Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 2.1 Η έννοια του διανυσµατικού χώρου Υπόχωροι Οικογένειες υπόχωρων Γραµµική Ανεξαρτησία Βάση διανυσµατικού χώρου ιάσταση διανυσµατικού χώρου Θεώρηµα ανταλλαγής - Θεώρηµα επέκτασης Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 2.1 Η έννοια του διανυσµατικού χώρου Με το σηµερινό µάθηµα αρχίζουµε τη µελέτη των ιανυσµατικών χώρων, µία πολύ ϐασική έννοια της Γραµµικής Αλγεβρας. Πορεία µελέτης 1. είτε από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» τα εξής: Τον ορισµό του διανυσµατικού χώρου. Είναι ο ορισµός είτε τις παρατηρήσεις στη συνέχεια. Αναφέρονται στην µοναδικότητα του µηδενικού στοιχείου και του αντιθέτου Τα παραδείγµατα Προσέξτε ένα-ένα τα παραδείγµατα διανυσµατικών χώρων. 2. είτε λεπτοµερώς το πόρισµα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». Ανα- ϕέρεται σε ϐασικές ιδιότητες των πινάκων που ϑα χρησιµοποιούµε συχνά. 3. είτε πληροφορίες για τους ιανυσµατικούς χώρους ( στα αγγλικά ο όρος είναι vector space ή linear space ) στη διεύθυνση εδώ. Πρόκειται για ένα εξαιρετικά κατατοπιστικό άρθρο που περιγράφει και τις διασυνδέσεις και επιρροές της Γραµµικής άλγεβρας και µε άλλους κλάδους των Μαθηµατικών. 4. Στη διεύθυνση εδώ ϑα ϐρείτε ένα καλό ϐιβλίο Γραµµικής Αλγεβρας, µαζί µε ένα ϐιβλίο ασκήσεων και λύσεων! Πάρτε το και αρχίστε τη µελέτη. 5. είτε το ϐιντεο-µάθηµα από τη διεύθυνση εδώ. 6. είτε ένα ακόµη ϐιντεο-µάθηµα από τη διεύθυνση εδώ. Ταυτόχρονα µε τη συνεχιζόµενη µελέτη των πινάκων και των ιδιοτήτων τους, εισάγουµε σήµερα την έννοια του υπόχωρου ενός διανυσµατικού χώρου. Ο υπόχωρος είναι ένα µη κενό υποσύνολο του χώρου και έχει την ίδια δοµή δηλαδή είναι και αυτός ένας διανυσµατικός χώρος µε πράξεις τον περιορισµό των πράξεων του χώρου στο σύνολο Α. Πορεία µελέτης 1. Μελετήστε προσεκτικά το παράδειγµα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». Στο παράδειγµα αυτό γίνεται συζήτηση για τη σωστή χρήση των αξιωµάτων και των ορισµών. 2. είτε τον ορισµό από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α», της διαφοράς δύο πινάκων A, B F µ ν. 3. είτε επίσης τον ορισµό από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» Του συµµετρικού πίνακα: συµµετρικός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας A µε την ιδιότητα A = A t Του αντισυµµετρικού πίνακα: αντισυµµετρικός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας A µε την ιδιότητα A = A t. 4. ίνουµε τώρα τον παρακάτω ορισµό Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Ορισµός Εστω V ένας ιανυσµατικός χώρος επί του F. 1 Το υποσύνολο A του V ϑα λέγεται υπόχωρος του V (ή διανυσµατικός υπόχωρος του V ) εάν ικανοποιεί τα παρακάτω: (α) Το µηδενικό στοιχείο 0 V του χώρου ανήκει στο A (έτσι το A είναι µή-κενό σύνολο) (ϐ) Αν α και β δύο στοιχεία του A, τότε και το α + β είναι και αυτό στοιχείο του A (γ) Αν α είναι κάποιο στοιχείο του A και λ F, τότε και το λα ανήκει στο A Σχόλια 1. Ενας υπόχωρος A είναι ένας «µικρός διανυσµατικός χώρος» µέσα στον «µεγάλο» διανυσµατικό χώρο V. 2. Είναι σηµαντικό να γνωρίζουµε εάν ένας διανυσµατικός χώρος έχει υπόχωρους, πόσους έχει και ποιοί είναι. 3. Αν ο A είναι υπόχωρος του V, συµβολίζουµε µε A V. Ασκηση Να µελετήσετε µε στοιχειώδεις τρόπους τους υπόχωρους του παρακάτω διανυσµατικού χώρου: V = { f : R R f (x) = αx + β, α, β R} Οι πράξεις στον ιανυσµατικό χώρο αυτό είναι οι συνήθεις. 1 Επισηµαίνουµε ότι µε το σύµβολο F στο µάθηµα αυτό ϑα συµβολίζουµε ένα από τα τρία σύνολα Το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών Το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών Το σύνολο Q των ϱητών αριθµών Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 2.2 Υπόχωροι Πορεία µελέτης 1. Μελετήστε το παρακάτω ϑεώρηµα: Θεώρηµα Εστω A και B δύο υπόχωροι του διανυσµατικού χώρου V. Τότε η τοµή A B είναι υπόχωρος. Απόδειξη Το µηδενικό στοιχείο 0 V ανήκει εξ ορισµού και στο A και στο B άρα και στην τοµή τους. Αν α, β ανήκουν και στον υπόχωρο A και στον B, τότε το άθροισµα α + β ϑα ανήκει επίσης και στους δύο υπόχωρους, άρα και στην τοµή τους. Αν x ανήκει στον υπόχωρο A και στον B και λ F, τότε από τον ορισµό έχουµε ότι το λx ανήκει και στον A και στον B άρα και στην τοµή τους. Τελικά η τοµή των υπόχωρων είναι υπόχωρος. 2. Από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» να µελετήσετε τον ορισµό και τα παραδείγµατα και που αναφέρονται στο γινόµενο πινάκων. Μία άσκηση και η λύση της είξτε ότι το σύνολο των διπλά παραγωγίσιµων συναρτήσεων f : R R που ικανοποιούν τη σχέση f 5 f + 6 f = 0 είναι ένας διανυσµατικός χώρος µε συντελεστές πραγµατικούς αριθµούς. Λύση της άσκησης. Η άσκηση αναφέρεται σε ένα σύνολο V πραγµατικών συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής. Κάθε στοιχείο f (x) V είναι µία συνάρτηση f : R R, για την οποία υπάρχει η δεύτερη παράγωγος και ισχύει επί πλέον f 5 f + 6 f = 0. Για να είναι το σύνολο V διανυσµατικός χώρος ϑα πρέπει να ικανοποιούνται τα αξιώµατα του διανυσµατικού χώρου, δες Το σύνολο V είναι µη κενό, διότι η µηδενική συνάρτηση 0 : R R µε 0(x) = 0 x R παραγωγίζεται δύο ϕορές και προφανώς ικανοποιεί τη συνθήκη f 5 f + 6 f = Αν f 1 (x), f 2 (x) V, τότε f 1 5 f f 1 = 0 και f 2 5 f f 2 = 0. Προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε ( f 1 + f 2 ) 5 ( f 1 + f 2 ) + 6 ( f 1 + f 2 ) = Συνεχίζουµε µε τον τρόπο αυτό αποδεικνύοντας ότι ικανοποιούνται όλα τα αξιώµατα του διανυσµατικού χώρου για το σύνολο V. Ασκήσεις για σκέψη 1. Εστω R 2 2 ο διανυσµατικός χώρος των 2 2 πινάκων µε συντελεστές πραγµατικούς αριθµούς. Να ϐρείτε όλους τους υπόχωρους που περιέχουν τους παρακάτω 4 πίνακες: ) ) ) ) ( , ( , ( , ( Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 2. Εστω R ο διανυσµατικός χώρος των πραγµατικών αριθµών επί του R. Να ϐρεθούν οι υπόχωροί του. 3. Εστω R 2 = {(x, y) x, y R} ο διανυσµατικός χώρος των Ϲευγών πραγµατικών αριθµών επί του R. Να περιγραφούν οι υπόχωροί του. 4. Εστω C ο διανυσµατικός χώρος των µιγαδικών αριθµών επί του R. Να περιγραφούν οι υπόχωροί του. 5. Εστω C ο διανυσµατικός χώρος των µιγαδικών αριθµών επί του C. Να ϐρεθούν οι υπόχωροί του. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 2.3 Οικογένειες υπόχωρων Πορεία µελέτης 1. είτε την απόδειξη της πρότασης από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». Είναι εντελώς ίδια µε την απόδειξη του ϑεωρήµατος παραπάνω. Η µόνη διαφορά είναι ότι δεν έχουµε κατ ανάγκη δύο υπόχωρους αλλά ένα µη κενό σύνολο υπόχωρων, ενδεχοµένως και άπειρο. Μελετήστε καλά την απόδειξη. 2. Εστω A i,i I µία οικογένεια υπόχωρων. Τι µπορεί να σηµαίνει αυτή η έκφραση; Και γιατί είµαστε αναγκασµένοι να τη χρησιµοποιούµε; Και τι αποτελέσµατα µπορούµε να πάρουµε; Ας επαναλά- ϐουµε ήδη γνωστά αποτελέσµατα που τα διαβάσαµε λίγο πρίν: Αν Α και Β δύο υπόχωροι ενός διανυσµατικού χώρου V, τότε και η τοµή τους είναι υπόχωρος του V. Απόδειξη: Το µηδενικό στοιχείο 0 V του χώρου ανήκει και στον υπόχωρο Α και στον υπόχωρο Β (από τον ορισµό), άρα ανήκει και στην τοµή τους. Ετσι η πρώτη απαίτηση για να είναι η τοµή A B υπόχωρος ικανοποιείται. Εστω τώρα x, y A B. Θέλουµε να αποδείξουµε ότι x + y A B. Εχουµε από υπόθεση ότι x, y A και x, y B. Επειδή τώρα Α και Β είναι υπόχωρος ϑα έχουµε ξεχωριστά ότι x + y A και x + y B, άρα x + y A B Εστω λ F και x A B. Αρα ξεχωριστά ϑα έχουµε ότι x A και x B. Επειδή τώρα Α και Β υπόχωροι και λ είναι συντελεστής, ϑα έχουµε λx A λx A Τελικά λx A B. Ικανοποιούνται έτσι και οι τρείς απαιτήσεις και έτσι η τοµή δύο υπόχωρων είναι υπόχωρος Η τοµή πεπερασµένου πλήθους υπόχωρων του V είναι υπόχωρος επίσης, δηλαδή αν A 1, A 2,, A ν είναι υπόχωροι του V, τότε και η τοµή ν A i είναι υπόχωρος. i=1 Η απόδειξη γίνεται µε επαγωγή. οκιµάστε να την κάνετε Αν τώρα πάρουµε για παράδειγµα όλους τους υπόχωρους του R 2 και ϑελήσουµε να τους ϐάλουµε σε µία σειρά ϑα δούµε ότι αυτό είναι αδύνατο. Αυτό σχετίζεται µε ένα σπουδαίο ϑεώρηµα που λέει ότι δέν υπάρχει συνάρτηση f : R N, η οποία να είναι 1 1 και επί. Με άλλα λόγια δεν είναι δυνατόν να ϐάλουµε τους πραγµατικούς αριθµούς σε µια σειρά και να τους ϑεωρήσουµε ως στοιχεία ακολουθίας! Υπάρχει µία ιστορία µε το ξενοδοχείο των αριθµών που ϑα πούµε σε επόµενα µαθήµατα. Στο µάθηµα αυτό δεν ϑα αποδείξουµε τον παραπάνω ισχυρισµό, αλλά αυτό µας επιβάλλει να γράφουµε ως εξής: Εστω A i,i I, η οικογένεια των υπόχωρων του V που έχουν µία ιδιότητα. εν µπορούµε, αλλά ούτε χρειαζόµαστε να ϐάλουµε σε µία σειρά τους υπόχωρους. Θεώρηµα Εστω A ένα υποσύνολο ενός διανυσµατικού χώρου V. υπόχωρων του V, που περιέχουν το A είναι υπόχωρος. Τότε η τοµή όλων των Απόδειξη Είναι όµοια µε την παραπάνω. Η διαφορά ϐρίσκεται στο γεγονός ότι δεν δικαιούµαστε να ϑεωρήσουµε τους υπόχωρους που περιέχουν το A, ως στοιχεία ακολουθίας. Θέµα για σκέψη: Να ϐρεθεί η τοµή όλων των υπόχωρων του V. υπόχωρων του R 2 που ο καθένας περιέχει το (2,3). Να ϐρεθεί η τοµή όλων των 3. είτε προσεκτικά τον ορισµό από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» του γραµ- µικού συνδυασµού στοιχείων του υποσυνόλου K ενός διανυσµατικού χώρου V. Παρατηρήστε ότι: Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 3. 1. Το σύνολο K είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του διανυσµατικού χώρου, πεπερασµένο ή άπειρο. Αρκεί να είναι µη-κενό Ο γραµµικός συνδυασµός εµπλέκει πάντα πεπερασµένο σύνολο διανυσµάτων. 4. Μελετήστε επίσης προσεκτικά την απόδειξη του ϑεωρήµατος από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». Αναφέρει και αποδεικνύει ότι το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών ενός µη-κενού συνόλου K είναι ένας υπόχωρος. 5. Ο παραπάνω υπόχωρος λέγεται υπόχωρος του V που παράγεται από το K ή γραµµική θήκη του K και συµβολίζεται µε < K >. ες και τον ορισµό από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 6. Αν το K είναι πεπερασµένο σύνολο, τότε ο υπόχωρος < K > ϑα λέγεται πεπερασµένα παραγό- µενος. 7. Μελετήστε τα παραδείγµατα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 8. Από το παράδειγµα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» διαπιστώστε ότι υπάρχουν διανυσµατικοί χώροι, οι οποίοι δεν είναι πεπερασµένα παραγόµενοι. Βρείτε εσείς ακόµη ένα δικό σας παράδειγµα ενός µη-πεπερασµένα παραγόµενου διανυσµατικού χώρου 9. Εστω K ένα µή-κενό υποσύνολο του διανυσµατικού χώρου V. Η τοµή όλων των υπόχωρων του V καθένας εκ των οποίων περιέχει το K είναι ένας υπόχωρος K του V. 10. Μελετήστε την απόδειξη της πρότασης από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». Η πρόταση αυτή µε λόγια λέει: Το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών στοιχείων του µη-κενού συνόλου K, K V είναι ίσο µε την τοµή όλων των υπόχωρων του V, καθένας εκ των οποίων περιέχει το K. 11. Το µόνο που µένει είναι η περίπτωση K =. Στην περίπτωση αυτή αναγκαστικά έχουµε ότι < >= {0 V }. Γιατί; Ακόµη µία Ασκηση 1. ίνεται ο διανυσµατικός χώρος R 2 [x] των τριωνύµων µε συντελεστές πραγµατικούς αριθµούς, δηλαδή R 2 [x] = {α x 2 + β x+γ α, β,γ R}. Να εξετάσετε εάν το σύνολο {1+x,1+2x,1+x 2,1+2x 2 } παράγει τον διανυσµατικό χώρο R 2 [x]. 2 2 Είναι η άσκηση 1 της παραγράφου 3.3 από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 2.4 Γραµµική Ανεξαρτησία Πορεία µελέτης 1. είτε χρήσιµες πληροφορίες για τη ϑεωρία συνόλων εδώ. 2. είτε προσεκτικά τους ορισµούς και από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». Πρόκειται για τους ορισµούς των γραµµικά ανεξάρτητων και γραµµικά εξαρτηµένων διανυσµάτων ενός διανυσµατικού χώρου. 3. είτε επίσης πολύ προσεκτικά τον ορισµό από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». Είναι ο ορισµός της βάσης ενός διανυσµατικού χώρου. Η έννοια της ϐάσης ενός διανυσµατικού χώρου είναι από τις πιο σηµαντικές στη Γραµµική άλγεβρα Ας δούµε λίγο πιο αναλυτικά τα παραπάνω. Ξεκινάµε µε ένα ορισµό: Ορισµός Τα στοιχεία α 1,α 2,,α κ του διανυσµατικού χώρου V επί του F ϑα λέγονται γραµ- µικά εξαρτηµένα αν υπάρχουν συντελεστές λ 1, λ 2,, λ κ F, όχι όλοι µηδέν έτσι ώστε: λ 1 α 1 + λ 2 α λ κ α κ = 0 5. ες τους ορισµούς και ξανά από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α» για την γραµµική ανεξαρτησία διανυσµάτων. 6. ες όλα τα παραδείγµατα από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 7. είτε τον ορισµό της ϐάσης ενός διανυσµατικού χώρου από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α». 8. είτε πληροφορίες για τις ϐάσεις ενός διανυσµατικού χώρου και από τη διεύθυνση εδώ. 9. είτε και ακούστε από ϐίντεο τη διάλεξη του καθηγητή G.Strang εδώ. Ασκηση ίνεται ο διανυσµατικός χώρος R 2 [x] των τριωνύµων µε συντελεστές πραγµατικούς αριθµούς, δηλαδή R 2 [x] = {α x 2 + β x + γ α, β,γ R}. Να εξετάσετε εάν το σύνολο {1 + x,1 + 2x,1 + x 2,1 + 2x 2 } είναι ϐάση του διανυσµατικού χώρου R 2 [x]. Να ϐρεθούν επίσης δύο ϐάσεις του χώρου αυτού. 3 Στη ϕυσική αντί για ϐάση µιλάµε για σύστηµα αναφοράς. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

11 2.5 Βάση διανυσµατικού χώρου Συνεχίζουµε µε τη µελέτη των ϐάσεων ενός διανυσµατικού χώρου. Πορεία µελέτης 1. είτε ξανά τον ορισµό της ϐάσης ενός διανυσµατικού χώρου από το ϐιβλίο «Εισαγωγή στη Γραµµική άλγεβρα Τόµος Α», ορισµός είτε επίσης και τον ορισµό της ϐάσης από εδώ. 3. Ας υποθέσουµε τώρα ότι ο διανυσµατικός χώρος V παράγεται από ένα στοιχείο το α, α 0 και ας αναρωτηθούµε αν είναι δυνατόν ο V να έχει δύο στοιχεία β και γ γραµµικά ανεξάρτητα. Αν είχε, τότε ϑα είχαµε ότι και β = λ 1 α γ = λ 2 α Αν λ 1 = 0, τότε και β = 0. Αλλά αυτό είναι άτοπο, διότι το µηδενικό στοιχείο δεν µπορεί να συµπεριλαµβάνεται σε σύνολο γραµµικά ανεξαρτήτων στοιχείων, διότι αν β = 0 τότε ϑα είχαµε το γραµµικό συνδυασµό 1 β + 0 γ = 0, άτοπο. Αρα λ 1 0. Οµοίως λ 2 0. Θεωρούµε τώρα τον γραµµικό συνδυασµό λ 2 β + ( λ 1 ) γ. Παρατηρούµε ότι λ 2 β + ( λ 1 ) γ = 0 χωρίς οι συντελεστές να είναι µηδέν, άρα το σύνολο { β, γ} είναι γραµµικά εξαρτηµένο. Συµπέρασµα : Πάντα σε ένα διανυσµατικό χώρο V, που παράγεται από ένα στοιχείο, ένα σύνολο δύο στοιχείων του είναι γραµµικά εξαρτηµένο. 4. Σωστά το µαντέψατε!! Το επόµενο ϐήµα είναι: Πάντα σε ένα διανυσµατικό χώρο V, που παράγεται από δύο στοιχεία, ένα σύνολο τριών στοιχείων του είναι γραµµικά εξαρτηµένο. Αποδεικνύουµε σήµερα ένα «ενδιάµεσο» ϑεώρηµα, το οποίο περιέχει την ϐασική ιδέα της απόδειξης του ϑεµελιώδους ϑεωρήµατος: Σε ένα διανυσµατικό χώρο V, ο οποίος παράγεται από µ το πλήθος στοιχεία δεν υπάρχουν µ + 1 γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία. 5. Αποδεικνύουµε το παρακάτω ϑεώρηµα: Θεώρηµα Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος, ο οποίος παράγεται από δύο στοιχεία του. Τότε κάθε υποσύνολο A του V µε τρία στοιχεία είναι γραµµικά εξαρτηµένο. Απόδειξη: Εστω α και β δύο στοιχεία 4 του V, που τον παράγουν, δηλαδή V =< α, β >. Εστω A = {γ, δ,ϵ} ένα σύνολο τριών στοιχείων του V Επειδή ο χώρος παράγεται από τα α και β έχουµε ότι υπάρχουν συντελεστές κ και λ µε γ = κ α + λ β 4 Συνήθως ένα στοιχείο κάθε διανυσµατικού χώρου το λέµε και διάνυσµα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11

12 5. 2. Αν κ = λ = 0, τότε το διάνυσµα γ του χώρου V, είναι το µηδενικό διάνυσµα. Ετσι το σύνολο A περιλαµβάνει και το µηδενικό διάνυσµα γ και έτσι έχουµε το γραµµικό συνδυασµό 1 γ + 0 δ + 0 ϵ = 0. Ο γραµµικός αυτός συνδυασµός δεν έχει όλους τους συντελεστές µηδέν, όµως το αποτέλεσµα είναι µηδέν. Αρα στην περίπτωση αυτή το σύνολο A δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητο, είναι γραµµικά εξαρτηµένο Στην περίπτωση που κάποιο από τα κ, λ είναι διαφορετικό από το 0, επιλέγουµε π.χ να είναι κ 0. Τότε έχουµε α = 1 κ γ λ κ β. Τώρα κάθε γραµµικός συνδυασµός των α και β είναι (µε αντικατάσταση του α) γραµµικός συνδυασµός των γ και β Είµαστε τώρα στη εξής ϑέση: Ο διανυσµατικός χώρος V παράγεται από τα διανύσµατα β και γ Θεωρούµε τώρα το δ. Επειδή δ V και < β, γ >= V από το παραπάνω, έχουµε ότι υπάρχουν συντελεστές ξ 1, ξ 2 µε ξ 1 β + ξ 2 γ = δ Αν ξ 1 = ξ 2 = 0, τότε και δ = 0, οπότε στο σύνολο A έχουµε ένα στοιχείο το δ = 0, άρα το A δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο σύµφωνα µε το επιχείρηµα στο σηµείο Ετσι υποθέτουµε ότι κάποιο από τα ξ 1, ξ 2 είναι διαφορετικό του µηδενός. Εστω ξ 1 0. Τότε µπορούµε να λύσουµε ως προς β την παραπάνω σχέση, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε το β ως γραµµικό συνδυασµό των γ και δ Ως τώρα αποδείξαµε ότι κάθε γραµµικός συνδυασµός των α και β, άρα κάθε στοιχείο του V, γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των γ και δ Συνεχίζουµε µε το ϵ. Αφού το ϵ είναι στοιχείου του V, ϑα υπάρχουν λ 1, λ 2 συντελεστές µε λ 1 γ + λ 2 δ = ϵ. Καταλήγουµε στον γραµµικό συνδυασµό λ 1 γ + λ 2 δ + ( 1)ϵ = 0. Καταλήγουµε έτσι σε ένα γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων του συνόλου A = {γ, δ,ϵ}, ο οποίος είναι µηδέν, χωρίς να είναι όλοι οι συντελεστές µηδέν. Αυτό σηµαίνει ότι το A είναι γραµµικά εξαρτηµένο. Ασκήσεις για λύση 1. Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος που παράγεται από δύο στοιχεία α και β. είξτε ότι οποιεσδήποτε ϐάσεις του V έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. 2. είξτε ότι το σύνολο λύσεων Λ του γραµµικού συστήµατος x + 3y + 4z = 0 2x + 4y + 5z = 0 είναι ένας υπόχωρος του R 3. Βρείτε επίσης µία ϐάση αυτού. 3. Να ϐρεθεί η µορφή όλων των γραµµικών συστηµάτων 3 εξισώσεων µε αγνώστους x, y, z, των οποίων το σύνολο λύσεων είναι το Λ, που ϐρήκατε στην προηγούµενη άσκηση. Να ϐρεθεί ανηγµένος κλιµακωτός πίνακας ενός από τα συστήµατα που ϐρήκατε. 4. ίνεται ο διανυσµατικός χώρος R 2 [x] των τριωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές. Βρείτε µία ϐάση αυτού. Εξετάστε εάν τα τριώνυµα f 1 (x) = 2x + 5, f 2 (x) = 2x 2 + 5, f 3 (x) = x 2 + x, f 4 (x) = x 2 1 είναι γραµµικά εξαρτηµένα. Μετά να εξετάσετε αν 4 οποιαδήποτε τριώνυµα είναι πάντα γραµµικά εξαρτηµένα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 Να ϐρεθεί το σύνολο λύσεων του παρακάτω γραµµικού 5 συστήµατος: x 1 + x 2 + 3x 3 x 4 = 1 3x 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 1 2x 1 + x 2 x 3 + 2x 4 = ίνονται 6 τα στοιχεία (2,1,0,3) και (2,1,0,4) του διανυσµατικού χώρου (R 4,+, ). Να ϐρεθούν α, β R 4, έτσι ώστε το σύνολο των στοιχείων (2,1,0,3), (2,1,0,4),α, β να είναι ϐάση του R 4. Ασκηση Να ϐρεθεί η µορφή των υπόχωρων του ιανυσµατικού χώρου ( 2,+, ). Σηµειώνεται ότι ο ιανυσµτικός χώρος ( 2,+, ) περιέχει όλα τα διανύσµατα του επιπέδου µε κοινή αρχή κάποιο σηµείο. 5 Το ϑέµα αυτό είχε τεθεί σε εξετάσεις. 6 Το ϑέµα αυτό είχε τεθεί σε εξετάσεις. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

14 2.6 ιάσταση διανυσµατικού χώρου Πορεία µελέτης Παρατήρηση Αν A = {α 1,α 2,,α κ } ένα υποσύνολο του διανυσµατικού χώρου V, το οποίο περιέχει το µηδενικό διάνυσµα 0, τότε το A είναι γραµµικά εξαρτηµένο, δηλαδή δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Χωρίς λάθος µπορούµε να υποθέσουµε ότι α 1 = 0. Τότε όµως µπορούµε να γράψουµε τον γραµµικό συνδυασµό 1 α α α κ Ο τελευταίος γραµµικός συνδυασµός είναι µηδέν, χωρίς να είναι µηδέν όλοι οι συντελεστές. Σύµφωνα µε τον ορισµό το σύνολο A είναι γραµµικά εξαρτηµένο. Θεώρηµα Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F, ο οποίος παράγεται από ν στοιχεία του. Τότε κάθε υποσύνολο A του V µε ν + 1 στοιχεία του χώρου V είναι γραµµικά εξαρτηµένο. Απόδειξη: Εστω A = {α 1,α 2,,α ν } ένα σύνολο διανυσµάτων 7 τα οποία παράγουν τον χώρο, δηλαδή κάθε στοιχείο του χώρου, γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων του A. Εστω τώρα B = { β 1, β 2,, β ν+1 }, ν + 1 διανύσµατα του χώρου. Θα αποδείξουµε ότι το σύνολο B είναι γραµµικά εξαρτηµένο. Το στοιχείο β 1 ανήκει στο χώρο και αφού ο χώρος παράγεται από το σύνολο A, ϑα υπάρχουν συντελεστές λ 1, λ 2,, λ ν µε λ 1 α λ ν α ν = β 1 Αν όλοι οι συντελεστές είναι µηδέν, τότε και β 1 = 0, άρα το σύνολο B είναι γραµµικά εξαρτηµένο, αφού περιέχει το 0. Εστω τώρα ότι δεν είναι όλοι οι συντελεστές µηδέν. Χωρίς λάθος ϑεωρούµε ότι λ 1 0 αλλάζοντας αν χρειάζεται τη σειρά των α 1,α 2,,α ν. Τότε όµως µπορούµε να λύσουµε την τελευταία σχέση ως προς α 1 και να έχουµε α 1 = 1 β 1 λ 2 α 2 λ ν α ν λ 1 λ 1 λ 1 Η τελευταία σχέση σηµαίνει ότι το διάνυσµα α 1 είναι γραµµικός συνδυασµός των β 1,α 2,,α ν. Λοιπόν έχουµε: 1. Κάθε στοιχείο του V είναι γραµµικός συνδυασµός των α 1,α 2,,α ν 2. Το α 1 είναι γραµµικός συνδυασµός των β 1,α 2,,α ν 3. Αρα κάθε στοιχείο του V είναι γραµµικός συνδυασµός των β 1,α 2,,α ν, δηλαδή ο χώρος V παράγεται από τα β 1,α 2,,α ν ή όπως γράφουµε V =< β 1,α 2,,α ν >. Με την ίδια λογική, όπως παραπάνω το διάνυσµα β 2 ϑα γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των β 1,α 2,,α ν άρα β 2 = ξ 1 β 1 + ξ 2 α 2 + ξ 3 α 3 + ξ ν α ν ( ) 7 έχουµε πεί ότι τα στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου τα λέµε και διανύσµατα. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 14

15 Υπάρχουν οι παρακάτω περιπτώσεις: 1. ξ 2 = ξ 3 = ξ 4 = = ξ ν = 0. Τότε β 2 = ξ 1 β 1. Το τελευταίο σηµαίνει ότι το σύνολο B = { β 1, β 2,, β ν+1 }, είναι γραµµικά εξαρτηµένο, διότι υπάρχει ο γραµµικός συνδυασµός ξ 1 β 1 + ( 1) β β β ν+1 = 0 2. Αν κάποιο από τα ξ 2, ξ 3, ξ ν+1 είναι διαφορετικό από το µηδέν, µπορούµε να υποθέσουµε ότι ξ 2 0, αλλάζοντας τη σειρά αν χρειάζεται των α 2,,α ν. Το τελευταίο σηµαίνει ότι το α 2 γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των β 1, β 2,α 3,,α ν. Τελικά η πορεία είναι ως εξής: είτε σε κάποιο ενδιάµεσο στάδιο έχουµε ότι το B είναι γραµµικά εξαρτηµένο είτε «διώχνουµε» ένα- ένα τα α i,i = 1,2, και ϐάζουµε στη ϑέση τους β i,i = 1,2,3,. Στο τέλος, δηλαδή όταν διώχνουµε το α ν και ϐάλουµε στη ϑέση του το β ν, τα α i,i = 1,2, τελειώνουν και έχουµε ότι τα β 1, β 2,, β ν παράγουν το χώρο V. Οµως υπάρχει και το β ν+1. Αυτό ϑα γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός β ν+1 = µ 1 β 1 + µ 2 β µ ν β ν ή µ 1 β 1 + µ 2 β µ ν β ν + ( 1) β ν+1 = 0 και τελικά σε κάθε περίπτωση το σύνολο B είναι γραµµικά εξαρτηµένο. 1. Θυµηθείτε τον ορισµό για τη γραµµική εξάρτηση και ανεξαρτησία διανυσµάτων από την παράγραφο Αποδεικνύουµε την επόµενη πρόταση: Πρόταση (α) Εστω A και B δύο υποσύνολα ενός διανυσµατικού χώρου V επί του F και A B. Εάν το A είναι γραµµικά εξαρτηµένο, τότε και το B είναι γραµµικά εξαρτηµένο. (ϐ) Εστω A και B δύο υποσύνολα ενός διανυσµατικού χώρου επί του F και A B. Εάν το B είναι γραµµικά ανεξάρτητο, τότε και το A είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Απόδειξη: (α) Ας υποθέσουµε ότι το A είναι γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο διανυσµάτων του διανυσµατικού χώρου V επί του F. Θα υπάρχουν τότε στοιχεία α 1,α 2,,α ν V και συντελεστές λ 1, λ 2,, λ ν F, όχι όλοι µηδέν µε λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + λ ν α ν = 0 Οµως τα διανύσµατα α 1,α 2,,α ν V δεν είναι µόνο στοιχεία του A αλλά και του B. Σύµφωνα µε τον ορισµό ϑα είναι και το B γραµµικά εξαρτηµένο σύνολο. (ϐ) Το σύνολο A έχει δύο δυνατότητες. Είτε να είναι γραµµικά ανεξάρτητο είτε να είναι γραµµικά εξαρτηµένο. Η ισχύς της µίας δυνατότητας αποκλείει την άλλη. Αν το A είναι γραµµικά εξαρτηµένο, τότε και το σύνολο B, που περιέχει το A, ϑα είναι γραµµικά εξαρτηµένο, άτοπο από την υπόθεση. Ετσι η µοναδική δυνατότητα που αποµένει είναι να είναι το A γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 15

16 3. Αποδεικνύουµε επίσης την επόµενη πρόταση: Πρόταση Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Εστω επίσης (α) A ένα υποσύνολο του V το οποίο παράγει τον χώρο, δηλαδή V =< A >. Ως υπενθύµιση σηµειώνουµε ότι αυτό σηµαίνει, το σύνολο των γραµµικών συνδυασµών του συνόλου A είναι όλος ο χώρος V. Επί πλέον έστω ότι το A έχει ν το πλήθος στοιχεία. (ϐ) B ένα υποσύνολο του διανυσµατικού χώρου V, γραµµικά ανεξάρτητο µε µ το πλήθος στοιχεία. Συµπέρασµα: µ ν Απόδειξη: Εστω ότι δεν ισχύει µ ν. Τότε ϑα ισχύει η σχέση µ > ν. Το τελευταίο σηµαίνει ότι στο γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο B υπάρχουν τουλάχιστον ν + 1 στοιχεία. ιαλέγουµε, λοιπόν ένα σύνολο ν + 1 στοιχείων του B. Σύµφωνα µε την πρόταση το σύνολο αυτό ϑα είναι γραµµικά ανεξάρτητο, άτοπο από το ϑεώρηµα Αποδεικνύουµε και το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Εστω B 1 και B 2 δύο ϐάσεις ενός διανυσµατικού χώρου V επί του F. Εστω επίσης ότι τα σύνολα B 1 και B 2 είναι πεπερασµένα. Συµπέρασµα: Το πλήθος των στοιχείων της ϐάσης B 1 είναι ίσο µε το πλήθος των στοιχείων της ϐάσης B 2. Απόδειξη: Εστω ότι το B 1 έχει µ στοιχεία και το B 2 έχει ν στοιχεία. Υπενθυµίζουµε ότι ένα υποσύνολο του V είναι ϐάση εάν: (α) Παράγει τον χώρο V. (ϐ) Είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Τώρα το B 1 παράγει τον χώρο και το B 2 είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Αρα ν µ σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση. Αντιστρέφοντας τους ϱόλους των B 1 και B 2 ϐρίσκουµε µ ν και τελικά έχουµε µ = ν. Ορισµός Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F. Εάν µία ϐάση του είναι πεπερασµένη και έχει ν στοιχεία, τότε και κάθε άλλη ϐάση του είναι πεπερασµένη και έχει ν στοιχεία. Τον αριθµό των στοιχείων µιας οποιασδήποτε ϐάσης τον λέµε διάσταση του χώρου και τον συµβολίζουµε µε dim F V. Ασκήσεις Ασκηση Να ϐρεθεί η διάσταση του χώρου των πινάκων R 2 2. Βρείτε επίσης και µία ϐάση του. Ασκηση Να ϐρεθεί η διάσταση του διανυσµατικού χώρου C R των µιγαδικών επί των πραγµατικών. Ασκηση Να ϐρεθεί η διάσταση του διανυσµατικού χώρου C C των µιγαδικών επί των µιγαδικών. Ασκηση Εξετάστε εάν 4 οποιαδήποτε γραµµικά ανεξάρτητα στοιχεία του χώρου των πινάκων R 2 2 αποτελούν ϐάση αυτού. Ασκηση Εξετάστε εάν 4 οποιαδήποτε στοιχεία του χώρου των πινάκων R 2 2, τα οποία τον παράγουν αποτελούν ϐάση αυτού. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 16

17 2.7 Θεώρηµα ανταλλαγής - Θεώρηµα επέκτασης Πορεία µελέτης Θεώρηµα (Θεώρηµα ανταλλαγής). Εστω A = {α 1,α 2,,α ν } και B = { β 1, β 2,, β µ }, δύο υποσύνολα του διανυσµατικού χώρου V επί του F µε τις ιδιότητες: 1. Το σύνολο A παράγει το χώρο. 2. Το σύνολο B είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Τότε έχουµε τα εξής: 1. ν µ. 2. Μπορούµε, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, να αφαιρέσουµε από το σύνολο A τα διανύσµατα α 1,α 2,,α µ και να τα αντικαταστήσουµε µε τα β 1, β 2,, β µ,α µ+1,α µ+2,,α ν µε αποτέλεσµα ο χώρος V, να εξακολουθεί να παράγεται από αυτά, δηλαδή < β 1, β 2,, β µ,α µ+1,α µ+2,,α ν >= V Απόδειξη: Το πρώτο µέρος του ϑεωρήµατος το έχουµε αποδείξει στην πρόταση Το δεύτερο µέρος προκύπτει από την απόδειξη του ϑεωρήµατος είτε εδώ και το σχετικό ϐίντεο. Το ϐίντεο µπορείτε να το δείτε µε σχόλια στο YouTube σε δύο µέρη: Πρώτο µέρος εδώ και δεύτερο µέρος εδώ Θεώρηµα (Θεώρηµα επέκτασης). Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί του F, πεπερασµένης διάστασης ν και B = { β 1, β 2,, β µ } ένα σύνολο γραµµικά ανεξαρτήτων διανυσµάτων του V. Τότε το B επεκτείνεται σε µία ϐάση του V, δηλαδή υπάρχουν διανύσµατα α µ+1,α µ+2,,α ν έτσι ώστε το σύνολο { β 1, β 2,, β µ,α µ+1,α µ+2,,α ν } να είναι µία ϐάση του χώρου. Απόδειξη: Αφού ο χώρος έχει πεπερασµένη διάσταση, ϑα υπάρχει ένα σύνολο A = {α 1,α 2,,α ν }, το οποίο είναι ϐάση. Ως ϐάση του χώρου, παράγει τον V.Από την άλλη µεριά το σύνολο B = { β 1, β 2,, β µ } είναι ένα σύνολο γραµµικά ανεξαρτήτων διανυσµάτων του V. Σύµφωνα µε το προηγούµενο ϑεώρηµα 2.7.1, µπορούµε να προσαρτήσουµε στο σύνολο B = { β 1, β 2,, β µ } κάποια διανύσµατα του A έτσι ώστε το σύνολο Γ = { β 1, β 2,, β µ,α µ+1,α µ+2,,α ν } να παράγει το χώρο. Θα αποδείξουµε ότι το σύνολο αυτό είναι και γραµµικά ανεξάρτητο, άρα τελικά είναι ϐάση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 17

18 Εστω ότι το Γ δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητο, δηλαδή είναι γραµµικά εξαρτηµένο. υπάρχουν συντελεστές ξ 1, ξ 2,, ξ ν F, όχι όλοι µηδέν έτσι ώστε Αυτό σηµαίνει ότι ξ 1 β 1 + ξ 2 β ξ µ β µ + ξ µ+1 α µ+1 + ξ µ+2 α µ ξ ν α ν = 0 Αφού δεν είναι όλοι οι συντελεστές µηδέν, µπορούµε να υποθέσουµε, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, ότι ξ 1 0. Τότε η παραπάνω εξίσωση λύνεται ως προς β 1. Ακολουθώντας τις ιδέες της πρότασης διαπιστώνουµε ότι ο χώρος (αφού αφαιρέσουµε το β 1 ), παράγεται από ν 1 διανύσµατα. Οµως έχουµε ότι η διάσταση του χώρου είναι ν, άρα στο χώρο υπάρχουν ν γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα, άτοπο από το ϑεώρηµα της ανταλλαγής Τελικά το σύνολο Γ είναι και γραµµικά ανεξάρτητο (το ότι παράγει το χώρο το έχουµε ήδη ϐρεί) και άρα είναι ϐάση. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 18

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ ιανυσµατικοί Χώροι ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούνε µια σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του διανύσµατος

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων Περιεχόµενα 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων 3 11 Ο Χώρος των Ελευθέρων ιανυσµάτων 3 12 Εσωτερικές και Εξωτερικές Πράξεις 8 13 Η έννοια του σώµατος 9 2 ιανυσµατικοι Χωροι 13 21 ιανυσµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαιο 7 ιασκοντες: Ν. Μαρµαρίης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ. Ψαρουάκης Ιστοσελια Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii.html - - Ασκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα