ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0."

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι f ( ) f > άρα lim γ) Σωστό διότι από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ( aβ ) f ( β ) f a f '( ) > a β, f > κοντά στο τέτοιος ώστε: διότι f άρα f ( a) < f ( β ) 4 δ) Λάθος διότι f '',. (Παράδειγµα: για την f ε) Σωστό διότι αν 3 f ' 4, f '' για κάθε R ) f για κάθε [ α, β ] είναι: τότε f d ÈÅÌÁÔÁ 3 β (άτοπο) στ) Σωστό διότι αν η f δεν παίρνει τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές θα είναι f για κάθε [ aβ, ] β a d> f άτοπο. Θέµα ο Α. A (, + ) πεδίο ορισµού f '. Όµως η f δεν είναι παντού ίση µε µηδέν, οπότε ' ' ' ( ln ( a) ) ln ( a) ( ) ( a) ln ( a) a ( ) ( a) ln ( a) ln ln ( a) () Είναι ln a f ' ln a ln a a a

2 Β. α) Για α έχουµε: ln f, > και ln f ', > ln f ' ln + f '( ) + - f ma ln f β) lim f lim lim ln ma ln + ' ln ( ln ) lim f lim lim lim lim lim + + ' ( ) ) Άρα f (,, και f, + ), Η είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η y οριζόντια ασύµπτωτη. κ γ) ln ( κ ) ln ( κ ) + κ > + κ + ln κ > κ ln κ + κ + lnκ > κ ln ( κ + ) lnκ ln ( κ + ) > κ κ + f ( κ ) > f ( κ+ ) ισχύει διότι + > 8> και f στο, + ) κ κ ÈÅÌÁÔÁ 3

3 Θέµα 3ο Α. α) + β i( a βi) i a ( β ) ( β ) i f ( a) z + f i f a i f i f ( a) i f ( a) ( ) + f ( a) i a + i f a + a f a + i a + f a + z R αν και µόνο αν a + f a f a a β) Ισχύει z iw a + βi i( f ( a) + i f ( β )) a + βi f ( β ) if ( a) οπότε β και f ( β ) a. Άρα w β + α i. Έστω A( aβ, ) και B( β, a). Είναι f ( a) ( OA) a + β,( OB) a + β δηλαδή AB ισοσκελές. Επειδή ( AB) ( a β ) ( a β ) + + O > ( β ) a β aβ a β aβ a OA OB το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Β. α) Έχουµε a + βi i( f ( a) + if ( β )) a + βi + if ( a) f ( β ) ( β ) ( β ) β ( β ) a + f + i f a a + + f a + f ( ) a + f β + β f a a + β + f a + f β ( β ) ( β ) β β β ( β ) a + f + a f + + f a f a a + + f a + f a f ( β ) β f ( a) a f ( β ) β f ( a) β) Έστω A( aβ, ) και B( f ( a), f ( β )) β λ OA και a Λόγω της λ OB f ( β) οι συντελεστές διεύθυνσης ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα f ( α ) είναι λoa λob που σηµαίνει Α, Ο, Β συνευθειακά. (Είναι f ( a) διότι αν f ( a ) τότε και f ( β ) άτοπο) C στο (, ( )) ( ) '( )( ) η οποία διέρχεται από το f ( ) f '( ) f '( ) f ( ) γ) Η εξίσωση της εφαπτοµένης της f y f f M f είναι ÈÅÌÁÔÁ 3, όταν. Αρκεί να αποδείξουµε ότι έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α,β) η εξίσωση Έστω ' f ' f f f ' f. f g, a, [ β]

4 Η g είναι παραγωγίσιµη στο [ aβ, ] και f ( α) f ( β ) g ( α) g( β) a β λόγω της Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Roll, έχει µία τουλάχιστον λύση στο ( α, β ) η εξίσωση g '( ) δηλαδή η ισοδύναµη της f f Θέµα 4ο ' α) + '' ' 4 t f t dt t f t dt f tdt t + '' ' ( t ) f ( t) dt t f ( t) dt 4 f '' ' ( t + ) f ( t) dt t f ( t) dt f () Με παραγώγιση των µελών της () έχουµε: ( + ) f '' f ' f f ' ( + ) f '' + f ' f f ' ' ' ' ( + ) f f Για ' είναι f Η () γράφεται: ( ) f ' f ' 4 C άρα C + + ' ' ' ( + ) f Άρα Για είναι β µέθοδος f, άρα ( ) ' + f f + C () + f + C C άρα C. Εποµένως Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουµε: f ), R + ( ÈÅÌÁÔÁ 3 ' ' ' 4 t + f t t f t dt t f t dt f tdt ( ) ' ' 4 t f f f + ( ) f ' f ( ) f ' f + + +

5 ' ' ( + ) f Άρα + f + c Για είναι f a + a c δηλαδή + + c οπότε ( ) f f β) ( ) a Ε a d ln + ' d ln + ln a +. Το a είναι συνάρτηση του χρόνου οπότε: ' a t a ' t E ( a) ln ( a ( t) ) + ' ( a ( t) + )' a t + a t + 3 Είναι a '( t) cm / sc και a( t) 3cm, άρα Ο ρυθµός µεταβολής του E a όταν a 3cm. γ) i ) Αφού + για κάθε > ισχύει: f g + f g ( + ) + + Είναι lim lim Άρα g ( ) ÈÅÌÁÔÁ 3. 3 ' 3 E cm / sc cm / sc. 9 + lim + που σηµαίνει ότι η ευθεία y + είναι πλάγια + ασύµπτωτη της C στο +. g ii) Είναι και E g + d g + d g + f (ερώτηµα i) g + f. Άρα g + f d g + d d + ( ) E ln + E ln 5 E ln 5

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 4 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. ες σχολικό βιβλίο, σελίδα 94: Θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Ι > ες σχόλιο σελίδα 346. Ι f(3) f() < γιατί f(3) < f() I 3 f '(3) f '() < γιατί η κλίση της C f στο (3, f (3) ) είναι αρνητική και στο (, f () ) είναι θετική. Γ. γ β 3 α 4 δ. ες σχολικό βιβλίο, σελίδα 4 στίχοι έως 8. ΘΕΜΑ ο Έχουµε: lim (g() + ) () και lim (f() - - ) + + g' () α. i) Tο κλάσµα ορίζεται σε διάστηµα της µορφής (α, + ), αφού f '(). Στο είναι f '() - (g() + )' (f() - - )' () g' () f '() - g' () Ακόµα: f '() g '() g '()f '(), οπότε: lim. + f '() - Από το πρώτο θεώρηµα του D l' Hospital προκύπτει: g() + (g() + )' L lim lim lim + f() (f() - - )' + g' (). f '() - ii) Είναι lim (g() + ) lim g() -, άρα η C f έχει στο + οριζόντια ασύµπτωτη την ευθεία + y. Πάλι, lim (f() - - ) + την ευθεία y + + lim[ f() - (+ ) ] +, άρα η C f έχει στο + πλάγια ασύµπτωτη β) Έστω ότι η g έχει δύο διαφορετικές ρίζες ρ, ρ στο IR µε ρ < ρ. ( απόδειξη µε άτοπο) Eφαρµόζεται το θεώρηµα του Roll για την g στο [ρ, ρ ] γιατί, ως παραγωγίσιµη στο IR η g είναι συνεχής στο [ρ,ρ ] η g είναι παραγωγίσιµη στο (ρ,ρ ), και ακόµα g(ρ ) g(ρ ). Εποµένως, υπάρχει ξ (ρ, ρ ) τέτοιo, ώστε g '(ξ). Τότε: f '(ξ) g'(ξ) f '(ξ). Άτοπο, γιατί f '(). Έτσι, η g έχει το πολύ µια ρίζα στο IR. ÈÅÌÁÔÁ 4 γ) Έχουµε f '() g '() (f() g())' ()', άρα, από τις συνέπειες του Θ. Μ. Τ. του διαφορικού λογισµού, υπάρχει αριθµός c IR τέτοιος, ώστε f() g()+c () ή f () g () + + c 4. ( ) Επειδή υπάρχουν τα όρια lim (f() - - ) και lim [(g() + ) + c - 4] + c - 4, από την () + + είναι ίσα. Προκύπτει, εποµένως : c 4 ή c 4. Άρα, είναι: f() g() 4, IR.. [ Στην () καταλήγουµε και µε ολοκλήρωση των δύο µελών της f '() g '() ]

7 ΘΕΜΑ 3ο Α. i) Επειδή, προφανώς, η f(t) είναι συνεχής στο IR, η g παραγωγίζεται στο IR µε t α + g '() >, εποµένως, η g είναι γνησίως αύξουσα και σαν τέτοια είναι και t α+ αντιστρέφεται. ii) Η C g είναι το σύνολο των σηµείων (, g()) µε IR, άρα η C g είναι το σύνολο των σηµείων (g(), ) και σ' αυτήν ανήκουν οι εικόνες Μ(g(), ) του z g()+i, IR Β. α) Έχουµε κατά σειρά z +i z g() i+i g()+i g () + (- ) (g() -) +.. g() g() R(z) Im(z), IR β) Θεωρούµε την συνάρτηση: h() g(), IR. Από το Βα είναι g() g() h() για κάθε IR. Ακόµα, g() d h(), έτσι η h έχει ακρότατο (ολικό µέγιστο) για. t a+ Είναι h'() g'(), IR t α + Επειδή το είναι εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της h και η h παραγωγίζεται σ' αυτό, από το θεώρηµα του Frmat προκύπτει : h'() ή ισοδύναµα α. α + γ. Έπειδή η g παραγωγίζεται στο IR θα είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ). Από το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισµού, υπάρχει ξ (, ) µε g () - g() g '(ξ ) ή - dt dt t t ξ a + ή a + a + dt t a + t a + dt a + Έπειδή ξ (, ) είναι διαδοχικά: < ξ < ή ξ () < ξ < [ γνησίως αύξουσα στο IR ] ή + < + ξ < + ή < < ξ ή < < ξ + a+ + [ α ] ÈÅÌÁÔÁ 4 και η () δίνει το ζητούµενο: < dt dt + < t t a + a + +

8 ΘΕΜΑ 4ο α) i) Είναι f () + g () (), IR και f () g () (), IR οπότε: ( f () + g () )' ή f()f '() + g()g '() ή f()g () + g()g '() και επειδή g() είναι f ()g() + g '() g '() f() g(), IR ii) Επειδή η g δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής, ως παραγωγίσιµη, διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο IR. Είναι g() >, άρα: g() > (3), IR. H f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, γιατί από την (): f '()g () >. Από την (): f () + g () f () + f (). (4) Ετσι, για < f () < f () f () < για > f () > f () f () > H g '() g()f(), λόγω της (3), έχει για κάθε αντίθετο πρόσηµο της f(), που σηµαίνει ότι για < είναι f () < g '() > και για > είναι f () > g '() < Άρα, η g, ως συνεχής στο, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, + ) και έχει ακρότατο (ολικό µέγιστο) το g(), το οποίο αποδεικνύει το ζητούµενο. β i) Λόγω της (3) ισχύει η ισοδυναµία: g( ) < g( ) g ( ) < g ( ) f '( ) < f '( ), για κάθε, IR. που σηµαίνει, τελικά, ότι η f έχει ίδια µονοτονία µε την g. Eποµένως, η f είναι κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, + ) και έχει σηµείο καµπής το (, f ()) (, ). Άλλος τρόπος. Επειδή η g είναι παραγωγίσιµη, είναι παραγωγίσιµη και η g, άρα από την () και η f, που σηµαίνει ότι υπάρχει η f. Τότε: f ''() ( f '() )' (g ())' g() g '() έτσι, από την (3), η f ''() για κάθε έχει ίδιο πρόσηµο µε την g'(): για < είναι g '() > f ''() > και για > είναι g '() < f ''() < Eπειδή η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο προκύπτει, ότι είναι κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, + ) και έχει σηµείο καµπής το (, f ()) (, ). ii) Η ζητούµενη εξίσωση είναι y f () f '() ( ) ή y f '() ή y αφού από την () έπεται f '(). γ. Επειδή η f είναι κοίλη στο [, + ), τα σηµεία της C f είναι κάτω από τα σηµεία της εφαπτοµένης της y για κάθε (, + ), εποµένως: f () f () για κάθε [,+ ) Είναι Ε - f() d ( αi) + g '() d g() ÈÅÌÁÔÁ 4 ( - f())d + ln g() + ln g() - - ln g() + ln g() - ln + ln[g()]. [ γιατί g( ) > από την (3) ]

9 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα ο Γ. (Λάθος) (Σωστό) 3 (Λάθος) 4 (Λάθος) διότι από Θ.Μ.Τ. υπάρχει f ( α β ) τέτοιος ώστε f ( ), ( α ) < f ( β ) f ( β ) f ( α ) > β α διότι α<β και 5 (Λάθος) διότι: αν f για κάθε [ aβ, ] τότε f d> Θέµα ο α) Για κάθε >, f ( ln ) + ( ln ) ( ln ) ln + + β) lim f lim ln + + διότι lim + και lim ln + + γ) Για κάθε χ>, f ( ln ) ln ( ) ln ln ln ln ln ln ln < Είναι OEΦE ΘEMATA 5 + f () + - F() κυρτή Σ.Κ κοίλη β α

10 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 δ) ( ) ( ) (,) f ln M το σηµείο καµπής ln ln ln E d d d + / / ( ln ) ( ln ) / + + ln + ln 8 + ( ) + ( ) 8 6 τ.µ. Θέµα 3 ο α) R Im z > z > + > Έστω f +, R. Τότε f + f () + F() H f για χ παρουσιάζει ελάχιστο το. Άρα f f f ( ) > για κάθε R β) w + ( ) i + + ( ) i + i + ( ) + i ( ) + + Έστω g ( ) + +, [,] Η g είναι συνεχής στο [, ] g + > δηλαδή + i + + i + i OEΦE ΘEMATA 5 Άρα g g < g + Σύµφωνα µε το θεώρηµα Bolzano υπάρχει (,) τέτοιος ώστε που σηµαίνει ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγµατικός. g τέτοιος ώστε W να είναι,

11 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 3 z + το οποίο γίνεται ελάχιστο όταν η συνάρτηση γ) h + ( ) έχει ελάχιστο. h + ( ). Προφανής λύση είναι η χ διότι h. Είναι h 4 + >. Άρα η h. + h () + H() min Για κάθε χ< ισχύει h h ισχύει h > h. Εποµένως η Συνεπώς ο µιγαδικός z ( ) i i Θέµα 4 ο α) + ( συν ) < και για κάθε χ> h έχει ελάχιστο στο χ. + έχει το µικρότερο µέτρο. f + f + f ηµ f f Άρα υπάρχει c Rτέτοιο ώστε: συν, f f c + + R + f συν + c. f συν + c + c c συν f R + συν συν f + f + K συν + + συν, R διότι συν lim + + lim f Για χ είναι Εποµένως, Έχουµε β) Επειδή + OEΦE ΘEMATA 5, σύµφωνα µε το κριτήριο παρεµβολής είναι γ) Με ολοκλήρωση των µελών της () παίρνουµε π / π / π / f d + f d συνd () π / π / π /

12 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 5 π / d θέτουµε u οπότε d du. Στο f ( ) π / Για π / είναι u π / και για π / είναι u π / π / π / π / f du f u du f u du. Άρα ( ) π / π / π / Η () γράφεται: / [ ηµ ] ηµπ ηµ ( π ) I + I π Ι / / + π / Εποµένως Ι. π δ) Βρίσκουµε την ελάχιστη και µέγιστη τιµή της f στο,. ηµ f ( + ) ( + ) συν ηµ ( + ) + ( + ) για κάθε [, π / ]. Άρα f στο [, π / ] οπότε f τιµή και f ( π / ) η ελάχιστη. π / Ισχύει f απ όπου προκύπτει ότι f συν < OEΦE ΘEMATA 5 4 η µέγιστη π d 4.

13 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Β) α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος Θέµα z + i i w i α) iz z + i i i z z + z w + i z + i + z + i + i + i z i + iz β) Λόγω (α) ερωτήµατος έχουµε: w i w + i. Αν w + yi τότε + yi i + yi + i + y i + y + i + y + y + + y y + + y + y + y Άρα το σηµείο Μ ανήκει στον. z + i z i γ) w I w w + iz iz z + i iz + iz z i z + i iz z + z ( z + iz z i + z) z + i iz z + z z iz z + i z z z z z z I. f ( a) i + i f ( a) + f β i f ( β ) < f a + i f a f a δ) Έχουµε διότι > Άρα f ( a) f ( β ) <. Η f είναι συνεχής στο [ aβ, ]. Σύµφωνα µε το θ. Bolzano η εξίσωση f ( ) έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( aβ, ). ÈÅÌÁÔÁ 6

14 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 Θέµα 3 α) f ' a οπότε f ' a ε : y f () f '()( ) y ( a) β) Είναι f a ln a - lna + f ( ) - + f ( ) Η f στο ln a παρουσιάζει ελάχιστο το ln a Επειδή g a aln a a aln a g ' a lna lna < για κάθε a (, + ) και g συνεχής στο [, + ) η g είναι στο [, + ) οπότε για κάθε a > ισχύει ga < g () a γ) i) ( ) E a f a d. Επειδή η f είναι κυρτή διότι f '' > και η ψ ( α ) εφαπτοµένη της f ισχύει : f a για κάθε R a Άρα ( + ) ( ) E a a a d d E a ii) a a a a τ.µ. a a. Είναι a a a a a a lim a lim c στο, a f, ÈÅÌÁÔÁ 6 a + a a + a lim lim lim +. Εποµένως lim E ( a) α + a a + ( α ) α + a + a +

15 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 3 Θέµα 4 α) Θέτουµε t u t dt du dt du οπότε για κάθε είναι dt du Για t είναι u και για t είναι u. u Άρα g f ( u) d u f ( u) du Επειδή το ολοκλήρωµα είναι ανεξάρτητο της µεταβλητής ολοκλήρωσης, έχουµε. g t f ( t) dt, τότε β) Η g είναι συνεχής στο, g t f dt f t dt Είναι Επειδή (Η lim όταν lim g g. t f f και t f ( t) dt lim t f t dt t f t dt είναι παραγωγίσιµη, άρα και συνεχής) σύµφωνα µε το θ. D L Hospital έχουµε t f ( t) dt lim g lim f f f lim lim διότι η f είναι συνεχής στο Άρα lim g g που σηµαίνει ότι η g είναι συνεχής στο γ) Για κάθε > η ανισότητα γράφεται: t f ( t) dt < f ( t) dt t f t dt < f ( t) dt ÈÅÌÁÔÁ 6 t f ( t) dt < f ( t ) dt Έστω η συνάρτηση: t f t dt f t dt < h t f t dt f t dt,

16 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 6 4 h f f t dt f διότι από f t > προκύπτει ότι: f t dt> για κάθε χ>. f t dt < για κάθε χ>. Η h είναι συνεχής στο [,+ ) (πράξεις συνεχών συναρτήσεων) Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). Εποµένως για κάθε χ> ισχύει h < h Αλλά h g ( ) < για κάθε χ>. t f t dt συνεπώς δ) Η g είναι παραγωγίσιµη στο [, ] και ισχύει: g t f t dt t f t dt + t f ( t ) dt 4 4, t f ( t ) dt g ( ) ÈÅÌÁÔÁ 6. Σύµφωνα µε το Θ. Roll υπάρχει ξ τέτοιος ώστε Με παραγώγιση των µελών της g t f t dt έχουµε: g g ' f g g ' f προκύπτει: g ( ξ ) + ξ g '( ξ ) f ( ξ ) g( ξ ) f ( ξ ) g ' ξ. + + οπότε για ξ

17 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θέµα ο Β.. Λάθος. Σωστό 3. Σωστό 4. Λάθος 5. Λάθος 6. Σωστό Θέµα ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α) ' ( + ) ( ) ( + ) f a a a f ( ) a και f ' ( ) a ε : y a a y a + a η εξίσωση της εφαπτοµένης στο (, f ( )) Μ. Ταυτίζεται µε την y + όταν a και a δηλαδή όταν a. β) Για f a είναι ( + ) και f ' + < για κάθε R διότι + < και > για κάθε R. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. γ) lim lim ( ) διότι lim ( ) + + f + + και lim + ( + ) ( + ) ( )' ' lim f ( ) lim ( ) + lim lim ( ) + ' lim lim lim + + ' + ( ) OEΦE ΘEMATA 7 δ) Από (β) και (γ) συµπεραίνουµε ότι το σύνολο τιµών της f ( ) είναι f ( Α ) (, + ) το οποίο περιέχει το 7. Η f ( ) στο R, άρα η εξίσωση f ( ) 7 έχει ακριβώς µια ρίζα στο R.

18 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 Θέµα 3 ο α) z + w z w... z w + z w z w + z w ( z w ) ( z w ) R R β) Ισχύει z w + z w (ερώτηµα (α)) z w z w. ιαιρούµε µε ww w και έχουµε z z που σηµαίνει ότι z w φανταστικός. w γ) Αν Α, Β οι εικόνες των, ( ΑΒ ) z w. w z w τότε z, Αρκεί ότι ( ΟΑ ) + ( ΟΒ ) ( ΑΒ) ( z w ) R ισχύει. ΟΑ ΟΒ w και z + w z w... β µέθοδος uuur uuur uuur uuur Η ισότητα z + w z w γράφεται ισοδύναµα OA + OB OA OB uuur uuur uuur uuur ( OA + OB ) ( OA OB ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OA OB OA + OB OA OB... uuur uuur OA OB Άρα AOB 9 γ µέθοδος Αν Γ η 4η κορυφή του παραλληλόγραµµου µε πλευρές ΟΑ και ΟΒ, τότε ΟΓ + και ( ΑΒ ) z w επειδή z + w z w είναι z w ( ΟΓ ) ( ΑΒ ). Εποµένως ΟΑΓΒ ορθογώνιο. δ) Είναι z w a + i f ( a ) f ( β ) + βi a f ( β ) β f ( a ) + a β + f ( a ) f ( β ) i f ( a ) f ( β ) οπότε R ( z w ) a f ( β ) β f ( a ). a β Θα αποδείξουµε ότι έχει µια τουλάχιστον λύση στο ( a, β ) η εξίσωση f ( ) f ' f... '. Εφαρµόζεται το Θ. Roll για f ( ) την h ( ) στο [ a, β ], άρα υπάρχει ( a, β )... OEΦE ΘEMATA 7

19 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 3 Θέµα 4 ο α) g ' ( ) και g' ' ( ) + + g + - " g β) Για ( + ) Σ. Κ. g. Ισχύει η ισότητα είναι Για κάθε > εφαρµόζεται το Θ.Μ.Τ. στο [ ] g ( ) g ( ) g ( ) ξ (, ) τέτοιος ώστε g ' ( ξ ) g ' ( ξ ) +, + και [ ) < ξ< (ερώτηµα α) β µέθοδος Θα αποδείξουµε ότι: g d t + + t + Έστω h, οπότε υπάρχει Έχουµε g ' ( ) g ' ( ξ ) g ' ( ). Ισχύει διότι ' h d t, + t + ( + ) > για κάθε (, + ) και h συνεχής στο [ ) h ( ) στο [ ) Όµοια αποδεικνύουµε ότι : g ( ), +. Εποµένως για κάθε h g g d t d t + t + t γ) Έστω + ( ) + ' + + Για Είναι h ( ) g στο, +. Άρα ισχύει h ( ) h για κάθε [, + )... OEΦE ΘEMATA 7 άρα h c είναι h. Εποµένως β µέθοδος Είναι g ( ) + g ( ) d t + d t + t + t Στο g ( ). θέτουµε t u τότε d t d u Άκρα ολοκλήρωσης h, για κάθε R. 3

20 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 7 4 Για t, u και για t, u. g d t d u + t + u Άρα ( ) δ) Αφού f ( t ) Εποµένως + t > τότε g ( ) d t>. Άρα + t ' ' Ε g d g d g g d g d g ln ( + ) ' d + g ln + g ln τ.µ. OEΦE ΘEMATA 7 4

21 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέπε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέπε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ). Γ. α., β. 8, γ. 44 ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ α. Η f είναι συνεχής για <, ως πολυωνυµική και για >, ως άθροισµα της τριγωνοµετρικής ηµ µε την σταθερή c() λ. Στο έχουµε: lim f() lim (ηµ + λ) λ + lim f() + lim ((µ ) + ) Ακόµα f(). Για να είναι η συνάρτηση συνεχής στο πρέπει και αρκεί: lim f() + lim f() f() λ Εποµένως, η ζητούµενη τιµή είναι λ. β. Για > έχουµε: Για < έχουµε: f() f() ηµ + λ lim lim + + ηµ + ηµ lim lim + + ÈÅÌÁÔÁ 8 f() f() (µ ) + lim lim (µ ) lim µ Για να είναι η συνάρτηση παραγωγίσιµη στο πρέπει και αρκεί: f() f() f() f() lim lim µ µ + Εποµένως, η ζητούµενη τιµή είναι µ. γ. Είναι π.χ. f (π) f(π) λ, άρα η συνάρτηση δεν είναι.

22 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 δ. Είναι ηµ +, f() +, αν > αν και π ΘΕΜΑ 3 ο π f() d f() d+ f() d (+ ) d+ + α. i. Για κάθε IR είναι : f () ' ( + [ συν + ] π π + )' π (ηµ+ ) d + + Επειδή > είναι f () < στο IR, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR ii. Για κάθε IR είναι: f () ( + )' (+ )' + ( ) + ( + ÈÅÌÁÔÁ 8 ) Έτσι:f () ( + ) και f () > >, f () < < H f είναι συνεχής στο IR µε f () < στο διάστηµα (, ), άρα στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστηµα (, ]. Ακόµα είναι f () > στο διάστηµα (,+ ), άρα η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [, + ). Τέλος, η συνάρτηση έχει σηµείο καµπής το (, f ()), γιατί εκατέρωθεν του αλλάζει κυρτότητα και υπάρχει η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης σ αυτό, αφού είναι παραγωγίσιµη. Είναι f () έτσι, η συνάρτηση έχει σηµείο καµπής το (, ). β. Θα βρούµε, αν υπάρχουν, τα όρια: lim f() lim και lim f() lim + + Θέτουµε u οπότε: Τότε είναι: lim u lim (- ) και lim u lim (- ) και - lim f() lim lim u + + u

23 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 3 lim f() lim ( u ) lim Εποµένως, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει οριζόντια ασύµπτωτη την y στο + και την y στο. u γ. Με βάση τις πληροφορίες των προηγουµένων ερωτηµάτων σχεδιάζουµε την γραφική παράσταση της συνάρτησης: y δ. Στο α ερώτηµα βρήκαµε f () <, οπότε f () f () και έτσι: E f ' () d f ' () d ln ΘΕΜΑ 4 ο + ln / + [ ()] ln ln τµ f f() + f ln α. Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt, που ορίζονται από ολοκλήρωµα, είναι παραγωγίσιµες, έτσι µπορούµε να παραγωγίσουµε και τα δύο µέλη της (), οπότε έχουµε: ( f(t) dt )' ( g(t)dt)' ÈÅÌÁÔÁ 8 ή f () g() + g(t) dt (3) Για παίρνουµε: f () + Με από την (3) έχουµε: και: y Ο y f() y g(t) dt g() + g(t)dt + f () f () + f () 3

24 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 4 lim f() lim g() + g(t)dt Επειδή η g είναι συνεχής στο IR, άρα και στο, είναι lim g( ) g(). Η συνάρτηση h(), οπότε: Εποµένως, το όριο: lim g(t) dt, IR, είναι παραγωγίσιµη, άρα είναι συνεχής στο g(t)dt lim h() h() lim g(t)dt g(t)dt είναι µορφή / και υπολογίζεται µε τον κανόνα του D L Hospital: Έτσι: οπότε, τελικά: lim g(t)dt ( lim f() lim lim g() + g(t)dt)' g() lim g() ()' g(t)dt g() f() f() f() f '() lim lim g() β. H () για δίνει g(t) dt (4) Επειδή η g() δεν µηδενίζεται και είναι συνεχής στο IR διατηρεί πρόσηµο σ αυτό. Αν ήταν g() > τότε g(t)dt > > Άτοπο. Άρα είναι g() <, για κάθε IR. γ. H () για δίνει f(t) dt f(t) dt (5) Είναι g() < g() > για κάθε IR, έτσι: ÈÅÌÁÔÁ 8 µε είναι [ g(t)]dt g(t)dt, άρα: g(t) dt µε < είναι [ g(t)]dt > g(t)dt >, άρα: g(t) dt < Εποµένως, για κάθε IR από την () είναι: g(t) dt f(t) dt 4

25 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 5 f(t) dt [ f(t) dt από (5)] f(t) dt f(t) dt ος τρόπος: Έστω η συνάρτηση F() f(t) dt, IR για την οποία F () f (). Από την (3), αφού g() <, βρίσκουµε: µε > είναι f () g() + g(t) dt < F () < µε είναι f () F () µε < είναι f () g() + g(t) dt > F () > οπότε η F() έχει µέγιστο το F(), άρα για κάθε IR : F() F() f(t) dt f(t) dt δ. (Απόδειξη µε Roll σε αρχική). Θεωρούµε την συνάρτηση: Η() f(t) dt g(t)dt µε [, ] Επειδή οι f, g είναι συνεχείς, οι συναρτήσεις f(t) dt και g(t) dt ως οριζό- µενες από ολοκλήρωµα, είναι παραγωγίσιµες. Ακόµα η είναι παραγωγίσιµη, ως πολυωνυµική, άρα η Η(), ως αλγεβρικό άθροισµα παραγωγίσιµων συναρτήσεων, είναι: Παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της, άρα και στο (, ) µε Η () f () g() συνεχής στο [, ], ως παραγωγίσιµη σ αυτό. Ακόµα: Η() και Η() f(t) dt g(t)dt f(t) dt g(t)dt ( ) [ από (4) και (5) ] Εποµένως, εφαρµόζεται για την Η() το θεώρηµα του Roll, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) µε ÈÅÌÁÔÁ 8 Η (ξ) f (ξ) g(ξ) f (ξ) g(ξ) +, που σηµαίνει ότι το ξ είναι ρίζα στο (, ) της εξίσωσης f () g() +. 5

26 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α. Σχολ. Βιβλίο σελ. 6 Β.. Σχολ. Βιβλίο σελ. 8. Σχολ. Βιβλίο σελ. 9 Γ.. Σ. Λ 3. Λ 4. Σ 5. Λ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. z + z + z z + z + µε z z (τύποι Vita) z ή + i 3 i z και z 3 3 και z + z + z + z + z z z + z ή Β. Οι αριθµοί z και z συζυγείς οπότε z z z 9 9 z + σαν άθροισµα συζυγών Άρα R z Γ. ÈÅÌÁÔÁ 9 z z + + z + z + z. z + z z+ z + z z 3 + i.... Έστω g f 3 +, συνεχής στο [,] σαν άθροισµα συνεχών (f παραγωγίσιµη οπότε και συνεχής και 3+ συνεχής ως πολυωνυµική µε ( z z ) z z z z z + z +. () f () > g z z zz zz 3 z + z 5 5 και g() f () < z z 4z z 4 3

27 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Άρα από το Θεώρηµα Bolzano υπάρχει (,) ώστε g ( ) f ( ) 3 + f ( ) 3 Ε. w (z +z )(-)- δηλαδή Γ (-,), και ΘΕΜΑ3 o ΓΑ ΓΒ Άρα ΓΑ ΓΒ Α. f + + ln µε π.ο. D (,+ ) f + > f (, + ) f < f κοίλη στο (, + ) Β. lim f lim( + + ln ) > f Α, -, Β, ÈÅÌÁÔÁ 9 3 ( + + ) δηλαδή f(α) (, + ) + f (A έχει η f() ρίζα στο (,+ ) lim f lim ln + Αφού το ) f (,+ ) Γ. Θέλω g() g( ) δηλαδή η g να έχει ελάχιστο στο. Έχω g () ( ln + )( + ) ln ln + ln + ( + ) ( + ) ln + + Αν f ( + ) ( + ) f g f ( + ) + ln τότε, µοναδική γιατί

28 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 3 άρα η g() έχει ελάχιστο στο δηλαδή g ) g( ) (. Θέλω f(-)<f(+)-f(+4) f(+4) f(+)<f(+)-f(-) f ( + 4) f ( + ) f ( + ) f ( ) < ( + 4) ( + ) ( + ) ( ) έχω από Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχουν ξ, ( +, + 4) και ξ (, + ) ώστε ( f ( + 4) f ( + ) f ξ ) ( + 4) ( + και ) ( f + f f ξ ) ( + ) ( δηλαδή θέλω ) f ( ξ ) < f ( ξ ) ΘΕΜΑ 4 o Όµως f κοίλη στο (,+ ) δηλαδή (, + ) f και< - < ξ <+<ξ <+4 Θα είναι f ( ξ ) > f '( ) δηλαδή ισχύει το ζητούµενο. ' ξ Α. Για κάθε (, + ) είναι: f + - f ( + ) (- ) [f( _ )] _ f + c Για είναι f() + c c _ Άρα f Έστω ω τότε ω, ω (, + ). Άρα f(ω) ω -/ω Τελικά f() -/ η λύση: f ( ) +, > Θέτω ω ω > (, + ). ÈÅÌÁÔÁ 9 Άρα f (ω) ( ω +) -/ω f (ω) (ω -/ω ) f(ω) ω -/ω + c Για είναι ω άρα f() - + c c Άρα f(ω) ω -/ω, ω> ή f() -/, > 3

29 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 4 Β.. Είναι f () -/ + -/ f (), f() Η εφαπτοµένη στο είναι: y f() f ()(-) y -. Είναι: f () 3 -/ ( + ) (ε) -/ > για >. Άρα η f() είναι κυρτή στο (, + ) και η C f βρίσκεται πάνω από την (ε) εκτός του σηµείου επαφής. Είναι f() - f() - + για κάθε [,] Άρα f Γ. g() 3. t Άρα Ε lim t + (f() - + )d > f()d + [- + ] _ > > στο [,t] g()d t f()d + f()d - > -/ d [ -/ ] t ω lim ( ) ( ) t + ω E( t) lim (Έστω - t ω, όταν t + τότε ω ) t (- + )d > ÈÅÌÁÔÁ 9 f()d > -/t - - τ.µ. 4

30

31

32

33

34

35

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () g ()

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2003 ÏÅÖÅ ( ) ) ( x ) ( ) Β. α) Για α=1 έχουµε: max. Η x= 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η y= 0 οριζόντια ασύµπτωτη.

ÈÅÌÁÔÁ 2003 ÏÅÖÅ ( ) ) ( x ) ( ) Β. α) Για α=1 έχουµε: max. Η x= 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η y= 0 οριζόντια ασύµπτωτη. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. ) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ÈÅÌÁÔÁ 2008 ÏÅÖÅ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εαναλητικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Βλέε Πόρισµα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου. β. Βλέε σελίδα 4 σχολικού βιβλίου. Β. α. (Σ), β. (Σ), γ. (Σ), δ. (Σ).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x.

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x. Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. α. ψ β. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση

Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση Μια πορεία από τον ιαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισµό Γιάννης Λουριδάς, ηµήτρης Ντρίζος Τα θέµατα του παρόντος άρθρου εντάσσονται στην ύλη του ιαφορικού και Ολοκληρωτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

1 1 1 (x yi) x yi = = = 2 (x - 1) + y 2

1 1 1 (x yi) x yi = = = 2 (x - 1) + y 2 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 98 Α. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α Όχι βιαστικά, όχι αργά. Στο ρυθµό σου.. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο R µε συνεχή δεύτερη παράγωγο που ικανοποιεί τις σχέσεις f() f () και f ()f() + (f ()) f()f ()

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÅËÉÏ ÅËÅÕÓÉÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία (θεώρηµα Fermat) σχολικό βιβλίο, σελ Α2. Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ Α3.

ÈÅÌÅËÉÏ ÅËÅÕÓÉÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία (θεώρηµα Fermat) σχολικό βιβλίο, σελ Α2. Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ Α3. ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρηµα Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση ότι: z 3i z 3i () Όµως z 3i z 3i z 3 i ()

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259

Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Α. Απόδειξη σελίδα 94 Α. Ορισμός σελίδα 88 Α. Ορισμός σελίδα 59 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. z yi, yir z 4 z ( 4) yi 4 ( ) yi ( 4) 4( y ) 4 y...

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) Θ) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι φορές ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο R και α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Είναι. f (x) > 0 e 1 x > 0 1 x > 0 1 > x x < 1. η f είναι γνησίως αύξουσα Στο [ 1, + ) η f είναι γνησίως φθίνουσα.

( ) ( ) ΘΕΜΑ 2 ο Α. Είναι. f (x) > 0 e 1 x > 0 1 x > 0 1 > x x < 1. η f είναι γνησίως αύξουσα Στο [ 1, + ) η f είναι γνησίως φθίνουσα. ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3/4/ ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 335 Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 8 Α 3. Λ, Σ, 3 Λ, 4 Λ, 5 Σ, 6 Σ, 7 Λ ΘΕΜΑ ο Α. ) Είναι f () = + ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = α συνεπώς: α 2βα +β + α 2α + 1= 0 α β + α 1 = 0 α 1= α β = 0 1 β = 0 β = 1 + = + = συνεπώς: ( ) + 1 για κάθε x R.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = α συνεπώς: α 2βα +β + α 2α + 1= 0 α β + α 1 = 0 α 1= α β = 0 1 β = 0 β = 1 + = + = συνεπώς: ( ) + 1 για κάθε x R. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6-6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 69 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 9/4/6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑ ΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, ], τότε να δείξετε ότι f(t)

Διαβάστε περισσότερα

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c,

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. c είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G( x) F( x) c, Σύγχρονο www.asma.ro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο sit του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

z - 3i + z + 3i = 2 z - 3i + z - 3i = 2 2 z - 3i = 2 z - 3i = 1 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι

z - 3i + z + 3i = 2 z - 3i + z - 3i = 2 2 z - 3i = 2 z - 3i = 1 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδες 6-6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Α3.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9-5- ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 79 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 7 Α. α) ΣΩΣΤΟ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΛΑΘΟΣ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι: ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β )

Διαβάστε περισσότερα