ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια γραμμή είναι να μελετήσουμε δακτυλίους μέσω των προτύπων τους Ως ένα πρώτο απλούστατο παράδειγμα της γραμμής αυτής δίνουμε ένα χαρακτηρισμό δακτυλίων διαίρεσης 11 Βασικές Έννοιες Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο εφοδιασμένο με δύο πράξεις, : και :, έτσι ώστε ) (, ) είναι αβελιανή ομάδα, ) ( x y) z x ( y z) για κάθε x, y, z, ) υπάρχει στοιχείο 1 με την ιδιότητα 1 x x 1 x για κάθε x, v) ( x y) z x z y z, x ( y z) x y x z για κάθε x, y, z Στον παραπάνω ορισμό, θα λέμε ότι η πράξη : είναι η πρόσθεση του και : είναι ο πολλαπλασιασμός του Στη συνέχεια θα γράφουμε xy στη θέση του x y και 1 στη θέση του 1 Ένας δακτύλιος καλείται μεταθετικός αν xy yx για κάθε x, y Στις σημειώσεις αυτές οι δακτύλιοί μας θα είναι γενικά μη μεταθετικοί εκτός αν διατυπώνεται σαφώς το αντίθετο Ένα στοιχείο r ενός δακτυλίου καλείται αντιστρέψιμο αν υπάρχει s με rs sr 1 Το σύνολο των αντιστρέψιμων στοιχείων του αποτελεί πολλαπλασιαστική ομάδα Ένας δακτύλιος ονομάζεται δακτύλιος διαίρεσης αν 1 0 και κάθε r, r 0, είναι αντιστρέψιμο Σώμα είναι ένας μεταθετικός δακτύλιος διαίρεσης Αριστερό ιδεώδες του δακτυλίου είναι μια υποομάδα της (, ) που έχει την ιδιότητα r I για κάθε r και κάθε I Αν αντικαταστήσουμε τη συνθήκη ra I με ar I, προκύπτει η έννοια του δεξιού ιδεώδους Αμφίπλευρο ιδεώδες είναι ένα αριστερό ιδεώδες που ταυτόχρονα είναι και δεξιό ιδεώδες Στα επόμενα, όταν λέμε ιδεώδες εννοούμε αριστερό ιδεώδες Αν το Ι είναι αμφίπλευρο ιδεώδες, τότε η αβελιανή ομάδα / I καθίσταται δακτύλιος με πολλαπλασιασμό που ορίζεται από τη σχέση ( r I)( s I) rs I Ο / I ονομάζεται δακτύλιος πηλίκο Μια απεικόνιση δακτυλίων f : S ονομάζεται ομομορφισμός αν f ( r r) f ( r) f ( r), f ( rr) f ( r) f ( r) για κάθε r, r Ο πυρήνας ενός ομομορφισμού f είναι Kerf { r f ( r) 0} και αποτελεί αμφίπλευρο ιδεώδες του Ένας ομομορφισμός δακτυλίων λέγεται μονομορφισμός (αντίστοιχα, επιμορφισμός) αν είναι 1-1 απεικόνιση (αντίστοιχα, επί) Ένας ομομορφισμός δακτυλίων που είναι 1-1 και επί απεικόνιση λέγεται ισομορφισμός δακτυλίων Έστω f : S ομομορφισμός δακτυλίων Υπενθυμίζουμε το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών δακτυλίων, που λέει ότι η απεικόνιση f : ker f Im f, a ker f f ( a), είναι ισομορφισμός δακτυλίων 111 Ορισμός Έστω ένας δακτύλιος Μια αβελιανή ομάδα ( M, ) εφοδιασμένη με μία απεικόνιση M M, ( r, m) r m, ονομάζεται αριστερό -πρότυπο αν ισχύουν οι εξής ιδιότητες ) 1 1 r ( r m) ( r r ) m για κάθε r 1, r, m M ) ( 1 ) 1 r r m r m r m για κάθε r 1, r, m M ) r ( m1 m ) r m1 r m για κάθε r, m1, m M v) 1 m m για κάθε m M

2 Στον παραπάνω ορισμό θα ονομάζουμε την απεικόνιση M M, ( r, m) r m τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό του Στα παρακάτω θα γράφουμε rm στη θέση του r m Ανάλογα ορίζεται και η έννοια του δεξιού -προτύπου: ο εξωτερικός πολλαπλασιασμός έχει τη μορφή M M, ( m, r) mr, και τα αξιώματα ) v) γράφονται στη δεξιά μορφή τους, πχ ( mr ) r m ( r r ) Στα παρακάτω όταν λέμε -πρότυπο εννοούμε αριστερό -πρότυπο Παραδείγματα Έστω k ένα σώμα Κάθε k-διανυσματικός χώρος είναι k-πρότυπο Μάλιστα οι έννοιες k- διανυσματικός χώρος και k-πρότυπο ταυτίζονται Κάθε αβελιανή ομάδα G είναι -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό G G, ( r, m) rm, m m ( r φορές), αν r 0 rm 0, αν r 0 ( r) m, αν r 0 Κάθε ιδεώδες ενός δακτυλίου είναι -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό τον πολλαπλασιασμό του Έστω I ένα ιδεώδες ενός δακτυλίου Η αβελιανή ομάδα / I καθίσταται -πρότυπο αν ορίσουμε r( a I) ra I, όπου r, a (Σημείωση: Γενικά το / I είναι μόνο πρότυπο και όχι δακτύλιος, εκτός αν το I είναι αμφίπλευρο ιδεώδες) Έστω f : S ένας ομομορφισμός δακτυλίων Κάθε S-πρότυπο Μ γίνεται -πρότυπο αν ορίσουμε rm f ( r) m, r, m M Έστω ένας δακτύλιος Με M ( ) συμβολίζουμε το δακτύλιο των πινάκων με στοιχεία από το (ως προς τις συνήθεις πράξεις) Είναι -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό M ( ) M ( ), ( r, A) ra, όπου ra είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον A αν πολλαπλασιάσουμε κάθε στοιχείο του με το r Έστω δακτύλιος και V M ( ) 1 το σύνολο των 1 πινάκων με στοιχεία από το Το V είναι M ( ) -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό M ( ) V V το γινόμενο πινάκων Σ ένα -πρότυπο Μ εύκολα επαληθεύονται οι σχέσεις: O m O, ro O, ( r) m r( m) rm για κάθε r και m M M M M Έστω Μ, Ν δύο -πρότυπα Μια απεικόνιση f : M N ονομάζεται ομομορφισμός -προτύπων αν ) f ( m m) f ( m) f ( m) για κάθε m, m M, και ) f ( rm) rf ( m) για κάθε r και m M Παραδείγματα Αν το k είναι σώμα και U, V είναι k-διανυσματικοί χώροι, τότε ταυτίζονται οι έννοιες ομομορφισμός k-προτύπων U V και k-γραμμική απεικόνιση U V Αν, τότε ταυτίζονται οι έννοιες ομομορφισμός -προτύπων και ομομορφισμός (αβελιανών) ομάδων Αν είναι δακτύλιος και a, τότε η απεικόνιση f :, f ( r) ra, είναι ομομορφισμός - προτύπων Αντίθετα, η απεικόνιση f :, f ( r) ar, δεν είναι γενικά ομομορφισμός - προτύπων (γιατί;) a a a a

3 3 Ένας ομομορφισμός -προτύπων λέγεται μονομορφισμός (αντίστοιχα επιμορφισμός) αν είναι 1-1 απεικόνιση (αντίστοιχα επί) Ισομορφισμός -προτύπων είναι ομομορφισμός -προτύπων που είναι 1-1 κι επί Για έναν ομομορφισμό -προτύπων f : M N ισχύει: f μονομορφισμός ker f {0} (άσκηση) Ένα υποσύνολο Ν του -προτύπου Μ καλείται -υποπρότυπο του Μ (συμβολικά, N M ) αν είναι υποομάδα της Μ και ra N για κάθε r και a N Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε ένα δακτύλιο ως -πρότυπο, τότε τα - υποπρότυπά του είναι τα ιδεώδη του Τα k-υποπρότυπα ενός k-διανυσματικού χώρου είναι οι υπόχωροι του Αν f : M N είναι ένας ομομορφισμός -προτύπων, ο πυρήνας ker f είναι ένα υποπρότυπο του Μ, και η εικόνα Im f είναι ένα υποπρότυπο του Ν (άσκηση) Είναι σαφές ότι κάθε υποπρότυπο N του -προτύπου M είναι -πρότυπο ως προς τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό N N Έστω M ένα -πρότυπο και a M Το σύνολο ( a) { ra M r } είναι ένα υποπρότυπο του M και το καλούμε το υποπρότυπο του M που παράγεται από το a Ένα υποπρότυπο N του M ονομάζεται κυκλικό αν N ( a) για κάποιο a N Για παράδειγμα, κάθε δακτύλιος είναι κυκλικό -πρότυπο αφού (1) Τα κυκλικά υποπρότυπα του είναι ακριβώς τα κύρια ιδεώδη του Αν το Ν είναι υποπρότυπο του Μ, τότε στην αβελιανή ομάδα M / N ορίζεται η δομή -προτύπου με εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται από r( m N) rm N, όπου r, m M Πράγματι, ας δούμε ότι ο παραπάνω εξωτερικός πολλαπλασιασμός είναι καλά ορισμένος Έστω m1 N m N Τότε m1 m N και επειδή N M παίρνουμε r( m1 m ) N, οπότε rm1 N rm N Οι ιδιότητες στον ορισμό του προτύπου επαληθεύονται εύκολα Το M / N ονομάζεται πρότυπο πηλίκο και η απεικόνιση f : M m m N M / N είναι επιμορφισμός -προτύπων που συνήθως ονομάζεται φυσική προβολή ή φυσικός επιμορφισμός Αν Α,Β είναι υποπρότυπα του -προτύπου Μ, ορίζουμε A B { a b a A, b B} Εύκολα επαληθεύουμε ότι το A B είναι ένα -υποπρότυπο του Μ Παρατηρούμε ότι αυτή η κατασκευή γενικεύει το άθροισμα ιδεωδών δακτυλίου, το άθροισμα υποχώρων διανυσματικού χώρου και το γινόμενο δυο υποομάδων αβελιανής ομάδας Κατ αναλογία με τους δακτυλίους έχουμε: 113 Πρόταση (1ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων) Έστω f : M N ένας ομομορφισμός - προτύπων Τότε η απεικόνιση f : M / ker f m ker f f ( m) Im f είναι ισομορφισμός -προτύπων (ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων) Έστω Α,Β υποπρότυπα του -προτύπου Μ Τότε υπάρχει ισομορφισμός -προτύπων ( A B) / A B / A B (3ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων) Έστω -πρότυπα C B A Τότε υπάρχει ισομορφισμός - προτύπων ( A / C) / ( B / C) A / B Απόδειξη ) Εύκολα επαληθεύουμε ότι η απεικόνιση f είναι καλά ορισμένος επιμορφισμός -προτύπων Ισχύει ker f { m ker f f ( m) 0} { m ker f m ker f } {ker f } Άρα ο f είναι ισομορφισμός ) Η απεικόνιση f : B ( A B) / A, f ( b) b A είναι επιμορφισμός -προτύπων Ισχύει ker { b B b A A} A B Άρα από το 1ο θεώρημα

4 ισομορφισμών προκύπτει B / A B ( A B) / A ) Εφόσον C B η απεικόνιση f : A / C A / B, f ( a C) a B είναι καλά ορισμένος επιμορφισμός -προτύπων Ισχύει ker f { a C a B B} B / C θεώρημα ισομορφισμών έχουμε ( A / C) / ( B / C) A / B Άρα από το 1ο 114 Ορισμός Έστω Α ένα -πρότυπο, όπου το είναι μεταθετικός δακτύλιος Αν το Α είναι δακτύλιος με την ιδιότητα r( aa) ( ra) a a( ra) για κάθε a, a A, r τότε λέμε ότι το Α είναι μια -άλγεβρα Παρατήρηση Αν η A είναι -άλγεβρα, τότε ( r1 ) a a( r1 ) για κάθε r και κάθε a A A Για παράδειγμα, κάθε δακτύλιος είναι -άλγεβρα Το είναι -άλγεβρα Οι πίνακες M ( k ) με στοιχεία από ένα σώμα k αποτελούν k-άλγεβρα Ο δακτύλιος των πολυωνύμων k[ x ] με συντελεστές από σώμα k είναι ομοίως k-άλγεβρα, όπως και κάθε πηλίκο του k[ x1,, x ] με ιδεώδες Ακολουθούν δύο παραδείγματα που είναι σημαντικά για τα επόμενα κεφάλαια 115 Παράδειγμα ) (Δακτύλιος ομάδας) Έστω G μια ομάδα και k σώμα Με k[ G ] συμβολίζουμε τον k- διανυσματικό χώρο με βάση τα στοιχεία της G όπου η πρόσθεση και ο εξωτερικός πολλαπλασιασμός ορίζονται ως εξής: το τυπικό στοιχείο του k[ G ] συμβολίζεται A G r, όπου όλα σχεδόν τα r μηδέν - δηλαδή όλα τα r είναι μηδέν εκτός ενδεχομένως από ένα πεπερασμένο πλήθος Θέτουμε r r ( r r) G G G r( r ) ( rr ) G G 4 k είναι Ο διανυσματικός χώρος k[ G ] καθίσταται δακτύλιος ως προς την πρόσθεση που είδαμε πριν και τον πολλαπλασιασμό που ορίζεται από όπου t u h, hg uh ( r )( s h) t u, h u G hg ug r s Η μονάδα του δακτυλίου είναι το ουδέτερο στοιχείο 1 G της ομάδας G Με τις πιο πάνω πράξεις, το k[ G ] γίνεται μια k-άλγεβρα Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο της G είναι αντιστρέψιμο στο δακτύλιο [ ] k G Αν η G 1,, είναι πεπερασμένη ομάδα τάξης 1, τότε ο δακτύλιος k[ G ] περιέχει διαιρέτες του μηδενός, αφού για παράδειγμα έχουμε 1 (1 )(1 ) 1 0 ) (Quateros επί του ) Έστω ένας -διανυσματικός χώρος διάστασης 4 και {1,, j, k } μια βάση του Ορίζουμε έναν πολλαπλασιασμό στοιχείων του ως εξής: απαιτούμε το 1 να είναι μοναδιαίο στοιχείο και θέτουμε

5 5 j k 1 j j k jk kj k k j k j Πολλαπλασιάζουμε τυχαία στοιχεία a b cj dk και a b cj dk, χρησιμοποιώντας επιμερισμό και τον προηγούμενο πίνακα Για παράδειγμα, (1 )(1 3 j) 1 3 j 6k Λαμβάνουμε έτσι μία - άλγεβρα Παρατηρούμε ότι ο δακτύλιος είναι δακτύλιος διαίρεσης Πράγματι, αν q a b cj dk, θέτουμε q a b cj dk (ο συζυγής του q) Εύκολα επαληθεύεται ότι qq qq a b c d q q Θέτουμε q qq Παρατηρούμε ότι αν q 0, τότε q q 1, δηλαδή το q είναι αντιστρέψιμο q q 116 Σημείωση Θα δούμε στο Κεφάλαιο 6 ότι οι,, είναι οι μόνες πεπερασμένης διάστασης - άλγεβρες με διαίρεση Αν Μ, Ν είναι δύο -πρότυπα το σύνολο Hom (, ) { : M N f M N f ομομορφισμός -προτύπων} είναι αβελιανή ομάδα με πρόσθεση που ορίζεται από ( f f )( m) f ( m) f ( m) Δεν είναι γενικά - πρότυπο Αν M N, το σύνολο Hom ( M, M ) συνήθως συμβολίζεται με Ed ( M ) (το σύνολο των - ενδομορφισμών του Μ) και αποτελεί δακτύλιο με πολλαπλασιασμό τη σύνθεση συναρτήσεων Ένα μη μηδενικό -πρότυπο Μ λέγεται απλό αν δεν υπάρχει υποπρότυπο Ν με την ιδιότητα O N M Παραδείγματα Ένας k -διανυσματικός χώρος είναι απλό k -πρότυπο αν και μόνο αν έχει διάσταση 1 Για κάθε πρώτο αριθμό p, το -πρότυπο p είναι απλό, αφού κάθε υποομάδα του τετριμμένη υποομάδα ή η [0],[] p είναι η p Το -πρότυπο 4 δεν είναι απλό αφού ένα υποπρότυπό του είναι το To -πρότυπο δεν περιέχει απλό υποπρότυπο, γιατί αν N με Ν απλό, τότε για κάποια m, {0} θα είχαμε m N και άρα m N Τότε m N και λόγω της απλότητας θα είχαμε m N Όμως είναι σαφές ότι το m δεν είναι απλό, καθώς αν m 0, τότε 0 m m Έστω D δακτύλιος διαίρεσης και V M ( ) 1 D Ξέρουμε ότι το V είναι M ( D) -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό το γινόμενο πινάκων Θα δείξουμε ότι το V είναι απλό M ( D) - πρότυπο Έστω E M ( D) ο πίνακας με 0 παντού εκτός από τη θέση (, j ) όπου υπάρχει το j στοιχείο 1 Έστω E M ( ) 1 D ο πίνακας στήλη με 0 παντού εκτός από τη θέση όπου υπάρχει το στοιχείο 1 Έστω U V και

6 v1 v v j U v με v 0 Τότε v j 0 για κάποιο j Από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έπεται ότι για κάθε ισχύει E v v E Άρα j j V U και V U 1 E ( v j Ej ) v U Συνεπώς d1e1 de U για κάθε d,, 1 d D Άρα 6 Δακτύλιοι διαίρεσης εμφανίζονται συχνά ως ενδομορφισμοί απλών προτύπων όπως δείχνει το επόμενο αποτέλεσμα 117 Λήμμα (Λήμμα του Schur) Έστω Μ ένα απλό -πρότυπο Τότε ο Ed ( M ) είναι δακτύλιος διαίρεσης Απόδειξη Έστω f Ed( M ), f 0 (Υπάρχει τέτοιο f αφού M 0, πχ f 1 M ) Επειδή ker f M, ισχύει ker f 0 Επειδή Im f 0, ισχύει Im f M Άρα ο f είναι ισομορφισμός οπότε είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου Ed ( M ) Το ακόλουθο αποτέλεσμα υποδεικνύει τη σημασία των δακτυλίων M ( k ) 118 Πρόταση Έστω k ένα σώμα και Α μια k-άλγεβρα με dm Τότε ο δακτύλιος Α είναι ισόμορφος με υποδακτύλιο του M ( k ) Απόδειξη Έστω a A και f : A A, x ax Τότε f Ed ( A) και η απεικόνιση a a k k A A Ed ( A), a f, είναι μονομορφισμός δακτυλίων Συνεπώς ο Α είναι ισόμορφος με υποδακτύλιο k a του Ed ( A ) Επιλέγοντας μια βάση του διανυσματικού χώρου Α, λαμβάνουμε έναν ισομορφισμό k δακτυλίων Ed ( A) M ( k) k Μια απεικόνιση -αλγεβρών είναι ομομορφισμός -αλγεβρών αν είναι ταυτόχρονα ομομορφισμός δακτυλίων και -προτύπων Ανάλογα ορίζεται η έννοια του ισομορφισμού -αλγεβρών Μια -υποάλγεβρα μιας -άλγεβρας A είναι ένας υποδακτύλιος του A που είναι και -υποπρότυπο του A Για παράδειγμα, η υποάλγεβρα της που αποτελείται από τα q a b cj dk για τα οποία b c d 0 είναι ισόμορφη με το Ομοίως η -υποάλγεβρα της που αποτελείται από τα q a b cj dk για τα οποία c d 0 είναι ισόμορφη με το To κέντρο μιας -άλγεβρας Α είναι η -υποάλγεβρα C( A) { x A ax xa για κάθε a A} Για παράδειγμα, το κέντρο της M ( k ), όπου το k είναι σώμα, είναι a 0 C( M ( k)) M ( k) 0 a a 0 a b Πράγματι, είναι σαφές ότι M ( k) C( M ( k)) Έστω C( M ( k)) 0 a Τότε έχουμε c d a b a b c b 0 Επίσης c d c d a b a b a d c d c d

