Παραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι
|
|
|
- Παραμονιμος Σαμαράς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Παραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι
2 Πληροφορίες Βιβλίο: e-class: MATH278
3 Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων Παρουσίαση
4 Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων 2 μονάδες Παρουσίαση
5 Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων 2 μονάδες Ομάδες 2 ατόμων 50% σωστές στο πακέτο = 1 μονάδα Παρουσίαση
6 Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων 2 μονάδες Ομάδες 2 ατόμων 50% σωστές στο πακέτο = 1 μονάδα Παρουσίαση 8 μονάδες
7 Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων 2 μονάδες Ομάδες 2 ατόμων 50% σωστές στο πακέτο = 1 μονάδα Παρουσίαση 8 μονάδες Βαθμός κατανόησης / ποιότητα παρουσίασης
8 Μέρες και ώρες διαλέξεων?!
9 Μέρες και ώρες διαλέξεων?! Α. Δευτέρα 11:00-13:00 Τετάρτη 13:00-15:00 Β. Δευτέρα 11:00-14:00 * Γ. Άλλο ** * Ίσως κάποια επιπλέον μαθήματα ** Μόνο σοβαρές προτάσεις
10
11 Εισαγωγή
12 Παραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι
13 Εισαγωγή
14 Εισαγωγή
15
16 n-πελάτες
17 n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις
18 n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις Μπορούμε να διώξουμε k πελάτες
19 Π.χ.: n=6 k=3
20 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
21 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
22 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
23 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
24 Π.χ.: Α Ε Δ n=6 k=3
25 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=2
26 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=2
27 ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COVER)
28 ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COVER) Γράφημα G=(V,E) * (n-κορυφές) * Aπλό, μη-διατεταγμένο
29 ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COVER) Γράφημα G=(V,E) * (n-κορυφές) S V (κάλυμμα κορυφών) * Aπλό, μη-διατεταγμένο
30 ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COVER) Γράφημα G=(V,E) * (n-κορυφές) S V (κάλυμμα κορυφών) S k * Aπλό, μη-διατεταγμένο
31 KK NP-πλήρες
32 KK NP-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος
33 KK NP-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος Εκθετικός αλγόριθμος
34 Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V
35 Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V 2 n
36 Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V 2 n Για n=1000: ,
37 Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V 2 n Για n=1000: ,
38 Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V 2 n Για n=1000: , k < n
39 1 η απόπειρα: (Brute force) Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές
40 <latexit sha1_base64="ohftvndmwh+0ilrtfjztltpiewg=">aaab8nicdzbns8mwhmztx+d8m3r0ehycp9lo6drbqbcpe5wbrgwkwbqfpuljumgugz/ciwcvr34ab34b022cij4qehief8g/vyhlvgnh+bcwlldw19zlg+xnre2d3cre/q0smcskjqutshshrrjlpk2pzqsbsoksijfonl4o+s4dkyokfqmnkqktnoq0phhpewu5d/bicexgenqvvb3b9xon/ww6ds2vn557ham7dc+fru3mvaultfqv92agcjyqrjfdsvvcj9vhjqsmmjfpocgusreeoyhpgctrqlsyz3aewmotdgaspdlcw1n6/uaoequmswqme6rh6ndxhh91vuzhxphtnmaacdx/km4y1aiwaocasoi1mxidskrmv4hhscksdaaygfd1u/i/adds33au69xm5f2crgkcginwalzqae1wbvqgdtbiwqn4as9wzj1al9brfhtjwha8ad9kvx0cthmsew==</latexit> 1 η απόπειρα: (Brute force) Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k
41 <latexit sha1_base64="ohftvndmwh+0ilrtfjztltpiewg=">aaab8nicdzbns8mwhmztx+d8m3r0ehycp9lo6drbqbcpe5wbrgwkwbqfpuljumgugz/ciwcvr34ab34b022cij4qehief8g/vyhlvgnh+bcwlldw19zlg+xnre2d3cre/q0smcskjqutshshrrjlpk2pzqsbsoksijfonl4o+s4dkyokfqmnkqktnoq0phhpewu5d/bicexgenqvvb3b9xon/ww6ds2vn557ham7dc+fru3mvaultfqv92agcjyqrjfdsvvcj9vhjqsmmjfpocgusreeoyhpgctrqlsyz3aewmotdgaspdlcw1n6/uaoequmswqme6rh6ndxhh91vuzhxphtnmaacdx/km4y1aiwaocasoi1mxidskrmv4hhscksdaaygfd1u/i/adds33au69xm5f2crgkcginwalzqae1wbvqgdtbiwqn4as9wzj1al9brfhtjwha8ad9kvx0cthmsew==</latexit> 1 η απόπειρα: (Brute force) Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k 1000 Για n=1000 και k=10: 10 '
42 <latexit sha1_base64="ohftvndmwh+0ilrtfjztltpiewg=">aaab8nicdzbns8mwhmztx+d8m3r0ehycp9lo6drbqbcpe5wbrgwkwbqfpuljumgugz/ciwcvr34ab34b022cij4qehief8g/vyhlvgnh+bcwlldw19zlg+xnre2d3cre/q0smcskjqutshshrrjlpk2pzqsbsoksijfonl4o+s4dkyokfqmnkqktnoq0phhpewu5d/bicexgenqvvb3b9xon/ww6ds2vn557ham7dc+fru3mvaultfqv92agcjyqrjfdsvvcj9vhjqsmmjfpocgusreeoyhpgctrqlsyz3aewmotdgaspdlcw1n6/uaoequmswqme6rh6ndxhh91vuzhxphtnmaacdx/km4y1aiwaocasoi1mxidskrmv4hhscksdaaygfd1u/i/adds33au69xm5f2crgkcginwalzqae1wbvqgdtbiwqn4as9wzj1al9brfhtjwha8ad9kvx0cthmsew==</latexit> 1 η απόπειρα: (Brute force) Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k 1000 Για n=1000 και k=10: 10 '
43 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Καλοί πελάτες Κακοί πελάτες 0 αντίπαλους k+1 αντίπαλους
44 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Καλοί πελάτες Κακοί πελάτες k k-1 0 αντίπαλους k+1 αντίπαλους
45 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) - Αν σταματήσουμε όλες τις διενέξεις πριν το k γίνει 0 έχουμε λύση.
46 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
47 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
48 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
49 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β n=6 k=2
50 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) - Αν σταματήσουμε όλες τις διενέξεις πριν το k γίνει 0 έχουμε λύση. - Αν δεν υπάρχουν πλέον κακοί πελάτες :
51 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) - Αν σταματήσουμε όλες τις διενέξεις πριν το k γίνει 0 έχουμε λύση. - Αν δεν υπάρχουν πλέον κακοί πελάτες : Διώχνοντας έναν πελάτη σταματάμε k διενέξεις
52 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) - Αν σταματήσουμε όλες τις διενέξεις πριν το k γίνει 0 έχουμε λύση. - Αν δεν υπάρχουν πλέον κακοί πελάτες : Διώχνοντας έναν πελάτη σταματάμε k διενέξεις Αν υπάρχουν >k 2 διενέξεις δεν υπάρχει λύση
53 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους
54 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους Οι πελάτες είναι 2k 2
55 <latexit sha1_base64="+gfxpi7vamecadu75e9vuoen8ny=">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</latexit> 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους Οι πελάτες είναι 2k 2 Brute force: 2k 2 k apple '
56 <latexit sha1_base64="+gfxpi7vamecadu75e9vuoen8ny=">aaaclhicbvdlsgmxfm34rpvvdekmwarxzwyopnyvxbisyg2h05zmetugzizjkhhkmod3upfxrhbrxa3fyfpqtpxahcm555lc40eckw3bq2thcwl5ztwzll3f2nzazu3s3iorswovkriqnz8o4cyeimaaqy2sqakfq9xvx4z86j1ixur4owcrnalsdvmhuakn1mpdjm6/6xq0j4qc3e89dnc4mujbaozytrd/e46deoofxnylbvenkdjhasuxtwv2ghieofosr1ouw7kxry1ohecoksdk1r070o2esm0ohztrxqoiqvukc3vdqxkaaitja1n8ajq27ghpjtr4rp7eseig1cdwttiguqdmvzh4n1epdee0kbawijwedpjqj+zyczyqdrezbkr5wbbcjtn/xbrhjkhafjw1jtizj8+tils4k9jxxxzp/ghsrgbtown0hbx0gkrocpvrbvh0ij7rel1zt9ar9w59tkil1rtbpfqh1ucxwuomva==</latexit> 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους Οι πελάτες είναι 2k 2 Brute force: 2k 2 k apple '
57 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Καλοί πελάτες Κακοί πελάτες Καλούτσικοι πελάτες 0 αντίπαλους k+1 αντίπαλους 1 αντίπαλο
58 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Καλοί πελάτες Κακοί πελάτες Καλούτσικοι πελάτες k k-1 0 αντίπαλους k+1 αντίπαλους 1 αντίπαλο (Εφόσον δεν υπάρχουν πια κακοί πελάτες)
59 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση)
60 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους
61 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους Οι πελάτες είναι k 2
62 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους Οι πελάτες είναι k 2 Brute force: k 2 k apple '
63 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους Οι πελάτες είναι k 2 Brute force: k 2 k apple '
64 <latexit sha1_base64="2akt/bthu0tyh8wcwlo2nqocarc=">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</latexit> 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους Οι πελάτες είναι k 2 Brute force: k 2 k apple '
65 <latexit sha1_base64="2akt/bthu0tyh8wcwlo2nqocarc=">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</latexit> 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Προεπεξεργασία Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους Οι πελάτες είναι k 2 Brute force: k 2 k apple '
66 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Β
67 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Β k k-1
68 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Β k k-1 Υπάρχει λύση (για k-1) αν διώξουμε τον Α;
69 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Β k k-1 Υπάρχει λύση (για k-1) αν διώξουμε τον Α; ΝΑΙ
70 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Β k k-1 Υπάρχει λύση (για k-1) αν διώξουμε τον Α; ΝΑΙ ΟΧΙ
71 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Β k k-1 Υπάρχει λύση (για k-1) αν διώξουμε τον Β;
72 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Β k k-1 Υπάρχει λύση (για k-1) αν διώξουμε τον Β; ΝΑΙ
73 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Β k k-1 Υπάρχει λύση (για k-1) αν διώξουμε τον Β; ΝΑΙ ΟΧΙ
74 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Ζ Δ Β Γ k=3
75 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α vs Β Ζ Δ Β Γ k=3
76 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ k=3
77 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ k=3
78 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Β Γ Γ vs Δ Β vs Δ k=3
79 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Γ Γ vs Δ Β vs Δ k=3
80 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Γ Δ Γ Γ vs Δ Β vs Δ Ζ vs Ε Γ vs Ζ k=3
81 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Γ Δ Γ vs Δ Β vs Δ Ζ vs Ε Γ vs Ζ k=3 Γ Δ Β Δ Ζ Ε Γ Ζ
82 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Γ Δ Γ vs Δ Β vs Δ Ζ vs Ε Γ vs Ζ k=3 Γ Δ Β Δ Ζ Ε Γ Ζ Χρόνος:
83 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Γ Δ Γ vs Δ Β vs Δ Ζ vs Ε Γ vs Ζ k=3 Γ Δ Β Δ Ζ Ε Γ Ζ Χρόνος: 2 k ανδρομικές κλήσεις
84 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Γ Δ Γ vs Δ Β vs Δ Ζ vs Ε Γ vs Ζ k=3 Γ Δ Β Δ Ζ Ε Γ Ζ Χρόνος: 2 k ανδρομικές κλήσεις O(n+m)
85 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Γ Δ Γ vs Δ Β vs Δ Ζ vs Ε Γ vs Ζ k=3 Γ Δ Β Δ Ζ Ε Γ Ζ Χρόνος: 2 k ανδρομικές κλήσεις O(n+nk/2) 2 η απόπειρα
86 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Γ Δ Γ vs Δ Β vs Δ Ζ vs Ε Γ vs Ζ k=3 Γ Δ Β Δ Ζ Ε Γ Ζ Χρόνος: 2 k n k < =
87 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) Α Ε Α Α vs Β Β Ζ Β vs Γ Γ vs Δ Δ Β Γ Γ Δ Γ vs Δ Β vs Δ Ζ vs Ε Γ vs Ζ k=3 Γ Δ Β Δ Ζ Ε Γ Ζ Χρόνος: 2 k n k < =
88 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(2 k n k ) O(n k )
89 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(2 10 n 10 ) O(n 10 )
90 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O( ) O( )
91 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O( ) O( )
92 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O( ) O( )
93 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(2 k n k ) O(n k )
94 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(f(k) n c ) O(f(k) n g(k) )
95 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(f(k) n c ) O(f(k) n g(k) ) FPT
96 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(f(k) n c ) O(f(k) n g(k) ) FPT XP
97 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(f(k) n c ) O(f(k) n g(k) ) FPT XP Παράμετρος k : ένα δευτερεύων μέτρο που αντιπροσωπεύει κάποια πτυχή της εισόδου
98 Σχεδίαση Παραμετρικών Αλγορίθμων
99 Σχεδίαση Παραμετρικών Αλγορίθμων Πυρηνοποίηση
100 Σχεδίαση Παραμετρικών Αλγορίθμων Πυρηνοποίηση Φραγμένα δέντρα αναζήτησης
101 Σχεδίαση Παραμετρικών Αλγορίθμων Πυρηνοποίηση Φραγμένα δέντρα αναζήτησης Επαναλαμβανόμενη συμπίεση
102 Σχεδίαση Παραμετρικών Αλγορίθμων Πυρηνοποίηση Φραγμένα δέντρα αναζήτησης Επαναλαμβανόμενη συμπίεση Μέθοδοι τυχαιοποίησης
103 Σχεδίαση Παραμετρικών Αλγορίθμων Πυρηνοποίηση Φραγμένα δέντρα αναζήτησης Επαναλαμβανόμενη συμπίεση Μέθοδοι τυχαιοποίησης Φραγμένο δεντροπλάτος και Δυναμικός Προγραμματισμός
104 Σχεδίαση Παραμετρικών Αλγορίθμων Πυρηνοποίηση Φραγμένα δέντρα αναζήτησης Επαναλαμβανόμενη συμπίεση Μέθοδοι τυχαιοποίησης Φραγμένο δεντροπλάτος και Δυναμικός Προγραμματισμός Σημαντικοί διαχωριστές
105 Παραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι
106 n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις
107 n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις k-μπαρ Δεν διώχνουμε κανέναν
108 n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις k-μπαρ Δεν διώχνουμε κανέναν (Χωρίζουμε τους πελάτες στα μπαρ ώστε σε κάθε μπαρ να μην υπάρχουν διενέξεις)
109 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COLORING) Γράφημα G=(V,E) * (n-κορυφές) * Aπλό, μη-διατεταγμένο
110 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COLORING) Γράφημα G=(V,E) * (n-κορυφές) f:v {1,,k} * Aπλό, μη-διατεταγμένο
111 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COLORING) Γράφημα G=(V,E) * (n-κορυφές) f:v {1,,k} {u,v} E (f(u) f(v)) * Aπλό, μη-διατεταγμένο
112 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
113 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
114 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
115 XK NP-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος
116 3-XK NP-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος
117 3-XK NP-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος Όχι αλγόριθμος με χρόνο O(f(k) n c ), για k 3
118 3-XK NP-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος Όχι αλγόριθμος με χρόνο O(f(k) n c ), για k 3 Ούτε με χρόνο O(f(k) n g(k) ), για k 3
119 Όχι FPT αλγόριθμοι για κάθε πρόβλημα
120 Γιατί; Όχι FPT αλγόριθμοι για κάθε πρόβλημα
121 Όχι FPT αλγόριθμοι για κάθε πρόβλημα NP-C Γιατί;. P P P P k ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΟΡΥΦΩΝ
122 Όχι FPT αλγόριθμοι για κάθε πρόβλημα NP-C NP-C Γιατί;. P P P P k. NP-C NP-C P P k ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΟΡΥΦΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΟΡΥΦΩΝ
123 NP-Πληρότητα?!
124 Αν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του
125 Αν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του
126 Αν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του Μπορούμε να διαχειριστούμε μέχρι (k-1)-πελάτες
127 Αν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του Μπορούμε να διαχειριστούμε μέχρι (k-1)-πελάτες Υπάρχει ομάδα k-πελατών όπου όλοι είναι φίλοι με όλους;
128 k-κλικα (k-clique) (Φιλίες) Γράφημα G=(V, E ) * (n-κορυφές) * Aπλό, μη-διατεταγμένο
129 k-κλικα (k-clique) (Φιλίες) Γράφημα G=(V, E ) * (n-κορυφές) S V, {u,v} S ({u,v} E) * Aπλό, μη-διατεταγμένο
130 k-κλικα (k-clique) (Φιλίες) Γράφημα G=(V, E ) * (n-κορυφές) S V, {u,v} S ({u,v} E) S k * Aπλό, μη-διατεταγμένο
131 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
132 Π.χ.: Α Ε Ζ Δ Β Γ n=6 k=3
133 Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές
134 <latexit sha1_base64="ohftvndmwh+0ilrtfjztltpiewg=">aaab8nicdzbns8mwhmztx+d8m3r0ehycp9lo6drbqbcpe5wbrgwkwbqfpuljumgugz/ciwcvr34ab34b022cij4qehief8g/vyhlvgnh+bcwlldw19zlg+xnre2d3cre/q0smcskjqutshshrrjlpk2pzqsbsoksijfonl4o+s4dkyokfqmnkqktnoq0phhpewu5d/bicexgenqvvb3b9xon/ww6ds2vn557ham7dc+fru3mvaultfqv92agcjyqrjfdsvvcj9vhjqsmmjfpocgusreeoyhpgctrqlsyz3aewmotdgaspdlcw1n6/uaoequmswqme6rh6ndxhh91vuzhxphtnmaacdx/km4y1aiwaocasoi1mxidskrmv4hhscksdaaygfd1u/i/adds33au69xm5f2crgkcginwalzqae1wbvqgdtbiwqn4as9wzj1al9brfhtjwha8ad9kvx0cthmsew==</latexit> Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k
135 <latexit sha1_base64="ypmt0cc4dr+/cu942ld2tq5rdv4=">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</latexit> Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k n k = O k 2
136 <latexit sha1_base64="ypmt0cc4dr+/cu942ld2tq5rdv4=">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</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzpmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+pof2p6wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvpocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacpjbnaopc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9ypn8aiiircg==</latexit> Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k n k = O k 2 O(k 2 )
137 <latexit sha1_base64="ypmt0cc4dr+/cu942ld2tq5rdv4=">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</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzpmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+pof2p6wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvpocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacpjbnaopc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9ypn8aiiircg==</latexit> Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k n k = O k 2 O(k 2 ) Χρόνος: Ο(n k )
138 <latexit sha1_base64="ypmt0cc4dr+/cu942ld2tq5rdv4=">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</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzpmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+pof2p6wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvpocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacpjbnaopc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9ypn8aiiircg==</latexit> Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k n k = O k 2 O(k 2 ) Χρόνος: Ο(n k ) XP
139 <latexit sha1_base64="ypmt0cc4dr+/cu942ld2tq5rdv4=">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</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzpmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+pof2p6wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvpocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacpjbnaopc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9ypn8aiiircg==</latexit> Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k n k = O k 2 O(k 2 ) Χρόνος: Ο(n k ) FPT?
140 <latexit sha1_base64="ypmt0cc4dr+/cu942ld2tq5rdv4=">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</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzpmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+pof2p6wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvpocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacpjbnaopc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9ypn8aiiircg==</latexit> Brute force: Ελέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k n k = O k 2 O(k 2 ) Χρόνος: Ο(n k ) FPT? Σταθερό k Πολυωνυμικός αλγόριθμος
141 NP-C. P P P P k k-κλικα
142 NP-C. P P P P k k-κλικα Κι όμως
143 NP-C. P P P P k k-κλικα Κι όμως k-κλικα W[1]-C
144 NP-C. P P P P k k-κλικα Κι όμως k-κλικα W[1]-C δεν έχει FPT αλγόριθμο
145 FPT vs XP NP-Πληρότητα?!
146 FPT vs XP NP-Πληρότητα?!
147 Παραμετρική Πολυπλοκότητα
148 Παραμετρική Πολυπλοκότητα Παραμετρικές αναγωγές
149 Παραμετρική Πολυπλοκότητα Παραμετρικές αναγωγές Κλάσεις Πολυπλοκότητας (π.χ. FPT, W[1], XP)
150 Παραμετρική Πολυπλοκότητα Παραμετρικές αναγωγές Κλάσεις Πολυπλοκότητας (π.χ. FPT, W[1], XP) W-ιεραρχία κλάσεων προβλημάτων
151 Παραμετρική Πολυπλοκότητα Παραμετρικές αναγωγές Κλάσεις Πολυπλοκότητας (π.χ. FPT, W[1], XP) W-ιεραρχία κλάσεων προβλημάτων Κάτω φράγματα (ETH) Βέλτιστοι αλγόριθμοι
152 Παραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι
153 Αν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του Μπορούμε να διαχειριστούμε μέχρι (k-1) πελάτες Υπάρχει ομάδα k-πελατών όπου όλοι είναι φίλοι με όλους;
154 Αν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του Μπορούμε να διαχειριστούμε μέχρι (k-1) πελάτες Υπάρχει ομάδα k-πελατών όπου όλοι είναι φίλοι με όλους;
155 Αν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του Μπορούμε να διαχειριστούμε μέχρι (k-1) πελάτες Υπάρχει ομάδα k-πελατών όπου όλοι είναι φίλοι με όλους; Παράμετρος: μέγιστος αριθμός φίλων
156 k-κλικα (k-clique) (Φιλίες) Γράφημα G=(V, E ) * (n-κορυφές) S V, {u,v} S ({u,v} E) S k * Aπλό, μη-διατεταγμένο
157 k-κλικα (k-clique) (Φιλίες) Γράφημα G=(V, E ) * (n-κορυφές) S V, {u,v} S ({u,v} E) S k Παράμετρος: Δ (μέγιστος βαθμός) * Aπλό, μη-διατεταγμένο
158 Brute force: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της αν είναι κλίκα.
159 Brute force: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της αν είναι κλίκα. Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές;
160 Brute force: Χρόνος: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της αν είναι κλίκα. Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές;
161 Brute force: Χρόνος: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, Ο(n) κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της αν είναι κλίκα. Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές;
162 Brute force: Χρόνος: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, Ο(n) κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της Ο(2 Δ ) αν είναι κλίκα. Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές;
163 Brute force: Χρόνος: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, Ο(n) κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της Ο(2 Δ ) αν είναι κλίκα. Ο(Δ 2 ) Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές;
164 Brute force: Χρόνος: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, Ο(n) κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της Ο(2 Δ ) αν είναι κλίκα. Ο(Δ 2 ) Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές; Ο(1)
165 Brute force: Χρόνος: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, Ο(n) κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της Ο(2 Δ ) αν είναι κλίκα. Ο(Δ 2 ) Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές; Ο(1) Ο(2 Δ Δ 2 n)
166 Brute force: Χρόνος: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, Ο(n) κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της Ο(2 Δ ) αν είναι κλίκα. Ο(Δ 2 ) Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές; Ο(1) Ο(f(Δ) n)
167 k-κλικα παράμετρος k FPT k-κλικα παράμετρος Δ FPT
168 Παράμετρος
169 Παράμετρος k (παράμετρος) n (είσοδος)
170 Παράμετρος k (παράμετρος) n (είσοδος) FPT: O(f(k) n c )
171 Παράμετρος k (παράμετρος) n (είσοδος) FPT: O(f(k) n c )
172 Παράμετρος k (παράμετρος) n (είσοδος) FPT: O(f(k) n c )
Παραμετρικοί Αλγόριθμοι
Παραμετρικοί λγόριθμοι Σχεδίαση Παραμετρικών λγορίθμων ισαγωγή Πορτιέρης n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις Μπορούμε να διώξουμε k πελάτες k=3 k=3 k=3 k=3 k=3 k=2 ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COVER) ΚΛΥΜΜ
για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική
Κλάσεις Πολυπλοκότητας
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα
Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Προβλήματα Απόφασης & Βελτιστοποίησης 2 Πρόβλημα Απόφασης: Κάθε πρόβλημα που
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με
Δομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Θέματα Απόδοσης Αλγορίθμων 1 Η Ανάγκη για Δομές Δεδομένων Οι δομές δεδομένων οργανώνουν τα δεδομένα πιο αποδοτικά προγράμματα Πιο ισχυροί υπολογιστές πιο σύνθετες εφαρμογές Οι πιο σύνθετες εφαρμογές απαιτούν
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διωνυµικοί Συντελεστές. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1
Διωνυµικοί Συντελεστές Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός 1 Διωνυµικοί Συντελεστές Διωνυµικοί συντελεστές Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Δυναµικός Προγραµµατισµός
Κατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Ασκήσεις Επανάληψης. Επανάληψη Εαρινό Εξάμηνο 2019 Σελίδα 1
Ασκήσεις Επανάληψης Άσκηση 1 (Τελική Εξέταση 5/015) Να δείξετε ότι η πιο κάτω γλώσσα δεν είναι διαγνώσιμη. { Μ L(M) {ΘΕΩΡΙΑ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ} και L(M) 3} (Για την αναγωγή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη γνωστή
Περιεχόμενα. Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23. Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
Περιεχόμενα Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23 Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 1. Επαναληπτικοί αλγόριθμοι: Μέτρα προόδου και αναλλοίωτες συνθήκες.....................................................29
Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2017 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Knapsack problems ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2017 - Ι. ΜΗΛΗΣ 10 DP III 1 Knapsack problems ΕΙΣΟΔΟΣ: Σακίδιο χωρητικότητας
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 7 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών. Χρωματική τάξη (color class):
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης
NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση
Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη
Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,
Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες
Γράφοι. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα. Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Φωτάκης Γράφοι Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 26 - I. ΜΗΛΗΣ NP-complete προβλήματα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II Tree of reductions (partial) Cook s Th. Π NP SAT 3-SAT
Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αποθήκες Δεδομένων και Εξόρυξη Δεδομένων Ενότητα 5: Κατηγοριοποίηση Μέρος Α Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα ηµήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Οργανωτικά ιδάσκοντες:. Φωτάκης και. Σούλιου (και Σ. Ζάχος στις πρόσθετες
Δυναμικός Προγραμματισμός
Τρίγωνο του Pascal Δυναμικός Προγραμματισμός Διωνυμικοί συντελεστές Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Δυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές Διωνυμικοί
Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες)
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Γραμμικός Προγραμματισμός
Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή
Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 2 Η ΔΙΑΛΕΞΗ Βασικές Έννοιες Γράφων - Ορισμοί (συνέχεια) - Ισομορφισμοί-Ομοιομορφισμοί Γράφων - Πράξεις - Αναπαράσταση Γράφων (Πίνακες
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙIΙ) Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Οάπληστος(Greedy) αλγόριθμος ελέγχου αποδοχής κλήσεων Ο αλγόριθμος ταξινόμησης
Τι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι
υναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91
Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Ουρά Προτεραιότητας: Heap
Ουρά Προτεραιότητας: Heap Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης (λίγες τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δομές Δεδομένων (Αναπαράσταση,)
Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
H Teqnikh thc Qrwmatikhc Kwdikopoihshc sto Sqediasmo Parametrikwn Algorijmwn
H Teqnikh thc Qrwmatikhc Kwdikopoihshc sto Sqediasmo Parametrikwn Algorijmwn µ λ Sdrˆkac KwnstantÐnoc Epiblèpwn: EpÐkouroc Kajhght c Dhm trioc M. Jhlukìc Mˆrtioc 2010 Perieqìmena Ευχαριστίες 1 1 Εισαγωγή
Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα
Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
υναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή,
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το
Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων
Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and
Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων
Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων Θέλουμε να δείξουμε κυκλωματικά κάτω φράγματα για ομοιόμορφες κλάσεις επειδή: Δίνουν μεγάλη πληροφορία για τις κλάσεις αυτές: π.χ. αν EXP P /poly σημαίνει Ότι παρότι
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 26 Ιουνίου 2013 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 10+10 2
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος
Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;
Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Απαιτήσεις Μαθήματος Εργαστηρίου Σκιαγράφηση Μαθήματος μια Πρώτη Εισαγωγή Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Δυϊκότητα. Δημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Δυϊκότητα Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιστοποίηση Άνω Φράγματος Έχει το ΓΠ εφικτή λύση με κόστος 2; Ναι, π.χ. [0, 1, 3, 0, 2, 0,
Δυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις /προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές
Αλγοριθμικές Τεχνικές
Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Αλγοριθμικές Τεχνικές 1 Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 1 Εισαγωγή 1 / 14 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομή Δεδομένων Δομή δεδομένων είναι ένα σύνολο αποθηκευμένων
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που
Πρόλογος. Πρόλογος 13. Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17
Πρόλογος Πρόλογος 13 Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17 1 Η λογική σκέψη 19 1.1 Τυπική λογική 20 1.1.1 Διερευνητικά προβλήματα 21 1.1.2 Σύνδεσμοι και προτάσεις 21 1.1.3 Οι πίνακες αλήθειας 23 1.1.4 Λογικές
Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι
Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός
Chapter 7, 8 : Completeness
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη
Αξιολόγηση Ευριστικών Αλγορίθµων
Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές ϕορές η εύρεση της ϐέλτιστων λύσεων προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού είναι µια χρονοβόρα διαδικασία (εκθετική πολυπλοκότητα) Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές
Διάλεξη 6: Εκλογή Προέδρου σε Σύγχρονους Δακτύλιους. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι
Διάλεξη 6: Εκλογή Προέδρου σε Σύγχρονους Δακτύλιους ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Μη Ομοιόμορφος Αλγόριθμος Εκλογής Προέδρου σε Σύγχρονο Δακτύλιο Ομοιόμορφος Αλγόριθμος Εκλογής Προέδρου
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Πιο κάτω υπάρχει ένα σχεδιάγραμμα που τοποθετεί τις κλάσεις των κανονικών, ασυμφραστικών, διαγνώσιμων και αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσα στο σύνολο όλων των γλωσσών. Ακολουθούν
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τμήματος
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Αποθήκες εδομένων και Εξόρυξη εδομένων:
Αποθήκες εδομένων και Εξόρυξη εδομένων: Κατηγοριοποίηση: Μέρος Α http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/dwdm/ gounaris/courses/dwdm/ Ευχαριστίες Οι διαφάνειες του μαθήματος σε γενικές γραμμές ακολουθούν
ΒΙΒΛΙΑ ΒΙΒΛΙΑ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 05 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Σύγκριση της Διδακτέας-εξεταστέας ύλης του πανελλαδικώς εξεταζόμενου μαθήματος «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» (πρώην Περιβάλλον), της Γ τάξης ημερήσιου Γενικού Λυκείου, μεταξύ του σχολικού έτους
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
υναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιακριτό Πρόβλημα Σακιδίου ίνονται n αντικείμενα και σακίδιο μεγέθους Β. Αντικείμενο