Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
|
|
|
- Ἁλκυόνη Κοσμόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 7 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος
2 Εισαγωγή Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών. Χρωματική τάξη (color class): σύνολο κορυφών με το ίδιο χρώμα. 2
3 Εισαγωγή χ(g) ω(g) α(g) κ(g) Γράφημα k-χρωματίσιμο (k-colorable): οι κόμβοι του μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα. Γράφημα k-χρωματικό (k-chromatic): οι κόμβοι του μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1. Χρωματικός αριθμός (chromatic number): χ(g) = k. χ(g) ω(g) 3
4 Εισαγωγή Χρωματικός αριθμός (chromatic number): χ(g) = k. Αν ένα γράφημα G είναι p-χρωματίσιμο (όπου p > χ(g)), τότε το G είναι και r-χρωματίσιμο (όπου p > r χ(g)). Γράφημα χρωματίσιμος κατά μοναδικό τρόπο (uniquely colorable) Ωστόσο, υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις για k = χ(g) οι χρωματικές κλάσεις είναι σταθερές. V 1 V 2 V 3 Γενική περίπτωση για k > χ(g), το G μπορεί να χρωματιστεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους χρησιμοποιώντας k χρώματα V 4 V 5 {v 1 }, {v 2,v 5 }, {v 3,v 4 } 3 χρωματικές κλάσεις 4
5 Εισαγωγή Κρίσιμος (critical): χ(η) < χ(g), για κάθε Η υποσύνολο του γραφήματος G. χ(g) = 3 χ(η) < 3 k-κρίσιμος (k-critical): τo G είναι k-χρωματικό και κρίσιμο, k 2 εάν χ(g)=k και χ(g-v)=k-1, για κάθε ν που ανήκει V(G). W 6 χ(w 6 ) = 4 4-χρωματικό και κρίσιμο 4-κρίσιμο Θεώρημα: Αν το γράφημα G είναι k-κρίσιμο, τότε d(g) k-1. 5
6 Εισαγωγή Θεώρημα: G είναι k-κρίσιμο d(g) k-1 V 1 V 2 V k-1 6
7 Εισαγωγή Θεώρημα: G είναι k-κρίσιμο d(g) k-1 v Γιατί? V 1 V 2 V i V k-1 7
8 Εισαγωγή Θεώρημα: G είναι k-κρίσιμο d(g) k-1 v V 1 V 2 V i V k-1 8
9 Εισαγωγή Τέλειο γράφημα (perfect graph): αριθμός κλίκας ω(η)=χ(η) χρωματικό αριθμό, για κάθε επαγόμενο υπογράφημα Η του γραφήματος G Holes Antiholes 3 2 Όχι Perfect 9
10 Εισαγωγή Γράφημα k-χρωματίσιμο ως προς ακμές (k-edge colorable): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα. Γράφημα k-χρωματικό ως προς ακμές (k-edge chromatic): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1. Χρωματικός αριθμός ακμών ή κατάλογος (chromatic index): χ (G) = k. Γράφημα k-χρωματίσιμο ως προς περιοχές (k-region colorable): οι περιοχές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα Χ (G) Χάρτες 10
11 Χρωματισμός Κόμβων χ(k n ) = n χ(ν n ) = 1 χ(k m,n ) = 2, για m, n 1 χ(g) = 2, αν δεν υπάρχει κύκλος περιττού μήκους ΌΧΙ χ(τ) = 2, αν το δένδρο έχει n > 2 κορυφές χ(c 2n ) = 2 χ(c 2n+1 ) = 3 χ(w 2n ) = 3 χ(w 2n+1 ) =
12 Χρωματισμός Κόμβων Ερώτημα: ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός ενός γραφήματος; Απάντηση: r χ(g) n, αν υπάρχει υπογράφημα K r. Θεώρημα: Κάθε γράφημα μη-πλήρης με μέγιστο βαθμό D είναι (D+1)-χρωματίσιμο (οι κόμβοι του μπορούν να χρωματιστούν με D+1 χρώματα). Θεώρημα (rookes 1941): Κάθε γράφημα μη-πλήρες με D(G) 3 είναι D-χρωματίσιμος. 12
13 Χρωματισμός Κόμβων Εάν G έχει n = D+1 κόμβους η αλήθεια του Θεωρήματος είναι προφανής. 5 Δ(G) = Υποθέτουμε ότι ισχύει για n = k-1 θα αποδείξουμε ότι ισχύει όταν το G έχει k κόμβους. Αν από G διαγράψουμε ν : d(v) = D G-v είναι βαθμού το πολύ D και έχει n-1 κόμβους. Άρα G-v είναι (D+1)-χρωματίσιμος ν παίρνει ένα χρώμα που δεν υπάρχει στους γείτονές του. v Δ(G)=4 13
14 Χρωματισμός Κόμβων Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 6-χρωματίσιμος. Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 5-χρωματίσιμος. Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 4-χρωματίσιμος. Η απόδειξη δεν δίνεται σε κανένα δικτυακό βιβλίο 14
15 Χρωματισμός Κόμβων Κάθε Επίπεδο Γράφημα είναι 6-χρωματίσιμο 15
16 Χρωματισμός Κόμβων Εικασία των 4 χρωμάτων (4 color conjecture): Guthrie 1850 (παρατήρηση) DeMorgan 1852 Hamilton 1852 Cayley 1878 (δεν βρήκε λύση) Kempe 1880 (βρήκε λάθος λύση) Heawood 1890 (βρήκε το λάθος της λύσης) ranklin 1920 (για n 25) Reynolds 1926 (για n 27) ranklin 1931 (για n 31) Winn 1943 (για n 35) Ore-Stemple 1968 (για n 40) Appel-Haken-Koch
17 Χρωματισμός Χαρτών Θεώρημα: Ένα επίπεδο απλός γράφημα G είναι k-χρωματίσιμο (ως προς τις κορυφές), αν και μόνον αν το G* είναι k-χρωματίσιμο ως προς τις περιοχές. Θεώρημα: Ένας χάρτης G είναι 2-χρωματίσιμος αν και μόνον αν είναι Eulerian. Θεώρημα: Ένας κυβικός χάρτης είναι 3-χρωματίσιμος αν και μόνον αν κάθε περιοχή περικλείεται από άρτιο αριθμό ακμών. 17
18 Χρωματισμός Ακμών χ (C 2n ) = 2 χ (C 2n+1 ) = 3 χ (W n ) = n-1, αν n n=6 X =5 Θεώρημα (Vizing 1964): Για κάθε απλό γράφο G ισχύει D(G) χ (G) D(G)+1 Θεώρημα: Για κάθε πλήρη διμερή γράφο ισχύει χ (K m,n ) = D(K m,n ) = max(m,n) 18
19 Χρωματισμός Ακμών Θεώρημα: Για κάθε πλήρη γράφο ισχύει χ (K n ) = n (n περιττό) = n-1 (n άρτιο) 19
20 Χρωματικά Πολυώνυμα Ερώτηση: Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε τις κορυφές ενός γράφου με k χρώματα; Απάντηση: Χρωματικό πολυώνυμο P G (k) (irkhoff 1912) P Nn (k) = k n P (k) = k(k-1) n P Kn (k) = k(k-1) (k-n+1) P G (k) = 0, αν k < χ(g) P G (k) > 0, αν k χ(g) P G (k) > 0, αν G απλός επίπεδος γράφος Ο αριθμός των τρόπων που μπορούν να χρωματιστούν οι κόμβοι ενός G με k χρώματα G P G (k) = k(k-1) 2 20
21 Χρωματικά Πολυώνυμα Θεώρημα: Έστω γράφος G και δύο μη γειτονικές κορυφές u, w. Τότε ισχύει P G (k)=p G1 (k)+ P G2 (k), όπου G 1 =G+(u,w) και G 2 =G/(u,w). Θεώρημα: Το χρωματικό πολυώνυμο γράφου G με n κόμβους είναι πολυώνυμο ως προς k βαθμού n. Το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές με εναλλασσόμενα πρόσημα, μεγαλύτερο όρο το k n και σταθερό όρο ίσο με 0. Κ 5 + 3Κ 4 + 2Κ 3 K(k-1) 3 21
22 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού Ο προσδιορισμός του χρωματικού αριθμού είναι NP-πλήρες πρόβλημα Σειριακός αλγόριθμος (άπληστος): Πολυπλοκότητα Ο(n*m) Τι γίνεται σε διμερή γράφο;
23 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού Πρώτα η Μεγαλύτερη (largest first): Ταξινόμηση κορυφών ως προς φθίνοντα βαθμό. Μετά σειριακός. d(v i ) d(v i+1 ) για i=1, 2, 3,..., k-1 Welsh+Powell, 1967: χ(g) max {min (i, d(v i ) + 1)} i 23
24 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού Τελευταία η Μικρότερη (smallest last): Matula-Marble-Issacson Για i = n έως 1 με βήμα -1 επανέλαβε: Βρες την κορυφή v i με το min βαθμό. Τοποθετήσετε την v i στην i-στη θέση και διέγραψε αυτή από το γράφημα. Μετά σειριακός. 24
25 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού Μέθοδος Βαθμού-Χρώματος (color-degree): relaz 1979 Βαθμός (degree) χρώματος κορυφής: αριθμός χρωμάτων που χρησιμοποιήθηκαν σε γειτονικές κορυφές. 1) Κόμβος v με max degree color(v) = 1 2) Μετά max color-degree 1 Max degree 1 2 Color degree 1 επιλέγουμε v με max degree Color degree 2 επιλέγουμε v με max degree 25
26 Εφαρμογή Αλγορίθμων Χρωματισμού 1) Σειριακή Μέθοδος : 2) Πρώτα η Μεγαλύτερη : 3) Τελευταία η Μικρότερη: 26
27 Εφαρμογή Αλγορίθμων Χρωματισμού 4) Μέθοδος του Βαθμού Χρώματος Οι 4 αλγόριθμοι χρωματίζουν το γράφημα G με 4, 4, 3, 3 χρώματα, αντίστοιχα. Στο γράφημα G υπάρχει υπογράφημα Κ 3 χ(g) = 3 27
28 Εφαρμογή Αλγορίθμων Χρωματισμού Ωρολόγιο Πρόγραμμα Ο καθηγητής Χ i (1 i m) διδάσκει το μάθημα Υ j (1 j n) για P ij ώρες/εβδομάδα. Κανείς καθηγητής Χ i δεν διδάσκει περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα, αλλά και κανένα μάθημα Υ j δεν διδάσκεται περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα. Λύση: Διμερής γράφος K m,n. Η κορυφή Χ i ενώνεται με την κορυφή Υ j με P ij ακμές Χ (K m,n ) = P Χρωματισμός ακμών 28
29 Το Πρόβλημα του Χρωματισμού Το Πρόβλημα του Χρωματισμού είναι NP-πλήρες 29
30 Το Πρόβλημα k-coloring k-coloring Δεδομένου ενός γραφήματος G = (V, E), βρες εάν υπάρχει ένας κατάλληλος χρωματισμός του G που χρησιμοποιεί k χρώματα. Σημείωση k-coloring είναι μια συνάρτηση f : V {1, 2,, k} τέτοια ώστε για κάθε ακμή (x, y) του G ισχύει f(x) f(y). Εάν υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση f για ένα δεδομένο γράφημα G, τότε το G είναι k-χρωματίσιμο (k-colorable). 30
31 Το Πρόβλημα k-coloring Ερώτημα? Πώς μπορούμε να ελέγξουμε εάν ένα γράφημα G είναι 2-χρωματίσιμο? Απλώς, έλεγξε εάν το G είναι διμερές (bipartite)! Δυστυχώς, για k 3 το πρόβλημα είναι NP-πλήρες 31
32 Το Πρόβλημα k-coloring Χειρισμός NP-πληρότητας Ένας τρόπος να χειριστούμε την NP-πληρότητα είναι να περιορίσουμε το πρόβλημα σε υποσύνολα της εισόδου. Θα δείξουμε ότι το k-coloring πρόβλημα σε τυχαία γραφήματα είναι NP-πλήρες ακόμα και για k = 3! 32
33 Το Πρόβλημα 3-Coloring 3-Coloring Δεδομένου ενός γραφήματος G = (V, E), βρες εάν υπάρχει ένας κατάλληλος χρωματισμός του G που χρησιμοποιεί 3 χρώματα. G 1 - return ΝΑΙ G 2 - return ΟΧΙ Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 33
34 Το Πρόβλημα 3-Coloring και το 3SA Επιλογή ΝP-πλήρους Πρέπει να επιλέξω ένα πρόβλημα από την «δεξαμενή» των NP-πλήρων προβλημάτων για την αναγωγή μου!!! ΝP SA, 3SA, CHam, SP, IS, Clique, P Επιλέγω το 3SA ΝP-πλήρη Αύξουσα Δυσκολία Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 34
35 Το Πρόβλημα 3-Coloring και το 3SA 3SA Δεδομένου ενός λογικού τύπου (oolean formula) σε συζευκτική μορφή με το πολύ 3 μεταβλητές σε κάθε όρο του: βρες μια ικανοποιούσα ανάθεση τιμών αληθείας ή ανάφερε ότι δεν υπάρχει καμία!!! Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 35
36 Το Πρόβλημα 3-Coloring και το 3SA Θα δείξουμε: 3-Coloring NP 3-Coloring NP-hard: 3SA p 3-Coloring Θεώρημα: Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 36
37 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring 3-Coloring NP Πιστοποιητικό: το G με κάθε κόμβο του χρωματισμένο με ένα χρώμα από το σύνολο {1, 2, 3} Πιστοποιητής: έλεγξε εάν για κάθε ακμή (x, y) του G, οι κόμβοι x και y έχουν διαφορετικό χρώμα O έλεγχος του πιστοποιητή απαιτεί O(n 2 ) χρόνο. 37
38 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring 3-Coloring NP-hard: 3SA p 3-Coloring Αναγωγή: Δεδομένου ενός στιγμιότυπου φ του 3SA, θα κατασκευάσουμε σε πολυωνυμικό χρόνο ένα στιγμιότυπο του 3-Coloring (δηλ. ένα γράφημα G) Ορθότητα Αναγωγής: το γράφημα G είναι 3-χρωματίσημο εάν-ν ο λογικός τύπος φ είναι ικανοποιήσιμος. 38
39 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring Ξεκινάμε από το πρόβλημα 3SA!!! Έστω φ ένα στιγμιότυπο (oolean formula) του 3SA με k όρους C1, C2,, Ck (clauses) και n μεταβλητές x1, x2,, xn (variables). Κατασκευάζουμε σε πολυωνυμικό χρόνο ένα στιγμιότυπο G του προβλήματος 3-Coloring τέτοιο ώστε: εάν φ 3SA, τότε G 3-Coloring εάν G 3-Coloring, τότε φ 3SA 39
40 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Για κάθε μεταβλητή x i (x 1, x 2,, x n ) του φ, δημιούργησε 2 κόμβους στο G, ένα για την μεταβλητή x i και ένα για την x i, και ένωσέ τους με ακμή: x i x i Δημιούργησε 3 ειδικούς κόμβους, και και ένωσέ τους μεταξύ του: Τ 40
41 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Ένωσε κάθε κόμβο-μεταβλητή με τον κόμβο Β: x 1 x 1 x 2 x 2 x n x n Τ 41
42 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Ιδιότητες Κάθε κόμβος x i και x i παίρνουν διαφορετικό χρώμα Κάθε κόμβος x i και x i παίρνει διαφορετικό χρώμα από τον κόμβο Β Οι κόμβοι Β, και παίρνουν διαφορετικό χρώμα 42
43 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Ιδιότητες Άρα, κάθε 3-χρωματισμός αυτού του γραφήματος ορίζει μια σωστή (valid) ανάθεση τιμών αληθείας του φ Πώς; Θέσε xi := Τrue εάν-ν ο κόμβος xi έχει χρωματιστεί όπως ο κόμβος (δηλ. xi και έχουν πάρει το ίδιο χρώμα) 43
44 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Παράδειγμα: φ = (x1 x2 x3) ( x2 x3 x1) x1 x1 x2 x2 x3 x3 Τ 44
45 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Παράδειγμα: φ = (x1 x2 x3) ( x2 x3 x1) x1 x1 xi := Τrue εάν-ν ο κόμβος xi έχει το ίδιο χρώμα με τον x2 x2 x3 x3 Τ 45
46 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Παράδειγμα: φ = (x1 x2 x3) ( x2 x3 x1) x1 xi := Τrue εάν-ν ο κόμβος xi έχει το ίδιο χρώμα με τον x2 Τ x3 x1 = alse x2 = alse x3 = rue 46
47 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Παράδειγμα: φ = (x1 x2 x3) ( x2 x3 x1)?????? Αυτή ανάθεση τιμών αληθείας του φ είναι σωστή (valid)!!! Ερώτηση!...είναι ικανοποιούσα? x1 = alse x2 = alse x3 = rue 47
48 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Παράδειγμα: φ = (x1 x2 x3) ( x2 x3 x1)?????? alse Ερώτηση!...είναι ικανοποιούσα? x1 = alse x2 = alse x3 = rue 48
49 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Παράδειγμα: φ = (x1 x2 x3) ( x2 x3 x1)?????? φ = alse Ερώτηση!...είναι ικανοποιούσα? x1 = alse x2 = alse x3 = rue 49
50 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Παράδειγμα: φ = (x1 x2 x3) ( x2 x3 x1) Όμως, υπάρχει ικανοποιούσα aνάθεση τιμών αληθείας του λογικού τύπου φ Ερώτηση!...είναι ικανοποιούσα??????? x1 = rue x2 = alse x3 = rue x1 = alse x2 = alse x3 = rue 50
51 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Θα πρέπει η ανάθεση τιμών στις μεταβλητές x1, x2,, xn να εξασφαλίζει την ικανοποίηση κάθε όρου C1, C2,, Ck του φ Πώς; G Για κάθε όρο Ci = (a b c) του φ, δημιούργησε ένα gadget γράφημα που ενώνει τους κόμβους xp, xq και xr του G που αντιστοιχούν στις μεταβλητές a, b και c και υλοποιεί το ΟR! 51
52 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G C i = (a b c) o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a (a b) Εκφράζουμε το OR των μεταβλητών του με τη χρήση 3 χρωμάτων {,, } b (a b c) c Κόμβος εξόδου 52
53 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G C i = (a b c) o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a (a b) Εκφράζουμε το OR των μεταβλητών του με τη χρήση 3 χρωμάτων {,, } b (a b c) c Κόμβος εξόδου 53
54 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G C i = (a b c) o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b (a b) (a b c) Εκφράζουμε το OR των μεταβλητών του με τη χρήση 3 χρωμάτων {,, } c Κόμβος εξόδου 54
55 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G C i = (a b c) o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b (a b) (a b c) Εκφράζουμε το OR των μεταβλητών του με τη χρήση 3 χρωμάτων {,, } c Κόμβος εξόδου 55
56 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G C i = (a b c) o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a (a b) Εκφράζουμε το OR των μεταβλητών του με τη χρήση 3 χρωμάτων {,, } b (a b c) c Κόμβος εξόδου 56
57 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G C i = (a b c) o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b (a b) (a b c) Εκφράζουμε το OR των μεταβλητών του με τη χρήση 3 χρωμάτων {,, } c Κόμβος εξόδου 57
58 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G C i = (a b c) o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b (a b) (a b c) Εκφράζουμε το OR των μεταβλητών του με τη χρήση 3 χρωμάτων {,, } c Κόμβος εξόδου 58
59 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G o gadget γράφημα ή OR-γράφημα Ιδιότητες 1) Εάν όλες οι μεταβλητές a, b, c πάρουν το χρώμα, τότε η έξοδος του OR-γραφήματος χρωματίζεται με. 59
60 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G o gadget γράφημα ή OR-γράφημα Ιδιότητες 2) Εάν μία τουλάχιστον από τις a, b, c πάρει το χρώμα, τότε ΥΠΑΡΧΕΙ ένας σωστός 3-χρωματισμός του OR-γραφήματος με τον κόμβο εξόδου να έχει χρώμα Τ. 60
61 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b (a b c) Τ c 61
62 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b c Τι θα συμβεί εάν κάθε μεταβλητή από τις (a b c) a, b και c πάρει τιμή alse Τ 62
63 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b (a b c) Τ c 63
64 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b (a b c) Τ c 64
65 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b (a b c) Τ c 65
66 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b c (a b c)? Τ 66
67 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G o gadget γράφημα ή OR-γράφημα a b c Εάν όλες οι a, b και c πάρουν τιμή (a b c) alse Τότε τo ΟR-Γράφημα ΔΕΝ? χρωματίζεται με 3 χρώματα Τ 67
68 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Κατασκευή του G Για κάθε όρο Ci = (xp xq xr) = (a b c) του φ, ένωσε με ακμές τους κόμβους xp, xq, xr του γραφήματος G με τους κόμβους a, b, c, αντίστοιχα, του OR-γραφήματος G OR-γράφημα 68
69 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) Το γράφημα G 69
70 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Ορθότητα Αναγωγής (i) φ ικανοποιήσιμος G είναι 3-χρωματίσιμο Εάν x i = rue, τότε χρωμάτισε τον κόμβο x i του G με χρώμα και τον κόμβο x i με χρώμα. Εάν x i = alse, τότε κάνε το αντίθετο. Σε κάθε όρο C i = (a b c) του φ, τουλάχιστο μία μεταβλητή από τις a, b και c έχει τιμή rue. Επομένως το OR-γράφημα που αντιστοιχεί στον C i μπορεί να χρωματιστεί με 3 χρώματα. Άρα, το γράφημα G χρωματίζεται με 3 χρώματα. 70
71 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες 3SA 3-Coloring - Ορθότητα Αναγωγής (ii) G είναι 3-χρωματίσιμο φ ικανοποιήσιμος Εάν ο κόμβος x i έχει το ίδιο χρώμα με τον κόμβο, τότε x i := rue, άλλως x i := alse (αυτή είναι μια σωστή ανάθεση τιμών). Έστω C i = (a b c) ένας όρος του φ. Τουλάχιστο μία μεταβλητή από τις a, b και c έχει τιμή rue, γιατί εάν όλες είχαν τιμή alse τότε το G δεν θα μπορούσε να χρωματιστεί με 3 χρώματα (όπως δείξαμε πριν). Άρα, φ ικανοποιήσιμος. 71
72 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) Δείχνουμε πως μπορούμε χρησιμοποιώντας το πρόβλημα 3-Coloring να λύσουμε το πρόβλημα 3SA Δείξαμε ότι 3SA 3-Coloring Εάν είχαμε ένα πολυωνυμικό αλγόριθμο για το πρόβλημα 3-Coloring θα μπορούσαμε να λύσουμε το πρόβλημα 3SA σε πολυωνυμικό χρόνο. 72
73 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 73
74 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 74
75 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 75
76 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 76
77 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 77
78 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 78
79 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 79
80 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 80
81 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 Β x 3 81
82 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 Β x 3 82
83 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 Β x 3 83
84 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 Β x 3 84
85 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 85
86 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 2 x 3 86
87 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) x 1 x 2 x 1 = rue x 2 = alse x 3 = alse x 3 87
88 Το Πρόβλημα 3-Coloring είναι NP-πλήρες Παράδειγμα: φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 2 x 3 x 1 ) rue rue Ανάθεση τιμών αληθείας του λογικού τύπου φ x 1 = rue x 2 = alse x 3 = alse φ = rue 88
89 Τέλος Το 3-SA είναι ένα από τα 21 NP-πλήρη προβλήματα του Karp, και χρησιμοποιείται ως πρόβλημα αναφοράς για την απόδειξη της NP-πληρότητας άλλων προβλημάτων. Αυτό γίνεται μέσω πολυωνυμικού-χρόνου αναγωγής από το 3-SA σε άλλα προβλήματα. Ένα παράδειγμα είναι το clique πρόβλημα: Δεδομένου ενός στιγμιότυπου (oolean formula) φ του 3SA με k όρους C 1, C 2,, C k (clauses) και n μεταβλητές x 1, x 2,, x n (variables), το αντίστοιχο γράφημα αποτελείται από ένα κόμβο για κάθε μεταβλητή και μια ακμή μεταξύ δύο μηαντιφατικών μεταβλητών από διαφορετικούς τύπους (βλέπε Σχήμα). Το γράφημα έχει μία k-clique εάν-ν ο λογικός τύπος είναι ικανοποιήσιμος.
90 Τέλος Ευχαριστώ για την Προσοχή σας!!!
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές Βασικές Εννοιές (1) Πρόβλημα του χρωματισμού των κορυφών ετσι ώστε κανένα ζεύγος
Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 10: Χρωματισμός Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Χρωματισμός γραφημάτων
Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Χρωματισμός γραφημάτων
χ(k n ) = n χ(c 5 ) = 3
Διάλεξη 20: 16.12.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 20.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 20.1 Για ένα πλέγμα Γ r r, ισχύει ότι bn(γ r r ) r + 1. Απόδειξη: Κατασκευάζουμε
ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 8.1 Εισαγωγή 8.2 Χρωματισμός Κόμβων 8.3 Χρωματισμός Ακμών 8.4 Χρωματισμός Επιπέδων Γραφημάτων και Χαρτών 8.5 Χρωματικά Πολυώνυμα 8.6 Σειριακός και άλλοι Αλγόριθμοι Χρωματισμού
Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο
Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Χρωματισμός γραφημάτων
Χρωματισμός γραφημάτων Εφαρμογές χρωματισμού γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Αν η διαδικασία
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε
Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Υποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι
u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα
Chapter 9: NP-Complete Problems
Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα ΔΕΝΔΡΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ένα γράφημα G είναι δένδρο αν: 1. Είναι συνδεδεμένο και δεν έχει κύκλους.
Φροντιστήριο 11 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα
Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026
Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙIΙ) Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Οάπληστος(Greedy) αλγόριθμος ελέγχου αποδοχής κλήσεων Ο αλγόριθμος ταξινόμησης
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 5 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Συνεκτικότητα Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας»...
Κατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..
Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Edge-coloring σε διμερή πολυγραφήματα
Edge-coloring σε διμερή πολυγραφήματα σε Ο(ED) χρόνο από Alexander Schrijver σε Ο(ElogD) χρόνο από Richard Cole Kristin Ost Stefan Schirra Μαρίνου Μαργαρίτα Μ.Π.Λ.Α Βασικοί Ορισμοί: Edge-coloring σε ένα
d(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΛΑΣΕΩΝ ΤΕΛΕΙΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τμήματος
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)
NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση
Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1
Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα
Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον
4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους
Ασκηση 1 [ ] Παράδοση : Τετάρτη , 13:00
![Ασκηση 1 [ ] Παράδοση : Τετάρτη , 13:00](/thumbs/52/30327863.jpg "Ασκηση 1 [ ] Παράδοση : Τετάρτη , 13:00")
Χρήστος. Ζαρολιάγκης Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων : Άσκηση 1 1 Ασκηση 1 [16.03.2016] Παράδοση : Τετάρτη 13.04.2016, 13:00 Η παρούσα άσκηση αφορά στον έλεγχο διµερότητας ενός γραφήµατος. Σκοπός της
NP-complete problems. IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH. NP-complete problems 1 / 30
NP-complete problems IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH Καλογερόπουλος Παναγιώτης (ΜΠΛΑ) NP-complete problems 1 / 30 Independent Set is NP-complete Ορισμός. Εστω
για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί οι παίκτες να συμμετείχαν σε: 6,5,4,4,4,3,1,1 αγώνες αντίστοιχα;
Ασκήσεις υποδειγματικές για το θεωρητικό μέρος του μαθήματος Α1. Εξετάστε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις. Εξηγείστε την απάντησή σας. 1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί
βασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα
ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
z 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές και Πληρότητα Προσαρμογή από
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος ΙΙ)
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙΙ) Ανάθεση συχνοτήτων Ο αλγόριθμος σταθερών αναθέσεων FA (Fixed Allocation) Ο άπληστος (Greedy) αλγόριθμος
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
e 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
![e 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3](/thumbs/103/157549616.jpg "e 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3")
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
E(G) 2(k 1) = 2k 3.
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Βασικές Έννοιες Ορισμός: σύνολο κόμβων (κορυφών) και ακμών
Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
OPTICAL WAVELENGTH ROUTING ON DIRECTED FIBER TREES
OPTICAL WAVELENGTH ROUTING ON DIRECTED FIBER TREES Thomas Erlebach, Klaus Jansen, Christos Kaklamanis, Milena Michail, Pino Persiano by Rafios Xenofon Το Πρόβλημα «Wavelength Routing Problem on directed
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.