T Ш. κεφαλαιο1. οριο - συνεχεια συναρτησης. τ κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1. γ λυκειου. κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1

Transcript

1 γ λυκειου ` κεφαλαιο1 οριο - συνεχεια συναρτησης επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ 1 017

2 ... πραγματικοι αριθμοι... συναρτησεις... μονοτονες συναρτησεις - αντιστροφη συναρτηση... οριο συναρτησης στο χ 0... ιδιοτητες οριων... μη πεπερασμενο οριο στο χ 0... οριο συναρτησης στο απειρο... συνεχεια συναρτησης T Ш τ

3 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ χ 0

4 Θ Ε Ω Ρ Ι Α... ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν Αν lim f(x)> 0, τότε f(x)>0 κοντά στο χ 0 (σχήμα 1) lim f(x)< 0, τότε f(x)<0 κοντά στο χ 0 (σχήμα ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το αντίστροφο του θεω- ρήματος 1 δεν ισχύει, αφού, αν f(x)>0 για κάθε χ x 0 τότε lim f(x) 0 (αν υπάρχει το όριο) παράδειγμα αν f(x)=χ >0 για κάθε χ x 0 ενώ lim f(x)= lim χ 0 x x x x 0 0 (σχήμα) f(x)<0 για κάθε χ x 0 τότε lim f(x) 0 (αν υπάρχει το όριο) παράδειγμα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

5 αν f(x)=-χ <0 για κάθε χ (σχημα) x 0 ενω lim f(x)= lim (-χ ) 0 x x x x 0 0 Αν f(x) 0, τότε lim (αν υπάρχει το όριο) f(x) 0, κοντά στο χ 0 Αν f(x) 0, τότε lim f(x) 0, κοντά στο χ 0 (αν υπάρχει το όριο) Άμεσα από το θεώρημα 1 Αν lim f(x) 0, τότε f(x) 0 κοντά στο χ 0 Αν lim f(x) 0, τότε f(x)>0 ή f(x)=0 ή f(x)<0 κοντά στο χ 0 Αν χ 0 Α f, τότε x lim f(x) f(x ) x0 0 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο χ 0 και ισχύει f(x) g(x) κοντά στο χ 0 τότε lim f(x) x x x x 0 0 lim g(x) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο χ 0 και ισχύει f(x)<g(x) κοντά στο χ 0, Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

6 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΟΡIΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ χ 0 (ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ) Δ ο σ μ έ ν α Ο τύπος της συνάρτησης f ή σχέση ορίων Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η Στη περίπτωση " εύρεσης ορίου - πράξεις... " Ελέγχουμε αν για x = x 0 ορίζεται η συνάρτηση f(x) Eφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων των πράξεων Στη περίπτωση " βοηθητικής συνάρτησης... " Θέτουμε h 1(x), h (x) τις αλγεβρικές παραστάσεις των ορίων (γνωστά τα όρια: και ) Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν ως προς f(x), g(x) (σε συνάρτηση με τις h 1(x), h (x)) Βρίσκουμε τα όρια και με τη βοήθεια των ορίων και που είναι γνωστά. Στη περίπτωση " ρητής συνάρτησης, με... 0 : 0..." Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή (συνήθως με Horner, μια ρίζα είναι πάντα η x 0) Απαλείφουμε τον όρο της μορφής x - x 0 Στη συνέχεια βρίσκουμε το όριο πηλίκου. Στη περίπτωση " άρρητης συνάρτησης με... 0 : 0... " Παραγοντοποι ούμε αριθμητή και παρονομαστή (μέθοδος συζυγούς παράστασης) συνεχίζουμε όπως παραπάνω Στη περίπτωση " άρρητου παρονομαστή(αριθμητή)... απροσδιοριστία... " Αν ο αριθμητής είναι πολύ πιο απλός του παρονομαστή, βρίσκουμε το όριο του αντίστροφου κλάσματος. Αντιστρέφουμε το κλάσμα και το σπάμε σε αλγεβρικό άθροισμα απλούστερων κλασμάτων (με απροσδιοριστία 0 : 0). Αν ο παρονομαστής είναι πολύ πιο απλός του αριθμητή, "σπάμε το κλάσμα σε αλγεβρικό άθροισμα... Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. ΟΡIΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ) Να υπολογίσετε τα όρια α) β) γ) lim (-x +x ) x - 1 lim (συν x +x) x 0 x lim ln(1+e -e ) x 0 δ) x +5 lim x x-1 α) Κοντά στο χ 0=-1 ορίζεται η συνάρτηση f με τύπο f(χ)=-χ+χ και lim (- x +x )= x - 1 = -(- 1)+(- 1) = ++1= 6 β) Κοντά στο χ 0=0 ορίζεται η συνάρτηση g με τυπο g(χ)=συν χ+χ και lim(συν x +x)= συν 0 +0 x 0 γ) = 1+0= Κοντά στο χ 0=0 ορίζεται η συνάρτηση h με τύπο h(χ)=1+e+e x και x 0 limln(1+e -e )=ln(1 +e-e ) =ln(1 +e-1)=lne=1 x 0 δ) Για χ 0= ορίζεται η συνάρτηση q με τύπο q(χ)= και x lim = = = = = 1 x x x +5 x-1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

8 Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η Να αποδειχθεί ότι εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano για την συνάρτηση f(x)= x +x+1, - x 0 x -x+1, 0< x 1. Να δειχθεί ότι η εξίσωση τουλάχιστον λύση στο διάστημα π ημ( συνx) +συν(πημx)= 0, έχει μία π 0,.. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)= -χ, -1 x< 0 χ+, 0 x 1 Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρή - ματος Bolzano για τη f στο διάστημα [-1, 1] 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο β x +αx+1 - x< 0 f(x)= β-α x 0 x -βx+1 0 < x 1 Να προσδιοριστούν οι παράμετροι α και β, ώστε να εφαρμό - ζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [ -, 1]. 5. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) υπάρχει γ f(γ) f(α)+f(β) = γ-α β-α (α, β) ώστε να ισχύει 0, να δειχτεί ότι Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017 5

9 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

10 6. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: με f v (x)=χ 6ν για κάθε χ και ν * α) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα ( -, 0) και (0, + ) γ) Αν f(-017)>0 και f(181)<0, να αποδείξετε ότι f(x)=-x δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορίσετε την f - 1 ε) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφημάτων της συνάρ - τησης f και της αντίστροφης της. α) Είναι f(x)= 0 f (x)= 0 6 x = 0 x= 0 β) Η f είναι συνεχής στο (-, 0) και δεν μηδενίζεται σε αυτό. Άρα διατηρεί πρόσημο στο (-, 0) Η f είναι συνεχής στο (0, + ) και δεν μηδενίζεται σε αυτό. Άρα διατηρεί πρόσημο στο (0, + ) συνεπώς η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (-, 0) και (0, + ) γ) Η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, 0) και f(-017)>0, άρα, f(x)>0, x (-, 0) Έτσι f v (x)=χ 6ν ~ f(x)=-χ, για κάθε χ (-, 0] (f(0)=0 και χ<0) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

11 Η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0, + ) και f(-181)<0, άρα, f(x)<0, x (0, + ) Έτσι f v (x)=χ 6ν ~ f(x)=-χ, για κάθε χ [0, + ) (f(0)=0 και χ>0) Τελικά f(x)=-χ, για κάθε χ δ) Για κάθε x 1, x f(x 1) = f(x ) ~ με f(x 1) = f(x ) ισχύει: - x =- x x = x x = x δηλαδή η συνάρτηση f είναι "1-1" στο Έχουμε, οπότε αντιστρέφεται. y= f(x) y=- x (- x) = y - x= - - y, y< 0 y, y y, y< 0 x = f (y) - y, y< 0-1 x= f (y)= - y, y 0 - y, y 0 y = x f -1 (x)= - x, x< 0 - x, x 0 ε) Είναι y= f(x) y= f(x) y= f(x) y=- x y= f (x) f(y)= f(f (x)) f(y)= x x=- y y=- x y=- x x+y=- x -y x +y +x+y= 0 y=- x (x+y)(x -xy+y +1)= 0 0 y=- x x+y= 0 y=- x x - x= 0 x(x+ 1)(x- 1)= 0 y=- x y=- x y=- x (x, y)=(0, 0), (- 1, 1), (1, - 1) Έτσι, τα κοινά σημεία των γραφημάτων της συνάρτησης f και της αντίστροφης της είναι Ο(0, 0), Α(-1, 1) και Β(1, -1) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

12 ` κεφαλαιο1 017 τακης τσακαλακος T Ш τ