FOTONAPONSKI SUSTAVI

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "FOTONAPONSKI SUSTAVI"

Transcript

1 FOTONAPONSKI SUSTAVI Izrada članka: REA Kvarner d.o.o. Naručitelj: IRENA Istarska Regionalna Energetska Agencija Izradili: Andrej Čotar, dipl.ing. REA Kvarner d.o.o. Andrej Filčić, dipl.oec REA Kvarner d.o.o. Odobrio: Darko Jardas, dipl. ing. REA Kvarner d.o.o. Direktor Rijeka, siječanj godine. Ovaj članak je izrađen uz financijsku pomoć programa IPA Adriatic prekogranične suradnje. Sadržaj oovg članka je u isključivoj odgovornosti REA Kvarner i ne može se ni pod kojim okolnostima smatrati da odražava stajalište IPA Adriatic prekogranične suradnje.

2 Sadržaj 1. UVODNO O TEHNOLOGIJI POVIJESNI PREGLED PRINCIP RADA FOTONAPONSKIH ĆELIJA VRSTE SUNČEVIH FOTONAPOSNKIH ĆELIJA ENERGETSKA AMORTIZACIJA FOTONAPONSKIH ĆELIJA TIPOVI FOTONAPONSKIH SUSTAVA Mrežno spojeni fotonaponski sustavi (on grid) Mrežno spojeni kućni sustavi ( mogućnost za vlastitu potrošnju ) Mrežno spojene sunčeve elektrane (farme) Samostalni sustavi (off grid ) ili otočni sustavi Hibridni sustavi Samostalni sustavi gospodarske namjene SUNČEVO ZRAČENJE ZAKONODAVNI I INSTITUCIONALNI OKVIR ZA PROIZVODNJU ELEKTRIČNE ENRGIJE IZ OBNOVLJIH IZVORA NOVE TEHNOLOGIJE I PERSPEKTIVE RAZVOJA SUNČEVIH FOTONAPONSKIH PANELA Koncentrirajući fotonaponski sustavi CNT LITERATURA POPIS SLIKA... 29

3 1. UVODNO O TEHNOLOGIJI Pretvorba sunčeve energije u električnu u sunčevim fotonaponskim najprepoznatljivji način korištenja sunčeve energije. instalacijama je Pošto su sunčeve fotonaponske ćelije poluvodički uređaji, one imaju dosta zajedničkih tehnika procesiranja i proizvodnje s ostalim poluvodičkim uređajima poput računala i memorijskih čipova. Kako je poznato, zahtjevi za čistoćom i kontrolom kvalitete izrade poluvodiča su prilično veliki. S današnjom proizvodnjom koja je dosegnula velike razmjera razvijena je i cijela industrija proizvodnje sunčevih ćelija, koja se većinom nalazi u zemljama dalekog istoka, zbog niske cijene proizvodnje. Većina velikih komercijalnih tvornica sunčevih fotonaponskih ćelija danas ih izrađuje od kristaličnog silicija kao poluvodičkog materijala. Sunčani fotonaponski moduli, koji nastaju spajanjem fotonaponskih ćelija radi povećanja snage, iznimno su pouzdani, dugotrajni i tihi uređaji za proizvodnju električne energije. Gorivo za fotonaponske ćelije je besplatno. Sunce je jedini resurs koji je potreban za pogon fotonaponskog sustava, a njegovo zračenje je gotovo neiscrpno. Tipičana fotonaponska ćelija ima učinkovitost od oko 15 % što znači da može pretvoriti 1/6 sunčeve energije u električnu. Fotonaponski sustavi ne proizvode buku, nemaju pokretnih djelova i ne ispuštaju onečišujuće tvari u okoliš. Uzimajući u obzir i energiju utrošenu na proizvodnju fotonaponskih ćelija, oni proizvode nekoliko desetaka puta manje ugljičnog dioksida po jedinici proizvedene energije od tehnologije fosilnih goriva. Fotonaponska ćelija ima životni vijek više od trideset godina i jedan je od najpouzdanijih poluvodičkih proizvoda. Najviše sunčevih ćelija proizvede se iz silicija koji je neotrovan i nalazi se u izobilju u zemljinoj kori. Slika 1 fotonaponske ćelije

4 Fotonaponskim sustavima (ćelija, modul, mreža) je potrebno minimalno održavanje. Na kraju životnog vijeka fotonaponski moduli se mogu gotovo u potpunosti reciklirati. Fotonaponski moduli donose električnu energiju u ruralna područja gdje ne postoji elktrična mreža, te na taj način povećavaju samu životnu vrijednost tih područja. Fotonaponski sustavi će nastaviti u budućnosti razvoj u smjeru ključnog čimbenika u proizvodnji električne energije za kućanstva i zgradarstvo općenito. Sustavi se instaliraju na postojeće krovove i integrirani su u fasade. Dakle takvi sustavi daju doprinos u smanjenju potrošnje energije u zgradi. Donesen je niz zakonodavnih akata Europske Unije na području obnovljivih izvora energije i energetske učinkovitosti, gdje se posebice fotonaponska tehnologija promovira za dostizanje ciljeva energetske uštede i smanjenje emisije CO2 u javnim ali i privatnim te komercijalnim zgradama. Također fotonaponska tehnologija kao obnovljiv izvor energije doprinosi elektroenergetskim sustavima kroz diverzifikaciju izvora energije i sigurnost opskrbe električne energije. Uvođenjem poticaja za proizvedenu energiju iz obnovljivih izvora u svim razvijenim zemljama svijeta, fotonaponski sustavi postali su vrlo isplativi, odnosno vrijeme povrata investicije u fotonaponske sustave je postalo kratko i konstantno se smanjuje. U zadnjih nekoliko godina ta industrija raste po stopi od 40% godišnje, a fotonaponska tehnologija stvara tisuće novih radnih mjesta na lokalnim razinama. 2. POVIJESNI PREGLED Otkriće fotonaponskog efekta smješta se u prvu polovicu 19. stoljeća. Godine mladi francuski fizičar Alexandre Edmond Becquerel opaža fizikalni fenomen ili efekt koji dopušta pretvorbu svjetla u električnu energiju. Na načelu tog fotoaponskog efekta zasniva se rad sunčevih ćelija. U godinima koje sljede brojni su znanstvenici u svom znanstvenoistraživačkom radu doprinjeli razvoju tog efekta i tehnologije, među kojima su svakako najvažniji Charles Fritts, Edward Weston, Nikola Tesla i Albert Einstein koji godine dobiva Nobelovu nagradu za svoj rad na temu fotoelektrični efekt. Međutim, veći razvoj ove tehnologije zbog visoke proizvodne cijene se počinje zbivati tek razvojem poluvodičke industrije u kasnim pedesetim godinama 20. stoljeća. Kroz šesdesete godine sunčeve ćelije se koriste isključivo za opskrbu električnom energijom satelita koji kruže u Zemljinoj orbiti gdje se pokazuju kao vrlo pouzdana i konkurentna tehnologija. U

5 sedamdesetim godinama, poboljšanja u proizvodnji, karakteristikama i kvaliteti sunčevih ćelija, te nadolazeća naftna kriza, pomažu u smanjenju troškova proizvodnje sunčevih ćelija i otvaraju brojne mogućnosti za njihovu praktičnu implementaciju. Sunčeve ćelije su prepoznate kao odlična zamjena za opskrbu električnom energijom na lokacijama udaljenim od električne mreže. Napajaju se bežične aplikacije, napajaju se baterije za svjetionike, razni signali, telekomunikacijska oprema i ostala oprema male snage koja ovisi o električnoj energiji. U osamdesetim godinama sunčeve ćelije postale su popularne kao izvor energije za uređaje potrošačke elektronike, uključujući kalkulatore, satove, radio uređaje, lampe i ostale aplikacije sa malim baterijama. Također nakon završetka krize iz sedamdesetih, veliki su napori uloženi u razvoj sustava sunčevih ćelija za komercijalnu upotrebu u kućanstvima. Razvijani su sustavi samostalnih sunčevih ćelija (off grid), kao i sustavi spojeni na mrežu (ongrid). U istom razdoblju međunarodna primjena sunčevih ćelija u ruralnim područjima gdje nije izgrađena električna mreža i pripadajuća infrastruktura znatno se povećava. Električna energija proizvedena na tim područjima koristi se za crpljenje vode, rashladnu energiju, telekomunikacije i druge kućne uređaje i potrebe važne za svakodnevni život. Razvoj tehnologije i tržišta fotonaponskih modula naglo je porastao uvođenjem poticaja za proizvodnju električne energije iz obnovljivih izvora energije. Poticaji se provode u svim razvijenim zemljama, predvodnici su Europska Unija, SAD, Japan, Australija itd. Hrvatska je također donijela cijelovitu zakonsku regulativu kojom uređuje pitanje proizvodnje električne enrgije iz obnovljivih izvora energije u statusu povlaštenog proizvođača po poticajnim tarifama (feed in tarife). Više u poglavlju 8. Kako je već spomenuto, danas industrija fotonaponskih modula i pripadajuće opreme raste po stopi od 40% godišnje, prema tome spada u najbrže rastuće industrije zadnjeg desetljeća, te je u godini snaga instaliranih kapaciteta dosegla ogromnu brojku od 17,5 GW.

6 3. PRINCIP RADA FOTONAPONSKIH ĆELIJA Fotonapon se sastoji od dvije riječi: foto, koja ima grčke korijene za svijetlost i riječi napon koja označava mjernu veličinu kojim se iskazuje djelovanje električnog polja, odnosno razliku potencijala. Fotonaponski sustavi koriste ćelije za pretvorbu sunčevog zračenja u električnu energiju. Pretvorba sunčeve energije u električnu u fotonaponskim instalacijama je najprepoznatljiviji način korištenja sunčeve energije. Prema kvantnoj fizici svjetlost ima dvojni karakter. Svjetlost je čestica i val. Čestice svjetlosti nazivaju se fotoni. Fotoni su čestice bez mase i gibaju se brzinom svjetlosti. Energija fotona ovisi o njegovoj valnoj duljini odnosno o frekvenciji, a možemo je izračunati Einsteinovim zakonom koji glasi: gdje je: E Energija fotona h Planckova konstanta, iznosi h = Js Frekvencija fotona U metalima i općenito u materiji, elektroni mogu postojati kao valentni ili slobodni. Valentni elektroni vezani su uz atom, dok se slobodni elektroni mogu slobodno gibati. Da bi od valentnog elektrona nastao slobodni, on mora dobiti energiju koja je veća ili jednaka energiji vezanja. Energija vezanja predstavlja energiju kojom je elektron vezan za atom u nekoj od atomskih veza. U slučaju fotoelektričnog efekta elektron potrebnu energiju dobiva od sudara s fotonom. Dio energije fotona troši se da bi se elektron oslobodio od utjecaja atoma za koji je vezan, a preostali dio energije pretvara se u kinetičku energiju, sada već slobodnog elektrona. Slobodni elektroni dobiveni fotoelektričnim efektom nazivaju se još i fotoelektroni. Energija koja je potrebna da se valentni elektron oslobodi utjecaja atoma naziva se rad izlaza W i, i ovisi o vrsti materijala u kojem se dogodio fotoelektrični efekt. Jednadžba koja opisuje ovaj proces glasi: gdje je: Energija fotona W i, Rad izlaza E kin Kinetička energija emitiranog elektrona

7 Iz gornje jednadžbe vidljivo je da se elektron neće moći osloboditi ako je energija fotona manja od rada izlaza. Fotoelektrična konverzija u PN spoju. PN spoj (dioda) je granica između dva različito dopirana sloja poluvodiča; jedan sloj je P tipa (višak šupljina), a drugi N tipa (višak elektrona). Na granici između p i n područja javlja se spontano električno polje, koje djeluje na generirane elektrone i šupljine i određuje smjer struje. Slika 2 Princip rada sunčeve fotonaponske ćelije Da bi dobili električnu energiju fotoelektričnim efektom trebamo imati usmjereno gibanje fotoelektrona, odnosno struju. Sve nabijene čestice, a tako i fotoelektroni gibaju se usmjereno pod utjecajem električnog polja. Električno polje koje je ugrađeno u sam materijal nalazi se u poluvodičima i to u osiromašenom području PN spoja (diode). Za poluvodiče je naglašeno da uz slobodne elektrone u njima postoje i šupljine kao nosioci naboja koje su svojevrstan nusprodukt pri nastanku slobodnih elektrona. Šupljina nastaje svaki put kada od valentnog elektrona nastane slobodni elektron i taj proces naziva se generacija, dok se obrnuti proces, kada slobodni elektron popuni prazno mjesto šupljinu, zove rekombinacija. Ako parovi elektron šupljina nastanu daleko od osiromašenog područja moguće je da rekombiniraju, prije nego što ih razdvoji električno polje. Parovi koji nastanu uz osiromašeno područje ili u njemu bivaju privučeni, i to šupljine prema P strani poluvodiča, te elektroni prema N strani poluvodiča. Zbog toga se fotoelektroni i šupljine u poluvodičima, nagomilavaju na suprotnim krajevima i na taj način stvaraju elektromotornu silu. Ako na takav sustav spojimo trošilo, poteći će struja i dobiti ćemo električnu energiju.

8 Na ovakav način sunčane ćelije proizvode napon oko V uz gustoću struje od oko nekoliko desetaka ma/cm 2 ovisno o snazi sunčevog zračenja, ali i o spektru zračenja. Korisnost fotonaponske sunčeve ćelije definira se kao omjer električne snage koju daje FN sunčeva ćelija i snage sunčevog zračenja. Matematički se to može formulirati relacijom: gdje je: P el Izlazna električna snaga P sol Snaga zračenja (najčešće Sunčevog) U Efektivna vrijednost izlaznog napona I Efektivna vrijednost izlazne struje E Specifična snaga zračenja (npr. u W/m 2 ) A Površina Korisnost FN sunčevih ćelija kreće se od svega nekoliko postotaka do četrdesetak posto. Ostala energija koja se ne pretvori u električnu uglavnom se pretvara u toplinsku i na taj način grije ćeliju. Općenito porast teperature solarne ćelije utječe na smanjene korisnosti FN ćelije. Standardni izračuni energetske učinkovitosti za sunčeve fotonaponske ćelije predstavljaju se na sljedeći način: Energetska učinkovitost pretvorbe kod sunčeve fotonaponske ćelije (η "ETA"), je postotak energije od upadne svjetlosti koja zapravo završi kao električna energija. To se izračunava u točki najveće snage,pm, podijeljeno sa zračenjem ulaznog svjetla (E, u W/m2), sve pod standardnim uvjetima testiranja (STC) i površinom fotonaponskih sunčevih ćelija (AC u m2). STC, standart test conditions, prema kojem je referentno Sunčevo zračenje 1000 W/m 2, spektralna distribucija 1.5, a temperatura ćelije 25 0 C.

9 4. VRSTE SUNČEVIH FOTONAPOSNKIH ĆELIJA Električna energija se proizvodi u sunčanim ćelijama koje se sastoje, kako je rečeno, od više slojeva poluvodičkog materijala. Kada sunčeve zrake obasjaju sunčanu ćeliju između tih slojeva stvara se elektromotorna sila koja uzrokuje protok električne energije. Što je intezitet sunčeva zračenja veći, veći je i tok električne energije. Najčešći materijal za proizvodnju sunčanih ćelija je silicij. Silicij se dobiva iz pijeska i jedan je od najčešćih elemenata u zemljinoj kori, dakle nema ograničenja za dostupnost sirovog materijala. Sunčane ćelije se proizvode s Slika 3 Fotonaponska ćelija monokristaličnim, multikristaličnim trakastim kristaličnim silicijem ili u tehnologiji tankog filma (thin film). Ćelije izrađene iz kristaličnog silicija (Si), su izrađene od tanko narezanog dijela(vafer), jednog kristala silicija (monokristal) ili od cijelog bloka silicijskog kristala (multikristal); njihova učinkovitost kreće se u rasponu između 12 i 19 %.

10 Slika 4. Tipične monokristalne ćelije Monokristalne Si ćelije: učinkovitost pretvorbe za ovaj tip ćelije kreće se od 13 17%, te se općenito može reći da je u širokoj komercijalnoj upotrebi i pri dobrom svjetlu to najučinkovitija fotonaponska ćelija. Ovaj tip ćelije može pretvoriti 1000 W/m2 sunčevog zračenja u 140 W električne energije s površinom ćelija od 1 m2. Za proizvodnju monokristalnih Si ćelija potreban je apsolutno čisti poluvodički materijal. Monokristalni štapići vade se iz rastaljenog silicija i režu na tanke pločice (vafere). Takav način izrade omogućuje relativno visoki stupanj iskoristivosti. Očekivani životni vijek ovih ćelija je tipično od 25 do 30 godina, naravno kao i za sve fotonaponske ćelije izlazna snaga nešto degradira tijekom godina. Multikristalne Si ćelije: ovaj tip ćelije može pretvoriti 1000 W/m2 sunčevog zračenja u 130 W električne energije s površinom ćelija od 1 m2. Proizvodnja ovih ćelija je ekonomski efikasnija u odnosu na monokristalne. Tekući silicij se ulijeva u blokove koji se zatim režu u ploče. Tijekom skrućivanja materijala stvaraju se kristalne strukture različitih veličina na čijim granicama se pojavljuju greške, zbog čega solarna ćelija ima nešto manju učinkovitost, koja se kreće od 10 14%. Očekivani životni vijek između 20 i 25 godina. Trakasti silicij (ribbon) ima prednost što je u njegovom procesu proizvodnje izbjegnuta potreba rezanje vafera, čime se gubilo i do 50% materijala u procesu piljenja. Međutim, kvaliteta i mogućnost proizvodnje nije takva da bi ova tehnologija preuzela vodstvo u bliskoj budućnosti. Učinkovitost ovakvih ćelija se kreće oko 11%.

11 Slika 5 Shematski prikaz obrade silicija za nastajanje snučevih fotonaponskih sustava U tehnologiji tankog filma, moduli se proizvode slaganjem iznimno tankih slojeva fotoosjetljivog materijala na jeftinu podlogu, kao što je staklo, nehrđajući čelik ili plastika. Tehnološki proces proizvodnje modula u tehnologiji tankog filma rezultirao je smanjenim troškovima proizvodnje u usporedbi s tehnologijom kristaličnog silicija koja je ipak nešto intenzivnija. Današnja cijenovna prednost u proizvodnji thin filma je uravnotežena s kristaličnim silicijem zbog manje učinkovitosti samog thin film a koja se kreće u granicama od 5 do 13 %. Danas je udio ove tehnologije na tržištu 15 % i konstatno se povećava, za očekivati je da će se povećavati i u godinama koje dolaze i na taj način smanjivati nepovoljan tržišni omjer u odnosu na fotonaponske module od kristaličnog silicija. Očekivani životni vijek kreće se oko 15 do 20 godina. Postoje četiri tipa thin film modula (ovisno o korištenom aktivnom materijalu) koja su danas u komercijalnoj upotrebi:

12 1. Amorfni silicij (a Si) Amorfne Si ćelije: Učinkovitost ćelije kreće se oko 6 %, te može pretvoriti 1000 W/m2 sunčevog zračenja u oko 50 W električne energije s površinom ćelija od 1 m2. Premda je i u ovom tipu modula u zadnje vrijeme napravljen napredak u istraživanjima, te je za očekivati veće učinkovitosti u budućnosti. Ukoliko se tanki film silicija stavi na staklo ili neku drugu podlogu to se naziva amorfna ili tankoslojna ćelija. Debljina sloja iznosi manje od 1 µm, stoga su troškovi proizvodnje manji u skladu s niskom cijenom materijala. Međutim iskoristivost amorfnih ćelija je puno niža u usporedbi s drugim tipovima ćelija. Prvenstveno se koristi u opremi gdje je potrebna mala snaga (satovi, džepna računala) ili u novije vrijeme u zgradarstvu kao element fasada. Slika 6 thin film, amorfni silicij 2. Kadmij telurijeve (CdTe) Kadmij telurijeve (CdTe) ćelije: Učinkovitost ćelije kreće se oko 18 %, ovaj tip ćelije može pretvoriti 1000 W/m2 sunčevog zračenja u 160 W električne energije s površinom ćelija od 1 m2 u laboratorijskim uvjetima. Kadmij teleurid je spoj elementa: metala kadmija i polumetala telurija. Pogodan za upotrebu u tankim fotonaponskim modulima zbog fizikalnih svojstava i jeftinih tehnologija izrade. Usprkos navedenim prednostima zbog kadmijeve otrovnosti i sumnje na kancerogenost nije u širokoj upotrebi. Slika 7 CdTe thin film

13 3. Bakar indij galij selenide (CIS, CIGS) CIS ćelije imaju najveću učinkovitost među thin film ćelijama koja iznosi oko 20%; ovaj tip ćelije može pretvoriti 1000 W/m2 sunčevog zračenja u 160 W električne energije s površinom ćelija od 1 m2 u laboratorijskim uvjetima. Slika 8 CIS thin film 4. Termo osjetljive sunčeve ćelije i druge organske ćelije ( DSC) Razvoj ovih organskih ćelija tek predstoji, budući se još ispituju i nisu u većoj mjeri komercijalizirane. Učinkovitost ćelije kreće se oko 10 %. Ispitivanja idu prema smjeru korištenja u fasadnim integriranim sustavima, koji se pokazuju kao kvalitetna rješenja u svim svjetlosnim zračenjima i svim temperaturnim uvjetima. Također veliki se potencijali nalaze u niskim troškovima u odnosu na silicijske ćelije. Postoje još neki tipovi fotonaponskih tehnologija koji se tek razvijaju, dok su drugi pred komercijalizacijom Bez obzira na životni vijek, uobičajena garancija većine današnjih komercijalnih proizvođača na fotonaponske module je 10 godina na 90 % izlazne snage, a 25 godina na 80 % izlazne snage.

14 5. ENERGETSKA AMORTIZACIJA FOTONAPONSKIH ĆELIJA Vrijeme eneregetske amortizacije je vremenski period koji mora proći pri korištenju fotonaponskog sustava da bi se vratila energija koja je uložena u izgradnju svih dijelova tog sustava, te energija potrebna za razgradnju, nakon isteka životnog vijeka fotonaponskog sustava. Naravno vrijeme energetske amortizacije je različito za različite lokacije na kojima se sustav nalazi, pa je tako na lokacijama s velikim količinama dozračene sunčeve energije ono puno kraće, čak do 10 i više puta kraće od svog životnog vijeka. Jug Istre ima približno 1700 kwh/m2 godišnjeg zračenja, dok je na sjevernom dijelu ono negdje oko 1500 kwh/m2. Slika 9 Energetska amortizacija krovnih fotonaponskih sustava na lokaciji sa godišnjim zračenjem od 1700 kwh/m2, na optimalno nagnuti fotonaponski modul Godine potrebne za Energetsku amortizaciju Dostupna godina proizvodnje Učinkovitost sirovina recikliranje inverter montažna konstrukcija i kabliranje ćelija

15 m laminat kristal + vafer U tablici su prikazani dostupni podaci energetske amortizacije za različite tehnologije fotonaponskih ćelija, sa svojim pripadajućim učinkovitostima u danim godinama proizvodnje. U odnosu na jug Istre koji je prikazan na slici 9. energetska amortizacija u recimo gradu Zagrebu je za oko 20 % duža, a južnoj Dalmaciji je 10 do 15 % kraća u odnosu Istru, što odgovara inteziteu sunčevog zračenja karta osunčanosti, slika TIPOVI FOTONAPONSKIH SUSTAVA Fotonaponski sustavi se generalno mogu podijeli u dvije osnovne skupine : 1. Fotonaponski sustavi koji nisu priključeni na mrežu, samostalni sustavi (off grid) 2. Fotonaponski sustavi koji su priključeni na javnu elektroenergetsku mrežu (on grid) Vrstom i načinom priključenja na mrežu, odnosno načinom uskladištenja energije samostalnih sustava, postoje mnogi razni podtipovi fotonaponskih sustava. 6.1 Mrežno spojeni fotonaponski sustavi (on grid) Slika 10 Mrežni fotonaponski sustav Osnovni dijelovi fotonaponskog sustava su fotonaponski moduli, fotonaponski izmjenjivač (inverter), montažna podkonstrukcija, te priključno mjerni ormar sa zaštitnom i

16 instalacijskom opremom. Fotonaponski moduli pretvaraju sunčevu energiju u električnu energiju istosmjernog oblika, a fotonaponski izmjenjivač prilagođava tako proizvedenu energiju u oblik u kojem se može predati u javnu elektroenergetsku mrežu. Izmjenični napon se preko zaštitne i mjerne opreme predaje u elektroenergetsku mrežu. Fotonaponski izmjenjivač (inverter) se najčešće nalazi u zgradi u zatvorenom prostoru, iako postoje i izmjenjivači za vanjsku ugradnju, pri čemu treba paziti da nisu direktno izloženi sunčevom zračenju. Izmjenjivači proizvode kvalitetnu izmjeničnu struju odgovarajućeg napona i pogodni su za mrežne fotonaponske sustave. Mrežni izmjenjivači rade kao i svaki drugi izmjenjivači, s tom razlikom da mrežni izmjenjivači moraju osigurati da će napon koji isporučuju biti u fazi s mrežnim naponom. To omogućava fotonaponskom sustavu da isporučuje električnu energiju u sustav. Elektro priključak se najčešće nalazi se u glavnom razvodnom ormariću (GRO), koji je smješten u posebnoj prostoriji, ali se također može nalaziti u svojem mjerno priključnom ormariću, koji se onda spaja s GRO om. Na mjestu priključka se instalira brojilo, jednofazno, dvotarifno, elektroničko za jednofazne sustave, te trofazno, dvotarifno, elektroničko za dvofazne i trofazne sustave. Kod takvih instalacija redovito se predlaže postavljanje osigurača ispred i iza brojila kako bi se omogućila zamjena brojila u beznaponskom stanju. Točni uvjeti priključenja se usklađuju s tehničim uvjetima HEP ODS a. Potrebno je predvidjeti isklop napajanja pomoću isklopnog tipkala sa strane fotonaponskih modula i sa strane priključka na mrežu. Izlazni napon izmjenjivača mora biti u skladu s Pravilnikom o normiranim naponima za distribucijske niskonaponske električne mreže i električnu opremu. Normirana veličina nazivnog napona iznosi 230 V, između faznog i neutralnog vodiča i 400 V, između faznih vodiča, za četverožilne trofazne mreže nazivne frekvencije 50 Hz, te se u normalnim uvjetima ne treba razlikovati od nazivnog napona više od ± 10 %. Zbog velike izloženosti udaru munje, osim spajanjem na gromobransku instalaciju, fotonaponski moduli se štite i odvodnicima prednapona. Odvodnici se postavljaju neposredno nakon modula, da bi se sprječio utjecaj prednapona na instalaciju zgrade.

17 6.2 Mrežno spojeni kućni sustavi ( mogućnost za vlastitu potrošnju ) Slika 11 Kućni mrežni fotonaponski sustav To su najpopularniji tipovi sunčevih fotonaponskih sustava koji su namjenjeni za kućne i poslovne instalacije u razvijenim i urbanim područjima. Spoj na lokalnu električnu mrežu dopušta prodaju lokalnom distributeru električne energije sve viškove proizvedene električne energije koja se ne koristi u potrošnji same kuće, jer je fotonaponski sustav priključen na mrežu preko kućne instalacije u paralelnom pogonu s distribucijskom mrežom. Isto tako se električna energija za potrebe kuće snabdjeva iz mreže kada nema sunčanog vremena. Izmjenjivač (inverter), kako je već objašnjeno i ovdje se koristi za pretvorbu istosmjerne struje (DC) proizvedene u fotonaponskim modulima u izmjeničnu struju (AC) koja se nalazi u električnoj mreži i koja se koristi za pogon svih kućanskih električnih uređaja. S ovakvim sustavom korisnik ima dva izbora: može prodati cjelokupnu proizvedenu električnu energiju lokalom distributeru, isporukom preko brojila električne energije u mrežu (pogotovo ukoliko postoji poticajna cijena električne energije proizvedene iz obnovljivih izvora u statusu povlaštenog proizvođača tzv. feed in tarife) ili može koristiti električnu energiju proizvedenu iz sunčevih fotonaponskih modula za zadovoljavanje aktualnih potreba kućanstva i prodaju eventualnih viškova u električnu mrežu. Ovdje je potrebno spomenuti da HEP ODS u Republici Hrvatskoj za sada izbjegava ovakva tehnička rješenja, već preferira isključivu isporuku proizvedene električne energije u mrežu, bez mogućnosti za vlastitu potrošnju. Za očekivati je da će se približavanjem cijene električne energije proizvedene na konvencionalan način i one iz obnovljivih izvora energije, povećati i interes za ovakim

18 načinom priključenja fotonaponskih sustava na električnu mrežu. Za sada se s poticajnim feed in tarifama preferiraju isključivo mrežne instalacije, premda fotonaponski sustav proizvodi najviše električne energije sredinom dana kada ima najviše sunca, te tako može podmirivati svoje potrebe i time rasteretiti elektroenergetski sustav. 6.3 Mrežno spojene sunčeve elektrane (farme) Slika 12 Sunčeva farma Ovi sustavi, isto tako mrežno spojeni, proizvode velike količine električne energije putem fotonaponskih instalacija na jednom lokaliziranom mjestu. Snaga ovakvih fotonaponskih elektrana kreće se u rasponu od nekoliko stotina kilovata do nekoliko desetaka megavata, u zadnje vrijeme i nekoliko stotina megavata. Neke takve instalacije mogu biti smještene na velikim industrijskim halama i terminalima ali još češće na velikim neplodnim zemljanim površinama. Takve velike instalacije iskorištavaju postojeće prostore za proizvodnju električne energije na predmetnoj lokaciji i na taj način kompenziraju dio potrebe za električnom energijom u tom energetskom području. Zbog osjećaja veličine, kada se govori o sunčevim farmama, navodi se jedan primjer velike solarne farme u bivšoj vojnoj zračnoj luci u Njemačkoj: snaga 40 MWp, tehnologija tanki film, površina 110 hektara što je ekvivalentno površini od 200 nogometnih stadiona, očekivana godišnja proizvodnja 40 miljuna kwh električne energije, ušteda tona CO2, i cijena oko 130 miljuna.

19 6.4 Samostalni sustavi (off grid ) ili otočni sustavi. U ruralnim područjima gdje ne postoji električna mreža i pripadajuća infrastruktura, koriste se ovakvi sustavi. Sustavi su spojeni na spremnik energije, bateriju (akumulator), preko upravljača punjenja i pražnjanja. Izmjenjivač se također može koristiti kako bi se osigurala izmjenična struja za potrebe standardnih električnih uređaja i Slika 13 samostalni fotonaponski sustav aparata. Tipične samostalne fotonaponske instalacije se koriste kako bi osigurale dostupnost električne energije u udaljenim mjestima (planinska mjesta, otoci, ruralna područja u razvoju). Ruralna elektrifikacija znači ili mala kućna sunčeva fotonaponska instalacija koja pokriva osnovne potrebe za električnom energijom u pojedinom kućanstvu, ili veća sunčeva fotonaponska mreža koja osigurava dovoljno električne energije za nekoliko kućanstava. 6.5 Hibridni sustavi. Sunčevi fotonaponski sustav može biti kombinaciji s nekim drugim izvorom energije, npr. generator na biomasu, vjetroturbina, diesel generator, a sve kako bi se osigurala konstantna i dovoljna opskrba električnom energijom, jer je poznato da su svi obnovljivi izvori energije, pa tako i fotonaponski sustavi, nekonstantni u proizvodnji energije. Dakle kada nema sunčanih dana sustav ne proizvodi električnu energiju, iako je potreba za njom konstantna, pa se stoga mora namiriti iz drugih izvora. Hibridni sustav može biti spojen na mrežu, samostalan ili kao potpora mreži.

20 6.6 Samostalni sustavi gospodarske namjene Upotreba električne energije proizvedene u sunčevim fotonaponskim sustavima na instalacijama udaljenim od električne mreže je vrlo česta. Telekomunikacijska oprema, posebice za premoštenje ruralnih područja s ostatkom zemlje s izgrađenom električnom mrežom. Repetitori i stanice za mobilnu telefoniju su pogonjene fotonaponskim ili hibridnim sustavima. Ostale fotonaponske instalacije kao za prometnu signalizaciju i rasvjetu, svjetionike, već su danas konkurentne zbog toga što su troškovi dovođenja električne infrastrukture na ta udaljena mjesta prilično visoki. 7. SUNČEVO ZRAČENJE Sunce je središnja zvijezda sunčevog sustava, sustava u kojem se nalazi i Zemlja. Ono ima oblik velike užarene plinovite kugle, s kemijskom sastavom pretežno vodika i helija, ali i ostalih elemenata koji se u njemu u manjoj mjeri, kao kisik, ugljik, željezo, neon, dušik, silicij, magnezij i sumpor. Energija sa Sunca do Zemlje dolazi u obliku sunčevog zračenja. U unutrašnjosti Sunca odvijaju se nuklearne reakcije, prilikom kojih se fuzijom vodik pretvara u helij uz oslobađanje velikih količina energije, gdje temperatura doseže 15 milijuna C. Dio te energije u obliku topline i svjetlosti dolazi do nas te nam omogućava odvijanje svih procesa, od fotosinteze pa do proizvodnje električne energije u fotonaponskim sustavima. Pod optimalnim uvjetima, na površini Zemlje može se dobiti 1000 W/m 2, dok stvarna vrijednost ovisi o lokaciji, dakle zemljopisnoj širini, klimatološkim parametrima lokacije poput učestalosti pojave naoblake i sumaglice, tlaku zraka itd.. Kada se govori o sunčevom zračenju i proizvodnosti fotonaponskih sustava nužno je razumjeti sljedeće pojmove: Ozračenje, kao srednju gustoću dozračene snage sunčevog zračenja koje je jednako omjeru snage sunčevog zračenja i površine plohe okomite na pravac toga zračenja, (W/m2). Ozračenost, koja predstavlja onu količinu energije sunčevog zračenja koja je dozračena na jediničnu površinu plohe u određenom vremenu, (Wh/m2) ili (J/m2).

21 Također se pored satne vrijednosti vrlo često govori o dnevnoj, mjesečnoj ili godišnjoj ozračenosti, ovisno o vremenskom intervalu. Na putu kroz zemljinu atmosferu sunčevo zračenje slabi zbog međusobnog djelovanja s plinovima i parom iz atmosfere, te do zemljine površine dolazi kao izravno i raspršeno. Izravno ili direktno sunčevo zračenje dolazi direktno iz smjera sunca, a raspršeno ili difuzno zračenje na zemlju dospijeva iz svih smjerova. Kada uzmemo u obzir izravno i rapršeno zračenje gledano na ranoj plohi, tada govorimo o ukupnom zračenju. Ako se radi o nagnutoj plohi tada za ukupno zračenje treba izravnom i raspršenom dodati još i odbijeno ili reflektirano zračenje. Odbijeno zračenje odbija se od tla ili od vodenih površina na zemlji. Slika 14 Srednja godišnja ozračenost vodoravne plohe u RH

22 Najveća komponenta sunčevog zračenja je izravna, pa bi najveće ozračenje trebalo tražiti na plohi okomitoj na pravac sunčevih zraka. Najveće ozračenje u svakom trenutku moguće je jedino, ako se s navedenom plohom konstantno prati kretanje sunca na nebu. Sljedom navedenog fotonaponski moduli mogu biti montirani na razne načine, fiksirani na određeni kut, ili mogu biti pomični za bolje praćenje kuta nagiba sunca tijekom dana za veći energetski prinos, odnosno bolje rezultate u proizvodnji električne energije. Za fiksno postavljni fotonaponski modul određuje se vrijednost optimalnog kuta nagiba njegove plohe. Optimalni kut nagnute plohe fotonaponskog modula, je kut pod kojim je on nagnut u odnosu na vodoravnu površinu kako bi se dobila najveća moguća godišnja ozračenost. Također se može izračunati optimalni kut nagiba za dio godine ili neki određeni mjesec u godini. Najveći energetski prinos kod fiksno postavljenih sustava ostvaruje se stavljanjem modula pod optimalnim godišnjim kutem. Kako je sunčevo zračenje izrazito sezonski ovisna veličina, srednje dnevne vrijednosti ozračenosti nagnute plohe kreću se od oko 1 kwh/m2 u prosincu, do 7 kwh/m2 u lipnju. Što znači da postavljanjem modula pod manjim kutem, imamo veći energetski prinos ljeti i obrnuto. Slika 15 Fotonaponski moduli sa aktivnim praćenjem kretanja suna, Tracker

23 Utjecaj zasjenjenja na sunčevu elektranu: najviše električne energije se proizvede kada sunčeve zrake direktno prelaze preko FN modula. Sjena koju stvaraju objekti na samom krovu, okolna drva ili druge zgrade i neboderi bitno utječe na proizvodnju električne energije. Sjena također loše utječe i na stabilnost sustava, jer moduli koji se nalaze djelomično u sjeni nemaju linearnu proizvodnju električne energije, a to rezultira promjenom napona i smetnajama na izmjenjivaču. Ako se samo jedna ćelija u modulu nalazi u sjeni to može smanjiti snagu cijelog modula za 75 %. 8. ZAKONODAVNI I INSTITUCIONALNI OKVIR ZA PROIZVODNJU ELEKTRIČNE ENRGIJE IZ OBNOVLJIH IZVORA Dva su osnovna zakona kojima se uređuje pitanje proizvodnje električne energije iz obnovljivih izvora energije (OIE) i visokoučinkovite kogeneracije (K), a to su Zakon o energiji (nn 68/01,177/04, 76/07) i Zakon o tržištu električne energije ( nn 177/04, 76/07). Zakon o energiji utvrđuje da je korištenje OIE u interesu RH, definira povlaštenog proizvođača (PP) kao energetski subjekt koji u pojedinačnom proizvodnom objektu proizvodi OIE. U zakonu se navodi da se sva pitanja vezana uz korištenje OIE uređuju posebnim pravilnikom. Pravilnik o korištenju obnovljivih izvora energije i kogeneracije ( nn 67/07 ) određuje uvjete korištenja OIE i Kogeneracijskih postrojenja, definira grupe postrojenja OIE i kogeneracije, utvrđuje uvjete za upis u Registar projekata i postrojenja za korištenje OIE i kogeneracije, te povlaštenih proizvođača te definira sve korake koje je energetski subjekt dužan poduzeti kako bi ishodio odobrenje za izgradnju novog postrojenja. Za vođenje registra odgovorno je Ministarsvo gospodarstva, rada i poduzetništva ( MINGORP). Na temelju Zakona o energiji donesen je i Tarifni sustav za proizvodnju električne energije iz OIE i kogeneracije ( nn 33/07 ). Povlašteni proizvođači imaju pravo na poticajnu cijenu koja je definirana ovim tarifnim sustavom, a ta cijena ovisi o tipu i veličini postrojenja. Povlašteni proizvođač ima pravo na poticajnu cijenu temeljem ugovora o otkupu električne energije kojeg je sklopio s operatorom tržišta energije (HROTE).

24 Prema Zakonu o tržištu električne energije operator prijenosnog sustava ili operator distribucijskog sustava dužan je osigurati preuzimanje ukupno proizvedene električne energije od povlaštenog proizvođača prema propisanim uvjetima. Status povlaštenog proizvođača električne energije stječe se na temelju rješenja Hrvatske energetske regulatorne agencije ( HERA) u skladu s uvjetima i procedurom koju propisuje Pravilnik o stjecanju statusa povlaštenog proizvođača ( nn 67/07 ). Uz MINGORP i HERA u ključna institucija u sustavu poticanja proizvodnje električne energije iz OIE i K je Hrvatski operator tržišta energije ( HROTE ). Zakonom o tržištu električne energije definiraju se i njegove obveze, koje između ostalog, uključuju sklapanje ugovora sa svim opskrbljivačima, prikupljanje naknade za poticanje OIE i K, obračun i razdiobu sredstava prikupljenih iz naknade na povlaštene proizvođače. 9. NOVE TEHNOLOGIJE I PERSPEKTIVE RAZVOJA SUNČEVIH FOTONAPONSKIH PANELA Još od godine Europa je predvodnik na globalnom tržištu fotonaponskih instalacija. U godini Europa zauzima oko 40 % globalnog tržišta, a zemlje koje su razvile najbolje sustave potpore za fotonaponske instalacije su: Njemačka, Španjolska Italija, Francuska, Češka itd. Za sada na tržištu prevladavaju ćelije od kristalnog silicija, dok se predviđa da će u budućnosti sve veći udio pripasti tankom filmu. Tehnologija tankog filma omogućuje znatnu uštedu materijala, mnogo fleksibilniju ugradnju fotonaponskih ćelija, pošto ih je moguće saviti. Nadalje, solarne ćelije napravljene tehnologijom tankog filma imaju znatno kraće vrijeme povrata uložene energije dok im je s druge strane korisnost nešto niža. Silicij kao osnovni materijal apsolutno dominira s udjelom 98,3%, i to pretežito tehnologija kristaliničnog silicija s 93,7% udjela u ukupnoj proizvodnji. Sve do nedavno (2000. g.) prevladavala je tehnologija proizvodnje monokristaliničnog silicija dobivenog tzv. Czochralskijevim postupkom ili tehnologijom lebdeće zone (eng. float zone). Proizvodnja monokristaliničnog silicija je skuplja, no učinkovitosti ćelija su veće. Danas ta tehnologija sve više gubi korak u usporedbi s tehnologijom multikristaliničnog silicija (Mc Si). Prednosti multikristaliničnog silicija su manja kapitalna ulaganja za proizvodnju vafera (tanka ploča poluvodičkog materijala), veća iskoristivost silicija zbog korištenja četvrtastih vafera koji daju veću aktivnu površinu modula u usporedbi s okruglim ili kvazi okruglim oblikom monokristaliničnog vafera. U Mc Si tehnologiji lakše se proizvode ćelije većih površina

25 veličina i mm, što pojednostavljuje njihovu ugradnju u module. Mc Si tehnologije u ukupnoj proizvodnji sunčanih ćelija u g. su sudjelovale s 57.2%. Trakasti silicij, (ribber) ima prednost što je u njegovom procesu proizvodnje izbjegnuta potreba rezanje vafera, čime se gubilo i do 50% materijala u procesu piljenja. Međutim, kvaliteta i mogućnost proizvodnje nije takva da bi ova tehnologija preuzela vodstvo u bliskoj budućnosti. Najveći tehnološki nedostatak kristaliničnog silicija je svojstvo da je poluvodič s tzv. indirektnim zabranjenim pojasom zbog čega su potrebne relativno velike debljine aktivnog sloja kako bi se u najvećoj mjeri iskoristila energija sunčeva zračenja. U tehnologiji tankog filma primjenjuju se poluvodiči s tzv. direktnim zabranjenim pojasom i njihove debljine mogu biti znatno manje, uz značajno manji utrošak materijala, što obećava nisku cijenu i mogućnost proizvodnje velikih količina ćelija. Nažalost, iako dugo najavljivane, tehnologije sunčanih ćelija u tankom filmu s amorfnim silicijem, CIS, CdTe i druge, zbog cijene, niske učinkovitosti, stabilnosti modula ili okolišne prihvatljivosti još uvijek nisu pokazale svoju tržišnu sposobnost i trebat će značajna ulaganja da postanu konkurentne kristaliničnom siliciju. Udio tehnologija tankog filma (amorfni silicij, CdTe, CIS), unatoč značajnim naporima uloženim u istraživanja ostao je za sada relativno skroman. Međutim, snažan rast proizvodnje sunčanih ćelija s kristaliničnim silicijem može prouzročiti porast cijene i nestašicu sirovog silicija pa je moguć i veći proboj ovih tehnologija u budućnosti. Iako su fotonaponski sustavi komercijalno dostupni i široko prošireni, daljne istraživanje i razvoj fotonaponske tehnologije je ključan kako bi se omogućilo da ona postane glavni izvor električne energije. Kada se govori o naznakama u istraživanju sunčevih fotonaponskih ćelija, što se tiče ćelija od kristaličnog silicija, tehnologije koja je dominirala od samih početaka razvijanja fotonapona, šest je bitnih odrednica 1. Smanjenje specifične potrošnje silicija i materijala u finalnom modulu 2. Nova i poboljšana silicijska sirovina koja ima povoljniji omjer cijene i kvalitete 3. Povećanje učinkovitosti ćelija i modula, te dugoročno upotreba novih i integriranih koncepata 4. Novi i poboljšani materijali u svim djelovima proizvodnog lanca 5. Visoka propusnost, visoki prinos, integrirana industrijska obrada 6. Pronalazak novih sigurnijih tehnika obrade sa smanjenim negativnim djelovanjem na okoliš i s postizanjem dužeg životnog vijeka modula. Kada se radi o tehnologiji tankog filma, koja je relativno nova i ima veliki potencijal postoji nekoliko razvojnih odrednica: 1. Pouzdanost i i bolji omjer cijene i kvalitete za proizvodnu opremu 2. Smanjenje troškova pakiranja za krute i fleksibilne module.

26 3. Pouzdaniji moduli preko boljih procedura za osiguranje kvalitete ( unaprijeđenje testiranja modula i unaprijeđenje procjene učinkovitosti modula) 4. Recikliranje materijala i starog modula 5. Zamjena za rijetke kemijske elemente kao što su indij, galij, telurij Krucijalno je za sve tehnologije fotonaponskih ćelija i za cijelu fotonaponsku industriju da se u narednom razdoblju od nekoliko godina osigura veći pad cijena. Taj cilj će se tim prije ostvariti, što se prije, na svim društvenim nivoima, osiguraju pretpostavke za nove tehnološke inovacije i poboljšanja koja će povećati stupnjeve djelovanja fotonaponskih ćelija i produžiti njihov životni vijek a samim tim posredno i smanjiti troškove proizvodnje. Konkretni ciljevi za učinkovitost izdani od strane EPIA e ( European Photovoltaic Industry Association) do godine: Komercijalne ćelije od kristaličnog silicija: Mono kristalični silicij, ćelije moraju dostići učinkovitost od 22 %, iako se već danas u nekim komercijalnim ćelijama ona kreće u rasponu od 19 do 22% Multi kristalični silicij, ćelije moraju dostići prosječnu učinkovitost od 20% Komercijalni moduli u tehnologiji tankog filma Amorfni silicij (a Si), moraju dostići učinkovitost od 10 do 16% Kadmij telurij (CdTe), moraju dostići učinkovitost od 15 do 20% Bakar indij galij selenide (CIS, CIGS), moraju dostići učinkovitost od 16 do 22 %

27 9.1 Koncentrirajući fotonaponski sustavi Istraživanja koncentrirajućih fotonaponskih sustava započela su još u sedamdesetim godinama dvadesetog stoljeća. Danas se koriste malo, srednje i visoko koncentrirajući fotonaponski sustavi, koji povećavaju sunčevo zračenje od 2 pa do čak 300 puta. Koncentrirajući fotonaponski sustavi, koriste se u optičkim lećama za koncentriranje velike količine sunčevog zračenja na malo područje fotonaponskog modula za proizvodnju električne energije. Također redovito koriste sustave za aktivno praćenje kretanja sunca. Za razliku od tradicionalnih fotonaponskih sustava, koncentrirajući sustavi su često jeftiniji za proizvodnju, zbog toga što koncentracijom sunčevog zračenja dozvoljavaju puno manju površinu Slika 16 koncentrirajući fotonaponski sustav fotonaponskih ćelija za istu proizvedenu energiju. Kako je poznato iz fotoelektričnog efekta, fotonaponske ćelije proizvode toliko više električne energije, koliko su više izložene sunčevu zračenju. Problem se pojavljuje kod učinkovitosti ćelije, jer se povećanjem temperature njihova učinkovitost smanjuje. To znači da ako bi se htjelo povećavati proizvodnju, povećanjem sunčevog zračenja, trebalo bi osigurati smanjenje temperature koja pritom nastaje. Drugi problem kod koncentrirajućih fotonaponskih sustava je cijena optičkih leća i cijena sustava za praćenje kretanja sunca, koja nerijetko premašuje uštedu u broju ćelija koji postoji u odnosu na tradicionalne fotonaponske sustave. Izazovi kod rada koncentrirajućih fotonaponskih sustava su kako raditi s najvećom učinkovitošću kod koncentrirajućeg zračenja, što znači kako osigurati adekvatno hlađenje sustava. Također jedan od izazova je nemogućnost koncentriranja difuznog zračenja, kada na raspolaganju nemamo direkno zračenje, npr. tijekom oblačnog vremena. Iz čega proizlazi da su takvi sustavi optimalni i isplativi samo na onim lokacijama koje raspolažu s dovoljno direktnog sunčevog zračenja na godišnjoj razini.

28 9.2 CNT Ugljična nanocijev (CNT) je nano struktura koja se sastoji od atoma ugljika (C) u obliku praznog cilindra. Cilindri su obično zatvoreni na krajevima polu fulerenskim strukturama. Slika 17 CNT fotonaponska ćelija Nanocijevi su konstruirane s omjerom dužine i promjera, čak do :1, što je više nego kod bilo kojeg drugog materijala. Postoje tri tipa ugljičnih nanocijevi i to tzv. "armchair" (fotelja), zig zag i spiralne (helical) nanocijevi. Ova tri tipa imaju različite simetrije. Karbonske nanocijevi mogu biti duge i nekoliko stotina nanometara. Neki ih smatraju posebnim formama fulerena. Za proizvodnju makroskopskih materijala koji su građeni od ugljičnih nanocijevi, ugljične nanocijevi se slažu ili u snopove, jedna do druge tako da sačinjavaju trokutastu rešetku. To su jednozidne nanocijevi (Single Walled Carbon Nanotubes (SWNTs). Druga vrsta su višezidne cijevi (Multi Walled Carbon Nanotubes MWNTs) i one se dobijaju kada se cijev manjeg promjera stavlja u cijev većeg promjera, pa onda unutar treće cijevi još većeg promjera itd. Ugljične nanocijevi se već koriste u pojedinim komercijalnim tehnologijama poput display a. Ugljične nanocijevi su jedan od najviše spominjanih gradivnih blokova nanotehnologije. Imaju stotinu puta veću otpornost na istezanje od čelika, toplinsku provodljivost bolju od najčistijeg dijamanta i električnu provodljivost sličnu bakru. Dosadašnja istraživanja su uspjela proizvesti nanocijevi koje reagiraju na svjetlo određenog spektra, ali nikad na cijeli vidljivi spektar. Nanocijevi su popunjene s tri vrste kromofora koji mijenjaju oblik kada ih se obasja svjetlom određene boje. Svaka vrsta reagira na jednu boju: crvenu, zelenu ili plavu. Promjena oblika kromofora mijenja električnu vodljivost nanocijevi koja se može izmjeriti i pretvoriti u digitalnu informaciju.

29 Iako je određeni potencijal CNT a za fotonaponske sustava primjetan, još uvjek nije proizvedena ćelija sa učinkovitošću većom od 6,5%. CNT tehnologija još je uvjek u incijalnim fazama istraživanja, te ostaje dovoljno mjesta za budući napredak. 10. LITERATURA 1. Energetski Institut Hrvoje Požar, dostupno na 2. EREC, Renewable energy in europe, Kulišić, P. : Novi izvori energije, Školska knjiga Zagreb, Boris Labudović, Osnovne primjene fotonaponskih sustava, Energetika marketnig 5. Ljubomir Majdandžić, Solarni sustavi Teorijske osnove, Graphis Zagreb 6. Wikipedia.org 7. Izvorienergije.com 11. POPIS SLIKA Slika 1 Fotonaponske ćelije... 3 Slika 2 Princip rada sunčeve fotonaponske ćelije... 7 Slika 3 Fotonaponska ćelija... 9 Slika 4. Tipične monokristalne ćelije Slika 5 Shematski prikaz obrade silicija za nastajanje snučevih fotonaponskih sustava Slika 6 Tthin film, amorfni silicij Slika 7 CdTe thin film Slika 8 CIS thin film Slika 9 Energetska amortizacija Slika 10 Mrežni fotonaponski sustav Slika 11 Kućni mrežni fotonaponski sustav Slika 12 Sunčeva farma Slika 13 samostalni fotonaponski sustav Slika 14 Srednja godišnja ozračenost vodoravne plohe u RH Slika 15 Fotonaponski moduli sa aktivnim praćenjem kretanja suna, Tracker Slika 16 Koncentrirajući fotonaponski sustav Slika 17 CNT fotonaponska ćelija... 28

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Obnovljivi izvori energije

Obnovljivi izvori energije Obnovljivi izvori energije i odrziv razvoj Energija vodenih tokova (hidroenergija) Energija plime i oseke Energija morskih struja Energija valova Obnovljivi izvori energije 1 EJ/god TWh/god Solarno zracenje

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić

Fizika 2. Auditorne vježbe 11. Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt. Ivica Sorić Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstava Fizika 2 Auditorne vježbe 11 Kvatna priroda svjetlosti, Planckova hipoteza, fotoefekt, Comptonov efekt Ivica Sorić (Ivica.Soric@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Kvantna optika Toplotno zračenje Apsorpciona sposobnost tela je sposobnost apsorbovanja energije zračenja iz intervala l, l+ l na površini tela ds za vreme dt. Apsorpciona moć tela je sposobnost apsorbovanja

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Utjecaj solarne elektrane na mrežu u točki priključenja

Utjecaj solarne elektrane na mrežu u točki priključenja Završni rad br. 369/EL/2015 Utjecaj solarne elektrane na mrežu u točki priključenja Dražen Pajan, 1607/601 Varaždin, ožujak 2016. godine Odjel za elektrotehniku Završni rad br. 369/EL/2015 Utjecaj solarne

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI

FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNA POSTROJENJA

ELEKTRIČNA POSTROJENJA ELEKTRIČNA POSTROJENJA Literatura: Požar, H. Visokonaponska rasklopna postrojenja, Tehnička knjiga, Zagreb Tehnički priručnik Končar Elektroenergetski sustav Međusobno povezani skup proizvodnih, prijenosnih

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA KORIŠTENJE VODNIH SNAGA ENERGIJA I SNAGA Energija i snaga Energija je sposobnost obavljanja rada. Energija se u prirodi javlja u različitim oblicima. Po zakonu o održanju energije: energija se ne može

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE

ELEKTRODINAMIKA ELEMENTI STRUJNOG KRUGA IZVOR ELEKTRIČNE ENERGIJE ELEKTRODINAMIKA ELEKTRIČNA STRUJA I PRIPADNE POJAVE ELEMENTI STRUJNOG KRUGA Strujni krug je sastavljen od: izvora u kojemu se neki oblik energije pretvara u električnu energiju, spojnih vodiča i trošila

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα