ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ"

Ιάσων Λειβαδάς
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΚΑΤΟΙΚΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ A. Έστω f μια συνάρτηση αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f () διατηρεί ρόσημο στο (α, o ) ( o, β), να αοδείξετε ότι το f( o ) δεν είναι τοικό ακρότατο και ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β). Μονάδες 7 Αάντηση: Η αόδειξη της σελίδας 5 του Σχολικού Βιβλίου. A. Έστω Α ένα μη κενό υοσύνολο του R. Τι ονομάζουμε ραγματική συνάρτηση με εδίο ορισμού το Α; Αάντηση: Ο Ορισμός της σελίδας 5 του Σχολικού Βιβλίου. A3. Δίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f, g, F, G, H, T. Μονάδες

2 Να γράψετε στο τετράδιό σας οια αό τις συναρτήσεις F, G, H, T μορεί να είναι η αράγωγος της συνάρτησης f και οια της g. Μονάδες Αάντηση: Της T μορεί να είναι η f. Της Η μορεί να είναι η g. A. Θεωρήστε τον αρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε ζεύγος ραγματικών συναρτήσεων f,g:(, + ) R, αν ισχύει lim f() = + f()+g() και lim g() = -, τότε lim =». α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) Αάντηση: Ψευδής. β) Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες Αάντηση: Το αράδειγμα της αραγράφου.6 στο σχολικό βιβλίο με: f ( ) -, g( ) lim f ( ), lim g( ), lim f ( ) g( ) A5. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f: R R μορεί να τέμνει μια ασύμτωτή της. Αάντηση: Σωστή Θέματα και Λύσεις στα Μαθηματικά-Εξετάσεις Ομογενών 8

3 3 β) Αν μια συνάρτηση f: R R είναι -, τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική αράσταση της f το ολύ σε ένα σημείο. Αάντηση: Σωστή γ) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν εδίο ορισμού το [, ] και σύνολο τιμών το [, 3], τότε ορίζεται η f o g με εδίο ορισμού το [, ] και σύνολο τιμών το [, 3]. Μονάδες 6 Αάντηση: Λάθος ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση: +, > f() = + α, Β. Να υολογίσετε το α R ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής. Η f είναι συνεχής στο διάστημα Η f είναι συνεχής στο διάστημα,, ως ολυωνυμική. Μονάδες 3,, ως ηλίκο συνεχών συναρτήσεων (ολυωνυμικών) Θα ρέει να είναι συνχής και στο σημείο, δηλαδή ρέει και αρκεί: lim f ( ) lim f ( ) f () a a Στα αρακάτω ερωτήματα θεωρήστε ότι α =. Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα, Μονάδες 6 Η συνάρτηση είναι: +, > f() = +, Η f είναι συνεχής στο διάστημα, Η f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα, με αράγωγο f ( ) 3 Θέματα και Λύσεις στα Μαθηματικά-Εξετάσεις Ομογενών 8

4 Η f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα, με αράγωγο, f ( ) Θα εξετάσουμε αν η f είναι αραγωγίσμιμη στο. Έχουμε: f ( ) f () lim lim lim f ( ) f () lim lim lim Εομένως η f δεν είναι αραγωγίσμιμη στο και άρα η f δεν ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήματος του Rolle. Β3. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f στα οοία η εφατομένη είναι αράλληλη ρος την ευθεία y = + 8 και να γράψετε τις εξισώσεις των εφατομένων στα σημεία αυτά. Μονάδες 7 A, f ( ) τα σημεία στα οοία η εφατομένη της γραφικής αράστασης είναι αράλληλη ρος Αν την ευθεία y = + 8, τότε ρέει να ισχύει f ( ). Είναι: Αν, τότε f ( ) και άρα: f ( ). Το αντίστοιχο σημείο είναι A, f ή 65 A, 8 6. Αν, τότε f ( ) και άρα: f ( ) και εειδή δεκτή τιμή είναι η. Το αντίστοιχο σημείο 3 είναι A, f ή A,. Αν η f δεν είναι αραγωγίσιμη. Οι εξισώσεις των εφατομένων στα σημεία αυτά είναι: Στο A : Στο A : y f ( ) y y y f ( ) y y Β. Να βρείτε τις ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της f και να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση. Θέματα και Λύσεις στα Μαθηματικά-Εξετάσεις Ομογενών 8 Μονάδες 9

5 5 Στο η f δεν έχει λάγιες και οριζόντιες ασύμτωτες, ως ολυώνυμο ου βαθμού. Δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες, αφού είναι συνεχής στο. Στο έχουμε: f ( ) lim lim lim lim f ( ) lim Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμτωτη της γραφικής αράστασης της f στο. Η γραφική αράσταση της f δίνεται στο εόμενο σχήμα: Εικόνα Γραφική αράσταση της f ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση :, f με τύο: f ( ) Γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και όι το εδίο ορισμού της f είναι το διάστημα e,. ΛΥΣΗ Αρκεί να αοδείξουμε ότι η f είναι συνάρτηση «-» Η f είναι αραγωγίσιμη για κάθε, ως ηλίκο αραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: Θέματα και Λύσεις στα Μαθηματικά-Εξετάσεις Ομογενών 8 e e ( ) f ( ), Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,, άρα και «-». - Το εδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f ου, εειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, έχουμε: Άρα το εδίο ορισμού της - e e e lim f ( ) lim e, lim f ( ) lim lim f είναι το, e. 5

6 6 Γ. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση: f ( a) f ( a), όου a e Έχει ακριβώς δύο ρίζες ως ρος, μία στο δάστημα (,) και μία στο διάστημα (,). ΛΥΣΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση: Η δοσμένη εξίσωση είναι ισοδύναμη: Στο διάστημα, έχουμε: g f a f a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ),, f ( a) f ( a) g( ), g( ),, (, ) Η g είναι συνεχής στο, (ως ολυωνυμική ου βαθμού) g() a ( ) (, e) g() f ( a) ( a f ( a) e) Άρα η g έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (,) Στο διάστημα, έχουμε: Η g είναι συνεχής στο, (ως ολυωνυμική ου βαθμού) g() f ( a) ( a f ( a) ) - g() f ( a) (αφού το σύνολο τιμών της f είναι το, ). Άρα η g έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (, ). Εειδή η εξίσωση g είναι ολυωνυμική ου βαθμού θα έχει το ολύ ραγματικές ρίζες. Άρα η εξίσωση g (,) και μία στο διάστημα (, ). ( ),, (, ) ( ),, (, ) θα έχει ακριβώς ραγματικές ρίζες, μία στο διάστημα Σχόλιο: Ο βαθμός της ολυωνυμικής εξίσωσης g είναι : ( ),, (, ) είναι, διότι ο συντελεστής του g( ) ( f ( a) f ( a) ( ) ( f ( a) f ( a) 3( )) ( ) και f ( a) f ( a). Γ3. Να αοδείξετε ότι f ( ) e ln f ( ) ΛΥΣΗ Έχουμε διαδοχικά και ισοδύναμα: Θέματα και Λύσεις στα Μαθηματικά-Εξετάσεις Ομογενών 8 6

7 7 f ( ) e ln f ( ) e e e e e e f ( ) eln f ( ) f ( ) e ln f ( ) f ( ) e e e f ( ) ee e f ( ) f ( f ( )) f ( e) f ( ) e ( f ) f ( ) e Η τελευταία σχέση είναι αληθής και, ισοδύναμα, αοδείχθηκε το ζητούμενο ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f : [, ] R, με τύο: f() = ημ. Δ. Να βρείτε τα ακρότατα της f (τοικά και ολικά). Μονάδες 5 Η f είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα, με f ( ),,. Έχουμε: f ( ) 3 Ο ίνακας ροσήμου της f δίνεται στον εόμενο ίνακα: χ f ( ) + - f ( ) 3 (Το ρόσημο της f βρίσκεται με την σκέψη ότι εειδή η f είναι συνεχής στο [,] θα διατηρεί σταθερό ρόσημο μεταξύ των ριζών. Δίνοντας μια οοιαδήοτε τιμή μεταξύ των ριζών.χ. f, f ) Δ. Να αοδείξετε ότι για κάθε o [, ] η γραφική αράσταση της f και η εφατομένη της στο A( o, f( o )) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Μονάδες 5 Η f είναι δύο φορές με f ( ),,. Άρα η f είναι κοίλη στο διάστημα, και εομένως η γραφική της αράσταση θα βρίσκεται «άνω» αό την εφατομένη της στο σημείο Α, εκτός του ίδιου του σημείου Α. Άρα η εφατομένη και η γραφική αράσταση της f έχουν κοινό μόνο το σημείο Α. Δ3. Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα: f() συνd Μονάδες 87 Θέματα και Λύσεις στα Μαθηματικά-Εξετάσεις Ομογενών 8

8 8 όου f ( ) d d d d J,,. I d J d Για το I : Θέτουμε: και άρα I. Για το J έχουμε: u du u u Άρα: f() συνd Δ. α) Να αοδείξετε ότι J d ημ d= ημ d β) Να υολογίσετε το f() lim =. (μονάδες ) lim f()-f() ln. (μονάδες 5) Μονάδες 7 α) Έχουμε: β) Έχουμε: f ( ) lim lim lim f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) ln lim ln () f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) K lim lim lim ln lim ln lim lim lim( ) K 8 Θέματα και Λύσεις στα Μαθηματικά-Εξετάσεις Ομογενών 8

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια