Παραμετρικοί Αλγόριθμοι

Transcript

1 Παραμετρικοί λγόριθμοι Σχεδίαση Παραμετρικών λγορίθμων ισαγωγή Πορτιέρης

2 n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις Μπορούμε να διώξουμε k πελάτες k=3 k=3

3 k=3 k=3 k=3

4 k=2 ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COVER) ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COVER) ράφημα G=(V,E) * (n-κορυφές) S V (κάλυμμα κορυφών) S k * Aπλό, μη-διατεταγμένο

5 KK N-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος κθετικός αλγόριθμος Brute force: λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V Brute force: λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V 2 n ια n=1000: ,

6 Brute force: λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V 2 n ια n=1000: , k < n 1 η απόπειρα: (Brute force) λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές 1 η απόπειρα: (Brute force) λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k <latexit sha1_base64="ohftvndmwh+0ilrtfjztltiewg=">aaab8nicdzbns8mwhmztx+d8m3r0ehycp9lo6drbqbce5wbrgwkwbqfpuljumgugz/ciwcvr34ab34b022cij4qehief8g/vyhlvgnh+bcwlldw19zlg+xnre2d3cre/q0smcskjqutshshrrjlpk2pzqsbsoksijfonl4o+s4dkyokfqmnkqktnoq0phhpewu5d/bicexgenqvvb3b9xon/ww6ds2vn557ham7dc+fru3mvaultfqv92agcjyqrjfdsvvcj9vhjqsmmjfpocgusreeoyhpgctrqlsyz3aewmotdgaspdlcw1n6/uaoequmswqme6rh6ndxhh91vuzhxphtnmaacdx/km4y1aiwaocasoi1mxidskrmv4hhscksdaaygfd1u/i/adds33au69xm5f2crgkcginwalzqae1wbvqgdtbiwqn4as9wzj1al9brfhtjwha8ad9kvx0cthmsew==</latexit> ια n=1000 και k=10: ' <latexit sha1_base64="n/v8f7+ufyrqgfrih94tdwshm=">aaacd3icbzblswmxfiuzmt9jbp0eyyiq5jpxceuiijlctyworvk0ts2ndmzk4xqhoj/wi1/xy0lfbdu3flvtb8lbt0q+djnhuseibzcg0k+nbn5hcwl5cxkdnvtfwt3dq+0tjrdcpmcqlqadugeaqvw42awqyahogaata7h+bve1cay+ja9gnohlqt8tzn1fir6r6khihez10pnwcdhznq7jdhfxx0wctatxymxakg6abi3kyep4fbwi5nfg56x75lcmsecldbnw67phynfkqdgccblk/0rbt1qmdqfumaai6ky4wgub967rwwyp7ionh7u8bkq217oebnqyp6erpbgj+l9ut0z5tpdykewmrgz/utgq2eg/bws2ugbnrt0cz4vavmhwposzydro2bg965vmofjnexj1lctdizbykbdticokydoualdojkqiiye0tn6rw/ok/ivdsf49e5z9lgdvoj5/mhwwwbjq==</latexit> <latexit sha1_base64="n/v8f7+ufyrqgfrih94tdwshm=">aaacd3icbzblswmxfiuzmt9jbp0eyyiq5jpxceuiijlctyworvk0ts2ndmzk4xqhoj/wi1/xy0lfbdu3flvtb8lbt0q+djnhuseibzcg0k+nbn5hcwl5cxkdnvtfwt3dq+0tjrdcpmcqlqadugeaqvw42awqyahogaata7h+bve1cay+ja9gnohlqt8tzn1fir6r6khihez10pnwcdhznq7jdhfxx0wctatxymxakg6abi3kyep4fbwi5nfg56x75lcmsecldbnw67phynfkqdgccblk/0rbt1qmdqfumaai6ky4wgub967rwwyp7ionh7u8bkq217oebnqyp6erpbgj+l9ut0z5tpdykewmrgz/utgq2eg/bws2ugbnrt0cz4vavmhwposzydro2bg965vmofjnexj1lctdizbykbdticokydoualdojkqiiye0tn6rw/ok/ivdsf49e5z9lgdvoj5/mhwwwbjq==</latexit> <latexit sha1_base64="n/v8f7+ufyrqgfrih94tdwshm=">aaacd3icbzblswmxfiuzmt9jbp0eyyiq5jpxceuiijlctyworvk0ts2ndmzk4xqhoj/wi1/xy0lfbdu3flvtb8lbt0q+djnhuseibzcg0k+nbn5hcwl5cxkdnvtfwt3dq+0tjrdcpmcqlqadugeaqvw42awqyahogaata7h+bve1cay+ja9gnohlqt8tzn1fir6r6khihez10pnwcdhznq7jdhfxx0wctatxymxakg6abi3kyep4fbwi5nfg56x75lcmsecldbnw67phynfkqdgccblk/0rbt1qmdqfumaai6ky4wgub967rwwyp7ionh7u8bkq217oebnqyp6erpbgj+l9ut0z5tpdykewmrgz/utgq2eg/bws2ugbnrt0cz4vavmhwposzydro2bg965vmofjnexj1lctdizbykbdticokydoualdojkqiiye0tn6rw/ok/ivdsf49e5z9lgdvoj5/mhwwwbjq==</latexit>

7 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Καλοί πελάτες Κακοί πελάτες 0 αντίπαλους k+1 αντίπαλους 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Καλοί πελάτες Κακοί πελάτες k k-1 0 αντίπαλους k+1 αντίπαλους k=3

8 k=3 k=3 k=2

9 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) - ν σταματήσουμε όλες τις διενέξεις πριν το k γίνει 0 έχουμε λύση. 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) - ν σταματήσουμε όλες τις διενέξεις πριν το k γίνει 0 έχουμε λύση. - ν δεν υπάρχουν πλέον κακοί πελάτες : ιώχνοντας έναν πελάτη σταματάμε k διενέξεις ν υπάρχουν >k 2 διενέξεις δεν υπάρχει λύση 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους. k 2

10 <latexit sha1_base64="+gfxpi7vamecadu75e9vuoen8ny=">aaaclhicbvdlsgmxfm34rvvdekmwarxzwyonyvxbisyg2h05zmetugzizjkhhkmod3ufxrhbrxa3fyfpqtxahcm555lc40eckw3bq2thcwl5ztwzll3f2nzazu3s3iorswovkriqnz8o4cyeimaaqy2sqakfq9xvx4z86j1ixur4owcrnalsdvmhuakn1mpdjm6/6xq0j4qc3e89dnc4mujbaozytrd/e46deoofxnylbvenkdjhasuxtwv2ghieofosr1ouw7kxry1ohecoksdk1r070o2esm0ohztrxqoiqvukc3vdqxkaaitja1n8ajq27ghpjtr4r7eseig1cdwttiguqdmvzh4n1edee0kbawijwedjqj+zyczyqdrezbkr5wbbcjtn/xbrhjkhafjw1jtizj8+tils4k9jxxxzp/ghsrgbtown0hbx0gkrocpvrbvh0ij7rel1zt9ar9w59tkil1rtbfqh1ucxwuomva==</latexit> 2 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και κάθε πελάτης έχει k αντιπάλους Οι πελάτες είναι 2k 2 Brute force: 2k 2 k apple ' η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Καλοί πελάτες Κακοί πελάτες Καλούτσικοι πελάτες 0 αντίπαλους k+1 αντίπαλους 1 αντίπαλο 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Καλοί πελάτες Κακοί πελάτες Καλούτσικοι πελάτες k k-1 0 αντίπαλους k+1 αντίπαλους 1 αντίπαλο (φόσον δεν υπάρχουν πια κακοί πελάτες)

11 k=2 k=2 k=2

12 k=1 k=1 k=1

13 <latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> <latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> <latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> <latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> <latexit sha1_base64="drhu8g0tyfj0dacqcrfqknftnzg=">aaaci3icbzblswmxfiuzmt9vv26crbbvcm0qhu3ftcuk1hb6nsssw9tagyyjhmhda+ftf+ftcutlhx4x8xfqjaeibw+m4nyt1+jlg2hhw6c4tlyyurmbxs+sbm1nzuz/dgy1gxqdeppgr4vigidqmnwiakqia+alqfv9ilncfqgkuw2szikav0luqdzmjxqj27izp3xy91pnsa+6nnob7nlie4b/mktttldylzrlhutiy9lt4pbsdi5cmqsg/cqcmjqart3ndrsbyhebomqnznl0smlvbloboqzr1yq0rzn95b09qqbqbbyxjjfb9a0sfdqewjdr7t3zcsgmg9chw7gvdt07zc6xnwtwklixiaygbnsnbtysjxrdha6agtgwhjlf7v8x61ffmbg9zm0j7uzk86zwljwwynvxvnl+ogkjg/bratpcliqjcrpevvrddd2hf/sg3p1n59uzoh+t0qvn2uae+in6xvkdkmq</latexit> k=0 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και 2 # αντιπάλων k για κάθε πελάτη 2 V u V deg(u) =2 E 2 k 2 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και 2 # αντιπάλων k για κάθε πελάτη Οι πελάτες είναι k 2 Brute force: k 2 k apple 100 '

14 <latexit sha1_base64="2akt/bthu0tyh8wcwlo2nqocarc=">aaacexicdzblswmxfiuzvq2vqks3wslozsiuap2d4salgtvcp5zmetugzibtjcouoea/confcencxa07d/4b04egogcch+/cknwtjojrq8ihmzu9mzs3v7cyw1pewv3lr29capkqbhumhvtvkgoqiak4uzanvfao1davdg9gezxn6a0l/gf6sdqj2g75i3oqlgokd/lutdfhlcolbpwdxai6ohmi+qlewqqab5br5evehefwbuxcuu+7x+wj8y/wj5lriqgic4a+fegkvkaqwyyofrxjkyekav4uzaibekghlkurqnnwtjgoguz6ovbnjhkizuswvbcifr+r0ujrfhtayyiajv6ddeffws01rcn6xumknrcz8uotvgaj8baf3oqkmbf9ayht34vsw5vlbnbys6w8lup/t9uiq7vkvns4ej4dtzgatpc22gxeaimjtapokmvxnadekb6nm5dx6df+d1drltbrcrd/kvh0czrmdlq==</latexit> <latexit sha1_base64="2akt/bthu0tyh8wcwlo2nqocarc=">aaacexicdzblswmxfiuzvq2vqks3wslozsiuap2d4salgtvcp5zmetugzibtjcouoea/confcencxa07d/4b04egogcch+/cknwtjojrq8ihmzu9mzs3v7cyw1pewv3lr29capkqbhumhvtvkgoqiak4uzanvfao1davdg9gezxn6a0l/gf6sdqj2g75i3oqlgokd/lutdfhlcolbpwdxai6ohmi+qlewqqab5br5evehefwbuxcuu+7x+wj8y/wj5lriqgic4a+fegkvkaqwyyofrxjkyekav4uzaibekghlkurqnnwtjgoguz6ovbnjhkizuswvbcifr+r0ujrfhtayyiajv6ddeffws01rcn6xumknrcz8uotvgaj8baf3oqkmbf9ayht34vsw5vlbnbys6w8lup/t9uiq7vkvns4ej4dtzgatpc22gxeaimjtapokmvxnadekb6nm5dx6df+d1drltbrcrd/kvh0czrmdlq==</latexit> 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και 2 # αντιπάλων k για κάθε πελάτη Οι πελάτες είναι k 2 k 2 Brute force: k apple 100 ' 10 3 η απόπειρα: (Πυρηνοποίηση) Προεπεξεργασία Θεωρούμε ότι έχουμε k 2 διενέξεις και 2 # αντιπάλων k για κάθε πελάτη Οι πελάτες είναι k 2 Brute force: k 2 k apple 100 ' 10 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης)

15 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) k k-1 Υπάρχει λύση (για k-1) αν διώξουμε τον ; ΝΙ ΟΧΙ 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) k k-1 Υπάρχει λύση (για k-1) αν διώξουμε τον ; ΝΙ ΟΧΙ 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) k=3

16 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs k=3 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs vs vs k=3 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs vs vs k=2

17 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs vs vs vs vs k=2 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs vs vs vs vs k=2 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs vs vs vs vs vs vs k=2

18 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs vs vs k=1 vs vs vs vs Χρόνος: 2 k αναδρομικές κλήσεις 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs vs vs k=1 vs vs vs vs Χρόνος: 2 k αναδρομικές κλήσεις O(n+m) 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs vs vs k=1 vs vs vs vs Χρόνος: 2 k αναδρομικές κλήσεις O(n+nk/2) 2 η απόπειρα

19 4 η απόπειρα: (Φραγμένο δέντρο αναζήτησης) vs vs vs k=1 vs vs vs vs Χρόνος: 2 k n k < = η απόπειρα 1 η απόπειρα O(2 k n k ) O(n k ) 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(2 10 n 10 ) O(n 10 )

20 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O( ) O( ) 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(2 k n k ) O(n k ) 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(f(k) n c ) O(f(k) n g(k) )

21 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(f(k) n c ) O(f(k) n g(k) ) FT 4 η απόπειρα 1 η απόπειρα O(f(k) n c ) O(f(k) n g(k) ) FT X Παράμετρος k : Ένα δευτερεύων μέτρο που αντιπροσωπεύει κάποια πτυχή της εισόδου Σχεδίαση Παραμετρικών λγορίθμων Φραγμένα δέντρα αναζήτησης Πυρηνοποίηση παναλαμβανόμενη συμπίεση Μέθοδοι τυχαιοποίησης Φραγμένο εντροπλάτος και υναμικός Προγραμματισμός Σημαντικοί διαχωριστές

22 Σχεδίαση Παραμετρικών λγορίθμων Φραγμένα δέντρα αναζήτησης Πυρηνοποίηση παναλαμβανόμενη συμπίεση Μέθοδοι τυχαιοποίησης Φραγμένο εντροπλάτος και υναμικός Προγραμματισμός Σημαντικοί διαχωριστές Παραμετρική Πολυπλοκότητα n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις k-μπαρ εν διώχνουμε κανέναν (Χωρίζουμε τους πελάτες στα μπαρ ώστε σε κάθε μπαρ να μην υπάρχουν διενέξεις)

23 n-πελάτες Λίστα με τις πιθανές διενέξεις k-μπαρ εν διώχνουμε κανέναν λγόριθμος χρόνου: O(f(k) n c ) Λίγα μπαρ (k μικρό) ΧΡΩΜΤΙΣΜΟΣ ΚΟΡΥΦΩΝ (VERTEX COLORING) ράφημα G=(V,E) * (n-κορυφές) f:v {1,,k} {u,v} E (f(u) f(v)) * Aπλό, μη-διατεταγμένο k=3

24 k=3 k=3 XK N-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος

25 3-XK N-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος 3-XK N-πλήρες Πολυωνυμικός αλγόριθμος Όχι αλγόριθμος με χρόνο O(f(k) n c ), για k 3 Ούτε με χρόνο O(f(k) n g(k) ), για k 3 Όχι FT αλγόριθμοι για κάθε πρόβλημα N-C ιατί; k ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ

26 Όχι FT αλγόριθμοι για κάθε πρόβλημα N-C ιατί; N-C k ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ... N-C N-C k ΧΡΩΜΤΙΣΜΟΣ ΚΟΡΥΦΩΝ N-Πληρότητα?! ν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του

27 ν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του ν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του Μπορούμε να διαχειριστούμε μέχρι (k-1)-πελάτες (αλλά όχι k) ν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του Μπορούμε να διαχειριστούμε μέχρι (k-1)-πελάτες (αλλά όχι k) Υπάρχει ομάδα k-πελατών όπου όλοι είναι φίλοι με όλους;

28 k-κλικ (k-clique) (Φιλίες) ράφημα G=(V, E ) * (n-κορυφές) S V, {u,v} S ({u,v} E) S k * Aπλό, μη-διατεταγμένο k=3 k=3

29 <latexit sha1_base64="ypmt0cc4dr+/cu942ld2tq5rdv4=">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</latexit> Brute force: λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές Brute force: λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n k <latexit sha1_base64="ohftvndmwh+0ilrtfjztltiewg=">aaab8nicdzbns8mwhmztx+d8m3r0ehycp9lo6drbqbce5wbrgwkwbqfpuljumgugz/ciwcvr34ab34b022cij4qehief8g/vyhlvgnh+bcwlldw19zlg+xnre2d3cre/q0smcskjqutshshrrjlpk2pzqsbsoksijfonl4o+s4dkyokfqmnkqktnoq0phhpewu5d/bicexgenqvvb3b9xon/ww6ds2vn557ham7dc+fru3mvaultfqv92agcjyqrjfdsvvcj9vhjqsmmjfpocgusreeoyhpgctrqlsyz3aewmotdgaspdlcw1n6/uaoequmswqme6rh6ndxhh91vuzhxphtnmaacdx/km4y1aiwaocasoi1mxidskrmv4hhscksdaaygfd1u/i/adds33au69xm5f2crgkcginwalzqae1wbvqgdtbiwqn4as9wzj1al9brfhtjwha8ad9kvx0cthmsew==</latexit> Brute force: λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n n k = O k k 2 O(k 2 ) <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+of26wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacjbnaoc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9yn8aiiircg==</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+of26wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacjbnaoc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9yn8aiiircg==</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+of26wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacjbnaoc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9yn8aiiircg==</latexit> Χρόνος: Ο(n k ) X

30 <latexit sha1_base64="ypmt0cc4dr+/cu942ld2tq5rdv4=">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</latexit> <latexit sha1_base64="ypmt0cc4dr+/cu942ld2tq5rdv4=">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</latexit> Brute force: λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n n k = O k k 2 O(k 2 ) <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+of26wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacjbnaoc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9yn8aiiircg==</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+of26wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacjbnaoc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9yn8aiiircg==</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+of26wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacjbnaoc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9yn8aiiircg==</latexit> Χρόνος: Ο(n k ) FT? Brute force: λέγχουμε όλα τα υποσύνολα του V με k κορυφές n n k = O k k 2 O(k 2 ) <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+of26wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacjbnaoc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9yn8aiiircg==</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+of26wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacjbnaoc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9yn8aiiircg==</latexit> <latexit sha1_base64="bzccnnqursqylsywbytlb0gmc5k=">aaab8nicbzblswmxfiuzmt9vv26crahbspmedrdqrb3vnbsotowtcbthmasibkjlflwv7hxoelwx+of26wgjrgcdhotfk5ksz4azc99tzwl5zxvsvbbq3t7z3dkt7+/dg5zoynyqhdcsihgkumq8cbgtlmpe0eqwz9s/heforacovvinbxskudcvocvgrscgsqj8u+k/1e46pbjbdsfci+dnoixmanrkx0gsaj4ycvqqy9qem0e4jbo4fwxudhldmkl7pmvafivjmqmhk51h+ng6mu6utkccnri/bwxjaswgjexksqbn5rox+v/wzie5d4dczjkwsacjbnaoc4abxzzsiigqvcnbe7ytojmlcwnrvtcd78lxfbr1uvqu7tabl+9trto4ao0rgqia+dotq6rg3ki4oy9ixe0zutoy/ou/mxhv1yzg0eod9yn8aiiircg==</latexit> Χρόνος: Ο(n k ) FT? Σταθερό k Πολυωνυμικός αλγόριθμος N-C. k-κλικ k Κι όμως k-κλικ W[1]-C εν περιμένουμε ότι έχει FT αλγόριθμο

31 FT vs X N-Πληρότητα?! FT vs X N-Πληρότητα?! Παραμετρική Πολυπλοκότητα Παραμετρικές αναγωγές Κλάσεις Πολυπλοκότητας (π.χ. FT, W[1], X) W-ιεραρχία κλάσεων προβλημάτων Κάτω φράγματα (ETH) έλτιστοι αλγόριθμοι

32 Παραμετρική Πολυπλοκότητα Παραμετρικές αναγωγές Κλάσεις Πολυπλοκότητας (π.χ. FT, W[1], X) W-ιεραρχία κλάσεων προβλημάτων Κάτω φράγματα (ETH) έλτιστοι αλγόριθμοι Παράμετροι ν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οι φίλοι του Μπορούμε να διαχειριστούμε μέχρι (k-1)-πελάτες (αλλά όχι k) Υπάρχει ομάδα k-πελατών όπου όλοι είναι φίλοι με όλους;

33 ν διώξουμε ένα πελάτη μας επιτίθενται όλοι οιίλφίλοι ων ςφ ό του μ θ ι ς αρ Μπορούμε να διαχειριστούμε ιστο μέχρι (k-1)-πελάτες γ έ μ (αλλά όχι k) ος: ετρ αράμ Π ομάδα k-πελατών όπου όλοι είναι φίλοι με όλους; Υπάρχει k-κλικ (k-clique) (Φιλίες) ράφημα G=(V, E ) * (n-κορυφές) S V, {u,v} S ({u,v} E) S k Παράμετρος: (μέγιστος βαθμός) * Aπλό, μη-διατεταγμένο Brute force: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της αν είναι κλίκα. Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές;

34 Brute force: Χρόνος: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της αν είναι κλίκα. Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές; Ο(n) Ο(2 ) Ο( 2 ) Ο(1) Ο(2 2 n) Brute force: Χρόνος: Μαντεύουμε μια κορυφή της k-κλίκας, κοιτάμε για κάθε ένα υποσύνολο της γειτονιάς της Ο(n) Ο(2 ) αν είναι κλίκα. Έχει η μεγαλύτερη κλίκα k κορυφές; Ο( 2 ) Ο(1) Ο(f() n) k-κλικ παράμετρος k FT k-κλικ παράμετρος FT

35 Παράμετρος Παράμετρος Μέγεθος της λύσης ευτερεύων μέτρο (μικρό μέγεθος στις εφαρμογές) ευτερεύων μέτρο (εκφράζει κάποια δομική ιδιότητα) κλπ. Παράμετρος k (παράμετρος) n (είσοδος) FT: O(f(k) n c ) Χρόνος αλγορίθμου Παράμετρος k (παράμετρος) n (είσοδος) FT: O(f(k) n c ) Χρόνος αλγορίθμου

36 Παράμετρος k (παράμετρος) Χρόνος αλγορίθμου n (είσοδος) FT: O(f(k) n c ) ισαγωγή Ορισμοί Σχεδίαση Παραμετρικών λγορίθμων Ορισμοί Κλασική Πολυπλοκότητα: Πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ*, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο.

37 Ορισμοί Κλασική Πολυπλοκότητα: Πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ*, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Π.χ. ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ: ΧΡΩΜΤΙΣΜΟΣ ΚΟΡΥΦΩΝ: k-κλικ: <G> Ορισμοί Κλασική Πολυπλοκότητα: Πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ*, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Π.χ. ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ: ΧΡΩΜΤΙΣΜΟΣ ΚΟΡΥΦΩΝ: k-κλικ: G Ορισμοί Κλασική Πολυπλοκότητα: Πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ*, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Παραμετρική Πολυπλοκότητα: Παραμετροποιημένο πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ* x N, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Σε ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N το k καλείται παράμετρος. Π.χ. ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ: ΧΡΩΜΤΙΣΜΟΣ ΚΟΡΥΦΩΝ: (G,k) k-κλικ:

38 Ορισμοί Παραμετροποιημένο πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ* x N, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Σε ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N το k καλείται παράμετρος. Έστω στιγμιότυπο Ι=(x,k) Σ* x N. Το μέγεθος του Ι ισούται με x +k. Ορισμοί Παραμετροποιημένο πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ* x N, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Σε ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N το k καλείται παράμετρος. Έστω στιγμιότυπο Ι=(x,k) Σ* x N. Το μέγεθος του Ι ισούται με x +k. Π.χ. (G,k): n+k Ορισμοί Παραμετροποιημένο πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ* x N, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Σε ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N το k καλείται παράμετρος. Έστω στιγμιότυπο Ι=(x,k) Σ* x N. Το μέγεθος του Ι ισούται με x +k. Π.χ. (G,k): n+k

39 Ορισμοί Παραμετροποιημένο πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ* x N, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Σε ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N το k καλείται παράμετρος. Έστω στιγμιότυπο Ι=(x,k) Σ* x N. Το μέγεθος του Ι ισούται με x +k. Π.χ. (G,k): n Ορισμοί Παραμετροποιημένο πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ* x N, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Σε ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N το k καλείται παράμετρος. Έστω στιγμιότυπο Ι=(x,k) Σ* x N. Το μέγεθος του Ι ισούται με x +k. Ένα παραμετροποιημένο πρόβλημα L Σ* x N καλείται παραμετρικά βατό αν υπάρχει αλγόριθμος A (που ονομάζεται FT αλγόριθμος), υπολογίσιμη συνάρτηση f: N N και σταθερά c τ.ω. ο A αποφασίζει αν ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N ανήκει στο L σε χρόνο: O(f(k) (x,k) c ) Ορισμοί Παραμετροποιημένο πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ* x N, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Σε ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N το k καλείται παράμετρος. Έστω στιγμιότυπο Ι=(x,k) Σ* x N. Το μέγεθος του Ι ισούται με x +k. Ένα παραμετροποιημένο πρόβλημα L Σ* x N καλείται παραμετρικά βατό αν υπάρχει αλγόριθμος (που ονομάζεται FT αλγόριθμος), υπολογίσιμη συνάρτηση f: N N και σταθερά c τ.ω. ο A αποφασίζει αν ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N ανήκει στο L σε χρόνο: O(f(k) (x,k) c ) Η κλάση των παραμετρικά βατών προβλημάτων καλείται FT.

40 Ορισμοί Παραμετροποιημένο πρόβλημα είναι μία γλώσσα L Σ* x N, όπου Σ ένα (φιξαρισμένο) πεπερασμένο αλφάβητο. Σε ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N το k καλείται παράμετρος. Έστω στιγμιότυπο Ι=(x,k) Σ* x N. Το μέγεθος του Ι ισούται με x +k. Ένα παραμετροποιημένο πρόβλημα L Σ* x N καλείται παραμετρικά βατό αν υπάρχει αλγόριθμος (που ονομάζεται FT αλγόριθμος), υπολογίσιμη συνάρτηση f: N N και σταθερά c τ.ω. ο A αποφασίζει αν ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N ανήκει στο L σε χρόνο: O(f(k) (x,k) O(f(k) x c ) c ) Η κλάση των παραμετρικά βατών προβλημάτων καλείται FT. Ορισμοί Ένα παραμετροποιημένο πρόβλημα L Σ* x N καλείται τμηματικά πολυωνυμικό αν υπάρχει αλγόριθμος A (που ονομάζεται X αλγόριθμος), υπολογίσιμες συναρτήσεις f,g: N N τ.ω. ο A αποφασίζει αν ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N ανήκει στο L σε χρόνο: O(f(k) x g(k) ) Η κλάση των τμηματικά πολυωνυμικών προβλημάτων καλείται X. Ορισμοί Ένα παραμετροποιημένο πρόβλημα L Σ* x N καλείται τμηματικά πολυωνυμικό αν υπάρχει αλγόριθμος A (που ονομάζεται X αλγόριθμος), υπολογίσιμες συναρτήσεις f,g: N N τ.ω. ο A αποφασίζει αν ένα στιγμιότυπο (x,k) Σ* x N ανήκει στο L σε χρόνο: O(f(k) x g(k) ) Η κλάση των τμηματικά πολυωνυμικών προβλημάτων καλείται X. Π.χ k k ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ k-κλικ

41 Ορισμοί FT X O(f(k) x c ) O(f(k) x g(k) ) Ορισμοί FT O(f(k) x c ) X O(f(k) x g(k) ) Π.χ. ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ O(2 k n k ) k-κλικ Ο(n k ) Ορισμοί FT O(f(k) x c ) X O(f(k) x g(k) ) Π.χ. ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ O(2 k n k ) k-κλικ Ο(2 2 n)

42 Συμβολισμός ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ ίσοδος: ράφημα G και φυσικός k. Παράμετρος: k. ρώτημα: Υπάρχει S V τ.ω. S k το G S να μην έχει ακμές; Συμβολισμός ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ ίσοδος: ράφημα G και φυσικός k. Παράμετρος: k. ρώτημα: Υπάρχει S V τ.ω. S k το G S να μην έχει ακμές; Συμβολισμός ΚΛΥΜΜ ΚΟΡΥΦΩΝ ίσοδος: ράφημα G και φυσικός k. Παράμετρος: k. ρώτημα: Υπάρχει S V τ.ω. S k το G S να μην έχει ακμές; k-κλικ ίσοδος: ράφημα G και φυσικός k. Παράμετρος: k. ρώτημα: Υπάρχει S V τ.ω. S k και {u,v} S ({u,v} E); k-κλικ ίσοδος: ράφημα G και φυσικός k. Παράμετρος: (μέγιστος βαθμός του G). ρώτημα: Υπάρχει S V τ.ω. S k και {u,v} S ({u,v} E);