Uvod. B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Sustavni pristup modeliranju

Transcript

1 Uvod - modeliranje preuzima vodeću ulogu u razvoju procesa - modelima pokušavamo razumjeti, mijenjati, projektirati i voditi realne procese - pri razvoju modela moramo sagledati cjelovitost problema zajedno sa svim ograničenjima i utjecajima koje procesu nameće njegova okolina - metodološki pristup izgradnji matematičkih modela - osnovni koncept modeliranja, opis elemenata i postupaka sustavnog pristupa modeliranju zlatna pravila modeliranja

2 Što je matematičko modeliranje? MATEMATIČKO MODELIRANJE JE OPISIVANJE OPAŽENIH POJAVA NEMATEMATIČKIH SUSTAVA/ PROCESA/PROIZVODA MATEMATIČKIM JEZIKOM!!!

3 Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem q V, 0, c A,0 V, c A, r A q V, c A - idealno miješanje - ρ = konst. (ρ UL = ρ IZ ) - q V volumni protok - c A molarna koncentracija - V- volumen - 0 početni uvjeti - r A brzina reakcije Ukupna bilanca tvari: d V q q V,0 dt = ( ρ V ) V d = ρ ( qv,0 qv) dt dv qv,0 = qv = konst. = 0 V = konst. dt

4 Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem - τ - vrijeme zadržavanja V τ = q V - kemijska reakcija A B (reakcija prvog reda) ra = ka ca - c A (u reaktoru) = c A (u izlaznom toku) iz pretpostavke o idealnom miješanju Bilanca tvari reaktanta A: d( V ca ) = q ca,0 q ca V ka ca : q dt d ca τ = ca,0 ca τ ka ca (: τ) dt d c dt A c c A,0 A = ka τ c A ** ( ) V V V

5 Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Bilanca tvari za reaktant A izvedena na temelju - općeg pristupa bilanca tvari (zakon o očuvanju mase) - dodatnih podataka o procesu (kinetika reakcije) - pretpostavki (idealno miješanje, konstantna gustoća, jednakost ulaznih i izlaznih protoka) - analitičko rješenje (*) ( ) ( (( 1/ τ ) + k ) ) A t 1 e (( τ ) k ) c c t c e A,0 1/ + A t A = + A,0 1+ ka τ - numeričke metode uobičajeniji pristup rješavanju matematičkih modela procesa jer rezultirajuće diferencijalne jednadžbe uobičajeno nemaju analitičko rješenje

6 Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Usporedba analitičkog* i numeričkog rješenja jednadžbe** - c A,0 = 1 mol dm -3, q V = 0,2 dm 3 min -1, V = 1 dm 3, T = 130 C (403,15 K) - k A preuzeta iz literature za reakciju hidrolize anhidrida octene kiseline (Arrhenius) 4, RT 1 ka = 1,15 10 e ( min ) k A = 0,444 min analitièko rješenje numerièko rješenje **// Primjer 1. IndVars: t DepVars: ca, ka Params: A, B //Arrheniusov izraz ka=a*exp(-b/(r*t1)) //Vrijeme zadržavanja tao=v/qv //Model procesa ca'=(ca0-ca)/tao-ka*ca //Početni uvjeti t=0 ca0=1 ca=1 V=1 qv=0.2 T1= R=8.314 A= b=49500 *** c [mol dm -3 ] t [min]

7 Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Parametarska analiza - analiza utjecaja parametara procesa na ponašanje procesa - analiza utjecaja promjene temperature na konverziju, ravnotežnu koncentraciju i konstantu brzine reakcije T / K X / - c A / mol dm -3 k A / min ,15 0,0004 0,998 1, ,15 0,0084 0,991 1, ,15 0,0303 0,970 6, ,15 0,0895 0,911 1, ,15 0,2138 0,786 5, ,15 0,4030 0,597 1, ,15 0,6037 0,396 3, ,15 0,7602 0,240 6, ,15 0,8605 0,140 1,23 453,15 0,9189 0,081 2,26

8 Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Bezdimenzijski model procesa - pojednostavljeni i transparentniji prikaz matematičkog modela procesa** - c A,v = c A,0 karakteristična (referentna) ulazna koncentracija procesa - u bezdimenzijska koncentracija - θ - bezdimenzijsko vrijeme u = c c A A,0 du 1 u = k A u dt τ du τ = 1 u τ ka u dt t θ = τ τ = d t dθ du dt du du τ = = dt dθ dt dθ du d τ A θ = 1 u k u***

9 Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Bezdimenzijski model procesa - Da Damköhlerov broj Da = τ k A - u S bezdimenzijska koncentracija u stacionarnom stanju - u stacionarnom stanju u S 1 = 1 + Da - analitičko rješenje bezdimenzijskog matematičkog modela procesa*** u ( θ ) = ( ) ( 1 + Da θ 1 ( 0) ( 0) ) (1 + Da) θ e + e + u + Da u 1+ Da

10 Primjer 1. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem Bezdimenzijski model procesa - simulacija procesa - Da = 2; u(0) = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 i 1, u [-] u = 0 u = 0,2 u = 0,4 u = 0,6 u = 0,8 u = 1, θ [-]

11 Pravila modeliranja - povezivanje eksperimenta i modela učinkovito rješavanje realnih problema na laboratorijskom, pilotnom i industrijskom nivou - analiza procesa svrha modeliranja u procesnom inženjerstvu - analiza procesa primjena znanstvenih metoda u definiranju problema i razvoj postupaka njihovog rješavanja - sustavni pristup modeliranju sedam koraka postupka modeliranja Skupljanje 4 Opis Definiranje informacija o problema mehanizama sustavu Postavljanje modela 7 Ocjena valjanosti modela 6 Provjera rješenja 5 Rješavanje modela

12 Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem q V, 0, c A,0 1. Opis problema 1.a) Procesni sustav - idealni protočni kotlasti reaktor (PKR) - egzotermna reakcija prvog reda A B V, c A, r A q V, c A - konstantan protok, q V,0 = q V - konstanta gustoća, ρ 0 = ρ - adijabatski sustav, Q = 0 1.b) Svrha modela - predvidjeti promjenu koncentracije reaktanta A i temperature u reaktoru i izlaznom toku, ako u trenutku t značajno promijenimo ulaznu koncentraciju reaktanta A

13 Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 2. Mehanizam procesa - kemijska reakcija, kinetika 1. reda 3. Skupljanje informacija o sustavu - procesni podatci potrebni za rješavanje problema: - kinetički podatci, reakcijska entalpija - fizikalno kemijska svojstva tvari (primjerice specifična toplinski kapacitet reaktanta) - procesni uvjeti (ulazna koncentracija reaktanta, protok, početna temperatura, gustoća, ) - literaturni i/ili eksperimentalni podatci, procijenjeni pomoću korelacijskih jednadžbi

14 Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 4. Postavljanje modela 4.a) Pretpostavke modela - idealno miješanje - konstantna fizikalno-kemijska svojstva tvari - nema gubitaka tvari i energije u okolinu 4.b) Određivanje sustava, podsustava i prostornih bilančnih elemenata - idealno miješanje omogućuje razvoj modela sa usredotočenim parametrima - bilance tvari i energije za prostorni bilančni element volumen reakcijske smjese ( V R ) 4.c) Definiranje karakterističnih promjenjivih veličina - zavisne promjenjive veličine: koncentracija reaktanta A, c A, i temperatura, T - nezavisne promjenjive veličine: vrijeme, t

15 Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 4.d) Zapis bilanci - bilanca tvari reaktanta A d n dt A = q q r V 0 A * - bilanca energije d H = q V,0 ρ Δ H m,ul q H H r V V ρ Δ m,iz Δ r A dt **

16 Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 4.d) Zapis mehanističkih i konstitutivnih veza n = c V A A ra = ka ca A 0 E A RT k k e = q = q c 0 V A,0 P ( ref ) ( UL ref ) ( IZ ref ) Δ H = V ρ c T T Δ H = c T T UL Δ H = c T T IZ q= q c V P A P

17 Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem - iz bilance tvari reaktanta A* dc dt ( A ) A RT V = q ca,0 c k0 e ca V - iz bilanca energije** E A dt V ρ cp = qv ρ cp ( TUL TIZ ) ΔHr ra V dt - početni uvjeti: c A (t = 0) = c A,0 T(t = 0) = T 0

18 Primjer 2. Protočni kotlasti reaktor (PKR) s idealnim miješanjem 5. Rješavanje modela - sustav dvaju diferencijalnih jednadžbi prvoga reda - definirani početni uvjeti - primjena numeričkih metoda Provjera rješenja i ocjena valjanosti modela - rezultate simulacije modela usporediti sa eksperimentalnim rezultatima realnog procesa - primjena modela za predviđanje promjene koncentracije reaktanta A i temperature u reaktoru i izlaznom toku, ako u trenutku t značajno promijenimo ulaznu koncentraciju reaktanta A

19 Pravila modeliranja Opis problema - definiranje procesnog sustava i svrhe modeliranja Procesni sustav je dio stvarnog svijeta s definiranim fizikalnim granicama. Svrha modeliranja označuje predviđenu primjenu modela. Potrebno opisati: - ulazne i izlazne veličine - vrstu prostorne ovisnosti (distribuirani ili usredotočeni parametri/ stanja procesa) - vremenske ovisnosti u pretpostavljenom modela (statički ili dinamički)

20 Pravila modeliranja Procesni sustav - sustav u kojemu se odvijaju fizikalno-kemijski i/ili biokemijski procesi - u modeliranju cjelovit tehnološki proces, dio procesa, procesna jedinica ili dio neke aparature - definiranje granica sustava - definiranje procesa koji se odvijaju unutar promatranog sustava - dijagram toka procesa ili shema procesnih tokova grafički prikaz realnog procesnog problema sa pojednostavljenom shemom sustava

21 Pravila modeliranja Procesni sustav - povezuje se sa okolinom preko ulaza i izlaza - ulazi dolaze iz okoline i nisu direktno povezani sa događajima u sustavu - izlazi su odziv odnosno odgovor sustava okolini ULAZ r x sustav ur y IZLAZ

22 Pravila modeliranja Procesni parametri Procesni parametri su veličine koje se ne mijenjaju tijekom provedbe procesa, a označavaju (karakteriziraju) proces. Procesni parametri se procijenju na temelju mjernih podataka. Ne mjere se direktno (npr, konstanta brzine kemijske reakcije k, energija aktivacije E a ).

23 Pravila modeliranja Procesne varijable su veličine koje se mijenjaju i mjere tijekom provedbe procesa, a označavaju (karakteriziraju) proces. - zavisne - nezavisne

24 Pravila modeliranja Procesne varijable MASA TVARI - m VRIJEME - t PROCESNE VARIJABLE, KOJE OZNAČAVAJU KEMIJSKI SASTAV TVARI : množina tvari-n, molarni udio x ili y, maseni udio-ω, volumni udio-ϕ i koncentracija c,γ. PROCESNE VARIJABLE KOJE SE IZVODE IZ MASE I VOLUMENA: gustoća- ρ, relativna gustoća-d i specifični volumen-v. PROCESNE VARIJABLE KOJE OZNAČAVAJU TOK TVARI: maseni protok-q, volumni protok- q v i molarni protok-q m PROCESNE VARIJABLE KOJE OZNAČAVAJU STANJE PROCESA: temperatura T i tlak - p

25 Pravila modeliranja Svrha modeliranja - definira složenost modela procesa i matematički opis razvijenog modela - dinamička simulacija - stacionarna simulacija - projektiranje procesa - vođenje procesa

26 Svrha modeliranja Dinamička simulacija - svi sustavi se mijenjaju s vremenom, ako je ta promjena značajna zovemo ih dinamičnim sustavima - u dinamičnim sustavima izlazne veličine ovisne o dinamičkoj promjeni ulaznih veličina, a ne samo o trenutnoj vrijednosti ulaznih veličina - model dinamičnog sustava daje vremensku promjenu izlaznih veličina za dane vrijednosti ulaznih veličina, uz pretpostavljenu strukturu modela i parametre procesa

27 Svrha modeliranja Stacionarna simulacija - svi sustavi se mijenjaju s vremenom, ako ta promjena ne utječe na odziv procesa govorimo o stacionarnom stanju sustava - model stacionarnog procesa daje ovisnost izlaznih veličina za dane specifične ulazne veličina, uz pretpostavljenu strukturu modela i parametre procesa

28 Svrha modeliranja Projektiranje procesa - primjena modela u svrhu procjene vrijednosti bitnih parametara procesa na temelju poznatih ulaznih veličina, poznatih i željenih izlaznih veličina i za prethodno definirane strukture modela - rješenje pomoću primjene različitih optimizacijskih tehnika, koji generiraju takve vrijednosti parametara procesa, da je odstupanje između poznatih i/ili željenih izlaznih veličina i izlaznih veličina koje generira model minimalno

29 Svrha modeliranja Vođenje procesa - primjena dinamičkih ili stacionarnih modela zajedno sa mjerenim vrijednostima ulaznih i/ili izlaznih veličina u svrhu: - izračuna vrijednosti ulaznih veličina za koje se dobivaju primjereni odzivi procesa - promišljeno pronalaženje odgovarajuće strukture modela zajedno s pripadajućim parametrima temeljeno na poznavanju ulaznih i izlaznih veličina procesa - procjena stanja i parametara modela definirane strukture koji nisu mjerljivi - prepoznavanje i otklanjanje pogrešaka u sustavu vođenja procesa

30 Pravila modeliranja Definiranje mehanizama - definiranje fizikalno-kemijskih i biokemijskih procesa i pojava koji se odvijaju u promatranom sustavu - ovisno o svrsi modeliranja definiramo mehanizme procesa na molekularnoj, mikroskopskoj ili makroskopskoj razini - ovisno o svrsi i početnim uvjetima definiramo smislene pretpostavke i pojednostavljenja procesa - uobičajeni mehanizmi u modeliranju procesa: - reakcijska kinetika, prijenos topline, prijenos topline konvekcijom, radijacija, difuzija tvari, konventivni prijenos tvari, prijenos tvari i topline kroz granični sloj, promjena agregatnog stanja, rast i odumiranje živih organizama, metabolički putovi i sl. - mehanizmi predstavljaju parcijalne modele cjelokupnoga procesnog modela

31 Pravila modeliranja Skupljanje informacija o (realnom) sustavu - kombinirani matematički modeli (gray box models) - direktno mjerenje vrijednosti parametara modela ili procjena parametara temeljem korelacijskih jednadžbi - prikaz procesnih podataka i parametara modela zajedno sa intervalom pouzdanosti - točnost mjerenja u industrijskim procesima ±10 % ±30 %; pogreška procjene parametara modela dobijenih u laboratorijskim ili pilotnim pokusima ±5 % ±20 %; točnost podataka reakcijske kinetike > ± 10 % - nedovoljno literaturnih podataka i/ili rezultata pokusa potrebnih za izračun parametara procesa potrebna dodatna pojednostavljenja u koracima 1 i 2

32 Pravila modeliranja Postavljanje modela - izvedba ovoga koraka u razvoju modela daje modelu matematički značaj i opravdava njegovo ime matematički model - jednadžbe opisa promjena u nekom sustavu: - algebarske - diferencijalne - diferencijalne jednadžbe bilance tvari i energije - algebarske jednadžbe mehanističke jednadžbe - koraci u postavljanju modela: - pretpostavke modela - određivanje sustava, podsustava i prostornih bilančnih elemenata - definiranje karakterističnih promjenjivih veličina - zapis bilanci (tvari, energije, količine gibanja) - zapis mehanističkih jednadžbi i konstitutivnih veza

33 Pravila modeliranja Rješavanje modela - izbor tehnike rješavanja matematičkog modela procesa - analitičko rješenje - numeričke metode - analitička rješenja kompleksnih matematičkih modela procesa ne postoje ili je njihovo određivanje vremenski zahtjevno - numeričke metode omogućuju rješavanje najkompleksnijih matematičkih modela procesa (kratkoročna vremenska prognoza rješavanje sustava od parcijalnih diferencijalnih jednadžbi) - razvoj numeričkih metoda povezan sa razvojem računala - malo poboljšanje numeričkih algoritama utječe na vrijeme računanja, kapacitet računala, točnost, pouzdanost i stabilnost rješenja - Taylor, Euler, Runge-Kutta (diferencijalne jednadžbe), Laplace, metoda razlika, metoda linija, kolokacije, (parcijalne diferencijalne jednadžbe), Simpson, trapez (integrali),

34 Pravila modeliranja Provjera rješenja - da li se model ponaša korektno? (T MODEL = -15 K) - da li model daje očekivane odgovore? - Provjera rješenja Ocjena valjanosti modela

35 Pravila modeliranja Ocjena valjanosti modela - primjena modela moguća tek nakon ocjene ili potvrde njegove valjanosti - usporedba rezultata simulacije modela sa nezavisnim opažanjima (mjerenjima) ili pretpostavkama - ovisna o procesnom sustavu, svrsi modeliranja i mogućnosti pridobivanje nezavisnih opažanja za njegovu potvrdu - mogući postupci u ocjeni valjanosti modela: - eksperimentalna provjera pojednostavljenja i pretpostavki modela - usporedba ponašanja modela i ponašanja realnoga sustava - razvoj analitičkih modela za pojednostavljene primjere - usporedba s drugim modelima, razvijenim za slične realne probleme - usporedba rezultata simulacije modela direktno sa procesnim podatcima (mjerenjima) - najuobičajenije!!!!

36 Pravila modeliranja Ocjena valjanosti modela - svojstva modela koja omogućuju ocjenu njihove valjanosti - točnost model je točan ako su njegovi odzivi zadovoljavajuće blizu odzivima realnog sustava - realnost opisa sustava model se temelji na pretpostavkama o mehanizmima djelovanja sustava koji su slični onima u realnom sustavu - preciznost jednoznačnost rješenja (primjerice odziv procesa je krivulja, a ne skup krivulja) - robusnost relativna neosjetljivost modela na šumove prisutne u ulaznim podacima - općenitost mogućnost opisivanja širokog područja problema - ne smije se provoditi sa podatcima korištenim u njegovu razvoju - parametarska analiza analiza osjetljivosti procijenjenih parametara procesa - tumačenje rezultata simulacije modela - dokumentacija

37 Pravila modeliranja Pretpostavke modela - utječu na rezultate simulacije modela - povezane sa jednadžbama modela i pripadajućim početnim i rubnim uvjetima - najuobičajenije pretpostavke: - vremenske karakteristike (stacionaran ili nestacionaran proces) - prostorne karakteristike (jedno-, dvo- ili tro-dimenzionalan problem) - vrste protoka (laminarno strujanje, čepoliko strujanje, povratno miješanje ) - mehanizme (primjerice, brzina reakcije je zanemariva u odnosu s brzinom prijenosa tvari) - svojstva tvari (postojanje ili nepostojanje temperaturnih ili koncentracijskih ovisnosti fizikalno-kemijskih svojstava tvari) - tražena točnost procijenjenih parametara, izlaznih veličina i sl. - geometrija sustava (zrno katalizatora opisujemo pravilnim sferičnim oblikom, )

38 Pravila modeliranja Određivanje sustava, podsustava i prostornih bilančnih elemenata - prostorni bilančni element (volumen reakcijske smjese u Primjeru 1.) - realni sustavi kompleksni za zadovoljavajuće opisivanje potrebno njihovo dijeljenje na podsustave (faze u višefaznim sustavima, katalizatori i punila u kolonama, ugrađeni grijači)

39 Pravila modeliranja Definiranje karakterističnih promjenjivih veličina - povezane sa ulaznim i izlaznim veličinama sustava, kao i sa stanjem unutar sustava - uobičajene promjenjive ulazne i izlazne veličine: - tokovi tvari u masenim, množinskim i prostornim koncentracijama - temperatura (bilance energije) - tlak -

40 Pravila modeliranja Zapis bilanci - tvari, energije, količine gibanja - za definirani prostorni bilančni element - za sustav i sve podsustave

41 Pravila modeliranja Zapis mehanističkih jednadžbi i konstitutivnih veza - jednadžbe koje definiraju: - brzinu reakcije - brzinu prijenosa tvari, topline, količine gibanja - ravnotežna stanja - termodinamičke jednadžbe stanja i sl.