7 1 Άθροισμα και Γινόμενο Προτύπων, Ακριβείς Ακολουθίες 7 Αν ( M ) είναι μια οικογένεια -προτύπων, τότε το σύνολο των ακολουθιών ( x ), με x M, είναι ένα -πρότυπο με πρόσθεση και εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζονται από τις σχέσεις ( x ) ( y ) ( x y ), r( x ) ( rx ) Το συμβολίζουμε με M και το ονομάζουμε το ευθύ γινόμενο των M, Στην περίπτωση που το Λ είναι πεπερασμένο, {1,,, }, θα γράφουμε και M1 M στη θέση του M Αν επιπλέον M1 M M, θα γράφουμε και M Ορίζουμε τώρα ένα υποπρότυπο του M Έστω M το υποσύνολο του M που αποτελείται από εκείνες τις ακολουθίες ( x ) όπου x 0 εκτός το πολύ ένα πεπερασμένο πλήθος Ονομάζεται ευθύ άθροισμα των M Στην περίπτωση που το Λ είναι πεπερασμένο ισχύει βέβαια M M Έστω ( N ) μια οικογένεια -υποπροτύπων του -προτύπου Μ Θα λέμε ότι το Μ είναι το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των N,, αν κάθε x M γράφεται μοναδικά ως άθροισμα της μορφής x y y, με y N, t 1 Στην περίπτωση αυτή θα γράφουμε N N 1 t Σημείωση Η χρήση του ίδιου συμβολισμού N για δύο διαφορετικά πράγματα δεν πρέπει να δημιουργεί σύγχυση γιατί το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των N (όταν ορίζεται) είναι ισόμορφο με το ευθύ γινόμενο των N (που πάντα ορίζεται) Αν X M είναι ένα υποσύνολο του -προτύπου Μ, με X ή ( X ) συμβολίζουμε το υποπρότυπο του Μ, ( X ) { r1 x1 rt xt M t 1, r, xt M} Ονομάζεται δε το υποπρότυπο του Μ που παράγει το Χ Ταυτίζεται με την τομή όλων των υποπροτύπων του Μ που περιέχουν το Χ (γιατί;) Αν ( N ) είναι μια οικογένεια υποπροτύπων του Μ, το υποπρότυπο ( N ) που παράγουν τα N,, συμβολίζεται με N Ισχύει d ( m, ) (άσκηση) N { x x t 1, x N } 1 t Για παράδειγμα, έχουμε m d, όπου 11 Πρόταση Έστω ( N ) μια οικογένεια -υποπροτύπων του -προτύπου Μ Τότε ισχύει M N αν και μόνο αν ) M N, και ) για κάθε ισχύει N N 0 Απόδειξη Έστω x M και t t t t x y y y y, όπου y, y N Τότε 1 1 t 1 N y y ( y y ) ( y y ) N Αν ισχύει η συνθήκη (), παίρνουμε y αν ισχύουν οι συνθήκες () και () λαμβάνουμε M N N 0, τότε θα είχαμε y y y με y 1 t N t y 1 1 Συνεπώς Το αντίστροφο είναι επίσης άμεσο: αν N και, δηλαδή θα είχαμε δύο εκφράσεις

8 για το y, άτοπο 8 1 Πρόταση Έστω Μ,Ν -πρότυπα και ( M ), ( N ) οικογένειες -προτύπων Τότε υπάρχουν ισομορφισμοί αβελιανών ομάδων ) Hom M, N Hom ( M, N) ) Hom M, N Hom ( M, N ) Απόδειξη () Έστω ( ) Hom ( M, N), όπου Hom ( M, N) Έστω : M N η απεικόνιση που ορίζεται από ( x ) ( x ) Ο ορισμός έχει νόημα γιατί x 0 για όλα τα εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος Η είναι βέβαια ομομορφισμός -προτύπων, Hom M, N Έστω : Hom ( M, N) Hom M, N, ( ) Στην αντίθετη κατεύθυνση ορίζουμε : Hom ( M, N) Hom ( M, N) Είναι ομομορφισμός αβελιανών ομάδων, ( ) f f, όπου για κάθε f ( x ) f (,0, x,0,) και το x M βρίσκεται στην λ συνιστώσα του (,0, x,0,) M Η Φ είναι ομομορφισμός αβελιανών ομάδων και ισχύει και είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές απεικονίσεις Συνεπώς Φ είναι ισομορφισμός ) Παρόμοια με την () Σημείωση Δεν ισχύει γενικά ότι Hom M, N Hom( M, N) (Άσκηση 1) 13 Πρόταση Έστω Μ ένα -πρότυπο Υπάρχει ισομορφισμός -προτύπων Hom (, ) M M Απόδειξη Πρώτα παρατηρούμε ότι η αβελιανή ομάδα Hom (, M ) είναι (αριστερό) -πρότυπο, ( rf )( r) f ( rr ) Εύκολα επαληθεύεται ότι η απεικόνιση : Hom (, M ) f f (1) M είναι ομομορφισμός -προτύπων Επίσης η απεικόνιση : M Hom (, M ), ( m)( r) rm είναι ομομορφισμός -προτύπων Ισχύει 1Hom (, M ), 1 M, και άρα ο Φ είναι ισομορφισμός Για παράδειγμα, αν G είναι αβελιανή ομάδα, τότε υπάρχει ισομορφισμός ομάδων Hom (, G) G Έστω f : L M, : M N ομομορφισμοί -προτύπων Η ακολουθία f L M N λέγεται ακριβής στο Μ αν ισχύει ker Im f (Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή έχουμε f 0, γιατί η τελευταία σχέση είναι ισοδύναμη με τη Im f ισχυρότερο Πιο γενικά, μια ακολουθία -προτύπων και -ομομορφισμών M M M ker Όμως η ακρίβεια στο M μας λέει κάτι f1 f 1 1

9 λέγεται ακριβής αν είναι ακριβής σε κάθε Μια ακριβής ακολουθία της μορφής M 0 f L M N 0 λέγεται βραχεία Ένα παράδειγμα είναι 0 0, όπου η απεικόνιση είναι ο πολλαπλασιασμός με το m και η φυσική προβολή Παρατηρούμε ότι ο f είναι μονομορφισμός, γιατί ker f Im(0 L) 0 Επίσης ο είναι επιμορφισμός, γιατί Im ker( N 0) N Ισχύει (λόγω του 1ου θεωρήματος ισομορφισμών) N Im M / ker M / L, δηλαδή N M / L Αντίστροφα, αν L είναι υποπρότυπο του Μ, παίρνουμε μια ακριβή ακολουθία 0 L M M / L 0, όπου ( x) x, ( y) y L για x L, y M (Ο β είναι ο φυσικός επιμορφισμός) Συνεπώς βλέπουμε ότι μια βραχεία ακριβής ακολουθία αποτελεί έναν τρόπο καταγραφής του 1ου θεωρήματος ισομορφισμών Αν L f M είναι μονομορφισμός, παίρνουμε την ακριβή ακολουθία f 0 L M M / Im f 0, όπου β είναι ο φυσικός επιμορφισμός Αν M m N είναι επιμορφισμός, παίρνουμε την ακριβή ακολουθία 0 ker M N 0, όπου ( x) x είναι η φυσική εμφύτευση 14 Πρόταση Έστω 0 A B C 0 βραχεία ακριβής ακολουθία -προτύπων Οι παραπάνω συνθήκες είναι ισοδύναμες () υπάρχει -ομομορφισμός : B A με την ιδιότητα 1 A () υπάρχει -ομομορφισμός : C B με την ιδιότητα 1 C () η εικόνα Im a είναι ευθύς προσθετέος του Β Απόδειξη () () Σύμφωνα με την Πρόταση 11 αρκεί να δείξουμε ότι B Im ker και Im ker 0 Έστω b B Γράφουμε b ( b) ( b ( b)) Ισχύει βέβαια ( b) Im Επειδή ( b ( b)) ( b) ( b) ( b) ( b) 0, ισχύει b a( b) ker Άρα B Im ker Έστω τώρα x Im ker Τότε ( x) 0 και x ( y) για κάποιο y A Συνεπώς έχουμε ( ( y)) 0, δηλαδή y 0 οπότε x 0 Άρα Im ker 0 () () Έστω B Im N για κάποιο υποπρότυπο Ν του Β Αν b B, τότε b ( x) y για κάποιο x A, y N Επιπλέον τα x, y είναι μοναδικά ορισμένα γιατί ο α είναι μονομορφισμός και Im N 0 Θέτουμε : B A, ( b) x, που είναι καλά ορισμένος -ομομορφισμός Ισχύει βέβαια 1 A () () Θα δείξουμε ότι B ker Im απ όπου προκύπτει το ζητούμενο γιατί ker Im Έστω b B Γράφουμε b ( b ( b)) ( b) και παρατηρούμε ότι b ( b) ker (αφού ( b ( b)) ( b) ( b) ( b) ( b) 0 ) και ( b) Im Αν x ker Im, τότε ( x) 0 και επειδή x ( y) για κάποιο C, έχουμε ( y) 0, δηλαδή y 0 () () Έστω B Im N για κάποιο υποπρότυπο Ν του Β Τότε B ker N Ο περιορισμός του β στο Ν είναι ισομορφισμός, N : N C Πράγματι, αφού B ker N, ο N είναι επί Αν ( y) 0 για κάποιο y N, τότε y ker και άρα y 0, αφού ker N 0 Θέτοντας N προκύπτει το ζητούμενο Μια βραχεία ακολουθία που ικανοποιεί μια συνθήκη της προηγούμενης πρότασης καλείται 9

10 διασπώμενη, και θα λέμε ότι η βραχεία ακολουθία διασπάται Στην περίπτωση που η ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 διασπάται, ισχύει B A C Πράγματι, από την απόδειξη της Πρότασης 14 έχουμε B ker Im Ισχύει A Im και C Im γιατί οι α και είναι μονομορφισμοί 15 Παραδείγματα Η ακριβής ακολουθία -προτύπων 0 m 0, m όπου η απεικόνιση είναι πολλαπλασιασμός με το m {0}, δεν διασπάται όταν m 1 (γιατί;) Έστω k ένα σώμα Τότε κάθε ακριβής ακολουθία k-διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διάστασης 0 V V V 0 διασπάται, γιατί κάθε σύνολο γραμμικώς ανεξαρτήτων του 1 3 διανυσμάτων V μπορεί να επεκταθεί σε βάση του V Έστω k ένα σώμα Η ακριβής ακολουθία 0 ( x) k[ x] k 0 διασπάται, αν θεωρηθεί ως ακολουθία k-προτύπων: ορίζουμε : k[ x] ( x), f f x f x f x f x Τότε ο είναι ομομορφισμός k-προτύπων και ο περιορισμός 0 1 r 1 r του στο x είναι η ταυτοτική απεικόνιση Όμως η παραπάνω ακριβής ακολουθία δεν διασπάται αν θεωρηθεί ως ακολουθία k[ x] -προτύπων Πράγματι, έστω : k[ x] ( x) ένας ομομορφισμός k[ x ] προτύπων που είναι η ταυτοτική απεικόνιση στο x Έστω (1) xf ( x), f ( x) k[ x] Τότε, δηλαδή x ( x) x (1) x f ( x) m x f ( x) Φυσικά δεν υπάρχει τέτοιο ( ) f x Ελεύθερα και Προβολικά Πρότυπα Μια οικογένεια ( e ) στοιχείων ενός -προτύπου Μ καλείται βάση του Μ αν κάθε m M γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως m r e, όπου r είναι όλα μηδέν εκτός το πολύ ένα πεπερασμένο πλήθος Ένα -πρότυπο λέγεται ελεύθερο αν έχει μια τουλάχιστον βάση Για παράδειγμα, το είναι ελεύθερο -πρότυπο με βάση το σύνολο {1} Για κάθε 1, το κάθε δεν είναι ελεύθερο -πρότυπο γιατί a 0 για a, δηλαδή το 0 δεν γράφεται κατά μοναδικό τρόπο όπως απαιτεί ο ορισμός Κάθε k- διανυσματικός χώρος είναι ελεύθερο k-πρότυπο Το M ( ) είναι ελεύθερο -πρότυπο με μια βάση τα στοιχεία Ej M ( ),, j 1,,, όπου E j είναι ο πίνακας με μηδέν παντού εκτός από τη θέση (, j ) όπου υπάρχει το Πρόταση ) Ένα -πρότυπο Μ είναι ελεύθερο αν και μόνο αν είναι ισόμορφο με ένα πρότυπο της μορφής, όπου για κάθε ) Κάθε -πρότυπο είναι ομομορφική εικόνα ελεύθερου -προτύπου Απόδειξη ) Αν το Μ είναι ελεύθερο με βάση ( e ), τότε ορίζεται ένας ισομορφισμός : M m ( r ), όπου m r e Αντίστροφα, το είναι ελεύθερο γιατί μία βάση του είναι το σύνολο { }, όπου είναι η ακολουθία ( ) με 0 αν και 1 ) Έστω Λ ένα σύνολο γεννητόρων του Μ, πχ M Κατά τον προφανή τρόπο ορίζεται ένας

11 επιμορφισμός M Πρόταση Έστω 0 A B C 0 μια ακριβής ακολουθία -προτύπων Αν το C είναι ελεύθερο, τότε αυτή διασπάται Απόδειξη Έστω { e } μια βάση του C Επιλέγουμε για κάθε ένα στοιχείο b B, έτσι ώστε ( b ) e (ο β είναι επιμορφισμός) Ορίζουμε έναν -ομομορφισμό : C B από τις σχέσεις ( e ) b Ισχύει 1 C και άρα (Πρόταση 14) η ακολουθία διασπάται Ερχόμαστε τώρα στα προβολικά πρότυπα Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για τα κεφάλαια που ακολουθούν 133 Πρόταση Έστω Ρ ένα -πρότυπο Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: ) Για κάθε ομομορφισμό f : P B -προτύπων και για κάθε επιμορφισμό -προτύπων p : A B, υπάρχει ομομορφισμός : P A -προτύπων που καθιστά το διάγραμμα μεταθετικό P f A p B 0 ) Κάθε ακριβής ακολουθία 0 N M P 0 διασπάται ) Το Ρ είναι ευθύς προσθετέος κάποιου ελεύθερου -προτύπου (δηλαδή P X F, για κάποια -πρότυπα Χ, F όπου το F είναι ελεύθερο) Απόδειξη ) ) Προκύπτει άμεσα θεωρώντας το διάγραμμα P M p P 0 ) ) Έστω F P 0 επιμορφισμός -προτύπων, όπου το F είναι ελεύθερο (δες την πρόταση 131 )), και N ker( F P) Η ακριβής ακολουθία 0 N F P 0 διασπάται, και άρα F N P ) ) Έστω P X ελεύθερο -πρότυπο για κάποιο -πρότυπο Χ Θεωρούμε το διάγραμμα - ομομορφισμών 1 Ρ Φ P X π P f A p B 0

12 1 όπου ( a, x) a και ( a) ( a,0), a P, x X Επειδή το P X είναι ελεύθερο, εύκολα διαπιστώνουμε ότι υπάρχει -ομομορφισμός : P X A που καθιστά μεταθετικό το διάγραμμα (αν ( e ) είναι μια βάση του P X, ορίζουμε ( e ) z, όπου p( z ) f ( e ) ) Τώρα η ζητούμενη απεικόνιση : P A είναι η σύνθεση P P X A Ένα -πρότυπο Ρ που ικανοποιεί μια από τις συνθήκες της προηγούμενης πρότασης καλείται προβολικό Η πρόταση 13 (ή η απόδειξη της Πρότασης 133) μας πληροφορεί ότι: 134 Πόρισμα Κάθε ελεύθερο πρότυπο είναι προβολικό Το αντίστροφο δεν ισχύει Από 3 6 (ως 6 -πρότυπα) συμπεραίνουμε ότι το είναι προβολικό 6 -πρότυπο Όμως δεν είναι ελεύθερο 6 -πρότυπο (γιατί;) Η επόμενη πρόταση μας πληροφορεί ότι τα προβολικά πρότυπα συμπεριφέρονται καλά ως προς το ευθύ άθροισμα 135 Πρόταση Έστω ( P ) μια οικογένεια -προτύπων Τότε το P είναι προβολικό αν και μόνο αν κάθε P είναι προβολικό Απόδειξη Αν το P είναι προβολικό, τότε P X είναι ελεύθερο για κάποιο Χ Άρα κάθε P είναι ευθύς προσθετέος ελεύθερου προτύπου Αντίστροφα, αν για κάθε υπάρχει πρότυπο Χ και ελεύθερο πρότυπο F με την ιδιότητα P X F (πρόταση 131 ) για παράδειγμα), τότε P X F που είναι ελεύθερο -πρότυπο 136 Σημείωση Δεν θα ασχοληθούμε εδώ με τη δυϊκή έννοια του προβολικού προτύπου πέρα από τον ορισμό του: ένα -πρότυπο Ι λέγεται εμφυτευτικό αν κάθε ακριβής ακολουθία -προτύπων της μορφής 0 I A B 0 διασπάται (σύγκρινε με την Πρόταση 133 )) Στις σημειώσεις αυτές η έννοια του εμφυτευτικού προτύπου εμφανίζεται μόνο στο Θεώρημα 1 14 Λήμμα του Zor και Μέγιστα Ιδεώδη Μια σχέση σε ένα (μη κενό) σύνολο Χ ονομάζεται σχέση μερικής διάταξης αν ) x x x X, ) x y, y z x z, και ) x y, y x x y Το Χ ονομάζεται τότε μερικά διατεταγμένο σύνολο Ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο Χ στο οποίο ισχύει η πρόσθετη συνθήκη v) για κάθε x, y X είτε x y είτε y x, ονομάζεται ολικά διατεταγμένο Έστω Υ ένα υποσύνολο του μερικά διατεταγμένου συνόλου Χ Ένα στοιχείο x X ονομάζεται άνω φράγμα του Υ στο Χ αν y x για κάθε y Y Ένα στοιχείο x X του μερικά διατεταγμένου συνόλου Χ ονομάζεται μέγιστο (ή μεγιστικό) αν δεν υπάρχει x X με x x, x x 141 Λήμμα του Zor Έστω Χ ένα μη κενό μερικά διατεταγμένο σύνολο του οποίου κάθε μη κενό ολικά διατεταγμένο υποσύνολο έχει ένα άνω φράγμα στο Χ Τότε το Χ έχει ένα τουλάχιστον μέγιστο στοιχείο Αποδεικνύεται στη Θεωρία Συνόλων ότι το Λήμμα του Zor είναι ισοδύναμο με το Αξίωμα Επιλογής Βέβαια εμείς εδώ θα το δεχτούμε ως αξίωμα Ακολουθεί μια τυπική εφαρμογή Θυμίζουμε πρώτα ότι ένα I

13 γνήσιο ιδεώδες Ι του λέγεται μέγιστο αν δεν υπάρχει άλλο ιδεώδες J με την ιδιότητα I J 14 Πρόταση Κάθε δακτύλιος 0 έχει ένα τουλάχιστον μέγιστο ιδεώδες 13 Απόδειξη Έστω Χ το σύνολο των γνήσιων ιδεωδών του Ισχύει X αφού (0) X Έστω Υ ένα μη κενό ολικά διατεταγμένο υποσύνολο του Χ (Η σχέση μερικής διάταξης στο Χ είναι η σχέση υποσυνόλου) Θέτουμε J I IY και παρατηρούμε ότι είναι ιδεώδες του Πράγματι, αν a, b J τότε a I1 και b I για κάποια I1, I Y Επειδή το Υ είναι ολικά διατεταγμένο, ισχύει I1 I ή I I1 Συνεπώς a b J Επίσης ra I1 για κάθε r Άρα ra J Το J είναι γνήσιο, γιατί αν J θα είχαμε 1 J, δηλαδή 1 I για κάποιο I Y, δηλαδή Y X, άτοπο Άρα το J είναι ένα άνω φράγμα του Υ στο Χ Από το Λήμμα του Zor, το Χ έχει ένα μέγιστο στοιχείο, που φυσικά είναι μέγιστο ιδεώδες 143 Πρόταση Κάθε δακτύλιος 0 έχει ένα τουλάχιστον απλό -πρότυπο Απόδειξη Έστω Ι ένα μέγιστο ιδεώδες του (Πρόταση 14) Το -πρότυπο / I είναι απλό, γιατί κάθε υποπρότυπό του έχει τη μορφή J / I όπου J I είναι ιδεώδες του 15 Δακτύλιοι Διαίρεσης Ένας αποτελεσματικός τρόπος μελέτης δακτυλίου είναι να εξετάσουμε ιδιότητες των προτύπων του Ένα απλούστατο παράδειγμα παρέχει το παρακάτω θεώρημα Κάθε σώμα k έχει την ιδιότητα ότι όλα τα k- πρότυπα είναι ελεύθερα Ποιοι δακτύλιοι έχουν την ιδιότητα αυτή; 151 Θεώρημα Ένας δακτύλιος 0 είναι δακτύλιος διαίρεσης αν και μόνο αν κάθε -πρότυπο είναι ελεύθερο Για την απόδειξη, χρειαζόμαστε τον ακόλουθο λήμμα 15 Λήμμα Έστω M 0 ένα -πρότυπο, όπου είναι δακτύλιος διαίρεσης Τότε υπάρχει γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο του Μ μέγιστο ως προς τη σχέση υποσυνόλου Απόδειξη Έστω Χ το σύνολο των γραμμικά ανεξάρτητων υποσυνόλων του Μ (Ισχύει X, γιατί κάθε μονοσύνολο { a } με a M, a 0, είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού έχουμε ra r a a r ra 1 0, 0 1 ( ) 0 ) Θεωρούμε τη μερική διάταξη στο X που δίνεται από τη σχέση υποσυνόλου Έστω Υ ένα ολικά διατεταγμένο υποσύνολο του Χ Ορίζοντας A εύκολα επαληθεύουμε ότι το Ω είναι γραμμικά ανεξάρτητο Δηλαδή το Ω είναι ένα άνω φράγμα του Υ στο Χ Το ζητούμενο προκύπτει από το Λήμμα του Zor AY Απόδειξη του Θεωρήματος 151 " " Έστω δακτύλιος διαίρεσης και Μ ένα -πρότυπο Έστω Β ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο του Μ (Λήμμα 15) Έστω m M το οποίο δεν γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του Β Θα φθάσουμε σε άτοπο, πράγμα που σημαίνει ότι το Β είναι βάση του Μ Το { m} B είναι γραμμικά εξαρτημένο από τον ορισμό του Β Άρα

14 για κάποια r και b B Συνεπώς rm rb 0, r 0, m r 1 rb r 1 rb που είναι άτοπο " " Πρώτα παρατηρούμε ότι το το είναι απλό -πρότυπο Πράγματι, έστω Ι ένα μέγιστο ιδεώδες του (Πρόταση 14) Τότε το -πρότυπο M / I είναι απλό Από την υπόθεση είναι και ελεύθερο Άρα έχει βάση αποτελούμενη από ένα στοιχείο Συνεπώς M, δηλαδή το είναι απλό -πρότυπο Έστω x, x 0 Για το κύριο ιδεώδες ( x ) του έχουμε, λόγω της απλότητας του, ( x) και επομένως υπάρχει y με yx 1 Μένει να δείξουμε ότι xy 1 Όπως πριν έχουμε ( y) και επομένως zy 1 για κάποιο z Αλλά yx 1 zyx z x z Έστω ένας δακτύλιος διαίρεσης και M 0 ένα -πρότυπο Το M είναι ελεύθερο σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα Έστω ότι έχει μια βάση με στοιχεία Όπως ακριβώς στη Γραμμική Άλγεβρα (δηλαδή με τη χρήση του λήμματος της ανταλλαγής ) αποδεικνύεται και εδώ ότι κάθε άλλη βάση θα έχει στοιχεία Έτσι ορίζεται η τάξη του Μ, που συμβολίζεται dm M ή rkm, ως ο πληθάριθμος μιας βάσης του (Στην περίπτωση που το M έχει μια βάση με άπειρα στοιχεία θα γράφουμε dm M ) Η προηγούμενη ιδιότητα δεν ισχύει για γενικούς δακτυλίους όπως δείχνει το επόμενο παράδειγμα 153 Παράδειγμα Έστω Ed Ως -πρότυπο, το είναι ελεύθερο μια βάση το μονοσύνολο {1} Θα κατασκευάσουμε τώρα μια άλλη βάση του με δύο στοιχεία! Έστω { e1, e,} η κανονική βάση του σχέσεις ως -πρότυπο, δηλαδή e1 (1,0,0,), e (0,1,0,) κλπ Έστω, e, αν f ( e ) 0, αν 1 0, αν ( e ) e, αν 1 14 f που ορίζονται από τις Τότε κάθε γράφεται μοναδικά ως f,, (Μάλιστα ισχύει ( e ) ( e ), ( e ) ( e 1) ) Άρα μία βάση του είναι το { f, } Σημείωση Αποδεικνύεται ότι σε μη μηδενικούς μεταθετικούς δακτυλίους η έννοια της τάξης ελεύθερου προτύπου είναι καλά ορισμένη Αν Μ είναι ένα -πρότυπο και X υποσύνολο του M Θέτουμε A( X ) r rx 0 x X Το A( X ) ονομάζεται ο μηδενιστής του Μ και είναι ιδεώδες του (άσκηση) Αν το X είναι υποπρότυπο του M, τότε το A( X ) είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του (άσκηση) Για παράδειγμα, για το -πρότυπο M, έχουμε A( M ) (4) Στην περίπτωση που το σύνολο X { x} έχει μόνο ένα στοιχείο, θα 6 8 γράφουμε A( x ) στη θέση του A( X ) Στα παρακάτω, παριστάνει δακτύλιο 1 Ένα στοιχείο e λέγεται αυτοδύναμο αν Ασκήσεις e e Έστω e αυτοδύναμο στοιχείο που ανήκει στο

15 15 κέντρο του Τότε τα κύρια (αριστερά) ιδεώδη ( e ) και (1 e) είναι αμφίπλευρα και μάλιστα υποδακτύλιοι του Ως δακτύλιοι ισχύει ( e) (1 e) Επίσης το ( e ) είναι προβολικό -πρότυπο Έστω e 1,, e αυτοδύναμα στοιχεία του (βλ προηγούμενη άσκηση) για τα οποία ee j 0 ( j), e C( ) και e 1 e 1 Τότε ως δακτύλιοι 1, όπου ( e ) op op 3 Αν είναι δακτύλιος, με συμβολίζουμε το δακτύλιο όπου ως σύνολο, η πρόσθεση είναι αυτή του αλλά ο πολλαπλασιασμός ορίζεται ανάποδα r s sr Δείξετε ότι op ) k[ G] k[ G] (G ομάδα, k σώμα) ) op op op ) M ( ) M ( ) op v) Ed ( ) 4 Έστω M ( ), a b, a b Ως -άλγεβρες, b a 5 Έστω m 1 Το - πρότυπο m είναι απλό αν και μόνο αν ο m είναι πρώτος 6 Έστω 0 ένας δακτύλιος Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα ) είναι δακτύλιος διαίρεσης ) κάθε -πρότυπο είναι ελεύθερο ) κάθε κυκλικό -πρότυπο είναι ελεύθερο 7 Έστω I, J δυο ιδεώδη του Δείξτε τα εξής ) Υπάρχει ακριβής ακολουθία -προτύπων της μορφής 0 I J / I / J / ( I J ) 0 ) (Κινεζικό θεώρημα υπολοίπων) Αν τα I, J είναι αμφίπλευρα ιδεώδη και ισχύει I J, τότε οι δακτύλιοι / I J και / I / J είναι ισόμορφοι 8 ) Έστω 0 A B C 0 μια ακριβής ακολουθία -προτύπων Αν τα Α και C είναι πεπερασμένα παραγόμενα, τότε και το Β είναι πεπερασμένα παραγόμενο ) Έστω Μ, Ν υποπρότυπα ενός τρίτου -προτύπου Αν τα M N και M N είναι πεπερασμένα παραγόμενα, τότε και τα Μ, Ν είναι πεπερασμένα παραγόμενα 9 Έστω V ένα D-πρότυπο πεπερασμένης τάξης, όπου D-δακτύλιος διαίρεσης Θέτουμε Ed ( V ) ) Το V είναι -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό f v f ( v), f, v V ) Το V είναι απλό -πρότυπο ) Υπάρχει ισομορφισμός D Ed ( V ), d d, όπου d ( v ) dv 10 Έστω, S δυο δακτύλιοι Θυμίζουμε ότι το κέντρο του είναι ο υποδακτύλιος C( ) { r rs sr για κάθε s } Δείξτε τα εξής ) C( S) C( ) C( S) ) C( M ( )) C( ) ) D δακτύλιος διαίρεσης C( D) σώμα v) Έστω D ένας δακτύλιος διαίρεσης και V 0 ένα D -πρότυπο Τότε C( Ed ( V )) C( D) 11 Έστω Μ ένα -πρότυπο Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα ) Το Μ είναι απλό ) Για κάθε m M, m 0, M ( m) ) Το M / I για κάποιο μέγιστο ιδεώδες Ι του 1 Δείξτε με παράδειγμα ότι γενικά δεν ισχύει Hom ( M, N) Hom( M, N) Υπόδειξη: Έστω Λ = D D

16 16, Μ = Ν = = σώμα Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι αν ένας διανυσματικός χώρος είναι ισόμορφος με τον δυϊκό του, τότε είναι πεπερασμένης διάστασης 13 Έστω k σώμα, G μια πεπερασμένη ομάδα, a G ανήκει στο κέντρο της άλγεβρας k[ G ] και C a 1 G Δείξτε ότι το στοιχείο 14 Έστω G μια πεπερασμένη κυκλική ομάδα τάξης και k ένα σώμα Αποδείξτε ότι υπάρχει k[ x] ισομορφισμός k -αλγεβρών k[ G] ( x 1) 15 Αποδείξτε ότι υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed M 16 Έστω ένας δακτύλιος ) Έστω I αμφίπλευρο ιδεώδες του Δείξτε ότι το M ( I ) είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του M ( ) και M ( ) M ( I) M ( I) ) Αποδείξτε ότι κάθε αμφίπλευρο ιδεώδες του M ( ) είναι της μορφής M ( I), όπου Ι είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του 17 Έστω, 0 m Αποδείξτε ότι υπάρχει ισομορφισμός ομάδων Hom d ( m, ) m, d, όπου a Έστω k ένα σώμα, M ( k) και I Εξετάστε αν το I είναι αμφίπλευρο b c b c ιδεώδες του Αληθεύει ότι το Ι είναι απλό -πρότυπο; Αν όχι, να βρεθεί ένα απλό -υποπρότυπο του I 19 Έστω 0 M N 0 ακριβής ακολουθία -προτύπων Δείξτε ότι οι αβελιανές ομάδες Hom (, ) N M και Hom ( M, M ) M είναι ισόμορφες 0 Έστω D μια - άλγεβρα διαίρεσης Δείξτε ότι αν ο dm D, τότε για κάθε d D υπάρχει με d d 1 Έστω μια k -άλγεβρα, όπου k σώμα Τότε κεντρική αν και μόνο αν M ( ) κεντρική Δείξτε ότι ο δακτύλιος T ( ) των άνω τριγωνικών πινάκων είναι ισόμορφος με το δακτύλιο L ( ) των κάτω τριγωνικών πινάκων; cc c

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R και : R R R, έτσι ώστε i) ( R, + ) είναι αβελιανή οµάδα,

Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο πράξεις, + : R R και : R R R, έτσι ώστε i) ( R, + ) είναι αβελιανή οµάδα, ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα ασχοηθούµε µε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο R Θα περιοριστούµε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαρμαρίδης. Σημειώσεις στη. Θεωρία Δακτυλίων

Νίκος Μαρμαρίδης. Σημειώσεις στη. Θεωρία Δακτυλίων Νίκος Μαρμαρίδης Σημειώσεις στη Θεωρία Δακτυλίων Ιωάννινα 2014 Περιεχόμενα 1 Αρχικές Έννοιες Δακτυλίων 1 1.1 Δακτύλιοι................................... 1 1.2 Ομομορφισμοί Δακτυλίων..........................

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 11 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Το Θεώρημα Jordan Hölder 31 Προκαταρκτικές Έννοιες 311 Υποορθόθετες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi20/asi20.html, https://sites.google.com/site/mathsedu/home/algdom Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 20

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Κεφάλαιο 9 ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε διεξοδικότερα τις ϐασικές ιδιότητες του δακτυλίου πολυωνύµων, κυ- ϱίως µιας µεταβλητής, µε στοιχεία από έναν µεταθετικό

Διαβάστε περισσότερα