Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ"

Transcript

1 ιανυσµατικοί Χώροι ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούνε µια σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του διανύσµατος και του διανυσµατικού χώρου. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 ιανυσµατικοί Χώροι Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Ορισµός ιανυσµατικού Χώρου Σώµα Αριθµών ιανυσµατικός Χώρος Γραµµικός Συνδυασµός 5 4 Εκταµα (Span) 5 5 ιανυσµατικός Υποχώρος 5 6 Γραµµική Ανεξαρτησία 6 7 Βάση ιανυσµατικού Χώρου 6 8 Χώρος Λύσεων Συστήµατος 6 9 Χώρος Γραµµών Χώρων Στηλών Πίνακα 6 10 Άθροισµα και Ευθύ Άθροισµα ιανυσµατικών Χώρων 6 11 Συντεταγµένες 7

3 Κ. Κυρίτσης 3 ιανυσµατικοί Χώροι 1 Εισαγωγή Γεωµετρικά το διάνυσµα ορίζεται σαν προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα. Η πρόσθεση των διανυσµάτων γίνεται µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου και ο πολλαπλασιασµός µε ϐαθµωτό (αριθµό) ορίζεται να είναι το διάνυσµα που έχει την ίδια κατεύθυνση και αντίστοιχα πολλαπλάσιο µήκος. Αναλυτικά το διάνυσµα ορίζεται να είναι ένας πίνακας στήλη ή ένας πίνακας γραµµή. Η έννοια του διανύσµατος γενικεύεται στην έννοια του διανυσµατικού χώρου. 2 Ορισµός ιανυσµατικού Χώρου 2.1 Σώµα Αριθµών Εστω ένα σύνολο K στο οποίο έχουν οριστεί δύο πράξεις. Την πρώτη ϑα την λέµε πρόσθεση + : K K K και την άλλη πολλαπλασιασµό : K K K. Το σύνολο K µαζί µε τις δύο αυτές πράξεις ϑα λέµε ότι αποτελεί σώµα εαν πληρούνται τα ακόλουθα αξιώµατα, α, β, γ K α + β = β + α (α + β) + γ = α + (β + γ) = α + β + γ. 3. Υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης το οποίο το συµβολίζουµε µε 0. Είναι δε α + 0 = α. 4. Υπαρξη αντιθέτου (αντίστροφος της πρόσθεσης). Συµβολίζεται µε α και είναι α + ( α) = α β = β α. α (β γ) = (α β) γ = α β γ. 7. Υπαρξη ουδετέρου στοιχείου πολλαπλασιασµού που ϑα συµβολίζεται µε 1 (και για το οποίο 1 0) και για το οποίο ισχύει α 1 = α.

4 Κ. Κυρίτσης 4 ιανυσµατικοί Χώροι 8. Υπαρξη αντιστρόφου που ϑα συµβολίζεται µε 1/α ή α 1 και το οποίο ισχύει α α 1 = 1, 9. α ιανυσµατικός Χώρος α (β + γ) = α β + α γ. Εστω το σύνολο V στο οποίο έχουν οριστεί δύο πράξεις, η πρόσθεση + : V V V µεταξύ των στοιχείων του συνόλου και ο πολλαπλασιασµός : K V V µεταξύ των στοιχείων του συνόλου και ενός σώµατος αριθµών K. Αν οι πράξεις πληρούν τα ακόλουθα αξιώµατα, ϑα λέµε ότι το V είναι διανυσµατικός χώρος πάνω στο σώµα K. Σ αυτή την περίπτωση τα στοιχεία του V ϑα λέγονται διανύσµατα και τα στοιχεία του K ϐαθµωτά. Τα αξιώµατα του διανυσµατικού χώρου είναι τα εξής (u, v, w V, λ, µ K) u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w = u + v + w. 3. Υπαρξη µηδενικού διανύσµατος, 0 u + 0 = u. 4. Υπαρξη αντιθέτου διανύσµατος, u, 5. u + ( u) = 0. λ (u + v) = λ u + λ v. 6. (λ + µ) u = λ u + µ u. 7. (λ µ)u = λ (µ u).

5 Κ. Κυρίτσης 5 ιανυσµατικοί Χώροι 8. Απόρροια των παραπάνω είναι u = u. λ 0 = 0. 0 u = 0. λ u = 0 λ = 0 ή u = 0. (1) ( λ) u = λ ( u) = λ u. 3 Γραµµικός Συνδυασµός Εστω τα διανύσµατα u i, i = 1, 2,..., n. Το διάνυσµα v = λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n = n λ i u i λέγεται γραµµικός συνδυασµός. Για να γράψουµε το διάνυσµα v σαν γραµµικό συνδιασµό κάποιων διανυσµάτων u i πρέπει να λύσουµε το παραπάνω γραµµικό σύστηµα. 4 Εκταµα (Span) Εκταµα των διανυσµάτων u i ϑα λέγεται το σύνολο όλων των δυνατών γραµ- µικών συνδυασµών των u i. 5 ιανυσµατικός Υποχώρος Αν V διανυσµατικός χώρος και W υποσύνολο του W, τότε το W ϑα λέγεται διανυσµατικός υποχώρος ή απλά υποχώρος, αν πληρεί τα αξιώµατα του διανυσµατικού χώρου µε τις πράξεις όπως ορίστηκαν στον V. Αν W 1, W 2 υποχώροι του V, τότε και το W 1 W 2 είναι επίσης υποχώρος του V. i=1

6 Κ. Κυρίτσης 6 ιανυσµατικοί Χώροι 6 Γραµµική Ανεξαρτησία Θα λέµε ότι τα διανύσµατα u i είναι γραµµικώς ανεξάρτητα αν η εξίσωση n λ i u i = 0 i=1 έχει µόνη λύση την µηδενική. Στην αντίθετη περίπτωση ϑα λέµε ότι είναι γραµµικώς εξαρτηµένα. 7 Βάση ιανυσµατικού Χώρου Το σύνολο των διανυσµάτων u i, i = 1, 2,..., n ϑα λέγεται ϐάση του V, αν 1. Είναι γραµµικώς ανεξάρτητα και 2. το span τους είναι όλος ο χώρος V. Θα ονοµάζουµε διάσταση του διανυσµατικού χώρου V το πλήθος των διανυσµάτων ϐάσης. dim V = n. 8 Χώρος Λύσεων Συστήµατος Εστω το γραµµικό σύστηµα n m, A X = B. Αν η λύση (ή οι λύσεις) ϑεωρηθούν σαν διάνυσµα-στήλη στον K n, τότε το σύνολό τους λέγεται χώρος λύσεων. 9 Χώρος Γραµµών Χώρων Στηλών Πίνακα Εστω ο πίνακας A, n m. Αν κάθε γραµµή ϑεωρηθεί διάνυσµα στον K m τότε το span αυτών είναι ο χώρος γραµµών. Αντίστοιχα αν κάθε στήλη ϑεωρηθεί σαν διάνυσµα στον K n, τότε το span τους είναι ο χώρος στηλών. Η διάσταση του χώρου στηλών είναι ίση µε την διάσταση του χώρου γραµ- µών και ονοµάζεται rank του πίνακα. 10 Άθροισµα και Ευθύ Άθροισµα ιανυσµατικών Χώρων Αν V 1 και V 2 διανυσµατικοί χώροι, τότε V 1 + V 2 = {u : u = v 1 + v 2, όπου v 1 V 1, v 2 V 2 }.

7 Κ. Κυρίτσης 7 ιανυσµατικοί Χώροι Αν το v V µπορεί να γραφτεί µε µοναδικό τρόπο σαν v = u + w, όπου u U και w W, τότε λέµε ότι ο V είναι το ευθύ άθροισµα των U, W. Συµβολικά V = U W. Ο V ϑα είναι το ευθύ άθροισµα των U, W αν και µόνο αν 1. V = U + W και 2. U W = {0}. 11 Συντεταγµένες Εστω µια ϐάση {u i } του χώρου V. Τότε για κάθε διάνυσµα ϑα είναι v = n λ i u i i=1 µε µοναδικό τρόπο. Οι αριθµοί λ i ϑα λέγονται συντεταγµένες του διανύσµατος v ως προς την ϐάση {u i }.

8 Κ. Κυρίτσης 8 ιανυσµατικοί Χώροι ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

9 Κ. Κυρίτσης 9 ιανυσµατικοί Χώροι Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

10 Κ. Κυρίτσης 10 ιανυσµατικοί Χώροι Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Κατανομές Απώλειας Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική ή περιληπτική του περιεχομένου αυτού με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

File: D:\ISTOSELIDA\SED_3C1\sed11_pin4x.txt 2/2/2006, 9:09:14πµ

File: D:\ISTOSELIDA\SED_3C1\sed11_pin4x.txt 2/2/2006, 9:09:14πµ Ηµ/νία: 31/01/2006 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ Σελίδα 1 από 8 ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΥΝΟΛΟ Αραβικές Χώρες Λοιπή Ασία Λοιπή Αφρική Νοτιαφρικανική ΗΠΑ-Καναδάς Ωκεανία Πρώην ΕΣΣ ΣΧΟΛΗ Ενωση ΤΜΗΜΑ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΟΣ 3121 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΟΣ Οι πτυχιούχοι του τμήματος Ηλεκτρονικών Υπολογιστικών Συστημάτων (ΗΥΣ) του Τ.Ε.Ι. Πειραιά διαθέτουν τις εξειδικευμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

18η Διημερίδα Διεθνών και Δημοσίων Σχέσεων 25-26 Ιουνίου 2015 Ρέθυμνο

18η Διημερίδα Διεθνών και Δημοσίων Σχέσεων 25-26 Ιουνίου 2015 Ρέθυμνο 18η Διημερίδα Διεθνών και Δημοσίων Σχέσεων 25-26 Ιουνίου 2015 Ρέθυμνο Η αρχική ιδέα για τη δημιουργία Ομίλου Πρακτικής Άσκησης δια μέσου του προγράμματος LLP- ERASMUS έγινε από τους υπευθύνους των Τμημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λαμία 25/1/2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΠΡΟΣ: ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ

Λαμία 25/1/2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΠΡΟΣ: ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Λαμία 25/1/2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ Ταχ. Δ/νση: 3ο χιλ. Π.Ε.Ο. Λαμίας - Αθηνών 35100 Λαμία ΠΡΟΣ: ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΚΟΙΝ: TEI ΛΑΜΙΑΣ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Απόδειξη της γνώσης πληροφορικής και χειρισμού Η/Υ, ως πρόσθετου προσόντος για διορισμό σε θέσεις δημοσίων υπηρεσιών κ.λπ.

Θέμα: Απόδειξη της γνώσης πληροφορικής και χειρισμού Η/Υ, ως πρόσθετου προσόντος για διορισμό σε θέσεις δημοσίων υπηρεσιών κ.λπ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ, ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 2. ΣΠΟΥ ΕΣ 3. ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΑ. Στυλιανός Θ. Τσιλίκης Βιογραφικό Σηµείωµα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 2. ΣΠΟΥ ΕΣ 3. ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΑ. Στυλιανός Θ. Τσιλίκης Βιογραφικό Σηµείωµα ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Επώνυµο : ΤΣΙΛΙΚΗΣ Όνοµα : ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ Όνοµα Πατρός : ΘΕΟ ΩΡΟΣ Έτος Γέννησης : 12 Ιουνίου 1971 ιεύθυνση Κατοικίας : Αλεξάνδρου ιάκου 36, Νέο Ηράκλειο, Αθήνα Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Προγραµµατισµός Η/Υ. Δρ. Δ.Ν. Παγώνης. Καθηγητής Εφαρµογών. Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr. Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας

Προγραµµατισµός Η/Υ. Δρ. Δ.Ν. Παγώνης. Καθηγητής Εφαρµογών. Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr. Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας Περίγραµµα µαθήµατος Δρ. Δ.Ν. Παγώνης Καθηγητής Εφαρµογών Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας Στοιχεία µαθήµατος Τίτλος µαθήµατος ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Κωδικός

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Υ.Π.Ε.Τ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΛΥΨΗ ΘΕΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. για ΑΘΗΝΑ

Τ.Υ.Π.Ε.Τ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΛΥΨΗ ΘΕΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. για ΑΘΗΝΑ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. Αθήνα, 18 Μαρτίου 2014 ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. για ΑΘΗΝΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΕΧΟΥΝ ΜΟΝΟ ΤΕΚΝΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Ή ΣΥΝΤΑΞΙΟΥΧΩΝ ΣΤΗΝ Ε.Τ.Ε., ΣΤΟ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΣΥΛΛΟΓΟΥΣ Ε.Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

388 θέσεις για μόνιμους στο δημόσιο με 4 νέες προκηρύξεις. Όλες οι θέσεις και τα προσόντα Τρίτη, 13 Μάιος 2014 12:02

388 θέσεις για μόνιμους στο δημόσιο με 4 νέες προκηρύξεις. Όλες οι θέσεις και τα προσόντα Τρίτη, 13 Μάιος 2014 12:02 Προκηρύξεις 4 διαγωνισμών θα εκδοθούν εντός του Μαΐου και θα αφορούν 388 προσλήψεις μονίμων στο δημόσιο.οι προκηρύξεις θα αφορούν 149 τελωνειακούς,110 υπαξιωματικούς στο Λιμενικό,100 ερευνητές στο ΕΛΓΟ

Διαβάστε περισσότερα

apple system Ολική ποιότητα εκπαίδευσης απλά... μαθαίνεις Υψηλή ακαδημαϊκή ποιότητα Τεχνολογία και εκπαίδευση Είναι γεγονός!

apple system Ολική ποιότητα εκπαίδευσης απλά... μαθαίνεις Υψηλή ακαδημαϊκή ποιότητα Τεχνολογία και εκπαίδευση Είναι γεγονός! Ολική ποιότητα εκπαίδευσης Υψηλή ακαδημαϊκή ποιότητα Τεχνολογία και εκπαίδευση Είναι γεγονός! Μια νέα εποχή έχει ξεκινήσει στην εκπαίδευση. Μια εποχή που τοποθετεί εσάς στο κέντρο κάθε ενέργειας, δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚ ΗΛΩΣΗΣ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΟΜΕΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ «ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΞΕΛΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ» Ηµεροµηνία έναρξης: Τρία εξέχοντα Πανεπιστήµια της χώρας ενώνουν τις δυνάµεις

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΤΟ MATHLAB Αν θέλουμε να εισάγουμε έναν πίνακα στο mathlab και να προβληθεί στην οθόνη βάζουμε τις τιμές του σε άγκιστρα χωρίζοντάς τις με κόμματα ή κενό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Master of Science in Information Technology (Software and Systems), 01/12/2000, ΙΚΑΤΣΑ, Μάστερ Επιστήµων (Μ.C.s.) στην πληροφορική 23/04/2001

Master of Science in Information Technology (Software and Systems), 01/12/2000, ΙΚΑΤΣΑ, Μάστερ Επιστήµων (Μ.C.s.) στην πληροφορική 23/04/2001 Τ.Ε.Ι. ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 ΠΙΝΑΚΑΣ (α) άρθρου 2, παρ. 2, Π.. 163, ΦΕΚ 149/26-06-2002, τεύχος

Διαβάστε περισσότερα

Διανομή Οδηγού Καριέρας 2014

Διανομή Οδηγού Καριέρας 2014 Διανομή Οδηγού Καριέρας 2014 Ο Οδηγός Καριέρας εκδίδεται τα τελευταία χρόνια από το kariera.gr, αποτελώντας μέρος μιας συστηματικής και συνολικής προσπάθειας ώστε να έρθουν κοντά οι νέοι απόφοιτοι και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Μοντέλα εκπαίδευσης στην Ελλάδα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Μοντέλα εκπαίδευσης στην Ελλάδα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Μοντέλα εκπαίδευσης στην Ελλάδα 11 Πέτρου Πατιά Γ1: Μοντέλα προπτυχιακών σπουδών των πολυτεχνικών σχολών της χώρας Πηγή: Ελληνικά Α.Ε.Ι. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ (20/2/2012)

ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ (20/2/2012) 1. Να γραφεί πρόγραµµα FORTRAN το οποίο θα ορίζει έναν µονοδιάστατο ακέραιο πίνακα και έναν δυδιάστατο πραγµατικό πίνακα ίδιου µεγέθους και θα υπολογίζει τον µέσο όρο των τιµών του µονοδιάστατου πίνακα.

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Πώς θα κατανεµηθούν οι σχολές από το 2016

Πώς θα κατανεµηθούν οι σχολές από το 2016 Πώς θα κατανεµηθούν οι σχολές από το 2016 Με βάση τη νέα ένταξη των τµηµάτων πανεπιστηµίων και ΤΕΙ στα πέντε επιστηµονικά πεδία, το 2ο Πεδίο «Θετικές και Τεχνολογικές Επιστήµες» είναι το πιο ευνοηµένο.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ

ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ Η γνώση χειρισµού Η/Υ στα αντικείµενα: α) επεξεργασίας κειµένων, β) υπολογιστικών φύλλων και γ) υπηρεσιών διαδικτύου αποδεικνύεται ως εξής: (1) Με πιστοποιητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά.

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να έχετε: Τετράδιο εργαστηρίου (Physics book) File για φυλλάδια Απλό υπολογιστή (calculator) Οι σηµειώσεις του µαθήµατος βρίσκονται στην προσωπική µου ιστοσελίδα:http://www.pantelis.net

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Τηλέφωνο: (26310) 58212 3) ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΩΝ ΦΑΞ : (26310) 25183 e-mail: ksamalek@teimes.gr

Τηλέφωνο: (26310) 58212 3) ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΩΝ ΦΑΞ : (26310) 25183 e-mail: ksamalek@teimes.gr ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑΥΓΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Μεσολόγγι : 29/05/2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (ΤΕΙ) Αριθ.Πρωτ : Φ 2.2/2089 ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ Ταχ. /νση : ΝΕΑ ΚΤΙΡΙΑ Τ.Κ. 302.00 ΠΡΟΣ:1) Ο.Α.Ε. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ Πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Η καταρτισθησόμενη σύμβαση έργου με τους επιτυχόντες υποψηφίου θα έχει ορισμένη χρονική διάρκεια, μη δυναμένη να υπερβεί το συμβατικό χρόνο λήξης του

Η καταρτισθησόμενη σύμβαση έργου με τους επιτυχόντες υποψηφίου θα έχει ορισμένη χρονική διάρκεια, μη δυναμένη να υπερβεί το συμβατικό χρόνο λήξης του ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ (ΕΠΙΣΕΥ) ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΑΨΗΣ (έως 27) ΣΥΜΒΑΣΕΩΝ ΜΙΣΘΩΣΗΣ ΕΡΓΟΥ ΙΔΙΩΤΙΚΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ

ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ 03-10-2013 Η γνώση χειρισµού Η/Υ στα αντικείµενα: α) επεξεργασίας κειµένων, β) υπολογιστικών φύλλων και γ) υπηρεσιών διαδικτύου αποδεικνύεται ως εξής: (1)

Διαβάστε περισσότερα

Τηλέφωνο: (26310) 58212 3) ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΩΝ ΦΑΞ : (26310) 25183 e-mail: ksamalek@teimes.gr Α/Α ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΏΡΕΣ /ΕΒΔΟΜΑΔΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ

Τηλέφωνο: (26310) 58212 3) ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΩΝ ΦΑΞ : (26310) 25183 e-mail: ksamalek@teimes.gr Α/Α ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΏΡΕΣ /ΕΒΔΟΜΑΔΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑΥΓΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Μεσολόγγι 27 /06/2011 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (ΤΕΙ) Αριθ.Πρωτ : Φ 2.2/2358 ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ Ταχ. /νση : ΝΕΑ ΚΤΙΡΙΑ Τ.Κ. 302.00 ΠΡΟΣ:1) Ο.Α.Ε. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ Πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τηλέφωνο: (26310) 58212 3) ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΩΝ ΦΑΞ : (26310) 25183 e-mail: ksamalek@teimes.gr Α/Α ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΏΡΕ /ΕΒΔΟΜΑΔΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ

Τηλέφωνο: (26310) 58212 3) ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΩΝ ΦΑΞ : (26310) 25183 e-mail: ksamalek@teimes.gr Α/Α ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΏΡΕ /ΕΒΔΟΜΑΔΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑΥΓΕΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Μεσολόγγι :29/05/2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (ΤΕΙ) Αριθ.Πρωτ : Φ.2.2/2089 ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ Ταχ. /νση : ΝΕΑ ΚΤΙΡΙΑ Τ.Κ. 302.00 ΠΡΟΣ:1) Ο.Α.Ε. ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ Πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ Υπηρεσία Συµβουλευτικής και Επαγγελµατικής Αγωγής Παγκύπριες Εξετάσεις Επιστηµονικά Πεδία και Πλαίσια Πρόσβασης ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΠΕΔΙΑ και ΠΛΑΙΣΙA ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΔΑ: ΒΛΛ6Η-ΛΥΡ ΕΠΕΙΓΟΝ -ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Α Α:

ΑΔΑ: ΒΛΛ6Η-ΛΥΡ ΕΠΕΙΓΟΝ -ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Α Α: ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Α Α: ΕΠΕΙΓΟΝ -ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟ ΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ( 1) ΤΜΗΜΑ Γ Αθήνα, 7/10/2013

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. Εκπαίδευση

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. Εκπαίδευση ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1 Ονοματεπώνυμο... Κοσσιέρη Ευαγγελία Όνομα πατέρα... Γεώργιος Όνομα μητέρας... Αικατερίνη Τόπος γεννήσεως... Αθήνα Οικογενειακή κατάσταση... Έγγαμη kjnnnbbvvghgf Διεύθυνση επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ -ΗΜΕΡΙ ΕΣ

ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ -ΗΜΕΡΙ ΕΣ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΤΣΙΛΟΓΙΑΝΝΗΣ τ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ-ΜΕΛΕΤΗΤΗΣ ΦΟΡΟΤΕΧΝΗΣ ΛΟΓΙΣΤΗΣ Α! ΤΑΞΗΣ Κάτοχος Πτυχίου Ε Ε Μελετητή Α και Β τάξης Α.Μ. 14534. Α.Μ. θεµατικού συµβούλου Μ.Σ. Τηλ.23310-26193/72023

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Ονοματεπώνυμο Ηλεκτρονικό ταχυδρομείο Υπηκοότητα ΜΠΕΛΟΥΛΗ ΑΓΑΘΗ agathabel@yahoo.gr ΕΛΛΗΝΙΚΗ Ημερομηνία γέννησης 11/11/1985 ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑ Ημερομηνίες (από

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

sed11sp4f : 01/09/2004 1 12 : 08:46:47 user

sed11sp4f : 01/09/2004 1 12 : 08:46:47 user ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΦΟΡΕΑ sed11sp4f Ηµ/νία: 01/09/2004 Σελίδα 1 από 12 ---------------------------------------------------------------------------------------- ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΥΝΟΛΟ Αραβικές Χώρες Λοιπή Ασία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ «Εκπαίδευση και δια βίου μάθηση»

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ «Εκπαίδευση και δια βίου μάθηση» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ - Π.Δ. 432/81 Α.Φ.Μ.: 998219694 Α Δ.Ο.Υ. ΠΑΤΡΩΝ ΤΗΛ: 2610-996660 FAX: 2610-996677 Πάτρα, 02/04/2013 Αρ.Πρωτ. 11459 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Πεδίον Άρεως, 38334, Βόλος. Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης url: www.prd.uth.gr

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Πεδίον Άρεως, 38334, Βόλος. Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης url: www.prd.uth.gr ΠΡΟΣΩΠΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Ονοματεπώνυμο ΓΙΑΝΝΕΛΟΣ ΛΕΓΑΝΤΗΣ Διεύθυνση εργασίας ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ, ΤΜΗΜΑ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, Πεδίον Άρεως, 38334, Βόλος, Ελλάδα Τηλέφωνο εργασίας 0030 24210 74419 Τηλεομοιοτυπία 0030

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Παπαπαναγιώτου Νικόλαος

Παπαπαναγιώτου Νικόλαος Παπαπαναγιώτου Νικόλαος Ημερ/νία γέννησης 17/8/51 ΣΠΟΥΔΕΣ: Πτυχιούχος του Μαθηματικού Τμήματος Του Πανεπιστημίου Πατρών. Πιστοποιημένος εκπαιδευτής ενηλίκων στο ΕΚΕΠΙΣ στου Κωδικούς 2131, 2139, 4122 σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD

ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ. Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD ΕΜΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Σοφία Α. Ξεργιά PT, MSc, PhD Ανάλυση της Ανθρώπινης Κίνησης Εμβιομηχανική Κινησιολογία Κινηματική Κινητική Λειτουργική Ανατομική Γραμμική Γωνιακή Γραμμική Γωνιακή Θέση Ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://icte.uowm.gr/

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://icte.uowm.gr/ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών ς & Τηλεπικοινωνιών http://icte.uowm.gr/ Το Τμήμα Μηχανικών ς και Τηλεπικοινωνιών του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας ανακοινώνει στους

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΗΠΕΙΡΟΥ

ΑΠΟΦΑΣΗ Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΗΠΕΙΡΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΗΠΕΙΡΟΥ ΓΕΝΙΚΗ IΕΥΘΥΝΣΗ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ /ΝΣΗ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΠΡΟΓΡ/ΤΩΝ & ΙΑΧ/ΣΗΣ ΕΡΓΩΝ Ταχ. /νση : Β. Ηπείρου 20 ΙΩΑΝΝΙΝΑ ΤΚ45332 Πληροφορίες: Ν.Θεοδόσης

Διαβάστε περισσότερα

Ηµ/νία: 19/03/2012 sed12bstudme Ώρα: 12:54:18 Σελίδα 1 από 7 ΠΙΝΑΚΑΣ 3Μ: ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ (Α.Ε.Ι.)- ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑ SEDUSER ΦΥΛΟ,

Ηµ/νία: 19/03/2012 sed12bstudme Ώρα: 12:54:18 Σελίδα 1 από 7 ΠΙΝΑΚΑΣ 3Μ: ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ (Α.Ε.Ι.)- ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑ SEDUSER ΦΥΛΟ, Ηµ/νία: 19/03/2012 sed12bstudme Ώρα: 12:54:18 Σελίδα 1 από 7 - ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΕΛΛΑ ΟΣ 59423 31713 35570 21028 23853 10685 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ 15874 9137 10368 6326 5506 2811 ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 3025 2124

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα