Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ"

Transcript

1 ιανυσµατικοί Χώροι ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούνε µια σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του διανύσµατος και του διανυσµατικού χώρου. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 ιανυσµατικοί Χώροι Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Ορισµός ιανυσµατικού Χώρου Σώµα Αριθµών ιανυσµατικός Χώρος Γραµµικός Συνδυασµός 5 4 Εκταµα (Span) 5 5 ιανυσµατικός Υποχώρος 5 6 Γραµµική Ανεξαρτησία 6 7 Βάση ιανυσµατικού Χώρου 6 8 Χώρος Λύσεων Συστήµατος 6 9 Χώρος Γραµµών Χώρων Στηλών Πίνακα 6 10 Άθροισµα και Ευθύ Άθροισµα ιανυσµατικών Χώρων 6 11 Συντεταγµένες 7

3 Κ. Κυρίτσης 3 ιανυσµατικοί Χώροι 1 Εισαγωγή Γεωµετρικά το διάνυσµα ορίζεται σαν προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα. Η πρόσθεση των διανυσµάτων γίνεται µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου και ο πολλαπλασιασµός µε ϐαθµωτό (αριθµό) ορίζεται να είναι το διάνυσµα που έχει την ίδια κατεύθυνση και αντίστοιχα πολλαπλάσιο µήκος. Αναλυτικά το διάνυσµα ορίζεται να είναι ένας πίνακας στήλη ή ένας πίνακας γραµµή. Η έννοια του διανύσµατος γενικεύεται στην έννοια του διανυσµατικού χώρου. 2 Ορισµός ιανυσµατικού Χώρου 2.1 Σώµα Αριθµών Εστω ένα σύνολο K στο οποίο έχουν οριστεί δύο πράξεις. Την πρώτη ϑα την λέµε πρόσθεση + : K K K και την άλλη πολλαπλασιασµό : K K K. Το σύνολο K µαζί µε τις δύο αυτές πράξεις ϑα λέµε ότι αποτελεί σώµα εαν πληρούνται τα ακόλουθα αξιώµατα, α, β, γ K α + β = β + α (α + β) + γ = α + (β + γ) = α + β + γ. 3. Υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης το οποίο το συµβολίζουµε µε 0. Είναι δε α + 0 = α. 4. Υπαρξη αντιθέτου (αντίστροφος της πρόσθεσης). Συµβολίζεται µε α και είναι α + ( α) = α β = β α. α (β γ) = (α β) γ = α β γ. 7. Υπαρξη ουδετέρου στοιχείου πολλαπλασιασµού που ϑα συµβολίζεται µε 1 (και για το οποίο 1 0) και για το οποίο ισχύει α 1 = α.

4 Κ. Κυρίτσης 4 ιανυσµατικοί Χώροι 8. Υπαρξη αντιστρόφου που ϑα συµβολίζεται µε 1/α ή α 1 και το οποίο ισχύει α α 1 = 1, 9. α ιανυσµατικός Χώρος α (β + γ) = α β + α γ. Εστω το σύνολο V στο οποίο έχουν οριστεί δύο πράξεις, η πρόσθεση + : V V V µεταξύ των στοιχείων του συνόλου και ο πολλαπλασιασµός : K V V µεταξύ των στοιχείων του συνόλου και ενός σώµατος αριθµών K. Αν οι πράξεις πληρούν τα ακόλουθα αξιώµατα, ϑα λέµε ότι το V είναι διανυσµατικός χώρος πάνω στο σώµα K. Σ αυτή την περίπτωση τα στοιχεία του V ϑα λέγονται διανύσµατα και τα στοιχεία του K ϐαθµωτά. Τα αξιώµατα του διανυσµατικού χώρου είναι τα εξής (u, v, w V, λ, µ K) u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w = u + v + w. 3. Υπαρξη µηδενικού διανύσµατος, 0 u + 0 = u. 4. Υπαρξη αντιθέτου διανύσµατος, u, 5. u + ( u) = 0. λ (u + v) = λ u + λ v. 6. (λ + µ) u = λ u + µ u. 7. (λ µ)u = λ (µ u).

5 Κ. Κυρίτσης 5 ιανυσµατικοί Χώροι 8. Απόρροια των παραπάνω είναι u = u. λ 0 = 0. 0 u = 0. λ u = 0 λ = 0 ή u = 0. (1) ( λ) u = λ ( u) = λ u. 3 Γραµµικός Συνδυασµός Εστω τα διανύσµατα u i, i = 1, 2,..., n. Το διάνυσµα v = λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n = n λ i u i λέγεται γραµµικός συνδυασµός. Για να γράψουµε το διάνυσµα v σαν γραµµικό συνδιασµό κάποιων διανυσµάτων u i πρέπει να λύσουµε το παραπάνω γραµµικό σύστηµα. 4 Εκταµα (Span) Εκταµα των διανυσµάτων u i ϑα λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών γραµ- µικών συνδυασµών των u i. 5 ιανυσµατικός Υποχώρος Αν V διανυσµατικός χώρος και W υποσύνολο του W, τότε το W ϑα λέγεται διανυσµατικός υποχώρος ή απλά υποχώρος, αν πληρεί τα αξιώµατα του διανυσµατικού χώρου µε τις πράξεις όπως ορίστηκαν στον V. Αν W 1, W 2 υποχώροι του V, τότε και το W 1 W 2 είναι επίσης υποχώρος του V. i=1

6 Κ. Κυρίτσης 6 ιανυσµατικοί Χώροι 6 Γραµµική Ανεξαρτησία Θα λέµε ότι τα διανύσµατα u i είναι γραµµικώς ανεξάρτητα αν η εξίσωση n λ i u i = 0 i=1 έχει µόνη λύση την µηδενική. Στην αντίθετη περίπτωση ϑα λέµε ότι είναι γραµµικώς εξαρτηµένα. 7 Βάση ιανυσµατικού Χώρου Το σύνολο των διανυσµάτων u i, i = 1, 2,..., n ϑα λέγεται ϐάση του V, αν 1. Είναι γραµµικώς ανεξάρτητα και 2. το span τους είναι όλος ο χώρος V. Θα ονοµάζουµε διάσταση του διανυσµατικού χώρου V το πλήθος των διανυσµάτων ϐάσης. dim V = n. 8 Χώρος Λύσεων Συστήµατος Εστω το γραµµικό σύστηµα n m, A X = B. Αν η λύση (ή οι λύσεις) ϑεωρηθούν σαν διάνυσµα-στήλη στον K n, τότε το σύνολό τους λέγεται χώρος λύσεων. 9 Χώρος Γραµµών Χώρων Στηλών Πίνακα Εστω ο πίνακας A, n m. Αν κάθε γραµµή ϑεωρηθεί διάνυσµα στον K m τότε το span αυτών είναι ο χώρος γραµµών. Αντίστοιχα αν κάθε στήλη ϑεωρηθεί σαν διάνυσµα στον K n, τότε το span τους είναι ο χώρος στηλών. Η διάσταση του χώρου στηλών είναι ίση µε την διάσταση του χώρου γραµ- µών και ονοµάζεται rank του πίνακα. 10 Άθροισµα και Ευθύ Άθροισµα ιανυσµατικών Χώρων Αν V 1 και V 2 διανυσµατικοί χώροι, τότε V 1 + V 2 = {u : u = v 1 + v 2, όπου v 1 V 1, v 2 V 2 }.

7 Κ. Κυρίτσης 7 ιανυσµατικοί Χώροι Αν το v V µπορεί να γραφτεί µε µοναδικό τρόπο σαν v = u + w, όπου u U και w W, τότε λέµε ότι ο V είναι το ευθύ άθροισµα των U, W. Συµβολικά V = U W. Ο V ϑα είναι το ευθύ άθροισµα των U, W αν και µόνο αν 1. V = U + W και 2. U W = {0}. 11 Συντεταγµένες Εστω µια ϐάση {u i } του χώρου V. Τότε για κάθε διάνυσµα ϑα είναι v = n λ i u i i=1 µε µοναδικό τρόπο. Οι αριθµοί λ i ϑα λέγονται συντεταγµένες του διανύσµατος v ως προς την ϐάση {u i }.

8 Κ. Κυρίτσης 8 ιανυσµατικοί Χώροι ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

9 Κ. Κυρίτσης 9 ιανυσµατικοί Χώροι Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

10 Κ. Κυρίτσης 10 ιανυσµατικοί Χώροι Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των διανυσµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Λογική και Προτασιακός Λογισµός ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Εκπαιδευτικός Οργανισµός ΒΙΤΑΛΗ Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 10 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 5 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων Γάµµα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποσκοπούν στο να δώσουν µια σύνοψη της ϑεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Κατανομές Απώλειας Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική ή περιληπτική του περιεχομένου αυτού με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Βασικά Μαθηµατικά ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 04 Μαρτίου 009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα- ϑηµατικών γνώσεων που

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Θεωρία Συνόλων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 09 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµ εισαγωγή στη ϑεωρία των συνόλων και ων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ρ. Χαράλαµπος Π. Στρουθόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΆΛΓΕΒΡΑ ΒΑΣΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης, v..9 Περιεχόµενα Εισαγωγη I Βασικες Εννοιες Πινακες. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 5.3

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕΛΙ Α 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2009 ΠΑΡΑΚΑΛΕΙΣΘΕ ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΤΕ ΤΑ ΚΑΤΩΤΕΡΩ ΜΕ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΟΝΟΜΑ ΠΑΤΡΟΣ.. ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΗΤΡΩΟΥ: ΟΜΑ Α ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΠΑΡΑΚΑΛΕΙΣΘΕ ΝΑ ΜΕΛΕΤΗΣΕΤΕ ΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α

Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Ι Ω Α Ν Ν Η Σ Μ Α Ρ Ο Υ Λ Α Σ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΕΜΦΕ Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Η Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Επιµέλεια : ρ Αδάµ Μαρία ΕΜΠ, 005 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο ρόλος της Γραµµικής Άλγεβρας στις Εφαρµοσµένες Επιστήµες είναι εξαιρετικά σηµαντικός.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0.

Εξισώσεις ικτύων. t t 0, τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις του για κάθε t t 0. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι εξιδανικευµένα µοντέλα των φυσικών διατάξεων, παθητικών ή ενεργών, που καθορίζονται µέσω των αντίστοιχων

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Είναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος

Είναι επίσης βολικό σε κάποιες περιπτώσεις να θεωρήσουµε το σύνολο διανυσµάτων x(n), που περιέχουν τις τιµές x(n), x(n-1),,x(n-n+1) ενός σήµατος Ανασκόπηση Γραµµική Άλγεβρα Σε πολλά µαθηµατικά προβλήµατα που θα συναντήσουµε στην φασµατική εκτίµηση και γενικά στην εκτίµηση παραµέτρων θα είναι βολικό να χρησιµοποιούµε διανύσµατα και πίνακες για την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα Copyright 009 Pearson ducation, Inc. Περιεχόµενα 3 Διανύσµατα και Βαθµωτές ποσότητες Πράξεις Διανυσµάτων Γραφικές Παραστάσεις Μοναδιαία διανύσµατα Κινηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ECTS ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ECTS ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Στην υπ αριθµ. 361/30-11-2009 Γ.Σ. το Τµήµα Φυσικής του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων υιοθέτησε, σε εναρµόνιση µε το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικά µε τα ατοµικά σωµατίδια πρέπει να γνωρίζουµε ότι: και αρνητικού φορτίου q e. που εκπέµπονται από τους ατοµικούς πυρήνες λέγονται σωµατίδια β.

Σχετικά µε τα ατοµικά σωµατίδια πρέπει να γνωρίζουµε ότι: και αρνητικού φορτίου q e. που εκπέµπονται από τους ατοµικούς πυρήνες λέγονται σωµατίδια β. Ηλεκτρόνιο - σωµατίδιο β Πρωτόνιο m p 840 m e Νετρόνιο m p m n Ποζιτρόνιο Σχετικά µε τα ατοµικά σωµατίδια πρέπει να γνωρίζουµε ότι: Το ηλεκτρόνιο είναι σωµατίδιο µάζας m e και αρνητικού ορτίου q e =-,6

Διαβάστε περισσότερα

4πε Όπου ε ο µια φυσική σταθερά που ονοµάζεται απόλυτη διηλεκτρική σταθερά του κενού. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Ο νόµος του Coulomb

4πε Όπου ε ο µια φυσική σταθερά που ονοµάζεται απόλυτη διηλεκτρική σταθερά του κενού. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Ο νόµος του Coulomb ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3.1.1 Ο νόµος του Coulomb Συµπλήρωµα θεωρίας Τα υλικά σώµατα αποτελούνται από άτοµα Ένα άτοµο έχει έναν θετικά φορτισµένο πυρήνα γύρω από τον οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση

ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ. ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΈΈστω ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται σε γενικευμένες συντεταγμένες από την Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Ο πίνακας Μ μπορεί να ληφθεί χωρίς καμμία έλλειψη γενικότητας ως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα