.1. 8,5. µ, (=,, ) . Ρ( )... Ρ( ).
|
|
|
- Πράξις Βασιλόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΡΧΗ 1Η Ε ε Γ Α Ο ΗΡ Ε Ε Ε Ε Η Ε Ο Ε Ο Ε Η 14 Ο Ο 2001 Ε Ε Ο Ε Ο Η Ε Η εε : Η Ο ΧΕ Η Ο Ο Ε εά : Ε (6) Ε Α 1ο Α.1. π µ µ ά : Ρ ( ) = Ρ ( ) Ρ ( ). 8,5 Α.2. µ π µπ µ π µ µ, (=,, ) : Ρ ( )... 1 Ρ( ) 2 Ρ( )... Ρ( ) Να α α π π α α α Σω ό Λάθο π α µµα π α π α Ε Ο 1Η Ε ε
2 ΡΧΗ 2Η Ε ε Γ Α µ µ ά µ Ρ( ) + Ρ( ) < 1. Ρ( ) = Ρ( ) 2Ρ( ) = Ρ(ά) Να α µµα π α ω απ 1 5, Ρ( ) = Ρ( ) = Ρ ( ) µ : ,5 Να α α µµα α Σ ήλ α π α µµα α µ Σ ήλ, π α ω απ µ µ ά Ρ( ) = 3 1, Ρ( ) = 1 4 Ρ( ) = 1. 5 Ε Ο 2Η Ε ε
3 ΡΧΗ 3Η Ε ε Γ Α ήλη Α Ρ ( ) Ρ (( B A ) ) Ρ (( A B) ) ήλη 6 Ε Α 2ο ε f(x) = x+ µx. A. π f(x) + f (x) = 0. 8 π µ π f µ (0,1). 8 Γ. µ IR π : π f π 2 f = Ε Ο 3Η Ε ε
4 ΡΧΗ 4Η Ε ε Γ Α Ε Α 3ο π π µ 80 µ µ µ π 4 [ ) F i , , Α. π π, µ π 8 π µ µ π π µ 9 Γ. Επ µ π µ 80 µ µ π µ π 65 4 π µ µ 55 µ 75 4 Ε Ο 4Η Ε ε
5 ΡΧΗ 5Η Ε ε Γ Α Ε Α 4ο π µ µ π, π π π π, π 50% π π µ π π 12 π, 16% π π π 10 π π µ µ µ π Α. µ µ µ π π µ 6, µ µ 6 Γ. µ π 4.000, π µ µ π π 6 ε. µ, µ π, µ 5 π π µ µ (CV). 7 Ε Ο 5Η Ε ε
6 ΡΧΗ 1Η Ε ε Γ Α Α Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε Α Ε 28 ΑΪ 2002 Ε Ε Α Ε Α Α ΓΕ Α εε Α : Α Α Α Α ΧΕ Α Α Ε εά : Ε Ε (4) Ε Α 1ο Α. A π µ x 1,x 2,,x k µ µ µ Χ, π µ µ µ, π k, µ µ µ µ k µ π i, π µ x i, i = 1,2,,k; ονά 3 µ f i µ x i, i = 1,2,,k; π : i) 0 f i 1 i = 1,2,,k ονά 3 ii) f 1 + f f k = 1. ονά 4 1. π π µ µ µ, µ ά π : Ρ ( ) = Ρ( ) + Ρ( ). ονά 8 Ε Ο 1Η Ε ε
7 ΡΧΗ 2Η Ε ε Γ Α 2. µ π µ π µ ά. ονά 5 µ µ π π : i) P(ά) ii) Ρ ( ). ονά 2 Ε Α 2ο ε f(x) = 2x x 1 +. π µ f. ονά 4 π lim f(x) x 3. ονά 4 π π f. ονά 7 π µ µπ f π π y = 2x + 5. ονά 10 Ε Α 3ο Έ π π 10 µ π µ, Ε : 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. Ε Ο 2Η Ε ε
8 ΡΧΗ 3Η Ε ε Γ Α π µ µ, µ π µ ονά 6 π, π π µ ονά 6 µ π µ π π 10%, µ µ ονά 13 Ε Α 4ο Έ, µ µ ά µ Ρ( ) + Ρ( ) 2Ρ( ). ε µ : f(x) = (x - P(A B)) 3 - (x - P(A B)) 3, x R. P(A B) P(A B). ονά 5 f(x) π µ P(A ) + P(B) µ x =. 2 ονά 13 Ε µ, µ, f(p(a)) = f(p(b)). ονά 7 Ε Ο 3Η Ε ε
9 ΡΧΗ 1Η Ε ε Γ Α Α Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε Ε Α Ε 27 ΑΪ 2003 Ε Ε Α Ε Α Α: Α Α Α Α ΧΕ Α Α ΓΕ Α εε Α Ε εά : Ε Ε (4) Ε Α 1ο Α. π π f(x) = x f (x) = 1. ονά 8 µ f µ ε π µ π ; ονά 6 Γ. µ µ ( ) µ π ονά 6 ε. Να α α π π α, α α Σω ό Λάθο π α µµα π α π α µ Η µ µ µ µ π π (f(g(x))) = f (g(x)). g (x) π f, g π µ ε µ µ ά µ, =. µµ µ π µ π π µ ονά 5 Ε Ο 1Η Ε ε
10 ΡΧΗ 2Η Ε ε Γ Α Ε Α 2ο 55%, 40% 30% Επ µ π π π π π π π : ονά 5 ονά 5 ονά 7 ονά 8 Ε Α 3 ο x ε f(x) = x 2 1 Α. Να α µµα π α ω απ π µ : R (-1,1) R- {-1,1} (1, + ) ονά 5 π µ Γ. π lim [( x + 1) f(x) ] x 1 f (x)<0 x π ονά 7 ονά 6 ε. π µ π µ π f µ (0, f(0)) µ x x. ονά 7 Ε Ο 2Η Ε ε
11 ΡΧΗ 3Η Ε ε Γ Α Ε Α 4ο π π π µ π π, Ε, µ µ π ( µ ) µ ( µ ) µ µά Α µά π µ µ π µ µ ονά 6 µ π µ µ ονά 5 π µ 20% π µ 5 Ε µ, π µ µ µ µ ; ονά 8 µ π µ µ µ µ ονά 6 ε Γ Ε ( ι ο όµ νο ) 1. µ π ( µ µ, µ µ µ ). µ µ Ε Ο 3Η Ε ε
12 ΡΧΗ 4Η Ε ε Γ Α µ π µ π µπ µ µ 2. µ π µ π µ µ µ π µ µ π π π π µ µ, π µ π 3. π ο ά ιό µ 4. π µ µ µ π 5. ε : (3) µ µ 6. Χ π : (1) µ µ KΑ Ε Χ Α Ε Α Ε Ο 4Η Ε ε
13 ΡΧΗ 1Η Ε ε 25 Ϊ 2004 : Χ ε εά : (4) 1 Ν π π f(x) = c µ 0. 8 Ν µ µ f µ x 0 π µ 5 Ν π π ω ό π µµ π π Η µ x i µ µ Χ µ µ 95% π µ ( x s, x + s), π x µ µ π s π π µ i µ µ Χ µ µ µ, π π f i µ x i. 6 Ε Ο 1Η Ε ε
14 ΡΧΗ 2Η Ε ε ε. π π µ µ π µ λ π µ λ π µ Ν µµ λ π µµ µ λ π π λ π µ π π, λ 1 π µ π 2 π µ π 3 ( ) 4 λ π µ x 4x + 3 ε f µ π f(x) =. x 3 Ν π µ f. B. Ν π lim f(x). x Ε Ο 2Η Ε ε
15 ΡΧΗ 3Η Ε ε 3 π µ 200 µ, π π 5 45 µ Η µ π µ π µ π π π : µ. x i i µ. f i % i µ. F i % [5, 15) 60 [15, 25) 68 [25, 35) 180 [35, 45) 200 Ν µ π π π µπ µ µ 10 Ν µµ (x i, f i %) π 5 Ν µ µ x. 5 ε. Ν π µ π π 25 µ ε f µ π f(x) = 2x x + x Ο π P(A) P(B) µ µ ά µ µ x, π f π π µ Ε Ο 3Η Ε ε
16 ΡΧΗ 4Η Ε ε Ν 1 P (A) = P( ) = π π µ P(A), P(B) P(A B) = 3 2, π : i. P(A B) ii. P(A-B) iii. P[(A B) ] iv. P[(A-B) ( - )]. 16 ε ( µ ) 1. µ π ( µ µ, µ µ µ ). Ν µ µ µ π µ π µπ µ µ 2. Ν µ π µ π µ, µ µ π µ µ π π π π µ µ, π µ π 3. Ν π ό µ 4. π µ µ µ π 5. ε : (3) µ µ 6. Χ π : µ π K Χ Ε Ο 4Η Ε ε
17 ΡΧΗ 1Η Ε ε Γ Α Α Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε Ε Α Ε Α Α 28 ΑΪ 2005 Ε Ε Α Ε Α Α: Α Α Α Α ΧΕ Α Α ΓΕ Α εε Α Ε εά : Ε Ε (4) Ε Α 1ο Α. π Σ Σ ά : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). ονά 10 Σ π ; ονά 3 Σ π Σ Σ π ; ονά 4 Γ. π π, ό ά ο π ΣΣ π π Σ f π Σ Σ ε f (x)>0 Σ ε, f ε. ονά 2 f(x) f (x) g(x) + f(x) g (x) = g(x) ( g(x) ) 2, π f, g π Σ ονά 2 Ε Ο 1Η Ε ε
18 ΡΧΗ 2Η Ε ε Γ Α Η Σ Σ P(A) > P(B). ονά 2 ονά 2 Ε Α 2ο Σ Σ Σ π π ΣΣ νbi B: i Βαθμός Σ Σπ π π : λά ι / ί [ ) [4, 8) [8,12) [12,16) [16,20) ν ο λά η x B Bi νό η ν Bi B ι ή νό η f B Bi Α οι ι ή νό η B Bi Α νό η F B Bi Σ Σ Σ Σ Σ Σ 10; ονά 11 ονά 8 ονά 6 Ε Ο 2Η Ε ε
19 ΡΧΗ 3Η Ε ε Γ Α Ε Α 3ο Έ, Σ Σ ά, : (i) Η π π Σ π π Σ, 8 7. (ii) Ο π P(B), P(A B) 1 5 Χ = k,,, π 2 4 3x 15 k = lim. x 5 x 2 6x + 5 k. ονά 5 P(B), P(A B) π ονά 8 π : (1) π Σ π Σ ονά 6 (2) π Σ π Σ Σ ονά 6 Ε Α 4ο 1 ε f Σ π f (x) =, x (0, + ). x π Σ f Σ (1,1). ονά 7 π Σ (x, y) π f Σ π π xx yy, π Σ Σ Σ Οx, Oy π ΣΣ Ε Ο 3Η Ε ε
20 = ΡΧΗ 4Η Ε ε Γ Α Σ Σ, π Σ π ΣΣ ονά 10 Ο Σ Σ π Σ π Σ Σ ( ) Σ Σ x = 5 π π sbx B 2. Σ Σ y π π sby B Σ Σ ονά 8 U ε Γ Ε Γ Α 1. Σ π ( Σ Σ, Σ Σ Σ ). U Σην ν ι άψ U Σ Σ π Σ π Σπ Σ Σ 2. Σ π Σ π Σ, Σ Σ π U Σιά άλλη ησ ί η ν πι π ι ν άψ U. π π Σ Σ, π Σ π 3. π Σ 4. π Σ Σ Σ π 5. ε : (3) Σ Σ 6. Χ π : Σ π KΑ Ε Χ Α Ε Α Ε Ο 4Η Ε ε
21 Ε Α 1o ΡΧΗ 1Η Ε ε Α Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε Ε Α Ε Ε 25 ΑΪ 2006 Ε Ε Α Ε Α Α: Α Α Α Α ΧΕ Α Α ΓΕ Α εε Α Ε εά : Ε Ε (4) A. Η f π Σ R. c π Σ π (c f(x)) =c f (x), x R. ονά 10 B. Σ, Σ ά Σ ; ονά 3 Σ f Σ π Σ ; ονά 4 Γ. π π, ό ά ο π ΣΣ π π f Σ π Σ, Σ π π Σ x 0 A, f(x)π f(x 0 ) x Σ π x 0. ονά 2 A Σ, Σπ Σ Σ, π Σ π, π Σ π Ε Ο 1Η Ε ε ονά 2
22 ΡΧΗ 2Η Ε ε 1 1 xλ0 : = 2 x x. ονά 2 ΣΣ Σ π π Σ π Σ ονά 2 Ε Α 2ο 50 Σ Σ Σ π π π Σ Σ π π, π π : Σ Σ x i i π Σ ονά 3 : Σ Σ Σ π Σ ονά 7 Σ Σ π Σ ονά 7 π Σ 3 ονά 8 Ε Ο 2Η Ε ε
23 ΡΧΗ 3Η Ε ε Ε Α 3o Σ ΣΣ x (x+4) 2 Επ Σ Σ, π π Σ Σ x π π ονά 7 π π Σ 19 1 Σ π Σ π 100 Σ, Σ Σ Σ, π π ονά 8 π π Σ Σ, Σ π π π, π Σ π ; ονά 10 Ε Α 4ο Έ f(x) = -2x 2 +kx + 4 x + 10, xρ0. A π Σ π Σ (1,f(1)) π x x, π k=2 ονά 5 Σ Χ Σ Σ Σ Σ x =f(1) π π Ε Ο 3Η Ε ε
24 ΡΧΗ 4Η Ε ε 2f (4) s=. π, π π 13 Σ Σ, Σ 8. (i) Σ π π Σ (10,16). ονά 10 (ii) π Σ π π, Σ Σ Σ π Σ >0, π π π π Σ π π Σ π, Σ π Σ ονά 10 ε Γ Ε ( ι ο οσ νο ) 1. Σ π ( Σ Σ, Σ Σ Σ ). Σην ν ι άψ Σ Σ π Σ π Σπ Σ Σ 2. Σ π Σ π Σ, Σ Σ π Σιά άλλη ησ ί η ν πι π ι ν άψ π π Σ Σ 3. π ο ά ιό όλ Σ 4. π π Σ Σ Σ π 5. ε : (3) Σ Σ 6. Χ π : Σ π KΑ Ε Χ Α Ε Α Ε Ο 4Η Ε ε
25 Ε Α 1o ΡΧΗ 1Η Ε ε Α Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε ΓΕ Ε 22 ΑΪ 2007 Ε Ε Α Ε Α Α: Α Α Α Α ΧΕ Α Α ΓΕ Α εε Α Ε εά : Ε Ε (4) A. π Σ Σ ά Ρ( ) = Ρ( ) Ρ( ). ονά 8 B. Σ f Σ π Σ Σ x 0 π Σ ; ονά 4 Σ Σ ( ) Σ π, Σ ονά 3 Γ1. Να α α π π α, α α π α μμα π α π α Σω ό, α π α α ω, Λάθο, α π α α α α μ π π π Σ, F i π π π Σ Σ x i. ονά 2 Ε Ο 1Η Ε ε
26 ΡΧΗ 2Η Ε ε f, g π Σ, π : ( f ( g( x) )) = f (g(x)) g (x). ονά 2 Σ f f (x 0 )=0 x 0 (, ), f (x)>0 (,x 0 ) f (x)<0 (x 0, ), f π Σ (, ) x=x 0 ονά 2 Γ2. π π : f 1 (x)=x, π f 2 (x)=lnx, π x>0 f 3 (x)= x, π x>0 f 4 (x)= x, π x π Σ ονά 4 Ε Α 2ο ε Σ π f(x)=xe x +3, π x π Σ Σ π f (x)=f(x)+e x 3 ονά 10 x f (x) e lim x 0 x 2 x. ονά 15 Ε Ο 2Η Ε ε
27 Ε Α 3o ΡΧΗ 3Η Ε ε Ε Σ = { 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} Ω π Ρ( 1)=Ρ(0)=Ρ(1)=Ρ(2)=2Ρ(3)=2Ρ(4)=2Ρ(5). Ο Σ Σ Ω : A = 2 2 { 1, 3, x x 3 }, B= { 2, x + 1, 2x + x 2, 2x + 1 } π x π Σ Σ π π Σ Ω, Ρ( 1), Ρ(0), Ρ(1), Ρ(2), Ρ(3), Ρ(4), Ρ(5). ονά 7 Σ Σ x π A B={ 1,3}. x= 1 : 5 7 P(A) =, P(B) =, P(A B) = ονά 8 π π Ρ( ) Ρ( ). ονά 10 Ε Α 4ο Σ Σ Σ π : ε Σ : 12, 18, t 3, t 4,..., t 25 ε Σ B: 16, 14, t 3, t 4,..., t 25. ε t 3 +t t 25 =345. π Σ Σ x A x B Σ x = x 15. A B = ονά 7 Ε Ο 3Η Ε ε
28 2 s A ΡΧΗ 4Η Ε ε Σ Σ Σ Σ, π sa sb =. 25 ονά 8 Σ Σ 1 Σ CV A =, Σ CV B 15 Σ 2 s B ονά 10 ε Γ Ε ( ι ο όσ νο ) 1. Σ π ( Σ Σ,, Σ Σ Σ ). Σην ν ι άψ Σ 2. Σ π Σ π Σ, Σ Σ π Σιά άλλη ησ ί η ν πι π ι ν άψ π π Σ Σ 3. π ο ά ιό όλ Σ 4. π Σ Σ Σπ Σ Σ Σ π Σ π Σ Σ, ΣΣ π 5. π π Σ Σ Σ π 6. ε : (3) Σ Σ 7. Χ π : Σ 10:30 π KΑ Ε Χ Α Ε Α Ε Ο 4Η Ε ε
29 4*/! 1o!"#$ 1$% %&'()!%!"#$%&'()*+ *,*&!+*)+ -. &!,'+ '/*('+)#% -*0)1#% $%1*)#% "*/"&' 22 /!2#% 2008 *,*&!3#/*0# /!4'/!: /!4'/!&)1! 1!) +&#)5*)! +&!&)+&)1'+ -*0)1'+ "!)6*)!+ +%0#$# +*$)670: "*0&* (5) A. *+ +,-./01/2/ 324 5, : 25: ;2+</6=: ;>?7625;5: f(x)=c (3,-> /0?+4 0,.5B+.= (c)c= 0. /89:;<= 8 B. DE: -60F/ @/2+GB52=: X, +? x!0 A+4,E:, +? _ x "0 ; /89:;<= 7 _ -. *+ H+6+A2560;/2/ 24:,6-27;/4:,-> +A-B-><-I?, 867J-?2+: ;2-2/ ;+: 25 BK15 +>?@A = $:B8=.0,B+ ;2-867@@+,-> +?24;2-4H/0 ;/ A7</,632+;5. C.!?!, L /0?+4.I- /?./H3@/?+ /?3:./48@+24A-I HE6-> M, 232/ - 2I,-: "(!!L)="(!)+"(L) "(!"L) 32+? 2+ +,B7 /?./H3@/?+ 2->./48@+24A-I HE6-> M /0?+4 4;-,0<+?+. /89D;<= 2 E. $.47@/;-:. /?3:./08@+2-:?,+6+256=;/9? t 1, t 2,, t? +,3 24:,+6+256=;/4: +>2K:. /89:;<= 2 N&'O% 1$%!DO 5 %&'()&%
30 !"#$ 2$% %&'()!% F.!? x>0, 232/ 1 ( x) $ #. 2 x /89:;<= 2 ;.!? x - /0?+4 K?+:,6+8@+24A3: +64<@3: 232/ lim!"x#!"x. x % x o o /89:;<= 2 <. %2-4;2386+@@+ ;>H?-2=29? -@+.-,-45@K?9?./.-@K?9?, 2- /@G+.3? 2-> H960->,-> -60F/2+4 +,3 2-,-BI89?- ;>H?-2=29? A+4 2-? -64F3?24-71-?+ /0?+4 2->./08@+2-:. /89:;<= 2 4*/! 28 )0?/ I,- f(x)=,6+8@+24a3: +64<@3:. x 1, 3,-> x x e C. *+ >,-B-80;/2/ x e f(x) lim x 2. x %1 1 /89:;<= 7 E. *+ +,-./01/2/ 324 e x fc(x)=2&x. F. *+ G6/02/ 2+ +A : ;>?7625;5: f(x). /89:;<= 9 /89:;<= 9 N&'O% 2$%!DO 5 %&'()&%
31 4*/! 3o!"#$ 3$% %&'()!% P4+.I- A+4 L 5 2- A+<K?+. O4 H63?-4 F9=: A7</./08@+ (;/ H4B47./: E6/:).0?-?2+4 ;2-? /,3@/?-,0?+A+:! L C. *+ G6/02/ F9=: 2I,-> L. /89:;<= 2I,->! ;2-4H0F/ I,-> L ;2-4H0F/4 40 />6E,,-4-? ;>@JK6/4? ;/2/; (* B-8=;/2/ 25? +,7?25;= ;+:). /89:;<= 5 F. *+ G6/02/ 24: 2>,4AK: +,-AB0;/4: S A A+4 S B 25:.476A/4+: F9=: 29?.I- /89:;<= 7 ;. *+ G6/02/,-4-: +,3 2->:.I- A+4 L,+6->;47F/4 -@-4-8K?/4+ 9:,6-: A/4+ F9=: 2->. )0?/ ' 3, 3. /89:;<= 8 N&'O% 3$%!DO 5 %&'()&%
32 !"#$ 4$% %&'()!% 4*/! 48 N- 50% 29? 25? +, /?E 2-30% 29? A+2-0A9?.4+G7F->? 25? + A+4./?.4+G7F->? 25? G. C. D-4+ /0?+4 5,4<+?3252+ K?+: A72-4A-: 25:,3B5:,,-> /,4BK8/2+4 25? + =?+.4+G7F/4 25? G; /89:;<= 7 E. O60F->@/ 2- /?./H3@/?- L: «K?+: A72-4A-: 25:,3B5:,-> /,4BK8/2+4 2>H+0+,.4+G7F/4 25? /J5@/60.+ G». *+ +,-./01/2/ (*( )) ( /89:;<= 9 F. Q/96-I@/ 25 2I,- f(x)=x 3 & 2 1 x 2 + P(B) x 3,-> x,6+8@+24a3: +64<@3: A+4 L 2- /?./H3@/?-,-> -60;25A/ ;2-,6-58-I@/?- /6E25@+. *+ +,-./01/2/ ;>?7625;5 f(x)./? KH/4 +A /89:;<= 9 #6'-)*+ <I<@CJAK<98H=) 1. %2-2/267.4-?+ 2+,6-A+2+6A24A7 (5@/6-@5?0+, 0C KL9 C9@GFM:N<@< 2+ <K@+2+ ;2-2/ *+ 867R/2/ 2- -?-@+2/,E?>@3 ;+: 29? J92-+?24867J9?, ;+:,+6+.-<-I?. 1CKG: :OOL?LK<P>?L ;<9 <QG@MRQ<@CG 9C FM:N<@<. N&'O% 4$%!DO 5 %&'()&%
33 !"#$ 5$% %&'()!% S+27 25? 2-2/ A+4 2+ J92-+?2086+J+. 3. *+ AOC *+ 867R/2/ 24: @+I6- ;2>B ;HK.4+,.4+867@@+2+ A+4,0?+A/:. 5. S7</ +,7?25;5 /,4;25@-?4A7 2/A@5649@K?5 /0?+4 +,-./A2=. 6. )476A/4+ /1K2+;5:: 26/4: (3) 25.4+?-@= 29? J92-+?24867J9?. 7. #63?-:.>?+2=: 25 10:30C,694?=. K!$' *")&%5)! &*$#+ /'0%/!&#+ N&'O% 5$%!DO 5 %&'()&%
34 ΡΧΗ 1Η Ε ε Α Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε ΓΕ Ε Α Α Ε Αε Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε Α ( ΑεΑ ) εε Ε Α 18 MAΪ 2009 Ε Ε Α Ε Α Α: Α Α Α Α ΧΕ Α Α ΓΕ Α εε Α Ε εά : Ε Ε (4) Ε Α 1o A. π π π Σ Σ Σ Ρ(» )=Ρ( )+Ρ( ) ονά 10 B. x 1,x 2,,x κ Σ Σ Σ X π Σ Σ Σ (κπ ), f i Σ x i, i=1,2,,κ. ονά 5 Γ. π π, ό ά ο π ΣΣ π π Σ π Σ f, g ( f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g(x) ονά 2 A, Σ Σ ά, A B = A B ονά 2 Ε Ο 1Η Ο 4 Ε εε
35 ΡΧΗ 2Η Ε ε f(x)= Σx ( ημ x) = συνx ονά 2 ΣΣ Σ π π Σ Σ π Σ ονά 2 Η Σ Σ π Σ ονά 2 Ε Α 2ο π Σ π Σ x i, i=1,2,3,4 Σ Σ Χ Σ i, i=1,2,3,4. Η 2 π Σ x 2 =3 ε Σ Σ π Σ x =4. x i π 2 =7. i ; ονά 9 π Σ π Σ 4,9. ονά 9 Σ Σ Σ X Σ ε 4,9 2, 2 ονά 7 Ε Ο 2Η Ο 4 Ε εε
36 Ε Α 3o ΡΧΗ 3Η Ε ε ε f(x)=x 3 6x 2 + x 7, π π Σ Σ, π 2f (x) + f (x) + 15 = 3x, x 2 =9 π ονά 7 f (x) lim x 1 2 x 1 ονά 8 π Σ π f, π π y= 3x ονά 10 Ε Α 4ο ε f(x)=lnx 2 x , x>0 π π Σ Σ Α. π Σ π f Σ π f ονά 6 Σ f π ονά 6 Σ Σ f(2), f(4), f(8), f(3) f(5) π Σ Σ Χ. R Σ π, R=3+ ln 4 1 = ln ονά 7 Ε Ο 3Η Ο 4 Ε εε
37 ΡΧΗ 4Η Ε ε Έ Σ ά={1,2,3,,100} π π π π π Σ A π Σ Σ ά, π π Σ ={ ά R+ < 2} ονά 6 ε Γ Ε Γ Α Ε Ε Α Ε 1. Σ π ( Σ Σ, Σ Σ Σ ). Σην ν ι άψ Σ 2. Σ π Σ π Σ, Σ Σ π Σιά άλλη ησ ί η ν πι π ι ν άψ π π Σ Σ 3. π ο ά ιό όλ Σ 4. π Σόνο Σ Σπλ ή Σ ο λό ι ί ι Σόνον ν ί ηλη Σ λάνη π Σ π Σ Σ, ΣΣ π 5. π π Σ Σ Σ π 6. ε : (3) Σ Σ 7. Χ π : π.σ. KΑ Ε Χ Α Ε Α Ε Ο 4Η Ο 4 Ε εε
38 ΡΧΗ 1Η Ε ε Α Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε ΓΕ Ε Α Α Ε Αε Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε Α ( ΑεΑ ) εε Ε Α 17 MAΪ 2010 Ε Ε Α Ε Α Α: Α Α Α Α ΧΕ Α Α ΓΕ Α εε Α Ε εά : Ε Ε (5) Ε Α Α Α1. Έ t 1,t 2,...,t π Σ π Σ Χ Σ Σ, π Σ Σ x Σ Σ t 1 x, t 2 x,..., t x π Σ Σ Σ Σ ονά 7 Α2. x 1,x 2,,x ν π Σ π Σ X Σ Σ w 1,w 2,...,w Σ ( ), Σ Σ Σ Χ. ονά 4 Α3. Έ ά Σ π Σ Σ Σ Σ ονά 4 Α4. Να α α π π α, α α π α μμα π α π α Σω ό, α π α α ω, Λάθο, α π α α α α μ Ε Ο 1Η Ο 5 Ε εε
39 Ε Α B ΡΧΗ 2Η Ε ε ) f, g x 0 π Σ Σ, lim (f(x) g(x)) = limf(x) limg(x) x x ) x>0 ( ) x x x x x 1 = x ) Η π ΣΣ π x=f(t), Σ t 0 (t 0 )=f (t 0 ) ) f Σ ε π Σ, π π Σ x 1, x 2 ε Σ x 1 <x 2 f(x 1 )<f(x 2 ) ) Η Σ Σ, π π π π ε 2 f (x) = 2 x x + 1 1, x ονά π f(x) 1 lim x 1 x 1 ονά π π Σ π f Σ Σ Σ Σ x 0 =0 ονά 10 B3. π π Σ π π π Σ Σ x x ονά 5 Ε Ο 2Η Ο 5 Ε εε
40 ΡΧΗ 3Η Ε ε Ε Α Γ Ο Σ π,, 160 Σ, π π ΣΣ Σ, Σ π 5 π, π Σ π π : ά Ε ΡΟ Ε Ε ΡΟ Η x i Χ Ο Η [0 -...) [ ) 6 40 [ ) [ ) [ ) Ο Ο 160 Γ1. π π c Σ 4 ονά 6 Γ2. Σ π π π Σπ Σ, π Σ Σ x π π s ονά 8 i Γ3. Σ Σ ονά 5 Γ4. Σ π π, π π Σ : «π Σ π π π 7 Σ 14». ονά 6 ε π s 2 k 1 = i= 1 x 2 i i k i= 1 2 x i i Ε Ο 3Η Ο 5 Ε εε
41 ΡΧΗ 4Η Ε ε Ε Α ε Έ, Σ Σ ά Σ π Ρ( ), Ρ( ) 1 f (x) = ln ( x P(A) ) ( x P(A) ) P(B), x>p( ) ε1. Σ f π Σ ονά 13 ε2. f π Σ 5 x o = Σ Σ f(x o )=0, π : Ρ( )= Ρ( )= 3 2 ονά 2 Σ π Σ ε2 π π π : 5 P(A B) =, 6 ε3. Σ π Σ π Σ, ονά 5 ε4. π Σ π Σ π Σ, ονά 5 Ε Ο 4Η Ο 5 Ε εε
42 ΡΧΗ 5Η Ε ε ε Γ Ε Γ Α Ε Ε Α Ε 1. Σ π ( Σ Σ, Σ Σ Σ ). Σην ν ι άψ Σ 2. Σ π Σ π Σ, Σ Σ π Σιά άλλη ησ ί η ν πι π ι ν άψ π π Σ Σ 3. π ο ά ιό όλ Σ 4. π Σόνο Σ Σπλ ή Σ ο λό ι ί ι Σόνον ν ί ηλη Σ λάνη π Σ π Σ Σ, ΣΣ π 5. π π Σ Σ Σ π 6. Σ Σ π Σ Σ 7. ε : (3) Σ Σ 8. Χ π : π.σ. KΑ Ε Χ Α Ε Α Ε Ο 5Η Ο 5 Ε εε
43 Ε Α Α ΡΧΗ 1Η Ε ε Γ Ε ά Α Ε Ε Ε Ε Α Ε Γ Α Ε ΓΕ Ε Α Ε Α ( ΑεΑ ) Α Α 14 MAΪ 2011 Ε Ε Α Ε Α Α: Α Α Α Α ΧΕ Α Α ΓΕ Α εε Α Ε εά : Ε Ε (5) Α1. Σ Σ ά π : Ρ( )=Ρ( ) Ρ( ). ονά 7 Α2. Σ, Σ ά Σ ; ονά 4 Α3. f i Σ π x i Σ ονά 4 Α4. Να α α π π α, α α π α, μμα π α π α, Σω ό, α π α α ω, Λάθο, α π α α α α μ ) Η Σ Σ Σ π π ονά 2 ) Σ Σ π π Σ Σ Σ, Rδ6 x. ονά 2 Ε Ο 1Η Ο 5 Ε εε
44 ΡΧΗ 2Η Ε ε Γ Ε ά ) π Σ (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) ονά 2 Ε Α ) Σ Σ π π π Σ π Σ Σ ονά 2 ) Έ Σ Σ Σ Σ Σ, Σ π 10%. ονά 2 Έ π π, Σ Σ Σ Η π Σ 1 P(M)=, π π P(A)= 4λ π P(K)= 5 λ +, π 4 λ π (ά) π π 64< (ά)<72, 1. (ά)=68 2. π Σ ονά 6 ονά 8 3. π π, π Σ π π ονά 6 4. Σ Σ π π Σ ονά 5 Ε Ο 2Η Ο 5 Ε εε
45 Ε Α Γ ΡΧΗ 3Η Ε ε Γ Ε ά Ο π,, π π π Σ Σ π π Σ π π f i % : (8, 0) (10, 10) (12, 20) ε(14, y ε ) E(16, y Ε ) (18, 10) Η(20, 0) π y ε, y Ε Σ ε Ε π εε Η. Γ1. π Σ y ε y Ε ε Ε, π π Σ Σ Σ π ΣΣ Σ Σ εε π π ονά 7 Γ2. π f i %. ονά 3 Γ3. π f i % Σ π π π π ονά 7 Γ4. Η π π π π π π π π π π π π ονά 4 Γ5. Σ π π π Σ π π π π 80. Σ π π Ε Ο 3Η Ο 5 Ε εε
46 ΡΧΗ 4Η Ε ε Γ Ε ά π π π 4 Σ ονά 4 Ε Α ε ε f (x) = e 1 2 x x x+ 10 5, x ε1. Σ f π Σ ονά 8 ε2., Σ Σ ά Σ Œ Ρ( ), Ρ( ) π f π π Ρ( ), Ρ( ), Ρ(» ), Ρ( ). ε3. ε h (x) = e 1 3x x x 3, x ) f(x)=h(x). ονά 8 ονά 3 ) A x 1 < x 2 < x 3 π π v i =2x i +1, i=1,2,3 π x i Σ Σ π ονά 6 Ε Ο 4Η Ο 5 Ε εε
47 ΡΧΗ 5Η Ε ε Γ Ε ά ε Γ Ε ( ι ο οσ νο ) 1. Σ π ( Σ Σ, Σ Σ Σ ). Σην ν ι άψ Σ 2. Σ π Σ π Σ Σ Σ π ε ν πι π ι ν άψ Σ Σ π π Σ Σ 3. π ο ά ιό Σ 4. π Σόνο Σ Σπ Σόνο Σ Σ π Σ π Σ Σ, ΣΣ π 5. Σ Σ π Σ Σ 6. π Σ Σ π 7. ε : (3) Σ Σ 8. Χ π : π.σ. KΑ Ε Χ Α Ε Α Ε Ο 5Η Ο 5 Ε εε
48 1 ( ) : : (5) 1. f, g, f (x) g(x) = f x g x, x X, _ x 0, _ x 0; 4 4.,,,,,, ) ( 2). 1 5
49 2 ) f x 0 y f (x) x, x x0 ( 2). ),, ( ) ( ) ( 2). ), ( 2). ) lim x x0 x x 0, x0 ( 2). 10 ( ) [5,45) 1., 4 2 5
50 3 2., =8 ( 3) ( 5). ( ) x i v i f i % N i F i % [5,. ) +4 [.,. ) 3-6 [.,. ) 2 +8 [., 45) _ x s ( : 84 9,17) ,
51 4 lim x 1 2( x x ) x , ln x f (x), x 0 x 1. f 2.,f (x), x 0 5 x f. y y Ox (x,0) x x Oy 0,f (x) O,, 7 4 5
52 5 3. : y x, 10, f 1,f (1) (x i,y i ), i=1,2,,10, x i x _ 10 s x 2. yi 8 4.,, f ( ) f ( ) 2f ( ) ( ) 5 1. (, ) , : (3) 8. : K 5 5
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ 2000-2010 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΙΑ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1.
Μονάδες 2 β. αν Α Β τότε Ρ(Β)... Ρ(Α). Μονάδες 2 Β.1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (00 0) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (003 0) Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ»
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ~ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ
ΘΕΜΑΤΑ 000-014 ΘΕΜΑ 4 ο 00 Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β). Δίνεται ακόμα η συνάρτηση: f(x) = (x - P(AB)) 3 - (x - P(AB)) 3, x R. α. Να δείξετε ότι P(AB) P(AB). Μονάδες
ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 ευτέρα, 8 Μα ου 009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες
ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ
,,, και τα ενδεχόμενα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) 0 ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι f( x=, ) για κάθε x Α. Έστω μια
Θέματα. Α1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (9 μονάδες)
Θέματα Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α αι Β ενός δειγματιού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)P(A)-P( A B) (9 μονάδες) Α. Να διατυπώσετε το νόμο των μεγάλων αριθμών. (6 μονάδες) Α. Να χαρατηρίσετε
Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. Σ Λ
Θέματα ΘΕΜΑ Α Α. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 20 ΜΑΪΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x x x 4
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ 8 Α Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ Α Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελ 87 Α α) Λ, β)
ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
0 Μαΐου 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων & Γενικών Λυκείων Περιεχόμενα ΘΕΜΑ Α... Α.... Α.... Α.... Α4.... ΘΕΜΑ Β... B.... B.... B.... ΘΕΜΑ Γ... 4 Γ.... 4
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 016 ΜΘΗΜΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΤ Ι ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ ΤΕΤΡΤΗ 0 ΜΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΖΟΜΕΝΟ ΜΘΗΜ: ΜΘΗΜΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΘΕΜ A1. ν A και A είναι
Μονάδες 10. x. (μονάδες 2) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Απάντηση από το Σχολικό βιβλίο σελίδα 28
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 0 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εµβαδά Θέµα 1 ίνεται η συνάρτηση x e e, x< 1 (x) = l nx, x 1 x Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, τον άξονα
!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8
ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
[ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ] Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
![[ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ] Μαθηματικά Γενικής Παιδείας](/thumbs/53/31344649.jpg "[ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ] Μαθηματικά Γενικής Παιδείας")
Γ Λυκείου 0 0 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου 0-0 Μ Παπαγρηγοράκης 4 ΓΕΛ Χανίων [ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ] Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική 7- Μπαρλας θεμα 70/80Μπαρλας
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 203 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].](/thumbs/62/47859018.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β π Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις με πεδίο
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης
Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς
Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 6 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Εστω συνεχης συναρτηση f : [α, ] με παραγουσα συναρτηση F. Τι ονομαζεται ορισμενο
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την
του πεδίου ορισμού της τότε η f είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. ε) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση δευτέρου βαθμού δεν έχει ασύμπτωτες.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής
T Ш. κεφαλαιο1. οριο - συνεχεια συναρτησης. τ κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1. γ λυκειου. κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1
γ λυκειου ` κεφαλαιο1 οριο - συνεχεια συναρτησης επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ 1 017 ... πραγματικοι αριθμοι... συναρτησεις... μονοτονες συναρτησεις - αντιστροφη συναρτηση... οριο συναρτησης στο χ
3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li
![3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li](/thumbs/54/34281457.jpg "3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li")
Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις
ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΘΗΤΙ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέματα και παντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα αθηματικών http://www.othisi.gr ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Δευτέρα, Ιουνίου 07 Γ ΛΥΕΙΟΥ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: ευτέρα, 1 Ιουνίου 009 7:30 10:30
( ) ΘΕ ΑΝ4 / 2 0. α) β) f(x) f ( x) cos x
Η ΑΝΕΠ Η Η Ν Ω Ν Ω ΑΘΗ Α ΑΝIV Ε ε ά ει Ν επ ε β ί 5 (3-9-5) Επώ : Ό α: ΑΝ Ν: ΘΕ ΑΝ Τα π α Chebyshev T ( ) α π ω μ ( ) y y y (,,, ) π [,] Η ω α α α π α μ / d d T ( ) Tm ( ) [ T ( )] Α απ f ( ) 3, [,], α
ΤΜΗΜΑ ΦΩΚΑ/ΤΕΤΑΡΤΗ
ΤΜΗΜΑ ΦΩΚΑ/ΤΕΤΑΡΤΗ 09.00 -.00 5 ZE MI WA 0 0 0 9 0,95 9 ΑΓ ΓΕ ΠΑ 0 0 0 0 0 0 95 ΑΔ ΡΟ ΙΩ 0 0 0 0 0 0 97 ΑΙ ΚΩ ΠΑ 0 0 0 0 0 0 5 507 ΑΛ ΕΥ ΤΖ 0 0 0 0 0 0 6 99 ΑΝ ΟΡ ΚΩ 7 5 0 0 0,65 7 95 ΑΝ ΙΩ ΟΡ 9 9 9 6
Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις Πανελλαδικές Εξετάσεις από το 2000 έως 204 χωρισμένα σε Κεφάλαια Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 = 2. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α.
Χρόνια υπηρεσίας [ - )
Το 4 ο Θέμα (Πανελλαδικές 000-03) ) 000 Στα σ χολεί α ενός Δή μου υπη ρετούν συνολικά 00 εκπ αιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υ- πηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια υπηρεσίας
Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει
Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.
3 s st 3 r 3 t r 3 3 t s st t 3t s 3 3 r 3 3 st t t r 3 s t t r r r t st t rr 3t r t 3 3 rt3 3 t 3 3 r st 3 t 3 tr 3 r t3 t 3 s st t Ax = b. s t 3 t 3 3 r r t n r A tr 3 rr t 3 t n ts b 3 t t r r t x 3
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
Σάββατο, 24 Μαΐου 2008 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. f (x) = ln x, x R* είναι παραγωγίσιµη στο R* και
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Σάββατο, 4 Μαΐου 8 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ισχύει: f (x) = ln x, x R* είναι παραγωγίσιµη στο R* και (ln x )ʹ= Μονάδες Α.. Πότε µία
apj1 SSGA* hapla P6 _1G hao1 1Lh_PSu AL..AhAo1 *PJ"AL hp_a*a
n n 1/2 n (n 1) 0/1 l 2 E x X X x X E x X g(x) := 1 g(x). X f : X C L p f p := (E x X f(x) p ) 1/p f,g := E x X f(x)g(x) x X X X X := {f : X [0, ) : f 1 =1}. X µ A A X x X µ A (x) :=α 1 1 A (x) 1 A A α
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε
Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. α = 1 δ. im( f (x) x ) = im - 2βx x = - 4β 8 = 4α - 32β =
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 005 ΘΕΜΑ ο Α.. Θεωρία s s Α.. CV =, αν > 0, ενώ CV =, αν < 0. - Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει > 0, άρα A f = (0, + ). β. f () = (α
P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1
ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα
Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001
Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες
KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός
KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις. Ορισμός : Εστω ΑR. Ονομάζουμε (πραγματική) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, μια διαδικασία f Παραδείγματα i) με την οποία στοιχείο xα yβr. ii) Ανεξάρτητη
ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία: Δευτέρα,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,
Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ
Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β](/thumbs/63/49303177.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ
ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σάββατο, 4 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση ονομάζεται μια διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συχνά συμβολίζουμε
Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα;
Ω ισχύει: P A B P(A) P(B) P(A (Μονάδες 7 ) του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 4 ) ii. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων.
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ () ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 24 ΜΑΡΤΙΟΥ 207 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 7-05-00 ΘΕΜΑ Α Α. ος τρόπος Οι παρατηρήσεις t, t,..., t έχου μέση τιμή. Οι έες παρατηρήσεις είαι της μορφής: yi = ti, όπου i =,,...,
ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τότε να αποδείξετε ότι:
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 30 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)
![ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)](/thumbs/80/82069494.jpg "ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)")
Έστω συνάρτηση f: [α, β] R παραγωγίσιμη. Τότε η παράγωγος συνάρτηση f (x) παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β). Έστω f (α) < λ < f (β). Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει x 0 ώστε f (x 0 ) = λ.
4
4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ προς απάντηση Διαφορικός Λογισμός Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Tι λέγεται τιμή μίας συνάρτησης f
ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΕΣΤ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΩΡΟΜΙΣΘΙΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΒΟΗΘΟΙ ΤΗΛΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ (ΑΡ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ: 2/2017) (ΛΕΥΚΩΣΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου. Άσκηση 1
Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου Άσκηση 1 ψ(x) = A Sin (k x), < x < α) Sin (k x) = eikx e ikx i Mε πιθανές τιμές ορμής p = ± ħk, από τον τύπο του De Broglie. Kαθεμιά έχει πιθανότητα 50%. b) p = ψ p ψ =
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
β) Αν υπάρχουν τα limf (x), και είναι γ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε ισχύει: ( f g ) (x) = f (x) g (x), x
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ
35 = (7+ 109) =
Άλγεβρα Α Λυείου Στεφανής Παναγιώτης Συνδυαστιές Ασήσεις Ασήσεις δηµοσιευµένες στο περιοδιό τεύχος 8 Άσηση α) Να δείξετε ότι: 7 + + + +... + 9 = β) Να λυθεί η ανίσωση: 7 7x + x + x +... +
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. Σχετική Συχνότητα (f i ) v i x
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΘΕΜΑ 1ο Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων
Κεφάλαιο 2 ο ανάλυσης ερωτήσεις στις παραγώγους. τότε η f(x) είναι παραγωγίσιμη
Κεφάλαιο 2 ο ανάλυσης ερωτήσεις στις παραγώγους. 1. Αν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 τότε η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο x 0 του Π.Ο της; : όχι. Πρέπει επιπλέον το όριο να είναι πραγματικός αριθμός.
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς 1o ΘΕΜΑ 1 A1. Δινεται μια συναρτηση f : [α, ]. Να δωσετε τον ορισμο της συνεχειας της f στο διαστημα
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το
ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΛ ΜΑΘ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ 369 Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x είναι f (x) = Β. Να γράψετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: Μονάδες
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Περίληψη μαθημάτων Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Με N θα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλ. N = {, 2, 3, 4, }. Με Z θα συμβολίζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών, δηλ. Z = N {0,, 2, 3, 4, }. Με Q θα συμβολίζουμε
1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4
ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ. ΟΣΑ ΑΠΟ ΑΥΤΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΟΥΝ ΣΕ ΑΣΚΗΣΕΙΣ, ΘΕΛΟΥΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ!!
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ. ΟΣΑ ΑΠΟ ΑΥΤΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΟΥΝ ΣΕ ΑΣΚΗΣΕΙΣ, ΘΕΛΟΥΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ!! 1. Αν f(x).g(x)=0 τότε μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα ότι f(x)=0 ή g(x)=0 ; Οχι. Απλά η κάθε συνάρτηση μηδενίζεται
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών www.othisi.gr 2 Παρασκευή, 20 Μαΐου 2016 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