3 الباب الثالث Chapter Three

Transcript

1 مشروم إيتاا وحدات تمليمية لمواضيال أساسيات الفيئياء المامة لألبة الملوم والهندسة ( محتوى عرعي مال عرمجيات تمليمية عاللغتين المرعية وااليجليئية( د. الد محمود الخالد 3 الباب الثالث Chapter Three المتجهات Vectors :1-3 مقدمة Introducton موجى المتجه vector مفهوم رياضي يشير إلى كمية ذات داللتين: الداللة األولىى مقىدار رممىي لىه وحىد ميىا يسىمى مقىدار اليميىة magntude of the quantt والداللىة الااييىة اتجاه اليميىة.drecton of the quantt يسىتمم وصفا كامال. فماال لوص مقدار سرعته واالتجىاه الى ي يسىير فيىه فنقىو المتجىه لوصى عمىا اليميىات الفيئيا يىة حركة شخص أو حركة أي جسم وصفا كامال ال عىد مىن ااشىار إلىى إن ذلى الجسىم يسىير عسىرعة مقىدار ا 5 m/s عاتجاه الشرق أو عاتجاه الغرب أو عاتجاه يمي عئاوية. اليمية الفيئيا يىة التىي تجمىال داللتىي مقىدار السرعة واتجا ها تسمى السرعة المتجهة لوص.veloct عملية سح أو دفال تؤثر على جسم ما وصفا كامال ال عد من ااشار إلىى مقىدار السح أو الدفال واتجاه عم السح أو الدفال على الجسم فنقو مىاال أن شخصىا سىح صىندوما عمقدار 5 N عاتجاه يمي 30 )أو الدفال( واتجا ه تسمى القوة ميا مال الخط األفقي. اليمية الفيئيا ية التي تجمال داللتي مقدار السىح.force نىىاا المديىىد مىىن اليميىىات الفيئيا يىىة يحتىىاا لوصىىفها وصىىفا كىىامال إلىىى داللتىىي المقىىدار واالتجىىىىاه ماىىىى ااازاحىىىىة dsplacement التسىىىىارم المتجىىىىه vector quantt فه ه اليميات تسمى كميات متجهة.momentum acceleraton الىىىىئ م توجد أيوام من اليميات الفيئيا ية ييتفي لوصفها وصفا كامال أن يستمم رمىم مىال وحىد أو رمم عدون وحىد ميىا أي إن ى ه اليميىات لهىا مقىدار فقىط ويسىميها اليميىات القياسىية tme الىئمن mass اليتلىة volume وماىا علىى ى ه اليميىات الحجىم scalar quantt الشىحنة اليهرعا يىة electrc charge والسىماحية اليهرعا يىة أن حجم ميم ما يساوي 64 cm 3 فه ا الوص كامال ومىن الخأىأ أن يفىي.permttvt فمنىدما يقىو ال ي و فيه. وك ل األمر عالنسبة لألمالة التي طرحت فالشحنة اليهرعا ية توص كلمىة االتجىاه وصفا كىامال عتحديد يوعها ومقدار ا عوحد اليولوم أو مشتقاته فقىط فنقىو أن ميمىة شىحنة كهرعا يىة سىالبة أو D.K.LKHLED 1

2 ما موجبة يساوي 4c ومن الخأأ أيفا أن يفي كلمة االتجاه. عينما لوص القو المتبادلة عىين شحنتين فيج تحديد مقدار القو واتجا ها. للداللة على اليمية المتجهة عالرمواز يستخدم عاد حرفا غامقا )بنط أسود غامق )old أو حرفا غامقا فومه سهم ما و ا النوم األ ير و ال ي سيستخدم في ا اليتاب. يرسم المتجه كخط مستقيم عند أحد طرفيه سهم يشير إلى االتجاه ويسمى الرأ والأرف اآل ر يسمى ال ي كما في الشي 1-3 ذيل tal أرس head الشي 1-3 طريقة عرض المتجه ولمزيد من التوضيح ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى البرمجية األولى لهذا الباب. البرمجية األولى بعنوان: االمقدمة. Introducton صور عن واجهة البرمجية األولى للباب الاالث و ي عمنوان المقدمة Introducton ه صور عن واجهة البرمجية األولى. الستمما البرمجية الفملية ما علي فمله و النقر على ازر الحركة أو إعاد البداية ثم مرامبة الحركة والنظر في وص حركة السيارتين. لقراء النص في اللغة االيجليئية أيقر ع ازر. EN عداية D.K.LKHLED 2

3 : 2-3 مقدار واتجاه المتجه Magntude and Drecton of a Vector يتم عيان المملومات المتملقة عالمقدار واالتجاه عىاالث طريى للأريقة الاايية وتئي r, ( القأبي إذا ( )الأريقىة الاالاىة ىي تسىهي ما يرافقها من لبس(: الطريقة األولى تيون عاسىتمما محىوري المسىتوى كان المتجه في عمدين فقط حيىث r ىو مقىدار المتجىه ويرسىم عمقيىا مناس يما المقدار الأو من يقأة ال ي إلى يقأة الىرأ و الئاويىة عىين محىور عاتجاه عيس عقارب الساعة. على سبي الماا المتجه ييت على النحو التالي:,θ حيث الرمئ مقدار المتجه وييون دا ما موج أحيايا ييت الصور. الشي 2-3 يوضح ذل )الحظ نوع الحرف المكتوب( رسىم و r على والطريقة الثانية لبيان المملومات المتملقة عالمقدار واالتجاه ي عاستمما مسىامط المتجىه علىى المحىاور اليارتيئيىة فىي حالىة كىان المتجىه فىي عمىدين (, ) أو فىي ثالثىة أعمىاد (,, ) و ه الأريقىة تسىمى طريقىة أجىئاء المتجىه أو مركبىات المتجىه.Components of Vector إن أي متجه يقال في المستوى وميمته تساوي مسقط المتجه على محور يمين أن ييتى كمجمىوم متجهىين واحىد مىواازي للمحىور ويسميه متجه جئ ي )مركبىة متجىه( component والاايي مواازي للمحور عاتجاه المحور vector الشي ويسميه متجه جئ ي )مركبة متجه( عاتجاه المحور عالرمواز على الشي التالي:... )3-1( متجه 2-3 (b) الشي على سبي الماا يمي الموج. ييت F θ 40 N مقداره F F (40 N,30 ) θ 45 متجه 2-3 (a) على سبي الماا يمي الموج. ييت مقداره 30cm 45 عن محور (30cm,45 ) عن محور وميمته تساوي مسقط المتجه علىى محىور. إن المتجه في الشي 2-3 ييت D.K.LKHLED 3

4 و component vector حيىث متجىه جئ ىي )مركبىة متجىه( للمتجىه عاالتجىاه. إن مقددار المتجده يكدون 3-3 متجه جئ ي )مركبة متجه( للمتجه عاالتجاه الشي دائما موجب وعالتالي فإن مقدار ك من و ييىون دا مىا موجى. عنىدما ييىون اتجاه محور الموج فإينا ي م ى فرف الىرمم لييىون مسىاويا لمقىدار. عنىدما تيىون فىي رمىم ولىيس ييون مسىاويا لسىال مقىدار. إن في اتجاه محور السال فإن الرمم متجه و ىو يسىمى الجىئء الرممىي أو المركبىة القياسىية scalar component للمتجىه علىى ( المحىور ويميىن أن ييىون موجى أو سىال عينمىا مقىدار ) ييىون دا مىا موجى.. عنفس الأريقة ييون تمري الرمم θ الشي (b) 3-3 المتجه عالرمواز. الحظ أن و سال موج ييت θ الشي عالرمواز أن (a) 3-3 المتجه موج و موج ييت. الحظ يسىتأيال حسىاب مىن و ىال ممرفتنىا لقىوايين النسى المالايىة وليىن نىا يجى أن ييون ح رين عندما يستمم اآللة الحاسبة calculator فقد يحص ل ىبس فىي الحسىاعات ويحصى على يتا ج اطئة عسب أن ويميىن أن ييىون موجبىا أو سىالبا. ال يما مقدارا موجبا دا مىا وإيمىا يماى الجىئء الرممىي للمتجىه واازالىة أي ل ىبس دعويىا يرمىئ للئاويىة عاتجىاه عيىس عقىارب الساعة عين محور الموج والمتجه عالرمئ كما اتفقنا عليه سىاعقا عينمىا يرمىئ للئاويىة يرمئ لها عالرمئ φ. الحظ الشي 4-3. عين المتجه ومتجهه الجئ ي D.K.LKHLED 4

5 مالحظة مهمة: يج أن تتراف حساعات مال رسم المتجه ورسم مركبتيه. ويمود وي كر أن الئاوية عين المتجه ومحور يرمئ لها عالرمئ عينما الئاوية عين المتجه ومركبته φ. إذا كان المتجه موجود في المرعال األو من المستوى. θ 180 φ أما إذا كان المتجه في المرعال الاايي فإن φ. θ 180 وأ يرا إذا كان المتجه في المرعال φ المتجهة يرمئ لها عالرمئ الدييارتي فإن تساوي وإذا كان المتجه في المرعال الاالث فإن الراعال فإن θ φ أو. θ 360 φ φ 180 θ φ θ φ θ θ cos φ cos sn φ sn cos φ sn φ φ θ -180 φ θ φ 360 θ θ φ cos φ cos sn φ sn cos φ cos sn φ sn الشي 4-3 طريقة حسىاب الجىئ ين )المىركبتين القياسىيتين( scalar components و للمتجه. يرجى الرجوم للمالحظة المهمة في الصفحة الساعقة عند إجراء الحساب. D.K.LKHLED 5

6 ومن الشي 4-3 أيفا يستأيال كتاعة المالمة عين المتجه مقدار ال ي يما ومقىدار كى 2 من مركبتيه السينية والصادية )جئ يه السيني والصادي(. ( ) 2 ( )... ( 3-2) ويستأيال أيفا كتاعة المالمة عين االتجاه المحىدد عالئاويىة φ ومقىدار كى مىن المىركبتين ومىن ثىم حساب الئاوية tan φ.... (3-3) الطريقدة الثالثدة و ىي الأريقىة األكاىر اسىتمماال و ىي تسىهي للأريقىة الااييىة وتسىمى طريقة استمما متجهات الوحدة Unt Vector لتسىىهي عيىىان المملومىىات المتملقىىة عالمقىىدار واالتجىىاه عاسىىتمما طريقىىة مركبىىات المتجىىه Unt Vector يىتم إضىافة مفهىوم جديىد يسىمى متجىه الوحىد Components of Vector مقداره يساوي واحد وعدون وحد ميا وأما اتجا ه فيحدد عاتجاه المحور المرتبط عه. لقد اتف علىى أن ييىون الرمىئ متجه وحده في اتجاه محور î متجىه وحىده فىي اتجىاه محىور ĵ الموجى والرمىئ الموج والرمئ عحيث إن مقادير ك منهما تساوي واحد الشي متجىه وحىده فىي اتجىاه محىور (3-4) أو 1 الموجى ĵ î unt vectors الشي 5-3 متجهات الوحدة كما هو متفق عليها. D.K.LKHLED 6

7 وكىى ل وعاسىىتخدام ىى ا التمريىى يميىىن كتاعىىة علىىى الصىىور تيتىى علىىى D D D ĵ î وعالتالي فإن ممادلة )3-1( يمين أن تيت على الصور الصور ĵ... (3-5) D θ الشي 6-3 طريقة كتاعة المتجه عاستمما متجهات الوحد D D D وعشي عام فإن أي متجه في الففاء ثالثي األعماد ماى الشىي 7-3 يميىن أن ييتى علىى D D وازياد في التوضيح الحظ كتاعة المتجه D D D المبين في الشي 3-6. D and D D D (3-6) الصور (3-10) ومقدار ا المتجه ي حس عالأريقة D حيث و و المركبتين القياسيتين و D المركبتين المتجهتين. D (3-11) D.K.LKHLED 7

8 ĵ î الشي 7-3 المتجه في الففاء ثالثي األعماد عاستمما متجهات الوحد. ولمزيد من التوضيح ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى البرمجية الثانية والبرمجية الثالثة لهذا الباب. البرمجية الثانية بعنوان: عمنوان مقدار واتجاه المتجه magntude and drecton of a.vector البرمجية الثالثة بعنوان: عمنوان مقدار واتجاه المتجه في ثالثة أعماد magntude and.drecton of a vector n three dmensons D.K.LKHLED 8

9 صور عن واجهة البرمجية الاايية للباب الاالث و ي عمنوان مقدار واتجاه المتجه magntude and drecton of a vector ه صور عن واجهة البرمجية الاايية للباب الاالث. الستمما البرمجية الفملية ما علي فمله و النقر على ازر إظهار المتجه ثم النظر في المتجه )مقداره واتجا هه( وك من مرطبتيه. صور عن واجهة البرمجية الاالاة للباب الاالث و ي عمنوان مقدار واتجاه المتجه في ثالثة أعماد magntude and drecton of a vector n three dmensons ه صور عن واجهة البرمجية الاالاة للباب الاالث. الستمما البرمجية الفملية ما علي فمله و النقر على ازر أظهر المتجه عقيم أ رى ثم أيقر ازر أيقر نا ثم مرامبة كر في ثالثة أعماد. D.K.LKHLED 9

10 :3-3 خصائص المتجهات والعمليات الرياضية عليها 1- إذا كان المتجهان و لهما يفس المقدار ولهما يفس االتجاه فإيه يمين القو أن حتى وإن لم يين لهما يفس يقأة البداية. ويبين الشي الشي 2 3 الشىىىىي لنفس المتجه. (6) متجهات متساويات. 2- عنىىد ضىىرب متجىىه عمىىدد موجىى n فىىإن الناتج متجه له يفس اتجاه ولين المقدار يتغير مىىن االتجىىاه يىىنميس إلى إلىىى. n أمىىا إذا كىىان n سىىال فىىإن 180 والمقىىدار يتغيىىر مىىن. n ويمين االستنتاا أن مميو المتجىه ىو متجىه مفىروب عسىال واحىد. والشىي يوضح المقصود. (7) (8-3) مسىىىىة إظهىىىىارات عملية ضرب المتجه عرمم. (9-3) -3 جمع المتجهات :Vector ddton p 2 عملية جمال المتجهات ي عملية رياضية تتم فقط على المتجهات التىي لهىا يفىس الوحىد ويأل على يتيجة جمال متجهين أو أكار محصلة المتجهىين أو محصىلة المتجهىات.esultant p 1 إلى النقأىة وكماا على ذل تخي متجه إازاحة لشخص ينتق مسافة 2m من النقأة ثىم متجىه إازاحىة لىنفس الشىخص مسىافة 3mمىن النقأىة إلىى النقأىة كمىا فىي p 3 p 3 p 1 p 2 الشي إن حاص إازاحة الشخص ي مباشر ط مستقيم من النقأىة إلىى النقأىة C و ا المتجه ىو محصىلة جمىال المتجهىين و كمىا فىي الممادلىة وتحدد عمتجه ااازاحة (12). ومقىىدار ىى ا المتجىىه ال يحسىى عالأريقىىة القياسىىية وإيمىىا تحسىى عأريقىىة رياضية ندسية cosnes) (Law of يتيجتها كما في الممادلة (13) أو الممدلة (14). والئاويىة التي تشير إلى اتجا ه تحس عقايون رياضي آ ر snes) (Law of كما في الممادلة (15). D.K.LKHLED 11

11 p 1 p 2 C. (12) C cos θ... (13) C cos φ...(14) C p 3 C sn φ sn α sn β..(15) الشىي 10-3 جسىيم تحىرا مىن p 1 ثم إلى النقأة ثم النقأة p 2 p 3 إلىىى النقأىة يمالها مقدار المتجه. إازاحىىة الجسىىيم.C إن ما ينأب على متجهي ااازاحىة ينأبى علىى أي متجهىين ويجى االيتبىاه إلىى أن الممىادالت (13) و( 14 ) و( 15 ) تأب لحساب مقدار واتجاه جمال متجهين فقط. تىتم عمليىة جمىال المتجهىات عأىريقتين: الأريقىة األولىى ىي طريقىة الرسىم أو الأريقىة الهندسىية method) (Geometrc أو) (. Graphcal method والاايية ي الجمىال عأريقىة األجىئاء أو المركبات method).(components ولتوضيح عملية الجمال عأريقة الرسم دعنا يأ ماا جمىال المتجهىين مىال ويرمىئ لنىاتج E الجمال عالرمئ E E يرسم المتجه عأو ييافئ المقدار حس مقيا θ الرسم المناس ثم يرسم المتجه من رأ المتجه وعأو ييافئ مقداره حس مقيا الشي (11-3) عملية جمال متجهين الرسم ويج أن يراعي الئاوية عين اتجاه عأريقة الرسم. E θ فتيون محصلة الجمال عرسم واتجاه الشي متجه من ذي إلى رأ 11-3 D.K.LKHLED 11

12 θ E θ إن عملية الجمال ه تسمى الجمال عأريقة المالث و ي ال تمتمد على ترتي المتجهين المألوب جممهما حيث إن الناتج ييون يفسه في حالة كان أوال ما E..(16) و ا يسمى مايون التباد في الجمال (Commutatve Law of ddton) ويمين أن يستنتج ذل عند رسم المتجهين و من يفس النقأة ومال مراعا الئاوية عينهما من يفس النقأة أي إن ذي ك منهما يبدأ θ متواازي األضالم ويرسم مأرا من التقاء ييم الشي 12-3 مايون التباد في جمال متجهين. ذيليهما إلى النقأة المقاعلة فتيون محصلة الجمال ي ا القأر الشي إن عملية الجمال ه تسمى الجمال عأريقة متواازي األضالم ddton) (Parallelogram Method of -4 طرح المتجهات Vector Subtracton من ت جرى عملية طرح متجه ما اعتمادا على عملية جمال متجه آ ر ما المتجه أي إن المتجهات وعلى مفهوم مميو وتيت ي جمال مال مميو كما يلي: ( )..(17) تتم عملية الأرح (13-3) كي ويبين الشي عأريقة الرسم. الشي 13-3 عملية طرح متجه ما من متجه آ ر ما D.K.LKHLED 12

13 ولمزيد من التوضيح ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى البرمجية الرابعة لهذا الباب. البرمجية الرابعة بعنوان: جمال وطرح متجهين عأريقة الرسم of two vectors b graphcal method. ddton and subtracton صور عن واجهة البرمجية الراعمة للباب الاالث و ي عمنوان جمال وطرح متجهين عأريقة الرسم ddton and subtracton of two vectors b graphcal method. ه صور عن واجهة البرمجية الراعمة للباب الاالث. الستمما البرمجية الفملية ما علي فمله و النقر على ازرvectors epresent the ثم النظر في عملية جمال أو طرح المتجهين عأريقة الرسم. على الأال دا ما مالحظة لون المتجه. D.K.LKHLED 13

14 ولتوضيح توضيح عملية جمال أو طرح أكار من متجهين عتأبي طريقة المالث يجد حاص جمال أي متجهين متجاورين ويجمال الناتج مال متجه مجاور آ ر و ي ا إلى أن يص إلى حاص الجمال النها ي. فإذا كان المألوب إيجاد حاص جمال المتجهات مال مال G E C (14-3) عملية جمال الشي ثالث متجهات عأريقة الرسم. C G C الشي (14-3): فإذا أ يا المتجهين المتجاورين فتيون النتيجة: و G ( ) C E C C G E F الشي (15-3) مايون التجميال في عملية جمال المتجهات. أما إذا أ يا المتجهين المتجاورين فإن النتيجة: و C G ( C) F أيظر الشي (11) أي إن G ( ) C ( C)..(18) إن ه النتيجة تسمى مايون التجميال في الجمال (ssocatve Law of ddton) 14

15 D θ CD C θc C D θ أوات عملية الجمال تبدأ عرسم المتجه األو إن رسم مناس ثم رسم المتجه الاايي عحيث يفال عمقيا األو ويج أن يراعي نا الئاوية عين ذيله عند رأ اتجاه األو واتجاه الاايي ثم يرسم المتجه الاالث أن يراعي الاايي ويج عحيث يفال ذيله عند رأ ك ل الئاوية عين اتجاه الاايي واتجاه الاالث و ي ا إذا من ثالث متجهات. وتيون كان المألوب جمال أكار محصلة الجمال متجه يبدأ ذيله من ذي المتجه األو المتجه األ ير. أي إن محصلة وييون رأسه عند رأ الجمال ه تيون المتجه ال ي يغل الشي المفلال اعتداء من يقأة البداية وايتهاء عنقأة النهاية و ي رأ (16-3). المتجه األ ير. أيظر الشي الشي (16-3). عملية جمال أرعال متجهات عأريقة الرسم. ولمزيد من التوضيح ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى البرمجية الخامسة لهذا الباب. البرمجية الخامسة بعنوان: جمال ثالث متجهات عأريقة الرسم ddton and of three vectors b graphcal method. صور عن واجهة البرمجية الخامسة للباب الاالث و ي عمنوان جمال وطرح ثالث متجهات عأريقة الرسم ddton and subtracton of three vectors b graphcal method. ه صور عن واجهة البرمجية الخامسة للباب الاالث. الستمما البرمجية الفملية ما علي فمله و النقر على ازرvectors epresent the ثم النظر في عملية جمال متجهين 1 أو ثالث متجهات 2 عأريقة الرسم. على الأال دا ما مالحظة لون المتجه. D.K.LKHLED 15

16 : 4-3 جمع المتجهات بطريقة جمع أجزاء )مركبات( المتجهات Vector ddton b Components Method إن عملية جمال المتجهات عأريقة الرسم ال يوصى عها إذا كان المألىوب إيجىاد الحسىاعات عدمىة عاليىة أو فىي حالىة أن تيىون المتجهىات فىي ثالثىة أعمىاد. ويسىتماض عنهىا عىالجمال عأريقىة المركبىىات. وتىىتم عمليىىة الجمىىال ىى ه عىىأن يجمىىال مركبىىات المتجهىىات المألىىوب جممهىىم المشىىتركة عاالتجىاه يفسىه ولتوضىيح ذلى يأ ى جمىال المتجهىين مىال حيىث ي يتى كى منهمىا عأريقىة î î ĵ ĵ المركبات على الصور : فإذا رمئيا لناتج الجمال عالرمئ فييون ) ( ) (..(19) أي إن..(20) ( ) θ ما و الشي ) 17-3 ). جمال متجهين عأريقة جمال المركبات القياسية. حيث المركبتين المتجهتين و ( ) والئاوية التي يمملها...(21) وييون مقدار المتجه مال المحور كما في الممادلتين. 2 ( ) ( tan θ ) 2...(22)...(23) ويمين التأكد من تأاع طريقة الرسم مال طريقة المركبات من ال دراسة الشي ) 17-3 ). D.K.LKHLED 16

17 وعنفس األسلوب يمين أن تتم عملية الجمال ألكار من متجهين. فإذا كان المتجه,, C, المتجهات D و يىاتج جمىال C D C D C D..(24) فإن مركبتي ما:..(25)..(26) وعشي عام إذا كايت المتجهات لها ثالثة أعماد فإن حاص الجمال ييون له مركبة ثالاة ىي عحيث أن : C D..(27) ولمزيد من التوضيح ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى البرمجية السادسة لهذا الباب. البرمجية السادسة بعنوان: جمال وطرح متجهين عأريقة استمما متجهات الوحد ddton and subtracton of two vectors b unt vector notaton. وال عد عئيئي الأال من التحق من األرمام الظا ر. صور عن واجهة البرمجية السادسة للباب الاالث و ي عمنوان جمال وطرح متجهين عأريقة استمما متجهات الوحد method. ddton and subtracton of two vectors b graphcal ه صور عن واجهة البرمجية السادسة للباب الاالث. الستمما البرمجية الفملية ما علي فمله و النقر على ازرvectors epresent the ثم النظر في عملية جمال متجهين 1 أو طرح متجهين. 2 على الأال دا ما مالحظة لون المتجه. D.K.LKHLED 17

18 5-3 :عملية ضرب متجه بمتجه أخرVector Multplng Vector b a تتيح لنا عملية ضىرب متجىه عمتجىه آ ىر مىن التمبيىر عا تصىار عىن عالمىات فيئيا يىة أو مىوايين فيئيا يىىة. فيمىىا علمنىىا أن المتجهىات ليسىىت أرمامىىا عاديىىة وعالتىالي فىىإن عمليىىة الفىىرب المادية ليست ماعلة للتأبي عشي مباشر على المتجهات ولى ال تىم تمريى علىى المتجهىات. النىوم األو يسىمى الضدرب القياسد الفىىرب ىى ه كميىىة مياسىىية. النىىوم الاىىايي يسىىمى الضددرب المتجهدد يىوعين مىن الفىرب Scalar Product وينىتج عىن عمليىة أو االتجددا Vector Product وينتج عن عملية الفرب ه كمية متجه. الضرب القياس Scalar Product ت مرف عملية ضرب متجه ماى ع بر نها كما في الممادلة ) ( : عمتجىه آ ىر ماى cos θ..(28) عأيهىا عمليىة ضىرب مياسىي إذا وكما تالحظ فإن ياتج عملية الفرب و كمية مياسىية تسىاوي مقىدار المتجىه أي( ( ضىرب θ. أو أن يىاتج عمليىة مقىدار المتجىه أي ) ( ضىرب جتىا الئاويىة المحصىور عينهمىا الفرب و كميىة مياسىية تسىاوي مقىدار المتجىه أي ) ( ضىرب المركبىة القياسىية scalar علىى اتجىاه cos θ كمىا يبىين الشىي أو إيهىا أي component للمتجىه على اتجىاه أيفا تساوي مقدار المتجه أي ) ( ضرب المركبة القياسية للمتجه.18-3 cos θ أي كما في الشي θ cos θ θ cos θ الشي 18-3 عملية الفرب القياسي ويمين تفسير ياتج عملية الفىرب عأيىه مقىدار المتجىه على اتجاه. أي أي ) ( ضرب المركبة القياسية للمتجه cos θ D.K.LKHLED 18

19 Dot Product عسىب وجىود النقأىة عىين ويمين أن يستنتج من ذل أن الفرب القياسي يحق مايون التباد..(29) ويحق الفرب القياسي مايون التوازيال ل ل يمين القو إن ( C) C..(30) أحيايىا تسىمى عمليىة الفىرب ى ه بالضدرب النقطد المتجهين. وتجدر ااشار إلى أيه ليس عالفرور أن ييون المتجهان لهما يفس وحد القيا. إن ياتج الفرب النقأي ىو كميىة مياسىية ولىيس كميىة متجىه ويميىن أن تيىون ميمتىه موجبىة أو 90 0 θ سالبة أو صفر. عندما تيىون الئاويىة وعندما تيون الئاوية أيه إذا كان عمودي على و عىين فىإن يىاتج الفىرب ييىون موجبىا. ياتج الفرب ييون سالبا. ويميىن أن يسىتنتج. وعتأبيى ذلى علىى 0 و 180 فإن )θ 90 فإن أي إن ( عين 90 θ متجهات الوحد يحص على (1)(1) cos 0 1 (1)(1) cos (31) ولىى ل يميننىىا إيجىىاد الفىىرب النقأىىي مباشىىر إذا كىىان المتجهىىين ميتىىوعين عأريقىىة المركبىىات ومتجهات الوحد فإذا كان..(32)..(31) Z فإن..(33) cos θ وعدمج الممادلتين( 28 ) و( 31 ) يستأيال إيجاد مقدار الئاوية عين المتجهين Z..(33) D.K.LKHLED 19

20 وعسىب الضرب المتجه أو االتجا Vector Product ييتى الفىرب المتجهىي عىين متجهىين ماى و علىى الصىور وجود إشار C متجه يسمى أحيايا ا الفرب عالفرب التقاطمي ويتيجة حاصى الفىرب ى ا ىو C و أي إن اتجا ه ييون دا ما عموديا على المستوى ال ي يقال..(34) اتجا ه عمودي على ك من فيىىه المتجهىىين. وليىىن تحديىىد إن كىىان عموديىىا ارجىىا مىىن المسىىتوى إلىىى األعلىىى أم ارجىىا مىىن المستوى إلى األسف يتم عتأبي ماعد اليد اليمنى أو ماعد البرغي كما في الشي î ااعهام يشير إلى اتجاه ااعهام يشير إلى اتجاه ĵ الشي األو و 19a-3 ماالين لتأبي ماعد اليد اليمنى. الماا األو والمتجه الاايي و الاايي و السال. الماا الاايي و و نا المتجه وحاص الفرب و متجه يتجه عاتجاه محور والمتجه و نا المتجه األو و وحاص الفرب و متجه يتجه عاتجاه محور الموج. فإذا تم رسم المتجهين من يفس النقأة أي إن ذيليهما يلتقيان عنقأة واحد فإن تأبيى ماعىد اليىد اليمنى يتم عجم األصاعال األرعمة عاتجاه المتجه الميتوب أوال و و في ه الحالة ثىم تىدوير D.K.LKHLED 21

21 األصىىاعال عاتجىىاه المتجىىه الميتىىوب ثاييىىا و ىىو فىىي ىى ه الحالىىة المتجهين فييون اتجاه..(35) عبىىر الئاويىىة األصىىغر عىىين C ااعهام يشير إلى اتجاه و اتجاه االعهام. ول ل ييون ااعهام يشير إلى اتجاه F F الشي -3 19b المتجه األو و محور والمتجه الاايي و ماالين لتأبي ماعد اليد اليمنى. الماا األو F F والمتجه الاايي و الموج. الماا الاايي و î F و نا ĵ F F وحاص الفرب و متجه يتجه عاتجاه F و نا المتجه األو و وحاص الفرب و متجه يتجه عاتجاه محور السال. أي إن الفرب التقاطمي ال يحق مايون التباد. ألن اتجاه مال أن مقدار حاص الفرب لي منهما متساوي. وتجدر ااشار نا إلى أن الفرب التقاطمي يحق مايون التوازيال ىو عيىس اتجىاه ( D) D..(36) أما طريقة البرغي فهي شبيهة عأريقىة اليىد اليمنىى. فمنىد وضىال رأ البرغىي المىدع عنىد التقىاء C ذيلي المتجهين وتدويره عاتجاه من إلى فإن اتجاه حركة البرغي و اتجاه D.K.LKHLED 21

22 22 يواسيف رادقملا امأ sn θ...(37) sn θ C نإ ثىيحو θ نيىع نوىيت 0 و هىجتملا رادىقم نإىف ]180 C رادىقم وأ رفىص اىمإ نوىيي.رفص يواسي نيسكامتم وأ نييزااوتم نيهجتم يلأ يمطاقتلا برفلا صاحف. جوم نيهجتملا ةعاتك انمدختسا اذإ و داىجيإ لايأتىسي اىنيأف دىحولا تاهجتمو تابكرملا ةقيرأع هجتملا تابكرم C (34) نيتلدامملا مادختسابف.امهعرض صاح نم جتانلا (37) و نأ دجي 0 و و و نإف يلاتلاعو ) ( ) ( ىلع صحي دودحلا يترتو تاعاسحلا ءارجإعو ) ( ) ( ) ( هجتملا تابكرم نويتف C :ي ) ( C ) ( C ) ( C تاددحملا ةقيرط ىمست رك تلل هسأ ةقيرط دجوت determnants نوىيي يمطاىقتلا برىفلاو 33تاددحم روص ىلع ددع ىلإ ف ي مث 3 2 2تاددحم نم أع نويت فلا ةقيرطو. وى و دىح وأ î هدوىمع رىصانع ةىيقع ىىلع يىأغي ل ىكو هفىص رىصانع ةىيقع ىىلع يىأغي مىث D.K.LKHLED

23 ĵ فنحص على 2 2 محدد و ي. ثم ييت إشىار سىال ويأ ى الحىد الاىايي ثىم يغأي على عقية عناصر صفه وكى ل يغأىي علىى عقيىة عناصىر عمىوده فنحصى علىى 2 2 محىدد و ىىي. ثىىم ييتى إشىىار ازا ىىد ويأ ى الحىىد الاالىىث ثىم يغأىىي علىىى عقيىة عناصىىر صىىفه وكىى ل يغأىىي علىىى عقيىىة عناصىىر عمىىوده فنحصىى علىىى 2 2 محىىدد و ىىي. فتيت عملية الفرب على الصور وكى 2 2 محىدد ت فى علىى صىور إيجىاد حاصى ضىرب عىادي للحىدين األو والراعىال أي ضىرب مأىري ويأىرح منىه حاصى الفىرب المىادي للحىدين الاىايي والاالىث ضىرب مأىري ( ) أيفا فالمحدد األولى ت ف علىى الصىور وعىنفس األسىلوب C ت ف المحددتين األ ريين. وفي النهاية يحص على النتيجة كما ي في الممادلة ) ). ( ) ( ) ( ) ولمزيد من التوضيح ندعوك عزيزي الطالب للرجوع إلى البرمجية السابعة والبرمجية الثامنة لهذا الباب. البرمجية السابعة بعنوان: الفرب االتجا ي لمتجهين vectors. cross Product of two و ي تقدم عدد ال يها ي من األمالة. وال عد عئيئي الأال من التحق من األرمام الظا ر. البرمجية الثامنة بعنوان: أمثلة حسابية.Mathematcal Eamples و ه البرمجية تمد مراجمة شاملة لجميال الممليات الحساعية على المتجهات و ي تقدم عدد ال يها ي من األمالة. D.K.LKHLED 23

24 صور عن واجهة البرمجية الساعمة للباب الاالث و ي عمنوان الفرب االتجا ي لمتجهين Cross Product of two vectors. ه صور عن واجهة البرمجية الساعمة للباب الاالث. الستمما البرمجية الفملية ما علي فمله و النقر على ازرvectors epresent the ثم النظر في عملية ضرب المتجهين والنتيجة الظا ر 1 أو. 2 على الأال دا ما مالحظة لون المتجه وعليه أيفا التحق من األرمام والممليات الحساعية. صور عن واجهة البرمجية الاامنة للباب الاالث و ي عمنوان أمثلة حسابية Mathematcal.Eamples و ه البرمجية تمد مراجمة شاملة لجميال الممليات الحساعية على المتجهات و ي تقدم عدد ال يها ي من األمالة. ه صور عن واجهة البرمجية الاامنة للباب الاالث. الستمما البرمجية الفملية ما علي فمله و النقر على ازرvectors epresent (change) the components of the ثم النظر في الممليات الحساعية على المتجهين والنتيجة الظا ر. على الأال التحق من األرمام والممليات الحساعية. D.K.LKHLED 24