ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση ηµ ( π ), f() π., > Να αποδείξετε ότι η f ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος Μέσης Τιμής στο [, ] και να βρείτε τα σημεία ξ (, ) για τα οποία ισχύει. Η f είναι συνεχής σε κάθε < ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων και σε κάθε > ως πολυωνυμική. Στο έχουμε: limf() lim ηµ ( π ), π limf() lim και ( ) f( ) Επομένως limf() limf() f() δηλαδή η f είναι συνεχής και στο. Έτσι η f είναι συνεχής στο οπότε και στο [, ]. Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε < με f () συν( π ) και σε κάθε > με f (). Στο έχουμε: f() f() ηµ ( π) lim lim π ηµ ( π) lim, π ηµ ( π) π u ηµ u (διότι: lim lim ) π u u

2 f() f() ( ) lim lim lim lim ( ) Επομένως f() f() f() f() lim lim f () δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη και στο.έτσι η f είναι παραγωγίσιμη στο οπότε και στο (, ) συν( π ) αν < f () αν. αν > με Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής για την f στο διάστημα [, ] και συνεπώς θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο f () f ( ) 8 ( ) 5 ώστε f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ) ( ) 4 5 Προσδιορισμός του ξ : Προφανώς ξ αφού f ( ). 5 3 Αν ξ (,) : συν ( πξ ) συν ( πξ ) > αδύνατον. 5 Αν ξ (, ) : ξ ξ ξ (δεκτό). 4

3 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Αν Α(α,f(α)) και Β(β,f(β)) με α γραφική παράσταση της συνάρτησης f με < β είναι τα σημεία στα οποία η ευθεία (ε): y 3 τέμνει τη f() e τότε: i. Nα αποδείξετε ότι εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο [ α,β ]. ii. Nα προσδιορίσετε το ξ του θεωρήματος και να αποδείξετε ότι αβ <. Επειδή τα σημεία Α και Β είναι κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας α β (ε) θα ισχύει: α e α 3 () και β e β 3 (). i. Η f είναι συνεχής στο, άρα και στο [ α,β ], ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων και e. H f είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β ) με f () e. Επομένως η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα [ α,β ]. ii. Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. για την f στο [ α,β ] υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α,β) β α f( β ) f( α) β e α e ( β 3) ( α 3) f( ξ ) f( ξ ) β α f( ξ ). Προσδιορισμός του ξ : ξ Είναι f( ξ ) ξ e (3). ( ) ( ) β α (),() f( ξ ) β α τέτοιο ώστε Προφανής λύση της (3) είναι ξ (4), η οποία είναι και μοναδική, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( αβ, ) (αν, (, ) e e f ( ) f ( ) < < ). αβ με < τότε < και e < e δηλαδή Επιπλέον ξ ( α,β) δηλαδή (4) α<ξ<β α< <β, οπότε αβ <. 3

4 Άσκηση. Α. Να αποδείξετε ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση f ( ) ln στο διάστημα,e e. Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ,e e ώστε ξ( ξ ) lnξ ( ξ ) ξ ξ. Α. Η f είναι συνεχής στο,e e Για τον έλεγχο της παραγώγου έχουμε,e e Αν είναι ( ( ) ) Αν (, e) είναι (( ) ) ως γινόμενο των συνεχών και ln. ( ) ln αν < < f() αν ( ) ln αν > f () ln ( ) ln ( )(ln ) ln. f () ln ( ) ln ( )(ln ) ln. (Τα δύο αποτελέσματα συγχωνεύονται στην Για την παράγωγο στο,e e έχουμε: ( ) f () ln ) f() f() ln ( ) ln lim lim lim lim ( ln ) f() f() ln ( ) ln lim lim lim lim ( ln ) Οπότε f() f() f() f() lim lim f () Άρα η f είναι παραγωγίσιμη και στο επομένως είναι παραγωγίσιμη στο,e e. Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα,e e. 4

5 Β. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στο,e e έχουμε ότι υπάρχει ξ,e e τέτοιο ώστε f (e) f e lne ln ( e) e f( ξ ) f( ξ ) e e e f( ξ ) f( ξ ) e e e e e e ξ ( ξ) ln ( ) ln ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ. 5

6 Άσκηση 3. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() α β > 5,,. Να προσδιορίσετε τα α, β ώστε για τη συνάρτηση f να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [,3]. Η f είναι συνεχής σε κάθε < ως σύνθεση των συνεχών 5(πολυωνυμική) και. Επίσης είναι συνεχής σε κάθε > ως πολυωνυμική για οποιαδήποτε α, β. Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την f στο [-,3] πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-,3] και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής στο. Επομένως πρέπει και αρκεί limf() limf() f(). Στο έχουμε: limf() lim limf() lim f( ) 3 (3) 5 3 (), ( ) ( ) α β 4 αβ () και Επομένως πρέπει 4 αβ 3 β 7 α (4). Έτσι η συνάρτηση f γίνεται f() α α > 5, 7,. Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε < ως σύνθεση των παραγωγίσιμων 5 (πολυωνυμική) και με f (). Επίσης είναι παραγωγίσιμη σε κάθε > ως 5 πολυωνυμική για οποιοδήποτε α με f () α. Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την f στο [-,3] πρέπει η f να είναι παραγωγίσιμη στο (-,3) και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι παραγωγίσιμη στο. Επομένως πρέπει και αρκεί lim f() f() f() f() lim f (). Στο έχουμε: f() f() 5 3 lim lim lim 59 ( )( 5 3) 6

7 ( )( ) lim lim ( )( 5 3) f() f() α 7α3 4αα lim lim lim ( )( ) ( ) α lim lim ( α ) 4α Άρα πρέπει και αρκεί α α και από την (4) είναι β 7 β

8 Άσκηση 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο ηµ ( α), f() β 4 π, > α, β, α. Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [ π,3π] να προσδιορίσετε τους αριθμούς α, β. Επειδή η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [-π,3π] θα είναι συνεχής σ αυτό και επομένως θα είναι συνεχής και στο. Οπότε θα ισχύει limf() limf() f(). Είναι: limf() lim limf() lim f( ) ( ηµ ( α ) ), ( β 4π ) ( 4 ) β π β4π και Επομένως β4π β 4π β± 4π (). Επειδή η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [-π,3π] θα είναι παραγωγίσιμη στο (-π,3π) και επομένως θα είναι παραγωγίσιμη και στο. Οπότε θα ισχύει f() f() f() f() lim lim f (). Στο είναι: f() f() ηµ ( α) ηµ ( α) lim lim lim α α α (3) Αφού θέτω uα ηµ ( α) ηµ u u lim lim α u f() f() lim lim lim 6π 4π Επομένως α α. β π 4 (4) () lim ( 6π 4π) 8

9 Άσκηση 5. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο α f(), e β, >. Α. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς α, β, α, ώστε η f να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.στο [,]. f () f ( ) Β. Αν α e να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (,) ώστε f( ξ ) (δηλαδή ότι το ξ που ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θ.Μ.Τ. για την f στο (,) μοναδικό). είναι άσκησης 6 Α. Η f είναι συνεχής σε κάθε < ως πολυωνυμική και σε κάθε > ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Στο έχουμε: limf() lim limf() lim f( ) (3) ( ) α () ( e β ) β και () Για να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. πρέπει η f να είναι συνεχής στο [-,] και για να συμβεί αυτό πρέπει και αρκεί να είναι συνεχής στο. Επομένως πρέπει limf() limf() f() απ όπου με τη βοήθεια των (), (), (3) προκύπτει ότι β. Έτσι η συνάρτηση f γίνεται α αν f() αν > e. Η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε < με f () α και σε κάθε > με f ( ) e e. Στο έχουμε: f() f() α ( α ) lim lim lim lim ( α ) (4) f() f() e e lim lim lim lim ( e ) (5) 9

10 Από τις (4) και (5) προκύπτει ότι f() f() f() f() lim lim f () οπότε η f είναι παραγωγίσιμη στο (-,) για κάθε * α με α αν < f '() αν αν > e e. Β. Aν α e τότε είναι e, f() e > και e αν < f '() αν. e e αν > Από το (Α) ερώτημα, εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα [-,] και συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) τέτοιο ώστε f( ξ ) Προφανώς ξ αφού Αν ξ (, ) τότε: ( ) f () f ( ) e (e ) f( ξ ) f( ξ ) ( ) f (). f ξ eξ eξ ξ (δεκτή τιμή) 4e ξ ξ f ξ ξ e e, διότι αν θεωρήσουμε τη έχουμε ότι, όπως εύκολα προκύπτει με την εφαρμογή του Ενώ δεν υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε ( ) συνάρτηση f ( ) e e ορισμού, είναι γνησίως αύξουσα στο [,] και συνεπώς για ξ (,) θα ισχύει ξ> f( ξ ) > f() f( ξ ) > >. Επομένως το ξ του Θ.Μ.Τ. για την f στο διάστημα (-,) είναι μοναδικό.

11 Άσκηση 6. Για μια συνάρτηση ισχύει στο διάστημα [ α, β] το θεώρημα Rolle. i. Να βρείτε τα σημεία που διαιρούν το διάστημα [ α, β] σε τρία διαστήματα ίσου μήκους. ii. Να δείξετε ότι υπάρχουν σημεία ξ, ξ και 3 f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ). 3 ξ του διαστήματος (, ) α β τέτοια ώστε i. Για να χωρίσουμε το [ α, β] σε τρία τμήματα χρειαζόμαστε δυο εσωτερικά σημεία. Το μήκος βα του κάθε τμήματος, αφού είναι ισομήκη, θα είναι ίσο με. Επομένως τα ζητούμενα 3 βα αβ βα α β σημεία θα είναι το α και το α ii. Επειδή για την f ισχύει στο διάστημα [ α, β] το θεώρημα Rolle, θα ισχύει και το θεώρημα μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα α β, β 3. αβ α, 3, αβ α β, 3 3 και αβ Επομένως υπάρχουν σημεία ξ α, 3, ξ α β ξ 3, β τέτοια ώστε: 3 αβ αβ f f α f f α 3 3 f ( ξ ) αβ βα α 3 3 ( ) ( ) αβ α β, 3 3 και ()

12 α β αβ α β αβ f f f f f ( ξ ) α β αβ βα () α β α β f( β ) f f( β ) f 3 3 f ( ξ 3 ) α β βα β 3 3 (3) Προσθέτουμε τις (), () και (3) και έχουμε: ( ) ( ) ( ) f ξ f ξ f ξ 3 αβ α β αβ α β f f( α ) f f f( β ) f βα 3 f( β ) f( α), βα 3 αφού f( α ) f( β ). Παρατήρηση: Όπως φαίνεται και στην επίλυση του προβλήματος, δεν είναι αναγκαίος ο προσδιορισμός των σημείων που διαιρούν το διάστημα[ α, β] σε τρία υποδιαστήματα ίσου βα μήκους. Αρκεί να γνωρίζουμε ότι το μήκος του καθενός είναι. 3

13 Άσκηση 7. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ], παραγωγίσιμη στο διάστημα ( ) τέτοια ώστε f () 5 και f () ανήκουν στο διάστημα ( ), και. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ, ξ,, ξ που,, τέτοιοι ώστε: f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ) 5. Για τη συνάρτηση f ισχύει σε καθένα από τα δέκα διαστήματα,,,,, 3,, 9, το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. [ ] [ ] [ ] [ ] Επομένως υπάρχουν αριθμοί,,, αντιστοίχως, τέτοιοι ώστε: f() f() f ( ξ ) f() f() f ( ξ ) f() f() f ( ξ ) f () f (9) ξ ξ ξ των διαστημάτων (, ), (, ),,( 9, ) Προσθέτουμε τις παραπάνω ισότητες κατά μέλη και έχουμε f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f () f ()

14 Άσκηση 8. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ α, β ], παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) τέτοια ώστε f( β) f( α ) 4( βα ). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ, ξ, ξ 3 που ανήκουν στο διάστημα (, ) f ( ξ ) 3f ( ξ ) 4f ( ξ ) 36. α β, τέτοιοι ώστε: 3 α β και Με τα σημεία ( ) ( ) 9, χωρίζουμε το διάστημα [, ] α β σε τρία υποδιαστήματα με μήκη α βα, ( ) ( βα ) και ( ) ( ) β βα. 9 Σε καθένα από τα διαστήματα [ α, ], [, ] και [ ] του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχει σημείο ξ α (,) f( ) f( α) f( ) f( α) 9f ( ( ) f( α) ) f ( ξ ), οπότε α ( βα) ( βα) 9 9f ( ( ) f( α) ) f ( ξ ) () ( βα) Ομοίως υπάρχουν σημεία ξ (, ) και ξ3 (, ) 9( f( ) f( ) ) 3f ( ξ ) () ( βα),β ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής β τέτοια ώστε, τέτοιο ώστε: και 4f ( ) 9f ξ 3 ( ( β) f( )) ( βα) (3) Προσθέτουμε τις (), () και (3) κατά μέλη και έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 f( ) f( α) 9 f( ) f( ) 9 f( β ) f( ) f( ξ ) 3f( ξ ) 4f( ξ 3) βα βα βα ( α β ) 9 f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) βα ( β α ) ( βα) 9 f( ) f( ) βα βα 4

15 Άσκηση 9. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β] και η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επίσης υπάρχει γ ( α, β ), τέτοιο ώστε f( γ ). Να αποδείξετε ότι f( α)( βγ ) f( β)( γα ) <. Στο διάστημα [ α, γ ] εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και επομένως υπάρχει ξ α (, γ ), τέτοιο ώστε ( γ) ( α) ( α) ( α) f f f f f ( ξ ) γα γα γα () Ομοίως, στο διάστημα [ γ, β ] εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και επομένως υπάρχει ξ ( γ, β ), τέτοιο ώστε ( β) ( γ) ( β) ( β) f f f f f ( ξ ) βγ βγ βγ () Επειδή ξ <ξ και η f είναι γνησίως φθίνουσα, έχουμε f ( ) f ( ) ( ) f( ) f α β > f α βγ > β γα γα βγ ( ) ( ) f( ) ( ) f( α) ( βγ ) f( β) ( γα ) < ξ > ξ. Επομένως 5

16 Άσκηση. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής και δυο φορές παραγωγίσιμη στο. Αν οι αριθμοί,, 3 είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, με < < 3, καθώς και οι τιμές f( ), f( ), f( 3) είναι, με τη σειρά που δίνονται, επίσης διαδοχικοί όροι μιας άλλης αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε f ( ). Λόγω των υποθέσεων, ισχύει για την f το θεώρημα της μέσης τιμής σε καθένα από τα,. διαστήματα [ ], και [ ] 3 Επομένως υπάρχουν ξ (, ) και (,) ξ τέτοια ώστε: 3 f( ) f( ) f ( ξ ) () f( ) f( ) f ξ και ( ) 3 3 () Όμως, επειδή οι,, 3 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, ισχύει 3 και, επειδή οι f( ), f( ), f( 3) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής f f f f( ). προόδου, ισχύει επίσης ( ) ( ) ( ) 3 Επομένως τα δεύτερα μέλη των () και () είναι ίσα, άρα f ( ) f ( ) ξ ξ (3) Επειδή η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο, συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής ξ, ξ. Επειδή επιπλέον ισχύει η (3), συμπεραίνουμε και παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ] ότι για τη συνάρτηση f ισχύουν στο διάστημα [, ] Rolle. Άρα υπάρχει ξ (, ξ ) R, τέτοιο ώστε ( ) ξ ξ οι προϋποθέσεις του θεωρήματος f. 6

17 Άσκηση. Υποθέτουμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [ α, β] και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα ( α, β ). Υποθέτουμε επίσης ότι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Α( α, f( α )) και B (, f( )) Γ( γ, f( γ )). Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο ξ ( α, β ), τέτοιο ώστε f ( ξ ). β β τέμνει τη γραφική παράσταση της f και σε ένα τρίτο σημείο έστω Έστω λ ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. Για τη συνάρτηση f, ισχύουν στο διάστημα [ α, ] μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχει (, ) f( γ) f( α) f ( ). Όμως ο λόγος γα ευθείας ΑΒ. Επομένως f ( ) λ. f( γ ) f( α ) γα γ οι προϋποθέσεις του θεωρήματος της αγ, τέτοιο ώστε είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της Ομοίως υπάρχει ( γ, β ), τέτοιο ώστε f ( ) λ. Επομένως υπάρχουν (, ) ( γ, β ), τέτοια ώστε f ( ) f ( ) λ. αγ και Επειδή η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα ( α, β ), συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ]. Επιπλέον, λόγω του προηγούμενου συμπεράσματος, ισχύει f ( ) f ( ). το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, ]. Άρα υπάρχει ξ (, ) ( α, β ) τέτοιο ώστε f ( ξ ). Ακολουθεί μια γεωμετρική ερμηνεία του παραπάνω προβλήματος: Αυτό σημαίνει ότι για την f ισχύει 7

18 Παρατηρήσεις:. Οι υποθέσεις οδηγούν στην ύπαρξη δύο παράλληλων ευθειών προς την ευθεία ΑΒ, όπως φαίνεται και στο σχήμα.. Το (, ) ξ είναι όπως θα δούμε παρακάτω ένα πιθανό σημείο καμπής της f C. 8

19 Άσκηση. Μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο και τέτοια ώστε f ( ), για κάθε. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία σημεία της γραφικής παράστασης της f που να είναι συνευθειακά. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία της γραφικής παράστασης της f, τα, f( ) B, f( ) Γ γ, f( γ ) με α<β<γ. Α( α α ), ( β β ) και ( ) Αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι ίσος με το συντελεστή f( β ) f( α) f( γ ) f( β) διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ. Επομένως. βα γβ Από το θεώρημα όμως της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχουν σημεία f( β ) f( α) f( γ) f( β) ξ α (, β ) και ξ β (, γ ) τέτοια ώστε f ( ξ ) και f ( ξ ) βα γβ. Επομένως f ( ) f ( ) ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [ ξ, ξ ]. Άρα υπάρχει (, ), άτοπο, αφού από την υπόθεση έχουμε f ( ), για κάθε f ( ) ξ ξ. Επειδή όμως η f είναι παραγωγίσιμη, αυτό σημαίνει ότι για την f ξ ξ, τέτοιο ώστε. 9

20 Άσκηση 3. Για μια συνάρτηση f υποθέτουμε ότι: Είναι συνεχής στο διάστημα [, ). Είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ). f (). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). Αν f() g(), να δείξετε ότι g () >, για κάθε (, ). Προφανώς η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ), ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έχουμε: ( ) f() f () f() ( ) ( )f () f() g () () () ( )f () f() f() f () Όμως, από την υπόθεση ότι f () και από το γεγονός ότι για την f ισχύει σε κάθε διάστημα[, ] το θεώρημα της μέσης τιμής, έχουμε: f() f() f() f( ξ), για κάποιο ξ (, ). f(). Επειδή όμως η f είναι γνησίως, και <ξ<, έχουμε f( ξ ) < f() f() f( ξ ) >. Άρα Επομένως g () f () ( f () f ( ξ) ) αύξουσα στο ( ) g () ( f () f ( ξ )) >.

21 Παρατήρηση: Το συμπέρασμα μας λέει με άλλα λόγια ότι η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ), όπως θα δούμε στην ενότητα 8. f() g() είναι

22 Άσκηση 4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η f είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι f( ) < f() f( ), για κάθε. Η συνάρτηση f ως παραγωγίσιμη στο είναι και συνεχής στο. Επομένως ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [, ] και [, ] το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Άρα υπάρχουν ξ (, ) και ξ (, ), τέτοια ώστε f( ) f() f ( ξ ) f( ) f() () f( ) f( ) f ( ξ ) f( ) f( ) () Επειδή όμως η f είναι γνησίως αύξουσα και ξ <ξ, έχουμε f( ξ ) < f( ξ ), οπότε: f( ) f() < f( ) f( ) f( ) < f() f( )

23 Άσκηση 5. Να αποδείξετε ότι < <, για κάθε >. είναι συνεχής στο διάστημα [ ) Η συνάρτηση f(t) t, και παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ). Επομένως ισχύει για την f το θεώρημα της μέσης τιμής σε κάθε διάστημα της μορφής [, ]. Άρα υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε: f() f() f( ξ) (). Επειδή f (t) t, από την () έχουμε ξ () Όμως <ξ< < ξ< < ξ < < ξ < < < ξ Επομένως από την τελευταία και τη () παίρνουμε: < < < < < < 3

24 Άσκηση 6. 3 Δίνεται η συνάρτηση f() α β γ δ, α>. Να αποδείξετε ότι για δυο f( ) f( ) 3αγ β οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς, με ισχύει 3α. Έστω δυο πραγματικοί αριθμοί, με <. Η συνάρτηση 3 f() α β γ δ, α> είναι παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική. Επομένως στο διάστημα [, ] ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει (, ) f( ) f( ) ξ, τέτοιο ώστε f( ξ). f( ) f( ) Επειδή f () 3α β γ, έχουμε 3αξ βξ γ, ξ (, ). Η παράσταση g( ξ ) 3αξ βξ γ είναι τριώνυμο με συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου το 3α>. Επομένως έχει ελάχιστο ίσο με β β β β β β g g 3α β γ γ 6α 3α 9α 3α 3α 3α β 3αγ β γ 3α 3α. Άρα f( ) f( ) f( ) f( ) 3 3αξ βξ γ αγ β. 3α 4

25 Άσκηση 7. Να αποδείξετε ότι > e, για >. Επειδή και τα δυο μέλη της ανισότητας για > είναι θετικά και η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ), έχουμε: > e ln ( ) > ln e ln ( ) > Η συνάρτηση f(t) ln(t ) είναι συνεχής σε κάθε διάστημα [ ] διάστημα της μορφής (, ). Επομένως υπάρχει ξ (, ) ln( ) ln ln( ) f( ξ )., και παραγωγίσιμη σε κάθε, τέτοιο ώστε Όμως f (t), οπότε t f( ξ ), και επομένως ξ ( ) ln (). ξ Εξάλλου <ξ< <ξ < < <, οπότε ξ ( ) ln < < ln ( ) e < e ( ) ln e < > e 5

26 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Α. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [, ) αποδείξτε ότι για κάθε β> υπάρχει ξ > τέτοιο ώστε f( β ) f( ξ) f( ξ ). ξ π Β. Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε ηµξ συνξ. ξ f( ) f( ) Α. Μετασχηματίζουμε τη ζητούμενη: f ( ) β ξ ξ ξf ( ξ ) f( ξ ) f( β) ξ Αν g() f() με [, β] έχουμε: () g συνεχής στο [,β ] ως γινόμενο συνεχών g παραγωγίσιμη στο ( ),β με g () f () f() για κάθε (, β ) Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,β) τέτοιο ώστε g( β) g() β f( β) g ( ξ ) ξf ( ξ ) f( ξ ) ξf ( ξ ) f( ξ ) f( β) β β ηµξ Β. Η ζητούμενη σχέση γίνεται: συνξ ξσυνξ ηµξ ξσυνξ ηµξ. ξ Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f() ηµ, με [, ) η οποία είναι παραγωγίσιμη π στο [, ) με f () συν και εφαρμόζοντας το ερώτημα (Α) για β υπάρχει ένα π ηµ ηµξ π τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε ηµξ συνξ συνξ. ξ ξ 6

27 Άσκηση. Α. Θεωρούμε συναρτήσεις f, g με την f να είναι παραγωγίσιμη στο και πραγματικούς αριθμούς α, β τέτοιους ώστε f (g( α )) f (g( β )), g( α) g( β ). Αν το g( γ ) είναι εσωτερικό του διαστήματος με άκρα g( α ), g( β ) και για κάποιο γ και ισχύει g( γ) g( α ) g( β) g( γ ) να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ τέτοιοι ώστε f( ξ ) f( ξ ). Β. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f ( lnα) f ( lnβ) όπου <α<β. Να δείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ τέτοιοι ώστε f( ξ ) f( ξ ). (Υπόδειξη: Θεωρώ γ αβ ) Γ. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f f α β όπου <α<β. Να δείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ,ξ τέτοιοι ώστε f( ξ ) f( ξ ). αβ (Υπόδειξη: Θεωρώ γ ) αβ A. Ας υποθέσουμε ότι g( α ) < g( β ) (η άσκηση αντιμετωπίζεται όμοια και αν g( α ) > g( β ) ). Τότε g( ) g( ) g( ) g( α),g( γ ), α < γ < β και εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στα διαστήματα [ ] [ g( γ),g( β )] αφού είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) σ αυτά και παραγωγίσιμη στα ( g( α),g( γ) ), ( g( γ),g( β) ). ξ γ β τέτοια ώστε: Επομένως θα υπάρχουν ξ ( g( α),g( γ )) και ( g( ),g( )) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) g( ),g( ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) g( ),g( ) f (g( γ)) f (g( α)) ξ α γ τέτοιο ώστε f( ξ ) g( γ) g( α) f (g( β)) f (g( γ)) ξ γ β τέτοιο ώστε f( ξ ) g( β ) g( γ) () () Με πρόσθεση των (), () και επειδή g( ) g( ) g( ) g( ) f( ξ ) f( ξ ). γ α β γ και f ( g( )) f ( g( )) β α θα είναι Β. Είναι εφαρμογή του (Α) για g() ln με >. Αρκεί να προσδιορίσουμε ένα γ τέτοιο ώστε g( γ) g( α ) g( β) g( γ) ln γln α ln βln γ ln γ ln β ln α ln γ ln( βα) γ αβ γ αβ. 7

28 Πράγματι για το γ αβ (γεωμετρικός μέσος των α, β ) είναι <α<γ<β < ln α< ln γ< ln β. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στα [lnα,lnγ], [lnγ,lnβ] και εργαζόμενοι όπως στο (Α), θα έχουμε ότι: υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) ln,ln υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) ln,ln f (ln γ) f (ln α) ξ α γ τέτοιο ώστε f( ξ ) ln γ ln α f (ln β ) f (ln γ) ξ γ β τέτοιο ώστε f( ξ ) ln β ln γ (3) (4) Με πρόσθεση των (3), (4) και επειδή lnγ lnα lnβ lnγ, f (ln α) f (ln β) θα είναι f( ξ ) f( ξ ). Γ. Εφαρμογή του (Α) για g(). Αρκεί να προσδιορίσουμε ένα γ τέτοιο ώστε αγ γβ g( γ) g( α ) g( β) g( γ) αβ γβ αγ αβ γ α β γ αγ γβ αβ αβ ( αβγ γ ). αβ αβ Πράγματι για το γ (αρμονικός μέσος των α, β ) είναι <α<γ<β < < < αβ β γ α. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στα, β γ,, γ α και εργαζόμενοι όπως στο (Α), θα έχουμε ότι: f f υπάρχει ξ, β γ τέτοιο ώστε γ β f( ξ ) (5) γ β f f υπάρχει ξ, γ α τέτοιο ώστε α γ f( ξ ) α γ (6) Με πρόσθεση των (5), (6) και επειδή γ f( ξ ) f( ξ ). α β γ, f α f β θα είναι 8

29 Άσκηση 3. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο ( α,β ) και συνεχής στο [ ] υπάρχουν ξ,ξ,ξ ( α,β) ξ ξ 3 με ώστε f( ξ ) f( ξ) f( ξ 3). α,β. Να αποδείξετε ότι αβ Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα α, και αβ, β αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β ), συνεχής στο [ α,β ]. Επομένως θα υπάρχουν: αβ f αβ f( α ) ξ α, τέτοιο ώστε να ισχύει f( ξ ) αβ α αβ f f( α ) f( ξ ) () και βα αβ f( β ) f αβ ξ, β τέτοιο ώστε να ισχύει f( ξ ) αβ β αβ f( β) f f( ξ ) () βα Επίσης εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στο [ α,β ] αποδεικνύουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α,β) 3 f( β ) f( α) τέτοιο ώστε f( ξ 3) βα f( β ) f( α) f ( ξ 3) βα Με πρόσθεση κατά μέλη των (), () και (3) προκύπτει η ζητούμενη f( ξ ) f( ξ ) f( ξ ). 3 (3). 9

30 Άσκηση 4. αβ αβ Να αποδείξετε ότι εϕα εϕβ συν β συν α, π <α β<. Η ζητούμενη ισχύει ως ισότητα αν α Αν α β. < βη ζητούμενη ισοδύναμα γίνεται: αβ αβ εϕα εϕβ συν β συν α εϕα εϕβ συν β α β συν α αβ< εϕβ εϕα συν α β α συν β Θα αποδείξουμε γνήσια ανισότητα αν α εϕβ εϕα < < συν α β α συν β. < β δηλαδή θα αποδείξουμε ότι εϕ t με t αβ [, ] η οποία είναι συνεχής στο [ α,β ] και Θεωρούμε τη συνάρτηση f(t) παραγωγίσιμη στο ( α,β ) με f (t) ( εϕ t) (). Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα συν t f( β ) f( α) υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α,β) τέτοιο ώστε f( ξ ) βα εϕβ εϕα (). συν ξ βα π Όμως <α<ξ<β< συνα>συνξ>συνβ (αφού η συν είναι γνησίως φθίνουσα στο π, ) π συν α > συν ξ > συν β (διότι συν > για κάθε, ) < < συν α συν ξ συν β ( διότι π συν > για κάθε, ) εϕβ εϕα συν α β α συν β () < < 3

31 Άσκηση 5. Α. Για κάθε > να αποδείξετε ότι ln (). Β. Να υπολογίσετε το όριο ln. lim Α. Για η () ισχύει ως ισότητα. Θα αποδείξουμε την () με γνήσια ανισότητα για. Αν < < : Θεωρούμε τη συνάρτηση f (t) lnt και παραγωγίσιμη στο (, ) με τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε ξ ln (). με t [,] η οποία είναι συνεχής σ αυτό f (t). Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει ένα t f() f() ln ln f( ξ ) ξ Όμως < <ξ< > > ξ () > ln > < < ln < Αν > : Θεωρούμε τη συνάρτηση f (t) lnt παραγωγίσιμη στο (, ) με τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε με t [, ] η οποία είναι συνεχής σ αυτό και f (t). Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει ένα t f() f() ln f( ξ ) (3). ξ Όμως <ξ< > > ξ (3) > ln > > < ln < Σε κάθε περίπτωση έχουμε ln. Β. Από το ερώτημα (Α) έχουμε: Αν < < είναι > ln > και lim, lim 3

32 οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα είναι lim ln. Αν > είναι ln > > και lim, lim Άρα lim οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα είναι ln. lim ln. 3

33 Άσκηση 6. π Α. Για κάθε, να αποδείξετε ότι < ηµ < συν ενώ για κάθε, π να αποδείξετε ότι συν < ημ <. ηµ Β. Χρησιμοποιώντας το (Α) ερώτημα επιβεβαιώστε ότι lim. π Α. Αν, : Θεωρούμε την συνάρτηση f(t) t ηµ με t [,] η οποία είναι συνεχής σ αυτό και παραγωγίσιμη στο (, ) με f (t) συν t. Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα f() f() ηµ ηµ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε f( ξ ) συνξ ηµ συνξ (). π Όμως < <ξ< < ηµ < συν. συν γν. αυξ. στο ( π,) () συν < συνξ < συν ηµ συν < < < π Αν, : Θεωρούμε την συνάρτηση f(t) t ηµ με t [, ] η οποία είναι συνεχής σ αυτό και παραγωγίσιμη στο (, ) με f (t) συν t. Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα f() f() ηµ ηµ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε f( ξ ) συνξ ηµ συνξ (). π Όμως <ξ< < συν γν. ϕθιν. στο (, π ) συν > συνξ > συν () ηµ συν < < > συν < ηµ <. Β. Από το ερώτημα (Α) έχουμε ηµ π π συν < < για κάθε, με. Επιπλέον είναι lim ηµ. lim( συν ) συν και li m() οπότε από κριτήριο παρεμβολής θα είναι 33

34 Άσκηση 7. π π Α. Για κάθε, να αποδείξετε ότι ηµ συν. συν Β. Χρησιμοποιώντας το (Α) ερώτημα επιβεβαιώστε ότι lim. π Α. Αν, : Θεωρούμε την συνάρτηση f(t) t συν με t [,] η οποία είναι συνεχής σ αυτό και παραγωγίσιμη στο (, ) με f (t) ηµ t. Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα f() f() υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο ώστε f( ξ ) συν συν ηµξ συν ηµξ (). π Όμως < <ξ< ηµ γν. αυξ. στο ( π,) ηµ < ηµξ < ηµ ηµ > ηµξ > ηµ συν ηµ > > < ηµ < συν < ηµ < συν < π Αν, : Θεωρούμε τη συνάρτηση f(t) t συν με t [, ] η οποία είναι συνεχής σ, με f (t) ηµ t. Επομένως σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα f() f() f( ξ ) αυτό και παραγωγίσιμη στο ( ) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε () συν συν ηµξ συν ηµξ (). Όμως <ξ< < π ηµ γν. αυξ. στο (, π ) ηµ < ηµξ < ηµ > ηµξ > ηµ () συν > > ηµ > > συν > ηµ ηµ < συν <. Αν η ζητούμενη ισχύει ως ισότητα. Σε κάθε περίπτωση έχουμε ηµ συν. 34

35 Β. Υπολογίζουμε το όριο με τη χρήση του κριτηρίου της παρεμβολής. Από το ερώτημα (Α) έχουμε: συν π < < ηµ για, και επειδή li m() li m( ηµ ) θα είναι lim συν. συν π ηµ < < για, και επειδή li m() li m( ηµ ) θα είναι lim συν. Επομένως lim συν. 35

36 Άσκηση 8. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ α, β ], παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) α β και με f( β) f( α ) ( βα ). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί, και 3 στο διάστημα ( α, β ), τέτοιοι ώστε: f f f ( ) ( ) ( ) 3 y, y χωρίζουμε το διάστημα [ f( ), f( )] Με τα σημεία 5 y f( ) f( ) f( ) α β σε τρία υποδιαστήματα με μήκη 6 9 y y f( ) f( ) f( β ) y f( β ) f( α ) ( α ) ( β α ), ( ) ( β α ) και ( ) ( ) κ ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς του διαστήματος ( ) Έστω α, β για τον οποίο ισχύει f( κ ) y και κ αριθμός του διαστήματος ( κ, β ) για τον οποίο ισχύει f( κ ) y. Την ύπαρξη των αριθμών αυτών την εξασφαλίζει το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών των συνεχών συναρτήσεων σε κλειστό διάστημα και φανερά: α<κ <κ <β. Για τη συνάρτηση f ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [ α, κ ], [ κ, κ ] και [ κ ] θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. α, κ, τέτοιο ώστε Επομένως υπάρχει ( ), β το f( κ) f( α) yf( α) f ( ) κ α κ α 5 f( ) f( ) 5 f( ) f( ) ( β α ) ( β α ) κ α ( κ α) οπότε ( ) ( κ α) 5 f f( β ) f( α) () Ομοίως υπάρχουν ( κ, κ ) και ( κ, ) 3 β, τέτοια ώστε ( ) ( κ κ ) 6 f f( β ) f( α) () και ( ) 3 ( βκ ) 9 f f( β ) f( α) (3) Άρα ( ) ( ) ( ) 3 ( κακ κ βκ) ( βα) ( βα) ( ) f f f f( β) f( α) f( β) f( α) βα 36

37 Άσκηση 9. Η συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα (, ), είναι παραγωγίσιμη και η γραφική της παράσταση C f τέμνει τη διχοτόμο ( δ ) του πρώτου τεταρτημορίου σε τρία διαφορετικά σημεία. Να δείξετε ότι: i. Υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της Cf παράλληλες στην( δ ). ii. Υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της συντεταγμένων. C f που διέρχονται από την αρχή O(,) του συστήματος i. Υποθέτουμε ότι η Cf τέμνει τη ( ) Γ ( 3, f( 3) ), με < < < 3. Επειδή η ευθεία ( ) f( ), f( ) και 3 f( 3) (, ) δ στα σημεία A(, f( )), ( ) B, f( ) και δ έχει εξίσωση y, έχουμε. Η συνάρτηση f ως παραγωγίσιμη στο διάστημα, και, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα [ ] [, 3 ]. Επομένως στα διαστήματα αυτά ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Άρα υπάρχουν ξ (, ) και ξ (,) τέτοια ώστε: ( ) ( ) ( ) f f ξ f και ( ) ( ) ( ) f f ξ 3 3 f C στα σημεία της ( ξ ξ ) και ( ) Αυτό όμως δηλώνει ότι οι εφαπτόμενες της f, f( ) Ε ξ, f( ξ ) είναι παράλληλες προς τη διχοτόμο ( δ ) της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι, αφού η εξίσωση της είναι y. C στο τυχαίο σημείο της (, f( ) ) ( ) ( )( ) ii. H εφαπτομένη ε της f ε: y f f. Για να διέρχεται η ε από την αρχή των αξόνων πρέπει: f( ) f ( )( ) f f ( ) ( ) Επομένως υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της συστήματος συντεταγμένων, όταν η εξίσωση ( ) ( ) Η τελευταία εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: Μ έχει εξίσωση Cf που διέρχονται από την αρχή O(,) του f f έχει δυο λύσεις στο (, ). 37

38 ( ) ( )( ) f f ( ) ( )( ) f f f() Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η εξίσωση f() έχει δυο λύσεις στο (, ). f() Πράγματι oρίζουμε τη συνάρτηση g(), (, ). Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής f( ) f( ) και παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] και με g( ) και g( ), δηλαδή g( ) g( ). Επομένως ισχύει για την g στο διάστημα [, ] το θεώρημα του Rolle. Άρα υπάρχει κ (, ), τέτοιο ώστε g( κ ). Με ανάλογους συλλογισμούς συμπεραίνουμε ότι υπάρχει και σημείο Λ( λ, f( λ )) της C f, με (,) C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. λ 3 στο οποίο η εφαπτομένη της f Επομένως υπάρχουν δυο εφαπτόμενες της συστήματος συντεταγμένων. Cf που διέρχονται από την αρχή O(,) του 38

39 Άσκηση. i. Δυο συναρτήσεις f και g που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα [ α, β ] είναι: Συνεχείς στο [ α, β ]. Παραγωγίσιμες στο ( α, β ). g (), για κάθε α (, β ). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α, β ), τέτοιο ώστε: f( β ) f( α) f ( ξ) g( β ) g( α ) g ( ξ ) ii. Αν π <α<β<, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) ηµα ηµβ σϕθ. συνβ συνα θ α β, τέτοιο ώστε: i. Προφανώς είναι g( β) g( α ), διότι, αν ήταν g( β ) g( α ), τότε η g θα ικανοποιούσε όλες τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle και επομένως θα υπήρχε γ ( α, β ) με g( γ ), που είναι άτοπο λόγω της υπόθεσης g () α, β., για κάθε ( ) Ας θεωρήσουμε λοιπόν τη συνάρτηση: h() ( g( β ) g( α) ) f() ( f( β ) f( α) ) g() f( α)g( β ) f( β)g( α ) που είναι συνεχής στο α, β και επιπλέον ισχύει h( α ) h( β ). Επομένως, από το [ α, β ], παραγωγίσιμη στο ( ) θεώρημα του Rolle, υπάρχει ξ ( α, β ), τέτοιο ώστε h( ξ ). h () g( β ) g( α) f () f( β ) f( α ) g (), οπότε Όμως ( ) ( ) ( g( β ) g( α) ) f ( ξ ) ( f( β ) f( α) ) g ( ξ ). Άρα f( β ) f( α) f ( ξ). g( β ) g( α ) g ( ξ ) ii. Έστω οι συναρτήσεις f() στο[, ] α β και παραγωγίσιμες στο ( ) κάθε (, ) θ ( α, β ), τέτοιο ώστε ηµ και g() συν. Οι συναρτήσεις αυτές είναι συνεχείς π α, β, όπου <α<β<. Επιπλέον g () ηµ για αβ και επομένως, σύμφωνα με το προηγούμενο συμπέρασμα, υπάρχει ηµβ ηµα συνθ συνβ συνα ηµθ. Άρα ηµα ηµβ σϕθ. συνβ συνα 39

40 Άσκηση. α α α α, α>,. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( 3) ( 4) Παρατηρούμε ότι οι όροι της εξίσωσης είναι οι τιμές της συνάρτησης για tα,tα 3,tα 4και t α αντιστοίχως. f(t) t, t > με, Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ( ) ( 4) ( 3) α α α α. Για τη συνάρτηση f(t) t ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα α 3, α 4. [ α, α ] και [ ] Επομένως υπάρχουν ξ ( α, α ) και ( ) ξ α 3, α 4, τέτοια ώστε: f( α ) f( α) f ξ f( α ) f( α ) α α ( α ) α ( ) ( ) () f( α 4) f( α 3) f ξ f ( α 4) f ( α 3) ( α 4) ( α 3) ( α 4) ( α 3) ( ) () f (t) t t. Επομένως f ( ) Όμως ( ) ξ ξ και ( ) f ξ ξ. Έτσι η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: ( ) ξ ξ ξ ξ ή ξ ξ. Έχουμε: ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι και. 4

41 Άσκηση. Αν ηµ f(), να αποδείξετε ότι f π () <, για,. Για > έχουμε: ηµ συν ηµ ηµ f () συν () π Όμως για τη συνάρτηση g(t) ηµ t, ισχύει στο διάστημα [, ], με,, το θεώρημα π της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχει ξ με <ξ< <, τέτοιο ώστε: g() g() g( ξ) ηµ ηµ συνξ ηµ συνξ συν συνξ. Οπότε η () γίνεται f () ( ) π Επειδή <ξ< <, είναι f () συν συνξ <. συνξ > συν, και επομένως ( ) 4

42 Άσκηση 3. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ], δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) και τέτοια ώστε f( ) f( ). Αν υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε f( ξ ) >, να αποδείξετε ότι: i. Υπάρχουν, (, ) τέτοια ώστε ( ) ( ) ii. Υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε ( ) f f <. f <. i. Για τη συνάρτηση f ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [, ξ] και [,] μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Επομένως υπάρχουν (, ξ ) και (,) f( ξ) f( ) f( ξ) ώστε f ( ) > () και ξ ξ ξ το θεώρημα της ξ τέτοια ( ) ( ξ) ( ξ) f f f f ( ) < ξ ξ () Άρα ( ) ( ) f f <. ii. Λόγω των υποθέσεων, ισχύει για τη συνάρτηση f στο διάστημα [, ] μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού., Επομένως υπάρχει ( ), που σημαίνει (, ) ( ) ( ) ( ) f f f f f ( ) ( ) Λαμβάνοντας υπόψη τις () και () έχουμε ( ) ( ) ( ). f ξ f ξ f ξ f ( ) ξ ξ ξ ξ, τέτοιο ώστε το θεώρημα της Όμως, f <. < <ξ< < και f( ξ ) >. Επομένως ( ) 4

43 Άσκηση 4. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η παράγωγος της είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. i. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β με α β, ισχύει αβ f( α ) f( β) f <. ii. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β με α β, ισχύει e α e β αβ > e. i. Έστω α<β. Τότε αβ α< <β και η ζητούμενη ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: f( ) f( ) f αβ α β f αβ f( ) f( ) f αβ < α< β αβ αβ f f( α) f( β ) f < αβ αβ α β () Όμως, επειδή η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει για την f το θεώρημα της αβ μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού σε καθένα από τα διαστήματα α, και αβ, β. Επομένως υπάρχουν αβ ξ α, και αβ ξ, β τέτοια ώστε αβ f f( α ) f ξ ( ) και f ( ) αβ α αβ f( β ) f ξ. αβ β Έτσι η ανισότητα () είναι ισοδύναμη με την f ( ) f ( ) είναι γνησίως αύξουσα. ξ < ξ που ισχύει, αφού ξ <ξ και η f 43

44 ii. Για τη συνάρτηση f() e, είναι f () e η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο. Άρα σύμφωνα με την προηγούμενη ανισότητα ισχύει f( α ) f( β ) f αβ α β αβ >, οπότε e e > e. 44

45 Άσκηση 5. Μια συνάρτηση f: [ α, β] είναι συνεχής στο [ α, β ], παραγωγίσιμη στο (, ) τέτοια ώστε f( α ) 3β και f( β ) 3α. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () 3 ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ και ( ) ( ) f ξ f ξ 9. α β και έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) ξ του διαστήματος (, ) α β. α β, τέτοιοι ώστε i. Αρκεί ισοδύναμα να δείξουμε ότι η εξίσωση f () 3, έχει ρίζα στο διάστημα (, ) Ορίζουμε τη συνάρτηση g() f() 3, α [, β. ] Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ], ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και επιπλέον ισχύει g α g β f( α) 3α f( β) 3β 3β3α 3α3β ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 9( βα) ( αβ ) 9( βα ) < Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει (, ) g( ) f( ) 3 f( ) 3. α β, τέτοιο ώστε ii. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο (, ) συνεχής στα διαστήματα [ α, ], [,β ] και παραγωγίσιμη στα διαστήματα (, ) (,β ). Επομένως ισχύει σε καθένα από τα διαστήματα [ α, ] και [ ] μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν ξ α (, ) και ξ (, β) τέτοια ώστε: α β. α β, θα είναι α,,β το θεώρημα της f( ) f( α) 3 3β β f ( ξ ) 3 α α α () f( β) f( ) 3α3 α f ξ 3 β β β και ( ) () Πολλαπλασιάζουμε τις () και () κατά μέλη και έχουμε: β α f ( ξ) f ( ξ ) α β Ημερομηνία τροποποίησης: /9/ 45

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έστω συνάρτηση f για την οποία ισύουν είναι συνεής στο κλειστό [α,β] είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Τότε υπάρει τουλάιστον ένα σημείο ξ του (α,β), τέτοιο ώστε να είναι : f (ξ) = ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγισεις. Aνισοτητες. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος

Προσεγγισεις. Aνισοτητες. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος Προσεγγισεις Aνισοτητες Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος 1 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Προσημο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους

3ο Διαγώνισμα στις παραγώγους wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α ο Διαγώνισμα στις παραγώγους Διάρκεια:,5 ώρες Α α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f στο Δ; Δώστε παράδειγμα β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω η συνάρτηση ()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3) 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 1 ΘΕΜΑ 1 Α. Σχολικό βιβλίο Σελ. 251. Β. Σχολικό βιβλίο Σελ. 213. Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος ΘΕΜΑ 2 Α. α. Έστω η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Τότε θα έχουμε: η οποία είναι η ζητούμενη

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= .Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι Είναι ( ) () + 9 () + 9 + () ( ) + 9 + 9 + 9 () + 9 + () + 9 + + 9 ( )... οπότε. Δίνεται η συνάρτηση () + Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g( ) ( ηµ ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα