Αξιολόγηση Ευριστικών Αλγορίθµων

Transcript

1

2 Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές ϕορές η εύρεση της ϐέλτιστων λύσεων προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού είναι µια χρονοβόρα διαδικασία (εκθετική πολυπλοκότητα)

3 Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές ϕορές η εύρεση της ϐέλτιστων λύσεων προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού είναι µια χρονοβόρα διαδικασία (εκθετική πολυπλοκότητα) Υπάρχουν γρήγορες µέθοδοι επίλυσης (πολυωνυµική πολυπλοκότητα) που δεν µας εγγυούνται πως η λύση ϑα είναι ϐέλτιστη

4 Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές ϕορές η εύρεση της ϐέλτιστων λύσεων προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού είναι µια χρονοβόρα διαδικασία (εκθετική πολυπλοκότητα) Υπάρχουν γρήγορες µέθοδοι επίλυσης (πολυωνυµική πολυπλοκότητα) που δεν µας εγγυούνται πως η λύση ϑα είναι ϐέλτιστη Αξιολογούµε αυτούς τους προσεγγιστικούς αλγορίθµους σύµφωνα µε το πόσο απέχει η λύση που επιστρέφουν από τη ϐέλτιστη

5 Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Θεωρούµε έναν προσεγγιστικό αλγόριθµο A και ένα στιγµιότυπο του προβλήµατος I

6 Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Θεωρούµε έναν προσεγγιστικό αλγόριθµο A και ένα στιγµιότυπο του προβλήµατος I f A (I) : η λύση που επιστρέφει ο A f (I) : η ϐέλτιστη λύση

7 Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Θεωρούµε έναν προσεγγιστικό αλγόριθµο A και ένα στιγµιότυπο του προβλήµατος I f A (I) : η λύση που επιστρέφει ο A f (I) : η ϐέλτιστη λύση απόλυτο λάθος : ɛ α = f (I) f A (I)

8 Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Θεωρούµε έναν προσεγγιστικό αλγόριθµο A και ένα στιγµιότυπο του προβλήµατος I f A (I) : η λύση που επιστρέφει ο A f (I) : η ϐέλτιστη λύση απόλυτο λάθος : ɛ α = f (I) f A (I) σχετικό λάθος : ɛ r = f (I) f A (I) f (I)

9 Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Θεωρούµε έναν προσεγγιστικό αλγόριθµο A και ένα στιγµιότυπο του προβλήµατος I f A (I) : η λύση που επιστρέφει ο A f (I) : η ϐέλτιστη λύση απόλυτο λάθος : ɛ α = f (I) f A (I) σχετικό λάθος : ɛ r = f (I) f A (I) f (I) Προσεγγιστικός λόγος (Approximation ratio ) Ελαχιστοποίηση : ρ = fa(i) f (I) = 1 + er Μεγιστοποίηση : ρ = f (I) f A(I) = 1 1 e r

10 Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Θεωρούµε έναν προσεγγιστικό αλγόριθµο A και ένα στιγµιότυπο του προβλήµατος I f A (I) : η λύση που επιστρέφει ο A f (I) : η ϐέλτιστη λύση απόλυτο λάθος : ɛ α = f (I) f A (I) σχετικό λάθος : ɛ r = f (I) f A (I) f (I) Προσεγγιστικός λόγος (Approximation ratio ) Ελαχιστοποίηση : ρ = fa(i) f (I) = 1 + er Μεγιστοποίηση : ρ = f (I) f A(I) = 1 1 e r ιαφορικός λόγος (Differential ratio ) : ɛ d = fworst(i) fa(i) f worst(i) f (I) = 1 + er

11 Κοµβική επικάλυψη ίνεται γράφος G(V, E) Να ϐρεθεί υποσύνολο V V τέτοιο ώστε [v i, v j ] E είτε v i V ή v j V Επιπλέον ϑέλουµε ο αριθµός των κόµβων V να είναι ελάχιστος

12 V 1 V 2 V 6 V 3 V 5 V 4 V = 6, E = 8

13 V 1 V 2 V 6 V 3 V 5 V 4 V = {v 1, v 2, v 4, v 5, v 6 }, V = 5

14 V 1 V 2 V 6 V 3 V 5 V 4 V = {v 1, v 2, v 4, v 5 }, V = 4 Βέλτιστη λύση

15 Πρώτη ευριστική µέθοδος Input: Γράφος G(V, E) Output: Κάλυψη V V V while E emptyset do Επέλεξε v V µε µέγιστο ϐαθµό V V {v} ιέγραψε όλες τις προσκείµενες στο κόµβο v ακµές από το σύνολο E end while

16 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Θεωρούµε ένα παράδειγµα γράφου που αποτελείται από τρεις οµάδες κόµβων

17 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Θεωρούµε ένα παράδειγµα γράφου που αποτελείται από τρεις οµάδες κόµβων n + 2 κόµβοι τύπου c, n + 2 κόµβοι τύπου b και n κόµβοι τύπου a

18 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Θεωρούµε ένα παράδειγµα γράφου που αποτελείται από τρεις οµάδες κόµβων n + 2 κόµβοι τύπου c, n + 2 κόµβοι τύπου b και n κόµβοι τύπου a Κάθε κόµβος c i είναι συνδεδεµένος µόνο µε τον αντίστοιχο κόµβο b i

19 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Θεωρούµε ένα παράδειγµα γράφου που αποτελείται από τρεις οµάδες κόµβων n + 2 κόµβοι τύπου c, n + 2 κόµβοι τύπου b και n κόµβοι τύπου a Κάθε κόµβος c i είναι συνδεδεµένος µόνο µε τον αντίστοιχο κόµβο b i Κάθε κόµβος b i είναι συνδεδεµένος µε όλους τους κόµβους που ανήκουν στην οµάδα a

20 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Θεωρούµε ένα παράδειγµα γράφου που αποτελείται από τρεις οµάδες κόµβων n + 2 κόµβοι τύπου c, n + 2 κόµβοι τύπου b και n κόµβοι τύπου a Κάθε κόµβος c i είναι συνδεδεµένος µόνο µε τον αντίστοιχο κόµβο b i Κάθε κόµβος b i είναι συνδεδεµένος µε όλους τους κόµβους που ανήκουν στην οµάδα a Ο ευριστικός αλγόριθµος δεν επιστρέφει τη ϐέλτιστη λύση!

21 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 1 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 a 1 a 2 a 3

22 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 1 Θέτουµε n = 3

23 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 1 Θέτουµε n = 3 d(a i ) = 5, i = 1, 2,..., n d(b i ) = 4, i = 1, 2,..., n d(c i ) = 2, i = 1, 2,..., n

24 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 1 Θέτουµε n = 3 d(a i ) = 5, i = 1, 2,..., n d(b i ) = 4, i = 1, 2,..., n d(c i ) = 2, i = 1, 2,..., n Βέλτιστη λύση : V = 5 (n + 2)

25 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 1 Θέτουµε n = 3 d(a i ) = 5, i = 1, 2,..., n d(b i ) = 4, i = 1, 2,..., n d(c i ) = 2, i = 1, 2,..., n Βέλτιστη λύση : V = 5 (n + 2) Ευριστικός 1 : V = 8 (n + n + 2)

26 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 1 Θέτουµε n = 3 d(a i ) = 5, i = 1, 2,..., n d(b i ) = 4, i = 1, 2,..., n d(c i ) = 2, i = 1, 2,..., n Βέλτιστη λύση : V = 5 (n + 2) Ευριστικός 1 : V = 8 (n + n + 2) Προσεγγιστικός λόγος ρ 1 = H1 Opt = 2n+2 n+2 2 Λάθος ɛ r = 100%

27 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 1 Θέτουµε n = 3 d(a i ) = 5, i = 1, 2,..., n d(b i ) = 4, i = 1, 2,..., n d(c i ) = 2, i = 1, 2,..., n Βέλτιστη λύση : V = 5 (n + 2) Ευριστικός 1 : V = 8 (n + n + 2) Προσεγγιστικός λόγος ρ 1 = H1 Opt = 2n+2 n+2 2 Λάθος ɛ r = 100% Το λάθος όµως µπορεί να είναι µεγαλύτερο!

28 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 1 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 a 1 a 2 a 3 Λύση που επιστρέφει η πρώτη ευριστική µέθοδος

29 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 1 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 a 1 a 2 a 3 Βέλτιστη λύση

30 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Επεκτείνουµε το προηγούµενο παράδειγµα

31 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Επεκτείνουµε το προηγούµενο παράδειγµα Αντί για n + 2 κόµβους a προσθέτουµε έναν κόµβο για κάθε σύνολο σε κάθε διαµέριση

32 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Επεκτείνουµε το προηγούµενο παράδειγµα Αντί για n + 2 κόµβους a προσθέτουµε έναν κόµβο για κάθε σύνολο σε κάθε διαµέριση Για n = 4 έχουµε : 3 Ϲευγάρια 2 τριάδες 1 τετράδα 1 πεντάδα

33 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Επεκτείνουµε το προηγούµενο παράδειγµα Αντί για n + 2 κόµβους a προσθέτουµε έναν κόµβο για κάθε σύνολο σε κάθε διαµέριση Για n = 4 έχουµε : 3 Ϲευγάρια 2 τριάδες 1 τετράδα 1 πεντάδα Βέλτιστη λύση : V = 6 (n + 2) Ευριστικός 1 : V 1 = 10 (n + n + 2)

34 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7

35 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Ο τελευταίος κόµβος a έχει πάντοτε το µεγαλύτερο ϐαθµό. Ο αλγόριθµος ϑα επιλέγει πάντοτε όλους τους κόµβους των οµάδων a και c. Βέλτιστη όµως είναι η επιλογή όλων των κόµβων της οµάδας b.

36 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Ο τελευταίος κόµβος a έχει πάντοτε το µεγαλύτερο ϐαθµό. Ο αλγόριθµος ϑα επιλέγει πάντοτε όλους τους κόµβους των οµάδων a και c. Βέλτιστη όµως είναι η επιλογή όλων των κόµβων της οµάδας b. Λύση ευριστικού 1 : {κόµβοι-a} + n = L(n) + n n L(n) = n j j=2

37 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Ο τελευταίος κόµβος a έχει πάντοτε το µεγαλύτερο ϐαθµό. Ο αλγόριθµος ϑα επιλέγει πάντοτε όλους τους κόµβους των οµάδων a και c. Βέλτιστη όµως είναι η επιλογή όλων των κόµβων της οµάδας b. Λύση ευριστικού 1 : {κόµβοι-a} + n = L(n) + n n L(n) = n j j=2 Βέλτιστη λύση : {κόµβοι-b} = n

38 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Ο τελευταίος κόµβος a έχει πάντοτε το µεγαλύτερο ϐαθµό. Ο αλγόριθµος ϑα επιλέγει πάντοτε όλους τους κόµβους των οµάδων a και c. Βέλτιστη όµως είναι η επιλογή όλων των κόµβων της οµάδας b. Λύση ευριστικού 1 : {κόµβοι-a} + n = L(n) + n n L(n) = n j j=2 Βέλτιστη λύση : {κόµβοι-b} = n Προσεγγιστικός λόγος : ρ = n+l(n) n

39 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Ο τελευταίος κόµβος a έχει πάντοτε το µεγαλύτερο ϐαθµό. Ο αλγόριθµος ϑα επιλέγει πάντοτε όλους τους κόµβους των οµάδων a και c. Βέλτιστη όµως είναι η επιλογή όλων των κόµβων της οµάδας b. Λύση ευριστικού 1 : {κόµβοι-a} + n = L(n) + n n L(n) = n j j=2 Βέλτιστη λύση : {κόµβοι-b} = n Προσεγγιστικός λόγος : ρ = n+l(n) n Σχετικό σφάλµα ɛ r = L(n) n

40 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 Ο τελευταίος κόµβος a έχει πάντοτε το µεγαλύτερο ϐαθµό. Ο αλγόριθµος ϑα επιλέγει πάντοτε όλους τους κόµβους των οµάδων a και c. Βέλτιστη όµως είναι η επιλογή όλων των κόµβων της οµάδας b. Λύση ευριστικού 1 : {κόµβοι-a} + n = L(n) + n n L(n) = n j j=2 Βέλτιστη λύση : {κόµβοι-b} = n Προσεγγιστικός λόγος : ρ = n+l(n) n Σχετικό σφάλµα ɛ r = L(n) n Αύξηση λογαριθµική (log n) ν (%) L(n) n

41 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 Λύση ευριστικού αλγορίθµου

42 Πρώτη ευριστική µέθοδος - Παράδειγµα 2 c 1 c 2 c 3 c 4 c 56 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 Βέλτιστη λύση

43 εύτερη ευριστική µέθοδος Input: Γράφος G(V, E) Output: Κάλυψη V V V while E emptyset do ιάλεξε µια ακµή (v, u) E τυχαία V V {v, u} ιέγραψε τους κόµβους v και u από τον γράφο G end while

44 εύτερη ευριστική µέθοδος V 2 V 3 V 4 V 1 V 5 V 6 V 7 V =

45 εύτερη ευριστική µέθοδος V 2 V 3 V 4 V 1 V 5 V 6 V 7 V = {v 1, v 2 }

46 εύτερη ευριστική µέθοδος V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V = {v 1, v 2 }

47 εύτερη ευριστική µέθοδος V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V = {V 1, V 2, V 3, V 6 }

48 εύτερη ευριστική µέθοδος V 4 V = {V 1, V 2, V 3, V 6 } V 5 V 7

49 εύτερη ευριστική µέθοδος V 4 V 5 V 7 V = {V 1, V 2, V 3, V 6, V 4, V 7 }

50 εύτερη ευριστική µέθοδος Κάθε επικάλυψη έχει τουλάχιστον ένα κόµβο από κάθε πλευρά µιας οποιασδήποτε ακµής

51 εύτερη ευριστική µέθοδος Κάθε επικάλυψη έχει τουλάχιστον ένα κόµβο από κάθε πλευρά µιας οποιασδήποτε ακµής Η ευριστική 2 επιστρέφει µια λύση το πολύ δύο ϕορές µεγαλύτερη

52 εύτερη ευριστική µέθοδος Κάθε επικάλυψη έχει τουλάχιστον ένα κόµβο από κάθε πλευρά µιας οποιασδήποτε ακµής Η ευριστική 2 επιστρέφει µια λύση το πολύ δύο ϕορές µεγαλύτερη Εστω V 2 η κοµβική κάλυψη που επιστρέφει η ευριστική 2

53 εύτερη ευριστική µέθοδος Κάθε επικάλυψη έχει τουλάχιστον ένα κόµβο από κάθε πλευρά µιας οποιασδήποτε ακµής Η ευριστική 2 επιστρέφει µια λύση το πολύ δύο ϕορές µεγαλύτερη Εστω V 2 η κοµβική κάλυψη που επιστρέφει η ευριστική 2 Εστω V η ελάχιστη κοµβική επικάλυψη : V 1 2 V 2

54 εύτερη ευριστική µέθοδος Κάθε επικάλυψη έχει τουλάχιστον ένα κόµβο από κάθε πλευρά µιας οποιασδήποτε ακµής Η ευριστική 2 επιστρέφει µια λύση το πολύ δύο ϕορές µεγαλύτερη Εστω V 2 η κοµβική κάλυψη που επιστρέφει η ευριστική 2 Εστω V η ελάχιστη κοµβική επικάλυψη : V 1 2 V 2 Προσεγγιστικός λόγος : ρ = V2 V = 2

55 εύτερη ευριστική µέθοδος Κάθε επικάλυψη έχει τουλάχιστον ένα κόµβο από κάθε πλευρά µιας οποιασδήποτε ακµής Η ευριστική 2 επιστρέφει µια λύση το πολύ δύο ϕορές µεγαλύτερη Εστω V 2 η κοµβική κάλυψη που επιστρέφει η ευριστική 2 Εστω V η ελάχιστη κοµβική επικάλυψη : V 1 2 V 2 Προσεγγιστικός λόγος : ρ = V2 V = 2 Υπάρχει κακό στιγµιότυπο ώστε να επιτευχθεί λύση δύο ϕορές µεγαλύτερη;