου η θετική σταθερά συμπίεσης, η θετική σταθερά απόσβεσης. Η ανάλυση και ο υπολογισμός της παραπάνω δύναμης περιγράφεται στις εργασίες [2] και [3]. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, με χρήση παραμορφώσιμων ακροδαχτύλων η προϋπόθεση της επαφής διασφαλίζεται με την ύπαρξη παραμόρφωσης. Με αυτό τον τρόπο η χρήση δεσμών επαφής δεν είναι πλέον αναγκαία. Αφού δεν γίνεται χρήση των δεσμών επαφής οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος είναι, αν στο σύστημα με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα χρησιμοποιηθούν οι δεσμοί κύλισης. Στην επόμενη παράγραφο γίνεται η μαθηματική ανάλυση των δεσμών κύλισης Δεσμοί κύλισης Κατά τον χειρισμό του αντικειμένου για λόγους ασφάλειας της λαβής πρέπει να αποφευχθεί η ολίσθηση μεταξύ του αντικειμένου και των δακτύλων, δηλαδή επιζητείται αποκλειστικά η κύλιση των δακτύλων πάνω στο αντικείμενο. Η κύλιση με ή χωρίς ολίσθηση είναι συνδεδεμένη με την ταχύτητα ολίσθησης στις επαφές των ακροδαχτύλων με το αντικείμενο. Η ταχύτητα ολίσθησης σε κάθε εφαπτόμενο σημείο ορίζεται ως η σχετική ταχύτητα μεταξύ του σημείου επαφής πάνω στο ημισφαιρικό ακροδάχτυλο και του σημείου επαφής στην επιφάνεια του αντικειμένου. Επειδή η κατάσταση κίνησης (κύλιση με ή χωρίς ολίσθηση) είναι συνδεδεμένη με την ταχύτητα ολίσθησης, για λόγους κατανόησης ακολουθεί η μαθηματική ανάλυση της ταχύτητας ολίσθησης. Προσδιορισμός της ταχύτητας ολίσθησης: Από τους περιορισμούς επαφής ισχύει: με παραγώγιση της σχέσης (2.4) προκύπτει: Ισχύει ότι: Παραγωγίζοντας την σχέση (2.6) προκύπτει: Η σχέση (2.7) τελικά γίνεται: (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) 6

17 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση όπου ο αντισυμμετρικός πίνακας του ανύσματος. Σε αυτό το σημείο υπενθυμίζεται ότι στο δισδιάστατο χώρο ο αντισυμμετρικός πίνακας του ελεύθερου ανύσματος ορίζεται ως. Επίσης ορίζεται ο πίνακας, όπου ισχύει (βλ. παράρτημα). Ακολουθώντας παρόμοια πορεία για το, έχουμε: (2.9) Παραγωγίζοντας τη σχέση (2.9) προκύπτει: (2.2) Η σχέση (2.5) με βάση τις σχέσεις (2.8) και (2.2) γίνεται: (2.2) με αυτό τον τρόπο ορίζονται (2.22) και (2.23) οι Ιακωβιανές της μεταφορικής ταχύτητας από το άκρο του βραχίονα και από το κέντρο μάζας του αντικειμένου στο σημείο επαφής αντίστοιχα (για τον υπολογισμό των και βλέπε παράρτημα). Το δεξί μέρος της σχέσης (2.2) δίνει εξ ορισμού τη σχετική ταχύτητα σημείο επαφής. Ακόμα ισχύει ότι στο (2.24) και (2.25) Με βάση τα παραπάνω η σχέση (2.2) γίνεται: (2.26) 7

18 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση η οποία εκφράζει την σχετική ταχύτητα εκφρασμένη στο πλαίσιο βάσης ολίσθησης είναι η εφαπτομενική συνιστώσα (στον y-άξονα) κατά το πλαίσιο τον τύπο:. Η ταχύτητα και δίνεται από (2.27) Η κύλιση χωρίς ολίσθηση συνεπάγεται μηδενική ταχύτητα ολίσθησης, δηλαδή: (2.28) Η σχέση (2.28) με βάση τις σχέσεις (2.26) και (2.27) γίνεται: (2.29) και λαμβάνοντας υπόψιν ότι: (2.3) και (2.3) η σχέση (2.29) για άκαμπτα ακροδάχτυλα γράφεται: (2.32) Από τις σχέσεις (2.5) και (2.) το υπολογίζεται από την σχέση: (2.33) παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο τη σχέση (2.33) προκύπτει: (2.34) και επομένως, (2.35) 8

19 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση Η σχέση (2.32) με βάση την (2.35) γράφεται: (2.36) Ολοκληρώνοντας ως προς τον χρόνο καταλήγουμε στη σχέση: (2.37) Αντικαθιστώντας το προκύπτει: από την σχέση (2.33) στην (2.37), για κάθε ρομποτικό βραχίονα (2.38) (2.39) Οι σχέσεις (2.38) και (2.39) αποτελούν τις μαθηματικές σχέσεις των δεσμών κύλισης. Ερμηνεύοντας γεωμετρικά τις σχέσεις αυτές παρατηρείται ότι όταν δεν υπάρχει ολίσθηση το τόξο που διαγράφει κατά την κίνηση του το ακροδάχτυλο είναι ίσο με το διάστημα που διανύει το σημείο επαφής. Το τόξο που διαγράφει το ακροδάχτυλο είναι συνάρτηση της ακτίνας κύλισης και της γωνίας που διαγράφεται. Στα άκαμπτα ακροδάχτυλα η ακτίνα κύλισης είναι ίση με την ακτίνα του ακροδαχτύλου, ενώ στα παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα εξαρτάται και από την παραμόρφωση όπως παρουσιάζεται παρακάτω. Μοντελοποίηση με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα Με χρήση παραμορφώσιμων ακροδαχτύλων η ακτίνα κύλισης μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: (2.4) Αποδεικνύεται(βλ. παράρτημα) ότι η απόσταση που διανύει το σημείο επαφής κατά την κίνηση του ακροδαχτύλου δίνεται από τον τύπο: Σχήμα 2.4: Παραμορφώσιμο ακροδάχτυλο σε επαφή με άκαμπτο αντικείμενο (2.4) Επειδή πλέον το τόξο που διαγράφεται εξαρτάται και από την παραμόρφωση οι σχέσεις (2.38) και (2.39) μεταβάλλονται ως εξής: 9

20 Κεφάλαιο 2: Κινηματική ανάλυση (2.42) (2.43) όπου οι σχέσεις (2.42) και (2.43) αποτελούν τις μαθηματικές σχέσεις των δεσμών κύλισης για σύστημα με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα. Οι δεσμοί κύλισης εξασφαλίζουν την τήρηση της δεύτερης προϋπόθεσης για την επίτευξη ευσταθούς λαβής. Με την εφαρμογή των δεσμών κύλισης αναπτύσσονται δεσμικές δυνάμεις που αντιστοιχούν στις εφαπτομενικές δυνάμεις στα σημεία επαφής, οι τιμές των οποίων είναι οι απαιτούμενες για να επιτευχθεί κύλιση χωρίς ολίσθηση. Το γεγονός αυτό συνεπάγεται τη μη ολίσθηση (άπειρο συντελεστή στατικής τριβής ή κώνο τριβής 8 ο ) ανεξαρτήτως των ιδιοτήτων των υλικών που είναι σε επαφή και των αρχικών συνθηκών. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί μια ιδανική κατάσταση αφού όπως είναι γνωστό από τη φύση (και θα μελετηθεί σε επόμενα κεφάλαια) η ολίσθηση είναι άμεση συνέπεια των ιδιοτήτων των υλικών και της δύναμης πίεσης. Επομένως η χρήση δεσμών κύλισης έρχεται σε αντίφαση με την φύση επιβάλλοντας μια συγκεκριμένη κατάσταση στο μοντέλο του συστήματος. 2.4 Συμπεράσματα Σε αυτό το κεφάλαιο έγινε η κινηματική ανάλυση του συστήματος που μελετάται. Επιπλέον αναπτύχθηκαν οι προϋποθέσεις για τη επίτευξη ευσταθούς λαβής και η μαθηματική περιγραφή των περιορισμών του συστήματος. Οι περιορισμοί αντιστοιχούν στους δεσμούς κίνησης του συστήματος και αποτελούν μαθηματικά εργαλεία για την προσομοίωση του συστήματος. Η αλγεβρική ιδιότητα των δεσμών έρχεται σε αρκετές περιπτώσεις σε αντίθεση με τους νόμους της φύσης και επομένως η χρήση τους περιορίζει την προσέγγιση της πραγματικότητας από το μοντέλο. Για τον λόγο αυτό αναπτύχθηκε το μοντέλο των παραμορφώσιμων ακροδαχτύλων [2] ώστε να μην είναι απαραίτητοι οι δεσμοί επαφής. Ένας από τους στόχους της εργασίας είναι να παραληφθούν όλοι οι δεσμοί κίνησης, ώστε να αυξηθεί η ρεαλιστικότητα του μοντέλου. 2

21 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση 3. Εισαγωγικά Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται η δυναμική ανάλυση του συστήματος για άκαμπτα και παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα. Ακόμα αναλύονται οι συνθήκες ισορροπίας του συστήματος και τέλος παρουσιάζεται ο έλεγχος που χρησιμοποιήθηκε στην εργασία. 3.2 Δυναμική ανάλυση Στόχος της δυναμικής ανάλυσης είναι η ανάπτυξη ενός μαθηματικού μοντέλου που προσδιορίζει την κίνηση των ρομποτικών βραχιόνων και του αντικειμένου, συνδυάζοντας τις ροπές των αρθρώσεων των ρομποτικών βραχιόνων με τις μεταβλητές του συστήματος. Στον υπολογισμό του δυναμικού μοντέλου θεωρούμε πως οι ρομποτικοί βραχίονες είναι ιδανικοί, δηλαδή οι αρθρώσεις είναι ανελαστικές και η μετάδοση της κίνησης των αρθρώσεων γίνεται χωρίς υστέρηση. Για την δυναμική ανάλυση χρησιμοποιείται η μέθοδος Lagrange, η οποία καταλήγει στις εξισώσεις κίνησης του συστήματος μέσω των ενεργειακών ιδιοτήτων του. Η ενέργεια του συστήματος (κινητική και δυναμική) αποτελείται από τις ενέργειες των βραχιόνων και αυτή του σώματος. Έτσι η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι: (3.) με τον πίνακα αδράνειας του αντικειμένου και ο πίνακας αδράνειας για το i-στο δάχτυλο. Οι πίνακες αυτοί είναι συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: όπου είναι η δυναμική ενέργεια του αντικειμένου και η δυναμική ενέργεια του i-στου δακτύλου. Για τον υπολογισμό της δυναμικής ενέργειας θεωρείται ότι η μάζα του αντικειμένου καθώς και των συνδέσμων των βραχιόνων είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας τους. Επίσης, επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας ορίζεται το επίπεδο y= του πλαισίου αναφοράς. Η Λαγκρανζιανή ενός μηχανικού συστήματος ορίζεται ως η διαφορά της κινητικής ενέργειας από την δυναμική: (3.2) (3.3) Οι γενικευμένες δυνάμεις που εφαρμόζονται στο σύστημα υπολογίζονται εξίσωση Lagrnage: από την 2

22 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση όπου αποτελούν τις γενικευμένες δυνάμεις που επιβάλλονται στο σύστημα. Στο συγκεκριμένο σύστημα οι γενικευμένες δυνάμεις αποτελούν τις ροπές των αρθρώσεων των ρομποτικών βραχιόνων που επιβάλλονται στο σύστημα σαν έλεγχος. Από την σχέση (3.4) προκύπτουν σε μορφή πινάκων οι παρακάτω δυναμικές εξισώσεις για το αντικείμενο και τους ρομποτικούς βραχίονες: (3.4) (3.5) όπου και, ενώ είναι ένας τετραγωνικός πίνακας(3x3) και αποτελείται από τους συντελεστές των δυνάμεων Coriolis και των κεντρομόλων δυνάμεων (βλ. παράρτημα). Ακόμα ο είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας. Επίσης οι γενικευμένες δυνάμεις είναι: (3.6) με τις ροπές στους κινητήρες των αρθρώσεων των ρομποτικών βραχιόνων. Με την εισαγωγή των δεσμών κίνησης η Λαγκρανζιανή γίνεται: Τα και δίνονται από τις σχέσεις (2.6),(2.) και (2.38), (2.39). Οι συντελεστές και είναι πραγματικοί αριθμοί και ονομάζονται συντελεστές Lagrange. Με εφαρμογή της σχέσης (3.4) το σύστημα δυναμικών εξισώσεων παίρνει την παρακάτω μορφή: Στο σύστημα που μελετάται, εκφράζουν τις δυνάμεις που επιβάλλονται από τους δεσμούς κίνησης των ρομποτικών βραχιόνων. Έτσι για τους δεσμούς επαφής, τα αντιστοιχούν στις τιμές που παίρνουν οι κάθετες (στην επιφάνεια επαφής) δυνάμεις, και οι οποίες ασκούνται από τα ακροδάχτυλα στο αντικείμενο για να διατηρείται ο δεσμός επαφής. Επίσης, για τους δεσμούς κύλισης τα αντιστοιχούν στις τιμές των εφαπτομενικών (στην επιφάνεια επαφής) δυνάμεων, που ασκούν τα ακροδάχτυλα στο αντικείμενο ώστε να ικανοποιείται ο δεσμός κύλισης. 22

23 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση Οι μερικές παράγωγοι εκφράζουν τις διευθύνσεις ως προς το αδρανειακό πλαίσιο, ώστε όλες οι μεταβλητές του συστήματος να είναι εκφρασμένες στο ίδιο πλαίσιο. Μετά από ανάλυση (βλ. παράρτημα) με χρήση των (2.4) και (2.42) προκύπτει ότι: (3.8) (3.9) (3.) Όπως παρατηρείται, από τις αλγεβρικές σχέσεις των δεσμών προκύπτουν οι διευθύνσεις των δεσμικών δυνάμεων ενώ η φορά τους από τις τιμές των συντελεστών Lagrange. Έτσι στην περίπτωση των δεσμών επαφής από την παραγώγιση των αλγεβρικών σχέσεων προκύπτουν οι διευθύνσεις των δεσμικών δυνάμεων επαφής (κάθετες στην επιφάνεια επαφής) και η φορά από τον συντελεστή. Η τιμή αυτή μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική και επομένως οι κάθετες δυνάμεις μπορεί να είναι είτε θλιπτικές είτε εφελκυστικές αντίστοιχα. Η ενσωμάτωση των δεσμών στο μοντέλο του συστήματος γίνεται με τους αντίστοιχους περιορισμούς στις ταχύτητες των αρθρώσεων και στις ταχύτητες του αντικειμένου. Ο υπολογισμός των περιορισμών της ταχύτητας γίνεται με παραγώγιση των δεσμών κίνησης. Επομένως με παραγώγιση των σχέσεων (2.6),(2.),(2.38) και (2.39) προκύπτουν οι σχέσεις: (3.) (3.2) (3.3) (3.4) ή συνοπτικά: (3.5) όπου 23

24 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση (3.6) και ο γενικευμένος πίνακας ταχυτήτων του συστήματος. Ο πίνακας αντιστοιχεί στους περιορισμούς της ταχύτητας του αντικειμένου, ο κάθε ένας από τους οποίους επιβάλλει μια δύναμη η διεύθυνση της οποίας στο αδρανειακό πλαίσιο δύνεται από τον πίνακα Με αντικατάσταση των σχέσεων (3.8),(3.9) και (3.) στην (3.7) και με ενσωμάτωση των περιορισμών της σχέσης (3.5), το μοντέλο του συστήματος δίνεται στο παρακάτω πλαίσιο: (3.7) χζψωζχωψ Μοντελοποίηση με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα Η δυναμική ανάλυση σε σύστημα με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα διαφέρει από αυτή που προηγήθηκε, εξαιτίας της παραμόρφωσης των ημισφαιρικών ακροδαχτύλων. Η κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει η ίδια, επειδή η κινητική ενέργεια του παραμορφώσιμου υλικού είναι αμελητέα και αγνοείται. Όμως, η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: (3.8) όπου, (3.9) και αποτελεί την δυναμική ενέργεια λόγω παραμόρφωσης του κάθε ακροδαχτύλου. Η τιμή της είναι πάντα θετική, αφού η δύναμη του ελατηρίου αυξάνει πάντα κατά την αύξηση της παραμόρφωσης. Ακόμα στο σύστημα εμφανίζονται ιξώδεις τριβές κατά τη διεύθυνση των κάθετων δυνάμεων επαφής. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση σκέδασης Rayleigh της μορφής: (3.2) 24

25 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση Η αποτελεί τη συνάρτηση σκέδασης για το i-στο ακροδάχτυλο, με το να είναι μια θετική σταθερά απόσβεσης που εξαρτάται από τις ιδιότητες του παραμορφώσιμου υλικού. Με βάση τις εξισώσεις Lagrange (σχέσεις (3.3) και (3.4)) προκύπτουν οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος χωρίς δεσμούς κίνησης: (3.2) Όπου ο όρος αποτελεί την κάθετη δύναμη στην επιφάνεια επαφής (σχέση 2.3) που ασκείται στο αντικείμενο εκφρασμένο στο πλαίσιο βάσης. Επομένως η δύναμη δίνεται από τον τύπο: Στο παράρτημα αναφέρονται οι αποδείξεις των παρακάτω σχέσεων: (3.22) (3.23) (3.24) Ακόμα από τον συνδυασμό της (3.22) με την (βλ. παράρτημα) αποδεικνύεται ότι: (3.25) (3.26) (3.27) Από την σχέση (3.2) με αντικατάσταση των (3.25),(3.26) και (3.27) οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος γίνονται: (3.28) Με την εισαγωγή των δεσμών κύλισης η Λαγκρανζιανή του συστήματος παίρνει την παρακάτω μορφή: 25

26 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση όπου σε αυτή την περίπτωση οι δεσμοί κύλισης περιγράφονται από τις σχέσεις (2.42) και (2.43). Λαμβάνοντας υπόψιν την σχέση (3.4) το σύστημα δυναμικών εξισώσεων γίνεται: Από τις σχέσεις (2.42) και (2.43) αποδεικνύεται (βλ. παράρτημα) ότι: (3.29) (3.3) (3.3) Για την εισαγωγή των δεσμών στο σύστημα των δυναμικών εξισώσεων ακολουθείται η ίδια πορεία όπως και με τα άκαμπτα ακροδάχτυλα. Έτσι με παραγώγιση των σχέσεων (2.42) και (2.43) προκύπτουν οι σχέσεις: (3.32) ή συνοπτικά: (3.33) (3.34) όπου ο πίνακας των διευθύνσεων των δεσμικών δυνάμεων είναι: (3.35) Με την εισαγωγή της σχέσης (3.34) και αντικαθιστώντας τις σχέσεις (3.3) και (3.3) στην (3.29), προκύπτει το σύστημα εξισώσεων για παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα: 26

27 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση, (3.36) Όπως παρατηρείται στο σύστημα με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα οι κατευθύνσεις των δυνάμεων είναι ίδιες με τη μοντελοποίηση με άκαμπτα ακροδάχτυλα, κάτι που δεν συμβαίνει με τις ροπές που προσδίδονται στους ρομποτικούς βραχίονες λόγω των δεσμικών δυνάμεων. Αυτό συμβαίνει επειδή η ακτίνα κύλισης εξαρτάται από την παραμόρφωση (σχέση (2.4)) και το γεγονός ότι η ροπή που προσδίδεται στους βραχίονες είναι το εξωτερικό γινόμενο της ακτίνας κύλισης επί την εφαπτομενική δύναμη (η κάθετη δύναμη δεν προσδίδει ροπή στους βραχίονες επειδή διέρχεται από το κέντρο των ακροδαχτύλων). Για αυτό τον λόγο το σύστημα διαφέρει γενικά από το αντίστοιχο για άκαμπτα ακροδάχτυλα. 3.3 Ισορροπία του συστήματος Σχήμα 3.: Δυνάμεις που επιδρούν στο σώμα χωρίς βαρύτητα 27

28 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση Όταν το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των ρομποτικών βραχιόνων και του σώματος είναι μηδενικές. Σε συνθήκες έλλειψης βαρύτητας από τις διαφορικές εξισώσεις του αντικειμένου (σχέση 3.7) σε συνθήκες ισορροπίας προκύπτει: (3.37) Διαχωρίζοντας την σχέση (3.37) στις δύο πρώτες σειρές που αφορούν τις δυνάμεις που ασκούνται στο αντικείμενο και στην τρίτη σειρά που αφορά τη ροπή που προσδίδεται στο αντικείμενο προκύπτει: Από την (3.38) προκύπτει: (3.38) (3.39) (3.4) (3.4) (3.42) Επομένως από τις εξισώσεις (3.39),(3.4) και (3.42) συγκεντρωτικά το σύστημα εξισώσεων γίνεται: Οι πρώτες δύο σχέσεις αφορούν τις συνθήκες ισορροπίας των δυνάμεων ενώ η τρίτη δηλώνει ότι η συνολική ροπή που προσδίδεται στο αντικείμενο από τις δυνάμεις πρέπει να είναι μηδέν. Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα προκύπτει: 28

29 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση (3.43) (3.44) (3.45) Οι σχέσεις (3.43)-(3.45) δίνουν τις τιμές των συντελεστών Lagrange σε συνθήκες ισορροπίας σε σύστημα με έλλειψη βαρύτητας, όπου η αποτελεί την εσωτερική δύναμη, που ορίζεται ως το μέρος της επιβαλλόμενης δύναμης που δεν παράγει έργο αλλά προκαλεί την καταπόνηση του αντικειμένου. Επίσης, από τη σχέση (3.4) συμπεραίνεται πως οι επιβαλλόμενες δυνάμεις πρέπει να είναι ίσες και αντίθετες. Επομένως, στην ισορροπία ισχύει: αν είναι η γωνία που σχηματίζει η i-στη επιβαλλόμενη δύναμη με την κάθετο στην επιφάνεια επαφής και δίνεται από τον τύπο: (3.46) Η σχέση των γωνιών σημαίνει ότι στην κατάσταση ισορροπίας οι δυνάμεις είναι συνευθειακές. Στην ειδική περίπτωση όπου οι γωνίες είναι ίσες με το μηδέν το ένα ακροδάχτυλο βρίσκεται απέναντι από το άλλο και ισχύει: (3.47) Επομένως όταν ισχύει η σχέση (3.47) με το σύστημα να βρίσκεται σε ισορροπία από τις (3.43)- (3.45) προκύπτει: (3.48) (3.49) εξής: Με την εισαγωγή βαρύτητας στο σύστημα οι συνθήκες ισορροπίας διαμορφώνονται ως (3.5) (3.5) (3.52) 29

30 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση Σχήμα 3.2: Δυνάμεις που επιδρούν στο αντικείμενο με την επίδραση της βαρύτητας Για την συνέχεια της ανάλυσης γίνεται η εξής υπόθεση: Υπόθεση: το βάρος του σώματος κατανέμεται ισομερώς στους δύο βραχίονες. Λαμβάνοντας υπόψιν την παραπάνω υπόθεση, μία επιλογή για τις κάθετες δυνάμεις που να ικανοποιεί την σχέση (3.5) είναι η κάθετη δύναμη να αποτελείται από μία εσωτερική δύναμη, ίδια για κάθε επαφή, και το μέρος του βάρους του σώματος που εξισορροπεί κάθε δάχτυλο. Δηλαδή, (3.53) (3.54) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (3.53),(3.54) και (3.5) στην (3.52) προκύπτουν οι τιμές των συντελεστών Lagrange : 3

31 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση Επιπλέον όταν ισχύει η σχέση (3.47) στην ισορροπία του συστήματος οι τιμές των συντελεστών Lagrange που αντιστοιχούν στις τιμές των εφαπτομενικών δυνάμεων είναι: (3.55) (3.56) Επομένως, οι τιμές των συντελεστών Lagrange στην ισορροπία θα είναι: (3.57) 3.4 Έλεγχος ευσταθούς λαβής του συστήματος Για να επιτευχθεί ευσταθής λαβή θα πρέπει στη βάση του ρομποτικού συστήματος να εφαρμοστεί ένας έλεγχος που θα μεταβάλει το σύστημα για να καταλήξει σε ισορροπία. Τα αρχικά σημεία επαφής είναι τυχαία. Για αυτό τον λόγο ο ελεγκτής που μελετάται έχει τους εξής στόχους:. να στρέψει το αντικείμενο με τέτοιο τρόπο επιβάλλοντας κατάλληλες εσωτερικές δυνάμεις ώστε τα ακροδάχτυλα να βρεθούν απέναντι το ένα με το άλλο σε σχέση με το αντικείμενο 2. να επιβάλει τις κατάλληλες κάθετες και εφαπτομενικές δυνάμεις ώστε το άθροισμά τους να εξισορροπούν το βάρος του σώματος. Για την επίτευξη των δύο στόχων επιβάλλονται συνδυαστικά δύο σήματα ελέγχου. Για την σωστή περιστροφή του αντικειμένου χρησιμοποιήθηκε ο έλεγχος που αναλύεται στην εργασία [3]: (3.58) Ο πρώτος όρος αποτελεί την ανάδραση της ταχύτητας, με να είναι τα κέρδη του ελεγκτή. Ο δεύτερος όρος έχει στόχο να φέρει το ένα δάχτυλο απέναντι από το άλλο πάνω στις παράλληλες επιφάνειες του αντικειμένου, χρησιμοποιώντας τις θέσεις των άκρων, ώστε τελικά. Οι θέσεις των άκρων υπολογίζονται από τις γωνίες των αρθρώσεων και τα μήκη των συνδέσμων (βλ. παράρτημα). Αξίζει να σημειωθεί πως το σημαντικό στοιχείο του ελεγκτή είναι η χρήση μόνο των γωνιών και των ταχυτήτων των αρθρώσεων, οι οποίες μετρώνται από αισθητήρες που είναι προσαρμοσμένες στις αρθρώσεις των βραχιόνων. Ο παράγοντας είναι μία θετική σταθερά ελέγχου που καθορίζει το βαθμό της πίεσης από τα ακροδάχτυλα στο αντικείμενο. Ουσιαστικά, η δύναμη πίεσης είναι ίση με πολλαπλασιασμένο με τον όρο, 3

32 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση όπου, ο οποίος είναι ανάλογος με το πλάτος του αντικειμένου. Με βάση τα παραπάνω η εσωτερική δύναμη υπολογίζεται βάση του ορισμού της από την παρακάτω σχέση: (3.59) Αποδεικνύεται ότι το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά ευσταθές [3], δηλαδή για t : Για την αντιστάθμιση του βάρους επιλέχθηκε ο παρακάτω ελεγκτής: ή σε μια άλλη μορφή: (3.6) Αποδεικνύεται και σε αυτή την περίπτωση ότι το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά ευσταθές [4], δηλαδή όταν t : Για να γίνει πιο εμφανής η αντιστάθμιση του βάρους από τον ελεγκτή υπολογίζονται οι δυνάμεις επαφής με τον εξής τρόπο: Η γενικευμένη δύναμη ελέγχου στο άκρο κάθε βραχίονα είναι: 32

33 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση (3.6) Για να μεταφερθεί η δύναμη από το άκρο του βραχίονα στο σημείο επαφής, χρησιμοποιούνται οι δύο πρώτοι όροι της που αφορούν τη δύναμη και η ανάστροφη Ιακωβιανή της μεταφοράς της ταχύτητας από το άκρο στο σημείο επαφής : (3.62) Η γενικευμένη δύναμη είναι εκφρασμένη στο αδρανειακό πλαίσιο. Η έκφραση της στο πλαίσιο είναι: Μετά από πράξεις προκύπτει: (3.63) (3.64) x-άξονα του Όπως παρατηρείται οι δυνάμεις αφού: εξισορροπούν το βάρος του αντικειμένου στον και οι δυνάμεις αντισταθμίζουν το βάρος στον y-άξονα του αφού: Σημείωση: για την χρήση παραμορφώσιμων ακροδαχτύλων οι ελεγκτές (3.56) και (3.58) διαφοροποιούνται ώστε να λαμβάνεται υπόψιν η παραμόρφωση και οι ροπές που προκαλούν οι εφαπτομενικές δυνάμεις στους ρομποτικούς βραχίονες να είναι οι σωστές. Έτσι οι ελεγκτές παίρνουν την παρακάτω μορφή: (3.65) όπου το άθροισμα των παραμορφώσεων δύνεται από τη σχέση: (3.66) 33

34 Κεφάλαιο 3: Δυναμική ανάλυση (3.67) ενώ η εσωτερική δύναμη δύνεται από τη σχέση: (3.68) με την παραμόρφωση. και όπως παρατηρείται η εσωτερική δύναμη εξαρτάται και από Τέλος, πρέπει να σημειωθεί πως ο όρος αντισταθμίζει το βάρος του βραχίονα. Ο όρος αυτός βρίσκεται και στα δύο μέρη των διαφορικών εξισώσεων των ρομποτικών βραχιόνων (σχέσεις 3.7 και 3.36) και επομένως μπορεί να παραληφθεί, αφαιρώντας τον και από τις δύο πλευρές. 3.5 Συμπεράσματα Σε αυτό το κεφάλαιο έγινε η δυναμική ανάλυση του συστήματος, ο υπολογισμός των συνθηκών ισορροπίας με και χωρίς την επίδραση της βαρύτητας και η περιγραφή του νόμου ελέγχου που μελετάται για ευσταθή συγκράτηση του αντικειμένου. Για τον υπολογισμό των τιμών των δυνάμεων σε κατάσταση ισορροπίας με την επίδραση του βάρους έγινε η υπόθεση ότι υπάρχει ισοκαταμερισμός του βάρους του αντικειμένου στους δύο ρομποτικούς βραχίονες. Λύνοντας το σύστημα εξισώσεων ισορροπίας με βάση αυτή την υπόθεση, παρατηρήθηκε ότι η γωνία στροφής του αντικειμένου επηρεάζει τις τιμές τόσο των κάθετων όσο και των εφαπτομενικών δυνάμεων που επιβάλλονται. Για την επίτευξη ευσταθούς συγκράτησης μελετήθηκε ο συνδυασμός δύο σημάτων ελέγχου και. Ο ελεγκτής στρέφει το αντικείμενο, έχοντας γνώση μόνο των θέσεων των άκρων των ρομποτικών βραχιόνων, με σκοπό να φέρει τα ακροδάχτυλα το ένα απέναντι από το άλλο ( ). Όμως, για να επιτευχθεί ισορροπία στη θέση αυτή πρέπει να αντισταθμιστεί και η επίδραση του βάρους. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με την χρήση του ελεγκτή, ο οποίος αντισταθμίζει το βάρος του αντικειμένου και των ρομποτικών βραχιόνων. Στο κεφάλαιο που ακολουθεί παρουσιάζονται οι προσομοιώσεις με άκαμπτα και παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα κάνοντας χρήση του σήματος ελέγχου που προτείνεται. 34

