Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος"

Transcript

1 Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος

2 Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται από τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν αναλυτικά τη σχέση ανάµεσα στις ροπές των κινητήρων που κινούν τις αρθρώσεις του βραχίονα και την Κίνηση (θέση προσανατολισµός), και αλληλεπίδραση της κατασκευής (µέσα στο / µε το) περιβάλλον.

3 Μεθοδολογίες Δυναµικής Ροµποτικών Βραχιόνων Οι δυναµικές εξισώσεις είναι δυνατό να αναπτυχθούν στον τρισδιάστατο χώρο λειτουργίας του ροµπότ στον χώρο των µεταβλητών των αρθρώσεων του. Στα πλαίσια του µαθήµατος θα ασχοληθούµε µε το δυναµικό µοντέλο του χώρου αρθρώσεων. u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Για την εξαγωγή του εφαρµόζονται διάφορες µέθοδοι, όπως Euer-Lagrange, Newton-Euer Kane H πιο (εκπαιδευτικά) κατάλληλη είναι η µέθοδος Euer- Lagrange που θα παρουσιαστεί και στη συνέχεια.

4 H Μέθοδος Euer-Lagrange ( =,, ) λ i i n Γενικευµένες συντεταγµένες: περιγράφουν τις θέσεις των συνδέσµων. Λαγκρανζιανή (Lagrangian): συνάρτηση των γενικευµένων συντεταγµένων = T ( λ,! λ) U λ L λ,! λ T: ολική κινητική ενέργεια του συστήµατος U: ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος. Ροµποτικός βραχίονας: ως γενικευµένες συντεταγµένες µπορούν να επιλεγούν οι µεταβλητές των αρθρώσεων,! " λ! λ n Οι δυναµικές εξισώσεις του βραχίονα προκύπτουν από την παρακάτω σχέση ξ i d dt όπου είναι η γενικευµένη δύναµη που αντιστοιχεί στη γενικευµένη συντεταγµένη. = q =! L "! λ L = ξ i λ i i! " q! q n i =,,n

5 H Μέθοδος Euer-Lagrange Οι γενικευµένες δυνάµεις προκύπτουν από τις µησυντηρητικές δυνάµεις που ασκούνται στην κατασκευή, π.χ. τις ροπές των κινητήρων που οδηγούν τις αρθρώσεις, τις ροπές τριβής στις αρθρώσεις καθώς επίσης και τις ροπές που αναπτύσσονται στις αρθρώσεις ως αποτέλεσµα των δυνάµεων επαφής που ασκούνται στο εργαλείο. Η σχέση d dt! L! λ L = ξ " i λ i i i=,, n i =,,n όταν εφαρµοστεί για µας δίνει τις αναλυτικές σχέσεις που ισχύουν ανάµεσα στις γενικευµένες δυνάµεις που ασκούνται στο βραχίονα και στις µετατοπίσεις, τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις των αρθρώσεων. βασίζεται στην ολική κινητική και την ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος.

6 Προσδιορισµός της Ολικής Κινητικής Θεωρούµε ένα ροµποτικό βραχίονα µε n συνδέσµους. Η ολική κινητική ενέργεια ενός βραχίονα προκύπτει ως άθροισµα των συνεισφορών κινητικής ενέργειας λόγω κίνησης των συνδέσµων και των αντίστοιχων επενεργητών των T q,!q που ευρίσκονται επι των συνδέσµων: n i=! " = T ( i q,!q ) +T ( mi q,!q ) T i q,!q Ενέργειας είναι η κινητική ενέργεια του i-συνδέσµου, και T ( mi q,!q ) είναι η κινητική ενέργεια του κινητήρα που ευρίσκεται επι του i-συνδέσµου. z 0 x 0 y 0 z 0 x 0 y 0 p i p" i p i p! mi ω i p mi r i ω mi

7 Προσδιορισµός της Ολικής Η ολική δυναµική ενέργεια ενός βραχίονα προκύπτει ως άθροισµα των συνεισφορών δυναµικής ενέργειας των συνδέσµων και Δυναµικής Ενέργειας των επενεργητών των αρθρώσεων p i " p i p i ω i r i n δυναµική ενέργεια του συνδέσµου i U q = U q + U i m q i i= z 0 ω mi x 0 y 0 p! mi p mi δυναµική ενέργεια του κινητήρα που επενεργεί στην άρθρωση i z 0 x 0 y 0

8 Προσδιορισµός των Εξισώσεων Με δεδοµένες την ολική κινητική και την ολική δυναµική ενέργεια από τις σχέσεις που έχουν προηγηθεί, προκύπτουν: n n T ( q,!q ) = T i +T mi U( q) = ( U ( q) + U ) i m q i Η Λαγκρανζιανή: Κίνησης L( q,!q ) = T ( q,!q ) U ( q) που µέσω των εξισώσεων Euer-Lagrange: d dt i=! L "!q i L = ξ q i i i =,,n οδηγούν στις δυναµικές εξισώσεις τύπου Euer-Lagrange του ροµπότ: B(q) q!! +C(q,!q)!q +G(q) = ξ i=

9 Με βάση τη παραπάνω µεθοδολογία το δυναµικό µοντέλλο ενός ροµποτικού βραχίονα είναι όπου : µητρώο αδράνειας. Bq Το Δυναµικό Μοντέλλο B(q)!! q +C(q,!q)!q +G(q) = ξ b ( q) b ( q) Τα διαγώνια στοιχεία του αναπαριστούν τη ροπή αδράνειας του άξονα της άρθρωσης i, στην ii εκάστοτε θέση του βραχίονα, όταν οι υπόλοιπες αρθρώσεις είναι ακίνητες. Τα µη διαγώνια στοιχεία του ij περιγράφουν το αποτέλεσµα της επιτάχυνσης της άρθρωσης j στην άρθρωση i. C(q,!q) : µητρώο, το οποίο περιέχει τις φυγόκεντρες ροπές και τις ροπές Coriois που αναπτύσσονται στο βραχίονα. Προκύπτει από το µητρώο κινητικής ενέργειας, µετά από παραγωγίσεις. Gq : διάνυσµα βαρυτικών όρων, εξαρτώνται µόνο από τις µετατοπίσεις των αρθρώσεων του βραχίονα και προέρχονται από την ολική δυναµική ενέργεια και συνιστούν. Αναπαριστούν τη ροπή που αναπτύσσεται στον άξονα µιας άρθρωσης, στην εκάστοτε θέση του βραχίονα, λόγω βαρύτητας. : µη συντηρητικές δυνάµεις που παράγουν έργο στις αρθρώσεις του βραχίονα: ξ F, F ξ = τ F u!q i F s sgn(!q i ) x < 0 sgn(x) = 0 x = 0 + x > 0 u s : διαγώνια µητρώα των σταθερών ιξώδους και στατικής τριβής του, αντίστοιχα.

10 Το Δυναµικό Μοντέλο συνεχ. Στην περίπτωση που το εργαλείο του βραχίονα βρίσκεται σε επαφή µε το περιβάλλο ένα µέρος των ροπών χρησιµοποιείται για να αντισταθµίσει τις ροπές που αναπτύσσονται στις αρθρώσεις λόγω των δυνάµεων επαφής: Jq T τ contact = J ( q) h : γεωµετρική Ιακωβιανή που έχει προκύψει από τη διαφορική κινηµατική και T.! h = f T µ T R : σύνθετο διάνυσµα δυνάµεων ροπών που ασκούνται " από ( f R ) ( µ R ) το εργαλείο του βραχίονα στο περιβάλλον. Συνοψίζοντας όσα αναφέραµε πιο πάνω, το Δυναµικό µοντέλο χώρου αρθρώσεων ενός ροµποτικού βραχίονα µπορούν να γραφτούν σε µητρωϊκή µορφή ως εξής: B(q) q!! +C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h = τ Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου: αφορούν τον Πίνακα αδράνειας τον διάνυσµα Φυγόκεντρων και Coriois τους όρους Βαρύτητας και Ιξώδους Τριβής, και την Γραµµικότητα του Δυναµικού µοντέλου ώς προς τις Γεωµετρικές και Μηχανικές Παραµέτρους

11 H Μέθοδος Euer-Lagrange: Παράδειγµα- Μ τ : Ροπή Κινητήρα Ι : Ροπή Αδράνειας θ m : µάζα οµογενούς συνδέσµου : µήκος συνδέσµου L θ = m g sinθ L θ! = I θ! d dt! L " θ! L T = I θ! U = m g θ ( cos ) L = T U = I θ! m g ( cosθ) θ = ξ I!! θ + m g sinθ = τ Απλός και ευθύς τρόπος. Ενδείκνυται όταν η απλότητα της διάταξης το επιτρέπει. (Τι γίνεται όµως όταν έχουµε πολύπλοκους µηχανισµούς?) B(q)!! q +C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h = τ

12 H Μέθοδος Euer-Lagrange: Παράδειγµα- B(q)!! q +C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h = τ

13 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο πίνακας Αδράνειας Ο πίνακας αδράνειας Εξάρτάται από την «θεση» q του βραχίονα: = B T ( q) είναι συµµετρικός: B q, και θετικά ορισµένος: x T B( q) x > 0 x R n,x 0 Είναι άνω και κάτω φραγµένος µ I n n B( q) µ I n n. 0 / 0 x T B q µ I n n x T µ I n n B q R n n B q ( ) x 0 x Rn Ο αντίστροφός του είναι άνω κάτω φραγµένος µ I n n B q µ I n n ( ) x 0 x Rn

14 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο πίνακας Αδράνειας Για τα µ,µ ισχύει, αναλογα µε το άν ο βραχίονας έχει όλες τις αρθρώσεις του: περιστροφικές: µ,µ = const. γιατί τα στοιχεία του B(q) περιέχουν sin(.), cos(.) µ,µ Δεδοµένου ότι ο B(q) είναι φραγµένος, τότε πρισµατικές: είναι βαθµωτές συναρτήσεις του q M B q M όπου η νόρµα του B(q) µπορεί να είναι οιαδήποτε ορισµένη νόρµα:,, p,

15 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο όρος Φυγόκεντρων Coriois Αν " C q,!q c q,!q Για το k-στοιχείο του ισχύει: c ( k q,!q ) =!q T S ( k q)!q S ( k q) = * b k q +, b k, q µε b k : την k-στήλη του Β(q) + c q,!q!q c q,!q! q Ο όρος είναι τετραγωνικός ώς προς το και c ( k q,!q ) = C ( q,!q )!q p c!q Για τα p c ισχύει, αναλογα µε το άν ο βραχίονας έχει όλες τις αρθρώσεις του: περιστροφικές: p c = const. γιατί τα στοιχεία του B(q) περιέχουν µόνο συναρτήσεις sin(.), cos(.) του q. πρισµατικές: p c είναι βαθµωτή συνάρτηση του q ( T B q k - / /.

16 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : ο όρος Φυγόκεντρων Coriois Ενώ το διάνυσµα c q,!q είναι δεδοµένο για δεδοµένο βραχίονα, ο πίνακας C q,!q δεν είναι µονοσήµαντα ορισµένος Αν ορίσουµε τον πίνακα " C q,!q N q,!q!q " B! ( q) C ( q,!q ) C q,!q Ανεξαρτήτως επιλογής του ισχύει!q T N ( q,!q ) q = 0 Με κατάλληλη επιλογή του (χρήση συµβόλων Christoffe) τότε ο πίνακας είναι αντισυµµέτρικός, δηλ. και εποµένως ισχύει: = N Τ ( q,!q ) N q,!q C q,!q w T N (q,!q) w = 0 w

17 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Βαρυτικός όρος Ιξώδους Τριβής B(q)!! q + C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q)+ G(q)+ J T (q) h = τ Ο όρος της ιξώδους τριβής είναι φραγµένος F u!q f max!q Ο όρος της βαρύτητας είναι φραγµένος G( q ) g b q Για τ συνάρτηση g b (q) ισχύει, αναλογα µε το άν ο βραχίονας έχει όλες τις αρθρώσεις του: περιστροφικές: g b (q) = const. γιατί τα στοιχεία του G(q) περιέχουν µόνο συναρτήσεις sin(.), cos(.) του q. πρισµατικές: g b (q) είναι βαθµωτή συνάρτηση του q

18 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Γραµµικότητα ως προς Γεωµετρικές Μηχανικές Παραµέτρους Το δυναµικό µοντέλο ενός βραχίονα είναι: Μία µη-γραµµική (στη γενική περίπτωση) συνάρτηση των ( q,!q,!! q) B(q)!! q + C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q)+ G(q)+ J T (q) h = τ Μία γραµµική, ως προς τις γεωµετρικές µηχανικές παραµέτρους (π.χ. µάζες, αδράνειες, τριβές, κλπ) του βραχίονα, συνάρτηση Y ( q,!q, q!! ) π = τ

19 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Γραµµικότητα ως προς Γεωµετρικές Μηχανικές Παραµέτρους H γραµµική»-µορφή του δυναµικού µοντέλου E-L είναι χρήσιµη για την αναγνώριση των (πιθανά) αγνώστων παραµέτρων π του βραχίονα µέσω της εξής µεθοδολογίας: Εκτελούνται τροχίες ( q( t),!q ( t),!! q ( t )) t " 0,t f Κατά την διάρκεια αυτών «καταγράφονται» οι τιµές ( q( t i ),!q ( t i ),!! q ( t ),τ ( t )) i i t i 0,t f i = 0,,," Δηµιουργούµε τα (τεράστια) διανύσµατα Τ και (ψηλό) πίνακα Υ βαζοντας τα τ(t i ) και Υ(t i ) το ένα πάνω στο άλλο Η εκτίµηση του π δίδεται από τον ψευδοανάστροφο π = Υ Τ! ( Υ Τ Υ) Υ Τ Τ

20 B(q) q!! +C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h = τ Αυτό είναι η µορφή αντίστροφης δυναµικής που ουσιαστικά αφορά τον προσδιορισµό των ροπών που είναι αναγκαίες για να υλοποιήσουν αυτή την κίνηση του βραχίονα, η οποία περιγράφεται από συγκεκριµένες µετατοπίσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις ( q,!q, q!! ) των αρθρώσεων. Αυτή η µορφή είναι κατάλληλη για προσοµοίωση ενός ροµπότ Η ευθεία δυναµική συνίσταται στον προσδιορισµό των επιταχύνσεων και (µέσω αριθµητικής ολοκλήρωσης) των ταχυτήτων µετατοπίσεων των αρθρώσεων που προκαλούνται από την εφαρµογή κάποιων συγκεκριµένων συναρτήσεων ροπών στις αρθρώσεις του βραχίονα, όταν είναι γνωστή η αρχική κατάσταση του συστήµατος (δηλ. οι θέσεις και οι ταχύτητες): q!! = B (q) τ C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h q t = 0 Ευθεία Αντίστροφη Δυναµική Το Δυναµικό µοντέλο χώρου αρθρώσεων ενός ροµποτικού βραχίονα γράφεται σε µητρωϊκή µορφή ως εξής: { } = q 0,!q ( t = 0) =!q 0 Έχει νόηµα γιατί Bq > 0 Αυτή η µορφή είναι κατάλληλη για έλεγχο

21 Παράδειγµα 3 (θέµα) d Ένας ροµποτικός βραχίονας-pr αποτελείται από ένα περιστροφικό βαθµό ελευθερίας (q : η γωνία του ου συνδέσµου από τον άξονα-x του αδρανειακού συστήµατος) και ένα πρισµατικό (µεταφορικό) βαθµό ελευθερίας (q >0 : η απόσταση του κέντρου µάζας του ου συνδέσµου). Το κέντρο µάζας του πρώτου συνδέσµου ευρίσκεται σε σταθερή απόσταση r από τη πρώτη άρθρωση. Ο ος σύνδεσµος θεωρειται ότι έχει ροπή αδράνειας Ι ως προς το κέντρο µάζας του και µάζα m. Ο ος σύνδεσµος έχει ροπή αδράνειας Ι ως προς το κέντρο µάζας του µάζα m. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g και κατά τον άξονα-y. r q q x Κινητική Ενέργεια T = I + m r ( )!q T = m!q + I + m q ( )!q y g

22 Παράδειγµα 3 (θέµα) Δυναµική Ενέργεια U = m g r sin q = m r sin q g ( sin ) U = m g q sin q = m q q g d y g Λαγκρανζιανή L = T +T U U = I + m r ( )!q + m!q + I + m q ( )!q ( m r sin q ) g ( m q sin q ) g r q q x Εξισώσεις Euer-Lagrange " d " L " L = u dt!q q d " L dt!q d " L dt!q " L q L q " = τ f

23 Εξισώσεις Euer-Lagrange Παράδειγµα 3 (θέµα) " d " L " L = u dt!q q L = ( I!q + m r )!q + ( I + m q )!q = d " L dt!q d " L dt!q = I + m r ( + I + m q )!q d! L = I dt!q + m r ( + I + m q ) q!! + m q!q!q " L = m!q!q d! L = m dt!q q!! " L = ( m r cos q) g ( m q cos q) g = ( m r + m q) cos q g q L = m q q!q m sin q g " Δυναµικές εξισώσεις I + m r ( + I + m q ) q!! + m q!q!q + ( m r + m q ) cosq g = τ m q!! m q!q + m sin q g = f L q L q " = τ f

24 Παράδειγµα 3 (θέµα) Δυναµικές εξισώσεις I + m r ( + I + m q ) q!! + m q!q!q + ( m r + m q ) cosq g = τ m q!! m q!q + m sin q g = f Δυναµικές Εξισώσεις σε Μητρωϊκή Μορφή! I + m r! + I + m q 0 q! " 0 m! " " q + m q q 0! " m q q 0 q! m r + m q! + ( ) cosq " q! " " m sin q g = τ f! " "! B(q) ( q +C(q, q) q! + F u q + F s sgn( q) +G(q) + J T (q) h = u Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου T Το µητρώο αδράνειας ( B( q )) είναι συµµετρικό Bq = B( q), θετικά ορισµένο, και γενικά εξαρτώµενο από την εκάστοτε θέση του βραχίονα. Αντισυµµετρικότητα (δηλ. Ν = - Ν Τ ) του µητρώου: Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους : N (q,!q) =! B(q) C(q,!q) Y ( q,!q, q!! ) π = u

25 Παράδειγµα 3 (θέµα) Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους : Y ( q,!q, q!! ) π = u Δυναµικές εξισώσεις I + m r ( + I + m q ) q!! + m q!q!q + ( m r + m q ) cosq g = τ m q!! m q!q + m sin q g = f q!! ( I + m r + I ) + ( cosq g) m r + ( q q!! + q!q!q + q cosq g) m = τ ( q!! q!q + sin q g) m = f I q!! cosq g q + m r + I q!! + q!q!q + q cosq g ( ( 0 0 q!! q!q ( m r ( = τ ( + sin q g ( ( f ( " m ( " " (!! Y q,!q, q!! π = u

26 Άσκηση: Δυναµικό Μοντέλο βραχίονα 3 β.ε. σε Αλληλεπίδραση µε το περιβάλλον (θέµα?) κ κ

27 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) Οριζόντιος Βραχίονας DOF Δυναµική Euer-Lagrange Πιστοποίηση Ιδιοτήτων Πινάκων Y-π µορφή [ ] T q = ϑ ϑ : διάνυσµα των γενικευµένων συντεταγµένων a = a =: µήκη των συνδέσµων και, αντίστοιχα = = 0.5 : αποστάσεις των κέντρων µάζας των δύο συνδέσµων από τους αντίστοιχους άξονες m = m = 50 περιστροφής : µάζες των δύο συνδέσµων I = I =0: ροπές αδράνειας των συνδέσµων ως προς τα κέντρα µάζας τους αντίστοιχα Τα φαινόµενα τριβής θεωρούνται αµελητέα

28 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) q = " ϑ ϑ T T ( q,!q ) = m υ + I ω + m υ + I ω ω =! ϑ ω =! ϑ +! ϑ x = cosϑ y = sinϑ x = a cosϑ + cos ϑ +ϑ y = a sinϑ + sin ϑ +ϑ -. / "x = ϑ " sinϑ "y = ϑ " cosϑ "x = ϑ " ) * a sinϑ + sin( ϑ +ϑ ) +, ϑ " sin ϑ +ϑ "x = ϑ " ) * a cosϑ + cos( ϑ +ϑ ) +, + ϑ " cos ϑ +ϑ T ( q,!q ) = m (!x +!y )+ I ϑ! + m!x +!y ( ϑ ) + I ϑ! +!

29 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) T ( q,!q ) = qt B q q = ϑ ϑ b (ϑ ) b (ϑ ) b (ϑ ) b ( ( ϑ ϑ ( ( B q b ( ϑ ) b ( ϑ ) = b( ϑ ) b Οριζόντιος U ( q,!q ) = 0 L( q,!q ) = T ( q,!q ) b = I + m + I + m a + + a cosϑ b = b = I + m + a cosϑ b = I + m d dt " L!q i L = ξ q i i =, i ξ = τ

30 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) B q b ( ϑ ) b ( ϑ ) = b( ϑ ) b B( q )!! q + C( q,!q )!q = τ C( q,!q ) = m a sinϑ ϑ! m a sinϑ ϑ! +! m a sinϑ ϑ! 0 ( ϑ ) ) ) () Aς επιβεβαιώσουµε τώρα τις ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου E-L.

31 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο πίνακας Αδράνειας Γενικά, ισχύει η µ I n n B q για Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) B q b ( ϑ ) b ( ϑ ) = b( ϑ ) b b = I + m + I + m a + + a cosϑ b = b = I + m + a cosϑ µ I b = I + m n n ( µ,µ ) = ( λ min,λ ) max ιδιοτιµές του B(q)

32 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο πίνακας Αδράνειας Αν θεωρήσουµε M B q M, τότε επειδή B( q) = I + m + I + m ( a + + a cosϑ ) + I + m ( + a cosϑ ) Συνάγουµε ότι... M = I + m + I + m ( a + ) M = I + m + I + m a + + 3a Με χρήση των αριθµητικών τιµών των χαρακτηριστικών του βραχίονα M =7.5 M =9.5 B =9.5 B =6.5 B =9.5

33 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο όρος Φυγόκεντρων Coriois Επειδή Προφανώς Επίσης Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?)!q = m a sinϑ! C q,!q N( q,!q ) = B(! q ) C( q,!q ) = C ( q,!q )!q = m a sinϑ ϑ! ϑ! +! ( ϑ ϑ! +! ϑ ) m a sinϑ! ( ϑ ) + m a sinϑ ϑ! m a ϑ!! ϑ + ϑ! + ϑ! m a ϑ! +! h ϑ! h ϑ! h ϑ! 0 ) ) h ϑ! h ( ϑ! + ϑ! ) ( h ϑ! 0 = ϑ T () ( ϑ ) = p c!q ) ) = ( 0 h! ϑ h! ϑ h! ϑ + h! ϑ 0 ( ( N (q,!q) = N T (q,!q) h = m a s

34 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Γραµµικότητα ως προς Γεωµετρικές Μηχανικές Παραµέτρους Ξεκινόντας από τις Δυναµικές Εξισώσεις E L :! I + m + I + m ( a + + a cosϑ ) " ϑ "" +! " I + m + a cosϑ m a sinϑ ϑ " " ϑ m a sinϑ ϑ " = τ! " I + m + a cosϑ ϑ "" + I + m "" Θέλουµε να το θέσουµε στη µορφή Y ( q,!q, q!! ) π = τ ϑ + m a sinϑ ϑ " = τ "" ϑ

35 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Γραµµικότητα ως προς Γεωµετρικές Μηχανικές Παραµέτρους Μπορούµε να θεωρήσουµε τις µεταβλητές που συνιστούν το διάνυσµα π αγνώστων παραµέτρων,και " π = m + I m m m + I R 4 τα στοιχεία y ij του πίνακα Y q,!q,!! q δηλαδή y = ϑ!! y = a!! ϑ y 4 = y 4 = ϑ!! + ϑ!! y 3 = a cosϑ!! ϑ +!! ϑ +! ( ϑ ) a sinϑ (! ϑ )! ϑ ( ϑ ) y = y = 0 y 3 = a cosϑ ϑ!! + sinϑ! Τ

36 Παράδειγµα 5 (επόµενο θέµα?) Κατακόρυφος Βραχίονας DOF, µε κινητήρες Δυναµική Euer-Lagrange Πιστοποίηση Ιδιοτήτων Πινάκων Y-π µορφή [ ] T q = ϑ ϑ : διάνυσµα των γενικευµένων συντεταγµένων a, a: µήκη των συνδέσµων και, αντίστοιχα : αποστάσεις των κέντρων µάζας των δύο συνδέσµων από τους, αντίστοιχους άξονες περιστροφής m,m : µάζες των δύο συνδέσµων m m,m : µάζες των κινουµένων µερών των δύο κινητήρων m I m,i : ροπές αδράνειας των κινητήρων ως προς τους άξονες m περιστροφής τους I,I : ροπές αδράνειας των συνδέσµων ως προς τα κέντρα µάζας τους αντίστοιχα pm = p : οι κινητήρες βρίσκονται τοποθετηµένοι στους i i,zm = z i i, i =, άξονες των αρθρώσεων, µε Κ.Μ. τοποθετηµένα στις αντίστοιχες αρχές των συστηµάτων

37 Παράδειγµα 5: (επόµενο θέµα?) y z 0 z x ( I + m + k r I m + I + m ( a + + a c )+ I m + m m a ) "" ϑ + +( I + m ( + a c )+ k r I m ) ϑ "" m a s " ϑ " ϑ m a s " ϑ +( m + m m a + m a )gc + m gc = τ ( I + m ( + a c )+ k r I m ) "" ϑ +( I + m + k r I m ) "" ϑ + + m a s " ϑ + m gc = τ

38 Παράδειγµα 5: Μητρώο Αδρανείας y z 0 z x B q b = I + m + k I + I + m (a + + a c ) + I + m a r m m m b = b = I + m ( + a c ) + k I r m b I m k I = + + r m b ( ϑ ) b ( ϑ ) = b( ϑ ) b T = Bq B q Το µητρώο αδράνειας είναι προφανώς συµµετρικό και (µπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι) είναι θετικά ορισµένο.

39 Παράδειγµα 5: Μητρώο Φυγόκεντρων Coriois y z 0 z x C( q,!q ) = m a s ϑ! m a s ϑ! +! m a s ϑ! 0 ( ϑ ) ) ) ()

40 Παράδειγµα 5: Διάνυσµα Βαρύτητας y z 0 G q g z x (m + m a + m a ) g c + m g c m = g = = m g c (m + m a + m a ) c + m c m = m c g

41 z 0 y z Παράδειγµα 5: Δυναµική x B( q )!! q +C( q,!q )!q + g( q ) = τ G q C( q,!q ) = h ϑ! h ( ϑ! + ϑ! ) h ϑ! 0 ( m + m a + m a )gc + m gc m = m gc r m m m r m B q I + m + k I + I + m (a + + a c ) + I + m a I + m ( + a c ) + k I = I + m ( + a c ) + kr I m I + m + kr I m ( ( ( I + m + I + m ( a + + a c )+ ) ϑ "" +( I + m ( + a c )+ k ) ϑ "" m a s " ϑ " ϑ m a s " ϑ +( m + m a )gc + m gc = τ ( I + m ( + a c )) ϑ "" +( I + m ) ϑ "" + m a s " ϑ + m gc = τ

42 Παράδειγµα 5: Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες Δυναµικού Μοντέλου y Αντισυµµετρικότητα Πίνακα N (q,!q) =! B(q) C(q,!q) z 0 z x N( q,!q ) = B(! q ) C( q,!q ) = h ϑ! h! h ϑ! 0 = ϑ ( ( h ϑ! h ( ϑ! + ϑ! ) h ϑ! 0 0 h! ϑ h! ϑ h! ϑ + h! ϑ 0 N (q,!q) = N T (q,!q) h = m a s

43 Παράδειγµα 5: Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες Δυναµικού Μοντέλου z 0 y = a!! ϑ + a gc y = a!! ϑ + gc y 3 =!! ϑ y 4 = k r!! ϑ y z ϑ!! + ( a a c + a )!! ϑ!! + ( a c + a )!! y 5 = a + a a c + a y 6 = a c + a y 7 = y 7 = ϑ!! + ϑ!! y 8 =!! ϑ + k r!! ϑ y = y = y 3 = y 4 = 0!!!! y 5 = a a c + a y 6 = a c + a y 8 = k!! r ϑ + k!! r ϑ ϑ + a!! ϑ + a a s! ϑ + a gc ϑ + a!! ϑ + a s! ϑ + gc x Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους Y ( q,!q, q!! ) π = τ! " y y y 8 y y y 8 ϑ a a s! ϑ! ϑ a a s! ϑ + a gc + a gc ϑ a s! ϑ! ϑ a s! ϑ + gc! " π = m + m ( a ) ( ) ( a ) 6 ( ) 7 8 π π! π 8 m m m π = m π = I + m a + I π = I π = m π = m π = I + m a π = I! = τ " τ m

44 Μαθηµατική Επανάληψη: Νόρµες Διανυσµάτων Η νόρµα ενός διανύσµατος x =! " x x!x n T R n µπορεί να θεωρηθεί ως ένα «µέτρο» έκφρασης του «µεγέθους» του " x = m n i= x i m m m = x n = x i i= x m = x = m x = im m m = x m = max i=!n { x i } " n x = x i i= x = x =

45 Μαθηµατική Επανάληψη: Νόρµες Πινάκων Η m-νόρµα ενός πίνακα A R n n παριστά την ελάχιστη αυξοµείωση που θα προκαλέσει στο µέγεθος (εκφρασµένου µε την m-νόρµα) οιοδήποτε στοιχείου o Πολλαπλασιασµός µε τον A x =! " x x!x n T R n A m = min x R n A x m x m

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Θέματα Εξετάσεων Ασκήσεις στο Mάθημα: "ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Ι: ΑΝΑΛΥΣΗ, ΕΛΕΓΧΟΣ, ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ" 1 η Σειρά Θεμάτων Θέμα 1-1 Έστω ρομποτικός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ρομποτική

Εισαγωγή στην Ρομποτική Τμήμα Μηχανολογίας Τ.Ε.Ι. Κρήτης Εισαγωγή στην Ρομποτική 1 Γενική περιγραφή ρομποτικού βραχίονα σύνδεσμοι αρθρώσεις αρπάγη Περιστροφική Πρισματική Βάση ρομποτικού βραχίονα 3 Βασικές ρομποτικές αρθρώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014

ΦΥΣ η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-2014 ΦΥΣ. 11 1 η ΠΡΟΟΔΟΣ 8-Μάρτη-014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς. ( x, y,z) καρτεσιανό. !!z = h x, y,z. !! y = q. x = f. !! z = h

( ) ( ) ( ) Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς. ( x, y,z) καρτεσιανό. !!z = h x, y,z. !! y = q. x = f. !! z = h Μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς ΦΥΣ 211 - Διαλ.27 1 q Μέχρι τώρα έχουµε χρησιµοποιήσει συστήµατα αναφοράς όπως ( x, y,z) καρτεσιανό q όπου ο 2 ος νόµος του Newton F = m a x = f x, y,z έχει την µορφή:

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:

Με τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής: ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

( ) Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα ( ) = d! r dt = d! u P. = ω! r

( ) Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα ( ) = d! r dt = d! u P. = ω! r ΦΥΣ 211 - Διαλ.28 1 Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα q Θεωρήστε ότι έχετε ένα σώµα το οποίο περιστρέφεται ως προς άξονα: q Θεωρήστε ότι ένα σηµείο P πάνω στο σώµα µε διάνυσµα θέσης r t O r t

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. Θέμα 1 (25 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συστήματα αξόνων του αεροσκάφους Κίνηση αεροσκάφους στην ατμόσφαιρα Απαιτούνται κατάλληλα συστήματα αξόνων για την περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΫ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΣΕΡΒΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΣ ΣΤΗ ΥΝΑΜΙΚΗ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΫ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΣΕΡΒΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΣ ΣΤΗ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΛΕΓΧΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΫ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΣΕΡΒΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΣΜΕΝΟΣ ΣΤΗ ΥΝΑΜΙΚΗ Ιωάννης Νταβλιάκος, Ευάγγελος Παπαδόπουλος Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ, Εργαστήριο Αυτοµάτου Ελέγχου email: gdavliak@central.ntua.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογή της γενικής λύσης

Εφαρμογή της γενικής λύσης Εφαρμογή της γενικής λύσης Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 1 x 1 x m 1 m k 1 k 1 k 3 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: U = 1 kx 1 + 1 k 1 ( x x 1 ) + 1 kx

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b Copyright Ε.Μ.Π. - 06 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις

Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις q Ταλαντώσεις εμφανίζονται παντού Ø Μικρές ταλαντώσεις γύρω από θέση ισορροπίας Ø Εμφανίζονται σε πολλά προβλήματα κβαντοµηχανικής Ø Έχουμε ήδη συναντήσει σε

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Δυναµική

ΦΥΣ Διαλ Δυναµική ΦΥΣ 131 - Διαλ.08 1 Δυναµική Ø F(δύναµη), m(µάζα), E(ενέργεια), p(ορµή), Ø Πως ένα σώµα αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον του Ø Γιατί σώµατα κινούνται µε το τρόπο που κινούνται q Θεµελιώδεις νόµοι της µηχανικής:

Διαβάστε περισσότερα

mg ηµφ Σφαίρα, I = 52

mg ηµφ Σφαίρα, I = 52 Μελέτη της κίνησης ενός σώµατος που µπορεί να κυλάει σε κεκλιµένο επίπεδο (π.χ. σφόνδυλος, κύλινδρος, σφαίρα, κλπ.) Τ mg συνφ Κ Ν mg ηµφ Το σώµα του σχήµατος έχει µάζα m, ακτίνα και µπορεί να είναι: Σφόνδυλος

Διαβάστε περισσότερα

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1

Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1 ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

10. Παραγώγιση διανυσµάτων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.

Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Τις προηγούµενες µέρες έγινε στο δίκτυο µια συζήτηση µε θέµα «Πόση είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω µε απλό τρόπο κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες

Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες ΦΥΣ 211 - Διαλ.06 1 Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε μέχρι τώρα: q Συζητήσαμε συστήματα πολλών σωμάτων Ø Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις Ø Νόμους δράσης-αντίδρασης Ø Ορμές, νόμους διατήρησης (γραμμική ορμή,

Διαβάστε περισσότερα

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός.

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Κίνηση Ράβδου σε κατακόρυφο επίπεδο Εστω µια οµογενής ϱάβδος ΟΑ µάζας Μ

Διαβάστε περισσότερα

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr

) A a r a. Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης. T = 1 2 m (!r 2 + r 2!θ 2. A a r a + C. = Ar a 1 dr V = F = V r V = Fdr Κίνηση σωματιδίου κάτω από επίδραση δύναμης ΦΥΣ 211 - Διαλ.05 1 Έστω ένα σωματίδιο κινείται κάτω από την επίδραση μιας δύναμης F = Ar α 1 που έχει διεύθυνση προς την αρχή των αξόνων. Τα Α και α είναι σταθερές.

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών ΦΥΣ - Διαλ.08 Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών q q Το μεγάλο πλεονέκτημα του Lagrangian φορμαλισμού είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογισθούν οι δυνάμεις των δεσμών Ø Υπάρχουν περιπτώσεις που χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή

Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Κεφάλαιο 11 Στροφορµή Περιεχόµενα Κεφαλαίου 11 Στροφορµή Περιστροφή Αντικειµένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόµενο-η ροπή ως διάνυσµα Στροφορµή Σωµατιδίου Στροφορµή και Ροπή για Σύστηµα Σωµατιδίων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 5 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών- Ηλεκτρικών-Υδραυλικών-Θερμικών Συστημάτων Επανάληψη: Εξισώσεις Lagrange σε συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ολική στροφορμή L = p! i. L =! R M! v + ri m i vi. r i. q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r! i

( ) Ολική στροφορμή L = p! i. L =! R M! v + ri m i vi. r i. q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r! i ΦΥΣ - Διαλ.03 Ολική στροφορμή q Ορίζουμε την θέση ενός σημείου I από το κέντρο μάζας: r = r R q Ορίζουμε επίσης τις ταχύτητες: v = " r v = και R " Ø Υπολογίζουμε την ολική στροφορμή L = r p = L = R M v

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ. ιδάσκων: Κ. Ι. Παπαχρήστου

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ. ιδάσκων: Κ. Ι. Παπαχρήστου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ιδάσκων: Κ. Ι. Παπαχρήστου 1. Σωµατίδιο εκτελεί οµαλή καµπυλόγραµµη κίνηση. Να δειχθεί ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του συνδέονται µε τη σχέση:

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής

Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Μελέτη κινηματικών εννοιών: Θέση, μετατόπιση, ταχύτητα, μέτρο ταχύτητας, και επιτάχυνση. Διαφορά εννοιών "μετατόπισης - " διαστήματος" και "στιγμιαία "μέση". Μελέτη κίνησης με σταθερή επιτάχυνση. Κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτοµατισµού Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ειδικά θέµατα Ανάλυσης συστηµάτων Σύνθεσης συστηµάτων ελέγχου Μελέτης στοχαστικών συστηµάτων. Καλλιγερόπουλος Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Συγκράτηση αντικειμένου από ρομποτικά δάχτυλα: Μοντελοποίηση χωρίς τη χρήση περιορισμών

Συγκράτηση αντικειμένου από ρομποτικά δάχτυλα: Μοντελοποίηση χωρίς τη χρήση περιορισμών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΙΝΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διπλωματική εργασία με θέμα: Συγκράτηση αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Τι θα γίνει όμως αν μας ζητηθεί να ελαχιστοποιήσουμε ως προς το R την f ( ) = Q + S Q = Q = S = με ταυτόχρονη ικανοποίηση της g( ) = c b

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (hhp://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγή στο Χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 5 Εφαρµογές των Νόµων του Νεύτωνα: Τριβή, Κυκλική Κίνηση, Ελκτικές Δυνάµεις Περιεχόµενα Κεφαλαίου 5 Εφαρµογές Τριβής Οµοιόµορφη Κυκλική Κίνηση Δυναµική Κυκλικής Κίνησης Οι κλήσεις στους αυτοκινητοδρόµους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κίνηση σε δύο διαστάσεις ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 1 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Διαδρομή του σώματος Τελική θέση Αρχική θέση Η κίνηση που κάνει το αυτοκίνητο καθώς στρίβει περιορίζεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο - Η αλλαγή στο διάνυσμα θέσης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων 1. Να βρεθεί το δυναµικό που οφείλεται σε δύο ακίνητα ελκτικά κέντρα µε µάζες 1 και. Γράψτε την εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας στο παραπάνω δυναµικό.

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις κίνησης του Hamilton

Εξισώσεις κίνησης του Hamilton ΦΥΣ 211 - Διαλ.11 1 Εξισώσεις κίνησης του Hamilton q Newtonian Lagrangian Hamiltonian q Περιγράφουν την ίδια φυσική και δίνουν τα ίδια αποτελέσματα q Διαφορές είναι στο τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ ΘΕΜΑ 1ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικός ταλαντωτής

6. Αρµονικός ταλαντωτής 6 Αρµονικός ταλαντωτής Βιβλιογραφία Kittel, W D Knight, A Ruderman, A Helmholz και B J oyer, Μηχανική Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 998 Κεφ 7 F S rawford Jr, Κυµατική Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Μηχανική. Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων.

Κλασσική Μηχανική. Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων. Κλασσική Μηχανική Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων. Χωρίζεται σε: (α) Κινηματική: το μέρος της μηχανικής που ασχολείται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 10//10/01 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 1 Kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45º. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , , ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, 77 98 044, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΝΟΨΗ Μόνιμη κατάσταση και κατάσταση διαταραχής Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων Γραμμικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 19 Ταλαντώσεις Απλή αρμονική κίνηση ΦΥΣ102 1 Ταλαντώσεις Ελατηρίου Όταν ένα αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

3η Εργασία. (B t 2 ) /2 - (C t 3 )/3 + c

3η Εργασία. (B t 2 ) /2 - (C t 3 )/3 + c 1 3η Εργασία Άσκηση 1 (8 µονάδες) A) (4 µονάδες). Η επιτάχυνση µιας βενζινακάτου ως συνάρτηση του χρόνου δίνεται από την εξίσωση: = Bt Ct, όπου οι µονάδες της είναι m/s. α). Ποιες είναι οι µονάδες των

Διαβάστε περισσότερα