ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ"

Ἠλίας Καλαμογδάρτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα

1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135. Α α) Λάθος β) f ( x) x η οοία δεν είναι αραγωγίσιμη στο x αλλά είναι συνεχής στο x. Α3 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 73 (Ορισμός). Α α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 1

2 Θέμα Β Β1. D f g { x D g /g( x) D f } { (, + ) } x x R {}και 1 1 x x { x 1και 1 x } > { x 1και( 1 x) x > } (, 1) ορίζεται η f g με τύο( f g) x x f ( g ( x) ) ln 1 x Β. h x x ln 1 x Για x 1,x D h (, 1) με h ( x 1 ) h ( x ) έχουμε ln η ln x είναι 1 1 ροκύτει η h είναι 1 1στο D h. Οότε ορίζεται η αντίστροφή της. Έστω y h( x) x y ln 1 x e y x 1 x e y ( 1 x) x e y e y x x e y ( e y + 1) x εειδή e y + 1 > έχουμε e y e y + 1 x x 1 x 1 x 1 ln 1 x εειδή x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x άρα Πρέει x (, 1) δηλαδή < e y < 1αληθεύει για κάθε y R. e y + 1 Άρα f 1 ( y) e y e y + 1,D 1 1 R συνεώς f ( x) e x f,x R ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ

3 Β3. ϕ ( x) e x ϕ ( x) H φ αραγωγίσιμη στο D ϕ R ως ράξεις αραγωγισίμων με ϕ ( x) 1 e x. Η ϕ αραγωγίσιμη στο R ως ηλίκο αραγωγισίμων με ϕ ( x) e x e x ( e x ) e x e x e x e x e x 3 3 e x e x 1 e x e x 3 Μονοτονία Ειλύουμε ϕ ( x)> e x γνησίως αύξουσα στο D ϕ R. > ισχύει για κάθε x R και φ συνεχής άρα φ Αφού η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R δεν αρουσιάζει ακρότατο. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 3

4 Καμυλότητα Ειλύουμε ϕ ( x)> e x ( 1 e x ) Πίνακας 3 > αρκεί 1 e x > e x < 1 x < Άρα έχει μόνο ένα σημείο καμής το Α, 1. Β. lim ϕ x ( x) lim x e x Άρα η ευθεία y o άξονας xx διότι το lim x e x. είναι οριζόντια ασύμτωτη στο. e lim ϕ ( x x) lim x + x + 1 Άρα η ευθεία y 1 είναι οριζόντια ασύμτωτη στο +. Εύρεση σημείου τομής με τους άξονες. σημειο τομής με τον άξονα xx ϕ ( x) e x. Αδύνατη. Άρα δεν τέμνει τον άξονα xx. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ

5 Σημείο τομής με τον άξονα yy ϕ e e άρα τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A, 1. Σύνολο τιμών ϕ ( Α) ϕ R ϕ γνησίως αύξουσα και συνεχής ( lim ϕ ( x ), lim ϕ ( x) ) (, 1). x x + Σύμφωνα με τον ίνακα του ερωτήματος Β3 έχουμε την γραφική αράσταση: Θέμα Γ Γ1. f ( x) ημx, x [, ] είναι αραγωγίσιμη. Αν Μ ( x,f( x )) το σημείο εαφής με την εφατομένη (ε) έχουμε (ε) : y f ( x ) f x ( x x ) Οι συντεταγμένες του σημείου Α εαληθεύουν την εξίσωση της εφατομένης δηλαδή: f ( x ) f x + ημx συνx x x ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 5

6 Θεωρούμε την εξίσωση g( x) ημx + συνx x συνx Παρατηρούμε g g. Η g είναι αραγωγίσιμη στο D g [, ] ως άθροισμα αραγωγισίμων με g ( x) συνx ημx συνx + xημx ημx x για κάθε x,. Άρα, υάρχουν μόνο δύο λύσεις της g ( x). ( ε 1 ):y f f x y 1( x ) y x ( ε ):y f f y x x ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 6

7 Γ. Ε dx f x ημx dx ημx dx [ συνx] συν + συν ( 1)+ 1 τ.μ. Ε 1 Ε τριγ. Ε 1 τ.μ. Άρα Ε 1 Ε 8 1. Γ3. lim x f ( x)+ x f ( x) x + + διότι lim x ( f ( x)+ x) lim x ( ημx + x) Γνωρίζουμε ότι f ( x) συνx ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 7

8 f ( x) ημx για κάθε x, [ ] και f συνεχής άρα η f είναι κυρτή στο[, ] άρα η C f είναι άνω αό την εφατομένη με εξαίρεση το σημείο εαφής x. Οότε αό το ερώτημα Γ είναι f ( x) x άρα f ( x) x + και 1 lim x f ( x) x + + διότι lim x ( f ( x) x + ) και f ( x) x + >. Γ. Έχουμε f ( x) x Οότε e f x x dx > 1 x dx 1 e 1 e [ x ln x] 1 e ( 1 ) e 1 Θέμα Δ Δ1 f ( x) H f συνεχής στο 1, Η f συνεχής στο, Είσης lim x lim x + f [ ) [ ] [ ) ως άρρητη ( ] ως γινόμενο συνεχών 3 x, x 1, e x ημx, x, f ( x ) lim f ( x ) lim 3 x x x + ( e x ημx) e ημ Άρα, η f είναι συνεχής στο x οότε η f είναι συνεχής στο[ 1, ]. Η f αραγωγίσιμη στο( 1, ) ως άρρητη με f ( x) 3 x x x < 3 f ( x) ( x) 3 με f ( x) 3 x 1 3 ( 1) 3 x 1 3. Η f αραγωγίσιμη στο(, ) ως γινόμενο αραγωγισίμων με f ( x) e x ημx + e x συνx e x ( ημx + συνx). ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 8

9 Ειλύουμε f ( x )> ημx + συνx > x, 3 f ( x) f Στο x έχουμε lim x + x lim x + e x ημx x e 1 1 lim x f ( x) f x 1 lim u 3 u + lim x ( x) 3 x u x lim u + 3 u u Άρα στο x η f δεν είναι αραγωγίσιμη αλλά μόνο συνεχής. Άρα η f αρουσιάζει κρίσιμα σημεία στη θέση x με τιμή f και στη θέση x 3 με τιμή f 3 e 3. Δ Πίνακας ροσήμου f Μελέτη μονοτονίας: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ 1, ] αφού είναι συνεχής στο [ 1, ]. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, 3 αφού είναι συνεχής στο, 3. 3 Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, αφού είναι συνεχής στο 3,. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 9

10 Μελέτη ακροτάτων: ( ( 1) ) δηλαδή το σημείο Α ( 1, 1) είναι τοικό μέγιστο. Α 1, f Β(, f ) δηλαδή το σημείο Β(, ) είναι τοικό ελάχιστο. Γ 3,f 3 δηλαδή το σημείο Γ 3,e 3 είναι τοικό μέγιστο. ( ) δηλαδή το σημείο Δ (, ) είναι τοικό ελάχιστο. Δ, f 3 Ειδικότερα αφού e και Δ είναι ολικά ελάχιστα. > 1τότε το σημείο Γ είναι ολικό μέγιστο και τα σημεία Β Μελέτη Συνόλου Τιμών: Για τα διαστήματα Δ 1 [ 1, ],Δ, 3,Δ 3 3, το σύνολο τιμών είναι f ( Δ) f ( Δ 1 ) f ( Δ ) f ( Δ 3 ) f ( Δ) [ f,f( 1) ] f,f 3 f,f 3 [, 1], e 3 3, e, e 3 3. Γιατί e > 1. Δ3 Έχουμε Ε e x ημx e 5x dx όμως για x, [ ] έχουμε ότι e x ημx e 5x e x ( ημx e x )< γιατί e x 1 και ημx 1 δηλαδή e x ημx >. Άρα E ( e 5x e x ημx)dx E e 5x dx e x ημxdx ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 1

11 Θεωρούμε Ι 1 e x ημxdx το οοίο με διλή αραγοντική ολοκλήρωση γίνεται Ι 1 1+ e Τελικά Ε 1+ e Ε e 5 1 e 5 1 [ + e 5x ] 5 Δ Η εξίσωση έχει ροφανή ρίζα x 3. Ειλέον λύνοντας ως ρος f ( x ) 3 έχουμε f ( x) 8 e + ( x 3 ) 16 f ( x) 3 e x Όμως αό το σύνολο τιμών έχουμε f ( x) 3 e. e 3 με το ' ' να ισχύει για x 3. Άρα τελικά x 3 μοναδική λύση της εξίσωσης. Ειμέλεια ααντήσεων των θεμάτων: Τομέας Μαθηματικών Αξιολόγηση θεμάτων Τα θέματα χαρακτηρίζονται ως οιοτικά, διατυωμένα με σαφήνεια, με κλιμακούμενη δυσκολία, καλύτουν όλη την ύλη και ααιτητικά σε σχέση με ροηγούμενα έτη. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 11

Σχετικά έγγραφα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σουδών Ημερομηνία: 9 Ιουνίου 217 Ααντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α1. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο