qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Transcript

1 qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Τάξη : Γ Λυκείου klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz ΦΥΛΛΑΔΙΟ : Ορισμένο ολοκλήρωμα Η συνάρτηση F () cvbnmσγqwφrtyuioσδφpγρaηsόρ f(t) Εμβαδόν επίπεδου χωρίου 9ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ωυdfghjργklαzcvbnβφδγωmζqwrt λκοθξyuiύασφdfghjklzcvbnmqwrty uiopaβsdfghjklzcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzcηvbnασφδmqwrtασδyuiopa sdfασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzcv ασδφbnγμ,mqwrtyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwrtyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzσδδγσφγcvbnmqwrtyuioβκσλπp asdfghjklzcvbnmqwrtyuiopasdγαε ορlzcvbnmqwrtyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwrtyuiopasdfghjklzασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwr tyuiopasdfghjklzcvbnmqwrtyuiopσ

2 . Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης F() t.. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύει f () ln tf(t) για κάθε >.. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( t)f (t) f (t) για κάθε R. t. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύει f ( t) κάθε R. για 5. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f για την οποία ισχύει f()= και f (t) f() για κάθε >. 6. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f : (-,) (,+ ) για την οποία ισχύει f (t) για κάθε <. 7. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,], <f()< για κάθε [,] τότε η εξίσωση f (t) έχει μοναδική ρίζα στο (,). 8. Αν για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει η σχέση f (t) να δειξετε ότι f()=. για κάθε R, 9. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : (,+ ) R τέτοια ώστε f (t) f (t) για κάθε >. Αν f()= και f()=, να δείξετε ότι f (t).. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [α,β]. α) Αν f() g() για κάθε [α,β], να δείξετε ότι f () d g() d β) Αν m είναι το ελάχιστο της f στο [α,β] και Μ το μέγιστο της f στο [α,β], να δείξετε ότι m(β α) γ) Να βρείτε το lim f () d t Μ(β α)

3 . Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης ln t f () t.. Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε η συνάρτηση με τύπο t t f () t παρουσιάζει ακρότατο στο. να. Αν ισχύει f () για κάθε R, να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης F () f (t).. Έστω οι συναρτήσεις f, g : R R, όπου η g είναι συνεχής στο R και ισχύει f (g()) g (t) για κάθε R. Να δείξετε ότι η g είναι. 5. Να βρείτε τα όρια: α) h ημ lim d h h β) lim ημt t, > 6. Δίνεται συνάρτηση f : R R, συνεχής στο R με f()=. Να υπολογίσετε το όριο lim f ( t), >. t 7. Αν ισχύει lim - α t και β., να βρείτε τους θετικούς αριθμούς α 8. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) με f (t). Να δείξετε ότι η εξίσωση f () έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (,) 9. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο (,) και f ()< για κάθε (,) και f ()d. Να δείξετε ότι η εξίσωση f () 6 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (,). Δίνεται η συνάρτηση g συνεχής στο [α,β] με <α<β<. Να δείξετε ότι υπάρχει [α,β] τέτοιο ώστε g(t) ( ) g(t).

4 . Έστω μία συνεχής συνάρτηση f : [,+ ) R, με f () F () f (t). Να δείξετε ότι F() f () για κάθε >. για κάθε > και η. Έστω μία συνεχής συνάρτηση f : R R, τέτοια ώστε, h R. Να δείξετε ότι f()= για κάθε R. h f (t) h για κάθε. Δίνεται συνάρτηση f : [α,β] R, με συνεχή παράγωγο τέτοια ώστε f(α)> και f (β) f () f () για κάθε [α,β]. Να δείξετε ότι f ()d ln f(α). Να βρείτε τα όρια : α) t lim t β) t lim t γ) lim ln( t ) δ) lim t 5. Να βρείτε την ασύμπτωτη στο + της συνάρτησης t f () t 6. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R και ο σταθερός αριθμός α R. Αν g () f (t) και h () g(t), R, να δείξετε ότι ισχύει η σχέση h () ( t)f (t).. 7. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f (), να βρείτε το lim f (t) 8. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση : f ()d = f() + για κάθε R. 9. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση : f() f ()d για κάθε R.. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση : ημf ()d f() συν για κάθε R.

5 . Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f αν ισχύει η σχέση t f () f ( t) για κάθε, t R.. Να βρείτε τη συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο R, αν ισχύει η σχέση f (u)du f () για κάθε R και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Ο(,).. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f : (,+ )R αν ισχύει f (t ) f () για κάθε >.. Έστω f συνεχής στο [,]. Να δείξετε ότι υπάρχει μιγαδικός z i f (t), (,] με z. 5. Έστω f : R R, συνεχής στο R και οι μιγαδικοί z f (t) i f (t), λ R. Να δείξετε ότι οι εικόνες όλων των μιγαδικών αριθμών z είναι σημεία συνευθειακά. 6. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( ) 5 7. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d ( συν) - ( συν - ) d ημ 8. Να αποδείξετε ότι d d, ν Ν. Στη συν συν συνέχεια να υπολογίσετε την κοινή τιμή των δύο ολοκληρωμάτων. 9. α) Έστω f συνεχής στο [α,β]. Να δείξετε ότι ( )d f f () d. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = ( ) ( ) ( ) d.. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι = t (Υπόδειξη : Να κάνετε την αντικατάσταση t= εφu, u, ). Να δείξετε ότι α d 5

6 . Έστω συνάρτηση f:[,]r, συνεχής, ώστε βρείτε τον τύπο της f. f ()d f ()d. Να 7. Έστω f () για κάθε R, ν N *. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. β) Να δείξετε ότι f ()d. ν. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f()= και f συνεχής στο R. Αν f ()>f() για κάθε R, να δείξετε ότι : α) f() > για κάθε β) f ()d f() 5. Έστω f()=ln(+), g() ln( ). Να δείξετε ότι : α) f() g(), για κάθε β) ln( )d γ) ln 6. Έστω συνάρτηση f:[,]r, δύο φορές παραγωγίσιμη με f γνησίως φθίνουσα στο [,] και f()=. Επίσης ισχύει f () f () d f ()d 6.. Να δείξετε ότι 7. Έστω f (), (,+ ). α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα. β) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο της A(,f()). γ) Να δείξετε ότι f ()d. 8. Έστω f (), (,+ ). ln α) Να δείξετε ότι η f είναι και να βρείτε την f β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I f ()d f 9. Έστω f : [,] R με f(). α) Να βρείτε την f ()d. 6

7 β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I 5. Έστω f : [,] R με f (). α) Να βρείτε την f β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d f () d f d () 5. Έστω f, g συναρτήσεις ορισμένες στο R με f άρτια και g()+g( )= για κάθε R. α) Να δείξετε ότι I f()g() d -α f() d, α >. β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d -π 5. Θεωρούμε συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο =, f()= και ισχύει f () f () d α) να βρείτε το f() τότε : β) να δείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε f ( ) Θεωρούμε συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με συνεχή δεύτερη παράγωγο και f () για κάθε R. Αν f()=, f()= και ισχύει f () d τότε : α) να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β) να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I f f () d 5. Δίνεται η συνάρτηση f () ln( ) I f (t) d., R. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 55. Δίνεται η συνάρτηση I t tf()d. f (), R. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 56. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και οι συναρτήσεις g() f (t), R και h() f ( t), R. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cg της g στο σημείο της Α(,g()) έχει εξίσωση y=, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Ch της h στο σημείο της B(,h()). 7

8 57. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (,+ ) τέτοια ώστε f (t)ln f () tf (t), για κάθε >. t α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε το όριο lim f(t)- 58. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (,+ ) τέτοια ώστε t f (u)du tf(t), για κάθε >. α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε το όριο lim f () 59. Έστω συνάρτηση f:rr συνεχής τέτοια ώστε t f (t) ln( κάθε >. α) Να βρείτε το f() β) Να βρείτε το όριο ( ) f (t) lim 6. Θεωρούμε τη συνάρτηση g (), (, ). t t α) Να βρείτε τον τύπο της g (χωρίς τη χρήση μεθόδων ολοκλήρωσης) β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d 6. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R, ώστε ()d 5 δείξετε ότι υπάρχει ξ (,5) τέτοιο ώστε f ( ) f ( t) ξ ξ ), για f και f (5)d. Να t Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε f ( ). 6. Έστω συνάρτηση f:rr συνεχής τέτοια ώστε f (t) d 6. Έστω συνάρτηση f:rr συνεχής με f (t) f () f (t) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,).. Να δείξετε ότι η εξίσωση 6. Θεωρούμε συνάρτηση f : RR δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο R και f () για κάθε R. Επίσης ισχύει () f () d 6 f.

9 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g() f (t) β) να δείξετε ότι f ()d f ()d είναι κοίλη 65. Έστω f, g παραγωγίσιμες στο R τέτοιες ώστε f (t) g(t) g(t) f (t) και για κάθε R. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων Cf, Cg των συναρτήσεων f και g στα σημεία τους A(,f ( )) και B(,g( )) αντίστοιχα να είναι παράλληλες. 66. Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, με < α < β, τη συνεχή συνάρτηση f : (, ) R για την οποία ισχύει f(t) = και τη συνάρτηση g () f (t), (, ). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε να ισχύουν : α) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο (, g( )) να είναι παράλληλη στον άξονα. β) g( ) f( ). 67. Έστω συνάρτηση f : R R συνεχής, τέτοια ώστε f () lim z i f (t) z i για κάθε R. α) Να βρείτε το f() β) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ(z) είναι κύκλος h h t και 68. Έστω συνάρτηση f : R R συνεχής τέτοια ώστε t f () f ( t) για κάθε R και η συνάρτηση g(), (, ). f (t) α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε τον τύπο της g (χωρίς τη χρήση μεθόδων ολοκλήρωσης) γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d (ln ) t 69. Δίνεται η συνάρτηση u f () du για κάθε R. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να δείξετε ότι f () για κάθε R t u γ) Να λύσετε την ανίσωση du 9

10 u t du για κάθε t R. α) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f (), για κάθε R 7. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής τέτοια ώστε f (t) β) Να δείξετε ότι f () f ( ) για κάθε, R f () γ) Να υπολογίσετε το lim δ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A f ( )d f ()d 7. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R και ικανοποιούν τις σχέσεις f ( ) g( ) για κάθε R, f ( ) g( ) και f( ) g( ). α) Να βρείτε τη συνάρτηση t( ) f( ) g( ), R. β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g. 7. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις δύο τεθλασμένες γραμμές y = - και y = -. (Εξετάσεις ΑΣΕΠ Μαθηματικών 9) 7. Έστω η συνάρτηση g() και η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και f(r)=r συνεχής στο R τέτοια ώστε f () g(f (t)) για κάθε R. α) Να δείξετε ότι η f είναι και να βρείτε την f β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f, τον άξονα και τις ευθείες = - και =. γ) Να λύσετε την ανίσωση f f () 999 g(f ())d 7. Έστω η συνάρτηση f : R R με f () 999 t και Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =. Να δείξετε ότι : α) f() για κάθε t β) E γ) E 75. Έστω f (), [,] και η ευθεία ε : y = κ, <κ<. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f, την ευθεία ε και τις ευθείες = και =, να δείξετε ότι Ε. `

11 ln(ln ) 76. Έστω f συνεχής στο R τέτοια ώστε f () για κάθε. α) Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης Cf της f στο + β) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f, την ασύμπτωτη της Cf στο + και τις ευθείες = και =, να δεί- ξετε ότι E ln. () 77. Έστω f : [,+ )R παραγωγίσιμη, τέτοια ώστε f () f f (t) για κάθε. Να δείξετε ότι : α) f()> για κάθε > β) Η f είναι κυρτή στο [,+ ) γ) f() f () για κάθε δ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστα- ση Cf της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =, να δείξετε ότι 78. Έστω f : R R με f()= και f () ln( ) f () E. για κάθε R. α) Να δείξετε ότι f() για κάθε β) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα γ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =, να δείξετε ότι <Ε<ln(+) 79. Έστω f:rr παραγωγίσιμη τέτοια ώστε f () f () για κάθε R. α) Να δείξετε ότι f () 9 για κάθε R β) Αν f()= και Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =, να δείξετε ότι Ε 8 8. Έστω f συνεχής στο R με () f για κάθε R με f(r)=r. f (t) α) Να δείξετε ότι η f είναι και να βρείτε την f β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f και την ευθεία y =. 8. Έστω z, z, z C τέτοιοι ώστε z z και η συνάρτηση f () z z z z, R. Να δείξετε ότι : f () α) lim β) f ()d 9

12 8. Έστω f:rr παραγωγίσιμη τέτοια ώστε να ισχύει f () f() για κάθε R και f()=. α) Να δείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο ώστε ( ) f () f β) Να δείξετε ότι υπάρχει f (), R γ) Να βρείτε το εμβαδόν Ε(α) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της f και τις ευθείες y=α, y=(α+), α> και να δείξετε ότι E( ). 8. Έστω f:rr δύο φορές παραγωγίσιμη με f συνεχή και f () για κάθε R και f () f ( ). α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα β) Αν g () f (t), R τότε : 6 i) να μελετήσετε την g ως προς την κυρτότητα ii) να δείξετε ότι 5 f (t) f (t) 8. Έστω f : (,+ ) R δύο φορές παραγωγίσιμη με f ()= και f () f () για κάθε >. α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παρά= σταση Cf της f, τον άξονα και την ευθεία =.