Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 3.1 Γραµµικές απεικονίσεις Πυρήνας και Εικόνα µίας γραµµικής απεικόνισης Πίνακας γραµµικής απεικόνισης Ισοµορφισµοί διανυσµατικών χώρων Απλή µορφή πίνακα Πίνακες και γραµµικές απεικονίσεις Τάξη πίνακα Τάξη πίνακα - µέρος ΙΙ Γραµµικά συστήµατα Γραµµικά συστήµατα - µέρος ΙΙ Ασκήσεις - στοιχεία αυτοαξιολόγησης Γραµµικά συστήµατα - Συνέχεια Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 3.1 Γραµµικές απεικονίσεις Αρχίζουµε σήµερα τη µελέτη συναρτήσεων µεταξύ διανυσµατικών χώρων. Οι συναρτήσεις που µας ενδιαφέρουν περισσότερο είναι αυτές που «σέβονται» τη δοµή του διανυσµατικού χώρου και τις ονοµάζουµε γραµµικές απεικονίσεις. Ορισµός Εστω V 1 και V 2 δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F. Μία απεικόνιση 1 λέγεται γραµµική απεικόνιση 2, εάν f : V 1 V 2, ϑα 1. f (α + β) = f (α) + f ( β) α, β V 1 2. f (λ α) = λ f (α) λ F,α V 1 1. ύο διανυσµατικοί χώροι V 1 και V 2 λέγονται ισόµορφοι εάν υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : V 1 V 2 η οποία είναι 1 1 και επί. Στην περίπτωση αυτή συµβολίζουµε V 1 V 2 και λέµε ότι η γραµµική απεικόνιση f είναι ισοµορφισµός. 2. είτε τα παραδείγµατα σελ 141 από το Βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, Τόµος Α». 3. Μελετήστε τις προτάσεις και σελ 143 από το Βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, Τόµος Α». 4. Ισχύει η εξής ιδιότητα: Πρόταση Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Τότε f (0 V1 ) = 0 V2 Απόδειξη: Εχουµε f (0 V1 + 0 V1 ) = f (0 V1 ) + f (0 V1 ) από την πρώτη ιδιότητα των γραµµικών απεικονίσεων. Ας ονοµάσουµε το f (0 V1 ) µε ω. Τότε έχουµε τη σχέση ω + ω = ω, άρα ω = 0. Η πρόταση µας λέει ότι οποιαδήποτε γραµµική απεικόνιση f : V 1 V 2 απεικονίζει πάντα το µηδενικό στοιχείο του πρώτου χώρου στο µηδενικό στοιχείο του δευτέρου χώρου. 5. Ισχύει ακόµα η εξής ιδιότητα: Πρόταση Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Τότε f ( x) = f (x) Απόδειξη: Εχουµε 0 V2 = f (0 V1 ) = f (x + ( x)) = f (x) + f ( x). 1 Η έννοια της απεικόνισης είναι ταυτόσηµη µε την έννοια της συνάρτησης. 2 λέγεται επίσης και γραµµικός µετασχηµατισµός Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 3.2 Πυρήνας και Εικόνα µίας γραµµικής απεικόνισης 1. ίνουµε τον ορισµό του πυρήνα µίας γραµµικής απεικόνισης: Ορισµός Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Το σύνολο Ker f = {x V 1 f (x) = 0 V2 } το ονοµάζουµε πυρήνα της γραµµικής απεικόνισης. 2. Ο πυρήνας µιας γραµµικής απεικόνισης είναι πάντα υπόχωρος. Απόδειξη: Εχουµε από την πρόταση ότι f (0 V1 ) = 0 V2, άρα 0 V1 Ker f. Αν x, y Ker f, τότε f (x) = f (y) = 0 V2. Αρα f (x + y) = f (x) + f (y) = 0 V2 και τελικά x + y Ker f. Οµοίως αποδεικνύεται και η τρίτη απαίτηση και έτσι ο πυρήνας είναι ένας υπόχωρος του χώρου V ίνουµε τον ορισµό της εικόνας µίας γραµµικής απεικόνισης: Ορισµός Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Το σύνολο Im f = {ω V 2 x V 1 : f (x) = ω} το ονοµάζουµε εικόνα της γραµµικής απεικόνισης. 4. Το σύνολο Im f είναι ένας υπόχωρος του V 2. Η απόδειξη είναι όµοια µε την παραπάνω. 5. Να διαβάσετε το παράδειγµα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 6. Μελετήστε για τις γραµµικές απεικονίσεις στη δικτυακή διεύθυνση εδώ. Ασκήσεις 1. ίνεται η Γραµµική απεικόνιση θ 1 : R 3 R 3 µε θ 1 (x, y, z) = (x + y + z, x,2x) Να ϐρεθεί µία ϐάση του πυρήνα και της εικόνας της γραµµικής απεικόνισης θ Να ϐρεθούν όλες οι γραµµικές απεικονίσεις f : R 3 R 3 που έχουν τον ίδιο πυρήνα και την ίδια εικόνα µε την θ 1. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 3.3 Πίνακας γραµµικής απεικόνισης 1. ίνουµε τον ορισµό του πίνακα µίας γραµµικής απεικόνισης: Ορισµός (α) Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. (ϐ) εχόµαστε ότι οι διανυσµατικοί χώροι V 1 και V 2 επί του F είναι πεπεραµένης διάστασης µ και ν αντίστοιχα. (γ) Υποθέτουµε ότι α = (α 1,α 2,,α µ ) και β = ( β 1, β 2,, β ν ) είναι δύο διατεταγµένες 3 ϐάσεις των διανυσµατικών χώρων V 1 και V 2 αντίστοιχα. (δ) Τα διανύσµατα f (α 1 ), f (α 2 ),, f (α ν ) είναι διανύσµατα του χώρου V 2, άρα το καθένα ϑα είναι γραµµικός συνδυασµός των ( β 1, β 2,, β ν ). (ε) Εχουµε f (α 1 ) = λ 11 β 1 + λ 12 β λ 1ν β ν f (α 2 ) = λ 21 β 1 + λ 22 β λ 2ν β ν f (α µ ) = λ µ1 β 1 + λ µ2 β λ µν β ν (στ) Σχηµατίζεται ένας πίνακας ως εξής 4 : λ 11 λ 21 λ µ1 A = λ 12 λ 22 λ µ2 λ 1ν λ 2ν λ µν (Ϲ) Ο παραπάνω πίνακας A λέγεται πίνακας της γραµµικής απεικόνισης f ως προς τις διατεταγ- µένες ϐάσεις α και β και συµβολίζεται µε ( f : α, β) 2. Παρατηρούµε ότι ο πίνακας είναι ν µ, δηλαδή πίνακας ν γραµµών και µ στηλών, ενώ η γραµµική απεικόνιση είναι από ένα διανυσµατικό χώρο διάστασης µ σε ένα διανυσµατικό χώρο διάστασης ν. 3. Μελετήστε τα παραδείγµατα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 4. Αν ο πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης είναι ο µηδενικός πίνακας τι συµπεραίνετε για την γραµµική απεικόνιση; 5. Αν ο πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης είναι ο µοναδιαίος τι συµπεραίνετε για την γραµµική απεικόνιση; Ασκήσεις Ασκηση ίνεται η απεικόνιση f : R 3 R 2 µε f (x, y, z) = (2x y, x y). είξτε ότι: 1. Η απεικόνιση f είναι γραµµική. 2. Να ϐρεθεί το σύνολο K = {(x, y, z) R 3 µϵ f (x, y, z) = (0,0)} και να αποδειχθεί ότι είναι υπόχωρος. Τι διάσταση έχει το Κ; 3 Με τον όρο διατεταγµένη ϐάση εννοούµε µία ϐάση, στην οποία έχουµε ϐάλει µία διάταξη, µία σειρά στα διανύσµατά της. 4 Προσέξτε ότι ϐάζουµε ως στήλες τις γραµµές που εµφανίζονται στη γραφή των f (a i ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 3. Να ϐρεθεί το σύνολο: Im( f ) = {(α, β) R 2 ϵτσι ωστϵ υπαρ χϵι (x, y, z) R 3 µϵ f (x, y, z) = (α, β)} Να αποδειχθεί ότι το σύνολο Im( f ) είναι υπόχωρος και να ϐρεθεί η διάστασή του. 4. Εστω ότι ένας διανυσµατικός χώρος έχει διάσταση 7. είξτε ότι ένα σύνολο 7 γραµµικά ανεξαρτήτων διανυσµάτων είναι ϐάση. 5. Εστω ότι ένας διανυσµατικός χώρος έχει διάσταση 7. είξτε ότι ένα σύνολο 7 διανυσµάτων του χώρου, τα οποία τον παράγουν, είναι ϐάση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 3.4 Ισοµορφισµοί διανυσµατικών χώρων 1. Θα αποδείξουµε το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Εστω V 1 και V 2 δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F πεπερασµένης διάστασης. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα: (α) dim F V 1 = dim F V 2 (ϐ) Υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : V 1 V και επί. Απόδειξη: Από το (α) στο (ϐ) : Εστω ότι οι δύο χώροι V 1 και V 2 έχουν ίσες διαστάσεις: dim F V 1 = dim F V 2 = ν. Εστω επίσης {α 1,α 2,,α ν } µία ϐάση του χώρου V 1 και { β 1, β 2,, β ν } µία ϐάση του χώρου V 2. Κάθε στοιχείο x V 1 γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως x = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 ++ λ ν α ν. Τότε µπορούµε να ορίσουµε τη συνάρτηση f (x) = λ 1 β 1 + λ 2 β λ ν β ν Η συνάρτηση αυτή είναι γραµµική 1 1 και επί. Προσπαθήστε να αποδείξετε τους ισχυρισµούς αυτούς. Από το (ϐ) στο (α) : Εστω f : V 1 V και επί και {α 1,α 2,,α ν } µία ϐάση του πρώτου χώρου. Θεω- ϱούµε το σύνολο { f (α 1 ), f (α 2 ),, f (α ν )}. Το σύνολο αυτό είναι µία ϐάση του χώρου V 2. σπροσπαθήστε να αποδείξετε τους ισχυρισµούς αυτούς. 2. Μία γραµµική απεικόνιση f : V 1 V και επί συνήθως τη λέµε ισοµορφισµό διανυσµατικών χώρων, τους διανυσµατικούς χώρους τους λέµε ισόµορφους και συµβολίζουµε µε V 1 V Εστω f,g : V 1 V 2 δύο γραµµικές απεικονίσεις. εχόµαστε ότι οι διανυσµατικοί χώροι V 1 και V 2 επί του F είναι πεπερασµένης διάστασης µ και ν αντίστοιχα. Υποθέτουµε ότι α = (α 1,α 2,,α µ ) και β = ( β 1, β 2,, β ν ) είναι δύο διατεταγµένες ϐάσεις των διανυσµατικών χώρων V 1 και V 2 αντίστοιχα. Τότε: ( f + g : α, β) = ( f : α, β) + (g : α, β) ( f g : α, β) = ( f : α, β) (g : α, β) Με λόγια αυτές οι σχέσεις σηµαίνουν: (λ f : α, β) = λ ( f : α, β) Ο πίνακας του αθροίσµατος δύο γραµµικών απεικονίσεων(που είναι επίσης γραµµική απεικόνιση) ισούται µε το άθροισµα των πινάκων των επι µέρους γραµµικών απεικονίσεων Ο πίνακας της διαφοράς δύο γραµµικών απεικονίσεων(που είναι επίσης γραµµική απεικόνιση) ισούται µε τη διαφορά των πινάκων των επι µέρους γραµµικών απεικονίσεων. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 3. 3. Ο πίνακας του γινοµένου ενός αριθµού επί µία γραµµική απεικόνιση (που είναι επίσης γραµµική απεικόνιση) ισούται µε το γινόµενο του αριθµού επί τον πίνακα της γραµµικής απεικόνισης. 4. Είχαµε παραπάνω δώσει τον ορισµό: Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Το σύνολο Ker f = {x V 1 f (x) = 0 V2 } το ονοµάζουµε πυρήνα της γραµµικής απεικόνισης. Σχετικά µε τον πυρήνα ισχύει το εξής ϑεώρηµα: Θεώρηµα Η γραµµική απεικόνιση f είναι 1 1 εάν και µόνο εάν Ker f = {0} Απόδειξη: Εστω ότι Ker f = {0} και f (x) = f (y). Τότε f (x y) = 0 και άρα x y Ker f. Αλλά ο πυρήνας έχει µόνο ένα στοιχείο το 0, άρα x y = 0 άρα x = y και η απεικόνιση είναι 1 1. Αν τώρα η f είναι 1 1 και x Ker f τότε f (x) = 0. Αλλά επειδή η f είναι γραµµική απεικόνιση, έχουµε f (0) = 0. Αρα x = Επίσης έχουµε δώσει τον ορισµό: Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Το σύνολο Im f = {ω V 2 x V 1 f (x) = ω} το ονοµάζουµε εικόνα της γραµµικής απεικόνισης. ϑεώρηµα: Σχετικά µε την εικόνα έχουµε το παρακάτω Θεώρηµα Η γραµµική απεικόνιση f : V 1 V 2 είναι επί εάν και µόνο εάν Im f = V 2. Η απόδειξη είναι άµεση από τους ορισµούς. 6. Αµεσα αποδεικνύεται το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Η γραµµική απεικόνιση f : V 1 Ker f = 0 και Im f = V 2. Η απόδειξη είναι άµεση από τους ορισµούς. V 2 είναι ισοµορφισµός εάν και µόνο εάν 7. Μελετήστε σε ϐάθος το ϑεώρηµα σελ 168 από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» και την απόδειξή του. 8. Ρίξτε µία µατιά στη διεύθυνση εδώ για περισσότερες πληροφορίες γύρω από τις γραµµικές απεικονίσεις. 9. είτε επίσης και εδώ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 3.5 Απλή µορφή πίνακα Πως ο πίνακας µίας γραµµικής απεικόνισης λαµβάνει απλή µορφή 1. Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση και Ker f, Im f ο πυρήνας και η εικόνα της. Γνωρίζουµε ότι ο πυρήνας Ker f είναι υπόχωρος του χώρου V 1 και η εικονα Im f είναι υπόχωρος του δεύτερου χώρου V ιαλέγουµε µία ϐάση του πυρήνα έστω την {α 1,α 2,,α κ }. Η ϐάση αυτή αποτελείται από γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου V 1 και εποµένως σύµφωνα µε το ϑεώρηµα επέκτασης, µπορούµε να ϐρούµε ένα σύνολο { β 1, β 2,, β λ } έτσι ώστε το σύνολο να είναι ϐάση του V 1. { β 1, β 2,, β λ,α 1,α 2,,α κ } 3. Θα αποδείξουµε ότι το σύνολο { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ )} είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Προς τούτο ϑεωρούµε ένα γραµµικό συνδυασµό ξ 1 f ( β 1 ) + ξ 2 f ( β 2 ) + + ξ λ f ( β λ ) = 0 V2 Επειδή η f είναι γραµµική, η τελευταία σχέση γίνεται: f (ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ ) = 0 V2 άρα το στοιχείο ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ ανήκει στον πυρήνα της f. 4. Θα υπάρχουν εποµένως συντελεστές µ 1, µ 2,, µ κ έτσι ώστε ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ = µ 1 α 1 + µ 2 α µ κ α κ 5. Από την τελευταία σχέση έχουµε ότι ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ µ 1 α 1 µ 2 α 2 µ κ α κ = 0 V1 Οµως το σύνολο { β 1, β 2,, β λ,α 1,α 2,,α κ } είναι γραµµικά ανεξάρτητο, άρα όλοι οι συντελεστές είναι µηδέν και ιδιαίτερα ϑα έχουµε ότι ξ 1 = ξ 2 = = ξ λ = 0, άρα έχουµε το Ϲητούµενο, δηλαδή το σύνολο { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ )} είναι γραµµικά ανεξάρτητο. 6. Αφού το σύνολο { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ )} είναι γραµµικά ανεξάρτητο, σύµφωνα ξανά µε το ϑεώρηµα επέκτασης υπάρχουν διανύσµατα του χώρου έτσι ώστε το σύνολο να είναι ϐάση του V 2. γ 1,γ 2,,γ ν { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ ),γ 1,γ 2,,γ ν } 7. Με όλη τη δουλειά πιο πάνω, κατασκευάσαµε µία ϐάση του πρώτου χώρου V 1 και µία ϐάση { β 1, β 2,, β λ,α 1,α 2,,α κ } { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ ),γ 1,γ 2,,γ ν } του δεύτερου χώρου V 2. Αν τις ϑεωρήσουµε διατεταγµένες, µπορούµε να υπολογίσουµε τον πίνακα της γραµµικής απεικόνισης. Θεωρούµε λοιπόν τις διατεταγµένες ϐάσεις και α = ( β 1, β 2,, β λ,α 1,α 2,,α κ ) β = ( f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ ),γ 1,γ 2,,γ ν ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 8. Υπολογισµός του πίνακα ( f : α, β): f ( β 1 ) = 1 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f ( β 2 ) = 0 f ( β 1 ) + 1 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f ( β λ ) = 0 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 1 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f (α 1 ) = 0 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f (α 2 ) = 0 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f (α κ ) = 0 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν 9. Ο πίνακας ( f : α, β) παίρνει τη µορφή 10. Αποδεικνύουµε το παρακάτω ϑεώρηµα: Θεώρηµα Για κάθε γραµµική απεικόνιση f : V 1 V 2 µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπε- ϱασµένης διάστασης, υπάρχουν ϐάσεις α του πρώτου χώρου και β του δεύτερου χώρου έτσι ώστε ο πίνακας ( f : α, β), ως προς τις ϐάσεις αυτές να λαµβάνει την µορφή Παρατηρούµε ότι: Παρατήρηση Η παραπάνω µορφή του πίνακα είναι η απλούστερη δυνατή µορφή. 12. Παρατηρούµε επίσης ότι: Παρατήρηση Ο αριθµός των µονάδων που εµφανίζονται στον πίνακα είναι ίσος µε τη διάσταση του υπόχωρου Im f. Η διάσταση του υπόχωρου Im f λέγεται και τάξη (rank) της γραµµικής απεικόνισης. Ασκήσεις 1. Να κάνετε λεπτοµερώς τις αποδείξεις του µαθήµατος αυτού και συγκεκριµένα την απόδειξη του ϑεω- ϱήµατος 3.5.1, τις αποδείξεις στο σηµείο 3 της παραγράφου αυτής και την απόδειξη του ϑεωρήµατος από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 2. Να εξετασθεί εάν υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 2 η οποία να είναι Να εξετασθεί εάν υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : R 2 R 3 η οποία να είναι επί. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 4. ίνεται η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 2 µε f (x, y, z) = (2x y, x + y 3z). Να ϐρεθούν ϐάσεις α του πρώτου χώρου R 3 και β του δεύτερου χώρου R 2 έτσι ώστε ο πίνακας ( f : α, β), ως προς τις ϐάσεις αυτές να λαµβάνει την απλούστερη δυνατή µορφή σύµφωνα µε τα παραπάνω. Ποια είναι η διάσταση του πυρήνα Ker f ; Ποιά είναι η διάσταση της εικόνας Im f ; Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 3.6 Πίνακες και γραµµικές απεικονίσεις Πορεία µελέτης 1. Ας ξαναθυµηθούµε το ϑεώρηµα του προηγούµενου µαθήµατος: Θεώρηµα Εστω V 1 και V 2 δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F πεπερασµένης διάστασης. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα: (α) dim F V 1 = dim F V 2 (ϐ) Υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : V 1 V και επί. Απόδειξη: Από το (α) στο (ϐ): Εστω ότι οι δύο χώροι V 1 και V 2 έχουν ίσες διαστάσεις dim F V 1 = dim F V 2 = ν Εστω επίσης {α 1,α 2,,α ν } µία ϐάση του χώρου V 1 και { β 1, β 2,, β ν } µία ϐάση του χώρου V 2. Κάθε στοιχείο x V 1 γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως x = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 ++ λ ν α ν. Τότε µπορούµε να ορίσουµε τη συνάρτηση f (x) = λ 1 β 1 + λ 2 β λ ν β ν Η συνάρτηση αυτή είναι γραµµική 1 1 και επί. Προσπαθήστε να αποδείξετε τους ισχυρισµούς αυτούς. Από το (ϐ) στο (α): Εστω f : V 1 V και επί και {α 1,α 2,,α ν } µία ϐάση του πρώτου χώρου. Θεω- ϱούµε το σύνολο { f (α 1 ), f (α 2 ),, f (α ν )}. Το σύνολο αυτό είναι µία ϐάση του χώρου V 2. Προσπαθήστε να αποδείξετε τους ισχυρισµούς αυτούς. 2. Οπως έχουµε ξαναπεί µία γραµµική απεικόνιση f : V 1 V και επί συνήθως τη λέµε ισοµορφισµό διανυσµατικών χώρων, τους διανυσµατικούς χώρους τους λέµε ισόµορφους και συµβολίζουµε µε V 1 V Εστω f,g : V 1 V 2 δύο γραµµικές απεικονίσεις. εχόµαστε ότι οι διανυσµατικοί χώροι V 1 και V 2 επί του F είναι πεπεραµένης διάστασης µ και ν αντίστοιχα. Υποθέτουµε ότι α = (α 1,α 2,,α µ ) και β = ( β 1, β 2,, β ν ) είναι δύο διατεταγµένες ϐάσεις των διανυσµατικών χώρων V 1 και V 2 αντίστοιχα. Τότε ( f + g : α, β) = ( f : α, β) + (g : α, β) ( f g : α, β) = ( f : α, β) (g : α, β) (λ f : α, β) = λ ( f : α, β) 4. Μελετήστε ξανά σε ϐάθος το ϑεώρηµα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» και την απόδειξή του. Υπενθυµίζουµε ότι το ϑεώρηµα αυτό λέει ότι: Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

14 Θεώρηµα Εστω V,W,U τρείς διανυσµατικοί χώροι επί του F και α = (α 1,α 2,,α µ ), µία διατεταγµένη ϐάση του V, β = ( β 1, β 2,, β ν ), µία διατεταγµένη ϐάση του W και γ = (γ 1,γ 2,,γ ξ ), µία διατεταγµένη ϐάση του U Αν f : V W και g : W U δύο γραµµικές απεικονίσεις, τότε (g f : α,γ) = (g : β,γ)( f : α, β) 5. Μελετήστε την παράγραφο 2.5 από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» για να ϑυµηθείτε πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός πινάκων. 6. Πολλαπλασιασµός πινάκων: Εστω A = B = α 11 α 12 α 1ν α 21 α 22 α 2ν α µ1 α µ2 α µν β 11 β 12 β 1κ β 21 β 22 β 2κ β ν1 α ν2 α νκ ένας πίνακας µ ν και ένας πίνακας ν κ Ορίζεται το γινόµενο AB, που είναι ένας πίνακας µ κ και το στοιχείο στη ϑέση (i j) είναι το ν α iξ β ξ j ξ= είτε τα παραδείγµατα πολλαπλασιασµού πινάκων και από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 7. Αν πάρουµε την ταυτοτική γραµµική απεικόνιση I : V V µϵ f (v) = v, v V τότε ο πίνακας αυτής (I : α,α) είναι προφανώς ο I ν = Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση µεταξύ δύο χώρων πεπερασµένης διάστασης. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα: (α) Η f είναι ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων. (ϐ) Αν α είναι µία διατεταγµένη ϐάση του V 1 και β µία διατεταγµένη ϐάση του V 2, τότε ο οπίνακας ( f : α, β) είναι αντιστρέψιµος. είτε µία λεπτοµερή απόδειξη του παραπάνω από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Ι, τόµος Α». Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 14

15 3.7 Τάξη πίνακα Πορεία µελέτης 1. είτε το ϐίντεο εδώ. 2. Εστω A ένας πίνακας. Το σύνολο των γραµµών του παράγουν έναν υπόχωρο. Ο υπόχωρος αυτός έχει µία διάσταση. Τη διάσταση του υπόχωρου αυτού τη λέµε τάξη γραµµών του πίνακα A. 3. Εστω A ένας πίνακας. Το σύνολο των στηλών του παράγουν ένα υπόχωρο. Ο υπόχωρος αυτός έχει µία διάσταση. Τη διάσταση του υπόχωρου αυτού τη λέµε τάξη στηλών του πίνακα A. 4. Αυτό που ϑα αποδείξουµε σε µεταγενέστερα µαθήµατα είναι ότι η τάξη γραµµών ενός πίνακα ισούται πάντα µε την τάξη στηλών του. Μέχρι να το αποδείξουµε ϑα υπολογίζουµε αυτούς τους αριθµούς ξεχωριστά. 5. Μελετήστε αυτά που γράφονται στη διεύθυνση εδώ. Ασκήσεις 1. ίνεται ο πίνακας A = Να ϐρείτε µία γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3 έτσι ώστε αν e = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) µία διατεταγµένη ϐάση του R 3, να έχουµε ότι A = ( f : e,e). 2. Να ϐρείτε τον πυρήνα και την εικόνα της γραµµικής απεικόνισης f. 3. ίνεται ο πίνακας: A = λ Να ϐρεθεί η τάξη γραµµών και η τάξη στηλών του A γιά κάθε πραγµατικό αριθµό λ. 4. ίνεται 5 ότι τα A και B είναι διανυσµατικοί χώροι και f : A B είναι γραµµική απεικόνιση Να εξετασθεί εάν ο πυρήνας είναι πάντα διανυσµατικός χώρος Υποθέτουµε ότι η f είναι 1 1. Εξετάστε εάν υπάρχει x A, x 0 µε την ιδιότητα f (x) = Υποθέτουµε ότι τα κ στοιχεία x 1, x 2,, x κ του A είναι γραµµικά ανεξάρτητα, ενώ τα f (x 1 ), f (x 2 ),, f (x κ ) είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Εξετάστε εάν η f είναι Υποθέτουµε ότι A =< x 1, x 2,, x κ > και ότι τα f (x 1 ), f (x 2 ),, f (x κ ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Εξετάστε εάν η f είναι ίνεται η γραµµική απεικόνιση θ : R 3 R 3 µε θ(1,0,0) = (1,2,3) θ(0,1,0) = (4,5,6) θ(0,0,1) = (7,8,9) 5 Οι παρακάτω ασκήσεις είναι περίπου όµοιες µε παλαιά ϑέµατα εξετάσεων. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 15

16 5. 1. Να ϐρεθεί ο τύπος της γραµµικής απεικόνισης, δηλαδή να ϐρεθεί το θ(x, y, z) Να ϐρεθεί µία ϐάση του πυρήνα Kerθ Να ϐρεθεί µία ϐάση της εικόνας Imθ Να ϐρεθεί ο πίνακας (θ : e,e) της γραµµικής απεικόνισης θ ως προς την διατεταγµένη ϐάση ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) Βρείτε ϐάσεις α και β του R 3 έτσι ώστε ο πίνακας ((θ : α, β) να γίνεται «απλός». Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 16

17 3.8 Τάξη πίνακα - µέρος ΙΙ Πορεία µελέτης 1. Να κάνετε µία γρήγορη ανάγνωση του προηγούµενου µαθήµατος. 2. είτε προσεκτικά το Λήµµα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, τόµος Α» και την απόδειξή του. Το Λήµµα αυτό λέει ότι η τάξη στηλών ενός πίνακα A δεν αλλάζει εάν πολλαπλασιάσουµε τον πίνακα A επί έναν αντιστρέψιµο είτε από δεξιά είτε από αριστερά. Η απόδειξη στηρίζεται στην αντιστοιχία πινάκων-γραµµικών απεικονίσεων. Σηµειώνουµε ότι σε ένα αντιστρέψιµο πίνακα αντιστοιχεί ένας ισοµορφισµός. Το τελευταίο να το µελετήσετε καλά. 3. είτε τις λεπτοµέρειες της απόδειξης της πρότασης και του ϑεωρήµατος Γίνεται χρήση και ενός ϑεωρήµατος που αποδείξαµε. Ιδιαίτερα οποιονδήποτε πίνακα µπορούµε να τον πολλαπλασιάσουµε αριστερά µε ένα αντιστρέψιµο και δεξιά επίσης µε αντιστρέψιµο για να καταλήξουµε σε πίνακα της µορφής: Για τον παραπάνω πίνακα όµως ειναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η τάξη γραµµών του είναι ίση µε την τάξη στηλών του. 4. Με ϐάση αυτά τα επιχειρήµατα καταλήγουµε στο: Θεώρηµα Εστω Α ένας πίνακας. Τότε η τάξη στηλών του είναι ίση µε την τάξη γραµµών του. Ο ακέραιος αυτός ϑα λέγεται τάξη του πίνακα Α και ϑα συµβολίζεται µε r(a). 5. Μελετήστε ξανά τα αναγραφόµενα εδώ. 6. είτε τρόπους υπολογισµού της τάξης ενός πίνακα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, τόµος Α» παράγραφος 5.3 και επίσης στη διεύθυνση εδώ. Πορεία µελέτης Στο σηµερινό µάθηµα έχουµε και το παρακάτω: Θεώρηµα Εστω V και W δύο διανυσµατικοί χώροι µε την επιπλέον υπόθεση ότι ο V είναι πεπερασµένης διάστασης. Εστω επίσης f : V W µία γραµµική απεικόνιση. Τότε dimv = dimker f + dimim f 1. Σχέδιο απόδειξης είτε το ϐίντεο εδώ πριν την απόδειξη Αν ο πυρήνας είναι ο {0} τότε το αποτέλεσµα είναι άµεσο διότι η απεικόνιση f : V Im f είναι ισοµορφισµός. Αυτό που κάναµε είναι ότι περιορίσαµε το πεδίο τιµών Αν ο πυρήνας είναι διαφορετικός από το {0}, τότε επιλέγουµε µία ϐάση του έστω η {α 1,α 2,,α ν }. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 17

18 1. 4. Η ϐάση {α 1,α 2,,α ν } του πυρήνα επεκτείνεται σε µία ϐάση {α 1,α 2,,α ν, β 1, β 2,, β µ } όλου του χώρου Θεωρούµε τον υπόχωρο B του V, που παράγεται από τα διανύσµατα { β 1, β 2,, β µ } Ο περιορισµός της αρχικής γραµµικής απεικόνισης f στον υπόχωρο B, δηλαδή η f B : B Im f είναι ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων και έτσι dimb = dimim f Η διάσταση του B είναι όµως dimv dimker f και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. 2. είτε προσεκτικά την απόδειξη του ϑεωρήµατος από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα τόµος Α». Είναι η απόδειξη του ϑεωρήµατος Στην απόδειξη αυτή ϑα επανέλθουµε. 3. είτε ξανά τη σελίδα εδώ και συγκεκριµένα την παράγραφο Kernel, image and the rank-nullity theorem. Ασκηση 1. ίνεται ο πίνακας Να ϐρεθεί η τάξη του Α. A = Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 18

19 3.9 Γραµµικά συστήµατα Θεωρήστε το παρακάτω γραµµικό σύστηµα: α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ (Σ) 1. Ο πίνακας A του συστήµατος (Σ) είναι: A = α 11 α 12 α 13 α 1ν α 21 α 22 α 23 α 2ν α 31 α 32 α 33 α 3ν α µ1 α µ2 α µ3 α µν 2. Μπορούµε να γράψουµε το σύστηµα (Σ) υπό µορφή πινάκων ως εξής: A x 1 x 2 x 3 x ν = και έτσι αντί να έχουµε να λύσουµε το γραµµικό σύστηµα έχουµε την εξίσωση αυτή µε πίνακες. 3. Θεωρούµε τώρα την απεικόνιση η οποία ορίζεται ως εξής: θ β 1 β 2 β 3 β µ θ : F ν 1 F µ 1 x 1 x 2 x 3 x ν = A 4. Η παραπάνω απεικόνιση ϑ είναι γραµµική (αποδείξτε γιατί). 5. Η απεικόνιση ϑ έχει ως πυρήνα έναν υπόχωρο του F ν 1, τον Kerθ, και ως εικόνα ένα υπόχωρο του F µ Αµεσα αποδεικνύεται το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Το σύνολο λύσεων του συστήµατος είναι µη κενό εάν και µόνο εάν β 1 β 2 β 3 β µ x 1 x 2 x 3 x ν Imθ Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 19

20 Απόδειξη: Αµεση από τα προηγούµενα. 7. Θεωρούµε τώρα το παρακάτω οµογενές γραµµικό σύστηµα: α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = 0 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = 0 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = 0 (OΣ) Οπως έχουµε ξαναπεί το σύστηµα αυτό λέγεται αντίστοιχο οµογενές του αρχικού συστήµατος. 8. Το σύνολο λύσεων του παραπάνω οµογενούς γραµµικού συστήµατος είναι ο πυρήνας της γραµµικής απεικόνισης ϑ και άρα είναι ένας υπόχωρος του F ν Αν (OΛ) το σύνολο λύσεων του αντίστοιχου οµογενούς συστήµατος όπως παραπάνω, τότε σύµφωνα µε το κύριο ϑεώρηµα του προηγούµενου µαθήµατος είναι ένας υπόχωρος και ϑά έχουµε dim(oλ) = dimf ν 1 dimimθ = ν rank(a) 10. Αµεσα προκύπτει το παρακάτω πόρισµα: Πόρισµα Αν αριθµός αγνώστων = rank( A), τότε το οµογενές γραµµικό σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση, την (0,0,0,,0) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 20

21 3.10 Γραµµικά συστήµατα - µέρος ΙΙ Πορεία µελέτης Θα µελετήσουµε παρακάτω ξανά ένα γραµµικό σύστηµα όπως αυτό στην παράγραφο Σύνολο λύσεων του γραµµικού συστήµατος (Σ) είναι το σύνολο Λ = {(ξ 1, ξ 2,, ξ ν ) F ν α i1 ξ 1 + α i2 ξ α iν ξ ν = β i,i {1,2,, µ}} 2. Με έλεγχο των απαιτήσεων έχουµε ότι αν το (Σ) είναι οµογενές, δηλαδή εάν β 1 = β 2 = = β µ = 0 το σύνολο λύσεων είναι υπόχωρος. Στο ίδιο συµπέρασµα οδηγούµαστε εάν σκεφθούµε ότι στην πραγµατικότητα το Λ είναι ο πυρήνας της γραµµικής απεικόνισης θ του προηγούµενου µαθήµατος. 3. Εστω ότι το γραµµικό σύστηµα δεν είναι οµογενές. Τότε το σύνολο λύσεων Λ δεν περιέχει το (0,0,0,...,0), άρα το Λ δεν είναι υπόχωρος, διότι κάθε υπόχωρος από τον ορισµό περιέχει το µηδενικό (0,0,0,...,0) στοιχείο του χώρου. 4. Ο πίνακας A = λέγεται πίνακας του συστήµατος. 5. Ο πίνακας α 11 α 12 α 13 α 1ν α 21 α 22 α 23 α 2ν α 31 α 32 α 33 α 3ν α µ1 α µ2 α µ3 α µν Γ = α 11 α 12 α 13 α 1ν β 1 α 21 α 22 α 23 α 2ν β 2 α 31 α 32 α 33 α 3ν β 3 α µ1 α µ2 α µ3 α µν β µ λέγεται επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος ή απλά επαυξηµένος πίνακας. 6. Μπορούµε το σύστηµα (Σ) της παραγράφου 3.9 να το γράψουµε ισοδύναµα ως εξής: x 1 α 11 α 21 α 31 α µ1 + x 2 α 12 α 22 α 32 α µ2 + + x ν α 1ν α 2ν α 3ν α µ1 = 7. Το πρώτο µέλος της παραπάνω σχέσης είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των στηλών του πίνακα του συστήµατος A. β 1 β 2 β 3 β µ Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 21

22 8. Η σχέση αυτή επίσης µας λέει ότι αν το σύστηµα (Σ) έχει λύση, τότε ένας γραµµικός συνδυασµός β 1 β 2 των στηλών του πίνακα A β είναι ίσος µε τον πίνακα-στήλη των σταθερών όρων ή ότι ο πίνακας 3 β µ ϐρίσκεται στον υπόχωρο που παράγουν οι στήλες του πίνακα A. ιατυπώνουµε τώρα ένα από τα πιο σηµαντικά ϑεωρήµατα σχετικά µε τα γραµµικά συστήµατα: Θεώρηµα Το γραµµικό σύστηµα (Σ) έχει λύση (τουλάχιστον µία) εάν και µόνο εάν η τάξη rank(a) του πίνακα A του συστήµατος είναι ίση µε την τάξη rank(γ) του επαυξηµένου πίνακα. Ασκήσεις 1. Να γίνει λεπτοµερώς η απόδειξη του ϑεωρήµατος Να ϐρεθεί το σύνολο λύσεων του συστήµατος 2x + 3y + 5z + ω = 0 x + y z ω = 0 Να κατασκευάσετε την απεικόνιση ϑ όπως παραπάνω και να ϐρείτε τον υπόχωρο Imθ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 22

23 3.11 Ασκήσεις - στοιχεία αυτοαξιολόγησης 1. ίνεται ο διανυσµατικός χώρος V = {(x, y, z) R 3 2x + 3y + 7z = 0} Να ϐρεθεί µία ϐάση B του V και η διάστασή του Να ϐρείτε ένα στοιχείο (α, β,γ) R 3 έτσι ώστε το σύνολο B {(α, β,γ)} να είναι ϐάση του R Αν A ένας υπόχωρος του R 8 και B µία ϐάση του A, δείξτε ότι υπάρχει υποσύνολο γραµµικά ανεξαρτήτων διανυσµάτων Γ του R 8, έτσι ώστε το Γ B να είναι ϐάση του R Μία γραµµική απεικόνιση θ : R 5 R 5 έχει τις ιδιότητες θ I, δηλαδή δεν είναι η ταυτοτική και θ 2 = θ, δηλαδή θ θ = θ είξτε ότι Kerθ {0} είξτε ότι Kerθ Imθ = {0} είξτε ότι για κάθε στοιχείο ω R 5 υπάρχουν µοναδικά α ω Kerθ και β ω Imθ έτσι ώστε ω = α ω + β ω. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 23

24 3.12 Γραµµικά συστήµατα - Συνέχεια Πορεία µελέτης 1. Από την παράγραφο 2.8 (από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, Τόµος Α») µελετήστε τον ορισµό 2.8.1, την πρόταση και τα παραδείγµατα 2.8.3, 2.8.4, και Μελετήστε τα 15 παραδείγµατα και τις 37 ασκήσεις της παραγράφου 1 του κεφαλαίου Ι (από το κεφάλαιο Solvin linear systems. Gauss method) που ϐρίσκεται στην Ηλεκτρονική τάξη του µαθήµατος. Οι ασκήσεις είναι λυµένες, αλλά καλό είναι να τις λύσετε µόνοι σας και µετά να επιβεβαιώσετε την ορθότητα της λύσης. 3. Ρίξτε µία µατιά στη σελίδα εδώ. 4. είτε το ϐίντεο µε τον διάσηµο καθηγητή Gilbert Strang από το ΜΙΤ που µιλάει για τα γραµµικά συστήµατα. Είναι στη διεύθυνση εδώ, εδώ και εδώ. 5. Στο on-line πρόγραµµα επίλυσης γραµµικών συστηµάτων, που ϐρίσκεται εδώ, ϐάλτε το σύστηµα x + 2y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = 0 7x + 8y + 9z = 0 και αναζητήστε τις λύσεις του. Μετά να ερµηνεύσετε και να επιβεβαιώσετε το αποτέλεσµα. 6. Να κάνετε το ίδιο και µε το υπολογιστικό πακέτο εδώ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 24

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαιο 7 ιασκοντες: Ν. Μαρµαρίης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ. Ψαρουάκης Ιστοσελια Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii.html - - Ασκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι τα διανύσµατα

Τι είναι τα διανύσµατα Τι είναι τα διανύσµατα Μέχρι τώρα έχουµε εξετάσει τις επιπτώσεις των νόµων του Νεύτωνα σε ένα µονοδιάστατο κόσµο Θα αναπτύξουµε τώρα τη µηχανική στο χώρο των τριών διαστάσεων Αποδεικνύεται όµως ιδιαιτέρως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα