2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

Transcript

1 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1

2 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj: x = 1 n (x 1 + x x n )= 1 n n i=1 x i. 2

3 Ako se u (1) ponavljaju brojevi: a 1,a 2,...,a k, (2) s frekvencijama f 1,f 2,...,f k tada je x = 1 n (f 1a 1 + f 2 a f k a k )= 1 n Primijetimo: k j=1 f j a j. {a 1,a 2,...,a k } ImX 3

4 Primjer 2.3 (nastavak) i f i x = =0.9 4

5 Zadatak 1. Pokažite da je aritmetička sredina invarijantna na afine transformacije skupa podataka. Preciznije: neka su a, b R(a 0), te y 1,y 2,...y n novi skup podataka dobiven iz (1) transformacijom: Tada je y i := ax i + b, 1 i n. ȳ = a x + b. 5

6 Zadatak 2. Pokažite da je aritmetička sredina skupa podataka (1) jedinstveni broj u kojem realna funkcija v(µ) := postiže svoj minimum. n i=1 (x i µ) 2 6

7 Harmonijska sredina? Geometrijska sredina? 7

8 2.2.2 Medijan X je numerička ili ordinalna varijabla. Medijan je vrijednost od X za koju vrijedi da je 50% podataka manje od ili jednako toj vrijednosti i 50% podataka je veće od ili jednako njoj. 8

9 Uredimo podatke (1): x (1) x (2) x (n). (3) Definicija. Neka su podaci (1) brojevi. Medijan je broj: m = x (k) ako je n =2k 1 m = 1 2 (x (k) + x (k+1)) ako je n =2k 9

10 Primjer 2.4 (nastavak) Uredeni podaci: n =20=2 10 m = 1 2 (x (10) + x (11) )=1 ( ) =

11 Zadatak 1. Pokažite da je medijan invarijantan na afine transformacije skupa podataka. 11

12 Zadatak 2. Pokažite da postoji jedinstveni broj m u kojem realna funkcija d(µ) := n i=1 x i µ postiže svoj minimum ako i samo ako je n neparan broj ili je x (k) = x (k+1) za n =2k. U tom slučaju je m medijan od (1). Koliko točaka minimuma ima funkcija d ako je n = 2k paran broj i x (k) <x (k+1)? Koja je veza medijana od (1) s tim točkama? 12

13 2.2.3 Mod Mod je vrijednost od X s najvećom frekvencijom. Primjer 2.2 (nastavak) a i f i S 9 M 30 L mod = M 13

14 2.3 Mjere raspršenja raspon, interkvartil, varijanca i standardna devijacija Raspon podataka R = max 1 i n x i min 1 i n x i = x (n) x (1) 14

15 Za β = k + α (k =[β] cijeli broj i 0 α<1), x (β) := x (k) + α(x (k+1) x (k) ) Interkvartil Izračunamo donji (q L )igornji (q U ) kvartil: q L := x ( n+1 4 ), q U := x ( ) 3(n+1) 4 Interkvartil: IQR := q U q L 15

16 Primjer 2.6 Mjerenjem koncentracije β-endorphina u krvnoj plazmi 11 trkača nakon utrke, dobiveni su sljedeći podaci (pmol/l): 66, 72, 79, 84, 102, 110, 123, 144, 162, 169, 414 n =11 m = x ( ) 11+1 = x (6) = ) = x (3) =79 q L = x ( q U = x ( ) = x (9) = IQR = = 83 x (1) = 66, x (11) = 414 R = =

17 Karakteristična petorka uzorka: (x (1),q L,m,q U,x (n) ) Dijagram pravokutnika ( box and whisker plot ) 17

18 Primjer 2.7. Raspolažemo sa 100 podataka o iznosima šteta zbog popuštanja vodovodnih instalacija po policama osiguranja kućanstava

19 19

20 2.3.3 Uzoračka varijanca i standardna devijacija Uzoračka varijanca: s 2 = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2, s 2 = 1 n 1 k j=1 f j (a j x) 2 Uzoračka standardna devijacija: s := + s 2. 20

21 Ekvivalentne formule: s 2 = 1 n 1 s 2 = 1 n 1 n i=1 k j=1 x 2 i f j a 2 j n n 1 x2 n n 1 x2 21

22 Primjer 2.4 (nastavak) Frekvencijska tablica: i f i f i a i f i a 2 i x = =25.7 s 2 = = s = 3.91 = = 22

23 Zadatak 1. Neka su podaci y 1,y 2,...,y n dobiveni afinom transformacijom y i = ax i + b, i =1, 2,...,n (a 0) podataka (1). Tada je uzoračka varijanca s 2 (y) transformiranih podataka jednaka s 2 (y) =a 2 s 2, odn. standarna devijacija je s(y) = a s. 23

24 Zadatak 2. (Čebiševljeva nejednakost) Neka je ε>0 proizvoljan broj, a x i s 2 arit. sredina i uzoračka varijanca podataka (1). Tada vrijedi: #{i : x i x ε} (n 1)s2 ε 2. Koristeći tu nejednakost izračunajte kolika je relativna frekvencija podataka koji se od aritmetičke sredine razlikuju za ne više od k standardnih devijacija (k >1). 24

25 2.4 Mjere lokacije Decili: D k := x ( ) k, k =1, 2,...,9 10 (n+1) Percentili: P k := x ( k 100 (n+1)), k =1, 2,...,99 25

26 Kvantili: Za broj α 0, 1 t.d. je α(n +1)<n, α-kvantil je broj q α := x (α(n+1)) 26

27 2.5 Momenti Neka je r prirodan broj. r-ti moment podataka (1) je broj: M r := 1 n n i=1 x r i. Ukoliko su svi podaci x i pozitivni brojevi, r-ti moment se može definirati za bilo koji realni pozitivni broj r. 27

28 Neka je r prirodan broj. r-ti centralni moment podataka (1) je broj: C r := 1 n n i=1 (x i x) r. 28

29 2.6 Standardizacija podataka Neka su x i s arit. sredina i std. devijacija od (1). Transformirajmo podatke iz (1): z i := x i x, i =1, 2,...,n (4) s Niz (4) zovemo standardizirani niz od (1). 29

30 2.7 Koeficijent asimetrije α 3 := 1 n 1 n i=1 ( xi x s ) 3 Koja je ekvivalentna formula ukoliko raspolažemo frekvencijskom tablicom? 30

31 Ako je α 3 = 0 podaci su simetrični α 3 < 0 podaci su negativno asimetrični α 3 > 0 podaci su pozitivno asimetrični 31

32 32

33 2.7 Koeficijent zaobljenosti α 4 := 1 n 1 n i=1 ( ) xi x 4 3 s Koja je ekvivalentna formula ukoliko raspolažemo frekvencijskom tablicom? 33

34 2.8 Dvodimenzionalna obilježja Podaci: (X, Y ):Ω K L (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...,(x n,y n ) (5) 34

35 Ako je: Im X = {a 1,a 2,...,a r } Im Y = {b 1,b 2,...,b c } Im (X, Y )={(a i,b j ):1 i r, 1 j c} f ij = frekvencija od (a i,b j ) u (5) f i = (marginalna) frekvencija od a i u (5) g j = (marginalna) frekvencija od b j u (5) f i = c j=1 f ij, g j = r f ij i=1 35

36 Kontingencijska frekvencijska tablica: X\Y b 1 b 2 b c a 1 f 11 f 12 f 1c f 1 a 2 f 21 f f 2c. f 2. a r f r1 f r2 f rc f r g1 g 2 g c n 36

37 Primjer 2.8. U jednom razredu od n = 30 učenika promatra se ocjena iz matematike (X) i fizike (Y ). Podaci: (1, 3), (4, 3), (2, 2), (3, 2), (1, 2), (1, 1), (2, 2), (4, 4), (2, 2), (5, 5), (3, 3), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 2), (4, 4), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 2), (3, 2), (2, 2) 37

38 Kontingencijska frekvencijska tablica: X\Y

39 Marginalna distribucija distribucija od X distribucija od Y 39

40 Primjer 2.8. (nastavak) Kontingencijska tablica frekvencija tablica relativnih frekvencija: X\Y X\Y

41 Uvjetne distribucije distribucija od X uz dano Y = b j distribucija od Y uz dano X = a i 41

42 Primjer 2.8. (nastavak) Uvjetne distribucije od X: X\Y X\Y = y

43 Uvjetne distribucije od Y : X\Y X = x\y

44 Regresijske funkcije x :ImY R x(y) := arit. sredina uvjetne distrib. od X uz dano Y = y ȳ :ImX R ȳ(x) := arit. sredina uvjetne distrib. od Y uz dano X = x 44

45 Primjer 2.8. (nastavak) X\Y ȳ(x) x(y)