Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 3.1 Γραµµικές απεικονίσεις Πυρήνας και Εικόνα µίας γραµµικής απεικόνισης Πίνακας γραµµικής απεικόνισης Ισοµορφισµοί διανυσµατικών χώρων Απλή µορφή πίνακα Πίνακες και γραµµικές απεικονίσεις Τάξη πίνακα Τάξη πίνακα - µέρος ΙΙ Γραµµικά συστήµατα Γραµµικά συστήµατα - µέρος ΙΙ Ασκήσεις - στοιχεία αυτοαξιολόγησης Γραµµικά συστήµατα - Συνέχεια Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 3.1 Γραµµικές απεικονίσεις Αρχίζουµε σήµερα τη µελέτη συναρτήσεων µεταξύ διανυσµατικών χώρων. Οι συναρτήσεις που µας ενδιαφέρουν περισσότερο είναι αυτές που «σέβονται» τη δοµή του διανυσµατικού χώρου και τις ονοµάζουµε γραµµικές απεικονίσεις. Ορισµός Εστω V 1 και V 2 δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F. Μία απεικόνιση 1 λέγεται γραµµική απεικόνιση 2, εάν f : V 1 V 2, ϑα 1. f (α + β) = f (α) + f ( β) α, β V 1 2. f (λ α) = λ f (α) λ F,α V 1 1. ύο διανυσµατικοί χώροι V 1 και V 2 λέγονται ισόµορφοι εάν υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : V 1 V 2 η οποία είναι 1 1 και επί. Στην περίπτωση αυτή συµβολίζουµε V 1 V 2 και λέµε ότι η γραµµική απεικόνιση f είναι ισοµορφισµός. 2. είτε τα παραδείγµατα σελ 141 από το Βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, Τόµος Α». 3. Μελετήστε τις προτάσεις και σελ 143 από το Βιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, Τόµος Α». 4. Ισχύει η εξής ιδιότητα: Πρόταση Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Τότε f (0 V1 ) = 0 V2 Απόδειξη: Εχουµε f (0 V1 + 0 V1 ) = f (0 V1 ) + f (0 V1 ) από την πρώτη ιδιότητα των γραµµικών απεικονίσεων. Ας ονοµάσουµε το f (0 V1 ) µε ω. Τότε έχουµε τη σχέση ω + ω = ω, άρα ω = 0. Η πρόταση µας λέει ότι οποιαδήποτε γραµµική απεικόνιση f : V 1 V 2 απεικονίζει πάντα το µηδενικό στοιχείο του πρώτου χώρου στο µηδενικό στοιχείο του δευτέρου χώρου. 5. Ισχύει ακόµα η εξής ιδιότητα: Πρόταση Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Τότε f ( x) = f (x) Απόδειξη: Εχουµε 0 V2 = f (0 V1 ) = f (x + ( x)) = f (x) + f ( x). 1 Η έννοια της απεικόνισης είναι ταυτόσηµη µε την έννοια της συνάρτησης. 2 λέγεται επίσης και γραµµικός µετασχηµατισµός Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 3.2 Πυρήνας και Εικόνα µίας γραµµικής απεικόνισης 1. ίνουµε τον ορισµό του πυρήνα µίας γραµµικής απεικόνισης: Ορισµός Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Το σύνολο Ker f = {x V 1 f (x) = 0 V2 } το ονοµάζουµε πυρήνα της γραµµικής απεικόνισης. 2. Ο πυρήνας µιας γραµµικής απεικόνισης είναι πάντα υπόχωρος. Απόδειξη: Εχουµε από την πρόταση ότι f (0 V1 ) = 0 V2, άρα 0 V1 Ker f. Αν x, y Ker f, τότε f (x) = f (y) = 0 V2. Αρα f (x + y) = f (x) + f (y) = 0 V2 και τελικά x + y Ker f. Οµοίως αποδεικνύεται και η τρίτη απαίτηση και έτσι ο πυρήνας είναι ένας υπόχωρος του χώρου V ίνουµε τον ορισµό της εικόνας µίας γραµµικής απεικόνισης: Ορισµός Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Το σύνολο Im f = {ω V 2 x V 1 : f (x) = ω} το ονοµάζουµε εικόνα της γραµµικής απεικόνισης. 4. Το σύνολο Im f είναι ένας υπόχωρος του V 2. Η απόδειξη είναι όµοια µε την παραπάνω. 5. Να διαβάσετε το παράδειγµα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 6. Μελετήστε για τις γραµµικές απεικονίσεις στη δικτυακή διεύθυνση εδώ. Ασκήσεις 1. ίνεται η Γραµµική απεικόνιση θ 1 : R 3 R 3 µε θ 1 (x, y, z) = (x + y + z, x,2x) Να ϐρεθεί µία ϐάση του πυρήνα και της εικόνας της γραµµικής απεικόνισης θ Να ϐρεθούν όλες οι γραµµικές απεικονίσεις f : R 3 R 3 που έχουν τον ίδιο πυρήνα και την ίδια εικόνα µε την θ 1. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 3.3 Πίνακας γραµµικής απεικόνισης 1. ίνουµε τον ορισµό του πίνακα µίας γραµµικής απεικόνισης: Ορισµός (α) Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. (ϐ) εχόµαστε ότι οι διανυσµατικοί χώροι V 1 και V 2 επί του F είναι πεπεραµένης διάστασης µ και ν αντίστοιχα. (γ) Υποθέτουµε ότι α = (α 1,α 2,,α µ ) και β = ( β 1, β 2,, β ν ) είναι δύο διατεταγµένες 3 ϐάσεις των διανυσµατικών χώρων V 1 και V 2 αντίστοιχα. (δ) Τα διανύσµατα f (α 1 ), f (α 2 ),, f (α ν ) είναι διανύσµατα του χώρου V 2, άρα το καθένα ϑα είναι γραµµικός συνδυασµός των ( β 1, β 2,, β ν ). (ε) Εχουµε f (α 1 ) = λ 11 β 1 + λ 12 β λ 1ν β ν f (α 2 ) = λ 21 β 1 + λ 22 β λ 2ν β ν f (α µ ) = λ µ1 β 1 + λ µ2 β λ µν β ν (στ) Σχηµατίζεται ένας πίνακας ως εξής 4 : λ 11 λ 21 λ µ1 A = λ 12 λ 22 λ µ2 λ 1ν λ 2ν λ µν (Ϲ) Ο παραπάνω πίνακας A λέγεται πίνακας της γραµµικής απεικόνισης f ως προς τις διατεταγ- µένες ϐάσεις α και β και συµβολίζεται µε ( f : α, β) 2. Παρατηρούµε ότι ο πίνακας είναι ν µ, δηλαδή πίνακας ν γραµµών και µ στηλών, ενώ η γραµµική απεικόνιση είναι από ένα διανυσµατικό χώρο διάστασης µ σε ένα διανυσµατικό χώρο διάστασης ν. 3. Μελετήστε τα παραδείγµατα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 4. Αν ο πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης είναι ο µηδενικός πίνακας τι συµπεραίνετε για την γραµµική απεικόνιση; 5. Αν ο πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης είναι ο µοναδιαίος τι συµπεραίνετε για την γραµµική απεικόνιση; Ασκήσεις Ασκηση ίνεται η απεικόνιση f : R 3 R 2 µε f (x, y, z) = (2x y, x y). είξτε ότι: 1. Η απεικόνιση f είναι γραµµική. 2. Να ϐρεθεί το σύνολο K = {(x, y, z) R 3 µϵ f (x, y, z) = (0,0)} και να αποδειχθεί ότι είναι υπόχωρος. Τι διάσταση έχει το Κ; 3 Με τον όρο διατεταγµένη ϐάση εννοούµε µία ϐάση, στην οποία έχουµε ϐάλει µία διάταξη, µία σειρά στα διανύσµατά της. 4 Προσέξτε ότι ϐάζουµε ως στήλες τις γραµµές που εµφανίζονται στη γραφή των f (a i ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 3. Να ϐρεθεί το σύνολο: Im( f ) = {(α, β) R 2 ϵτσι ωστϵ υπαρ χϵι (x, y, z) R 3 µϵ f (x, y, z) = (α, β)} Να αποδειχθεί ότι το σύνολο Im( f ) είναι υπόχωρος και να ϐρεθεί η διάστασή του. 4. Εστω ότι ένας διανυσµατικός χώρος έχει διάσταση 7. είξτε ότι ένα σύνολο 7 γραµµικά ανεξαρτήτων διανυσµάτων είναι ϐάση. 5. Εστω ότι ένας διανυσµατικός χώρος έχει διάσταση 7. είξτε ότι ένα σύνολο 7 διανυσµάτων του χώρου, τα οποία τον παράγουν, είναι ϐάση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 3.4 Ισοµορφισµοί διανυσµατικών χώρων 1. Θα αποδείξουµε το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Εστω V 1 και V 2 δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F πεπερασµένης διάστασης. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα: (α) dim F V 1 = dim F V 2 (ϐ) Υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : V 1 V και επί. Απόδειξη: Από το (α) στο (ϐ) : Εστω ότι οι δύο χώροι V 1 και V 2 έχουν ίσες διαστάσεις: dim F V 1 = dim F V 2 = ν. Εστω επίσης {α 1,α 2,,α ν } µία ϐάση του χώρου V 1 και { β 1, β 2,, β ν } µία ϐάση του χώρου V 2. Κάθε στοιχείο x V 1 γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως x = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 ++ λ ν α ν. Τότε µπορούµε να ορίσουµε τη συνάρτηση f (x) = λ 1 β 1 + λ 2 β λ ν β ν Η συνάρτηση αυτή είναι γραµµική 1 1 και επί. Προσπαθήστε να αποδείξετε τους ισχυρισµούς αυτούς. Από το (ϐ) στο (α) : Εστω f : V 1 V και επί και {α 1,α 2,,α ν } µία ϐάση του πρώτου χώρου. Θεω- ϱούµε το σύνολο { f (α 1 ), f (α 2 ),, f (α ν )}. Το σύνολο αυτό είναι µία ϐάση του χώρου V 2. σπροσπαθήστε να αποδείξετε τους ισχυρισµούς αυτούς. 2. Μία γραµµική απεικόνιση f : V 1 V και επί συνήθως τη λέµε ισοµορφισµό διανυσµατικών χώρων, τους διανυσµατικούς χώρους τους λέµε ισόµορφους και συµβολίζουµε µε V 1 V Εστω f,g : V 1 V 2 δύο γραµµικές απεικονίσεις. εχόµαστε ότι οι διανυσµατικοί χώροι V 1 και V 2 επί του F είναι πεπερασµένης διάστασης µ και ν αντίστοιχα. Υποθέτουµε ότι α = (α 1,α 2,,α µ ) και β = ( β 1, β 2,, β ν ) είναι δύο διατεταγµένες ϐάσεις των διανυσµατικών χώρων V 1 και V 2 αντίστοιχα. Τότε: ( f + g : α, β) = ( f : α, β) + (g : α, β) ( f g : α, β) = ( f : α, β) (g : α, β) Με λόγια αυτές οι σχέσεις σηµαίνουν: (λ f : α, β) = λ ( f : α, β) Ο πίνακας του αθροίσµατος δύο γραµµικών απεικονίσεων(που είναι επίσης γραµµική απεικόνιση) ισούται µε το άθροισµα των πινάκων των επι µέρους γραµµικών απεικονίσεων Ο πίνακας της διαφοράς δύο γραµµικών απεικονίσεων(που είναι επίσης γραµµική απεικόνιση) ισούται µε τη διαφορά των πινάκων των επι µέρους γραµµικών απεικονίσεων. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 3. 3. Ο πίνακας του γινοµένου ενός αριθµού επί µία γραµµική απεικόνιση (που είναι επίσης γραµµική απεικόνιση) ισούται µε το γινόµενο του αριθµού επί τον πίνακα της γραµµικής απεικόνισης. 4. Είχαµε παραπάνω δώσει τον ορισµό: Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Το σύνολο Ker f = {x V 1 f (x) = 0 V2 } το ονοµάζουµε πυρήνα της γραµµικής απεικόνισης. Σχετικά µε τον πυρήνα ισχύει το εξής ϑεώρηµα: Θεώρηµα Η γραµµική απεικόνιση f είναι 1 1 εάν και µόνο εάν Ker f = {0} Απόδειξη: Εστω ότι Ker f = {0} και f (x) = f (y). Τότε f (x y) = 0 και άρα x y Ker f. Αλλά ο πυρήνας έχει µόνο ένα στοιχείο το 0, άρα x y = 0 άρα x = y και η απεικόνιση είναι 1 1. Αν τώρα η f είναι 1 1 και x Ker f τότε f (x) = 0. Αλλά επειδή η f είναι γραµµική απεικόνιση, έχουµε f (0) = 0. Αρα x = Επίσης έχουµε δώσει τον ορισµό: Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση. Το σύνολο Im f = {ω V 2 x V 1 f (x) = ω} το ονοµάζουµε εικόνα της γραµµικής απεικόνισης. ϑεώρηµα: Σχετικά µε την εικόνα έχουµε το παρακάτω Θεώρηµα Η γραµµική απεικόνιση f : V 1 V 2 είναι επί εάν και µόνο εάν Im f = V 2. Η απόδειξη είναι άµεση από τους ορισµούς. 6. Αµεσα αποδεικνύεται το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Η γραµµική απεικόνιση f : V 1 Ker f = 0 και Im f = V 2. Η απόδειξη είναι άµεση από τους ορισµούς. V 2 είναι ισοµορφισµός εάν και µόνο εάν 7. Μελετήστε σε ϐάθος το ϑεώρηµα σελ 168 από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» και την απόδειξή του. 8. Ρίξτε µία µατιά στη διεύθυνση εδώ για περισσότερες πληροφορίες γύρω από τις γραµµικές απεικονίσεις. 9. είτε επίσης και εδώ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 3.5 Απλή µορφή πίνακα Πως ο πίνακας µίας γραµµικής απεικόνισης λαµβάνει απλή µορφή 1. Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση και Ker f, Im f ο πυρήνας και η εικόνα της. Γνωρίζουµε ότι ο πυρήνας Ker f είναι υπόχωρος του χώρου V 1 και η εικονα Im f είναι υπόχωρος του δεύτερου χώρου V ιαλέγουµε µία ϐάση του πυρήνα έστω την {α 1,α 2,,α κ }. Η ϐάση αυτή αποτελείται από γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα του χώρου V 1 και εποµένως σύµφωνα µε το ϑεώρηµα επέκτασης, µπορούµε να ϐρούµε ένα σύνολο { β 1, β 2,, β λ } έτσι ώστε το σύνολο να είναι ϐάση του V 1. { β 1, β 2,, β λ,α 1,α 2,,α κ } 3. Θα αποδείξουµε ότι το σύνολο { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ )} είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Προς τούτο ϑεωρούµε ένα γραµµικό συνδυασµό ξ 1 f ( β 1 ) + ξ 2 f ( β 2 ) + + ξ λ f ( β λ ) = 0 V2 Επειδή η f είναι γραµµική, η τελευταία σχέση γίνεται: f (ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ ) = 0 V2 άρα το στοιχείο ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ ανήκει στον πυρήνα της f. 4. Θα υπάρχουν εποµένως συντελεστές µ 1, µ 2,, µ κ έτσι ώστε ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ = µ 1 α 1 + µ 2 α µ κ α κ 5. Από την τελευταία σχέση έχουµε ότι ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ λ β λ µ 1 α 1 µ 2 α 2 µ κ α κ = 0 V1 Οµως το σύνολο { β 1, β 2,, β λ,α 1,α 2,,α κ } είναι γραµµικά ανεξάρτητο, άρα όλοι οι συντελεστές είναι µηδέν και ιδιαίτερα ϑα έχουµε ότι ξ 1 = ξ 2 = = ξ λ = 0, άρα έχουµε το Ϲητούµενο, δηλαδή το σύνολο { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ )} είναι γραµµικά ανεξάρτητο. 6. Αφού το σύνολο { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ )} είναι γραµµικά ανεξάρτητο, σύµφωνα ξανά µε το ϑεώρηµα επέκτασης υπάρχουν διανύσµατα του χώρου έτσι ώστε το σύνολο να είναι ϐάση του V 2. γ 1,γ 2,,γ ν { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ ),γ 1,γ 2,,γ ν } 7. Με όλη τη δουλειά πιο πάνω, κατασκευάσαµε µία ϐάση του πρώτου χώρου V 1 και µία ϐάση { β 1, β 2,, β λ,α 1,α 2,,α κ } { f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ ),γ 1,γ 2,,γ ν } του δεύτερου χώρου V 2. Αν τις ϑεωρήσουµε διατεταγµένες, µπορούµε να υπολογίσουµε τον πίνακα της γραµµικής απεικόνισης. Θεωρούµε λοιπόν τις διατεταγµένες ϐάσεις και α = ( β 1, β 2,, β λ,α 1,α 2,,α κ ) β = ( f ( β 1 ), f ( β 2 ),, f ( β λ ),γ 1,γ 2,,γ ν ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 8. Υπολογισµός του πίνακα ( f : α, β): f ( β 1 ) = 1 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f ( β 2 ) = 0 f ( β 1 ) + 1 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f ( β λ ) = 0 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 1 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f (α 1 ) = 0 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f (α 2 ) = 0 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν f (α κ ) = 0 f ( β 1 ) + 0 f ( β 2 ) + 0 f ( β 3 ) + 0 f ( β λ ) + 0 γ γ γ ν 9. Ο πίνακας ( f : α, β) παίρνει τη µορφή 10. Αποδεικνύουµε το παρακάτω ϑεώρηµα: Θεώρηµα Για κάθε γραµµική απεικόνιση f : V 1 V 2 µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπε- ϱασµένης διάστασης, υπάρχουν ϐάσεις α του πρώτου χώρου και β του δεύτερου χώρου έτσι ώστε ο πίνακας ( f : α, β), ως προς τις ϐάσεις αυτές να λαµβάνει την µορφή Παρατηρούµε ότι: Παρατήρηση Η παραπάνω µορφή του πίνακα είναι η απλούστερη δυνατή µορφή. 12. Παρατηρούµε επίσης ότι: Παρατήρηση Ο αριθµός των µονάδων που εµφανίζονται στον πίνακα είναι ίσος µε τη διάσταση του υπόχωρου Im f. Η διάσταση του υπόχωρου Im f λέγεται και τάξη (rank) της γραµµικής απεικόνισης. Ασκήσεις 1. Να κάνετε λεπτοµερώς τις αποδείξεις του µαθήµατος αυτού και συγκεκριµένα την απόδειξη του ϑεω- ϱήµατος 3.5.1, τις αποδείξεις στο σηµείο 3 της παραγράφου αυτής και την απόδειξη του ϑεωρήµατος από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 2. Να εξετασθεί εάν υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 2 η οποία να είναι Να εξετασθεί εάν υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : R 2 R 3 η οποία να είναι επί. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 4. ίνεται η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 2 µε f (x, y, z) = (2x y, x + y 3z). Να ϐρεθούν ϐάσεις α του πρώτου χώρου R 3 και β του δεύτερου χώρου R 2 έτσι ώστε ο πίνακας ( f : α, β), ως προς τις ϐάσεις αυτές να λαµβάνει την απλούστερη δυνατή µορφή σύµφωνα µε τα παραπάνω. Ποια είναι η διάσταση του πυρήνα Ker f ; Ποιά είναι η διάσταση της εικόνας Im f ; Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 3.6 Πίνακες και γραµµικές απεικονίσεις Πορεία µελέτης 1. Ας ξαναθυµηθούµε το ϑεώρηµα του προηγούµενου µαθήµατος: Θεώρηµα Εστω V 1 και V 2 δύο διανυσµατικοί χώροι επί του F πεπερασµένης διάστασης. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα: (α) dim F V 1 = dim F V 2 (ϐ) Υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : V 1 V και επί. Απόδειξη: Από το (α) στο (ϐ): Εστω ότι οι δύο χώροι V 1 και V 2 έχουν ίσες διαστάσεις dim F V 1 = dim F V 2 = ν Εστω επίσης {α 1,α 2,,α ν } µία ϐάση του χώρου V 1 και { β 1, β 2,, β ν } µία ϐάση του χώρου V 2. Κάθε στοιχείο x V 1 γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως x = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 ++ λ ν α ν. Τότε µπορούµε να ορίσουµε τη συνάρτηση f (x) = λ 1 β 1 + λ 2 β λ ν β ν Η συνάρτηση αυτή είναι γραµµική 1 1 και επί. Προσπαθήστε να αποδείξετε τους ισχυρισµούς αυτούς. Από το (ϐ) στο (α): Εστω f : V 1 V και επί και {α 1,α 2,,α ν } µία ϐάση του πρώτου χώρου. Θεω- ϱούµε το σύνολο { f (α 1 ), f (α 2 ),, f (α ν )}. Το σύνολο αυτό είναι µία ϐάση του χώρου V 2. Προσπαθήστε να αποδείξετε τους ισχυρισµούς αυτούς. 2. Οπως έχουµε ξαναπεί µία γραµµική απεικόνιση f : V 1 V και επί συνήθως τη λέµε ισοµορφισµό διανυσµατικών χώρων, τους διανυσµατικούς χώρους τους λέµε ισόµορφους και συµβολίζουµε µε V 1 V Εστω f,g : V 1 V 2 δύο γραµµικές απεικονίσεις. εχόµαστε ότι οι διανυσµατικοί χώροι V 1 και V 2 επί του F είναι πεπεραµένης διάστασης µ και ν αντίστοιχα. Υποθέτουµε ότι α = (α 1,α 2,,α µ ) και β = ( β 1, β 2,, β ν ) είναι δύο διατεταγµένες ϐάσεις των διανυσµατικών χώρων V 1 και V 2 αντίστοιχα. Τότε ( f + g : α, β) = ( f : α, β) + (g : α, β) ( f g : α, β) = ( f : α, β) (g : α, β) (λ f : α, β) = λ ( f : α, β) 4. Μελετήστε ξανά σε ϐάθος το ϑεώρηµα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» και την απόδειξή του. Υπενθυµίζουµε ότι το ϑεώρηµα αυτό λέει ότι: Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

14 Θεώρηµα Εστω V,W,U τρείς διανυσµατικοί χώροι επί του F και α = (α 1,α 2,,α µ ), µία διατεταγµένη ϐάση του V, β = ( β 1, β 2,, β ν ), µία διατεταγµένη ϐάση του W και γ = (γ 1,γ 2,,γ ξ ), µία διατεταγµένη ϐάση του U Αν f : V W και g : W U δύο γραµµικές απεικονίσεις, τότε (g f : α,γ) = (g : β,γ)( f : α, β) 5. Μελετήστε την παράγραφο 2.5 από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» για να ϑυµηθείτε πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός πινάκων. 6. Πολλαπλασιασµός πινάκων: Εστω A = B = α 11 α 12 α 1ν α 21 α 22 α 2ν α µ1 α µ2 α µν β 11 β 12 β 1κ β 21 β 22 β 2κ β ν1 α ν2 α νκ ένας πίνακας µ ν και ένας πίνακας ν κ Ορίζεται το γινόµενο AB, που είναι ένας πίνακας µ κ και το στοιχείο στη ϑέση (i j) είναι το ν α iξ β ξ j ξ= είτε τα παραδείγµατα πολλαπλασιασµού πινάκων και από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 7. Αν πάρουµε την ταυτοτική γραµµική απεικόνιση I : V V µϵ f (v) = v, v V τότε ο πίνακας αυτής (I : α,α) είναι προφανώς ο I ν = Εστω f : V 1 V 2 µία γραµµική απεικόνιση µεταξύ δύο χώρων πεπερασµένης διάστασης. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα: (α) Η f είναι ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων. (ϐ) Αν α είναι µία διατεταγµένη ϐάση του V 1 και β µία διατεταγµένη ϐάση του V 2, τότε ο οπίνακας ( f : α, β) είναι αντιστρέψιµος. είτε µία λεπτοµερή απόδειξη του παραπάνω από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Ι, τόµος Α». Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 14

15 3.7 Τάξη πίνακα Πορεία µελέτης 1. είτε το ϐίντεο εδώ. 2. Εστω A ένας πίνακας. Το σύνολο των γραµµών του παράγουν έναν υπόχωρο. Ο υπόχωρος αυτός έχει µία διάσταση. Τη διάσταση του υπόχωρου αυτού τη λέµε τάξη γραµµών του πίνακα A. 3. Εστω A ένας πίνακας. Το σύνολο των στηλών του παράγουν ένα υπόχωρο. Ο υπόχωρος αυτός έχει µία διάσταση. Τη διάσταση του υπόχωρου αυτού τη λέµε τάξη στηλών του πίνακα A. 4. Αυτό που ϑα αποδείξουµε σε µεταγενέστερα µαθήµατα είναι ότι η τάξη γραµµών ενός πίνακα ισούται πάντα µε την τάξη στηλών του. Μέχρι να το αποδείξουµε ϑα υπολογίζουµε αυτούς τους αριθµούς ξεχωριστά. 5. Μελετήστε αυτά που γράφονται στη διεύθυνση εδώ. Ασκήσεις 1. ίνεται ο πίνακας A = Να ϐρείτε µία γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3 έτσι ώστε αν e = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) µία διατεταγµένη ϐάση του R 3, να έχουµε ότι A = ( f : e,e). 2. Να ϐρείτε τον πυρήνα και την εικόνα της γραµµικής απεικόνισης f. 3. ίνεται ο πίνακας: A = λ Να ϐρεθεί η τάξη γραµµών και η τάξη στηλών του A γιά κάθε πραγµατικό αριθµό λ. 4. ίνεται 5 ότι τα A και B είναι διανυσµατικοί χώροι και f : A B είναι γραµµική απεικόνιση Να εξετασθεί εάν ο πυρήνας είναι πάντα διανυσµατικός χώρος Υποθέτουµε ότι η f είναι 1 1. Εξετάστε εάν υπάρχει x A, x 0 µε την ιδιότητα f (x) = Υποθέτουµε ότι τα κ στοιχεία x 1, x 2,, x κ του A είναι γραµµικά ανεξάρτητα, ενώ τα f (x 1 ), f (x 2 ),, f (x κ ) είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Εξετάστε εάν η f είναι Υποθέτουµε ότι A =< x 1, x 2,, x κ > και ότι τα f (x 1 ), f (x 2 ),, f (x κ ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Εξετάστε εάν η f είναι ίνεται η γραµµική απεικόνιση θ : R 3 R 3 µε θ(1,0,0) = (1,2,3) θ(0,1,0) = (4,5,6) θ(0,0,1) = (7,8,9) 5 Οι παρακάτω ασκήσεις είναι περίπου όµοιες µε παλαιά ϑέµατα εξετάσεων. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 15

16 5. 1. Να ϐρεθεί ο τύπος της γραµµικής απεικόνισης, δηλαδή να ϐρεθεί το θ(x, y, z) Να ϐρεθεί µία ϐάση του πυρήνα Kerθ Να ϐρεθεί µία ϐάση της εικόνας Imθ Να ϐρεθεί ο πίνακας (θ : e,e) της γραµµικής απεικόνισης θ ως προς την διατεταγµένη ϐάση ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) Βρείτε ϐάσεις α και β του R 3 έτσι ώστε ο πίνακας ((θ : α, β) να γίνεται «απλός». Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 16

17 3.8 Τάξη πίνακα - µέρος ΙΙ Πορεία µελέτης 1. Να κάνετε µία γρήγορη ανάγνωση του προηγούµενου µαθήµατος. 2. είτε προσεκτικά το Λήµµα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, τόµος Α» και την απόδειξή του. Το Λήµµα αυτό λέει ότι η τάξη στηλών ενός πίνακα A δεν αλλάζει εάν πολλαπλασιάσουµε τον πίνακα A επί έναν αντιστρέψιµο είτε από δεξιά είτε από αριστερά. Η απόδειξη στηρίζεται στην αντιστοιχία πινάκων-γραµµικών απεικονίσεων. Σηµειώνουµε ότι σε ένα αντιστρέψιµο πίνακα αντιστοιχεί ένας ισοµορφισµός. Το τελευταίο να το µελετήσετε καλά. 3. είτε τις λεπτοµέρειες της απόδειξης της πρότασης και του ϑεωρήµατος Γίνεται χρήση και ενός ϑεωρήµατος που αποδείξαµε. Ιδιαίτερα οποιονδήποτε πίνακα µπορούµε να τον πολλαπλασιάσουµε αριστερά µε ένα αντιστρέψιµο και δεξιά επίσης µε αντιστρέψιµο για να καταλήξουµε σε πίνακα της µορφής: Για τον παραπάνω πίνακα όµως ειναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η τάξη γραµµών του είναι ίση µε την τάξη στηλών του. 4. Με ϐάση αυτά τα επιχειρήµατα καταλήγουµε στο: Θεώρηµα Εστω Α ένας πίνακας. Τότε η τάξη στηλών του είναι ίση µε την τάξη γραµµών του. Ο ακέραιος αυτός ϑα λέγεται τάξη του πίνακα Α και ϑα συµβολίζεται µε r(a). 5. Μελετήστε ξανά τα αναγραφόµενα εδώ. 6. είτε τρόπους υπολογισµού της τάξης ενός πίνακα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, τόµος Α» παράγραφος 5.3 και επίσης στη διεύθυνση εδώ. Πορεία µελέτης Στο σηµερινό µάθηµα έχουµε και το παρακάτω: Θεώρηµα Εστω V και W δύο διανυσµατικοί χώροι µε την επιπλέον υπόθεση ότι ο V είναι πεπερασµένης διάστασης. Εστω επίσης f : V W µία γραµµική απεικόνιση. Τότε dimv = dimker f + dimim f 1. Σχέδιο απόδειξης είτε το ϐίντεο εδώ πριν την απόδειξη Αν ο πυρήνας είναι ο {0} τότε το αποτέλεσµα είναι άµεσο διότι η απεικόνιση f : V Im f είναι ισοµορφισµός. Αυτό που κάναµε είναι ότι περιορίσαµε το πεδίο τιµών Αν ο πυρήνας είναι διαφορετικός από το {0}, τότε επιλέγουµε µία ϐάση του έστω η {α 1,α 2,,α ν }. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 17

18 1. 4. Η ϐάση {α 1,α 2,,α ν } του πυρήνα επεκτείνεται σε µία ϐάση {α 1,α 2,,α ν, β 1, β 2,, β µ } όλου του χώρου Θεωρούµε τον υπόχωρο B του V, που παράγεται από τα διανύσµατα { β 1, β 2,, β µ } Ο περιορισµός της αρχικής γραµµικής απεικόνισης f στον υπόχωρο B, δηλαδή η f B : B Im f είναι ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων και έτσι dimb = dimim f Η διάσταση του B είναι όµως dimv dimker f και το ϑεώρηµα αποδείχθηκε. 2. είτε προσεκτικά την απόδειξη του ϑεωρήµατος από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα τόµος Α». Είναι η απόδειξη του ϑεωρήµατος Στην απόδειξη αυτή ϑα επανέλθουµε. 3. είτε ξανά τη σελίδα εδώ και συγκεκριµένα την παράγραφο Kernel, image and the rank-nullity theorem. Ασκηση 1. ίνεται ο πίνακας Να ϐρεθεί η τάξη του Α. A = Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 18

19 3.9 Γραµµικά συστήµατα Θεωρήστε το παρακάτω γραµµικό σύστηµα: α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = β µ (Σ) 1. Ο πίνακας A του συστήµατος (Σ) είναι: A = α 11 α 12 α 13 α 1ν α 21 α 22 α 23 α 2ν α 31 α 32 α 33 α 3ν α µ1 α µ2 α µ3 α µν 2. Μπορούµε να γράψουµε το σύστηµα (Σ) υπό µορφή πινάκων ως εξής: A x 1 x 2 x 3 x ν = και έτσι αντί να έχουµε να λύσουµε το γραµµικό σύστηµα έχουµε την εξίσωση αυτή µε πίνακες. 3. Θεωρούµε τώρα την απεικόνιση η οποία ορίζεται ως εξής: θ β 1 β 2 β 3 β µ θ : F ν 1 F µ 1 x 1 x 2 x 3 x ν = A 4. Η παραπάνω απεικόνιση ϑ είναι γραµµική (αποδείξτε γιατί). 5. Η απεικόνιση ϑ έχει ως πυρήνα έναν υπόχωρο του F ν 1, τον Kerθ, και ως εικόνα ένα υπόχωρο του F µ Αµεσα αποδεικνύεται το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Το σύνολο λύσεων του συστήµατος είναι µη κενό εάν και µόνο εάν β 1 β 2 β 3 β µ x 1 x 2 x 3 x ν Imθ Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 19

20 Απόδειξη: Αµεση από τα προηγούµενα. 7. Θεωρούµε τώρα το παρακάτω οµογενές γραµµικό σύστηµα: α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = 0 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = 0 α µ1 x 1 + α µ2 x α µν x ν = 0 (OΣ) Οπως έχουµε ξαναπεί το σύστηµα αυτό λέγεται αντίστοιχο οµογενές του αρχικού συστήµατος. 8. Το σύνολο λύσεων του παραπάνω οµογενούς γραµµικού συστήµατος είναι ο πυρήνας της γραµµικής απεικόνισης ϑ και άρα είναι ένας υπόχωρος του F ν Αν (OΛ) το σύνολο λύσεων του αντίστοιχου οµογενούς συστήµατος όπως παραπάνω, τότε σύµφωνα µε το κύριο ϑεώρηµα του προηγούµενου µαθήµατος είναι ένας υπόχωρος και ϑά έχουµε dim(oλ) = dimf ν 1 dimimθ = ν rank(a) 10. Αµεσα προκύπτει το παρακάτω πόρισµα: Πόρισµα Αν αριθµός αγνώστων = rank( A), τότε το οµογενές γραµµικό σύστηµα έχει ακριβώς µία λύση, την (0,0,0,,0) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 20

21 3.10 Γραµµικά συστήµατα - µέρος ΙΙ Πορεία µελέτης Θα µελετήσουµε παρακάτω ξανά ένα γραµµικό σύστηµα όπως αυτό στην παράγραφο Σύνολο λύσεων του γραµµικού συστήµατος (Σ) είναι το σύνολο Λ = {(ξ 1, ξ 2,, ξ ν ) F ν α i1 ξ 1 + α i2 ξ α iν ξ ν = β i,i {1,2,, µ}} 2. Με έλεγχο των απαιτήσεων έχουµε ότι αν το (Σ) είναι οµογενές, δηλαδή εάν β 1 = β 2 = = β µ = 0 το σύνολο λύσεων είναι υπόχωρος. Στο ίδιο συµπέρασµα οδηγούµαστε εάν σκεφθούµε ότι στην πραγµατικότητα το Λ είναι ο πυρήνας της γραµµικής απεικόνισης θ του προηγούµενου µαθήµατος. 3. Εστω ότι το γραµµικό σύστηµα δεν είναι οµογενές. Τότε το σύνολο λύσεων Λ δεν περιέχει το (0,0,0,...,0), άρα το Λ δεν είναι υπόχωρος, διότι κάθε υπόχωρος από τον ορισµό περιέχει το µηδενικό (0,0,0,...,0) στοιχείο του χώρου. 4. Ο πίνακας A = λέγεται πίνακας του συστήµατος. 5. Ο πίνακας α 11 α 12 α 13 α 1ν α 21 α 22 α 23 α 2ν α 31 α 32 α 33 α 3ν α µ1 α µ2 α µ3 α µν Γ = α 11 α 12 α 13 α 1ν β 1 α 21 α 22 α 23 α 2ν β 2 α 31 α 32 α 33 α 3ν β 3 α µ1 α µ2 α µ3 α µν β µ λέγεται επαυξηµένος πίνακας του συστήµατος ή απλά επαυξηµένος πίνακας. 6. Μπορούµε το σύστηµα (Σ) της παραγράφου 3.9 να το γράψουµε ισοδύναµα ως εξής: x 1 α 11 α 21 α 31 α µ1 + x 2 α 12 α 22 α 32 α µ2 + + x ν α 1ν α 2ν α 3ν α µ1 = 7. Το πρώτο µέλος της παραπάνω σχέσης είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των στηλών του πίνακα του συστήµατος A. β 1 β 2 β 3 β µ Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 21

22 8. Η σχέση αυτή επίσης µας λέει ότι αν το σύστηµα (Σ) έχει λύση, τότε ένας γραµµικός συνδυασµός β 1 β 2 των στηλών του πίνακα A β είναι ίσος µε τον πίνακα-στήλη των σταθερών όρων ή ότι ο πίνακας 3 β µ ϐρίσκεται στον υπόχωρο που παράγουν οι στήλες του πίνακα A. ιατυπώνουµε τώρα ένα από τα πιο σηµαντικά ϑεωρήµατα σχετικά µε τα γραµµικά συστήµατα: Θεώρηµα Το γραµµικό σύστηµα (Σ) έχει λύση (τουλάχιστον µία) εάν και µόνο εάν η τάξη rank(a) του πίνακα A του συστήµατος είναι ίση µε την τάξη rank(γ) του επαυξηµένου πίνακα. Ασκήσεις 1. Να γίνει λεπτοµερώς η απόδειξη του ϑεωρήµατος Να ϐρεθεί το σύνολο λύσεων του συστήµατος 2x + 3y + 5z + ω = 0 x + y z ω = 0 Να κατασκευάσετε την απεικόνιση ϑ όπως παραπάνω και να ϐρείτε τον υπόχωρο Imθ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 22

23 3.11 Ασκήσεις - στοιχεία αυτοαξιολόγησης 1. ίνεται ο διανυσµατικός χώρος V = {(x, y, z) R 3 2x + 3y + 7z = 0} Να ϐρεθεί µία ϐάση B του V και η διάστασή του Να ϐρείτε ένα στοιχείο (α, β,γ) R 3 έτσι ώστε το σύνολο B {(α, β,γ)} να είναι ϐάση του R Αν A ένας υπόχωρος του R 8 και B µία ϐάση του A, δείξτε ότι υπάρχει υποσύνολο γραµµικά ανεξαρτήτων διανυσµάτων Γ του R 8, έτσι ώστε το Γ B να είναι ϐάση του R Μία γραµµική απεικόνιση θ : R 5 R 5 έχει τις ιδιότητες θ I, δηλαδή δεν είναι η ταυτοτική και θ 2 = θ, δηλαδή θ θ = θ είξτε ότι Kerθ {0} είξτε ότι Kerθ Imθ = {0} είξτε ότι για κάθε στοιχείο ω R 5 υπάρχουν µοναδικά α ω Kerθ και β ω Imθ έτσι ώστε ω = α ω + β ω. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 23

24 3.12 Γραµµικά συστήµατα - Συνέχεια Πορεία µελέτης 1. Από την παράγραφο 2.8 (από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα, Τόµος Α») µελετήστε τον ορισµό 2.8.1, την πρόταση και τα παραδείγµατα 2.8.3, 2.8.4, και Μελετήστε τα 15 παραδείγµατα και τις 37 ασκήσεις της παραγράφου 1 του κεφαλαίου Ι (από το κεφάλαιο Solvin linear systems. Gauss method) που ϐρίσκεται στην Ηλεκτρονική τάξη του µαθήµατος. Οι ασκήσεις είναι λυµένες, αλλά καλό είναι να τις λύσετε µόνοι σας και µετά να επιβεβαιώσετε την ορθότητα της λύσης. 3. Ρίξτε µία µατιά στη σελίδα εδώ. 4. είτε το ϐίντεο µε τον διάσηµο καθηγητή Gilbert Strang από το ΜΙΤ που µιλάει για τα γραµµικά συστήµατα. Είναι στη διεύθυνση εδώ, εδώ και εδώ. 5. Στο on-line πρόγραµµα επίλυσης γραµµικών συστηµάτων, που ϐρίσκεται εδώ, ϐάλτε το σύστηµα x + 2y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = 0 7x + 8y + 9z = 0 και αναζητήστε τις λύσεις του. Μετά να ερµηνεύσετε και να επιβεβαιώσετε το αποτέλεσµα. 6. Να κάνετε το ίδιο και µε το υπολογιστικό πακέτο εδώ. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 24

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 3 II Αρχικά μαθήματα 5 1 Μάθημα 1 5 1.1 Εισαγωγή............................... 5 1.2 Πορεία μελέτης............................ 5 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης....

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Ακόμη μία Άσκηση Μάθημα Πορεία μελέτης.... Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 7 : Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

i. f(v + u) = f(v) + f(u),

i. f(v + u) = f(v) + f(u), Κεφάλαιο 4 Γραµµικές Συναρτήσεις Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε µία ειδική κατηγορία συναρτήσεων µεταξύ των k- διανυσµατικών χώρων Θα δούµε ότι οι συναρτήσεις αυτές καθορίζονται πλήρως από τις τιµές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαιο 7 ιασκοντες: Ν. Μαρµαρίης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ. Ψαρουάκης Ιστοσελια Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii.html - - Ασκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y

Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης. ) και ακόµη ότι η g f 1 1. g y 5 Έστω Το θεώρηµα αντίστροφης απεικόνισης Ι R ανοικτό διάστηµα, : Ι R διαφορίσιµη της κλάσης a Ι : '( a) 0 Τότε από την συνέχεια της ' υπάρχει 0 ' 0 για κάθε ( a δ, a+ δ) δ > :( a δ, a δ) C και + Ι και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα