1.UVOD. 1.1 Matematički model
|
|
- Ἠλύσια Γλυκύς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1.UVOD 1.1 Matematički model Matematički model se može definisati kao skup matematičkih relacija koje opisuju ili definišu veze između pojedinih fizičkih veličina u posmatranom procesu (dimenzije uređaja, svojstva supstanci,kinetički parametri, protoci, itd.). Matematički model predstavlja manje ili više uprošćenu predstavu stvarnih veza između veličina koje karakterišu neki proces i odražava najvažnije karakteristike procesa. Tako se dobrim matematičkim modelom smatra onaj koji odstupa od realne slike u granicama tolerancije, a pri tome nije tako kompleksan da bi određivanje brojnih vrednosti parametara koji figurišu u modelu (kao i njegovo rešavanje) bilo vrlo otežano ili nemoguće. Pre no što se formuliše model mora se jasno definisati sistem koji se modeluje ili posmatra. Pod sistemom podrazumevamo jasno izdvojen deo procesa tj. postrojenja ili ceo proces, ograničen granicom sistema. Pod procesom se podrazumeva jedna ili niz operacija ili jediničnih procesa koji za cilj imaju dobijanje nekog produkta. Jedinični procesi se u hemijskom inženjerstvu dele na: mehaničke operacije (transport čvrstih materija i fluida, drobljenje, oblikovanje, itd) toplotne operacije (proizvodnja i razmena toplote) separacione operacije (destilacija, ekstrakcija, membranski procesi, itd.) hemijske reakcije biohemijske reakcije Hemijsko-inženjerski sistemi se mogu podeliti na jednostavne i složene. Dok se jednostavni sistemi sastoje samo od jednog uređaja, složeni sistemi se sastoje od više međusobno povezanih uređaja. Matematički modeli složenih sistema sastoje se od matematičkih modela jediničnih uređaja iz kojih su sastavljeni i opisa veza između njih (opis topologije sistema). Osnovu matematičkog modela jednostavnog sistema predstavljaju zakoni održanja (konzervacije) mase, energije i količine kretanja. Opšti izraz zakona održanja, tj. opšti oblik bilansa glasi: ULAZ - IZLAZ + GENERISANJE = AKUMULACIJA (1.1) U SISTEMU U SISTEMU i odnosi se na neki period vremena t. Definisanje pojedinih članova u bilansu (1.1), kao i dodatnih jednačina ili ograničenja zahteva : 1 0 Podatke o fizičko-hemijskim karakteristikama supstanci (gustine, specifične toplote, naponi pare, entalpije, itd.) ; 2 0 Opisivanje ravnoteža faza ; 3 0 Opisivanje reakcione ravnoteže ; 1
2 4 0 Metode proračuna brzina prenosa toplote, mase i količine kretanja (fizička kinetika) i kinetiku hemijskih reakcija. PRIMER 1.1 Uzmimo, kao poznat, primer razmenjivača toplote tipa cevi sa omotačem (Sl.1.2): F 1, T 1 F 1, T 1 F 2, T 2 F 2, T 2 Slika Skica razmenjivača toplote Matematički model čine: 1 0 zakon održanja mase: F 1 = F 2 = F (kg/s) (1.1 a) F 1 = F 2 = F (kg/s) (1.1 b) 2 0 zakon održanja energije: F Cp ( T T = F Cp T T 2 1 ) ( 1 2 ) = Q ( J / s) (1.2) Q predstavlja razmenjenu količinu toplote između dva fluida i jednako je: Q = k Tsr A (J/s) (1.3) A je površina toplotne razmene, a T sr srednja logaritamska razlika temperatura: T T T T T = ( 1 2 ) ( 2 1 ) sr T T 1 2 ln T T 2 1 (1.3a) U izrazu za razmenjenu količinu toplote (1.3) figuriše koeficijent prolaza toplote, koga treba proceniti. Ako se zanemari krivina cevi, k = + δ α λ + α α, α - koeficijenti prelaza toplote za jedan i drugi fluid λ - koeficijent provođenja za zid cevi δ - debljina zida cevi (1.3b) 2
3 Koeficijent prelaza se najčešće određuje pomoću odgovarajuće kriterijalne jednačine, αd Nu = = f (Pr, Re) λ (1.3c) gde je λ koeficijent prevođenja fluida a d karakteristična dimenzija (ovde prečnik cevi). Pr i Re su bezdimenzioni kriterijumi, wdρ Re =, Pr = µ C p λ µ (1.3d) koji zahtevaju vrednosti srednje brzine proticanja fluida w i njegove karakteristike: gustina (ρ), specifična toplota (Cp), toplotna provodljivost (λ) i dinamički viskozitet (µ). Iz jednačina (1.3b - 1.3d) sledi relacija: k = f ( F F 1, 1, ρ, ρ, µ, µ, λ, λ, d, d, λ, δ ) (1.4) Treba imati u vidu da su fizičke osobine fluida funkcije temperature, koja se menja duž razmenjivača i kao aproksimacija se usvajaju konstantne vrednosti koje odgovaraju srednjoj temperaturi: ρ = ρ ( T ), µ = µ ( T ), λ = λ ( T ), Cp = Cp ( T ) ( 15. a) s s s s ρ = ρ ( Ts ), µ = µ ( Ts ), λ = λ ( Ts ), Cp = Cp ( Ts ) ( 15. b) gde su: T + T T T Ts = Ts = 1 2, 2 2 Pretpostavke pri formulisanju modela Svaki model, kao približna predstava procesa, bazira se na nekim pretpostavkama. Dobre pretpostavke su rezultat iskustva, teorijskog znanja i inženjerskog osećaja i zahvaljujući njima model se uprošćava uz očuvanje neophodnog stepena realističnosti. Pretpostavke zavise od cilja analize, i ne smeju da unesu greške koje bi dovele do značajnih odstupanja od korektnih rezultata i zaključaka. Treba ih (izuzimajući eventulano uobičajene) navesti kao sastavni deo modela. PRIMER 1.2 Pobrojaćemo pretpostavke na kojima se bazira model razmenjivača toplote u prethodnom primeru: zanemaruju se gubici toplote u okolinu (omotač je idealno izolovan) - vidi jedn. (1.2) zanemaruje se prisustvo taloga onečišćenja na zidovima cevi (vidi jedn. 1.3b) zanemaruju se radijalne promene temperatura jednog i drugog fluida fizički parametri fluida: µ, ρ, λ kao i λ zida cevi su konstante (ne menjaju se sa temperaturom) (vidi jedn. 1.5a, b) 3
4 zanemaren je efekat promene pritiska na entalpiju fluida, i one su linearne funkcije temperature (jedn. 1.2), tj. Cp=const. Klasifikacija matematičkih modela Uobičajene podele matematičkih modela su date na sl. 3. Deterministički model sadrži promenljive kojima se mogu pripisati tačno određene vrednosti pri zadatim uslovima, odnosno nisu podložne slučajnim kolebanjima. U inženjerstvu se najčešće bavimo determinističkim modelima zanemarujući pri tom prisutne neodređenosti u promenljivama, koje su najčešće posledice eksperimentalnih varijacija slučajnog karaktera i nemaju značajan udeo u ukupnim vrednostima (naprimer slučajne greške merenja). deterministički stohastički stacionaran nestacionaran MATEMATIČKI MODEL podele po matematičkoj strukturi sa raspodeljenim parametrima sa uniformnim parametrima sl Klasifikacija matematičkih modela Ponekad je međutim neke promenljive neophodno smatrati slučajnim što znači da njihove vrednosti upadaju u određeni interval sa nekom verovatnoćom u skladu sa nekim zakonom raspodele. Takvi procesi se nazivaju stohastičkim i opisuju se statističkim ili stohastičkim modelima, uz pomoć teorije verovatnoće i matematičke stohastike. Primer su problemi u okviru kojih je neophodno opisati raspodelu veličina čvrstih čestica, ili raspodelu veličina pora u poroznom materijalu, zatim problemi modelovanja turbulentnog strujanja fluida kao i sistemi kod kojih su neke promenljive određene sa malom preciznošću (velika slučajna greška merenja). U okviru ovog kursa nećemo se baviti stohastičkim procesima. Za nestacionarne procese je karakteristično da se sve ili neke od promenljivih menjaju u toku vremena, a odgovarajući modeli se zovu nestacionarni. U bilansnim jednačinama (1.1) za nestacionarne sisteme, postoji član akumulacije. Za stacionaran sistem ili proces važi da se svojstva sistema odnosno promenljive ne menjaju sa vremenom, a član akumulacije u bilansnim jednačinama (1.1) jednak je nuli. Dakle, možemo da pišemo, X, X t 0, za nestacionaran model (1.6a) X, X t 0, za stacionaran model (1.6b) gde X označava promenljivu u modelu, a t vreme. 4
5 Diskontinualni ili šaržni (engl. batch) procesi se opisuju nestacionarnim modelima. Na primer šaržni hemijski reaktor se napuni smešom reaktanata (punjenje ili šarža) i pusti da se reakcije odvijaju neko vreme, u toku koga se sastav reakcione smeše, temperatura, a nekad i pritisak menjaju (nestacionarnost). Zatim se reaktor isprazni tj. ispusti se šarža, koja sadrži proizvode reakcija. Dakle, kroz granice sistema nema proticanja mase u posmatranom (operativnom) periodu vremena, tj. u pitanju su zatvoreni sistemi. Pri opisivanju kontinualnih procesa, odnosno otvorenih ili protočnih sistema, kod kojih postoji razmena mase sa okolinom kroz granicu sistema, ako su oni vremenom ustaljeni, koriste se stacionarni modeli. Pri opisivanju reakcije ili odziva kontinualnog sistema na vremenske poremećaje pojedinih parametara, neophodno je naravno, zbog prisutnih vremenskih promena pojedinih promenljivih, formulisati nestacionarne modele. Tako se u hemijskom inženjerstvu kontinualni procesi projektuju pomoću stacionarnih modela, ali je za projektovanje sistema automatskog upravljanja tih procesa neophodno koristiti nestacionarne modele. Ako se pri opisivanju sistema mogu zanemariti prostorne varijacije promenljivih tj. njihove vrednosti smatrati uniformnim po celoj zapremini sistema, rezultat je model sa ne raspodeljenim ili uniformnim parametrima (engl. lumped model). Primer su šaržni ili protočni reator sa idealnim mešanjem sadržaja. Dakle, za sisteme sa uniformnim parametrima imamo, X X, x, 0 (1.7a) x gde x označava prostornu koordinatu. Sistemi kod kojih su prisutne promene pojedinih promenljivih duž jedne ili više prostornih koordinata kao i odgovarajući modeli nazivaju se sistemi (modeli) sa raspodeljenim (distributed) parametrima, i za njih važi, X X, x, 0 (1.7b) x U pogledu matematičke strukture, modeli mogu predstavljati: 1 0 Jednu ili više algebarskih jednačina, 2 0 Jednu ili više običnih diferencijalnih jednačina (ODJ), 3 0 Jednu ili više parcijalnih diferencijalnih jednačina (PDJ), 4 0 Jednu ili više integralnih jednačina, ili 5 0 Kombinaciju navedenih struktura. Jasno je da su stacionarni uniformni sistemi opisani algebarskim modelima. Model nestacionarnog uniformnog sistema kao i model stacionarnog sistema čija se svojstva menjaju samo po jednoj prostornoj koordinati je tipa 2 0 (obične diferencijalne jednačine). Parcijalne diferencijalne jednačine opisuju nestacionarne sisteme sa prostorno promenljivim svojstvima, kao i stacionarne sisteme čija se svojstva menjaju u bar dva koordinatna pravca. Integralne 5
6 jednačine se dobijaju kao alternativa diferencijalnim modelima, pri formiranju materijalnog bilansa za ceo ili konačno veliki deo sistema sa raspodeljenim parametrima (umesto za njegov beskonačno mali deo). Navedena podela modela po strukturi se odnosi na polazne modele. Međutim, kada se diferencijalni modeli (obične ili parcijalne diferencijalne jednačine), ako je to moguće, analitički reše, rezultat se takođe naziva matematički model, ali on za razliku od polaznog modela ima strukturu algebarskog modela. Tako, polazni energetski bilans razmenjivača toplote iz Primera 1.1 je sistem od dve obične diferencijalne jednačine, koje opisuju temperature oba fluida, koje se menjaju duž razmenjivača. Algebarske jednačine a su rezultat rešavanja polaznog, diferencijalnog modela. Granični uslovi Poznato je da je pri rešavanju diferencijalnih modela (nalaženje partikularnih rešenja) neophodan određen broj graničnih uslova za funkcije opisane diferencijalnim jednačinama. Uopšte, može se reći da je broj potrebnih graničnih uslova u vezi neke zavisno promenljive, jednak tačno redu njenog najvišeg izvoda koji figuriše u modelu. Na primer, da bi dobili rešenje y(x) diferencijalne jednačine prvog reda, F(x, y, y ) = 0, neophodan je jedan granični uslov za traženu funkciju: x = x 0, y(x) = y 0 koji se obično zove početni uslov, a problem rešavanja pomenute diferencijalne jednačine početnim problemom (initial value problem). Za rešavanje modela oblika: F(x, y, y, y ) = 0 neophodna su, zbog drugog izvoda funkcije y(x), dva granična uslova u vezi sa vrednošću funkcije i/ili njenog prvog izvoda. Oni mogu biti dati u jednoj tački x 0 : x = x 0, y = y 0, y = y 0 i tada opet imamo početni problem. Ako su granični uslovi razdvojeni tj. dati u dve tačke, x 1 i x 2, recimo: x = x 1, y = y 1 ili opštije: x = x 2, y = y 2 x = x 1, a 1 y + b 1 y = c 1 x = x 2, a 2 y + b 2 y = c 2 (a 1, a 2, b 1, b 2, c 1, c 2 su konstante) u pitanju je, teži za rešavanje, granični problem (boundary value problem). Uzmimo sada na primer parcijalnu diferencijalnu jednačinu: 2 F ( t, z z x, z z y, z, t, x, y, y ) = 2 0 6
7 Da bi dobili partikularno rešenje, z = z(t, x, y) neophodan je po jedan granični uslov po t i po x i dva po y, recimo: z( x, y, t = 0) = z z( x = x 0 1, y, t) = z ( x, y) 2 ( y, t) z( x, y = y, t) = z 0 3 ( x, t) z ( x, y = y y, t) = z 0 4 ( x, t) 1.1 Tipovi računskih problema Hemijsko inženjerske proračune, pod kojima ovde podrazumevamo rešavanje postavljenih matematičkih modela posmatranih sistema, možemo podeliti na 1 0 Maseni i energetski bilans 2 0 Simulacioni proračun 3 0 Projektni proračuni 4 0 Optimizacioni problemi Maseni i energetski bilansi Maseni i energetski bilansi predstavljaju najjednostavniji tip proračuna čiji je cilj zadovoljavanje materijalnih i (ili) energetskih bilansa jednog ili više jediničnih uređaja pri čemu se sami jedinični procesi ili uređaji posmatraju kao crna kutija. To znači da model ne sadrži opise brzina jediničnih procesa (napr. izraz za brzinu hemijske reakcije u reaktoru ili izraz za toplotni fluks u izmenjivaču toplote) već su umesto njih dati podaci o stepenima napredovanja odnosno efektima jediničnih procesa (recimo stepen konverzije reaktanta u reaktoru, ulazna i izlazna temperatura grejanog fluida u razmenjivaču, i sl.). Simulacioni proračuni Simulacioni proračuni, za razliku od prethodnih se baziraju na modelima koji sadrže i opise brzina jediničnih procesa, kojima se oni simuliraju ili imitiraju (kinetički izrazi pri proračunu reaktora, izrazi za toplotni fluks pri simuliranju izmenjivača toplote i sl.). Simulacioni problemi se dele na: 1 0 Otvorenu simulaciju (open simulation) 2 0 Kontrolisanu simulaciju (controlled simulation) Za otvorenu simulaciju karakteristično je da su zadati projektni parametri jediničnih uređaja (napr. veličina površine toplotne razmene u izmenjivaču toplote, ili zapremina protočnog reaktora) kao i parametri svih ulaznih struja, a računaju se parametri izlaznih struja (protoci, temperature, koncentracije). 7
8 Kod kontrolisane simulacije, koja je teži računski problem od otvorene simulacije, pored projektnih parametara i ne svih parametara ulaznih struja zadati su i neki parametri izlaznih struja. Računaju se preostali izlazni parametri i nedostajući ulazni parametri, koji predstavljaju najvažniji rezultat. Projektni proračuni Kod projektnih (design) problema nisu zadati svi parametri uređaja već ih treba odrediti polazeći od zadatih parametara ulaznih struja i odgovarajućeg broja parametara izlaznih struja. PRIMER 1.3. Otvorena i zatvorena simulacija razmenjivača toplote iz Primera 1.1. Odredićemo najpre neophodan broj podataka da bi računski problem bio matematički određen tj broj stepeni slobode d za postavljeni model. Ukupan broj promenljivih koje figurišu u modelu je 23 i to: promenljiva: broj: maseni protoci, F 1, F 2, F 1, F 2 4 temperature T 1, T 2, T 1, T 2 4 dimenzije sistema d, d, δ, A 4 fizička svojstva ρ, Cp, λ, µ 8 fluida ρ, Cp, λ, µ provodljivost zida i koeficijent prolaza toplote λ, k 2 toplotni fluks Q 1 Broj jednačina je 14. = 23 jednačine: broj: maseni bilansi (1.1 a, b) 2 energetski bilans (1.2) 2 za toplotni fluks (1.3 uz 1.3a) 1 za koeficijent prolaza toplote (1.4) 1 za fizička svojstva (1.5 a, b) 8 = 14 Dakle, d = = 9 i da bi računski problem bio matematički određen, neophodno je 9 nezavisnih podataka. Izbor tih 9 podataka kod otvorene simulacije i za jedan primer kontrolisane simulacije dati su u Tabeli. 8
9 Tabela uz primer 1.3 Zadato: parametri uređaja: parametri ulaznih struja: parametri izlaznih struja: Dobija se: ostale promenljive od kojih su najvažnije: otvorena simulacija kontrolisana simualcija d, d, A, λ, δ T 1, T 1, F 1, F 1 T 1, F 1, F 1 - T 2 T 2, T 2, Q T 1, T 2, Q Cilj otvorene simulacije razmenjivača u kome se hladi neki fluid je predskazivanje izlaznih temperatura hlađenog ( ) i rashladnog ( ) fluida, u datom razmenjivaču, pri različitim protocima i ulaznim temperaturama dva fluida. Cilj kontrolisane simulacije, specificirane u Tabeli, je pak određivanje neophodne temperature rashladnog fluida da bi se u datom razmenjivaču hlađeni fluid rashladio do zadate temperature. PRIMER 1.4 Projektni proračun razmenjivača toplote. Tipičan projektni problem je: parametri uređaja: d, d, λ, δ zadato: ulazni parametri: T 1, T 1, F 1, F 1 izlazni parametri: T 2 Dobija se: Ostalo, a najvažnija je površina ramenjivača, A. Optimizacioni proračuni Neki matematički neodređen projektni ili problem kontrolisane simulacije se nekad prevodi u određeni, postavljanjem dodatnog uslova da neka funkcija promenljivih koje figurišu u modelu, koju zovemo funkcija cilja, za rešenje problema, tj. za izračunate vrednosti promenljivih ima ekstremum (minimum ili maksimum). Opisani problem se zove problem optimizacije sa ograničenjima (constrained optimization) gde su ograničenja definisana samim modelom, koga moraju zadovoljiti koordinate ekstremuma. Uzmimo, na primer, kontrolisanu simulaciju razmenjivača toplote (Primer 1.3). Pretpostavimo da je postavljen uslov da iz datog izmenjivača (dati parametri uređaja: d, d, A, λ, δ) hlađeni fluid izlazi sa temperaturom T 2, pri čemu su dati njegov protok i ulazna temperatura (F 1, T 1 ). Treba odrediti protok i ulaznu temperaturu rashladnog fluida. Očigledno imamo manjak podataka - umesto 9 imamo 8 podataka, pa je problem matematički neodređen. Problem se može rešiti kao optimizacioni: postavićemo uslov da ukupni troškovi vezani za pripremu rashladnog fluida (eventualno hlađenje i njegov transport), koji zavise od njegove temperature i protoka, budu minimalni: troškovi = f(f 1, T 1 ) = min 9
10 i tako odrediti optimalnu kombinaciju protoka i temperature rashladnog fluida. Optimizacioni proračuni nisu uključeni u sadržaj ovog, već su predmet posebnog kursa. ZADACI 1. a) Razlikuju li se mat. modeli za slučajeve hlađenja i zagrevanja procesnog fluida, koji protiče kroz cev razmenjivača toplote? b) Razlikuju li se i kako matematički model protiv- i istostrujnog razmenjivača toplote? c) Skiciraj temperaturne profile grejanog fluida (u cevi) i grejnog fluida (oko cevi), T ( x), T ( x) za istostrujni i suprotnostrujni razmenjivač. Posebno razmotriti slučaj, kada je grejni fluid suvozasićena para. 2. Najjednostavniji uparivač u prehrambenoj industriji je duplikator (sud sa omotačem plaštom). Kroz omotač struji grejna para, a sadržaj suda se intenzivno meša mešalicom. Duplikator može da bude šaržni (a) ili protočni - kontinualan (b). Matematički model uparivača definiše temperaturu i sadržaj suve materije u proizvodu. (a) (b) Skica uz zadatak 2. a) Za šaržni i protočni uparivač, izaberi od jednačina (1.6a 1.7b) one koje definišu tip njegovog matematičkog modela i navedi konkretna značenja promenljivih X, x i t u njima. b) Kakvu strukturu imaju ti modeli? 3. Najjednostavnija sušnica za sušenje prehrambenih proizvoda je šaržna komorna sušnica (tray dryer) (Skica 1). Proizvod se suši na policama, razastrt u tankom sloju, toplim vazduhom koji struji preko slojeva. Sistem koga modelujemo je sloj koji se suši na jednoj od polica (Skica 2). 10
11 Skica 1 uz zadatak 3.- Komorna sušnica z y 0 x Skica 3 uz zadatak 3. Sloj materijala na polici sušnice Fizičke veličine koje treba definisati modelom su temperatura i sadržaj vlage u sloju, ali zbog interakcije materijala koji se suši i vazduha, u modelu takođe figurišu temperatura vazduha i njegova vlažnost. a) Da li je posmatrani sistem stacionaran ili nestacionaran.? Navedi značenja promenljive X u odgovarajućoj od jednačina 1.6a i 1.6b. b) U kojim pravcima bi trebalo uzeti u obzir promene temperature i sadržaja vlage u sloju, imajući u vidu način strujanja vazduha? Kakvu strukturu ima takav model? 4. Jedan tip sušnice u prehrambenoj industiji je dobošasta sušnica. Na povšinu doboša koji se okreće i zagreva parom koja struji kroz njega, nanosi se tanak sloj proizvoda koji se suši. On ostaje na površini doboša u toku jednog dela punog ciklusa doboša i onda se skida sa nje (Skica). Skica uz zadatak 4. S obzirom na geometriju sistema (sloj proizvoda koji se suši), pri formulisanju matematičkog modela, kojim se definiše temperatura i sadržaj vlage u sloju, pogodno je koristiti cilindrični koordinatni sistem.( r,ϕ, z ). Koordinatni sistem se postavlja tako da se osa z poklapa sa osom doboša. 11
12 a) Koja koordinata se menja po debljini sloja koji se suši, a koja po njegovoj dužini, tj po obimu doboša? b) Od kojih od promenljivh: t, r, ϕ, z zavise temperatura i sadržaj vlage u sloju i kakvu strukturu ima odgovarajući model? 5. Za zagrevanje nekog tečnog prehrambenog proizvoda se često koristi diskontinualni duplikator sud sa omotačem (plaštom) kroz koga struji grejna para (vidi skicu uz zadatak 2.). Duplikator je snabdeven mešalicom koja meša sadržaj. Primer je primarna obrada soka od paradajza. Matematički model duplikatora opisuje promenu temperature namirnice,t koja se greje u toku vremena, t. Uz pretpostavke: - mešalica idealno meša sadržaj duplikatora, - duplikator je idealno izolovan - u omotač se uvodi suvozasićena para koja delimično kondenzuje, tako da je njena temperatura,t u toku zagrevanja konstantna, - specifična toplota proizvoda, c p je konstantna, matematički model glasi: mc dt = K S( T T T ), T (0) T0 dt p = m masa sadržaja duplikatora, kg S površina toplotne razmene, 2 m K koeficijent prolaza toplote, W ( m 2 K) T0 T početna temperatura proizvoda a) Odredi tip modela, prema datoj klasifikaciji. b) Koju dimenziju ima jednačina modela? Koje je značenje leve, a koje desne strane jednačine? c) Izvedi sledeće rešenje modela: K = T A T ( t) T ( T T t 0 ) exp mc p i proveri da li ono zadovoljava dati početni uslov. d) Čemu teži temperatura proizvoda, kada se vreme zagrevanja beskonačno produžava i da li rešenje zadovoljava taj uslov? Skiciraj krivu T (t). 6. Šaržni duplikator za zagrevanje tečnog proizvoda, opisan u Zadatku 5., ima površinu toplotne razmene od 0.43 m 2, koja je potpuno pokrivena sadržajem duplikatora. Proizvod, čija je specifična toplota 3.1 kj (kgk), treba zagrejati od 10 0 C do 99 0 C. Kapacitet duplikatora je 50kg. Grejni fluid je suvozasićena para, temperature C. Izračunati potrebno vreme zagrevanja. Za koeficijent prolaza toplote uzeti K 900 ( m 2 T = W K). 12
ULAZ - IZLAZ + GENERISANJE = AKUMULACIJA (1.1) U SISTEMU U SISTEMU
.UVOD. Matematički model Matematički model se može definisati kao skup matematičkih relacija koje opisuju ili definišu veze između pojedinih fizičkih veličina u posmatranom procesu (dimenzije uređaja,
Διαβάστε περισσότεραseparacione operacije - destilacija, ekstrakcija, membranski procesi hemijski i biohemijske reakcije u reaktorima fluid za hlađenje rashlađen fluid
UVOD Matematički model - kup matematičkih relacija koje opiuju veze između pojedinih fizičkih veličina u pomatranom proceu (dimenzije uređaja, vojtva uptanci, kinetički parametri, prinoi, protoci,... Tehnoekonomki
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραDrugi zakon termodinamike
Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραDimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραTEHNOLOŠKE OPERACIJE. Predavanje 9
EHNOLOŠKE OPERACIJE Predavanje 9 RAZMENA OPLOE Prenos toplote Provođenje (kondukcija) Strujanje (konvekcija) Zračenje (radijacija) RAZMENJIVAČI OPLOE Količina toplote moţe da preďe sa jednog tela na drugo
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραPRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)
PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραTERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1
OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura
Διαβάστε περισσότεραPRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA
PRELAZ TOPLOTE - KONVEKCIJA Prostiranje toplote Konvekcija Pri konvekciji toplota se prostire kretanjem samog fluida (tečnosti ili gasa): kroz fluid ili sa fluida na čvrstu površinu ili sa čvrste površine
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραPravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.
1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραUZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα