Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ"

Transcript

1 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των διανυσµατικών χώρων εφοδιασµένων µε εσωτερικό γινόµενο. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου Περιεχόµενα 1 Ορισµός 3 2 Norm (Μέτρο) ιανύσµατος 3 3 Μοναδιαίο ιάνυσµα 3 4 Παραδείγµατα K n M n,m C[a, b] Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4 6 Γωνία Μεταξύ ιανυσµάτων 4 7 Ορθογωνιότητα 4 8 Ορθογώνιο Συµπλήρωµα 4 9 Ορθογώνια, Ορθοµοναδιαία Σύνολα ιανυσµάτων 4 10 Εξωτερικό Γινόµενο 5

3 Κ. Κυρίτσης 3 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου 1 Ορισµός Εστω V διανυσµατικός χώρος στο σώµα K. Ορίζουµε µια καινούργια πράξη που ϑα την ονοµάσουµε εσωτερικό γινόµενο,, : V V K έτσι ώστε v, u K και µε τις εξής ιδιότητες, v, u 1, u 2 V και λ, µ K v, λu 1 + µu 2 = λ v, u 1 + µ v, u 2. v, u = u, v. v, v 0 1. Επιπλέον v, v = 0 εάν και µόνο αν v = 0. 2 Norm (Μέτρο) ιανύσµατος Ορίζεται σε χώρους εσωτερικού γινοµένου και είναι 3 Μοναδιαίο ιάνυσµα v = v, v. (1) Λέγεται το διάνυσµα που έχει µέτρο µονάδα. Για το τυχόν διάνυσµα v, το έχει πάντα µέτρο µονάδα. 4 Παραδείγµατα ˆv = v v 4.1 K n Για διανύσµατα γραµµένα σε πίνακα γραµµή, v = (x 1, x 2,...) είναι v, v = x x Μερικές ϕορές αυτό το αξίωµα παραλείπεται.

4 Κ. Κυρίτσης 4 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου 4.2 M n,m Εδώ είναι A, B = tr(b T A). 4.3 C[a, b] b Εδώ είναι f(x), g(x) = a f(x)g(x)dx. 5 Ανισότητα Cauchy-Schwarz ή 6 Γωνία Μεταξύ ιανυσµάτων Ορίζεται να είναι 7 Ορθογωνιότητα v, u 2 u, u v, v (2) u, v u v. (3) u, v cosθ = u v ύο διανύσµατα είναι κάθετα όταν θ = 0. Αυτό είναι ισοδύναµο µε το u, v = 0. 8 Ορθογώνιο Συµπλήρωµα Εστω S V και V διανυσµατικός χώρος εσωτερικού γινοµένου. Το ορθογώνιο συµπλήρωµα του S ορίζεται να είναι S = {v V : v, u = 0 u S}. 9 Ορθογώνια, Ορθοµοναδιαία Σύνολα ιανυσµάτων Εστω τα διανύσµατα {v i }. Αν είναι v i, v j = { 0, i = j 0, i j (4) (5)

5 Κ. Κυρίτσης 5 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου ϑα λέµε ότι είναι ορθογώνια. Αν είναι { 1, i = j v i, v j = 0, i j = δ ij (6) ϑα λέµε ότι είναι ορθοµοναδιαία. Αντίστοιχα ϑα λέµε ότι µια ϐάση είναι ορθογώνια ή ορθοµοναδιαία. εδοµένης µιας ϐάσης, µε την µέθοδο Gram-Schmidt µπορούµε να κατασκευάασουµε µια ορθογώνια και κατόπιν να την κάνουµε ορθοµοναδιαία. Η ϐάση {e i = (0, 0,..., 1,...,0}) µε το 1 στην i ϑέση λέγεται κανονική ή συνήθης ϐάση ή Καρτεσιανή. 10 Εξωτερικό Γινόµενο Ορίζεται µόνο για διανύσµατα του R 3. Για τα u = (u x, u y, u z ) και v = (v x, v y, v z ) είναι i j k u v = u x u y u z v x v y v z. Για το µέτρο ισχύει u v = u v sinθ. Σαν διάνυσµα είναι κάθετο στο επίπεδο των u,v.

6 Κ. Κυρίτσης 6 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

7 Κ. Κυρίτσης 7 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

8 Κ. Κυρίτσης 8 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Λογική και Προτασιακός Λογισµός ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ ιανυσµατικοί Χώροι ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούνε µια σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του διανύσµατος

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ακολουθίες και Σειρές Συναρτήσεων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Εκπαιδευτικός Οργανισµός ΒΙΤΑΛΗ Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 10 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Σειρές και Ολοκληρώµατα Fourier ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 16 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποσκοπούν στο να δώσουν µια σύνοψη της ϑεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 5 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων Γάµµα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μερική Παράγωγος και Εφαρµογές ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 19 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των µε- ϱικών

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Κατανομές Απώλειας Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική ή περιληπτική του περιεχομένου αυτού με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Βασικά Μαθηµατικά ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 04 Μαρτίου 009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα- ϑηµατικών γνώσεων που

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Θεωρία Συνόλων ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 09 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµ εισαγωγή στη ϑεωρία των συνόλων και ων

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚ ΗΛΩΣΗΣ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΟΜΕΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ «ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΞΕΛΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ» Ηµεροµηνία έναρξης: Τρία εξέχοντα Πανεπιστήµια της χώρας ενώνουν τις δυνάµεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΆΛΓΕΒΡΑ ΒΑΣΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 2. ΣΠΟΥ ΕΣ 3. ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΑ. Στυλιανός Θ. Τσιλίκης Βιογραφικό Σηµείωµα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 2. ΣΠΟΥ ΕΣ 3. ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΑ. Στυλιανός Θ. Τσιλίκης Βιογραφικό Σηµείωµα ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1. ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Επώνυµο : ΤΣΙΛΙΚΗΣ Όνοµα : ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ Όνοµα Πατρός : ΘΕΟ ΩΡΟΣ Έτος Γέννησης : 12 Ιουνίου 1971 ιεύθυνση Κατοικίας : Αλεξάνδρου ιάκου 36, Νέο Ηράκλειο, Αθήνα Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

File: D:\ISTOSELIDA\SED_3C1\sed11_pin4x.txt 2/2/2006, 9:09:14πµ

File: D:\ISTOSELIDA\SED_3C1\sed11_pin4x.txt 2/2/2006, 9:09:14πµ Ηµ/νία: 31/01/2006 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ Σελίδα 1 από 8 ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΥΝΟΛΟ Αραβικές Χώρες Λοιπή Ασία Λοιπή Αφρική Νοτιαφρικανική ΗΠΑ-Καναδάς Ωκεανία Πρώην ΕΣΣ ΣΧΟΛΗ Ενωση ΤΜΗΜΑ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

MSc in Oil and Gas Technology Α.ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ

MSc in Oil and Gas Technology Α.ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ MSc in Oil and Gas Technology ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ Α.ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΤΟΜΕΙΣ Η πετρελαϊκή βιοµηχανία έχει 3 τοµείς. Upstream Midstream Downstream : Παραγωγή. : Μεταφορά-αποθήκευση.

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

apple system Ολική ποιότητα εκπαίδευσης απλά... μαθαίνεις Υψηλή ακαδημαϊκή ποιότητα Τεχνολογία και εκπαίδευση Είναι γεγονός!

apple system Ολική ποιότητα εκπαίδευσης απλά... μαθαίνεις Υψηλή ακαδημαϊκή ποιότητα Τεχνολογία και εκπαίδευση Είναι γεγονός! Ολική ποιότητα εκπαίδευσης Υψηλή ακαδημαϊκή ποιότητα Τεχνολογία και εκπαίδευση Είναι γεγονός! Μια νέα εποχή έχει ξεκινήσει στην εκπαίδευση. Μια εποχή που τοποθετεί εσάς στο κέντρο κάθε ενέργειας, δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΚΕΦΕ ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΚΕΦΕ ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ Ε Κ Δ Η Λ Ω Σ Η Ε Ν Δ Ι Α Φ Ε Ρ Ο Ν Τ Ο Σ Το Ινστιτούτο Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών του ΕΚΕΦΕ «Δημόκριτος», προσκαλεί τους ενδιαφερόμενους να υποβάλλουν εκδήλωση ενδιαφέροντος για την κάλυψη 1 δεκαέξι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΟΣ 3121 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΟΣ Οι πτυχιούχοι του τμήματος Ηλεκτρονικών Υπολογιστικών Συστημάτων (ΗΥΣ) του Τ.Ε.Ι. Πειραιά διαθέτουν τις εξειδικευμένες

Διαβάστε περισσότερα

Λαμία 25/1/2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΠΡΟΣ: ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ

Λαμία 25/1/2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ ΠΡΟΣ: ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Λαμία 25/1/2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ Ταχ. Δ/νση: 3ο χιλ. Π.Ε.Ο. Λαμίας - Αθηνών 35100 Λαμία ΠΡΟΣ: ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΚΟΙΝ: TEI ΛΑΜΙΑΣ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Ονοματεπώνυμο Ηλεκτρονικό ταχυδρομείο Υπηκοότητα ΜΠΕΛΟΥΛΗ ΑΓΑΘΗ agathabel@yahoo.gr ΕΛΛΗΝΙΚΗ Ημερομηνία γέννησης 11/11/1985 ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΠΕΙΡΑ Ημερομηνίες (από

Διαβάστε περισσότερα

18η Διημερίδα Διεθνών και Δημοσίων Σχέσεων 25-26 Ιουνίου 2015 Ρέθυμνο

18η Διημερίδα Διεθνών και Δημοσίων Σχέσεων 25-26 Ιουνίου 2015 Ρέθυμνο 18η Διημερίδα Διεθνών και Δημοσίων Σχέσεων 25-26 Ιουνίου 2015 Ρέθυμνο Η αρχική ιδέα για τη δημιουργία Ομίλου Πρακτικής Άσκησης δια μέσου του προγράμματος LLP- ERASMUS έγινε από τους υπευθύνους των Τμημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Master of Science in Information Technology (Software and Systems), 01/12/2000, ΙΚΑΤΣΑ, Μάστερ Επιστήµων (Μ.C.s.) στην πληροφορική 23/04/2001

Master of Science in Information Technology (Software and Systems), 01/12/2000, ΙΚΑΤΣΑ, Μάστερ Επιστήµων (Μ.C.s.) στην πληροφορική 23/04/2001 Τ.Ε.Ι. ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΩΝ ΣΥΝΕΡΓΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 ΠΙΝΑΚΑΣ (α) άρθρου 2, παρ. 2, Π.. 163, ΦΕΚ 149/26-06-2002, τεύχος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Μοντέλα εκπαίδευσης στην Ελλάδα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Μοντέλα εκπαίδευσης στην Ελλάδα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Μοντέλα εκπαίδευσης στην Ελλάδα 11 Πέτρου Πατιά Γ1: Μοντέλα προπτυχιακών σπουδών των πολυτεχνικών σχολών της χώρας Πηγή: Ελληνικά Α.Ε.Ι. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Ηµ/νία: 19/03/2012 sed12bstudme Ώρα: 12:54:18 Σελίδα 1 από 7 ΠΙΝΑΚΑΣ 3Μ: ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ (Α.Ε.Ι.)- ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑ SEDUSER ΦΥΛΟ,

Ηµ/νία: 19/03/2012 sed12bstudme Ώρα: 12:54:18 Σελίδα 1 από 7 ΠΙΝΑΚΑΣ 3Μ: ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ (Α.Ε.Ι.)- ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΙ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑ SEDUSER ΦΥΛΟ, Ηµ/νία: 19/03/2012 sed12bstudme Ώρα: 12:54:18 Σελίδα 1 από 7 - ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΕΛΛΑ ΟΣ 59423 31713 35570 21028 23853 10685 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ 15874 9137 10368 6326 5506 2811 ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ 3025 2124

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ

ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ Η γνώση χειρισµού Η/Υ στα αντικείµενα: α) επεξεργασίας κειµένων, β) υπολογιστικών φύλλων και γ) υπηρεσιών διαδικτύου αποδεικνύεται ως εξής: (1) Με πιστοποιητικά

Διαβάστε περισσότερα

Πώς θα κατανεµηθούν οι σχολές από το 2016

Πώς θα κατανεµηθούν οι σχολές από το 2016 Πώς θα κατανεµηθούν οι σχολές από το 2016 Με βάση τη νέα ένταξη των τµηµάτων πανεπιστηµίων και ΤΕΙ στα πέντε επιστηµονικά πεδία, το 2ο Πεδίο «Θετικές και Τεχνολογικές Επιστήµες» είναι το πιο ευνοηµένο.

Διαβάστε περισσότερα

Διανομή Οδηγού Καριέρας 2014

Διανομή Οδηγού Καριέρας 2014 Διανομή Οδηγού Καριέρας 2014 Ο Οδηγός Καριέρας εκδίδεται τα τελευταία χρόνια από το kariera.gr, αποτελώντας μέρος μιας συστηματικής και συνολικής προσπάθειας ώστε να έρθουν κοντά οι νέοι απόφοιτοι και

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΝ ΡΕΑ ΝΙΚ. Α ΑΜΟΠΟΥΛΟΥ. Οικονοµολόγου ΛΑΡΙΣΑ 2012. Βιογραφικό Σηµείωµα : Ανδρέα Αδαµόπουλου

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΝ ΡΕΑ ΝΙΚ. Α ΑΜΟΠΟΥΛΟΥ. Οικονοµολόγου ΛΑΡΙΣΑ 2012. Βιογραφικό Σηµείωµα : Ανδρέα Αδαµόπουλου ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΑΝ ΡΕΑ ΝΙΚ. Α ΑΜΟΠΟΥΛΟΥ Οικονοµολόγου ΛΑΡΙΣΑ 2012 1 1. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατρός: Αδαµόπουλος Ανδρέας Νικόλαος Ηµεροµηνία γεννήσεως: 28-10-1979 Οικογενειακή κατάσταση:

Διαβάστε περισσότερα

Ε2458 ΕΣΠΑ/ΕΠΕΑΕΚ 6.602.388,75

Ε2458 ΕΣΠΑ/ΕΠΕΑΕΚ 6.602.388,75 ΑΔΑ: 4ΑΙΦ-Υ9 ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ & ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΓΕΝΙΚΗ /ΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Αθήνα, 16 Ιουνίου 2011 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ & ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Αρ. Πρωτ.: 27148/

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

File: D:\ISTOSELIDA\SED_3B\sed12pinisc2.txt 12/7/2007, 10:58:03πµ

File: D:\ISTOSELIDA\SED_3B\sed12pinisc2.txt 12/7/2007, 10:58:03πµ Ηµ/νία: 12/07/2007 ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ (ΑΕΙ) Σελίδα 1 από 10 ΣΥΝΟΛΟ 32781 21088 6191 3651 1187 479 1400 ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΤΩΝ Ι ΑΣΚΟΝΤΩΝ 4616 3504 410 300 91 42

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Απόδειξη της γνώσης πληροφορικής και χειρισμού Η/Υ, ως πρόσθετου προσόντος για διορισμό σε θέσεις δημοσίων υπηρεσιών κ.λπ.

Θέμα: Απόδειξη της γνώσης πληροφορικής και χειρισμού Η/Υ, ως πρόσθετου προσόντος για διορισμό σε θέσεις δημοσίων υπηρεσιών κ.λπ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ, ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ

ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ ΕΙ ΙΚΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ (Α1) ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ ΧΕΙΡΙΣΜΟΥ Η/Υ 03-10-2013 Η γνώση χειρισµού Η/Υ στα αντικείµενα: α) επεξεργασίας κειµένων, β) υπολογιστικών φύλλων και γ) υπηρεσιών διαδικτύου αποδεικνύεται ως εξής: (1)

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Υ.Π.Ε.Τ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΛΥΨΗ ΘΕΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. για ΑΘΗΝΑ

Τ.Υ.Π.Ε.Τ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΛΥΨΗ ΘΕΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. για ΑΘΗΝΑ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. Αθήνα, 18 Μαρτίου 2014 ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. για ΑΘΗΝΑ ΔΙΚΑΙΩΜΑ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΕΧΟΥΝ ΜΟΝΟ ΤΕΚΝΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ Ή ΣΥΝΤΑΞΙΟΥΧΩΝ ΣΤΗΝ Ε.Τ.Ε., ΣΤΟ Τ.Υ.Π.Ε.Τ. ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΣΥΛΛΟΓΟΥΣ Ε.Τ.Ε.

Διαβάστε περισσότερα

sed11fp4f : 04/01/2011 1 16 : 09:13:56 ) user ,

sed11fp4f : 04/01/2011 1 16 : 09:13:56 ) user  , sed11fp4f Ηµ/νία: 04/01/2011 Σελίδα 1 από 16 ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ, ΣΥΝΟΛΟ Ευρωπαϊκή Ένωση Βαλκάνια Λοιπή Ευρώπη Αφρική Αµερική Ασία Ωκεανία ΣΧΟΛΗ, ΤΜΗΜΑ ΣΥΝΟΛΟ ΘΗΛΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ ΘΗΛΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ ΘΗΛΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Πεδίον Άρεως, 38334, Βόλος. Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης url: www.prd.uth.gr

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, Πεδίον Άρεως, 38334, Βόλος. Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης url: www.prd.uth.gr ΠΡΟΣΩΠΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Ονοματεπώνυμο ΓΙΑΝΝΕΛΟΣ ΛΕΓΑΝΤΗΣ Διεύθυνση εργασίας ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ, ΤΜΗΜΑ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, Πεδίον Άρεως, 38334, Βόλος, Ελλάδα Τηλέφωνο εργασίας 0030 24210 74419 Τηλεομοιοτυπία 0030

Διαβάστε περισσότερα

20/9/2012. Διδάσκοντες. Γραμμική κινηματική. Αξιολόγηση. Γωνιακή κινηματική. Γραμμική Κινητική Δυναμική

20/9/2012. Διδάσκοντες. Γραμμική κινηματική. Αξιολόγηση. Γωνιακή κινηματική. Γραμμική Κινητική Δυναμική Διδάσκοντες Αποκατάσταση μέσω ισοκινητικής δυναμομετρίας (ΜΒ01) ΠΜΣ Άσκηση και Υγεία ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Γιάννης Γιάκας Γιάννης Γιάκας - ΠΘ Βασίλης Γεροδήμος - ΠΘ Τσαόπουλος Δημήτριος - ΚΕΤΕΑΘ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ -ΗΜΕΡΙ ΕΣ

ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ -ΗΜΕΡΙ ΕΣ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΤΣΙΛΟΓΙΑΝΝΗΣ τ. ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ-ΜΕΛΕΤΗΤΗΣ ΦΟΡΟΤΕΧΝΗΣ ΛΟΓΙΣΤΗΣ Α! ΤΑΞΗΣ Κάτοχος Πτυχίου Ε Ε Μελετητή Α και Β τάξης Α.Μ. 14534. Α.Μ. θεµατικού συµβούλου Μ.Σ. Τηλ.23310-26193/72023

Διαβάστε περισσότερα

Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΓΓΛΙΚΗΣ Η ΑΛΛΗΣ ΞΕΝΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΙΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΟΥ Ε.Μ.Π.

Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΓΓΛΙΚΗΣ Η ΑΛΛΗΣ ΞΕΝΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΙΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΟΥ Ε.Μ.Π. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥΠΟΛΗ ΖΩΓΡΑΦΟΥ Η ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΓΓΛΙΚΗΣ Η ΑΛΛΗΣ ΞΕΝΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΙΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΤΟΥ Ε.Μ.Π. Α. ΣΧΟΛΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΏΝ Προπτυχιακές σπουδές : η ελληνική γλώσσα χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Ηµ/νία: 23/11/2010 sed12bstud Ώρα: 09:06:13 Σελίδα 1 από 9 ΠΙΝΑΚΑΣ 3: ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ (Α.Ε.Ι.)- ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑ ΦΥΛΟ, ΕΞΑΜΗΝΟ IT0688 ΣΠΟΥ ΩΝ,

Ηµ/νία: 23/11/2010 sed12bstud Ώρα: 09:06:13 Σελίδα 1 από 9 ΠΙΝΑΚΑΣ 3: ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ (Α.Ε.Ι.)- ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑ ΦΥΛΟ, ΕΞΑΜΗΝΟ IT0688 ΣΠΟΥ ΩΝ, Ηµ/νία: 23/11/2010 sed12bstud Ώρα: 09:06:13 Σελίδα 1 από 9 ------------------------------------------ ------- -------- ------- -------- ------- -------- ------- -------- ------- -------- ------- --------

Διαβάστε περισσότερα

1.Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο. Σχολή Νοµικών Οικονοµικών και Πολιτικών Επιστηµών

1.Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο. Σχολή Νοµικών Οικονοµικών και Πολιτικών Επιστηµών Α.Ε.Ι 1.Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Θεολογική Σχολή Θεολογίας Κοινωνικής Θεολογίας Σχολή Νοµικών Οικονοµικών και Πολιτικών Επιστηµών Νοµικής Πολιτικής Επιστήµης και ηµόσιας ιοίκησης Φιλοσοφική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΟΣ 3121 Με την ολοκλήρωση των σπουδών τους οι πτυχιούχοι του τμήματος Εφαρμοσμένης Πληροφορικής και Πολυμέσων αποκτούν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις Α. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Να γράψετε στο φύλλο των απαντήσεών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΘΕΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ (ΕΠΑΛ)

ΑΝΑΘΕΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ (ΕΠΑΛ) ΑΝΑΘΕΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ (ΕΠΑΛ) (Απόσπασμα από το ΦΕΚ 1984/2008) ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ & ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Τηλ : 210-3443010-2227

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2010, v.0.91 Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης, v..9 Περιεχόµενα Εισαγωγη I Βασικες Εννοιες Πινακες. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα............................. 5.3

Διαβάστε περισσότερα

Β ΕΞΑΜΗΝΟ ΝΈΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ ΜΑΘΗΜΑ ΑΙΘΟΥΣΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ ΕΠΟΠΤΗΣ ΕΥΤΕΡΑ 11/6/2012

Β ΕΞΑΜΗΝΟ ΝΈΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΩΡΑ ΜΑΘΗΜΑ ΑΙΘΟΥΣΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ ΕΠΟΠΤΗΣ ΕΥΤΕΡΑ 11/6/2012 Β ΕΞΑΜΗΝΟ ΝΈΟ ΕΥΤΕΡΑ 11/6/2012 ΤΕΤΑΡΤΗ 13/6/2012 17:00-19:00 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΚΑΜΦ ΚΡΟΚΙ ΑΣ ΜΕΛΕΤΗ, ΚΟΥΣΤΑΣ, ΣΤΕΦΑΝΗΣ, ΣΤΕΦΑΝΗ ΚΡΟΚΙ ΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 14/6/2012 10:00-12:00 ΜΕΘ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΑΠΟ ΟΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΦΩΤΙΣΜΟΥ

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΑΠΟ ΟΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΦΩΤΙΣΜΟΥ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΑΠΟ ΟΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΦΩΤΙΣΜΟΥ «Λέµε ότι ο φωτισµός είναι καλός όταν τα µάτια µας µπορούν να διακρίνουν καθαρά και ευχάριστα τα αντικείµενα γύρω µας» Καθ. Teichmüller 1925 Κων/νος νος Στ. Ψωµόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://icte.uowm.gr/

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://icte.uowm.gr/ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών ς & Τηλεπικοινωνιών http://icte.uowm.gr/ Το Τμήμα Μηχανικών ς και Τηλεπικοινωνιών του Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας ανακοινώνει στους

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η. Σέρρες, 17 / 01 / 2014

Α Ν Α Κ Ο Ι Ν Ω Σ Η. Σέρρες, 17 / 01 / 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ & ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Σέρρες, 17 / 01 / 2014 Α Ν Α Κ Ο Ι

Διαβάστε περισσότερα

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2 I ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ I Ομάδες μετασχηματισμών συμμετρίας Όπως συνηθίζεται θα διαλέξουμε μια ομάδα συμμετρίας και θα εξετάσουμε όλες τις ιδιότητες στην συγκεκριμμένη ομάδα σε ολόκληρες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΦΟΡΤΙΟ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ H.D. H.D. Young Πανεπιστημιακή Φυσική Εκδόσεις Παπαζήση Alonso Alonso / Finn Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική Α. Φίλιππας, Λ. Ρεσβάνης (Μετ.) R. A. Seway Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 διαστάσεις, Διανύσµατα Copyright 009 Pearson ducation, Inc. Περιεχόµενα 3 Διανύσµατα και Βαθµωτές ποσότητες Πράξεις Διανυσµάτων Γραφικές Παραστάσεις Μοναδιαία διανύσµατα Κινηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚ ΗΛΩΣΗΣ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΣΕ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚ ΗΛΩΣΗΣ ΕΝ ΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΣΕ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ ΠΟΛΥΚΕΝΤΡΟ ιοσκούρων 4 & Πολυγνώτου - ΑΘΗΝΑ - 05 55 Τηλ. 0330080-, Fax: 0330083 E-mail: info@kpolykentro.gr www.kpolykentro.gr Ε.Π. «ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗ» «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΙΑ ΒΙΟΥ ΕΚΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

sed11fp4f : 20/01/2010 1 16 : 09:54:02 ) user ,

sed11fp4f : 20/01/2010 1 16 : 09:54:02 ) user  , sed11fp4f Ηµ/νία: 20/01/2010 Σελίδα 1 από 16 ---------------- ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ, ΣΥΝΟΛΟ Ευρωπαϊκή Ένωση Βαλκάνια Λοιπή Ευρώπη Αφρική Αµερική Ασία Ωκεανία ΣΧΟΛΗ, ΤΜΗΜΑ ΣΥΝΟΛΟ ΘΗΛΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ ΘΗΛΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Τ.Κ.: 15344 ΤΗΛΕΦΩΝΟ : +30 6978 155 066

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Τ.Κ.: 15344 ΤΗΛΕΦΩΝΟ : +30 6978 155 066 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ : Αποστολάκης Χρήστος Ανακρέοντος 28, Γέρακας, Αττική Τ.Κ.: 15344 ΤΗΛΕΦΩΝΟ : +30 6978 155 066 ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ : chr_apostolakis@hotmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΕΠΙΠΕ Ο ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΧΟΛΗ, ΤΜΗΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΑΙ ΥΠΑ ΣΥΝΟΛΟ ΘΗΛΕΙΣ ΙΠΛΩΜΑ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ(MASTER) Ι ΑΚΤΟΡΙΚΟ Σ Θ Σ Θ

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΕΠΙΠΕ Ο ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΧΟΛΗ, ΤΜΗΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΑΙ ΥΠΑ ΣΥΝΟΛΟ ΘΗΛΕΙΣ ΙΠΛΩΜΑ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ(MASTER) Ι ΑΚΤΟΡΙΚΟ Σ Θ Σ Θ Ηµ/νία: 15/12/2005 sed12bstudme Ώρα: 09:55:30 Σελίδα 1 από 6 - ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΕΛΛΑ ΟΣ 30246 13991 16364 8682 13882 5309 ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑ & ΘΡΑΚΗ 1366 615 833 441 533 174 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ 1366 615

Διαβάστε περισσότερα

sed11sp4f : 01/09/2004 1 12 : 08:46:47 user

sed11sp4f : 01/09/2004 1 12 : 08:46:47 user ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΦΟΡΕΑ sed11sp4f Ηµ/νία: 01/09/2004 Σελίδα 1 από 12 ---------------------------------------------------------------------------------------- ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΥΝΟΛΟ Αραβικές Χώρες Λοιπή Ασία

Διαβάστε περισσότερα

Προγραµµατισµός Η/Υ. Δρ. Δ.Ν. Παγώνης. Καθηγητής Εφαρµογών. Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr. Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας

Προγραµµατισµός Η/Υ. Δρ. Δ.Ν. Παγώνης. Καθηγητής Εφαρµογών. Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr. Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας Περίγραµµα µαθήµατος Δρ. Δ.Ν. Παγώνης Καθηγητής Εφαρµογών Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας Στοιχεία µαθήµατος Τίτλος µαθήµατος ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Κωδικός

Διαβάστε περισσότερα

Παπαπαναγιώτου Νικόλαος

Παπαπαναγιώτου Νικόλαος Παπαπαναγιώτου Νικόλαος Ημερ/νία γέννησης 17/8/51 ΣΠΟΥΔΕΣ: Πτυχιούχος του Μαθηματικού Τμήματος Του Πανεπιστημίου Πατρών. Πιστοποιημένος εκπαιδευτής ενηλίκων στο ΕΚΕΠΙΣ στου Κωδικούς 2131, 2139, 4122 σε

Διαβάστε περισσότερα

Α Ι Τ Η Σ Η Υ Π Ο Ψ Η Φ Ι Ο Τ Η Τ Α Σ

Α Ι Τ Η Σ Η Υ Π Ο Ψ Η Φ Ι Ο Τ Η Τ Α Σ Δύο (2) Φωτογραφίες Α Ι Τ Η Σ Η Υ Π Ο Ψ Η Φ Ι Ο Τ Η Τ Α Σ ΤΜΗΜΑΤΑ Πλήρους Φοίτησης Μερικής Φοίτησης Ελληνόφωνο Αγγλόφωνο ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ Λογιστικής Χρηματοοικονομικής Διοικητικής Λογιστικής Τραπεζικής Διοικητικής

Διαβάστε περισσότερα