به نام ستاره آفرین قضیه ویریال جنبشی کل ذرات یک سیستم پایدار مقید به نیرو های پایستار را به متوسط انرژی پتانسیل کل شان

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "به نام ستاره آفرین قضیه ویریال جنبشی کل ذرات یک سیستم پایدار مقید به نیرو های پایستار را به متوسط انرژی پتانسیل کل شان"

Ἀδάμ Κήυξ Σπανού
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 به نام ستاره آفرین قضیه ویریال درود بر ملت نجومی! در این درس نامه می خواهیم یکی از قضیه های معروف اخترفیزیک و مکانیک یعنی قضیه ی شریفه ی ویریال را به دست آوریم. به طور خالصه قضیه ی ویریال متوسط انرژی جنبشی کل ذرات یک سیستم پایدار مقید به نیرو های پایستار را به متوسط انرژی پتانسیل کل شان مربوط می کند. برای رسیدن به این قضیه دو اثبات ارائه می دهیم : 1. اثبات اخترفیزیکی 2. اثبات مکانیکی 1. اثبات اخترفیزیکی : فرض می کنیم در یک محیط گازی معادله حفاظت جرم و تعادل هیدرواستاتیک برای یک پوسته کروی برقرار باشد. پس: معادله ی حفاظت جرم : d r = ρ r 4πr 2 dr r از مرکز پوسته r d جرم که در آن r فاصله از مرکز پوسته ی کروی ρ r چگالی گاز در فاصله ی پوسته و dr هم ضخامت پوسته ی کروی می باشد. تعادل هیدروستاتیک : dp dr = G r r 2 ρ r dp که در آن r فاصله از مرکز گرادیان فشار محیط گازی در فاصله ی r از مرکز r جرم موجود در dr کره ای به شعاع r حول مرکز و ρ r هم چگالی گاز در فاصله ی r از مرکز می باشد. دو معادله را بر هم تقسیم می کنیم و چگالی و دیفرانسیل شعاع را حذف می کنیم.خواهیم داشت: G r r d r = 4πr 3 dp ان شاء هللا در ریاضیات با روش جز به جز در انتگرال گیری آشنا هستید :

2 udv = d(uv) vdu بنابراین طرف راست معادله را با استفاده از روش جز به جز در انتگرال گیری می توانیم به شکل زیر بازنویسی کنیم : 4πr 3 dp = d(4πr 3 P) 12πr 2 P r dr = d(4πr 3 dp) 3 P ρ d r که در آخر دوباره از محافظت جرم استفاده کرده و dr را حذف نمودیم. حال از معادله کلی به دست آمده انتگرال می گیریم: 4πR 3 P d(4πr 3 P) 3 P ρ d = G r d جمله سمت راست تساوی همان انرژی پتانسیل کل برای جرم داخل پوسته است. جمله اول سمت چپ ناشی از فشار وارد بر پوسته است.در حالت تعادل فشار بیرونی و درونی مساوی بوده و این جمله صفر است. میتوان این طور هم استدالل کرد : که 4πR 3 d(4πr 3 P r ) = 4πr 3 r=r P r = 4πR 3 P r= R 4π. 3. P P R فشار در سطح بوده برابر صفر است و فشار در مرکز ستاره هم بی نهایت نیست. بنابراین در مجموع حاصل انتگرال صفر میشود. جمله دوم سمت چپ ناشی از گاز درون پوسته می باشد.بسته به رابطه فشار و انرژی درونی این جمله به شکل های گوناگون نوشته می شود: در ترمودینامیک فشار و انرژی درونی )واحد حجم( این ذرات به شکل زیر رابطه دارند: که P gas = 2 de n 3 P gas فشار ذرات گاز )غیر نسبیتی( می باشد. با قرار دادن فشار از رابطه ی باال در انتگرال به روش جز به جزء مان و با فرض اینکه چگالی جزء حجمی که انتخاب کرده ایم ثابت است داریم : 4πR 3 P d(4πr 3 P) 3 2dE n 3ρ d = 2E n = U G r d

3 E n که.بنابراین: انرژی درونی )جنبشی( ذرات توده گازی و U هم انرژی پتانسیل گرانشی ذرات گاز می باشد 2E n + U = و چنین بود که قضیه ویریال را برای ذرات غیرنسبیتی به دست آوردیم. این ذرات از همان شکل رابطه پیروی می کنند.تنها تفاوت ضریب 2 در عبارت فشار است. که P rad = 1 de n 3 P rad شکل زیر است: فشار ذرات نسبیتی )فشار تابشی( می باشد. پس قضیه ی ویریال برای این نوع ذرات به E n + U = در حالت کلی تر باید رابطه فشار و انرژی درونی گاز را به طور کامل نوشت.چون در ستاره ها هر دو نوع فشار )گاز کامل و تابشی( وجود دارد. در این باره مدل ادینگتون را می توان به کار برد. این مدل می گوید فشار درون ستاره متشکل از دو نوع فشار )فشار گاز کامل و فشار تابشی( است. سهم هر یک از فشار ها با یک ضریب β بیان می شود. P rad = (1 β)p P gas = βp که β کوچکتر از یک است. حال دو رابطه قبل را می نویسیم: P gas = 2 3 de gas P rad = 1 de rad 3 از هر دو عبارت جمله انرژی را به دست آورده و با هم جمع می کنیم تا انرژی کل به دست آید: de tot = de gas + de rad = 3 2 P gas + 3P rad = 3 βp + 3(1 β)p 2

4 de tot = 3P (1 β 2 ) از اینجا فشار را به دست آورده در انتگرال جاگذاری می کنیم.با همان فرض های قبلی خواهیم داشت: ( 2 2 β ) E tot,n + U = که برای ذرات نسبیتی )فشار کامال تابشی( = β و برای ذرات غیر نسبیتی )فشار گاز تماما کامل!( = 1 β است. این هم از این! 2. اثبات مکانیکی: برای اثبات قضیه کمیت اسکالر لختی دورانی nerta( )moment of را می نویسیم: I = m r 2 از آن مشتق می گیریم: di dt = d dt m dr r. r = 2 m dt r = 2 p r کمیت آخر را با نماد Q نمایش می دهیم. Q = p r از آن مشتق می گیریم: dq dt = p dr + dp dt dt r dr = m dt dr dt + F r = 2K + F r عبارت آخر به عنوان ویریال کالسیوس شناخته می شود.

5 از این به بعد راه های مختلفی وجود دارد که به قضیه اصلی ویریال منجر می شود.یکی از آن راه ها را می آوریم. در این روش از متوسط گیری زمانی در طی یک دوره استفاده می کنیم : dq dt Q(τ) Q() τ = τ = 2 K τ + F r τ < > نماد متوسط گیری می باشد. اگر سیستم ما تناوبی باشد یعنی پس از مدت زمان به حالت dq اولیه برگردد عبارت dt τ صفر می شود. بنابراین: 2 K τ = F r τ از قضیه های مکانیک می دانیم عبارت داخل سیگما در حقیقت انرژی پتانسیل متوسط است. سپ : F r τ = U tot τ عالمت منفی به خاطر تعریف انرژی پتانسیل که در بینهایت صفر است وارد معادله شده است. بنابراین: K τ = 1 2 U tot τ تمام شد رفت! K = 1 p v 2 می دانیم در نسبیت خاص دیگر انرژی جنبشی یک جسم برابر مراحل اثبات که به عبارت زیر رسیدیم از تعریف انرژی جنبشی استفاده کنیم. نیست.پس نمی توانیم در dq dt = p dr + dp dt dt r اما می دانیم انرژی جنبشی یک تک ذره در نسبیت به شکل مقابل است: K = γ) 1)mc 2 بنابراین رابطه ای بین و انرژی جنبشی به دست می آوریم: 1 p v p v = 1 2 γmv v = 1 2 γ v2 c 2 mc2 = 1 2 γ v2 K c 2 γ 1

6 عبارت آخر را می توانیم ساده کنیم و در آخر با جاگذاری در محاسبات به چیزی که می خواستیم برسیم: 1 γ + 1 p v = 2 2γ K 1 2 U tot τ = ( γ + 1 ) K 2γ τ این عبارت می گوید که نسبت انرژی جنبشی و پتانسیل دیگر ثابت نیست.اما عبارت طرف راست در حد ها برای ذرات نسبیتی و غیر نسبیتی )کامل( دو مقدار اختیار می کند: ( γ + 1 ) K 2γ τ = [1 or.5] K tot τ برای ذرات نسبیتی 5. و برای ذرات غیر نسبیتی 1 قابل قبول است. بنابراین باز هم به همان قضیه ویریال دست یافتیم: K = E n = 1 2 U K = E n = U از دیاری ویریالی می گذشت! دید جنبش با پتانسی ل به گشت! گفت : آیا نسبتی دارید! هان! پاسخ آمد : یار در عقد من است! hasanpoormdra@yahoo.com تهیه و گردآوری : محمدرضا حسن پور s.h.hashem@ut.ac.r بازبینی و تنظیم : سید حسین هاشمی

7 منابع: An ntroducton to modern astrophyscs [B. Carroll, D. Ostle] Physc of star [A. C. Phllps] Classcal mechancs [H. Goldsten] Frst exam n 9 th astronomy summer school

Σχετικά έγγραφα

روش محاسبه ی توان منابع جریان و منابع ولتاژ

روش محاسبه ی توان منابع جریان و منابع ولتاژ ابتدا شرح کامل محاسبه ی توان منابع جریان: برای محاسبه ی توان منابع جریان نخست باید ولتاژ این عناصر را بدست آوریم و سپس با استفاده از رابطه ی p = v. i توان این