Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες, πολυώνυµα κλπ ) τα οποία ονοµάζουµε γενικά «διανύσµατα» στο οποίο έχουµε ορίσει δύο πράξεις Μία εσωτερική πράξη µεταξύ των στοιχείων του δχ την οποία θα ονοµάζουµε γενικά «πρόσθεση»: ( + ):V V V Και µία εξωτερική πράξη πραγµατικών αριθµών µε στοιχεία του δχ την οποία θα ονοµάζουµε γενικά «βαθµωτό πολλαπλασιασµό»: (): V V Σε αυτό το σύνολο θα πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθες δέκα ιδιότητες u+ v V u, v V Κλειστότητα της πρόσθεσης u+ v= v+ u u, v V Αντιµεταθετικότητα : u+ = u u V Ύπαρξη ουδετέρου πρόσθεσης u V u V : u+ ( u) = Ύπαρξη αντιθέτου πρόσθεσης ( u+ v) + w= u+ ( v+ w) u, v, w V Προσεταιριστικότητα πρόσθεσης au V u V και a Κλειστότητα του πολαπλασιασµού au ( + v) = au+ av uv, Vκαι a Πρώτος επιµεριστικός κανόνας ( a+ b) u = au+ bu u V και a, b εύτερος επιµεριστικός κανόνας ( ab) u = a( bu) u V και a, b Προσεταιριστικότητα πολαπλασιασµού u = u u V Σύµβολα : για κάθε, υπάρχει, : τέτοιο ώστε, το µηδενικό διάνυσµα, το µηδέν του πολ\µου Για να αποδείξουµε ότι ένα σύνολο εφοδιασµένο µε τις πράξεις είναι δχ πρέπει να αποδείξουµε ότι ισχύουν όλες οι παραπάνω ιδιότητες Για να αποδείξουµε ότι ένα σύνολο εφοδιασµένο µε τις πράξεις δεν είναι δχ πρέπει να αποδείξουµε ότι έστω µία από παραπάνω ιδιότητες δεν ισχύει Παραδείγµατα συνόλων που, αποδεικνύοντας τις παραπάνω ιδιότητες, βλέπουµε ότι είναι δχ: Το σύνολο των -διάστατων διανυσµάτων, το οποίο συµβολίζουµε µε, εφοδιασµένο µε το σύνηθες άθροισµα διανυσµάτων και τον πολλαπλασιασµό αριθµού επί διάνυσµα Το σύνολο των m x πινάκων, το οποίο συµβολίζουµε µε M m, εφοδιασµένο µε το σύνηθες άθροισµα πινάκων και τον πολλαπλασιασµό αριθµού επί πίνακα Ο τετριµµένος χώρος V = { } µε το άθροισµα και το γινόµενο αριθµών

2 Κεφάλαιο 4 4 Το σύνολο των πολυωνύµων βαθµού το πολύ, το οποίο συµβολίζουµε µε P, εφοδιασµένο µε το άθροισµα πουλωνύµων και τον πολλαπλασιασµό αριθµού επί πολυώνυµο Εάν p( x) = a x + a x + + a x+ a και qx ( ) = bx + b x + + bx+ bτότε p( x) + q( x) = ( a + b ) x + ( a + b ) x + + ( a + b) x+ ( a + b ) και mp( x) = ma x + ma x + + ma x + ma 5 Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριµένη ευθεία y = kx η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων: {(, ):, } {(, ): } V = x y x y = kx = x kx x Ως πρόσθεση ορίζουµε ( x, kx ) + ( x, kx ) = ( x + x, kx + kx ) = ( x + x, k( x + x )) V και ως βαθµωτό πολλαπλασιασµό a( x, kx ) = ( ax, akx ) = ( ax, kax ) V Συµβολισµός : Τα διανύσµατα συνηθίζουµε να τα γράφουµε σε αγκύλες [ ] Ωστόσο όταν αναφερόµαστε σε σηµεία του επιπέδου ή του χώρου ( ή αντίστοιχα) θα χρησιµοποιούµε τις παρενθέσεις όπως κάνουµε στη γεωµετρική προσέγγιση Παραδείγµατα συνόλων που δεν είναι δχ: Ο τετριµµένος χώρος V = { } µε το άθροισµα και το γινόµενο αριθµών διότι += δεν ανήκει στο χώρο Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριµένη ευθεία y = kx+ m η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων {(, ):, } {(, ): } V = x y x y = kx+ m = x kx+ m x Ως πρόσθεση ορίζουµε ( x, kx+ m) + ( x, kx + m) = ( x+ x, kx+ kx+ m) = ( x+ x, k( x+ x) + m) V και δεν ικανοποιεί την εξίσωση στης ευθείας µιας Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που βρίσκονται στο πρώτο και στο V = ( x, y): y δεν είναι δχ εφόσον το (-,-) δεν δεύτερο τεταρτηµόριο { } ανήκει στο χώρο ενώ το (,) ανήκει Σε ένα διανυσµατικό χώρο ισχύουν τα ακόλουθα: a= a v= v V Αν av = a = ή v= 4 ( ) v=v v V 4 ιανυσµατικοί υπόχωροι Έστω W ένα µη κενό υποσύνολο ενός διανυσµατικού χώρου V Εάν το W εφοδιασµένο µε τις πράξεις του δχ είναι και αυτό διανυσµατικός χώρος τότε λέµε ότι είναι διανυσµατικός υπόχωρος του δχ V Για να δείξουµε ότι ένα υποσύνολο είναι υπόχωρος ενός δχ αρκεί να δείξουµε τη κλειστότητα των δύο πράξεων ως προς αυτόν το χώρο, δηλαδή: u+ v W u, v W, au W u W και a

3 Παραδείγµατα διανυσµατικών υπόχωρων γνωστών δχ ιανυσµατικοί Χώροι Για κάθε δχ ο τετριµµένος χώρος δχ V = { } είναι υπόχωρός του, όπως και ο ίδιος ο δχ είναι υπόχωρος του εαυτού του Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριµένη ευθεία y = kx η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων {(, ):, } {(, ): } V = x y x y = kx = x kx x είναι υπόχωρος του (το δείξαµε παραπάνω) Το σύνολο των διαγώνιων πινάκων x είναι διανυσµατικός υπόχωρος του δχ a c a+ c a ka M, Πράγµατι + = b d b+ d και k b = kb 4 Η τοµή W W δύο διανυσµατικών υπόχωρων WW, ενός δχ είναι διανυτσµατικός υπόχωρος του χώρου V Έστω uv, W W Επίσης έστω u W au W τότε έχουµε ότι u W W, a au W W, uv W au W uv, W u v W + u + v W W uv, W u+ v W τότε έχουµε ότι 5 Το σύνολο των σύνολο των πολυωνύµων µε βαθµό το πολύ είναι διανυσµατικός υπόχωρος του δχ P Πράγµατι εάν p( x) = ax + ax+ aκαι qx ( ) = bx + bx+ b τότε p( x) + q( x) = ( a + b ) x ++ ( a + b) x+ ( a + b ) και mp( x) = max + max + ma Παραδείγµατα υποσυνόλων γνωστών δχ οι οποίοι δεν είναι διανυσµατικοί υπόχωροι Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριµένη ευθεία y = kx+ m η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων Το δείξαµε παραπάνω Το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που βρίσκονται στο πρώτο και στο V = ( x, y): y δεν είναι διανυσµατικός υπόχωρος δεύτερο τεταρτηµόριο { } εφόσον όταν το ( x, y ) ανήκει στο σύνολο το ( x, y) δεν ανήκει στο σύνολο V αφού y y 4 Γραµµικός συνδυασµός και spa Έστω v,, vm V διανυσµατικό χώρο Ένας γραµµικός συνδυασµός των v,, vm είναι ένα στοιχείο του V της µορφής av + + amvm, ai R

4 Κεφάλαιο 4 Θα λέµε ότι τα στοιχεία v,, vm παράγουν το χώρο V αν για κάθε v V υπάρχουν a,, am R τέτοια ώστε v= av + + amvm Συµβολίζουµε τότε ότι V = spa{ v, v,, vm} ηλαδή τα στοιχεία v,, vm παράγουν το V αν κάθε στοιχείο του V είναι γραµµικός συνδυασµός των v,, v m Έστω v,, vm V διανυσµατικό χώρο τότε το spa{ v, v,, v m} είναι διανυσµατικός υπόχωρος του V Γραµµικός συνδυασµός δύο διανυσµάτων = 7 4 Για ποιους πραγµατικούς αριθµούς ισχύει ότι [,, ] [,,],[,,] a spa,[,,] ; a { } Θα πρέπει να υπάρχουν λ,λ,λ ώστε το σύστηµα = λ + λ α + λ να έχει λύση (να είναι συµβιβαστό) Στον επαυξηµένο πίνακα Γ ΓΓ α, από όπου συµπεραίνουµε ότι α + α = a b a b Έστω M c d τότε a b c d δηλαδή c d = M = spa,,, 44 Γραµµική ανεξαρτησία και βάση Ένα σύνολο στοιχείων { },, m v v του δχ V είναι γραµµικά ανεξάρτητα εάν όταν ισχύει η σχέση av + + amvm=, όπου ai R, τότε αναγκαστικά έχουµε: a = a = = a m = ιανύσµατα τα οποία δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα τα λέµε γραµµικά εξαρτηµένα ύο διανύσµατα του δχ V είναι γραµµικά εξαρτηµένα όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου 4

5 ιανυσµατικοί Χώροι 6 6 Γραµµικά εξαρτηµένα, αφού = 9 9 k Γραµµικά ανεξάρτητα, k αφού = k = k = /, k = που δεν 9 9 k µπορεί να συµβαίνει ταυτόχρονα ύο διανύσµατα του επιπέδου είναι γραµµικά εξαρτηµένα όταν ανήκουν στην ίδια ή σε παράλληλες ευθείες ύο διανύσµατα του χώρου είναι γραµµικά εξαρτηµένα όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο Ένα σύνολο στοιχείων { v,, vm} του V ονοµάζεται βάση του V αν έχει τις ιδιότητες a το { v,, v m} παράγει το V b αν ισχύει η σχέση av + + amvm=, όπου ai R, τότε αναγκαστικά έχουµε a = a = = a m = ηλαδή είναι γραµµικά ανεξάρτητα Ένας διανυσµατικός χώρος µπορεί να έχει παραπάνω από µία βάσεις ιάσταση ενός χώρου (συµβολίζεται dimv ) είναι ο αριθµός των γραµµικά ανεξάρτητων διανυσµάτων της βάσης Η διάσταση του τετριµµένου µηδενικού χώρου V = είναι { } Έστω { v,, v } µια βάση του V Τότε για κάθε v V, υπάρχουν µοναδικά a R µε v= av + + a v i Έστω dimv = Εάν v,, vm V είναι γραµµικά ανεξάρτητα τότε m Εάν W διανυσµατικός υπόχωρος του δχ V τότε dimw dimv Το σύνολο { e, e }, όπου [, ] e =, e = [,] είναι µια βάση του a το { e, e } παράγει το R, αφού αν [ a, a] R, τότε [ a, a] = [ a,] + [, a] = a[,] + a[, ] b αν ae + ae =, τότε [, ] a a = [,] a = a = Με παρόµοιο τρόπο, βλέπουµε ότι το σύνολο { } [,,, ] =, = [,,,, ],, = [,,,] e e e λέγεται η συνήθης βάση ή κανονική βάση του R R Πράγµατι, e,,, e όπου, είναι µια βάση του R Αυτή 5

6 Κεφάλαιο 4 a + b c d + + = a c = a =, b=, c=, d = c d ηλαδή οι πίνακες αυτοί είναι γραµµικά ανεξάρτητοι Οπότε αποτελούν και βάση του χώρου των πινάκων x M εφόσον τον παράγουν και η διάσταση του είναι 4 ο σύνολο των σύνολο των πολυωνύµων µε βαθµό το πολύ είναι διανυσµατικός υπόχωρος µε διάσταση Πράγµατι το σύνολο αυτό παράγεται από το σύνολο {,,,, } x x x αφού κάθε πολυώνυµο βαθµού το πολύ p( x) = ax + a x + + ax+ a γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των παραπάνω πολυωνύµων Τα στοιχεία του συνόλου αυτού είναι γραµµικά ανεξάρτητα µιας και λ x + λ x + + λ x+ λ = λ = λ = = λ = λ = dim R = Έστω ότι,, v vm R Αν τα v,, v m είναι γραµµικά ανεξάρτητα, τότε έχουµε m Αν τα,, v vm παράγουν το R, τότε έχουµε m Αν τα,, v vm αποτελούν βάση του R, τότε έχουµε m= Έστω {,, v v } R Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα Το σύνολο { v,, v } είναι µια βάση του Τα { v,, v } παράγουν το R Τα { v,, v } είναι γραµµικά ανεξάρτητα Έστω,, v v R και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το vi, i=,, Τότε τα,, v v αποτελούν βάση του R αν και µόνο αν de t A Έστω,, v v R και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το vi, i=,, Τότε τα,, v v αποτελούν βάση του R αν και µόνο αν το οµογενές σύστηµα Ax = έχει λύση µόνο τη µηδενική Έστω Α πίνακας εάν θεωρήσουµε ως την κάθε στήλη του ένα διάνυσµα του R Τότε τα v,, v είναι γραµµικά ανεξάρτητα εάν και µόνο εάν det A Όπου η στήλη i είναι το v, i=,, i Έστω,, m v v R και έστω Α ο m πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το vi, i=,, Τότε τα v,, v είναι γραµµικά εξαρτηµένα εάν και µόνο εάν η ορίζουσα κάθε υποπίνακα του Α είναι ίση µε R 6

7 ιανυσµατικοί Χώροι 6 Γραµµικά εξαρτηµένα, αφού κάθε x υποορίζουσα είναι µηδενική = = = = = = Γραµµικά ανεξάρτητα, 9 αφού υπάρχει x υποορίζουσα 9 = Έστω,, v v R και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το vi, i=,, Μετασχηµατίζω µε κατάλληλες γραµµοπράξεις τον πίνακα Α σε πίνακα Β κλιµακωτής µορφής Βρίσκω ποιες στήλες του Β περιέχουν οδηγό στοιχείο Οι αντίστοιχες στήλες του Α αποτελούν γραµµικά ανεξάρτητα διανύσµατα 4 Έστω V ο υπόχωρος του που παράγεται από τα διανύσµατα (,,,),(,,,),(,,,),(,,,) Να βρεθεί µια βάση και η διάσταση του V Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα δοσµένα διανύσµατα Με στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών βρίσκουµε την κλιµακωτή µορφή Γ >Γ Γ Γ >Γ +Γ Γ4>Γ4Γ Η πρώτη η δεύτερη και η τέταρτη στήλη περιέχουν οδηγά στοιχεία Σύµφωνα µε τα όσα είπαµε παραπάνω µια βάση του V είναι το σύνολο {[,,, ],[,,, ],[,,,] } ίνεται το υποσύνολο του : είναι υπόχωροι του R Έχουµε λοιπόν dimv = R [ ] V = {x+ y+ z, xz, yz, x, y, z } είξτε ότι και βρείτε µία βάση για τον καθένα 7

8 Κεφάλαιο 4 Επειδή [ x y z, x z, y z] x[,, ] y[,,] z[,, ] + + = + + έχουµε ότι το σύνολο V είναι το σύνολο όλων των γραµµικών συνδυασµών των [ ] [ ] [,,,,,,,, Άρα είναι διανυσµατικός υπόχωρος του ] R Για µία βάση του αρκεί να θεωρήσουµε τον πίνακα µε στήλες τις συντεταγµένες των παραπάνω γεννητόρων και να βρούµε µία κλιµακωτή µορφή του Όλες οι στήλες περιέχουν οδηγά στοιχεία Σύµφωνα µε τα όσα είπαµε παραπάνω µία βάση του V είναι τα διανύσµατα [,, ],[,, ], [,, ] είναι ίση προς Άρα V = R 45 Μηδενοχώρος, εικόνα και τάξη πίνακα Έστω ένας mx πίνακας Α τότε το σύνολο A { : } N = x Ax = ονοµάζεται µηδενοχώρος ή πυρήνας του πίνακα A Είναι εύκολο να δούµε ότι Ν Α είναι διανυσµατικός υπόχωρος του Έστω uv, NA τότε έχουµε ότι Au = Au + Av = A( u + v) = u + v N Av = Au = kau = A( ku) = ku N A k A και η διάσπαση του Η διάσταση του χώρου αυτού ονοµάζεται µηδενικότητα του πίνακα και συµβολίζουµε ( A) dim N A ν = Εάν η µοναδική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι η µηδενική τότε ν ( A) = N = {} και A 8

9 Έστω ο πίνακας A = Η εύρεση του πυρήνα µας οδηγεί στο οµογενές σύστηµα x + x + x = µε επαυξηµένο 4 x x + x = 4 x + x x = 4 ιανυσµατικοί Χώροι γ γ γ γ γ γ > + > 4 6 από το οποίο έχουµε x =, x = x 4, x = x 4 (απειρία λύσεων) την [ k, k,, k] = k[,,,] Οπότε ν ( A) = και N A = spa{ } Έστω ο πίνακας A = Η εύρεση του πυρήνα µας οδηγεί στον επαυξηµένο πίνακας Μετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ ΓΓ, Γ Γ Γ, Γ ΓΓ παίρνει τη µορφή Που έχει µόνο τη µηδενική λύση οπότε ν ( A) = Έστω ο πίνακας A = Η εύρεση του πυρήνα µας οδηγεί στον επαυξηµένο πίνακας 9

10 Κεφάλαιο Μετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ Γ + Γ, Γ Γ Γ παίρνει τη µορφή από το οποίο έχουµε (απειρία λύσεων) την k l [, kl, ] = k[ /,,] + l[ /,, ] = k/[,, ] + l/[,,] Οπότε ν ( A) = και N A = spa{, } Ένας x πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος εάν και µόνο εάν N A = {} Έστω ένας mx πίνακας Α τότε το σύνολο ονοµάζεται εικόνα του πίνακα A A m { : για κάποιο } R = b Ax= b x m Είναι εύκολο να δούµε ότι R Α είναι διανυσµατικός υπόχωρος του Έστω uv R τότε για κάποια xy, έχουµε ότι, A Ax = u Ax + Ay = u + v A( x + y) = u + v u + v RA Ay = v Ax = u kax = ku A kx = ku ku R k ( ) A Η διάσταση του χώρου αυτού ονοµάζεται τάξη ή βαθµός (rak) του πίνακα και συµβολίζουµε rak A ( ) = dim R A Η τάξη ενός πίνακα είναι ίση µε τον αριθµό των οδηγών στοιχείων που υπάρχουν στην ανηγµένη κλιµακωτή µορφή που µπορούµε να φέρουµε τον πίνακα Για κάποιον mx πίνακα Α rak ( A) + ν ( A) = Ένας x πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος εάν και µόνο εάν rak ( A) =

11 ιανυσµατικοί Χώροι Ένα σύστηµα x Ax = b έχει τουλάχιστον µία λύση εάν και µόνο εάν ο επαυξηµένος πίνακας [ A b] και ο πίνακας Α έχουν την ίδια τάξη ο σύστηµα x+ y z = 4 x+ y+ z = x+ 5y 4z = Ο επαυξηµένος πίνακας είναι µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών εύκολα βρίσκουµε ότι ο πίνακας µετατρέπεται στην κλιµακωτή µορφή Παρατηρούµε ότι [ ] rak( A b ) = rak( A) = οπότε το σύστηµα έχει τουλάχιστον µία λύση, στη συγκεκριµένη την x =, y =, z = ο σύστηµα x+ y z = 6 x y+ 4z = 4x+ y z = 4 6 Ο επαυξηµένος πίνακας είναι µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών εύκολα βρίσκουµε ότι ο πίνακας µετατρέπεται στην κλιµακωτή µορφή 6

12 Κεφάλαιο 4 Παρατηρούµε ότι [ ] rak( A b ) = rak( A) = οπότε το σύστηµα έχει τουλάχιστον µία λύση, στη συγκεκριµένη περίπτωση άπειρες ο σύστηµα x+ y z = x y+ z = 7 5x+ y 4z = Ο επαυξηµένος πίνακας είναι µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών εύκολα βρίσκουµε ότι ο πίνακας µετατρέπεται στην κλιµακωτή µορφή 7 Παρατηρούµε ότι [ ] λύση = rak( A b ) rak( A) = οπότε το σύστηµα δεν έχει καµία Ασκήσεις πάνω στους διανυσµατικούς χώρους Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] z } {[ xyz,, ] y z= } Λύση ο σύνολο W= { [x,y,z] z } δεν είναι διανυσµατικός υπόχωρος του R, γιατί αν θεωρήσουµε το [,,] Τ W, τότε [,,] Τ = [,, ] Τ W ο σύνολο U= { [x,y,z] y z = } δεν είναι διανυσµατικός υπόχωρος του R, γιατί το µηδενικό διάνυσµα δεν ανήκει στο U Εξετάστε ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του είναι υπόχωροι του και δικαιολογείστε την απάντησή σας {,, 5 } [ ] U = x y z x+ y+ z =

13 Λύση {,, 5 } {,, 5 } [ ] V = x y z x + y+ z = [ ] W = x y z x+ y+ z = [ ] Το U δεν είναι υπόχωρος του γιατί δεν περιέχει το,, ιανυσµατικοί Χώροι Το V δεν είναι υπόχωρος Πράγµατι, έχουµε για παράδειγµα αφού 5 ( ), αλλά,, =,, V αφού [,, ] V ( ) = = [ ] [ ] Τα W είναι υπόχωρος του Πράγµατι, για κάθε kl, και / / / [,, ],,, x yz x y z W, / / / / / / [,, ] +,, = +, +, + k x y z l x y z kx lx ky ly kz lz και / / / 5( kx + lx ) + ( ky + ly ) + ( kz + lz ) = k x y z l x y z / / / (5 + + ) + (5 + + ) = + = Άρα kxyz lx y z W / / / (,, ) + (,, ) Έστω Π ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων που έχουν βαθµό το πολύ Αποδείξτε ότι µια βάση του P είναι το σύνολο {, t, ( t) } και βρείτε την παράσταση του 5t + t+ως γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων της παραπάνω βάσης Λύση Επειδή η διάσταση του P είναι, αρκεί να αποδείξουµε ότι το σύνολο {, t, ( t) } είναι γραµµικά ανεξάρτητο Έχουµε a + b( t ) + c( t ) = ct + ( b c) t+ ( a b+ c) c= b c= a b+ c= a= b= c= Για το δεύτερο ερώτηµα, λύνουµε την εξίσωση a + b( t ) + c( t ) = + t+ 5t δηλαδή την ct + ( b c) t + ( a b + c ) = 5t + t + Αυτή ισοδυναµεί µε το σύστηµα c = 5, b c=, a b+ c= Άρα a =, b=, c= 5 4 Αφού αποδείξτε ότι τα στοιχεία [,-,] Τ, [,,] Τ, [,,] Τ αποτελούν βάση του R, εκφράστε το [7,5,5] Τ ως γραµµικό συνδυασµό αυτών Λύση Τρία στοιχεία ενός διανυσµατικού χώρου διάστασης είναι βάση αν και µόνο αν αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα Επειδή det =9,

14 Κεφάλαιο 4 τα δεδοµένα διανύσµατα αποτελούν µια βάση Λύνοντας το σύστηµα που προκύπτει από την ισότητα λ [,-,] Τ + λ [,,] Τ + λ [,,] Τ = [7,5,5] Τ λ = 4, δηλαδή το λ + λ + λ = 7 λ +λ +λ = 5 λ+ λ = 5, βρίσκουµε λ, λ = και = 5 (α) Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες τα διανύσµατα [,, ] a, [,, ],[,,] αποτελούν µια βάση του R (β) Για τις τιµές του a που βρήκατε πριν, να εκφράστε το [,, ] ως γραµµικό συνδυασµό των [,, ] a, [,, ],[,,] (γ) Να βρεθούν οι τιµές του b για τις οποίες έχουµε [ b] spa [ ] [ ],, {,,,,, } Λύση: α) Επειδή η διάσταση του R είναι, το δεδοµένο ερώτηµα ισοδυναµεί µε το να a βρεθούν τα α τέτοια ώστε det A, όπου A = Υπολογίζοντας βρίσκουµε ότι det A= a, οπότε a β) Για a, τα δεδοµένα στοιχεία του R αποτελούν µια βάση Ζητάµε να βρεθούν τα xyz,, τέτοια ώστε [ ] = x[ a] + y[ ] + z[ ],,,,,,,, x Λύνοντας το αντίστοιχο σύστηµα A y =, όπου Α είναι ο πίνακας του z προηγουµένου υποερωτήµατος, βρίσκουµε ότι a + x=, y =, z = ( a) ( a) ( a) γ) Ζητάµε τα b τέτοια ώστε να υπάρχουν xy, ώστε να έχουµε x,,,,,, Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το B, όπου y = b B = Αυτό έχει λύση αν και µόνο αν οι λύσεις του συστήµατος x+ y =, x+ y =, δηλ x = 4 και y = - ικανοποιούν την τρίτη εξίσωση x + y = b Αυτό συµβαίνει όµως µόνο αν b = H απάντηση αυτή µπορεί να βρεθεί [ ] b = x[ ] + y[ ] 4

15 ιανυσµατικοί Χώροι και από τον ακόλουθο συλλογισµό: Επειδή η τάξη (rak) του πίνακα Β, που είναι, πρέπει να είναι ίδια µε την τάξη του επαυξηµένου πίνακα του συστήµατος, δηλαδή rak rak = =, b που ισχύει αν και µόνο αν βρίσκουµε ότι b = det = Υπολογίζοντας την ορίζουσα, b 6 ίνονται τα σύνολα : x x x x E = : x x x x4 ; E : x x x x4 x x + = + = + = 4 x x + 4 Να δείξετε ότι τα σύνολα E, E είναι διανυσµατικοί υπόχωροι του διανυσµατικού χώρου των πινάκων διαστάσεως x β) Να βρείτε τις διαστάσεις των υποχώρων E, E, E E Λύση: α) Επιλέγουµε δύο πίνακες X, Y του συνόλου E έστω x x y y X = E, Y E x x = 4 y y 4 όπου x+ x = x+ x4, y+ y = y+ y4 και στη συνέχεια ελέγχουµε αν ο πίνακας λ X + µ Y όπου λ, µ ανήκει στον χώρο x x y y λ x+ µ y λ x + µ y λ X + µ Y = λ x x + µ 4 y y = 4 λ x + µ y λ x4 + µ y 4 Πράγµατι παρατηρώ ότι ισχύει η ιδιότητα των πινάκων του χώρου : ( λ x+ µ y) + ( λ x + µ y) = λ ( x+ x) + µ ( y+ y) = λ ( x+ x4) + µ ( y+ y4) = ( λ + µ ) + ( λ + µ E x y x y 4 4 και συνεπώς ο πίνακας λ X + µ Y ανήκει στον χώρο Όµοια επιλέγουµε δύο πίνακες X, Y του χώρου E έστω x x y y X = E; Y E x x = 4 y y 4 όπου x+ x = x+ x4, y+ y = y + y4 και στη συνέχεια ελέγχω αν ο πίνακας λ X + µ Y όπου λ, µ ανήκει στον χώρο E = = ) E E 5

16 Κεφάλαιο 4 x x y y λ x+ µ y λ x + µ y λ X + µ Y = λ x x + µ 4 y y = 4 λ x+ µ y λ x4 + µ y 4 Πράγµατι παρατηρώ ότι ισχύει η ιδιότητα των πινάκων του χώρου : ( λ x+ µ y) + ( λ x+ µ y) = λ ( x+ x) + µ ( y+ y) = = λ ( x + x4) + µ ( y + y4) = = ( λ x + µ y ) + ( λ x + µ y ) 4 4 και συνεπώς ο πίνακας λ X + µ Y ανήκει στον χώρο x β) Παρατηρούµε ότι κάθε πίνακας X x x 4 x x + x = x + x x + x4 x x X = x x = x x = 4 4 = x x x4 + + όπου οι πίνακες X X X X, X, X x = x 4 E E γράφεται ως εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητοι και συνεπώς αποτελούν βάση του E Άρα dim E = y y Παρατηρούµε ότι κάθε πίνακας Y = γράφεται ως y y E 4 y 4 y y + y = y + y y + y4 y y Y = = y y = 4 y y4 = y y y4 + + όπου οι πίνακες Y Y Y Y, Y, Y συνεπώς αποτελούν βάση του E Άρα dim E = y y Κάθε πίνακας Y = E γράφεται ως y y E 4 y 4 y y + y = y + y y4 y Y = = y y y y y4 y = 4 y y + = + 4 = y y4 + Y Y εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητοι και όπου οι πίνακες Y, Y4 είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι είναι γραµµικά ανεξάρτητοι και συνεπώς αποτελούν βάση του E Άρα dim( E E ) = E E 4 7 Έστω και E οι παρακάτω διανυσµατικοί υπόχωροι του R, E {[,,, ] } {[,,, ], } E = x x x x x x + x = 4 4 E x x x x4 x x4 x x = = = Βρείτε τη διάσταση καθενός από τους υποχώρους 6

17 ιανυσµατικοί Χώροι E, E, E+ E Λύση Έστω [x,x,x,x 4 ] ένα τυχαίο διάνυσµα του Ε Έχουµε x x x x x = = x + x + x = x + x + x x x x x 4 4 ηλαδή τα διανύσµατα,, είναι γεννήτορες του Ε Αυτά είναι και γραµµικά ανεξάρτητα Πράγµατι, υπολογίζουµε τον βαθµό του πίνακα µε στήλες διανύσµατα,, Έτσι, Γ Γ Γ Γ Γ + Γ 4 Ο βαθµός του τελευταίου πίνακα είναι, άρα τα,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Συνεπώς αποτελούν µια βάση του Ε, οπότε dimε = Όµοια διαπιστώνουµε ότι για το [x,x,x,x 4 ] Ε έχουµε x x x x = = x + x = xu + x, x x x x 4 άρα Ε = spa{u, } Επίσης τα u, είναι γραµµικά ανεξάρτητα, οπότε αποτελούν βάση του Ε Άρα dimε = Έχουµε E + E = spa{,,, u } Επειδή u είναι γραµµικά ανεξάρτητα Άρα dim(ε + Ε ) = 4 τα =, τα,,, 8Έστω a Θεωρούµε τα στοιχεία u = [,, ], v = [,, ], w= [, a, ] του Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες τα uvw,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Να βρεθούν οι τιµές του α για τις οποίες το [,,] ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα uvw,, 7

18 Κεφάλαιο 4 Λύση Έστω λ u+ µ v+ νw=, λ, µ, ν Ζητάµε τα α για τα οποία η σχέση αυτή αληθεύει µόνο για λ = µ = ν = Έχουµε [ ] [ ] [ ] [ ] λ u+ µ v+ νw= λ,, + µ,, + ν, a, =,, λ + µ + ν = λ + µ + νa = λ + µ + ν = Ζητάµε τα α για τα οποία το σύστηµα έχει µοναδική λύση τη µηδενική Ο επαυξηµένος πίνακας α του συστήµατος µετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ Γ Γ, Γ Γ Γ, Γ Γ Γ παίρνει τη µορφή λ + µ + ν = a Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το µ + ( a ) ν = a ( a) ν = Βλέπουµε ότι η µηδενική λύση είναι µοναδική αν και µόνο αν a Ζητάµε τα α για τα οποία υπάρχουν λ, µν, τέτοια ώστε [ ] λ u+ µ v+ νw=,, Όπως πριν παίρνουµε το σύστηµα λ + µ + ν = λ + µ + νa = λ + µ + ν = Ζητάµε τα a για τα οποία το σύστηµα έχει λύση Ο επαυξηµένος πίνακας a του συστήµατος µετά τους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών Γ ΓΓ, Γ Γ Γ, Γ ΓΓ παίρνει τη µορφή λ + µ + ν = a Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το µ + ( a ) ν = a ( a) ν = Παρατηρούµε ότι το σύστηµα αυτό έχει λύση για κάθε a Σηµείωση: Παρατηρούµε ότι [ ],, = u v 9 Έστω P ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων που έχουν βαθµό το πολύ B =, x, ( x), ( x) είναι µια βάση του P Αποδείξτε ότι το σύνολο { } Να παρασταθεί το Β x σαν γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων της βάσης 8

19 ιανυσµατικοί Χώροι Λύση Επειδή dim P = 4, αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο Β είναι γραµµικά ανεξάρτητο ax ( ) + bx ( ) + cx ( ) + d= ( ) ( ) ( ) a x x + x + b x x+ + c x + d = + ( + ) + ( + ) + ( + + ) = ax a b x a b c x a b c d Έστω abcd,,, Τότε a = a + b = a b+ c= a+ b c+ d = Το σύστηµα είναι τριγωνικό και εύκολα βλέπουµε ότι η µηδενική λύση είναι η µοναδική Σηµείωση Ένας άλλος τρόπος επίλυσης είναι να θέσουµε x = στη σχέση ax ( ) + bx ( ) + cx ( ) + d= οπότε d = Τότε παίρνουµε ax ( ) + bx ( ) + cx ( ) = ax ( ) + bx ( ) + c=, οπότε θέτοντας πάλι x παίρνουµε c =, κοκ Έστω x = a( x ) + b( x ) + c( x ) + d a = Όπως πριν, το ισοδύναµο a + b = σύστηµα είναι το a b+ c= a+ b c+ d = Λύνοντάς το βρίσκουµε a =, b=, c=, d = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνοµο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραµµα που διανέµεται και στην προτεινόµενη βιβλιογραφία του µαθήµατος Το περιεχόµενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραµµα των παραδόσεων του µαθήµατος Αποτελεί υλικό της διδασκαλίας του µαθήµατος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να µη χρησιµοποιηθεί και να µην αναπαραχθεί και διανεµηθεί για άλλο σκοπό 9

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ (Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Νοεµβρίου 4. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: εκεµβρίου 4)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. i) ============================================================== Α n ( 3 n 1 ) A ) 5 4. Α n 1 2 ( n n 2.

Άσκηση 1. i) ============================================================== Α n ( 3 n 1 ) A ) 5 4. Α n 1 2 ( n n 2. http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6995 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 8-9: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Γραμμική Άλγεβρα Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών

Διαβάστε περισσότερα

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού: με V και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,-,,), v=(,,-,6,8), v=(,,,,6), v=(,,5,,8), v5=(,7,,,9). a)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017

ΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017 ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x] σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2018/lai2018html Παρασκευή 7 εκεµβρίου 2018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 15 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα