Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό"

Transcript

1 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

2 Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα ως Ακέραιο Γραμμικό Πρόγραμμα (IP). Set Cover IP: «Χαλαρώνουμε» το IP σε Γραμμικό Πρόγραμμα (LP). Set Cover LP: Integrality gap: Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 2

3 Γενική Προσέγγιση Χρησιμοποιούμε τη βέλτιστη λύση του LP ή/και ιδιότητες της για να κατασκευάσουμε (σε πολυωνυμικό χρόνο) εφικτή λύση για το IP και να αναλύσουμε το λόγο προσέγγισης. «Στρογγυλοποίηση» βέλτιστης λύσης LP: (deterministic και) randomized rounding. υϊκότητα και χρέωση κόστους σε dual variables: dual fitting. υϊκότητα και complementary slackness: primal-dual. Ανάλυση (προβλήματα ελαχιστοποίησης): Άνω φράγμα στο κόστος εφικτής λύσης. Κάτω φράγμα στο κόστος βέλτιστης λύσης: βέλτιστη λύση LP ή εφικτή λύση για το δυϊκό. Λόγος προσέγγισης integrality gap. Μέθοδος δίνει (συχνά καλύτερο) άνω φράγμα στο λόγο προσέγγισης για κάθε συγκεκριμένο instance. Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 3

4 Set Cover: Στρογγυλοποίηση Έστω x βέλτιστη λύση LP με κόστος OPT Επιλέγουμε κάθε σύνολο j με x j 1/f Ηλύσημαςείναιεφικτή: στοιχείο i, αντίστοιχος περιορισμός έχει #μετ/τών f Αφού άθροισμα 1, τουλάχιστον μία μετ/τή έχει τιμή 1/f Κάτω φράγμα: Κόστος βέλτιστης (ακέραιης) λύσης OPT Άνω φράγμα: Στρογγυλοποίηση αυξάνει τιμές μετ/των κατά παράγοντα f Κόστος εφικτής λύσης f OPT Λόγος προσέγγισης f Λόγος προσέγγισης 2 για vertex cover. Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 4

5 Set Cover: Randomized Rounding Έστω x βέλτιστη λύση LP με κόστος OPT Επιλέγουμε κάθε σύνολο j ανεξάρτητα, με πιθανότητα x j Επαναλαμβάνουμε cln(n) φορές, σταθερά c 2 Ηλύσημαςείναιεφικτή (με μεγάλη πιθανότητα): στοιχείο i, πιθανότητα να μην καλυφθεί το i 1/n c Πιθανότητα να υπάρχει στοιχείο ακάλυπτο 1/n c 1 Κάτω φράγμα: Κόστος βέλτιστης (ακέραιης) λύσης OPT Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 5

6 Set Cover: Randomized Rounding Έστω x βέλτιστη λύση LP με κόστος OPT Επιλέγουμε κάθε σύνολο j ανεξάρτητα, με πιθανότητα x j Επαναλαμβάνουμε cln(n) φορές, σταθερά c 2 Άνω φράγμα (στο αναμενόμενο κόστος μιας εφικτής λύσης): Αναμενόμενο κόστος «λύσης» (μπορεί μη εφικτή) c ln(n) OPT Αναμενόμενο κόστος εφικτής λύσης c ln(n) OPT / Pr[λύση εφικτή] Λόγος προσέγγισης 2c ln(n) Μετατροπή του αλγόριθμου σε ντετερμινιστικό (derandomization) με την μέθοδο των conditional probabilities. Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 6

7 Βασική Ιδέα (ελαχιστοποίηση) Ξεκινάμε από κάτω φράγμα στο κόστος βέλτιστης λύσης. Γενικά, κάτω φράγμα εκφράζεται σαν συνάρτηση κάποιων παραμέτρων του στιγμιότυπου εισόδου. LP-based αλγόριθμοι: κάτω φράγμα προκύπτει από βέλτιστη λύση στο LP relaxation ή εφικτή λύση στο δυϊκό. (Πολυωνυμικός) αλγόριθμος: εφικτή λύση με κόστος μιας συνάρτησης των παραμέτρων στο κάτω φράγμα. Για LP-based αλγόριθμους: Στρογγυλοποίηση βέλτιστης (κλασματικής) λύσης LP relaxation σε ακέραια λύση. «Μετάφραση» (μέσω complementary slackness) μιας εφικτής λύσης στο δυϊκό σε εφικτή ακέραια λύση για το πρωτεύον. Σύγκριση κάτω και άνω φράγματος δίνει (άνω φράγμα στο) λόγο προσέγγισης. Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 7

8 MAX-SAT και MAX-k-SAT ΜΑΧ-k-SAT: Λογικές μεταβλητές p 1,, p n Όροι C 1,, C m με βάρη w 1,, w m Κάθε όρος είναι μια διάζευξη k μετ/τών ή αρνήσεών τους. Στόχος: αποτίμηση μεταβλητών που ικανοποιεί όρους με μέγιστο συνολικό βάρος. MAX-SAT (χωρίς περιορισμό στο #literals κάθε όρου): Κάθε όρος είναι μια διάζευξη μιας ή περισσότερων μετ/τών ή αρνήσεών τους. MAX-SAT και MAX-k-SAT, k 2, είναι NP-complete προβλήματα. MAX-3-SAT έχει λόγο προσέγγισης 7/8 (εκτός αν P = NP)! MAX-k-SAT έχει λόγο προσέγγισης 1 2 k MAX-SAT έχει λόγο προσέγγισης 3/4 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 8

9 MAX-SAT και MAX-k-SAT: (Απλοϊκό) Randomized Rounding μεταβλητή p i τίθεται στο 1 ανεξάρτητα, με πιθανότητα 1/2 (Κάθε) λύση είναι εφικτή. Άνω φράγμα για βέλτιστη λύση: συνολικό βάρος W των όρων. Κάτω φράγμα στο βάρος της λύσης μας: Έστω α, 0 < α < 1, τ.ω. όρο C j, Pr[C j satisfied] α Λόγω γραμμικότητας μέσης τιμής, συνολικό βάρος λύσης α W MAX-k-SAT: όρο C j, Pr[C j satisfied] = 1 2 k Λόγος προσέγγισης 1 2 k MAX-SAT: όρο C j, Pr[C j satisfied] 1/2, αφού C j 1 Λόγος προσέγγισης 1/2 Derandomization με μέθοδο conditional probabilities. Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 9

10 MAX-SAT: Randomized Rounding Χρειαζόμαστε καλύτερο άνω φράγμα στη βέλτιστη λύση! ιατύπωση ως IP και «χαλάρωση» σε LP. Έστω (x, z) βέλτιστη λύση LP με βάρος μεταβλητή p i τίθεται στο 1 ανεξάρτητα, με πιθανότητα x i Άνω φράγμα για βέλτιστη λύση: OPT Κάτω φράγμα στο βάρος της λύσης μας: Έστω α, 0 < α < 1, τ.ω. όρο C j, C j = k j, Pr[C j satisfied] α z j Λόγω γραμμικότητας μέσης τιμής, συνολικό βάρος λύσης α OPT Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 10

11 MAX-SAT: Randomized Rounding μεταβλητή p i τίθεται στο 1 ανεξάρτητα, με πιθανότητα x i Έστω α, 0 < α < 1, τ.ω. όρο C j, C j = k j, Pr[C j satisfied] α z j Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 11

12 MAX-SAT: Randomized Rounding μεταβλητή p i τίθεται στο 1 ανεξάρτητα, με πιθανότητα x i Έστω α, 0 < α < 1, τ.ω. όρο C j, C j = k j, Pr[C j satisfied] α z j Πιο προσεκτική ανάλυση: Κάτω φράγμα στο βάρος της λύσης μας: (1 1/e) OPT Λόγος προσέγγισης 1 1/e Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 12

13 MAX-SAT: Συνδυασμένο Randomized Rounding «Απλοϊκό» rand. rounding: LP-based rand. rounding: Συμπληρωματική συμπεριφορά: «απλοϊκό» καλύτερο για μεγάλους όρους, LP-based καλύτερο για μικρούς όρους! Επιστρέφουμε την καλύτερη από τις λύσεις των δύο αλγόριθμων. Έστω W 1 και W 2 αναμενόμενο βάρος από «απλοϊκό» και LP-based. Αναμενόμενο βάρος λύσης: Ε[max(W 1, W 2 )] E[(W 1 +W 2 )/2] Κάθε όρος C j συνεισφέρει στο E[(W 1 +W 2 )/2] βάρος τουλάχιστον: Από γραμμικότητα μέσης τιμής, αναμενόμενο βάρος λύσης 3OPT/4 Λόγος προσέγγισης 3/4 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 13

14 MAX-SAT: Συνδυασμένο Randomized Rounding Γραφική απόδειξη ότι Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 14

15 MAX-CUT Μη κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E, w) με m ακμές, κάθε ακμή {u, v} έχει βάρος w uv 0. Τομή: διαμέριση κορυφών (S, V \ S) με S V. Σύνολο ακμών που αφαίρεσή τους δημιουργεί τουλ. 2 συνεκτικές συνιστώσες. Βάρος τομής Πρόβλημα: υπολογισμός μιας τομής μέγιστου βάρους. NP-complete, αλγόριθμος με λόγο προσέγγισης [Goemans, Williamson, 94], randomized rounding σε SDP. NP-complete η προσέγγισή του με λόγο > 16/17! Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013)

16 MAX-CUT Άνω φράγμα στη βέλτιστη λύση: συνολικό βάρος ακμών W. (Απλός) αλγόριθμος: κάθε κορυφή u εντάσσεται στο S ανεξάρτητα με πιθανότητα 1/2 (διαφορετικά στο V \ S). Χ βάρος ακμών στην τομή (S, V \ S) (τυχαία μεταβλητή). Ακμή {u, v} «διασχίζει» τομή (S, V \ S) με πιθανότητα 1/2. Αναμενόμενο βάρος ακμών στην τομή (S, V \ S): Ε[Χ] = W/2 (γραμμικότητα μέσης τιμής). Λόγος προσέγγισης 1/2. Μετατροπή σε ντετερμινιστικό με conditional probabilities. Ποιος είναι ο αντίστοιχος ντετερμινιστικός αλγόριθμος; Γενίκευση για MAX-k-CUT, λόγος προσέγγισης 1 1/k. Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι (Άνοιξη 2013) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 16

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Approximation Algorithms for the k-median problem

Approximation Algorithms for the k-median problem Approximation Algorithms for the k-median problem Ζακυνθινού Λυδία Παυλάκος Γεώργιος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεωρία Υπολογισμού 2011-2012 Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Δυϊκότητα. Δημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Δυϊκότητα. Δημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δυϊκότητα Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιστοποίηση Άνω Φράγματος Έχει το ΓΠ εφικτή λύση με κόστος 2; Ναι, π.χ. [0, 1, 3, 0, 2, 0,

Διαβάστε περισσότερα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι

Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΣΤΟΥΚΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΛΑΜΠΡΟΥ. μπλ 2014

ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΣΤΟΥΚΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΛΑΜΠΡΟΥ. μπλ 2014 ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΣΤΟΥΚΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΛΑΜΠΡΟΥ μπλ 2014 Έχουμε G = (V,E) μη κατευθυνόμενο γράφο με μη αρνητικές χωρητικότητες c e για κάθε e E. {(s 1, t 1 ),..., (s k, t k )} διακριτά διατεταγμένη ζεύγη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ

ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

NP-complete problems. IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH. NP-complete problems 1 / 30

NP-complete problems. IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH. NP-complete problems 1 / 30 NP-complete problems IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH Καλογερόπουλος Παναγιώτης (ΜΠΛΑ) NP-complete problems 1 / 30 Independent Set is NP-complete Ορισμός. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

Multicut and Integer Multicomodity Flow in Trees (chap. 18) Αγγελής Γιώργος

Multicut and Integer Multicomodity Flow in Trees (chap. 18) Αγγελής Γιώργος Multicut and Integer Multicomodity Flow in Trees (chap. 18) Αγγελής Γιώργος Εισαγωγή Εύρεση αλγορίθμου με approx ratio 2 και ½ για τα προβλήματα minimum multicut και integer multicommodity flow αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

Scheduling on Unrelated Parallel Machines

Scheduling on Unrelated Parallel Machines Scheduling on Unrelated Parallel Machines Problem Formulation Given a set J of jobs, a set M of machines, and for each j J and i M, pij Z+, is the time taken to process job j on machine i, the problem

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση Ευριστικών Αλγορίθµων

Αξιολόγηση Ευριστικών Αλγορίθµων Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές ϕορές η εύρεση της ϐέλτιστων λύσεων προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού είναι µια χρονοβόρα διαδικασία (εκθετική πολυπλοκότητα) Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (ΕΜΠ - ΑΛΜΑ) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι.

Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (ΕΜΠ - ΑΛΜΑ) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (ΕΜΠ - ΑΛΜΑ) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άνοιξη 2018 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Αφορούν κυρίως σε προβλήματα βελτιστοποίησης:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1, Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι

Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή,

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Δυϊκή Θεωρία Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Κεφάλαιο 12 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 12.1 Προβλήματα Βελτιστοποίησης Σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης σε κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος αντιστοιχούν κάποιες εφικτές (feasible) -δηλαδή επιτρεπτές- λύσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Υπολογιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης και Σχεδιασμού Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1

Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙIΙ) Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Οάπληστος(Greedy) αλγόριθμος ελέγχου αποδοχής κλήσεων Ο αλγόριθμος ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Παραμετρικοί Αλγόριθμοι

Παραμετρικοί Αλγόριθμοι Παραμετρικοί λγόριθμοι Σχεδίαση Παραμετρικών λγορίθμων ισαγωγή Πορτιέρης n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις Μπορούμε να διώξουμε k πελάτες k=3 k=3 k=3 k=3 k=3 k=2 ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COVER) ΚΛΥΜΜ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.

max 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0. Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης. Επανάληψη Εαρινό Εξάμηνο 2019 Σελίδα 1

Ασκήσεις Επανάληψης. Επανάληψη Εαρινό Εξάμηνο 2019 Σελίδα 1 Ασκήσεις Επανάληψης Άσκηση 1 (Τελική Εξέταση 5/015) Να δείξετε ότι η πιο κάτω γλώσσα δεν είναι διαγνώσιμη. { Μ L(M) {ΘΕΩΡΙΑ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ} και L(M) 3} (Για την αναγωγή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη γνωστή

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

Παραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι

Παραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι Παραμετρική Πολυπλοκότητα και Αλγόριθμοι Πληροφορίες Βιβλίο: e-class: MATH278 Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων Παρουσίαση Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων 2 μονάδες Παρουσίαση Βαθμολογία 2 Πακέτα ασκήσεων 2 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων

Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων Θέλουμε να δείξουμε κυκλωματικά κάτω φράγματα για ομοιόμορφες κλάσεις επειδή: Δίνουν μεγάλη πληροφορία για τις κλάσεις αυτές: π.χ. αν EXP P /poly σημαίνει Ότι παρότι

Διαβάστε περισσότερα