Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος

Transcript

1 Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος

2 Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται από τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν αναλυτικά τη σχέση ανάµεσα στις ροπές των κινητήρων που κινούν τις αρθρώσεις του βραχίονα και την Κίνηση (θέση προσανατολισµός), και αλληλεπίδραση της κατασκευής (µέσα στο / µε το) περιβάλλον.

3 Μεθοδολογίες Δυναµικής Ροµποτικών Βραχιόνων Οι δυναµικές εξισώσεις είναι δυνατό να αναπτυχθούν στον τρισδιάστατο χώρο λειτουργίας του ροµπότ στον χώρο των µεταβλητών των αρθρώσεων του. Στα πλαίσια του µαθήµατος θα ασχοληθούµε µε το δυναµικό µοντέλο του χώρου αρθρώσεων. u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Για την εξαγωγή του εφαρµόζονται διάφορες µέθοδοι, όπως Euer-Lagrange, Newton-Euer Kane H πιο (εκπαιδευτικά) κατάλληλη είναι η µέθοδος Euer- Lagrange που θα παρουσιαστεί και στη συνέχεια.

4 H Μέθοδος Euer-Lagrange ( =,, ) λ i i n Γενικευµένες συντεταγµένες: περιγράφουν τις θέσεις των συνδέσµων. Λαγκρανζιανή (Lagrangian): συνάρτηση των γενικευµένων συντεταγµένων = T ( λ,! λ) U λ L λ,! λ T: ολική κινητική ενέργεια του συστήµατος U: ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος. Ροµποτικός βραχίονας: ως γενικευµένες συντεταγµένες µπορούν να επιλεγούν οι µεταβλητές των αρθρώσεων,! " λ! λ n Οι δυναµικές εξισώσεις του βραχίονα προκύπτουν από την παρακάτω σχέση ξ i d dt όπου είναι η γενικευµένη δύναµη που αντιστοιχεί στη γενικευµένη συντεταγµένη. = q =! L "! λ L = ξ i λ i i! " q! q n i =,,n

5 H Μέθοδος Euer-Lagrange Οι γενικευµένες δυνάµεις προκύπτουν από τις µησυντηρητικές δυνάµεις που ασκούνται στην κατασκευή, π.χ. τις ροπές των κινητήρων που οδηγούν τις αρθρώσεις, τις ροπές τριβής στις αρθρώσεις καθώς επίσης και τις ροπές που αναπτύσσονται στις αρθρώσεις ως αποτέλεσµα των δυνάµεων επαφής που ασκούνται στο εργαλείο. Η σχέση d dt! L! λ L = ξ " i λ i i i=,, n i =,,n όταν εφαρµοστεί για µας δίνει τις αναλυτικές σχέσεις που ισχύουν ανάµεσα στις γενικευµένες δυνάµεις που ασκούνται στο βραχίονα και στις µετατοπίσεις, τις ταχύτητες και τις επιταχύνσεις των αρθρώσεων. βασίζεται στην ολική κινητική και την ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος.

6 Προσδιορισµός της Ολικής Κινητικής Θεωρούµε ένα ροµποτικό βραχίονα µε n συνδέσµους. Η ολική κινητική ενέργεια ενός βραχίονα προκύπτει ως άθροισµα των συνεισφορών κινητικής ενέργειας λόγω κίνησης των συνδέσµων και των αντίστοιχων επενεργητών των T q,!q που ευρίσκονται επι των συνδέσµων: n i=! " = T ( i q,!q ) +T ( mi q,!q ) T i q,!q Ενέργειας είναι η κινητική ενέργεια του i-συνδέσµου, και T ( mi q,!q ) είναι η κινητική ενέργεια του κινητήρα που ευρίσκεται επι του i-συνδέσµου. z 0 x 0 y 0 z 0 x 0 y 0 p i p" i p i p! mi ω i p mi r i ω mi

7 Προσδιορισµός της Ολικής Η ολική δυναµική ενέργεια ενός βραχίονα προκύπτει ως άθροισµα των συνεισφορών δυναµικής ενέργειας των συνδέσµων και Δυναµικής Ενέργειας των επενεργητών των αρθρώσεων p i " p i p i ω i r i n δυναµική ενέργεια του συνδέσµου i U q = U q + U i m q i i= z 0 ω mi x 0 y 0 p! mi p mi δυναµική ενέργεια του κινητήρα που επενεργεί στην άρθρωση i z 0 x 0 y 0

8 Προσδιορισµός των Εξισώσεων Με δεδοµένες την ολική κινητική και την ολική δυναµική ενέργεια από τις σχέσεις που έχουν προηγηθεί, προκύπτουν: n n T ( q,!q ) = T i +T mi U( q) = ( U ( q) + U ) i m q i Η Λαγκρανζιανή: Κίνησης L( q,!q ) = T ( q,!q ) U ( q) που µέσω των εξισώσεων Euer-Lagrange: d dt i=! L "!q i L = ξ q i i i =,,n οδηγούν στις δυναµικές εξισώσεις τύπου Euer-Lagrange του ροµπότ: B(q) q!! +C(q,!q)!q +G(q) = ξ i=

9 Με βάση τη παραπάνω µεθοδολογία το δυναµικό µοντέλλο ενός ροµποτικού βραχίονα είναι όπου : µητρώο αδράνειας. Bq Το Δυναµικό Μοντέλλο B(q)!! q +C(q,!q)!q +G(q) = ξ b ( q) b ( q) Τα διαγώνια στοιχεία του αναπαριστούν τη ροπή αδράνειας του άξονα της άρθρωσης i, στην ii εκάστοτε θέση του βραχίονα, όταν οι υπόλοιπες αρθρώσεις είναι ακίνητες. Τα µη διαγώνια στοιχεία του ij περιγράφουν το αποτέλεσµα της επιτάχυνσης της άρθρωσης j στην άρθρωση i. C(q,!q) : µητρώο, το οποίο περιέχει τις φυγόκεντρες ροπές και τις ροπές Coriois που αναπτύσσονται στο βραχίονα. Προκύπτει από το µητρώο κινητικής ενέργειας, µετά από παραγωγίσεις. Gq : διάνυσµα βαρυτικών όρων, εξαρτώνται µόνο από τις µετατοπίσεις των αρθρώσεων του βραχίονα και προέρχονται από την ολική δυναµική ενέργεια και συνιστούν. Αναπαριστούν τη ροπή που αναπτύσσεται στον άξονα µιας άρθρωσης, στην εκάστοτε θέση του βραχίονα, λόγω βαρύτητας. : µη συντηρητικές δυνάµεις που παράγουν έργο στις αρθρώσεις του βραχίονα: ξ F, F ξ = τ F u!q i F s sgn(!q i ) x < 0 sgn(x) = 0 x = 0 + x > 0 u s : διαγώνια µητρώα των σταθερών ιξώδους και στατικής τριβής του, αντίστοιχα.

10 Το Δυναµικό Μοντέλο συνεχ. Στην περίπτωση που το εργαλείο του βραχίονα βρίσκεται σε επαφή µε το περιβάλλο ένα µέρος των ροπών χρησιµοποιείται για να αντισταθµίσει τις ροπές που αναπτύσσονται στις αρθρώσεις λόγω των δυνάµεων επαφής: Jq T τ contact = J ( q) h : γεωµετρική Ιακωβιανή που έχει προκύψει από τη διαφορική κινηµατική και T.! h = f T µ T R : σύνθετο διάνυσµα δυνάµεων ροπών που ασκούνται " από ( f R ) ( µ R ) το εργαλείο του βραχίονα στο περιβάλλον. Συνοψίζοντας όσα αναφέραµε πιο πάνω, το Δυναµικό µοντέλο χώρου αρθρώσεων ενός ροµποτικού βραχίονα µπορούν να γραφτούν σε µητρωϊκή µορφή ως εξής: B(q) q!! +C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h = τ Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου: αφορούν τον Πίνακα αδράνειας τον διάνυσµα Φυγόκεντρων και Coriois τους όρους Βαρύτητας και Ιξώδους Τριβής, και την Γραµµικότητα του Δυναµικού µοντέλου ώς προς τις Γεωµετρικές και Μηχανικές Παραµέτρους

11 H Μέθοδος Euer-Lagrange: Παράδειγµα- Μ τ : Ροπή Κινητήρα Ι : Ροπή Αδράνειας θ m : µάζα οµογενούς συνδέσµου : µήκος συνδέσµου L θ = m g sinθ L θ! = I θ! d dt! L " θ! L T = I θ! U = m g θ ( cos ) L = T U = I θ! m g ( cosθ) θ = ξ I!! θ + m g sinθ = τ Απλός και ευθύς τρόπος. Ενδείκνυται όταν η απλότητα της διάταξης το επιτρέπει. (Τι γίνεται όµως όταν έχουµε πολύπλοκους µηχανισµούς?) B(q)!! q +C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h = τ

12 H Μέθοδος Euer-Lagrange: Παράδειγµα- B(q)!! q +C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h = τ

13 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο πίνακας Αδράνειας Ο πίνακας αδράνειας Εξάρτάται από την «θεση» q του βραχίονα: = B T ( q) είναι συµµετρικός: B q, και θετικά ορισµένος: x T B( q) x > 0 x R n,x 0 Είναι άνω και κάτω φραγµένος µ I n n B( q) µ I n n. 0 / 0 x T B q µ I n n x T µ I n n B q R n n B q ( ) x 0 x Rn Ο αντίστροφός του είναι άνω κάτω φραγµένος µ I n n B q µ I n n ( ) x 0 x Rn

14 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο πίνακας Αδράνειας Για τα µ,µ ισχύει, αναλογα µε το άν ο βραχίονας έχει όλες τις αρθρώσεις του: περιστροφικές: µ,µ = const. γιατί τα στοιχεία του B(q) περιέχουν sin(.), cos(.) µ,µ Δεδοµένου ότι ο B(q) είναι φραγµένος, τότε πρισµατικές: είναι βαθµωτές συναρτήσεις του q M B q M όπου η νόρµα του B(q) µπορεί να είναι οιαδήποτε ορισµένη νόρµα:,, p,

15 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο όρος Φυγόκεντρων Coriois Αν " C q,!q c q,!q Για το k-στοιχείο του ισχύει: c ( k q,!q ) =!q T S ( k q)!q S ( k q) = * b k q +, b k, q µε b k : την k-στήλη του Β(q) + c q,!q!q c q,!q! q Ο όρος είναι τετραγωνικός ώς προς το και c ( k q,!q ) = C ( q,!q )!q p c!q Για τα p c ισχύει, αναλογα µε το άν ο βραχίονας έχει όλες τις αρθρώσεις του: περιστροφικές: p c = const. γιατί τα στοιχεία του B(q) περιέχουν µόνο συναρτήσεις sin(.), cos(.) του q. πρισµατικές: p c είναι βαθµωτή συνάρτηση του q ( T B q k - / /.

16 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : ο όρος Φυγόκεντρων Coriois Ενώ το διάνυσµα c q,!q είναι δεδοµένο για δεδοµένο βραχίονα, ο πίνακας C q,!q δεν είναι µονοσήµαντα ορισµένος Αν ορίσουµε τον πίνακα " C q,!q N q,!q!q " B! ( q) C ( q,!q ) C q,!q Ανεξαρτήτως επιλογής του ισχύει!q T N ( q,!q ) q = 0 Με κατάλληλη επιλογή του (χρήση συµβόλων Christoffe) τότε ο πίνακας είναι αντισυµµέτρικός, δηλ. και εποµένως ισχύει: = N Τ ( q,!q ) N q,!q C q,!q w T N (q,!q) w = 0 w

17 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Βαρυτικός όρος Ιξώδους Τριβής B(q)!! q + C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q)+ G(q)+ J T (q) h = τ Ο όρος της ιξώδους τριβής είναι φραγµένος F u!q f max!q Ο όρος της βαρύτητας είναι φραγµένος G( q ) g b q Για τ συνάρτηση g b (q) ισχύει, αναλογα µε το άν ο βραχίονας έχει όλες τις αρθρώσεις του: περιστροφικές: g b (q) = const. γιατί τα στοιχεία του G(q) περιέχουν µόνο συναρτήσεις sin(.), cos(.) του q. πρισµατικές: g b (q) είναι βαθµωτή συνάρτηση του q

18 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Γραµµικότητα ως προς Γεωµετρικές Μηχανικές Παραµέτρους Το δυναµικό µοντέλο ενός βραχίονα είναι: Μία µη-γραµµική (στη γενική περίπτωση) συνάρτηση των ( q,!q,!! q) B(q)!! q + C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q)+ G(q)+ J T (q) h = τ Μία γραµµική, ως προς τις γεωµετρικές µηχανικές παραµέτρους (π.χ. µάζες, αδράνειες, τριβές, κλπ) του βραχίονα, συνάρτηση Y ( q,!q, q!! ) π = τ

19 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Γραµµικότητα ως προς Γεωµετρικές Μηχανικές Παραµέτρους H γραµµική»-µορφή του δυναµικού µοντέλου E-L είναι χρήσιµη για την αναγνώριση των (πιθανά) αγνώστων παραµέτρων π του βραχίονα µέσω της εξής µεθοδολογίας: Εκτελούνται τροχίες ( q( t),!q ( t),!! q ( t )) t " 0,t f Κατά την διάρκεια αυτών «καταγράφονται» οι τιµές ( q( t i ),!q ( t i ),!! q ( t ),τ ( t )) i i t i 0,t f i = 0,,," Δηµιουργούµε τα (τεράστια) διανύσµατα Τ και (ψηλό) πίνακα Υ βαζοντας τα τ(t i ) και Υ(t i ) το ένα πάνω στο άλλο Η εκτίµηση του π δίδεται από τον ψευδοανάστροφο π = Υ Τ! ( Υ Τ Υ) Υ Τ Τ

20 B(q) q!! +C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h = τ Αυτό είναι η µορφή αντίστροφης δυναµικής που ουσιαστικά αφορά τον προσδιορισµό των ροπών που είναι αναγκαίες για να υλοποιήσουν αυτή την κίνηση του βραχίονα, η οποία περιγράφεται από συγκεκριµένες µετατοπίσεις, ταχύτητες και επιταχύνσεις ( q,!q, q!! ) των αρθρώσεων. Αυτή η µορφή είναι κατάλληλη για προσοµοίωση ενός ροµπότ Η ευθεία δυναµική συνίσταται στον προσδιορισµό των επιταχύνσεων και (µέσω αριθµητικής ολοκλήρωσης) των ταχυτήτων µετατοπίσεων των αρθρώσεων που προκαλούνται από την εφαρµογή κάποιων συγκεκριµένων συναρτήσεων ροπών στις αρθρώσεις του βραχίονα, όταν είναι γνωστή η αρχική κατάσταση του συστήµατος (δηλ. οι θέσεις και οι ταχύτητες): q!! = B (q) τ C(q,!q)!q + F u!q + F s sgn(!q) +G(q) + J T (q) h q t = 0 Ευθεία Αντίστροφη Δυναµική Το Δυναµικό µοντέλο χώρου αρθρώσεων ενός ροµποτικού βραχίονα γράφεται σε µητρωϊκή µορφή ως εξής: { } = q 0,!q ( t = 0) =!q 0 Έχει νόηµα γιατί Bq > 0 Αυτή η µορφή είναι κατάλληλη για έλεγχο

21 Παράδειγµα 3 (θέµα) d Ένας ροµποτικός βραχίονας-pr αποτελείται από ένα περιστροφικό βαθµό ελευθερίας (q : η γωνία του ου συνδέσµου από τον άξονα-x του αδρανειακού συστήµατος) και ένα πρισµατικό (µεταφορικό) βαθµό ελευθερίας (q >0 : η απόσταση του κέντρου µάζας του ου συνδέσµου). Το κέντρο µάζας του πρώτου συνδέσµου ευρίσκεται σε σταθερή απόσταση r από τη πρώτη άρθρωση. Ο ος σύνδεσµος θεωρειται ότι έχει ροπή αδράνειας Ι ως προς το κέντρο µάζας του και µάζα m. Ο ος σύνδεσµος έχει ροπή αδράνειας Ι ως προς το κέντρο µάζας του µάζα m. Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g και κατά τον άξονα-y. r q q x Κινητική Ενέργεια T = I + m r ( )!q T = m!q + I + m q ( )!q y g

22 Παράδειγµα 3 (θέµα) Δυναµική Ενέργεια U = m g r sin q = m r sin q g ( sin ) U = m g q sin q = m q q g d y g Λαγκρανζιανή L = T +T U U = I + m r ( )!q + m!q + I + m q ( )!q ( m r sin q ) g ( m q sin q ) g r q q x Εξισώσεις Euer-Lagrange " d " L " L = u dt!q q d " L dt!q d " L dt!q " L q L q " = τ f

23 Εξισώσεις Euer-Lagrange Παράδειγµα 3 (θέµα) " d " L " L = u dt!q q L = ( I!q + m r )!q + ( I + m q )!q = d " L dt!q d " L dt!q = I + m r ( + I + m q )!q d! L = I dt!q + m r ( + I + m q ) q!! + m q!q!q " L = m!q!q d! L = m dt!q q!! " L = ( m r cos q) g ( m q cos q) g = ( m r + m q) cos q g q L = m q q!q m sin q g " Δυναµικές εξισώσεις I + m r ( + I + m q ) q!! + m q!q!q + ( m r + m q ) cosq g = τ m q!! m q!q + m sin q g = f L q L q " = τ f

24 Παράδειγµα 3 (θέµα) Δυναµικές εξισώσεις I + m r ( + I + m q ) q!! + m q!q!q + ( m r + m q ) cosq g = τ m q!! m q!q + m sin q g = f Δυναµικές Εξισώσεις σε Μητρωϊκή Μορφή! I + m r! + I + m q 0 q! " 0 m! " " q + m q q 0! " m q q 0 q! m r + m q! + ( ) cosq " q! " " m sin q g = τ f! " "! B(q) ( q +C(q, q) q! + F u q + F s sgn( q) +G(q) + J T (q) h = u Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου T Το µητρώο αδράνειας ( B( q )) είναι συµµετρικό Bq = B( q), θετικά ορισµένο, και γενικά εξαρτώµενο από την εκάστοτε θέση του βραχίονα. Αντισυµµετρικότητα (δηλ. Ν = - Ν Τ ) του µητρώου: Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους : N (q,!q) =! B(q) C(q,!q) Y ( q,!q, q!! ) π = u

25 Παράδειγµα 3 (θέµα) Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους : Y ( q,!q, q!! ) π = u Δυναµικές εξισώσεις I + m r ( + I + m q ) q!! + m q!q!q + ( m r + m q ) cosq g = τ m q!! m q!q + m sin q g = f q!! ( I + m r + I ) + ( cosq g) m r + ( q q!! + q!q!q + q cosq g) m = τ ( q!! q!q + sin q g) m = f I q!! cosq g q + m r + I q!! + q!q!q + q cosq g ( ( 0 0 q!! q!q ( m r ( = τ ( + sin q g ( ( f ( " m ( " " (!! Y q,!q, q!! π = u

26 Άσκηση: Δυναµικό Μοντέλο βραχίονα 3 β.ε. σε Αλληλεπίδραση µε το περιβάλλον (θέµα?) κ κ

27 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) Οριζόντιος Βραχίονας DOF Δυναµική Euer-Lagrange Πιστοποίηση Ιδιοτήτων Πινάκων Y-π µορφή [ ] T q = ϑ ϑ : διάνυσµα των γενικευµένων συντεταγµένων a = a =: µήκη των συνδέσµων και, αντίστοιχα = = 0.5 : αποστάσεις των κέντρων µάζας των δύο συνδέσµων από τους αντίστοιχους άξονες m = m = 50 περιστροφής : µάζες των δύο συνδέσµων I = I =0: ροπές αδράνειας των συνδέσµων ως προς τα κέντρα µάζας τους αντίστοιχα Τα φαινόµενα τριβής θεωρούνται αµελητέα

28 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) q = " ϑ ϑ T T ( q,!q ) = m υ + I ω + m υ + I ω ω =! ϑ ω =! ϑ +! ϑ x = cosϑ y = sinϑ x = a cosϑ + cos ϑ +ϑ y = a sinϑ + sin ϑ +ϑ -. / "x = ϑ " sinϑ "y = ϑ " cosϑ "x = ϑ " ) * a sinϑ + sin( ϑ +ϑ ) +, ϑ " sin ϑ +ϑ "x = ϑ " ) * a cosϑ + cos( ϑ +ϑ ) +, + ϑ " cos ϑ +ϑ T ( q,!q ) = m (!x +!y )+ I ϑ! + m!x +!y ( ϑ ) + I ϑ! +!

29 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) T ( q,!q ) = qt B q q = ϑ ϑ b (ϑ ) b (ϑ ) b (ϑ ) b ( ( ϑ ϑ ( ( B q b ( ϑ ) b ( ϑ ) = b( ϑ ) b Οριζόντιος U ( q,!q ) = 0 L( q,!q ) = T ( q,!q ) b = I + m + I + m a + + a cosϑ b = b = I + m + a cosϑ b = I + m d dt " L!q i L = ξ q i i =, i ξ = τ

30 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) B q b ( ϑ ) b ( ϑ ) = b( ϑ ) b B( q )!! q + C( q,!q )!q = τ C( q,!q ) = m a sinϑ ϑ! m a sinϑ ϑ! +! m a sinϑ ϑ! 0 ( ϑ ) ) ) () Aς επιβεβαιώσουµε τώρα τις ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου E-L.

31 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο πίνακας Αδράνειας Γενικά, ισχύει η µ I n n B q για Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) B q b ( ϑ ) b ( ϑ ) = b( ϑ ) b b = I + m + I + m a + + a cosϑ b = b = I + m + a cosϑ µ I b = I + m n n ( µ,µ ) = ( λ min,λ ) max ιδιοτιµές του B(q)

32 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο πίνακας Αδράνειας Αν θεωρήσουµε M B q M, τότε επειδή B( q) = I + m + I + m ( a + + a cosϑ ) + I + m ( + a cosϑ ) Συνάγουµε ότι... M = I + m + I + m ( a + ) M = I + m + I + m a + + 3a Με χρήση των αριθµητικών τιµών των χαρακτηριστικών του βραχίονα M =7.5 M =9.5 B =9.5 B =6.5 B =9.5

33 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L: ο όρος Φυγόκεντρων Coriois Επειδή Προφανώς Επίσης Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?)!q = m a sinϑ! C q,!q N( q,!q ) = B(! q ) C( q,!q ) = C ( q,!q )!q = m a sinϑ ϑ! ϑ! +! ( ϑ ϑ! +! ϑ ) m a sinϑ! ( ϑ ) + m a sinϑ ϑ! m a ϑ!! ϑ + ϑ! + ϑ! m a ϑ! +! h ϑ! h ϑ! h ϑ! 0 ) ) h ϑ! h ( ϑ! + ϑ! ) ( h ϑ! 0 = ϑ T () ( ϑ ) = p c!q ) ) = ( 0 h! ϑ h! ϑ h! ϑ + h! ϑ 0 ( ( N (q,!q) = N T (q,!q) h = m a s

34 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Γραµµικότητα ως προς Γεωµετρικές Μηχανικές Παραµέτρους Ξεκινόντας από τις Δυναµικές Εξισώσεις E L :! I + m + I + m ( a + + a cosϑ ) " ϑ "" +! " I + m + a cosϑ m a sinϑ ϑ " " ϑ m a sinϑ ϑ " = τ! " I + m + a cosϑ ϑ "" + I + m "" Θέλουµε να το θέσουµε στη µορφή Y ( q,!q, q!! ) π = τ ϑ + m a sinϑ ϑ " = τ "" ϑ

35 Παράδειγµα 4 (επόµενο θέµα?) Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του Δυναµικού Μοντέλου τύπου E-L : Γραµµικότητα ως προς Γεωµετρικές Μηχανικές Παραµέτρους Μπορούµε να θεωρήσουµε τις µεταβλητές που συνιστούν το διάνυσµα π αγνώστων παραµέτρων,και " π = m + I m m m + I R 4 τα στοιχεία y ij του πίνακα Y q,!q,!! q δηλαδή y = ϑ!! y = a!! ϑ y 4 = y 4 = ϑ!! + ϑ!! y 3 = a cosϑ!! ϑ +!! ϑ +! ( ϑ ) a sinϑ (! ϑ )! ϑ ( ϑ ) y = y = 0 y 3 = a cosϑ ϑ!! + sinϑ! Τ

36 Παράδειγµα 5 (επόµενο θέµα?) Κατακόρυφος Βραχίονας DOF, µε κινητήρες Δυναµική Euer-Lagrange Πιστοποίηση Ιδιοτήτων Πινάκων Y-π µορφή [ ] T q = ϑ ϑ : διάνυσµα των γενικευµένων συντεταγµένων a, a: µήκη των συνδέσµων και, αντίστοιχα : αποστάσεις των κέντρων µάζας των δύο συνδέσµων από τους, αντίστοιχους άξονες περιστροφής m,m : µάζες των δύο συνδέσµων m m,m : µάζες των κινουµένων µερών των δύο κινητήρων m I m,i : ροπές αδράνειας των κινητήρων ως προς τους άξονες m περιστροφής τους I,I : ροπές αδράνειας των συνδέσµων ως προς τα κέντρα µάζας τους αντίστοιχα pm = p : οι κινητήρες βρίσκονται τοποθετηµένοι στους i i,zm = z i i, i =, άξονες των αρθρώσεων, µε Κ.Μ. τοποθετηµένα στις αντίστοιχες αρχές των συστηµάτων

37 Παράδειγµα 5: (επόµενο θέµα?) y z 0 z x ( I + m + k r I m + I + m ( a + + a c )+ I m + m m a ) "" ϑ + +( I + m ( + a c )+ k r I m ) ϑ "" m a s " ϑ " ϑ m a s " ϑ +( m + m m a + m a )gc + m gc = τ ( I + m ( + a c )+ k r I m ) "" ϑ +( I + m + k r I m ) "" ϑ + + m a s " ϑ + m gc = τ

38 Παράδειγµα 5: Μητρώο Αδρανείας y z 0 z x B q b = I + m + k I + I + m (a + + a c ) + I + m a r m m m b = b = I + m ( + a c ) + k I r m b I m k I = + + r m b ( ϑ ) b ( ϑ ) = b( ϑ ) b T = Bq B q Το µητρώο αδράνειας είναι προφανώς συµµετρικό και (µπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι) είναι θετικά ορισµένο.

39 Παράδειγµα 5: Μητρώο Φυγόκεντρων Coriois y z 0 z x C( q,!q ) = m a s ϑ! m a s ϑ! +! m a s ϑ! 0 ( ϑ ) ) ) ()

40 Παράδειγµα 5: Διάνυσµα Βαρύτητας y z 0 G q g z x (m + m a + m a ) g c + m g c m = g = = m g c (m + m a + m a ) c + m c m = m c g

41 z 0 y z Παράδειγµα 5: Δυναµική x B( q )!! q +C( q,!q )!q + g( q ) = τ G q C( q,!q ) = h ϑ! h ( ϑ! + ϑ! ) h ϑ! 0 ( m + m a + m a )gc + m gc m = m gc r m m m r m B q I + m + k I + I + m (a + + a c ) + I + m a I + m ( + a c ) + k I = I + m ( + a c ) + kr I m I + m + kr I m ( ( ( I + m + I + m ( a + + a c )+ ) ϑ "" +( I + m ( + a c )+ k ) ϑ "" m a s " ϑ " ϑ m a s " ϑ +( m + m a )gc + m gc = τ ( I + m ( + a c )) ϑ "" +( I + m ) ϑ "" + m a s " ϑ + m gc = τ

42 Παράδειγµα 5: Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες Δυναµικού Μοντέλου y Αντισυµµετρικότητα Πίνακα N (q,!q) =! B(q) C(q,!q) z 0 z x N( q,!q ) = B(! q ) C( q,!q ) = h ϑ! h! h ϑ! 0 = ϑ ( ( h ϑ! h ( ϑ! + ϑ! ) h ϑ! 0 0 h! ϑ h! ϑ h! ϑ + h! ϑ 0 N (q,!q) = N T (q,!q) h = m a s

43 Παράδειγµα 5: Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες Δυναµικού Μοντέλου z 0 y = a!! ϑ + a gc y = a!! ϑ + gc y 3 =!! ϑ y 4 = k r!! ϑ y z ϑ!! + ( a a c + a )!! ϑ!! + ( a c + a )!! y 5 = a + a a c + a y 6 = a c + a y 7 = y 7 = ϑ!! + ϑ!! y 8 =!! ϑ + k r!! ϑ y = y = y 3 = y 4 = 0!!!! y 5 = a a c + a y 6 = a c + a y 8 = k!! r ϑ + k!! r ϑ ϑ + a!! ϑ + a a s! ϑ + a gc ϑ + a!! ϑ + a s! ϑ + gc x Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους Y ( q,!q, q!! ) π = τ! " y y y 8 y y y 8 ϑ a a s! ϑ! ϑ a a s! ϑ + a gc + a gc ϑ a s! ϑ! ϑ a s! ϑ + gc! " π = m + m ( a ) ( ) ( a ) 6 ( ) 7 8 π π! π 8 m m m π = m π = I + m a + I π = I π = m π = m π = I + m a π = I! = τ " τ m

44 Μαθηµατική Επανάληψη: Νόρµες Διανυσµάτων Η νόρµα ενός διανύσµατος x =! " x x!x n T R n µπορεί να θεωρηθεί ως ένα «µέτρο» έκφρασης του «µεγέθους» του " x = m n i= x i m m m = x n = x i i= x m = x = m x = im m m = x m = max i=!n { x i } " n x = x i i= x = x =

45 Μαθηµατική Επανάληψη: Νόρµες Πινάκων Η m-νόρµα ενός πίνακα A R n n παριστά την ελάχιστη αυξοµείωση που θα προκαλέσει στο µέγεθος (εκφρασµένου µε την m-νόρµα) οιοδήποτε στοιχείου o Πολλαπλασιασµός µε τον A x =! " x x!x n T R n A m = min x R n A x m x m