35 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με δεσμούς κίνησης 4. Εισαγωγικά Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται οι προσομοιώσεις του συστήματος με δεσμούς επαφής και κύλισης για άκαμπτα και παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα. Γίνεται σχολιασμός των αποτελεσμάτων και σύγκριση αυτών. Οι προσομοιώσεις του συστήματος έγιναν στο MATLAB, με χρήση ενός επαναληπτικού αλγόριθμου μαθηματικής ολοκλήρωσης. Αρχικά ορίζονται οι αρχικές συνθήκες, που είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες και οι ταχύτητές τους. Ακολούθως, επιλύεται το σύστημα διαφορικών εξισώσεων (σχ. 3.7, 3.36) ώστε να προκύψουν οι θέσεις και οι ταχύτητες των βραχιόνων και του αντικειμένου καθώς και οι συντελεστές Lagrange που αντιστοιχούν στις τιμές των επιβαλλόμενων δυνάμεων. Στο παράρτημα παρουσιάζονται περισσότερες λεπτομέρειες για τον τρόπο προσομοίωσης καθώς και τα χαρακτηριστικά του αντικειμένου και των ρομποτικών βραχιόνων. 4.2 Προσομοίωση με άκαμπτα ακροδάχτυλα Όπως αναφέρθηκε στην 3.4 ο έλεγχος που χρησιμοποιήθηκε είναι συνδυασμός δύο ελέγχων. Επομένως στη θέση των διαφορικών εξισώσεων τοποθετείται ο ελεγκτής που περιγράφεται από τις σχέσεις (3.58) και (3.6). Για τον επιλέγεται η τιμή της παραμέτρου ελέγχου, ώστε η τελική τιμή της εσωτερικής δύναμης να είναι. Η προσομοίωση που πραγματοποιήθηκε έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις Με την επιλογή των παραπάνω τιμών το σύστημα δεν βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Έχοντας αυτές τις αρχικές τιμές αναμένεται το σύστημα να κινηθεί για να φέρει, τελικά, το σύστημα σε θέση ισορροπίας. Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται τα αποτελέσματα και ο σχολιασμός της προσομοίωσης. 35

36 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με δεσμούς κίνησης Αποτελέσματα προσομοίωσης: Στο σχήμα 4. παρουσιάζεται το σύστημα στην αρχική και τελική του θέση: Από το σχήμα 4. παρατηρείται ότι η αρχική και τελική θέση του συστήματος δεν συμπίπτουν, επομένως υπήρξε μεταβολή της κατάστασης του συστήματος. Στο σχήμα 4.2 παρουσιάζονται οι γωνιακές ταχύτητες των αρθρώσεων, οι μεταφορικές ταχύτητες του αντικειμένου και η διαφορά. Σχήμα 4.: Αρχική(μπλε χρώμα) και τελική(κόκκινο χρώμα) θέση του συστήματος 6 x Σχήμα 4.2: Ταχύτητες του συστήματος και διαφορά των αποστάσεων 36

37 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με δεσμούς κίνησης Όπως φαίνεται από τα διαγράμματα του σχήματος 4.2, οι ταχύτητες του συστήματος καταλήγουν σε μηδενική τιμή όπως και η διαφορά. Αυτό σημαίνει ότι κατά την κίνηση του συστήματος τα ακροδάχτυλα βρέθηκαν σε απέναντι θέση και επομένως το σύστημα έφτασε σε θέση ισορροπίας και. Αυτά τα δεδομένα οδηγούν στο συμπέρασμα ότι επιτεύχθηκε ασφαλής λαβή και επομένως επαληθεύονται τα θεωρητικά αποτελέσματα για το σύστημα ελέγχου ( 3.4). Στο σχήμα 4.3 παρουσιάζονται η μεταβολή του προσανατολισμού του αντικειμένου και η μεταβολή του σχετικού προσανατολισμού του δαχτύλου ως προς το πλαίσιο (γωνία ). -2 γωνία στροφής αντικειμένου Σχήμα 4.3: Γωνίες και Επίσης στα σχήματα 4.4 και 4.5 παρουσιάζονται οι μεταβολές των μεταβλητών Lagrange, που αντιστοιχούν αντίστοιχα στις κάθετες και εφαπτομενικές δυνάμεις στο σημείο επαφής: Σχήμα 4.4: Συντελεστές Lagrange που αντιστοιχούν στις κάθετες δυνάμεις 37

38 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με δεσμούς κίνησης Στο σχήμα 4.4 παρατηρείται ότι οι κάθετες δυνάμεις επαφής συγκλίνουν στις τιμές και οι οποίες συμπίπτουν με τις αναμενόμενες τιμές σε κατάσταση ισορροπίας που προκύπτουν από τις σχέσεις (3.55) Σχήμα 4.5: Συντελεστές Lagrange που σχετίζονται με τις εφαπτομενικές δυνάμεις Και στο σχήμα 4.5 παρατηρείται σύγκλιση των τιμών των συντελεστών στις τιμές και. Και αυτές οι τιμές συμπίπτουν με αυτές που προκύπτουν από τη θεωρητική και δίνονται από τις σχέσεις (3.57). Επίσης, στο σχήμα 4.6 παρουσιάζονται τα διαγράμματα των γωνιών που σχηματίζουν οι δυνάμεις επαφής με την κάθετο στην επιφάνεια επαφής : Γωνία των δυνάμεων στο σημείο επαφής Σχήμα 4.6: Γωνίες δυνάμεων επαφής Παρατηρούμε πως η γωνία επαφής στον δεξί βραχίονα αυξάνεται γρήγορα μέχρι λίγο πάνω από τις 32 ο. Αυτό συμβαίνει λόγω της αύξησης της τιμής της αντίστοιχης εφαπτομενικής δύναμης ώστε να υπάρχει αρκετή τριβή για συγκρατηθεί το αντικείμενο. Όπως έχει αναφερθεί οι δεσμοί κύλισης προσδίδουν στο σύστημα τις απαιτούμενες εφαπτομενικές δυνάμεις ώστε να συγκρατείται το αντικείμενο και οι βραχίονες να κυλούν χωρίς να ολισθαίνουν. 38

39 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με δεσμούς κίνησης Στα σχήματα 4.7 και 4.8 παρουσιάζονται τα διαγράμματα των δεσμών, των δυνάμεων πίεσης και της ταχύτητας ολίσθησης: - 2 x - δεσμοί επαφής x - δεσμοί κύλισης Σχήμα 4.7: Δεσμοί κίνησης 2.5 Εσωτερική δύναμη 2.5 x -6 ταχύτητα ολίσθησης Σχήμα 4.8: Εσωτερική δύναμη και ταχύτητα ολίσθησης Στο σχήμα 4.7 παρατηρείται ότι οι δεσμοί κίνησης έχουν πολύ μικρή τιμή μικρότερη της τάξης, πράγμα που δηλώνει την επιτυχία της μεθόδου σταθεροποίησης των δεσμών που χρησιμοποιήθηκε. Από το σχήμα 4.8 φαίνεται πως η εσωτερική δύναμη καταλήγει στην τιμή που προβλέπεται από την θεωρία ( 3.4) και την επιλογή της παραμέτρου. Τέλος, από το διάγραμμα της ταχύτητας ολίσθησης παρατηρείται πως στην αρχή του προσομοίωσης η ταχύτητα ολίσθησης είναι τάξης ενώ στην εξέλιξη της προσομοίωσης η ταχύτητα ολίσθησης γίνεται πολύ μικρή. Όταν χρησιμοποιούνται δεσμοί κύλισης η τάξη μεγέθους της ταχύτητας ολίσθησης εξαρτάται από τα κέρδη της μεθόδου σταθεροποίησης των δεσμών (βλ. παράρτημα) αλλά και από τη μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης (ode) που χρησιμοποιήθηκε. Η τάξη μεγέθους που προέκυψε στην προσομοίωση αυτή θεωρείται ικανοποιητική, επειδή είναι πολύ μικρή σε σχέση με τη μεταφορική ταχύτητα του σώματος (σχήμα 4.8). Όμως με επιλογή διαφορετικών κερδών είτε διαφορετικής μεθόδου ολοκλήρωσης, η μορφή και η τάξη μεγέθους των δεσμών κίνησης και των ταχυτήτων ολίσθησης θα μπορούσε να είναι διαφορετική χωρίς να 39

40 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με δεσμούς κίνησης επηρεάζονται τα αποτελέσματα (διαγράμματα) των καταστάσεων του συστήματος. Ενδεικτικά παρατίθενται τα διαγράμματα των δεσμών κύλισης και της ταχύτητας ολίσθησης με επιλογή μεθόδου ολοκλήρωσης δύσκαμπτων διαφορικών εξισώσεων (σχήμα 4.9): 5 x - δεσμοί κύλισης.5 x -5 Ταχύτητα ολίσθησης Σχήμα 4.9: Δεσμοί κύλισης και ταχύτητα ολίσθησης 4.3 Προσομοίωση με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα Για να είναι εύκολη η σύγκριση επιλέχθηκαν και ο προσανατολισμός των ρομποτικών βραχιόνων να παραμείνουν τα ίδια με την προηγούμενη προσομοίωση. Οι αρχικές γωνίες των αρθρώσεων υπολογίζονται με αντίστροφη κινηματική ανάλυση. Ακόμα τα χαρακτηριστικά των ρομποτικών βραχιόνων και του αντικειμένου παραμένουν τα ίδια. Για τις σταθερές και της δύναμης του παραμορφώσιμου ακροδαχτύλου (σχέση 2.3) επιλέχθηκαν και. Στον επόμενο πίνακα παρουσιάζονται, συγκεντρωτικά, τα χαρακτηριστικά τις προσομοίωσης: Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις Χαρακτηριστικά παραμορφώσιμου ακροδαχτύλου Ο έλεγχος εξακολουθεί να είναι συνδυαστικός, δηλαδή, αλλά αυτή τη φορά γίνεται χρήση του ελεγκτή των σχέσεων (3.65) και (3.66). Για τον ελεγκτή η παράμετρος ελέγχου για την πίεση επιλέχθηκε να είναι, ώστε η δύναμη πίεσης να είναι περίπου. Ακόμα η τιμή της αρχικής δύναμης επιλέχθηκε να είναι κοντά στην τελική οπότε επιλέχθηκε η αρχική παραμόρφωση, που αντιστοιχεί σε αρχική κάθετη 4

41 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με δεσμούς κίνησης δύναμη. Και σε αυτή την προσομοίωση η αρχική θέση του συστήματος δεν είναι θέση ισορροπίας. Με την εφαρμογή του σήματος ελέγχου που επιλέχθηκε αναμένεται να κινηθεί το σύστημα ώστε τα ακροδάχτυλα να βρεθούν σε απέναντι θέση και το σύστημα να μεταβεί σε κατάσταση ισορροπίας. Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης: Αποτελέσματα προσομοίωσης: Στο σχήμα 4. παρουσιάζεται η αρχική και τελική θέση του συστήματος. Παρατηρείται και σε αυτή την περίπτωση ότι υπήρξε κίνηση του συστήματος. Για να την κατάληξη στη θέση ισορροπίας εξετάζονται τα διαγράμματα των ταχυτήτων του συστήματος και της διαφοράς, τα οποία παρουσιάζονται στο σχήμα 4.: Σχήμα 4.: Αρχική και τελική θέση του συστήματος 5 x Σχήμα 4.: Ταχύτητες του συστήματος και διαφορά των αποστάσεων 4

42 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με περιορισμούς κίνησης Στο σχήμα 4. παρατηρούμε ότι και σε αυτή την περίπτωση το σύστημα καταλήγει σε κατάσταση ισορροπίας, όπως και ότι τα ακροδάχτυλα καταλήγουν το ένα απέναντι από το άλλο και επομένως υπάρχει επιβεβαίωση των θεωρητικών αποτελεσμάτων για το σήμα ελέγχου ( 3.4). Σημαντικό στοιχείο διαφοράς με την προσομοίωση με το μοντέλο των άκαμπτων ακροδαχτύλων είναι ο χρόνος επίτευξης της ισορροπίας. Με τη χρήση παραμορφώσιμων δαχτύλων ο ελεγκτής χρειάζεται υπερδιπλάσιο χρόνο για φέρει σε ισορροπία το σύστημα. Στο σχήμα 4.2 από το διάγραμμα της κάθετης δύναμης φαίνεται ο λόγος αυτής της καθυστέρησης: Κάθετες δυνάμεις Σχήμα 4.2: Κάθετες δυνάμεις και συντελεστές Lagrange που σχετίζονται με τις εφαπτομενικές δυνάμεις γωνία στροφής αντικειμένου (α) (β) Σχήμα 4.3: Γωνίες και Όπως παρατηρείται στο σχήμα 4.2, οι κάθετες δυνάμεις φτάνουν πιο αργά στην επιθυμητή τιμή σε σχέση με την αντίστοιχη προσομοίωση με άκαμπτα ακροδάχτυλα και για αυτό το σύστημα καθυστερεί να φτάσει σε ισορροπία (σχήμα 4.4 και 4.5). Η διαφορά αυτή εμφανίζεται λόγω του ότι στην προσομοίωση με άκαμπτα δάχτυλα έχουμε έγινε χρήση δεσμών 42

43 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με περιορισμούς κίνησης επαφής, οι οποίοι επιβάλλουν άμεσα τις κάθετες δυνάμεις και γι αυτό τον λόγο η σύγκλιση στις επιθυμητές τιμές είναι πιο γρήγορη. Οι τελικές τιμές των συντελεστών Lagrange που παρουσιάζονται στο σχήμα 4.2 τους συμπίπτουν με τις προβλεπόμενες θεωρητικές τιμές ( 3.3). Ακόμα παρατηρείται ότι οι τιμές των και δεν συγκλίνουν στις ίδιες τιμές με αυτές την προσομοίωσης με άκαμπτα ακροδάχτυλα. Αυτό εξηγείται από τη διαφορετική γωνία που καταλήγει το αντικείμενο, η οποία παρουσιάζεται στο σχήμα 4.3α. Σε αυτή την προσομοίωση το σώμα περιστρέφεται λίγο περισσότερο από 5 ο ενώ στη προηγούμενη προσομοίωση είχε περιστραφεί λίγο περισσότερο από ο. Οι τιμές των κάθετων και εφαπτομενικών δυνάμεων εξαρτώνται από τη γωνία του αντικειμένου (σύμφωνα με τις σχέσεις (3.57)), και σε αυτό οφείλονται οι διαφορές στις τελικές τιμές των δυνάμεων. 34 γωνία των δυνάμεων στο σημείο επαφής 2.6 Eσωτερική δύναμη Σχήμα 4.4: Γωνίες δυνάμεων επαφής Σχήμα 4.5: Εσωτερική δύναμη 2 x - δεσμοί κύλισης x -5 ταχύτητα ολίσθησης Σχήμα 4.6: Δεσμοί κύλισης και ταχύτητα ολίσθησης Στο σχήμα 4.4 παρουσιάζεται το διάγραμμα των γωνιών των δυνάμεων επαφής με την κάθετο στην επιφάνεια επαφής και παρατηρείται ότι οι γωνίες παραμένουν στα ίδια επίπεδα με αυτά της προσομοίωσης με άκαμπτα ακροδάχτυλα (σχήμα 4.6). Όπως φαίνεται στο σχήμα

44 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με περιορισμούς κίνησης στο διάγραμμα της ταχύτητας ολίσθησης, οι τιμές της είναι και πάλι αρκετά μικρές (τάξης ) σε σύγκριση με τη μεταφορική ταχύτητα του αντικειμένου, όπως και σε αρκετά μικρές τιμές (που θεωρούνται μηδενικές) κυμαίνονται και οι δεσμοί κύλισης όπως φαίνεται από το σχήμα 4.6. Επίσης στο σχήμα 4.4 από το διάγραμμα των εσωτερικών δυνάμεων παρατηρείται ότι η τιμή της δύναμης συγκλίνει στην αναμενόμενη τιμή. Σε σύγκριση με το αντίστοιχο διάγραμμα της δύναμης πίεση με άκαμπτα ακροδάχτυλα (σχήμα 4.8) παρατηρείται η χρονική διαφορά που υπάρχει στην σύγκλιση στην επιθυμητή τιμή. Στα άκαμπτα ακροδάχτυλα φτάνει στην επιθυμητή τιμή, που ορίζεται από το συντελεστή πίεσης του ελεγκτή, σε χρόνο μικρότερο από, ενώ στα παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα ο χρόνος αυτός είναι περίπου. Αυτό συμβαίνει λόγω της μη χρήσης δεσμών στα παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα. Επιπλέον όπως έχει αναφερθεί στην 3.4, η τιμή της δύναμης πίεσης στη δεύτερη περίπτωση είναι συνάρτηση της παραμόρφωσης. Επομένως η κατάληξη της δύναμης αυτής εξαρτάται από την παραμόρφωση και συνεπώς από την γωνία στροφής του αντικειμένου. Έτσι η τελική τιμή της δεν μπορεί να προβλεφθεί ακριβώς. 4.4 Συμπεράσματα Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάστηκαν οι προσομοιώσεις που διενεργήθηκαν με τα μοντέλα των άκαμπτων και παραμορφώσιμων ακροδαχτύλων κάνοντας χρήση του σήματος ελέγχου που περιγράφηκε στην 3.4. Και στις δύο προσομοιώσεις επιβεβαιώθηκαν τα θεωρητικά αποτελέσματα της 3.4. Πιο συγκεκριμένα, στην προσομοίωση με άκαμπτα ακροδάχτυλα το σύστημα καταλήγει σε κατάσταση ισορροπίας αφού οι ταχύτητες του συστήματος μηδενίζονται και τα ακροδάχτυλα είναι το ένα απέναντι από το άλλο. Επίσης, οι κάθετες και εφαπτομενικές δυνάμεις καταλήγουν στις προβλεπόμενες τιμές από την θεωρητική ανάλυση (παράγραφος 3.3), και οι γωνίες που σχηματίζονται από τις επιβαλλόμενες δυνάμεις με την κάθετο στην επιφάνεια επαφής είναι σε αποδεκτές τιμές (μικρότερες των 45 ο ). Εξίσου ικανοποιητικές είναι και οι τιμές των ολόνομων δεσμών, οι οποίες είναι πολύ μικρές και μπορούν να θεωρηθούν μηδενικές, αλλά και της ταχύτητας ολίσθησης (που προκύπτει από τη μέθοδο προσομοίωσης των δεσμών) όπου η τιμή της είναι σε χαμηλά επίπεδα. Επίσης, διαπιστώθηκε πειραματικά η εξάρτηση των τιμών αυτών από τις τιμές των κερδών της μεθόδου σταθεροποίησης των δεσμών αλλά και από τη μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης που επιλέγεται. Στην προσομοίωση με το μοντέλο των παραμορφώσιμων ακροδαχτύλων, το σύστημα καταλήγει και πάλι σε ισορροπία αφού και σε αυτή την προσομοίωση οι ταχύτητες του συστήματος μηδενίζονται και ισχύει η σχέση. Όμως στο μοντέλο αυτό η απόκριση του συστήματος είναι πιο αργή, φαινόμενο που οφείλεται στη μη χρήση των δεσμών επαφής. Χωρίς τους δεσμούς επαφής οι κάθετες δυνάμεις δεν φτάνουν τόσο γρήγορα στις επιθυμητές τιμές και για αυτό τον λόγο ο χρόνος που χρειάζεται ώστε να στραφεί το αντικείμενο και να βρεθούν τα ακροδάχτυλα απέναντι το ένα από το άλλο είναι μεγαλύτερος. Τέλος, παρόμοια καθυστέρηση παρατηρήθηκε και στην απόκριση της εσωτερικής δύναμης, η οποία όμως εξαρτάται άμεσα και 44

45 Κεφάλαιο 4: Προσομοίωση συστήματος με περιορισμούς κίνησης από την παραμόρφωση των ακροδαχτύλων με αποτέλεσμα η τελική τιμής να μην μπορεί να υπολογιστεί εκ των προτέρων. Στα επόμενα κεφάλαια γίνεται μοντελοποίηση της κύλισης ώστε η χρήση των δεσμών κύλισης να αποφεύγεται. 45

46 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής 5. Εισαγωγικά Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε για την απαλοιφή των περιορισμών κύλισης. Πιο συγκεκριμένα αναφέρεται η θεωρία για τις δυνάμεις επαφής, ορίζεται ο κώνος τριβής καθώς και η συλλογιστική για την ανάπτυξη του μοντέλου. Για τον έλεγχο της αξιοπιστία του μοντέλου παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης για την περίπτωση που οι δυνάμεις επαφής είναι διαρκώς εντός κώνου και η σύγκρισή τους με τα αντίστοιχα αποτελέσματα της προσομοίωσης με χρήση των δεσμών κύλισης. 5.2 Ανάλυση τριβής σε επιφάνεια επαφής Κατά την επαφή δύο σωμάτων η εφαπτομενική δύναμη που αναπτύσσεται, περιορίζεται από τη δύναμη συνάφειας της επαφής, η οποία είναι διαμοριακή ελκτική δύναμη και αποτελεί τη μέγιστη δύναμη που μπορεί να συγκρατήσει την επαφή δύο σωμάτων. Η έντασή της ποικίλει σε σχέση με το είδος των επιφανειών και τις ιδιότητες των υλικών, ενώ ο εκ των προτέρων υπολογισμός αυτής αποτελεί σύνθετη διαδικασία και σε αρκετές περιπτώσεις είναι αδύνατος. Όπως αναφέρθηκε η δύναμη συνάφειας είναι το άνω όριο της στατικής τριβής σε μια επαφή. Η τριβή είναι μια δύναμη αντίστασης ως προς τη σχετική κίνηση δύο επιφανειών και για αυτό το λόγω είναι πάντα αντίθετη προς την φορά κίνησης ή της πιθανής κίνησης. Διακρίνεται σε στατική τριβή και σε τριβή ολίσθησης. Η στατική τριβή είναι η δύναμη που εμποδίζει το σώμα να κινηθεί και εμφανίζεται όταν δεν ολισθαίνει, η μέγιστη τιμή της οποίας καθορίζεται από τον συντελεστή στατικής τριβής και την κάθετη-στην επιφάνεια επαφής- δύναμη. Με επιβαλλόμενη εφαπτομενική δύναμη μεγαλύτερης του ορίου της στατικής τριβής εμφανίζεται η τριβή ολίσθησης. Η τριβή ολίσθησης είναι η δύναμη που αντιστέκεται στη σχετική κίνηση μεταξύ δύο σωμάτων. Επομένως, για να μην υπάρχει ολίσθηση θα πρέπει η εφαπτομενική δύναμη να τηρεί την παρακάτω συνθήκη: Ο συντελεστής στατικής τριβής ορίζει την γωνία του κώνου τριβής, λόγω του ότι αποτελεί την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζουν οι δύο συνιστώσες στην οριακή κατάσταση (σχήμα 5.2). Εντός του κώνου τριβής εμφανίζεται η στατική τριβή ενώ εκτός κώνου υπάρχει ολίσθηση η οποία προκαλεί την τριβή ολίσθησης. Ενδεικτικές τιμές του κώνου τριβής αναφέρονται στον πίνακα 5.. Όπως φαίνεται και στο σχήμα 5.2 η οριακή γωνία αποτελεί την αντίστροφη της εφαπτομένης δηλαδή: (5.) (5.2) 46

47 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής Σχήμα 5.: Τριβή σε σχέση με τη ταχύτητα ολίσθησης Σχήμα 5.2: Κώνος τριβής Η τιμή της τριβή ολίσθησης είναι λίγο μικρότερη από τη μέγιστη τιμή της στατικής τριβής (σχήμα 5.). Η μετάβαση από την στατική τριβή στην ολίσθησης είναι στιγμιαία και χαρακτηρίζεται ως άλμα από τη μία κατάσταση στην άλλη. Για να αποφευχθεί αυτή η ασυνέχεια στο μεταβατικό φαινόμενο, χρησιμοποιήθηκε το συνεχές μοντέλο τριβής του Coulomb [6]: Το μοντέλο Coulomb προσεγγίζει την ασυνέχεια της τριβής με την συνάρτηση υπερβολικής εφαπτομένης (σχήμα 5.3) με τον όρο να αντιστοιχεί στην ταχύτητα ολίσθησης. Ο παράγοντας καθορίζει την κλίση της συνάρτησης της υπερβολικής εφαπτομένης. Όταν η ταχύτητα ολίσθησης βρίσκεται εντός των ορίων οι τιμές της ταχύτητας ολίσθησης θεωρούνται μικρές, και μπορούν να ερμηνευτούν είτε σαν την εφαπτομενική παραμόρφωση των σωμάτων που είναι σε επαφή [] (σε παραμορφώσιμα σώματα) είτε σαν ολίσθηση η οποία είναι δύσκολο να γίνει αντιληπτή. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται μικρο-ολίσθηση (microslip) επειδή είναι δύσκολο να γίνει σαφής διάκριση μεταξύ της στατικής κατάστασης και της κατάστασης ολίσθησης. (5.3) Fc/(μ k f n ) -γ γ Vs x -4 Σχήμα 5.3: Μοντέλο τριβής Coulomb Υλικά σε επαφή Κώνος τριβής Ατσάλι σε ατσάλι o Δέρμα σε ξύλο o Γυαλί σε γυαλί o Πάγος σε πάγο 5.76 o Ανθρώπινο δάχτυλο σε 7.23 o o γυάλινο αντικείμενο Πίνακας 5.: Τιμές κώνου τριβής(βλ. παράρτημα) 47

48 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής Από την σχέση τους συνεχούς μοντέλου τριβής Coulomb (σχ. 5.3) φαίνεται ότι λαμβάνεται υπόψιν η κάθετη δύναμη αλλά και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης εξαρτάται (όπως και ο συντελεστής στατικής τριβής) από τις ιδιότητες των υλικών που έρχονται σε επαφή. Είναι ανάλογος του συντελεστή στατικής τριβής με την τιμή του να είναι συνήθως μικρότερη ή ίση από αυτή του. Στα παραμορφώσιμα δάχτυλα, με την επιβολή εφαπτομενικής δύναμης η παραμορφώσιμη περιοχή διαιρείται σε τρία τμήματα, ένα τμήμα προσκόλλησης στο κέντρο και δύο τμήματα ολίσθησης στα άκρα της περιοχής επαφής. Με την δύναμη επαφής να βρίσκεται εντός κώνου, στο τμήμα προσκόλλησης η τριβή είναι στατική ενώ στα τμήματα ολίσθησης η τριβή είναι ολίσθησης. Τα τμήματα αυτά εξαρτώνται από την εφαπτομενική δύναμη που εφαρμόζεται. Όσο μεγαλώνει η εφαπτομενική δύναμη τα τμήματα ολίσθησης μεγαλώνουν και το τμήμα προσκόλλησης μειώνεται. Όταν η εφαπτομενική δύναμη φτάσει σε οριακή τιμή το τμήμα προσκόλλησης εξαλείφεται και το δάχτυλο ολισθαίνει πάνω στην επιφάνεια επαφής. Κατά την επαφή δύο σωμάτων αναπτύσσονται και τριβές λόγω ιξώδους (κατά την κίνηση σε ρευστό) όπως και λόγου της αντίστασης του αέρα. Οι τιμές αυτών των δυνάμεων είναι συναρτήσεις της ταχύτητας ολίσθησης αλλά επειδή είναι πολύ μικρές, σε σύγκριση με τις τιμές των τριβών που αναπτύσσονται λόγω της επαφής των δύο επιφανειών, συνήθως παραλείπονται. Η μελέτη της τριβής είναι ένας από τους κύριους τομείς ενδιαφέροντος τόσο γενικά της μηχανικής όσο και πιο συγκεκριμένα της ρομποτικής. Κατά την μελέτη της τριβής αναπτύχθηκαν μοντέλα που χρησιμοποιήθηκαν στην ανάλυση ΣΑΕ για την επίτευξη κίνησης μεταξύ των σωμάτων που βρίσκονται σε επαφή (όπως το μοντέλο τριβής του LuGre [], το μοντέλο τριβής του Dahl [2]), δηλαδή την επιβολή κατάλληλων δυνάμεων ώστε να ξεπεραστεί το όριο της στατικής τριβής. Όμως στο σύστημα ρομποτικών βραχιόνων-αντικειμένου ο σκοπός αυτός έρχεται σε αντίθεση με τον στόχο της ευσταθούς λαβής, ο οποίος είναι η συγκράτηση της εφαπτομενικής δύναμης εντός των ορίων της στατικής τριβής για την αποφυγή ολίσθησης. Για τον σκοπό αυτό αναπτύχθηκε ένας νέος τρόπος μοντελοποίησης που κάνει σαφής διάκριση της στατικής κατάστασης και κατάστασης ολίσθησης (δυναμικής κατάστασης). Στη συνέχεια του κεφαλαίου παρουσιάζεται η μοντελοποίηση στην στατική κατάσταση. 5.3 Εισαγωγή στατικής τριβής στο σύστημα Για την επίτευξη ευσταθούς λαβής και αντιστάθμισης του βάρους επιβάλλονται από τον έλεγχο των ρομποτικών βραχιόνων δυνάμεις στο σώμα. Η επιβαλλόμενη δύναμη στα σημεία επαφής προέρχεται από τους ελεγκτές που παρουσιάστηκαν στην 3.4. Ο ελεγκτής (σχέσεις (3.58) και (3.65)) επιβάλει μία δύναμη κάθετη στην επιφάνεια επαφής ώστε το αντικείμενο να περιστραφεί για να βρεθούν τα δύο ακροδάχτυλα απέναντι ως προς αυτό. Εκτός από την κάθετη δύναμη επιβάλει και μία εφαπτομενική, η οποία είναι ανάλογη της διαφοράς και 48

49 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής επομένως μειώνεται όσο το ένα ακροδάχτυλο έρχεται απέναντι από το άλλο. Η αντιστάθμιση του βάρους γίνεται από τον ελεγκτή (σχέσεις (3.6) και (3.66) για άκαμπτα και παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα αντίστοιχα). Συνεπώς, η τιμή της εφαπτομενικής δύναμης που προέρχεται από τον έλεγχο είναι το άθροισμα των εφαπτομενικών δυνάμεων που επιβάλλουν οι δύο ελεγκτές ενώ η διεύθυνση της, όπως έχει αναφερθεί, δίνεται από την μερική παράγωγο των δεσμών κύλισης. Για τον υπολογισμό της τιμής της εφαπτομενικής δύναμης ακολουθείται παρόμοια διαδικασία με αυτή της 3.4 υπολογίζονται οι δυνάμεις επαφής. Η γενικευμένη δύναμη στο άκρο του i-στου βραχίονα υπολογίζεται από την σχέση: Η είναι γενικευμένη δύναμη και αποτελείται από την δύναμη και την ροπή που εμφανίζεται στο άκρο του βραχίονα, δηλαδή: (5.4) Η μεταφορά της δύναμης στο σημείο επαφής δίνει και πάλι μια γενικευμένη δύναμη: Στη συνέχεια, η έκφραση της δύναμης επαφής στο πλαίσιο του αντικειμένου είναι: έτσι η εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης επαφής δίνεται από τη σχέση: Είναι σημαντικό να τονιστεί πως η ολίσθηση του αντικειμένου στο σύστημα που μελετάται έχει άμεση σχέση με την αντιστάθμιση του βάρους του, δηλαδή το σώμα δεν ολισθαίνει όταν οι επιβαλλόμενες δυνάμεις είναι ικανές να εξισορροπήσουν το βάρος του αντικειμένου ενώ σε αντίθετη περίπτωση θα υπάρχει ολίσθηση προς την κατεύθυνση του βάρους. Στην εφαπτομενική διεύθυνση η αντιστάθμιση του βάρους επιτυγχάνεται όταν η εφαπτομενική δύναμη έχει την τιμή που δίνεται από την σχέση (5.5). Στην περίπτωση που υπάρχει ολίσθηση η εφαπτομενική δύναμη είναι ένα μέρος της τιμής που δίνεται από την (5.5) και καθορίζεται από τον συντελεστή στατικής τριβής, όπως θα δούμε πιο αναλυτικά στο κεφάλαιο 6. Εκτός από την εφαπτομενική δύναμη που προέρχεται από τον έλεγχο, στην επαφή επιδρά επιπλέον και μια δύναμη τριβής. Σε περίπτωση που παραληφθεί η δύναμη τριβής, η επαφή είναι παρόμοια με επαφή πάγου με πάγο, όπου ο συντελεστής τριβής είναι ο μικρότερος που έχει παρατηρηθεί. Το αποτέλεσμα θα ήταν να υπάρχει συνεχώς ολίσθηση και τελικά το σύστημα να ακολουθεί πορεία αποσβενύμενης ταλάντωσης γύρω από τη θέση ισορροπίας. Για την μοντελοποίηση της δύναμης τριβής έγινε χρήση του συνεχούς μοντέλου τριβής Coulomb (5.5) 49

50 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής (σχ. (5.3)), που αναλύθηκε στη προηγούμενη παράγραφο. Επομένως η συνολική εφαπτομενική δύναμη στο σημείο επαφής είναι: Με την εισαγωγή της παραπάνω δύναμης κατά την εφαπτομενική διεύθυνση, οι εφαπτομενικές δυνάμεις θα είναι ικανές να επιφέρουν μόνο κύλιση και όχι ολίσθηση και η πορεία του συστήματος να είναι η ίδια όπως με τη χρήση δεσμών κύλισης. Η κύλιση χωρίς ολίσθηση σημαίνει ότι η επιβαλλόμενη δύναμη στο σημείο επαφής είναι συνεχώς εντός του κώνου τριβής, δηλαδή παρομοιάζεται με δυνατότητα κώνου τριβής 8 ο. Επομένως, η σχέση (5.6) αποτελεί τη μοντελοποίηση της στατικής τριβής για το σύστημα. Με την χρήση αυτού του μοντέλου οι διαφορικές εξισώσεις του συστήματος γίνονται για άκαμπτα ακροδάχτυλα: (5.6) όπου, ο πίνακας διευθύνσεων των κάθετων δυνάμεων και να δίνονται από τις σχέσεις (2.6) και (2.). Ενώ με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα οι διαφορικές εξισώσεις γίνονται:, 5.3. Προσομοιώσεις με άκαμπτα ακροδάχτυλα Σε αυτή τη παράγραφο παρουσιάζονται προσομοιώσεις του συστήματος χωρίς δεσμούς κύλισης που δείχνουν της εγκυρότητα της ανάλυσης του μοντέλου που προηγήθηκε. Αρχικά έγινε προσομοίωση με τα δεδομένα της 4.3. Τα δεδομένα της προσομοίωσης είναι: 5

51 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις Για να γίνει η σύγκριση του μοντέλου αυτού με το μοντέλο με χρήση δεσμών κύλισης θεωρήθηκε άπειρος κώνος τριβής, όπως θεωρείται ότι υπάρχει με χρήση δεσμών κύλισης. Στο μοντέλο τριβής Coulomb επιλέχθηκαν οι τιμές και επειδή θεωρήθηκε άπειρος κώνος τριβής επιλέχθηκε αρκετά μεγάλη και η τιμή του συντελεστή τριβής ολίσθησης. Στις επόμενες σελίδες παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης σε κοινά διαγράμματα με αυτά της παραγράφου 4.3. Με μαύρο χρώμα είναι τα αποτελέσματα της παραγράφου 4.3 με δεσμούς κύλισης και με κόκκινο χρώμα τα αποτελέσματα χωρίς τη χρήση δεσμών κύλισης. 6 x Σχήμα 5.4: Ταχύτητες συστήματος και 5

52 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής γωνία στροφής αντικειμένου 2 x -3 Y,Y (α) (β) Γωνία των δυνάμεων στο σημείο επαφής (γ) (δ) Εφαπτομενικές δυνάμεις (ε) (στ) Σχήμα 5.5: α) Γωνία στροφής του αντικειμένου, β) τροχιά των σημείων επαφής, γ) γωνίες των δυνάμεων επαφής, δ) σχετικός προσανατολισμός των ρομποτικών βραχιόνων, ε-στ) δυνάμεις επαφής 52

53 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής 2.5 Εσωτερική δύναμη Σχήμα 5.6: Εσωτερική δύναμη και αρχική και τελική θέση του συστήματος 6 x -6 ταχύτητα ολίσθησης.5 Τριβή Coulomb (α) (β) Σχήμα 5.7: Ταχύτητα ολίσθησης και τριβή Coulomb Στα σχήματα από τα διαγράμματα των προσομοιώσεων παρατηρείται η πλήρης ταύτιση των αποτελεσμάτων μεταξύ των δύο μοντέλων, κριτήριο που οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η μοντελοποίηση χωρίς δεσμούς είναι σωστή. Ακόμα παρατηρείται από το σχήμα 5.7α ότι η ταχύτητα ολίσθησης είναι πολύ μικρότερης τάξης από τη μεταφορική ταχύτητα του αντικειμένου, και για αυτό το λόγο κρίνεται ικανοποιητική. Επίσης στο σχήμα 5.7β το διάγραμμα της τριβής Coulomb ακολουθεί αυτό της ταχύτητας, επειδή είναι συνάρτηση της ταχύτητας ολίσθησης (σχέση (5.3)) και δεν βρίσκεται στον κορεσμό. Η τριβή Coulomb δεν βρίσκεται σε κατάσταση κορεσμού επειδή η ταχύτητα ολίσθησης είναι μικρότερη από το κατώφλι. Οι μικρές τιμές της ταχύτητας ολίσθησης που παρατηρούνται μπορούν να ερμηνευτούν σαν η παραμόρφωση των δύο επιφανειών που είναι σε επαφή(?). Τέλος, ενώ ο κώνος τριβής είχε θεωρηθεί από το διάγραμμα των γωνιών των δυνάμεων(σχήμα 5.5) παρατηρείται ότι μπορούσε να θεωρηθεί μικρότερος κώνος, μέχρι. 53

54 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής Για τον έλεγχο της αξιοπιστίας της μοντελοποίησης που ακολουθήθηκε, παρουσιάζονται επιπλέον τρείς προσομοιώσεις με διαφορετικές αρχικές αποστάσεις και συγκρίνονται οι γωνίες και καθώς και τα διαστήματα με και χωρίς δεσμούς επαφής(με μπλε χώμα τα αποτελέσματα χωρίς δεσμούς κύλισης, με κόκκινο χρώμα τα αποτελέσματα με δεσμούς κύλισης): Προσομοίωση 2 γωνία στροφής αντικειμένου 4 2 x -3 Y,Y Προσομοίωση 2 γωνία στροφής αντικειμένου x -3 Y,Y Προσομοίωση γωνία στροφής αντικειμένου 5.5 x -3 Y,Y Πίνακας 5.2: Δεδομένα και αποτελέσματα προσομοιώσεων 54

55 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής Παρατηρείται ταύτιση των αποτελεσμάτων σε όλες τις προσομοιώσεις, και κατά συνέπεια επιβεβαιώνεται περισσότερο η ορθότητα και αξιοπιστία της μεθόδου που ακολουθήθηκε Προσομοιώσεις με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα Τα δεδομένα της προσομοίωσης παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις Χαρακτηριστικά παραμορφώσιμου ακροδαχτύλου Το σήμα ελέγχου παρέμεινε το ίδιο, δηλαδή με τους ελεγκτές να δίνονται από τη σχέσεις (3.42) και (3.43). Ακόμα για το μοντέλο τριβής Coulomb επιλέχθηκαν οι τιμές και και ο κώνος τριβής θεωρήθηκε. Ο συντελεστής πίεσης επιλέχθηκε ώστε η τελική τιμή της εσωτερικής δύναμης να είναι περίπου. Ακόμα για να είναι οι αρχικές κάθετες δυνάμεις κοντά στα επιλέχθηκε η αρχική παραμόρφωση, που αντιστοιχεί σε αρχική κάθετη δύναμη. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης παρουσιάζονται σε κοινό διάγραμμα με τα αντίστοιχα της 4.3. Το κόκκινο χρώμα αντιστοιχεί στη προσομοίωση χωρίς δεσμούς κύλισης ενώ το μαύρο χρώμα στην προσομοίωση με δεσμούς κύλισης. Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης: Σχήμα 5.8: Ταχύτητες των αρθρώσεων των ρομποτικών βραχιόνων 55

56 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής x γωνία στροφής αντικειμένου 2 x -3 Y,Y Γωνία των δυνάμεων στο σημείο επαφής Σχήμα 5.9: Μεταφορική ταχύτητα του αντικειμένου, διαφορά, γωνία στροφής του αντικειμένου, τροχιά σημείων επαφής, γωνίες των δυνάμεων επαφής, σχετικός προσανατολισμός των ρομποτικών βραχιόνων ως προς το πλαίσιο {Ο} 56

57 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής 3 Κάθετες δυνάμεις.6 Εφαπτομενικές δυνάμεις Εσωτερική δύναμη Σχήμα 5.: Δυνάμεις επαφής, εσωτερική δύναμη και αρχική και τελική θέση συστήματος 6 x -6 ταχύτητα ολίσθησης.5 Τριβή Coulomb (α) (β) Σχήμα 5.: Ταχύτητα ολίσθησης και τριβή Coulomb Και σε αυτές τις προσομοιώσεις στα σχήματα υπάρχει ταύτιση των αποτελεσμάτων. Το σήμα ελέγχου καταφέρνει να κρατήσει το αντικείμενο και επιτυγχάνεται 57

58 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής ευσταθής λαβή του αντικειμένου. Οι γωνίες των δυνάμεων είναι μικρότερες από τις, πράγμα που σημαίνει ότι ο κώνος τριβής μπορούσε να θεωρηθεί μικρότερος. Ακόμα η ταχύτητα ολίσθησης στο σχήμα 5.α είναι σε αρκετά χαμηλά επίπεδα σε σχέση με τη μεταφορική ταχύτητα του αντικειμένου. Επομένως η τριβή Coulomb στο σχήμα 5.β δεν φτάνει στον κορεσμό αλλά ακολουθεί το διάγραμμα της ταχύτητας ολίσθησης. Επίσης η εσωτερική δύναμη κυμαίνεται στα ίδια επίπεδα. Για την εξακρίβωση της αξιοπιστίας της μεθόδου και στα παραμορφώσιμα δάχτυλα παρουσιάζονται σε κοινό διάγραμμα οι γωνίες και όπως και τα διαστήματα και, από τρείς διαφορετικές προσομοιώσεις που διενεργήθηκαν με και χωρίς δεσμούς επαφής. Το κόκκινο χρώμα αντιστοιχεί στις προσομοιώσεις χωρίς δεσμούς επαφής και το μαύρο χρώμα σε προσομοιώσεις με δεσμούς επαφής. Προσομοίωση 6 γωνία στροφής αντικειμένου 4 2 x -3 Y,Y Προσομοίωση γωνία στροφής αντικειμένου 4 3 x -3 Y,Y Πίνακας 5.3: Δεδομένα και αποτελέσματα προσομοιώσεων(α) 58

59 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής Προσομοίωση 3 7 γωνία στροφής αντικειμένου 5.5 x -3 Y,Y Πίνακας 5.4: Δεδομένα και αποτελέσματα προσομοιώσεων(β) Και στις τρεις προσομοιώσεις παρατηρείται ταύτιση των αποτελεσμάτων, πράγμα που επιβεβαιώνει ακόμα περισσότερο την αξιοπιστία της μεθόδου. Αξίζει να σημειωθεί ότι με την χρήση παραμορφώσιμων ακροδαχτύλων και την απαλοιφή των δεσμών κύλισης, στο σύστημα δεν γίνεται χρήση δεσμών, επομένως το σύστημα είναι απαλλαγμένο από τεχνητούς περιορισμούς. Με αυτό τον τρόπο ανταποκρίνεται περισσότερο στην κατάσταση που υπάρχει στη φύση αφού πλέον είναι δυνατό να μην βρίσκεται συνεχώς στη στατική κατάσταση αλλά να υπάρξει και ολίσθηση στο σύστημα. Για τη μετάβαση από τη μία κατάσταση στην άλλη έγινε η μοντελοποίηση που θα παρουσιαστεί στο επόμενο κεφάλαιο. 5.4 Επίδραση της τριβής Coulomb Όπως έχει αναφερθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης εξαρτάται από τις ιδιότητες των υλικών που είναι σε επαφή και η τιμή του πλησιάζει αυτή του συντελεστή στατικής τριβής και συνήθως είναι μικρότερη από αυτή του. Για την επιτυχία της μοντελοποίησης χωρίς δεσμούς κύλισης καθοριστικό ρόλο έχει η συνεπής επιλογή των συντελεστών και, ώστε η σχέση των δύο συντελεστών πρέπει να τηρείται την παραπάνω σχέση. Σε αυτή την παράγραφο θα δείξουμε πως η μη συνεπής επιλογή των συντελεστών μπορεί να οδηγήσει σε μη φυσικά αποτελέσματα. Η τριβή Coulomb εξαρτάται άμεσα από τον συντελεστή τριβής ολίσθησης, αφού καθορίζει την μέγιστη τιμή της (τιμή κορεσμού). Στις προσομοιώσεις του κεφαλαίου που προηγήθηκαν θεωρήθηκε κώνος τριβής, πράγμα που σημαίνει ότι και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης θα πρέπει να είναι εξίσου μεγάλος. Με κώνο τριβής, η εφαπτομενική δύναμη θα είναι πάντα μέσα στα όρια της στατικής τριβής, με αποτέλεσμα την μη ύπαρξη ολίσθησης. Για αυτό τον λόγο στις προσομοιώσεις αυτού του κεφαλαίου που προηγήθηκαν, ο συντελεστής τριβής ολίσθησης επιλέχθηκε να είναι. Για να παρατηρηθεί η επίδραση της συνέπειας της τιμής του στο μοντέλο της τριβής, διεξήχθησαν τρείς προσομοιώσεις με ίδια αρχικά δεδομένα αλλάζοντας την τιμή του. Για την ευκολότερη κατανόηση της 59

60 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής επίδρασης του, παρουσιάζονται σε κοινά διαγράμματα οι προσομοιώσεις για τιμές του. Τα δεδομένα των προσομοιώσεων δίνονται στον επόμενο πίνακα: Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις Ακολουθούν τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων: (α) (β) 6 x (γ) (δ) Σχήμα 5.2:Ταχύτητες του συστήματος και διαφορά 6

61 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής γωνία στροφής του αντικειμένου 2 x -3 Y,Y (α) (β) 34 Γωνίες των δυνάμεων στο σημείο επαφής (γ) (δ) 2.75 Κάθετες δυνάμεις.6 Εφαπτομενικές δυνάμεις (ε) (στ) Σχήμα 5.3: α) Γωνία στροφής του αντικειμένου, β) τροχιά των σημείων επαφής, γ) γωνία των δυνάμεων επαφής, δ) σχετικός προσανατολισμός του αντικειμένου, ε-στ) δυνάμεις επαφής 6

62 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής 2.5 Εσωτερική δύναμη.5 Τριβή Coulomb (α) (β) 2 x -3 ταχύτητα ολίσθησης x -5 ταχύτητα ολίσθησης (γ) (δ) Σχήμα 5.4: α) Εσωτερική δύναμη, β) Τριβή Coulomb, γ) ταχύτητα ολίσθησης, δ) λεπτομέρεια του διαγράμματος της ταχύτητας ολίσθησης Αρχικά, από τα σχήματα παρατηρείται ίδια συμπεριφορά του συστήματος με επιλογή συντελεστή τριβής ολίσθησης και, δηλαδή τα διαγράμματα των καταστάσεων και των δυνάμεων είναι ταυτόσημα. Διαφορετική συμπεριφορά παρουσιάζεται όταν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης παίρνει την τιμή. Για να εξηγηθεί η αιτία αυτού του φαινομένου ιδιαίτερη σημασία πρέπει να δοθεί στα διαγράμματα της ταχύτητας ολίσθησης (σχήμα 5.4γ-δ) και της τριβής Coulomb (σχήμα 5.4β). Για τις τιμές και η ταχύτητα ολίσθησης είναι σε πολύ χαμηλά επίπεδα (φαινόμενο micro-slip) κάτι που δεν συμβαίνει με, όπου εμφανίζεται ολίσθηση ίδιας τάξης μεγέθους με τη μεταφορική ταχύτητα του αντικειμένου. Όπως έχει αναφερθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης καθορίζει την τιμή κορεσμού της τριβής Coulomb. Με επιλογή αρκετά μικρού συντελεστή η τιμή κορεσμού μειώνεται αισθητά και επομένως η συνολική εφαπτομενική δύναμη δεν είναι αρκετή για επιτευχθεί μόνο κύλιση, φαινόμενο που έρχεται σε αντιπαράθεση με την υπόθεση άπειρου κώνου τριβής ( ). Στο διάγραμμα της τριβής Coulomb στο σχήμα 62

63 Κεφάλαιο 5: Απαλοιφή δεσμών κύλισης και εισαγωγή τριβής 5.5β, φαίνεται ότι για η τριβή Coulomb και στις δύο επαφές βρίσκεται για ένα διάστημα στον κορεσμό, ενώ για και οι αντίστοιχες τριβές Coulomb δεν βρίσκονται στον κορεσμό σε κανένα σημείο. Η τιμή της τριβής Coulomb φτάνει στον κορεσμό για εξαιτίας της μεγάλης τιμής στην ταχύτητα ολίσθησης όπως φαίνεται στο σχήμα 5.4γ. Η διαφορά στην τάξη μεγέθους στις ταχύτητες ολίσθησης είναι εμφανής. Από τα διαγράμματα των ταχυτήτων ολίσθησης, για και η ταχύτητα ολίσθησης τάξης (μικρότερη από ) όπως φαίνεται στο σχήμα 5.4δ, ενώ για είναι τάξης (μεγαλύτερη από ). Η τριβή Coulomb βγαίνει από τον κορεσμό περίπου σε και αντίστοιχα σε κάθε επαφή, όπου και η αντίστοιχη ταχύτητα ολίσθησης εισέρχεται σε επίπεδα μικρότερα του κατωφλίου. Αυτό είναι εμφανές στο διάγραμμα της τριβής Coulomb, ειδικότερα για την τριβή Coulomb που εμφανίζεται στην αριστερή (i=) επαφή (σχήμα 5.4β). Όπως αναφέρθηκε, η εμφάνιση ολίσθησης αντιβαίνει την αρχική υπόθεση ότι οι δυνάμεις στις επαφές βρίσκονται πάντα εντός κώνου τριβής, αφού επιλέχθηκε κώνος τριβής 8 ο ( ), και επομένως αναμένονταν κύλιση χωρίς ολίσθηση. Αυτό το αντιφατικό γεγονός δείχνει πόσο σημαντική για την αξιοπιστία της μοντελοποίησης είναι η συνεπής επιλογή συντελεστών στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης. Σε αυτό το σημείο πρέπει να επισημανθεί ότι οι τιμές των συντελεστών στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης έχουν συνήθως διαφορά τάξης, όπως φαίνεται και στον πίνακα που βρίσκεται στο παράρτημα. Στη συγκεκριμένη προσομοίωση θεωρήθηκε κώνος τριβής επομένως άπειρος συντελεστής στατικής τριβής και συντελεστής τριβής ολίσθησης αρκετά μικρός. Αυτές οι ιδιότητες δεν υπάρχουν στην φύση και οι προσομοιώσεις έγιναν για να παρατηρηθούν τα αποτελέσματα της μη συνεπούς επιλογής. 5.5 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό έγινε μελέτη του συστήματος χωρίς τη χρήση δεσμών κύλισης όταν το σύστημα βρίσκεται εντός κώνου τριβής. Για την απαλοιφή των δεσμών κύλισης, οι συντελεστές Lagrange αντικαταστάθηκαν από τις τιμές της στατικής τριβής και διαπιστώθηκε η αξιοπιστία της μεθόδου πειραματικά με τη διεξαγωγή προσομοιώσεων για και την σύγκριση των αποτελεσμάτων με αυτά της χρήσης δεσμών. Ακόμα διαπιστώθηκε πως το σύστημα εκτός από πιο ρεαλιστικό είναι και πιο εύκολα διαχειρίσιμο, αφού για τον υπολογισμό των τιμών των δυνάμεων επαφής δεν απαιτείται η προσομοίωση των δεσμών, δηλαδή των αλγεβρικών εξισώσεων η οποία απαιτεί ειδικά εργαλεία. Επιπλέον έγινε μελέτη της επίδρασης μοντέλου τριβής Coulomb και κατανοήθηκε η συσχέτιση του συντελεστή στατικής τριβής με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης. Διαπιστώθηκε πως με επιλογή κατάλληλου συντελεστή σε σχέση με τον κώνο τριβής, το μοντέλο διατηρεί την αξιοπιστία του. 63

64 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης 6. Εισαγωγικά Σε αυτό το κεφάλαιο μελετάται η συμπεριφορά του συστήματος όταν υπάρχει ολίσθηση στις επαφές. Διακρίνεται η κατάσταση ολίσθησης (δυναμική) από την κατάσταση στατικής τριβής (στατική). Εξετάζονται οι προϋποθέσεις εμφάνισης ολίσθησης και παρουσιάζεται η μέθοδος μοντελοποίησης και προσομοίωσης της κατάστασης ολίσθησης, και επίσης εξετάζεται η αξιοπιστία των σημάτων ελέγχου που σχεδιάστηκαν με βάση τα μοντέλα με περιορισμούς. 6.2: Μετάβαση μεταξύ στατικής κατάστασης και κατάστασης ολίσθησης Στην περίπτωση που οι εφαπτομενικές δυνάμεις δεν καταφέρνουν να αντισταθμίσουν το βάρος του αντικειμένου, εμφανίζεται ολίσθηση του αντικειμένου προς τα κάτω. Επομένως στα σημεία επαφής εμφανίζεται ταχύτητα ολίσθησης. Η δύναμη που εμφανίζεται στα σημεία επαφής και είναι αντίθετη της κίνησης είναι η τριβή ολίσθησης. Πλέον η σχέση (5.6), που περιγράφει την εφαπτομενική δύναμη στο σημείο επαφής, τροποποιείται αφού αναφερόμαστε σε κατάσταση ολίσθησης. Επειδή υπάρχει ολίσθηση, η δύναμη που κάνει αντιστάθμιση του βάρους εμφανίζεται σαν ένα ποσοστό της επιθυμητής, το οποίο καθορίζεται από τον κώνο τριβής. Σε κατάσταση ολίσθησης της επαφής η τιμή της τριβής ολίσθησης παραμένει στο όριο του κώνου (σχήμα 5.2) και πλέον έχει σχέση μόνο με την κάθετη δύναμη. Ακόμα η τριβή Coulomb βρίσκεται στο επίπεδο της τιμής κορεσμού (για ταχύτητες ολίσθησης ). Επομένως, στην περίπτωση που υπάρχει ολίσθηση ισχύει: ή για κάθε επαφή: (6.) (6.2) έχοντας θεωρήσει ισοκατανομή του βάρους στους δύο βραχίονες. Στην κατάσταση ολίσθησης η εφαπτομενική δύναμη που προκύπτει από το σήμα ελέγχου δεν μπορεί να εφαρμοστεί εξολοκλήρου επειδή αυτό θα σήμαινε ότι αντισταθμίζεται όλο το μέρος του βάρους που αντιστοιχεί στην i-στη επαφή. Αντί αυτής της δύναμης, εφαρμόζεται η εφαπτομενική δύναμη στο όριο του κώνου τριβής, που προκύπτει από το γινόμενο της κάθετης δύναμης επί τον συντελεστή στατικής τριβής, ο οποίος αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της γωνίας του κώνου τριβής. Επομένως, Εκτός από την (6.3) στην επαφή επιδρούν και δυνάμεις τριβής οι οποίες αντιπροσωπεύονται από την τριβή Coulomb. Σύμφωνα με το συνεχές μοντέλο της τριβής Coulomb (σχέση 5.3) όταν υπάρχει ολίσθηση η τιμή της τριβής Coulomb βρίσκεται σε επίπεδα κορεσμού (saturation) 64

65 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης επειδή οι τιμές της ταχύτητας ολίσθησης είναι μεγαλύτερες από την οριακή τιμή απόλυτη τιμή). Επομένως, η εφαπτομενική δύναμη στη κατάσταση ολίσθησης είναι: (κατά (6.4) όπου η γωνία του κώνου τριβής δίνεται από την σχέση (5.2). Έχοντας εξετάσει πλέον τις τιμές της εφαπτομενικής δύναμης και στις δύο καταστάσεις επαφής, η πλήρης μοντελοποίηση της εφαπτομενικής δύναμης στη στατική και δυναμική κατάσταση, λαμβάνοντας υπόψιν την σχέση (5.5), είναι: (6.5) Όπως έχει αναφερθεί, για να υπάρχει κύλιση χωρίς ολίσθηση, η δύναμη επαφής πρέπει να βρίσκεται εντός κώνου τριβής, ο οποίος εξαρτάται από τα υλικά που είναι σε επαφή. Για να είναι η δύναμη επαφής εντός κώνου τριβής, δηλαδή να υπάρχει στατική κατάσταση επαφής, η τιμή της εφαπτομενικής δύναμης πρέπει να είναι μικρότερη από. Επομένως μπορεί να γίνει διαχωρισμός των καταστάσεων ως εξής: : στατική κατάσταση επαφής (κύλιση χωρίς ολίσθηση) : δυναμική κατάσταση επαφής (κύλιση με ολίσθηση) Επειδή το μέγεθος του κώνου τριβής είναι χαρακτηριστικό των υλικών που βρίσκονται σε επαφή, παρατηρείται ότι η κάθετη δύναμη καθορίζει την κατάσταση της επαφής. Επιπλέον, η κάθετη δύναμη έχει άμεση σχέση με το μέγεθος της δύναμης καταπόνησης δηλαδή πόσο πιέζουν οι βραχίονες το αντικείμενο. Συνεπώς, με λανθασμένη εκτίμηση απαιτούμενης δύναμης πίεσης, η επιβαλλόμενη δύναμη θα βρεθεί εκτός κώνου τριβής και θα υπάρχει κύλιση με ολίσθηση (δυναμική κατάσταση επαφής). Το φαινόμενο αυτό και η συμπεριφορά του συστήματος εξετάζονται στην επόμενη παράγραφο Προσομοιώσεις σε κατάσταση ολίσθησης Οι προσομοιώσεις έγιναν με επιλογή τρόπου ολοκλήρωσης με ανίχνευση γεγονότων (events). Αρχικά ορίστηκε η οριακή κατάσταση: Η μετάβαση μεταξύ των καταστάσεων επαφής καθορίζεται από τα γεγονότα παρουσιάζονται. Για αυτό τον λόγο ορίστηκαν δύο γεγονότα για κάθε επαφή, για την είσοδο και την έξοδο της δύναμης επαφής από τον κώνο τριβής. Δηλαδή γίνεται έλεγχος επαλήθευσης της οριακής κατάστασης και ανάλογα με την φορά που σημειώνεται, διακρίνονται τα γεγονότα και η κατάσταση που ακολουθεί. Επιπλέον, επειδή η χρήση δεσμών αποτελεί μια μη φυσική κατάσταση, στις προσομοιώσεις έγινε χρήση της μοντελοποίησης με παραμορφώσιμα ακροδάχτυλα. (6.6) 65

66 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Στις προσομοιώσεις που ακολουθούν επιλέχθηκε συγκεκριμένος κώνος τριβής 28. ο ( ) που αντιστοιχεί σε επαφή δέρματος με ξύλο ή με βρεγμένο μέταλλο και έχει συντελεστές τριβής και. Η αρχική κάθετη δύναμη και ο παράγοντας πίεσης του ελεγκτή (σχέση 3.65) είναι διαφορετικές σε κάθε πείραμα ώστε να παρατηρηθεί η συμπεριφορά του συστήματος όταν οι δυνάμεις επαφής βρίσκονται εντός και εκτός κώνου τριβής. Σημείωση: στις προσομοιώσεις που ακολουθούν θεωρήθηκε αντικείμενο άπειρου μήκους ενώ για λόγους καλύτερης αντίληψης στην απεικόνιση του αντικειμένου το μήκος είναι συγκεκριμένο. Εξαιτίας του άπειρου μήκους του αντικειμένου η επιτάχυνση που κινείται το αντικείμενο έχοντας χάσει την επαφή με τους βραχίονες δεν είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Προσομοίωση : αρχική κατάσταση και ολίσθηση Σε αυτή την προσομοίωση το σώμα βρίσκεται αρχικά σε κατακόρυφη θέση και τα ακροδάχτυλα βρίσκονται απέναντι το ένα με το άλλο σε σχέση με το αντικείμενο Ακόμα επιλέχθηκαν η αρχική παραμόρφωση, που αντιστοιχεί σε αρχική κάθετη δύναμη και ο παράγοντας πίεσης, που δίνει τελική κάθετη δύναμη περίπου, δηλαδή επιλέχθηκε ίδια αρχική και τελική τιμή. Με αυτό τον τρόπο η δύναμη επαφής θα βρίσκεται εκτός κώνου τριβής, και αναμένεται να υπάρξει ολίσθηση του αντικειμένου. Για να γίνει αντιληπτή η διαφορετική συμπεριφορά του συστήματος με τη μοντελοποίηση που αναφέρθηκε, με τις ίδιες αρχικές τιμές έγινε και προσομοίωση με χρήση δεσμών κύλισης και τα αποτελέσματα των δύο προσομοιώσεων παρουσιάζονται σε κοινά διαγράμματα. Τα δεδομένα των προσομοιώσεων παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις Χαρακτηριστικά παραμορφώσιμου ακροδαχτύλου Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων παρουσιάζονται παρακάτω: 66

67 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Σχήμα 6.: Αρχική(μπλε χρώμα) και τελική(κόκκινο χρώμα) θέση του αντικειμένου. Όπως βλέπουμε στο σχήμα 6. ενώ η θέση των ρομποτικών βραχιόνων έχει μείνει η ίδια το σώμα έχει πέσει. Αυτό ήταν αναμενόμενο αφού οι δυνάμεις που εφαρμόζονται δεν είναι ικανές για να το συγκρατήσουν. Αξίζει να σημειωθεί πως η διάρκεια της προσομοίωσης είναι μόλις Δηλαδή σε χρόνο λιγότερου του μισού δευτερολέπτου οι ρομποτικοί βραχίονες έχουν χάσει πλήρως την επαφή με το αντικείμενο. Η πορεία του αντικειμένου γίνεται καλύτερα αντιληπτή στα παρακάτω διαγράμματα. ταχύτητα ολίσθησης (α) (β) Σχήμα 6.2: Ταχύτητα ολίσθησης και ταχύτητα του αντικειμένου Στο σχήμα 6.2 παρατηρείται ότι το αποτέλεσμα των δυνάμεων που εφαρμόζονται είναι η εμφάνιση ταχύτητας ολίσθησης στις επαφές. Οι ταχύτητες ολίσθησης είναι ίσες αφού εμφανίζεται ολίσθηση και στις δύο επαφές και το σώμα πέφτει κατακόρυφα. Για αυτό τον λόγο η τιμή της ταχύτητας του αντικειμένου στον y-άξονα του αδρανειακού πλαισίου, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.2α, είναι ίδια με την τιμή της ταχύτητας ολίσθησης. Ακόμα στο σχήμα 6.3 φαίνεται ότι η θέση του αλλάζει (πέφτει προς τα κάτω) σε αντίθεση με την ακινησία που παρουσιάζεται με τη χρήση δεσμών κύλισης. Η εξέλιξη αυτή είναι αναμενόμενη αφού με την χρήση δεσμών κύλισης η εφαπτομενική δύναμη είναι η απαιτούμενη για να μην υπάρξει ολίσθηση. Αυτό αποτελεί απόδειξη της μη εγκυρότητας των δεσμών στην πράξη, επειδή αν και επιλέχθηκαν συνθήκες ολίσθησης, με τη χρήση δεσμών το σώμα συγκρατήθηκε, πράγμα που είναι αντιφατικό. Στα σχήματα 6.4 και 6.5 παρουσιάζονται οι δυνάμεις που εφαρμόζονται στο σώμα με δεσμούς επαφής και με ολίσθηση. 67

68 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Σχήμα 6.3: Κατακόρυφη θέση του κέντρου μάζας του αντικειμένου.5 Κάθετες δυνάμεις.5 Εσωτερική δύναμη (α) (β) Σχήμα 6.4:Κάθετη και εσωτερική δύναμη με και χωρίς δεσμούς κύλισης.3 Εφαπτομενικές δυνάμεις 2.5 Συνισταμένη εφαπτομενικών δυνάμεων (α) (β) Σχήμα 6.5: Εφαπτομενική δύναμη και συνισταμένη εφαπτομενικών δυνάμεων με και χωρίς δεσμούς κύλισης 68

69 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στο διάγραμμα του σχήματος 6.5α και 6.5β, που παρουσιάζονται οι εφαπτομενικές δυνάμεις και το άθροισμα τους σε κατάσταση ολίσθησης και με χρήση δεσμών κύλισης, από τα οποία φαίνεται ότι οι δυνάμεις που εφαρμόζει το σήμα ελέγχου είναι μικρότερες από τις δυνάμεις που εφαρμόζονται με τη χρήση δεσμών (δηλαδή οι απαιτούμενες για κύλιση χωρίς ολίσθηση). Έτσι ο ελεγκτής αποτυγχάνει να συγκρατήσει το αντικείμενο. Στο σχήμα 6.4 παρατηρείται ταύτιση των διαγραμμάτων της κάθετης και εσωτερικής δύναμης όπως ήταν αναμενόμενο από την επιλογή ίδιας τιμής για την αρχική και τελική κάθετη δύναμη. Επίσης, επειδή οι ρομποτικοί βραχίονες βρίσκονται σε αντικατοπτρική θέση, εμφανίζονται μικρές διαταραχές στο διάγραμμα της διαφοράς των αποστάσεων και στη γωνία στροφής του σχήματος 6.6, οι οποίες δεν λαμβάνονται υπόψιν εξαιτίας της τάξης μεγέθους τους. 2.5 x - 3 x -7 γωνία στροφής αντικειμένου (α) Σχήμα 6.6: Διαφορά απόστασης (β) και γωνία στροφής του αντικειμένου Επιπλέον, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.7α, η τριβή Coulomb βρίσκεται στην τιμή κορεσμού. Η τιμή της στο σημείο αυτό είναι ίδια με την τιμή της κάθετης δύναμης επί τον συντελεστή, όπως προβλέπεται από την σχέση (5.3). Η τριβή Coulomb βρίσκεται στον κορεσμό επειδή υπάρχει ολίσθηση και η ταχύτητα ολίσθησης είναι μεγαλύτερη από το κατώφλι. Ακόμα η τιμή της είναι θετική, επομένως η φορά της είναι κατά τα θετικάy δηλαδή είναι αντίθετη της κίνησης. Επίσης, από το σχήμα 6.7β παρατηρείται πως η γωνία που σχηματίζουν οι επιβαλλόμενες δυνάμεις δεν πλησιάζουν τη γωνία του κώνου τριβής ( ). Αυτό είναι αναμενόμενο από τις συνθήκες της προσομοίωσης και δείχνει ότι οι επιβαλλόμενες δυνάμεις βρίσκονται εκτός κώνου τριβής. Καταλήγοντας, παρατηρείται ότι με την μοντελοποίηση χωρίς δεσμούς το αντικείμενο ακολουθεί φυσιολογική πορεία, δηλαδή ολισθαίνει, πράγμα που δεν συμβαίνει με τη μοντελοποίηση με δεσμούς όπου συγκρατείται το αντικείμενο, σε αντίθεση με τις συνθήκες της προσομοίωσης. 69

70 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης.5 Τριβή Coulomb 5 Γωνία των δυνάμεων στο σημείο επαφής (α) Σχήμα 6.7: Τριβή Coulomb (β) Προσομοίωση 2: αρχική κατάσταση με και ολίσθηση Σε αυτή την προσομοίωση το αντικείμενο είναι και πάλι σε αρχική κατακόρυφη θέση, όμως τα ακροδάχτυλα δεν βρίσκονται απέναντι αλλά απέχουν μεταξύ τους 5mm. Η αρχική παραμόρφωση των ακροδαχτύλων παρέμεινε η ίδια, που αντιστοιχεί σε αρχική κάθετη δύναμη, ώστε η δύναμη επαφής αρχικά να είναι εκτός κώνου τριβής. Για να μην χαθεί σε σύντομο χρονικό διάστημα η επαφή των ακροδαχτύλων με το αντικείμενο, η τιμή του παράγοντα πίεσης επιλέχθηκε να είναι μεγαλύτερη, δηλαδή, που αντιστοιχεί σε τελική κάθετη δύναμη περίπου,η οποία επίσης αναμένεται να είναι εκτός κώνου τριβής και επομένως τα δάχτυλα να μην καταφέρουν να συγκρατήσουν το αντικείμενο. Τα δεδομένα της προσομοίωσης δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις.4 Χαρακτηριστικά παραμορφώσιμου ακροδαχτύλου Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης παρουσιάζονται παρακάτω: 7

71 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Σχήμα 6.8: Αρχική(μπλε χρώμα) και τελική(κόκκινο χρώμα) θέση του αντικειμένου. Η διάρκεια προσομοίωσης είναι αυτή τη φορά. Παρατηρώντας το σχήμα 6.8, φαίνεται ότι η απόσταση των δύο ακροδαχτύλων δεν είναι μηδενική, δηλαδή τα ακροδάχτυλα δεν βρίσκονται απέναντι το ένα προς το άλλο. Αυτό δηλώνει πως ο ελεγκτής έχει αποτύχει να πιάσει ευσταθώς το αντικείμενο. Στο σχήμα 6.9α το διάγραμμα της διαφοράς επιβεβαιώνει αυτή την εκτίμηση. Ακόμα στο σχήμα 6.9β στο διάγραμμα της γωνίας στροφής, παρατηρείται διαφορά ανάμεσα στην προσομοίωση με ολίσθηση και στην προσομοίωση με χρήση δεσμών κύλισης Επειδή ο ελεγκτής δεν μπορεί να εκτιμήσει την εμφάνιση ολίσθησης στις επαφές η δύναμη που επιβάλει δεν είναι ικανή να συγκρατήσει το αντικείμενο. Ο ελεγκτής, που στρέφει το σώμα ώστε να φέρει το ένα ακροδάχτυλο απέναντι στο άλλο, δεν καταφέρνει να στρέψει το αντικείμενο όπως στην περίπτωση των δεσμών, εξαιτίας της ύπαρξης ολίσθησης. Πρέπει να σημειωθεί ότι η αύξηση του συντελεστή πίεσης απέδωσε μεν το επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλαδή μετά το πέρας δεν έχει χαθεί η επαφή, αλλά οι ρομποτικοί βραχίονες αποτυγχάνουν να συγκρατήσουν το αντικείμενο γωνία στροφής αντικειμένου (α) Σχήμα 6.9: Διαφορά (β) και γωνία στροφής Λόγω του μεγαλύτερου συντελεστή η ταχύτητα ολίσθησης βρίσκεται σε χαμηλότερα επίπεδα από την προηγούμενη προσομοίωση όπως φαίνεται στο σχήμα 6.α Η μεγάλη τιμή της ταχύτητας ολίσθησης στην αρχή του πειράματος οφείλεται στην μικρή τιμή της αρχικής 7

72 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης κάθετης δύναμης που είναι. Στη συνέχεια μειώνεται όμως εξακολουθεί να βρίσκεται σε επίπεδα μεγαλύτερα του. Επειδή σε αυτή την προσομοίωση υπάρχει στροφή του αντικειμένου, η ολίσθηση του σώματος γίνεται υπό γωνία. Έτσι το σώμα έχει μεταφορική ταχύτητα και στη οριζόντια αλλά και στην κατακόρυφη συνιστώσα του αδρανειακού πλαισίου, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.β.. ταχύτητα ολίσθησης (α) (β) Σχήμα 6.: Ταχύτητα ολίσθησης και ταχύτητες αντικειμένου Οι δυνάμεις επαφής όταν συμβαίνει ολίσθηση δεν κυμαίνονται στα ίδια επίπεδα με τις αντίστοιχες με τη χρήση δεσμών κύλισης. Η κάθετη δύναμη επηρεάζεται από την γωνία στροφής επειδή η παραμόρφωση υπολογίζεται συναρτήσει της γωνίας (σχέση 2.2). Η εφαπτομενική δύναμη εξαρτάται από την κάθετη δύναμη (σχέση 6.4) και επομένως υπάρχει απόκλιση από τις αντίστοιχες τιμές με χρήση δεσμών κύλισης. Τα διαγράμματα αυτά παρουσιάζονται στο σχήμα 6.α-β. Ακόμα στο διάγραμμα της εσωτερικής δύναμης (σχήμα 6.γ) παρατηρείται ότι στην προσομοίωση με την ολίσθηση η τελική δύναμη πίεσης δεν συγκλίνει στην αντίστοιχη τελική τιμή με τη χρήση δεσμών κύλισης, αλλά ακόμα μεταβάλλεται. Αυτό οφείλεται στην διαφορετική γωνία στροφής του σώματος (σχήμα 6.9β) που επηρεάζει την παραμόρφωση των ακροδαχτύλων. Ακόμα μια επίδραση της στροφής του αντικειμένου είναι στο άθροισμα των εφαπτομενικών δυνάμεων. Στο σχήμα 6.δ παρατηρείται ότι ενώ οι τιμές των για τις δύο προσομοιώσεις έχουν μικρή διαφορά, στην προσομοίωση με ολίσθηση η δεν είναι αρκετή ώστε να γίνεται μόνο κύλιση, αφού η στροφή του αντικειμένου ακολουθεί διαφορετική τροχιά. 72

73 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης.8 Κάθετες δυνάμεις.8 Εφαπτομενικές δυνάμεις (α) (β).5 Εσωτερική δύναμη 2.8 Συνισταμένη εφαπτομενικών δυνάμεων (γ) (δ) Σχήμα 6.: Δυνάμεις επαφών με ολίσθηση και με δεσμούς κύλισης Σχήμα 6.2: Τροχιά του κέντρου μάζας του αντικειμένου 73

74 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Επίσης, στα διαγράμματα της θέσης του κέντρου μάζας του αντικειμένου (σχήμα 6.2) παρατηρείται διαφορά, η οποία είναι αναμενόμενη λόγω της ολίσθησης του αντικειμένου υπό γωνία. Στο διάγραμμα των γωνιών των εφαρμοζόμενων δυνάμεων (σχήμα 6.3β) φαίνεται ότι οι γωνίες είναι μεγαλύτερες από την γωνία, όπως είναι αναμενόμενο επειδή οι εφαρμοζόμενες δυνάμεις βρίσκονται εκτός κώνου τριβής. Τέλος, επειδή η τιμή της ολίσθησης βρίσκεται πάνω από το κατώφλι, η τριβή Coulomb (σχήμα 6.3α) είναι σε επίπεδα κορεσμού και ακολουθεί την πορεία της κάθετης δύναμης που φαίνεται στο σχήμα 6.α..7 Τριβή Coulomb 54 Γωνία των δυνάμεων στο σημείο επαφής (α) (β) Σχήμα 6.3: Τριβή Coulomb και γωνίες των δυνάμεων στα σημεία επαφής Προσομοίωση 3: αρχική κατάσταση με και ολίσθηση και επαρκή τελική δύναμη Σε αυτή την προσομοίωση το αντικείμενο είναι και πάλι σε αρχική κατακόρυφη θέση και οι ρομποτικοί βραχίονες βρίσκονται απέναντι ο ένας από τον άλλο. Προσδοκία αυτού του πειράματος είναι το ευσταθές πιάσιμο του αντικειμένου ξεκινώντας από μη επαρκή αρχική κάθετη δύναμη. Σκοπός είναι η αρχική δύναμη επαφής στους δύο βραχίονες να είναι εκτός κώνου τριβής, και να αυξηθεί ώστε η τελική τιμή να βρίσκεται εντός κώνου. Για αυτό τον λόγο επιλέχθηκε μικρή αρχική κάθετη δύναμη που αντιστοιχεί σε αρχική παραμόρφωση. Για να είναι η τελική τιμή της κάθετης δύναμης αρκετή ώστε να κρατηθεί το σώμα, επιλέχθηκε ο συντελεστής πίεσης που αντιστοιχεί σε δύναμη περίπου. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα δεδομένα της προσομοίωσης: 74

75 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις Χαρακτηριστικά παραμορφώσιμου ακροδαχτύλου Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης παρουσιάζονται παρακάτω: Σχήμα 6.4: Αρχική(μπλε χρώμα) και τελική(κόκκινο χρώμα) θέση του αντικειμένου. Στο σχήμα 6.4 παρατηρείται μια αλλαγή της θέσης του αντικειμένου κατά τη διάρκεια του φαινομένου. Η τελική θέση του αντικειμένου είναι ελαφρώς πιο κάτω από την αρχική, επομένως το αντικείμενο κινήθηκε προς τα κάτω, που εξακριβώνεται και στο σχήμα 6.5. Ενώ η οριζόντια θέση του κέντρου μάζας δεν μεταβάλλεται ιδιαίτερα (σχήμα 6.5α), στην κατακόρυφη θέση (σχήμα 6.5β) υπάρχει εμφανής διαφορά μεταξύ της αρχικής και τελικής θέση (α) (β) Σχήμα 6.5: Τροχιά του κέντρου μάζας του αντικειμένου 75

76 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Στο σχήμα 6.6α στο διάγραμμα της μεταφορικής ταχύτητας του αντικειμένου εμφανίζεται αρχικά αύξηση της ταχύτητας. Αυτό συμβαίνει εξαιτίας της μικρής αρχικής κάθετης δύναμης που εφαρμόζεται, δηλαδή η δύναμη που επιβάλλεται είναι εκτός κώνου τριβής με συνέπεια την εμφάνιση ολίσθησης. Με την αύξηση της κάθετης δύναμης, που φαίνεται στο σχήμα 6.7α, η δύναμη επαφής εισέρχεται στον κώνο τριβής όπως φαίνεται και στο σχήμα 6.6β, στο διάγραμμα των γωνιών που σχηματίζουν οι δυνάμεις στις επαφές με την κάθετο (οι κύκλοι δηλώνουν τα events εισόδου στον κώνο τριβής), και η ταχύτητα του αντικειμένου μειώνεται. Όπως παρατηρείται οι γωνίες ξεκινούν από μεγάλη τιμή και στη συνέχεια μειώνονται, πέφτοντας κάτω από τις, καταλήγοντας κοντά στις. Επίσης, με την αύξηση της κάθετης δύναμης, αυξάνεται και η συνισταμένη των εφαπτομενικών δυνάμεων, όπως παρατηρείται στο σχήμα 6.7β, καταλήγοντας σε τιμή ικανή για την αντιστάθμιση του βάρους του αντικειμένου. 9 Γωνία των δυνάμεων στο σημείο επαφής (α) (β) Σχήμα 6.6: Ταχύτητα του αντικειμένου και γωνίες των δυνάμεων επαφής 4.5 Κάθετες δυνάμεις 4 Συνισταμένη εφαπτομενικών δυνάμεων (α) (β) Σχήμα 6.7: Κάθετη δύναμη και συνισταμένη των εφαπτομενικών δυνάμεων (σε κόκκινη διακεκομμένη γραμμή οι αντίστοιχες τιμές με χρήση δεσμών κύλισης) 76

77 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Η ίδια εξέλιξη παρατηρείται και στα διαγράμματα της εσωτερικής και εφαπτομενικής δύναμης στο σχήμα 6.8. Επειδή τα ακροδάχτυλα βρίσκονται απέναντι το ένα από το άλλο ( ) και το αντικείμενο βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση, η εσωτερική δύναμη ταυτίζεται με την κάθετη δύναμη. Η αύξηση της κάθετης δύναμης αυξάνει την οριακή τιμή της εφαπτομενικής δύναμης στον κώνο τριβής, που συνεπάγεται αύξηση των εφαπτομενικών δυνάμεων και την σύγκλιση τους στις αντίστοιχες τιμές με τη χρήση δεσμών κύλισης. Στο διάγραμμα της ταχύτητας ολίσθησης (σχήμα 6.9α) φαίνεται να υπάρχει ολίσθηση όσο οι επιβαλλόμενες δυνάμεις βρίσκονται εκτός κώνου τριβής. Η απότομη μείωση της ταχύτητας ολίσθησης οφείλεται στην γρήγορη αύξηση της κάθετης δύναμης, ενώ με την είσοδο της σε τιμές μικρότερες από το κατώφλι (δηλαδή ) προκαλούνται οι κορυφές στη τριβή Coulomb που φαίνονται στο σχήμα 6.9β. 4.5 Εσωτερική δύναμη 2 Εφαπτομενικές δυνάμεις (α) (β) Σχήμα 6.8: Εσωτερική δύναμη και εφαπτομενικές δυνάμεις επαφής (σε κόκκινη διακεκομμένη γραμμή οι αντίστοιχες τιμές με χρήση δεσμών κύλισης).2 ταχύτητα ολίσθησης.8 Τριβή Coulomb (α) (β) Σχήμα 6.9: Ταχύτητα ολίσθησης και τριβή Coulomb 77

78 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Η διαφορά στην ταχύτητα ολίσθησης μεταξύ αριστερής και δεξιάς επαφής που φαίνεται στο σχήμα 6.9α οφείλεται στην θέση των ρομποτικών βραχιόνων. Επειδή οι βραχίονες δεν βρίσκονται σε αντικατοπτρική θέση επιβάλλονται ελαφρώς διαφορετικές δυνάμεις επαφής με συνέπεια να υπάρχει μεγαλύτερη ολίσθηση στην δεξιά επαφή. Η διαφορά αυτή προκαλεί τις μικρές διαταραχές στα διαγράμματα του σχήματος 6.2. Επιπλέον, η μικρή στροφή του αντικειμένου (σχήμα 6.2β) επηρεάζει τις τιμές των κάθετων και εφαπτομενικών δυνάμεων και για αυτό τον λόγο δεν υπάρχει ταύτιση στις τελικές τιμές τους με τις αντίστοιχες που προκύπτουν με τη χρήση δεσμών κύλισης. x γωνία στροφής αντικειμένου (α) Σχήμα 6.2: Διαφορά (β) και γωνία στροφής του αντικειμένου Προσομοίωση 4: αρχική κατάσταση με και ολίσθηση και επαρκή τελική δύναμη Σε αυτή την προσομοίωση επιδιώκεται να επιτευχθεί ασφαλής λαβή του αντικειμένου με γωνία στροφής διαφορετική του μηδενός, δηλαδή να υπάρχει περιστροφή του αντικειμένου, και με εμφάνιση ολίσθησης. Για να εμφανιστεί ολίσθηση οι επιβαλλόμενες δυνάμεις πρέπει να βρίσκονται εκτός κώνου τριβής και για αυτό τον λόγο επιλέχθηκε μικρή κάθετη δύναμη, η οποία αντιστοιχεί σε παραμόρφωση. Για να επιτευχθεί ασφαλής λαβή πρέπει να γίνεται κύλιση χωρίς ολίσθηση και επομένως οι επιβαλλόμενες δυνάμεις να είναι εντός κώνου τριβής. Για την επίτευξη αυτού του στόχου επιλέχθηκε ο παράγοντας πίεσης να έχει τιμή ώστε η τελική εσωτερική δύναμη να είναι περίπου. Τα δεδομένα και τα αποτελέσματα της προσομοίωσης παρουσιάζονται παρακάτω: 78

79 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις.4 Χαρακτηριστικά παραμορφώσιμου ακροδαχτύλου Σχήμα 6.2: Αρχική και τελική θέση του συστήματος Στο σχήμα 6.2 παρατηρείται μεταβολή μεταξύ της αρχικής και τελικής θέσης. Στο σχήμα 6.22 και 6.23 φαίνεται ότι οι ταχύτητες του συστήματος και η διαφορά μηδενίζονται. Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι επιτεύχθηκε ευσταθής λαβή του αντικειμένου από τους ρομποτικούς βραχίονες. Στο σχήμα 6.23 στα διαγράμματα παρατηρείται ότι έχουν γίνει δύο γεγονότα (τα γεγονότα (events) εμφανίζονται σαν κύκλοι στις αντίστοιχες τιμές). Σχήμα 6.22: Ταχύτητες αρθρώσεων των δύο βραχιόνων 79

80 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης 6 x x Σχήμα 6.23: Μεταφορική ταχύτητα του αντικειμένου και διαφορά Στο σχήμα 6.24β, όπου παρουσιάζεται το διάγραμμα των γωνιών επαφής, διαπιστώνεται ότι και τα δύο γεγονότα είναι γεγονότα εισόδου στον κώνο τριβής, επειδή στις χρονικές στιγμές που εμφανίζονται τα γεγονότα η γωνία γίνεται μικρότερη από που είναι η γωνία του κώνου τριβής. Η επιβαλλόμενη δύναμη στην αριστερή επαφή εισέρχεται στον κώνο τριβής τη χρονική στιγμή ενώ η αντίστοιχη δύναμη στο δεξί βραχίονα εισέρχεται στον κώνο τριβής τη χρονική στιγμή. Το γεγονός ότι οι δυνάμεις αυτές εισέρχονται στον κώνο τριβής γρήγορα σημαίνει ότι η αύξηση της εσωτερικής δύναμης γίνεται γρήγορα, όπως φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος 6.26, και επιφέρει τα επιθυμητά αποτελέσματα. Στο σχήμα 6.25 παρατηρείται ότι τον ίδιο ρυθμό αύξησης έχουν και οι κάθετες και εφαπτομενικές δυνάμεις. 2 γωνία στροφής του αντικειμένου 9 Γωνίες δυνάμεων επαφής (α) (β) Σχήμα 6.24: Γωνία στροφής του αντικειμένου και γωνίες των επιβαλλόμενων δυνάμεων 8

81 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης 3.5 Κάθετες δυνάμεις 2 Εφαπτομενικές δυνάμεις Σχήμα 6.25: Δυνάμεις επαφής 3.5 Εσωτερική δύναμη Σχήμα 6.26: Εσωτερική δύναμη Επειδή αρχικά οι δυνάμεις επαφής βρίσκονταν εκτός κώνου τριβής ήταν αναμενόμενο να υπάρξει ολίσθηση του σώματος όπως φαίνεται και από το διάγραμμα της ταχύτητας ολίσθησης του σχήματος 6.27α. Με την είσοδο των επιβαλλόμενων δυνάμεων εντός κώνου τριβής η τιμή της ταχύτητας ολίσθησης πέφτει κάτω από την οριακή κατάσταση ( ) και θεωρείται ότι τα ακροδάχτυλα κυλάνε χωρίς να ολισθαίνουνε πάνω στην επιφάνεια επαφής. Εφόσον υπάρχει κύλιση χωρίς ολίσθηση το σήμα ελέγχου καταφέρνει να πετύχει ασφαλή λαβή του αντικειμένου. Η ολίσθηση που παρουσιάστηκε επηρεάζει την κίνηση του αντικειμένου όπως φαίνεται στα διαγράμματα της τροχιάς του κέντρου μάζας του αντικειμένου που φαίνονται στο σχήμα Στα διαγράμματα αυτά παρουσιάζεται και η τροχιά του κέντρου μάζας επαναλαμβάνοντας το ίδιο πείραμα κάνοντας χρήση δεσμών κύλισης, και παρατηρείται απόκλιση μεταξύ των δύο αποκρίσεων. Πρέπει να σημειωθεί ότι η επιλογή της τελικής τιμής της εσωτερικής πίεσης ήταν ικανή να συγκρατήσει το αντικείμενο και τελικά να επιτευχθεί ασφαλής λαβή. 8

82 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης.2 ταχύτητα ολίσθησης Τριβή coulomb (α) (β) Σχήμα 6.27: Ταχύτητα ολίσθησης και τριβή Coulomb Σχήμα 6.28: Τροχιά του κέντρου μάζας του αντικειμένου Προσομοίωση 5: αρχική κατάσταση με δύναμης και ολίσθηση με διόρθωση τελικής Σε αυτή την προσομοίωση επιχειρείται να δειχθεί η σημασία της σωστής εκτίμησης της πίεσης που χρειάζεται για να συγκρατηθεί το αντικείμενο. Για τις ανάγκες της προσομοίωσης μειώθηκε ο κώνος τριβής στις (, ) και επιλέχθηκε που αντιστοιχεί σε επαφή αλουμινίου με τεφλόν. Αρχικά το αντικείμενο βρίσκεται σε οριζόντια θέση ενώ οι ρομποτικοί βραχίονες τοποθετήθηκαν σε αντικατοπτρική θέση επιβάλλοντας δύναμη η οποία να βρίσκεται εκτός κώνου τριβής. Για αυτό τον λόγο επιλέχθηκε αρχική παραμόρφωση των ακροδαχτύλων που αντιστοιχεί σε κάθετη δύναμη. Επιπλέον επιλέχθηκε αρχικό που αντιστοιχεί σε τελική κάθετη δύναμη περίπου, η οποία όμως και πάλι δεν αρκεί να φέρει η δύναμη εντός κώνου τριβής. Υποθέτοντας ότι η ολίσθηση γίνεται αντιληπτή κάποιο αισθητήριο αφής όταν η ταχύτητα 82

83 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης ολίσθησης ξεπερνά την τιμή (το οποίο έχει οριστεί σαν ένα επιπλέον γεγονός), ο παράγοντας πίεσης αυξάνεται εκθετικά σύμφωνα με τον τύπο με όπου η χρονική στιγμή του γεγονότος ανίχνευσης ολίσθησης και ο ρυθμός αύξησης. (6.6) Επιλέχθηκε που αντιστοιχεί σε κάθετη δύναμη περίπου, η οποία είναι ικανή να φέρει την επιβαλλόμενη δύναμη εντός κώνου τριβής. Επιπλέον επιλέχθηκε ώστε ο παράγοντας πίεσης να τείνει με γρήγορο ρυθμό στην τιμή. Με αυτό τον τρόπο επιδιώκεται να βρεθούν οι επιβαλλόμενες δυνάμεις εντός κώνου τριβής και να σταματήσει η ολίσθηση του αντικειμένου. Ακολουθούν τα δεδομένα και τα αποτελέσματα της προσομοίωσης: Κέρδη ελεγκτή Αντικείμενο Ρομποτικοί βραχίονες Αρχικές αποστάσεις Χαρακτηριστικά παραμορφώσιμου ακροδαχτύλου Σχήμα 6.29: Αρχική και τελική θέση του συστήματος Στο σχήμα 6.29 παρατηρείται ότι το αντικείμενο έχει ολισθήσει προς τα κάτω. Στο σχήμα 6.3 φαίνεται ότι υπάρχει μεταβολή της πορείας των δυνάμεων επαφής με το γεγονός ανίχνευσης ολίσθησης τη χρονική στιγμή. Πιο συγκεκριμένα, στο σχήμα 6.3α φαίνεται ότι η κάθετη δύναμη τείνει να σταθεροποιηθεί κοντά στα και με την ανίχνευση της ολίσθησης αυξάνεται με ρυθμό που προσδιορίζεται από τη σχέση (6.6) τείνοντας στα. 83

84 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης 8 Κάθετες δυνάμεις 2.5 Εφαπτομενικές δυνάμεις (α) (β) Σχήμα 6.3: Δυνάμεις επαφής 8 Εσωτερική δύναμη 9 Γωνία των δυνάμεων στο σημείο επαφής (α) (β) Σχήμα 6.3: Εσωτερική δύναμη και γωνία των δυνάμεων επαφής Με την αύξηση της κάθετης δύναμης, η γωνία που σχηματίζουν οι επιβαλλόμενες δυνάμεις με την κάθετο μειώνεται όπως φαίνεται στο σχήμα 6.3β. Στην χρονική στιγμή η γίνεται μικρότερη από και συνεπώς οι επιβαλλόμενες δυνάμεις εισέρχονται στον κώνο τριβής. Με την είσοδο στον κώνο τριβής οι εφαπτομενικές δυνάμεις είναι πλέον ικανές να αντισταθμίσουν πλήρως το βάρος του αντικειμένου. Σαν συνέπεια αυτού η μεταφορική ταχύτητα του αντικειμένου και η ταχύτητα ολίσθησης βρίσκονται πλέον σε τιμές πολύ κοντά στο μηδέν όπως φαίνεται στο σχήμα

85 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης.35 ταχύτητα ολίσθησης (α) (β) Σχήμα 6.32: Ταχύτητα ολίσθησης και μεταφορική ταχύτητα του αντικειμένου.2 Τριβή Coulomb Σχήμα 6.33: Τριβή Coulomb Η απότομη πτώση που παρουσιάζει η τριβή Coulomb στο σχήμα 6.33 οφείλεται στην μείωση της ταχύτητας ολίσθησης κάτω από την τιμή, δηλαδή σε περιοχή τιμών όπου η ταχύτητα ολίσθησης είναι θεωρητικά μηδέν. Η απότομη κλίση της τριβής Coulomb στο σημείο αυτό επηρεάζει μεν περισσότερο τις εφαπτομενικές δυνάμεις που φαίνονται στο σχήμα 6.3β, φαινόμενο που δικαιολογείται από τη σχέση (6.5), αλλά έχει επίδραση σε όλη τη συμπεριφορά του συστήματος όπως παρατηρείται από τις απότομες αλλαγές και τις μικρές ταλαντώσεις που εμφανίζονται σε όλα τα διαγράμματα της προσομοίωσης. Στα διαγράμματα του σχήματος 6.34 φαίνεται ότι οι ταχύτητες των αρθρώσεων μηδενίζονται με την είσοδο των επιβαλλόμενων δυνάμεων στον κώνο τριβής. Στο σχήμα 6.35 εμφανίζονται πολύ μικρές διαταραχές στα διαγράμματα της διαφοράς και της γωνίας στροφής του αντικειμένου, οι οποίες εξαιτίας της τάξης μεγέθους δεν επηρεάζουν τη συμπεριφορά του συστήματος και δεν λαμβάνονται υπόψιν. 85

86 Κεφάλαιο 6: Μοντελοποίηση στην κατάσταση ολίσθησης (α) (β) Σχήμα 6.34: Ταχύτητες αρθρώσεων των ρομποτικών βραχιόνων.5 x -2 3 x -9 γωνία στροφής αντικειμένου Σχήμα 6.35: Διαφορά και γωνία στροφής του αντικειμένου 6.3 Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό έγινε μελέτη της συμπεριφορά του συστήματος όταν οι δυνάμεις στις επαφές είναι εκτός κώνου τριβής. Στην περίπτωση αυτή εμφανίζεται ολίσθηση του αντικειμένου και ο ελεγκτής αποτυγχάνει να πιάσει ευσταθώς το αντικείμενο. Αυτό συμβαίνει επειδή ο ελεγκτής δεν χρησιμοποιεί καμία μέθοδο υπολογισμού του συντελεστή τριβής και επομένως δεν έχει γνώση της κατάστασης που βρίσκονται οι επαφές (στατική ή ολίσθησης). Με αύξηση της πίεσης και κατά συνέπεια της κάθετης δύναμης επιτυγχάνεται ευσταθής λαβή του αντικειμένου. Έτσι οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι με τη λανθασμένη εκτίμηση της απαιτούμενης κάθετης δύναμης και του συντελεστή τριβής, ο έλεγχος που χρησιμοποιήθηκε αποτυγχάνει να πετύχει ευσταθή λαβή. Η απαιτούμενη κάθετη δύναμη στο σύστημα καθορίζεται από τον συντελεστή στατικής τριβής και από το βάρος του σώματος. Όπως έγινε κατανοητό από την μελέτη που προηγήθηκε, για την επίτευξη ευσταθούς λαβής είναι απαραίτητος ο υπολογισμός της 86